8/12/2019 Analyse Discriminante (mthodologie)

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a) La technique de lanalyse discriminante linaire : une brve prsentation.

Nous nous limiterons ici l'analyse discriminante linaire et deuxgroupes :

- linaire,la variante utilise par ALTMAN dans ses travaux et par la plupart

des auteurs ayant adopt cette mthode de classification.- 2 groupes, l'enjeu pour un utilisateur potentiel tant de prvoir suffisamment

de temps l'avance si une entreprise, candidate un prt bancaire, appartiendra au groupe desentreprises saines (1er groupe) ou au groupe des entreprises dfaillantes (2e groupe),l'ensemble des situations particulires des entreprises concernes se ramenant l'un de ces 2groupes, et seulement l'un de ces 2 groupes.

3 tapes de la mthode doivent tre distingues :

- la premire tapecorrespond la constitution de la banque de

donnes, c'est dire, en l'occurence, la constitution de deux chantillons de base, l'unregroupant un ensemble d'entreprises ayant au cours d'une priode donne t confrontes un dpot de bilan, l'autre regroupant un ensemble d'entreprises prsumes saines n'ayant pas aucours de la mme priode t confrontes au mme problme. Dans l'un et l'autre cas, ilappartiendra l'observateur de collectionner pour chaque entreprise les donnes comptables etfinancires des n exercices antrieurs l'anne du dpot de bilan, et d'en tirer une base de Xratios jugs significatifs de la situation financire de l'entreprise de l'anne concerne.

- la seconde tape correspond la phase d'analyse proprement dite,consistant tudier, via l'usage de la technique d'analyse discriminante, le potentiel prdictif dechacun des ratios retenus, et la dtermination de la fonction discriminante la plus efficace, telleque le nombre d'erreurs de classement de la fonction discriminante applique l'chantillon dedpart soit minimis.

A supposer que dans une premire tape l'on ne s'intresse qu' 2 ratios,l'un reprsentatif de la rentabilit des entreprises concernes (X1) et l'autre reprsentatif deleur niveau d'endettement (X2) et qu'aprs reprsentation graphique dans un systme d'axes(X1, X2) des caractristiques financires des entreprises des 2 chantillons de base (lesentreprises connues pour avoir dpos leur bilan au cours de la priode tant reprsentes par un x, les entreprises saines par un o.) l'on obtienne le graphique suivant :

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Les Etapes de l'Analyse discriminante linaire multiple applique la dcision bancaire enmatire d'octroi de crdit.

. identifier les caractristiques financires X1, X2, ... Xn susceptibles d'aboutir une fonction Z

Z = a0 + b1 x1 + b2 X2 + b3 X3 + .... + bn XnPhase I| telle que : __ __

Z1 et Z2 soient les plus loignes possible| la zone de recouvrement soit la plus faible possible| le nombre de bons classements soit le plus lev possible dans| l 'chantillon de rfrence et l 'chantillon de validation.

. valuer le Zc, Z limite, en de duquel le banquier aurait intrt apporter une| rponse ngative la demande de crdit, compte tenua) des rsultats statistiques obtenus partir de la Fonction score

| b) du cot associ une ventuelle erreur de classement du demandeur de crdit.

q1 . C1Phase II Zc = Log ----------

| q2 . C2 avec Zc = Z limite optimal

q1 = probabilit a priori de non remboursement du Crdit| q2 = probabilit a priori de remboursement du crdit| C1 = cot de l'erreur de classement 1 (dfaillante qualifie de saine)|C2 = cot de l'erreur de classement 2 (saine qualifie de dfaillante)

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La mthode d'analyse discriminante linaire consiste identifier la droite qui, traversantle double nuage des points reprsentatif des 2 catgories d'entreprises ,aura le meilleur pouvoir sparateur ( discriminant) des 2 populations d'entreprises, c'est dire tel que

__ __ . la distance Z1 et Z2 soit maximise

. la zone de recouvrement des 2 distributions des Z calculs pour les entreprisesappartenant aux 2 groupes soit la plus faible possible,

. le nombre de bons clas sements (entreprise dfaillante classe commedfaillante par le modle, entreprise saine classe comme saine par le modle) soit le pluslev possible tant dans l'chantillon de rfrence que dans l'chantillon de validation.

Se situant dans un plan X1 O X2, la droite discriminante (fonction score) peut tredfinie par une fonction de X1 et X2 , f (X1, X2) ,et peut tre reprsente par :

Z = a0 + b1 X1 + b2 X2

X1 et X2 tant les mesures des ratios retenus dans la fonction score rsultante

b1 et b2 tant les valeurs des coefficients discriminants associs chacun deces ratios

a0 tant une constante 1, reprsentative de l'ensemble des ratios jouant un rledans le phnomne observ (l'chec de l'entreprise) mais non pris en considration dans lafonction rsultante.

Z tant le score de l'entreprise pour un couple (X1, X2)

la fonction score la meilleure tant obtenue au terme d'une procdure pas--pas, consistant intgrer la fonction Z les ratios, dans l'ordre de leur contribution discriminante 2

f (X1)f (X1, X2)f (X1, X2, X3)f (X1, X2, X3, X4)................................f (X1, X2, X3, X4, ...,Xn)

tant que le pouvoir discriminant de la Fonction score progresse avecl'introduction d'un ratio supplmentaire, la fonction score retenue tant celle pour laquelle le %

de bons classements x y

N 1 2

+ des N entreprises de l'chantillon de base est maximis (avec n

variables).

1cette dernire pouvant tre ventuellement gale 0, si l'on adopte une variante particulire de la mthoded'analyse discriminante, trs largement employe, consistant contraindre la constante a0 prendre la valeur zro (constante force l'origine).2 _ _ bi i ou bi (x i1 - x i2) selon les cas, la premire ayant t notamment utilise par ALTMAN (1968), la seconde

propose par JOY et TOLLEFSON (1975).

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groupes des entreprises dclaresDfaillantes Saines

groupesd'appartenancerelle

Dfaillantes

Saines

x1

y1

x2

y2

x = x1 + x2 = effectifs dans l'chantillon de base des entreprises dfaillantesy = y1 + y2 = effectifs dans l'chantillon de base des entreprises saines

N = x+ y = effectifs totaux de l'chantillon de base

bons classements = x1 + y2 mauvais classements = y1 + x2 = erreurs de type 2 + erreurs de type 1

Au terme de la procdure, l'analyste dispose d'une fonction discriminante deforme gnrale

Z = a0 + a1 X1 + a2 X2 + a3 X3 + a4 X4 + ........+ an Xn

Z, le score, correspondant la valeur d'une moyenne pondre o les Xisont les ratios qui permettent de prvoir le mieux la ralit, et les a i les poids qu'il convientd'affecter chacun d'eux; ce Z apparat donc comme une note synthtique unique, commedans les exemples tudis prcdemment, mais qui a toutefois l'avantage par rapport cesexemples antrieurs, d'tre moins subjective dans la mesure o tant le choix des ratios de lafonction Z que les poids accords chacun d'eux ne sont pas laisss au libre-choix del'utilisateur, mais rsultent directement de l'objectif recherch travers l'usage de la techniqued'analyse discriminante, savoir l'identification la plus prcise possible de l'identit desentreprises qui feront l'objet d'une procdure judiciaire.

Dans ce cadre de rfrence, l'entreprise aura d'autant moins de chances de fairefaillite que le Z calcul partir de ses caractristiques financires sera plus lev.

- la troisime tapecorrespond la phase de validation des rsultats trouvs : pour pouvoir utiliser la fonction score des fins prvisionnelles, encore convient-il de vrifier sa pertinence partir d'un autre chantillon que celui partir duquel elle a t calcule.Seuls les rsultats obtenus (% de bons classements) partir d'un autre chantillonquelchantillon initial (l'chantillon de validation) permettront de juger du caractre prdictif de lafonction obtenue, celle-ci tant d'autant meilleure que le taux de bons classements, pour chacune des annes prcdant l'anne du dpot de bilan, sera plus proche de 100 %.

La fonction score obtenue sera en outre d'autant meilleure qu'elle fourniralongtemps de bons rsultats dans le cadre de son exploitation bancaire courante, toutaffaiblissement constat de son pouvoir discriminant ncessitant une refonte de cette fonctiondiscriminante sur les bases qui ont t dveloppes prcdemment.

- Rgle de dcision bancaire et analyse discriminante : le score-limite Zc

Lors de la prsentation prcdente, nous avons fait rfrence la notion descore, plus ou moins lev selon la qualit du demandeur de crdit. Ds lors, une rgle dedcision possible en matire d'octroi de crdit, pourrait tre de s'appuyer sur le score obtenu,calcul partir de la fonction discriminante obtenue, pour un demandeur de crdit. A titre

d'exemple, un score Z calcul infrieur 0 serait associe un refus de crdit, un score Z

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calcul suprieur 0 serait associ un accord de crdit. Z = 0 jouerait ici le rle d'un score-limite, lment essentiel de la dcision.

Ce choix du niveau Zc = 0 est toutefois ici tout fait arbitraire. Il nous reste prciser le mode de dtermination de Zc, aprs prise en considration des facteurs censsinfluencer le choix d'un tel niveau de Zc.

Un premier lment d'apprciation est l'observation des limites de la zone derecouvrement (cf; graphique prcdent) Zl Zm, correspondant l'tendue de variation du Zcalcul pour laquelle on ne saurait dire si un Z calcul appartenant cette zone doit treassoci une entreprise saine ou une entreprise dfaillante. A cette zone de recouvrementcorrespond une zone d'incertitude dans l'utilisation des rsultats du modle, l'inverse desautres zones pour lesquelles le modle fournit une rponse non ambige (socits dfaillantessi Z < Zl, socits saines si Z > Zm). Face cette situation, une premire solution pourrait tre de limiter l'utilisationdu modle aux 2 catgories extrmes, l'abandonnant pour le traitement de la partie centrale, au

risque d'liminer du diagnostic bon nombre de dossiers intermdiaires. Une seconde solution pourrait tre, au terme de cette premire tape, de mettre l'accent sur les cas problme et d'envisager une seconde analysediscriminante sur l'chantillon rduit des dossiers incertains, et de mettre jour une fonctiondiscriminante complmentaire susceptible d'oprer le tri entre entreprises dfaillantes etentreprises saines, les premires seules posant problme.

Une troisime solution, plus simple, consiste dterminer par le calcul un score limite Zc, se situant entre Zl et Zm, qui, unique, dpartagera le domainede variation de Z en 2 zones et non trois comme dans la 1re solution, et sur la base duquelsera prise la dcision d'affecter telle ou telle entreprise telle ou telle classe. C'est la troisimesolution qui a t la plus frquemment retenue par les divers utilisateurs de l'analyse

discriminante linaire multiple applique la dcision d'octroi de crdit. 3

Cette troisime solution consiste calculer un seuil qualifi de seuil-critique ou descore-limite Zc, d'expression gnrale :

q1.C1Zc = Log ---------

q2.C2

avec Zc = seuil-critique ou score - limite

q1 = probabilit a priori de faillite de l'entreprise

q2 = probabilit a priori de non faillite de l'entreprise

C1 = cot de l'ventuelle erreur de classement de type 1 (consistant dclarer saine, au terme de l'utilisation du modle une entreprise qui dposera ultrieurementson bilan. Dans ce cas de figure, le cot de l'erreur correspond la perte sche de la partie du

3la seconde ayant t notamment retenue dans l'application 1984 de la fonction score Banque de France quenous analyserons plus loin avant d'tre abandonne quelques annesplus tard lors de sa reformulation etextension.

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capital non encore rembourse la date du dpot de bilan,qui ne pourra pas tre recouvre par celle-ci.

C2 = cot de l'ventuelle erreur de classement de type 2 (consistant dclarer dfaillante, au terme de l'utilisation du modle, une entreprise qui finalement

chappera au dpot de bilan.. Le fait pour la banque de l'avoir considre comme dfaillante potentielle, et de lui avoir refus le crdit qu'elle demandait, aura pour la banque un cot, lecot d'opportunit associ au produit net bancaire perdu du fait de ne pas avoir ralis cetteopration de prt ou ,si le client la suite de ce refus cesse toute relation daffaires avecelle,le cot dopportunit associ la perte de la totalit du Produit net bancaire globalquaurait assure lentreprise ltablissement bancaire au cours des annes ultrieures.

A titre d'exemple , dans le cas d'une situation o q1 et q2 seraient estims identiques(q1 = q2 = 0.50) et o C1 et C2 seraient galement estims identiques, la formulation

prcdente conduirait un Zc gal Zc = Log 1 = 0

le niveau 0 constituant alors le score-limite en de duquel toute entreprise seraconsidre comme potentiellement dfaillante, au del duquel toute entreprise sera considrecomme saine.

Il convient toutefois de considrer que les probabilits a priori de dpot de bilan dansune conomie donne sont diffrentes de la probabilit associe l'chantillon de rfrence.Ansi, dans l'conomie franaise estime t-on actuellement 3,3 % environ le taux annuel dedfaillance d'une socit industrielle estim sur la base de la comparaison entre les dpots de

bilan constats et les effectifs de socits en activit. q1 et q2 peuvent donc tre estimsrespectivement ,sur un horizon de 3 ans, 10 % et 90%. Il convient galement de considrer que les cots C1 et C2,les cots des erreurs declassement potentielles ne sont pas non plus de mme ampleur. A supposer que l'on estime C1

cinq fois plus coteuse que C2 , Zc devient alors : 0.10x 5

Zc = Log --------------- = Log (0.555) = - 0.590.90x 1

la rgle de dcision bancaire tant dsormais ce nouveau seuil, traduisant une plus grandedisposition du systme bancaire prter, compte tenu du rapport retenu des cots des erreursde classement ventuelles, et d'une estimation plus faible du taux de faillite potentielle desentreprises concernes l'chelon national.