analyse de la rentabilité et gestion des risques

7/26/2019 analyse de la rentabilité et gestion des risques

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BULLETIN FRANÇAIS D’ACTUARIAT, Vol. 11, n°22, juillet - décembre 2011, pp. 83- 104

L'ANALYSE DE LA RENTABILITE VUE PAR LA FORMULE

STANDARD

Anthony DERIEN1

Emmanuel LE FLOC’H2

Université de Lyon, Université Lyon 1 - Laboratoire SAF

AonBenfield

Résumé

La formule standard est souvent vue comme une simple formule d'évaluation du

besoin en capital, le modèle interne concentrant lui tous les avantages d'une gestion pro

active des risques tels que définis dans le ``Use Test'' (allocation de capital, optimisation de

la réassurance, ...). Les principaux arguments allant en ce sens sont la structure rigide de la

formule standard et son manque de souplesse au profil de risque de l'entreprise. Ce travail

tend à démontrer qu'il est possible d'adapter les résultats de la formule standard de manièreà lui faire jouer un rôle plus important dans la gestion des risques au travers de la

déclinaison d'indicateurs de rentabilité.

Abstract

The standard formula is mainly viewed as a basic formula to evaluate the regulatory

capital, the internal model being commonly considered as a more powerful tool to adopt a

proactive approach as defined in the ``Use Test'' (capital allocation, reinsurance ...). The

main arguments of the standard formula are the rigidity and the lack of flexibility to fit the

risk profil of the insurance company. This research aims to demonstrate that the standard

formula can have a more important contribution in the enterprise risk management with the

production of keys indicator.

Mots Clés: Allocation de capital, Formule Standard, Solvabilité 2, Réassurance,

Rentabilité, Swap

1 Université de Lyon, Université Lyon 1 - Laboratoire de Science Actuarielle et Financière, 50 av. Tony Garnier,69366 Lyon Cedex 07, France. [email protected]

Directeur Actuariat – AonBenfield, Carré Suffren. 75015 Paris. [email protected]



84 A. DERIEN – E. LE FLOC’H

1. INTRODUCTION

La prise de risque est inhérente à toute société. Il n'y a ni croissance, ni création de

valeur dans une société sans elle. S'ils ne sont ni correctement gérés, ni maitrisés, ces

risques peuvent affecter la capacité de la société à atteindre ses objectifs. En effectuant une

veille permanente sur les risques pour les prévenir et les gérer, le service de gestion de

risques occupe une place essentielle dans la conduite et le pilotage des différentes activités

de l'entreprise d'assurance.

La gestion des risques est intrinsèquement liée aux contrôles et à l'organisation des

entreprises d'assurance comme le rappel l'article 44 de la Directive ``Solvabilité 2'' et le

rapport ``Sharma''(voir [Dir09], [Aut02]). Au sein de la structure en 3 piliers de la future

réforme de solvabilité, la partie qualitative se situe au sein du second pilier. Le 3ème pilier

concerne la communication et la publication à destination des assurés, investisseurs et

l'autorité de contrôle. Le 1er pilier fait un focus sur la partie calculatoire du besoin en

capital.

Tous ces piliers sont étroitement liés entre eux. Le meilleur exemple del'interconnection de ces 3 piliers est la possibilité pour les entreprises d'assurance de

pouvoir utiliser un modèle interne pour évaluer leur besoin en capital. Le modèle interne

devant être par essence plus à même de refléter la spécificité du profil de risque de la

compagnie (souscription de certains risques atypiques, paramétrisation différente, ...). Cette

méthode d'évaluation, sous réserve de satisfaire à différents critères (voir les articles 120 à

122 de la directive, [Dir09]), amènera l'entreprise à avoir une vision plus exhaustive de ses

risques et ainsi pouvoir prendre les décisions de gestion adaptées. L'un des critères les plus

importants du point de vue de la gestion des risques est le critère du ``Use test'', utilisation

effective du modèle interne au quotidien dans l'entreprise. Dans l'article 120 est stipulé que

le modèle interne doit être utilisé et avoir un rôle important dans le système de

gouvernance, la gestion des risques (par exemple les programmes de réassurance) et les

décisions qui en découlent (augmentation/diminution de la couverture en réassurance), ainsi

que la détermination et l'allocation du capital. Malheureusement pour des raisons humaines,

réglementaires et financières, seules les entreprises justifiant d'une taille suffisante seront à

même de développer un modèle interne complet; tandis que pour un nombre important

d'acteurs, la formule standard restera le mode d'évaluation de la solvabilité de la

compagnie. Une situation intermédiaire est néanmoins possible avec le recours à un modèle

interne partiel qui modélisera une partie des risques visés par la Directive.



L'ANALYSE DE LA RENTABILITE VUE PAR LA FORMULE STANDARD 85

Le besoin en capital défini par le régulateur dans la formule standard est issu d'une

arborescence de risques qui identifie différents facteurs de risques susceptibles d'entrainer

des pertes pour une entreprise d'assurance et requiert à ce titre de détenir un montant de

capital permettant de supporter une perte survenant dans 0,5% des cas dans l'année à venir.

Bien que le spectre envisagé englobe l'ensemble des principaux risques découlant de

l'activité d'un assureur, cette approche n'est pas exempte de défauts. Puisque si à des fins de

sensibilisation, l'identification et la quantification des sources de risques aideront la

direction à apprécier son exposition au risque, elle ne lui permettra que difficilement d'agir

pour la réduire, car l'approche retenue détermine des montants de capitaux suivant les

classes et sous modules de risque et non en fonction des risques eux mêmes.

Comme le mentionne McNeil ([MKK09]), cette approche de détermination du

capital n'est pas appropriée puisque si un risque est jugé excessif au regard du capital à lui

allouer, il n'est pas possible de l'externaliser de l'entreprise car celui-ci est adossé à

plusieurs autres risques au sein d'autres classes. Par exemple, en prenant le cas où le sous

module du risque de taux d'intérêt est consommateur de fonds propres, ce besoin en capital

provient de la stratégie de l'allocation d'actif en obligation et aussi de la souscription de

certaines branches d'activités à développement long. Ce sous module de risque est assis sur

différents risques.

D'autres sous modules de risque dans Solvabilité 2 font directement référence aux

risques eux-mêmes, par exemple le risque action. Dans ce cas, si ce risque exige

d'immobiliser beaucoup de capital, la compagnie d'assurance peut décider de choisir une

allocation différente.

C'est en ce sens que la possibilité offerte aux compagnies d'assurance d'utiliser des

modèles internes pour déterminer leur capital réglementaire permettra de compenser lesfaiblesses de cette approche modulaire en offrant une approche intégrée du risque dans

laquelle l'interaction et l'évaluation des risques seront pleinement représentées.

Une entreprise d'assurance devra néanmoins avoir recours à la formule standard en

parallèle, même si elle utilise un modèle interne afin d'établir une comparaison des résultats

entre les deux méthodes (voir les articles 41 et suivants de la Directive).

Si la formule standard donne par essence le besoin en fonds propre de la compagnie

et donc informe l'assureur sur son niveau de solvabilité, elle ne semble pas en apparence

pertinente pour la gestion des risques puisque plusieurs questions demeurent, parmi celles-

ci :




- Quelles sont les activités consommatrices de capital / créatrices de valeur?

- Quels sont les produits financiers dégagés par les différentes activités?

- Comment utiliser la réassurance pour atteindre les objectifs de rentabilité ?

Ces questions trouveront réponses en allouant le besoin en capital par activité et non

source de risque puisqu'ainsi des indicateurs de rentabilité pourront être définis et utilisés

pour une meilleure gestion des risques.Bien que la démarche de certain auteurs, voir [RS10], se situe en sens opposé dans

le sens où ils cherchent à allouer le capital par facteur de risque, les avantages à ventiler le

besoin en capital global par risque sont indéniables. L'inconvénient majeur étant de choisir

la bonne méthode parmi celles possibles, de manière à retenir celle qui donnera les bonnes

indications de gestion.

Jusqu'à présent cette problématique d'allocation de capital se focalisait uniquement

sur le modèle interne du fait de sa plus grande souplesse et de la meilleure adéquation avec

le profil de risque de la compagnie, la formule standard étant en dehors du champ d'analyse

pour les mêmes raisons.

Ce papier tendra à démontrer que la formule standard ne se cantonne pas à fournir le

seul chiffre du capital réglementaire, mais recèle d'autres informations financières

permettant de faire des choix stratégiques au travers d'indicateurs de rentabilité.

La rentabilité pouvant s'apprécier au travers de différents indicateurs, tels le taux de

marge (résultat technique divisé par les primes) ou d'autres notions comptables; le choix

retenu dans le présent travail pour évaluer la rentabilité est le couple risque-rendement où le

risque sera vu comme étant le capital immobilisé pour chaque activité et le rendement sera

représenté par les produits financiers des placements et le solde de souscription.

Ainsi la première partie fera un état de l'art sur les principales méthodes d'allocation

de capital, avec une mise en perspective des choix du régulateur dans ce domaine. La

seconde partie procèdera de l'exemple et démontrera que via la déclinaison d'indicateurs de

rentabilité, il est possible de réaliser des choix stratégiques en matière de réassurance pour

optimiser sa rentabilité.

2. PANORAMA DE L'ALLOCATION DE CAPITAL

Les nombreux travaux scientifiques ayant attrait à l'allocation de capital

proviennent de la présence d'effets de diversification entre les risques qui entraine que la

somme des besoins en capitaux des risques est plus importante que le besoin en capital de




la somme des risques. Ce constat génère différentes méthodes pour ventiler ce gain en

diversification d'une manière plus ou moins équitable entre les risques.

Cette section dressera un bilan des principaux axes suivis par la recherche

scientifique et présentera comment ceux-ci peuvent s'inscrire dans la formule standard.

De manière similaire aux axiomes existant pour les mesures de risque (voir

[ADEH99]), [DEN01] décrit également des axiomes issus de la théorie des jeux pour

allouer le capital:

- Additivité des capitaux: La somme des besoins en capitaux est égale au

besoin en capital de la somme.

- Symétrie : Deux risques identiques nécessitent le même besoin en capital.

- Allocation sans risque : Un risque qui ne présente aucun aléa ne nécessite

pas d'immobiliser du capital.

- Sous additivité : Ajouter un risque n'augmentera pas le besoin en capital du

portefeuille plus que le besoin en capital du risque seul. Il doit y avoir un

intérêt pour les deux parties à se rassembler.

De tous ces axiomes, le premier est le plus important puisqu'il assure que la somme

des besoins en capitaux de chaque activité correspondra au besoin en capital global. Ce sera

principalement sur cet axiome que se focalisera la présentation des méthodes d'allocation

les plus répandues puisque toutes ne le le respectent pas, ce qui démontre bien la difficulté

d'avoir une méthode qui fasse l'unanimité.

Avant de présenter le panorama des principales méthodes d'allocation de capital, le

cadre de travail sera présenté. Il s'agit de déterminer pour les résultats des n branches

d'activités (i X ) quels sont les besoins en capitaux pour être solvable jusqu'à un niveau de

sécurité fixé à α % pour un horizon donné, ( )i X α ρ pour = 1, ,i n .

2.1 Stand alone contribution

La méthode ``Stand Alone'' renvoie le besoin en capital correspondant au risque pris

isolément, sans considération du reste du portefeuille. De fait, cette méthode n'intègre pas la

structure de dépendance existante au sein du portefeuille. Si la mesure de risque utilisée est

sous additive (pour une présentation des propriétés des mesures de risques voir [ADEH99])

alors : ( )=1 =1( )

n n

i ii i X X ≤ α α

ρ ρ .

Ainsi la somme des ``Stand Alone contribution'' correspond à la valeur maximale

pour le besoin en capital du portefeuille. Dans de nombreux cas de figures, ce sera le cas




comonotone (parfaite dépendance), mais pas uniquement. En effet, le concept de

comonotonie est souvent associé de manière abusive à la notion de ``Worst Case'', or celle-

ci ne constitue un ``Worst Case'' que dans certains cas particulier, voir [Tch80].

La méthode ``Stand Alone'' offre un moyen rapide et ``juste'' pour définir les

objectifs de rentabilité de chaque entité/branche d'activité, puisque la composition du

portefeuille n'entre pas en considération. Ainsi la moindre performancetechnique/commerciale d'autres activités n'impactera pas l'objectif de l'activité considérée

via une modification du besoin en capital au global.

2.2 Covariance contribution

Dans la méthode proposée dans [Ove00], c'est sur la base du ratio de la covariance

du résultat d'une branche d'activité avec le portefeuille, divisé par la variance du

portefeuille qu'est ventilé le besoin en fonds propres global. Le besoin en capital d'une

branche d'activité est défini selon le schéma suivant:

=1

=1

=1

( , )( ) = ,

( )

n

i jn j

i j n j

j

j

Cov X X X X

Var X

α α ρ ρ (1)

où

- =1

( , )n

i j jCov X X représente la covariance entre le résultat de la branche

d'activité i et le résultat du portefeuille.

- =1

( )n

jVar X est la variance du résultat du portefeuille.

L'axiome d'additivité des capitaux est respecté pour cette méthode du fait de

l'utilisation de la covariance. Cette méthode d'allocation prend en compte la structure de

dépendance du portefeuille, puisque plus un risque sera lié avec le portefeuille, plus le

capital à lui allouer sera important. Néanmoins, il peut y avoir une covariance nulle entre

deux variables concomittament à l'existence d'une dépendance, voir l'exemple donné dans

[CD07].

L'un des problèmes majeurs qui apparait avec cette méthode est le même que celui

qui est apparu dans la théorie du CAPM (la partie droite de l'équation (1) correspondant

aussi au coefficient dit ``Beta'' représentant l'élasticité du prix d'un actif par rapport à un

indice boursier), à savoir que cela repose sur une distribution normale, voir [FF92].




2.3 Incremental contribution

La méthode ``Incremental contribution'' consiste à calculer la différence entre le

besoin en capital total et ce même capital total sans la branche d'activité évaluée. Ainsi la

différence représente le besoin en capital de ladite activité.

=1 =1,( ) = .

n n

i j j j j j i X X X

≠

−

α α α ρ ρ ρ (2)

Du fait de la présence du gain en diversification, cette méthode ne garantit pas que la

propriété d'additivité soit respectée.

Cette méthode sous entend que l'activité considérée ne peut exister par elle-même et

doit forcément être adossée à d'autres activités. C'est au travers de cet adossement que le

besoin en capital est estimé. Cette approche est justifiée dès que l'activité nécessite une

certaine infrastructure qu'il convient de partager de manière transversale avec d'autres

activités, à l'image d'un réseau de distribution, de moyens généraux, d'un système

d'information, etc.

2.4 Proportionnal contribution

Cette méthode est liée à la méthode ``Stand Alone'', mais s'en distingue en vérifiant

la propriété d'additivité par construction. Elle prend en considération la structure de

dépendance du portefeuille mais d'une façon détournée, puisque le poids des besoins en

capitaux de chaque activité est évalué dans le cas où la pire situation au niveau α survient

pour chaque activité, c'est ce poids qui est appliqué au besoin en capital global, qui lui tient

compte de la diversification entre les activités.

=1

=1

( )( ) = .

( )

ni

i jn

ji

j

X X X

X

α α α

α

ρ ρ ρ

ρ

(3)

2.5 Marginal contribution

L'idée suivie par l'approche ``Marginal contribution'', également connu sous le nom

de ``Euler allocation'', consiste à évaluer de combien augmente le besoin en capital au

global, si l'une des activités connait une augmentation infinitésimale. Les promoteurs de

cette méthode sont nombreux ([Den01], [Kal05], [Tas99]). Bien que les postulats de départ

soient différents (la théorie des jeux coopératif pour [Den01], des axiomes à satisfaire pour

[Kal05], ou bien encore des hypothèses de différentiabilité pour [Tas99]), les travaux se




retrouvent dans la méthode Euler qui peut se représenter sous la forme suivante :

=1( ) = .

n

j

j

i i

i

X

X X X

α

α

δρ

ρ δ

(4)

Il semble apparaitre un consensus pour l'utilisation de cette approche, même si le

choix de la mesure de risque reste toujours sujet à discussion (voir [RS10], [LV03],[Tsa08]). Cette méthode appliquée à une Value at Risk au seuil α revient à :

1

=1 =1

/ = ,n n

i i i

i i

E X X VaR X −

α

où 1 ( )iVaR X −α est égale à ( ) = (1 )i i Pr X x≤ − α .

Dans la continuité de cette méthode des extensions existent. Par exemple avec

l'approche suivie par Myers et Read pour allouer le capital (voir [MR01]). Celle-ci est

proche de la méthode Euler à l'exception que ce n'est pas le besoin en capital qui est ventilé,

mais la perte subie par l'assuré, c'est à dire la perte qui excédera les fonds propres. Cette

méthode n'est pas exempt de défaut puisque tout l'argumentaire de Grundl et Schmeiser

([GS07]) est concentré sur celle-ci. Ils mettent notamment en avant la problématique

d'allocation des coûts frictionnels selon cette approche. Egalement, dans [Bod09] sont

donnés quelques exemples de la non pertinence de la méthode Euler et met plutôt en avant

la méthode ``allocation percentile layer''; celle-ci consistant à allouer le capital en fonction

du poids de chaque activité au niveau de différents percentiles.

Comme mentionné en début de section, les nombreux travaux scientifiques sur ce

sujet sont dus à la présence de dépendance entre les risques au sein du portefeuille qui

entraine un gain en diversification. Si les risques étaient parfaitement dépendants entre eux,

toutes ces méthodes donneraient le même résultat.

2.6 Le choix du régulateur

Bien que la formule standard proposée par le régulateur mette l'accent sur la

détermination du besoin en fonds propres au niveau global, il est fait référence à deux

reprises à l'allocation de ce montant.

Tout d'abord avec la marge pour risque qui représente le montant servant à

rémunérer les fonds propres pour faire face à l'ensemble des flux futurs en cas de cession du

portefeuille. La marge pour risque est ventilée par branche d'activité suivant la méthode

proportionnelle (voir les paragraphes TP.5.26 à TP.5.28 dans [CEI10a]). Comme expliqué




précédemment, celle-ci ne tient pas compte de la structure de dépendance du portefeuille

que de manière imparfaite.

L'autre évocation de l'allocation de capital est cette fois-ci moins explicite (voir les

paragraphes SCR.2.11 à SCR.2.18 du QIS5, voir [CEI10a], et les annexes A et B du CP54,

voir [CEI10b]) puisqu'elle apparait lorsqu'il s'agit d'évaluer les capacités d'absorption des

provisions techniques et des impôts différés au travers de l'approche par ``single equivalent

scenario". Le ``single equivalent scenario"consiste à isoler le scénario de chaque

classe/module de risque qui se produira lorsque l'entreprise rencontrera au niveau global le

scénario qui surviendra dans 0,5% des cas. Reformuler en terme mathématique, cela revient

à la méthode d'allocation Euler (voir [Tas99]) :

=1 =1

/ = ,n n

i i i

i i

E X X SCR X

où 1( ) = ( ) ( )SCR X VaR X E X −

−α et X les résultats d'un sous module/classe de

risque.

Comme la méthode d'agrégation des risques proposée par le CEIOPS au travers de

matrices de corrélation des capitaux se base sur une hypothèse de distribution elliptique

(voir [PS08]), la méthode du ``single equivalent scenario" revient également, d'un point de

vue mathématique à la méthode par la covariance.

Ces deux cas démontrent l'inconsistance du régulateur dans le choix de ses

proposition pour allouer le capital. Alors que le gain en diversification pour le calcul de la

marge pour risque n'était pas retenu dans le cadre du QIS4, il est dommageable qu'il ait été

intégré dans le QIS5 suivant cette approche, à l'instar de ce qui est fait pour le ``single

equivalent scenario".

Bien que le régulateur ait d'ores et déjà opté pour deux méthodes d'allocation, toutesles méthodes seront envisagées afin de démontrer leurs applicabilités et les comparer dans

le cadre de la formule standard sur deux jeux de données. L'un représentera le marché

français de l'assurance, l'autre correspondra à une entreprise spécialisée. Ces jeux de

données donneront l'occasion de montrer comment il est possible avec la connaissance de

l'allocation de capital par activité d'optimiser la rentabilité de l'entreprise via la réassurance.

3. L'ALLOCATION DE CAPITAL VUE PAR LA FORMULE STANDARD

L'illustration de la production d'indicateurs de rentabilité ainsi qu'une optimisation

de ceux-ci sera faite pour deux jeux de données, l'un représentera un portefeuille diversifié,




l'autre sera spécialisé. Au travers du premier portefeuille, les différentes méthodes

d'allocation ne laisseront pas apparaitre d'écart substantielles dans l'évaluation de la

rentabilité. Inversement, des incohérences surviendront avec l'entreprise d'assurance

spécialisée avec la Méthode Euler.

3.1 Exemple d'un portefeuille diversifié

3.1.1 Evaluation de la rentabilité

L'assureur sera exposé au risque de souscription non-vie et au risque de marché.

Malgré l'enjeu que représente la réassurance pour un assureur non-vie, il sera supposé dans

un premier temps qu'il n'y a aucun programme de réassurance. Ainsi, l'assureur ne sera pas

exposé au risque de défaut. Ce cadre est encore simplifié en considérant que les seuls

risques à l'actif sont les risques immobilier, action et obligataire.

Pour illustrer les différentes méthodes, les données d'assurances du marché français

(issues du régulateur français, ACP) de l'année 2006 sont utilisées en effectuant quelques

retraitements (par exemple la classification des branches françaises ne correspond pas à laclassification retenue par le CEIOPS, l'actualisation des provisions, ...).

Les caractéristiques de ce portefeuille en sont les suivantes :

Best Estimateen M Euros

Primeen M Euros

Ratio combinéen %

Resp. Civile Automobile 19 283 7 157 105,0%

Dommage Automobile 1 994 10 606 97,5%

Transport 3 341 1 446 90,0%

Incendie 12 521 14 622 99,0%

Responsabilité Civile 17 887 4 841 105,0%

Crédit 416 981 85,0%

Protection Juridique 503 594 85,0%

Assistance 129 959 85,0%

Divers 853 1340 90,0%

Le ratio combiné correspond à la somme des sinistres et des frais de gestion et

d'acquisition divisée par les primes de l'exercice. Les ratios combinés présentés sont fictifs

et pour chaque branche le ratio de frais sur les primes est supposé être égal à 20%.

La stratégie d'allocation d'actif est la suivante:




Proportion Rendement

Action 30% 6%

Obligataire 50% 4%

Immobilier 20% 2%

Les chocs envisagés au niveau de l'actif sont une baisse de 39% du marché action,

de 25% du marché immobilier et de 30% des taux d'intérêt.

Ainsi suivant les spécifications techniques de la formule standard, les risques au

passif de la compagnie sont décrits dans ce contexte par9

=1= ii

X X , une somme de

risques corrélés suivant chacun une distribution lognormale.

Le vecteur aléatoire 1 9( , , ) X X est de la forme 1 1 9 9( exp( ), , exp( )),V Y V Y où

1 9( , , )Y Y a une distribution normale multivariée avec les vecteurs de moyennes et de

variances suivants:

2 2

1 9 1 9

1 1( [ ], , [ ]) = ( , , ),

2 2 E Y E Y − − γ γ

2 2

1 9 1 9( [ ], , [ ]) = ( , , ),Var Y Var Y

γ γ et une matrice de covariance ( , ) =

i j ij i jCov Y Y ρ γ γ .

Cette paramétrisation permet d'avoir: 1 9 1 9( [ ], , [ ]) = ( , , ) E X E X V V , oùi

V

représente une mesure du volume d'affaire de la compagnie correspondant à la somme des

primes encaissées et des provisions actualisées. Ce sont les seuls inputs nécessaires pour le

QIS5.

Il n'existe pas de formule fermée permettant l'évaluation du SCR avec une loi

multivariée. L'intérêt de la formule standard étant de proposer une évaluation simple des

risques, le régulateur a fait l'hypothèse que la somme des risques suivaient une distribution

lognormale univariée. Cette approximation peut être justifiée théoriquement pour de faibleniveaux de volatilités, voir [Duf02].

La volatilité est obtenue au niveau de la compagnie avec la formule suivante:

=1 =1

2

=1

= ,

( )

m m

ij i j i j

i j

m

ii

VV

A

V

θ σ σ

(5)

où

- m est le nombre de branches d'activités. Dans cet exemple, m = 9.

- iσ est la volatilité du résultat de la branche d'activité i .




- ijθ est le coefficient de corrélation entre le résultat de la branche d'activité

i et j .

Ainsi défini, le besoin en capital au titre du risque de souscription non-vie est (voir

SCR.9.17 dans [CEI10a]) :

9

=1

exp( ln(1 ))= 1 ,

1

uw i

i

N ASCR V

A

+−

+

(6)

où

- A est la volatilité du portefeuille.

- 0.995

N est l’inverse de la fonction de répartition normal centrée réduite.

En appliquant la formule (5), la volatilité du portefeuille est de 6,5%, ce qui revient

à un besoin en capital au titre du risque de souscription de 17 810 M Euros. L'une des

premières questions à résoudre est: Comment allouer ce montant parmi les 9 activités?

En envisageant la méthode Stand Alone, la formule (6) se déduit aisément pour une

branche d'activité comme l'indique la formule (7), formule qui sera reprise pour la méthode

proportionnelle:exp( ln(1 ))

( ) = 1 .1

i

i i

i

N X V

+−

+ α

σ ρ

σ (7)

La méthode Covariance étant quant à elle obtenue par l'application de la formule

suivante :9

=1

29

2

=1

( ) = .

i i ij j j

j

i uw

i

i

V V

X SCR

V A

α

σ θ σ

ρ

Enfin la dernière méthode d'allocation qu'il convient d'adapter à la formulestandard est la méthode Euler:

9

=1

exp( ln(1 ))( ) = / = = 1

1i i NV i

i

N A X E Vi V SCR V

A

+ − + +

α ρ

9 9 9

3/ 2=1 =1 =1

exp( ln(1 )1 ( , ) ( )

(1 ) ln(1 )i i i i

i i i

N A N V Cov V V Var V

A A

+ − − + +

En ce qui concerne la méthode ``Incrémental'', elle est relativement fastidieuse à

évaluer, puisqu'il convient de recalculer la formule (6) autant de fois qu'il y a de branches

d'activités.




En appliquant les différentes méthodes au jeu de données précédemment présentés,

l'allocation par activité est la suivante:

Suivant la paramétrisation proposée par le régulateur, c'est l'activité Dommages aux

biens qui nécessite d'immobiliser le plus de capitaux, suivi par la Responsabilité Civile et la

RC Automobile. Comme évoqué lors de la présentation des méthodes, les approches

``Stand Alone'' et ``Impact Marginal'' ne donnent pas un besoin en capital au global de ces 9

activités de 17 810 M Euros, mais de 26 543 et 15 962 M Euros, respectivement.

Il ressort que hormis pour la méthode ``Stand Alone'', les écarts entre les besoins en

capital par branche d'activité sont relativement faibles eu égard aux hypothèses sous

jacentes (distribution lognormale, hypothèse d'un ratio combiné de 100% dans

Solvabilité 2). Constat renforcé par la ventilation par activité, qui donne des proportions

similaires comme le montre le graphique suivant:




L'application des principales méthodes d'allocation dans le cadre de la formule

standard pour le risque de souscription non-vie ne pose donc pas difficulté et permet d'avoir

des indications sur la profitabilité d'une branche par rapport à une autre au travers

d'indicateurs tels que le Rorac ou Roe (voir [Tas99] pour une présentation de ces concepts).

A ce stade seul le SCR du module de risque non-vie est alloué entre les différentes

activités. Cette vision est incomplète. En effet, seuls les coûts assurantiels sont évalués,

mais il convient d'y adjoindre les coûts financiers liés à l'investissement des provisions et

des primes d'assurance payées par les assurés. Ainsi, pour évaluer le ``coût'' de chaque

activité au niveau de l 'entreprise, il convient d'allouer le SCR marché par type d'activité.

Que ce soit au niveau global ou au niveau du risque de marché, la formule

d'évaluation du besoin en capital est décrite par la formule suivante :

=1 =1

= .n m

ij i j

i j

SCR SCR SCRθ

Le besoin en capital des sous modules du risque de marché sera évalué au niveau du

SCR marché (prise en compte des diversifications entre les sous modules de cette classe de

risque), lui-même évalué au niveau du besoin en capital global (prise en compte des

diversifications entre les classes de risque de marché et de souscription). Les méthodes

d'allocation Stand Alone, Incremental Contribution et Proportionnelle ne sont pas

reproduites. Etant donné les hypothèses de départ (proportion constante des primes et des

provisions investies dans les différents supports), leur formalisation ne pose pas de




difficulté. Seules les méthodes Euler et Covariance seront détaillées.

Du fait des hypothèses sur la forme d'agrégation des facteurs de risques dans

Solvabilité 2 (corrélation des capitaux), l'allocation du besoin en capital au niveau du risque

de marché entre les modules action/obligation/immobilier et du BSCR entre les classes de

risque de souscription non-vie et de marché sont similaires pour les méthodes Euler et

Covariance :3

3=1

3 3=1

=1 =1

/ = = .

Mkt ij Mkt i j

j

Mkt Mkt Mkt i ii

ij Mkt Mkt i ji j

SCR SCR

E SCR SCR SCR

SCR SCR

θ

θ

Les différentes méthodes d'allocation de capital de l'ensemble des facteurs de risques

ramenés au niveau des branches d'activités sont les suivantes:

Il est intéressant de noter que l'inclusion des risques de marché dans l'estimation du

besoin en capital par activité modifie l'ordre d'importance précédemment observé en termes

d'immobilisation de capital.

Ainsi, la branche Dommages aux Biens constitue toujours la branche nécessitant le

plus de capital, mais l'inclusion des risques financiers modifie la hiérarchie pour les deux

branches suivantes, puisque cela amène la branche Responsabilité Civile Automobile à être

plus consommateur en fonds propre que la branche Responsabilité Civile. L'investissement

des primes perçues par les assurés sur différents actifs conduit à immobiliser du capital à ce




titre, ce surcroit de risque fera également apparaitre un gain financier lors de l'évaluation de

la rentabilité.

C'est là que le propos de [MKK09] prend tout son sens, puisque raisonner par

facteur de risque n'est en rien une indication sur la pertinence de souscrire ou arrêter la

souscription d'une activité tant que tous facteurs de risques liés à une activité ne sont pas

intégrés pour évaluer son besoin en capital.Après cette phase d'allocation du capital global par activité, l'estimation de la

rentabilité par activité est immédiate puisqu'elle consiste en l'addition du résultat technique

et des résultats financiers de l'activité. Le ratio de cette rentabilité sur le besoin en capital

permettra à la Direction de fixer des objectifs soit en termes de politique tarifaire /

commerciales pour ajuster le numérateur ou bien en termes de politique de réassurance en

modifiant l'exposition qui viendra limiter le dénominateur.

Les rentabilités par activité au niveau global de l'entreprise sont les suivantes:

RoeStandAlone Prop. Euler

ImpactMarginal Covariance

Resp. Civile Automobile 8,1% 7,7% 8,7% 6,9% 7,7%

Dommage Automobile 19,5% 20,2% 20,1% 16,9% 20,0%

Transport 16,8% 19,2% 19,3% 13,6% 19,2%

Dommages aux Biens 13,2% 13,3% 14,1% 11,2% 13,3%

Responsabilité Civile 8,1% 7,9% 8,3% 6,8% 8,0%

Crédit 27,6% 35,0% 34,8% 21,0% 35,3%

Protection juridique 38,4% 39,0% 38,1% 33,4% 38,6%

Assistance 58,5% 60,0% 58,4% 51,1% 59,0%

Divers 25,1% 24,9% 24,6% 20,7% 25,1%

Total 15,7% 15,7% 16,7% 13,3% 15,7%

Les branches de responsabilité civile sont celles ayant la plus faible rentabilité, auxenviron de 7-8%. Cette information est importante pour l'entreprise, puisqu'elle lui permet

d'adapter sa stratégie pour réhausser la rentabilité au niveau des autres branches. L'une des

évolutions à apporter pour modifier le niveau de rentabilité est d'agir sur le besoin en

capital à immobiliser au titre de cette branche via une couverture en réassurance.

3.1.2 Optimisation de la rentabilité via la réassurance

Une illustration est donnée par la mise en place d'une couverture limitant

l'engagement annuel de la compagnie (un traité Stop-Loss, voir [Par03] pour une

présentation des traités de réassurance). Pour ce faire, il convient de voir quel est le capital




immobilisé pour chaque activité représenté cette fois-ci en pourcentage des primes de

chaque activité (un traité Stop-Loss est souvent exprimé en pourcentage des primes):

NV SCR en % des

primes

StandAlone

Prop. EulerImpact

MarginalCovariance

Resp. Civile Automobile 174,8% 142,7% 147,1% 139,0% 147,8%Dommage Automobile 100,0% 91,9% 88,7% 89,4% 89,5%

Transport 198,5% 152,5% 131,2% 131,9% 131,4%

Dommages aux Biens 126,7% 109,6% 111,2% 108,7% 111,5%


Crédit 142,7% 113,1% 95,9% 96,9% 95,3%

Protection juridique 93,9% 81,8% 78,0% 80,5% 79,2%

Assistance 76,0% 70,3% 68,8% 70,4% 69,7%

Divers 127,3% 106,8% 107,0% 108,7% 106,6%

Il apparait avec cette ventilation que la Responsabilité Civile se démarque des autres

activités en terme d'exposition des primes.

Le niveau d'intervention de la réassurance est fixé arbitrairement à 150% des primes,

la limite d'intervention du réassureur étant égale à la différence entre le capital immobilisé

pour cette activité et 150%. Le prix de ce traité de réassurance a été fixé à 4% des primes de

l'activité et est cédé à un réassureur noté AA. Ainsi la rentabilité au global est la même que

précédemment, bien que la rentabilité au niveau de l'activité se soit dégradée du fait de

l'achat de la couverture en réassurance.

Return on EquityStandAlone Prop. Euler

ImpactMarginal Covariance


Total 15,7% 15,7% 16,0% 13,7% 15,7%

Cela signifie que si l'entreprise d'assurance obtient du marché de la réassurance, un

traité Stop loss dont le coût est inférieur à 4% des primes, elle améliorera sa rentabilité au

global au travers de cette stratégie.

L'application de tout un panel de méthodes d'allocation du capital entre les

différentes branches d'activités sur un portefeuille ``marché'' laisse apparaitre certes des

écarts entre les besoins en capitaux de chaque activité, mais au regard des hypothèses

(fortes) de détermination du besoin en capital au global (distribution lognormale des risques




non-vie, agrégation des besoins en capitaux des modules de risque par des matrices de

corrélation), les écarts sont faibles.

Hormis pour certaines considérations prudentielles (évaluation de l'impact des

impôts différés nécessitant d'appliquer la méthode Euler), à ce stade aucune préconisation

ne peut être faite sur l'intérêt d'une méthode par rapport à une autre. Néanmoins ce constat

doit être tempéré. En effet, en se focalisant uniquement sur le risque de souscription nonvie, il est possible de démontrer que se diversifier dans une nouvelle activité diminue le

besoin en capital pour une entreprise spécialisée, mais il est surprenant de constater que

cette nouvelle activité entraine un crédit en capital alors même que les résultats (à

l'équilibre) sont positivement corrélés.

3.2 Exemple d'un portefeuille spécialisé

Après avoir appliqué des données marché, un jeu fictif sera appliqué. L'entreprise

considérée sera spécialisée et ne souscrira qu'une seule branche d'activité, l'activité

``Crédit''.

La variable représentant le volume d'affaire de l'activité ``Crédit'', Credit V ′

est égale à

103 M Euros. Dans ce cas, le besoin en capital au titre du risque de souscription non-vie

vaut 55,4 M Euros. Conscient de son exposition à une conjoncture économique

défavorable, elle souhaite se diversifier dans la branche d'activité ``Assistance''. Plusieurs

alternatives existent, soit investir de manière importante pour acquérir le savoir faire et la

structure adéquate, soit réaliser un swap de portefeuille avec une entreprise monoline

souscrivant une autre activité. Ce swap prendrait la forme d'un traité en quote-part entre les

2 entreprises. Cette dernière alternative est évidemment la plus rapide à être mise en

oeuvre.

Dans le cadre de ce nouveau partenariat, l'entreprise cède 3 M Euros de volume

d'affaire``Crédit'' contre 11 M Euros de volume d'affaire en ``Assistance''. Ces niveaux de

volume d'affaire représentent le même montant de NV SCR pour des entreprises souscrivant

ces activités de manière isolée.

Cette nouvelle composition du portefeuille engendre une variable Assistance

V à

hauteur de 11 M Euros et Credit V ′

est égale à 100 M Euros. Le besoin en capital pour le

risque de souscription non-vie pour ces deux activités passe à 53,5 M Euros. Via le swap de

portefeiuille, la compagnie a diminué son exigence de marge de solvabilité de 3,6% (de

55,4 M euros à 53,4M euros).




De façon analytique, il est possible de démontrer que l'intérêt de l'assureur est de

faire un swap jusqu'à ce que AssistanceV = 168 M Euros et que Credit V ′

= 57 M Euros, pour

optimiser le NV SCR , voir le graphique suivant. Naturellement, ce niveau `òptimal''

d'expansion de l'activité, dans le sens de la réduction du besoin en capital, varie avec le

niveau initial de Cre dit V ′

.

Bien que la méthode d'allocation `Èuler'' soit privilégiée dans la littérature

scientifique et quelle renvoie une formule fermée, son application doit être faite avec

parcimonie avec la formule standard, puisque sur le couple Credit V ′

= 100 M Euros / AssistanceV

= 11 M Euros, l'allocation de capital par activité est de 53,76 M Euros en ``Crédit'' et -0,24

M Euros en `Àssistance''. Tant que la variable AssistanceV sera inférieure à 25 M Euros dans

le cadre du Swap, le besoin en capital sera négatif pour cette activité (voir le graphique ci-

dessous). Alors que pour toutes les autres méthodes d'allocation envisagées le besoin en

capital de chaque activité est positif.




Sur un portefeuille asymétrique en termes d'activité, dans le cadre de la formule

standard, la méthode d'allocation Euler renvoit de mauvaises indications managériales. En

effet en présence d'une corrélation positive entre les résultats des différentes activités, il ne parait pas concevable d'avoir des activités apparaissant comme excédentaires en capital, dès

lors que le résultat de la branche est évalué avec une hypothèse de ratio combiné de 100%

comme cela est le cas dans Solvabilité 2.

4.

CONCLUSION

Il est évident qu'une formule aussi générique que la formule standard est inadaptée

aux cas spécifiques. Comment une formule qui doit s'appliquer aussi bien à des groupes

internationaux qu'à une entreprise régionale pourrait recueillir les faveurs du marché? Il

parait donc évident que seul un modèle interne permettra d'aller vers une gestion pro active

des risques.

La réalité opérationnelle amènera certains acteurs du marché à lui préférer

néanmoins la formule standard. Même si celle-ci repose sur plusieurs hypothèses fortes, sa

formalisation mathématique laisse entrevoir des possibilités pour les risk managers en

termes d'exploitation des résultats. Naturellement ceux-ci ne ne correspondront pas

pleinement au profil de risque de l'entreprise d'assurance. Néanmoins, au regard des

possibilités d'ajustement (meilleure prise en compte de la réassurance dans le QIS5,

possibilité d'utiliser ses propres paramètres ...), elle constitue un outil rapide d'évaluation,

non seulement de son exigence de marge de solvabilité, mais aussi des performances des




activités au travers de calculs complémentaires ou bien de stratégie de développement. La

formule standard peut se prévaloir d'être un bon indicateur de l'intérêt d'adopter un modèle

interne.

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analyse de la rentabilité et gestion des risques

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