Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les...
-
Upload
matthieu-duchene -
Category
Documents
-
view
117 -
download
7
Transcript of Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les...
Analyse statistique des données expérimentales
Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques
John Taylor
Plan
• Introduction : incertitudes sur les données
• Probabilités
• Distributions de probabilités
• Incertitudes, propagation des incertitudes
• Ajustement de courbes
Mesure et incertitude
• Toutes les quantités mesurées le sont à une précision finie
• La science de la mesure consiste à– mesurer à la meilleure précision possible– d’évaluer l’incertitude sur la mesure
Erreur vs incertitude
• Erreur : écart entre la mesure et la valeur vraie (en général inconnue)
• Incertitude : écart probable• Les barres d’incertitude contiennent probablement
la valeur vraie• Attention de ne pas sous-évaluer l’incertitude• Mieux vaut une mesure présentant une grande
incertitude mais qui contienne la valeur vraie que l’inverse
Mesure et incertitude
• Chiffres significatifs et mesure
• Quelle est la signification de :– Albert a 22 ans– J’ai parcouru 100 kilomètres à vélo– Le LEP mesure 26,66 km de circonférence– Ce pointeur laser éclaire à 50 m– This laser pointer shines to 54,68 yards
Mesure et incertitude
• Quelle est la signification de:– G = (6,67428 ± 0,00067) × 1011 m3 kg1s2
– me = (9,10938215 × 1031 kg) ± 50 ppb
– www.physics.nist.gov/constants
Chiffres significatifs
a = 7,35678 ± 0,345 (utilisation incorrecte)
a = 7,3 ± 0,3
a = 7,356 ± 0,04
a = 7,3568 ± 0,005
a = 7,35678 ± 0,0007
On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif
On arrondit la valeur au dernier chiffre significatif
Chiffres significatifs (exemple)
• Soit a = 3 m et b = 7 m• a/b = 0,428571 ... ?• a/b = 0,4
Incertitude
• Erreur de mesure
• Erreur systématique
• Incertitude aléatoire
• Incertitude sur une quantité dérivée
• Propagation des incertitudes
• Distribution de probabilité
Erreur de mesure
• Mesure de distance avec une règle graduée en millimètres:– La précision ~ ½ mm
• Mesure de tension avec un multimètre:– La précision dépend de l’appareil– L’appareil est très précis mais la tension varie
Erreur systématique
• Vous avez mesuré une longueur à ± ½ mm– Mais la règle est fausse de 10% !
• Vous avez mesuré une tension à 0,01%– Mais l’appareil est décalibré de 5%
• Vous avez fait une mesure avec grand soin– Mais un des appareils était débranché
Incertitude aléatoire (statistique)
• Vous répétez une mesure 100 fois
• Les résultats se ressemblent mais ...
Incertitude
• L’ensemble des valeurs possibles sont décrites par une distribution de probabilité
• L’incertitude représente un intervalle à l’intérieur duquel la vraie valeur se trouve probablement
• L’incertitude = 1 déviation standard
Incertitude
Quelle est la signification de:– G = (6,67428 ± 0,00067) × 1011 m3 kg1s2
– me = (9,10938215 × 1031 kg) ± 50 ppb
– L’incertitude = une déviation standard– La probabilité que la vraie valeur soit dans cet
intervalle est de 68%
Exemple de mesures
• Fréquence d’un pendule (~ 1 s)
• Chronomètre très précis (~ 1s par an)
• À quelle précision puis-je mesurer la période ?– quelques dixièmes de seconde
• L’histogramme présente une fluctuation
• Je peux moyenner sur plusieurs périodes
Exemple de mesures
• Fréquence de ma respiration
• Même précision de mesure que précédemment
• L’histogramme est plus large
• Le phénomène présente plus de variabilité que la précision de la mesure
• Je peux moyenner
Incertitude relative ou fractionnaire
– G = (6,67428 ± 0,00067) × 1011 m3 kg1s2
– G = 6,67428 × 1011 m3 kg1s2
– G = 0,00067 × 1011 m3 kg1s2
– G/G = 0,00067/ 6,67428 = 10-4 = 0,01 %
– me = (9,10938215 × 1031 kg) ± 50 ppb
– me/ me = 5 × 108
– me= 4,6 × 108 kg
Propagation des incertitudesAdditions et soustractions
• a = 9 ± 3 a entre 6 et 12
• b = 7 ± 2 b entre 5 et 9
• s = a + b = 16 ± 5 car s entre 11 et 21
• d = a b = 2 ± 5car d entre 3 et 7
Propagation des incertitudesProduits et quotients
• a = 29 ± 3 a entre 26 et 32
• b = 37 ± 2 b entre 35 et 39
• ab = 1073 et est entre 910 et 1248
Probabilitéset
Statistiques
Probabilité
• Probabilité qu’un événement X se produise
NNP
succès de nombrelim
Où N = nombre d’essais
Probabilité
• On lance un dé
• 6 résultats possibles
• Chaque résultat a un pi = 1/6
10 ip
1 ip Normalisation
Complément
• p = la probabilité que X se produise
• 1 p = la probabilité que X ne se produise pas
• q = 1 p est le complément de p
Calcul de la probabilité
• 1) Calculez le nombre total de combinaisons N, supposées équiprobables
• 2) Calculez le nombre de ces combinaisons qui représentent un succès S
• 3) p = S/N
Calcul de probabilité
• Probabilité de tirer 3 avec 1 dé
• 1) N = 6 possibilités
• 2) S = 1 seule bonne combinaison
• 3) p = 1/6
Calcul de probabilité
• Probabilité de tirer une somme de 4 avec 2 dés
• 1) N = 6 x 6 = 36 possibilités
• 2) S = 3 (1,3) (2,2) (3,1)
• 3) p = 3/36 = 1/12
Calcul de probabilité
• Probabilité de tirer une somme de 7 avec 2 dés
• 1) N = 36
• 2) S = 6 (énumérez les)
• 3) p = 6/36 = 1/6
Distribution de probabilité
• Indique la probabilité de succès pour chaque type d’événement
• Se présente sous forme graphique
Distribution pour 1 dé
Somme de 2 dés
Distributions
• Propriétés des distributions– Moyenne, mode, médiane– Valeur attendue– Moments
• Distributions de probabilité particulières– Binôme, Gauss, Poisson, ...
2 types de distributions
• Distributions discrètes
• Distributions continues
Distributions discrètes
(comme on a déjà vu)
– P(xi) > 0 pour des xi discrets
– P(xi) = 0 partout ailleurs
1 ip
Somme de 2 dés
Distributions continues
• Le nombre de résultats permis est • Chaque résultat a une probabilité = 0
• On définit la densité de probabilitéf(x) dx = probabilité de trouver le résultat entre
x et x + dx
Normalisation: 1)(
dxxf
Distribution continue
Mode
• Valeur la plus probable
= 7 pour la somme de 2 dés
Non défini pour un dé
Non défini pour pile ou face
Médiane
• Point qui sépare la distribution en 2 moitiés égales
• = 7 pour la somme de 2 dés
• = 3,5 pour un dé (ou toute valeur entre 3 et 4)
Moyenne
• Ou valeur attendue
• Discrète :
• Continue :
dxxxp
xpx ii
)(
)(
Pour une distribution symétrique
• Moyenne = Mode = Médiane
Valeur estimée
• Moyenne = – est la valeur attendue (ou estimée) de x– Notée
• La moyenne de x est la valeur estimée de x
• La valeur attendue de toute fonction f(x) est
dxxxpxpx ii )(ou )(
dxxpxfxpxff ii )()(ou )()(
x
Normalisation
1)(1)(
1)(1)(
dxxpdxxp
xpxp ii
La normalisation représente la valeur attendue de 1qui est bien sûr égale à 1
Propriétés de la valeur attendue
nn xx
xgbxfaxbgxaf
)()()()(
Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes
Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe?
Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non
Ex: N lettres au hasard dans N enveloppesCombien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe?
Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non
1/1*/1
1
NNNXXX
XXNX
ii
i
i
Quel que soit N, il y a en moyenne 1 lettre dans la bonne enveloppe
Moments
• Différentes distributions peuvent avoir la même moyenne mais être différentes
Moments
• On peut représenter une distribution par l’ensemble de ses moments
22
1
0 1
xm
µm
m
xm ii
...
Normalisation
Moyenne
Moments centrés
• On soustrait la moyenne pour recentrer
22
1
0
0
1
µxµ
µ
µ
µxµ ii
Normalisation
Moyenne recentrée = 0
Variance = s
...
Écart-type
• Représente la largeur de la distribution
= Écart quadratique
moyen
= Déviation moyenne
22
2222
22
22
22
222
2
2
2
2)(
xxs
xxµx
µµµx
µxµx
µµxx
µµxxµxs
Mesure et incertitude
• Je mesure une quantité 5 fois
• x = 17, 16, 18, 17, 18
• Quelle est la valeur probable de x et son incertitude ?
7,02,17
0,75
1
2,175
1
22
x
µx
xxµ
i
i
Probabilité de N événements
• Obtenir 25 piles en 35 lancers
• Obtenir 30 fois 6 en 100 lancers
• Que 10 noyaux de radium se désintègrent en 5 minutes
• Que la bactérie se divise 20 fois en 1 heure
• Que 8 de vos 10 mesures soient dans un certain intervalle
Distribution binômiale
• On lance un dé 100 fois
• La valeur attendue du nombre de 6 est ~17
• Quelle est la probabilité de tirer r fois 6 ?
• Toutes les séries (a1, a2,..., a100) sont équiprobables
• La probabilité de 6 à chaque case est p = 1/6
• Chaque combinaison de r succès et nr échecs a une probabilité
rnr pp )1(
)!(!
!
rnr
n
r
n
rnrB pp
rnr
npnrP
)1(
)!(!
!);;(
•Il y a combinaisons de r succès
Probabilité pour r succès et nr échecs =
67,1)1(
33,36/20
pnp
npµ
727,3)1(
66,166/100
pnp
npµ
Désintégration radioactive
• 1 g de radium = 2,7*1021 atomes = 1 Ci = 1,7*1010 désintégrations/s
• Demi-vie = 5,26 *108 min ~ 1000 ans
• Probabilité qu’un atome donné se désintègre dans les 5 minutes est faible p ~ 108
• µ = np = 5*1012 désintégrations en 5 minutes
• Probabilité de r désintégrations =
rnrB pp
rnr
npnrP
)1(
)!(!
!);;(
Mais n! est impossible à calculern est très grandp est très petitnp = µ est finiOn remplace p par µ/n
r
nr
r
r
n
r
r
rnr
B
nµ
nµ
µ
rn
rnnn
nµnµ
n
µ
rnr
n
n
µ
n
µ
rnr
npnrP
)1(
)1(
!
)1)...(1(
)1(
)1(
)!(!
!
)1()!(!
!);;(
1)1)...(1(lim
11lim
1lim
)1(
)1(
!
)1)...(1();;(
r
r
µn
r
nr
rB
n
rnnn
n
n
µ
n
en
µ
n
nµ
nµ
µ
rn
rnnnpnrP
Distribution de Poisson
),(!
);;(lim
)1(
)1(
!
)1)...(1();;(
µrPr
µepnrP
n
nµ
nµ
µ
rn
rnnnpnrP
P
rµ
B
r
nr
rB
n = 10, p = 0,5µ = 5
n = 100, p = 0,05µ = 5
Propriétés de la distribution de Poisson
• Normalisation
• Écart-type
1!
!),(
0
0
µµ
x
xµ
x
xµ
P
eex
µe
x
µeµxP
µnppnp )1(
Rayons cosmiques
• 180 rayons cosmiques / (m2 min)
• Combien en passe-t-il en 10 secondes ?
• µ = 180*10/60 = 30
• On peut prédire qu’il passera
rayons cosmiques en 10 secondes
3030
5,530
30
secondes 10
7,13
3
seconde 1
Distributions de Poisson
• Nombre de fautes de frappe dans une page
• Nombre d’individus vivant plus de 100 ans
• Nombre de émis par une source
• Nombre d’incendies à Montréal par semaine
• Nombre de gens tirant le numéro gagnant
Additivité
• x obéit à
• y obéit à
• Alors, z = x + y obéit à
),,( pmxPB
),,( pnyPB),,( pnmzPB
22yxz
yxz
Additivité
• x obéit à
• y obéit à
• Alors, z = x + y obéit à
),( 1µxPP
),( 2µyPP),( 21 µµzPP
22yxz
yxz
Distribution gaussienne
• La distribution de Poisson est asymétrique
• Mais devient plus symétrique pour µ grand
• Pour µ>30, la distribution est symétrique
5,530
30
secondes 10
7,13
3
seconde 1
Distribution gaussienne
• Abraham de Moivre 1733
• Distribution continue de à
• Maximum en x = µ
• Forme en cloche
• D’application très générale – Théorème de la limite centrale
• Approximation de pour µ grand
),( µxPP
Distribution gaussienne
• Taille des individus
• QI
• Incertitudes
• Vitesse des molécules
2
2
2
2
1)(
µx
G exP
Distribution gaussienne
• 2 paramètres : µ et • Symétrique autour de µ
Additivité
• x obéit à
• y obéit à
• Alors, z = x + y obéit à
),,( xxG µxP ),,( yyG µyP
),,( zzG µzP
22yxz
yxz
Distribution normale
• Distribution gaussienne
• µ = 0
= 1
Fonction tabulée
Fonction standard
2
2
2
1)(
x
N exP
Distribution normale
1
1
%6868269,0)( dxxPN
68,0
68,0
5,0)( dxxPN 68,0P.E.
35,2Largeur à mi-hauteur
Distribution gaussienne
35,2
68,0..
2
1)(
%6868269,0)(
68,0
68,0
EP
dxxP
dxxP
G
G
Fonction erreur erf(x)
21
)(
1)(
2
2
2
2
aerfdxedxxP
dxeaerf
a
a
xa
aN
a
a
x
Fonction erreur
5,0)2/68,0(
68,0)(
1)(
0)0(
2
erf
erf
erf
erf
Théorème de la limite centrale
• Sans démonstration
• Indique pourquoi tant de phénomènes obéissent à une distribution gaussienne
Théorème de la limite centrale
• Soit xi i = 1, ..., n n variables indépendantes
• Les xi obéissent à des distributions caractérisées par des µi et des i
• Alors, est distribuée selon une
• gaussienne avec
n
iix
1
n
ii
n
iiµµ
1
22
1
et
5,530
30
7,13
3
Lorentz
• Pas de lien avec les autres distributions
• Phénomènes de résonance
• Circuits RLC
Lorentz
• est infini
• On utilise
222
21
µxPL
Lorentz