Analyse matricielle appliquée aux structures méthode des éléments finis

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Par Joël M. ZINSALO Page 1 CHAPITRE : 1. Déplacement uniaxial – Eléments à deux forces 2.1. Eléments à deux forces Considérons une barre prismatique de longueur L de section A et de module d’élasticité E. Figure 1 : Barre prismatique de longueur L Les extrémités de la barre sont identifiées à des nœuds. Ces nœuds sont des points d’attache (ou de liaison) d’autres éléments et les points dans un ensemble d’éléments pour lesquels les déplacements sont faits. Les forces, dans un élément de membrure à deux forces, sont appliquées seulement aux nœuds et les déplacements de tous les nœuds sont dans la direction x. Sur la figure 1 les déplacements des nœuds 1 et 2 sont respectivement représentés par les symboles u1 et u2. ANALYSE MATRICIELLE APPLIQUEE AUX STRUCTURES y L x 2 x 1 x Y noeud 1 noeud 2 x F 1 F 2 1 2 u 1 u 2

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CHAPITRE :

1. Déplacement uniaxial – Eléments à deux forces

2.1. Eléments à deux forces

Considérons une barre prismatique de longueur L de section A et de module

d’élasticité E.

Figure 1 : Barre prismatique de longueur L

Les extrémités de la barre sont identifiées à des nœuds. Ces nœuds sont des

points d’attache (ou de liaison) d’autres éléments et les points dans un ensemble

d’éléments pour lesquels les déplacements sont faits.

Les forces, dans un élément de membrure à deux forces, sont appliquées

seulement aux nœuds et les déplacements de tous les nœuds sont dans la

direction x.

Sur la figure 1 les déplacements des nœuds 1 et 2 sont respectivement

représentés par les symboles u1 et u2.

ANALYSE MATRICIELLE APPLIQUEE AUX

STRUCTURES

y

L

x2

x1

x

Y

nœud 1 nœud 2

x F1 F2

1 2

u1 u2

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On établit les conventions suivantes :

� Les forces et les déplacements sont comptés positivement quand ils

agissent dans la direction positive des coordonnées. Sur la figure 1, toutes

les forces et les déplacements sont comptés positivement. Par contre pour

l’équilibre d’un élément de membrure à deux forces, la convention de signe

requiert que la force à une extrémité (nœud) soit positive et la force à l’autre

extrémité soit négative.

� La position d’un nœud dans une structure non déformée est prise égale à la

position de référence pour ce nœud. Donc le déplacement d’un nœud est le

changement de position du nœud comme la structure se déforme pendant

l’application de la charge.

De la mécanique classique, on retient que la variation de déplacement

élémentaire d’un élément de membrure de longueur L, de section A et de module

d’élasticité E (voir figure 1) est donnée par la relation :

�� − �� = � = ��(1) On définit la rigidité k de la membrure par l’expression suivante :

� = ��. De la relation (1) on tire :

� = � (2) On obtient :

Appliquons cette définition à la membrure à deux forces de la figure 1. On peut

exprimer la force à chaque nœud de la membrure en fonction des déplacements

nodaux u1 et u2 et de la rigidité k. On a :

( )( )

−=−=

122

211

uukF

uukF ⇔

( )( )

+−=−=

212

211

uukF

uukF

Sous forme matricielle on écrit :

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−−

=

2

1

2

1

11

11

u

uk

F

F (3)

ou

} [ ] }{{ qkQ ⋅= (4)

avec :

} [ ]{ TFFQ 21= : vecteur chargement aux nœuds de l’élément.

[ ]k : matrice de rigidité de l’élément.

}{ [ ]Tuuq 21= : vecteur déplacement nodal de l’élément.

Définition

Un degré de liberté dans une structure est un déplacement indépendant d’un

nœud.

Pour un élément de membrure à deux forces, on évoque seulement des

déplacements nodaux et puisque chaque nœud peut mouvoir seulement le long

de l’axe x, chaque nœud a un degré de liberté. Donc chaque élément possède

deux déplacements soit deux degrés de liberté.

L’équation (4) est la relation générale force-déplacement pour l’élément de

membrure à deux forces et est applicable à tout élément de membrure dans un

assemblage d’éléments.

Pour plus de clarté, on appliquera un numéro d’identification à l’élément. Ainsi

l’équation (3) devient :

ee

e u

uk

F

F

−−

=

2

1

2

1

11

11ou

−−

=

e

ee

e

e

u

uk

F

F

2

1

2

1

11

11

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2.2. Application à un assemblage de deux éléments à deux forces chacun

Figure 2 : Assemblage de deux éléments

Numéro de

l’élément

Numéro de nœud global dans l’assemblage

Nœud local 1 Nœud local 2

1

2

1

2

2

3

La figure 2 est un assemblage de deux éléments à deux forces dans un

déplacement uniaxial.

Pour l’élément 1 on a :

12

11

12

1

11

11

−−

=

u

uk

F

F

Pour l’élément 2 on a :

22

12

22

1

11

11

−−

=

u

uk

F

F.

En dissociant les éléments, on a la figure 3 suivante :

x 1 3

y

2

2 1

2 3

F11 F21

1 2

F22 F32 1

2

Figure 3

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On a :

−−

=

21

11

1

21

11

11

11

u

uk

F

F et

−−

=

32

222

32

22

11

11

u

uk

F

F

(5)

où ��� est la force agissant sur le nœud global � de l’élément �.

Considérons la figure suivante :

Figure 4 : Assemblage de deux éléments

L’assemblage de deux éléments montré à la figure 4 possède 3 nœuds et 3

déplacements (3 degrés de liberté). Désignons par Ri la force résultante agissant

sur le nœud global i. Notons que le diagramme de corps libre de la région

entourant le nœud 2 tel que montré sur la figure 4 illustre la charge externe

appliquée R2 et les forces exercées par les éléments adjacents. Ainsi l’équilibre de

la région entourant le nœud 2 donne :

R2 = F21 + F22.

De même au nœud 1 on a ; R1 = F11.

Au nœud 3 on a : R3 = F32

L’objectif est de combiner les deux équations (5) pour obtenir une équation qui

exprime les forces nodales Ri aux déplacements globaux ui de l’assemblage. La

1

3 2

2 1

u1 u2 u3

R3 R1

R3

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méthode suivante est théorique mais pas pratique pour solutionner les problèmes

réels.

Procédure de la méthode

1. Elargir les équations (5) pour inclure tous les déplacements nodaux ; ceci

donne

−−

=

3

2

1

121

11

000

011

011

0 u

u

u

kF

F

et

−−=

3

2

1

2

32

22

110

110

0000

u

u

u

k

F

F

2. Faire la somme des équations obtenues

−−+

−−

=

+

3

2

1

2

3

2

1

1

32

2221

11

110

110

000

000

011

0110

0 u

u

u

k

u

u

u

k

F

FF

F

3. Faire sortir le facteur du vecteur déplacement :

−−+−

−=

+=

3

2

1

22

2211

11

32

2221

11

3

2

1

0

0

u

u

u

kk

kkkk

kk

F

FF

F

R

R

R

ou

��� = ��� ∙ � �(6) ��� est le vecteur de l’assemblage des forces nodales globales � � est le vecteur de l’assemblage des déplacements nodaux globaux ��� est la matrice de rigidité du système global assemblé.

L’application de cette méthode permet de développer des équations matricielles

pour des systèmes contenant plus de deux éléments. Bien que cette technique

soit pratique pour des fins manuelles, elle n’est pas pratique pour des

incrémentations numériques sur ordinateur.

Une fois que les équations matricielles sont développées pour la structure, l’étape

suivante est de substituer les conditions aux limites et de résoudre le système

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obtenu pour trouver les déplacements inconnus. A chaque nœud dans la

structure, les charges externes appliquées sont données ou bien le déplacement

nodal est spécifié.

Exercice 1 : Soit la structure suivante :

1. Trouver les déplacements "# et "$ des nœuds 2 et 3.

2. Trouver la force résultante �% au nœud 1.

Résolution

Pour l’élément on peut écrire :

&�%%�#%' = �% (1 −1−1 1 ) *"%"#+ Pour l’élément on a :

&�##�$#' = �# (1 −1−1 1 ) *"#"$+ On a :

�% = �# = � = ,-.

En élargissant chacune de ces équations on a :

/�%%�#%0 1 = � 21 −1 0−1 1 00 0 03 /"%"#"$1 45 /

0�##�$#1 = � 20 0 00 1 −10 −1 1 3 /"%"#"$1 En les sommant on obtient :

/ �%% + 0�#% + �##0 + �$# 1 = � 21 −1 0−1 2 −10 −1 1 3 /"%"#"$1

1

3 2

2 1

�$ = −15

8�# = 10

1

2

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⟺/�%�#�$1 = ,-. ∙ 21 −1 0−1 2 −10 −1 1 3 /"%"#"$1 Avec l’encastrement en on a "% = 0 et on a :

(1)/ �%10−151 = ,-. ∙ 21 −1 0−1 2 −10 −1 1 3 / 0"#"$1 On peut y extraire :

* 10−15+ = ,-. ( 2 −1−1 1 ) *"#"$+ ⟹ *"#"$+ = .,- (1 11 2) * 10−15+ = .,- ∙ * −5−20+ D’où

�� = −; ∙ � <=�> = −�? ∙ �

De on a :

�% = ,-. (0) − ,-. ("#) + ,-. (0) ∙ "$ = −,-. @−5.,- A = 5

D’oùF� = ;

Exercice 3 : Déterminer la matrice de rigidité globale de l’assemblage de 3

éléments de structure montré à la figure suivante :

1

1

3

1

3 2

2 1

�G 8�% 4

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Solution :

Pour l’élément on a :

&�%%�#%' = � ( 1 −1−1 1 ) *"%%"#%+ Et en élargissant on a :

H�%%�#%00 I = � J1 −10 0−1 10 00 00 00 00 0KH"%"#"$"G

I

Pour l’élément on a :

&�##�$#' = � ( 1 −1−1 1 ) *"##"$#+ ⟹ H 0�##�$#0 I = � J0 00 00 1−1 00 −11 00 00 0K H"%"#"$"G

I

Pour l’élément on a :

&�$$�G$' = � ( 1 −1−1 1 ) *"$$"G$+ ⟹ H 00�$$�G$I = � J0 00 00 00 00 01 −10 0−1 1K H"%"#"$"G

I

3. Déplacement plan général : éléments à deux forces

Considérons l’élément de membrure à deux forces positionnées arbitrairement

dans le plan global (X, Y) :

2 3 �## �$# 2

1 2 �%% �#% 1

3 4 �$$ �G$ 3

1

2

3

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LM : axe de coordonnée globales

8N : axe de coordonnées locales

Soient :

�%O la composante de �% au nœud 1 dans la direction globale L

�%P la composante de �% au nœud 1 dans la direction locale 8

�%Q la composante de �% au nœud 1 dans la direction globale M

�%R la composante de �% au nœud 1 dans la direction locale N

Les déplacements nodaux sont représentés par :

"�O : déplacement du nœud � dans la direction globale L

"�P : déplacement du nœud � dans la direction locale 8

S�Q : déplacement du nœud � dans la direction globale M

S�R : déplacement du nœud � dans la direction locale N

Pour l’élément considéré, �%R = 0 et �#R = 0

On peut écrire

/�%P �#P1 = � ( 1 −1−1 1 ) /"%P "#P

1 �7� Transformons l’équation à deux déplacements en équation à quatre déplacements

en considérant �%R = 0 et �#R = 0

On a :

1

�%

�#

8

N

2

U

L

M

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VWX�%P�%R�#P�#RYZ

[ = � \ 1 0 −10 0 0−10 00 10 0000] H"%PS%R"#PS#RI(8)

Ou �_�PR = ���PR ∙ �`�PR(9) où �_�PR: vecteur colonne des forces au nœud de l’élément agissant dans les

directions locales 8 et N. ���PR : matrice de rigidité de l’élément dans le système de coordonnées locales au

plan local �`�PR: vecteur colonne des coordonnées du déplacement dans les directions

locales 8 et N.

4. Transformation des coordonnées

Dans une structure générale beaucoup d’éléments sont donnés et devraient être

orientés à différentes valeurs de l’angle U.

Soit b un vecteur b = cÎefg ∙ &bObQ' système de coordonnées globales

b = cÎefg ∙ &bObQ' = ViÎ + bQef Dans le système de coordonnées locales (j; î, n̂)

b = �în̂� ∙ &bPbR' = VPî + bRn ̂Dans la rotation d’angle U on a :

p̂ b

8 N

U L

M

U n̂ ef

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�în̂� = cÎefg ∙ (cos U − sin Usin U cos U ) = cÎefg ∙ �,� où U est mesuré positivement dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de

l’axe L.

Donc :

b = cÎefg ∙ &bObQ' = b = cÎefg ∙ �,� &bPbR' d’où

&bObQ' = �,� ∙ &bPbR'(10) C’est la relation de transformation de tout vecteur b dans un système d’axe en

rotation.

Les éléments de la matrice carrée �,� sont les directions cosinus des angles entre

les vecteurs unitaires des deux systèmes de coordonnées.

La matrice de passage est assez universelle et délicate. D’aucun inverse

l’interprétation en écrivant cÎefg = �în̂� ∙ ,u

où la matrice ,u est la transposée de la matrice �,� dans l’équation (10).

Dans le cas général d’une rotation d’un système de coordonnées orthogonales �,�v = �,�w% Considérons la transformation du vecteur force de l’équation (8) du système de

coordonnées locales (8, N) en système en système de coordonnées globales (L, M): /�%O�%Q1 = �,� x�%P�%Ry �z {4|z}~�41

/�#O�#Q1 = �,� x�#P�#Ry �z {4|z}~�42

En combinant ces deux relations on obtient le vecteur force nodale de l’élément

entier. On a :

H�%O�%Q�#O�#QI =�����⋯�,�⋯�0�⋯

⋮⋮⋮⋮⋮⋯�0�⋯�,�⋯���

�� VWX�%P�%R�#P�#RYZ

[

ou

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Par Joël M. ZINSALO Page 13

�_�OQ = �,#��_�PR(11)

avec

�,#� = J{z�U��|U00 −��|U{z�U00 00{z�U��|U00−��|U{z�U K

En rappelant l’équation (9) : �_�PR = ���PR ∙ �`�PR

et en la substituant dans (11), on obtient : �_�OQ = �,#� ∙ ���PR ∙ �`�PR(12) La matrice de transformation �,#� peut être aussi appliquée au vecteur

déplacement :

H"%OS%Q"#OS#QI = �,#� ∙ H"%PS%R"#PS#RI

ou : �`�OQ = �,#� ∙ �`�PR ⇒ �`�PR = �,#�w%�`�OQ D’où l’équation (12) devient : �_�OQ = �,#� ∙ ���PR ∙ �,#�v ∙ �`�PR(13) De la forme �_�OQ = ���OQ ∙ �`�OQ ⟹���OQ = �,#� ∙ ���PR ∙ �,#�v(14) La relation (14) transforme la matrice de rigidité de l’élément local (écrit

originellement en système de coordonnées locales) en système de coordonnées

globales.

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Par Joël M. ZINSALO Page 14

y 1

2

x

X

Y

Exercice : On considère l’élément de la figure suivante

Construire la matrice de rigidité de la

structure relativement au système de

coordonnées globales (LM)

Correction :

Matrice de rigidité par rapport au système global (LM). Le système local (8N) est appliqué à l’origine au nœud 1. La matrice de rigidité

locale de cet élément relativement au système local (8N) est donné par :

���PR = ,-. ∙ J 10−10 0000−1010 0000K

La matrice de rigidité relativement au système global LM es obtenue en utilisant

l’équation (14) suivante : ���OQ = �,#� ∙ ���PR ∙ �,#�v

Où pour U = 90° on a :

�,#� = J0100−1000 0001

00−10 K ⟹ �,#�v = J 0−100 1000000−1

0010K

���OQ = J0100−1000 0001

00−10 K ∙ ,-. ∙ J 10−10 0000−1010 0000K J

0−100 1000000−1

0010K D’où

���OQ = ,-. ∙ J0000010−1

00000−101 K

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Par Joël M. ZINSALO Page 15

Exercice 2 : Pour la structure montrée à la figure suivante trouver la matrice de

rigidité de chaque élément relativement au système de coordonnées LM.

Résolution : Considérons l’élément 1 de la figure. Définissons arbitrairement le

nœud global 3 comme nœud local 1 de cet élément.

La matrice de rigidité relativement au système local 8N est définie par l’équation

(8) :

���PR = �% J 10−10 0000−1010 0000K zù�% = @,-. A%

La matrice de rotation �,#� (équation (11)) s’écrit :

�,#� = J 0−100 1000000−1

0010K

X

Y

� = 10��

30�

1 2

3

, = 4�# Elément 2

(Acier) , = 1,5�# Elément 1

(Acier)

40�

X

Y

8

U = −�2

1

2

3

local

global 4=

2

local

N

U = −�2

U est compté à partir

de L 1

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Par Joël M. ZINSALO Page 16

Ainsi l’équation (14) donne : ���OQ = �,#� ∙ ���PR ∙ �,#�v

���OQ = J 0−100 1000000−1

0010K ∙ �% J10−10 0000

−1010 0000K ∙ J0100

−1000 000100−10 K

���OQ = �% J0000010−1

00000−101 K pourl�élément

Considérons l’élément de la figure et définissons le nœud global 1 comme

nœud local 1. En suivant la même procédure précédente on a :

���PR = �# J 10−10 0000−1010 0000K zù�# = @,-. A#

La matrice de rotation �,#� s’écrit :

�,#� = J0,80,600 −0,60,800 000,80,600−0,60,8 K

Ainsi l’équation (14) donne ���OQ = �,#� ∙ ���PR ∙ �,#�v

���PR = J0,80,600 −0,60,800 000,80,600−0,60,8 K ∙ J 0−100 1000

000−10010K ∙ J

0,8−0,600 0,60,800 000,8−0,6000,60,8K

2

1

U

y

x 2

1

Y

X

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Par Joël M. ZINSALO Page 17

�PR = �# J 0,640,48−0,64−0,480,480,36−0,48−0,36

−0,64−0,480,640,48 −0,48−0,360,480,36 K pour l’élément

Exercice 3 : Assembler les matrices de rigidité des éléments de la structure de

l’exercice 2 (précédent) pour obtenir la matrice de rigidité du système global.

Procédure de l’assemblage des éléments

1. La première étape dans la procédure d’assemblage des matrices est

d’attribuer des numéros à chaque variable de déplacement. Sur la base de

référence locale en dimension 1 les 4 déplacements (2 déplacements par

nœud pour chaque nœud par élément) seront numérotées consécutivement

de 1 à 4.

- Numéro nodal local : 1 1 2 2

- Déplacement local : "% S% "# S# - Numéro de déplacement local : 1 2 3 4

2. La deuxième étape consiste à attribuer à chaque déplacement global des

numéros. Puisqu’il y a 3 nœuds dans ce problème, il y a 6 déplacements

avant l’application des contraintes aux limites :

- Numéro nodal global : 1 1 2 2 3 3

- Déplacement global : "% S% "# S# "$ S$

Remarquons que le numéro de déplacement global est lié au numéro nodal

global par la relation :

Numéro de déplacement global dans la direction L = 2(�"�é z|z}~���z�~�) − 1

Numéro de déplacement global dans la direction M = 2(�"�é z|z}~���z�~�)

3. La 3e étape consiste à établir la numérotation nodale le long des lignes de la

table suivante :

2

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Numéro d’élément

Numéro nodal global

Nœud local 1 Nœud local 2

1 1 2

2 2 3

Ce tableau identifie que le numéro global de chaque nœud local de tout élément

peut être établi avec le tableau général ��(�, e) dont la ligne (le premier indice)

définit le nœud 1 ou le nœud 2 de l’élément.

Pour ce problème à deux éléments on doit avoir ��(�, e)

J

I 1 2

1

2

3

1

2

3

⟵ Elément 1 ⟵ Elément 2

↑ Nœud local 1

↑ Nœud local 2

Les attributions locales et globales de l’élément se présentent comme suit :

1

1 2 2

2 3

J Nœud

I (Numéro de l’élément)

1 2 3 4

5

6

3

4 ������� 0000

010−1

0000

0−101 ��������% = ���%

5 6 3 4

1 2 3 4 Numéro de déplacement

1

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Les attributions locales et globales de l’élément se présentent comme suit :

La procédure à cette dernière étape consiste maintenant à ajouter des éléments

de chaque matrice de rigidité ayant une attribution globale commune.

Ceci crée la matrice de rigidité globale qui dans le cadre de l’exercice 2 s’écrit :

Exercice 4 : Continuer avec la structure illustrée à l’exercice 2, construire les

vecteurs charge et déplacement. Utiliser la matrice de rigidité développée à

l’exercice 3. Résoudre pour obtenir les vecteurs déplacement au nœud 3.

Résolution

Rappelons que le vecteur charge globale est simplement un tableau de charge

appliqué à chaque nœud et le vecteur déplacement global est simplement un

tableau des déplacements dans les directions.

2

1 2 3 4

1

2

5

6 ������� 0,640,48−0,64−0,48

0,480,36−0,48−0,36

−0,64−0,480,640,48

−0,48−0,360,480,36 ��

������# = ���#

1 2 5 6

1 2 3 4

������������ 0,64�#0,48�#

00

−0,64�#−0,48�#

0,48�#0,36�#

00

−0,48�#−0,36�#

000000

000�%0

−�%

−0,64�#−0,48�#

00

0,64�# + 00,48�# + 0

−0,48�#−0,36�#

0−�%

0,48�# + 0�% + 0,36 ���

���������

5

6

1

2

3

4

5 6 1 2 3 4

��� =

Page 20: Analyse matricielle appliquée aux structures méthode des éléments finis

Par Joël M. ZINSALO Page 20

La résultante des charges externes appliquées agissant sur la structure initiale de

l’exercice 2.

��� =V�W�X�%O�%Q�#O�#Q�$O�$QY�

Z�[

=V�W�X �%O�%Q�#O�#Q10.0000 Y�Z

�[

Où les réactions aux appuis �%O , �%Q, �#O , �#Q sont des inconnues.

� � =V�W�X"%S%"#S#"$S$Y�Z

�[OQ

=V�W�X 0000"$S$Y�

Z�[

OQ

��� = ��� ∙ � �

V����W����X�%O�%Q�#O�#Q�$O�$QY�

���Z����[

=

������������ 0,64�#0,48�#

00

−0,64�#−0,48�#

0,48�#0,36�#

00

−0,48�#−0,36�#

000000

000�%0

−�%

−0,64�#−0,48�#

00

0,64�# + 00,48�# + 0

−0,48�#−0,36�#

0−�%

0,48�# + 0�% + 0,36�#��

����������

V����W����X 0

000

"$OS$QY�

���Z����[(16)

La solution de cette équation (16) suit la procédure utilisée précédemment.

D’abord on réduit la matrice de rigidité en extrayant les rangées associées aux

forces inconnues et les colonnes correspondant aux valeurs nulles des

déplacements. Ce qui donne l’équation suivante :

/100000 1 = 20,64�#0,48�#

0,48�#0,36�# + �%3 ∙ /

"$OS$Q1

�% = @,-. A% = 1,5 × 30. 10¡30 = 1,5. 10¡�/�

�# = @,-. A = 2,4. 10¡�/�

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Par Joël M. ZINSALO Page 21

En substituant ces valeurs �% et �# dans la matrice de rigidité on trouve :

"$P = 0,0103� S$R = −0,0050�

Les réactions aux appuis sont déterminées par substitution des déplacements "$P et S$R venant d’être calculés.

H�%O�%Q�#O�#QI = H−10000−750007500 I

4. K

5. Elément de poutre ou membrure dans un plan

L’élément à deux forces a des applications pratiques en analyse de structure. Il

est assez limité car il ne donne qu’une rigidité de flexion. Un second élément

étudié est l’élément de chargement uniaxial et ultérieurement un élément général

pouvant supporter des contraintes axiales et des forces de liaison. Soit un

élément de poutre montré à la figure suivante :

�%O = 10��

3

2

1 �%Q = −7,5�� �#Q = 7,5��

� = 10��

Y

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Par Joël M. ZINSALO Page 22

Les forces �� et les moments £� agissent dans le plan et seulement aux nœuds

extrêmes de la poutre. La force nodale �� est perpendiculaire à l’élément. Le

chargement axial n’est pas considéré ici.

Le système de coordonnées locales (8, N)est parallèle au système de coordonnées

globale (L, M). Cela signifie que tous les éléments de la structure sont reliés par

une droite.

Les déplacements à chaque nœud comportent un déplacement linéaire S� dans la

direction N ou M et un axe neutre de rotation U�. La poutre est supposée avoir une

rigidité de flexion uniforme le long d’elle-même et sur toute sa longueur .. La

relation charge – rigidité – déplacement pour cet élément a la même forme

symbolique que celle étudiée précédemment à savoir :

�_� = ��� ∙ �`�(17) H�%£%�#£#

I = J�%%�#%�$%�G%�%#�##�$#�G#

�%$�#$�$$�G$�%G�#G�$G�GG

KHS%U%S#U#I

Détermination des coefficients � de la matrice de rigidité

Forçons une configuration de déplacement sur cet élément. Supposons que S% = 1

et que tous les autres déplacements. L’élément devrait être déformé

conformément à la figure ci-dessous :

L �# �%

£#, U# £%, U% S% S#

M

L

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Par Joël M. ZINSALO Page 23

La relation charge – déplacement devient dans ces conditions :

H�%£%�#£#I = J�%%�G%

�%G�GGK ∙ H1000I

En d’autres termes les coefficients de la matrice de rigidité sont égaux aux forces

et aux moments de couple requis pour les déplacements imposés.

Pour les systèmes linéaires on utilise la technique de superposition

conformément à la figure suivante :

En utilisant S% = 1 = �% + �# S% = �%.$3-� +£% ∙ .#2-�

U% = 0 = �% + �# = �% ∙ .$2-� + £% ∙ .#-�

En résolvant ce système on obtient

�% = 12-�.$ = �%%£% = −6-�.# = �#%

M

L

£%

�%

1

£#

�#

2 S% = 1

�%

S% = 1

£%, U%

�% �%

¤%

�#

¤%

£%

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Par Joël M. ZINSALO Page 24

Pour trouver les autres inconnues on utilise les équations de la statique.

¥�N = 0 ⟹ �# = −�% = −12-�.$ = �$% ¥£ = 0 ⟹ £# = −(�% ∙ . + £%) = −6-�.# = �G%