analyse num©rique( cour math 4 "usthb" )

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les cours de math 4 ; allé les amis prifité bien et bien sur lissé des commantaires

Transcript of analyse num©rique( cour math 4 "usthb" )

Universit du Sud Toulon-Var ISITV - 1re anne

Analyse NumriquePaola GOATIN

Table des matires1 Calculs numriques approchs.1.1 1.2 1.3 2.1 Reprsentation dcimale approche des nombres rels. . . . . . . Non-associativit des oprations arithmtiques. . . . . . . . . . . Phnomnes de compensation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mthodes directes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Rsolution des systmes triangulaires. . . . . . . . . . . . 2.1.2 Mthode d'elimination de Gauss et dcomposition LU . . . 2.1.3 Elimination avec recherche de pivot. . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Matrices tridiagonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 L'inverse d'une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Considration sur la prcision des mthodes directes pour les systmes linaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mthodes itratives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 La mthode de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 La mthode de Gauss-Seidel. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Convergence des mthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel. . 2.2.4 Mthode du gradient pas optimal. . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Mthode du gradient conjugu. . . . . . . . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mthode de dichotomie (ou de la bissection). Mthode de Newton. . . . . . . . . . . . . . . Mthode de la scante. . . . . . . . . . . . . . Mthode de la corde. . . . . . . . . . . . . . . Mthode de point xe. . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Le thorme du point xe. . . . . . . . 3.5.2 Point xes attractifs et rpulsifs. . . . Encore propos de la mthode de Newton. . Le cas des systmes. . . . . . . . . . . . . . . Mthode d'interpolation de Lagrange. Mthode des dirences divises. . . . Formule d'erreur. . . . . . . . . . . . . Interpolation de Tchebychev. . . . . . Interpolation par intervalles. . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

3 3 4

2 Systmes linaires.

5 5 6 7 9 10 10 11 12 13 13 14 15 15

5

2.2

2.3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

3 Zeros de fonctions non-linaires.

17

17 17 17 18 18 18 19 21 22

4 Approximation polynmiale.

2323 24 25 26 27

5 Intgration numrique.5.1 5.2 6.1 6.2 6.3 6.4

Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluation de l'erreur. Noyau de Peano. . . . . . . . . . . . . . . Drive numrique. . . . . . . . . . . . . . Mthodes d'Euler. . . . . . . . . . . . . . Etude gnrale des mthodes un pas. . . 6.3.1 Consistance, stabilit, convergence. Mthodes de Runge-Kutta d'ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

28 30

6 Equations direntielles.

31

31 32 33 33 34

RfrencesVersion provisoire. Merci de me signaler les erreurs !

36

2

1 Calculs numriques approchs.L'objet de cette section est de mettre en vidence les principales dicults lies la pratique des calculs numriques sur ordinateur.

1.1 Reprsentation dcimale approche des nombres rels.La capacit mmoire d'un ordinateur tant nie, il est ncessaire de reprsenter les nombres rels sous forme approche. La notation la plus utilise est la reprsentation avec virgule ottante : si x est un nombre rel, on pose

x

m bp ,

o b est la base de numration, m la mantisse, et p l'exposant. (Les calculs sont gnralement eectus en base b = 2, les rsultats achs sont traduits en base 10.) La mantisse m est un nombre crit avec virgule xe et possdant un nombre maximum N de chires signicatifs (impos par la mmoire de l'ordinateur) :N

m = 0, a1 a2 . . . aN =k=1

ak bk ,

b1 m < 1.

La prcision relative dans l'approximation d'un nombre rel est donc donne par x m bN = 1 = b1N . x m b L' exposant p est compris entre deux nombres entiers, L p U , ce qui veut dire que les nombres rels qui peuvent tre reprsents en machine sont compris entre deux valeurs xmin et xmax :

xmin = bL1 |x| bU = xmax .Voici en rsumant la repartition des n positions de mmoire pour la reprsentations des nombres rels dans l'ordinateur : une position pour le signe, N positions pour les chires signicatifs, et les restantes n N 1 positions pour l'exposant. bases direntes : 425, 33 en base 10 reprsente le nombre x = 4102 +210+5+3 101 +3102 , en base 6 il reprsente le nombre y = 462 +26+5+361 +362 . D'autre part, le mme nombre peut avoir un nombre ni de chires dans une base, et un nombre inni dans un'autre base : x = 1/3 donne x3 = 0, 1 en base 3 et x10 = 0, 3 en base 10.

Exemple. La mme criture peut reprsenter des nombre dirents dans des

1.2 Non-associativit des oprations arithmtiques.Supposons par exemple que les rels soient calculs avec N = 3 chires signicatifs et arrondis la dcimale la plus proche. Soient

x = 8, 22 = 0, 82210,

y = 0, 00317 = 0, 317102 ,3

z = 0, 00432 = 0, 432102 .

On veut calculer la somme x + y + z . (x + y) + z donne :

x + y = 8, 22317 0, 822 10 (x + y) + z 8, 22432 0, 822 10 x + (y + z) donne : y + z = 0, 00749 0, 749 102 x + (y + z) = 8, 22749 0, 823 10L'addition est donc non associative par suite des erreurs d'arrondi. En gnrale, dans une sommations de rels, l'erreur a la tendance tre minimis lorsqu'on somme en premier les termes ayant la plus petite valeur absolue.

1.3 Phnomnes de compensation.Lorsqu'on tente d'eectuer des soustractions de valeurs trs voisines, on peut avoir des pertes importantes de prcision.

Exemple. On veut rsoudre l'quation x2 1634x + 2 = 0 en eectuant lescalculs avec N = 10 chires signicatifs. On obtient = 667487, = 816, 9987760, x1 = 817 + 1633, 998776, 0, 0012240. x2 = 817

On voit qu'on a une perte de 5 chires signicatifs sur x2 . Ici le remde est simple : il sut d'observer que x1 x2 = 2, d'o

x2 =

2 x1

1, 223991125 103 .

C'est donc l'algorithme numrique utilis qui doit tre modi.

4

2 Systmes linaires.On appelle systme linaire d'ordre n (n entier positif), une expression de la forme Ax = b, o A = (aij ), 1 i, j n, dsigne une matrice de taille n n de nombres rels ou complexes, b = (bi ), 1 i n, un vecteur colonne rel ou complexe et x = (xi ), 1 i n, est le vecteur des inconnues du systme. La relation prcdente quivaut aux quationsn

aij xj = bi ,j=1

i = 1, . . . , n.

La matrice A est dite rgulire (ou non singulire ) si detA = 0 ; on a existence et unicit de la solution x (pour n'importe quel vecteur b donn) si et seulement si la matrice associe au systme linaire est rgulire. Thoriquement, si A est non singulire, la solution est donne par la formule de Cramer : det(Ai ) xi = , i = 1, . . . , n, det(A) o Ai est la matrice obtenue en replaant la i-me colonne de A par le vecteur b. Cependant l'application de cette formule est inacceptable pour la rsolution pratique des systmes, car son cot est de l'ordre de (n + 1)! oating-point operations (ops ). En fait, le calcul de chaque dterminant par la formulen

det(A) =

(1)

() i=1

ai,(i)

(o la somme est tendue toutes les permutations sur n objets) requiert n! ops. Par example, sur un ordinateur eectuant 109 ops par seconde il faudrait 9, 6 1047 annes pour rsoudre un systme linaire de seulement 50 quations. Il faut donc dvelopper des algorithmes alternatives avec un cot raisonnable. Dans les sections suivantes plusieurs mthodes sont analyses. On appelle mthode de rsolution directe d'un systme linaire un algorithme qui, si l'ordinateur faisait des calculs exacts, donnerait la solution en un nombre ni d'oprations. Il existe aussi des mthodes itratives qui consistent construire une suite de vecteurs xn convergeant vers la solution x.

2.1 Mthodes directes.Pour rsoudre Ax = b, on cherche crire A = LU o - L est une matrice triangulaire infrieure avec des 1 sur la diagonale, - U est une matrice triangulaire suprieure. La rsolution de Ax = b est alors ramene aux rsolutions successives des systmes chelonns Ly = b et U x = y.

2.1.1

Rsolution des systmes triangulaires.aij = 0 i, j : 1 j < i n5

Une matrice A = (aij ) est triangulaire suprieure si

et triangulaire infrieure si

aij = 0

i, j : 1 i < j n.

Suivant ces cas, le systme rsoudre est dit systme triangulaire suprieur ou infrieur. Si la matrice A est rgulire et triangulaire alors, comme det(A) = aii , on en dduit que aii = 0, pour tout i = 1, . . . , n. Si A est triangulaire infrieure on a

x1 = b1 /a11 ,et pour i = 2, 3, . . . , n

i1 1 xi = bi aij xj . aii j=1Cet algorithme est appel mthode de descente. Si A est triangulaire suprieure on a

xn = bn /ann ,et pour i = n 1, n 2, . . . , 2, 1

n 1 bi aij xj . xi = aii j=i+1Cet algorithme est appel mthode de remonte. Le nombre de multiplications et de divisions ncessaires dans cet algorithme est de n(n + 1)/2 et le nombre d'additions et de soustraction est de n(n 1)/2, donc l'algorithme ncessite de n2 ops.

2.1.2 Mthode d'elimination de Gauss et dcomposition LU .Soit A = (aij ) une matrice non singulire n n. L'algorithme de Gauss est le (1) suivant : on pose A(1) = A, c'est--dire aij = aij pour i, j = 1, . . . , n ; pour k = 1, . . . , n on calcule

lik = aij

aik

(k)

akk

(k)

,(k)

i = k + 1, . . . , n;(k)

(k+1)

= aij