Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours, exercices et examens

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  • Analyse Numrique : SMA-SMI S4

    Cours, exercices et examens

    Boutayeb A, Derouich M, Lamlili M et Boutayeb W.

  • Table des matires

    1 Rsolution numrique de systmes linaires AX = B 5

    1.1 Mthodes directes de rsolution de AX=B . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.1.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.1.2 Mthode de Gauss(avec et sans pivot) . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.1.3 Factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.1.4 Factorisation de Choleski (matrice symtrique) . . . . . . . . . 13

    1.1.5 Factorisation de Householder (matrice unitaire ) . . . . . . . . 14

    1.2 Mthodes indirectes de rsolution de AX=B . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.2.1 Quelques rappels sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.2.2 Mthodes classiques(Jacobi, Gauss Seidel, Relaxation) . . . . 15

    1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2 Approximations des solutions de lquation f (x) = 0 22

    2.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.2 Mthode de Newton : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.3 Mthode de Newton modifie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.4 Mthode de dichotomie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.5 Mthode de fausse position ( Regula Falsi) : . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3 Inroduction linterpolation 36

    3.1 Rappel et dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    3.2 Interpolant de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    3.3 Interpolant de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.4 Existence et Unicit de linterpolant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.4.1 Interpolation linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.5 Erreur dinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    1

  • 4 Intgration numrique 46

    4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    4.2 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    4.2.1 Approximation par des rectangles gauche . . . . . . . . . . . 48

    4.2.2 Approximation par des rectangles droite . . . . . . . . . . . 49

    4.2.3 Approximation par des rectangles mdians . . . . . . . . . . . 50

    4.2.4 Approximations par des trapzes . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.2.5 Formule de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    4.3 Interpolation et Erreur dintgration numrique . . . . . . . . . . . . 53

    4.3.1 Interpolation linaire et la formule du trapze : . . . . . . . . . 53

    4.3.2 Formule du trapze compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    4.3.3 Erreur de la formule de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    5 Analyse numrique des quations differentielles ordinaires (e.d.o) 56

    5.1 Rappels sur les quations differentielles ordinaires (e.d.o) . . . . . . 56

    5.2 Systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    5.3 Notions de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    5.4 Systme dquations aux differences linaires avec cofficients constants 60

    5.5 Mthodes numriques pour les problmes de condition initiale . . . 61

    5.5.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    5.5.2 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    5.5.3 Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    5.5.4 Mthode dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    5.5.5 Mthodes de Taylor dans le cas scalaire . . . . . . . . . . . . . 66

    5.5.6 Mthodes de Runge-Kutta (R.K) dans le cas scalaire . . . . . . 67

    5.5.7 Mthodes de Runge-Kutta explicites . . . . . . . . . . . . . . . 67

    5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    6 Examens 77

    6.1 F.S.O Session ordinaire 2012-2013 (Dure : 1h30) . . . . . . . . . . . . 77

    6.2 F.S.O Session Rattrapage 2012-2013 (Dure : 1h30) . . . . . . . . . . . 79

    6.3 F.S.O Session ordinaire 2011-2012 (Dure : 1h30) . . . . . . . . . . . . 81

    6.4 F.S.O Session de rattrapage 2011-2012 (Dure : 1h30) . . . . . . . . . . 83

    6.5 F.S.O Session ordinaire 2010-2011 (Dure :1h30) . . . . . . . . . . . . . 85

    6.6 F.S.O Session Rattrapage 2010-2011 (Dure : 1h30) . . . . . . . . . . . 87

    6.7 F.S.O Examen 2009-2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    6.8 F.S.O Session ordinaire 2008/2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    2

  • 6.9 F.S.O Session rattrapage 2008-2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    6.10 F.S.O Session ordinaire 2007-2008(Dure : 1h30) . . . . . . . . . . . . . 94

    6.11 F.S.O Examen blanc 2007-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    6.12 F.S.O Devoir faire chez soi 2007-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    6.13 F.S.O Session ordinaire Janvier 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    3

  • Table des figures

    2.1 la solution est x = 1.3652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.2 f (1). f (2) < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.3 x = 2.7133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3.1 Interpolation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.2 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    4.1 Approximation par des rectangles gauche . . . . . . . . . . . . . . . 49

    4.2 Approximation par des rectangles droite . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    4.3 Approximation par des rectangles mdians . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4

  • Chapitre 1

    Rsolution numrique de systmes

    linaires AX = B

    1.1 Mthodes directes de rsolution de AX=B

    1.1.1 Exemples

    1. Rsoudre(S) :

    {x1 x2 = 0 L1x1 + x2 = 2 L2

    Par substitution

    L1 x1 = x2L2 2x1 = 2 x1 = 1 x2 = x1 = 1Par combinaison de lignes

    L1 x1 x2 = 0L2 = L2 L1 2x2 = 2 0 = 2 x2 = 1 = x1Par Inversion de la matrice

    (S)

    (1 11 1

    ) (x1

    x2

    )=

    (0

    2

    )AX = B

    det A = 2; A1=1

    det A

    t

    comA =1

    2

    (1 1

    1 1

    )

    Si A1existe alors X = A1B(

    x1

    x2

    )=

    1

    2

    1

    2

    12

    1

    2

    (

    0

    2

    )=

    (1

    1

    )

    par mthode de Cramer

    5

  • 2. Rsoudre (S) :

    4x1 + 15x2 + 3x3 17x4 = 18 L1+13x2 + 5x3 + 4x4 = 0 L2

    2x3 + 5x4 = 8 L37x4 = 14 L4

    (S)

    4 15 3 170 13 5 4

    0 0 2 50 0 0 7

    x1

    x2

    x3

    x4

    =

    180

    8

    14

    Rsolution par remonte ( en commenant par x4)

    L4 x4 =14

    7= 2

    L3 x3 =(8 5 2)

    2 = 1

    L2 x2 =(0 4 2 5 1)

    13= 1

    L1 x1 =(18 + 17 2 3 1 + 15 1)

    4= 7

    3. Systme triangulaire : cas gnral

    ST) :

    u11x1 + u12x2 + + u1nxn = b1 L1u22x2 + + u2nxn = b2 L2

    ...

    unnxn = bn Ln

    x1

    x2

    .

    xn

    =

    b1

    b2

    .

    bn

    On suppose que ukk 6= 0 k = 1, , nxn =

    bnunn

    xn1 = (bn1 unnbn)/un1n1xi = (bi j=nj=i+1 ui jb j)/uii i = n 1, ....1Algorithme de rsolution pour UX = B

    xn =bnunn

    Pour i = n 1 1xi = bi

    Pour j = i + 1 n

    xi = xi ui jx jFin j

    Fin i

    Remarques 1.1.1. Remarques :

    1. La matrice U est dite triangulaire suprieure. Elle est inversible si tous les

    termes diagonaux sont non nuls et det U = u11 u22 unn

    6

  • 2. La matrice triangulaire infrieure se traite de faon similaire

    3. le nombre doprations ncssaires est :

    n(n 1)2

    multiplications,n(n 1)

    2additions et n divisions soit au total n2oprations

    1.1.2 Mthode de Gauss(avec et sans pivot)

    Elle consiste ramener un systme linaire de la forme AX = B ( A avec matrice

    pleine) un systme de la forme UX = D puis rsoudre ce dernier.

    Exemple 1.1.1. Rsoudre

    (S) :

    3x1 + 5x2 + 2x3 = 8 L1

    0x1 + 8x2 + 2x3 = 7 L26x1 + 2x2 + 8x3 = 26 L3

    Etape1:

    3x1 + 5x2 + 2x3 = 8 L(1)1 = L1

    0 + 8x2 + 2x3 = 7 L(1)2 = L20 8x2 + 4x3 = 10 L(1)3 = L3 2L1

    Etape2:

    3x1 + 5x2 + 2x3 = 8 L(1)1 = L1

    0 + 8x2 + 2x3 = 7 L(1)2 = L20 + 0 + 6x3 = 3 L

    (2)3 = L

    (1)3 + L

    (1)2

    Do : x3 =1

    2, x2 = (7 2x3)/8 = 1 et x1 = (8 2x3 5x2)/3 = 4

    Mthode de Gauss sans pivot (cas gnral)

    (S0)

    a(0)11 x1 + a

    (0)12 x2 + a

    (0)13 x3 + + a

    (0)1n xn = b

    (0)1

    a(0)21 x1 + a

    (0)22 x2 + a

    (0)23 x3 + + a

    (0)2n xn = b

    (0)2

    ......

    ...

    a(0)n1 x1 + a

    (0)n2 x2 + a

    (0)n3 x3 + + a

    (0)nn xn = b

    (0)n

    Etape1 : On suppose a(0)11 6= 0 et on pose mi1 =

    a(0)i1

    a(0)11

    On remplace la ligne L(0)i par L

    (1)i = L

    (0)i mi1L

    (0)1 pour i = 2, 3, , n

    a(1)i j = a

    (0)i j mi1a

    (0)1 j i, j = 2, 3, ; n et b

    (1)i = b

    (0)i mi1b

    (0)1 i = 2, 3, ; n

    7

  • On obtient alors le systme (S1) suivant :

    (S1)