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2.4 U M IT ES IN FIN IE S E T L lM rT ES A J JNFINI 75

Ce raisonnement suggere que limx->+oo f(x) =~.Vile preuve rigoureuse demandede passer par

. V9x2 + 211m = limx-co 4x + 3 X-HX>= lim 4x+3--~oo

Si x est strictement positif, .Jii = x et on divise numerateur et dcnominateur dela derniere fraction par x, ce qui donne

lim _ ; . . . / _ 9 _ X _ 2 _ + _ 2 ~ limAx-+oo 4x + 3 x->co 34+ -x=19+0 3

=4+0 4'(b) Si x est grand w3gatif, .Jii =-x et en suivant les memes etapes qu'en (a), onobtient

lim .j9x2 + 2 = limx->~oo 4x + 3 :>;-+-00

= lim

= lim4+~ x

-19+0 34+0 =-"4 '

Il nous reste a envisager Ie cas ou a . la fois x et f(x) s'approchent de +00 ou -00.Par exemple, l'expression

lim f(x) =+00;I;-+-OO

signifie que f(x) croit sans borne quand x decroit sans borne, comme c'est le casde f(x) = x 2.Des limites a l'infini se rencontrent dans des situations concretes. Prenons l'exemplede la loi d'attraction universelle de Newton. EUe dit que deux points materielsexexceni l'un sur l'autre une force d'attraction pxoportionnetle au produit de leursmasses et Inversernent proportionnelle au carre de le distance qui les separe. Sym-boliquement,

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76 CHAPITRE 2 L lM JT ES D ES F ON CT JO NS

Definition (2.19)FIGURE 2.34limJ(x) =00

y

a ~ 0 a + 0

EXERCICES 2.4

ou Fest la force exercee sur chaque particule, ml et m2 leurs masses, r la distancequi les separe et G Ia constante de gravitation. En supposant que ml et m2 sentconstantes, nous obtenons

. . mlm2lim F= lim G-2 - =O .r->+oo r->+oo rLa force d'attraction entre deux particules qui s'eloignent l'une de l'autre indefi-nirnent tend a . s'annuler. Theoriquement, il reste toujours une certeine attraction;cependant, lorsque r est tres grand, il n'est plus possible de la mesurer avec unequipement de laboratoire ordinaire.Nous terrninons cette section par la definition forrnelle de limx->a f ( x ) =+00. Ladifference avec nos propos de la section 2.2 reside en ce que, au lieu de rnontrerque I f ( x ) - L I < quand x est proche de a, nous avons a . rnontrer que f ( x ) >Mquand x est proche de a, et ce pour n'irnporte quel M, si grand soit i1.

x

En vue d'interpreter graphiquement la definition (2.19), tracons une droite hori-zontale y =M (voir la figure 2.34). Si l i r n x - > a f ( x ) = +00, alors, Iorsque x est al'Interieur d'un intervalle convenable J a - 8, a + .5 [ et x = 1 = a, les points (x, f(x)) dela courbe f sont au-dessus de la droite horizontale,Pour la definition de limx->a f { x ) = -00 , il suffit de changer dans la definition( 2.1 9) , M > 0 par N < 0 et f ( x ) > M par f ( x ) < N. Graphiquement, par rapporta une droite horizontale y =N (avec N negatif), les points ( x, I( x) ) de la courbe fsont en-dessous de la droite horizontals quand x est dans un intervalle convenableJ a - 8 , a + {;[ et xi-a.

(e ) lim f ( x )X-)oU

3x5 f (x ) = e x + 8)2 j3x26 f (x ) = (2x _ 9)2 j2 x 27 f (x ) = 2 2 ;x -x-4x8 f (x ) = 2 4 3 jx ~ x+19 f (x ) = x (x ~ 3)2 ;-110 f (x ) = (x + 1)2 ; a ==-1

Ex. 1-10: Pour chaque fonction f ( x ) donnee, repondreaux limites demandees par +00, -00 ou 1 1 (n'existepas) :( a J lim f ( x )

::r;-+a-(b J lim f ( x )x ~ > a +

51 f (x ) = = --;x-4 a==452 f (x ) = --;4-x83 f(x) = (2 x + 5)3 ;

-44 f (x ) = 7x + 3 ;

a=4

a = ~89a= -2

a= -1a=la=3

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2.5 FONCTIONS CONTINUES _ _ ,"~L~~""~~L"L _. ~L~~"LLL~"~ L __ + ~ _rc'-LL...+"-~ ~L.~ _L._~L~ '_.~~ ~~_ ~ c - ,.L~._.._L.~._.L._.,~ ..~_ _..~.~ .._LL~L ~'_.L._.L.'_L.'~._.~,~._ ~~._~.~.~._._ _L..~~_ .._._.',~..L~.'~.~._L._.~_.L '~L ',_ __ LL _ ~ ~~ .~ ~~~~~~~j

77

Ex. 11-24: Calculer la limite si elleexiste. Ex. 37-40: Esquisserungraphiquepossibled'unefonc- !I I lim 5x - 3x + 1 12 lim 3x - x + 1 que lacourbe traverse l'unedesasymptotes.

:>:-->00 2x 2 + 4x - 7 a : . . .. . oo 6x3 + 2x2 - 713 lim 4 - 7x 14 lim (3 x + 4)(x - 1) 37 xE~oo f( x ) ::::::; x~~ f ( x ) = 1;

X->-oo 2 + 3x x .....-oo (2 x + 7) (x + 2) lim f ( x ) = -00; lim f ( x ) =00x-+3- x......+15 lim 2x2 - 3 . 2X 2 - X + 3x->-oo 4x3 + 5x 16 x~l ( loo x3 + 1- x3 + 2x17 lim

@ 1J:x.25-26: Estimer la limiteen posantn =: 1,2,3 et 4.25 lim ~ tg ( 2 : _ - ~ )a ; . . . . ..co x 2 x

19X--tCQ

lim

I. 3 8 + x2211mx-oo x( x + 1 )23 lim sin x

0;->00

41 On verse de l'eau salee, concentree a 10 g /1, dans un cuvequi contient 200 1d'eau pure.(a) Si l'eau sales s'ecoule a la vitesse de 20 l/rnin dans lacuve, quel est Ie volume d'eau ainsi que la quantite desel apres t minutes?(b) QueUe est Ia concentration en sel c(t) (en g /1) aprest minutes?Ie ) Que devient c(t) apres une longue periode de temps?

42 Un problems epineux pour l'industrie de la peche est deprevoir, pour l'annee suivante, l'efl'ectif R de populationadulte capable de se reproduire en fonetion du nombreS de poissons reprodueteurs du moment. Pour certainesespeces, comme le hareng de la mer du Nord, la relationentre Ret S est donnee par R = as/(S + b) ou a et b sontdes constantes donnees. Qu'arrive-t-il lorsque le nombrede poissons reprodueteurs augmente?

38 lim f ( x ) = ~1;X~"'""OOx 2 +218 limX--oo x-

lim f ( x ) =00;x->2-39 lim f ( x )=~2;x--+-oolim f ( x ) = 00;x-3-lim f ( x ) = -00;:t'-,,-l-2 Urn 4x - 3

x-+ -00 JX2+l24 lim cosz0;->00

40 lim f ( x ) = 3;X~~OO

lim f( x ) "" 00;x-1-x = IOn pour lim f ( x ) = -00;x-,-2- .26 lim Visin ~

X.....-..J'-oo xEx. 27-36: Chercher lesasymptotes vert.icales et hori-zontalesdescourbes y = I(x).

127 f ( x ) = -2--X - 42x 229 f( x ) " '" x2 + 1

13 I f (x ) = 3:3 + x 2 _ 6x33 f(x ) = x2 + 3x + 2

x2 + 2x - 3x+4x2 -1635 f( x ) ""

5x28 f ( x ) = -4 2-x3x30 f(x ) = x2 + 1232 f ( x ) = x - x16 - x2

x2 - 5x34 f (x) = --;:----::--cc-x2 - 25

36 f ( x ) = ~ 4-x

2.5 FONCTIONS CONTINUES

lim f ( x ) = -1;x-oolim f ( x ) "" -00x->2+li m f ( x ) = -2;0;->00

lim f ( x ) = -00;",-+3+lim f (x ) "" 00x-+-1+li m f ( x ) =3;x-oolim f ( x ) = -00;0;--+1+

lim f ( x ) = 00x--+-2+

Le temps, tel que nous le vivons quotidiennement, nous apparait continu parce qu'ilse deroule de facon ininterrornpue. On ne passe pas tout a coup de 13h a 13hOl,en laissant un trou d'une minute. Quand un objet est lache d'une mongolfiere, sonmouvement de chute va nous apparaitre continu; s'il est lache a 150 m d'altitude,il va passer par toutes les altitudes interrnediaires entre 150 m et 0 m, Ie niveaudusol.

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78 CHAPIT RE 2 L lM JT ESD ES F ON CT JO NS

FIGURE 235/II y

y = f ( x )r-:>c

Definition (2.20)

C'est en ce sens aussi que l'expression I on ctio n c on tin ue est employee en rnathema-tiques, Intuitivement, nne fonction continue est celle dont le graphique ne presenteaucune interruption, aucun trou, aucune asymptote verticale. Les fonctions repre-sentees dans la figure 2.35 ne sont pa s continues en c.

(II) liIi! y ( IV) Y

~)

x c x

yy = f ( x )

x x c

En (1), f (c) n'est pas definie; en (2), f (c) est definie mais lim f( x ) '" f (c) ; en(/)-'C(3), lim f ( x ) n'existe pas; en (4), f (c) n'est pas definie, et meme lim f ( x ) = +00 .X .-:-> C ",,, _ .', ....,.. x , . . , . , . . : , - c . ".0.Le graphique d'une fonction qui satisfait les trois conditions enumerees dans ladefinition suivante n'est pas comme ceux-la.

Quand on emploie cette definition pour demontrer la continuite d'une fonction fen c, seule la condition (3) est a verifier car si lim f ( x ) = f (c), c'est que lim f ( x )x~c x~cexiste et que f (c) est definie. Donc les deux premieres conditions sont autornati-quement satisfaites.Nous savons intuitivement que la condition (3) signifie que, lorsque x s'approchede c, f ( x ) s'approche de f (c). Plus precisement encore, f( x ) peut etre rendu euss:proche que l'on veut de f (c) a condition de prendre x suffisamment proche dec. Des qu'au moins une des trois conditions de la definition (2.20) n'est pas sa-tisfaito, on dit que f est discontinue en c. ou que f a une dlscont.inuit.e en c.Certainesdiscoritinuites sent qualifiees de reducttbles, c'est le cas des disconti-nuites presentees en (1) et (2) parce qu'elles peuvent etre cornblees en dormant af (c) une valeur adequate. La discontinuite de la figure 2.35(iii) est appelee discon-tinuite par saut, ainsi appelee a cause de la rupture marquee par le graphique.La discontinuite de (4), due au fait que f ( x ) tend vers l'infini quand x tend vel'Sc, s'appelle discontinuite infinie. Dans l'application suivante sont reprises dupoint de vue de la continuite un certain nombre de fonctions deja etudiees dansles sections 2.1 et 2.2.

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80 CHAPITRE 2 L lM r TE S D E S F O N CT IO N $

rneoreme (2.2 T I

FIGURE 236f ( x ) =x l

y

Le theorems suivant etablit que les fonctions polynomiales et les fonctions ration-nelles sont continues sur tout leur domains de definition.

DEMONSTRATION (1) Au theorems (2.11) il a eM etabli que si I est unefonction polynomiale et c un nombre reel quelconque, alorslim I(x) =I(e). C'est la continuite de f en un nombre reel quelconque.x->c(2) Si g ee) ,,;:.0, alors e appartient au domaine de definition de q = I/ g et des lors,par le theoreme(2.12), limx->c q(x) =g(e); ce qui est la continuite de q en c. -

EXEMPlE 1 Soit f ( x ) = [z]. Montrer que f est continue en tout nombre reelc.

SOLUTION La fonction f est representee dans la figure 2.36. Quand x > 0,I(x) = x, Quand x < 0, I(x) = -x. Comme x et -x sont despolynomes, du theorems (2.21)(1), il resulte que f est continue en tout nombrereel non nul. Reste alors a montrer que f est continue en O. Les limites unilateralesde f ( x ) en 0 sont

lim I x l = lim x =0x->o+ x-o+et

lim I x l = lim (-x) =o .x->o- x->o-Les limites a droite et a gauche sont done egales et pal' consequentx lim I x ! =0 = 1 0 1 = f ( O ) .x-->oCe qui est la continuite de f ( x ) en O.

EXEMPlE 2 Trouver les points de discontinuite de f definie par f ( x )x2 -1

xS + x2 - 2x'SOLUTION Comme fest une fonction rationnelle, du theoreme (2.21), ilresulteque les seuls points de discontinuite sont les zeros du denominateurx3 + x2 - 2x. En factorisant, on obtient

x3 + x2 - 2x =x(x2 + X - 2) = x(x + 2)(x - 1).Les points de disccntinuites de f sont done 0, -2 et 1.

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2.5 FONGIONS CONTINUES 81

Definition (2.22)

FIGURE 2.37y

-3 3

Quand une [onction est continue en chaque point d'un intervalle ouvert J a, b [,on dit que f est continue sur l'intervalle Ja- ;1) [ . De meme, une fonctIOn estcontinue sur un intervalle infini de la forme 1 a,+00 [ou 1 -00, b [si elle est continueen tout point de l'intervalle. La definition suivante concerne le cas d'un intervalleferrne,

Les limites unilaterales citees dans la definition (2.22) se traduisent par definitionen, respectivement, f est continue a droite en a et f est continue a gaucheen b

EXEMPlE 3 Soit f (x) = ';9 - x2 Dessiner le graphique de f et demontrerque .f est continue Sur I'intervalle ferrne 1-3, +3].

SOLUTION Nous savons que x2 + y2 = 9 est l'equation d'un cercle centre al'origine de rayon 3. La resolution de eette equation par rapporta y donne y = ';9 - x2. Le graphique de y = ';9 - x2 est done le demi-cerclesuperieur (voir la figure 2.37).En toute valeur c telle que -3< c < 3, par le theorems (2.14), nous avons

limf ( . 1 ; ) = lim)9 - x 2 = V 9 - c2 = f ( c ) .x~c X-l-Cx Ce qui, par la definition (2.20), est la continuite de f en c. Reste a verifier ce quise passe aux extremites de [-3, +3] par les limites unilaterales

lim f (x) = lim )9- x2 =';9- 9 =0 = f ( -3)x~>~3+ x-+-3+lim f(x) = lim V 9 - x2 =v '9=9 =0 '= f(3).x->3- 0:->3-

Ainsi, .f est continue a droite en -3 et a gauche en 3. On peut done affirmer,compte tenu de la definition (2.22), que f est continue sur [-3,+3].

A strictement parler, on pourrait dire que 1a fonction 1de I'exemple 3 est discon-tinue en tout nombre c en dehors de l'intervalle [-3, +3], puisqu'alors l(c) n'estpas un nombre reel. Il n'est pas habitual de parlor de discontinuite pour un pointc d'un intervalle ouvert sur lequeI 1n'est pas definie.La continuite sur les aut res types d'intervalles se definit comrne suit: f continuesur [a , b [ ou [ a , +00 [ signifie la continuite en toute valeur strictement superieurea a et la continuite a droite en a, f continue sur I a, b I ou 1 ~ 00, b I signifie lacontinuite en toute valeur strictement inferieure abet la continuite a gauche en b.Les resultats du theorems (2.8) sont traduits en termes de continuite au theoremssuivant.

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82Theoreme (2.23J

CHAPITRE 2 U M r fE S D E S F O N GJ ON S

DEMONSTRATION Par definition, f et 9 continues en c signifielim f(x) = f(c)x->c lim g(x) =g(c).x _ . _ _ " c

La somme de deux fonctions est definie par(f + g)(x) = f(x) + g(x).

En consequence.lim (f + g)(x) = lim If(x) + g(x)]X-!oC x-~c

= lim f (x) + lim g(x)x-t-c ,;l;-)-c= f ( c ) + g ( c )=(f + g ) ( c )

Ceci montre que f + 9 est continue en c. Les nonces (2) a (4) se demontrent defacon analogue. -Si f et 9 sont continues sur un intervalle, ilen sera de meme de f + g, f - get fg.Si, de plus, g(c) o f . 0 quel que soit c dans l'intervalle, alors f /9 est continue surl'intervalle. Ces resultats s'etendent a des semmes, des differences, des produitset des quotients d'un nornbre quelconque de fonctions continues (a condition qu'iln'y ait pas de denorninateurs nuls) .

EXEMPLE 4 . J 9 - x2Soit k(x) = 3 4 5 2 l' Demontrer que k est continue surx + x +[-3,+3].SOLUTION Posons f ( x ) = .J 9 - x 2 et g(x) =3x 4 + 5x 2 + 1. De l'exemple 3, il

results que f est continue sur [-3,+3] et du theoreme (2.21), que9 est continue en tout point reel. En outre, g(c) t - 0 quel que soit c dans [-3, +3].De J'application du theorems (2.23)(4), n s'ensuit que le quotient k = f / g estcontinu sur [-:-3,+3].

La demonstration du theorems suivant a propos de la continuite de la fonctioncomposes fo g est donnee a !'annexe II.

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2.5 F O N CT IO N S C O N TI N U ES

Tneorerne (2.24J

Suitedu theorerne (2.14)

Theoreme(2.2S,

Ce theoreme (2.24) sert surtout a en demontrer d'autres. Servons nous-en pourdemontrer le theorems (2.14) a la section 2.3 sous les conditions enoncees.

DEMONSTRAT ION Posons J(,z) = \ IX. En appliquant le theoreme (2.24) quietablit que

limj (g (x ) ) =f (lim g ( x ) )X-+C a;-+cnous obtenons immediatement

lim ~ = " lim g ( . T ) -x--+C x-tc

L'enonce (1) du theoreme suivant decoule du theorsme (2.24) et de la definitiond'une fonction continue. L'enonce (2) est une reprise de (1) en termes de fonctioncomposes fog.

EXEMPlE 5 Soit k(x) =13x2 -7x -121. Montrer que k est continue quel quesoit x reel,SOLUTION Nous posons J(x) = Ix l et g(x) =3x2 - 7x - 12. Alors, k(x) =J(g(x)) =(f 0g)(x). Comme jet 9 sont continues (par I'exernple1 et le theoreme (2.21) (1)) quel que soit x reel, la fonction composes k = jo g estcontinue (theorems (2.25)) en tout nombre reel.

La demonstration de la propriete des fonctions continues citee au theoreme suivantfigure dans des ouvragesd'analyse plus avances.

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84 CHAPITRE 2 L 1M I T E S D E S F ONCT I ON S

theoreme des valeurs intermediaires(2.26)

Le theorems des valeurs interrnediaires etablit que, quand x vsrie de a jusqu'ab, le. Iotiction continue f passe par toutes les veleurs entre f(a) et feb). Dans lafigure 2.28, le graphique de la fonction continue f s'etend de faeon ininterrompuedu point (a,f(a) jusqu'au point (b,f(b)). Quel que soit w entre f(a) et f(b), ladroite horizontals y =w coupe 1a courbe en au rnoins un point P. L'abscisse c deP est un nombre tel que f(c) =w.

FIGURE 2.38y

feb) ---- -- -- - -1p~y=w

a c x

En consequence du theorems des valeurs intermedlaires, si f(a) et feb) sont designes opposes, il existe un nornbre c entre a et b tel que f(c) =0; autrement dit,f s'snnule en c. Graphiquement, cela signifie que si le point (a, f(a)) est au-dessousde l'axe des x et le point ( b , f e b ) ) au-dessus de I'axe des x, ou inversernent, alorsla courbe traverse I'axe des x en un certain point (e,O) pour a < e < b.

EXEMPlE 6 Montrer que f(x) =x5 + 2X 4 - 6x3 + 2x - 3 a une racine entre1et 2.

SOLUTION En rernplacant x par 1 et 2, on obtient les valeurs de Ia fonctionf(l) = 1+ 2 - 6 + 2 - 3 = -4

f(2) =32 + 32 - 48 + 4 - 3 = 17Puisque f(l) et f(2) ont des signes opposes, du theorems des valeurs interrnediai-res, il decoule que f ( c ) = 0 pour au moms un nombre reel centre 1 et 2.

L'exemple 6 montre comment on peut localiser les racines des polynomes. Unemethode d'approximation successive consiste a cerner une racine dans des inter-valles de plus en plus petits, et ainsi la calculer avec un degre de precision arbitraire,

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2.5 FONCTIONS CONTINUES 85

Void une autre consequence interessante du theoreme des valeurs intermediaires,

Theorerne (2.27)

EXERCICES 2.5

L'intervalle en question peut etre ouvert, ferme, semi-ouvert ou infini.

DEMONSTRAT ION En fait, ee theorems affirme que, sous les hypotheses don-nees, la fonction f ne change pas de signe, Si cette con-clusion etait fausse, cela voudrait dire qu'il existe deux nombres Xl et X 2 dansl'intervalle tels que f ( X l ) > 0 et f ( X 2 ) < O.Mais alors, par le theorems des va-leurs intermediaires, il existerait un nombre c entre Xl et X z en lequel on auraitf ( c ) =0, ce qui est contraire a l'une des hypotheses. Done, la conclusion dolt etrevraie. -Ce theorems (2.27) sera applique, au chapitre 4, a la derives d'une fonction f pourdeterminer comment varie f ( x ) sur differents intervalles.

3x. 1-10: Voici le graphique de J. Qualifier Ies discon-tinuites de J de rE3dllctibles,par saut, ou infinies.

x

x

2 y

y

4 y

x

x

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86 CHAPITRE 2 UM r T E S D E S FONCT10NS

5 y 9 y

--ar4~ . . xx6 ~ ~ J Y

10 Y

J IoX

o---G

X

7 Y

III I I I I I " "j x!II1,I1

Ex. 11-18:Qualifier les dlsconcinuttes de f de roouc-tibles, par saut ou infinies.

8 y

II f(x) = { x2 -1 si x < 14-x 51x2:112 f(x) = { x

3 si x S13-x S I x> 1

13 f(x) = {~x + 3) si x i- -251 x =-214 f(x) = {ix- 1 1 si xi-Isi x = 1

{,'+1 S I x < 115 f{x) = 1 si x = 1x+1 si x > 1{ " 51 x < 116 f(x) = 2 si x =1x-2 si x > 1[I] 17 f(x) ~ x-i sin [cos (; - x2)][I] 18 f{x) = sin(x2 - 1 )(x - 1)2

x

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2,5 FONCTJONS CONTINUES 87

E-:x:,-:,:-1-:9-;:-~-=:-2-,,:2-,,::-,,:M-;:;o;:::n=t=r:::;;e,--r_q7u_e:....::..f_e__t_c_o-:-n__in_u_en a_ , _ ,23!:!_9_ lf1x )= ~ ~19f ( x )~~2x-5+3x; a=4 ~j201(x)=ijx2+2; a=-5 41 f(x)=~2x-3+x221 f(x ) = = 3 x2 + 7- ~; a = = -2v-x 43 f ( x ) = = x-I- v a : ~x2 -122 f ( x ) = -2 - 1; a =8 I + 9 1x + 45 f (x ) = _ ::_ _x+9Ex, 23-30: Expliquer pourquoi f n'est pas continue en a.23 f ( x ) = = __2_2 ; a = -2x+

x2 -940 f ( x } = - _ - - = _ i+----------:;~x42 f ( x ) = ijx _ 4

44 f(x) = ~I-x46 f ( x ) =-;-x + 1

124 f ( x ) = --1; a = = lx -{ x2-9 si x 1325 f (x ) = = 4x - 3 a=3si x = 3{ ,2_9 si x 1-326 f ( x ) = 2x+3 a"" -3si x =-3

27 f ( x ) = { 6 si x 13 a=3S I x = = 3{ I x - 31 si x # 328 f(x) = 1x - 3 a=3si x = 3{ sinx si x 0 29 f ( x ) = ~ a=Osi x = 0{ I - C O S X si x #0@ 30 f( x ) = 1 x a=Osi x = = 0

547 I ( x ) = = x3 _ x24x -7

48 f(x) = (x + 3)(x2 + 2x - 8)~x2 - 9-v25 - x249 f (x ) = = x _ 4

50 f(x) = v'9=X";x-651 f ( x ) = tg2x 152 f( x ) = = cotg 3x

153 f( x ) = = cosec 2x 54 f ( x ) = = sec3x

331 f (x ) - -,,---- x2 + X - 633 f(x) _ x-I- x2 + X - 2

532 f(x) = x2 _ 4x - 12x-434 f(x) = = x2 _ x -:--12

Ex. 55-58: Ver-ifier que le theorems des valeurs inter-mediaires est applicable a la fonction f SUI'" l'intervalle[ a, b] donne et pour un w quelconque entre f (a) et feb)chercher le c tel que f(c) =w,55f(x)=x3+1; [-1,2]56 f(x) = _x3; [ 0 , 2 ]57 f ( x ) = x2 - Xj [1,3]58 f ( x ) "" 2x - x2; [-2, - 1 159 Soit f(x) = x 3 - 5X2 +7x - 9, Par le theorems des valeurs

intermediaires, demontrer qu'il existe un nombre reel atel que f(a) =100.

60 Demontrer que l'equation x5 - 3x4 - 2x3 - a : + 1 = 0 aune solution entre 0 et 1.

Ex. 31-34 :Determiner tous les points de discontinuitede f.

Ex. 35-38 :Demontrer que f est continue sur l'interval-Ie donne.

35 f( x ) =~ x - 4;36 f(x) = -v16 - Xj

137 f (x ) = 2"'x138 f (x ) = = ~-l ;x-

[4 ,8]j- 00, 16]] O , O O [

o 61 Dans les experiences de chute libre, on surpose quel'aoceleration gravitationnelle 9 vaut 9,8m!s . En fait,9 varie suivant les latitudes. Si 8 designe la latitude (endegres), void une formule qui donne approximativement9

g ( 8) =9,78049(1 +0,005264siri2 8+0,000024sin48).l,3[Ex. 39-54: Determiner sur quels inter-valles f est con-tinue. Par le theorems des valeurs lntermediaires, montrer que9 = 9,8 entre les latitudes 350: et 40,

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88 CHAPITRE 2 UMITES DES FONCnONS

o 62 La temperature T (enC) a laquelle I'eau bout est fonctionde l'elevation h (en m) au-dessus du niveau de la merT(h) = 100,862 - 0, 041SJh + 431,03.

2.6 EXERC ICES RECAP ITULATfFS

Par le theoreme des valeurs intermediaires, montrer que,entre 4000 et 4500 m d'altitude , l'eau bout a s s- e.

Ex. 1~26: Calculer la limite, si elIe existe.1 lim 5x + 11x->3 VXT I

3 lim (2x - J4x2 + x)x->-25 lim 2x2 + x - 6

X->;!. 4x2 - 4x - 327 lim x4 -16x->2 x2 - x - 2

9 lim _1_x-.,O+ , ; x

11 lim Sx3 - 1x-"~ 2x-l

2 lim 6 - 7xx->~2 (3 + 2x)4

4 lim (x - J16 - x2)x-4-6 lim 3x2 - x-10x_,2 x2 - x - 2

18 lim --x->3+ x - 310 lim (l/x) - (l/S)

x->5 x - 5

. 3 - x13 lim ~13--1x->3+ - X15 lim (a + h) 4 _a4

h-.O h

14 lim Vx - ,j2x->2 X - 2

(2+ h)-3 - 2-316 lim 0 hh->O17 lim 3 x + 3x->-3 x3 + 2719 lim (2x - 5)(3x + 1 )

x->-oo e x + 7)(4x - 9 )21 lim 6: _ 7xx->-oo (3 + 2x)4

x 223 x~+ 4- 9x23

20 lim 2x + 11x->oo v'X+l

22 lim x -100x->oo v'x2 + 100

24 lim -]_0-3x->t- Sx-

x-I26 lim _x-'>l V ex - 1)25 lim ( v x - ~ )x-~O+ VX

Ex. 27-32: Esqulsser Ie graphique de la fonct.ion fdefinie par morceaux et calculer si possible chacunedes Iirnites pour la valeur 0 indlquee dea :

(al lim f ( x):l!~a~ (b) lim f ( x)x .......+ Ie ) lim f ( x),. x->a27 f ( x) = { 3 ; : s~x :::;2 0 a = 2x2 S1 x> 2

28 I(x) = { x3 si x :::;2 a = 24 - 2x si x> 229 f(x ) = { 2 ~ 3x si x -3{x2 si x < 1

31 f ( x) = 20 0 si x = 1 a =14 - x2 si x > 1

{x4 +x32 f ( x) =: 2-;;- si x # 0 a =

si x =033 Demontrer par Ill.definition (2.4) que limx->6(5x - 21) 0:=9.34 Soit f definie par:

f (X )={~l si x est rationnelsi x est irrationnel.Demontrer que limx-.a f ( x) n'existe pas, quel que soit a.

Ex. 35~38 :Quels sout les points de discont.lnuite de f ?35 f ( x) = I x 2 - 161x2 -16

237 f ( x) = x - x - 2x2 -2x

136 I(x) = x2 _ 1638 f ( x) - = x + 2x3 - S

Ex. 39-42 :Sur quels Intorvalles f est-elle continue?39 f (x) ce 2x4 - if:i + 1 40 f ( x) - = V(2 + x)(3 - x)41 f ( x) = ~ 42 f ( x) = x ~ 1Ex. 43-44 :Demontrer que f est continue en a.43 f ( x) = y'5x+ g;a:= S44 f(x ) "" ~ - 4;a = 27

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INTRODUCTION

Nous commencons ce chapitre par I'examen de deux.pro-blemes. Le premier consiste a determiner la pente de latangente en un point d'une courbe representative d'nnefonction, le second vise a . definir la vitesse d'nn pointmobile sur une droite, II est remarquable que ces deuxapplications apparemment differentes 110US conduisenta. la meme notion: la derivee. Voila. de quai faire res-sortir la puissance et la generalite des mathernatiques.Concretement, a. la section 3.2, delaissant les aspectsgeometriques et physiques des problomes, nous definis-sons la derivee comme la limite d'une certaine expressionqui implique .f . II nous est des lors possible d'appliquerIe concept de derivee a n'importe quelle quantite quis'exprime comme une fonction, Comme de telles quan-tites apparaissent dans presque tous les domaines, lesapplications possibles de la derivee sont nombreuses etvariees, mais eUes concernant toutes nne vitesse de va-riation. C'est ainsi que, par rapport aux deux problemesdu debut, on peut voir dans la pente de la tangente lavitesse a laquelle un graphique monte (on descend) etdans la vitesse du point mobile le taux de variation del'espace parcouru par rapport au temps ..Notre objectif principal est de presenter les deriveeset de developper les regles qui permettent de les calculeren se passant des limites. Nous montrerons leur place desa . present dans quelques applications et ulterieurementdans bien d'autres.

IT e

ER I V E E

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90 CHAPITRE 3 LA DERIVEE

3.1 TA NGENTE E T TAUX DE VARIATIONFrGURE 3.1

FIGURE 3.2y

FrGURE 3.3(I )

y

a x

x

11est souvent interessant, en analyse, de connaitre les tangentes d'une courbe. Engeometrie, la tangente l en un point P d'un cercle est definie comme la droite quine rencontre le cercle qu'au seul point P (voir la figure 3.1). Mais cette definition nevautplus lorsqu'il s'agit d'une courbe representative d'une fonction I , car, commedans la figure 3.2, il se peut qu'une droite "touche" la courbe en un point P etla rencontre ensuite en un autre point. Notre objectif est de determiner la pentede la tangente en un point, pour pouvoir ensuite ecrire I'equation de la tangenteala courbe en ce point, grace ala formule (1.8)(2) de l'equation d'une droite enfonction de la pente et d'un point.En vue de definir la pente de la tangente l en P(a,J(a)) a la courbe I , nouschoisissons d'abord un autre point Q(x,/(x)) (voir la figure 3.3(i)) qui determineavec P une droite PQ. Cette droite est appelee une secante par rapport ala courbeJ. Nous adoptons les notations suivantes:

lpO : la droite secante passant par Pet QmpQ : Ia pente de lPQma : la pente de la tangente l en P(a,/(a))

Quand Q est proche de P, mpQ est une approximation de ma' 11faut memes'attendre a ce que cette approximation s'ameliore si Q s'approche davantage deP. Faisons done tendre Q vers P - c'est-a-dire, intuitivernent, Q devient de plusen plus proche de P -, mais Q = 1 = P. La figure 3.3(ii) iUustre la situation ou Qs'approehe de P par 1a droite. Les lignes en traits discontinus sont des positionsmomentanees de lpQ. A la figure (3.3)(iii), Q s'approche de P par 1a gauche. Lepoint Q pourrait encore s'approcher de P de beaucoup d'autres manieres, parexemple, en passant par des points de 1acourbe situes alternativement a droite eta gauche de P. Si mpQ a une limite - autrement dit, si mpQ devient infinimentpioche d'un certain nombre lorsqueQ tend vers P - cette limite est Ia pente made 1atangente l.Reprenons cette construction en termes de la fonction I . Suivant Ia figure 3.3 etles coordonnees des points P et Q, Ia pente de la secante lPQ est donnee parI(x) - I(a)mpO= .x-aSiIest continue en a, Q(x,/(x)) s'approche de P(a,/(a)) lorsque x s'approchede a. Ce quijustifie la definition suivante de Ia pente ma de l en P(a, I(a)) :

}(iiI liiI)

x

y y

a x x a x

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~ ~~ ~ - '~ LL~LL ~~"Y~~"~~~~ ~ ,,~~ _ ~_ _ .L ,_ ,~L ,~L"~~L~L ~ _ ~~ .. _ ~ ~_ __ ._ _ _ ~~ ~_ ~ __ '_~_ ~~"~~~~_ ~"~~"~_"_"___LL~_ ._~__~ ._L~L" .~~ _~V-L_ L_ -. -'-'-.,_ ,,_ _ ,_ _ ,~~ ~ .~LL +~_ ~_.~LL~ -.-'- ,~~~

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94 CHAPtTRE 3 LA DERI VEE

FIGURE 3.10

-----

Cette vitesse s'exprime en cmls si la distance parcourue s(t) est mesuree en cen-timetres et le temps en secondes, Elle peut aussi s'exprimer en km/h 5 1 s(t) estmesuree en kilometres et t en heures. II y a encore bien d'autres unites possibles.Co concept de vitesse sera repris au chapitre 4, a u nous montrerons que si la vitesseest positive sur un intervalle de temps donne, alors le point P se deplace dans Iesens positif de I, tandis que si la vitesse est negative, le point se deplaee dans lesens negatlf de l. Bien que ces resultats n'aient pas encore ete dernontres, nousnous en servons deja dans l'exemple suivant.

EXEMPLE 2 Un sac de sable est lache d'une montgolfiere situee a une altitudede 150 m. En negligeant la resistance de I'air, Ia position du sac

au-dessus du sol au moment test donnee pars(t) =-5P + 150.

QueUe est la vitesse du sac quand(alt =as? (b) t =2 s? f e J il touche le sol?SOLUTIONfa ) Le sac de sable suit un axe verticall dont l'origine est au niveau du sol, commeon peut le voir dans.la figure 3.10. .L'Instant ou il est lache correspond a t =O . Saposition est alors

8(0)= -:-5(0) +150=150m.Pour calculer sa vitesse au moment t =a, nous employons Ia definition (3.3)

r 8 (a + h) - s(a)Va =h~ h

= lim [-5(a+ h) 2 + 150]- (-5a2 + 150)h . . . . . . h= lim [-5(a2 +2ah+h2) + 150] +5a2 - 150)

h...... h-lOah - 5h2= lim hh......

= lim (-10a - 5h) =-lOa m/s.h->OLe signe negatif rend compte du sens negatif du sac sur l.tb J La vitesse apres 2 secondes s'obtient en rernplacant a par 2 dans la formuleVa =-lOa

't12 =-10(2) =-20 m/s'te) Le sac touche le sol au moment ou sa distance du sol est nulle a savoir-> quand

$(t) =-5t2 + 150 =0 au

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'3.1 TANGENTEET TAUX DE VARIATION 95

Ce qui donne t = J30 :=:::::,5 s, Avec la formule de la partie (a) appliquee a----------------t-~J30,_Qn-Ghti@:W.a.:-vitesse:..au-momenLdeJ2impacLau ..sol.:---------_

-lO J3 0:= ::::: -5 4 m/s

Des Iimites comme celles des definitions (3.1) et (3.3) interviennent dans beau-coup d'autres contextes. La variable independante peut etre le temps, commec'etait Ie cas pour la definition de la vitesse, Par exemple, le temps est la variableindependante lorsqu'un chimiste examine la vitesse a laquelle une certaine sub-stance se dissout dans l'eau, lorsqu'un ingenieur souhaite connaitre la vitesse devariation de l'intesite du courant dans un circuit electrique, lorsqu'un biologistes'interesse a la vitesse d'accroissement du nombre de bacteries d'une culture. Parcentre, certains taux de variation sont relatifs it d'autres grandeurs que le temps.La 10 i de Boyle-Mariotte etablit que, a temperature constante, le produit de lapression p d'une masse donnee de gaz par Ie volume v qu'elle occupe est constant,soit v = fp . Si la pression se modifie, il est interessant de mesurer it queUe vitessele volume change par rapport a chaque unite de variation de pression. C'est cequ'on appelle le taux de changement instantane de v par rapport a p. Afin detraiter ce probleme de facon generale, prenons deux variables x et y liees par unefonction f telle que y = f ( x ) . (Dans Ie dernier contexte cite, x =p, y = v etf (x ) =C ; ' 1 ; . ) Nous definissons les vitesses de variation de la variable y par rapporta une variable x comme ceci,

Definition {3,4)

Nous allons employer indifferemment taux de variation et taux de wlI'iation ins-tantane.En prenant dans la definition(3.4) le cas particulier x =t (temps) et y = s(t)(position sur 1 8 0 droite graduee}, nous obtenons I'interpretation suivante en ce quiconcerne le mouvement rectiligne :vitesse moyenne (vmoy): le taux moyen de variation de spar

rapport a t sur un certain intervalle de temps.vitesse (va): Ie taux de variation instantane de s

par rapport a t en aEn vue dinterpreter graphiquement la definition(3.4) (2), imaginons un point Pqui se deplace de la gauche vers Ia droite le long de la courbe y = f ( x ) representeedans 1 8 0 figure 3.11.

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F JG U RE 3 .1 1Y

x

Pente ml> P e nr e z -,

Le taux de variation instantane de y par rapport a x nous renseigne sur 10.vitesse aIaquelle 10.courbe monte ou descend par unite de changement de z. Dans la figure3.11, ma (Ia pente de Ia tangents en A) est inferieure a m& (la pente de 10.tangentsen B) et Ie taux d'accroissement Ya de y par rapport a x en a est plus faible que Ietaux d'accroissement Y b de Y en b. En C, la pente me de 10.tangente est negative,done y deeroit lorsque x croit.La definition ( 3 0 4 ) s'applique aussi en physique.

EXEMPlE 3 La difference de potentiel d'un circuit elect rique est de 100 Volts.8i I est I'intensite du courant (en amperes) et R la resistance(en ohms), la 10i d'Ohm dit que I =100/ R, 8i R croit, trouver Ie taux de variationinstantane de I par rapport a R

ta ) en une valeur de R quelconque (b) pour une resistance de 20 ohms.SOLUTION[a] Le taux de variation instantane de I par rapport a R est donne par la definition(3.4)(2), dans laquelle y =1, x = Ret f(R) =100/R

IR = lim f (R + h ) - f (R )h_,O h

100 100----= lim R+h Rh-O h

= lim 100R - 100 (R + h )h-,O h(R+h)RI. -lOOh= 1m -:-:-=--:-:-c:::-h-;oh(R+h)R

- 100 100= lim =h_,O (R + h) R - R 2Le signe negatif indique que l'intensite du courant diminue.

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3.1 T AN GE NT E.E T T AU X DE VARIATION .97

[b] Pour obtenir le taux de variation instantane de I par rapport a R lorsque----------------'R 20)H-suffi t-de - re ff tJ?1aee r-R-pa - l '- 8a -vru{ '> ,uF-dansJ .k1- f .Qr .n :u ll e~ : ;: :: ; - J ( lO j~ de , __ _;la partie (a) 100 1

10 =- 202=- 4 " 'Done, quand R =20, l'intensite du courant d6croit a raison de ld'ampere parohm.

EXERCICES 3.1Ex, 1-6: [a]Par la definition (3.1), calculer la pente dela tangente it la courbe.f en P(a,.f(a. (b] Determinerl'equation de la tangente en P(2,.f(2,

I f (x ) = 5x 2 - 4x 2 f (x ) =3 - 2 x23 f(~~) := x3 4 f (x ) := x4C~. ) f (x ) "" 3x + 2 6 f (x ) =: 4, - 2xEx. 7-10: [a] Par la definition (3.1), calculer la pentede la tangente a la courbe f en un point dabscisse a,(b, Determiner une equation de la tangente en P. [e iDessiner la courbe et la tangente en P.Q).J= p; P(4,2)8 y = { ; I X ; P (-8, - 2)9 Y : = ~ ; p ( 2 , i )lOy"" : 2 ; P ( 2 , { )

Ex. 11-12: (a)Dessiner le graphique de l'equation et Iest.angentes aux points d'abscisse -2, -1, 1 et 2. (b]Enquel point la tangente a la courbe a-t-elle Ia pente 'Inindiquee '(

II y =x2; rn s= 61 2 y " '" x3; rn = 9

Ex. 13-14: La fonction s donne la position (en em)d'un point P qui se deplace sur une droite gradueel en fonction du temps t (en s). (a J Calculer la vitessemoyenne de P sur les intervalles de temps suivants:[1:1,2], [1~1,1] et [Ii 1,01]. (bi Caleuler Ia vit.esse dePen t =1.13 s(t)=4t2+3t 14 s(t)=2t-3t215 Un aeronaute lache un sac de sable d'un ballon qui navi-

gue a 50 rn au-dessus du sol. Apres t secondes, le sac esta 50 - 5t2 metres du sol.r a j QueUe est la vitesse du sac quand I ; : :: :: 1 ?(b) Animo de quelle vitesse Ie sac touchera-t-Il Ie sol?16 On tire un projectile a la verticale avec nne vitesse initialede 35 m/s. Apres t secondes, il est a une distance du sol

de 35t - 5t2 m.(a ) QueUe est la vitesse du projectile en t = 2, t = 3 ett = 4?

(b) A quel moment le projectile retombera-t-il SUf le sol?(e)Quelle est sa vitesse au moment ou ils'ecrase sur lesol?

17 Sur I'ecran du jeu video que montre la figure, on peut voirdes avions qui descendent de gauche a droite en suivantla trajectoire y = = l+(l/x) et qui tirent des balles selon latangente de leur trajectoire en direction de cibles placeessur I'axe des x aux abscissas x = 1,2,3,4 et 5. Est-coqu'une cible sera touchee si Ie joueur tire au moment oul'avion est en(aW(l, 2)?E XE RC IC E 1 7

321

1 2 3 4 518 Un athlete court le 100 m et sa position apres t secondes

est donnee par dt) = { t 2 + St m (voir figure). Calculerla vitesse de l'athleter a J au moment du depart ( b ) quand t = 5 s

r c ) sur la ligne d'arriveeE XE RC IC E 1 8

Ex. 19-20: (a) Calculer le taux moyen de variation dey par rapport it x sur l'intervalle donne. (b) Calculerle taux de variation lnstantane de y par rapport a x enPext.rernite gauche de l'intervalle.19y=x2+2j [3;3,5J20 y = 3 - 2 x2 ; [ 2 ; 2 , 4 J

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98 CHAPITRE 3 LA OERIVEE

21 La loi de Boyle-Mariotte etablit que, it. temperature con-stante, Ie produit de la pression p d'une masse donneede gaz par Ie volume v qu'elle occupe est constant, soitp = c] pour une certains constante c. Si, pour un cer-tain gaz, c=200 et v se met a croitre, quel est Ie taux devariation instantane de p en fonction de vta l en un volume v quelconque ? tb ) si v = 10 ?

22 On gonfte un ball on spherique, Quelle est Ia vitesse devariation de sa surface S par rapport it. son rayon rtal en une valeur quelconque de r? tb ) quand r =0,9m?[I] 23 Dessiner la courbe f (x ) = sin 7 1" X sur l'intervalle 10,2].ta ) A partir du graphique, estimerIa pente de la tangente

en P(1,4, f(1,4)).[b] Grace it. la definition (3.1) avec h = O,OOOl , donnerune valeur approximative de la pente dont il est ques-tion en (a).

E . 1 b d'eouati f( ) 10cos xsquisser a cour e equation y = x = 2 4 surx +l'intervalle [~2, 2 J .ta ) A partir du graphique, estimer Ia pentede la tangente

en P(-0,5, f( -'-0,5)).

(b ) Grace a . la definition (3.1) avec h = O,OOOl , don-ner une valeur approximative de la pente dont ilestquestion en (a).[c]Trouver l'equation (approximative) de la tangente it lacourbe en P.[ ] 25 La position d'un objet sur une droite graduee est donnee

par( ) _ cos2 t + t2 sin ts t - t2 + 1

ou set) est en metres et t en secondes. Chercher une valeurapproximative de sa vitesse en t = 2 grace a la definition(3.3) avec h=0,01,0,001 et O ,OOOL[ ] 26 La position d'un objet sur une droite graduee est donneepar

set) =t-t2sintt2 + 1[I] 24 ou set) est en m et t en min.ta ) Dessiner s pour 0 , ;: :;t ' ; ::;.10.

(b J Determiner approximativement les intervalles detemps sur lesquels sa vitesse est positive.

3.2 DEFINITIONDE LADER IVEEDans Ia section qui precede est apparue, dans differents contextes, la limite

Ii f (a+h)- f(a)h~ h ou lim f (x ) - f(a) .x-a X - a

Cette limite est la base de l'un des concepts fondamentaux de l'analyse, le derivee,tel que le montre la definition suivanteDefinition (3.5)

Le symbole fl se lit f prime: Ilest it noter que dans la definition de f'(x), x estun nombre reel quelconque etque Ia limite est prise pour h tendant vers O. Unefois f'(x) connu, on peut trouver fl(a) pour un a reel cholsi en remplacant x para.La declaration f l{X) existe signifle que Ia limite de Ia definition(3.5) existe, Quandf'(x) existe,on dit quefest derivable en x ouque f a une derivee en x. Sila limite n'existe pas, alors f n'est pas derivable en z. Deriver f ( x ) au calculer Iaderivee de f ( x ) signifie trouver l'expression de f l(X).Dans certaines circonstances, il est plus commode d'employer la definition (3.5)sous Ia forme alternative suivante.

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3.2 DEFINITION DE LA DERIVEE 99

Definition alternative de !a denvee-------------------~3~------------~sg84~

Elle provient de la premiere formule qui a servi a definir rna a la page 91.Les enonces qui suivent ne font que reprendre les definitions (3,1) et (3.4)(2) enterrnes de f'(x). Beaucoup d'exemples.et d'exercices tout au long de ce texte ferontappel a ces interpretations de laderivee.

Interpretations de /a derivee f3.7.

Rappelons Ie cas particulier de (3.7)(2) ou si x = t designs le temps et y = set)indiquela position d'un point mobile P sur une droite, alors s'(t) est lavltesse deP au moment a.Une fonction f est derivable sur un intervalle ouvert Ia, b [ si f'(x) existepour tout x de] a, b [. Nous rencontrerons des fonctions derivables sur des intervallesinfinis 1 a, +00 [,]- 00 , b [ ou 1 - 00 , + 00 [. A propos du caractere derivable sur unintervalle ferme nous adopterons la meme convention que pour la continuite surun intervalle ferme (voir (2.22. . .

Definition f3.8)

Les limites unilaterales de la definition(3.8) sont appelees respectivement deriveea droite de f en a et derivee a .gauche de f en b. En effet, dans le cas de laderives a droite, h -+ 0+ et a + h s'approchent de a par 1a dtoiie. Dans le cas dela derivee a gauche, h > O~ et Q + h s'approchent de b par 1a gauche.Dans la figure 3.12 de la page suivante, on peut voir une fonction definie sur unintervalle ferme [ a , b 1 et non definie en dehors de cet intervalle. Dans ce cas lesderivees a droite et a gauche donnent les coefficients angulaires des tangentes enpea, f(a et R (b , f eb ~ respectivement. La tangente en Pest Ia position limite dela secante PQ lorsque Q s'approche de P par la droite, la tangente en R, de lasecante QR lorsque Q s'approche de R par la gauche.La derivabilite sur des intervalles de 1a forme [a , b ( , [ a , + 00 [ , l a , b 1 ouj - 00 , b 1 se definit de facon analogue, dormant lieu a une limite unilaterale enl'une des extremites.1 Le domaine de definition de fi comprend tous les points en lesquels festiderivable ainsi qu'eventuellement les extremites du domaine de f Iorsque les limites\ unilaterales correspond antes existent.

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Definition (3.9j

Definition ( 3 . J O J

FIGURE 3.12Pent e = lim11->0 . feb + h) - feb)Pent c = l im .1 1 .. . .. 0 - h

Pea, f(a))

a a + h(h > 0) b + h b(h < 0)Pour que f' (a) existe, quand fest deflnie sur unJnteI~y:a,J)g.f?}lX~.r:tontenant a, ilfaut et .i l suffit que les derivE)fsa droite et a gauche en d"existent ei soieni egales.Dans Ia figure 3.13 sont dessines quelques graphiques ou Ies derivees a droite et itgauche en a donnent les pentes des droites l1 et iz respectivement. Si ces pentesne sont pas egales, f ' (a) n'existe pas. Le graphique de f presente en P(a,j(a))un point anguleux 8 1 f .est continue en a et si Iesderivees a droite et it gaucheexistent rnais ne .sont pas egales ou S 1 une seule de ces derivees existe en a et que1f'(x)l-' 00 quand x -. a- ou x -. a+ .

FIGURE 3.13Y t,

y

a x

Un autre cas ou f ' (a) n'existe pas est celui ou la tangente ala courbe en P (a, f( a) )est verticale.

Au cas ou Pest l'une des. extremites du domains, cette definition reste valablea condition de n'y envisager qu'une limite unilaterale. Divers cas de tangentesverticales sont presentee dans la figure 3.14. Le point P de la figure 3.14(iii) estappele point de rebtonssementi. En voici la definition. -

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3.2 D EFIN ITIO N D E L A D tR IV EE

FIGURE 3.14

y yp ea , f e a

y y = f ( x )

y=~2

Q( -a, 0)x a x a x

EXEMPlE 1 Pour f(x) =3x2 -12x + 8, determiner[a] f'(x) [b] f'(4),f'(-2) et f'(a) (c) le domaine de definition de l'SOLUTION[a] Selon la de(inition(3.5)l'x) = lim f (x + h ) - f (h )

h-O h[3 (x + h) 2 -1 2 (x + h) + 8] - (3x2 - 12x + 8)

h(3x2 + 6xh + 3h2 - _l2x - 12h + 8) - (3x2 - 12x + 8)

h

= limh-tO= limh-O= lim 6xh + 3h2 - 12h_

h_O h= lim (6 :1 :+ 3h - 12 )1 1 , . . . . . 0=6x - 12.

fb I En substituant dans f ' ( x ) = 6x -12 les differentes valeurs de z, nous obtenons1'(4) =6(4) - 12 =12

/'(-2) =6( -2) - 12 = -24et f ' (a) = 6a - 12.

[c) Puisque 1'(x) =6x - 12, elle est definie pour tout nombre reel. Son domainede definition est J R .

EXEMPlE 2 En se servant du resultat de l'exemple 1, pour y =3x2 -12x+S,determiner ,.lalla pent.ede la tangent.e au graphique de cett.e equation en P(3, -1)[b] le point de ce graphique en lequella tangente est horizontale.

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)02 CHAPITRE3 LA DERIV EE

FIGURE 3.15Y

y " '" 3x2 - 12x + 8

rente ",,6

FIGURE 3.16y

SOLUTIONta l La courbe de Iest dans la figure 3.16..Le domains de definition de In'est queI'ensemble des reels positifs.

x fb ' Puisque x =0 est une extremite du domaine de definition de I , nous allonsexaminer separement les cas x > 0 et x =O .Si x > 0, alors, par la definition(3.5),

1'( )- u VX+h - v'xx - lID h .h-->OAvant de passer a la limite, il estnecessaire de rendre rationnel Ie numerateur duquotient afin de Simplifier

I,()-I' ...r x+ h - v'x ...rx+h +.jXx - 1m .1.->0 h .; x + h + .jX= lim (x +h) - Xh->O h ( J x + h + v'x)I. 1= 1m -----",==----h-;O ';x+h+.jX

1 1= Vi + yX = 2..jX

En x =0 extremite gauche du domaine de definition de I, il convient de prendreune limite unilaterale pour savoir si 1'(0) existe. D'apres la definition (3.8),lim 1(0 + h ) - 1(0) = lim v 'O - th - v 'O1.->0+ . h h~>O+ h

= lim v'h = lim _1_ =+00.h-.O+ h h->O+ v'h

Ce ealculmontre que Ia limite n'existe pas. Le dornaine de definition de f' necomprend que les reels strictement positifs. Cette limite infinio indique qu'en (0,0),la courbe admet unetangente verticale, a savoir en l'occurence l'axe des y.

xPente =0

y = \I X

FIGURE 3.17y

SOLUTIONfa , Selon l'interpretation (3.7)(1) et I'exemple 1 ci-dessus, la pente de la tangentsen (x, I(x est donnee par f'(x) =6x - 12. En particulier en P(3, -1), la penteest

1'(3) =6(3). - 12=6.(b J Puisque la pente d'une droite horizontals est nulle, nous resolvons 6x-12 =0,ce qui donne x = 2. En cette abscissa, y =-4. La tangente est horizontals aupoint Q(2, -4).La courbe representative deI(une parabole), ainsi que ses tangentes en Pet Q,se trouvent dans la figure 3.15. Le point Q(2, -4) est justement Ie sommet de laparabole.EXEMPlE 3 Soit I(x) =Vx{a t Dessiner la courbe de /(bJ Determiner I' (x) et Ie domains de definition de f'.

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3.2 D EFIN ITIO N D E LA D ER IV EE 1C ) 3

EXEMPlE 4 Soit f (x) = lx!~ Montrer que f n'est pas derivable en O.SOLUTION Legraphique de fest dansla figure 3.17. Un des moyens de prouver.que f ' (0 ) n'existe pas est de calculer les derivees a droite eta gaucheen 0 et de constater qu'elles ne sont pas egales.Les limites unilaterales de la definition (3.8) avec a=0 et b =0 menent.alim f (0+ h ) ~ J (0) = lim 10+ hl-IOI = lim Ihhl=L

h->O+ h 1),-.0+ h h->O+lim J (O+h) -J (O)= lim 10+hl-l01 = lim ~=~1.h-+O- h h_,O~ h h-tO- h

Done, J ' (O) n'existe pas et J n'est pas derivable enO. Graphiquement, cela seremarque au point anguleux en 0 ou a l'absence de tangente ala courbe en (0,0).

II a ete demontre a l'exemple 1 dela section 2.5 que la fonction f de l'exempleprecedent est continue en x =O;cependant, j ' (O) n'existe pas. Done, il n'est pascertain qu 'une [onction continue soit derivable. Par centre, le theoreme suivantetablit que toute fonction derivable est continue.

Theoreme (3.11 J

DEMONSTRATION Nous allons employer la definition alternative de la derives(3.6) :

j' (a) =lim f (x ) - f(a)x-a X - a

Pour cela, ecrivons f (x} de sorte qu'y apparaisse Ie quotient [ f(x ) - J (a)]/(x - a)f(x) =Jex ) - J (a) (x - a) + f(a)x -a

Calculons la limitelim J ( x ) = lim f(x ) - f (a) . Hm(x - a) + lim f(a)x~a. X......-tQ. X - a x-t-a .:r:~a

= f 'ea) 0 + f(a) =(a) .

y=mx+b

Ce qui, suivant la definition(2.20), demontre la continuite de f en a. -Par I e biais des limites unilaterales, le theoreme (3.11) s'etend a des fonctionsderivables sur des intervalles fermes,Lorsque l'expression f(x} d'une fonctionest un taut soit peu compliquee, il de-vient tres ennuyeux de calculer sa derivee d'apres la definition (3.5), comme nousl'avons fait jusqu'ici. Heureusement, nous allons pouvoir etablir quelques formulesgenerales qui permettront d'eviter les limites dans le caleul de r(x}.Commencons par le cas d'une fonction lineaire de la forme f (x ) ~ mx+b oii m etb sont reels. Son graphique est une droite de pente met d'ordonnee a l'origine b(voir Lafigure 3.18). La tangents l e n un point P, quel qu'il soit, se confond avecle graphique de f et adone aussi m comme pente. L'interpretation (3.7)(1) nouspermet de conclure que f'(x) = rh quelque soit x. On aurait aussi pu aboutir a.ce result at a partir de la definition (3.5). Ceci nous donne une premiere formule.

FIGURE 3.18y

x

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Denvee d'one fonction lineaire(3.121

Derivee d'une fonction constante(3.131

ILLUSTRATION

Dans Ie cas particulier a u m = 0, on obtient la formule suivante

Comme le graphiqued'une fonction constanteest une droite horizontals, iI estevident graphiquernent qu'une tangente en un point de cette droite (qui se confondavec eUe) est de pente nuUe.Les deux formules sont appliquees a quelques cas particuliers,

Deriv(:e dune puissance (3. J 4)

3x - 7 -4x + 2 7x x 13 7[2 .ijlO3 7 1 0 04 o

Dans beaucoup d'expressions algebriques, la variable x apparait elevee a une cer-.taine puissance n. Void la regie de derivation d'une puissance ou n est un entier,

DEMONSTRATION On part de la definition (3.5)!'(x ) = lim I (x + h) - I (x)

h-O h. (x + h)" - xn

= lim -'-----'----h-,O hSi n est un entier strictement positif, on peut developper (x+h)n suivant la forrnuledu binorne, ce qui donne

[xn +nxn-1h + n (n ~ 1) xn,.2h2 +.. .+ nxhn-1 + hn] _ xnf ' ( x ) = lim 2. h

h......

= lim [nxn-1 + n (n - 2) xn-2h +.. .+ nxhn-2 + hn-1] .h-O 2 1

Tous les termes a I'interieur du crochet qui contiennent une puissance de h vonts'annuler lors du passage a la limite; ilne reste done que Ie premier terrne !,(x) =nxn-1,8i n est un entier strictement negatif, on ecrit n = -k et ainsi k est strictementpositif On a aIors

( h)-k -kI'() I' x + - xx = 1m ~--~~---h-40 h= lim xk - (x + h) k .h->O h (x + h)k xk

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~-'_"-' ~ ~~ ~LY~o -L~ ~C ~'~~~~ +_ ~ +~ ... ~_~_~~ ~~~,~~~ _ ~ ~ o-'~~~_o -'~_~_~__~_~o-~ ~ ~ ~ ~ _ ~~ ~ _ _~~~_ ~~_ ~"_~~~ ~~~_ ~ '_~~~_~~ _ ~o-L~~~"~_~~~~ ~~ ~~ ~ _~ _ ~ ,~ \_~ ~~_ ~~ ~ ~ _ _~ ~

3.2 D EFIN ITIO N D E LA D ER IV EE 105

Comme avant, .on developpe (x + h) k par la formule du binome, on simplifie et on--------------..:._---;p:c;:a"'s""se;c-;a1ahmlte, ce qui-clNTITIrn:TIl"'"~----------------------j'(x) =_kx-k~.1 =nxn-1.

Si n =0 et x f- 0, la regle reste applicable puisque, dans ce cas, f ( x ) =xO = 1 etque, par (3.13), f ' ( x ) =0 =O XO-l. -La regie de derivation des puissances est appliquee dans quelques cas.

ILLUSTRATION

1X-I =_X

Cette regle de derivation des puissances vaut aussi pour des exposants rationnels,Dans I'annexe II, on demontre d'abord que pour n entier positif,si f ( x ) =x l/n, alors !, (x) = 2 .x(l/n)-lna condition que ces expressions scient definies. Ensuite, grace a des regles quiseront demontrees aux sections 3.3 et 3.4, on passe a des exposants rationnels

quelconques minsi f ( x ) = xm/n , alors . f ' (x) = m x(m/n)-I .n

Ce n'est qu'au chapitre 7 que nous pourrons demontrer que cette regie est valablememe pour un exposant reel quelconque,La regle de derivation de puissances rationnelles est appliquee dans quelques casparticuliers,

ILLUSTRATION

1 -1 1iX2= 2jX2 -1 2-xT=--3 3 .y "X5.1 5-X4 =-{IX4 41 -4 1--xT =---43 3X33 -5 3--X2 =-~2 2X2

1 -1-, =XT2;31 -3-3 =x2X2

En ne changeant que tres peu de choses a 11'1,emonstration de la regle (3.14), onobtient la suivante.

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106Tneoreme f3.1S)

CHAPITRE 3 lA DERIVEE

Notations de la dervee de y =f ( x )f3. t 6)

ILLUSTRATION

Ce theorems s'enonce, pOUl"deriver cxn, on multipiie Ie coefficient c par n et OIldiminue l'exposent d'une unite.Nous terminerons cette section en introduisant d'autres notations de la derivee.

Toutes ces notations sont utilisees en mathematiques et dans les applications, aussiest-il necessaire de se familiariser avec elles. Par exemple, nous pouvons maintenantecrire . ! ! _ f ( x ) = lim f( x + h ) ~ f(x ) .dx h->O hLa lettre x dans la notation djdx est l a pour indiquer la variable independante,Dans le cas ou il s'agit d'une autre variable independante, t par exernple, nousecrirons

f'(t) = : t f(t).Le syrnbole djdx s'appelle un operateur differentiel. Seul, ce symbole n'a pas designification; quand il a une expression a sa droite, il designe une derivee. Onditque d j d x opere sur I'expressionet dy j dx designela der'ivee de y par rapport ax. Cette notation trouve sa justification dans le concept de differentielle, qui serapresente a la section 3.5.Void quelques applications des forrnules (3.15) et (3.16).

Lesnotationsy' et dyjdx servent ala fonction derivee de y par rapport a z. Lavaleur de cette fonction en la valeur x =a necessite un ecriture du type

dY]dx x = " ou

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3.2 DEFINITION DE LA DER!VEE 107ILLUSTRATION

CJ d(X3)]. =3x2] =3(52) =75.dx x=5 x=5

[ d( 9Xi) 1 [ . 1 ] 1CJ .dx x=8 = 12x3 x=8 =12($3) =24On envisage aussi de prendre le. derivee de le dexivee. En prenant la derivee d'une

fonction f, on obtient une fonction f'.Si cette fonction f' a elle-meme une derives,on la note f" (lire f seconde) et on l'appelle la derivee seconde de i-

rex) =(t)'(x)SOliS forme d'operateur, on emploie Ia notation tP /dx2. La derivee troisiemer' de f est la derivee de la derivee seconde.i" =(J"Yex)Pour les derivees d'ordre plus eleve on emploie la notation f(n). EUe designe laderivee n-ieme de f et s'obtient en partant de f et en derivant successivement n. fois.Sous forme d'operateur, on emploie Ia notation dn [da", Le tableau resume lesdifferentes notations pour les derivees successives de y = f ( x ) .

Notations des derivees d'ordresuper ieur (3.17J

EXEMPlE 5 Calculer les quatre premieres derivees de j ( . ' C ) =4d.SOLUTION On emploie quatre fois de suite la formule (3.15) :l' (x) = (4. ~) x~ =6xl

I" (x) = (6 !)x-1 =3x-}f(3) (x) =3 (-!) x-~ = -~x-%/(4) (x)=(-~) ( - % ) x-i =~x-!

EXERCICES 3.2

Ex. 1-4: (aj Calculer f'(x) par la definition (3.5). (bJDeterminer Ie domaine de definition de f'. (e l Ecrirel'equation de la tangente au graphique de f en P. (d)En quels points du graphique la tangente est-elle hori-zontale?1 f (x) = _5x2 + Sz + 2;2 f (x ) =33;2 - 2x - 4;3 f(x) =x3 +x;4f(x)=x3-4x;

Ex. 5-12: (a) Calculer f'(x) grace aux formules dederivation.lb) Determiner le domaine de definition def'. [c]Ecrire l'equation de Ia tangente au graphique def en P. fdj En queis points du graphique la tangenteest-elle horizontale?

P(1,2)

5 f (x) =9x - 2;6 f(x) =-4x+3;7 f(x} =37;8 f (x ) = 1 1 ' 2 ;

P(3,25)P(-2,U)P(O,37)P ( 5 , 1 1 ' 2 )

PC-I, -11)P(2,4)

. P(2,O)

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108 CHAPITRE 3 LAOE!WEE

32 yf (x) = 1/x3;IO f ( x )=1 / x 4;P (2,)P (1,1)

1IIf (X ) = 4Xd; P (81,12)I12 f (x) = 12x3; P(-27, - 36)Ex. 13-16: Calculer les trois premieres derivees.

13 f ( x ) = 3 x614 f ( x )=6x415 f(x ) =gij?2

716 f ( x ) = 3 x3917 S i z = 2 5 tl .i , tr o u ve r z"

. d 3118 Si y = 3 x + 5, trouver dx~19 Si y = -4 x + 7, trouver y'll

220 Si y = 64W , trouver ~t~

Ex. 21-22: Etudier si f est derivable sur l'intervallepropose. Expliquer.121 f ( x ) = - ( aHO ,2 J (bj[1,3[x

22 f ( x ) = fI X (a)[-l,l] (b)[-2, -I[Ex; 23-24 :Determiner si f est derivable sur l'intervallepropose en examinant Ie graphique de f.

23 f ( x )=v4-x (a ) [O ,4 J (b j[ -5 ,O ]24 f( x ) = v4-'-x2 (a)[-2,2] (bH-l , l J

Ex. 25-30: La fonction f a-t-ella (a)une tangente verti-cale en (0,0) ? (b)un point de rebroussement en (0,0) ?

1 525 f(x ) = x 3 26 f ( x ) = x32 127 f(x ) =x 5 28 f ( x ) = xd. a d29 f(x ) "" 5X2 30 f ( x ) = 7x 3Ex. 31-32 :Essayer d'estimer f'(-1),f'(1),f'(2) et1'(3) si ces valeurs sont deflnies.

31

y

-1 x1 2 3

Ex. 33-36: Calculer les derivees a droite et a gaucheafln de demontrer que f n 'est pas derivable en a.33 f ( x ) = I x - 5); a = 53 4 f(x ) = I x + 21 ; a = -235 f ( x )=[x -2 ] ; a=236 f ( x ) = [ x ] - 2; a = 2

Ex. 37-40: Determiner le domains de definition de t'en examinant le graphique de f.

37 { 2 X si u : : ( x2 si x > 038 { 2 X - 1 si x :( 1x2 si x> 139 { x 2 si x < -1

2x+ 3 si x;::: -140 { x 2 - 2 si x < 0

-3 si x ; : : : 0Ex. 41-42: Chaque figure donne le graphique d'unefonction .f. Esquisser le graphique de f' et situer OUf n'est pas derivable.41

x -2 -1 1 2

y

x

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3.3 TECHNIQUES DE DERIVATION~-~~-~--.---

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110 CHAPITRE 3 LA DERIVEELes trois premieres regles sont celles qui avaient eM etablies it la section 3.2,

tneoreme (3.18)

DEMONSTRATION (4) En appliquant Ia definition de la derivee it cf(x), nousavons[ef(x)]' = lim cf(x+h) -cf(x)

h . . . . . h=imcf(x+h)-f(x)

h->O h=clim f (x + h ) - f (x )

h . .. . ..O h=cf' (x) ,

(5) En appliquant Ia definition de la derivee it f(x) + g(x), nous avons[f () ( )]' I' I f e x + h ) +9 (x +h)] - [f (x ) +9 (x)]x+gx =lm hh . . ..

= lim .[f(X+h) -fex) + g(x+h) -g(X)]h...... h h,l' f (x + h) - f (x ) l' 9 (x + h) - 9 (x )= 1m + 1m . .: ;. .._c _ __:___; ;. ._:_-, -h-O h h_O h

=f'(x)+g'(x).Nous pouvons demontrer (6) de maniere analogue, ou ecrire

f(x) -g(x) = f{x) + (-l)g(x)et appliquer (5) et (4). -La notation d'operateur donne it ces regles la forme suivante :

d-e=Odxd d d_(xn) =nxn-1 -cf(x) =c-f(x)dx dx dxd d ddx[f(x) g(x)] =dx f ( x ) dx g(x)

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3.3 T EC HN !Q UE S D E D ER IV AT IO N 11,

Les resultats (5) et (6) du theoreme (3.18) s'enoncent :(5)La derivee d'une somme est 1a somme desdefiiw''''''.------------....L(6JLa derivee d'une difference est 1 a difference des derivtes.Ils restent valables pour des sommes ou des differences de n'importe quel nombrede fonctions. Comme un polynome est une somme de termes de la forme ex" ouc est un nombre reel et n un entier positif, nous pouvons appliquer ces resultatspour obtenir la derives d'un polynome comme l'illustre l'exemple suivant ..

EXEMPLE 1 Soit f ( x ) =2x4 - 5x3 + x2 - 4x + 1. Calculer f ' (x) .SOLUTION

f ' ( x ) = (2X 4 - 5x3 + x2 - 4x + 1)'= (2X 4) ' - (5x3)' + ( x2)' - (4 x) ' + ,(1) '=8x3 - 15 x2 + 2x - 4

EXEMPlE 2 Chercher l'equation de la tangente it la courbe d'equation y =S(rJ 46vx- - v'x en P(l, 2).

SOLUTION Nous ecrivons d'abord l'expression de y avec des exposants ration-nels et calculons ensuite dy / dx :2 1Y =6xs - 4x-"2

dy =!!:_ ( 6 X ~ ) - _ : ! : _ ( 4 X - ~ )dx dx dx=4x-! - ( -2x-~)

4 2=-1 +-3x3 X2La pente de la tangente en P(l, 2) est la valeur de dy/dx en x =1 :

dy] =!+ ~ =6dx x=l 1 1En ernployant alors la formule de l'equation d'une droite de pente connue et passantpar un point, ilvient :

y - 2 =6(x -1) ou 6x - y =4.

Les formules dederivee d'un produit et d'un quotient sont plus compliquees quecelles des sommes et des differences. En particulier, il est bon de retenir des apresent que la derivee d'un produit n'est pas le produit des derivees.

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3.3 T EC HN IQ UE S D E D ER IV AT IO N 113

EXEMPlE 4 Soit f ( x ) =x!(x 2 - 3x + 2). Trouver[a]l'x) f b I P abscisse des pomts du graphlque aef en lesquelsiatarfgBfit"'"eroe=s+-t----'soit horizontals, soit verticale

SOLUTION[a] Selon la regle de derivation du produit (3.19),i' (x ) = x ! (x2 - 3x + 2) ' + (x 2 - 3 x + 2) (x ! ) ,

=x ! (2x - 3) + (x 2 - 3x + 2 ) (~x-i)3x (2x - 3) + (x 2 - 3x + 2 )=

= 7x2 - 12x + 23xi[b] La tangente au graphique de fest horizontals quand sa pente est nulle. Onpose done f ' (x) =0, et, par la formule des racines d'un trinome du second degre :

x = 12 -)144 - 56 = 12 - v ' s 8 =6 v ' 2 2 .2 2D'autre part, le denominateur 3x2!3 de f ' (x) s'annule en x = O. Comme festcontinue en a et que limx_o 1f ' (x)1 =+00, de la definition (3.9), il results que legraphique de f a en x =a une tangente verticale. Le point de tangence est (0 ,0 ) .Nous voudrions maintenant obtenir une formule pour la derives d'un quotient. Ilest a nouveau bon de noter des maintenant que la derivee d'un quotient n'est pasle quotient des detiveee. Ilsuffit a nouveau de prendre l'exemple tres simple duquotient x5 / x2 :

(~:)' = (x 3)' =3x 2(x5) , _ 5x4 _ 5 3------x(x2)' 2x 2

(X5 )' ( x 5)'X 2 f (x2)"

Voici la formule de la derivee du quotient f ( x ) /g( x ) en termes des derivees de f ( x )et g ( x ) .

Derivee du quotient (3.20)

DEMONSTRAT ION Soit y = f ( ,r;) /g(x) . Par la definition de la derivee, on af (x+h) f(x )

, li g ( x+h) -grx)y = im hh-O= lim 9 (x ) f (x + h) - f (x ) 9 (x + h )

h-->O hg ( x+h) g ( x )

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114 CHAPITRE 3 LA DERJVEE

Denvee de I' lnverse (3.2])

ILLUSTRATION

Afin de pouvoir calculer la limite, on transforme le numerateur en y ajoutant etretranchant le produit g(x)f(,c).

y ' = lim 9 ( x) f (x + h) ~ 9 (x) f (x) + 9 (x) .f (x) - f (x ) 9 (x + h)h-lO hg(x+h)g(x)

= lim 9 (x ) [f (x + h) - f (x ) J - f (x ) [g (x + h) - 9 (x ) 1h->O hg (x + h) g (x )

. g (x) [ f(X +hl-f(X )] -f(x ) [ g (X +hl-g (X )]= hm----~--------~~~~~------------~h->O g(x+h)g( x )

Il ne reste qu'a prendre lalirnite du numerateur et du denominateur et on obtientIa formule annoncee. -La regie de derivation du quotient s'enonce :La derivee d'uii quotient est egale audenomirl8,teur t'ois ls. derivee du nnmereteux mains le munereieur fois 1a deiivedu denominsieur, divis par le cerre du denominateur.

EXEMPlE 5 dy 3 x2 - X + 2

Calculer -d si y = 4 2 .X x +5SOLUTION Selon la regle de derivation du quotient (3.20),

dydx

(4 x 2 + 5 ) ( 3 x 2 - X + 2) ' - (3 x 2 - X + 2) (4X2 + 5 ) '( 4x 2+5 )2

(4X2 + 5 ) (6x - 1 ) - (3 x 2 - X + 2) (8x)( 4 x2 + 5 )2

(24x 3 - 4x 2 + 30x - 5 ) - (24x 3 - 8x2 + 16x)=~--------------~-7----------~(4x2 + 5)24x 2 + 14x - 5

2 .(4 x 2 + 5 )

Le cas particulier f (x) = 1 dans la regie du quotient, conduit, puisque (1)' =0, ala formule suivante,

o(~)=~~;~=- : 2( 1 ) , (3 x

2 - 5x + 4) ,o 3 x 2 _ 5x + 4 =- (3x2 - 5x + 4 )2 6x -5

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3.3 T EC HN IQ UE S D E D ER IV AT IO N 115

Les formules de derivation (3.18) ont He ecrites par rapport aux valeurs f (x)______________ ;(;-..fJ .~~ -d@ S-fQ1lct.ion s..-S L on--clB sir .e ...les-e .cr ir .e -,

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116 CHAPITRE 3 u\ D E R I V E EEXERCICES 3.3Ex. 1-40: Calculer la derivee.

51 9 (t) ::::fit33 18) ce 15 - $+ 482 - 5845 1x) =3x

2 + fIX47 9 (x ) = ( X 3 - 7 ) (2x2 + 3 )8 k(x) = ( 2 X 2 -4x + 1 ) (fix- 5 )9 l(x) =xt ( X 2 + X - 4 )10 h (x) = x t (3x2 - 2x + 5 )11 h(r)= r2(31 '4-71 '+2)12 k (v ) = v3 ( -2v3 + v -3)13 g (x ) = = ( 8 : ' 1 ; 2 - 5x ) (13x2 + 4 )1 4 H (z ) = = (z5 - 2z3) ( 7 z2 + z - 8 )

32 h (z) = 8Z24 1t) =12 - 3t4 + 4t66 9 (x ) =x4 - ~

15 1x) = 4x - 53x+217 h (z ) = 8 - z + 3il2 -9z

v3 -119 G(v) = -3--1v. +W21 9 (t) = 3t _ 5

216 h (x) = = 8x - 6x + 11x-I2w18 J (w ) "" ----S--7w -

20 J(t) = 8t+ 15t2 - 2t + 322 J(x) - JX- 2xz - 4x + 8

. 1 1 124 p(x) = 1+ - + -2+-3X X x626 k ( z ) = z 2 + Z _ 1128 8 ( X ) = 2x+ 2x

30 W (8) ::::::38)432 S (w) =(2w + 1)334 S (x ) = = (i x + 1)-z

4;Z36 N(z) =-3---+2z

123 l(x)= 1+x+x2+x3725 h (x) = xZ + 5

27 F(t) =tZ + t ;29 K (8) = (38)-431 he x) = (5x - 4 )233 g(1 ' ) = ( 51 ' - 4)-2

1_ -135 J (t) :=l!__2t2 +737 M(x)=2x3-7x2Z+4X+3x

4 338 T (z) = 5z + z3 - 2zz239 J (x ) = 3x . - 5x + 87

3t5 + 2t40 h ( t) = 5

Ex. 41-44: Resoudre l'equation y' =O.41 Y =2x3 - 3x2 - 36x + 442 y = = 4x3 + 21x2 - 24x + 11

2x2 + 3x - 643 Y = ----::---x-2

x2 + 2x + 544 y=----x+lEx. 45-46 :Resoudre l'equation y" = O.

45 Y = 6x4 + 24x3 - 540xz + 746 Y = 6x5 - 5x4 - 30x3 + llxEx. 47-50: Calculer dy/iJx (a) par Ia regle du quotient,(b) par la regie du produit, (c) par les formules (3.18)apres avoir simplifle algebz-lquement,

x2 + 148 u= --4-x47 3x-1y=~x2 - 3x49 y = --;:=-ij;2 50 _ 2x + 3y---v?

Ex. 51-52: Calculer d2y/dx251 ~ = 3x + 4 52 ~ = x + 3y x + 1 Y 2x + 3Ex. 53-54 :Donner une equation de la tangente au gra-phique de fen P.553 J(x) = = 1+ x2 ; P( -2,1)54 J(x) = 3x 2 - 2JX; P(4,44)55 Chercher les abscisses de tous les points de la courbe y =xS + 2x2 - 4x + 5 en Iesquels la tangente est

fa ) horizontals (b)parallels a la droite 2y + 8x = 556 Une tangente en P ala courbe y = x3 coupe l'axe des xen x = 4. Laquelle ?57 En quels points de la courbe y = x~ ~ xl/2 la tangenteest-elle parallelo it la droite y - x =3 ?58 En quels points de la courbe y = x5/3 ~ x la tangenteest-elle perpendiculaire it la droite 2y + x = 7 ?Ex. 59-60 :Dessiner la courbe de l'equation et trouverses tangentes ver+icales.

59 y = JX - 4 160 v "'"X3 + 261 Un ballon rneteorologique est lache et s'eleve ala verticals.Sa distance du sol pendant les 10 premieres secondes est

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3.3 TECHN!QUES DE DERIVAT!ON 117

donnee par set) ::::2+(1/2)t+(1/4)t2 01\ set) est en metreset t en secondes~tlel1e-est-la-v"it-sse-a4:1-ballfm-------+(a) en t ~ 1, t =4 et t = 8 ?(b) au moment O D . le ballon est a 14 m au-dessus du sol ?

62 Une bille roule sur un plan incline et la distance (en em)qu'elle parcourt en t secondes est donnee par set) = 2t3 +3t2 + 4 pour 0 ,,;; t ( 3 (voir la figure).(a) Quelle est la vitesse de la bille en t ::::2 ?(b) A quel moment sa vitesse est-eUe de 30 em/s ?

68 (a) (g - f)' (2) (b) (g/f) ' (2)c+- (Ag)~2J d _ J _ ( j _ J ) _ ' _ ( 2 . )69 (a) (21 - g )' (2) (b) (5 f +3g )' (2)

(e ) (gg )' (2) (d) ( f ~ _ )' (2)70 (a) (3 f - 2g ) ' (2) (b) (5/g ) ' (2)

(c) (6f)' (2) (d) ( f ~ 9 )' (2)EXERcrCE 62

Ex. 63-64: Void l'equation d'une courbe c1assique etson graphique ou a et b sont des constantes posi-tives. (Pour plus d'informations, consulter des livresde geometr ie analytique.) QueUeest la pente de la tan-gente en P ?

a363 Sorciece d'Agnesi: u= pea, a/2)a2 + x2 'y

x

abx64 La serpentine: y : : : : pea, b/2)a2 + x2 'y

x

Ex. 65-66: Tr-ouver l'equation des droites qui passentpar P et qui sont tangentes a Ia courbe d'equationdonnee.65 P(5,9); y = x 2 66 P (3 ,1); x y = 4Ex. 67-70: Sachant que f(2) = 3, f ' (2) = -1, g(2) =-5et g'(2) =2, calculer l'expression.

67 (a) (f+g/(2) (b) (f-g)'{2) Ie) (4J)'P)(d) (fg)' (2) (e) (f/g)' (2) (f ) (l/f) (2)

71 Si J, 9 et h sont supposees derivables, demontrer, en em-ployant la regie de derivation du produit, que[ f( x )g (x )h (x )] ' = f(x )g (x )h ' (x )+ f(x )g ' ( x )h (x )+ i' ( x )g (x )h (x ).A titre de corollaire, on a, si 1=: 9 = h,(I f(x)]3) ' = 3[J(x)J2 j ' (x) .

72 Etendre l'exercice 71 au cas du produit de quatre fonc-tions et en ded uire une formule de ( [ j (x ) J 4)' .

Ex. 73-76: Utiliser l'exercice 71 pour calcuberdyjdx.73 y= (8 x-l) (x2+4x+7) (x3-5 )74 y = (3 x4 - lO x2 + 8 ) (2x2 - 1 0 ) (6 x + 7)75 Y zz: x (2x3 - 5x - 1 ) (6x2 + 7 )76 Y = 4x (x - 1) (2x - 3)77 On gonfle un ballon spherique et apres t minutes, sonrayon r (en em) est donne par r =3{!t pour 0 ( t ( 10.QueUe est la vitesse de variation de chacun des elements

suivants par rapport a t en t = 8 ?(a) le rayon r(b) le volume V du ballon(e) la surface S du ballon.

78 A la fonte des neiges, le volume V (en m3) d'eau d'unpetit reservoir satisfait a v = 140( t + 1)2 en fonction dutemps t en mois pour 0 ,,;; t ,,;;3. La vitesse de variationdu volume par rapport au temps est le debit instantane al'interieur du reservoir. Quel est le debit au moment t = 1et t =2 ? Quel est le debit au moment O D . le volume estde 315 m3 ?

79 On jette une pierre dans un etang et a l'endroit ou elle esttombee se ferment des ondes circulaires eoneentriques. Si,apres t secondes, le rayon de l'une d'elle est de 40t em,determiner la vitesse de variation, par rapport au temps,de l'aire du cercle eorrespondant a . l'onde en(a ) t = 1 (b) t = 2 (e ) t = 3.

80 La loi de Boyle-Mariette etablit que, a temperature eon-stante, le produit de la pression p d'une masse donnee degaz par le volume v qu'elle oceupe est constant; pv ;=C.On suppose qu'au moment t (en min) la pression est20 + 2t cm de mercure pour 0 ( t ,,;;10.Si le volumeest de 60 em3 en t = 0, trouver le taux de variation duvolume par rapport au temps t en t = = 5.

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1 1 B CHAP/TRE 3 LA DERIVEE

@ 81 (a) Soit f (x) =x3 ~ 2x + 2. Calculer une valeur approxi- 0 82mative de f' (1) en employant la formule de I'exercice51 a la section 3.2, avec h=0,1.(b) Dessiner sur un meme systeme d'axes: y = fex), lasecante II passsnt par (1 , f(l et (1,1, f(l,l et Iasecante l2 passant par (0,9,1(0,9 et (1,1),1(1,1.(e ) Calculer f' (1) et expliquer pourquoi la pente de l2 estune meilleure approximation de r (1) que la pente deh

ra ) Soit f (x) = x2/3 + 1. Calculer une valeur approxima-tive de r (0) en smployant Ia formule de l'exercice 51a la section 3.2, avec h = = 0,1.(b) Dessiner sur un meme systeme d'axes: y = = f (x ) , lasecante h passant par (0, f (O et (0,1, f(O,l et lasecante l2 passant par (-0,1,/(-0,1 et (0,1), f(O,l.r e ) Pourquoi les pentes des secantes II et l2 ne sont pasdes approximations de t' (0) ?

3.4 DERIVEE DES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUESAfin de pouvoir etablir les formules de derivation des fonctions trigonometriques, ilnous faut au prealable etudier quelques limites importantes. Dans ce qui suit, ilestentendu que, dans une expression qui fait intervenir sin 0, cos t, tg x, le. variable,quel que soit son nom, est un nosnbte reel, au, ce qui revient au rneme, est 1arnesure d'un angle en radians.Regardons, dans la figure 3.20, l'angle 0 en position standard dans un cercle uniteU. Par la definition rneme des fonctions sinus et cosinus, les coordonnees de P sont(cosO,sinO). Si n ou s fa iso ns tendre 0 Ve l ' S 0, sinO tend vel'S0 et cosO vel'S1. C'estI'objet du theorems suivant.FIGURE 3.20

y

P(cos e , sin 8)---fx

u

Theorerne {3.22J

DEMONSTRAT ION (1) Voyons d'abord que limo->o+sine = O. Si 0 < 0 < ~,de simples considerations geometriques montrent queO

O U !VIP designe la longueur du segment qui joint !V I a P et AP la longueur del'arc entre A et P.

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3.4 DERIV EE DE S FONCT IONS TRIGONOM IT RIQ UE S 119

Mais la definition dela mesure d'un angle en radians nous dit que (voir la section------------------------~----~~)AP=e;aesl(rrS,rlnegru~ceUem~

0< sinO < e .Com me limo->o+ (j = 0 et lime-->o+ 0 =0, par le theoreme du sandwich (2.15),limo-to+ sin (j =O .II nous reste a voir maintenant que lime-->a- sin 0 = O . S i - ~ < e < 0 , alorso < -(j < ~ et suivant la premiere partie de la demonstration

0< sin( -0) < ~O.En remplacant sin(-O) par -sinO (propriete du sinus) et en multipliant par -1,nous obtenons 0< sinO < O.Comme lime-->o- e = Oet limo->a- 0 = 0, par le theorems du sandwich (2.15),1imo_o- sin 0 =O.(2) L'identitesin20+cos20 =1 donne cos e ' =Vl- sin20. Lorsque -~ < e 0=.Jf=(i=1 -

En ebauchant le graphique et en calculant quelques valeurs nous avions, a la section2.1, essaye de deviner la limite qui est etablie de facon rigoureuse au theoremesuivant.

Theorerne (3.23)

F IGURE 3.21 DEMONSTRATION La situation 0 < 0 < ~ est illustree dans la figure 3.21 ouU est le cerde unite. On aM P =sin 0 et AQ = tg O .

Une simple comparaison geometrique montre que

x

aire de 6AOP < aire du secteurAOP < aire de 6AOQ.Le calcul de ces aires et le theorems (1.15) donnent

aire de 6AOP = !bh = !(1)(MP) =!inOaire dusecteurAOP =. !r 20 = !(1)2e = !O

aire de6AOQ = !bh = ~(l)(AQ) = ~gOL'inegalite precedents peut maintenant s'ecrire!ine < ~e

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120 CHAPITRE 3 lA DERIVEE

Theoreme (3.24J

Par I'identite tgO = (sinO)/(cosO) et en division par ~sinO, cette inegalite estequivalente aux suivantes :

o 11 cosOesinOcosO

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3.4 D ERIV E E D ES FONCT IO NS T RIG ONOMETR IO UES 121

Nous semmes a present en mesure d'etablir les formules du theorems suivant dans_______________ ___ l8 qneLx_design.e_ullJ .lombLG J__eilu la mesure d 'un a ng le en radians.DE :r iv e e d e s f on c ti on s

mqonornetrlques (3.251

DEMONSTRATION Nous appliquons la definition (3.5) a f ( x ) = sin z et ern-ployons la formule du sinus d'une somme

sin (x + h) - sin z(sin x)' = lim hh.....sin x cos h + cos x sin h - sin x .= lim-~-----------h_,O hsin x (cos h - 1) + cos x sin h= lim__ _c____ ~--- __

h->O h. [. ( cos h - 1) ( sin h )]= l~ ~ smx h + CO S X =v:

Les theorsmes (3.24) et (3.23) donnent

lim ( cos h - 1 ) =0h_,O h et 1

sinh 1lm-=h-O het done (sin x)' =(sinx)(O) + (cosx)(l) =cosx.Nous venons d'etablir que la derivee de la fonction sinus est la fonction cosinus.De la meme manlere, nous calculons la derives de la fonction eosin us.

( ) ' u cos(x+h)-cosxcosx = 1m - ~- -~ -- --h-O hcos x cos h - sin x sin h - cos x= lim ------------h->O hcos x (cosh - 1) - sinx sin h= lim --~--~~-----h->O h[ ( cos h - 1 ) . ( sin h )]=,~~ c o s z h - m z -h-

= (cos x) (0) - (sin x) (1) == sin z-Ainsi, la derivee de la fonction cosinus est l' oppose de la fonction sinus.Pour trouver la derives de la fonction tangents, nous partons de l'identite tg x =sin-z / cos x et appliquons la regie de derivation du quotient:

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J22 CHAPITRE 3 tA DERIVEE

( )' ~ ( sin X ) 'gx - --cos xcosx (sin x)' - sin x (cos x)'= cos2 Xcos X (cos x) ~ sin x ( - sin x)

cos? Xcos2 X + sin 2 x 1 2---0---- = --- =sec xcos? x cos- X

La derives de la fonction secants s'obtient en ecrivant sec x = 1/ cosx et en appli-quant la regle de derivation de l'inverse (3.21) :(sec x ) ' = ( _ 1 _ ) 'cos x

(cos x ) 'cos? X- sinx= cos? xsin x 1 sinx

= cos2 X = cosx cosx= secxtgx

Les demonstrations de s formules (cotg x ) ' et (cosec x ) ' sont laissees en exercices. -Des formules de derivation des fonctions trigonometriques que nous venons d'ob-tenir, nous pouvons retirer des consequences a propos de la continuite de ces fonc-tions. Ainsi, puisque les fonctions sinus et cosinus sont derivables sur tout J R , graceau theorems (3.11), ces fonctions y sont aussi continues. De la meme facon nouspouvons conclure que la fonction tangente est continue sur les intervalles ouvertsJ - 11/2 ,11 /2 [ '] 11/2 , 37 r/2 [ etc puisqu'e l le y est derivable.

EXEMPlE 1 sin xCaiculer V ' si V =----1+ cos x .SOLUTION Par la regle de derivation du quotient et les formules (3.25)

V' = (1 + cos x) (sin x)' - (sin x) (1 + cos x)'(1+COSX)2

(1 + cos x ) (cosx) - (sin x ) (0 - sin x )= ~-----~-~--~~~~----~(1+ COSX)2COSX + cos2 X + sin2 x

(1+ COSX)2cosx + 1(1 + COSX)2

1=_,.-------.,-(1 + cos x)

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.124 CHAPITRE 3 LA DERI VEE

0 7r 7r 27r2 7r3 31 1 0 1 -1" 2 - " 2

Ib l Une partie du graphique de y =sin x, ainsi que Ies tan gentes mentionnees sous(a), sont presentees dans la figure 3.22.

FIGURE 3.22y m =1

x

m = -1

leI Une tangente est horizontale quand sa pente est nulle, Comme la pente de latangente en (x,y) est y', nous avons a resoudre l'equationy!=Oou cos z wIl.

La tangente est horizontals en x = 1 T /2, x = 3 1 T /2 et en general, en x =( 1 T / 2 ) + nt: pour n entier quelconque.

FIGURE 3.23Y Tangente En un point P(a,J (a ) ) du graphique de J a u J est derivable, on appelle normalela droite perpendiculaire a 1atangente. Elle est representee dans Ia figure 3.23. Lapente de 1a normale est, selon (1.9)(3), -l/f '(a) 18.a u f ' (a) f 0. Si J ' (a ) =0, latangente est horizontals et la normale est verticale d'oquaticn x =a.

EXEMPlE 5 Chereher une equation de la normale a la eourbe y = tg x aupoint P( Jr /4, 1) et illustrer graphiquernent.SOLUTION Nous avons vu que y ' =sec2 x. La pente m de la tangents en Pestdonex

et celle de la normale -l/m =-1/2.

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'_~ ___'~_~~L~___.~LL~,~._._._,~._,_,_._._ _._.~ '__.~_.~_ __"_.__.'_~L~ _~_.~__.~__L_,~_._,~.~,_.~_._~~~~~~._~.~ __~~ _"~~~~~~~~~._~._._.~_~ ~__~~~~~_~,_.~~~,~~,~~.~,_,~,~,~.~_,~~

3.4 DtR!VEE DESFONQ!ONS TRIGONOMtTRIQUES 125

FIGURE 3.24y

EXERCICES 3.4

Connaissant la pente et un point de cette droite, son equation peut etreY-l=-2:ix- :),

ou . 1 1 1 "y=--x+-+l.2 8Le graphique de y = tg x pour - 3 1 1 " / 2 < x < 3 1 1 " / 2 et la normale en P sontpresentee dans la figure 3.24.Les series de Tay lor, presentees au chapitre 11, demandent de calculer les deriveessuccessives d'une fonction jusqu'a un ordre eleve. En ce qui concerne la fonctionsinus, cela ne pose pas de probleme.EXEMPlE 6 Calculer les huit premieres derivees de j (x) =sinx.SOLUTION Par application de (3.25)

r ( x ) = (sin x ) ' =cos xrex) =(cos x)' = -sinxjll/(x) = (-:-sinx)' = -(sinx)' =-cosx

f ( 4 ) ( X ) =(- cos x ) ' = -(cos x ) ' =-(- sinx) =sin xPuisque f ( 4 ) ( X ) =sinx, les derivees suivantes ressembleront a celles que nousavons deja calculees; c'est ainsi que

j ( 5 ) ( X ) =cos xf ( 7 ) ( X ) =- cos x

f ( 6 ) ( X ) = -sinxf ( 8 ) ( x ) = sinx.

Ex. 1-28: Calculer la derlvee.1 j (x ) = 4cosx3 G (v ) = 5'll cosecv5 k (t ) =t - t2 cost7 f (e ) = sinee9 g (t) = t3 sint

11 j ( x) =2xcotgx+x2tgx1 3 h (z ) = 1 - cos z1+ cos e

X 15 9 (x ) = . 1'\ smxtgx

2 H (z ) = 7tgz4 f (x) = 3x sinx6 pew) =w2 +wsinw8 9 (0) = 1- cos0

OilOT (r ) = r2 Secr12 f(x)=3x2secx-x3tgx14 R(w) = cos.wI-smw

116 k(x) = ---~cosxcotgx

I7 9 (x ) = (x + cosecx) cotg x19p (x ) = sinz cotg x21 f(x)=~ 1 + x223 k (v ) = cosec'llse c v

18 K (D ) = (sinO+cose)220 9 (t) = cosectsint22 h(O ) = = 1+ secO1-sec024 q(t) = sintsect

25 g(x)=sin(-x)+cos(-x)26 s(z) = tg(-z) +sec(-z)27 H () = (cotg + cosec)(tg - sin)28 j (x) = l+se~xtgx +smx

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126 CHAPITRE 3 LADtRlvtE

Ex. 29-30: 'Irouver Pequat.lon de la tangente et de lanormale a la courbe f au point (1I"/4,f(1I'/4).29 f (x ) = sec x 30 f (x ) = cosec z e-cotg zEx. 31-34: Void le graphique d'une fonction f sur undomaine determine. Chercher les points en lesquels latangente est hor-izont.ale.

31 f (x) = cos zi-I-sin z: 0 ; ; ; ; x;;;; 2 1 r

34 f (x) = 2secx - tgx;y

-1r/2 < x < ~

y

11T'2

1T'4

1 T ' X2

32 f (x ) =: eosx - sinx;y

Ex. 35-36: (a) Trouver l'abscisse de tous les points dela courbe f en Iesquels la tangente est horizontale. (b)Ecrire urie equation de la tangente a la courbe f en P.

35 f(x ) = x + 2eos Xj P (O , f(O 36 f (x) = x + sin z ; P(i1,f (~37 Si y = 3 + 2sin x, trouver

(a)l'abscisse de taus les points de la courbe en lesquels latangents est par allele a la droite y = V 2x - 5(bJ une equation de la tangentea la courbe au point d'abs-cisse K/6.

38 Si Y = 1 + 2cosx, trouverfaJI'abscisse de tous les points de la courbe en Iesquels latangente est perpendiculaire a . Ia droite1Y= -x-HV3

[I] 40

(b ) une equation de la tangente a la courbe au point au lacourbe traverse l'axe des y.Tracer Ia courbe f (x) = Isin2x - COS x sine%1fx)1 surl'intervalle [0,5] et rechercher les points au f n'est pasderivable. 4Tracer la courbe f (x) = 16 . 2 sur l'mtervallesm x-x[ 0 , 4 ] et rechercher les points ou 18 0tangents esthorizon-tale.

[I] 3933 fex) = cosec x + sec Xj

y

'T T4

tr2

x

Ex. 41-42: Un point mobile P se deplace sur une droitegraduee l et sa position est donnee par la fonction s.Quand sa vitesse est-elle nulle ?41 s ( t ) ; = : ; t + 2cost 42 set) = t - V2sintEx. 43-44: Un point P(x, y) se deplace de gauche adroite sur Ia courbe d'equation donnee. Situer l'endroitou Ie taux de variation de y par rapport a x a la valeura dormee. ;I43 Y = X2 +,2x; a := 844 Y =x ~ - lO x ; a = 5

1

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3.5 ACC RO IS SE M EN TS E T D IF FE RE NT IE LL ES 127

45 fa) Calculer les quatre premieres deriveeede f(x) = cosc. Ex. 49~52: Demontrer-chaque for-mule.'-:-.--------------~-_(ung-XJ"-I ~

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Definition 13.26)CHAPITRE 3 LA O E " R I V E E

Definition de fa derivee en termesd'accro issernents (3.27)

Definition (3.28)

Cette notation en accroissernent convient aussi a la definition de la derivee, II suffitde rernplacer h par ,6.x dans (3.5).

Si f est derivable, ,6.y/,6.x est, comme le montre la figure 3.26, la pente mpQ de1a secante passant par Pet Q. Quand ,6.x tend vers 0, ,6.y/,6.x s'approche de laponte f ' (x) de la tangente en P; ce qui peut s'ecrire

~~ ~ f'(x ) si ,6.x ~ 0

FIGURE 326

f ( x ; + Ax )

x x + Ax x

yPente "" r e x )

Pente = AyAxy "" f ( x )

f (x)

IIllyj_______ -1

Ax

OU, sous forme d'une approximation de,6.y:,6.y ~ f'( x) ,6 .x si ,6.x ~ 0.

Cette approximation de ,6.y porte un nom particulier, qui apparait dans 1adefini-tion suivante.

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3 .5 A CC RO IS SE ME NTS E T D IF FtR EN TIE LLE S 129

11n'y a done pas de difference entre Teccroissemeni 6.xet Ia differentielle dx pour----------------la-var.mhlB-il'lJ4p&ndant@.$~al:..cont:ce,.la.di.JIer.elltielle-dy-deja..Yariab l a d e P - f l J J . d w . . . t & _ _ _ _ _ ly est. Ionctioa de x et de dx.D'apres l'etude qui a precede la definition (3.28), on a

Formule d'approximation pour 6.y(3.29)

La division des deux membres de l'equation dy =f'(x)d;r (definition (3.28)(2)) pardx explique en quelque sorte la notation dy/dx introduite en (3.16) pour designerla derivee de y = [ ( x ) par rapport a x .

La derivee comme quotient dedifferentielles (3.30)

Il est instructif d'observer graphiquement la difference entre dy et 6.y. Le quotientdy/dx est (voir (3.30)) la pente de la tangente l a la courbe y = [(x) en P(x,y).Des lars, comme le montre la figure 3.27 dans le cas 6.x > 0, dy est l'accroissementvertical pris par rapport a la tangente en P lorsque la variable independante passede x en x + 6.x. Cette quantite est a confronter avec 6.y, l'accroissement verticalpris par rapport a la conrbe .

FIGURE 3.27{II 1 1 1 1 ( 1 1 1 )

. x + tlxx + dx

I

y y y

- - - TI -T d tly_ _ _ ~ _ i ! _

y "" f ( x)x x x x + tlx

x + dxx x x + tlx

x + dxx

La forrnule (3.26) s'ecrit aussi[( x + L\x) = [ ( x ) + 6y

et en y introduisant l'approximation 6.y > < : ; ; dy, on obtient la formule suivante.Formule d'spproxirretlon lineaire

(3.31)

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130 CHAPITRE 3 LA DERI VEE

La formule (3.31) est appelee approximation lineaire pour f (x+t1x) parce que,comme le montrait la figure 3.27, Ia valeur f( x + .6..x) sur Ia courbe en x + .6 ..x est. approchee par Ia valeur y + dy sur 1atangente a la courbe en x + t1x. Celarevienta remplacer, en des points proches de (x, y) 1a coinbe par sa tangente.EXEMPLE 1 Soit y = 3x2 - 5 et soit t1x un accroissement de x .ta l Ecrire les expressions generales de .6..y et dy .(bl QueUes sont les valeurs de t1y et de dy lorsque x passe de 2 a 2,1 ?SOLUTION(a) Pour y = f ( x ) =3x2 - 5, suivant la definition (3.26),

Ay = f ( x + t1x ) - f (x )= [ 3 (x + .6. .X )2 - 5 ] - (3x 2 - 5 )= [ 3 (x 2 + 2x (t1x ) + ( t1X )2) - 5 J - (3 x2 - 5 )=3x 2 + 6 x ( .6 ..x ) + 3 ( t1x) 2 - 5 - 3x 2 + 5=6 x ( .6 ..x ) + 3 ( t1X )2 .L'expression de dy est donnee par la definition(3.28)(2)

dy = f ' (x)dx =6xdx.[b] Lorsque x passe de 2 it 2,1, x =2 et b,.x =dx = 0,1. Le calcul de b,.y d'apresson expression en (a) conduit a

t1y =6(2)(0,1) + 3(0,1)2=1,23.Done, y s'accroit de 1,23 lorsque x passe de 2 a 2,1. On aurait pu calculer t1 ydireetement comme ceci

t1y =f (2,1) - f (2)= [3(2,1)2 - 5] - [3(2)2 - 5] =1,23Le ealeul de dy d'aprss son expression en (a) donne

dy = (6)(2)(0,1) =1,2.L'approximation 1,2 est done corrects au dixieme pres.

E XE MPLE 2(a} b,.y(c}t1y - dy

Soit Y =x3 et soit t1 x un accroissement de x . Calculer(bl dy[d] la valeur de t1y - dy lorsque x =1 et Ax = 0,02.

SOLUTION(a) La definition(3.26) avec f ( x ) = x3 donne

fl y = f (x + t1x ) - f ( x )= (x+t1x)3-x 3=x3 + 3x2 (.6..x) + 3x (AX )2 + ( .6 ..x )3 - x3=3x2 ( t1x) + 3x (AX )2 + {AX )3 .

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132 CHAPITRE 3 LA D E R J V E E

FIGURE 3.28

Vous etes certainement en train de vous demander pourquoi on utilise les differen-tielles a l'exemple 3 alors qu'une calculatrice pouvait faire mieux en mains detemps. Voici la reponse :notre but est de montrer comment utiliser des diiferen-tielles et non pas de calculer la valeur de sin 610. Souvent, en mathematiques,l'illustration des nouveaux concepts se fait sur des exernples simples. Il faut ac-cepter pour le moment que dans d'autres types de problemes, la differentielle estplus efficace que la calculatrice.L'exernple suivant montre comment les differentielles permettent d'estimer deserreurs dues a des approximations lors de mesures. La solution y insiste, if estimportant de considexer d'abord des iormuies generales sur les variables en jeu. Cen'est qu'en fin de resolution qu'on pourra introduire les valeurs particulieres desvariables.EXEMPLE 4 On mesure le rayon d'un ballon spherique et on trouve 30 em,sachant que l'imprecision de la mesure ne depasse pas 0,1 em,QueUe en sera l'erreur maximale sur le volume de cette sphere ?SOLUTION Nous commencons par les formules generales a propos du volume

et du rayon. Soientx = valeur mesuree du rayon

dx = .6.x = erreur maximale de x.En supposant que .6.x est stricternent positif, ilest clair que

x - t\.x :>;; rayon exact : > ; ; x + L::.x.Au cas ou .6.x serait negatif, on pourrait prendre I t \ . x l . La figure 3.28 presenteune coupe du ballon ou apparait l'erreur possible L::.x. Selon la valeur mesuree durayon, le volume du ballon serait V = ~1Tx3.Appelons .6.V la variation de V imputable a .6.x, . .AV se presente alors commel'etreut de 1a valeur ca1cu1eede V due a l'erreur'd?la valeur mesuree de x. Nousapproxirnons .6 .V par dV , C8 qui donne

L::.V;:: : : ;dV = V'(x)dx =41TX2dx.Maintenant seulement nous remplacons x et dx par leurs valeurs particulieres.Dans notre cas, x =30 et t\.x =dx =0,1

dV =41T(30)2(0,1) = (3 60 )1 T ; ::::;1l31.Done, l'erreur maximale du volume calcule due a l'imprecision de la mesure durayon est de l'ordre de 1131 ern".Le rayon du ballon mesurait 30 cm avec une erreur maxim ale de 0,1 em. Lerapport de O,l a 30 s'appelle l'erreur relative de la mesure du rayon.

1 0,1 3erreur re ative =~ ;::::;O ,OO .Cela signifie qu'en moyenne il y a une erreur, lors de la mesure, de 0,003 em parcentimetre.

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_~_~ __ ' ~_ __ ~~~ _._ ~_ __."_L. _~L_ _~ _._.-.-,~~ -,-,-.,-,~ _._.,_ ~ ~_ ~~ ~_.~ _ ~~~ ~_ ~ ~_ ~ ~,~ ~~ __ , _ __ ~ __ ~ ~_ ~ _~ _.~ ~ __ ' ~~ _.~ ~._ ~~ ~ _ ~~ _._ _~ ~_ ~_.~_._._ ~~ _ __ ~ -~ _. _ _~ ~~ _~~_ ~_ ~~~ _._L~ ~~ ~L~ ~~ ~~ _

3.5 ACCRO IS S EM E N T S E T D IF F ER E NT IE L L ES 133

L'erreur relative en pourcentage est par definition l'erreur relative multiplie

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