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ANNALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE PUBLIÉES SOUS LES AUSPICES DU MINISTRE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE, PAR UN COMITÉ DE RÉDACTION COMPOSE DES MAITRES DE CONFÉRENCES DE L'ÉCOLE. Publication fondée en 1864 par M, PASTEUR, et continuée de 1872 à 1884 par H, SÀINTË-CLAIRE DEVILLE TROISIÈME SÉRIE. TOME . — ANNÉE 189. EXTRAIT DU N° PARIS, G'AUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES DE L'ÉCOLE P O L Y T E C H N I Q U E , DU BUREAU D E S L O N G 1 T U D E S, Quai des Grands-Augustins, 55. 189

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ANNALES SCIENTIFIQUES

DE

L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE PUBLIÉES SOUS LES AUSPICES

DU MINISTRE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE,

PAR

UN COMITÉ DE RÉDACTION COMPOSE DES MAITRES DE CONFÉRENCES DE L'ÉCOLE.

Publication fondée en 1864 par M, PASTEUR, et continuée de 1872 à 1884 par H, SÀINTË-CLAIRE DEVILLE

TROISIÈME SÉRIE.

TOME . — ANNÉE 1 8 9 . EXTRAIT DU N°

PARIS, G'AUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES

D E L ' É C O L E P O L Y T E C H N I Q U E , D U B U R E A U D E S L O N G 1 T U D E S ,

Quai des Grands-Augustins, 55.

189

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LiBBAiRiE G'AUTHIER-VILLARS flT FILS, QUAI bEs/tinAXDs-ÀuGùstiss, 55, A PARIS. Envoi franco dans toute l'Union postale contre-mandai-poste pu valeur sur Paris.

BULLETIN DES SCIENCES MATHÉMATIQUES RÉDIGÉ PAR iMM. G. DARBOtfX ET J. TANKERY,

avec ta collaborat ion de p lus ieurs savants ,

( Journal mensuel.)

Cette publication est exclusivement consacrée aux Mathématiques . «. Faire ««.connaître aux savants l 'état d e l à branche des sciences qu ' i l scu l t ivent , ce qu'il » reste à faire, et îe point d 'où ils doivent par t i r s'ils veulent lui faire (aire des » progrès », tel était le but que s'était proposé M. de Férussac on fondant son IluUt'titt, qui a rendu pendan t plusieurs années de si grands services aux géo­mètres. Le nouveau Bulletin se ra t tache di rec tement , par le but et le plan, à cette utile publication. 11 a été accueilli avec la*même faveur que son devancier.

Le Bulletin des Sciences mathématiques, fondé en 1870, a formé par an . jusqu 'en (872,1m v o l u m e g r a n d in-8 ( tomes T, 11,111).—:A p a r t i r de cet te époque , jusqu'en

décembre 1876, ce J o u r n a l s'est composé de 2 volumes par an (1 volume par s e ­mestre, avec T a b l e s ) . Les 'Tomes 1 à XI , 1870 â 1876, cons t i t uen t l a l r c S é r i e .

La l r e S é r i e , Tomes l à XI , 1870 a 1876,suivie de la Tab le géné ra l e des à nze volumes, se vend ; . . . . S© fr.

Chaque année de la lre Série (1870 à 1876) se vend séparément T5 fr. Table générale des Madères et Noms d'Auteurs con tenus dans la ï!e Série.

Grand i n - 8 ; 1877 " I ' r - ^° Q: La 2° Sé r i e , qui a commencé en janvier T877, con t inue à para î t re par li­

vraisons mensue l l e s , et c o m p r e n d , chaque a n n é e , deux Part ies ayan t ' une pagination spéciale et pouvan t se re l ie r s épa rémen t . La ! r e PAUIIE c o n t i e n t : i° Comptes rendus de Livres 'et Analyses de Mt'inoit es ; :i° Mélanges scie?i-lifiqiies, T raduction de Mémoires importants et peu 7 épandus, et lie impression d'Ouvrages rares. La II e PARTIE c o n t i e n t : Revue des Publication s académiques et périodiques.

Les 10 premières années de la 11° Série (1877 à 1886) se vendent . . . 1 2 0 f r . Chacune des in p remières années de la IIe Série (1877 a 1886) se \end séparé ­

ment , . . . 15 fr.*

L ' a b o n n e m e n t est a n n u e l et p a r t de j a n v i e r .

Prix pour un an (12 N U M É R O ) : P a r i s . . ... . . 1 8 fr . Dépar tements et Union pos ta l e . . . 20 ïv.

V titre s pays . . . . . -\t\ fr.

BERTRAND (J.), de l'Académie française, Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences. — Thermodynamique. Un beau volume grand in-8, avec nombreux tableaux et figures ; 1887.. . , 10 fr.

Le compte rendu détaillé de cet Ouvrage, que M. Maurice Lévy, membre de l 'Institut, a inséré dans le jou rna l fe. Génie civilt est envoyé sur demande-;

' 'nous en reproduirons if i ia conclusion". « ii ne noiu appart ient pas, dit !M. M Levy, de faire i é'oge de ce Livre, mais j ' a u r a i s bien mal a i l r in i mon but si !

je u a;à-is donné, àw moins, un aperçu de l 'ampleur , de la clarté ei de Porîgi-nalité a\fec lesquelles y sont exposés les principes de la science, du nombre et de la 'var ié té des problèmes un i e s qui y sont t ra i tés , soit à t i t re d'exereb es pour éi'ucider les p»in; ipes, soii à t i t re d 'appl ica t ion p ra t ique .»

BERTRAND (J.). de l'Académie française, Secrétaire perpétuel de l'Aca­démie des Sciences. — Calcul des Probabilités. Gr. in-8; 1889 vi fr. Dans ce Li \ re , ou a cherché à faire reposer les résultats les plus utiles et les j

plus célèbres du Calcul des probabili tés sur les démonstrat ions les plus simples, i l)ien -peu de pages pourront embarrasser un lecteur familier avec les éléments de l à Science mathématique. Si le signe / s ' introduit quelquefois, il suffit presque toujours d'en connaître la signification. — L'Auteur s'est efforcé, à l'occasion j de chaque question, de marquer avec précision le degré de cer t i tude des résultats j et les limites nécessaires de la Science. La p lupar t des réflexions suggérées par ' l 'étude approfondie des.quest ions souvent controversées avaient été proposées dans un Travail antér ieur , dégagé de toute intervention des sjgnes algébriques; ce Travail est reprodui t en tète de l 'Ouvrage et sert d ' intt oduction à l'exposé complet des théories.

! BERTRAND (J.) , de l'Académie française. Secrétaire perpétuel de l'Aca­démie dos Sciences. - Leçons sur la Théorie mathématique de l'Élec­tricité, professées au Collège de France. Grand in-8; 1890. . . . 10 fr.' Ce Livre est le résumé de Leçons faites au Collège de France sur la Théorie

mathématique de l'Electricité. L'Auteur, en exposant les principales théories aux­quelles les méthodes rigoureuses et précises des Mathématiques sont applicables, s'est eftdrcé d'écarter tous les développements analytiques qui ne sont pas ind is ­pensables. Le raisonnement, presque toujours, peut remplacer le calcul et conduit au même but par nue voie plus droite . On peut signaler pai l ienlièrement : la. Théorie de l'Electricité statique et la démonstration géométrique des beaux théo­rèmes de Earaday; ia démonstration des lois élémentaires d'attraction électro­magnétique et éleclrodynamiquc et la discussion des considérations un peu t rop vagues auxquelles on a donne le nom de Théorie mathématique de l'induction: la Théorie des unités électriques. L'Auteur espère que les conventions, exposées avec de grands détails, ne laisseront aucun doute sur le sens de certaines conclu­sions paradoxales qui t rop souvent ont été proposées comme des vérités. — TITIÏÎ s DES CHAPI'IJIES. î. Attraction des sphères. IL La fonction potentielle. III. Surfaces sans action sur les points intérieurs. IV. Les lignes de force. V. Electricité statique VI. Les aimants. Vil. Les courants. VIIL Actions électromagnétiques. IX.xActions

I électrodynamijfues. X. Applications.'XL Théorie de l'induction. XII. 3Jachines 1 électromagnétiques. XHÏ. Les unités électriques

BOUSSINGAULT, Membre de l'Institut. —Agronomie, Chimie agricole et Physiologie. 8 volumes in-8,avec planches sur cuivre et figures dans le texte; r 8<S6-i886-1 8(54-Ï 8G8- i 874-1878-1881-r8<>T "... .4-3 ïv.

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' Les jeunes gens qui se livrent a u t éludes d'enseignement supeiieur en suivant [les cours des Facultés ou ceux des grandes écoles du Gouvernement n 'ont plus rien à apprendre dans les traites écrits pour l 'enseignement secondaire. D'autre4

part, il n'est pas d;»nne a tous de pouvoir consulter a\ec fruit tous les onvrages •considérables où l'expose de la science a reçu les plus complets développe­ments. Entre ces deux ordres de publications : les unes trop élémentaires . les autres trop élevées, ils cherchent en vain un Ih re qui réponde à leur programme et soit au niveau de leurs études. C'est ce l i \ re que nous présentons au publie

DARBOUX (Gaston), Membre de l'Institut, Professeur à la Faculté dos Sciences. — Leçons sur ia Théorie générale des surface^ et les appli­cations géométriques du Calcul infinitésimal. 3 volumes grand in-8, avec figures dans ie texte, se vendant séparément.

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IIIe P w r n u : Lignes g'éodésiques et courbure géodes i que. Paramètres différentiels. Déformation des surfaces; 1890. Pr ix pou r les s o u s c r i p ­t e u r s ' • * ̂ f'r.

La deux pre/nie/ s fascicules oui paru

Cette 111° PARTIE aura plus .de, développement que les deux premières, et le prix en sera augmenté a l 'apparition.

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516.35

F11s

SUR LES

COURBES ALGÉBRIQUES A TORSION CONSTANTE,

PAR M. E. FABRY,

PROFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE MONTPELLIER.

Dans une Note publiée dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences (séance du 25 janvier 1892), j'ai signalé une courbe algé­brique réelle à torsion constante. Je me propose de généraliser la mé­thode qui m'a conduit à ce résultat, et de rechercher parmi les courbes en nombre illimité auxquelles elle peut conduire quelles sont les plus simples.

Une courbe à torsion constante, rapportée à trois axes rectangu­laires, est représentée par les équations

où h, k, l sont trois fonctions arbitraires d'une même variable. Nous prendrons ici pour h, k, l trois fonctions linéaires des sinus et

cosinus des multiples d'un même angle G, et nous déterminerons les coefficients de façon : i° que h- -f- kr -f-1- soit constant; 20 que dans

les trois expressions, telles que l-^ — k-r^ exprimées en fonctions linéaires des sinus et cosinus des multiples de G, les termes constants disparaissent. Les expressions (r) de ce, y, z auront alors les mêmes formes que h, k, /, et la courbe sera algébrique si les multiples de G qui y entrent ont des rapports commensurables.

Ann. de l'Êc, Normale. 3° S é r i e ; Tome IX. — JUIN 1892. 2 3

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I 7 8 E. FABRY.

Nous remarquerons d'abord, pour simplifier la question, que A, k, /sont proportionnels aux cosinus des angles de la binormale avec les axes; et si, considérant A, k, /comme les coordonnées d'un point, on leur fait subir une substitution correspondant à une transformation d'axes rectangulaires fixes, l'origine restant la même, A2 H- k2 + l2 ne change pas, et les dérivées de A, k, l et, par suite, ce, y, z subissent la même substitution; on obtient donc la même courbe rapportée à de nouveaux axes. On peut, du reste, facilement vérifier ce résultat en effectuant la substitution dans les formules (1).

En particulier, nous pourrons remplacer A et h par Asina -h ^cosa et Acosa — £sina. On peut encore multiplier A, k, l par une même constante, ou changer le signe de l'une des fonctions A sans changer la courbe ( i ) . Enfin, remarquons que si l'une des fonctions A se réduit à une constante, k2 -h l1 étant constant, un simple changement de va­riable montrera que la courbe obtenue est une hélice (ce n'est plus une courbe algébrique).

Posons

( 2 )

où l'on peut supposer

et

Les coefficients d, e ne peuvent pas s'annuler en même temps, car autrement c'est X qui remplacerait [i. avec la condition b = c —o. Il en sera de même pour d\ ë et d", ë'.

Nous allons exprimer que les coefficients vérifient les deux condi­tions déjà énoncées, et nous chercherons les systèmes de valeurs réelles.

On peut toujours, en remplaçant G par G -+- a, déterminer a de façon à faire disparaître le terme esinjjiQ sans changer la forme des autres. Soit donc e = o, rf^o.

Si [i. > [//, dans l'expression £A\ l'angle 2[xG étant le plus grand, le

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ci2

terme — cos2|xô ne pourrait se réduire avec aucun autre, et 2/z2 ne pourrait être constant que si d = o. Il faut donc que JJI = (x\

Si p. = (JL'= [JL", il faudrait X = X'=X", car autrement si X, par exemple, diffère de X' et de X", on peut toujours supposer e = o, et le

terme constant dans k,6 — h -^ est — IL de : il faut donc e' — o; on ad ad ^ '

aura de même e"= o, mais alors dans 2 A2 le terme en cos2p.ô ne pouvant se réduire avec aucun autre donnerait

d*+d'*-+-dffi=o,

ce qui est impossible. Mais, si JJL = u' = [/." et X = X' = X'7, on peut combiner les fonctions

k, l par une rotation d'axes, de façon à annuler le coefficient de sin fxG ; on a alors e = e = o, et en combinant h et k on peut avoir d = e = o, ce qui est contraire à nos hypothèses. On a donc nécessairement pi = (//> p./7 et X — X', car autrement on aurait encore e = o, [/.<&'= o, d'où e' = o et <i2 -h rf'2 = o.

Nous pouvons, en outre, supposer e"= o en remplaçant 6 par ô-f-a; on fera ensuite disparaître le coefficient e par une rotation d'axes entre h et k, ce qui ne change pas la forme des autres termes puisque X = X'. Les termes en 2(xQ dans SA2 donnent alors

e'd'= o, d*-hd'*— e'-— o;

d'où d'=o, d*=ze'\

et Ton peut supposer d = ë=i sans changer la généralité des solu­tions. Les équations (2) se ramènent alors à la forme suivante :

i hz=z a 4- b cosX ô 4- c sin 1 0 4- cosjm#,

(3) \ k = a' 4- b' cosX 6 4- c' sinX 6 4- sin JUL0,

( / z= « " + M c o s V ' 0 + c"sinV0 4 - ^ 0 0 8 ^ 0 .

L'angle le plus grand qui reste dans SA2 est alors ( ^ H - X ) O OU

2f//'ô; si les termes en 2[/."9 ne se réduisaient avec aucun autre, on en déduirait d=o; si ceux en ((x-h X)ô ne se réduisaient pas, on au­rait

b — C'= br-+- C =2 O,

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l 8 o E. FABRY.

^ dh j dk :dQ ~~ dQ' dh dk

et le terme constant de k~^ — h~, qui est (bc — cb')\ 4- u, donne­rait

(6 2 -h c2)À-f-p. — o ;

X et [i. étant positifs, il n'y aurait que des solutions imaginaires. Il faut donc que

U. — > ' 2

et X" ne peut pas être égal à X, car autrement la seconde condition que doivent remplir h, k, l donnerait

{bc!— cb')l H- [x=zo,

(bfcff—cfbff)l=:o9

{b"c —c"b)l =o9

ce qui n'est possible que si b"= c"= o. De même, si les termes en ([//'-h X")ô ne se réduisaient pas dans

SA2, on en déduirait bffd=c"d = o.

Donc, si b" et <?" ne sont pas tous deux nuls, il faut que X"-+- - — -

soit égal à l'une des quantités p*> aX, ou a — X, c'est-à-dire que

.„ u. — 1 3 À — u. a — 3A À " ~ -̂ , —— OU •

2 2 2

De plus, les termes en 2(x"ô = (jx -H X)0 ne peuvent se réduire avec aucun autre dans 2A2, et l'on en déduit

(4)

bf=z-C,

d2~2(c'~ b),

bç'-\-c*-\- ^ = o,

cette dernière équation étant donnée par la seconde condition entre h et k.

Nous allons maintenant examiner séparément les trois cas suivants,

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SUR LES COURBES ALGÉBRIQUES A TORSION CONSTANTE. l 8 l

qui sont les seuls possibles :

b"=

r=

r=

C":

±

; t

— 0 ,

3 X -2

- A

'Ji > o ,

Dans le premier cas, on a toujours

car, si (ji^2/\, les termes en (JLG dans SA2 ne peuvent pas se réduire, et il en résulte

a •=. a'=z o.

Si pi — 2~k, [/."= f À, en exprimant que SA2 est constant, on a, outre les équations (4) , où [/. = 2X,

4 a H- fr2 — c1'2 = o,

2 a ' + 6e H- b' c'-=~- o,

6 -4- c'-h 2aO -h 2af b'— o,

&'— C -f- 2 «C -f- 2 « ' C' ~ O,

et l'on en dédui « ( è 2 + c 2 ) + a , c ( c ' - ô ) = : o ,

ac ( c7 — b ) -h a' ( c2 -t- c'2 ) = o,

et, si a et a' n'étaient pas nuls, il en résulterait que

(c2-H 6c ; ) 2 =o

et la dernière équation (4) donnerait [/. = o. On a donc, dans ce cas,

a = a'— o.

Si [i.^3X, le terme en cos[//'G dans SA2 ne peut pas se réduire eta"= o. On a alors les relations

b'z=zc~-o, b~ — c',

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l 8 2 E. FABRY.

Dans ce cas, les formules (3) deviennent

Solution I < k •=. -\- 4 / Ç sin lô 4- sin jjt0,

A 2

On obtient la courbe déjà signalée dans les Comptes rendus de l'Aca­démie des Sciences; il suffit d'un simple changement de variable et d'axes de coordonnées pour ramener les équations à la même forme.

Si \i. = 3X, [!."•-= 2X, on a, outre les équations (4) ,

ib' -\- bc-+- b'c'=z o,

2 ( b + c' ) H- fc2 — c'2 + 4 a"d = o.

On en déduit 6 ;(2 - Ô + c ' ) = : 0 .

Mais si & — c ' = 2, on aurait d2 — — 4, solution imaginaire; il faut donc

6 ' = c — o et . 6 c ; = : — 3 ,

d 2 =2 (c '— 6), 4 a ^ = ( c ' + ô ) ( c ' — 6 — 2).

Les quatre coefficients è, c\ a\ d qui restent clans les équations (3) dépendent d'un seul paramètre. Si l'on suppose ^arbitraire, on a

d2

et Ton obtient une deuxième solution réelle

h—b cos(9 -hcos3 0,

sin 3 0,

/ zzz a/;H- <icos2 6/.

On peut toujours supposer d > o, et il faut d2 > 4 \/3 ; à chaque valeur de â? correspondent deux systèmes de valeurs de è, c', a" ; mais, si l'on

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SUR LES COURBES ALGÉBRIQUES A TORSION CONSTANTE. I 8 3

change le signe du radical, c' et b se changent en — b et — c', d'

change de signe, et si Ton change 6 en - -— 0, h, k, l sont remplacés

par — k, — h, — /, et Ton retrouve la même courbe; il suffit donc de prendre les valeurs

C = 7 r + V ï 6 - 3 '

kd y 16

et à chaque valeur ded supérieure à 2 y/3 correspond une seule courbe.

Dans le deuxième cas, X" = ± -——^ > o ; il faut que dans SA2 les

termes en 2X"0 puissent se réduire avec d'autres, car autrement Ton aurait b" = c"=o9 et Ton serait ramené au premier cas. Il faut donc que

2A"=:|UL, 1, p.— X, ^ OU \J."-1!'

et, en tenant compte des valeurs de \L" et X", il en résulte que

fx = 2 X, 4 \, 5X, 71, |>v ou |X.

Mais, si [x = 2X,

2 2 '

ce cas peut être considéré comme rentrant dans le troisième : nous l'étudierons plus loin.

Si jx = 4X, [/." = |X, X" = -> les termes en [xG et (x"G entrant isolé­

ment dans ZA2, on a

a~ a' =^ a" =z o,

et ceux en 2X"Q restent alors seuls; donc

br,= clf=o.

On est ramené au premier cas. Si [/. == 5X, on a X = X", ce qui est impossible, et il ne reste que

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l 8 4 E. FABRY.

trois valeurs possibles

fx = 7X, |À ou p .

Dans ces trois cas, l'angle XG ne peut être égal à aucun autre de ceux qui entrent dans Zi/r et Ton a

ab + a' b' — o, ac H- «' c' = o

et comme, d'après les équations (4) ,

bc' — cb' — — -(£ < o,

il faut que a =2 af — o.

Si fx f= f X, p/' = f X, X" = fX, les termes en 2X//Ô ne peuvent plus se réduire et £" — <?" = o.

Donc [x = 7X ou fX, et dans ces deux cas \JS~ 2X"; le terme en sin2X"G donne

bffciï=o. Si Ton suppose b" = o,

Si Ton change G en 0 H — ^ . j on aura

et Ton peut, par une rotation d'axes, ramener h et k à conserver la même forme (3) . On peut donc toujours supposer

cff=o, b">o.

Examinons d'abord le cas où [Ji = 7X, u" — 2X// = 4^ : on a alors les équations

6* _-c'2-+-4 a" 6"-h 2 6 ^ - 0 ,

b"d -\- è + c ' = o ,

Û?2=2(C'— fc),

Z>c' H- 7 = o ;

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SUR LES COURBES ALGÉBRIQUES A TORSION CONSTANTE. j 8 5

en éliminant a" et b\ on a

(6 -t- cf) \b - c'- 2 + {b ^ / H = o;

or b -+- c/== — b"d>o, et en éliminant è et c' on a

^ + 1 ^ + 5 6 = 0,

équation qui n'a que des solutions imaginaires. Dans le cas où JJL = |X, [/." = 2X/7= f X, on a les équations

a = a' = c;/=: o, b' — c — o,

2 ^ û ? 4 - 6 2 — C / 2 = 0 ,

6c'_t-j —o;

en éliminant a" et è", on a

(6 + c') 2 + C '_ è-^lV]=o;

or 6-f-c^o, car autrement Ton aurait b"d = o, et, en éliminant è et c', <

on a

r)'-?(f'-"=-Cette équation donne, pour rf2, une seule valeur positive, et l'on peut supposer d^> o; on a ensuite

d — 6 — — •> i

c' + b = ±^2(d*+h);

b" et a" sont ensuite donnés par des équations du premier degré. Mais, si Ton change le signe de & -+- b, on voit que cf et b se changent en — b et — c'; b" change de signe, et il suffit de remplacer X"ô par TC — X"ô pour retrouver les mêmes formules (3) , h et k étant permutés. Nous

Ann.de l'Éc. Normale, 3 e Série. Tome IX. — JUIN 1892. l(\

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l 8 6 E. FABRY.

obtenons ainsi une troisième solution

I' h — b cos 3 6 H- cos 5 8,

k — c' sin 3 0-1- sin 5 0,

l —a"-\- b" cos 2 6 -h d cosTi 0,

ou

2<i

et

Les coefficients ont des valeurs complètement déterminées, et Ton n'obtient ainsi qu'une seule courbe réelle.

Examinons enfin le dernier cas où X" = \ u."= •> on doit 2 r 2

supposer (x^3À, car autrement X"=X; il en résulte que le terme 2a"rfcosf/."ô dans SA2 ne peut pas se réduire et

Si UL^2X les termes en 2X8 et (JJL — X)ô donneraient

il faut donc

2

On a alors entre les coefficients les relations

a" = o, br = •— c, b- c'2 C^2

2 a -h 6/; d H = 0 , 2 a' -+- c"d = o, 2 2

b" c"-\- 2 ac ~\- 2 a' c( — c" d — 2 c = o,

b"2— c//2

h 2 ab — 10! c 4- b" d -h 6 -h c' — o, 2

^ 2 ~ 2 ( c / — b), c 2 4 - £ c ' - h 2 = o.

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SUK LES COURBES ALGÉBRIQUES A TORSION CONSTANTE. 187

Ces formules contiennent deux paramètres arbitraires. Pour les mettre en évidence, posons

^ — ^ = (^ + 4 ) ^ , 6 " _ - M + d = ( d 2 4 - 4 ) - ;

on déduit alors des équations précédentes, en éliminant a, a! et b"', c\

p2 — q~—b, pq — pd— ~i c 2 + 2 + è H = o,

d'où 'b

d2l - -i-4/>2) — 8/? 2 ^-+-2 + 6 2 + 4 / ? 2 ^ r 2 = 0 .

On peut choisir arbitrairement/? et b, alors

q-=:± \Jp2 — b

et d aura deux valeurs réelles pourvu que 6 < o et que p2 ne soit pas compris entre les deux expressions positives

— (fr*+4) ± y/662+16 ib

Les valeurs de c, c\ b", c", puis a et a! sont ensuite données par des équations du premier degré. On a ainsi une nouvelle courbe réelle.

/ h = a-^-b c o s 2 # 4 - c sin2 0 4- cos4$,

Solution IV... I k — a'—c COS2 0 4- c' sin2 0 4- sin4$>

( / = 6"cos 0 4-c"s in 0 4 - d c o s 3 S ;

c —2p(q — d),

c' — b H , 2

b" = ( ^ + 4 ) 2 + r f ( ô - i ) ,

C,f = ( 2 — | <f2 )/> 4 - 2 / ? ^ ,

2 a ' = / ? < i ( — — 2 — ^

<7 = ± \jp*—b9 d* ( - 4- 4/>2 ) — $P*qd 4- 2 4- (p2 -H ?2)2 = o.

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i88 E. FABRY.

Si Ton change p en — p sans changer b, q, d, c9 c" et a' changent de signe, et il suffit de remplacer G par — 0 pour retrouver la même courbe. On peut donc supposer p^>o, et de même q > o, car, si l'on change q en .— q, en changeant le signe du radical de d, on a un résultat analogue.

Pour chaque système de valeurs de p^>o9 6 < o, tels que d soit réel, on a donc deux courbes; mais il est facile de voir qu'elles ne

sont pas toutes distinctes, car si Ton change 0 en G 4- T>> en combi­nant h et k pour leur conserver la même forme, on retrouve la même courbe p et b ayant changé de valeurs. Pour obtenir les courbes dis­tinctes données par les formules (IV), posons

et

on en déduit

d p — p cos GO, q = p SIOGO

d = p<x,

b = p2 ( cos 2 GO — a sin GO j -

2 a s i n 3 c o = : i H - a 2 "- n—r-io p4

Si l'on donne p et a, que l'on peut supposer positifs, pourvu que sin3co soit compris entre — i et + i , on aura, pour co, six valeurs distinctes.

Si l'on exprime tous les coefficients en fonction de p, a, co, les for­mules (IV) deviennent

-h = — -J-p4a2cos2co — p2,a[sinco 4- sin (2 0 4- GO)] H-p2cos(2 0 — 2w) — ——cos2 0 + cos40,

k = — l p4 a2 sin 2 GO — p2 a [cos w — cos (2 0 + co)] 4- p2 sin (2 0 — 2 GO) 4- ^ — sin 2 0 4- sin 4 0? 4

/ — p3a cos(0 — 200) 4- p( 2 — i- j sin (0 4- co) 4- pa cos 30.

Si l'on change co en co 4- -5- et Q en G 4- 4> en remplaçant h et k par 27T 7 • 27T , 7 . 271 7 2 7T

cos-^ A: sm-^- et A sin-^- 4- Acos—> mules, /étant seulement changé de signe.

7 27T 7 . 2 7 1 ^ 7 . 2 7 1 7 27T , T À r,

A cos -0 A: sin -^- et A sin -^ 4- A cos —> on retrouve les mêmes for-

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SUR LES COURBES ALGÉBRIQUES A TORSION CONSTANTE. 1 8 9

De même, si Ton cliange w et 6 en «• — w et — ̂ — 6, en combinant

h et k par une rotation égale à ^» on retrouve la même courbe; à des

valeurs déterminées de p et a correspond donc une seule courbe, et

Ton peut supposer a> compris entre — ̂ et -H £•

On devra prendre a > 2 y 2 — 2,

et p doit vérifier les conditions

P

En substituant les valeurs de h9 k, l dans les équations ( i ) , on obtient les équations des quatre courbes suivantes :

/ t\Jk . D t\fkp T A . . i " x— A •--• sin 0 0 — —-̂ —^— -sin (a — p)0 sin (g -\- p)9

Courbe I . . . r = = - ^ 4 c o s ^ 0 - - , y A px , I"—^— cos(? —jo)0 -+• —^-r cos(? + jP)fl

j " i —A ' (A-f-1)2 |_? — /> # + / > . *A 2/? . .

-sm^0, (A + i)2 g

ou =v̂ 2 p -— et g~>2p. 2p

Les premiers paramètres X et a ont été remplacés par ~ —p et- -+-p;

cette courbe renferme un seul paramètre arbitraire - qui doit être com-

mensurable pour que la courbe soit algébrique.

/ 2 \ A . . ( A a l n fi l _ R c i r , Q f l _ L _ ?_^ c i r

Courbe I I . . . [y = * aV^ ( _ A/ c o s o + B'cos39 - ^ cos5ô \

X2H-4A —3 (X + i

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i 9 o E. FABRY.

A =(X + 3)(X + i)2+X(^ + 5 )v /X î ^I ,

ou

A ' = (X + 3) (X + 1 ) 2 - X ( * + 5) v A 2 - 3 ,

X = | > V / 3 .

Dans le cas limite X = y3, on retrouve la courbe I, valeur 4,

, _ ^

Courbe I I I . . . y _ fy/X _ ( X + 3

A sinÔ + B sin3 0 H- C sin59 - H D sin7Ô

-2 f— A'cosÔ-t-B'cos30 — C'cos5Ô+ D'cos7#

2 * . .[-Vx^ sin2t sin8é \ (A + 3)2 L U V * + i 0 1 " " ' 4(A

A = (X + 2) ( 3 X - 2 ) +(14 + 5 ^ ) ^ 5 ^

A' = (1 + 2) (3A - 2) - (i/J •+- 5A) 4 / — ^ - ,

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SUR*LES COURBES ALGEBRIQUES A TORSION CONSTANTE. IQE

cP X = ~r représente la racine positive de Féquation

2 9 .

3

( P 2 H T I ) 2 ( I + |

d ( d}\ —. sin7^4- A— 7- sin50 — B cos50 14 v W

4- (Ccos2o) — D sinto) sin3©+ (Esin-2 0) — Fcosco) cos30

+ (H + L ços2w + M sinco) sin0

-h (K cos3o) 4- L sin2o) 4- M coso)) cosé

7 -(p ' + i ) ^ ^ ^

r d_ L"<4

<i3

cos 7 0 — (A + r - ) cos 5 0 — B sin 5 6

Courbe IV. { 4- (C sin2 0) — D coso)) sin3 0 — (Ecos2o) — F sinw) cos30

H- (— H -H L cos 20) 4-M sin o)) cos0

-h (K cos3o) — L sin20) — M cosco) sin0

t p 2 - 1 ) 2 i + T

[d2 p2d2

— sin60 -t- i-y— sin(40—- 20)) — p d c o s ( 4 0 4- co) 12 4

fâ> Jt) . p 2 d 2 \ . , . • PM 7S - H ^ 2 — 3 4- î - z - ) s in (2 0 + 20))

P ^ ( p 4 _ _ - + 4 p « - ^ - I o ) C 0 S ( 2 É [6

A P2^ P A <**\ • A = ^ 7 - cos 2 co 4- £ ( 3 ) sin co,

B = f-T7- sin 20) + H 3 — ^- ) coso), 5 5 V 4 ;

C H- E — £ 1 - ( 7 -f- p* -f-

C - E R = -e !£

Î) + F = U p4— £ 5 •+- 2p2 — 8 3 v r 2 16 2 r

D - F

3

poT 6 V3 + fï'

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I Q 2 E. FxVBRY.

T ^ 2 W „ , „ „ #

ou

H = SV + Tj ^p ' -p^+ îê + ̂ + e).

s i n 3 w = i f p 4 + p 2 ^ - S + 2 ) . 2p*d

co étant compris entre — ^ et H- | et p et d pouvant prendre tous les

systèmes de valeurs positives qui rendent w réel. On peut remarquer que, dans le cas limite où p = o, ona^/2 = 4 V2>

et l'on retrouve la courbe 1, où q = 6p.

Courbes imaginaires. — La discussion précédente montre que la même méthode donnerait un assez grand nombre de solutions imagi­naires. Les calculs seraient beaucoup moins simples, car dans les for­mules (2) on ne peut pas toujours annuler les coefficients comme dans le cas des variables réelles; pour qu'un changement de variable per­mette d'annuler e, par exemple, il faut supposer e2-+-d2^o. Nous allons examiner seulement le cas le plus simple où les fonctions A, k, l ne contiennent chacune qu'un seul angle, c'est-à-dire où, dans les formules (2) , de, d!ë, d"e" sont nuls. Il est facile de voir qu'il faut alors que

\ = V=ïku et aff=.o,

et si fe"2-hc"2 n'est pas nul, on peut supposer e" = o; on arrive alors aux deux solutions suivantes :

!

/ i r = a + COS20,

k=zaf— icos20,

/ =z 21 \ja — a' i cos S,

h — a-\- cos 2 0 -t- i sin 2 0,

/\J\ / £ = <Z'H-«COS2 0 —SU12 0,

l— i\/2(a-\-a'i) (cos0 -+- isin0).

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SUR LES COURBES ALGEBRIQUES A TORSION CONSTANTE. I Ç)3

Mais la seconde se ramène à la première en posant

e O i '=COS0 ' ,

d'où «A,- H - C O S 2 0'

Les équations ( I ) donnent

2t feos3 0 /3 F CV l COS C

y/a — a1 i\ a ~\- a' i — 2 )

~2ti rcos30 /3 \ .1 y = . — s M « cos U ,

COS 2 0

y a — a' i(a ~h af i — 2 )

ti

a -\- a' i — 2

et

*/*

2 *

cose

On retrouve ainsi la cubique gauche rectifiable déjà connue. Si l'on pose

2 t P =

a -f- a 1 — 2

n = 2 — a — a ' i ,

z?i == y/a — a! i

et c o s 0 = M,

les équations prennent la forme obtenue par M. Lyon [Annales de ren­seignement supérieur de Grenoble, équations (10), p. 3g5]. On peut remarquer que, si Ton remplace la variable u par um, il ne reste, outre

le facteur d'homogénéité m2p, qu'un seul paramètre —, et un simple

changement de variable montre que cette cubique est identique à la courbe (6 ) , page 36o du même Mémoire.

Ann. de l'Éc. Normale. 3e Série. Tome IX. — JUIN 1802. 20

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!C)4 E- FABRY.

La méthode de M. Lyon peut du reste conduire facilement aux courbes réelles que nous avons obtenues. Cette méthode consiste à poser

À k — hi "= B = ——'

C k + hi

Les courbes à torsion constante sont alors données par les équations (p. 36 ie t 372)

C du fAB'— B.V , J 1 -h uui J AL — W

C du, rBC'-CB' 7

J J -HWMJ j AC — B2

. ruxdu — udux rxi rCA'—M7 .

où, pour les courbes réelles, u et u{ sont deux fonctions imaginaires conjuguées d'une même variable, et pour les courbes algébriques uni-cursales A, B, G sont trois polynômes entiers en t. Mais il faut remarquer que les parties réelles de la courbe peuvent correspondre à des valeurs imaginaires de la variable, et u et u{ étant deux fractions rationnelles en £ peuvent être imaginaires conjugués sans que les coefficients le soient.

Par exemple, pour la courbe réelle ( I ) , on aura

k — lu a — — ;

•-s/s-" aVïC0S-r^

k -+- hi uA

' - - . ^ Çcos^e

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SUR LES COURBES ALGÉBRIQUES A TORSION CONSTANTE. I Çp

et si Ton pose

et

on a

9 -i 9

e"l=zt,

tq-P — tP i ^ + 2P

V 9 — <1P

•t q — ip

"\J\ tP— Ô'i-Pl/ -/~t" 2P

•2f

<fë - ^ - ( * * H - i ) 2pK

et l'on devra poser, dans les formules de M. Lyon,

~*P. <\fë tP— iP+r, 2P

C^u/'LtlEti-p-a-p, Vi 2P

q — 2P

On voit que, pour obtenir les points réels de la courbe, il faut donner à t des valeurs imaginaires de module i, et la valeur conjuguée de u

s'obtient en changeant t en - et i en — i : on retrouve ainsi M,.

Les trois autres courbes réelles que nous avons obtenues peuvent évidemment se déterminer par la même méthode; par exemple, pour la courbe (II) , on aura

e3°>' -h e6< t / -^ — 3 — ~V6*' V it

e y 16 4 i(a"-\- 6/cos2 0)

i(#"-l- dcos2#)

#!

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J 9 6 E. FABRY. — SUR LES COURBES ALGÉBRIQUES A TORSION CONSTANTE.

et en posant êl = t on aura les trois polynômes

*»-4 t /<*4 . \d y 16 ' B ^ ^ / ^ - S + ^ r f ,

A i =z t& -\- tk 4 / - £ — 3 — £2 d2

T5

<i4

Cl—— t* -j- H-*' 4 VTÎ

Pour ramener les points réels de la courbe à correspondre à des

valeurs réelles d'une nouvelle variable, il suffit de poser t = ^—.; on

obtient alors, pour w et ui9 des fractions rationnelles de la variable réelle S, dont les coefficients sont imaginaires conjugués.

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L-auteur a traité, dans cet Ouvrage, sous la forme qui convient à une publication, les questions d?Optique qui ont fait, à différentes reprises, l'objet.de son enseignement au Collège de France.

Ce Traité s'adresse aux élèves-des Facultés et des Écoles d'enseigne­ment supérieur, L'Auteur espère que les physiciens et les professeurs trouveront aussi quelque intérêt dans le mode d'exposition, le groupe­ment des phénomènes, la discussion des expériences et dans certaines questions que les publications analogues n'ont pas l'habitude de traiter.

Titres des Chapitres des Tomes I et II. CHAÏ>. L Préliminaires. Principes de la théorie des ondulat ions Théorèmes

•généraux, —: C H \ P . IL Systèmes'optiques: Réflexion et rétraction Télescopes et lunettes: — GIIAP. III. Juter fére/icés.'—+'• CIIAP. IV. Propriétés des -vibrations. — .CHAP. V Diffr action. — Écrans à bordsxircula i res et à hords rectiîigues. Diffrac­t ion des ondes planes Différentes" formes d'ouvertures. Systèmes, irréguliers d'Ouvertures ou d'écrans Ouvertures ident iques distribuées régulièrement. Fenies et stries parallèles. Réseaux. Arc-en-ciel .— CHAP.. VI; Interférences par les lames isotropes. Franges localisées. Franges à Finfini Interférences des ondes planes Analyse spectrale des interférences^ Interférences dès rayons diffusés ou diffractés. -.- GIIAP. VIL Application (tes. interférences. — CHAP. VIII. Polarisation. — CIIAP IX Double• réfi action Surface d 'onde Vérification expérimentale . Appli­cations. :

GIIAP. K. Polarisation chromatique. Propriétés générales Propriétés des lames cristallines.; Applications. Franges, à l 'infini. Interférences des ondes planes. Gris-taux à un axe. Cristaux à deux axes. Applications — CIIAP. XI. Phénomènes divens Cristaux i rrégulièrs . Polychroïsme. Houppes de.s cristaux, Double refrac­tion ' ae< klentelle. —~ GMAP. XII. Polarisation rotatoire. Phénomènes généraux. Applications. Propriétés du quartz en dehors de l'axe. Interférences des ondes planes Propriétés des groupements, de lamelles. Généralisation du pouvoir rota­toire. Relation du pouvoir rotatoire avec la cristallographie. Polarisation rota­toire magnétique. — GIIAP. XIIÏ, Réflexion et réfraction Milieux isotropes transparents Réflexion métal l ique. Etude de la réflexion vitrée. Anneaux colorés. Étude de la réflexion. Milieux cristallisés. ,'

MQUCHOT (A.), Ancien Professeur de l'Université, Lauréat de l'Académie 3es Sciences. - Les nouvelles Bases de la Géométrie supérieure (Géométrie de position}, in- 8. avec figures ; 1892 5 fr.

ïlESAX (H.), Membre de.ïïnstifcut. —• Exposition de la théorie des sur­faces. Jn-8, avec figures dans le texte; 189Ï . . 4 fr. 00 e.

.. Recueill ir dans des publ ica t ions épa.rses, classer d ldae t iquement les propr ié tés les p i u s ' i m p o r t a n t e s des surfaces et simplifier les démons t ra t ions , tel est le but que s'est proposé t 'Auteui en pub l ian t ce t ravai l , dans lequel il a in t rodu i t ses recherches personnel les .

Cet Ouvrage s'adresse à tous les géomètres et spécialement aux candidats à l 'agrégat ion, qui y t r ouve ron t t ra i tés , avec , tous les développements désirables , Lr p lupar t des sujets re lat i is aux surfaces qui ont été proposés aux Concours .

SAINT-GERMAIN ( de), Doyen delà Faculté des Sciences de Caen. — Re­cueil d'Exercices sur la Mécanique rationnelle, à l'usage des candidats à' la Licence et a l'Agrégation des Sciences mathématiques. ie éd., entiè­rement refondue, in-8, avec fîg.. dans le..texte; 1889 . . . . . . . 9 fr. 5o c.

SGHRÔN ( L.), Directeur de l'Observatoire et Professeur de logarithmes à sept décimales pour les nombres et pour les fonctions trigonométriques de dix seconde et Tables d'interpolation pour le calcul des parties précédées d'une Introduction par / . Hoûel, Professi ques à la Faculté des Sciences de Bordeaux. Nouvelle revue et corrigée. 1 beaux volumes gr, in-8 jesus, tirés su

Tables de l o g a r i t h m e s . . . . . . . Table d ' in te rpola t ion . . . . . . . . . . . . . 0 Tables de logar i thmes et Table d ' in terpolat ion réunies en

un seul vo lume . . . . . . .

Ces Tables, dont nous publions une édition française, se celles qui ont paru jusqu'à ce jour par les soins extrêmes qi tout ce qui peut en augmenter la précision et en faciliter Y sent les conditions suivantes :

i° Éviter toute opération écrite dans les calculs auxiliaire 20 Atteindre, en même temps, une exactitude supérieure

donner les autres Tables de môme é tendue ; 3° Permettre au calculateur de varier à son gré les métï

suivant qu'il recherchera de préférence la précision 01 opérat ions;

4? Offrir, pour les calculs à 6 décimales, des moyens ans, exacts que les Tables ordinaires b 6 figures;

5° Donner aux Tables une disposition qui plaise à l'œil sa 6° Piéduire les erreurs de moitié, dans les calculs Jogari

menter le nombre des chiffres de la Table, en preiiai par un point ou par un petit t ra i t horizontal placé s-les logarithmes approchés par excès des logarithmes a

STOFFAES (l'abbé), Professeur à la Faculté cathoJiqi Lille. — Cours de Mathématiques supérieures, à.l'i à la Licence es Sciences physiques. In-8, aveemombî le texte; 189T . . .» Sous une forme claire , ce Livre renferme jus te ce qu '

t iques supérieures à ceux pour qui elles sont un simple supér ieure , Calcul infini tésinial , 'Géométrie ana ly t ique à d< sions, tout est r édu i t aux not ions essentielles mais largeur les lecteurs auxquels l 'Auteur s'adresse, sans que jamais ta nernent soient sacrifiés. C'est un Ouvrage infiniment uti le.

STURM, Membre de l'Institut. — Cours d'Analyse de nique, revu et corrigé par E. Prouhet,, Répétiteur » Polytechnique, et augmente de la THÉORIE ÉLÉMENT; ELLIPTIQUES par H. Laurent. 9e édition, revue et \ nouveau programme de la Licence par A. de Saint-G à la Faculté des Sciences de Caen 2, volumes in-8, a texte: 1888,

B r o c h é . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 fr. | Cartonné . . . . . . .

STURM f Gîi.). — Cours d'Analyse à l'Ecole Poiy corrigé par E. Prouhet, et'augmenté de. la Tiiéot fonctions elliptiques par IL Laurent. 9e édition, courant du nouveau programme de la Licence, par.:/. ?. volumes in-8, xxxn-563 pages; x-637 pages; 1888

TISSERAND (F.). Membre de l'Institut. — Reçue d'Exercices sur le Calcul infinitésimal, à l'usage d, cence et à l'Agrégation des Sciences mathématiques, une suite nalurelle à l'excellent Recueil tPExeicice avec figures dans le texte: 1877

WALLON (E. ), Ancien élève de l'École Normale ^supér Physique au Lycée Janson de Sâilly. — Traité élén tif photographique. Un beau volume grand in-8, i « 9 i - . . . . . . ;

Ï 8 \\ \ Paris, —imprimerie GAUTiIIER-VILLARS ET FILS, quai des Grauds-Augustins, 55,