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Analyse 2 Anne de Roton bureau 209, Institut Élie Cartan [email protected] 03.72.74.53.94 Université de Lorraine L2 Maths 2019-2020 Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 1 / 32

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Analyse 2

Anne de Roton

bureau 209, Institut Élie [email protected]

03.72.74.53.94 Université de Lorraine

L2 Maths 2019-2020

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 1 / 32

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Programme

Séries de nombres réels ou complexes.Suites et séries de fonctions.Intégration.Intégrales impropres.Séries entières.

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Programme

Séries de nombres réels ou complexes.Suites et séries de fonctions.Intégration.Intégrales impropres.Séries entières.

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Programme

Séries de nombres réels ou complexes.Suites et séries de fonctions.Intégration.Intégrales impropres.Séries entières.

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Programme

Séries de nombres réels ou complexes.Suites et séries de fonctions.Intégration.Intégrales impropres.Séries entières.

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Programme

Séries de nombres réels ou complexes.Suites et séries de fonctions.Intégration.Intégrales impropres.Séries entières.

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Série numériques : programme

Séries à termes positifs, emploi des relations de comparaison.Règle de Cauchy et d’Alembert.Séries de Riemann.Critère des séries alternées.Séries absolument convergentes, semi-convergentes.La convergence implique que le terme général tend vers 0.Les séries de Bertrand, la transformation et le critère d’Abel pourront être vusen exercice.Complément CPU : familles sommables.

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Suite↔ série

0

1

1 2 3 4 5 6

Sn

u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =

∑nk=1 uk .

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Suite↔ série

0

1

1 2 3 4 5 6

Sn

u1

u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =

∑nk=1 uk .

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Suite↔ série

0

1

1 2 3 4 5 6

Sn

u2

u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =

∑nk=1 uk .

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Suite↔ série

0

1

1 2 3 4 5 6

Sn

u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =

∑nk=1 uk .

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Suite↔ série

0

1

1 2 3 4 5 6

Sn

u3

u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =

∑nk=1 uk .

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Suite↔ série

0

1

1 2 3 4 5 6

Sn

u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =

∑nk=1 uk .

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Suite↔ série

0

1

1 2 3 4 5 6

Sn

un

u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =

∑nk=1 uk .

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Définition série

Soit (un)n≥n0 une suite de réels ou de complexes. On pose Sn =∑n

k=n0uk .

un est le terme général d’ordre n de la série∑

n≥n0un et Sn est la somme

partielle d’ordre n de la série.La série

∑n≥n0

un converge si la suite des sommes partielles (Sn)n≥n0

converge. Dans ce cas

S = limn→0

Sn =+∞∑k=0

uk

est la somme de la série.Sinon, la série diverge.

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Définition série

Soit (un)n≥n0 une suite de réels ou de complexes. On pose Sn =∑n

k=n0uk .

un est le terme général d’ordre n de la série∑

n≥n0un et Sn est la somme

partielle d’ordre n de la série.La série

∑n≥n0

un converge si la suite des sommes partielles (Sn)n≥n0

converge. Dans ce cas

S = limn→0

Sn =+∞∑k=0

uk

est la somme de la série.Sinon, la série diverge.

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Définition série

Soit (un)n≥n0 une suite de réels ou de complexes. On pose Sn =∑n

k=n0uk .

un est le terme général d’ordre n de la série∑

n≥n0un et Sn est la somme

partielle d’ordre n de la série.La série

∑n≥n0

un converge si la suite des sommes partielles (Sn)n≥n0

converge. Dans ce cas

S = limn→0

Sn =+∞∑k=0

uk

est la somme de la série.Sinon, la série diverge.

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ThmSi la série

∑k≥0 uk converge, alors la suite (uk )k≥0 tend vers 0.

Réciproque fausse !

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Linéarité

PropositionSoient

∑k≥0 ak et

∑k≥0 bk deux séries convergentes de sommes respectives

A et B, et soient λ, µ ∈ R ou C. Alors la série∑

k≥0(λak + µbk ) estconvergente et de somme λA + µB. On a donc

+∞∑k=0

(λak + µbk ) = λ

+∞∑k=0

ak + µ

+∞∑k=0

bk .

PropositionSoit (uk )k≥0 une suite de nombres complexes. Pour tout k, notonsuk = ak + ibk , avec ak la partie réelle et bk la partie imaginaire de uk . La série∑

uk converge si et seulement si les deux séries∑

k≥0 ak et∑

k≥0 bkconvergent. Si c’est le cas, on a :

+∞∑k=0

uk =+∞∑k=0

ak + i+∞∑k=0

bk .

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Linéarité

PropositionSoient

∑k≥0 ak et

∑k≥0 bk deux séries convergentes de sommes respectives

A et B, et soient λ, µ ∈ R ou C. Alors la série∑

k≥0(λak + µbk ) estconvergente et de somme λA + µB. On a donc

+∞∑k=0

(λak + µbk ) = λ

+∞∑k=0

ak + µ

+∞∑k=0

bk .

PropositionSoit (uk )k≥0 une suite de nombres complexes. Pour tout k, notonsuk = ak + ibk , avec ak la partie réelle et bk la partie imaginaire de uk . La série∑

uk converge si et seulement si les deux séries∑

k≥0 ak et∑

k≥0 bkconvergent. Si c’est le cas, on a :

+∞∑k=0

uk =+∞∑k=0

ak + i+∞∑k=0

bk .

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Critère de Cauchy

Thm (Critère de Cauchy)La série de terme général uk converge si et seulement si

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m,n ≥ n0∣∣un + · · ·+ um

∣∣ < ε .

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Convergence absolue

On dit qu’une série∑

k≥0 uk de nombres réels (ou complexes) estabsolument convergente si la série

∑k≥0 |uk | est convergente.

ThmToute série absolument convergente est convergente. La réciproque estfausse.

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Séries à termes positifs : convergence par lessommes partielles

PropositionUne série à termes positifs est une série convergente si et seulement si lasuite des sommes partielles est majorée. Dans ce cas, la limite est la bornesupérieure des sommes partielles. Dans le cas contraire, la limite est +∞.

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Théorèmes de comparaison

Thm (Théorème de comparaison)Soient

∑k≥0 uk et

∑k≥0 vk deux séries à termes positifs ou nuls. On suppose

qu’il existe k0 ≥ 0 tel que, pour tout k ≥ k0, uk ≤ vk .Si∑

k≥0 vk converge alors∑

k≥0 uk converge.Si∑

k≥0 uk diverge alors∑

k≥0 vk diverge.

Séries de référenceSérie géométrique

∑n≥0 qn (converge si |q| < 1).

Série harmonique∑

n≥11n diverge.

Série téléscopique∑

n≥11

n(n+1) converge (⇒∑

n1n2 converge⇒

∑n

sin nn2

converge).

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Si la série de terme général un converge, on définit le reste Rn = S − Snd’ordre n de la série. Ainsi

Rn = un+1 + un+2 + · · · =+∞∑

k=n+1

uk .

ThmSi une série est convergente, alors limn→+∞ Rn = 0.

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Théorème des équivalents

Thm (Théorème des équivalents)

Soient (uk )k≥0 et (vk )k≥0 deux suites à termes positifs.Si uk ∼ vk alors les séries

∑k≥0 uk et

∑k≥0 vk sont de même nature. En

cas de convergence, on a équivalence des restes d’ordre n, en cas dedivergence, on a équivalence des sommes partielles d’ordre n.Si uk = O(vk ) ou uk = o(vk ) alors

∑k≥0 vk converge⇒

∑k≥0 uk

converge. Dans ce cas, les relations de domination passent aux restes.

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Théorème des équivalents

Thm (Théorème des équivalents)

Soient (uk )k≥0 et (vk )k≥0 deux suites à termes positifs.Si uk ∼ vk alors les séries

∑k≥0 uk et

∑k≥0 vk sont de même nature. En

cas de convergence, on a équivalence des restes d’ordre n, en cas dedivergence, on a équivalence des sommes partielles d’ordre n.Si uk = O(vk ) ou uk = o(vk ) alors

∑k≥0 vk converge⇒

∑k≥0 uk

converge. Dans ce cas, les relations de domination passent aux restes.

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Séries de Riemann

Proposition (Séries de Riemann)Soit α ∈ R. Alors la série

∑k≥1

1kα converge si et seulement si α > 1. De plus

• pour α > 1, on a Rn =∑+∞

k=n+11

kα ∼ 1(α−1)nα−1 ;

• pour α < 1, on a Sn =∑n

k=11

kα ∼ n1−α

1−α ;

• pour α = 1, on a Sn =∑n

k=11k ∼ ln n.

PropositionSoit (un)n une suite à termes positifs (ou nuls).• S’il existe α > 1 tel que la suite (nαun)n soit majorée, alors la série de

terme général un converge ;• Si la suite (nun)n est minorée par un réel strictement positif, alors la série

de terme général un diverge ;

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Séries de Riemann

Proposition (Séries de Riemann)Soit α ∈ R. Alors la série

∑k≥1

1kα converge si et seulement si α > 1. De plus

• pour α > 1, on a Rn =∑+∞

k=n+11

kα ∼ 1(α−1)nα−1 ;

• pour α < 1, on a Sn =∑n

k=11

kα ∼ n1−α

1−α ;

• pour α = 1, on a Sn =∑n

k=11k ∼ ln n.

PropositionSoit (un)n une suite à termes positifs (ou nuls).• S’il existe α > 1 tel que la suite (nαun)n soit majorée, alors la série de

terme général un converge ;• Si la suite (nun)n est minorée par un réel strictement positif, alors la série

de terme général un diverge ;

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Test de d’Alembert

Thm (Test de d’Alembert)Soit

∑k≥0 uk une série à termes positifs, telle que uk 6= 0 pour k ≥ k0 et la

suite(

uk+1uk

)k≥k0

converge vers `.

1 Si ` < 1 alors∑

k≥0 uk converge.2 Si ` > 1 alors

∑k≥0 uk diverge.

3 Si ` = 1 on ne peut pas conclure en général.

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Test de Cauchy

Thm (Test de Cauchy)

Soit∑

k≥0 uk une série à termes positifs.1 S’il existe 0 < q < 1 et k0 ∈ N tels que, pour tout k ≥ k0,

k√

uk ≤ q < 1, alors∑k≥0

uk converge.

2 S’il pour une infinité de k k√

uk ≥ 1, alors∑

k≥0 uk diverge.

PropositionSoit

∑k≥0 uk une série à termes positifs, telle que k

√uk converge vers `.

1 Si ` < 1 alors∑

k≥0 uk converge.2 Si ` > 1 alors

∑k≥0 uk diverge.

3 Si ` = 1 on ne peut pas conclure en général.

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Test de Cauchy

Thm (Test de Cauchy)

Soit∑

k≥0 uk une série à termes positifs.1 S’il existe 0 < q < 1 et k0 ∈ N tels que, pour tout k ≥ k0,

k√

uk ≤ q < 1, alors∑k≥0

uk converge.

2 S’il pour une infinité de k k√

uk ≥ 1, alors∑

k≥0 uk diverge.

PropositionSoit

∑k≥0 uk une série à termes positifs, telle que k

√uk converge vers `.

1 Si ` < 1 alors∑

k≥0 uk converge.2 Si ` > 1 alors

∑k≥0 uk diverge.

3 Si ` = 1 on ne peut pas conclure en général.

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Comparaison avec une intégrale

Proposition (Comparaison avec une intégrale)Soit f : R+ → R une fonction positive décroissante, alors la série de termegénéral uk = f (k) converge ssi la suite

(∫ n0 f (t)dt

)n∈N

converge. En cas de

divergence, on a∑n

k=0 f (k) ∼∫ n

0 f (t)dt.

ExempleSéries de Riemann.Soit α > 0. Alors la série

∑k≥1

1kα converge si et seulement si α > 1.

Séries de Bertrand.La série de Bertrand

∑k≥2

1kα(ln k)β converge ssi α > 1 ou (α = 1 et

β > 1).

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Comparaison avec une intégrale

Proposition (Comparaison avec une intégrale)Soit f : R+ → R une fonction positive décroissante, alors la série de termegénéral uk = f (k) converge ssi la suite

(∫ n0 f (t)dt

)n∈N

converge. En cas de

divergence, on a∑n

k=0 f (k) ∼∫ n

0 f (t)dt.

ExempleSéries de Riemann.Soit α > 0. Alors la série

∑k≥1

1kα converge si et seulement si α > 1.

Séries de Bertrand.La série de Bertrand

∑k≥2

1kα(ln k)β converge ssi α > 1 ou (α = 1 et

β > 1).

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Séries alternées

Thm (Critère de Leibniz)

Si1 ak ≥ 0 pour tout k ≥ 0,2 la suite (ak )k est une suite décroissante,3 et limk→+∞ ak = 0.

Alors la série alternée+∞∑k=0

(−1)k ak converge et

|Rn−1| =

∣∣∣∣∣∣∑k≥n

(−1)k ak

∣∣∣∣∣∣ ≤ an.

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Démonstration

0

1

S

1 2 3 4 5 6

S0

S1

S2

S3

S4S5

S6

Sn

un = (−1)n

n+1 et Sn =∑n

k=0 uk .

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Démonstration

0

1

S

1 2 3 4 5 6

S0

S1

S2

S3

S4S5

S6

Sn

R0

un = (−1)n

n+1 et Sn =∑n

k=0 uk .

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Démonstration

0

1

S

1 2 3 4 5 6

S0

S1

S2

S3

S4S5

S6

Sn

R0R1

un = (−1)n

n+1 et Sn =∑n

k=0 uk .

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Démonstration

0

1

S

1 2 3 4 5 6

S0

S1

S2

S3

S4S5

S6

Sn

R0R1

R2

un = (−1)n

n+1 et Sn =∑n

k=0 uk .

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 19 / 32

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Démonstration

0

1

S

1 2 3 4 5 6

S0

S1

S2

S3

S4S5

S6

Sn

R0R1

R2R3

un = (−1)n

n+1 et Sn =∑n

k=0 uk .

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 19 / 32

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Démonstration

0

1

S

1 2 3 4 5 6

S0

S1

S2

S3

S4S5

S6

Sn

R0R1

R2R3

R4

un = (−1)n

n+1 et Sn =∑n

k=0 uk .

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 19 / 32

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Démonstration

0

1

S

1 2 3 4 5 6

S0

S1

S2

S3

S4S5

S6

Sn

R0R1

R2R3

R4

un = (−1)n

n+1 et Sn =∑n

k=0 uk .

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 19 / 32

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Sommation d’Abel

ThmSi

1 la suite (ak )k≥0 est une suite décroissante de réels positifs qui tend vers0 ;

2 les sommes partielles de la suite (bk )k≥0 sont bornées ; alors la série∑k≥0 ak bk converge.

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 20 / 32

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Convergence commutative

ThmSoit

∑+∞k=0 uk une série absolument convergente et soit S sa somme. Soit

σ : N→ N une bijection de l’ensemble des indices. Alors la série+∞∑k=0

uσ(k)

converge et+∞∑k=0

uσ(k) = S.

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 21 / 32

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Produit de Cauchy

On appelle produit de Cauchy de∑

i≥0 ai et∑

j≥0 bj la série∑

k≥0 ck où

ck =k∑

i=0

aibk−i

ThmSi∑

i≥0 ai et∑

j≥0 bj sont absolument convergentes, alors la série produit

∑k≥0

ck =∑k≥0

(k∑

i=0

aibk−i

)

est absolument convergente et on a :

+∞∑k=0

ck =

(+∞∑i=0

ai

+∞∑j=0

bj

.

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 22 / 32

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Produit de Cauchy

On appelle produit de Cauchy de∑

i≥0 ai et∑

j≥0 bj la série∑

k≥0 ck où

ck =k∑

i=0

aibk−i

ThmSi∑

i≥0 ai et∑

j≥0 bj sont absolument convergentes, alors la série produit

∑k≥0

ck =∑k≥0

(k∑

i=0

aibk−i

)

est absolument convergente et on a :

+∞∑k=0

ck =

(+∞∑i=0

ai

+∞∑j=0

bj

.

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 22 / 32

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Suites de fonctions : convergence simpleOn dit que (fn)n∈N converge simplement vers f sur D si pour tout x ∈ D, lasuite (fn(x))n admet f (x) pour limite dans K, i.e. ssi

∀x ∈ D, ∀ε > 0, ∃N(= N(x)) ∈ N,∀n ≥ N, |fn(x)− f (x)| ≤ ε.

Exemple de fn(x) = xn.

f1

0

1

1

f2f3f4

f13 f25

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 23 / 32

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Suites de fonctions : convergence simpleOn dit que (fn)n∈N converge simplement vers f sur D si pour tout x ∈ D, lasuite (fn(x))n admet f (x) pour limite dans K, i.e. ssi

∀x ∈ D, ∀ε > 0, ∃N(= N(x)) ∈ N,∀n ≥ N, |fn(x)− f (x)| ≤ ε.

Exemple de fn(x) = xn.

f1

0

1

1

f2f3f4

f13 f25

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 23 / 32

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Suites de fonctions : convergence uniforme

On dit que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur D si la suite(supx∈D |fn(x)− f (x)|)n converge vers 0, i.e. ssi

∀ε > 0, ∃N ∈ N,∀n ≥ N, ∀x ∈ D, |fn(x)− f (x)| ≤ ε.

Exemple de fn(x) = (1− x)xn.

0 1

f1

f2f3

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 24 / 32

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Suites de fonctions : convergence uniforme

On dit que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur D si la suite(supx∈D |fn(x)− f (x)|)n converge vers 0, i.e. ssi

∀ε > 0, ∃N ∈ N,∀n ≥ N, ∀x ∈ D, |fn(x)− f (x)| ≤ ε.

Exemple de fn(x) = (1− x)xn.

0 1

f1

f2f3

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 24 / 32

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Suites de fonctions : convergence uniforme

La convergence uniforme entraîne la convergence simple. La réciproque estfausse.

Thm (Critère de Cauchy uniforme)Soient fn des applications de D dans K. La suite de fonctions (fn)n∈N convergeuniformément sur D ssi

∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n,m ≥ N, supx∈D|fn(x)− fm(x)| ≤ ε.

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 25 / 32

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Suites de fonctions : convergence uniforme

La convergence uniforme entraîne la convergence simple. La réciproque estfausse.

Thm (Critère de Cauchy uniforme)Soient fn des applications de D dans K. La suite de fonctions (fn)n∈N convergeuniformément sur D ssi

∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n,m ≥ N, supx∈D|fn(x)− fm(x)| ≤ ε.

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 25 / 32

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Convergence uniforme et échange de limites

Thm (Convergence uniforme et continuité)Soient (fn)n une suite de fonctions de D dans K et f : D → K telles que (fn)nconverge uniformément vers f sur D. Soit a ∈ D. Si pour tout n ∈ N, fn estcontinue en a alors f est continue en a, autrement dit une limite uniforme defonctions continues est continue.

Thm (Interversion de limites)Soit (fn)n∈N une suite de fonctions de D dans K. Soit a un point de R (ou C)adhérent à D tel que pour tout n ∈ N, fn admette une limite finie bn en a. Soitf : I → K telle que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur D. Alors la suitenumérique (bn)n∈N admet une limite finie en +∞, f admet une limite en a et

limn→∞

bn = limx→a,x∈D

f (x)

i.e.lim

n→∞lim

x→a,x∈Dfn(x) = lim

x→a,x∈Dlim

n→∞fn(x).

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 26 / 32

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Convergence uniforme et échange de limites

Thm (Convergence uniforme et continuité)Soient (fn)n une suite de fonctions de D dans K et f : D → K telles que (fn)nconverge uniformément vers f sur D. Soit a ∈ D. Si pour tout n ∈ N, fn estcontinue en a alors f est continue en a, autrement dit une limite uniforme defonctions continues est continue.

Thm (Interversion de limites)Soit (fn)n∈N une suite de fonctions de D dans K. Soit a un point de R (ou C)adhérent à D tel que pour tout n ∈ N, fn admette une limite finie bn en a. Soitf : I → K telle que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur D. Alors la suitenumérique (bn)n∈N admet une limite finie en +∞, f admet une limite en a et

limn→∞

bn = limx→a,x∈D

f (x)

i.e.lim

n→∞lim

x→a,x∈Dfn(x) = lim

x→a,x∈Dlim

n→∞fn(x).

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Intégration, dérivation

Thm (Limite et intégrale)Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues du segment [a,b] dans K. Soitf : [a,b] ⊂ R→ K telle que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur [a,b].Alors

limn→∞

∫ b

afn(x)dx =

∫ b

af (x)dx .

Thm (Convergence uniforme et dérivabilité)Soit (fn)n une suite de fonctions d’un intervalle I de R dans K dérivables sur I.On suppose que (f ′n)n converge uniformément vers une fonction g sur toutsegment inclus dans I et qu’il existe un point x0 de I tel que (fn(x0))n∈Nconverge. Alors (fn)n∈N converge uniformément vers une fonction f : I → Ksur tout segment de I. De plus f est dérivable sur I et f ′ = g.

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 27 / 32

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Intégration, dérivation

Thm (Limite et intégrale)Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues du segment [a,b] dans K. Soitf : [a,b] ⊂ R→ K telle que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur [a,b].Alors

limn→∞

∫ b

afn(x)dx =

∫ b

af (x)dx .

Thm (Convergence uniforme et dérivabilité)Soit (fn)n une suite de fonctions d’un intervalle I de R dans K dérivables sur I.On suppose que (f ′n)n converge uniformément vers une fonction g sur toutsegment inclus dans I et qu’il existe un point x0 de I tel que (fn(x0))n∈Nconverge. Alors (fn)n∈N converge uniformément vers une fonction f : I → Ksur tout segment de I. De plus f est dérivable sur I et f ′ = g.

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 27 / 32

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Séries de fonctions

La série de fonctions∑

n∈N fn converge simplement (resp. uniformément) surD si la suite de fonctions (Sn)n∈N des sommes partielles converge simplement(resp. uniformément) sur D.En cas de convergence, on écrit S(x) = limN→∞ SN(x) =

∑∞n=0 fn(x).∑

n∈N fn converge absolument sur D si∑|fn| converge simplement sur D.∑

n∈N fn converge normalement sur D si∑

n supx∈D |fn(x)| converge.

PropositionLa convergence normale sur D implique la convergence uniforme sur D et laconvergence absolue en tout point de D. La convergence simple est impliquéepar la convergence uniforme aussi bien que par la convergence absolue.

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 28 / 32

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Séries de fonctions

La série de fonctions∑

n∈N fn converge simplement (resp. uniformément) surD si la suite de fonctions (Sn)n∈N des sommes partielles converge simplement(resp. uniformément) sur D.En cas de convergence, on écrit S(x) = limN→∞ SN(x) =

∑∞n=0 fn(x).∑

n∈N fn converge absolument sur D si∑|fn| converge simplement sur D.∑

n∈N fn converge normalement sur D si∑

n supx∈D |fn(x)| converge.

PropositionLa convergence normale sur D implique la convergence uniforme sur D et laconvergence absolue en tout point de D. La convergence simple est impliquéepar la convergence uniforme aussi bien que par la convergence absolue.

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 28 / 32

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Séries de fonctions : convergence uniforme

PropositionSi∑

n∈N fn converge simplement (resp. uniformément) sur D, alors (fn)nconverge simplement (resp. uniformément) vers 0 sur D.

PropositionSi∑

n≥0 fn converge simplement sur D alors on définitRn = S − Sn =

∑∞k=n+1 fk .

∑n≥0 fn converge uniformément sur D ssi (Rn)n

converge uniformément vers 0 sur D.

Thm (Critère de Cauchy uniforme)∑fn converge uniformément sur D ssi pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que

pour tous m > n ≥ N, on ait

supx∈D

∣∣∣∣∣m∑

k=n+1

fk (x)

∣∣∣∣∣ ≤ ε.Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 29 / 32

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Abel uniforme

Thm (Critère d’Abel uniforme)Soit

∑n fn une série de fonctions avec fn : I ⊂ R→ K telle que pour tout

n ∈ N, pour x ∈ I, fn(x) = αn(x)un(x) avec :1 pour tout x ∈ I, la suite (αk (x))k≥0 est une suite décroissante de réels

positifs,2 la suite de fonctions (αn)n∈N converge uniformément vers la fonction nulle

sur I,3 il existe M ∈ R tel que pour tout n ∈ N

supx∈I

∣∣ n∑k=0

uk (x)∣∣ ≤ M.

Alors la série de fonction∑

n≥0 fn converge uniformément sur I.

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 30 / 32

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Régularité de la somme

Thm (Convergence uniforme et continuité)Si∑

n∈N fn converge uniformément sur D et pour tout n, fn continue en a, alorsS est continue en a.

Thm (Interversion de limites)Si∑

n∈N fn converge uniformément sur D et limx→a,x∈D fn(x) existe pour toutn, alors

∞∑n=0

limx→a,x∈D

fn(x) = limx→a,x∈D

∞∑n=0

fn(x).

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 31 / 32

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Régularité de la somme

Thm (Limite et intégrale)Si∑

n∈N fn converge uniformément sur [a,b], et fn continues, alors

∑n≥0

∫ b

afn(x)dx =

∫ b

aS(x)dx .

Thm (Convergence uniforme et dérivabilité)Si (fn)n dérivable sur I pour tout n, si

∑n≥0 f ′n converge uniformément sur I et

s’il existe un point x0 de I tel que∑

n≥0 fn(x0) converge. Alors∑

n≥0 fnconverge uniformément sur I, la somme est dérivable sur I de dérivée∑∞

n=0 f ′n.

Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 32 / 32