ANALYSE MODALE ET

PROBABILISTE D’UNE PALE

D’EOLIENNE

SOSSEY ALAOUI I., RADI B.

LIMMII, FST Settat, BP : 577, Route de Casablanca, Settat,

Maroc

i.sosseyalaoui@gmail.com, bouchaib.radi@yahoo.fr

1. Introduction

Dans le cadre des études aéroacoustiques la

compréhension des mécanismes d’interaction entre un

fluide acoustique et une structure élastique à une

importance capitale dans plusieurs applications industrielles

En effet,lorsqu'une structure élastique vibre en présence

d'un fluide sans écoulement, l'effet du fluide sur la

dynamique de la structure se traduit par un phénomène de

masse ajoutée, caractérisé par une baisse plus ou moins

significative des fréquences propres de la structure couplée

[1].

Une méthode d’analyse modaleévite le passage au

calcul formel qui nécessite des calculs colossaux, et permet

par contre un calcul approximatif simple et rapide des

fréquences propre. Ainsi ellepermet de présenter l’influence

relativement faible de l’air sur les fréquences d’une pâle

d’éolienne.

La prise en compte de l’incertain dans l’analyse

mécanique est nécessaire pour un dimensionnement optimal

et robuste des structures.D’où la nécessite de prendre en

compte l’incertitude sur les paramètres des systèmes

mécaniques en vibration. Il est en effet très largement

reconnu que des petites incertitudes les paramètres du

système peuvent avoir une influence considérable sur son

comportement vibratoire prévu.

Le présent travail propose deux études numériques

réalisées sur une pâle d’éolienne : une analyse modale

suivie d’une étude probabiliste. L’analyse modale présente

une comparaison de fréquences propres d’une pâle en vide

et en air alors que l'étude probabiliste est mise en œuvre

uniquement pour une pâle en air. Ces études numériques

sont conduites en utilisant un code de calcul éléments finis

ANSYS. Une méthode de couplage éléments finis/éléments

finis est utilisée pour modéliser le système couplé

fluide/structure, avec une formulation non symétrique en

pression/déplacement.

2. Problème élasto-acoustique

Les techniques numériques basées sur une discrétisation

de type éléments finis permettent de résoudre les équations

de problèmes d'interactions fluide/structure, ces méthodes

sont applicables avec des codes de calcul généralistes.

On s’intéresse dans ce modèle au comportement

dynamique vibratoire d’une structure élastique couplée

avec un fluide compressible, on prenant en compte les

phénomènes vibratoires dans le fluide.

La structure occupe le domaine S, de frontière S ; le

fluide occupe le domaine F, de frontière F. les deux

domaines sont en contact sur = S ∩ F. les éléments

de frontièreS0 ,Sσ, F0 et F désigne

respectivement les portions de frontière du domaine

structure à déplacement imposé, à effort imposé, et les

portions de frontière du domaine fluide à pression et

gradient normal de pression imposé[2].

3. Formulation du couplage élasto-acoustique

Un problème couplé fluide acoustique /structure

élastique est décrit par les équations suivantes :

−𝜔𝜌𝑠𝑢𝑖 −𝜕𝜎𝑖𝑗(𝑢)

𝜕𝑥𝑗

= 0 𝑑𝑎𝑛𝑠s

ui = 0 sur ∂s0

𝜎𝑖𝑗(𝑢)𝑛𝑗𝑠 = 0 sur ∂sσ

pour la structure, et :

−𝜔2

𝑐2𝑝 −

𝜕2𝑝

𝜕𝑥𝑖2 = 0 𝑑𝑎𝑛𝑠F

p = 0 sur ∂F0

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑗𝑛𝑗

𝐹 = 0 sur ∂Fπ

pour le fluide, avec les condition de couplage :

{

𝜎𝑖𝑗(𝑢)𝑛𝑗𝑠 = 𝑝𝑛𝑖

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑗

𝑛𝑗 = 𝜔2𝜌𝐹𝑢𝑖𝑛𝑗 𝑠𝑢𝑟

La formulation variationnelle du problème est obtenue

en écrivant pour tout champ de déplacement virtuel u et

tout champ de pression virtuelle p admissible ; elle

s’écrit :

Pour le problème structure :

−𝜔2 ∫ 𝜌𝑆𝑢𝑖𝛿𝑢𝑖𝑑𝑣𝑆

+ ∫ 𝜎𝑖𝑗(𝑢)휀𝑖𝑗(𝛿𝑢)𝑑𝑣𝑆

=

∫ 𝑝𝑛𝑖𝛿𝑢𝑖𝑑𝑆𝑆

∀𝛿𝑢(1)

Pour le problème fluide :

−𝜔2 ∫1

𝑐2 𝑝𝛿𝑝𝑑𝑣𝐹

+ ∫𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖

𝜕𝛿𝑝

𝜕𝑥𝑖𝑑𝑣

𝐹=

𝜔2𝜌𝐹 ∫ 𝑢𝑖𝑛𝑖𝛿𝑝𝑑𝑆

∀𝛿𝑝

(2)

La discrétisation de la formulation faible du problème

par les opérateurs MS, KS, KF et R ainsi que l’opérateur de

masse MFdéfini sur le domaine fluide Fpar :

∫1

𝑐2𝑝𝛿𝑝𝑑𝑣

𝐹

→ 𝛿𝑃𝑇𝑀𝐹𝑃

On obtient alorsle problème matriciel suivant :

(−𝜔2 [𝑀𝑆 0

−𝜌𝐹𝑅 𝑀𝐹] + [

𝑀𝑆 𝑅0 𝑀𝐹

]) {𝑈(𝜔)𝑃(𝜔)

} = {00

} (3)

On obtient un système non symétrique.

4. Simulation numérique

Le calcul est mis en œuvre avec le code de calcul éléments

finis Ansys. La modélisation du problème d’interaction

fluide/structure en couplant l’élément structure SHELL63

et l’élément fluide FLUID29, maillés avec un élément

rectangulaire à quatre nœuds respectivement.

Les figures1 et 2 donnentrespectivement une

représentation du maillage de la pâle dans le cas de l'étude

en vide et du maillage d'une pâle de l'éolienne plongée dans

le fluide environnant.

Figure 1. Maillage d’une pâle à vide

Figure 2. Maillage d’une pâle éolienne

Le tableau 1 donne les résultats de calcul en vide et en air

pour une pâle d’éolienne.

Modes Calculs sur une pâle éolienne

Vide Air

1 14 ,633 14 ,131

2 17,259 15,932

3 26,530 20,114

4 28,150 21,821

5 36,185 28,710

6 36,556 30,465

7 42 ,398 41,770

8 51,136 47,151

9 59,125 57,892

10 63,876 58,962

Table 1. Analyse modale numérique en vide et en air.

Fréquences propres calculées sur une pâle d’éolienne.

1. Analyse probabiliste

Traditionnellement l’étude des systèmes mécaniques

d’interaction fluide-structure est fondée sur une démarche

déterministe cependant il suffit d’avoir procédé à quelques

expérimentations pour se rendre en compte des limites

d’une telle modélisation. D’où la nécessite de prendre en

compte l’incertitude sur les paramètres des systèmes

mécaniques en vibration.C’est avec cet objectif que les

approches probabilistes pour la mécanique des structures

sont développées depuis plusieurs décennies. Ces méthodes

permettent en effet d’étudier d’une part la fiabilité des

composants ou des systèmes, et d’autre part l’influence de

la variabilité des paramètres sur le comportement du

composant ou du système.

Dans la démarche probabiliste on construit une

modélisation stochastique dans laquelle les données

incertaines sont représentées par des variables aléatoires.

On peut ensuite évaluer la probabilité de défaillance de la

structure (aspect quantitatif) ainsi que mesurer la sensibilité

de cette probabilité par rapport à chacune des variables

aléatoires introduites (aspect qualitatif)[3].

La méthode de simulation utiliséeest la méthode de

Monte Carlo. Cette méthode est la plus précise mais elle

aussi est la plus coûteuse.Les variables aléatoires choisies

sont :Le module d’Young qui est choisi avec une

distribution gaussienne, alors que densité de la structure

densité du fluide avec une distribution uniforme :

Le calcul probabiliste a été réalisé en utilisant le

système de conception probabiliste de ANSYS basé sur un

calcul avec simulation de Monte Carlo.Le tableau 2 donne

lesrésultats de calcul déterministe et probabiliste pour une

pâle éolienne.

Paramètres valeurs Distribution

Module

d’Young

(N/m2)

3790E6 gaussienne

Densité de la

structure

(Kg/m3)

2600 uniforme

Densité du

fluide (Kg/m3)

1,3 uniforme

Table 2 – Moyennes des paramètres et leurs écart-types et

les lois de distribution

Fréquences Déterministe Probabiliste

1 14 ,131 12,146

2 15,932 16,883

3 20,114 22,048

4 21,821 24,999

5 28,710 26,368

6 30,465 30,189

7 41,770 38,615

8 47,151 47,272

9 57,892 56,719

10 58,962 59,032

Table 3. Modes propres de la pâleen air.

5. Conclusion

Nous avons présenté dans ce travail une analyse modale

numérique d'une pâle éolienne en vide et en air, ainsi

qu’une étude probabiliste de celle-ci en air.

Dans ces deux analyses on a montré d’abord, une

influence faible de l’air au repos sur la pâle éolienne, par la

suite on a effectué une analyse probabiliste pour évaluer

l’effet des propriétés mécaniques distribuées aléatoirement

sur les fréquences propres de la pâle éolienne.

Ces résultats nous permettent, par la suite, de passer à une

étude fiabiliste éventuelle de la pâle d’éolienne.

- Bibliographie

[1] C. Devic, J.F. Sigrist et Christian Lainé, Etude modale

numérique et expérimentale d’une hélice marine, 2001.

[2] M. Souli, J.F. Sigrist, « Interaction fluide-structure :

modélisation et simulation numérique.» Lavoisier, 2009.

[3] A. El Hami, et B. Radi, « Fiabilité et optimisation des

systèmes, théorie et application, cours et exercices

corrigés.» Ellipses, Technosup, 2011.

[4] James Locke etUlyses Valencia, Design studies for

twist-coupled wind turbine Blades, Wichita State

University 2004.

[5] Techniques de l’Ingénieur, traité Génie mécanique,

éoliennes.BM 4 640 – 1.