Analyse mathématique

MP/MP*PSI/PSI*PC/PC*PT/PT*

2e ANNÉE

ANALYSEMATHÉMATIQUEUne approche historique

COURSEXERCICES CORRIGÉS

Cet ouvrage tout en couleurs développe une étude originale et approfondie du programme d’analyse de 2e année des classespréparatoires.

• Le texte écrit dans un style aéré permet à tous les étudiants, quel que soitleur niveau, de suivre pas à pas les démonstrations. De nombreuses figures facilitent la compréhension et l’assimilation des notions abordées.• Des questions de cours et des exercices dont les corrigés sont très détailléspermettent de vérifier l’acquisition des points clés de chaque chapitre.• L’auteur a pris soin de replacer les résultats présentés dans leur contexte historique : les théorèmes sont systématiquement datés, leurs sources précisesindiquées et des notices biographiques évoquent les faits marquants de la viedes mathématiciens cités.• En plus du programme officiel, l’ouvrage aborde des théorèmes plus difficilesou moins connus, destinés aux lecteurs souhaitant un approfondissement dessujets classiques.L’ouvrage intéressera également les candidats au CAPES et à l’Agrégation.

Olivier Rodot est responsable du département Mathématiques des classes préparatoiresde l’EPITA.

ANALYSE MATHÉMATIQUE

+ Strictement conforme au programme+ De nombreux exercices corrigés+ Texte abondamment illustré

pour faciliter la compréhension+ Tout en couleurs

OLIVIER RODOT

978-2-8041-6230-6

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OLIV

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www.deboeck.com

EXTRAITS

29 E448 pages

•Tout

en couleurs

L’auteur,Olivier RODOT

Après une période de recherche en théorie spectrale dans le cadre de la géométrie non commutative, Olivier Rodot se passionne aujourd’hui pour l’histoire et la didactique des mathématiques.

Responsable du département mathématiques des classes préparatoires de l’EPITA (école pour l’informatique et les techniques avancées), il stimule l’intérêt de ses étudiants en présentant le cours comme un conte semé d’anecdotes et de rebondissements. Dater et déterminer avec précision la source des théorèmes et de leurs démons-trations est un souci permanent. Il n’hésite pas à étudier avec ses élèves l’article fondateur d’un théorème, permettant d’acquérir du recul sur le thème étudié et de montrer parfois les maladresses de rédaction dues au langage mathéma-tique de l’époque non encore parfaitement abouti.

1.1 Introduction 13

➁

➀u1

Par exemple, dans le cas de deux sucres, le porte-à-faux maxi-

mal vaut 1, car le deuxième sucre peut être placé avec son

centre de gravité juste sur le bord de droite du premier (ce

qui fait un décalage u1 = 1 du premier sucre par rapport au

deuxième).

Avec trois sucres, il faut poser l’empilement précédent sur un troisième sucre de manière

à ce que l’empilement précédent ne bascule pas.

➂

➁

➀G Il faut pour cela que le centre de gravité G de l’empilement des

deux premiers sucres soit à l’aplomb du bord droit du troisième

sucre.

➁

➀G

xG

On va donc calculer la position (horizontale) du centre de gra-

vité de l’empilement des deux premiers sucres. On note xG

l’abscisse du centre de gravité mesuré à partir du bord gauche

du sucre du bas. C’est bien entendu la moyenne des abscisses

des centres des deux sucres :

xG =1

2(1 + 2) =

3

2

➂

➁

➀Gu2

Le bloc des deux premiers sucres doit donc être décalé d’une

abscisse u2 = 12 de manière à ce que G soit à l’aplomb du bord

droit du troisième sucre.

Généralisation

➅

➄

➃

➂

➁

➀

u5

u4

u3

u2

u1

Pour tout n ∈ N∗, on note un le décalage du sucre numéro n

quand on pose ce sucre (et tous ceux qui sont au-dessus) sur un

nouveau sucre (qui est, bien entendu, le sucre numéro n + 1).

G3

x3

Pour tout n ∈ N, on note Gn le centre de gravité de l’empile-

ment des n premiers sucres et xn l’abscisse de Gn mesurée par

rapport au bord gauche du sucre numéro n.

On empile maintenant les sucres à la limite du basculement de manière à avoir systéma-

tiquement le porte-à-faux le plus important.

12 Chapitre 1. Séries numériques

En effet, Achille met une seconde pour parcourir les 10 mètres le séparant initialement de

la Tortue puis 110 seconde pour parcourir le mètre que la Tortue possède encore d’avance

puis 1100 seconde pour parcourir les 1

10 mètre que la Tortue dispose encore d’avance...

Ainsi le temps mis par Achille pour rattraper la Tortue vaut la « somme infinie » :

1 +1

10+

1

100+

1

1 000+

1

10 000+ · · ·

Cette somme infinie sera notée, en termes de séries, sous la forme :+∞∑k=0

1

10k

Son calcul est assez naturel :

+∞∑k=0

1

10k= lim

n→+∞

n∑k=0

1

10k= lim

n→+∞1 − 1

10n+1

1 − 110

=1

1 − 110

=10

9

Achille rattrape donc bien la Tortue au bout d’une durée égale à10

9� 1.11 secondes.

1.1.2 Le paradoxe des morceaux de sucre

La série précédente est appelée série géométrique 2.

Une autre série célèbre donnant lieu à des paradoxes est la série harmonique 3.

Considérons la somme 1 +1

2+

1

3+ · · · + 1

n+ · · ·

L’intuition ne peut guère nous aider pour deviner si cette somme d’une infinité de nombres

est un nombre fini (c’est-à-dire un nombre réel), ou bien si elle est égale à +∞.

En fait, elle est égale à +∞ et ce fait amène à des résultats étonnants dans des situations

physiques « concrètes », comme l’illustre le paradoxe des morceaux de sucre que l’on

présente maintenant.

On dispose de N morceaux de sucre identiques et on souhaite savoir quel est le porte-

à-faux maximal que l’on peut obtenir en les superposant.

On choisit une unité de longueur telle que la longueur des morceaux de sucre soit égale

à 2.

2. cf. p. 16.3. cf. p. 19.

Chaque chapitre est précédé d'une courte introduction qui permet d'entrevoir l'intérêt concret des notions qui seront abordées.

introduction

Guide de lecture

3

1.3 Séries à termes positifs 37

Exemple

Considérons�

un où pour tout n ∈ N, un =1

n!.

Alors pour tout n ∈ N,un+1

un=

n!

(n + 1)!=

1

n + 1

Doncun+1

un−−−−−→n→+∞

0 < 1

d’où� 1

n!converge via la règle de d’Alembert 16.

1.3.10 Règle de Cauchy

Théorème 7 (règle de Cauchy (1821) 17,18)Soit (un) une suite réelle strictement positive telle que

n√

un −−−−−→n→+∞

� où � ∈ R+ ∪ {+∞}

Alors 19

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

� < 1 =⇒ �un converge

et

� > 1 =⇒ �un diverge

Démonstration

Supposons � < 1 et soit λ ∈ R tel que � < λ < 1. Comme n√

un −−−−−→n→+∞

�, on a

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N n � N =⇒ �� n√

un − �� < ε

En particulier pour ε = λ − � > 0, on a

∀n ∈ N n � N =⇒ � − λ < n√

un − � < λ − �

Donc dès que n � N , n√

un < λ soit un < λn.

Or la série géométrique�

λn converge car λ < 1 d’où�

un converge.

16. On peut montrer que sa somme vaut e : cf. proposition 12 (p. 75).

17. cf. Cours d’analyse de l’École royale polytechnique, Debure frères, Paris, p. 132.18. cf. notice biographique p. 22.19. Comme pour la règle de d’Alembert (p. 34), si � = 1, la règle de Cauchy ne permet pas de conclure.


Finalement pour tout n ∈ N, |wn| � 1 donc wn �−−−−−→n→+∞

0. D’où�

wn diverge.

1.5.2 Théorème de Mertens

Remarque

Le théorème qui suit permet d’affiner le théorème de Cauchy (p. 65).

Théorème 15 (théorème de Mertens (1875) 45)Soient

�un une série numérique convergeant absolument et

�vn une série numé-

rique convergente. Alors le produit de Cauchy de ces deux séries�

wn converge et

on a+∞�n=0

wn =

�+∞�n=0

un

� �+∞�n=0

vn

�

où pour tout n ∈ N, wn =�

p+q=n

upvq.

Franz Mertens(1840–1927)

Franz Mertens poursuit ses études universitaires à laprestigieuse université de Berlin, bénéficie des cours deKummer a, Weierstrass b et Kronecker c et obtient son doc-torat en 1865. Il débute sa carrière la même année à l’uni-versité de Cracovie puis devient professeur à l’École poly-technique de Graz de 1884 à 1894. Il termine sa carrière àl’université de Vienne et septuagénaire, en tant que pro-fesseur émérite, il continue à dispenser des conférencesou séminaires à des futurs grands noms de l’histoire dessciences comme Erwin Schrödinger d. D’abord intéressépar la théorie du potentiel e, il poursuit des recherches enalgèbre linéaire (notamment le déterminant f) et en théoriedes nombres g totalisant plus de cent articles.

a. cf. notice biographique p. 108b. cf. notice biographique p. 256c. cf. notice biographique p. 106d. Erwin Schrödinger (1887-1961).e. cf. De functione potentiali duarum ellipsoidium homogeneorum, Journal de Crelle, 63, pp. 360-372 (1864).f. cf. Über windschiefe Determinanten, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, 96,pp. 1245-1255 (1887).g. cf. Über einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie, Journal de Crelle, 77, pp. 289-338 (1874).

45. cf. Über die Multiplicationsregel für zwei unendliche Reihen, Journal de Crelle, 79, pp. 182-184.

Pour chaque théorème, sont mentionnés le nom du mathématicien et l'année de la publication (ou de la démonstration).

Les références précises de l'article où le théorème a été démontré sont données en note de pied de page.

Les théorèmes moins connus ou plus difficiles sont repérables par leur fond rose.

Des notices biographiques, minutieusement documentées,jalonnent l'ouvrage et permettent de replacer les théorèmes dans leur contextehistorique.

mathématicien l'année

s références

s notices biographiques,

4


1.9

Soit α ∈ R. Alors∑ (−1)n

nα

a. converge ssi α > 1

b. converge ssi α < 1

c. converge ssi 0 < α < 1

d. diverge pour tout α

e. rien de ce qui précède

1.10

a.∑ (−1)n

nconverge

b.∑ (−1)n

nconverge absolument

c.∑ 1

n ln(n)converge

d.∑ (−1)n

n ln(n)converge

e. rien de ce qui précède

1.8.2 Corrigés

C 1.1

Soit (un)n∈N une suite réelle telle que pour tout n ∈ N, un �= 0 etun+1

un−→ 1

4Alors

a.∑

un converge

b.∑

un diverge

c. on ne peut rien dire de la nature de∑

un


5.

un+1

un=

(1 +

1

n

) (1 +

3

n

)−1

=

(1 +

1

n

) (1 − 3

n+ o

(1

n

))= 1 − 2

n+ o

(1

n

)

donc∑

un converge via la règle de Duhamel.

1.4

Soit a ∈ R. On considère la suite (un) définie par un = ln

(√n + (−1)n

√n + a

)

1. Déterminer le plus petit entier n0 tel que un est défini pour tout n � n0.

2. Pour n � n0, on pose vn =√

n√n+a

En ayant vérifié que pour tout n � n0, un = ln(vn) + ln

(1 +

(−1)n

√n

), étudier

la nature de∑

un suivant les valeurs de a.

C 1.4

1. un est définie ssi(

n + a > 0 et√

n + (−1)n

√n + a

> 0

)

c’est-à-dire ssi (n > −a et√

n + (−1)n > 0)

soit encore ssi (n > −a et n � 2).

Si a > −2, n0 = 2 convient.

Si a � −2, n0 = E(| − a|) + 1 convient.

2. Soit n � n0.

un = ln

(√n + (−1)n

√n + a

)= ln

( √n√

n + a

(1 +

(−1)n

√n

))

= ln

( √n√

n + a

)+ ln

(1 +

(−1)n

√n

)= ln (vn) + ln

(1 +

(−1)n

√n

)

Or

vn =

√n

n + a=

(1 +

a

n

)−12

= 1 − a

2n+

3a2

8n2+ o

(1

n2

)


n n + 1

1

t lnα(t)

1n lnα(n)

1(n+1) lnα(n+1)

Z n+1

n

dt

t lnα(t)aire du rectangle bleu = 1n lnα(n)

aire du rectangle noir = 1(n+1) lnα(n+1)

Ainsi∫ n+1

n

dt

t lnα(t)∼

+∞1

n lnα(n)car

n lnα(n)

Des exercices corrigés sont proposés à la fin de chaque chapitre. Les énoncés sont facilement repérablespar leur fond coloré.

Les figures illustrent les démonstrations chaque fois que nécessaire.

Des questions de cours permettent de vérifierrapidement l'acquisitiondes points clés de chaquechapitre.

s exercices corrigés s

questions de cours

s figures

5

Table des matières

1 Séries numériques 11

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Un paradoxe de Zénon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2 Le paradoxe des morceaux de sucre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Convergence et divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 Somme et reste d’une série convergente . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.3 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.1 Premiers critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.2 Lemme de condensation de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.3 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.4 Critères de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.5 Règle de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.6 Règle de Riemann généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.7 Séries de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.8 Critère de comparaison logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.9 Règle de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3.10 Règle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3.11 Comparaison des règles de Cauchy et de d’Alembert . . . . . . . . 38

1.3.12 Règles de Raabe et Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.3.13 Règle de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6

Table des matières

1 Séries numériques 11

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Un paradoxe de Zénon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2 Le paradoxe des morceaux de sucre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15


1.2.2 Somme et reste d’une série convergente . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.3 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.1 Premiers critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.2 Lemme de condensation de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.3 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.4 Critères de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.5 Règle de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.6 Règle de Riemann généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.7 Séries de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.8 Critère de comparaison logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.9 Règle de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.3.10 Règle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3.11 Comparaison des règles de Cauchy et de d’Alembert . . . . . . . . 38

1.3.12 Règles de Raabe et Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.3.13 Règle de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.4.1 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.4.2 Règle de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.4.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.4.4 Sommation des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.4.5 Règle d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.5 Produit de deux séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.5.1 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.5.2 Théorème de Mertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.5.3 Théorème d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.6 Valeur de la somme de séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.7 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.7.1 Théorème de Schlömilch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.7.2 Théorème de Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.7.3 Généralisation des séries de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.7.4 Généralisation des règles de Raabe et Duhamel . . . . . . . . . . . 92

1.7.5 Théorème d’Olivier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1.7.6 Théorème de Pringsheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1.7.7 Théorème d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.7.8 Théorème de Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.7.9 Théorème de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.7.10 Théorème de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1.7.11 Règle de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

1.8 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

1.8.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

1.8.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

1.9 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2 Intégrales impropres 129

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.2.1 Définition d’une intégrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


2.3 Fonctions de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7

2.4 Intégrales impropres de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

2.4.1 Critères de comparaison pour des fonctions positives . . . . . . . . 142

2.4.2 Critère intégral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.5 Critères complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.5.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.5.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2.5.3 Intégrales de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148


2.5.5 Intégration des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . 152

2.5.6 Généralisation des intégrales de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . 158

2.5.7 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2.5.8 Règle d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

2.5.9 Théorème d’Ermakov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.6 Intégrales définies dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2.6.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

2.6.2 Dérivabilité : théorème de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

2.6.3 Intégrabilité : théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

2.7 Intégrales impropres dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . 178

2.7.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

2.7.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.7.3 Intégrabilité : théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

2.8 Quelques intégrales célèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

2.8.1 Intégrales d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

2.8.2 Intégrales de Lejeune-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

2.8.3 Intégrale de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

2.8.4 Intégrales de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203


2.9.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

2.9.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215


3 Suites de fonctions 231

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

3.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

8

2.4 Intégrales impropres de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

2.4.1 Critères de comparaison pour des fonctions positives . . . . . . . . 142

2.4.2 Critère intégral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.5 Critères complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.5.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.5.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2.5.3 Intégrales de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148


2.5.5 Intégration des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . 152

2.5.6 Généralisation des intégrales de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . 158

2.5.7 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

2.5.8 Règle d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

2.5.9 Théorème d’Ermakov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.6 Intégrales définies dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2.6.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

2.6.2 Dérivabilité : théorème de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

2.6.3 Intégrabilité : théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

2.7 Intégrales impropres dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . 178

2.7.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

2.7.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.7.3 Intégrabilité : théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

2.8 Quelques intégrales célèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

2.8.1 Intégrales d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

2.8.2 Intégrales de Lejeune-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

2.8.3 Intégrale de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

2.8.4 Intégrales de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203


2.9.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

2.9.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215


3 Suites de fonctions 231

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

3.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

3.2.1 Suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

3.2.2 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

3.2.3 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

3.3 Propriétés de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

3.3.1 La convergence uniforme implique la convergence simple . . . . . . 244

3.3.2 Convergence uniforme et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

3.3.3 Convergence uniforme et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

3.3.4 Convergence uniforme et limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

3.3.5 Convergence uniforme et intégrales définies . . . . . . . . . . . . . 253

3.3.6 Convergence uniforme et dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

3.3.7 Convergence uniforme et intégrales impropres . . . . . . . . . . . . 260

3.3.8 Théorèmes de Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

3.4 Approximation des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

3.4.1 Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

3.4.2 Courbes de Bézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

3.4.3 Approximation uniforme des fonctions continues . . . . . . . . . . 272

3.4.4 Approximation uniforme des fonctions continues et périodiques . . 277

3.4.5 Un raffinement du théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . 283


3.5.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

3.5.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289


4 Séries de fonctions 303

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

4.2 Convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

4.2.1 Définition d’une série de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

4.2.2 Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

4.2.3 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

4.2.4 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313


4.2.6 Liens entre les différents types de convergence . . . . . . . . . . . . 315

4.3 Propriétés de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

4.3.1 Convergence uniforme et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

9




4.4 Une fonction continue sur R et dérivable nulle part . . . . . . . . . . . . . 323


4.5.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

4.5.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330


5 Séries de Fourier 349

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

5.1.1 Décomposition d’un signal en série de Fourier . . . . . . . . . . . . 349

5.1.2 Vibrations d’une corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

5.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

5.2.1 Série trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

5.2.2 Continuité par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

5.2.3 Coefficients de Fourier et série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 357

5.2.4 L’espace D et ses propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

5.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

5.3.1 Théorème de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

5.3.2 Théorème de Wirtinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

5.4 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

5.4.1 Convergence en moyenne quadratique et théorème de Parseval . . 376

5.4.2 Théorème de du Bois-Reymond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

5.4.3 Convergence simple : théorème de Lejeune-Dirichlet . . . . . . . . 385


5.4.5 Convergence en moyenne de Cesàro : deux théorèmes de Fejér . . . 396


5.5.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

5.5.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406



Doncun+1

un=

1 + 12n

1 + 1n

·(

1 +1

n

)− 12

=

(1 +

1

2n

) (1 +

1

n

)−1 (1 +

1

n

)− 12

=

(1 +

1

2n

) (1 − 1

n+ O

(1

n2

))(1 − 1

2n+ O

(1

n2

))

d’oùun+1

un= 1 − 1

n+ O

(1

n2

)

Donc, via la règle de Gauss,∑

un diverge.

1.4 Séries à termes quelconques

Dans ce paragraphe, on considère des séries à termes quelconques, c’est-à-dire de terme

général de signe non constant. Parmi toutes les séries à termes quelconques, il existe deux

grandes familles pour lesquelles des théorèmes existent : il s’agit des séries alternées et

des séries absolument convergentes.

1.4.1 Séries alternées

Définition 6

Soit (un) une suite réelle.

On dit que (un) est alternée s’il existe une suite réelle (an) positive telle que pour

tout n ∈ N, un = (−1)nan

(où pour tout n ∈ N, un = (−1)n+1an

).

On dit qu’une série numérique∑

un est alternée si la suite (un) est alternée.

Remarque

(un) est alternée lorsque le produit de deux termes consécutifs de la suite est négatif

(c’est-à-dire que deux termes consécutifs de la suite sont de signes contraires).

Exemple

Par exemple,(

(−1)n

n

)est une suite alternée.

10




4.4 Une fonction continue sur R et dérivable nulle part . . . . . . . . . . . . . 323


4.5.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

4.5.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330


5 Séries de Fourier 349

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

5.1.1 Décomposition d’un signal en série de Fourier . . . . . . . . . . . . 349

5.1.2 Vibrations d’une corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

5.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

5.2.1 Série trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

5.2.2 Continuité par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

5.2.3 Coefficients de Fourier et série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 357

5.2.4 L’espace D et ses propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

5.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

5.3.1 Théorème de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

5.3.2 Théorème de Wirtinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

5.4 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

5.4.1 Convergence en moyenne quadratique et théorème de Parseval . . 376

5.4.2 Théorème de du Bois-Reymond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

5.4.3 Convergence simple : théorème de Lejeune-Dirichlet . . . . . . . . 385


5.4.5 Convergence en moyenne de Cesàro : deux théorèmes de Fejér . . . 396


5.5.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

5.5.2 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406



Doncun+1

un=

1 + 12n

1 + 1n

·(

1 +1

n

)− 12

=

(1 +

1

2n

) (1 +

1

n

)−1 (1 +

1

n

)− 12

=

(1 +

1

2n

) (1 − 1

n+ O

(1

n2

))(1 − 1

2n+ O

(1

n2

))

d’oùun+1

un= 1 − 1

n+ O

(1

n2

)

Donc, via la règle de Gauss,∑

un diverge.

1.4 Séries à termes quelconques

Dans ce paragraphe, on considère des séries à termes quelconques, c’est-à-dire de terme

général de signe non constant. Parmi toutes les séries à termes quelconques, il existe deux

grandes familles pour lesquelles des théorèmes existent : il s’agit des séries alternées et

des séries absolument convergentes.

1.4.1 Séries alternées

Définition 6

Soit (un) une suite réelle.

On dit que (un) est alternée s’il existe une suite réelle (an) positive telle que pour

tout n ∈ N, un = (−1)nan

(où pour tout n ∈ N, un = (−1)n+1an

).


un est alternée si la suite (un) est alternée.

Remarque

(un) est alternée lorsque le produit de deux termes consécutifs de la suite est négatif

(c’est-à-dire que deux termes consécutifs de la suite sont de signes contraires).

Exemple

Par exemple,(

(−1)n

n

)est une suite alternée.

11

Conforme au programme !


1.4 Séries à termes quelconques 53

1.4.2 Règle de Leibniz

Théorème 12 (règle de Leibniz (1682) 34,35)Soit (un) une suite réelle alternée.

Si(|un|

)est décroissante et converge vers 0 alors

1.∑

un converge.

2. ∀n ∈ N,∣∣Rn

∣∣ � |un+1| où(Rn

)est la suite des restes associée à

∑un.

Remarque

Leibniz n’évoque en 1682 qu’une série alternée particulière :+∞∑k=0

(−1)n

2n + 1donnant le rap-

port exact entre l’aire d’un disque et celle de son carré circonscrit 36.

Le cas général du théorème ci-dessus n’apparaît qu’en 1821 dans le cours de Cauchy 37,38.

Démonstration

Comme (un) est alternée, il existe une suite (an) positive telle que pour tout n ∈ N,

un = (−1)nan ou un = (−1)n+1an. Les deux cas se traitant d’une façon similaire, on

peut supposer par exemple que pour tout n ∈ N, un = (−1)nan. Comme(|un|

)est

décroissante et converge vers 0, (an) est décroissante et converge vers 0.

1. Notons (Sn) la suite des sommes partielles associées à∑

un. Alors (S2n) est dé-

croissante et (S2n+1) est croissante. En effet pour tout n ∈ N,

S2n+2 − S2n =

2n+2∑k=0

(−1)kak −2n∑

k=0

(−1)kak

= a2n+2 − a2n+1 � 0 car (an) est décroissante

34. aussi appelée critère spécial des séries alternées.35. cf. De vera proportione circuli ad quadratumcircumscriptum in numeris rationalibus expressa,

Acta Eruditorum, 1, pp. 41-46.36. cf. proposition 13 (p. 76).

37. cf. Cours d’analyse de l’École royale polytechnique, Debure frères, Paris, p. 144.38. cf. notice biographique p. 22.


Gottfried Leibniz(1646–1716)

Né à Leipzig, Gottfried Leibniz est le fils de FriedrichLeibniz (1597-1652) et de sa troisième épouse CatharinaSchmuck. Son père, professeur de philosophie morale àl’université de la ville, décède alors qu’il n’a que 6 ans.Il étudie les rudiments du latin à l’école mais, sans doutedans l’idée de lire les ouvrages de son père, il approfonditseul la connaissance de cette langue de sorte que nombrede ses textes seront rédigés en latin. Ses exceptionnellesfacultés intellectuelles lui permettent d’entrer, à 15 ans, àl’université de Leipzig. Il y étudie principalement la théo-logie, le droit et la philosophie, disciplines dont l’ensei-gnement est alors très réputé dans cette université. Il pu-blie dès 1666 son ambitieuse Dissertation sur l’art combina-toire a dans laquelle il envisage un « alphabet des pensées

humaines » c’est-à-dire des nombres, des lettres, des couleurs et des sons élémen-taires capables de générer toutes les combinaisons possibles dans toutes les disci-plines créant ainsi un système universel de raisonnement. Il obtient finalement sondoctorat en droit à 20 ans en 1667. C’est lors de son séjour à Paris entre 1672 et 1676qu’il étudie scrupuleusement les mathématiques et invente le calcul différentiel etintégral (indépendamment de Newton). Il utilise la première fois la notation

∫(un

long « s » pour désigner le mot « summa ») b dans un manuscrit du 29 octobre 1675 c.Il expose ensuite les règles de dérivation (en introduisant notamment la notationdy/ dx) d’une somme, d’un produit et d’un quotient et introduit la notion d’ex-tremum dans un remarquable article publié en 1684 d. Outre les mathématiques, ilpublie des essais en philosophie, logique, métaphysique et établit une impression-nante correspondance (plus de 15 000 lettres !) avec les plus grands érudits de sontemps. Pourtant, excepté son fidèle secrétaire, il meurt dans une solitude complèteet seul Fontenelle e lui rend hommage lors d’un discours à l’Académie françaiseen 1717.

a. Dissertatio de arte combinatoria [...], J.-S. Fickium et J.-P. Seuboldum, Lipsiae [Leipzig].b. Le terme « intégrale » est dû à Johann Bernoulli (1667-1748).c. Cette notation n’est toutefois publiée qu’en 1686 dans De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum,Acta Eruditorum, 5, pp. 292-300.d. Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singu-lare pro illis calculi genus, Acta Eruditorum, 3, pp. 467-473.e. Bernard Le Bovier de Fontenelle (1657-1757).

D’autre part pour tout n ∈ N,

S2n+3 − S2n+1 =

2n+3∑k=0

(−1)kak −2n+1∑k=0

(−1)kak


En outre (S2n −S2n+1) converge vers 0 car pour tout n ∈ N, S2n −S2n+1 = a2n+1.

12

Conforme au

programme !



Gottfried Leibniz(1646–1716)

Né à Leipzig, Gottfried Leibniz est le fils de FriedrichLeibniz (1597-1652) et de sa troisième épouse CatharinaSchmuck. Son père, professeur de philosophie morale àl’université de la ville, décède alors qu’il n’a que 6 ans.Il étudie les rudiments du latin à l’école mais, sans doutedans l’idée de lire les ouvrages de son père, il approfonditseul la connaissance de cette langue de sorte que nombrede ses textes seront rédigés en latin. Ses exceptionnellesfacultés intellectuelles lui permettent d’entrer, à 15 ans, àl’université de Leipzig. Il y étudie principalement la théo-logie, le droit et la philosophie, disciplines dont l’ensei-gnement est alors très réputé dans cette université. Il pu-blie dès 1666 son ambitieuse Dissertation sur l’art combina-toire a dans laquelle il envisage un « alphabet des pensées

humaines » c’est-à-dire des nombres, des lettres, des couleurs et des sons élémen-taires capables de générer toutes les combinaisons possibles dans toutes les disci-plines créant ainsi un système universel de raisonnement. Il obtient finalement sondoctorat en droit à 20 ans en 1667. C’est lors de son séjour à Paris entre 1672 et 1676qu’il étudie scrupuleusement les mathématiques et invente le calcul différentiel etintégral (indépendamment de Newton). Il utilise la première fois la notation

∫(un

long « s » pour désigner le mot « summa ») b dans un manuscrit du 29 octobre 1675 c.Il expose ensuite les règles de dérivation (en introduisant notamment la notationdy/ dx) d’une somme, d’un produit et d’un quotient et introduit la notion d’ex-tremum dans un remarquable article publié en 1684 d. Outre les mathématiques, ilpublie des essais en philosophie, logique, métaphysique et établit une impression-nante correspondance (plus de 15 000 lettres !) avec les plus grands érudits de sontemps. Pourtant, excepté son fidèle secrétaire, il meurt dans une solitude complèteet seul Fontenelle e lui rend hommage lors d’un discours à l’Académie françaiseen 1717.

a. Dissertatio de arte combinatoria [...], J.-S. Fickium et J.-P. Seuboldum, Lipsiae [Leipzig].b. Le terme « intégrale » est dû à Johann Bernoulli (1667-1748).c. Cette notation n’est toutefois publiée qu’en 1686 dans De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum,Acta Eruditorum, 5, pp. 292-300.d. Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singu-lare pro illis calculi genus, Acta Eruditorum, 3, pp. 467-473.e. Bernard Le Bovier de Fontenelle (1657-1757).

D’autre part pour tout n ∈ N,

S2n+3 − S2n+1 =

2n+3∑k=0

(−1)kak −2n+1∑k=0

(−1)kak


En outre (S2n −S2n+1) converge vers 0 car pour tout n ∈ N, S2n −S2n+1 = a2n+1.

13




Donc (S2n) et (S2n+1) sont adjacentes et donc convergent vers une même limite S.

Donc (Sn) converge également vers S d’où∑

un converge.

2. Via les résultats de la première partie de la preuve, on a pour tout n ∈ N,

S2n+1 � S � S2n. Donc pour tout n ∈ N,

u2n+1 = S2n+1 − S2n � R2n = S − S2n

D’où, comme S − S2n � 0, pour tout n ∈ N, on a∣∣R2n

∣∣ � |u2n+1| (∗)De même pour tout n ∈ N,

0 � R2n+1 = S − S2n+1 � S2n+2 − S2n+1 = u2n+2

Donc pour tout n ∈ N,∣∣R2n+1

∣∣ � |u2n+2| (∗∗)

Via (∗) et (∗∗), on en déduit que pour tout n ∈ N,∣∣Rn

∣∣ � |un+1|.

Exemple

Considérons la série∑

un où pour tout n ∈ N∗, un =(−1)n

n

Alors (un) est une suite alternée. De plus(|un|

)est décroissante et converge vers 0.

Donc la série∑ (−1)n

n(appelée série harmonique alternée) converge via la règle de

Leibniz.

Notons que la série∑ 1

ndiverge

mais que la série∑ (−1)n

nconverge.

1n

Sn

sommes partielles d’une série alternée

1.4.3 Convergence absolue

Définition 7


un converge absolument si la série∑ |un| converge.

14

Conforme au

programme !



Exemple

Par exemple la série� (−1)n

n2converge absolument car la série de Riemann

� 1

n2

converge.

Un des intérêts de la convergence absolue est la propriété suivante.

Proposition 8

Soit�

un une série numérique convergeant absolument. Alors�

un converge.

Démonstration

Supposons que�

un converge absolument.

Notons pour tout n ∈ N, u+n =

⎧⎨⎩

un si un � 0

0 sinonet u−

n =

⎧⎨⎩

−un si un � 0

0 sinon

Alors�u+

n

�et

�u−

n

�sont positives et pour tout n ∈ N, |un| = u+

n + u−n

De plus, pour tout n ∈ N, u+n � |un| et

� |un| converge par hypothèse donc�

u+n

converge via la proposition 4 (p. 20).

De même, pour tout n ∈ N, u−n � |un| donc

�u−

n converge via la proposition 4 (p. 20).

Or pour tout n ∈ N, un = u+n − u−

n , donc�

un converge.

Exemple

Par exemple la série� sin(n)

n2converge car elle converge absolument.

En effet pour tout n ∈ N∗,��sin(n)

n2

�� 1

n2et

� 1

n2converge.

Remarques

1. La réciproque de la proposition est fausse comme l’illustre le contre-exemple sui-

vant : la série (alternée)� (−1)n

nconverge (cf. paragraphe précédent) mais ne

converge pas absolument car� 1

ndiverge.

15




2. Si∑

un converge absolument, on a∣∣∣∣+∞∑n=0

un

∣∣∣∣ �+∞∑n=0

∣∣un

∣∣ (∗)

En effet, par l’inégalité triangulaire, on a :∣∣∣∣

n∑k=0

uk

∣∣∣∣ �n∑

k=0

∣∣uk

∣∣ et en passant à la

limite quand n tend vers +∞, on a immédiatement (∗).

Définition 8

Une série convergente mais non absolument convergente est dite semi-convergente.

Proposition 9

Soit α ∈ R. Alors∑ (−1)n

nαconverge ⇐⇒ α > 0

Démonstration

Si α � 0,(−1)n

nα�−−−−−→

n→+∞0 donc

∑ (−1)n

nαdiverge.

Si α > 0, la suite(∣∣∣∣

(−1)n

nα

∣∣∣∣)

=

(1

nα

)est décroissante et converge vers 0.

Donc∑ (−1)n

nαconverge via la règle de Leibniz.

1.4.4 Sommation des relations de comparaison

Proposition 10

Soient (un) et (vn) deux suites réelles telles que (vn) est positive et∑

vn converge.

Alors, en notant (Rn) et (R�n) les suites des restes associées respectivement à

∑un

et∑

vn, on a

1. un = o(vn) =⇒ Rn = o(R�

n

)

2. un = O(vn) =⇒ Rn = O(R�

n

)

3. un ∼+∞

vn =⇒ Rn ∼+∞

R�n

16

Conforme au

programme !



Démonstration

1. On a un = o(vn) c’est-à-dire un = εnvn avec εn −−−−−→n→+∞

0.

Soit ε > 0.

Alors il existe N ∈ N tel que pour tout n ∈ N, n � N =⇒ |un| < ε vn.

Comme∑

vn converge, via la proposition 4 (p. 20),∑

un converge absolument

donc converge via la proposition 8 (p. 56). D’où(Rn

)est bien définie. De plus

n � N =⇒∣∣∣∣∣

+∞∑k=n+1

uk

∣∣∣∣∣ �

+∞∑k=n+1

|uk| < ε

+∞∑k=n+1

vk

soit encore n � N =⇒ ∣∣Rn

∣∣ < ε R�n

Donc Rn = o(R�

n

).

2. On a un = O(vn) c’est-à-dire un = knvn avec (kn) bornée.

Donc il existe K > 0 tel que pour tout n ∈ N, kn � K.

Ainsi, pour tout n ∈ N, |un| � Kvn.

D’où pour tout n ∈ N,

∣∣∣∣∣+∞∑

k=n+1

uk

∣∣∣∣∣ �

+∞∑k=n+1

|uk| < K+∞∑

k=n+1

vk

soit encore∣∣Rn

∣∣ < K R�n

donc Rn = O(R�

n

).

3. On a un ∼+∞

vn. Donc un − vn = o(vn).

D’où, via les résultats du 1, Rn − R�n = o

(R�

n

)donc Rn ∼

+∞R�

n

Exemple

1

n(n + 1)∼

+∞1

n2donc, comme

∑ 1

n2converge, on a, via la proposition précédente,

+∞∑k=n+1

1

k2∼

+∞

+∞∑k=n+1

1

k(k + 1)

soit encore+∞∑

k=n+1

1

k2∼

+∞

+∞∑k=n+1

(1

k− 1

k + 1

)

17




Or+∞∑

k=n+1

(1

k− 1

k + 1

)=

1

n + 1donc

+∞∑k=n+1

1

k2∼

+∞1

n + 1∼

+∞1

n

Proposition 11


vn diverge.

Alors, en notant (Sn) et (Tn) les suites des sommes partielles associées respective-

ment à∑

un et∑

vn, on a

1. un = o(vn) =⇒ Sn = o(Tn)

2. un = O(vn) =⇒ Sn = O(Tn

)

3. un ∼+∞

vn =⇒ Sn ∼+∞

Tn.

Démonstration


0.

Soit ε > 0.

Alors il existe N ∈ N tel que pour tout n ∈ N, n � N =⇒ |un| <ε

2vn (∗)

Donc, via (∗), pour tout n ∈ N,

∣∣Sn

∣∣ =

∣∣∣∣∣n∑

k=0

uk

∣∣∣∣∣ �

n∑k=0

|uk| =

N∑k=0

|uk| +

n∑k=N+1

|uk|

<

N∑k=0

|uk| + ε

2

n∑k=N+1

vk <

N∑k=0

|uk| + ε

2Tn

Or, comme∑

vn diverge, Tn −−−−−→n→+∞

+∞ donc

N∑k=0

|uk|

Tn−−−−−→n→+∞

0.

Donc il existe N � ∈ N tel que pour tout n ∈ N, n � N � =⇒N∑

k=0

|uk| <ε

2Tn

Soit N �� = Max(N, N �).

Alors pour tout n ∈ N, n � N �� =⇒ ∣∣Sn

∣∣ <ε

2Tn +

ε

2Tn = ε Tn.

Donc Sn = o(Tn

).

18

Conforme au

programme !



Or+∞∑

k=n+1

(1

k− 1

k + 1

)=

1

n + 1donc

+∞∑k=n+1

1

k2∼

+∞1

n + 1∼

+∞1

n

Proposition 11


vn diverge.

Alors, en notant (Sn) et (Tn) les suites des sommes partielles associées respective-

ment à∑

un et∑

vn, on a

1. un = o(vn) =⇒ Sn = o(Tn)

2. un = O(vn) =⇒ Sn = O(Tn

)

3. un ∼+∞

vn =⇒ Sn ∼+∞

Tn.

Démonstration


0.

Soit ε > 0.

Alors il existe N ∈ N tel que pour tout n ∈ N, n � N =⇒ |un| <ε

2vn (∗)

Donc, via (∗), pour tout n ∈ N,

∣∣Sn

∣∣ =

∣∣∣∣∣n∑

k=0

uk

∣∣∣∣∣ �

n∑k=0

|uk| =

N∑k=0

|uk| +

n∑k=N+1

|uk|

<

N∑k=0

|uk| + ε

2

n∑k=N+1

vk <

N∑k=0

|uk| + ε

2Tn

Or, comme∑

vn diverge, Tn −−−−−→n→+∞

+∞ donc

N∑k=0

|uk|

Tn−−−−−→n→+∞

0.

Donc il existe N � ∈ N tel que pour tout n ∈ N, n � N � =⇒N∑

k=0

|uk| <ε

2Tn

Soit N �� = Max(N, N �).

Alors pour tout n ∈ N, n � N �� =⇒ ∣∣Sn

∣∣ <ε

2Tn +

ε

2Tn = ε Tn.

Donc Sn = o(Tn

).


2. On a un = O(vn) c’est-à-dire un = knvn avec (kn) bornée.

Donc, il existe K > 0 tel que pour tout n ∈ N, kn � K.

Ainsi, pour tout n ∈ N, |un| � Kvn.

Donc pour tout n ∈ N,∣∣Sn

∣∣ =

∣∣∣∣∣n∑

k=0

uk

∣∣∣∣∣ �

n∑k=0

|uk| � K

n∑k=0

vk = K Tn

D’où Sn = O(Tn

).

3. On a un ∼+∞

vn. Donc un − vn = o(vn).

D’où, via les résultats du 1, Sn − Tn = o(Tn

)donc Sn ∼

+∞Tn

Exemple

ln

(1 +

1

n

)∼

+∞1

net

∑ 1

ndiverge donc via la proposition précédente,

n∑k=1

1

k∼

+∞

n∑k=1

ln

(1 +

1

k

)

Orn∑

k=1

ln

(1 +

1

k

)=

n∑k=1

ln

(k + 1

k

)=

n∑k=1

(ln(k + 1) − ln(k)

)= ln(n + 1)

Doncn∑

k=1

1

k∼

+∞ln(n + 1) ∼

+∞ln(n)

1.4.5 Règle d’Abel

Théorème 13 (règle d’Abel (1826) 39,40)Soient (un) et (vn) deux suites réelles telles que

1. (un) est décroissante et converge vers 0.

2. La suite

(n∑

k=0

vk

)est bornée.

Alors∑

unvn converge

39. cf. Untersuchungen über die Reihe : 1+ m1·x +

m·(m−1)1·2

·x2 +m·(m−1)·(m−2)

1·2·3·x3 + · · · , Journal

de Crelle, 1, pp. 311-33940. parfois appelée règle de Lejeune-Dirichlet (cf. Vorlesung über Zahlentheorie, Friedr. Vieweg & Sohn,

Braunschweig, 1863).

19




Niels Abel(1802–1829)

Malgré sa disparition précoce à 26 ans, les travaux dunorvégien Niels Abel sont à marquer d’une pierre blanchedans l’histoire des mathématiques. À 15 ans, il a déjà étu-dié les œuvres d’Euler a et de d’Alembert b et son profes-seur, Bernt Holmboe, impressionné par les dons du jeunehomme, l’encourage à lire les travaux de Lagrange c etLaplace d et surtout l’aide à financer ses études à l’univer-sité après le décès de son père qui a laissé sa famille dansla misère. Suite à la publication de ses premiers articlessur des équations fonctionnelles et intégrales, il obtient unebourse lui permettant de voyager et de rencontrer en 1825

et 1826 Gauss e et Crelle f fondateur d’un des journaux mathématiques majeurs duXIXe siècle g. C’est à cette époque qu’il publie ses premiers résultats sur les inté-grales elliptiques et son fameux article prouvant l’impossibilité de la résolution deséquations du cinquième degré par radicaux. Il arrive à Paris au cours de l’été 1826mais est déçu par sa rencontre avec Cauchy h qui le reçoit plutôt froidement. Dansune lettre à son ancien professeur Holmboe écrite quelques mois auparavant, il dé-nonce l’inexactitude du théorème de Cauchy sur la continuité de la somme d’unesérie de fonctions continues i. Désabusé par le peu d’intérêt manifesté à l’égard deses travaux, il quitte finalement Paris pour retourner à Berlin, mais sa santé s’altèreet il meurt de la tuberculose à 26 ans, alors que Crelle vient de lui obtenir un postede professeur à Berlin.

a. cf. notice biographique p. 78.b. cf. notice biographique p. 35.c. Pierre-Simon (de) Laplace (1749-1827).d. Joseph-Louis (de) Lagrange (1736-1813).e. cf. note biographique p. 51.f. August Leopold Crelle (1780-1855).g. Journal für die reine und angewandte Mathematik cité dans la suite de cet ouvrage sous le nom de Journal de Crelle.h. cf. notice biographique p. 22.i. cf. p. 319.

Démonstration

Montrons que la suite des sommes partielles

�n�

k=0

ukvk

�converge.

Notons pour tout n ∈ N, Vn =

n�k=0

vk. Alors

⎧⎪⎨⎪⎩

v0 = V0

vn = Vn − Vn−1 si n � 1

De plus, on a :

n�k=0

ukvk = u0v0 +

n�k=1

ukvk = u0V0 +

n�k=1

uk

�Vk − Vk−1

�

20

Conforme au

programme !


1.7 Compléments 99

Remarque

Dans le théorème 22 (p. 97), la décroissance de la suite (un) est nécessaire comme le

montre le contre-exemple suivant : soit (un) la suite définie pour tout n ∈ N par

un =

⎧⎪⎨⎪⎩

1

nsi n est une puissance de 2

0 sinon

La série�

un converge et pourtant un n’est pas un o

�1

n

�.

1.7.6 Théorème de Pringsheim

Théorème 23 (Pringsheim (1889) 74)

Soit (un) une suite réelle strictement positive telle que�

un diverge.

Alors pour tout α ∈ R∗+,

� un

SnSαn−1

converge où (Sn)n�1 =

�n�

k=1

uk

�est la suite

des sommes partielles associée à�

un.

Démonstration

Soit α ∈ R∗+. Comme

�un diverge, Sn −−−−−→

n→+∞+∞.

Donc il existe N ∈ N tel que n � N =⇒ Sn > 1.

Comme la série� un

SnSαn−1

=� Sn − Sn−1

SnSαn−1

est à termes positifs, il suffit de montrer

que la suite de ses sommes partielles est majorée.

Soient p ∈ N∗ tel que1

p< α et n � N + 1

Alors S1/pn−1 < Sα

n−1 donc

Sn − Sn−1

SnSαn−1

<Sn − Sn−1

SnS1/pn−1

(∗)

74. cf. Allgemeine Theorie der Divergenz und Convergenz von Reihen mit positiven Gliedern, Mathe-matische Annalen, 35, pp. 297-394.

21

Des compléments

pour aller un

peu plus loin !

Des compléments … pour aller un peu plus loin !


Alfred Pringsheim(1850–1941)

Alfred Pringsheim, issu d’une famille juive très aisée,révèle très tôt des dons en musique et en mathéma-tiques. Bien qu’excellent pianiste, ami de Richard Wag-ner, il décide finalement d’entamer des études supé-rieures en mathématiques tout d’abord à l’universitéde Berlin puis à Heidelberg où il soutient sa thèse en1872 sous la direction d’un élève de Weierstrass, spécia-liste des fonctions elliptiques. Il effectue toute sa carrièreà l’université de Munich (jusqu’en 1922). Mais, Hitlerayant accédé au pouvoir en 1933, les mesures antisé-mites l’obligent à vendre son magnifique manoir et àse séparer de son exceptionnelle collection de faïencesitaliennes de la Renaissance. Il obtient néanmoins l’au-torisation d’émigrer en Suisse en 1939. Il publie entre

1916 et 1932 les cinq parties (en deux volumes) de son ouvrage sur les théories desnombres et des fonctions a. De son mariage avec la comédienne Hedwig Dohm, ila quatre fils b et une fille Katharina dite Katia c (1883-1980) qui épousa le célèbreécrivain Thomas Mann (1875-1955) en 1905.

a. Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre., B.G. Teubner, Leipzigb. dont Klaus (1883-1972) chef d’orchestre et compositeur et Peter (1881-1963) physicien professeur d’université.c. ou Katja.

Comme pour tout x ∈ ]0, 1],

1 − xp = (1 − x)(1 + x + · · · + xp−1

)� p(1 − x) (∗∗)

on a, via (∗∗) appliquée à x =

(Sn−1

Sn

)1/p

, 1 − Sn−1

Sn� p

(1 − S

1/pn−1

S1/pn

)

donc

Sn − Sn−1

SnS1/pn−1

�p

S1/pn−1

(1 − S

1/pn−1

S1/pn

)

soit encoreSn − Sn−1

SnS1/pn−1

� p

(1

S1/pn−1

− 1

S1/pn

)

Donc via (∗), on a

Sn − Sn−1

SnSαn−1

� p

(1

S1/pn−1

− 1

S1/pn

)

22

Des

compléments

pour aller un

peu plus loin !


1.7 Compléments 101

or comme Sn −−−−−→n→+∞

+∞,(

1

S1/pn

)est convergente (vers 0) donc via la proposi-

tion 7 (p. 27)∑(

1

S1/pn−1

− 1

S1/pn

)converge donc la suite de ses sommes partielles est

majorée.

Finalement la suite des sommes partielles associée à∑ Sn − Sn−1

SnSαn−1

est majorée donc

∑ Sn − Sn−1

SnSαn−1

converge.

Exemple

Considérons la suite (un) =

(1

n

).

La série∑

un diverge avec Sn ∼+∞

ln(n) (cf. exemple p. 60).

Via le théorème précédent, pour tout α > 0,∑ 1

n ln(n) lnα(n − 1)converge et comme

ln(n− 1) ∼+∞

ln(n),∑ 1

n lnα+1(n)converge : on retrouve ainsi le théorème de Bertrand.

1.7.7 Théorème d’Abel

Théorème 24 (Abel 75 (1828) 76,77)

Soient α ∈ R et (un) une suite réelle strictement positive telle que∑

un diverge.

Alors∑ un

Sαn

converge ssi α > 1 où (Sn)n�1 =

(n∑

k=1

uk

)est la suite des sommes

partielles associée à∑

un.

Remarque

Ce théorème fut d’abord montré partiellement par Abel 78 en 1828, puis entièrement par

Dini en 1867 79 avant que l’on retrouve finalement l’énoncé complet d’Abel en 1881.

75. parfois appelé théorème d’Abel-Dini (cf. la remarque suivant le théorème).76. cf. Note sur un mémoire de M. L. Olivier, Journal de Crelle, 3, pp. 79-81.77. cf. également Sur les séries, Œuvres complètes, 2, pp. 197-205.78. cf. notice biographique p. 61.79. cf. Sulle serie a termini positivi, Ann. univ. Toscana, 9, pp. 41-76.

23

Des compléments

pour aller un

peu plus loin !



Démonstration

Supposons α > 1.

Soit n ∈ N tel que n � 2.

Comme∑

un est une série à termes positifs, (Sn) est croissante donc Sn � Sn−1.

Ainsi Sαn = SnSα−1

n � SnSα−1n−1 donc 0 <

un

Sαn

�un

SnSα−1n−1

Or via le théorème de Pringsheim (p. 99),∑ un

SnSα−1n−1

converge car α − 1 > 0 donc

∑ un

Sαn

converge.

Supposons α = 1.

Montrons par l’absurde que∑ un

Sndiverge.

Supposons que∑ un

Snconverge. Alors

un

Sn−−−−−→n→+∞

0.

Or − ln

(1 − un

Sn

)∼

+∞un

Sndonc

∑(− ln

(1 − un

Sn

))converge.

Or pour tout n � 2,

− ln

(1 − un

Sn

)= − ln

(Sn − (Sn − Sn−1)

Sn

)= ln(Sn) − ln(Sn−1)

Donc∑(

ln(Sn) − ln(Sn−1))

converge.

D’où, via la proposition 7 (p. 27),(ln(Sn)

) (et donc (Sn)

)converge vers une limite finie

ce qui est absurde sachant que∑

un diverge par hypothèse.

Supposons α < 1.

Comme∑

un diverge, Sn −−−−−→n→+∞

+∞.


Soit n � N . Alors Sαn < Sn donc

un

Sαn

>un

Sn> 0

or, via le cas α = 1 étudié précédemment,∑ un

Sndiverge donc

∑ un

Sαn

diverge.

24

Des

compléments

pour aller un

peu plus loin !



Démonstration

Supposons α > 1.

Soit n ∈ N tel que n � 2.

Comme∑

un est une série à termes positifs, (Sn) est croissante donc Sn � Sn−1.

Ainsi Sαn = SnSα−1

n � SnSα−1n−1 donc 0 <

un

Sαn

�un

SnSα−1n−1

Or via le théorème de Pringsheim (p. 99),∑ un

SnSα−1n−1

converge car α − 1 > 0 donc

∑ un

Sαn

converge.

Supposons α = 1.

Montrons par l’absurde que∑ un

Sndiverge.

Supposons que∑ un

Snconverge. Alors

un

Sn−−−−−→n→+∞

0.

Or − ln

(1 − un

Sn

)∼

+∞un

Sndonc

∑(− ln

(1 − un

Sn

))converge.

Or pour tout n � 2,

− ln

(1 − un

Sn

)= − ln

(Sn − (Sn − Sn−1)

Sn

)= ln(Sn) − ln(Sn−1)

Donc∑(

ln(Sn) − ln(Sn−1))

converge.

D’où, via la proposition 7 (p. 27),(ln(Sn)

) (et donc (Sn)

)converge vers une limite finie

ce qui est absurde sachant que∑

un diverge par hypothèse.

Supposons α < 1.

Comme∑

un diverge, Sn −−−−−→n→+∞

+∞.


Soit n � N . Alors Sαn < Sn donc

un

Sαn

>un

Sn> 0

or, via le cas α = 1 étudié précédemment,∑ un

Sndiverge donc

∑ un

Sαn

diverge.

1.7 Compléments 103

1.7.8 Théorème de Dini

Théorème 25 (Dini (1867) 80)

Soient α ∈ R et (un) une suite réelle strictement positive telle que∑

un converge.

Alors∑ un

Rαn−1

converge ssi α < 1 où(Rn

)=

(+∞∑

k=n+1

uk

)est la suite des restes

associée à∑

un.

Démonstration

Notons (Sn) la suite des sommes partielles associée à∑

un. Supposons α < 1.

Comme∑

un converge (vers sa somme S), Rn = S − Sn −−−−−→n→+∞

0.

Donc il existe N ∈ N tel que n � N =⇒ Rn < 1.

Comme la série∑ un

Rαn−1

est à termes positifs, il suffit de montrer que la suite de ses

sommes partielles est majorée.

Soient p ∈ N∗ tel que α < 1 − 1

pet n � N + 1. Alors Rα

n−1 > R1− 1

p

n−1 donc

un

Rαn−1

<un

R1− 1

p

n−1

(∗)

or un = Rn−1 − Rn donc

un

R1− 1

p

n−1

=Rn−1 − Rn

Rn−1R

1/pn−1 =

(1 − Rn

Rn−1

)R

1/pn−1

D’où, via (∗), on aun

Rαn−1

<

(1 − Rn

Rn−1

)R

1/pn−1 (∗∗)

Comme pour tout x ∈ ]0, 1],

1 − xp = (1 − x)(1 + x + · · · + xp−1

)� p(1 − x) (∗ ∗ ∗)

80. cf. Sulle serie a termini positivi, Ann. univ. Toscana, 9, pp. 41-76.

25

Des compléments

pour aller un

peu plus loin !



Ulisse Dini(1845–1918)

Originaire de Pise, Ulisse Dini poursuit d’abord desétudes à l’École normale supérieure de sa ville natale puisobtient une bourse en 1865 lui permettant d’étudier à Pa-ris. Il y rencontre notamment Bertrand a et Hermite b, en-tame une activité intense de recherche concrétisée par lapublication la même année de plusieurs articles à Paris c età Rome d. Il obtient dès son retour en Italie en 1866 un posteà l’université de Pise. Il s’implique non seulement dans lapédagogie des mathématiques en occupant très jeune di-verses chaires importantes, mais aussi du côté adminis-tratif en finissant recteur de l’université en 1888. Parallè-

lement à sa carrière scientifique, il entame très tôt une brillante carrière politiqueet est élu sénateur au Parlement en 1892. En 1908, il a la grande joie d’être nommédirecteur de son ancienne École normale supérieure jusqu’à son décès en 1918. Sesrecherches concernent principalement les fonctions de la variable réelle e, les sé-ries de Fourier f mais aussi les suites de fonctions pour lesquelles il approfondit laconnaissance de la convergence uniforme g.

a. cf. notice biographique p. 31.b. Charles Hermite (1822-1901).c. cf. Sur les surfaces à courbure constante négative, et sur celles applicables sur les surfaces à aire minima, C. R. Acad. Sc., 60,pp. 340-341.d. cf. Sulle superficie nelle quali la somma dei due raggi di curvatura principale è costante, Ann. di Mat. pura ed applicata, 7,pp. 5-18.e. cf. Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, T. Nistri, Pisa (1878).f. cf. Serie di Fourier e altre rappresentazioni analitiche delle funzioni di una variabile reale, T. Nistri, Pisa (1880).g. cf. théorèmes 51 (p. 264) et 52 (p. 266).

on a, via (∗ ∗ ∗) appliquée à x =

(Rn

Rn−1

)1/p

,

1 − Rn

Rn−1� p

(1 −

(Rn

Rn−1

)1/p)

donc (1 − Rn

Rn−1

)R

1/pn−1 � p

(R

1/pn−1 − R1/p

n

)

D’où, via (∗∗), on aun

Rαn−1

� p(R

1/pn−1 − R1/p

n

)

Or comme Rn −−−−−→n→+∞

0,(R

1/pn

)est convergente donc via la proposition 7 (p. 27)

∑(R

1/pn−1 − R1/p

n

)converge donc la suite de ses sommes partielles est majorée.

26

Des

compléments

pour aller un

peu plus loin !



Ulisse Dini(1845–1918)

Originaire de Pise, Ulisse Dini poursuit d’abord desétudes à l’École normale supérieure de sa ville natale puisobtient une bourse en 1865 lui permettant d’étudier à Pa-ris. Il y rencontre notamment Bertrand a et Hermite b, en-tame une activité intense de recherche concrétisée par lapublication la même année de plusieurs articles à Paris c età Rome d. Il obtient dès son retour en Italie en 1866 un posteà l’université de Pise. Il s’implique non seulement dans lapédagogie des mathématiques en occupant très jeune di-verses chaires importantes, mais aussi du côté adminis-tratif en finissant recteur de l’université en 1888. Parallè-

lement à sa carrière scientifique, il entame très tôt une brillante carrière politiqueet est élu sénateur au Parlement en 1892. En 1908, il a la grande joie d’être nommédirecteur de son ancienne École normale supérieure jusqu’à son décès en 1918. Sesrecherches concernent principalement les fonctions de la variable réelle e, les sé-ries de Fourier f mais aussi les suites de fonctions pour lesquelles il approfondit laconnaissance de la convergence uniforme g.

a. cf. notice biographique p. 31.b. Charles Hermite (1822-1901).c. cf. Sur les surfaces à courbure constante négative, et sur celles applicables sur les surfaces à aire minima, C. R. Acad. Sc., 60,pp. 340-341.d. cf. Sulle superficie nelle quali la somma dei due raggi di curvatura principale è costante, Ann. di Mat. pura ed applicata, 7,pp. 5-18.e. cf. Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, T. Nistri, Pisa (1878).f. cf. Serie di Fourier e altre rappresentazioni analitiche delle funzioni di una variabile reale, T. Nistri, Pisa (1880).g. cf. théorèmes 51 (p. 264) et 52 (p. 266).

on a, via (∗ ∗ ∗) appliquée à x =

(Rn

Rn−1

)1/p

,

1 − Rn

Rn−1� p

(1 −

(Rn

Rn−1

)1/p)

donc (1 − Rn

Rn−1

)R

1/pn−1 � p

(R

1/pn−1 − R1/p

n

)

D’où, via (∗∗), on aun

Rαn−1

� p(R

1/pn−1 − R1/p

n

)

Or comme Rn −−−−−→n→+∞

0,(R

1/pn

)est convergente donc via la proposition 7 (p. 27)

∑(R

1/pn−1 − R1/p

n

)converge donc la suite de ses sommes partielles est majorée.


1.2

Soit (un) une suite réelle strictement positive telle queun+1

un−−−−−→n→+∞

0

Alors un −−−−−→n→+∞

0.

a. vrai

b. faux

1.3

Soient (un) et (vn) deux suites réelles strictement positives tels que∑

vn converge et

un+1

un�

vn+1

vn· Alors

a.∑

un converge

b.∑

un diverge

c. on ne peut rien dire quant à la nature de∑

un

1.4

Soit (un) une suite réelle telle que∑

(un+1 − un) converge. Alors (un) converge.

a. vrai

b. faux

1.5

Soit (un)n∈N une suite réelle positive et décroissante quelconque. Alors

a.∑

(−1)nun converge

b.∑

(−1)nun diverge

c. on ne peut rien dire sur la nature de∑

(−1)nun

27

Des questions de cours


1.8 Questions de cours 115

C 1.2

Soit (un) une suite réelle strictement positive telle queun+1

un−−−−−→n→+∞

0

Alors un −−−−−→n→+∞

0.

a. vrai

b. faux

C 1.3

Soient (un) et (vn) deux suites réelles strictement positives tels que∑

vn converge et

un+1

un�

vn+1

vn

Alors

a.∑

un converge

b.∑

un diverge

c. on ne peut rien dire quant à la nature de∑

un

C 1.4

Soit (un) une suite réelle telle que∑

(un+1 − un) converge. Alors (un) converge.

a. vrai

b. faux

C 1.5

Soit (un)n∈N une suite réelle positive et décroissante quelconque. Alors

a.∑

(−1)nun converge

b.∑

(−1)nun diverge

c. on ne peut rien dire sur la nature de∑

(−1)nun

C 1.6

Soit (un) une suite réelle strictement positive. Alors

a.∑

un converge =⇒ ∑nun converge


1.4


(√n + (−1)n

√n + a

)



n√n+a


(1 +

(−1)n

√n

), étudier

la nature de∑


C 1.4


n + a > 0 et√

n + (−1)n

√n + a

> 0

)


n + (−1)n > 0)



Si a � −2, n0 = E(| − a|) + 1 convient.

2. Soit n � n0.

un = ln

(√n + (−1)n

√n + a

)= ln

( √n√

n + a

(1 +

(−1)n

√n

))

= ln

( √n√

n + a

)+ ln

(1 +

(−1)n

√n

)= ln (vn) + ln

(1 +

(−1)n

√n

)

Or

vn =

√n

n + a=

(1 +

a

n

)−12

= 1 − a

2n+

3a2

8n2+ o

(1

n2

)

donc

ln (vn) = ln

(1 − a

2n+

3a2

8n2+ o

(1

n2

))

= − a

2n+

3a2

8n2− 1

2

(a

2n− 3a2

8n2

)2

+ o

(1

n2

)

28

Des

questions

de cours



1.4


(√n + (−1)n

√n + a

)



n√n+a


(1 +

(−1)n

√n

), étudier

la nature de∑


C 1.4


n + a > 0 et√

n + (−1)n

√n + a

> 0

)


n + (−1)n > 0)



Si a � −2, n0 = E(| − a|) + 1 convient.

2. Soit n � n0.

un = ln

(√n + (−1)n

√n + a

)= ln

( √n√

n + a

(1 +

(−1)n

√n

))

= ln

( √n√

n + a

)+ ln

(1 +

(−1)n

√n

)= ln (vn) + ln

(1 +

(−1)n

√n

)

Or

vn =

√n

n + a=

(1 +

a

n

)−12

= 1 − a

2n+

3a2

8n2+ o

(1

n2

)

donc

ln (vn) = ln

(1 − a

2n+

3a2

8n2+ o

(1

n2

))

= − a

2n+

3a2

8n2− 1

2

(a

2n− 3a2

8n2

)2

+ o

(1

n2

)

29

Des exercices corrigés


1.9 Exercices corrigés 121

d’où

ln (vn) = − a

2n+

3a2

8n2− a2

8n2+ o

(1

n2

)= − a

2n+

a2

4n2+ o

(1

n2

)

Ainsi

un = ln (vn) + ln

(1 +

(−1)n

√n

)= − a

2n+

a2

4n2+ o

(1

n2

)+ ln

(1 +

(−1)n

√n

)

Or ln

(1 +

(−1)n

√n

)=

(−1)n

√n

− (−1)2n

2n+

(−1)3n

3n√

n+ o

(1

n√

n

)

=(−1)n

√n

− 1

2n+

(−1)n

3n√

n+ o

(1

n√

n

)

D’autre parta2

4n2+ o

(1

n2

)= o

(1

n√

n

)

D’où un = − a

2n+

(−1)n

√n

− 1

2n+

(−1)n

3n√

n+ o

(1

n√

n

)

=(−1)n

√n

− a + 1

2n+

(−1)n

3n√

n+ o

(1

n√

n

)

Si a + 1 = 0 c’est-à-dire si a = −1 alors

un =(−1)n

√n

+(−1)n

3n√

n+ o

(1

n√

n

)

Or∑ (−1)n

√n

est une série alternée convergente car(

1√n

)est décroissante et

tend vers 0.

Notons wn =(−1)n

3n√

n+ o

(1

n√

n

)

Alors |wn| ∼+∞

1

3n√

n=

1

3n32

or∑ 1

n32

converge. Donc∑

wn converge absolument donc converge.

Finalement∑

un somme de deux séries convergentes converge.

30

Des

exercices

corrigés



Si a �= −1 alors∑ a + 1

2ndiverge et

∑ (−1)n

√n

+(−1)n

3n√

n+ o

(1

n√

n

)converge

via ce qui précède.

Donc∑

un, somme d’une série divergente et d’une série convergente, diverge.

1.5

Soient (a, b) ∈ R2. Déterminer la nature de la série de terme général un =

(n + a

n + b

)n2

C 1.5

Il s’agit d’une série à termes positifs. Utilisons la règle de Cauchy.

n√

un =

(n + a

n + b

)n

=

(1 +

a

n

)n

(1 +

b

n

)n

donc n√

un −−−−−→n→+∞

ea

eb= ea−b

D’où, via la règle de Cauchy, on a :

• si ea−b < 1 c’est-à-dire a < b alors∑

un converge

• si ea−b > 1 c’est-à-dire a > b alors∑

un diverge

• si ea−b = 1 c’est-à-dire a = b alors un = 1 donc lim(un) �= 0 d’où∑

un diverge

1.6

Considérons la série de terme général un où un =nα

(1 + a)(1 + a2) · · · (1 + an)avec

a ∈ R∗+ et α ∈ R.

1. Étudier les cas a > 1 et a = 1 via la règle de d’Alembert.

2. Étudions à présent le cas a < 1.

a. Montrer que∑

ln(1 + an) converge.

b. Montrer qu’il existe un réel k tel que un ∼+∞

knα

c. En déduire la nature de∑

un.

1.9 Exercices corrigés 121

d’où

ln (vn) = − a

2n+

3a2

8n2− a2

8n2+ o

(1

n2

)= − a

2n+

a2

4n2+ o

(1

n2

)

Ainsi

un = ln (vn) + ln

(1 +

(−1)n

√n

)= − a

2n+

a2

4n2+ o

(1

n2

)+ ln

(1 +

(−1)n

√n

)

Or ln

(1 +

(−1)n

√n

)=

(−1)n

√n

− (−1)2n

2n+

(−1)3n

3n√

n+ o

(1

n√

n

)

=(−1)n

√n

− 1

2n+

(−1)n

3n√

n+ o

(1

n√

n

)

D’autre parta2

4n2+ o

(1

n2

)= o

(1

n√

n

)

D’où un = − a

2n+

(−1)n

√n

− 1

2n+

(−1)n

3n√

n+ o

(1

n√

n

)

=(−1)n

√n

− a + 1

2n+

(−1)n

3n√

n+ o

(1

n√

n

)

Si a + 1 = 0 c’est-à-dire si a = −1 alors

un =(−1)n

√n

+(−1)n

3n√

n+ o

(1

n√

n

)

Or∑ (−1)n

√n

est une série alternée convergente car(

1√n

)est décroissante et

tend vers 0.

Notons wn =(−1)n

3n√

n+ o

(1

n√

n

)

Alors |wn| ∼+∞

1

3n√

n=

1

3n32

or∑ 1

n32

converge. Donc∑

wn converge absolument donc converge.

Finalement∑

un somme de deux séries convergentes converge.

31



Index

AAbel, 312, 319, 323

notice biographique, 61

règle d’, 60, 167

théorèmes d’, 72, 101

transformation d’, 62

absolue

convergence — d’une intégrale impropre,

151

convergence — d’une série de fonctions,

314

convergence — d’une série numérique,

55

Alembert (d’), 51, 350


règle de, 34

Almansi, 374

alternée(s)

critère spécial des séries, 53

série, 52

Apéry, 74

BBaire


Bernoulli (Daniel), 78

Bernoulli (Johann), 54, 78

Bernstein, 232, 284

lemme de, 274


polynômes de, 232, 269

théorème de, 274

Bertrand, 87, 104

fonctions de, 148

fonctions de — généralisées, 158

intégrales de, 148

intégrales de — généralisées, 158


séries de, 30

séries de — généralisées, 86–92

théorèmes de, 31, 148

Bessel, 248

inégalité de, 370


théorème de, 370

32

430 Index

bêta (fonction — d’Euler), 190

Bézier, 256

courbe de, 233, 271

courbe de — cubique, 271

courbe de — linéaire, 271

courbe de — quadratique, 271

cubique de, 233, 271


Bézout, 358

Bianchi, 177

Biot, 31, 204

Bois-Reymond (du), 108, 376


théorème de, 381

Boltzmann, 84

Bonnet, 87

Bouquet, 319

Briot, 319

CCantor, 106, 108, 250


Carathéodory, 399

Carleman


théorème de, 83

Catalan, 39

Cauchy, 25, 61, 319

critère de Cauchy, 165

critère intégral de, 144

lemme de condensation de, 21

lemme de l’escalier de, 41


produit de, 64

règle de, 37

suite de, 97

théorèmes de, 41, 42, 65, 144

Cesàro, 376

convergence en moyenne de, 396


théorème de, 38

changement de variable

dans les intégrales impropres, 146

Chebyshev, 31

classe (C1 par morceaux), 385

coefficients (de Fourier), 357, 362

comparaison

critère de — logarithmique, 33

critères de — pour les intégrales im-

propres, 142

critères de — pour les séries, 26

des règles de Cauchy et de d’Alembert,

38–44

intégration des relations de —, 152–

157

sommation des relations de —, 57–60

condensation (lemme de — de Cauchy), 21

constante (d’Euler), 28

continue

par morceaux, 355

uniformément —, 161

continuité

par morceaux, 355

uniforme, 161

convergence

absolue d’une intégrale impropre, 151

absolue d’une série de fonctions, 314

absolue d’une série numérique, 55

Index

AAbel, 312, 319, 323


règle d’, 60, 167


transformation d’, 62

absolue

convergence — d’une intégrale impropre,

151


314

convergence — d’une série numérique,

55

Alembert (d’), 51, 350


règle de, 34

Almansi, 374

alternée(s)

critère spécial des séries, 53

série, 52

Apéry, 74

BBaire


Bernoulli (Daniel), 78

Bernoulli (Johann), 54, 78

Bernstein, 232, 284

lemme de, 274


polynômes de, 232, 269

théorème de, 274

Bertrand, 87, 104

fonctions de, 148

fonctions de — généralisées, 158

intégrales de, 148

intégrales de — généralisées, 158


séries de, 30

séries de — généralisées, 86–92


Bessel, 248

inégalité de, 370


théorème de, 370

33

431

d’une série numérique, 15

en moyenne de Cesàro, 396

en moyenne quadratique, 376

normale d’une série de fonctions, 313

semi- — d’une série numérique, 57

simple d’une série de fonctions, 307

simple d’une suite de fonctions, 235

uniforme d’une série de fonctions, 308

uniforme d’une suite de fonctions, 238

corde(s)

équation des — vibrantes, 350

problème des — vibrantes, 350

vibration d’une — de guitare, 350–353

courbe

de Bézier, 233, 271

cubique, 271

linéaire, 271

quadratique, 271

Crelle, 61

critère(s)

de Cauchy, 165

de comparaison

pour les intégrales impropres, 142

pour les séries, 26

de comparaison logarithmique, 33

intégral de Cauchy, 144

spécial des séries alternées, 53

cubique (de Bézier), 233, 271

DDedekind, 250

définie (forme), 363

Diderot, 35

Dini, 87, 177


théorèmes de, 103, 264, 266

Dirichlet, 25, 74, 106, 108, 248, 358

condition de, 365

espace de, 365

intégrales de, 195–200


noyau de, 386


Duhamel, 31


règle de, 47

règle de Raabe et — généralisée, 92–96

Eégalité (de Parseval), 378

Ermakov (théorème d’), 169

espace (préhilbertien), 363

Euler, 45, 61, 74

constante d’, 28

fonction Γ d’, 189

fonction B d’, 190

intégrales d’, 189–193



FFejér, 376, 383, 401


noyau de, 397


Fermat, 108, 196

fonction(s)

B d’Euler, 190

34

432 Index

Γ d’Euler, 189

de Bertrand, 148

de Bertrand généralisées, 158

de Riemann, 139

Fontenelle, 54

forme

définie, 363

hermitienne, 363

positive, 363

sequilinéaire, 363

Fourier, 104, 196, 359, 382, 399

coefficients de, 357, 362


Fresnel



théorème de, 203

Fubini



GGalois, 106

gamma (fonction — d’Euler), 189

Gauss, 35, 61, 162, 196

intégrale de, 200–203

loi de, 130


règle de, 49

théorème de, 200

géométrique (série), 12, 16

Gudermann, 239

HHadamard, 284

Halley (comète de), 370

Hardy (notation de), 88

harmonique (série), 12, 19

Heine, 256



Hermite, 104

hermitienne (forme), 363

Hettner, 256

Hilbert, 69, 250, 270

Holmboe, 61, 319

Iinégalité

de Bessel, 370

de Wirtinger, 374

intégrale(s)

d’Euler, 189–193

de Bertrand, 148

de Bertrand généralisées, 158

de Dirichlet, 195–200

de Fresnel, 203–212

de Gauss, 200–203

de Lejeune-Dirichlet, 195–200

définie dépendant d’un paramètre, 171

double, 175, 184, 186

eulériennes, 189–193

intégration

des relations de comparaison, 152–157

par parties dans les intégrales impropres,

145

431

d’une série numérique, 15

en moyenne de Cesàro, 396

en moyenne quadratique, 376

normale d’une série de fonctions, 313

semi- — d’une série numérique, 57

simple d’une série de fonctions, 307

simple d’une suite de fonctions, 235

uniforme d’une série de fonctions, 308

uniforme d’une suite de fonctions, 238

corde(s)

équation des — vibrantes, 350

problème des — vibrantes, 350

vibration d’une — de guitare, 350–353

courbe

de Bézier, 233, 271

cubique, 271

linéaire, 271

quadratique, 271

Crelle, 61

critère(s)

de Cauchy, 165

de comparaison

pour les intégrales impropres, 142

pour les séries, 26

de comparaison logarithmique, 33

intégral de Cauchy, 144

spécial des séries alternées, 53

cubique (de Bézier), 233, 271

DDedekind, 250

définie (forme), 363

Diderot, 35

Dini, 87, 177



Dirichlet, 25, 74, 106, 108, 248, 358

condition de, 365

espace de, 365



noyau de, 386


Duhamel, 31


règle de, 47

règle de Raabe et — généralisée, 92–96

Eégalité (de Parseval), 378

Ermakov (théorème d’), 169

espace (préhilbertien), 363

Euler, 45, 61, 74

constante d’, 28

fonction Γ d’, 189

fonction B d’, 190

intégrales d’, 189–193



FFejér, 376, 383, 401


noyau de, 397


Fermat, 108, 196

fonction(s)

B d’Euler, 190

35

433

JJacobi, 248

KKantorovich


théorème de, 284

Koch (von), 84

Kolmogorov, 270, 284

Kronecker, 68, 106, 108, 162


théorème de, 105

Kummer, 68, 162


règle de, 109

théorème de, 107

LLacroix, 379

Lagrange, 22, 61, 304, 358

Landau, 399

Laplace, 22, 61, 200

Lebesgue

lemmes de Riemann-, 371, 388

théorèmes de Riemann-, 371, 388

Leibniz


règle de, 53

théorème de, 173

Lejeune-Dirichlet, 25, 74, 106, 108, 248, 358

condition de, 365

espace de, 365



noyau de, 386


lemme(s)

de Bernstein, 274

de condensation de Cauchy, 21

de l’escalier de Cauchy, 41

de Riemann, 371, 388

de Riemann-Lebesgue, 371, 388

MMérimée (Prosper), 204

Mann (Thomas), 100

McCarthy, 323

Mertens


théorème de, 68

Mittag-Leffler, 84

Monge, 358

Montel, 284

morceaux

continue par, 355

continuité par, 355

de classe C1 par, 385

Morgan (de), 87

moyenne

convergence en — de Cesàro, 396

convergence en — quadratique, 376

NNewton, 54

normale (convergence — d’une série de fonc-

tions), 313

noyau

de Dirichlet, 386

36

434 Index

de Fejér, 397

de Lejeune-Dirichlet, 386

OOlivier (théorème d’), 97

orthogonal (projecteur), 368

Pparadoxe de Zénon, 11, 130

Parseval, 74, 378

égalité de, 378

théorème de, 378

Poisson, 359, 379

Pólya, 264

polynôme(s)

de Bernstein, 232, 269

trigonométrique, 277, 369

positive (forme), 363

préhilbertien (espace), 363

Pringsheim


théorème de, 99

produit

de Cauchy, 64

de deux séries, 64

produit scalaire, 363

projecteur (orthogonal), 368

Qquadratique

convergence en moyenne, 376

RRaabe


règle de, 44

règle de — et Duhamel généralisée, 92–

96

Rademacher, 69

règle(s)

d’Abel, 60, 167

de Cauchy, 37

de d’Alembert, 34

de Duhamel, 47

de Gauss, 49

de Kummer, 109

de Leibniz, 53

de Raabe, 44

de Raabe et Duhamel généralisée, 92–

96

de Riemann, 28

de Riemann généralisée, 29

régularisée (d’une fonction), 365

reste (d’une série), 17, 307

Riemann

fonctions de, 139

lemmes de, 371, 388

lemmes de — -Lebesgue, 371, 388


règle de, 28

règle de — généralisée, 29

séries de, 24


théorèmes de — -Lebesgue, 371, 388

SSchlömilch


433

JJacobi, 248

KKantorovich


théorème de, 284

Koch (von), 84

Kolmogorov, 270, 284

Kronecker, 68, 106, 108, 162


théorème de, 105

Kummer, 68, 162


règle de, 109

théorème de, 107

LLacroix, 379

Lagrange, 22, 61, 304, 358

Landau, 399

Laplace, 22, 61, 200

Lebesgue

lemmes de Riemann-, 371, 388

théorèmes de Riemann-, 371, 388

Leibniz


règle de, 53

théorème de, 173

Lejeune-Dirichlet, 25, 74, 106, 108, 248, 358

condition de, 365

espace de, 365



noyau de, 386


lemme(s)

de Bernstein, 274

de condensation de Cauchy, 21

de l’escalier de Cauchy, 41



MMérimée (Prosper), 204

Mann (Thomas), 100

McCarthy, 323

Mertens


théorème de, 68

Mittag-Leffler, 84

Monge, 358

Montel, 284

morceaux

continue par, 355

continuité par, 355

de classe C1 par, 385

Morgan (de), 87

moyenne

convergence en — de Cesàro, 396

convergence en — quadratique, 376

NNewton, 54

normale (convergence — d’une série de fonc-

tions), 313

noyau

de Dirichlet, 386

37

435

théorème de, 80

Schmidt, 399

Schrödinger, 68, 84

Schwarz, 108, 256, 320, 399

Seidel, 320



série(s)

à termes positifs, 20

alternée, 52

critères de comparaison, 26

de Bertrand, 30

de Bertrand généralisées, 86–92

de Riemann, 24

définition, 15, 306

géométrique, 12, 16

harmonique, 12, 19

reste, 17

somme, 17

trigonométrique, 354

sesquilinéaire (forme), 363

simple


307

convergence — d’une suite de fonctions,

235

sommation


somme(s)

d’une série, 17, 307

exemples de calculs de, 74–80

partielles d’une série, 15, 306

Stolz, 175

Szegö, 264

TTaylor, 304

formule de, 304

série de, 305

Tchebychev, 31

théorème(s)

d’Abel, 72, 101

d’Ermakov, 169

d’Euler, 77, 193

d’Olivier, 97

de Bernstein, 274

de Bertrand, 31, 148

de Bessel, 370

de Carleman, 83

de Cauchy, 21, 41, 42, 65, 144

de Cesàro, 38

de Dini, 103, 264, 266

de Dirichlet, 195, 387

de du Bois-Reymond, 381

de Fejér, 398, 401

de Fresnel, 203

de Fubini, 175, 184, 186

de Gauss, 200

de Heine, 162, 253, 321

de Kantorovich, 284

de Kronecker, 105

de Kummer, 107

de Leibniz, 173

de Lejeune-Dirichlet, 195, 387

de Mertens, 68

de Parseval, 378

de Pringsheim, 99



38

436 Index

de Schlömilch, 80

de Seidel, 248, 318

de Toeplitz, 69

de Weierstrass, 255, 273, 278, 313, 322,

323

de Wirtinger, 374

Toeplitz


théorème de, 69

transformation d’Abel, 62

trigonométrique (polynôme), 277, 369

Uuniforme

continuité, 161


308


238

WWeierstrass, 68, 100, 106, 108, 162, 270, 312,

313, 320, 401


théorèmes de, 255, 273, 278, 313, 322,

323

Wirtinger

inégalité de, 374


théorème de, 374

ZZénon (paradoxe de), 11, 130

435

théorème de, 80

Schmidt, 399

Schrödinger, 68, 84

Schwarz, 108, 256, 320, 399

Seidel, 320



série(s)

à termes positifs, 20

alternée, 52

critères de comparaison, 26

de Bertrand, 30

de Bertrand généralisées, 86–92

de Riemann, 24

définition, 15, 306

géométrique, 12, 16

harmonique, 12, 19

reste, 17

somme, 17

trigonométrique, 354

sesquilinéaire (forme), 363

simple


307


235

sommation


somme(s)

d’une série, 17, 307

exemples de calculs de, 74–80

partielles d’une série, 15, 306

Stolz, 175

Szegö, 264

TTaylor, 304

formule de, 304

série de, 305

Tchebychev, 31

théorème(s)

d’Abel, 72, 101

d’Ermakov, 169

d’Euler, 77, 193

d’Olivier, 97

de Bernstein, 274

de Bertrand, 31, 148

de Bessel, 370

de Carleman, 83

de Cauchy, 21, 41, 42, 65, 144

de Cesàro, 38

de Dini, 103, 264, 266

de Dirichlet, 195, 387

de du Bois-Reymond, 381

de Fejér, 398, 401

de Fresnel, 203

de Fubini, 175, 184, 186

de Gauss, 200

de Heine, 162, 253, 321

de Kantorovich, 284

de Kronecker, 105

de Kummer, 107

de Leibniz, 173

de Lejeune-Dirichlet, 195, 387

de Mertens, 68

de Parseval, 378

de Pringsheim, 99



39

MP/MP*PSI/PSI*PC/PC*PT/PT*

2e ANNÉE

ANALYSEMATHÉMATIQUEUne approche historique

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Cet ouvrage tout en couleurs développe une étude originale et approfondie du programme d’analyse de 2e année des classespréparatoires.

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Olivier Rodot est responsable du département Mathématiques des classes préparatoiresde l’EPITA.

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