Modèle mathématique de marées littorales. Calcul numérique sur l ...
Analyse mathématique d'un modèle hyperbolique pour les ...
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Université Pierre et Marie Curie
UFR de Mathématiques
Année Universitaire : 2013-2014
Mémoire de M2-Analyse Numérique et Equations aux DérivéesPartielles
Analyse mathématique d'un modèlehyperbolique pour les écoulements à
surface libre
Ethem Nayir
Encadrants :
Emmanuel Audusse
Yohan Penel
Jacques Sainte-Marie
9 septembre 2014
Table des matières
1 Dérivation du modèle de Navier-Stokes incompressibles à surface libre 5
1.1 Les équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Le système adimensionné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Le modèle de Saint-venant multi-couches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Existence et unicité de solutions règulières en temps court pour notre modèle de Saint-
Venant multi-couches 11
2.1 Introduction et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Estimations des termes sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Etude du système linéarisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Schéma de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Test numérique : le lock-exchange 23
3.1 Schéma et code utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Evolution de la température pour 40 couches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Comparaison en fonction du nombre de couches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1
Introduction au sujet du stage
L'étude des écoulements géophysiques à surface libre rencontre un vif intérêt, qu'il s'agisse de mieux com-prendre les phénomènes océaniques à di�érentes échelles ou de mieux prédire les phénomènes extrêmes (inonda-tions, tsunamis, avalanches...). Le modèle naturel pour la modélisation des phénomènes géophysiques est celuide Navier-Stokes à surface libre mais ce modèle présente des complexités telles que des modèles de complexitéréduite sont souvent utilisés dans la pratique.
Par exemple, le modèle de Saint-venant est utilisé pour simuler la dynamique des eaux peu profondes : onétudie, entre autres, l'écoulement de l'eau dans les lacs ou près des côtes. Elles sont aussi très utilisées pour lasimulation de rupture de barrage ou d'inondation. Rappelons ces équations (sans viscosité ni friction et en 1dimension d'espace pour simpli�er) avec H > 0 la hauteur d'eau et u la vitesse horizontale comme inconnues,g la gravité et zb la topographie donnée du fond (voir �gure 1) :{
∂H∂t + ∂(Hu)
∂x = 0,∂(Hu)∂t + ∂
∂x
(Hu2 + g
2H2)
= −gH ∂zb∂x .
zb(x, t)
x
z
Surface libre
H(x, t)
Topographie
0
u(x, z, t)
w(x, z, t)
η(x, t)
Figure 1 � Domaine avec H(x, t) la hauteur d'eau, η(x, t) la surface libre et zb(x, t) la topographie.
Ce modèle, non-linéaire, peut être obtenu par une intégration verticale des équations de Navier-Stokesincompressibles à surface libre en deux ou trois dimensions (selon ce qu'on souhaite étudier). Plus précisémentla vitesse est supposée constante sur la verticale. Bien que cette hypothèse simpli�catrice permette de réduirela complexité spatiale du problème et de simuler un grand nombre de phénomènes géophysiques, elle n'estpas compatible avec certaines situations rencontrées sur le terrain comme dans les situations de remontéesd'eau. On peut aussi penser à d'autres limitations du modèle de Saint-Venant classique : profondeur d'eauimportante, e�ets de vent important, coe�cients de friction signi�catifs.
Dans ce rapport, pour contourner cette limitation on utilise un modèle multi-couches développé dans [3] : ondiscrétise dans la verticale en plusieurs couches et on applique les équations de Saint-Venant à chaque coucheen permettant les échanges entre couches voisines. On utilise un développement en ε, où ε est le rapport d'unehauteur d'eau caractéristique sur la longueur caractéristique des phénomènes considérées, sur les équationsadimensionnées de Navier-Stokes pour en déduire un modèle multi-couches où les inconnues sont la hauteurd'eau totale H et les vitesses de chaque couche.
Présentons ce modèle :
2
∂H
∂t+
∂
∂x
(H
N∑α=1
lαuα
)= 0, (1a)
∂lαHuα∂t
+∂lαHu
2α
∂x+g
2
∂lαH2
∂x= −glαH
∂zb∂x
+ uα+ 12Gα+ 1
2− uα− 1
2Gα− 1
2
+∂
∂x
(4νlαH
∂uα∂x
)− 4ν
[∂zj∂x
∂uj∂x
]j=α+ 12
j=α− 12
+ 2νuα+1 − uα
(lα+1 + lα)H− 2ν
uα − uα−1
(lα + lα−1)H(1b)
pour α ∈ {1,...,N}
où N ≥ 1 représente le nombre de couches, zα+ 12(x, t) est l'interface entre la couche α et α+ 1, uα(x, t) est la
vitesse dans la couche α et Gα+ 12(x, t) représente l'échange de masse entre la couche α et α+1. Les paramètres
lα sont tels que : 0 ≤ lα ≤ 1 et∑Nα=0 lα = 1. Chaque couche est de hauteur hα, avec hα qui s'écrit : hα = lαH
(voir �gure 2).
u1(x, t)
x
z
η(x, t)
Surface libre
zb(x, t)
h3(x, t)
h2(x, t)
h1(x, t)
H(x, t)
u4(x, t)
u2(x, t)
0
z3+1/2(x, t)
z2+1/2(x, t)
z1+1/2(x, t)
z4+1/2 = η(x, t)
h4(x, t)
z1/2 = zb(x, t)
Topographie
u3(x, t)
Figure 2 � L'approche multi-couches
Ce modèle permet par exemple simuler les phénomènes de remontée d'eau dans un lac ou un océan.Signalons qu'il existe dans la littérature d'autres modèles de Saint-Venant multi-couches : dans [8] les
auteurs n'utilisent pas l'hypothèse d'eau peu profonde et en déduisent un modèle de Saint-Venant multi-couchesavec un tenseur de viscosité di�érent. Dans [2], les auteurs partent des équations d'Euler hydrostatique à densitévariable pour en déduire un modèle de Saint-Venant multi-couches à densité variable. Dans notre rapport, nousétudierons les équations (1) qui ont été développés dans [3] (avec donc l'hypothèse d'eau peu profonde) car c'estle premier modèle de Saint-Venant multi-couches. De plus l'étude théorique sur l'hyperbolicité ou l'existencede solutions fortes pour (1) est plus simple.
Concernant les résultats théoriques sur le système (1), dans [3] les auteurs démontrent que le système esthyperbolique pour N = 2. La question pour N > 3 reste encore ouverte mais nous ne l'aborderons pas ici.Les auteurs montrent aussi que des solutions régulières de (1) admettent une équation d'énergie. Cependant laquestion de l'existence de solutions fortes en temps court à ce modèle n'a pas été traitée. Rambaud dans [15] amontré l'existence et l'unicité de solutions fortes en temps court sur un modèle multi-couches di�érent. Dansnotre rapport, nous montrerons l'existence et l'unicité en temps court à notre modèle en partant de l'articlede A. Rambaud dans [15] et en utilisant la méthode des itérés de Picard. C'est une méthode classique quandil s'agit d'étudier l'existence de solutions à un système d'EDP (elle est par exemple utilisée dans [10] pour unsystème d'EDP représentant un �uide newtonien). Cependant, nous étudierons le système (1) sur le tore Tet non sur R tout entier comme dans [10] et [15] pour des raisons qui seront expliquées dans la suite de cerapport. Les espaces fonctionnels considérés seront aussi di�érents.
Passons aux possibles applications numériques du système (1) : dans [3] et [2] des comparaisons entre dessolutions numériques de ce modèle multi-couches présenté ici et des solutions analytiques de Navier-Stokes sontprésentées. Dans ce rapport, nous nous concentrerons sur un cas d'océanographie numérique proposé dans unbenshmark établi dans le cadre de l'ANR COMODO : le cas Lock-Exchange. Il s'agira de partir initialementd'un cas où le domaine est divisé en deux "camps" : d'un côté une eau à une certaine température T1 et del'autre côté une eau à une température plus élevée T2, on étudiera alors le mouvement des deux couches d'eau
3
l'une par rapport à l'autre au cours du temps. Pour cette étude on aura besoin du modèle Saint-Venant multi-couches à densité variable développés dans [2] et du code FreshKiss développé à l'INRIA-Rocquencourt.Précisons que le cas du Lock-Exchange a été peu étudié dans le cadre multi-couches. Notre étude sur le Lock-Exchange montrera donc si on peut étendre les applications numériques du multi-couches à l'océanographie.
Notre rapport sera organisé de la manière suivante : dans le chapitre 1, on reprendra l'article [3] pourretrouver le modèle (1) à partir des équations de Navier-Stokes incompressibles à surface libre et avec unehypothèse d'eau peu profonde. Ensuite, dans le chapitre 2, on étudiera l'existence et l'unicité de solutionsrégulières en temps court pour ce modèle qu'on limitera au tore T. On se basera sur l'étude théorique menéedans [10] et [15]. En�n dans le chapitre 3 nous ferons une étude poussée du Lock-Exchange.
4
Chapitre 1
Dérivation du modèle de Navier-Stokes
incompressibles à surface libre
1.1 Les équations de Navier-Stokes
On commence notre étude avec les équations de Navier-Stokes à surface libre, pour un �uide incompressibleen 2 dimensions avec gravité, et une viscosité constante et isotrope. L'axe z représentera la direction verticale.
∂u∂x + ∂w
∂z = 0,∂u∂t + u∂u∂x + w ∂u
∂z + ∂p∂x = ∂Σxx
∂x + ∂Σxz∂z
∂w∂t + u∂w∂x + w ∂w
∂z + ∂p∂z = −g + ∂Σzx
∂x + ∂Σzz∂z
(1.1)
Les équations seront étudiées pour :
t > 0, x ∈ R et zb(x) ≤ z ≤ η(x, t),
où η représente l'élévation de la surface libre, zb la bathymétrie qui ne dépend pas du temps dans cette étude.De plus u représente la vitesse horizontale, w la vitesse verticale et p la pression en chaque point du �uide.Pour la suite on posera H(x, t) = η(x, t)− zb(x) la hauteur d'eau.
Le tenseur de viscosité s'écrit :
Σxx = 2ν ∂u∂x , Σxz = ν(∂u∂z + ∂w
∂x
),
Σzz = 2ν ∂w∂z , Σzx = ν(∂u∂z + ∂w
∂x
),
avec ν > 0 le coe�cient de viscosité.
Nous allons maintenant préciser les conditions aux limites, c'est à dire les conditions à la surface libre et lesconditions au fond. Dans la deuxième partie, quand il s'agira d'étudier l'existence et l'unicité pour un systèmede Saint-Venant multi-couches, on précisera les conditions initiales.
1.2 Conditions aux limites
Le système (1.1) est complété avec des conditions aux limites. Explicitons tout d'abord les vecteurs normauxunitaires entrant et sortrant pour la surface libre ns et le fond nb :
ns =1√
1 + ( ∂η∂x )2
(− ∂η∂x
1
), nb =
1√1 + (∂zb∂x )2
(−∂zb∂x
1
).
Le tenseur des contraintes aura la forme suivante :
ΣT = −pI2 +
(Σxx ΣxzΣzx Σzz
).
On peut maintenant poser les conditions aux limites :
5
A la surface libre La condition cinématique est la suivante :
∂η
∂t+ us
∂η
∂x− ws = 0, (1.2)
où us et ws représentent les vitesses verticale et horizontale à la surface libre.
Pour les conditions liées aux forces exercées à la surface libre on considérera la viscosité de l'air négli-geable et la pression atmosphérique pa nulle :
ΣTns = 0, (1.3)
Cette relation (1.3) est équivalente à :
ns · ΣTns = 0 et ts · ΣTns = 0,
où ts est orthogonal à ns.
Au fond La condition cinématique est une condition d'imperméabilité :
ub∂zb∂x− wb = 0, (1.4)
où ub et wb sont respectivement les vitesses horizontale et verticale au fond.
Pour les conditions liées aux forces exercées au fond, on écrira :
tb · ΣTnb = κub · tb, (1.5)
où tb est orthogonal à nb et κ > 0 est le coe�cient de friction.
1.3 Le système adimensionné
Introduisons tout d'abord les quantités suivantes :� h et λ les dimensions caractéristiques pour l'axe z et x respectivement,� C =
√gh la vitesse des ondes caractéristiques.
On dé�nit alors le paramètre ε par :
ε =h
λ.
On supposera, dans la suite de ce rapport, ε� 1. Cette hypothèse est à la base du système de Saint-Venant.Elle est par exemple souvent valable pour les lacs (mais pas toujours à cause des phénomènes de strati�cationqui ne peuvent pas être modélisées par Saint-Venant), les rivières et les écoulements près des côtes.
Soit A une quantité (par exemple une vitesse), alors on dé�nit la quantité moyenne A par :
A =1
H
∫ η
zb
Adz.
Pour adimensionner le système (1.1) on utilise des quantités caractéristiques : soit T = λC pour le temps,
W = hT = εC pour la vitesse verticale, U = λ
T = C pour la vitesse horizontale et P = C2 pour la pression. Onintroduit alors les quantités adimensionnées suivantes :
x =x
λ, z =
z
h, η =
η
h, t =
t
T, p =
p
P, u =
u
U, et w =
w
W.
On introduit aussi ν = νλC et κ = κ
C l'adimensionnement des coe�cients de viscosité et de friction. De pluscomme dans [3] on suppose qu'on est dans le régime asymptotique suivant :
ν = εν0, et κ = εκ0
Après adimensionnement du système de Navier-Stokes (1.1) et en omettant le signe˜(pour une meilleureprésentation) on obtient :
6
∂u
∂x+∂w
∂z= 0, (1.6a)
ε
(∂u
∂t+∂u2
∂x+∂uw
∂z+∂p
∂x
)= ε2
∂
∂x
(2ν0
∂u
∂x
)+
∂
∂z
(ν0∂u
∂z
)+ ε3
∂
∂x
(ν0∂w
∂x
), (1.6b)
ε2(∂w
∂t+∂uw
∂x+∂w2
∂z
)+∂p
∂z= −1 +
∂
∂x
(εν0
∂u
∂z
)+
∂
∂z
(2εν0
∂w
∂z
). (1.6c)
De la même manière pour les conditions aux limites on obtient :
∂η
∂t+ us
∂η
∂x− ws = 0, (1.7a)
2εν0∂w
∂z
∣∣∣∣s
− ps − εν0∂η
∂x
∂u
∂z
∣∣∣∣s
= 0, (1.7b)
ν0∂u
∂z
∣∣∣∣s
− ε∂η∂x
(2εν0
∂u
∂x
∣∣∣∣s
− ps)
= 0, (1.7c)
ub∂zb∂x− wb = 0, (1.7d)
ν0∂u
∂z
∣∣∣∣b
− ε∂zb∂x
(2εν0
∂u
∂x
∣∣∣∣b
− pb)
+ ε∂zb∂x
(2εν0
∂w
∂z
∣∣∣∣b
− pb − εν0∂zb∂x
∂u
∂z
∣∣∣∣b
)
= εκ0
(1 + ε2
(∂zb∂x
)2) 3
2
ub. (1.7e)
Après adimensionnement on néglige dans (1.6) les termes en ε, ε2 et ε3 car ε� 1.En intégrant sur [zb, η] le système (1.6) et en utilisant les conditions aux limites (1.7) on en déduit le
système de Saint-Venant classique.On ne précisera pas les calculs pour le système de Saint-Venant mono-couche car ils sont extrêmement
classiques (voir par exemple [3]) mais on insistera davantage sur les calculs nécessaires pour le système deSaint-Venant multi-couches.
Après calcul, on obtient donc que H = η − zb et u sont solutions de :{∂H∂t + ∂Hu
x = 0,∂Hu∂t + ∂
∂x
(Hu2 + g
2H2)
= −gH ∂zb∂x + ∂
∂x
(4νH ∂u
x
)− κ
1+ κ3νH
u.(1.8)
Dans la prochaine section on repartira de (1.6) pour obtenir un modèle de Saint-Venant multi-couches.
1.4 Le modèle de Saint-venant multi-couches
On repart du système (1.6) toujours avec l'hypothèse d'eau peu profonde. On considère que le domaine du�uide est divisé en N couches de hauteur hα avec N + 1 interfaces zα+ 1
2pour α = 0,...,N (voir �gure 1.1) telle
que :
H =
N∑α=1
hα,et zα+ 12(x, t) = zb(x) +
α∑j=1
hj(x, t). (1.9)
Par ailleurs on considère uα la vitesse moyenne sur la couche α pour α ∈ {1,...,N} dé�nie par :
uα(x, t) =1
hα
∫ zα+ 1
2
zα− 1
2
u(x, z, t)dz. (1.10)
On note aussi :
〈u2〉α(x, t) =1
hα
∫ zα+ 1
2
zα− 1
2
u(x, z, t)2dz, (1.11)
7
u1(x, t)
x
z
η(x, t)
Surface libre
zb(x, t)
h3(x, t)
h2(x, t)
h1(x, t)
H(x, t)
u4(x, t)
u2(x, t)
0
z3+1/2(x, t)
z2+1/2(x, t)
z1+1/2(x, t)
z4+1/2 = η(x, t)
h4(x, t)
z1/2 = zb(x, t)
Topographie
u3(x, t)
Figure 1.1 � L'approche multi-couches
etuα+ 1
2(x, t) = u(x, z = zα+ 1
2, t), (1.12)
la valeur de la vitesse à l'interface zα+ 12. On donnera par la suite une formule approchée pour uα+ 1
2.
On exprimer directement hα en fonction de H pour α ∈ {1,...,N} :
hα = lαH, (1.13)
où ∀α ∈ {1,...,N}, lα ≥ 0 tel que :
N∑α=1
lα = 1.
Proposition 1.4.1. Par une approximation en O(ε2) et une discrétisation verticale des équations de Navier-Stokes (1.1) on obtient les équations de Saint-Venant multi-couches :
∂H
∂t+
∂
∂x
(H
N∑α=1
lαuα
)= 0, (1.14a)
∂l1Hu1
∂t+∂l1Hu
21
∂x+g
2
∂l1H2
∂x= −gl1H
∂zb∂x
+ u 32G 3
2+
∂
∂x
(4νl1H
∂u1
∂x
)− 4ν
∂z 32
∂x
∂u 32
∂x+ 2ν
u2 − u1
(l2 + l1)H− κu1 (1.14b)
∂lαHuα∂t
+∂lαHu
2α
∂x+g
2
∂lαH2
∂x= −glαH
∂zb∂x
+ uα+ 12Gα+ 1
2− uα− 1
2Gα− 1
2
+∂
∂x
(4νlαH
∂uα∂x
)− 4ν
[∂zj∂x
∂uj∂x
]j=α+ 12
j=α− 12
+ 2νuα+1 − uα
(lα+1 + lα)H− 2ν
uα − uα−1
(lα + lα−1)H
pour α ∈ {2,...,N − 1} (1.14c)
∂lNHuN∂t
+∂lNHu
2N
∂x+g
2
∂lNH2
∂x= −glNH
∂zb∂x− uN− 1
2GN− 1
2+
∂
∂x
(4νlNH
∂uN∂x
)+ 4ν
∂zN− 12
∂x
∂uN− 12
∂x− 2ν
uN − uN−1
(lN + lN−1)H. (1.14d)
où zα+ 12est dé�nie par (1.9), uα par (1.10) et Gα+ 1
2représente l'échange de masse entre les couches α et
α+ 1 :
Gα+ 12
=
0, si α ∈ {0, N}
∂t
α∑j=1
ljH + ∂x
α∑j=1
ljHuj , sinon. (1.15)
Pour uα+ 12on prendra comme dans [3] une formule "upwind" :
uα+ 12
=
{uα, si Gα+ 1
2≥ 0
uα+1, sinon.(1.16)
8
Remarque 1.4.1. Précisions qu'il est possible de prendre d'autres formules pour uα+ 12: par exemple dans [8]
les auteurs prennent la moyenne de uα et uα+1 comme dé�nition de uα+ 12.
Démonstration. La preuve se fait en plusieurs étapes. Tout d'abord en intégrant (1.6a) entre zα− 12et zα+ 1
2on
obtient :∂thα + ∂x(hαuα) = Gα+ 1
2−Gα− 1
2(1.17)
avec :Gα+ 1
2= ∂tzα+ 1
2+ uα+ 1
2∂xzα+ 1
2− w(x, zα+ 1
2, t) pour α = 0,...,N (1.18)
Grâce aux conditions aux limites on a directement :
G 12
= GN+ 12
= 0 (1.19)
Physiquement cela signi�e qu'il n'y a pas de perte ou d'ajout de masse au fond ou à la surface libre.En faisant la somme de (1.17) sur les j tel que j ≤ α et en utilisant (1.19) on obtient une autre formule
pour Gα+ 12(on rappele que hj = ljH) :
Gα+ 12
= ∂t
α∑j=1
ljH + ∂x
α∑j=1
ljHuj pour α = 1,...,N (1.20)
Par ailleurs en sommant (1.17) sur toute les couches on obtient (1.14a) :
∂H
∂t+
∂
∂x
(H
N∑α=1
lαuα
)= 0
Pour obtenir (1.14b), (1.14c), (1.14d) on aura besoin d'utiliser l'hypothèse d'eau peu profonde. Grâce à(1.7c) et (1.7e) on a ∂u
∂z
∣∣s
= ∂u∂z
∣∣b
= O(ε2). On en déduit :
∂u
∂z= O(ε2) pour z ≥ z 3
2, (1.21)
et on en déduit alors :u(x, z, t)− uα(x, t) = O(ε2) pour α > 1. (1.22)
Ainsi on peut écrire :〈u2〉α(x, t) = u2
α(x, t) +O(ε2). (1.23)
L'hypothèse ε� 1 nous permet de considérer la pression p comme étant hydrostatique, c'est à dire que ps'écrira dans ce cadre (grâce à une intégration de (1.6c)) :
p(x, z, t) = g(η(x, t)− z)− 2εν∂u
∂x(x, z, t). (1.24)
Il su�t désormais d'intégrer (1.6b) sur [zα− 12, zα+ 1
2]. Seul les termes ∂p
∂x et ∂∂z
(ν ∂u∂z
)peuvent poser des
di�cultés :� Pour ∂p
∂x on utilise le fait que :∫ zα+ 1
2
zα− 1
2
∂
∂x(η − z)dz =
1
2lα
∂
∂xh2α + hα
∂zb∂x
(1.25)
La partie visqueuse de la pression s'écrit :∫ zα+ 1
2
zα− 1
2
∂
∂x
(2ν∂u
∂x
)=
∂
∂x
(2νhα
∂uα∂x
)− 2ν
[∂zj∂x
∂uj∂x
]j=α+ 12
j=α− 12
. (1.26)
� En�n pour ∂∂z
(ν ∂u∂z
)on utilisera une approximation par di�érences �nies :∫ z
α+ 12
zα− 1
2
∂
∂z
(ν∂u
∂z
)dz = ν
∂u
∂z|zα+ 1
2
− ν ∂u∂z|zα− 1
2
≈ 2νuα+1 − uαhα+1 + hα
− 2νuα − uα−1
hα + hα−1
9
En utilisant l'expression hα = lαH et l'approximation en O(ε2) on retrouve les équations (1.14b), (1.14c)et (1.14d). La proposition est donc démontrée.
Comme nous l'avons dit dans l'introduction il existe d'autres modèles Saint-Venant multi-couches que celuiqui est dérivé dans [3] et qui est repris ici. Dans [2], les auteurs partent de Navier-Stokes hydrostatique àdensité variable pour en déduire un modèle de Saint-Venant multi-couches à densité variable à partir d'uneapproximation Galerkin. Ce modèle à densité variable est très semblable à celui développé dans [3]. Dans [8],Fernandez-Nieto,Koné et Chacon-Rebollo partent de Navier-Stokes et n'utilisent pas d'hypothèse d'eaupeu profonde mais la notion de solutions faibles pour en déduire un modèle de Saint-Venant multi-couches avecun tenseur de viscosité di�érent. Il existe donc au moins trois modèles de Saint-Venant multi-couches mais lemodèle présenté ici est plus simple à étudier du point de vue théorique.
Partant de ce modèle de Saint-Venant multi-couches, nous allons étudier l'existence et l'unicité de solutionsfortes en temps court à ce système de N + 1 inconnues et N + 1 équations. Le prochain chapitre sera consacréà la démonstration d'un théorème d'existence et d'unicité.
10
Chapitre 2
Existence et unicité de solutions
règulières en temps court pour notre
modèle de Saint-Venant multi-couches
2.1 Introduction et notations
Dans cette partie nous allons démontrer l'existence et l'unicité de solutions fortes pour le système de Saint-Venant multi-couches que nous avons développé précédemment. Nous allons nous placer sur le tore T : onse donnera donc des conditions aux limites périodiques. Les cas de l'espace tout entier ou de conditions auxlimites quelconques sur un intervalle de R ne seront pas traités ici.
Rappelons le système étudié :
∂tH + ∂x
H N∑j=1
ljuj
= 0, (2.1a)
∂tui − 4ν∂xxui = −g∂xH − g∂xzb +ui+ 1
2Gi+ 1
2− ui− 1
2Gi− 1
2
liH
+ 4ν∂xH∂xui
H− 4ν
liH[∂xzj∂xuj ]
j=i+ 12
j=i− 12
− ∂x(u2i
2
)− κi
uiliH
+uiH∂x
Hui − N∑
j=1
ljuj
+2νiliH2
ui+1 − uili+1 + li
− 2νi−1
liH2
ui − ui−1
li + li−1(2.1b)
pour 1 6 i 6 N
pour t > 0 et x ∈ T avec les conditions initiales : (u1, ..., uN , H)(0, ·) = (u01, ..., u
0N , H
0)(·).La viscosité s'applique partout sauf sur les première et dernière couches :
νi =
{0, si i ∈ {0, N}
ν > 0, sinon.
et le coe�cient de friction sur la couche la plus profonde :
κi =
{κ > 0, si i = 1
0, sinon.
Rappelons aussi les expressions de zi+ 12, Gi+ 1
2et de ui+ 1
2:
zi+ 12
= zb +
i∑j=1
ljH,
11
Gi+ 12
=
0, si i ∈ {0, N}
∂t
i∑j=1
ljH + ∂x
i∑j=1
ljHuj , sinon,
et :
ui+ 12
=
{ui, si Gi+ 1
2≥ 0
ui+1, sinon,
avec ∀1 ≤ j ≤ N , 0 ≤ lj ≤ 1 et
N∑j=1
lj = 1.
Nous chercherons des solutions fortes dans un certain espace fonctionnel que nous préciserons par la suite.Pour faciliter l'écriture du système, nous utiliserons les notations suivantes :• µ = 4ν > 0,• U = (u1, . . . , uN ),
• u =
N∑j=1
ljuj .
L'objectif dans ce rapport est de donner avant tout un résultat qualitatif sur le temps d'existence, on necherchera pas à le calculer exactement ou à l'optimiser. Il sera optimisé dans le cadre d'une thèse.
Pour donner un résultat qualitatif nous allons travailler sur un système plus simple qui ne représenteraaucun modèle physique. Ce nouveau système d'EDP sera la suivant :{
∂tU − µ∂xxU = S(U,H) := Sb + Sl(H) + Snl(U,H)∂tH + u∂xH = F (U,H) := −∂x(u)H
(2.2)
avec :• Sb := −g∂xzb(1, . . . , 1), le terme source associé à la topographie,• Sl := −g∂xH(1, . . . , 1), un terme source linéaire en (U,H),
• Snl := S(1)nl +S
(2)nl +S
(3)nl +S
(4)nl +S
(5)nl , est le terme source non-linéaire associé à 5 types de non-linéarité :
S(1)nl := U
H , S(2)nl := U∂xU
H , S(3)nl := ∂xH∂xU
H , S(4)nl := U
H2 et S(5)nl := (∂xH)U2
H .
En fait, le dernier terme non-linéaire S(5)nl vient du fait que le terme d'échange de masse G vaut grossièrement
∂x(HU). On a donc :U
HG ≈ U
H∂x(HU) =
U2
H∂xH + U∂xU.
On insistera sur le fait que le système (2.2) ne représente bien sûr plus le même modèle physique que le système(2.1) mais comme nous l'avons dit plus haut nous cherchons un résultat qualitatif et non quantitatif.
Dans la suite l'espace fonctionnel dans lequel nous allons chercher une solution forte au système (2.2) seral'espace fonctionnel XT avec T > 0 dé�ni par :
XT := {(U ,H) : H ∈ L∞(0, T ;H2(T)) ∩ C0(0, T ;L2(T))
et ∀ 1 ≤ i ≤ N , ui ∈ L∞(0, T ;H2(T)) ∩ C0(0, T ;L2(T)) ∩ L2(0, T ;H3(T))} (2.3)
La norme sur l'espace XT sera dé�nie par : ∀(U,H) ∈ XT :
‖(U,H)‖2XT = sup06t6T
‖(U,H)(t, ·)‖2H2(T) +
∫ T
0
‖U(τ, ·)‖2H3(T)dτ
Muni de cette norme XT est un espace de Banach. La pertinence de cet espace sera traitée dans la suitedu rapport. En nous basant sur les démonstrations de Rambaud dans [15] nous avons choisit d'associer lesdeux inconnues dans un même espace mais dans le cadre d'un travail d'optimisation il faudra les dissocier.
Toute la suite de cette partie sera consacrée à la démonstration du théorème suivant :
12
Théorème 2.1.1. On considère le système (2.2) muni de la donnée initiale :
(U0, H0) ∈ (H2(T))N ×H2(T) (2.4)
De plus on supposera η0 = 12 infx∈T
H0(x) > 0, zb ∈ H2(T) et on posera E0 = 2‖(U0, H0)‖H2(T).
Alors il existe T > 0 tel que le problème de Cauchy (2.2) muni de (2.4) admet une unique solution forte(U,H) tel que (U,H) ∈ XT .
Par ailleurs, pour 0 6 t 6 T on a :
∀x ∈ T, H(t, x) > η0 > 0
En�n, pour 0 6 t ≤ T on a les inégalités d'énergie :
‖U(t, ·)‖H2(T), ‖H(t, ·)‖H2(T),
(∫ t
0
‖U(τ, ·)‖2H3(T)dτ
) 12
≤ E0
L'intérêt de prendre pour E0 deux fois la norme H2 de l'état initial sera justi�é par la suite, mais ce termedevra être aussi optimisé dans le cadre d'une thèse. On peut par exemple se demander si on peut prendre unautre facteur que deux.
Pour démontrer le théorème 2.1.1 on utilisera les méthodes d'énergies développées par Matsumura etNishida dans [10] et [11] pour une équation sur R3 représentant le mouvement d'un �uide Newtonien visqueux,compressible et caloporteur. De telles méthodes ont été utilisées par Rambaud dans [15] pour un modèle deSaint-Venant multi-couches analogue. Par ailleurs dans [18], Wang et Xu utilisent la théorie de Littlewood-Paley pour démontrer l'existence et l'unicité de solutions fortes en temps court au système de Saint-Venantuni-couche sur R2. Nous allons, comme dit précédemment, nous allons nous limiter au tore car nous noussomme sommes aperçus que dans [15] il était absurde de prendre H ≥ η0 > 0 et H ∈ H2(R). Pour uneapplication plus directe des travaux de Rambaud nous nous sommes restreint au tore où il est possible deprendre H ≥ η0 > 0 et H ∈ H2(T).
La méthode d'énergie se divise en 3 étapes qui correspondront à nos 3 prochaines parties : dans un pre-mier temps nous ferons des estimations L2 et H1 sur les termes sources S et F du système simpli�é (2.2).Ensuite, nous démontrerons l'existence et l'unicité de solutions fortes pour le système linéarisé de (2.2) avecdes estimations d'énergie sur U et H. En�n, nous terminerons en construisant une suite de solutions fortes dessystèmes linéarisés et nous prouverons que cette suite converge vers une solution forte de (2.2). En fait, nousallons utiliser la méthode des itérées de Picard.
2.2 Estimations des termes sources
Nous allons d'abord rappeler le lemme suivant qui sera très utile pour les démonstrations futures :
Lemme 2.2.1 (Estimation de Moser en dimension 1). Soit f , g ∈ Hs(T) pour s ≥ 1. Alors fg ∈ Hs(T) et ilexiste CM > 0 indépendant de f et g tel que :
‖fg‖Hs ≤ CM‖f‖Hs‖g‖Hs (2.5)
On trouvera dans [17] une démonstration de ce lemme.Nous pouvons maintenant mettre en place nos estimations sur les termes sources :
Proposition 2.2.1. On suppose que U , H ∈ H2(T) et que H > h0 > 0 sur T et h0 est une constante donnée.Alors on a :• Soient S et F dé�nis d'après (2.2). Alors S, F ∈ H1(T) et on a les estimations suivantes :
‖S‖H1 ≤ C(g, h0)(1 + ‖(U,H)‖H2 + ‖(U,H)‖2H2 + ‖(U,H)‖3H2
)‖(U,H)‖H2 + g‖zb‖H2 (2.6)
‖F‖H1 ≤ CM‖(U,H)‖2H2 (2.7)
où C(g, h0) > 0 dépend uniquement de g et de h0,
13
• Si de plus (U,H), (U ′, H ′) ∈ H2(T)×H2(T) tels que
‖(U,H)‖H2 , ‖(U ′, H ′)‖H2 6 α et H,H ′ > h0 sur T
où α > 0 est une constante, Alors :
‖S(U,H)− S(U ′, H ′)‖H1 6 C(g, h0)(1 + α+ α2 + α3 + α4)‖(U − U ′, H −H ′)‖H2 (2.8)
‖F (U,H)− F (U ′, H ′)‖H1 6 CMα‖(U − U ′, H −H ′)‖H2 (2.9)
où C(g, h0) > 0 dépend uniquement de g et de h0.
Démonstration. Estimations sur F : On commence par F car les estimations sont directes. On a :
‖F‖H1 = ‖∂x(u)H‖H1
6 CM‖∂x(u)‖H1‖H‖H1 par (2.5)
≤ CM‖(U,H)‖2H2
Pour estimer la di�érence on utilise le fait que :
∂x(u)H − ∂x(u′)H ′ = ∂x(u− u′)H + ∂x(u′)H − ∂x(u′)H ′
= ∂x(u− u′)H + ∂x(u′)(H −H ′).
D'où :‖F (U,H)− F (U ′, H ′)‖H1 6 CMα‖U − U ′‖H2 + CMα‖H −H ′‖H2
On obtient donc (2.7) et (2.9).
Estimations sur S : On va estimer Sb, Sl et toutes les composantes de Snl :
• ‖Sb‖H1 6 g‖zb‖H2
• ‖Sl‖H1 6 g‖H‖H2
• Pour S(1)nl :
‖S(1)nl ‖H1 ≤
∥∥∥∥UH∥∥∥∥H1
On utilise le fait que ‖ UH ‖2H1 = ‖ UH ‖
2L2 + ‖∂x UH ‖
2L2 . Or :
∂x
(U
H
)=
(∂xU)H − (∂xH)U
H2=∂xU
H− (∂xH)U
H2
Donc en utilisant l'hypothèse H ≥ h0 on a :∥∥∥∥∂x UH∥∥∥∥2
L2
≤ 2
(‖∂xU‖2L2
h20
+1
h40
‖U‖2L∞ ‖∂xH‖2L2
)
≤ 2‖∂xU‖2L2
h20
+C
h40
‖U‖2H1 ‖∂xH‖2L2 par injection continue de L∞ dans H1
Ainsi on en déduit :‖S(1)
nl ‖H1 ≤ C(h0)‖U‖H1 (1 + ‖H‖H1)
avec C(h0) > 0 dépendant uniquement de h0. Dans la suite, C(h0) pourra varier d'une inégalité àl'autre mais sera toujours une constante strictement positive.
• Pour S(2)nl , toujours en utilisant l'injection continue de L∞ dans H1 et l'inégalité (2.5) on a :
‖S(2)nl ‖H1 ≤
∥∥∥∥U∂xUH∥∥∥∥H1
≤ C(h0)‖U‖2H2 (1 + ‖H‖H1)
14
• De même pour S(3)nl on a :
‖S(3)nl ‖H1 ≤ C(h0)‖H‖H2‖U‖H2(1 + ‖H‖H2)
• Pour S(4)nl :
‖S(4)nl ‖H1 ≤ C(h0)‖U‖H1 (1 + ‖H‖H1)
• En�n pour S(5)nl on a :
‖S(5)nl ‖H1 ≤ C(h0)‖H‖H2‖U‖2H1 (1 + ‖H‖H2)
Au �nal on en déduit :
‖S‖H1 ≤ C(g, h0)(1 + ‖(U,H)‖H2 + ‖(U,H)‖2H2 + ‖(U,H)‖3H2)‖(U,H)‖H2 + g‖zb‖H2
Pour l'estimation H1 sur la di�érence on pose S = S(U,H) et S′ = S(U ′, H ′) et on établit les égalitéssuivantes :
Sl − S′l = g∂x(H −H ′)S
(1)nl − S
′(1)nl = U−U ′
H − H−H′HH′ U
′
S(2)nl − S
′(2)nl = U
H ∂x(U − U ′) + U−U ′H ∂x(U ′) + U ′∂x(U ′)H−H
′
HH′
S(3)nl − S
′(3)nl = ∂x(H)
H ∂x(U − U ′) + ∂x(U−U ′)H ∂x(U ′) + ∂x(U ′)∂x(H ′)H−H
′
HH′
S(4)nl − S
′(4)nl = U−U ′
H2 + H′2−H2
H2H′2U ′
S(5)nl − S
′(5)nl = ∂x(H)
H (U2 − U ′2) + ∂x(H−H′)H U
′2 + ∂x(H ′)U′2H−H′
H
En utilisant l'inégalité (2.5), l'hypothèse H,H ′ > h0 et l'inégalité :
‖U2 − U′2‖H1 = ‖(U − U ′)(U + U ′)‖H1
6 CM‖U − U ′‖H1(2α),
on en déduit qu'il existe C > 0 qui dépend uniquement de h0 et de CM tel que l'on a les inégalitéssuivantes (C pourra changer d'une ligne à l'autre) :
‖Sl − S′l‖H1 ≤ g‖H −H ′‖H2
‖S(1)nl − S
′(1)nl ‖H1 ≤ C(1 + α+ α2)‖(U − U ′, H −H ′)‖H2
‖S(2)nl − S
′(2)nl ‖H1 ≤ Cα(1 + α+ α2)‖(U − U ′, H −H ′)‖H2
‖S(3)nl − S
′(3)nl ‖H1 ≤ Cα(1 + α+ α2)‖(U − U ′, H −H ′)‖H2
‖S(4)nl − S
′(4)nl ‖H1 ≤ Cα(1 + α+ α2)‖(U − U ′, H −H ′)‖H2
‖S(5)nl − S
′(5)nl ‖H1 ≤ Cα(1 + α+ α2 + α3)‖(U − U ′, H −H ′)‖H2
Au �nal, on a donc :
‖S(U,H)− S(U ′, H ′)‖H1 ≤ C(g, h0)(1 + α+ α2 + α3 + α4)‖(U − U ′, H −H ′)‖H2
D'où (2.6) et (2.8).
Ces estimations sur les termes sources nous serviront dans la troisième partie : on utilisera la méthode desitérées de Picard et les inégalités précédentes pour prouver que la suite de solutions fortes du système linéariséconverge vers une solution forte du système non-linéaire.
2.3 Etude du système linéarisé
On introduit tout d'abord une linéarisation du système (2.2) :{∂t (U)− µ∂xx (U) = S(U , H, ∂x(U), ∂x(H)) := S
∂tH + ¯u∂x (H) = F (U, H) = F := − (∂xu) H(2.10)
15
où U et H sont connues. Puis on va étudier séparément chacun des problèmes de Cauchy suivants. Tout d'abordle système parabolique : {
(∂t − µ∂xx) (U) = SU(0, ·) = U0(·) ∈ H2(T)
(Par)
Ensuite on étudiera l'équation scalaire hyperbolique :{L¯u(H) = FH(0, ·) = H0(·) ∈ H2(T)
(Hyp)
où L¯u est l'opérateur de transport dé�ni par :
L¯u := ∂t ·+¯u∂x·
Pour le système parabolique sur U on a la proposition suivante :
Proposition 2.3.1. Soit T > 0 tel que S ∈ L∞(0, T ; H1(T)). Alors le problème (Par) admet une uniquesolution forte U qui satisfait :
U ∈ L∞(0, T ; H2(T)) ∩ C0(0, T ; L2(T)) ∩ L2(0, T ; H3(T)). (2.11)
De plus, ∀0 ≤ t ≤ T on a l'inégalité d'énergie suivante :
‖U(t, ·)‖2H2(T) + µ
∫ t
0
‖U(τ, ·)‖2H3(T)dτ ≤ e2µt
(‖U0‖2H2(T) +
2
µ
∫ t
0
‖S(τ, ·)‖2H1(T)dτ
)(2.12)
Démonstration. Existence : On montre d'abord l'existence d'une solution U à (Par).
En fait U véri�e une équation de la chaleur avec terme source. On note Kt le noyeau de Green pourl'opérateur ∂t − µ∂xx. Alors il existe une solution U à (Par) et ∀(t, x) ∈ [0, T ]× T :
U(t, x) =[Kt ∗ U0
](x) +
∫ t
0
[Kt−s ∗ S
](s, ·)ds
On en déduit donc U ∈ L∞(0, T ; H2(T)) ∩ C0(0, T ; L2(T)).
Unicité : On va montrer l'inégalité d'énergie (2.12) en supposant U su�sament régulière et en déduire l'unicitéde U .
On multiplie (Par) par U et on intégre sur T :
1
2
d
dt‖U‖2L2(T) − µ
∫T∂x(∂xU)Udx =
∫TSUdx
Or par intégration par parties :
−∫T∂x(∂xU)Udx = −[∂x(U)U ]T +
∫T(∂xU)2dx =
∫T(∂xU)2dx
car on est dans le cas de conditions aux limites périodiques. D'où par Cauchy-Schwarz et Young on endéduit que ∀ε > 0
d
dt‖U‖2L2(T) + 2ε‖∂xU‖2L2(T) ≤ ε‖U‖
2L2(T) +
1
ε‖S‖2L2(T) (2.13)
Puis on dérive (Par) en x, on multiplie par ∂xU et on intègre sur T. Après utilisation de l'inégalité deCauchy-Schwarz on obtient :
d
dt‖∂xU‖2L2(T) + 2ε‖∂xxU‖2L2(T) ≤ ε‖∂xU‖
2L2(T) +
1
ε‖∂xS‖2L2(T) (2.14)
En�n on dérive deux fois (Par) en x, on multiplie par ∂xxU et on intègre sur T. Cette fois-ci on intègrepar parties le terme source :∣∣∣∣∫
T∂xxS∂xxUdx
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∫T∂xS∂xxxUdx
∣∣∣∣ ≤ ε
2‖∂xxxU‖2L2 +
1
2ε‖∂xS‖2L2
16
Donc :d
dt‖∂xxU‖2L2(T) + 2ε‖∂xxxU‖2L2(T) ≤ ε‖∂xxxU‖
2L2(T) +
1
ε‖∂xS‖2L2(T) (2.15)
En additionnant (2.13)-(2.14)-(2.15) et en posant ε = µ on obtient :
d
dt‖U‖2H2(T) + µ‖U‖2H3(T) ≤ 2µ‖U‖2H2(T) +
2
µ‖S‖2H1(T) (2.16)
Avec le lemme de Grönwall et le fait que e−2µt ≤ 1 et e2µ(t−τ) ≥ 1 pour t > 0 on obtient (2.12)
‖U(t, ·)‖2H2(T) + µ
∫ t
0
‖U(τ, ·)‖2H3(T)dτ ≤ e2µt
(‖U(0)‖2H2(T) +
2
µ
∫ t
0
‖S(τ, ·)‖2H1(T)dτ
)On en déduit que U ∈ L2(0, T ;H3(T)). L'unicité de U s'en déduit alors immédiatement par linéaritédu problème.
Pour l'équation hyperbolique sur H nous aurons besoin du lemme suivant :
Lemme 2.3.1. On suppose u ∈ L∞(0, T ; H2(T)) pour un T > 0.Alors il existe C > 0 tel que ∀H ∈ L∞(0, T ;H2(T)) on a :
‖∂xx (u∂xH)− u∂xxxH‖L2 ≤ C sup0≤t≤T
‖u(t, ·)‖H2‖H‖H2 (2.17)
Démonstration. On calcule :
∂xx (u∂xH)− u∂xxxH = 2∂x(u)∂xxH + ∂xx(u)∂xH
En utilisant le fait que L∞(T) s'injecte continûment dans H1(T) on a :
‖ (∂xx (u∂xH)− u∂xxxH) (t, ·)‖L2 6 C sup0≤τ≤T
‖u(τ, ·)‖H2‖H(t, ·)‖H2
On prouve maintenant l'existence et l'unicité pour (Hyp).
Proposition 2.3.2. Soient T > 0 tel que F ∈ L2(0, T ;H2(T)) , u ∈ L∞(0, T ; H2(T)) et H0 ∈ H2(T). Ondé�nit Eu = sup
0≤t≤T‖u‖H2 > 0.
Alors le problème (Hyp) admet une unique solution forte H telle que H ∈ L∞(0, T ;H2(T))⋂C0(0, T ;L2(T)).
De plus, ∀0 ≤ t ≤ T on a l'inégalité d'énergie pour k = 1, 2 :
‖H(t, ·)‖Hk(T) ≤ eC(k)Eut
{‖H0‖Hk(T) +
∫ t
0
e−C(k)Euτ‖F (τ, ·)‖Hk(T)dτ
}(2.18)
avecC(k) > 0 dépendant uniquement de k.
Démonstration. Existence : On va utiliser la méthode des caractéristiques. Soit χ fonction des variables(s, x, t) solution de l'équation de l'équation di�érentielle ordinaire :{
∂∂sχ(s, x, t) = u(s, χ(s, x, t))
χ(t, x, t) = x ∈ T (2.19)
Comme u ∈ L∞(0, T ; H2−ε(T)) ⊂ L∞(0, T ; C1(T)) (pour ε > 0 voir [7]) on en déduit que χ ∈C1([0, T ]×T× [0, T ]) et χ ∈ C0
t,s(H2(T)). De plus par la méthode des caractéristiques on a la formule :
∀0 6 t 6 T , ∀y ∈ T, H(t, y) = H0(χ(0, y, t)) +
∫ t
0
F (τ, χ(τ, y, t))dτ (2.20)
Donc d'après cette formule H ∈ L∞(0, T ;H2(T))⋂C0(0, T ;L2(T)).
17
Unicité : On va démontrer l'unicité en établissant l'estimation d'énergie.
Comme dans le cas de l'équation parabolique on multiplie (Hyp) par H et on intègre sur T, on obtient :
1
2
d
dt‖H‖2L2(T) = −
∫Tu∂x
(H2
2
)+
∫TFH
Or :
−∫Tu∂x
(H2
2
)= −
[uH2
2
]+
∫T∂x(u)
H2
2=
∫T∂x(u)
H2
2
car on se place dans le cas de conditions aux limites périodiques. Par Cauchy-Schwarz et l'injectionL∞ ↪→ H1 on a l'inégalité :
1
2
d
dt‖H‖2L2(T) ≤
1
2Eu‖H‖2L2(T) + ‖F‖L2(T)‖H‖L2(T)
On divise par ‖H‖L2 (en supposant que ‖H‖L2 6= 0) et on obtient :
d
dt‖H‖L2(T) ≤
1
2Eu‖H‖L2(T) + ‖F‖L2(T) (2.21)
Puis on dérive (Hyp), on multiplie par ∂xH et on intègre sur T. Après les calculs on en arrive à :
d
dt‖∂xH‖L2(R) ≤
1
2Eu‖∂xH‖L2(T) + ‖∂xF‖L2(T) (2.22)
En additionnant (2.21)-(2.22) on obtient :
d
dt‖H‖H1(T) ≤
1
2Eu‖H‖H1(T) + ‖F‖H1(T) (2.23)
A l'aide du lemme de Grönwall on obtient (2.18) pour k = 1 avec C(1) > 0
Pour avoir une majoration H2 on dérive (Hyp) deux fois en x, on multiplie par ∂xxH et on intègre surT :
1
2
d
dt‖∂xxH‖2L2(T) = −
∫T∂xx (u∂xH) ∂xxH +
∫T∂xxF ∂xxH
On utilise le fait que :∂xx (u∂xH) = ∂xx (u∂xH)− u∂xxxH + u∂xxxH
Par intégration par partis on a :∫Tu∂xxxH∂xxH =
1
2
∫Tu∂x
((∂xxH)
2)
= −1
2
∫T∂xu (∂xxH)
2car on est sur le tore.
On termine en utilisant Cauchy-Schwarz et l'inégalité (2.17) du lemme 2.3.1 :
d
dt‖∂xxH‖L2(T) ≤ CEu‖H‖H2(T) + ‖∂xxF‖L2 où C > 0. (2.24)
En additionnant (2.21), (2.22) et (2.24) on obtient (2.18) pour k = 2 avec C(2) > 0.
L'inégalité (2.18) nous donne bien sûr l'unicité de H.
Il reste à démontrer l'existence et l'unicité pour le système linéarisé complet :
Proposition 2.3.3. Soit T > 0 tel que ¯u, H ∈ L∞(0, T ; H2(T)) avec H ≥ h0 > 0 où h0 est une constantedonnée. Alors le problème de Cauchy :{
∂t (U)− µ∂xx (U) = S(U , H, ∂x(U), ∂x(H)) := S
∂tH + ˜u∂x (H) = F (U, H) = F := −∂x(u)H(2.25)
admet une unique solution forte (U,H) tel que (U, T ) ∈ XT .
18
De plus, il existe K, C > 0 constantes qui dépendent uniquement de : µ, T , et de E¯u,H qui est dé�ni par :
E¯u,H := max
{sup
0≤t≤T‖¯u‖H2(T), sup
0≤t≤T‖H‖H2(T)
}tel que ∀0 ≤ t ≤ T :
‖H(t, ·)‖H2(T) ≤ eKt[‖H0‖H2(T) + C
√t∥∥U0
∥∥H2(T)
+ C√t
(∫ t
0
‖S(τ, ·)‖2H1(T)
) 12
]
‖U(t, ·)‖2H2(T) +
(∫ t
0
‖U(τ, ·)‖2H3(T)dτ
)≤ eKt
[‖U0‖2H2(T) + C
(∫ t
0
‖S(τ, ·)‖2H1(T)
)](2.26)
Démonstration. Tout d'abord par la proposition 2.2.1 S ∈ L∞(0, T ; H1(T)) et F ∈ H1(T). Ensuite par laproposition 2.3.1 on a l'existence et l'unicité de U :• U ∈ L∞(0, T ; H2(T)) ∩ C0(0, T ; L2(T)) ∩ L2(0, T ; H3(T))• ∀0 ≤ t ≤ T :
‖U(t, ·)‖2H2(T) + µ
∫ t
0
‖U(τ, ·)‖2H3(T)dτ ≤ e2µt
(‖U0‖2H2(T) +
2
µ
∫ t
0
‖S(τ, ·)‖2H1(T)dτ
)(2.27)
Montrons F ∈ L2(0, T ;H2(T)) pour appliquer la proposition 2.3.2 :∫ t
0
‖F (τ)‖2H2dτ =
∫ t
0
‖∂x(u)H(τ)‖2H2dτ
6 C2M
∫ t
0
‖H‖2H2‖U‖2H3
6 C2ME
2¯u,H
∫ t
0
‖U‖2H3 < +∞ (2.28)
D'où F ∈ L2(0, T ;H2(T)) et la proposition 2.3.2 nous donne l'existence et l'unicité de H :• H ∈ L∞(0, T ;H2(T))
⋂C0(0, T ;L2(T))
• ∀0 ≤ t ≤ T :
‖H(t, ·)‖H2(T) 6 eC(2)E ¯u,Ht
{‖H0‖H2(T) +
∫ t
0
e−C(2)E ¯u,Hτ‖F (τ, ·)‖H2(T)dτ
}(2.29)
Par Cauchy-Schwarz et en utilisant (2.28) on a :
∫ t
0
e−C(2)E ¯u,Hτ‖F (τ, ·)‖H2(T)dτ 6 C1
(∫ t
0
‖U(τ, ·)‖2H3(T)dτ
) 12 √
t (2.30)
où C1 > 0.Pour (2.27), on sait qu'il existe C2 > 0 tel que
‖U(t, ·)‖2H2(T) +
(∫ t
0
‖U(τ, ·)‖2H3(T)dτ
)≤ e2µt
[‖U0‖H2(T) + C2
(∫ t
0
‖S(τ, ·)‖2H1(T)dτ
)](2.31)
En injectant (2.31) dans (2.30) on obtient :
∫ t
0
e−C(2)E ¯u,Hτ‖F (τ, ·)‖H2(T)dτ ≤ C3eµt
[‖U0‖H2(T) +
(∫ t
0
‖S(τ, ·)‖2H1(T)dτ
) 12
]√t (2.32)
où C3 > 0. Ensuite on injecte (2.32) dans (2.29) :
‖H(t, ·)‖H2(T) 6 eKt
[‖H0‖H2(T) + C4
√t‖U0‖H2(T) + C4
√t
(∫ t
0
‖S(τ, ·)‖2H1(T)dτ
) 12
](2.33)
19
où K, C4 > 0. Au �nal, en prenant K, C > 0 adaptés on obtient les inégalités d'énergie voulue :
‖H(t, ·)‖H2(T) ≤ eKt[‖H0‖H2(T) + C
√t∥∥U0
∥∥H2(T)
+ C√t
(∫ t
0
‖S(τ, ·)‖2H1(T)
) 12
]
‖U(t, ·)‖2H2(T) +
(∫ t
0
‖U(τ, ·)‖2H3(T)dτ
)≤ eKt
[‖U0‖H2(T) + C
(∫ t
0
‖S(τ, ·)‖2H1(T)
)]On a donc montré l'unicité et l'existence de solutions fortes pour le système linéarisé (2.10).
Pour prouver l'existence de solutions fortes au système non-linéaire (2.2) on va construire une suite desolutions fortes de systèmes linéaires qui convergera vers une solution forte du système non-linéaire, c'est ladernière partie de la démonstration du théorème 2.1.1.
2.4 Schéma de Picard
On dé�nit une suite (U (j),H(j))j∈N = (u(j)1 ,...,u
(j)N ,H(j)) de la manière suivante :
• ∀(t, x) ∈ [0, T ] × T, (U (0), H(0))(t, x) = (PH3U0, H0)(x) avec U0, H0 ∈ H2(T) et PH3 la projection deH2 sur H3.• ∀j ≥ 0,
(U (j+1),H(j+1)
)véri�e :∂tU
(j+1) − µ∂xxU (j+1) = S(j) sur [0, T ]× T∂tH
(j+1) + u(j)∂xH(j+1) = F (j,j+1) sur [0, T ]× T
(U (j+1), H(j+1))(0, ·) = (U0, H0)(·) sur T
où ∀j ≥ 0,
{S(j) = S(U (j), H(j), ∂xU
(j), ∂xH(j)),
F (j,j+1) = −∂xu(j+1)H(j) Pour la suite on dé�nira aussi les constantes
suivantes : {E0 := 2‖(U0, H0)‖H2(T),η0 := 1
2 infx∈T
H0(x) > 0
Nous montrerons dans la preuve l'intérêt de prendre 2 et 12 comme facteurs. Ces coe�cients de proportionnalités
devront probablement être optimisés dans le cadre d'une thèse.La proposition suivante donne l'existence pour toute la suite :
Proposition 2.4.1. Soit U0, H0 ∈ H2(T). Il existe un T > 0 tel que la suite (U (j), H(j))j∈N est bien dé�nieet satisfait, pour tout t ∈ [0, T ] et pour tout j ∈ N :
(U (j), H(j)) ∈ XT . (2.34)
De plus, pour tout (t, x) ∈ [0, T ]× T et pour tout j ∈ N, on a :
‖U (j)‖H2(T), ‖H(j)‖H2(T),
(∫ t
0
‖U (j)(τ, ·)‖2H3(T)dτ
) 12
6 E0, (2.35)
H(j)(t, x) ≥ η0 > 0. (2.36)
Démonstration. En utilisant la proposition 2.3.3 sur (U (0), H(0)) on en déduit que pour tout t > 0 (U (1), H(1)) ∈Xt. Prouvons d'abord (2.35) : on utilise l'inégalité (2.26) de la proposition 2.3.3 sur U (1) pour t ≥ 0 :
‖U (1)(t, ·)‖2H2(T),
(∫ t
0
‖U (1)(τ, ·)‖2H3(T)dτ
)6 eKt
[E2
0
4+
(∫ t
0
‖S(0)(τ, ·)‖2H1(T)dτ
)]En utilisant les inégalités de la proposition 2.2.1 on a :
‖U (1)(t, ·)‖2H2(T),
(∫ t
0
‖U (1)(τ, ·)‖2H3(T)dτ
)6 eKt
[E2
0
4+ C(g, η0, E0, zb)t
]où C(g, η0, E0, zb) > 0.
20
Posons v(t) = eKt(E2
0
4 + C(g, η0, E0, zb)t)pour t ≥ 0. On a v(0) =
E20
4 et v(+∞) = +∞ (d'où l'intérêt
d'avoir 2 comme coe�cient dans la dé�nition de E0). Par continuité de v il existe T1 = T1(g, η0, E0, zb) tel quev(T1) = E2
0 .Donc ∀0 ≤ t ≤ T1 on a :
‖U (1)(t, ·)‖H2(T),2
(∫ t
0
‖U (1)(τ, ·)‖2H3(T)dτ
)6 E2
0
Pour H(1) on procède de la même manière en utilisant les inégalités de la proposition 2.2.1 et de laproposition 2.3.3. On trouve un T2 = T2(g, η0, E0, zb) > 0 tel que :
‖H(j)‖H2(T) 6 E0
On a prouvé (2.35) pour j = 1.Ensuite en appliquant la méthode des caractéristiques pour H(1) on a que ∀t > 0 :
H(1)(t, y) = H0(χ(0, t, y)) +
∫ t
0
F (0,1)(s, χ(1)(s, t, y))ds
> 2η0 +
∫ t
0
F (0,1)(s, χ(s, t, y))ds
Or :
F (0,1) = −∂xu(1)H(0)
> −‖∂x ¯u(1)‖L∞∥∥∥H(0)
∥∥∥L∞
> −C‖U (1)‖H2‖H(1)‖H1 où C > 0 (vient de l'injection continue de L∞ dans H1)
> −CE20
4pour t ≤ min(T1, T2).
Donc :
H(1)(t, y) > 2η0 −CE2
0
4t pour 0 ≤ t ≤ min(T1, T2)
Posons f la fonction dé�nie sur R+ par f(t) = 2η0 − CE20
4 t. On a f(0) = 2η0 et f(+∞) = −∞. Par continuité
de f , il existe T3 ≥ 0 tel que f(T3) = η0. Plus précisément pour T3 = 4η0
CE20on a f(T3) = η0.
Donc ∀0 ≤ t ≤ min(T1, T2, T3) on a :H(1)(t, y) > η0.
On obtient (2.36) pour j = 1. Pour la suite on posera T := min(T1, T2, T3), T ne dépendra pas de j. Onremarque que T dépend (entre autre car il dépend aussi de la norme de
(U0,H0
)) de la norme H2 de zb : plus
cette norme sera grande plus T , sera petit. Ce qui peut aussi s'expliquer physiquement : plus le fond aura desirrégularités, plus le temps d'existence de solution forte sera court.
Ensuite on passe de j à j+ 1 : si (U (j), H(j)) satisfait (2.34), (2.35) et (2.36) pour tout t 6 T , on en déduitl'existence de (U (j+1), H(j+1)) par la proposition 2.3.3. Par les mêmes calculs que précédemment on en déduit(2.34), (2.35) et (2.36) sur (U (j+1), H(j+1)) pour t 6 T .
Pour terminer la preuve du théorème 2.1.1 on doit prouver que la suite est convergente. On va procéder en3 étapes.
Pour j > 1 on a que (U (j+1) − U (j), H(j+1) −H(j)) véri�e :(∂t · −µ∂xx·)(U (j+1) − U (j)) = S(j) − S(j−1)
(∂t ·+u(j)∂x·)(H(j+1) −H(j)) = ∂xH(j)(u(j−1 − u(j)) + ∂xu
(j+1)(H(j+1 −H(j)) +H(j−1)∂x(u(j) − u(j+1))(U (j+1) − U (j), H(j+1) −H(j))(0, ·) = 0
(2.37)
21
Après utilisation des inégalités de la proposition 2.4.1 on en déduit que(U (j)
)j∈N est bornée dans l'espace
fonctionnel suivant : L∞(0, T ;H2(T))⋂C0(0, T ;L2(T))
⋂L2(0, T ;H3(T)). Donc par compacité faible et faible-
∗ il existe U ∈ L2(0, T ;H3(T)) ∩ L∞(0, T ;H2(T)) tel que :
U (j) ⇀j→+∞
U dans L2(0, T ;H3(T))
etU (j) ∗
⇀j→+∞
U dans L∞(0, T ;H2(T)).
Par ailleurs par les inégalités des propositions 2.2.1 et 2.4.1 on sait qu'il existe C > 0 tel que :
∥∥∥(U (j+1) − U (j))∥∥∥
H16 CeKt
(∫ t
0
∥∥∥(S(j) − S(j−1))∥∥∥2
H1(τ, ·)dτ
) 12
6 ...
6 CjeKt(
sup0≤τ≤T
∥∥∥U (1) − U (0)∥∥∥H1
) 12(
1
Kjj!
) 12
Comme∥∥U (1) − U (0)
∥∥H1 < +∞,
(U (j)
)j∈N est une suite de Cauchy dans L∞(0, T ;H1(T)) car
(1
Kjj!
)est le
terme général d'une série convergente. Comme L∞(0, T ;H1(T)) est complet il existe U ∈ L∞(0, T ;H1(T)) telque :
U (j) −−−−→j→+∞
U dans L∞(0, T ;H1(T))
En�n, comme ∂tU(j) = µ∂xxU
(j) + S(j−1) on a que(∂tU
(j))j∈N est bornée dans L∞(0, T ;L2(T)) car(
∂xxU(j))j∈N et
(S(j)
)j∈N le sont. Cela assure l'équicontinuité des U (j). Par équicontinuité et par le premier
point (c'est à dire(U (j)
)j∈N bornée dans L∞(0, T ;H2(T))
⋂C0(0, T ;L2(T))
⋂L2(0, T ;H3(T))) on en déduit
par le théorème d'Arzela-Ascoli qu'il existe ˜U ∈ C0(0, T ;L2(T)) tel que
U (j) −−−−→j→+∞
˜U dans C0(0, T ;L2(T))
Par unicité de la limite : U = U = ˜U ∈ L∞(0, T ;H2(T))⋂C0(0, T ;L2(T))
⋂L2(0, T ;H3(T)).
Pour H(j) on procède exactement de la même manière (en respectant les 3 étapes) sauf qu'on n'a pas besoinde L2(0, T ;H3(T)). On trouve que H(j) tend vers H ∈ L∞(0, T ;H2(T)) ∩ C0(0, T ;L2(T)) quand j tend vers+∞. On véri�e que (U,H) est bien solution du modèle initial.
On a donc montré qu'il existe un unique couple (U,H) ∈ XT solution du système (2.2) pour un certaintemps T > 0. Le théorème 2.1.1 est donc prouvé.
22
Chapitre 3
Test numérique : le lock-exchange
3.1 Schéma et code utilisés
Le lock-exchange consiste à partir d'un état initial où la température de l'eau est divisé selon la verticaleen deux côtés : d'un côté une eau à une température T1 et de l'autre côté une eau à une température T2
avec T2 > T1. L'eau à la température T2 doit alors remonter au-dessus de l'eau à le température T1 (à partirde l'instant t0 = 0 où on retire la barrière qui peut être une véritable barrière physique si on est dans uncas concret) car elle est plus légère (sa densité est plus faible). Dans ce chapitre il s'agit de reproduire surordinateur ce qui se passe concrètement.
Le lock-exchange a été proposé comme benshmark dans le cadre de l'ANR COMODO (Communauté deModélisation Océanographique). L'ANR COMODO regroupe des océanographes numériciens dont le but est dedévelopper des méthodes numériques pour simuler des phénomènes océanographiques. Dans le cadre du lock-exchange, on peut penser par exemple au détroit de Gibraltar où nous avons un mélange d'eau venant d'un côtéde l'océan Atlantique (qu'on peut assimiler à une eau plutôt froide) et de l'autre côté de la mer Méditerranée(qu'on peut assimiler à une eau plutôt chaude). Bien sûr la situation dans ce cas est plus compliquée qu'unsimple lock-exchange mais il faut d'abord partir d'un cas idéalisé.
Ainsi nous avons voulu tester notre modèle de Saint-venant multi-couches dans le cadre de ce benchmarket faire un premier pas dans l'océanographie numérique.
Précisons que nous allons utilisé un modèle de Saint-Venant multi-couches à densité variable développédans [2] car dans le cas du lock-exchange l'inconnue supplémentaire est la température donc la densité. Cemodèle est très proche de celui étudié dans ce rapport mais pour des raisons de simplicité nous avons préféréutiliser un modèle à densité constante. Le schéma utilisé pour trouver des solutions numériques au système(1) est un schéma cinétique qu'on ne détaillera pas mais qui est détaillé dans [3] et dans [2]. Ce schéma a étéimplémenté dans le code FreshKiss développé à l'INRIA-Rocquencourt par l'équipe ANGE. FreshKiss estutilisé pour trouver des solutions numériques à Saint-Venant mono-couche ou multi-couches dans beaucoup desituations di�érentes (rupture de barrage, inondation).
Dans les sections suivantes nous allons analyser l'évolution de la température pour un maillage donné ainsique les résultats obtenus en fonction du maillage.
3.2 Evolution de la température pour 40 couches
Donnons tout d'abord les paramètres généraux du test :• Longueur du domaine : L = 40.0 mètres.• Hauteur du domaine : H = 10.0 mètres.• Répartition initiale de la température (voir �gure 3.1)
T0(x, y) =
{5
0.28 ≈ 17.857 si x < 010
0.28 ≈ 35.714 si x ≥ 0.
• Relation entre la densité et la température :
ρ(T ) = 30− 0.28T.
23
Figure 3.1 � Répartition initiale de la température
• Vitesse initiale : U0 = 0.• Paramètres physiques : pas de di�usion, ni de friction et de vent.• Nombre de couches : N = 40 couches.• Nombre de cellules en x : Nx = 400.• Temps �nal : T�nal = 150s.
Par ailleurs les coe�cients de viscosité et de friction seront pris égaux à 0.Nous avons choisi 40 couches et 400 cellules car après avoir essayé plusieurs autres con�gurations nous
avons remarqué que nous obtenions des résultats assez �ns avec ce choix (nous comparerons les résultats enfonction du nombre de couches et de cellules dans la prochaine section).
Nous partons donc d'un état initial avec une température plus élevée à droite qu'à gauche. Comme ditplus haut, nous devrions voir l'eau chaude "monter" progressivement au-dessus de l'eau froide. Nous montronsdans les �gures suivantes l'évolution de la température au temps : t = 60, t = 90, t = 120s et t = T�nal :
Figure 3.2 � Température à t=60s Figure 3.3 � Température à t=90s
Figure 3.4 � Température à t=120s Figure 3.5 � Température à t=150s
On observe que les simulations numériques coïncident, au moins qualitativement, avec ce qu'on observeraitphysiquement (par exemple si on e�ectuait un test avec une piscine de 40 mètres où l'eau froide et l'eau chaudeseraient séparées par une barrière physique) : l'eau chaude, de densité plus faible va �nir par être complètementau-dessus de l'eau froide.
De plus, on observe, en particulier au temps �nal, que les vitesse des fronde d'onde en surface et au fond nesont pas les mêmes : en e�et, au même temps, le front d'onde en surface semble plus proche de la limite gauchedu domaine que le front d'onde au fond de la limite droite du domaine. Une étude plus �ne devra être menéepour con�rmer ou in�rmer cette supposition. On pourra par exemple calculer les vitesses du front d'onde etles positions du front d'onde à chaque instant.
24
3.3 Comparaison en fonction du nombre de couches
Dans cette section on va comparer l'état de la température à t = T�nal = 150s en fonction du nombre decellules en horizontale et de couches en verticale. On e�ectuera des comparaisons avec les maillages suivants :10 couches et 100 cellules, 20 couches et 200 cellules, 30 couches et 300 cellules et en�n 40 couches et 400cellules (en fait le rapport du nombre de couches sur le nombre de cellules est maintenu constant à 1
10 ). Cettecomparaison a d'abord pour but d'étudier la convergence de la solution numérique. Nous obtenons les résultatssuivants :
Figure 3.6 � 10 couches et 100 cellules Figure 3.7 � 20 couches et 200 cellules
Figure 3.8 � 30 couches et 300 cellules Figure 3.9 � 40 couches et 400 cellules
Les temps d'exécutions varient de 13 secondes pour le maillage le plus grossier à 27 minutes pour le maillagele plus �n :
Maillage Temps d'exécution10 couches, 100 cellules 13 s20 couches, 200 cellules 135 s30 couches, 300 cellules 561 s40 couches, 400 cellules 1582 s
On voit de suite que les maillages à 10 et 20 couches sont inexploitables pour un travail plus poussé sur lelock-exchange (par exemple pour calculer la position du front d'onde). Les maillages à 30 et 40 couches sontrelativement proches et le temps d'exécution pour 40 couches étant raisonnable (inférieur à une demi-heure),on utilisera plutôt le maillage le plus �n, c'est à dire celui à 40 couches et 400 cellules. Signalons que nousn'avons pas pu tester un maillage à 50 couches et 500 cellules à cause des limitations de graphisme de Paraview.
25
Conclusion
Partant des équations de Navier-Stokes à surface libre en deux dimensions nous avons rappelé la dérivationdu modèle de Saint-Venant multi-couches où les échanges de masse entre couches sont permis. Pour trouverce modèle nous avons utilisé l'hypothèse d'eau peu profonde et donc une approximation asymptotique en ε.Comme nous l'avons dit dans le premier chapitre d'autres modèles multi-couches sont possibles : par exempledans [8] on aboutit à un modèle avec un tenseur de viscosité di�érent en ne faisant pas l'hypothèse d'eau peuprofonde mais en faisant l'hypothèse de pression hydrostatique.
Dans un deuxième temps, nous avons montré qu'il existait une unique solution forte en temps court à cesystème dans le cas du tore (c'est à dire avec des conditions aux limites périodiques). Pour notre démonstrationnous avons eu besoin d'e�ectuer des inégalités d'énergie et d'utiliser la méthode des itérées de Picard, cetteméthode est très utilisée quand il s'agit d'étudier un système d'EDP (voir par exemple [10]).
Etant donné que nous avons e�ectué cette étude uniquement sur le tore il reste encore beaucoup de questionsthéoriques qui peuvent se poser. L'un des développements possibles est de démontrer l'existence et l'unicitésur R tout entier et aussi dans le cas général, et plus physique, d'un domaine borné avec des conditions auxlimites quelconques. Pour le cas de R nous avons envisagé d'utiliser la théorie de Littlewood-Paley comme dans[18]. Un point crucial sera de préserver la positivité de la hauteur d'eau (pour ne pas négliger la physique duphénomène derrière le modèle) et de traiter correctement les hypothèses d'intégrabilité (ce sont elles qui vontnous donner l'espace fonctionnel adéquat dans lequel on pourra étudier l'existence et l'unicité). Dans ce rapportnous avons donné des résultats uniquement qualitatifs mais pour une étude plus �ne du modèle et pour fairedes comparaisons avec ce qu'on obtient numériquement il faudra donner des résultats quantitatifs. Il faudraenvisager un processus d'optimisation de toutes les constantes apparaissant dans les inégalités d'énergie : cetravail permettra entre autres d'estimer plus �nement le temps d'existence des solutions régulières et doncd'estimer le temps d'apparition des chocs.
Outre les questions classiques d'existence et d'unicité, on pourra aussi s'intéresser à l'hyperbolicité dumodèle. Dans [3] les auteurs se sont intéressés au cas bi-couche mais la question pour N ≥ 3 est encoreouverte. Cette étude de l'hyperbolicité pourra aider à comprendre le comportement du modèle sans viscositéet être utilisée dans la construction de schémas numériques.
En�n, un autre aspect théorique de notre modèle multi-couches pourra concerner l'asymptotique à grandnombre de couches. Etant donné que ce modèle est construit à l'aide d'une discrétisation verticale des équationsde Navier-Stokes il semble naturel, par exemple, d'estimer l'erreur commise entre une solution régulière dumodèle multi-couches et une solution véri�ant les équations de Navier-Stokes hydrostatiques en fonction dunombre de couches.
Nous avons vu dans un deuxième temps que le modèle de Saint-Venant multi-couches (mais à densitévariable) simule tout à fait correctement le phénomène de lock-exchange. Une question importante qui n'a pasété traiter ici est de calculer les vitesses de front d'onde en surface et au fond et de les comparer. Selon lesocéanographes les vitesses sont identiques en cas d'absence de friction avec la topographie. On devra le véri�ersur nos tests.
On peut aussi penser à appliquer notre modèle à d'autres phénomènes océanographiques : par exemple àThacker ou à l'in�uence du fond sur la surface (il s'agit du benshmark Eddy-Topographie dans le cadre del'ANR COMODO). Il faudra aussi comparer nos résultats avec ceux obtenus par d'autres logiciels de simulationd'écoulement d'eau : par exemple avec ceux obtenus par le logiciel TELEMAC d'EDF.
26
Bibliographie
[1] E. Audusse. A multilayer Saint-Venant model : derivation and numerical validation. Discrete and Conti-nuous Dynamical Systems, Vol.5 :189�214, 2005.
[2] E. Audusse, M.O. Bristeau, M. Pelanti, and J. Sainte-Marie. Approximation of the hydrostatic Navier-Stokes system for density strati�ed �ows by a multilayer model : kinetic interpretation and numericalsolution. Journal of Computational Physics, Vol.230 :3453�3478, 2011.
[3] E. Audusse, M.O. Bristeau, B. Perthame, and J. Sainte-Marie. A multilayer Saint-Venant system withmass exchanges for shallow water �ow. Derivation and numerical validation. Essaim : MathematicalModelling and Numerical Analysis, Vol.45 :169�200, 2011.
[4] H. Bahouri, J.Y. Chemin, and R. Danchin. Fourier Analysis and nonlinear partial di�erential equations,volume 343. Springer, 2011.
[5] F. Boyer and P. Fabrie. Eléments d'analyse pour l'étude de quelques modèles d'écoulements de �uidesvisqueux incompressibles. Springer-Verlag, 2005.
[6] J.Y. Chemin. Perfect Incompressible Fluids. Oxford University Press, 2011.
[7] S. Dellacherie and O.La�te. Existence et unicité d'une solution classique à un modèle abstrait de vibrationde bulles de type hyperbolique-elliptique. Publication du Centre de Recherche Mathématiques de Montréal,2005.
[8] E.D. Fernandez-Nieto, E.H. Koné, and T. Chacon-Rebollo. A multilayer method for the hydrostaticNavier-Stokes equations : a particular weak solution. Journal of Scienti�c Computing, 2013.
[9] F. Marche. Derivation of a new two-dimensional viscous shallow water model with varying topography,bottom friction and capilarry e�ects. European Journal of Mechanics B/Fluids, Vol.26 :49�63, 2007.
[10] A. Matsumura and T. Nishida. The initial value problem for the equations of motion of viscous andheat-conductive gases. Journal of Mathematics of Kyoto University, Vol.20 :67�104, 1980.
[11] A. Matsumura and T. Nishida. Initial boundary value problems for the equations of motion of compressibleviscous and heat-conductive �uids. Communications in Mathematical Physics, Vol.89 :445�464, 1983.
[12] Y. Penel. Etude théorique et numérique de la déformation d'une interface séparant deux �uides non-miscibles à bas nombre de Mach. PhD thesis, Université Paris-Nord-Paris XIII, 2010.
[13] Y. Penel. Well-Posedness of a low Mach number system. C.R.Acad. Sci, Vol.350 :51�55, 2012.
[14] B. Perthame and C. Simeoni. A kinetic scheme for the Saint-Venant system with a source term. Calcolo,pages 201�231, 2001.
[15] A. Rambaud. Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de quelques problèmes auxdérivées partielles multi-échelles. PhD thesis, Université Claude Bernard-Lyon I, 2011.
[16] L. Sundbye. Global existence for the Cauchy problem for the viscous shallow water equations. RockyMountain Journal of Mathematics, Vol.28, 1998.
[17] M. E. Taylor. Partial Di�erential Equations III Nonlinear Equations. Springer, 1991.
[18] W. Wang and Xu C.-J. Cauchy problem for viscous shallow water equations. Rev. Mat. Iberoamericana,Vol.21 :1�24, 2005.
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