Analyse Appliquee Saint Aubin

Analyse applique 1 emat 2466

Yvan SAINT-AUBIN universit de montral e e septembre 1996

M. Cauchy annonce que, pour se conformer au voeu du Conseil, il ne sattachera plus a donner, comme il a fait jusqu` prsent, ` a e des dmonstrations parfaitement rigoureuses. e Conseil dinstruction de lEcole Polytechnique, 24 novembre 1825

e Pr face Quels etaient les motifs du Conseil de lEducation pour mod rer les efforts e du Baron Cauchy vers la parfaite rigueur math matique? Le Conseil doutait-il e de la n cessit de cette rigueur? de son caract` re p dagogique? ou de sa validit e e e e e m me? Chacun voudra y aller de ses hypoth` ses. e e Il est clair que le d bat est encore ouvert puisquon enseigne aujourdhui e ` les math matiques a tous les niveaux de rigueur. Des ensembles de recettes e que constituent plusieurs cours aux disciplines utilisant les math matiques aux e ` enseignements les plus abstraits ou le moindre petit lemme est justi : on en e ` trouve pour tous les gouts. Il est cependant rare de trouver des cours ou les divers chapitres sont trait s avec des niveaux de rigueur diff rents. Les pr sentes e e e notes ont choisi ce parti. Elles oscillent entre une pr sentation rigoureuse de e r sultats math matiques et une discussion intuitive des outils et applications e e sous-jacents au sujet. Le premier style sera ais ment reconnu avec ses d nie e tions, th or` mes et preuves. Dans le second, jai quand m me essay de mettre e e e e en relief les hypoth` ses cruciales et les etapes qui demanderaient des justicae tions moins naves. ` Ce choix pourra d plaire a tous: aux futurs math maticiens qui d sireraient e e e voir la discipline s rieusement et une fois pour toutes et aux physiciens, par e exemple, qui aimeraient plutot se concentrer sur les applications spectaculaires de lanalyse de Fourier. Jesp` re cependant quelle pourra rallier quelques lece teurs. Les th or` mes qui sont d montr s le sont car ils forment le coeur du sujet e e e e ` et quils indiquent la voie a venir. Et le nombre des exemples trait s plus rapie dement r v` lent la richesse du domaine dapplications. e e Le mat riel pr sent dans ces notes se trouve dans plusieurs livres. Je dois e e e ` cependant payer tribut a une source en particulier, Thomas W. Korner, dont le livre Fourier Analysis paru aux Presses de lUniversit de Cambridge, constitue e un chef-doeuvre de p dagogie. La pr sentation math matique est tir e de ce e e e e livre. Enn cest avec plaisir que je remercie Ervig Lapalme: il a lu ces notes et e fait les exercices. Ses nombreux commentaires et suggestions ont et grandement appr ci s. e e

e Table des mati` resPr face e Table des mati` res e 1 S ries de Fourier e 1.1 D nition et exemples . . e 1.2 S ries dune parit donn e e e e 1.3 S ries de p riode L . . . . e e 1.4 S ries complexes . . . . . e 1.5 La corde vibrante . . . . . 1.5.1 La corde plomb e . e 1.5.2 La corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v vii 1 1 9 16 18 24 25 30 39 39 40 41 44 45 47 59 64 72

2 Convergence des s ries de Fourier e 2.1 Rappel danalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 La continuit . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.2 La convergence dune suite et dune s rie e 2.1.3 Lint grale de Riemann . . . . . . . . . . e 2.1.4 Convergence uniforme . . . . . . . . . . . 2.2 Le th or` me de Fej r . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 2.3 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Rappel dalg` bre lin aire . . . . . . . . . . . . . . e e 2.5 Convergence en moyenne . . . . . . . . . . . . . 3 Probl` me de Sturm-Liouville et fonctions sp ciales e e 3.1 Rappel sur les equations diff rentielles . . . . . . e 3.2 S paration de variables . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3 Le probl` me de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . e 3.4 Polynomes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 . 87 . 92 . 100 . 108 . 127 147 147 158 170

4 La transformation de Fourier ` 4.1 Un passage a la limite et exemples de calcul . . . . . . . . . . . . 4.2 Quelques th or` mes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 4.3 La convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

viii 4.4

` TABLE DES MATIERESUne application: l ge de la terre selon Lord Kelvin . . . . . . . a 178

A Fonctions eul riennes e 187 A.1 Les fonctions et B(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 A.2 La formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Solutions et suggestions pour les exercices Index 201 207

Chapitre 1

e S ries de Fourier A la n du XVIIIi` me si` cle, la m canique classique etait sur de bonnes ase e e ` sises et les physiciens commen aient a se tourner vers des probl` mes dune difc e cult plus grande. Les equations de Newton r gissant la m canique et, en pare e e ` ticulier, la gravitation, m` nent a des equations diff rentielles ordinaires, ceste e ` ` ` a-dire a des equations ne faisant intervenir que des d riv es par rapport a une e e seule variable, le temps. Les equations qui attirent les physiciens en cette n de si` cle sont des equations aux d riv es partielles qui font intervenir des d e e e e ` riv es par rapport a plusieurs variables ind pendantes, telles les equations de e e la chaleur, de la lumi` re ou des ondes, de l lectricit et du magn tisme, etc. La e e e e naissance du domaine des math matiques appel s ries de Fourier ou encore e e e ` analyse harmonique peut etre x e a 1807, date a laquelle Fourier pr sente e ` e ` son m moire a lAcad mie des Sciences de Paris sur la th orie de la chaleur. e e e Plusieurs noms sont egalement attach s a la naissance de ce chapitre des mae ` th matiques: D. Bernoulli, Euler, dAlembert, Dirichlet, Lagrange, etc. e

1.1 D nition et exemples eDans cette premi` re section, nous introduisons les s ries de Fourier et en e e pr sentons des exemples simples. Leur utilit est restreinte aux fonctions p e e e riodiques. ` Soit f : R R une fonction d nie sur les nombres r els et a valeurs r elles. e e e Sil existe un nombre r el L > 0 tel que f(x + L) = f(x) pour tout x R, alors la fonction p riodique e e fonction f est dite p riodique de p riode L. Remarquons que si f est p riodique e e e de p riode L, alors elle est egalement de p riode 2L, 3L, . Le plus petit L tel p riode e e e que f soit p riodique de p riode L est la priode de f. e e e Les s ries de Fourier permettent d crire les fonctions p riodiques sous la e e e forme dune somme innie. Ecrire une fonction comme une somme innie ne devrait pas vous etre inconnu. En effet vous connaissez d j` les s ries polynoea e

2 miales

Chapitre 1. S ries de Fourier e

f(x) =n=0

f(n) (b)(x b)n

qui caract risent le comportement dune fonction f autour dun point b. Par e exemple: sin x = x x3 x5 + = 3! 5! n=1

(1)n+1 x2n1 (2n 1)!

Joseph, baron Fourier (1768-1830)

est le d veloppement en s rie de Taylor de la fonction sinus autour du point e e x = 0. Les s ries de Taylor exigent que les fonctions soient C dans un voisie nage du point autour duquel le d veloppement est fait, cest-` -dire que les d rie a e v es de tous les ordres existent, et que chacun des termes de la somme tendent e vers 0 sufsamment vite pour que la s rie ait un sens. M me avec ces condie e tions le rayon de convergence pourrait etre 0. Parmi les grands avantages des s ries de Taylor est que les premiers termes ont une interpr tation g om trique: e e e e le premier terme f(b) est la valeur de f en b, le terme f(1) (b) = f (b) est la pente de f en b, le troisi` me terme f (b) caract rise la parabole en b, etc. e e Fourier ne cherchait pas une meilleure m thode dapproximer les fonctions. e ` ` e Il cherchait a trouver des solutions a l quation diff rentielle qui d crit la chae e leur. Pour une raison qui jouera un role important par la suite, il fut amen a e` consid rer les sommes de fonctions trigonom triques dont la p riode est un e e e multiple de 2: a0 + 2

(am cos mx + bm sin mx).m=1

Ces sommes, si elles ont un sens, cest-` -dire si elles convergent, sont aussi de a p riode 2. Supposons quil existe une fonction f telle que e f(x) = a0 + 2


Alors il est possible dexprimer les nombres am , m N {0} et bm , m N en termes de la fonction f. 1 (Notons que les am et bm jouent ici le role des f(n) (b) dans le d veloppement en s rie de Taylor: ce sont les coefcients du d velope e e pement en s rie de Fourier.) Etudions f(x) en supposant pour linstant que les e sommes convergent uniform ment sur D = [, ). Nous allons tout dabord e calculer lint grale suivante: e

f(x) cos nx dx =

a0 cos nx dx 2

+m=1

(am cos mx cos nx + bm sin mx cos nx)dx.

1. Rappelons que lensemble N est lensemble des entiers positifs: N = {1, 2, 3, . . . }. N ne contient pas le nombre 0.

1.1. D nition et exemples e

3

Pour simplier les int grales au membre de droite, les identit s trigonom trie e e ques suivantes seront utiles cos((m n)x) = cos mx cos nx sin mx sin nx sin((m n)x) = cos mx sin nx + sin mx cos nx et donc1 cos mx cos nx = 2 (cos((m + n)x) + cos((m n)x)) 1 sin mx cos nx = 2 (sin((m + n)x) + sin((m n)x)) 1 sin mx sin nx = 2 (cos((m n)x) cos((m + n)x)).

Lint grale ci-dessus devient ainsi e = a0 2

cos nx dx + m=1

1 am (cos((m + n)x) + cos((m n)x))dx 2 1 bm (sin((m + n)x) + sin((m n)x))dx 2

+

Notons maintenant que

cos nx dx =

sin nx dx = 0,

si n 1

et

cos 0x dx =

dx = 2,

(si n = 0).

Donc lint grale peut etre simpli e en e e = a0 1 n,0 2 + 2 2

2mn,0 amm=1

= an . Donc: an = 1

cos nx f(x) dx,

n 0.

De la m me fa on on trouve: e c bn = 1

sin nx f(x) dx,

n 1. s ries de Fourier e

Nous venons donc de montrer que si

4 f(x) = a0 + 2

Chapitre 1. S ries de Fourier e(am cos mx + bm sin mx).m=1

alors les am et bm sont donn s comme ci-dessus. (Lhypoth` se de convergence e e e uniforme a et utilis e lorsque nous avons interverti les deux processus limites e que sont la somme m=1 et lint grale .) Contrairement aux contraintes ime pos es sur la fonction f pour quune s rie de Taylor puisse etre calcul e, les s e e e e ries de Fourier nexigent seulement que les int grales donnant am et bm exise tent. Ainsi f pourrait etre discontinue en un certain nombre (ni) de points. Elle pourrait m me navoir de d riv e en aucun point du domaine D = [, ) en e e e autant que lint grale existe. e Voici les questions fondamentales du sujet que nous aborderons dans les sections suivantes. Supposons donn s les am et bm obtenus par les int grales e e ci-dessus pour une fonction f. Est-ce que les sommes partielles sm = a0 /2+ n=1 (an cos nx+bn sin nx) tendent vers f(x) en tout point x [, )? Sous quelles conditions? Peut-on reconstruire f en tout point x D m me si les sommes partielles e ne convergent pas? Peut-on mesurer la distance entre les sommes partielles sm et la fonction originale f? Cette distance tend-t-elle vers 0 lorsque m tend vers linni? ` Mais avant de r pondre a ces questions voici quelques exemples! e Exemple 1. Soit la fonction en cr neaux d nie par: e e f(x) = 1, 0 x < , 1, x < 0.m

si x [, ). Pour d nir f sur tout laxe r el, nous imposons la condition de e e p riodicit : f(x + 2) = f(x). Ainsi f : R R. Calculons les coefcients de e e Fourier de cette fonction f. Le coefcient a0 est nul. En effet: a0 = 1

f(x)dx =

1

0

1dx + 0

+1dx

=

1 ( ) = 0.

Remarquons que a0 est, par d nition, laire sous la courbe de la fonction sur e lintervalle [, ). Nous aurions donc pu nous epargner ce calcul. Les an , n > 0, se calculent similairement: an = = 1 1

f(x) cos nx dx 0

cos nx dx + 0

+ cos nx dx


5

et puisque la fonction cos est paire, le changement de variable y = x dans la premi` re int grale donne e e = 1 0

cos ny(dy) + 0

cos nx dx

= 0. Le fait que tous les an soient nuls vient du fait que la fonction f consid r e ici ee ` est impaire. Nous y reviendrons a la prochaine section. Enn les bn sont obtenus comme suit: bn = = 1 1

f(x) sin nx dx 0

sin nxdx + 0

sin nx dx

` et a nouveau par le changement de variable y = x dans la premi` re int grale e e = = 1 2 0

sin(ny)(dy) + 0

sin nxdx

sin nxdx0

2 cos nx n 0 21 (1 cos n) = n 2 = (1 (1)n ) n 4 , si n est impair = n 0, si n est pair. = Ainsi: f(x) =n=1 n impair ?

4 sin nx. n

e Un point dinterrogation a et plac sur le signe egal puisqu` ce point, rien ne e a nous permet dafrmer que cette egalit ne soit valide. En effet, il est clair quelle e est fausse en certains points. Par exemple, en x = 0, tous les termes de la somme sont nuls puisque sin n0 = 0, n Z. Cependant, en x = 0, la fonction f prend la valeur 1. Malgr cette observation laccord peut etre constat sur le graphique e e m ` suivant ou les premi` res sommes partielles sm = n=1,n impair 4 sin nx/n sont e trac es. La gure 1.1 donne les graphes pour les sommes sm avec (a) m = 1, (b) e m = 9, (c) m = 19 et (d) m = 99 qui correspondent respectivement aux sommes

6


1 0.5 0 -0.5 -1 -3 -2 -1 0

1

2

3

1 0.5 0 -0.5 -1 -3 -2 -1 0

1

2

3

1 0.5 0 -0.5 -1 -3 -2 -1 0

1

2

3

1 0.5 0 -0.5 -1 -3 -2 -1 0

1

2

3

F IG . 1.1 Les premi`res sommes partielles sm pour la fonction f e


7

partielles avec les 1, 5, 10 et 50 premiers termes non-nuls. On remarquera que laccord devient meilleur lorsque m crot m me si, proche de x = 0, deux pics e semblent persister. Cette persistence nest pas fortuite. Elle est connue sous le nom de ph nom` ne de Gibbs et accompagne les sommes partielles de toutes e e ` les fonctions poss dant des sauts. Nous reviendrons a ce ph nom` ne dans un e e e exercice de la section 4.1. Exemple 2. Soit la fonction f : R R d nie par e f(x) = x2 , et f(x + 2) = f(x). Le calcul des coefcients se fait en utilisant les expressions ci-dessus. Le coefcient a0 est calcul s par ment: e e e a0 = 1

x <

x2 dx =

1 x3 3

=

1

3 3 3 3

=

22 . 3

Et maintenant les autres an , n > 0: an = 1

x2 cos nx dx sin nx n

1 =

x2

2

x

sin nx dx n

` e ou cette premi` re etape a et franchie par int gration par parties. Le premier e e ` terme sannule puisque sin n = 0, n N. En int grant a nouveau par parties, e on obtient: = 2 n x cos nx n

+

cos nx dx . n

Cette derni` re int grale sannule et le r sultat est donc: e e e = 2 ( cos n () cos(n)) n2 n 4() = . n2

Nous avons utilis la notation abbr vi e ()n pour (1)n . Elle reviendra soue e e vent par la suite. (Etes-vous convaincu que cos n = ()n ? Assurez-vous en!) Un calcul similaire donne: bn = 0. (Pouvez-vous trouver un argument simple pour obtenir les bn sans effort?) La s rie de Fourier ainsi calcul e est donc: e e 2 +4 x = 32 ? n=1

()n cos nx. n2

8


a0 f(x) = + 2

(am cos mx + bm sin mx)m=1

am = bm

1 1 =

cos mx f(x) dx,

m0 m1

sin mx f(x) dx,

Exercices

1. Dans les exercices ci-dessous (et dans tout le cours), certaines int grales ree viendront plusieurs fois. Les calculer. Amn = Bmn Cmn Attention au cas m = n = 0! 2. Trouver les coefcients de Fourier an et bn pour les fonctions suivantes. Elles sont donn es sur lintervalle (, ] et prolong es p riodiquement par f(x + e e e 2) = f(x). (a) f(x) = 1 (b) f(x) = x (c) f(x) = cos x (d) f(x) = sin 3x (e) f(x) = sin x 2 (f) f(x) = | sin x| ` (g) f(x) = exp(ax) ou a est une constante r elle. e (h) f(x) = cosh x. 3. Soit f : R R une fonction continue. Lesquelles des fonctions suivantes sont p riodiques? Avec quelle p riode? e e (a) a(x) = f(cos x) 1 1 = 1 =

cos mx cos nx dx,

sin mx cos nx dx,

sin mx sin nx dx,

1.2. S ries dune parit donn e e e e(b) b(x) = cos(f(x)) (c) c(x) = f(cos(x) + cos(x +n x i=1 cos i , n i=1 cos ix,

9

2))

(d) d(x) = f(cos(x) + cos( x )) 2 (e) e(x) = (f) f(x) = pour n N pour n N

4. Soit f : R R une fonction p riodique de p riode 2. Est-il possible de e e remplacer les formules obtenues ci-dessous pour les coefcients de Fourier par les relations: am = bm = 1 1 +

cos mx f(x) dx, +

m0 m1

sin mx f(x) dx,

` ou et sont des nombres r els quelconques? e 5. (a) Montrer que, pour chaque entier n 0, la fonction fn : [, ) \ {0} R donn e par e 1 sin((n + 2 )x) fn (x) = sin x 2 peut etre etendue en une fonction fn sur tout [, ) qui soit continue. (b) Donner le d veloppement en s rie des fonctions fn . e e 6. Montrer que ln 2 sin x = 2 n=1

cos nx n

sur D = (0, 2). Note: Le calcul de a0 est de loin le plus difcile. Le changement de variable t = x dans lint grale permet de r ecrire e e 2 ln 2 sin x x t t = ln 2 + ln sin = ln 2 + ln sin t = ln 2 + ln 2 sin cos . 2 2 2 2

1.2 S ries dune parit donn e e e eUn domaine D R est symtrique par rapport a lorigine ou simplement sye ` mtrique si x D implique que x D. Une fonction d nie sur un domaine fonction paire e e D sym trique est dite paire si e f(x) = f(x), Elle est dite impaire si pour tout x D. fonction impaire

10 f(x) = f(x),

Chapitre 1. S ries de Fourier epour tout x D.

Une fonction peut etre ni paire ni impaire. Parmi les exemples les plus simples de fonctions paires sont les monomes x2n , n N et les fonctions cos nx, n Z. Les monomes x2n+1 n N et sin nx, ` n Z sont impaires. Les graphes de fonctions paires ou impaires sont faciles a ` reconnatre. La partie a droite de laxe vertical du graphe dune fonction paire ` ` est limage miroir par rapport a cet axe de la partie a gauche. (Voir Figure 1.2 (a).) ` Pour les fonctions impaires, la partie a droite de laxe vertical est la r exion par e ` ` rapport a lorigine de la partie a gauche. (Voir Figure 1.2 (b).)

F IG . 1.2 Le graphe de fonctions (a) paire et (b) impaire Les fonctions f paires ont la propri t eel l

f(x) dx = 2l 0

alors que les fonctions g impaires satisfontl

g(x) dx = 0l

en autant que lintervalle dint gration soit compris dans le domaine de d e e nition de ces fonctions. (Ces deux relations devraient etre evidentes.) Notons

f(x) dx

1.2. S ries dune parit donn e e e e

11

egalement que le produit de deux fonctions de m me parit est paire alors que e e le produit de deux fonctions de parit diff rente est impaire. (Exercice!) On en e e d duit donc que la s rie de Fourier dune fonction f paire ne contient que des e e termes cos nx car tous ses coefcients de Fourier bn sont nuls

f(x) sin nx dx = 0

puisque le produit (f(x) sin nx) est impair. Ainsi p(x) = a0 + 2

am cos mxm=1

si p est paire. Similairement, si la fonction i est impaire, ses coefcients an seront nuls et

i(x) =m=1

bm sin mx.

La connaissance de la parit dune fonction simplie donc le calcul de son d e e veloppement en s rie de Fourier. e Les propri t s pr c dentes permettent egalement de faire des d veloppe- prolongement ee e e e ments en s rie de sinus ou en s rie de cosinus uniquement. Supposons que le dune parit donn e e e e e domaine de la fonction f soit lintervalle [0, ]. (Ainsi, la fonction f nest d e nie en aucun des points de [, 0).) Il est possible de construire deux fonctions p et i sur lintervalle [, ], la premi` re etant paire, la seconde impaire, et qui e concident avec f sur lintervalle (0, ]. Il suft de d nir e p(x) = pour la fonction paire p et f(x), si x > 0 i(x) = 0, si x = 0 f(x), si x < 0 pour la fonction impaire i. La Figure 1.3 donne un exemple de prolongement pair et impair dune fonction f d nie sur lintervalle [0, ]. e Puisque le prolongement pair p de f est une fonction paire, son d veloppee ment en s rie de Fourier ne contiendra que les termes constant et en cosinus. e Quant au d veloppement du prolongement impair i, il ne contiendra que les e termes en sinus. Quoique fort diff rents, ces d veloppements, en autant quils e e convergent, devraient converger vers la m me fonction sur lintervalle (0, ). e Exemple. Soit la fonction f : [0, ] R d nie par e f(x) = cos x, 0, 0x 2 2 < x . f(x), f(x), si x 0 si x < 0

12


F IG . 1.3 Le graphe de la fonction f et des ses prolongements pair p et impair i


13

Nous allons d velopper cette fonction premi` rement en une s rie de cosinus e e e puis en une s rie de sinus. e

F IG . 1.4 La fonction f Pour le d veloppement en s rie de cosinus, nous prolongeons f en une fonce e tion paire p comme nous lavons indiqu ci-dessus: e p(x) = cos x, 0, |x| 2 < |x| . 2

` Les seuls coefcients a calculer sont les an . a0 = 2

p(x) dx =0 0

2

2

cos x dx = 2

0

2 2 2 sin x|0 = ,

2 a1 = et pour n 2:

2 p(x) cos x dx =

cos2 x dx =

0

2

1 22

=

1 , 2

an =0

2 p(x) cos nx dx = 2

2

cos x cos nx dx

0

=

2

0

1 (cos(n 1)x + cos(n + 1)x) dx 2 2

1 = Puisque

sin(n + 1)x sin(n 1)x + n+1 n1

.0

sin(n + n+1

1) 2

0, si n est impair, = () n 2 , si n est pair, n+1

14 alors, si n est pair: an = 1 () 2 () 2 n+1 n1n n


=

() 2 n 1 n 1 2() 2 = . 21 n (n2 1)

n

n

e (Pourquoi le calcul de a1 a-t-il et distingu du calcul de an pour n quelcone que?) Donc n 1 2 () 2 ? 1 cos nx. f(x) = + cos x 2 n2 1n=2 n pair

Remarquons que si cette egalit tient, le membre droit doit sannuler pour tout e 2 |x| et doit suivre le cos x pour |x| 2 . Pour le d veloppement en s rie de sinus, f est prolong e en la fonction i: e e e < x < , 0, 2 cos x, 0 < 0, 2 i(x) = cos x, 0 x , 2 0, 2 < x . Maintenant le calcul se limite aux coefcients bn . 2 b1 = et si n 2: 2 bn = = 2 2

0

21 cos x sin x dx = 2

2

0

1 cos 2x sin 2x dx = 2

2

=0

1

cos x sin nx dx 2

0

21 2

(sin(n + 1)x + sin(n 1)x) dx 2

0

1 cos(n + 1)x cos(n 1)x = + n+1 n1 2 n n pair, n2 1 , = 2 n + ()(n+1)/2 , n impair. n2 1

0

La derni` re etape vous demandera peut- tre de prendre un crayon... Ainsi e e 2 1 i(x) = sin x + ? n=2 n pair

n 2 sin nx + n2 1

n=3 n impair

n + ()(n+1)/2 sin nx. n2 1


15

1. Identier les fonctions paires, les impaires et celles qui nont pas de parit Exercices e donn e. e (a) a(x) = cos x2 (b) b(x) = sin x3 (c) c(x) = exp(x2 ) tan x (d) d(x) = cos2 (sin x) (e) e(x) = cos2 (x + ), R 1 (f) f(x) = 2 ,a=0 x + a2 1 (g) g(x) = 3 ,a=0 x + a3 2. Soit p : R R une fonction paire et i : R R une impaire. Quelle est la parit des fonctions suivantes? e (a) p + p, p + i, i + i (b) p p, p i, i i (c) p p, p i, i p, i i Note: (f g)(x) = f(x) g(x) et (f g)(x) = f(g(x)). 3. D velopper les fonctions suivantes, d nies sur [0, ], en s rie de cosinus. e e e (a) f(x) = sin x (b) f(x) = x (c) f(x) = x + x2 4. (a) D velopper la fonction f(x) = 1, d nie sur [0, ] en s rie de sinus. e e e ` (b) En supposant la convergence de la s rie calcul e en (a) aux points ou la fonce e tion prolong e est continue, d montrer lexpression suivante: e e 1 1 1 = 1 + + ... 4 3 5 7 ` 5. Existe-t-il des fonctions qui soient a la fois paires et impaires? 6. Soit f : [0, ] R une fonction continue. Sauriez-vous proposer un prolon2 gement f : (, ] R de f qui concide avec f sur [0, ] et tel que sa s rie de e 2 Fourier ne contienne que (a) les termes cos nx avec n impairs? (b) les termes sin nx avec n pairs? 7. (a) Montrer que, pour toute fonction f : R R, il existe une fonction paire p et une impaire i telles que f(x) = p(x) + i(x), x R. (b) Si f est continue, est-ce que les fonctions p et i le sont egalement?

16


1.3 S ries de p riode L e e Les fonctions etudi es a la section 1.1 etaient de p riode 2. Le but de la e ` e pr sente section est d tendre notre discussion aux fonctions de p riode quele e e conque. Soit f : R R une fonction p riodique de p riode L: e e f(x + L) = f(x). Alors la fonction : R R d nie par (x) = f(Lx/2) est de p riode 2: e e (x + 2) = f L(x + 2) 2 =f Lx +L 2 =f Lx 2 = (x)

` ou nous avons utilis la p riodicit de f pour etablir la troisi` me egalit . e e e e e Nous connaissons les expressions des coefcients an et bn pour le d velope pement en s rie de : e (x) = f Lx 2 = a0 + 2


Nous pouvons ecrire ces expressions en termes de la fonction f comme suit: an = = = et similairement bn = 2 LL/2

1 1 2 L

(x) cos nx dx, L/2

n0 2nt L dt 2 dt, L ` ou t = Lx 2

fL/2 L/2

Lx 2

cos

f(t) cosL/2

2nt L

f(t) sinL/2

2nt L

dt,

n 1.

Les expression ci-dessus donnent donc les coefcients an et bn du d veloppee ment en s rie de f: e f(t) = a0 + 2

am cosm=1

2mt L

+ bm sin

2mt L

qui est obtenu de celui de en rempla ant simplement x par 2t/L. c Exemple. D veloppons en s rie de cosinus la fonction f : [0, 1] R d nie par e e e f(x) =x 1 h , 0 x h, 0, h x 1,

1.3. S ries de p riode L e e

17

F IG . 1.5 La fonction g ` ou h est un nombre tel que 0 < h < 1. Puisque nous d sirons une s rie de cosinus, il faut prolonger f sur lintere e valle [1, 0) de fa on a ce que la fonction prolong e soit paire. La fonction g : c ` e [1, 1] R sur le graphe ci-dessus remplit cette condition. Puisque la fonction g est d nie sur [1, 1], nous devons xer la p riode L = 2. Le coefcient a0 est e e ` laire sous la courbe et est donc egale a h. Les autres coefcients (n 1) sont donn s par la formule ci-dessus avec L = 2: e an = 2 2+1

g(x) cos1

2nx 2

dx.

Puisque la fonction est paire:h

=20

1

x cos nx dx hh

=2

sin nx n

0

1 h

x sin nx 1 cos nx + n n n

h 0

` ou nous avons int gr le second terme par parties. Ainsi e e an = 2 (1 cos nh). h2 n2

Comme il se doit, les coefcients d pendent du param` tre h d crivant louvere e e ture de la dent dans le graphe de g. s rie de Fourier e de p riode L e f(t) = a0 + 2

am cosm=1

2mt L

+ bm sin

2mt L

an = bn =

2 L 2 L

L/2

f(t) cosL/2 L/2

2nt L 2nt L

dt, dt,

n0 n1

f(t) sinL/2

18 Exercices


` 1. D velopper en s rie de Fourier la fonction en cr neaux f(x) = (1)[x] ou [x] e e e ` d note la partie enti` re de x: [x] = n, ou n Z est lentier tel que n x < n + 1. e e 2. D velopper en s rie de Fourier la fonction donn e par f(x) = x sur [1, 1] et e e e de p riode 2. e 3. D velopper en s rie de Fourier la fonction g de p riode 2 et donn e sur [1, 1] e e e e par g(x) = |x|. 4. (a) Obtenir les coefcients de la s rie de sinus de la fonction f(x) donn e sur e e le graphique ci-dessous. (Le graphe est constitu de deux droites, e le maximum (= 1) etant situ en x = , 0 < e < .) (b) Soit f, g : [0, L] R deux fonctions dont les d veloppements en s rie de sinus existent e e et dont les coefcients sont bf et bg . Si f(x) = n n g(Lx), x [0, L], trouver une relation entre bf et bg . Que pouvez-vous dire des coefn n cients calcul s en (a)? e

` (c) Ou une corde de guitare devrait-elle etre pinc e pour que lamplitude de la premi` re e e harmonique (cest-` -dire le terme n = 2) soit maximale? (On supposera que la a d formation, lors du pincement, est de la forme donn e en (a)). e e F IG . 1.6 La corde pince f e

1.4

S ries complexes e

nombres complexes

Une autre forme des s ries de Fourier est usuelle: cest celle des s ries come e plexes. Les fonctions de base, cest-` -dire les fonctions cos nx et sin nx, sont rema plac es par les exponentielles complexes einx . Avant dexprimer les coefcients e pour ces s ries, rappelons quelques d nitions et propri t s el mentaires sur e e ee e les nombres complexes. ` a Un nombre z = a + ib ou et b sont deux nombres r els et i est une des e deux racines (x e) de 1 (i = 1) est dit un nombre complexe. Le nombre a e est la partie r elle de z et b sa partie imaginaire. La somme et le produit de deux e nombres complexes z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 + ib2 sont donn s par e z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ) z1 z2 = (a1 a2 b1 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 ). ` Le conjugu complexe du nombre z est not z et est egal a z = a ib. Sa e e valeur absolue est not e |z| et est le nombre positif a2 + b2 . Enn, une relae ` tion remarquable relie les fonctions sinus et cosinus a la fonction exponentielle: ei = cos + i sin .

1.4. S ries complexes e

19

Elle est parfois connue sous le nom de formule dEuler. Si le nombre est un nombre r el, alors |ei | = cos2 + sin2 = 1. Lensemble des nombres come plexes est d not par C. Si ce rappel vous semble trop rapide, je vous somme e e daller faire les premiers exercices ci-dessous. Les nombres complexes joueront un role capital dans ce qui suit! Utilisant la formule dEuler, on peut exprimer les fonctions cosinus et sinus comme combinaison lin aire dexponentielles: e cos nx = 1 (einx + einx ) 2r

et

sin nx =

inx 1 2i (e

einx ).

Consid rons une somme partielle de la s rie de Fourier dune fonction f: e e a0 + 2 (an cos nx + bn sin nx)n=1

et rempla ons les fonctions cosinus et sinus par les exponentielles: c a0 + 2r n=1

1 (an (einx + einx ) ibn (einx einx )) 2r n=1

=

a0 + 2

1 1 inx e (an ibn ) + einx (an + ibn ) . 2 2

Ainsi, avec la d nition: e1 c0 = 2 a0 , 1 cn = 2 (an ibn ),

n 1, n 1,

cn =

1 2 (an

+ ibn ),

nous pouvons r ecrire la somme partielle sous la forme compacte: er

cn einx .n=r

e ee (Pourquoi seules les sommes partielles m=1 ont-elles et consid r es ici plu tot que toute la s rie de Fourier m=1 ? Parce quen g n ral, il nest pas possible e e e dintervertir lordre dun nombre inni de termes dans une s rie sans en chane ger le r sultat. Or, cest pr cis ment ce que nous avons fait ici.) e e e Quant aux coefcients cn , ils peuvent etre egalement exprim s comme int e e grales simples de la fonction originale f. Par exemple, pour cn , n 1 cn = 1 (an ibn ) = 2 1 2 1 = 2 1 = 2

r

f(x) cos nx dx i

f(x) sin nx dx

f(x)(cos nx i sin nx)dx

f(x)einx dx.

20


s rie dexponentielles e

Un exercice facile vous convaincra que cette formule vaut egalement pour n 0. Ainsi, si les sommes partielles convergent, le d veloppement de Fourier dune e fonction f en termes des fonctions cosinus et sinus est equivalent au d velope pement en s rie dexponentielles: e f(x) =nZ

cn einx

` ou les coefcients cn sont donn s par e cn = 1 2

f(x)einx dx,

n Z.

Pour certaines fonctions, le calcul des coefcients cn est plus ais que celui e des an et bn . Exemple. D veloppons la fonction cosh x en s rie dexponentielles sur lintere e valle [, ]. Puisque cosh x = 1 (ex + ex ), 2 le calcul des cn est particuli` rement simple e cn = 1 2 1 = 4 1 = 4

1 x (e + ex )einx dx 2 (ex(1in) + ex(1in) )dx

ex(1in) ex(1in) + 1 in 1 in

()n e e e e + = 4 1 in 1 in n () sinh = . (1 + n2 ) Donc cosh x =nZ ?

()n einx sinh , (1 + n2 )

x .

continuit sur le cercle e

` Nous allons nous pr occuper des probl` mes de rigueur a partir du chapitre e e ` 2. Nous ferons alors un rappel des principales d nitions n cessaires a cette e e etude ne. Cependant il est utile dintroduire imm diatement le concept de cone tinuit sur le cercle. Soit f : [, ) R une fonction. Son prolongement p e e ` riodique f : R R est d ni comme dhabitude par f(x) = f(x + 2n) ou n est e lentier Z tel que x + 2n [, ). La fonction f est continue sur le cercle si f est continue sur R. La continuit de f sur le cercle est l g` rement plus exigeante e e e que la continuit de f sur [, ): elle ajoute lexigence que f soit continue en , e


21

ce qui se traduit sur la fonction f par les egalit s suivantes entre les deux limites e de f aux points : f() =x+

lim f(x) = lim f(x).x

Cette d nition est en fait un exemple de d nition de la continuit dune e e e fonction sur une vari t . A ce point, vous navez probablement rencontr que la ee e d nition de continuit dune fonction en un point ou sur un intervalle de R. Il e e ` possible de d nir la continuit de fonctions sur des espaces qui ressemblent a e e des espaces euclidiens (tels les Rn ) mais qui nen sont pas. Un exemple simple est fourni par la fonction T qui donne la temp rature en chaque point du globe. e Son domaine nest pas un sous-ensemble du plan mais bien la surface de la terre, cest-` -dire une sph` re. Dans notre exemple, la bonne surface est un cercle. a e Pour le d nir correctement, consid rons dabord le cercle de rayon unit pae e e ram tris par langle [, ). Sur cet ensemble un intervalle ouvert peute e etre de trois types: (i) ce peut etre le cercle en entier, (ii) un intervalle ouvert (a, b) avec a < b qui est d ni comme dhabitude comme etant e lensemble des points du cercle correspondants aux valeurs de qui sont dans {|a < < b}, et (iii) un sous-ensemble not (a, b) avec b < a < e qui est lensemble de points du cercle correspondants aux valeurs de dans {|a < < ou < b}. Notons que si b < a, lintervalle ouvert (a, b) ` contient le point correspondant a . De plus, tout intervalle ouvert contenant le point contient un sous-intervalle ( , ) avec > 0. Le cercle T1 est T1 le cercle param tris par muni des dintervalles ouverts que nous venons de e e d crire. 2 La continuit sur lensemble T1 que nous venons de d nir est alors la e e e continuit sur le cercle que nous avons d nie ci-dessus. Nous noterons maine e tenant souvent les int grales sur lintervalle [, ) comme suit e

f(x) dx = T1

f(x) dx. s rie complexe e

f(x) =nZ

cn einx

cn =

1 2

f(x)einx dx,T1

n Z.

` 1. Poser z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 + ib2 ou a1 , b1 , a2 et b2 sont des nombres Exercices r els. Montrer que e` 2. Le choix de la lettre T1 pour le cercle vient de tore. Le cercle est un tore a une dimension et la ` surface dun beigne est un tore a deux dimensions.

22 (a) z1 z z z2 est un nombre imaginaire pur 2 1 (b) et que z1 /z2 + z /z est un nombre r el. e 1 2


Note: Rappelons quun nombre complexe z est un nombre r el si z = z et un e imaginaire pur si z = z . 2. Si z1 = r1 (cos 1 + i sin 1 ) et z2 = r2 (cos 2 + i sin 2 ), r1 , r2 , 1 , 2 R, montrer en utilisant des identit s trigonom triques que: e e (a) 1/z1 = (cos 1 i sin 1 )/r1 (b) z = r1 (cos 1 i sin 1 ) 1 (c) z1 z2 = r1 r2 (cos(1 + 2 ) + i sin(1 + 2 )) (d) zn = rn (cos n1 + i sin n1 ) qui est connue sous le nom de formule de de 1 1 Moivre. 3. Obtenir le d veloppement en s rie dexponentielles des fonctions suivantes e e d nies sur T1 . e (a) f(x) = x. (V rier dans ce cas le r sultat avec celui du premier exercice de e e la section 1.) (b) f(x) = sin ax, pour a R 4. Nous avons restreint notre discussion des s ries de Fourier et des s ries dexe e ` ` ponentielles a des fonctions a valeurs r elles. Cependant ce traitement s tend e e sans changement aux fonctions qui prennent des valeurs complexes: f : R C. Dans ce cas les cn sont tous ind pendants. Certaines propri t s sur f se mat e ee e rialisent par des relations sur les cn . ` (a) Montrer que, si f est a valeur r elle, alors cn = c . e n (b) Quelles propri t s v rient les cn si f est une fonction paire? ee e (c) Et si f est une fonction impaire? (d) Et si f est une fonction de p riode e si sa p riode etait 2? e2 n ,

e e n N, qui a et d velopp e comme e

5. (a) Soit f, g et h les fonctions d nies sur lintervalle [, ) par f(x) = 1, e g(x) = x et h(x) = x2 respectivement et etendues sur laxe r el par p riodicit . e e e Lesquelles de ces trois fonctions sont continues sur le cercle? (b) Lesquelles sont continues sur le cercle et ont une d riv e continue sur le e e cercle? 6. (a) Montrer: Soit f : T1 R une fonction qui soit (n1) fois continument diff rentiable sur le cercle et telle que f(n1) soit diff rentiable avec d riv e contie e e e nue (sur le cercle) sauf en un nombre ni de points x1 , x2 , . . . , xl . Si |f(n) (t)| M


23

partout en x {x1 , x2 , . . . , xl }, alors les coefcients du d veloppement en s rie / e e complexe v rie: |cr | M/rn , r = 0. e (b) Obtenir le d veloppement en exponentielles de f : T1 R donn par f(x) = e e x(x2 2 ). V rier que les cr satisfont (a). e 7. Le but de cet exercice est de construire des fonctions dont le m-i` me coef- polynomes de Bernoulli e cient de Fourier est simplement une puissance (n gative) de m. Le r sultat e e intervient dans plusieurs domaines des math matiques et particuli` rement en e e combinatoire. On d nit une famille de polynomes Bn , n 0, par les deux ree lations: Bn (x + 1) Bn (x) = nxn1 dBn (x) = nBn1 (x) dx et les deux conditions B0 (x) = 1 le polynome Bn est de degr n. e (iii) (iv) (i) (ii)

Les polynomes Bn ainsi construits sont appel s les polynomes de Bernoulli. e (a) Construire B1 (x) et B2 (x). Note: Poser B1 (x) = ax+b, B2 (x) = cx2 +dx+e et utiliser les relations ci-dessous pour xer les a, b, c, d, e. Vous devrez construire partiellement B3 (x). ` ` (b) Identier le cercle a lintervalle [0, 1) ou les extr mit s sont recoll es et noe e e ` tons par le m me caract` re Bn la restriction des polynomes a cet intervalle: Bn : e e 1 T R pour tout n 0. Montrer que les (n 2) premi` res d riv es de Bn (x) e e e ` sont continues sur le cercle. Note: Cette question consiste donc a montrer que (i) (i) Bn (0) = Bn (1) pour i = 0, 1, . . . , n 2. (c) Se convaincre, par int gration par parties, que les int grales e e1 0

xn cos 2mx dxn i=0

1

et0

xn sin 2mx dx

sont de la forme

ci , mi

ci R.

(d) Montrer que les Bn (x) ont la parit ()n par rapport au point x = 1 , ceste 2 1 ` a-dire, montrer que Bn ( 2 + ) = ()n Bn ( 1 ). Note: par induction. 2 (e) En utilisant lexercice pr c dent, montrer que les s ries de Fourier de Bn e e e sont sin 2mx , n impair, Bn (x) = cn mnmN

24 et Bn (x) = cnmN


cos 2mx , mn

n pair,

(f) Montrer que la constante cn est donn e par e n+1 2() 2 n! , n impair, (2)n cn = n 2() 2 +1 n! , n pair. (2)n Note: Pour cela, commencer par montrer que le coefcient de xn dans Bn est ` egal a 1. (g) Montrer que la fonction g n ratrice des polynomes de Bernoulli est: e e text = et 1

Bn (x)n=0

tn . n!

` Note: Nous introduirons plus loin, a la section 3.4, le concept de fonction g n e e ratrice. Si vous n tes pas familiers avec ce concept, ignorez (pour linstant) cet e exercice.

1.5

La corde vibrante

e Les s ries de Fourier ont et introduites dans le but de r soudre l quation e e e de la chaleur. Leur role peut etre ais ment etendu aux equations aux d riv es e e e partielles lin aires dont font partie, outre l quation de la chaleur, l quation e e e des ondes (qui d crit la corde vibrante, le tambour ou les ondes electromagn e e tiques), l quation du chissement des poutres, etc. A la section 3.1, nous ree e verrons les d nitions relatives aux equations diff rentielles ordinaires et aux e e d riv es partielles. Pour la section pr sente, aucune connaissance particuli` re e e e e nest suppos e sur ce sujet. e Nous n tudierons ici quune seule application: la solution de l quation de e e la corde vibrante qui d crit entre autres la dynamique des cordes du violon, e de la guitare et du piano. Dorigine physique, ce probl` me r v` le la puissance e e e ` des s ries de Fourier. Avant de passer a ce probl` me, nous allons cependant e e r soudre un probl` me plus simple, celui de la corde plomb e. Les techniques e e e utilis es nous indiqueront la voie pour la corde vibrante et certaines propri t s e ee remarquables seront red couvertes dans les sections suivantes (3.2 et 3.3). e Dans les deux cas, notre discussion suivra les etapes suivantes: 1. description de l quation d volution, e e 2. s parabilit et solution g n rale, e e e e 3. conditions initiales.

1.5. La corde vibrante

25

1.5.1 La corde plomb e e1. L quation de la corde plomb e e e Une corde plomb e est une corde tendue de masse nulle sur laquelle sont e x s a distance egale n poids de masse egale m. La position d quilibre core ` e ` respond a la corde rectiligne. (Voir la gure 1.7.) Nous restreindrons le mou` vement de ces masses a un plan. Pour obtenir l quation du mouvement de ce e syst` me, nous ferons deux hypoth` ses: premi` rement, la tension T dans la corde e e e sera suppos e constante (ce qui implique que le mouvement longitudinal des e masses est nul) et, deuxi` mement, le d placement transversal (cest-` -dire vere e a ` tical) est petit par rapport a la distance l entre les masses. Cette derni` re hypoe th` se est souvent appel e lhypoth` se des petites oscillations. Le d placement e e e e ` vertical de la i-i` me masse par rapport a sa position d quilibre sera not xi . e e e

F IG . 1.7 La corde plombe n = 3 (a) et sa position dquilibre (b) e e Le point de d part est l quation du mouvement de Newton F = ma que e e nous devons ecrire pour chacune des masses. Lacc l ration est evidemment la ee ` d riv e seconde d2 xi /dt2 . La seule force sur la masse mi , 1 i n, est due a e e la tension dans la corde. Puisque le d placement nest que selon laxe vertical, e seule la composante verticale de la tension T entre en jeu. Ainsi la force Fi sur mi (1 < i < n) sera la somme des composantes verticales de la tension dans ` ` les segments de la corde a gauche et a droite de la masse. La composante ver` ticale de la tension dans le segment gauche est T sin i1,i ou i1,i est langle ` que la corde entre mi1 et mi fait par rapport a lhorizontale. (Nous avons uti ` lis ici le fait que la tension dans la corde est constante et egale a T .) Si les d e e ` placements xi1 et xi sont petits, alors le sinus est approximativement egal a ` (xi xi1 )/l. Une expression similaire est obtenue pour le segment a droite de mi . Ainsi l quation de Newton mai = Fi pour la i-i` me masse (1 < i < n) e e est: d2 xi xi xi1 xi xi+1 m 2 = T ( + ) dt l l T = (xi1 + 2xi xi+1 ). l

26


` Il est usuel de poser la seule constante physique pertinente au probl` me, a sae T ` voir ml , egale a 1. (Y perd-t-on en g n ralit ?) Alors l quation ci-dessus dee e e e vient simplement d2 xi = (xi1 + 2xi xi+1 ). dt2 Les deux poids extr mes v rient les equations: e e d 2 x1 = (2x1 x2 ) dt2 d2 xn = (xn1 + 2xn ). dt2 (Pourquoi?) Ces equations sont donc les equations du mouvement de la corde plomb e. e Ce syst` me d quations diff rentielles ordinaires peut etre mis sous la forme e e e matricielle d2 x = Ax dt2 ` ou x= Rn xn1 xn x1 x2 x3 . . . 2 1 0 1 2 1 0 1 2 A= . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 0 .. . 0 0 0 . . . 2 1 Rnn . 1 2 0 0 0 . . . ()

et

Pour le physicien, ce syst` me d crit l volution au cours du temps des n poids. e e e Pour le math maticien, il sagit dun syst` me d quations diff rentielles (` cause e e e e a d2 xi e e des dt2 qui y interviennent) qui d crit la d pendance des fonctions xi en fonction de leur argument t. R soudre ce syst` me, cest donner les n fonctions xi e e ` explicitement. Cest ce que nous faisons a la prochaine etape. 2. Une hypoth` se simplicatrice et la solution g n rale e e e Comment r soudre ce syst` me d quations diff rentielles ordinaires? La soe e e e lution g n rale de l quation diff rentielle e e e e d2 y = ay dt2 ` ou y = y(t) est une fonction r elle du temps t et a une constante positive est e bien connue: y = cos at + sin at ` ou et sont des constantes r elles. (Que cette fonction soit une solution peut e etre v ri e directement. Que cette fonction soit la solution gnrale vient du fait e e e e


27

que l quation diff rentielle etant du second ordre, sa solution g n rale d pend e e e e e ` de deux constantes r elles, ici et . Nous en reparlerons a la section 3.1.) Nous e allons chercher une solution du syst` me () de forme similaire. Soit e x10 x20 x30 x = . cos t = x0 cos t . . xn1,0 xn0 ` ` e ` ou est une constante a d terminer et x0 un vecteur constant Rn egalement a d terminer. Nous aurions pu prendre tout aussi bien sin t plutot que cos t; e nous en aurons dailleurs besoin pour ecrire la solution g n rale. Cette forme e e particuli` re de la solution recherch e x implique que: e e toutes les variables xi auront la m me d pendance en t, e e cest-` -dire oscilleront avec la m me fr quence. a e e Puisque et x0 sont des constantes, la d riv e seconde de x se calcule ais e e e ment: d2 x d2 = 2 (x0 cos t) = x0 2 cos t = 2 x. dt2 dt Le syst` me diff rentiel () devient alors e e 2 x = Ax 0 = (A 2 I)x ` ou I est la matrice identit . Puisque cette egalit doit etre satisfaite pour tout t, e e nous devons avoir: 0 = (A 2 I)x0 . Mais cette equation est un probl` me matriciel. Le vecteur x0 sera non-nul que e si (A 2 I) est singuli` re. Ainsi: e la solution du syst` me diff rentiel est r duit au probl` me e e e e de trouver les valeurs propres 2 de la matrice A. Avant m me de commencer le travail, nous pouvons observer que la matrice e A est sym trique. De cette observation suivent les propri t s suivantes: e ee la matrice A est diagonalisable, ses valeurs propres sont r elles et e il existe une base orthonormale constitu e de ses vecteurs propres. e

28


Ceci est un r sultat dalg` bre lin aire. Mais ceci termine la recherche de la soe e e lution g n rale du syst` me ()! Le syst` me () contient n equations du second e e e e ordre. La solution g n rale fera donc intervenir 2n constantes. Or la matrice A e e poss` de n vecteurs propres lin airement ind pendants et chacun nous fournit e e e une solution de la forme: xi cos i t 0 ` ou i est la racine carr e de la i-i` me valeur propre de A (1 i n) et xi le vece e 0 teur propre correspondant. Mais, comme nous lavons dit plutot, nous aurions pu egalement consid rer les solutions e xi sin i t 0 qui forment, avec les pr c dentes, 2n solutions lin airement ind pendantes. La e e e e solution g n rale du syst` me () est donc une combinaison lin aire de ces 2n e e e e solutions. Chacune de ces 2n solutions est appel un mode propre de la corde e plomb e. Les constantes i , 1 i n, sont appel es frquences propres ou nae e e turelles et leur ensemble est appel le spectre de la corde plomb e. e e 3. Conditions initiales Ce r sultat dexistence peut vous laisser sur votre faim... Voici donc un e ` exemple particulier ou nous d crirons une solution particuli` re pour la corde e e plomb e avec trois masses (n = 3). Pour obtenir une solution particuli` re, il e e faut sp cier compl` tement les conditions initiales. Puisque l quation de Newe e e ton est du second ordre, il faut donner les positions et vitesses initiales des n masses. Dans le cas n = 3, il faudra donc donner les six constantes: x1 (0), x2 (0), x3 (0) dx1 dx2 dx3 (0), (0), (0). dt dt dt ` Commen ons par trouver les modes propres. La matrice a diagonaliser est c 2 1 0 A = 1 2 1 . 0 1 2 ` il Le polynome caract ristique est det(A xI) = 4 + 10x 6x2 + x3 ou, faut se e 2 e rappeler, x a et mis pour . Les trois valeurs propres sont donc: 2 2, 2, 2 + 2. Les vecteurs propres associ es sont, dans lordre: e 1 1 1 x1 = 2 , x2 = 0 et x3 = 2 . 0 0 0 1 1 1 Nous venons donc de trouver six solutions lin airement ind pendantes. Deux e e ` modes propres correspondent a la fr quence la plus basse: e 1 1 2 sin 2 2t. 2 cos 2 2t et 1 1

mode propre fr quence propre e spectre


29

Les quatre autres modes peuvent etre ecrits similairement. La solution g n rale e e pour n = 3 est donc x =x1 (1 cos 1 t + 1 sin 1 t) 0 + x2 (2 cos 2 t + 2 sin 2 t) 0 + x3 (3 cos 3 t + 3 sin 3 t) 0 qui d pend, comme il se doit, de six constantes arbitraires: 1 , 2 , 3 et 1 , 2 , e 3 .

F IG . 1.8 Les trois congurations propres de la corde plombe n = 3 e Ces modes sont repr sent s a la gure 1.8. Les modes propres avec la fr e e ` e ` ` quence propre la plus faible 1 = 2 2 correspond a une conguration ou ` les trois masses forment un seul ventre. Les modes correspondant a la seconde fr quence 2 = 2 montrent deux ventres et les modes pour la plus grande e fr quence 3 = 2 + 2 en ont trois. e Soit les conditions initiales suivantes: x1 (0) = 1, dx1 (0) = 0, dt x2 (0) = 0, dx2 (0) = 0, dt x3 (0) = 1 dx3 (0) = 0. dt

` Pour trouver la solution particuli` re correspondant a ces conditions initiales, il e faut donc xer les constantes ind termin es 1 , 2 , 3 et 1 , 2 , 3 de la solue e

30 tion g n rale ci-dessus de fa on a ce que e e c ` 1 x(0) = 0 et 1


0 dx = 0 . dt 0

En prenant la d riv e de la solution g n rale et en l valuant en t = 0, nous e e e e e obtenons: 0= dx (0) dt = x1 1 1 + x2 2 2 + x3 3 3 . 0 0 0

Puisque les trois vecteurs propres sont lin airement ind pendants, il faut donc e e que 1 = 2 = 3 = 0. Posons maintenant t = 0 dans la solution x(0) = x1 1 + x2 2 + x3 3 0 0 0 1 = 0 . 1 Un rapide coup doeil montre que la solution est 1 = 3 = solution d sir e est donc e e x = 1 x1 cos 1 t + 1 x3 cos 3 t. 2 0 2 0 Passons maintenant au probl` me continu. e1 2

et 2 = 0. La

1.5.2 La corde vibrante1. L quation de la corde vibrante e Consid rons une corde x e entre 0 et L ne vibrant que dans un plan de lese e e pace et notons u(x, t) l cart (vertical) dun el ment de corde x centr au point e e x et au temps t. La densit lin aire de la corde sera not e . Nous ferons les e e e deux m mes hypoth` ses que pr c demment. La premi` re stipule que la corde e e e e e demeure de densit constante (cest-` -dire quil ny a pas de vibrations longitue a dinales) et donc que la tension T dans la corde est partout la m me. La seconde e est celle des petites oscillations: u(x, t) L. Comme pr c demment le point de d part est l quation de Newton: F = e e e e ma. Ici cependant, la corde est un milieu continu et nous nous concentrerons e sur un el ment de longueur x qui jouera le role dun des poids. La masse de e cet el ment est x. Lacc l ration a de l l ment est la d riv e seconde de u par ee ee e e ` ` rapport a t evalu e au point x ou est situ l l ment x. Les forces (verticales) e e ee e sur cet el ment sont les parties verticles de la tension dans la corde aux deux extr mit s de l l ment. Ainsi l quation du mouvement ma = F se lit: e e ee e x 2 u(x, t) = partie verticale de (T2 ) partie verticale de (T1 ). t2


31

F IG . 1.9 La corde vibrante (a) et un elment x avec les forces qui agissent sur lui (b) e ` Les parties verticales sont obtenues a laide des sinus des angles 1 et 2 d nis e sur la gure. = T (sin 2 sin 1 ) = T (tan 2 tan 1 ). Pour cette derni` re etape, nous avons utilis le fait que les fonctions sin et tan e e sont les m mes pour des arguments sufsamment petits. Plus pr cis ment, le e e e premier terme du d veloppement en s rie de Taylor autour de 0 de sin et de e e tan concident. Cest ici que nous utilisons lhypoth` se des petites oscillations. e Puisque la tangente de 1 est pr cis ment la pente de la droite tangente au grae e phe de u en x x , on peut remplacer tan 1 par u (x x , t) et similairement 2 x 2 pour tan 2 : =T et alors 2 T u(x, t) = t2 u x (x

u x u x (x + , t) (x , t) x 2 x 2

+

x 2 , t)

u (x x x

Pour x sufsamment petit, le membre de droite devient T/ fois la d riv e see e ` conde de u par rapport a x. L quation de la corde vibrante que nous etudierons equation de la e est donc corde vibrante 2 2 u(x, t) = a2 2 u(x, t). 2 t x ()

e La constante positive T/ a et remplac e par la constante a2 . Cette equation est e un exemple classique d quations diff rentielles aux d riv es partielles. Elle est lin arit e e e e e e

x 2 , t)

.

32


` linaire, cest-` -dire si u1 et u2 sont des solutions, alors cu1 et u1 + u2 (ou c est e a une constante) le sont aussi. 2. S parabilit et solution g n rale e e e e Nous avons vu que, pour la corde plomb e, la forme de la solution (x = e ` ` x0 cos t) donnait a toutes les masses la m me d pendance en t, a savoir cos t. e e Lanalogue de cette hypoth` se pour le cas de la corde continue est de chercher e une solution de la forme: u(x, t) = X(x)T (t) ` ou les fonctions X et T ne d pendent que dune variable. Il est clair quen g e e n ral, la solution de l quation de la corde vibrante naura pas cette forme. Cee e pendant, comme pour la corde plomb e, nous pouvons esp rer obtenir la soe e lution g n rale en faisant des combinaisons lin aires de solutions de la forme e e e u(x, t) = X(x)T (t). L quation devient alors e 2 XT 2 XT = a2 t2 x2 et puisque X ne d pend pas de t ni T de x: e X et donc 1 d2 T 1 d2 X = a2 . T dt2 X dx2 Nous avons remplac les signes de d riv e partielle () par des signes de d rie e e e v e totale (d) puisque les fonctions sont maintenant dune seule variable. Utie ` e lisant la notation X et T pour les d riv es secondes, l quation a r soudre est e e e donc simplement: 1 T X = . a2 T X Remarquons que le membre de gauche ne d pend que de t alors que le membre e de droite ne d pend que de x. Ceci nest possible que si les deux membres sont e ` en fait egaux a la m me constante. (Certains etudiants sont d rout s par cet are e e gument. Voici une autre fa on de vous convaincre de ce r sultat. Essayer de c e trouver deux fonctions f et g telles que l quation f(t) = g(x) soit satisfaite pour e ` toute valeur de t et de x. Vous arriverez rapidement a la conclusion que f et g sont des fonctions constantes et egales.) Soit 2 cette constante. Alors la solu` e tion de l quation se r sume a r soudre les deux equations diff rentielles ordie e e naires: X = 2 X et T = a2 2 T. s parabilit e e Lhypoth` se sur la forme de la solution cherch e (u(x, t) = X(x)T (t)) m` ne donc e e e d2 T d2 X = a2 T 2 2 dt dx


33

` a la s paration de l quation aux d riv es partielles en deux equations ordie e e e naires. Le truc que nous avons utilis pour sparer l quation de la corde vibrante e e e ne fonctionne pas toujours. Il d pend de l quation diff rentielle consid r e, du e e e ee syst` me de coordonn es utilis et des conditions aux limites. Lorsquun proe e e bl` me donn permet la s paration, il est dit sparable. Cette propri t remare e e e ee quable joue un role central en equations diff rentielles aux d riv es partielles. e e e ` Nous y reviendrons a la section 3.2. La premi` re de ces equations a pour solution g n rale: e e e X(x) = c1 cos x + c2 sin x, ` ou c1 et c2 sont deux constantes arbitraires. Puisquon exige de la corde que ses extr mit s soient xes, il faut donc que e e u(0, t) = u(L, t) = 0, cest-` -dire a X(0) = X(L) = 0. La solution ci-dessus donne en x = 0: X(0) = 0 = c1 + 0 et donc: c1 = 0. La condition en x = L donne: X(L) = 0 = c2 sin L qui a pour solution: n , n N. L Nous avons etiquet les diff rentes solutions de par n. Nous ferons de m me e e e pour les deux fonctions X et T ainsi que pour leur produit u; alors un (x, t) = ` Xn (x)Tn (t) est la solution qui correspond a la constante de s paration n . Noe tons que ce sont les conditions aux limites u(0, t) = u(L, t) = 0 qui ont x les e valeurs possibles n . ` e L quation pour Tn (t) est alors un jeu denfant a r soudre. Elle se lit maine tenant: a2 n2 2 Tn = Tn L2 et sa solution g n rale est: e e n = Tn (t) = An cos ant ant + Bn sin L L

` ou An et Bn sont deux constantes arbitraires. La constante de s paration n e peut donc etre interpr t e physiquement comme etant la fr quence du mode ee e ` un etudi . Ainsi, par la remarque a la n du paragraphe pr c dent: e e e

34


les conditions aux limites xent les fr quences naturelles e du syst` me physique etudi . e e spectre dun syst` me physique e spectre dun op rateur lin aire e e Lensemble des fr quences naturelles dun syst` me physique est appel le spece e e tre du syst` me. Les math maticiens parlent egalement du spectre dun oprateur e e e linaire; dans le cas pr sent, lop rateur lin aire est e e e e d2 dx2 qui agit sur lespace des fonctions poss` dant des d riv es partielles secondes et e e e qui sannulent en x = 0 et L. Cette d nition est plus abstraite mais fort utile. e Nous venons donc de trouver une famille de solutions etiquet es par n N: e un (x, t) = An cos ant ant + Bn sin L L sin nx . L

e (La constante c2 dans la solution Xn (x) a et absorb e dans les deux constantes e An et Bn parce que le produit de deux constantes arbitraires demeure une constante arbitraire. Comme il deviendra clair ci-dessous, nous navons perdu aucune g n ralit en faisant cette red nition des An et Bn .) Rappelons-nous que e e e e nous avons obtenu la solution g n rale de la corde plomb e en faisant une sue e e perposition lin aire des solutions particuli` res. Si nous utilisons lanalogue de e e cet argument dans le cas pr sent, nous pouvons afrmer que la solution g n e e e rale de l quation de la corde vibrante peut etre ecrite comme e

u(x, t) =n=1

An cos

ant ant + Bn sin L L

sin

nx . L

Cette s rie fait maintenant intervenir un nombre inni de modes propres pae ram tris s par n puisque le spectre du probl` me contient un nombre inni de e e e fr quences. A nouveau, nous devrons faire face au probl` me de convergence de e e cette s rie. (Voir sections 2.3 et 2.5.) e 3. Conditions initiales Nous allons maintenant donner un exemple de solution particuli` re en e xant des conditions initiales. Nous allons supposer qu` linstant t = 0, on dona ` ne a la corde un certain prol repr sent par le graphe de la fonction f(x). On e e rel che la corde sans lui donner d lan. Ces deux hypoth` ses peuvent etre r ea e e e crites math matiquement: e u(x, 0) = f(x), prol en t = 0

1.5. La corde vibranteet u (x, 0) = 0, t en t = 0, la vitesse de chacun des points de la corde est nulle. Utilisant la solution g n rale ci-dessus evalu e en t = 0, nous obtenons: e e e

35

u(x, 0) = f(x) =n=1

An sin

nx L

et donc les An sont pr cis ment les coefcients de Fourier de la fonction f qui e e donne le prol initial de la corde. En supposant que nous puissions d river la e ` solution g n rale terme a terme, la condition impulsion initiale nulle m` ne a e e e ` u (x, 0) = 0 t

=n=1

An Bnn=1

an ant an ant sin + Bn cos L L L L

sin

nx L

t=0

=

nx an sin . L L

Cette derni` re equation afrme que les coefcients Cn = Bn an sont les coe L efcients du d veloppement en s rie de Fourier de la fonction g(x) = 0 pour e e tout x. Ces coefcients doivent donc etre tous nuls et Bn = 0. Ainsi la solution correspondant aux conditions initiales ci-dessus est

u(x, t) =n=1

An sin

nx ant cos L L

` ou les An sont les coefcients de Fourier de f: An = 2 LL

f(x) sin0

nx dx. L

Le parall` le avec la corde plomb e nous a aid a poser lhypoth` se sur la e e e ` e forme de la solution cherch e: u(x, t) = X(x)T (t). Cependant dautres propri e e t s remarquables sont apparues lors de la solution de la corde plomb e. Pree e mi` rement, le probl` me diff rentiel sest vu donner une formulation purement e e e alg brique, la diagonalisation de la matrice A. Deuxi` mement, la matrice A obe e tenue etait sym trique, nous assurant un spectre r el et des modes propres ore e thogonaux. Quen est-il ici? Que veut dire tre sym trique pour un op rateur e e e diff rentiel? Et quest-ce qui nous assure que les fr quences propres de la corde e e ` vibrante soient r elles? Ces questions sont importantes et nous y r pondrons a e e la section 3.3.

36 Exercices


1. Pour obtenir le spectre de la corde vibrante, nous avons dabord obtenu la limite continue de la corde plomb e et calcul son spectre par s paration. Il est e e e egalement possible dobtenir la limite du spectre de la corde plomb e quand le e nombre n des poids tend vers linni. (a) V rier que les valeurs propres de la matrice A, n n, intervenant dans le e syst` me () d crivant la corde plomb e sont e e e i = 2 1 cos i n+1 , i = 1, 2, . . . , n

et que le vecteur propre xi associ a la valeur propre i a pour composantes e` xi,j = (xi )j = sin ij . n+1

Il sensuit que, dans le i-i` me mode propre, les n poids se situent pr cis ment e e e sur le graphe de sin(ix/(n + 1)) si la longueur totale de la corde est n + 1. (b) Dans la notation de (a), il est possible de prendre la limite vers la corde vibrante en faisant n . Montrer que lon retrouve bien ses fr quences natue relles i , i N. L (Se rappeler que n est une mesure de la longueur de la corde L et prendre lapproximation que i est beaucoup plus petit que n.) (c) Quoiquil soit difcile dimaginer un dispositif physique qui r alise un tel e syst` me, supposons maintenant que le syst` me de n masses ne soit plus attae e ` ch a deux points xes mais que la masse m1 ait comme voisine a sa gauche la e` masse mn . Dans cette conguration la corde plomb e forme un collier dont les e perles sont les masses. Quelle est la matrice B qui repr sente ce nouveau syse t` me physique. Est-elle sym trique? e e (d) Les valeurs propres de B sont-elles r elles? Comment interpr` ter la fr quene e e ce nulle? Pouvez-vous obtenir les valeurs propres de B dune fa on aussi comc pl` te quen (a)? e 2. Dans le traitement de la corde vibrante, nous avons choisi 2 comme constante de s paration, sous-entendant donc que cette constante est n gative ou e e nulle. Montrer que, si cette constante est choisie strictement positive, l quation e diff rentielle pour X na pas de solution non-nulle qui satisfasse les conditions e aux limites. ` 3. La limite continue du syst` me physique d crit a lexercice 1. (b) correspond e e ` a une corde vibrante dont les extr mit s sont attach es a des tiges sur lesquelles e e e ` elles sont libres de glisser. Alors la corde arrive toujours perpendiculairement ` a ces deux tiges qui la tendent. En dautres termes: u u (0, t) = (L, t) = 0. x x


37

Obtenir le spectre de ce nouveau probl` me physique, ecrire la solution g n rale e e e et la solution particuli` re correspondant aux conditions initiales: u(x, 0) = 0 et e u t (x, 0) = f(x). 4. L quation d crivant la temp rature u(x, t) le long dune barre de longueur e e e L et dont la surface est isol e thermiquement est: e 1 u 2 u = , 2 t a x2 ` ou a2 est une constante (positive), x est la position le long de la barre (0 x L) et t est le temps. ` (a) Trouver une famille de solutions de la forme un (x, t) = Xn (x)Tn (t) ou Xn et Tn ne d pendent que dune variable, si les deux extr mit s de la barre sont e e e ` maintenues a la temp rature nulle: e u(0, t) = 0 et u(L, t) = 0.

(Se rappeler que la temp rature dune telle barre ne peut pas augmenter ind e e niment avec le temps.) (b) Dire comment les solutions obtenues en (a) peuvent donner la solution de l quation e de la chaleur si, initialement, la temp rature e le long de la barre est u(x, 0) = f(x) et f(0) = f(L) = 0.

(c) Supposons que f ait qualitativement la forme ci-contre. Tracer qualitativement u(x, t1 ) F IG . 1.10 La fonction temprae 2 pour t1 = aL2 ln 2. Justier. 2 ture u au temps t = 0 Remarque: L quation de la chaleur est un des principaux acteurs dans lhistoire e rocambolesque du premier c ble transatlantique. A lire dans Korner, pp. 332a 337.

Chapitre 2

Convergence des s ries de Fourier e` A la n de la premi` re section, nous avons soulev les questions fondamene e ` tales reliant la fonction f a sa s rie de Fourier. Rappelons ces questions: e Est-ce que les sommes partielles sm = a0 /2+ n=1 (an cos nx+bn sin nx) tendent vers f(x) en tout point x [, )? Sous quelles conditions? Peut-on reconstruire f en tout point x [, ) m me si les sommes pare tielles ne convergent pas? Peut-on mesurer la distance entre les sommes partielles sm et la fonction originale f? Cette distance tend-elle vers 0 lorsque m tend vers linni? Chacune de ces questions se verra consacrer une section du pr sent chapitre. e Les r ponses sont parfois surprenantes. Les sections 2.1 et 2.4 rappellent les oue tils danalyse et dalg` bre lin aire dont nous aurons besoin. e e La pr sentation des th or` mes fondamentaux de ce chapitre (sections 2.3, e e e 2.2 et 2.5) suit de pr` s celle de Korner. em

2.1 Rappel danalyse 1L tude de la convergence ponctuelle et en moyenne des s ries de Fourier e e reposent sur les concepts danalyse suivants: 1. la continuit , e 2. la convergence dune s rie et dune suite, e1. Ceci est un rappel! Il est impossible de matriser la mati` re couverte ici en ne lisant que cette e section. Je recommande malgr tout aux etudiants qui nont pas suivi un premier cours danalyse e datteindre une compr hension intuitive des principales d nitions. e e

40 3. lint grale de Riemann, e 4. la convergence uniforme.

Chapitre 2. Convergence des s ries de Fourier e

Dans cette section, nous rappelons rapidement ces concepts. Des exemples sont donn s pour rafrachir ou d velopper lintuition. Je suis la pr sentation de Spie e e vak, Calculus, 2nd ed., Publish or Perish (1980).

2.1.1 La continuit econtinuit e D nition 1. (a) Une fonction F : (a, b) R est continue en y (a, b) si, pour e tout > 0, il existe > 0 tel que, si |y x| < alors |f(y) f(x)| < . (b) Une fonction f est continue sur un intervalle ouvert si elle est continue en tout point de cet ouvert. Le concept de continuit peut etre mis en mots de la fa on suivante: une e c fonction f est continue en y si la valeur f(x) est arbitrairement proche de la valeur f(y) pour tout x sufsamment proche de y. Rappelons que |a l| < signie que a appartient au segment (l , l + ). (Exercice!) Les fonctions continues ont les propri t s suivantes. ee 1. Si f et g sont continues en a, alors f + g et f g le sont egalement. 2. Si g est continue en a et f lest en g(a), alors f g lest en a.

F IG . 2.1 Quatre graphes: seul le premier reprsente une fonction continue e

2.1. Rappel danalyse

41

La gure 2.1 pr sentent les graphes de quatre fonctions. Les deux fonctions e du haut ne diff` rent quau point y. Pour la premi` re, toutes les valeurs de f(x) e e pour x sufsamment proche de y sont arbitrairement proche de la valeur de f(y). Cette fonction est donc continue en y. Le m me argument peut etre r p t e e ee aux autres points de lintervalle. Cette fonction est donc continue sur tout lintervalle repr sent . Sa voisine concide avec la premi` re a lexception du point e e e ` y. Elle nest pas continue en ce point car il existe des points x proches de y qui prennent des valeurs fort loin de la valeur f(y) donn e par le point noir. Cette e fonction nest donc pas continue en y; elle lest cependant partout ailleurs. Le troisi` me graphe est celui de la fonction cr neau. Les points noirs indie e quent les valeurs de la fonction aux points de saut. Remarquons quen chacun de ces points de saut, tout point x a gauche et sufsamment proche dun saut ` poss` de la valeur de la fonction en ce saut. Cependant les points imm diatee e ment a droite ne le sont pas. La d nition de continuit impose une fen tre au` e e e ` ` tour de y contenant des points a gauche et a droite. Ainsi la fonction cr neau e nest continue en aucun de ses sauts. En dehors de ces derniers, elle est continue. Ces premiers exemples sont assez evidents. Il est difcile de comprendre sur ceux-ci pourquoi une d nition aussi abstraite est n cessaire. Le prochain e e exemple est plus d licat. Le quatri` me graphe est celui de la fonction f : x e e 1 R \ {0} sin x . Pour tout x = 0, la fonction f se comporte bien et son graphe est bien lisse. Pr cis ment en x = 0, la fonction f nest pas d nie; lorsque x 0, e e e la fonction f oscille sauvagement. Existe-t-il un nombre tel que la fonction f : R R qui concide avec f sur louvert R \ {0} et prend la valeur en x = 0 ` soit continue en x = 0? La r ponse a ceci est non. Supposons que f(0) = et e que f est continue en x = 0. Alors pour tout > 0, on peut trouver > 0 tel que, si |y x| < alors |f(y) f(x)| < . Supposons que < 1 soit x et le e 1 correspondant connu. Il est possible de trouver n > 2 , n N. Alors pour tout x tel que 1 1 0< . Ainsi f e est continue sur R\{0} mais ne peut pas etre prolong e en une fonction f d nie e sur tout R qui soit continue egalement en x = 0.

2.1.2 La convergence dune suite et dune s rie e Une suite est un ensemble de nombres r els etiquet s par les entiers natue e rels: {a1 , a2 , . . . , an , . . . }. Une suite contient donc un nombre inni de nombres. D nition 2. Une suite converge vers l si, pour tout > 0, il existe N N tel que, convergence e si n > N, alors |an l| < . On ecrit {an } l, an l ou encore limn an = l. dune suite

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En mots courants cette d nition afrme quune suite converge vers l si, e e ` quelque soit > 0, tous les el ments de la suite sont a une distance de l plus pe` e tite que a lexception, peut- tre, des premiers N el ments. (Le nombre N doit e etre ni.)1 1 Exemple 1. La suite {1, 1 , 3 , . . . , n , . . . } 0. Que cette suite converge vers 0 2 tre intuitivement clair. En voici la preuve. Soit > 0. On choisira N tel devrait e 1 1 que N > 1 , N N. Alors, si n > N, on a N > n et donc

1 1 1 1 l = 0 = < < . n n n N Exemple 2. La suite {1, +1, 1, +1, . . . , (1)n , . . . } ne converge pas. A nou veau, cet afrmation devrait etre assez claire. La preuve proc` de comme suit. e e Si = 1 > 0 et la limite etait l, alors quelque soit N, les el ments pairs de la 2 suite avec n > N seraient tels que |an l| = |1 l| alors que les impairs seraient tels que |an l| = | 1 l|. Il faut donc que |1 l| et | 1 l| < 1 . 2

` Mais ceci est impossible car ceci signie que l est a une distance plus petite que 1 ` a la fois de 1 et de 1. 2 Soit {a1 , a2 , . . . , an , . . . } une suite. Consid rons les sommes partielles e s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , s3 = a1 + a2 + a3 , ...,n

sn =i=1

ai ,

... Lensemble {s1 , s2 , s3 , . . . , sn , . . . } est lui-m me une suite. e convergence dune s rie e D nition 3. La suite {a1 , a2 , . . . , an , . . . } est dite sommable si la suite {s1 , s2 , s3 , e . . . , sn , . . . } converge. Si la suite {s1 , s2 , s3 , . . . , sn , . . . } converge vers s, on dit alors que la srie i=1 ai converge vers s et on ecrit e

ai = s.i=1

Les suites sommables ont les propri t s suivantes. ee 1. Si {an } et {bn } sont sommables, alors {an + bn } lest aussi et an + bn . (an + bn ) =


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2. Si {an } est sommable, alors {can } lest aussi pour tout nombre c. De plus can = c an . 3. Si {an } est sommable, alors limn an = 0. Exemple 3. Soit la suite {1, r, r2 , r3 , . . . , rn1 , . . . } pour |r| < 1. Cette suite est- suite g om trique e e elle sommable? Pour y r pondre, notons dabord quil existe une expression e n1 simple pour la somme partielle sn = i=0 ri . En effet: sn = 1 + r + r2 + + rn1 et rsn = r + r2 + r3 + rn . Donc rsn sn = rn 1 et i i=0 r

sn = Alors existera si limn lim

1 rn . 1r n 1r 1r existe. Mais

1 rn 1 1 1 = lim rn = n 1 r 1 r 1 r n 1r puisque |r| < 1. Alors la suite {1, r, r2 , r3 , . . . , rn1 , . . . } converge et

rn1 =n=1 n=0

rn =

1 . 1r

1 1 Exemple 4. Soit la suite {1, 1 , 3 , 4 , 1 , . . . }. Cette suite nest pas sommable. Pour 2 5 le voir, il suft de remarquer que les termes de la somme peuvent etre regroup s e de la fa on suivante: c 1 1+ 2 1 2

+

1 1 + 3 41 2

+

1 1 1 1 + + + 5 6 7 81 2

+

1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + +... 9 10 11 12 13 14 15 161 2

Remarquons que la r ciproque de la troisi` me propri t ci-dessus nest donc e e ee pas vraie: une suite {an } peut ne pas etre sommable m me si limn an = 0. e

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2.1.3 Lint grale de Riemann e` Lint gration nest pas un concept difcile a comprendre; on lintroduit habie ` e tuellement comme laire sous le graphe. Cest pourtant un concept difcile a d nir rigoureusement et il existe en fait plusieurs d nitions non- quivalentes. e e Lint grale de Riemann est habituellement celle d nie dans les premiers cours e e danalyse. D nition 4. Soit a < b. Une partition de lintervalle [a, b] est une collection nie e de points distincts [a, b], un etant a et un autre etant b. (On prendra pour acquis que ces points sont ordonns a = t0 < t1 < < tn1 < tn = b.) e D nition 5. Soit f borne sur [a, b] et P = {t0 , t1 , . . . , tn } une partition de [a, b]. e e Soit mi = inf {f(x) : ti1 x ti } Mi = sup {f(x) : ti1 x ti }. La somme infrieure de f pour P, note L(f, P), est dnie par: e e en

L(f, P) =i=1

mi (ti ti1 ).

La somme suprieure de f pour P, note U(f, P), est dnie par: e e en

U(f, P) =i=1

Mi (ti ti1 ).

int grale de Riemann e

D nition 6. Une fonction f borne sur [a, b] est intgrable (au sens de Riemann) sur e e e [a, b] si sup {L(f, P)} = inf {U(f, P)}.P P

Dans ce cas, on note ce nombre commun par

b a

f ou

b a

f(x)dx.

Lint gration au sens de Riemann est celle que nous utiliserons par la suite. e Certaines fonctions ne sont pas int grables en ce sens. Par exemple la fonction e f(x) = 0, 1, x irrationnel, x rationnel.

ne lest pas sur lintervalle [a, b]. Il est ais de sen convaincre en effet puisque, e quelque soit la partition P, les sommes inf rieure et sup rieure sont L(f, P) = 0 e e et U(f, P) = (b a). Alors sup {L(f, P)} = 0 = (b a) = inf {U(f, P)}P P

et lint grale de f sur [a, b] nexite pas. e


45

Cependant toutes les propri t s usuelles de lint gration vues dans les cours ee e de calcul demeurent vraies pour les fonctions qui sont int grables. e 1. Si f est int grable sur [a, b] et c [a, b], alors f est int grable sur [a, c] et e e b c b sur [c, b] et a f = a f + c f. 2. Si f est continue sur [a, b], alors f est int grable. e 3. Si f et g sont int grables sur [a, b], alors f + g lest et (f + g) = e ` 4. Si f est int grable sur [a, b], cf ou c R lest aussi et cf = c f. e 5. Si f est int grable sur [a, b], alors F(x) = e [a, b].x a

f + g.

f est une fonction continue sur

2.1.4 Convergence uniformeA la prochaine section, nous commencerons l tude de la convergence des s ries de e e Fourier. Pour ces s ries, chacun des termes est e une fonction. Par exemple, le d veloppement e de f(x) = x2 , x , est 2 +4 32

n=1

()n cos nx n2

et donc a0 = , a1 = 4 cos x, a2 = cos 2x, 3 4 a3 = 9 cos 3x, etc. Ainsi chacun des ai est une fonction et, pour chaque valeur de x, etablir la convergence de la s rie est un nouveau e probl` me. (On remarquera que lindice de la e ` ` suite commence ici a 0 et non a 1. Nous prendrons cette libert quand elle sera utile.) e Le grand probl` me des fonctions d nies e e par des suites {fn } est que, m me si les fn ont F IG . 2.2 La fonction f (a) et la e 2 les meilleures propri t s (continuit , diff ren- limite f (b) ee e e tiabilit , etc.) la fonction limite f, m me si elle e e existe, peut vraiment etre sauvage. Voici un exemple. (Voir la gure ci-dessus.) Soit la suite xn , 0 x 1, fn (x) = 1, 1 x. On montre ais ment que fn f avec e f(x) = 0, 0 x < 1, 1, 1 x.

46


Les fonctions fn sont continues sur tout le demi-axe {x | x 0}. Cependant la fonction limite f nest pas continue en x = 1. Donc la limite de fonctions conti nues peut ne pas etre continue. Un certain type de convergence (plus exigeant que la convergence en chaque point) est la convergence uniforme d nie comme suit. e convergence uniforme D nition 7. Une suite {fn } de fonctions dnies sur le domaine A converge unifore e mment vers une fonction f sur A si, pour tout > 0, il existe N N tel que, pour e tout x A, si n > N alors |f(x) fn (x)| < . La seule diff rence entre convergence de {fn } et convergence uniforme e de {fn } repose dans les seuls mots pour tout x A. Cette exigence suppl e ` mentaire demande quil soit possible de choisir un commun a tous les x A. La convergence uniforme est extr mement utile. En voici quelques propri e e t s. e 1. Soit {fn } une suite de fonctions int grables sur lintervalle [a, b] et qui cone verge uniform ment sur [a, b] vers une fonction f qui est elle-m me int e e e b b grable. Alors a f = limn a fn . 2. Si les fn sont continues sur [a, b] et convergent uniform ment sur [a, b] e vers f, alors f est continue.

Exercices

1. Les fonctions suivantes sont-elles continues en x = 0? x+1 (a) f(x) = x1 tan x (b) f(x) = lorsque x = 0 et f(0) = 1. x1 (c) f(x) = x sin x si x = 0 et f(0) = 0.

2. Prouver les propri t s des fonctions continues cit es dans le texte. (La seee e conde est un peu plus difcile.) 3. D cider si les suites suivantes convergent ou non et montrez-le. e (a) an = n1 n+1 cn dn . Dans ce cas pr ciser la limite en fonction de c et d. e cn + dn

` (b) an = ncn ou |c| < 1. (c) an =

4. D cider si les s ries suivantes convergent ou non et le montrer. e e

(a)n=1

1 n!

2.2. Le th or` me de Fej r e e e

47

(b)n=2

1 ln n

5. D montrer les propri t s sur les s ries cit es dans le texte. e ee e e 6. (a) Montrer que la fonction constante f(x) = c est int grable au sens de Riee mann. (b) Montrer que la fonction f(x) = x est int grable au sens de Riemann et obtee a nir 0 f. (Plus difcile.) 7. D terminer la fonction f vers laquelle converge les suites {fn } suivantes et e d cider si les suites convergent uniform ment. e en

(a) fn (x) =i=1

xi sur lintervalle (1, 1)

(b) M me fonction sur lintervalle [ 1 , 1 ] e 2 2 (c) fn (x) = enx sur lintervalle [1, 1]2

e e e 2.2 Le th or` me de Fej rApr` s plus dun chapitre sur les s ries de Fourier, il est temps davouer que e e la s rie de Fourier ne converge pas tout le temps vers la fonction originale f e mme si f est continue. En fait: e Th or` me 1 (DuBois-Reymond (1896)). Il existe une fonction continue f : T1 e e C telle que lim sup |sn (f, 0)| = .n

En dautres mots, il existe une fonction continue dont la s rie de Fourier evae lu e en x = 0 diverge! La preuve de ce th or` me mettait n aux espoirs de plue e e sieurs grands math maticiens, Riemann, Weierstra et Dedekind par exemple, e qui avaient cru que la continuit serait une condition sufsante pour assurer la e convergence de sa s rie de Fourier. Cette absence de convergence (en un point e de T1 ) nest que la pointe de liceberg cependant. En effet, il y a quelques ann es e Kahane et Katznelson (1966) ont montr que, donn un sous-ensemble S T1 e e de mesure nulle 2 , il est possible de construire une fonction continue f : T1 C telle que lim supn |sn (f, s)| = pour tout s S. Un exemple densemble de mesure nulle est le sous-ensemble des nombres rationnels sur lintervalle [, ). Ainsi il existe une fonction continue f : T1 C dont la s rie de Foue rier diverge en tous les nombres rationnels... Ceci semble d courageant. Ce ne e lest pas compl` tement car la plupart des fonctions que nous avons rencontr es e e2. Le concept de mesure dun ensemble est habituellement d ni dans un cours sur lint grale e e de Lebesgue ou sur la th orie de la mesure. e

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converge en presque tous les points de T1 . La construction dune fonction conti nue dont la s rie diverge en un point est faite dans Korner (chapitre 18). Nous ne e la referons pas. Plutot nous nous concentrerons tout dabord sur notre seconde question: Peut-on reconstruire f en tout point x D m me si les sommes partielles e ne convergent pas? La r ponse contenue dans le th or` me de Fej r est simplement: oui, si la fonce e e e tion est continue. A premi` re vue, ceci semble en contradiction avec le th or` me e e e ` de DuBois-Reymond. Mais ce ne lest pas comme nous le verrons a linstant. Le th or` me de Fej r ainsi que sa preuve sont remarquablement beaux et satisfaie e e sants. Il jouera un role crucial dans la preuve de la convergence en moyenne des fonctions continues (section 2.5). La preuve de Fej r est bas e sur lobservation que, m me si les sommes pare e e tiellesm

sm =n=m

cn einx

ne convergent pas, les moyennes des sommes partielles 1 m+1m

m =

snn=0

peuvent, elles, converger. Que repr sentent ces m ? Si les fonctions sm approxie ` ment bien f quand m , alors elles devraient etre toutes a peu pr` s egales e ` ` a f pour m sufsamment grand. Donc la moyenne devrait etre aussi a peu pr` s e f. En fait les nombres m se comportent mieux que les nombres sm ! Lemme 2. (i) Si sn s, alors 1 n+1n

n =

sj s.j=0

(ii) Il existe des suites {sn } qui nont pas de limite mais pour lesquelles {m } l existe. Preuve. (i) Soit > 0. Puisque sn s, alors il existe N( ) tel que |sn s| 2 N( ) si n > N( ). Soit A = j=0 |sj s|; choisir M( ) N( ) tel que M( ) 2A .

2.2. Le th or` me de Fej r e e eAlors, si n > M( ) N( ): 1 n+1n

49

sj s =j=0

1 n+1 1 n+1

n

(sj s)j=0 n

|sj s|j=0 n

N( ) 1 |sj s| + = n+1j=0

|sj s|

j=N( )+1

1 A + (n N( )) n+1 2 1 < (n + 1) + (n + 1) n+1 2 2

= ,

n ` ou la derni` re etape vient du fait que n > M 2A et donc 2 > A. e n (ii) La suite sn = () , nous lavons vu, ne converge pas. Cependant

1 n+1

n

sj =j=0

1 n+1

n

sj j=0 =1 ou 0

1 0. n+1

Donc les n 0. Ce lemme justie la d nition suivante. e D nition 8. Une suite {an , n = 0, 1, 2, . . . } est dite convergente au sens de Ces` ro e a n 1 si la suite des moyennes {n = n+1 j=0 aj } converge au sens usuel. Une suite {an , n = 0, 1, 2, . . . } est dite sommable au sens de Ces` ro si la suite des a n n 1 ` moyennes des sommes partielles {n = n+1 j=0 sj } ou sn = i=0 ai converge au sens de Ces` ro. a convergence au sens de Ces` ro a sommabilit e au sens de Ces` ro a

Nous allons etudier la convergence des sn au sens de Ces` ro et donc cons- Ernesto Ces` ro a a truire explicitement les n pour les s ries complexes. Soit f : T1 C une fonc- (1859-1906) e tion Riemann-int grable. Alors ses coefcients cr existent. Nous pouvons r e e ecrire n comme suit: 1 n (f, t) = n+1 =n j=0 n

1 sj (f, t) = n+1

n

j

cr eirtj=0 r=j

1 (n + 1 |r|)cr eirt . n + 1 r=n

(Le dernier signe d galit est-il evident? Pour vous en convaincre, comptez le e e n j nombre de fois que le terme r = 0 apparat dans la double somme j=0 r=j ,

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puis le nombre de fois que r = 1 apparat, etc.) On peut r ecrire ces sommes de e e Ces` ro sous une forme plus el gante: a n + 1 |r| cr eirt n+1 r=n n + 1 |r| 1 n + 1 2 r=n n + 1 |r| 1 n + 1 2 r=n 1 2T1 n n n

n (f, t) = = = =

f(x)eirx dx eirtT1

f(x)eir(tx) dxT1

f(x)Kn (t x) dx

noyau de Fej r e

` ou nous avons introduit le noyau de Fej r e n + 1 |r| irx e . n+1 r=nn

Kn (x) =

Faisant la substitution y = t x, nous pouvons r ecrire: e 1 2t

n (f, t) = =

f(t y)Kn (y) (dy)t+ t+

1 2 1 = 2

f(t y)Kn (y) dyt

T1

f(t y)Kn (y) dy.

Le th or` me de Fej r reposera presquenti` rement sur la famille de fonce e e e tions Kn . La gure 2.3 pr sente les fonctions de Fej r pour n = 1, 2, 5 et 10. Nous e e pr sentons tout dabord deux lemmes qui en d crivent les propri t s et nous ree e ee viendrons apr` s a une discussion plus pr cise de leur graphe. e ` e Lemme 3. La fonction Kn a la forme: 1 n+1 sin (n+1)x 2 sin x 22

Kn (x) =

,

x = 0,

Kn (0) = n + 1.

2.2. Le th or` me de Fej r e e e2 1.5 2 1 0.5 0.5 -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 1.5 1 3 2.5

51

6 10 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 8 6 4 2 1 2 3

F IG . 2.3 Les fonctions de Fejr pour n = 1, 2, 5, 10. Les echelles verticales varient e dun graphe a lautre. ` Preuve. Si x = 0, alors Kn (0) = =r=n

n + 1 |r| 1 n+1 r=nn

n

1

1 |r| n + 1 r=n 2 n+1n

n

= 2n + 1 = 2n + 1

rr=1

2 (n + 1)n n+1 2 = 2n + 1 n = n + 1. Si x = 0, alors: n + 1 |r| exp irx = n+1 r=nn n 2

exp i(k k=0

n 2 )x

.

Voici un tour de passe-passe presque miraculeux! Pourtant cette egalit nest e ` pas trop difcile a comprendre. Pour vous en convaincre, ecrivez dabord l gae lit pour n = 1. Le membre de gauche contiendra trois termes pour lesquels e le facteur (n + 1 |r|) sera respectivement 1, 2 et 1. La somme du membre de

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droite contiendra deux termes et, apr` s le carr , elle contiendra des exponene e tielles darguments ix, 0 et +ix. Dans ce carr , le second terme peut etre obe tenu de deux fa ons diff rentes alors que le premier et le troisi` me ne peuvent c e e etre obtenus que dune seule fa on. Leur facteur est donc 1, 2 et 1 comme au c membre de gauche, ce qui prouve l galit pour n = 1. Pour faire le cas n quele e conque, il suft de se demander de combien de fa ons les exponentielles avec c argument irx avec n r n peuvent etre produites par le carr du membre e de droite. (Rappelez-vous, dans le cas n = 1, le cas k = 0 etait produit de deux fa ons diff rentes.) Il est ais de se convaincre que lexponentielle dargument c e e irx est obtenue de (n 1 |r|), ce qui d montre l galit . Ainsi la somme cie e e dessus devientn 2

= =

i exp( 2 nx) k=0 i exp( 2 nx)

exp ikx 1 exp ix(n + 1) 1 exp ix2

` ou nous avons utilis le fait que e 2.1.2). Donc

n k k=0 r

= (1 rn+1 )/(1 r) (voir paragraphe

=

i exp( 2 nx) exp

i 2 nx

+ ix

2

i i i exp 2 x exp 2 x exp 2 x i i exp 2 (n + 1)x exp 2 (n + 1)x i i exp 2 x exp 2 x 2

=

= qui est le r sultat d sir . e e e

sin (n+1)x 2 sin x 2

2

` Le prochain lemme ajoute a ces premi` res propri t s. e ee Lemme 4. (i) Kn (x) 0 sur T1 . (ii) Kn (x) 0 uniformment en dehors de [, ], > 0. e 1 (iii) 2 T1 Kn (x) dx = 1. Avant dentreprendre la preuve de ces propri t s, il est utile de donner inee tuitivement leur utilit . Quessayons-nous de montrer? Que la suite des n (f, t) e d nie par e 1 f(t y)Kn (y) dy n (f, t) = 2 T1 converge vers f pour tout t. La seule chose qui change dans la d nition de n e lorsque n est le noyau de Fej r Kn . Ainsi les propri t s de convergence e ee

2.2. Le th or` me de Fej r e e e

53

de la s rie de Fourier de f d pend de fa on importante des propri t s du noyau e e c ee Kn . Quand on y regarde de plus pr` s, on remarque que, pour que lint grale e e 1 2 f(t y)Kn (y) dy f(t),

T1

il faut que Kn soit tr` s tr` s grand proche de y = 0 mais presque 0 partout aile e leurs. Le lemme ci-dessus donnait la valeur en x = 0: Kn (0) = n + 1 qui ef fectivement devient enorme quand n et le lemme pr sent (la partie (ii)) e montre justement que Kn , lorsque n est assez grand, est pratiquement nul en dehors dun tout petit intervalle centr en x = 0. Les graphiques de la gure 2.3 e conrme cette intuition. Donc ce lemme est crucial. Preuve. (i) Kn est le carr dun nombre r el par le lemme pr c dent. e e e e (ii) Puisque sin x est monotone croissante sur lintervalle [, ], sin < sin x 2 2 2 pour tout x tel que |x| > . Ainsi Kn (x) 1 n+1 1 sin x 22

1 n+1

1 sin 2

2

0

lorsque n 0 et ce, pour tout |x| > . (La convergence est uniforme puisque la rapidit de

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