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Analyse 2
Anne de Roton
bureau 209, Institut Élie [email protected]
03.72.74.53.94 Université de Lorraine
L2 Maths 2019-2020
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 1 / 32
Programme
Séries de nombres réels ou complexes.Suites et séries de fonctions.Intégration.Intégrales impropres.Séries entières.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 2 / 32
Programme
Séries de nombres réels ou complexes.Suites et séries de fonctions.Intégration.Intégrales impropres.Séries entières.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 2 / 32
Programme
Séries de nombres réels ou complexes.Suites et séries de fonctions.Intégration.Intégrales impropres.Séries entières.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 2 / 32
Programme
Séries de nombres réels ou complexes.Suites et séries de fonctions.Intégration.Intégrales impropres.Séries entières.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 2 / 32
Programme
Séries de nombres réels ou complexes.Suites et séries de fonctions.Intégration.Intégrales impropres.Séries entières.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 2 / 32
Série numériques : programme
Séries à termes positifs, emploi des relations de comparaison.Règle de Cauchy et d’Alembert.Séries de Riemann.Critère des séries alternées.Séries absolument convergentes, semi-convergentes.La convergence implique que le terme général tend vers 0.Les séries de Bertrand, la transformation et le critère d’Abel pourront être vusen exercice.Complément CPU : familles sommables.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 3 / 32
Suite↔ série
0
1
1 2 3 4 5 6
Sn
u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =
∑nk=1 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 4 / 32
Suite↔ série
0
1
1 2 3 4 5 6
Sn
u1
u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =
∑nk=1 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 4 / 32
Suite↔ série
0
1
1 2 3 4 5 6
Sn
u2
u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =
∑nk=1 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 4 / 32
Suite↔ série
0
1
1 2 3 4 5 6
Sn
u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =
∑nk=1 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 4 / 32
Suite↔ série
0
1
1 2 3 4 5 6
Sn
u3
u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =
∑nk=1 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 4 / 32
Suite↔ série
0
1
1 2 3 4 5 6
Sn
u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =
∑nk=1 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 4 / 32
Suite↔ série
0
1
1 2 3 4 5 6
Sn
un
u1 = S1 et un = Sn − Sn−1 pour n ≥ 2 ;Sn =
∑nk=1 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 4 / 32
Définition série
Soit (un)n≥n0 une suite de réels ou de complexes. On pose Sn =∑n
k=n0uk .
un est le terme général d’ordre n de la série∑
n≥n0un et Sn est la somme
partielle d’ordre n de la série.La série
∑n≥n0
un converge si la suite des sommes partielles (Sn)n≥n0
converge. Dans ce cas
S = limn→0
Sn =+∞∑k=0
uk
est la somme de la série.Sinon, la série diverge.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 5 / 32
Définition série
Soit (un)n≥n0 une suite de réels ou de complexes. On pose Sn =∑n
k=n0uk .
un est le terme général d’ordre n de la série∑
n≥n0un et Sn est la somme
partielle d’ordre n de la série.La série
∑n≥n0
un converge si la suite des sommes partielles (Sn)n≥n0
converge. Dans ce cas
S = limn→0
Sn =+∞∑k=0
uk
est la somme de la série.Sinon, la série diverge.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 5 / 32
Définition série
Soit (un)n≥n0 une suite de réels ou de complexes. On pose Sn =∑n
k=n0uk .
un est le terme général d’ordre n de la série∑
n≥n0un et Sn est la somme
partielle d’ordre n de la série.La série
∑n≥n0
un converge si la suite des sommes partielles (Sn)n≥n0
converge. Dans ce cas
S = limn→0
Sn =+∞∑k=0
uk
est la somme de la série.Sinon, la série diverge.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 5 / 32
ThmSi la série
∑k≥0 uk converge, alors la suite (uk )k≥0 tend vers 0.
Réciproque fausse !
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 6 / 32
Linéarité
PropositionSoient
∑k≥0 ak et
∑k≥0 bk deux séries convergentes de sommes respectives
A et B, et soient λ, µ ∈ R ou C. Alors la série∑
k≥0(λak + µbk ) estconvergente et de somme λA + µB. On a donc
+∞∑k=0
(λak + µbk ) = λ
+∞∑k=0
ak + µ
+∞∑k=0
bk .
PropositionSoit (uk )k≥0 une suite de nombres complexes. Pour tout k, notonsuk = ak + ibk , avec ak la partie réelle et bk la partie imaginaire de uk . La série∑
uk converge si et seulement si les deux séries∑
k≥0 ak et∑
k≥0 bkconvergent. Si c’est le cas, on a :
+∞∑k=0
uk =+∞∑k=0
ak + i+∞∑k=0
bk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 7 / 32
Linéarité
PropositionSoient
∑k≥0 ak et
∑k≥0 bk deux séries convergentes de sommes respectives
A et B, et soient λ, µ ∈ R ou C. Alors la série∑
k≥0(λak + µbk ) estconvergente et de somme λA + µB. On a donc
+∞∑k=0
(λak + µbk ) = λ
+∞∑k=0
ak + µ
+∞∑k=0
bk .
PropositionSoit (uk )k≥0 une suite de nombres complexes. Pour tout k, notonsuk = ak + ibk , avec ak la partie réelle et bk la partie imaginaire de uk . La série∑
uk converge si et seulement si les deux séries∑
k≥0 ak et∑
k≥0 bkconvergent. Si c’est le cas, on a :
+∞∑k=0
uk =+∞∑k=0
ak + i+∞∑k=0
bk .
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Critère de Cauchy
Thm (Critère de Cauchy)La série de terme général uk converge si et seulement si
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀m,n ≥ n0∣∣un + · · ·+ um
∣∣ < ε .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 8 / 32
Convergence absolue
On dit qu’une série∑
k≥0 uk de nombres réels (ou complexes) estabsolument convergente si la série
∑k≥0 |uk | est convergente.
ThmToute série absolument convergente est convergente. La réciproque estfausse.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 9 / 32
Séries à termes positifs : convergence par lessommes partielles
PropositionUne série à termes positifs est une série convergente si et seulement si lasuite des sommes partielles est majorée. Dans ce cas, la limite est la bornesupérieure des sommes partielles. Dans le cas contraire, la limite est +∞.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 10 / 32
Théorèmes de comparaison
Thm (Théorème de comparaison)Soient
∑k≥0 uk et
∑k≥0 vk deux séries à termes positifs ou nuls. On suppose
qu’il existe k0 ≥ 0 tel que, pour tout k ≥ k0, uk ≤ vk .Si∑
k≥0 vk converge alors∑
k≥0 uk converge.Si∑
k≥0 uk diverge alors∑
k≥0 vk diverge.
Séries de référenceSérie géométrique
∑n≥0 qn (converge si |q| < 1).
Série harmonique∑
n≥11n diverge.
Série téléscopique∑
n≥11
n(n+1) converge (⇒∑
n1n2 converge⇒
∑n
sin nn2
converge).
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 11 / 32
Si la série de terme général un converge, on définit le reste Rn = S − Snd’ordre n de la série. Ainsi
Rn = un+1 + un+2 + · · · =+∞∑
k=n+1
uk .
ThmSi une série est convergente, alors limn→+∞ Rn = 0.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 12 / 32
Théorème des équivalents
Thm (Théorème des équivalents)
Soient (uk )k≥0 et (vk )k≥0 deux suites à termes positifs.Si uk ∼ vk alors les séries
∑k≥0 uk et
∑k≥0 vk sont de même nature. En
cas de convergence, on a équivalence des restes d’ordre n, en cas dedivergence, on a équivalence des sommes partielles d’ordre n.Si uk = O(vk ) ou uk = o(vk ) alors
∑k≥0 vk converge⇒
∑k≥0 uk
converge. Dans ce cas, les relations de domination passent aux restes.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 13 / 32
Théorème des équivalents
Thm (Théorème des équivalents)
Soient (uk )k≥0 et (vk )k≥0 deux suites à termes positifs.Si uk ∼ vk alors les séries
∑k≥0 uk et
∑k≥0 vk sont de même nature. En
cas de convergence, on a équivalence des restes d’ordre n, en cas dedivergence, on a équivalence des sommes partielles d’ordre n.Si uk = O(vk ) ou uk = o(vk ) alors
∑k≥0 vk converge⇒
∑k≥0 uk
converge. Dans ce cas, les relations de domination passent aux restes.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 13 / 32
Séries de Riemann
Proposition (Séries de Riemann)Soit α ∈ R. Alors la série
∑k≥1
1kα converge si et seulement si α > 1. De plus
• pour α > 1, on a Rn =∑+∞
k=n+11
kα ∼ 1(α−1)nα−1 ;
• pour α < 1, on a Sn =∑n
k=11
kα ∼ n1−α
1−α ;
• pour α = 1, on a Sn =∑n
k=11k ∼ ln n.
PropositionSoit (un)n une suite à termes positifs (ou nuls).• S’il existe α > 1 tel que la suite (nαun)n soit majorée, alors la série de
terme général un converge ;• Si la suite (nun)n est minorée par un réel strictement positif, alors la série
de terme général un diverge ;
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 14 / 32
Séries de Riemann
Proposition (Séries de Riemann)Soit α ∈ R. Alors la série
∑k≥1
1kα converge si et seulement si α > 1. De plus
• pour α > 1, on a Rn =∑+∞
k=n+11
kα ∼ 1(α−1)nα−1 ;
• pour α < 1, on a Sn =∑n
k=11
kα ∼ n1−α
1−α ;
• pour α = 1, on a Sn =∑n
k=11k ∼ ln n.
PropositionSoit (un)n une suite à termes positifs (ou nuls).• S’il existe α > 1 tel que la suite (nαun)n soit majorée, alors la série de
terme général un converge ;• Si la suite (nun)n est minorée par un réel strictement positif, alors la série
de terme général un diverge ;
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Test de d’Alembert
Thm (Test de d’Alembert)Soit
∑k≥0 uk une série à termes positifs, telle que uk 6= 0 pour k ≥ k0 et la
suite(
uk+1uk
)k≥k0
converge vers `.
1 Si ` < 1 alors∑
k≥0 uk converge.2 Si ` > 1 alors
∑k≥0 uk diverge.
3 Si ` = 1 on ne peut pas conclure en général.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 15 / 32
Test de Cauchy
Thm (Test de Cauchy)
Soit∑
k≥0 uk une série à termes positifs.1 S’il existe 0 < q < 1 et k0 ∈ N tels que, pour tout k ≥ k0,
k√
uk ≤ q < 1, alors∑k≥0
uk converge.
2 S’il pour une infinité de k k√
uk ≥ 1, alors∑
k≥0 uk diverge.
PropositionSoit
∑k≥0 uk une série à termes positifs, telle que k
√uk converge vers `.
1 Si ` < 1 alors∑
k≥0 uk converge.2 Si ` > 1 alors
∑k≥0 uk diverge.
3 Si ` = 1 on ne peut pas conclure en général.
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Test de Cauchy
Thm (Test de Cauchy)
Soit∑
k≥0 uk une série à termes positifs.1 S’il existe 0 < q < 1 et k0 ∈ N tels que, pour tout k ≥ k0,
k√
uk ≤ q < 1, alors∑k≥0
uk converge.
2 S’il pour une infinité de k k√
uk ≥ 1, alors∑
k≥0 uk diverge.
PropositionSoit
∑k≥0 uk une série à termes positifs, telle que k
√uk converge vers `.
1 Si ` < 1 alors∑
k≥0 uk converge.2 Si ` > 1 alors
∑k≥0 uk diverge.
3 Si ` = 1 on ne peut pas conclure en général.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 16 / 32
Comparaison avec une intégrale
Proposition (Comparaison avec une intégrale)Soit f : R+ → R une fonction positive décroissante, alors la série de termegénéral uk = f (k) converge ssi la suite
(∫ n0 f (t)dt
)n∈N
converge. En cas de
divergence, on a∑n
k=0 f (k) ∼∫ n
0 f (t)dt.
ExempleSéries de Riemann.Soit α > 0. Alors la série
∑k≥1
1kα converge si et seulement si α > 1.
Séries de Bertrand.La série de Bertrand
∑k≥2
1kα(ln k)β converge ssi α > 1 ou (α = 1 et
β > 1).
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 17 / 32
Comparaison avec une intégrale
Proposition (Comparaison avec une intégrale)Soit f : R+ → R une fonction positive décroissante, alors la série de termegénéral uk = f (k) converge ssi la suite
(∫ n0 f (t)dt
)n∈N
converge. En cas de
divergence, on a∑n
k=0 f (k) ∼∫ n
0 f (t)dt.
ExempleSéries de Riemann.Soit α > 0. Alors la série
∑k≥1
1kα converge si et seulement si α > 1.
Séries de Bertrand.La série de Bertrand
∑k≥2
1kα(ln k)β converge ssi α > 1 ou (α = 1 et
β > 1).
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 17 / 32
Séries alternées
Thm (Critère de Leibniz)
Si1 ak ≥ 0 pour tout k ≥ 0,2 la suite (ak )k est une suite décroissante,3 et limk→+∞ ak = 0.
Alors la série alternée+∞∑k=0
(−1)k ak converge et
|Rn−1| =
∣∣∣∣∣∣∑k≥n
(−1)k ak
∣∣∣∣∣∣ ≤ an.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 18 / 32
Démonstration
0
1
S
1 2 3 4 5 6
S0
S1
S2
S3
S4S5
S6
Sn
un = (−1)n
n+1 et Sn =∑n
k=0 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 19 / 32
Démonstration
0
1
S
1 2 3 4 5 6
S0
S1
S2
S3
S4S5
S6
Sn
R0
un = (−1)n
n+1 et Sn =∑n
k=0 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 19 / 32
Démonstration
0
1
S
1 2 3 4 5 6
S0
S1
S2
S3
S4S5
S6
Sn
R0R1
un = (−1)n
n+1 et Sn =∑n
k=0 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 19 / 32
Démonstration
0
1
S
1 2 3 4 5 6
S0
S1
S2
S3
S4S5
S6
Sn
R0R1
R2
un = (−1)n
n+1 et Sn =∑n
k=0 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 19 / 32
Démonstration
0
1
S
1 2 3 4 5 6
S0
S1
S2
S3
S4S5
S6
Sn
R0R1
R2R3
un = (−1)n
n+1 et Sn =∑n
k=0 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 19 / 32
Démonstration
0
1
S
1 2 3 4 5 6
S0
S1
S2
S3
S4S5
S6
Sn
R0R1
R2R3
R4
un = (−1)n
n+1 et Sn =∑n
k=0 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 19 / 32
Démonstration
0
1
S
1 2 3 4 5 6
S0
S1
S2
S3
S4S5
S6
Sn
R0R1
R2R3
R4
un = (−1)n
n+1 et Sn =∑n
k=0 uk .
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 19 / 32
Sommation d’Abel
ThmSi
1 la suite (ak )k≥0 est une suite décroissante de réels positifs qui tend vers0 ;
2 les sommes partielles de la suite (bk )k≥0 sont bornées ; alors la série∑k≥0 ak bk converge.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 20 / 32
Convergence commutative
ThmSoit
∑+∞k=0 uk une série absolument convergente et soit S sa somme. Soit
σ : N→ N une bijection de l’ensemble des indices. Alors la série+∞∑k=0
uσ(k)
converge et+∞∑k=0
uσ(k) = S.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 21 / 32
Produit de Cauchy
On appelle produit de Cauchy de∑
i≥0 ai et∑
j≥0 bj la série∑
k≥0 ck où
ck =k∑
i=0
aibk−i
ThmSi∑
i≥0 ai et∑
j≥0 bj sont absolument convergentes, alors la série produit
∑k≥0
ck =∑k≥0
(k∑
i=0
aibk−i
)
est absolument convergente et on a :
+∞∑k=0
ck =
(+∞∑i=0
ai
)×
+∞∑j=0
bj
.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 22 / 32
Produit de Cauchy
On appelle produit de Cauchy de∑
i≥0 ai et∑
j≥0 bj la série∑
k≥0 ck où
ck =k∑
i=0
aibk−i
ThmSi∑
i≥0 ai et∑
j≥0 bj sont absolument convergentes, alors la série produit
∑k≥0
ck =∑k≥0
(k∑
i=0
aibk−i
)
est absolument convergente et on a :
+∞∑k=0
ck =
(+∞∑i=0
ai
)×
+∞∑j=0
bj
.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 22 / 32
Suites de fonctions : convergence simpleOn dit que (fn)n∈N converge simplement vers f sur D si pour tout x ∈ D, lasuite (fn(x))n admet f (x) pour limite dans K, i.e. ssi
∀x ∈ D, ∀ε > 0, ∃N(= N(x)) ∈ N,∀n ≥ N, |fn(x)− f (x)| ≤ ε.
Exemple de fn(x) = xn.
f1
0
1
1
f2f3f4
f13 f25
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 23 / 32
Suites de fonctions : convergence simpleOn dit que (fn)n∈N converge simplement vers f sur D si pour tout x ∈ D, lasuite (fn(x))n admet f (x) pour limite dans K, i.e. ssi
∀x ∈ D, ∀ε > 0, ∃N(= N(x)) ∈ N,∀n ≥ N, |fn(x)− f (x)| ≤ ε.
Exemple de fn(x) = xn.
f1
0
1
1
f2f3f4
f13 f25
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 23 / 32
Suites de fonctions : convergence uniforme
On dit que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur D si la suite(supx∈D |fn(x)− f (x)|)n converge vers 0, i.e. ssi
∀ε > 0, ∃N ∈ N,∀n ≥ N, ∀x ∈ D, |fn(x)− f (x)| ≤ ε.
Exemple de fn(x) = (1− x)xn.
0 1
f1
f2f3
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 24 / 32
Suites de fonctions : convergence uniforme
On dit que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur D si la suite(supx∈D |fn(x)− f (x)|)n converge vers 0, i.e. ssi
∀ε > 0, ∃N ∈ N,∀n ≥ N, ∀x ∈ D, |fn(x)− f (x)| ≤ ε.
Exemple de fn(x) = (1− x)xn.
0 1
f1
f2f3
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 24 / 32
Suites de fonctions : convergence uniforme
La convergence uniforme entraîne la convergence simple. La réciproque estfausse.
Thm (Critère de Cauchy uniforme)Soient fn des applications de D dans K. La suite de fonctions (fn)n∈N convergeuniformément sur D ssi
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n,m ≥ N, supx∈D|fn(x)− fm(x)| ≤ ε.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 25 / 32
Suites de fonctions : convergence uniforme
La convergence uniforme entraîne la convergence simple. La réciproque estfausse.
Thm (Critère de Cauchy uniforme)Soient fn des applications de D dans K. La suite de fonctions (fn)n∈N convergeuniformément sur D ssi
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n,m ≥ N, supx∈D|fn(x)− fm(x)| ≤ ε.
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 25 / 32
Convergence uniforme et échange de limites
Thm (Convergence uniforme et continuité)Soient (fn)n une suite de fonctions de D dans K et f : D → K telles que (fn)nconverge uniformément vers f sur D. Soit a ∈ D. Si pour tout n ∈ N, fn estcontinue en a alors f est continue en a, autrement dit une limite uniforme defonctions continues est continue.
Thm (Interversion de limites)Soit (fn)n∈N une suite de fonctions de D dans K. Soit a un point de R (ou C)adhérent à D tel que pour tout n ∈ N, fn admette une limite finie bn en a. Soitf : I → K telle que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur D. Alors la suitenumérique (bn)n∈N admet une limite finie en +∞, f admet une limite en a et
limn→∞
bn = limx→a,x∈D
f (x)
i.e.lim
n→∞lim
x→a,x∈Dfn(x) = lim
x→a,x∈Dlim
n→∞fn(x).
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 26 / 32
Convergence uniforme et échange de limites
Thm (Convergence uniforme et continuité)Soient (fn)n une suite de fonctions de D dans K et f : D → K telles que (fn)nconverge uniformément vers f sur D. Soit a ∈ D. Si pour tout n ∈ N, fn estcontinue en a alors f est continue en a, autrement dit une limite uniforme defonctions continues est continue.
Thm (Interversion de limites)Soit (fn)n∈N une suite de fonctions de D dans K. Soit a un point de R (ou C)adhérent à D tel que pour tout n ∈ N, fn admette une limite finie bn en a. Soitf : I → K telle que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur D. Alors la suitenumérique (bn)n∈N admet une limite finie en +∞, f admet une limite en a et
limn→∞
bn = limx→a,x∈D
f (x)
i.e.lim
n→∞lim
x→a,x∈Dfn(x) = lim
x→a,x∈Dlim
n→∞fn(x).
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 26 / 32
Intégration, dérivation
Thm (Limite et intégrale)Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues du segment [a,b] dans K. Soitf : [a,b] ⊂ R→ K telle que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur [a,b].Alors
limn→∞
∫ b
afn(x)dx =
∫ b
af (x)dx .
Thm (Convergence uniforme et dérivabilité)Soit (fn)n une suite de fonctions d’un intervalle I de R dans K dérivables sur I.On suppose que (f ′n)n converge uniformément vers une fonction g sur toutsegment inclus dans I et qu’il existe un point x0 de I tel que (fn(x0))n∈Nconverge. Alors (fn)n∈N converge uniformément vers une fonction f : I → Ksur tout segment de I. De plus f est dérivable sur I et f ′ = g.
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Intégration, dérivation
Thm (Limite et intégrale)Soit (fn)n∈N une suite de fonctions continues du segment [a,b] dans K. Soitf : [a,b] ⊂ R→ K telle que (fn)n∈N converge uniformément vers f sur [a,b].Alors
limn→∞
∫ b
afn(x)dx =
∫ b
af (x)dx .
Thm (Convergence uniforme et dérivabilité)Soit (fn)n une suite de fonctions d’un intervalle I de R dans K dérivables sur I.On suppose que (f ′n)n converge uniformément vers une fonction g sur toutsegment inclus dans I et qu’il existe un point x0 de I tel que (fn(x0))n∈Nconverge. Alors (fn)n∈N converge uniformément vers une fonction f : I → Ksur tout segment de I. De plus f est dérivable sur I et f ′ = g.
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Séries de fonctions
La série de fonctions∑
n∈N fn converge simplement (resp. uniformément) surD si la suite de fonctions (Sn)n∈N des sommes partielles converge simplement(resp. uniformément) sur D.En cas de convergence, on écrit S(x) = limN→∞ SN(x) =
∑∞n=0 fn(x).∑
n∈N fn converge absolument sur D si∑|fn| converge simplement sur D.∑
n∈N fn converge normalement sur D si∑
n supx∈D |fn(x)| converge.
PropositionLa convergence normale sur D implique la convergence uniforme sur D et laconvergence absolue en tout point de D. La convergence simple est impliquéepar la convergence uniforme aussi bien que par la convergence absolue.
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Séries de fonctions
La série de fonctions∑
n∈N fn converge simplement (resp. uniformément) surD si la suite de fonctions (Sn)n∈N des sommes partielles converge simplement(resp. uniformément) sur D.En cas de convergence, on écrit S(x) = limN→∞ SN(x) =
∑∞n=0 fn(x).∑
n∈N fn converge absolument sur D si∑|fn| converge simplement sur D.∑
n∈N fn converge normalement sur D si∑
n supx∈D |fn(x)| converge.
PropositionLa convergence normale sur D implique la convergence uniforme sur D et laconvergence absolue en tout point de D. La convergence simple est impliquéepar la convergence uniforme aussi bien que par la convergence absolue.
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Séries de fonctions : convergence uniforme
PropositionSi∑
n∈N fn converge simplement (resp. uniformément) sur D, alors (fn)nconverge simplement (resp. uniformément) vers 0 sur D.
PropositionSi∑
n≥0 fn converge simplement sur D alors on définitRn = S − Sn =
∑∞k=n+1 fk .
∑n≥0 fn converge uniformément sur D ssi (Rn)n
converge uniformément vers 0 sur D.
Thm (Critère de Cauchy uniforme)∑fn converge uniformément sur D ssi pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que
pour tous m > n ≥ N, on ait
supx∈D
∣∣∣∣∣m∑
k=n+1
fk (x)
∣∣∣∣∣ ≤ ε.Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 29 / 32
Abel uniforme
Thm (Critère d’Abel uniforme)Soit
∑n fn une série de fonctions avec fn : I ⊂ R→ K telle que pour tout
n ∈ N, pour x ∈ I, fn(x) = αn(x)un(x) avec :1 pour tout x ∈ I, la suite (αk (x))k≥0 est une suite décroissante de réels
positifs,2 la suite de fonctions (αn)n∈N converge uniformément vers la fonction nulle
sur I,3 il existe M ∈ R tel que pour tout n ∈ N
supx∈I
∣∣ n∑k=0
uk (x)∣∣ ≤ M.
Alors la série de fonction∑
n≥0 fn converge uniformément sur I.
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Régularité de la somme
Thm (Convergence uniforme et continuité)Si∑
n∈N fn converge uniformément sur D et pour tout n, fn continue en a, alorsS est continue en a.
Thm (Interversion de limites)Si∑
n∈N fn converge uniformément sur D et limx→a,x∈D fn(x) existe pour toutn, alors
∞∑n=0
limx→a,x∈D
fn(x) = limx→a,x∈D
∞∑n=0
fn(x).
Anne de Roton (IECL) Analyse 2 L2 Maths 2019-2020 31 / 32
Régularité de la somme
Thm (Limite et intégrale)Si∑
n∈N fn converge uniformément sur [a,b], et fn continues, alors
∑n≥0
∫ b
afn(x)dx =
∫ b
aS(x)dx .
Thm (Convergence uniforme et dérivabilité)Si (fn)n dérivable sur I pour tout n, si
∑n≥0 f ′n converge uniformément sur I et
s’il existe un point x0 de I tel que∑
n≥0 fn(x0) converge. Alors∑
n≥0 fnconverge uniformément sur I, la somme est dérivable sur I de dérivée∑∞
n=0 f ′n.
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