Analyse multirésolution et transformée en ondelettes · 2019. 2. 26. · ELE8812 21 fév 2019....

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Nikola Stikov

ELE8812

21 fév 2019

Analyse multirésolution et transformée enondelettes

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1 / 38Analyse multirésolutionNikola Stikov (ELE8812)

1. Approches des traitements mul4résolu4ons• Analyse pyramidale• Codage en sous-bandes• Transformée de Haar

2. Développements mul4résolu4ons• Rappels• Fonc4ons d’échelle• OndeleEes

3. Développement en série d’ondeleEes, transforméee en ondeleEes• Développement en série d’ondeleEes• Transformée en ondeleEes discrète• Transformée en ondeleEes rapide• Extension bi-dimensionnelle

4. Applica4ons de la transformée en ondeleEes 2D• Détec4on de contours• Débruitage et compression d’images

Plan

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Contexte- Analyse pyramidale- Codage en sous-bande- Transformée de Haar- Les ondelettes en bref (« In a nutshell »)

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Approches des traitments multirésolutions

Exemple Atraitements multirésolutions

Variations locales dans une image

© 1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

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Approches des traitments multirésolutions

Principe

Analyse pyramidale

© 1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Analyse pyramidale

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Approches des traitments multirésolutions

Exemple

Analyse pyramidale

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Analyse pyramidale

Caractéristiques- Gradeurs discrètes- CompressionÉléments importants- Changement d’échelle

- Décimation: 2↓- Interpolation: 2↑

- Filtre d’approximation (ex. Gauss)

Approximation

Interpolation

2↓

2↑

Sous-Échantillonnage

Sur-Échantillonnage

Image d’entréeNiveau j

Résidu de prédiction

Niveau j

ApproximationNiveau j-1

Prédiction

Voir: Demo1_AnalysePyramidale.ipynb

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Approches des traitments multirésolutions

Codage en sous-bandes (1)©

1992

-200

8 R.

C. G

onza

lez

& R

. E.

Woo

dsCodage en sous-bandes

Principe

• Décomposi)on d’un signal en bandes limitées• Banque de filtres d’analyse: ℎ" # , ℎ% #• Banque de filtres de synthèse: &" # , &% #• '()(#) : Approxima)on de ' # (Filtre passe-bas)• ',)(#) : Détails de '(#) (Filtre passe-haut)• Sous-échan)llonnage : 2 ↑• Sur-échan)llonnage : 2 ↓• Selon les filtres, reconstruc)on parfaite du signal

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Approches des traitments multirésolutions

Codage en sous-bandes (2)Codage en sous-bandes

Extension 2D

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Approches des traitments mul2résolu2ons

Transformée de HaarTransformée de Haar

-Codage en sous-bandes avec les filtres les plus simples

-Signal de taille N = 2J

-Application récurrente du codage en sous bandes (J fois)-H: Matrice de transformation

Propriétés-H: orthogonale

-Propriété supplémentaire d’orthonormalité des hi aux différentes échelles-Extension 2D: T = H F Ht

! ℎ#(!) &'(()0 1/ 2 1/ 21 1/ 2 −1/ 2

Slid

e co

urte

sy o

f Joë

l Lef

ebvr

e

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9 / 38Analyse multirésolutionNikola Stikov (ELE8812)h"ps://youtu.be/QX1-xGVFqmw Démo: Transformée en ondelette continue

Ondelettes en bref

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Développements multirésolutions

Développements multirésolutionsRappels

Cadre : Continu ou discretSystème orthogonal ou orthonormé : !"($): ' ∈ )Développement

* $ = ,"∈)

-"!"($)

Transformée: -" ∝ *, !" = ∫ * $ !"∗ $ 2$Orthogonal & Orthonormée:

!3, !" = 43" = 50 7 ≠ '1 7 = '

Slid

e co

urte

sy o

f Joë

l Lef

ebvr

e

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Développements multirésolutions

Fonctions génératrice et espace de fonctionsFonc6ons d’échelle

Fonctions de bases: !" # ; % ∈ 'Exemple: Série de Fourier !" # = ) ⁄+,-". /; % ∈ ℤ

!" : Altération de la fonction génératrice (!1 # = )+,-.// )!" : Orthogonales les unes aux autresEspace des fonctions décomposables: Vect !" # ; % ∈ 'Extension: Systèmes redondants

!1 # : Fonction génératrice

Slid

e co

urte

sy o

f Joë

l Lef

ebvr

e

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Développements multirésolutions

Exemple: Série de FourierFonctions d’échelle

!(#) = #&

'( # = ) ⁄&+,(- .

Slid

e co

urte

sy o

f Joë

l Lef

ebvr

e

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Développements mul-résolu-ons

Fonctions d’échelle !",$ %Fonctions d’échelle

! % : Fonction génératrice; %: Variable continueVersions translatées de ! %

!$ % = ! % − ( ; ( ∈ ℤ! choisie telle que les !$ soient orthogonales les unes aux autres

!", !$ = ,"$ = -0 / ≠ (1 / = (

2 = Vect !$ % ; ( ∈ ℤ ⊂ 89(ℝ) (Fonctions réelles carrées intégrables)

Démo

! à support fini ⟶>$ lié aux caractéristiques locales de ?(%)

!@A(%) !A(%)!B(%)Ondelette de Haar

Slid

e co

urte

sy o

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l Lef

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Développements multirésolutions

Développements multirésolutionsFonc1ons d’échelle

DémoNotion d’échelle

Échelle originale (Échelle 0) !" # ≜ !%," # = !(# − *)

Passage à l’échelle j!,," # = 2,//! 2,# − * ; * ∈ ℤ

!%,"; * ∈ ℤ orthogonal ⇒ !,," ; * ∈ ℤ orthogonal4, = 4567 !,," # ; * ∈ ℤ ⊂ 9/ ℝ

!%,%(#) !;,%(#) !/,%(#)

Exemple : Ondelette de Daubechies-2

Slid

e co

urte

sy o

f Joë

l Lef

ebvr

e

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Développements multirésolutions Fonctions d’échelle

Propriétés caractéristiques de l’analyse multirésolution

1. La fonction d’échelle !",$ est orthogonale -/- translation

!",%, !",& = (%& = )0 + ≠ -1 + = -

2. Le sous-espace couvert par !&,$ (basse échelle) est inclus dans l’espace couvert par !&/0,$ (grande échelle)

123 ⊂ ⋯ ⊂ 120 ⊂ 1" ⊂ 10 ⊂ 16 ⊂ ⋯ ⊂ 133. La seule fonction commune à toutes les échelles est

123 = 0 (Fonction uniformément nulle)4. Toutes les fonctions peuvent être représentées avec une précision arbitraire

(1/3 = 76 ℝ )1" ⊂ 10 ⊂ 16

1"

Fonction de dilatation

!&,$ 9 =:;<;!&/0,;(9)

! 9 =:;ℎ@ A 2! 29 − A

ℎ@(A) : Coefficients d’échelleSlid

e co

urte

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l Lef

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Développements multirésolutions Fonctions d’échelle

Exemple: Fonc8on de HaarFonction de Haar: ! " = $1 0 ≤ " < 1

0 sinonCoefficients d’échelle : ℎ. 0 = ℎ. 1 = 1/ 2

! " =12ℎ. 3 2! 2" − 3

= 12 2! 2" + 1

2 2! 2" − 1= ! 2" + !(2" − 1)

Slid

e co

urte

sy o

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Ondelettes

Développements multirésolutions Ondele1es

Structure des espaces de décomposition

© 1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

• Décomposition récurrente en sous espaces orthogonaux

V! = V# ⊕W# = (V% ⊕W%) ⊕W#…

• Structure des sous-espaces Wj ?

Slid

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Bases d’ondelettes (1)Base de l’espace W!• Fonctions dependant d’une variable x continue x ∈ ℝ• V$ = Vect y$,k x ; k ∈ ℤ• y$,k x µ y 2$x− k

• y x : fonction génératrice des bases d’ondelettes

Propriétés d’orthogonalité• )$,+(-) )$,/ (-) = 0 k− I• )$,+(-) 1$,/ (-) = 0• 13,+(-) 1$,/ (-) = 0 i− 4 0 k− I

JusAficaAon de l’existence de y : codage en sous-bandes, filtresorthogonaux

Développements multirésolutions OndelettesSl

ide

cour

tesy

of J

oël L

efeb

vre

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Bases d’ondelettes (2)Développements mul5résolu5ons Ondelettes

Coefficients d’échelle : ℎ" #$% ⊂ $' ⇒ ) * = ∑-∈ℤℎ" # )',-(*)

Coefficients d’ondelette : ℎ3(#)4% ⊂ $' ⇒ 5 * =6

-∈ℤℎ3 # )',-(*)

Relations d’orthogonalitéℎ3 # = −1 -ℎ"(1 − #)

Le choix de 9 détermine l’ensemble de la base de décomposition

Slid

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sy o

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Développements multirésolutions Ondele1es

Base d’ondelette : ExempleSl

ide

cour

tesy

of J

oël L

efeb

vre

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Développement en série d’ondelettes

Choix de la résolution la plus grossière !"Utilité : analyse espace-échelle (multirésolutions)

Séries d’ondele@es, transformée en ondele@es Développement en série d’ondelettes

Cadre# $ : Élément de %& ℝ , $ continueDécomposition sur ()*⨁,)*⨁,)*-.⨁,)*-&⨁⋯

Décomposition # $ = 1

2∈ℤ5)* 6 7)*,2 $ + 1

):)*12∈ℤ

;) 6 <),2($)

Calcul des coefficients5)* 6 = #($) 7)*,2($) = ∫ # $ 7)*,2∗ $ ;$

;) 6 = #($) <),2($) = ∫ # $ <),2∗ $ ;$

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Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Développement en série d’ondelettes

Exemple de transformée en ondele7es

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23 / 38Analyse multirésolutionNikola Stikov (ELE8812)

Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Développement en série d’ondelettes

Transformée en ondelettes discrète

Cadre!(#) : Élément de %& ℤ . Variable temporelle discrèteDécomposition sur ()*⨁,)*⨁,)*-.⨁,)*-&⨁⋯

Décomposition (Inverse DWT)! # = 1

234∈ℤ

,6 78, : ;)*,4(#) +123

)=)*34∈ℤ

,> 7, : ?),4(#)

Calcul des coefficients (Forward DWT),6 78, : = !(#) ;)*,4(#) = 1

23@∈ℤ

! # ;)*,4(#)

,> 7, : = !(#) ?),4(#) = 123

@∈ℤ! # ?),4(#)

Analogue à temps discret du développement en série d’ondeleFes

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Transformée en ondelettes rapide (1)Approche• Cadre : temps continu ou discret• Relations entre coefficients de deux échelles voisines (! et ! +1)• Utilisation du caractère générateur de φ

Signaux à temps continu

•Point importants• Structure analogue à celle du codage en sous-bandes• Nécessité d’une première décomposition à l’échelle la plus fine

Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Transformée en ondelettes rapide

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25 / 38Analyse multirésolutionNikola Stikov (ELE8812)

Transformée en ondele-es rapide (2)

Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Transformée en ondelettes rapide

• Structure identique

• Relations identiques

entre filtres

Équivalence entre TOR et

codage en sous-bandes

Signaux à temps discret (support fini)

TOR et codage en sous-bandes

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Transformée en ondelettes rapide (3)

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Décomposition en plusieurs échelles

Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Transformée en ondelettes rapide

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27 / 38Analyse mul0résolu0onNikola Stikov (ELE8812)

Transformée en ondelettes rapide inverse

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Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Transformée en ondelettes rapide

Codage en sous-bandes: partie synthèseReconstruction parfaite pour

!" # = ℎ" −# = ℎ'(#)!* # = ℎ* −# = ℎ+(#)

,' - + 1, 1 = 2ℎ' 1 ∗ ,'4↑ -, 1 + ℎ+ 1 ∗,+4↑ -, 1

67"

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28 / 38Analyse mul/résolu/onNikola Stikov (ELE8812)

Cadre théorique des ondelettes

• Résultats généraux

• Signaux de tous types (temps continu, temps discret, support fini, …)

• Outils variés (développement, transformée continue, discrète, rapide, …etc.)

En pratique• Signaux à temps discrèt et à support fini

• Transformée en ondelettes rapide

• Codage récurrent en sous-bandes avec filtres orthogonaux

Élément déterminant : choix de la fonction d’échelle φ

Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Transformée en ondelettes rapide

Décomposition multirésolutions et ondelettesSynthèse

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Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Extension bi-dimensionnelle

Approche: séparabilitéFonction d’échelle: ! "# $, & = ! $ !(&)Fonctions d’ondelette

* + $, & = * $ ! &* , $, & = ! $ * &* # $, & = * $ * &

Conséquence: Traitements selon X, puis selon YIdentique au codage en sous-bandes 2D

Rappel• Fonction d4échelle ! $• Fonction d’ondelette *($)

Voir la démo interactive

Transformée en ondelettes 2D

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Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Extension bi-dimensionnelle

Fonction d’échelle génératrice!",$,% &, ' = 2"/+! 2"& − -, 2"' − -

Fonction d’ondelette génératrice.",$,%/ &, ' = 2"/+./ 2"& − -, 2"' − - , 0 = {2, 3, 4}

Calcul des coefficients (DWT)

67 89,-, : =1<=

>?@9

ABC

>D@9

EBC

F &, ' !"G,$,% &, '

6H/ 8,-, : =

1<=

>?@9

ABC

>D@9

EBC

F &, ' .",$,% &, ' , 0 = {2, 3, 4}

Reconstruction du signal 2D (Inverse DWT)F &, ' =

1<=

>$>%67 89,-, : !"G,$,%(&, ')

+1<=

>/>">$

>%6H

/ 8,-, : .",$,%/ (&, ')

T. en ondelettes discrète 2D

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Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Extension bi-dimensionnelle

TOR2D – Décomposition

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33 / 38Analyse mul.résolu.onNikola Stikov (ELE8812)

Séries d’ondelettes, transformée en ondelettes Extension bi-dimensionnelle

TOR2D – Reconstruction

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34 / 38Analyse mul/résolu/onNikola Stikov (ELE8812)

Applications de la transformée en ondelettes 2D- Principe général- Exemple: Détection de contours- Exemple: Débruitage- Exemple: Compression d’images

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35 / 38Analyse mul/résolu/onNikola Stikov (ELE8812)

Applications

Principe général• Calcul de la transformée en ondelettes rapide 2D• Calcul des coefficients de la décomposition• Modification des coefficients (tri, quantification, mise à zéro…) en fonction

de leur signification et des objectifs du traitement• Calcul de la transformée inverse à partir des coefficients modifiés

Points critiques• Choix de la fonction d’échelle φ• Choix du nombre d’échelles J• Choix de la stratégie de modification des coefficients

Applications de la transformée en ondelettes 2D

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Détection de contours

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Exemple

Detection de contoursApplications de la transformée en ondelettes 2D

Décomposition 2D en ondelettes

Ondele1e u3lisée: Symlet-4 (Lien)

1. Calcul TOR-2D2. Calcul des coefficients3. Modification des coefficients4. Calcul de la TOR-2D inverse

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37 / 38Analyse multirésolutionNikola Stikov (ELE8812)

Détection de contours

© 1992-2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Exemple

DetecAon de contoursApplications de la transformée en ondelettes 2D

1. Calcul TOR-2D2. Calcul des coefficients3. Modification des coefficients

4. Calcul de la TOR-2D inverse

Reconstruction

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38 / 38Analyse multirésolutionNikola Stikov (ELE8812)

DébruitageDetec,on de contoursApplications de la transformée en ondelettes 2D

Hypothèse: Le bruit affecte tous les coefficientsSuppression d’une forte partie de l’énergie du bruit en mettant à zéro les coefficients de faible amplitudeSeuillage « dur » ou « doux »Plusieurs stratégies possiblesDémo en ligne

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Compression d’imagesDetec2on de contoursApplications de la transformée en ondelettes 2D

• Application privilégiée de la transformée en ondelettes (JPEG-2000)• Aspect local de la TOD: inutile de travailler sur des images de petite taille• Caractéristiques essentielles de l’images capturées par un petit nombre de

coefficients• Seuillage ou quantification grossière des coefficients de détail• Démo en ligne

Exemple: Haar, 3-Niveaux, Seuil de 0.1, Taux de compression: 91.32%, Erreur (RMS): 4.65%

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