Module: Statistiques inferentielles

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Enonces des exercices

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Universite Paul Sabatier - Toulouse 3

IUT de Toulouse 3 A

Departement GEA PONSAN

Clement Rau

clement.rau@iut-tlse3.fr

1 Variables aleatoires

Exercice 1

Le tableau de la loi de probabilite d’un de truque a six faces est :

i 1 2 3 4 5 6

pi 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1

Soit les evenements A = {i, i ≤ 4}; B = {i, i ≥ 4}; C = {i, i < 4}. Calculer

P[A],P[B],P[C];P[A ∩B];P[A ∩ C];P[B ∩ C].

Exercice 2

Soit X une variable aleatoire dont la loi de probabilite est donnee par

x 0 1 2 3 4 5

PX(x) 0.1 0.3 0.4 0.1 0.05 0.05

1. Calculer l’esperance et la variance de X.

2. Determiner et representer la fonction de repartition de X

3. Calculer les probabilites P [X < 4] ,P [X > 2] ,P [3 < X ≤ 4.5] ,P [2 ≤ X < 4] ,P [2 < X < 4].

4. Soit Y = 3X − 5. Calculer E(Y ) et V ar(Y ).

Exercice 3

On joue avec deux des a quatre faces. Sur le premier de, les faces portent les numeros 1, 2, 3 et

3. Sur le deuxieme de, les faces portent les numeros 1, 2, 2 et 2. Deux regles du jeu sont possibles :

1. La partie coute 1 euro. On lance les deux des.

(a) Si la somme est 2, on gagne 6 euros,

(b) Si la somme est 3 ou 4, on gagne 2 euros,

(c) Si la somme est 5, on ne gagne rien.

2. La partie coute 10 euros. On lance les deux des.

(a) Si la somme est 2, on gagne 60 euros,

(b) Si la somme est 3 ou 4, on gagne 12 euros,

(c) Si la somme est 5, on ne gagne rien.

En etudiant l’esperance et l’ecart-type de chacun de ces jeux, trouver lequel est le plus interessant.

Exercice 4 Une loterie comporte 20 billets dont 2 gagnants, l’un pour un lot de 100 euros et

l’autre pour un lot de 60 euros. On a achete 3 billets.

1. Calculer les probabilites suivantes en supposant tous les tirages equiprobable :

A : ” gagner les 2 lots ”

B : ” gagner le lot de 100 euros seulement ”

C : ” gagner le lot de 60 euros seulement ”

D : ” ne rien gagner ”

2

2. Determiner la loi de probabilites de la variable aleatoire X qui a tout ensemble de trois billets

associe la somme gagnee.

3. Calculer E(X)

4. Le prix de vente du billet etant fixe a E(X)/3, verifier que la vente des 20 billets permet

d’obtenir la somme mise en jeu.

Exercice 5

Trois urnes U1, U2, U3 contiennent chacune 10 boules supposees indiscernables numerotees de 1

a 10. On tire une boule dans chacune des urnes et on suppose les tirages independants.

1. Quelle hypothese peut-on faire sur les tirages grace a l’indiscernabilite ? Donner alors la

probabilite d’obtenir un 2 a chaque tirage.

2. Soit X la variable aleatoire qui compte le nombre de 5 obtenus lors de cette epreuve de 3

tirages.

(a) Exprimer les evenements elementaires de X en fonction des evenements Ai : ”Le tirage

dans l’urne Ui donne un 5” (i = 1, 2, 3).

(b) Donner la loi de X.

(c) Calculer l’esperance et la variance de X (en presentant vos calculs sous forme fraction-

naire)

(d) Donner la fonction de repartition de X et la courbe cumulative associee.

(e) Indiquez comment retrouver P[X ≤ 2],P[X = 2] puis P[1 < X ≤ 2] a l’aide de la fonction

de repartition.

Exercice 6

Soit X et Y deux variables aleatoires a valeurs dans {−1, 0,+1}. La loi du couple (X,Y ) est

donnee par le tableau suivant :

X | Y −1 0 1

−1 1/5 0 1/5

0 1/15 1/15 1/15

1 1/5 0 1/5

1. Donner les lois marginales de X et de Y .

2. Calculer la covariance du couple (X,Y ).

3. X et Y sont elles independantes ?

Exercice 7

Dans un atelier textile, la temperature exprimee en Farenheit, ne s’ecarte jamais de plus de 2

degres de 62 degres. Plus precisement, la temperature est une variable aleatoire F de distribution :

f 60 61 62 63 64

P(F = f) 0.05 0.25 0.4 0.25 0.05

1. Calculer l’esperance et la variance de F.

3

2. On a decide de lire la temperature sur l’echelle des degres Celcius qui satisfait C = 59 (F −32).

Quelle est l’esperance et la variance de la temperature exprimee en degres Celcius ?

Exercice 8

On jette 2 des et on note respectivement X1 et X2 les variables aleatoires ” numero de la face

superieure ” du des 1 et 2. On pose Z = max(X1, X2). Determiner la loi de Z,E(Z) et V ar(Z).

2 Les lois de probabilites discretes

Exercice 1

Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La proportion de blanches est p. Les

tirages se font avec remise ainsi la proportion de boules blanches ne changent jamais.

1. Soit Y la v.a qui vaut 1, si on tire une boule blanche et 0 sinon. Loi de Y ? E(Y ) ?

2. Soit X la v.a indiquant le nombre de boules noires tirees sur 5 tirages. Quelles sont l’esperance

et la variance de cette variable ?

Exercice 2

Un automobiliste rencontre sur son trajet 5 feux de circulation tricolores. Pour chacun de ces

feux, le rouge dure 15 secondes, l’orange 5 secondes et le vert 40 secondes. Les 5 feux ne sont pas

synchronises et l’on suppose que les aleas de la circulation sont tels que l’etat d’un feu devant lequel

se presente l’automobile ne depend pas de l’etat des autres feux rencontres.

1. L’automobile se presente devant un feu. Quelle est la probabilite que ce feu soit vert ?

2. Quelle est la probabilite que sur son trajet, l’automobile rencontre exactement 3 feux verts

sur les 5 feux rencontres ?

3. Soit X la variable aleatoire correspondant au nombre de feux verts rencontres sur le trajet.

Quelle est sa loi de probabilite et son esperance ?

Exercice 3 Pour aller a son lycee a velo, un eleve rencontre 6 feux. L’etat de chaque feu est

independant des autres et la probabilite qu’un feu soit vert est 2/3. Un feu orange ou rouge, fait

perdre 1 minute 30 secondes a l’eleve. Le lycee est situe a 3km du domicile et l’eleve roule a 15km/h

entre les feux. Soit X le nombre de feux verts rencontres sur le trajet et T le temps mis par l’eleve

pour rejoindre le lycee.

1. Loi de X ?

2. Exprimer T en fonction de X. En deduire E(T ).

3. L’eleve part 17 minutes avant le debut des cours. Est il raisonnable de penser qu’il arrivera a

l’heure ? Quelle est la probabilite pour qu’il arrive en retard en cours ?

Exercice 4 En 2011, un organisme de sondage indique que 65% des entreprises d’un certain

departement ont degage un benefice superieur a 20000 euros. On considere 300 entreprises de ce

departement.

1. Quel est l’ordre de grandeur du nombre d’entreprises ayant degage un benefice superieur a

20000 euros parmi ces 300 entreprises ?

4

2. Soit Z la v.a indiquant le nombre d’entreprises (sur les 300 choisies) ayant un benefice

superieur a 20000 euros. Donner la valeur litterale de P(Z = 195). Calculer E(Z).

Exercice 5

On joue a pile ou face. Si on obtient pile, on gagne 1 euro. Si on obtient face, on perd 1 euro.

On considere une serie de 10 lancers.

1. Si la piece est non truquee (la probabilite d’avoir pile et la probabilite d’avoir face est la

meme) :

(a) Quelle est la probabilite de gagner 10 euros ?

(b) Quelle est l’esperance de gain ?

2. Si la piece est legerement truquee et tombe sur face dans 60% des cas

(a) Quelle est la probabilite de gagner 10 euros ?

(b) Quelle est l’esperance de gain ?

Exercice 6

On lance 10 fois un de. Quelle est la probabilite d’avoir 4 fois le 1 ?

Exercice 7

Une urne contient 100 boules dont une rouge.

1. On effectue n tirages independants avec remise. Quelle est la probabilite d’obtenir au moins

une fois la boule rouge ?

2. Combien de tirages independants (n) doit-on effectuer pour que cette probabilite soit au moins

0.95 ?

3. Comparer avec l’approximation par une loi de Poisson judicieusement choisie.

Exercice 8

Dans un atelier, le nombre d’accidents au cours d’une annee est une v.a qui suit une loi de

Poisson de parametre 5. Calculer la probabilite des evenements suivants :

1. Il n’y a pas d’accidents au cours d’une annee

2. Il y a exactement 4 accidents au cours de l’annee

3. Il a plus de 6 accidents au cours de l’annee

Exercice 9

Dans une fabrication en serie, 8% des articles presentent des defauts. Quelle est la probabilites

pour que dans un controle portant sur 40 articles, il y ait 4 articles defectueux ? Quelle est la

probabilite pour qu’il y ait 4 articles defectueux au plus ? Quelle est la probabilites pour qu’il y ait

6 articles defectueux sur un lot de 100 ?

Exercice 10

Dans un texte de 1000 lignes on trouve en moyenne 25 erreurs typographiques. Quelle est la

probabilite de trouver moins de 4 fautes dans un texte de 100 lignes ?

Exercice 11

On considere 4 lettres et 4 enveloppes correspondantes. On met au hasard les 4 lettres dans les

enveloppes et on definit une variable aleatoire X comme etant le nombre de lettres qui atteindront

leur destinataire. Calculer E(X).

5

Exercice 12

On considere un ascenseur qui dessert k etages d’un immeuble, avec n personnes qui rentrent

dans cet ascenseur vide au rez de chaussee. On suppose que chacune de ces personnes, independamment

des autres, a une probabilites uniforme 1/k de sortir a l’un ou l’autre des etages et on suppose

egalement que personne ne rentre dans l’ascenseur a un etage au dessus du rez de chaussee.

1. Soit j un etage entre 1 et k. Quelle est la probabilite que l’ascenseur s’arrete a l’etage j ?

2. Quelle est l’ esperance du nombre d’arrets de l’ascenseur ?

Exercice 13

On suppose que sur 1000 personnes voyageant par chemin de fer a un instant donne, il y a en

moyenne 1 medecin. On suppose que le nombre aleatoire de medecins dans un train suit une loi

de Poisson. Quelle est la probabilite de ne trouver aucun medecin ? Un medecin ? Deux medecins ?

Cinq medecins ?

3 Approximation de lois

Exercice 1

On suppose que le pourcentage moyen de gauchers est de 1%. Soit X la variable aleatoire

prenant comme valeurs le nombre de gauchers dans un echantillon de 200 personnes choisies au

hasard. Montrer que la loi de X est pratiquement une loi de Poisson dont on precisera la moyenne

et la variance. Quelle est la probabilite pour qu’il y ait moins de 4 gauchers dans l’echantillon ?

Exercice 2

Si une personne sur 80 est centenaire, calculer la probabilite qu’il y ait au moins un centenaire

dans un groupe de 100 personnes prises au hasard ?

4 Quelques mots d’analyse : Integration

Exercice 1

Soit la fonction g definie par g(x) =

−x− 1 si x < −1

0 si − 1 ≤ x ≤ 0

x si 0 ≤ xCalculer

∫ −1−3 g(x) dx,

∫ 0

−1 g(x) dx,∫ 1

0g(x) dx et

∫ 5

−2 g(x) dx. Verifier vos resultats a l’aide de

calculs d’aires.

Exercice 2

Calculer les integrales suivantes :

I1 =

∫ 5

2

x+ 1 dx, I2 =

∫ 2

1

(3t+ 5− 1

t4) dt, I3 =

∫ 5

1

e−4t dt, I4 =

∫ 4

2

ey

ey + 5dy,

I5 =

∫ 1

−1|x| dx I6 =

∫ 2

0

|x2 − 1| dx, I7 =

∫ 4

1

1√ydy, I8 =

∫ 6

5

1

t ln(t)dt,

I9 =

∫ 1

0

t4e−t5

dt, I10 =

∫ 2

1

x√x dx.

6

Exercice 3

Soit I =∫ 1

01√x2+2

dx. Le but de l’exercice est de calculer I.

1. Soit f(x) =√x2 + 2. Calculez la derivee de f .

2. Calculer la derivee de g definie sur [0; 1] par g(x) = ln(x+√x2 + 2).

3. En deduire I.

Exercice 4

Partie A

Soit M un reel strictement positif, (amene a etre ”grand”).

1. Calculer les integrales suivantes :

I(M) =

∫ M

1

dx

x0,9, J(M) =

∫ M

1

dx

x, K(M) =

∫ M

1

dx

x1,1.

2. Etudier les limites de I, J et K quand M tend vers l’infini.

3. Pour tout α reel (α 6= 1), on pose Iα(M) =∫M1

dxxα , Calculer Iα(M) en fonction de α et de

M .

4. Pour quelles valeurs de α la limite de Iα(M) quand M tend vers l’infini est finie ?

Partie B

Soit ε un reel strictement positif, (amene a etre ”petit”).

1. Calculer les integrales suivantes :

U(ε) =

∫ 1

ε

dx

x0,9, V (ε) =

∫ 1

ε

dx

x, W (ε) =

∫ 1

ε

dx

x1,1.

2. Etudier les limites de U, V et W quand ε tend vers 0.

3. Pour tout α reel (α 6= 1), on pose Iα(ε) =∫ 1

εdxxα , Calculer Iα(ε) en fonction de α et de ε.

4. Pour quelles valeurs de α la limite de Iα(ε) quand ε tend vers zero est finie ?

5 Loi a densite

Exercice 1

On donne f(x) =

0 si x < 0

a si 0 ≤ x ≤ 1

0 si 1 < x

1. Calculer a pour que f soit une densite d’une variable aleatoire X a valeur dans R.

2. Determiner la fonction de repartition de X

3. Calculer E(X) et Var(X).

Exercice 2

Soit f la fonction definie par

f(x) =

0 si x < −1

1 + x si − 1 ≤ x ≤ 0

1− x si 0 ≤ x ≤ 1

0 si 1 < x

7

1. Montrer que f est une densite d’une variable X.

2. Determiner la fonction de repartition F.

3. Calculer E(X) et Var(X).

4. Pour k > 0, montrer que P(|X| > k) ≤ 16k2 .

Exercice 3 Inegalites de Bienayme Tchebychev

Soit X une v.a de densite f . Montrer que pour tout λ > 0,

P(|X − E(X)| ≥ λ) ≤ V ar(X)

λ2.

Remarque 1 Ce type d’inegalite n’est pas propre aux lois a densite. Exo : l’ecrire pour une loi

discrete.

Exercice 4

Soit X une v.a suivant une loi uniforme sur [0; 1]. On pose Y = −2 ln(1−X).

1. Rappeler la valeur de P(X ≤ a) suivant les valeurs de a.

2. Expliquer rapidement pourquoi Y est une v.a. Preciser les valeurs que peut prendre Y

3. Calculer alors P(Y ≤ t) en fonction de t.

4. Soit h une densite de Y . A l’aide de la question precedente, que doit verifier h ? Calculer h.

Exercice 5

Soient X et Y deux v.a independantes, qui suivent une loi uniforme sur [0; 1]. On pose

U = max(X,Y ) et Y = min(X,Y ).

1. U et V sont elles des v.a. Preciser les valeurs qu’elles peuvent prendre.

2. Calculer P(U ≤ t) et P(V ≤ t) en fonction de t.

3. Soit hU [resp. hV ] une densite de U [resp. de V ]. A l’aide de la question precedente, donner

une expression de hU et de hV .

4. Faire le meme travail avec W = min(X, 1−X).

6 La loi Normale

Exercice 1

Sachant que X suit une loi N (0; 1) calculer a l’aide de la table :

1. P(X < 0, 82) ; P(X < 0, 5) ; P(X > 1, 42) ; P(X < −1, 32) ; P(X > −2, 24) ; P(−1 < X < 1) ;

P(−1, 5 < X < 2, 35)

2. Dans chacun des cas, calculer a sachant que X suit une N (0; 1) P(X < a) = 0, 8238 ; P(X >

a) = 0, 0632 ; P(X < a) = 0, 0268.

Exercice 2

La variable aleatoire X suit une loi normale N (18; 2.5) . Calculer les probabilites suivantes :

P(X < 17) ; P(X > 20) ; P(16 < X < 19.5).

Exercice 3

X suit une loi N (68; 15). Determiner a tel que P(X < a) = 0, 8315.

8

Exercice 4

Soit X une variable aleatoire normale N (4; 3) . Calculer les probabilites P(3 < X < 6) et

P(X > 10).

Exercice 5

Soit X une variable aleatoire telle que N (−1.7; 0.65). Calculer la probabilite P(X < 0) ? Pour

quelle valeur de λ a t-on P(|X + 1.7| < λ) = 0.75 ?

Exercice 6

Determiner les parametres (esperance et ecart type) d’une loi normale dont une variable aleatoire

X qui suit cette loi, verifie P(X < 12) = 0, 9772 et P(X < 5) = 0, 0668.

Exercice 7 Dans une population masculine, la taille X suit une variable aleatoire normale

N (172 cm; 3 cm) . Dans une population feminine comparable, la taille Y suit egalement un loi

normale N (166 cm; 6 cm) .

1. Y a t il plus d’hommes ou de femmes qui mesurent plus de 184 cm ?

2. Quelle est la probabilite qu’une femme mesure plus de 184 cm, sachant qu’elle mesure plus

de 180 cm ?

Exercice 8

Pour un echantillon de 300 individus sains, on a etudie la glycemie. On a constate que 20% des

glycemie sont inferieures a 0,82 g/l et que 30% des glycemies sont superieures a 0,98 g/l. Dans ces

conditions et en supposant que la glycemie suit une loi normale, determiner la moyenne et l’ecart

type de cette loi.

Exercice 9

Une usine fabrique des billes de diametre theorique 8 mm. Les erreurs d’usinage provoquent une

variation du diametre qui est une variable aleatoire normale N (0 mm; 0.015 mm). Lors du controle

de fabrication on met au rebut les billes qui passent a travers une bague de diametre 7,98 mm ainsi

que celles qui ne passent pas a travers une bague de diametre 8,02 mm. Quelle est la proportion

des billes qui seront rejetees ?

Exercice 10 On tire 400 fois a pile ou face avec une piece de monnaie non biaisee. Soit X le

nombre de pile.

1. Indiquer la loi de X.

2. Calculer E(X) et Var(X).

3. On souhaite approximer la loi de X par une loi normale. Est ce legitime ? Quels parametres

doit on choisir pour determiner cette loi normale ?

4. Calculer P(X > 220) et P(180 < X < 220).

5. Determiner un intervalle [a; b] centree en E(X) tel que P(a < X < b) = 0.98. Calculer

P(X = 220) et P(X = 190)

Exercice 11

Soit X ∼ N (0; 1) et soit Y = −X. Determiner la loi de Y.

Exercice 12

Sachant que la repartition des quotients intellectuels (QI), rapport entre l’age mental et l’age

reel, d’une personne est une loi normale N (0, 90; 0, 40).

1. Calculer la probabilite a 0,0001 pres, qu’une personne prise au hasard

(a) ait un QI inferieur a 1

9

(b) ait un QI inferieur a 0,1

(c) ait un QI superieur a 1,4

(d) ait un QI compris entre 0,8 et 1,3

2. En deduire le nombre de personnes dans un village de 1000 habitants

(a) ayant un QI inferieur a 1

(b) ayant un QI inferieur a 0,1

(c) ayant un QI superieur a 1,4

(d) ayant un QI compris entre 0,8 et 1,3

Exercice 13

On estime que le temps necessaire a un etudiant pour terminer une epreuve d’examen est une

variable normale N (90; 45). 240 candidats se presentent a cet examen

1. Combien d’etudiants termineront l’epreuve en moins de deux heures ?

2. Quelle devrait etre la duree de l’epreuve si l’on souhaite que 200 etudiants puissent terminer

l’epreuve ?

Exercice 14

L’eclairage d’une commune est assure par 2000 lampes dont la duree de vie moyenne est 1000

heures. Les tests realises pour obtenir cette ”esperance de vie” ont montre que la duree de vie

des lampes suivait une loi normale d’ecart-type estime a 200 heures. Les services d’entretien de la

commune ont besoin pour leur gestion de connaıtre

1. Le nombre de lampes hors d’usage au bout de 700 heures.

2. Le nombre de lampes a remplacer entre la 900e et la 1300e heure.

3. Le nombre d’heures qui se seront ecoulees pour que 10 % des lampes soient hors d’usage ?

7 Theoreme central limite

Exercice 1

On lance un de n fois et on considere la variable aleatoire N=nombre de six. A partir de quelle

valeur de n aura-t-on 9 chances sur 10 d’avoir |Nn −16 | < 0, 01 ?

Exercice 2

Un restaurant peut servir 75 repas. La pratique montre que 20% des clients ayant reserve ne

viennent pas.

1. Le restaurateur accepte 90 reservations. Quelle est la probabilite qu’il se presente plus de 50

clients ?

2. Combien le restaurateur doit-il accepter de reservations pour avoir une probabilite superieure

ou egale a 0,9 de pouvoir servir tous les clients qui se presenteront ?

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Exercice 3

Une societe de transport souhaite lutter contre la fraude et effectue pour cela des controles

des titres de transport. Julie utilise ce transport tous les matins. Elle a une probabilite p = 0, 08

d’etre controler. Elle effectue 600 voyages par an. On appelle C la v.a egale au nombre de controle

effectues sur une annee.

1. Quelle est la loi de C ?

2. A l’aide d’une approximation de la loi de C, calculer la probabilite que Julie soit controlee

entre 40 et 50 fois dans l’annee.

3. Sachant que le prix d’un ticket est 1, 2 euros et que le prix de l’amende est 20 euros, quelle

est la probabilite que Julie soit ”perdante” en n’achetant jamais de tickets ?

Exercice 4

On suppose que la duree de vie d’une ampoule electrique est une v.a qui suit une loi exponentielle

de parametre λ = 0, 2 × 10−3h−1. Si l’on remplace une ampoule par une ampoule semblable des

qu’elle ”claque”, quelle est la probabilite qu’au bout de 50 000 heures, l’ampoule en fonctionnement

soit au moins la dixieme ?

Exercice 5

Un joueur lance une piece equilibree : lorsqu’il obtient pile, il gagne 100 Euros, lorsqu’il obtient

face, il perd 100 Euros. Estimer le nombre maximal de lancers a effectuer pour que ce joueur ait

plus de 95 chances sur 100 de perdre au plus 2000 Euros.

Exercice 6

On lance 3600 fois un de. Evaluer la probabilite que le nombre d’apparitions du 1 soit compris

entre 540 et 660.

Exercice 7 Gestion de stock

Un fabricant souhaite lancer une nouvelle console de jeu pour Noel. Les etudes marketing montrent

que parmi les 2000 joueurs de la region, 40% ont declare avoir l’intention d’acheter le jeu. On appelle

X, la v.a egale au nombre de personnes allant effectivement achetes le jeu.

1. Quelle est la loi de X ?

2. En approximant la loi de X par une loi normale dont on precisera les caracteristiques,

determiner le stock que doit avoir le magasin pour que la probabilite de rupture de stock

soit inferieure a 0, 1.

8 Estimation, intervalles de confiance

Exercice 1

Avant le second tour d’une election, opposant les candidats D et G, un institut de sondage

interroge au hasard 1000 personnes dans la rue. On note p la proportion d’electeurs decides a voter

pour G dans la population totale et on suppose l’echantillon de personnes interrogees representatif.

Dans l’echantillon sonde, cette proportion est egale a 0, 54.

1. Peut on proposer un intervalle de confiance pour p avec un risque d’erreur de 5%. (on pourra

utiliser l’inegalite de Bien ayme ou le TCL)

2. Combien de personnes faut-il interroger pour donner une fourchette a 1% avec un seuil de

95% ?

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Exercice 2

Une societe s’occupe de la saisie informatique de documents. Pour chaque document, une

premiere saisie est retournee pour verification au client correspondant.

Pour chaque document, le delai de retour de la premiere saisie vers le client est fixe a deux

semaines. On appelle p la probabilite qu’une saisie choisie au hasard soit effectivement retournee

au client dans le delai fixe. On note Xn, la v.a qui a tout echantillon de n saisies choisies au hasard,

associe le nombre de saisies pour lesquelles le delai n’est pas respecte.

1. Pour estimer p, on effectue une etude statistique. Sur 1250 saisies, 1122 ont ete realisees dans

le delai imparti. Proposez une estimation de p a l’aide d’un intervalle de confiance au niveau

95%.

On suppose dans la suite de l’exercie que p = 0, 9

2. Quelle est la loi de Xn ?

3. Quel est le nombre moyen de saisies pour lesquelles le delai n’est pas respecte ?

4. Dans cette question uniquement n = 20, calculer P(X20 = 2).

5. Soit Y la v.a qui, a une saisie choisie au hasard, associe le nombre d’erreurs detectees dans

cette saisie. On admet que Y ∼ N (30; 8). L’entreprise veut signer une charte qualite qui

stipule qu’elle garantie au client qu’au moins 99% des saisies comporte moins de m fautes.

Determiner le plus petit entier m qui rende l’engagement de l’entreprise realiste.

Exercice 3 Discrimination

L’ entreprise M.E.C emploie 1350 salaries, dont 560 sont des femmes. Dans une entreprise de

1350 salaries ne faisant pas de discrimination au sexe a l’embauche, donner un intervalle de la pro-

portion de femmes au seuil de 95%. Peut-on raisonnablement dire que l’entreprise M.E.C respecte

la parite ?

Exercice 4

Afin de mieux gerer les demandes de credits de clients, un directeur d’agence bancaire realise une

etude relative a la duree de traitement des dossiers, supposee suivre une loi normale. Les donnees

sont resumees ci-dessous :

Duree de traitement (min) 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60

Effectif 3 6 10 7 3 1

1. Calculer la moyenne et l’ecart-type des durees de traitement des dossiers de cet echantillon.

2. Construire des estimations par intervalles de confiances de la moyenne m et l’ecart-type σ des

durees de traitement des dossiers, au seuil de confiance 90%.

Exercice 5

La confiserie Yabon developpe de nouveaux bonbons a faible teneur en sucre afin de menager

les dents de ses clients. Le taux de sucre dans les nouveaux bonbons est suppose etre distribue selon

une loi normale de variance σ2. Pour pouvoir commercialiser ses nouveaux bonbons sous le label

”SYMPADENTS”, la confiserie Yabon doit s’assurer que la variabilite du taux de sucre dans ses

bonbons est comprise entre 8 et 12. Alors, son responsable controle qualite a preleve un echantillon

aleatoire de taille 20 dans un lot de bonbons, et a releve une variabilite s2 = 10 du taux de sucre

dans l’echantillon.

12

1. Donnez un intervalle de confiance au niveau α = 5% de la variabilite du taux de sucre a l’aide

de cette mesure.

2. Selon vous, le responsable controle qualite peut-il afficher au niveau α = 5% le label ”SYM-

PADENTS” ?

3. L’echantillon est maintenant de taille 401, et on trouve une variabilite de 10, 6. Donnez un

intervalle de confiance au meme niveau de seuil.

Exercice 6 Intervalle de confiance a l’aide d’une approximation Poissonnienne

Afin de mieux satisfaire leurs clients, une grande societe fournisseur d’acces internet fait des

statistiques sur le nombre d’appels recus en hotline, elle pourra ainsi evaluer le temps d’attente

pour le client et le nombre d’employes a mettre au standard. Les resultats de l’enquete portent sur

200 sequences consecutives de une minute, durant lesquelles le nombre d’appels moyen a ete de 3

appels par minute. Pour simplifier, on supposera qu’il y a au plus un appel par unite de temps qui

est la seconde.

1. Quelle est la loi de probabilite du nombre d’appels recus en 4 minutes ?

2. Montrer que l’on peut approcher cette loi par une loi de Poisson.

3. En deduire un intervalle de confiance pour le nombre moyen d’appels en 4 minutes (au seuil

5%).

4. Donnez un intervalle de confiance a l’aide du Theoreme central limite. Comparez.

9 Tests statistiques parametriques

Exercice 1 On suppose que moins de 20% de tous les travailleurs sont prets a moins travailler

et a etre moins payes pour avoir plus de loisirs personnels. Un sondage aux USA revele que sur

un echantillon de taille 596, 83 personnes etaient pretes a travailler moins pour un salaire moins

important afin d’avoir plus de loisirs personnels. Notons p la ”vraie” proportion de travailleurs prets

a moins travailler et a etre moins payes pour avoir plus de loisirs personnels.

1. Testez l’hypothese H0 :<< p = 20% >> contre H1 :<< p < 20% >> au niveau α = 0, 05.

2. Donnez un intervalle de confiance a 95% pour la vraie proportion p.

Exercice 2 Un comptable pense que les problemes de liquidite d’une entreprise sont une

consequence directe de l’encaissement lent des comptes fournisseurs. Le comptable pretend qu’au

moins 70% des comptes fournisseurs datent de plus de deux mois. Un echantillon de 120 comptes

fournisseurs a revele que 88 dataient de plus de deux mois.

1. Quelle est l’estimation ponctuelle de la proportion p de comptes fournisseurs datant de plus

de deux mois.

2. Testez l’affirmation du comptable au niveau α = 1%.

3. Donnez un intervalle de confiance a 99% pour la ”vraie” proportion p de comptes fournisseurs

datant de plus de deux mois.

Exercice 3 Dans une entreprise de conditionnement de colis, chaque employe est suppose,

s’occuper de 45 colis par jours. Le chef de service soupconne un employe Mr Slow, de travailler

13

lentement et il effectue quelques mesures a son insu. Il note, sur une periode de 15 jours, le nombre

de colis qu’il traite quotidiennement. Il obtient les resultats suivants :

44, 38, 45, 46, 34, 39, 43, 40, 44, 48, 46, 41, 43, 44, 39.

Peut on considerer que Mr Slow, est plus lent que ses collegues de travail (au risque 5%).

(On supposera que le nombre de colis traites par un employe suit une loi normale)

Exercice 4

Une machine fabrique des pieces dont la longueur suit une loi normale N (µ;σ),ou µ et σ sont

inconnus. Pour tester l’hypothese H0 := ”µ = 100 cm” contre H1 := ”µ 6= 100 cm” au risque 5%,

on preleve :

1. un echantillon de taille n = 10 et on obtient une moyenne m = 99 cm et un ecart-type

s = 2 cm. Doit on rejeter H0 ?

2. un echantillon de taille n = 50 et on obtient une moyenne m = 99 cm et un ecart-type

s = 2 cm. Doit on rejeter H0 ?

Exercice 5 Une nouvelle machine dans un procede de fabrication

Un expert pretend qu’en introduisant un nouveau type de machine dans un procede de fa-

brication, il peut considerablement diminuer le temps requis pour la production. Si le temps de

production n’est pas reduit d’au moins 8%, la direction de l’usine estime qu’en raison des frais

d’amortissement, elle ne pourra retenir ce procede. Lors de six experiences, le temps de production

a pu etre reduit de 8, 4% en moyenne, avec un ecart-type de 0, 32%. Tester au seuil 5%, l’hypothese

selon laquelle le procede doit etre retenu.

Exercice 6 Filles et garcons : egaux des la naissance ?

Un echantillon de 429 440 naissances est compose de 221 023 garcons et de 208 417 filles. Tester,

au seuil 5%, l’equirepartition des genres a la naissance.

10 Tests statistiques de comparaison

Exercice 1 Comparaison variances et moyennes de deux echantillons

Pour comparer l’influence du climat sur le nombre de retard dans une entreprise, on considere

des entreprises situees dans deux regions A et B (avec un climat different) et on note sur une annee

le nombre de retards de chaque entreprises dans chaque region. On obtient :

Region A (9 entreprises)

100 94 119 111 113 84 102 107 99

Region B (8 entreprises)

107 115 99 111 114 127 145 140

On admet que les v.a XA et XB , designant respectivement les nombres de retard sur une annee

dans la region A et B, suivent des lois normales.

1. Montrer qu’il n’y a pas lieu de penser que XA et XB aient des variances differentes (au seuil

5%). Par la suite, on notera σ2 cette valeur commune.

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2. Estimer σ2 par intervalles de confiance au seuil 95%

3. Montrer que la region A est plus propice a la ponctualite.

Exercice 2 Comparaison de moyennes sur echantillons apparies

Une societe de location de voitures met en place une experience afin de decider si deux types de

pneus sont differents ou non. Onze voitures sont conduites sur un parcours precis avec des pneus

de type A. Ceux si sont alors remplaces par des pneus de type B et les voitures sont de nouveau

conduites sur le meme parcours.

Les consommations de carburant en litres/100km des voitures, pour chacun des deux types de pneus

A et B, sont des v.a notees XA et XB , et sont supposees suivre des lois normales. L’experience

donne les resultats suivants :

XXXXXXXXXXXXConso

Voiture1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

XA 4,2 4,7 6,6 7 6,7 4,5 5,7 6 7,4 4,9 6,1

XB 4,1 4,9 6,2 6,9 6,8 4,4 5,7 5,8 6,9 4,9 6

Au niveau de signification 5%, quelle conclusion peut-on retenir ?

Exercice 3

Une firme etudie l’influence d’une interruption de travail permettant de prendre un cafe, sur la

productivite de ses ouvriers. Ayant choisi 5 ouvriers au hasard, on mesure leur productivite durant

deux jours, le premier sans interruption, le deuxieme avec interruption. Quel test faut-il utiliser

pour tester l’hypothese selon laquelle une interruption ameliore en moyenne la productivite, au

niveau de probabilite de 0.05, (en supposant la productivite est mesurable par un nombre qui suit

une loi normale).

11 Test du χ2

Sauf indication contraire, on effectura les tests au risque 5%.

Exercice 1

Un jeune homme desoeuvre se poste a la sortie d’une cinema et observe quels types de films ont

vus les garcons et les filles. Il obtient le tableau suivant :

XXXXXXXXXXXXSexe

Type de filmAventures Sentimental

Garcon 149 31

Fille 51 19

Peut on considerer que les garcons et les filles ont la meme attitude vis a vis des deux types de

films ?

Exercice 2

Un epidemiologiste veut montrer que le mois de naissance influe sur l’occurence d’une maladie

M. Pour le ”demontrer”, il considere un echantillon de patients atteints de la maladie M et note

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leur mois de naissance. Il obtient le tableau suivant,

Mois de naissance Effectif

Janvier 108

Fevrier 103

Mars 100

Avril 96

Mai 95

Juin 102

Juillet 98

Aout 103

Septembre 97

Octobre 91

Novembre 110

Decembre 85

En negligeant les differences de duree entre les mois, que vous inspirent ces donnees ?

Exercice 3

On cherche a comparer les distributions des groupes sanguins dans trois pays P1, P2 et P3. Dans

ce but, on tire au sort un echantillon de 100 individus dans chaque pays et on releve sur chaque

individu son groupe sanguin. On obtient :

XXXXXXXXXXXXPays

Groupe sanguinA B 0 AB

P1 50 8 40 2

P2 42 10 32 16

P3 34 12 33 21

A la vue des ces donnees, peut on considerer que la distribution des groupes sanguin est differente

suivant le pays ?

Exercice 4

On a observe pendant deux heures le nombre X de voitures arrivees par minute a un poste de

peage. Le tableau suivant contient les valeurs observees xi de cette variable et le nombre d’obser-

vations correspondantes Ni.

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ni 4 9 24 25 22 18 6 5 3 2 1 1

Tester l’adequation de la loi X a une loi de Poisson dont on estimera le parametre a partir des

donnees observees.

Exercice 5

Un organisme de defense des consommateurs a preleve au hasard 200 boites de conserve de

haricots verts pour tester la validite de l’etiquetage indiquant un poids net egoutte de 560 grammes.

La distribution du poids egoutte X en grammes observe, figure dans le tableau suivant :

X [530; 540[ [540; 545[ [545; 550[ [550; 555[ [555; 560[ [560; 565[ [565; 570[ [570; 580[

Ni 14 15 29 40 37 27 20 18

16

Tester l’hypothese X ∼ N (555; 10).

Exercice 6

Le tableau ci-dessous contient les nombres Ni d’apparition des entiers xi (de 0 a 9) dans les 10

000 premieres decimales du nombre π.

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ni 968 1025 1021 974 1014 1045 1021 970 948 1014

Tester l’hypothese d’une repartition uniforme de ces entiers.

17

12 Annexe

12.1 Tables Loi Normale N (0; 1)

Figure 1 – Table de la fonction de repartition

18

Figure 2 – Table de l’inverse de la fonction de reparition.

Lorsque P ≤ 0.5, il faut utiliser la colonne de gauche et la ligne superieure. (Les fractiles sont

negatifs).

Lorsque P ≥ 0.5, il faut utiliser la colonne de droite et la ligne inferieure. (Les fractiles sont positifs.)

19

12.2 Table loi du Chi 2

20

12.3 Tables Loi de Student

21

Figure 3 – Table de loi de Student.

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12.4 Tables Loi de Fisher-Snedecor

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