Analyse

SCIENCES SUP

Cours et exercices corrigs

SCIENCES SUP

ANALYSE COMPLEXEPOUR LA LICENCE 3

Patrice Tauvel

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Licence 3 CAPESAN

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Patrice Tauvel

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ISBN 2 10 050074 0

ANALYSE COMPLEXE POUR LA LICENCE 3

www.dunod.com

Les fonctions holomorphes dune ou plusieurs variablescomplexes interviennent dans plusieurs branches desmathmatiques et aussi dans dautres disciplines scientifiques,en particulier en physique. Ltude de ces fonctions estrelativement ancienne et constitue toujours un domaine derecherche actif. Elles mettent en valeur la position privilgiede l'analyse complexe, situe entre la gomtrie diffrentielle,la topologie, l'analyse fonctionnelle et l'analyse harmonique.Cet ouvrage prsente lensemble des notions danalyse complexehabituellement abordes en Licence. Afin que le livre soit trsautonome, les premiers chapitres reprennent, avecdmonstrations, les rsultats classiques concernant les sriesentires. Des exercices corrigs illustrent le cours et permettentau lecteur de faire le point sur les connaissances acquises.Cet ouvrage est principalement destin aux tudiants detroisime anne de Licence de mathmatiques. Il sadresse aussiaux candidats au CAPES ou lAgrgation et aux lves descoles dingnieurs.

1 2 3 4 5 6 7 81er cycle 2e cycle 3e cycle

LICENCE MASTER DOCTORAT

MATHMATIQUES

PHYSIQUE

CHIMIE

SCIENCES DE LINGNIEUR

INFORMATIQUE

SCIENCES DE LA VIE

SCIENCES DE LA TERRE

PATRICE TAUVEL

est professeur luniversit de Poitiers.

NordCompoFichier en pice jointe9782100500741_couverture.jpg


lim Tauvel Page I Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10

lim Tauvel Page II Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10


Cours et exercices corrigs

Patrice Tauvel

Professeur luniversit de Poitiers

lim Tauvel Page III Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10

Illustration de couverture : digitalvision

Conseiller scientifique : Sinnou David

Dunod, Paris, 2006ISBN 2 10 050074 0

lim Tauvel Page IV Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10

Table des matires

AVANT-PROPOS XI

CHAPITRE 1 SRIES NUMRIQUES

1.1 Notations et rappels 1

1.2 Limite suprieure et limite infrieure 2

1.3 Gnralits sur les sries numriques 4

1.4 Sries termes positifs 6

1.5 Convergence absolue 8

1.6 Rgles de Cauchy et de dAlembert 10

1.7 Sries alternes 11

1.8 Sries semi-convergentes 12

1.9 Srie produit 13

1.10 Convergence associative ou commutative 14

1.11 Intgrales et sries 17

Exercices 19Solutions des exercices 20

CHAPITRE 2 SUITES ET SRIES DE FONCTIONS

2.1 Convergence simple 23

2.2 Convergence uniforme 24

2.3 Continuit 25

2.4 Drivabilit 25

2.5 Intgrabilit 27

VI Analyse complexe pour la Licence 3

2.6 Sries de fonctions 28

2.7 Convergence normale 29

Exercices 30

Solutions des exercices 31

CHAPITRE 3 SRIES ENTIRES

3.1 Gnralits 35

3.2 Rayon de convergence 36

3.3 Continuit et intgrabilit 38

3.4 Drivabilit 39

3.5 Fonctions dveloppables en srie entire 40

3.6 Quelques exemples 42

3.7 Fonction exponentielle 43

3.8 Fonctions circulaires et hyperboliques 45

Exercices 46


CHAPITRE 4 FONCTIONS ANALYTIQUES

4.1 Dfinition des fonctions analytiques 50

4.2 Principe du prolongement analytique 52

4.3 Principe des zros isols 52

Exercices 54


CHAPITRE 5 FONCTIONS HOLOMORPHES

5.1 Rappels 58

5.2 Conditions de Cauchy-Riemann 59

5.3 Dterminations continues du logarithme 62

5.4 Autres dterminations continues 64

Exercices 65


Table des matires VII

CHAPITRE 6 ANALYTICIT ET HOLOMORPHIE

6.1 Arcs et chemins 67

6.2 Intgration complexe 69

6.3 Indice 71

6.4 Existence des primitives 72

6.5 Analyticit des fonctions holomorphes 77

6.6 Fonctions circulaires rciproques 79

Exercices 82


CHAPITRE 7 PROPRITS DES FONCTIONS HOLOMORPHES

7.1 Ingalits de Cauchy et consquences 84

7.2 Principe du maximum 85

7.3 Lemme de Schwarz et applications 87

7.4 Suites et sries 89

7.5 Holomorphie et intgration 91

Exercices 94


CHAPITRE 8 FONCTIONS MROMORPHES

8.1 Un point de topologie 98

8.2 Singularits isoles 99

8.3 Fonctions mromorphes 101

8.4 Thorme des rsidus 102

8.5 Thorme de lindice 104

8.6 Thorme de Rouch 106

8.7 Inversion locale 107

8.8 Sries de fonctions mromorphes 109

Exercices 112


VIII Analyse complexe pour la Licence 3

CHAPITRE 9 PRODUITS INFINIS

9.1 Produits infinis de nombres complexes 1169.2 Produits infinis de fonctions holomorphes 119


CHAPITRE 10 HOMOTOPIE ET HOLOMORPHIE

10.1 Homotopie et simple connexit 126

10.2 Primitive le long dun arc 130

10.3 Indice 132

10.4 Formule de Cauchy 13510.5 Sries de Laurent 137

10.6 Les gnralisations 140


CHAPITRE 11 HOLOMORPHIE ET PARTIES LOCALEMENT FINIES

11.1 Produit canonique de Weierstrass 14511.2 Applications 147

11.3 Idaux 150


CHAPITRE 12 REPRSENTATION CONFORME

12.1 Topologie 15412.2 Un rsultat disomorphisme 15712.3 Conservation des angles 159


CHAPITRE 13 QUELQUES GRANDS CLASSIQUES

13.1 Thormes de Picard 16413.2 Thorme de Runge 169


Table des matires IX

CHAPITRE 14 FONCTIONS HARMONIQUES

14.1 Premires proprits 179

14.2 Reprsentation intgrale 181

Exercices 184


CHAPITRE 15 QUELQUES CALCULS DINTGRALES

15.1 Quelques lemmes 186

15.2 Quelques mthodes 188

RFRENCES BIBLIOGRAPHIQUES 197

INDEX 199

Avant-propos

Les rsultats concernant la thorie des fonctions holomorphes dune ou plusieurs va-riables complexes sont trs nombreux, car cest une thorie relativement ancienne (etla recherche dans ce domaine des mathmatiques est toujours trs active). Pour abordercette thorie, ltudiant aura intrt procder par tapes. Ce livre peut tre vu commela premire de ces tapes. Donnons quelques explications ce sujet.Les connaisances pour aborder la lecture de louvrage sont plutt modestes. En ce quiconcerne la topologie, on ne demande de connatre que les proprits lmentaires descompacts et des connexes de C. Pour lintgration, lexception dun complmentdonn au chapitre 7 (et qui nest pas utilis dans la suite de louvrage), on na utilisque les proprits lmentaires de lintgrale au sens de Riemann. En ce qui concernele calcul diffrentiel, il nest quasiment utilis que la notion dapplication diffren-tiable. Il en rsulte quun tudiant de troisime anne de Licence dispose de toute lamatire ncessaire pour aborder la lecture du livre. Donnons quelques dtails quant son contenu.

Les chapitres 1 3 constituent des rvisions concernant un programme usuel de Li-cence. On y traite de sries numriques, de sries de fonctions, et de sries entires. Ilnous semble en effet opportun de rappeler les points essentiels concernant ces notions(par exemple la dfinition du rayon de convergence dune srie entire).Le chapitre 4 traite des fonctions analytiques. Bien que ne prsentant aucune difficult,on obtient dj des rsultats importants (principe du prolongement analytique, principedes zros isols).Au chapitre 5, on gnralise la notion de drivabilit au cas des fonctions dune va-riable complexe. Il est aussi question des dterminations continues de largument, unpoint qui sera essentiel dans dautres chapitres.

XII Analyse complexe pour la Licence 3

Le chapitre 6 est fondamental. On y montre quune fonction est drivable (on dit aussiholomorphe) si et seulement si elle est localement dveloppable en srie entire. Cestl une norme diffrence avec le cas rel dj vu par ltudiant.Dans les chapitres 7 et 8, on utilise la thorie de Cauchy locale pour obtenir lesprincipales proprits des fonctions holomorphes ou mromorphes. On y dmontre,par exemple, la fameuse formule des rsidus (dans des cas particuliers) qui permettra,et cest parfois ce qui impressionne ltudiant, de calculer des intgrales.Les chapitres 9 et 11 sont consacrs ltude des produits infinis. Cest une notion trsintressante, mais aussi plus dlicate que celle de srie. Au chapitre 11, on montre enparticulier lexistence de fonctions holomorphes ayant des zros imposs.Au chapitre 10, on traite, dans un cadre plus gnral, des questions vues dans les cha-pitres 7 et 8. On introduit en particulier la notion dhomotopie (on essaie de dformerdes courbes de manire continue).Le chapitre 12 est consacr dune part des questions topologiques (thorme deMontel) et dautre part la reprsentation conforme (thorme de Riemann). On ydmontre en particulier quelle condition deux ouverts de C sont analytiquementisomorphes.Au chapitre 13, on dmontre trois rsultats fameux : deux thormes de Picard et lethorme de Runge. Les deux premiers sont spectaculaires, le troisime est fondamen-tal en ce qui concerne lapproximation des fonctions.Au chapitre 14, on aborde ltude des fonctions harmoniques de deux variables relles.Ces fonctions sont trs utilises dans de nombreux domaines scientifiques. On prouveen particulier quune telle fonction est indfiniment diffrentiable.Le chapitre 15 donne quelques mthodes (en nombre trs limit) de calculs dint-grales en utilisant la formule des rsidus. Nous renvoyons cependant le lecteur deslivres dexercices (ou des sances de travaux dirigs) pour ce qui concerne ce point.Comme nous lavons dj prcis, ce livre, qui se veut dun niveau relativement l-mentaire, naborde que quelques aspects de la thorie des fonctions holomorphes.Nous navons en particulier trait que le cas des fonctions holomorphes dune variable.Pour ltudiant qui veut se spcialiser dans ce domaine, il peut tre une introduction des ouvrages de niveau plus lev. Nous conseillons en particulier les livres [4], [6],[8], [9], [10] de la bibliographie.Signalons aussi que le contenu de cet ouvrage couvre entirement la partie du pro-gramme de lagrgation de mathmatiques qui concerne les fonctions holomorphes.

Avant-propos XIII

Diagramme dimplication des diffrents chapitres :

1

2

3

4

5

6

7

8

9 11

10

15

12

14

13

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toriseestundlit.

Chapitre 1

Sries numriques

Dans ce chapitre, on fait quelques rappels concernant les sries numriques.

1.1 NOTATIONS ET RAPPELS

1.1.1. Soient E,F des ensembles et A une partie de E.On note P(E) lensemble des parties de E et idE lapplication identit de E.

On dsigne par E\F lensemble des lments de E qui nappartiennent pas F , etpar F(E,F ) lensemble des applications de E dans F . On crira souvent f : E Fpour signifier que f F(E,F ), et on note f |A la restriction de f A.Si E est fini, card(E) est le cardinal de E.

1.1.2. Les symbolesN , N , Z , R , R , R+ , R , R+ , R

, C , C

ont la signification usuelle bien connue de tous. Si z est un nombre complexe, on notez son conjugu et Re(z) (respectivement Im(z)) sa partie relle (respectivement partieimaginaire).Dans la suite de ce chapitre K est lun des corps R ou C.

2 1 Sries numriques

1.1.3. Soit X un espace mtrique dont la distance est note d. Rappelons quunesuite x = (xn)n0 dlments de X est appele une suite de Cauchy si elle vrifie lacondition suivante : pour tout > 0, il existe N N tel que d(xm, xn) < ds quem N et n N .

Dfinition. Un espace mtrique X est dit complet si toute suite de Cauchy dlmentsde X a une limite dans X . Un K-espace vectoriel norm et complet est appel unespace de Banach.

Thorme 1.1.4. Tout K-espace vectoriel norm de dimension finie est un espace deBanach. En particulier, le corps K est complet.

1.2 LIMITE SUPRIEURE ET LIMITE INFRIEURE

1.2.1. On adjoint R les symboles usuels et +, et on pose :R = R {,+}.

On prolonge la relation dordre naturelle de R en convenant que, pour tout a R : < a < +.

1.2.2. On note S lensemble des suites relles et C le sous-espace vectoriel de Sconstitu des suites convergentes.

Dfinition. Soit x = (xn)n0 S . On dit que x converge dans R si elle vrifie luneou lautre des conditions suivantes :(i) x C(ii) xn tend vers + quand n tend vers +.(iii) xn tend vers quand n tend vers +.On dsigne par R lensemble des lments de S qui convergent dans R.

Remarques. 1) Si xn = (1)n, on a x / R.2) Si xn = n, alors x R\C. Par suite C R S .3) Lensemble R nest pas un sous-espace vectoriel de S . Si x = (xn)n ety = (yn)n vrifient xn = n+(1)n et yn = n, on a x, y R et x+y / R.

1.2.3. Soit A une partie non vide de R. Si A est majore (respectivement minore),on note supA (respectivement inf A) la borne suprieure (respectivement infrieure)de A. Si A est non majore (respectivement non minore), on pose supA = +(respectivement inf A = ).

Lemme 1.2.4. Soit x = (xn) S . Si p N, on pose Xp = {xn ; n p}.(i) Sil existe q N tel que supXq = +, alors supXp = + pour tout p N.(ii) Sil existe q N tel que inf Xq = , alors inf Xp = pour tout p N.

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1.2 Limite suprieure et limite infrieure 3

Dmonstration. Prouvons (i), la dmonstration de (ii) tant analogue.Si p q, on a Xq Xp donc supXp = +. Supposons p > q et supXp = M R.De Xq = Xp {xq, xq+1, . . . , xp1}, on dduit :

supXq max{M,xq, xq+1, . . . , xp1} < +.Contradiction.

1.2.5. Soit x = (xn)n S. On va dfinir des lments lim supx et lim inf x de R,appels respectivement limite suprieure et limite infrieure de x. Notons, si n N :

Xn = {xp ; p n} , Mn = supXn , mn = inf Xn. Sil existe q N tel que Mq = +, alors Mn = + pour tout n N (1.2.4). Onpose :

lim supx = +. Supposons Mn < + pour tout n N. Comme Xn+1 Xn, la suite (Mn)n estdcroissante. Elle a donc une limite dans R, et on pose :

lim supx = limn

Mn.

Sil existe q N tel que mq = , alors mn = pour tout n N (1.2.4). Onpose :

lim inf x = . Si mn > pour tout n N, la suite (mn)n tant croissante, elle a une limitedans R. On pose :

lim inf x = limn

mn.

Daprs les dfinitions, il est clair que lim inf x lim supx.On notera parfois lim sup

nxn pour lim supx et lim inf

nxn pour lim inf x.

Thorme 1.2.6. Soit x = (xn)n S . Les conditions suivantes sont quivalentes :(i) La suite x converge dans R.(ii) On a lim inf x = lim supx.Si ces conditions sont vrifies, alors :

limx = lim inf x = lim supx.

Dmonstration. (i) (ii) Supposons (i) vrifi. Envisageons le cas o x converge vers R. Si > 0, il existe N N tel que|xn| < ds que n N . Alors, pour n N , il vient |Mn| et |mn| .Ceci prouve que les suites (Mn)n et (mn)n convergent vers . Supposons limx = +. Si A R, il existe N N tel que xn A ds quen N . On obtient Mn A et mn A si n N . La condition (ii) est nouveauvrifie. La preuve est analogue si lim x = .

4 1 Sries numriques

(ii) (i) Supposons (ii) vrifi. Si lim inf x = lim supx = R, pour > 0, il existe N N tel que :

n N mn Mn + .Do :

n N mn xn Mn + .Ceci montre que la suite x converge vers . Supposons lim inf x = lim supx = +. Si A R, il existe N N tel que :

n N A mn Mn.Ainsi :

n N A mn xn Mn.Do lim x = +. La preuve est analogue si lim inf x = lim supx = .

1.3 GNRALITS SUR LES SRIES NUMRIQUES

Dfinition 1.3.1. Soit (un)n0 une suite dlments de K. On appelle srie de termegnral un, ou srie

un, la suite de KK dfinie par :(

un,n

k=0

uk

)n0

.

La srie

un est dite relle (respectivement complexe) si la suite (un)n est termesrels (respectivement complexes).

1.3.2. tant donne une srie un, on dit queUn = u0 + u1 + + un

est la somme partielle de rang n de la srie. La srie est dite convergente (respective-ment divergente) si la suite (Un)n0 converge dans K (respectivement diverge). Si lasuite (Un)n0 converge, sa limite U est appele la somme de la srie, et on crit :

U =

n=0un.

Il est clair quune srie complexe

un est convergente si et seulement si les sriesrelles

Re(un) et

Im(un) le sont. Sil en est ainsi, on a :

n=0un =

n=0

Re(un) + i

n=0Im(un).

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1.3 Gnralits sur les sries numriques 5

Le rsultat suivant est immdiat :

Proposition. Lensemble S(K) des sries convergentes est un K-sous-espace vecto-riel de lespace vectoriel des sries lments dans K, et lapplication

S(K) K , un n=0

un

est K-linaire.

1.3.3. Soit p N. Nous aurons parfois considrer des suites (un)np dlmentsde K. En posant vn = 0 si n < p et vn = un si n p, on obtient une srie

vn qui

sera note

npun, ou mme encore

un sil ny a pas dambigut.

Inversement, une srie

un, on peut associer une srie

npun qui est dite dduitede

un par troncature.

Une srie

un et une srie

npun sen dduisant par troncature sont de mmenature. En cas de convergence, la somme de la seconde srie est

n=0

un p1n=0

un note

n=pun.

Convention 1.3.4. Dans les preuves qui suivent, si lon considre une srie de termegnral un (lettre minuscule), la somme de rang n de cette srie sera note Un (lettremajuscule). En cas de convergence, la somme de la srie sera note U (lettre majus-cule). En outre, le mot srie signifiera srie lments dans K .

1.3.5. Soit

un une srie. Pour p < q, on aUq Up = up+1 + up+2 + + uq.

Le corps K tant complet, il rsulte de 1.1.4 que lon a le rsultat suivant :

Thorme. (Critre de Cauchy). Soit un une srie. Les conditions suivantes sontquivalentes :(i) La srie un est convergente.(ii) Pour tout > 0, il existe N N tel que :

N p q |up + up+1 + + uq| .

Corollaire 1.3.6. Si la srie

un converge, la suite (un)n admet 0 pour limite.

Dmonstration. Il suffit de prendre q = p + 1 dans le critre de Cauchy.

Dfinition 1.3.7. Une srie

un est dite absolument convergente si la srie|un|

est convergente.

6 1 Sries numriques

Thorme 1.3.8. Toute srie

un absolument convergente est convergente et : n=0

un

n=0

|un|.

Dmonstration. Rsulte de |up + up+1 + + uq| |up|+ |up+1| + + |uq| etdu critre de Cauchy.

1.3.9. Soient C, a C, et un = an. On dit que

un est la srie gomtriquede premier terme a et de raison . Si || 1, la suite (un)n ne converge pas vers 0. Daprs 1.3.6, la srie

un

diverge. Supposons || < 1. De

Un = a1 n+11

on dduit que la srie

un converge et que sa somme est :

U =a

1

1.3.10. On appelle srie de Riemann toute srie

n1un, avec un =1n

, o R.Si 0 la srie

un diverge daprs 1.3.6. Supposons > 0. Si n 2, on a : n+1

n

dx

x 1

n nn1

dx

x

Pour n 1, il vient alors :ln(n + 1) Un = u1 + + un 1 + lnn si = 1,

11

[ 1(n + 1)1

1] Un 1 +

11

[ 1n1

1]

si = 1.

La suite (Un)n tant croissante, on voit donc que la srie de Riemann prcdenteconverge si et seulement si > 1.

1.4 SRIES TERMES POSITIFS

1.4.1. Rappelons tout dabord quelques points concernant des notions classiques.Soient u = (un)n et v = (vn)n des suites lments dans K. On dit que v domine u, et on crit alors un = O(vn), sil existe A > 0 tel que|un| A|vn| ds que n est assez grand. On dit que u est ngligeable devant v, et on crit alors un = o(vn), si pour tout > 0, on a |un| |vn| ds que n est assez grand.

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1.4 Sries termes positifs 7

On dit que u et v sont quivalentes, et on crit alors un vn, si un vn = o(un).Si cette condition est ralise, on a aussi vn un = o(vn). Sil existe N N tel quevn = 0 pour n N , ceci quivaut dire que la suite (un/vn)n converge vers 1.

1.4.2. Soit

un une srie termes rels positifs ou nuls. La suite (Un)n est donccroissante. Il en rsulte que le rsultat suivant et celui de 1.4.3 sont immdiats.

Thorme. Soit

un une srie termes rels positifs ou nuls. Les conditions sui-vantes sont quivalentes :(i) La srie un est convergente.(ii) La suite (Un)n est majore.Si ces conditions sont vrifies, on a U = sup{Un ; n N}. Si elles ne le sont pas,alors Un tend vers + quand n tend vers +.

Thorme 1.4.3. Soient

un et

vn des sries termes rels positifs ou nuls. Onsuppose quil existe N N tel que un vn si n N . Alors :(i) Si la srie vn converge, il en est de mme de la srie un et :

n=N

un

n=Nvn.

(ii) Si la srie un est divergente, il en est de mme de la srie vn.Corollaire 1.4.4. Soient

un et

vn des sries termes rels positifs ou nuls telles

que un = O(vn). Alors :(i) Si la srie vn converge, il en est de mme de la srie un.(ii) Si la srie un diverge, la srie vn diverge aussi.Dmonstration. Daprs les hypothses, il existe N N et A > 0 tels que un Avnsi n N . Il suffit donc dappliquer 1.4.3.

Corollaire 1.4.5. Soient

un et

vn des sries termes rels positifs ou nulsvrifiant lune ou lautre des hypothses suivantes :(i) Il existe A,B R+ tels que Avn un Bvn pour n assez grand.(ii) un vn.Alors les sries

un et

vn sont de mme nature.

Dmonstration. Les deux conditions impliquent en effet que un = O(vn) et quevn = O(un).

8 1 Sries numriques

Proposition 1.4.6. Soient

un et

vn des sries termes rels positifs ou nuls. Onsuppose quil existe N N tel que, pour n N :

un > 0 , vn > 0 ,un+1un

vn+1vn

(i) Si la srie vn converge, la srie un converge aussi.(ii) Si la srie un diverge, la srie vn diverge aussi.Dmonstration. Posons A = uN/vN . Si n N , il vient :

unvn un1

vn1 uN+1

vN+1 uN

vN A.

Do les assertions daprs 1.4.4.

1.5 CONVERGENCE ABSOLUE

Proposition 1.5.1. Soit

un une srie termes complexes. Les conditions suivantessont quivalentes :(i) La srie un est absolument convergente.(ii) Les sries Re(un) et Im(un) sont absolument convergentes.Dmonstration. On a :

|Re(un)| |un| , | Im(un)| |un| , |un| |Re(un)|+ | Im(un)|.Les deux premires ingalits tablissent (i) (ii) ; la troisime (ii) (i).

1.5.2. Daprs 1.5.1, ltude de la convergence absolue dans le cas complexe seramne celle du cas rel. On va sintresser cette situation. Si a R, on pose :

a+ = max{a, 0} , a = max{a, 0}.

Proposition. Soit

un une srie termes rels. Les conditions suivantes sont qui-valentes :(i) La srie un est absolument convergente.(ii) Les sries u+n et un sont convergentes.Dmonstration. Si n N, alors :

0 u+n |un| , 0 un |un| , |un| = u+n + un .Do le rsultat.


un une srie et

vn une srie termes rels positifs ounuls vrifiant un = O(vn). Si la srie

vn converge, alors la srie

un converge

absolument.

Dmonstration. Rsulte de 1.4.4, car un = O(vn) quivaut |un| = O(vn).

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1.5 Convergence absolue 9


un une srie et

vn une srie termes rels positifs ounuls. On suppose quil existe un nombre complexe non nul tel que un vn.(i) Si vn converge, alors un converge absolument.(ii) Si vn diverge, un diverge aussi.(iii) Les deux sries sont simultanment convergentes ou divergentes.Dmonstration. Il suffit de prouver (i) et (ii). Daprs lhypothse, on a un = O(vn).Do (i) (1.5.3).Supposons

vn divergente. On a un vn = o(vn). Il existe donc N N tel que :

n N |un vn| ||2 vn.

Si N p q, on obtient alors :

||q

n=pvn

qn=p

un

qn=p

(un vn) ||

2

qn=p

vn.

On en dduit :q

n=pvn

2|| qn=p

un

.Si

un converge, elle vrifie le critre de Cauchy. Lingalit prcdente montre quevn vrifie aussi ce critre, donc converge. Contradiction.

Corollaire 1.5.5. Soit

un une srie. On suppose quil existe R et C telsque un n. Alors :(i) Si > 1, la srie un est absolument convergente.(ii) Si 1, la srie un diverge.Dmonstration. Cest clair daprs 1.3.10 et 1.5.4.


un une srie.

(i) Sil existe > 1 tel que la suite (nun)n soit borne, la srie

un est absolu-ment convergente.

(ii) Supposons les un rels de mme signe et lexistence de 1 tel que n|un|tende vers + quand n tend vers +. Alors, la srie un diverge.

Dmonstration.(i) On a un = O(n). On conclut daprs 1.3.10 et 1.5.3.(ii) Daprs les hypothses, il vient n = O(|un|). On termine alors comme en (i).

10 1 Sries numriques

1.6 RGLES DE CAUCHY ET DE DALEMBERT

Thorme 1.6.1. (Rgle de Cauchy). Soientun une srie et = lim sup n|un|.(i) Si < 1, la srie un est absolument convergente.(ii) Si > 1, la srie un est divergente.Dmonstration. (i) Supposons < 1, et fixons tel que < < 1. Il existe N Ntel que |un|1/n si n N . Pour un tel entier n, on a |un| n. On conclut alorsdaprs 1.3.9 et 1.4.3.(ii) Supposons > 1, et fixons vrifiant > > 1. Pour tout N N, il existen N tel que |un|1/n , soit |un| n. La suite (un)n ne converge pas vers 0,donc

un diverge (1.3.6).

Remarque. Le cas des sries de Riemann montre que lon ne peut conclure si = 1.

Corollaire 1.6.2. On suppose que la suite(

n|un|)n a une limite R.

(i) Si < 1, la srie un est absolument convergente.(ii) Si > 1, la srie un est divergente.Thorme 1.6.3. (Rgle de dAlembert). Soit un une srie. On suppose un = 0pour n assez grand, et on pose :

L = lim sup|un+1||un| , = lim inf

|un+1||un|

(i) Si L < 1, la srie un est absolument convergente.(ii) Si > 1, la srie un est divergente.Dmonstration. (i) Supposons L < 1, et fixons tel que L < < 1. Posonsvn = n. Si n est assez grand, on a :

|un+1||un| =

vn+1vn

Do lassertion (1.3.9 et 1.4.6).(ii) Si > 1, il existe N N tel que :

n N un = 0 et |un+1||un| 1.

Si n N , il vient |un| |uN | > 0. On conclut daprs 1.3.6.

Corollaire 1.6.4. On suppose que un est non nul pour n assez grand et que la suite(|un+1|/|un|)n a une limite R.(i) Si < 1, la srie un est absolument convergente.(ii) Si > 1, la srie un est divergente.

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1.7 Sries alternes 11

1.6.5. Pour n N et z C, posons un(z) = zn

n!

Si n 1, on a un(0) = 0, et la srie

un(0) est convergente, de somme gale 1.

Supposons z = 0. Alors :|un+1||un| =

|z|n + 1

0 si n +.

Daprs 1.6.4,

un(z) converge absolument pour tout z C. La somme de cettesrie est note ez :

ez =

n=0

zn

n!

La srie prcdente est appele la srie exponentielle.

1.7 SRIES ALTERNES

Dfinition 1.7.1. On appelle srie alterne toute srie termes rels de la forme(1)nan ou

(1)n+1an, avec an R+ pour tout n N.

Thorme 1.7.2. (Critre des sries alternes). Soit (an)n une suite relle dcrois-sante de limite nulle. Si un = (1)nan, la srie

un est convergente. En outre, pour

tout n N, on a :U2n+1 U U2n , |U Un| an+1.

Dmonstration. Si n N, on a :U2n U2n+1 = a2n+1 0,

U2n+2 U2n = a2n+2 a2n+1 0 , U2n+3 U2n+1 = a2n+2 a2n+3 0.Par consquent,

((U2n+1)n, (U2n)n

)est un couple de suites adjacentes. On en dduit

que la suite (Un)n converge, donc que la srie

un est convergente. On obtient alors :

U2n+1 U U2n |U U2n+1| U2n+2 U2n+1 = a2n+2,U2n+1 U U2n |U U2n| U2n U2n+1 = a2n+1.

Do le rsultat.

Exemple. En utilisant 1.7.2, on voit que la srie de terme gnral (1)n

nconverge

si et seulement si > 0.


1.8 SRIES SEMI-CONVERGENTES

Dfinition 1.8.1. Une srie est dite semi-convergente si elle est convergente sans treabsolument convergente.

1.8.2. Lexemple prcdent nous montre que, pour 0 < 1, la srie de termegnral un =

(1)nn

est semi-convergente. Prcisons si = 1. On a

11 + t

= 1 t + t2 + + (1)ntn + (1)n+1 tn+1

1 + tpour 0 t 1 et n N. En intgrant entre 0 et 1, on obtient alors :

ln 2 = 1 12

+13

+ + (1)n

n + 1+ (1)n+1

10

tn+1

1 + tdt.

Comme0

10

tn+1

1 + tdt

10

tn+1dt =1

n + 2,

on retrouve que la srie converge si = 1, et que sa somme est ln 2.

1.8.3. Soit

un une srie semi-convergente. Supposons la srie termes rels. Avec les notations de 1.5.2, il vient :

un = u+n un , |un| = u+n + un .La premire galit montre que les sries

u+n et

un sont de mme nature. La

seconde prouve quelles sont divergentes. Supposons la srie termes complexes. Alors les sries Re(un) et Im(un)sont convergentes. Comme |un| |Re(un)|+ | Im(un)|, on voit que lune au moinsde ces deux sries nest pas absolument convergente.

Thorme 1.8.4. Soient (vn)n une suite de nombres complexes et (n)n une suite denombres rels positifs vrifiant les conditions suivantes :(i) La suite (n)n est dcroissante de limite nulle.(ii) La suite (Vn)n, avec Vn = v0 + + vn, est borne.Alors la srie

nvn est convergente.

Dmonstration. Notons un = nvn, et soit M > 0 vrifiant |Vn| M pour tout n.On va prouver que la srie

un vrifie le critre de Cauchy.

Remarquons que vn = Vn Vn1 si n 1. Do, si 1 p q :q

n=pun = p(Vp Vp1) + p+1(Vp+1 Vp) + + q(Vq Vq1)

= Vp1p + Vp(p p+1) + + Vq1(q1 q) + Vqq.

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1.9 Srie produit 13

Compte tenu des hypothses, on obtient : qn=p

un

Mp + M(p p+1) + + M(q1 q) + Mq = 2Mp.Do le rsultat puisque p 0 si p +.

Remarque. Le fait de remplacer vn par Vn Vn1 dans

nvn est appel latransformation dAbel.

1.8.5. Pour R non multiple entier de 2, posons vn = ein . Il vient :

|Vn| =ei(n+1) 1

ei 1 2|ei 1| = sin 2 1.

Daprs 1.8.4, si (n)n est une suite dcroissante de rels de limite nulle, la srienvn converge pour R\2Z.

1.9 SRIE PRODUIT

Dfinition 1.9.1. La srie produit de deux sries

un et

vn est la srie

wn o,pour tout n N :

wn =n

k=0

ukvnk.

Thorme 1.9.2. (Thorme de Mertens). Soient un une srie convergente, vnune srie absolument convergente, et

wn leur srie produit. La srie

wn est

convergente et :

n=0wn =

( n=0

un

)( n=0

vn

).

Dmonstration. Soit > 0. Daprs le critre de Cauchy, il existe N N tel que,pour tout n N et tout p N, on ait :

|un + un+1 + + un+p| , |vn|+ |vn+1|+ + |vn+p| .Dautre part, il existe M > 0 tel que |un| M , |Un| M , et |v0|+ + |vn| Mpour tout n N. Si 0 k n 1, posons :

sk = uk(vn+1 + vn+2 + + v2nk) , tk = vk(un+1 + un+2 + + u2nk).Pour n N , il vient facilement |t0 + t1 + + tn1| M. Dautre part :

s0 + + sn1 = vn+1Un1 + vn+2Un2 + + v2nU0.Par consquent, si n N , on obtient aussi |s0 + s1 + + sn1| M. Or :

W2n UnVn = s0 + + sn1 + t0 + + tn1.


On en dduit que W2n UV si n +. Pour obtenir le rsultat, il suffit donc deprouver que w2n 0 si n +. Si n N , on a

w2n = u0v2n + + uNv2nN + uN+1v2nN1 + + u2nv0.Do :

|w2n| M(|v2n|+ + |v2nN |) + (|v0|+ + |v2nN1|) 2M.On a obtenu lassertion.

Remarque. La srie produit de deux sries semi-convergentes peut tre diver-gente.

1.10 CONVERGENCE ASSOCIATIVE OU COMMUTATIVE


un une srie et : N N une application strictementcroissante. On note :

v0 =(0)k=0

uk , vn =(n)

k=1+(n1)uk si n 1.

(i) Si la srie un converge, il en est de mme de la srie vn, et ces deux sriesont mme somme.

(ii) On suppose que lune ou lautre des conditions suivantes est ralise :a) un R+ pour tout n N.b) La suite (un)n converge vers 0 et il existe M > 0 tel que (n+1)(n) M

pour tout n N.Alors, si la srie

vn converge, la srie

un converge aussi.

Dmonstration. Les hypothses impliquent que (n) n pour tout n N.(i) Comme Vn = U(n), si la suite (Un)n converge, la suite extraite (Vn)n convergevers la mme limite.(ii) Si un R+ pour tout n N, la suite (Un)n est croissante. Elle converge si etseulement si la suite extraite (Vn)n converge.Supposons dsormais les hypothses de b) vrifies. Pour tout n N, il existe ununique entier (n) tel que :

((n)

) n <

(1 + (n)

).

Une rcurrence facile montre que (p + 1) (1) + Mp si p N. On a alors :n < (1) + M(n) , lim

n(n) = + , lim

n((n)

)= +.

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1.10 Convergence associative ou commutative 15

Dautre part, n ((n)) < (1 + (n)) ((n)) M . Do :|Un V | |Un U((n))|+ |U((n)) V | = |Un U((n))|+ |V(n) V |

|V(n) V |+n

k=1+((n))

|un| |V(n) V |+ n,

avec n = max{|uk| ; ((n)

)< k n}. Daprs les hypothses et ce qui prcde,

on voit donc que Un tend vers V quand n tend vers +. Remarque. Le thorme 1.10.1 est parfois appel le thorme de sommationpar tranches.

Dfinition 1.10.2. On dit que deux sries

un et

vn ne diffrent que par lordredes termes sil existe une permutation de N telle que vn = u(n) pour tout n N.

1.10.3. La srie

(1)n+1n1/2 est convergente. La srie suivante nen diffre quepar lordre des termes :

1 +13 1

2+

15

+17 1

4+ + 1

4n 3 +1

4n 1 12n

+

Daprs 1.10.1, cette dernire srie est de mme nature que

vn, avec :

vn =1

4n 3 +1

4n 1 12n

2 12n

On voit donc que

vn diverge.

1.10.4. Prenons un = (1)n+1n1, n 1. On a vu que U = ln 2 (1.8.2). La sriesuivante ne diffre de

un que par lordre des termes :

1 12 1

4+

13 1

6 1

8+ + 1

2n + 1 1

2(2n + 1) 1

2(2n + 2)+

Daprs 1.10.1, cette srie converge et a mme somme que la srie12 1

4+

16 1

8+ + 1

2(2n + 1) 1

2(2n + 2)+

cest--dire (ln 2)/2. Ainsi, les deux sries sont convergentes, mais nont pas la mmesomme.

Dfinition 1.10.5. Une srie

un est dite commutativement convergente si la srieu(n) est convergente pour toute permutation de N.

Thorme 1.10.6. Si

un est une srie absolument convergente, elle est commuta-tivement convergente et, pour toute permutation de N, on a :

n=0

u(n) =

n=0un.


Dmonstration. Soit une permutation de N. Notons vn = u(n), wn = |vn|. Si lonpose (n) = max{(k) ; 0 k n}, il vient :

nk=0

|vk| (n)k=0

|uk|

k=0

|uk|.

On en dduit que la srie

wn est convergente et que W U , o U est la sommede la srie

|un|. Changeant alors en 1, on obtient W = U .Soit I(n) = {0, 1, . . . , (n)}\{(0), (1), . . . , (n)}. Il vient :

|U(n) Vn|

kI(n)|uk| =

(n)k=0

|uk| n

k=0

|u(n)|.

Or, daprs ce qui prcde, le dernier terme de la ligne prcdente tend versU W = 0 quand n tend vers +. On en dduit que U = V . Do le rsultat.

Lemme 1.10.7. Soit

un une srie relle semi-convergente. La srie

un nest pascommutativement convergente.

Dmonstration. Daprs 1.8.3, les sries

u+n et

un sont divergentes. On endduit que I = {n N ; un > 0} et J = {n N ; un 0} sont des partiesinfinies de N. On peut donc dfinir des applications strictement croissantes : N Iet : N J par (0) = min I , (0) = min J et, pour n 1 :

(n) = min(I\{(0), . . . , (n 1)}) , (n) = J\{(0), . . . , (n 1)}).Posons vn = u(n), wn = u(n). Ainsi, vn (respectivement wn) est le (n + 1)melment strictement positif (respectivement ngatif ou nul) de la suite (un)n.On va construire une permutation de N telle que la srie

u(n) diverge.

Daprs les hypothses, on a :limn

Vn = + , limn

Wn = .Il existe donc n0 N tel que Vn0 w0. On pose :

(k) = (k) si 0 k n0 , (n0 + 1) = (0).Soit p N. Supposons construits les (k) pour k np1 + p. Utilisant nouveaule fait que Vn tend vers + si n tend vers +, il existe np tel que np > np1 etVnp Wp + p. On pose :

(k) = (k p) si np1 + p < k np + p , (np + p + 1) = (p).On dtermine ainsi sur {0, 1, . . . , np + p + 1}.Comme I J = N et I J = , on voit que lapplication construite prcdemmentest une permutation de N. En outre, par construction de , on a

np+p+1k=0

u(k) p

pour p N. Par suite, la srie u(n) diverge.

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1.11 Intgrales et sries 17

Remarque. Soient

un une srie relle semi-convergente et R. On peutmontrer quil existe une permutation de N telle que :

limn

nk=0

u(k) = .

Thorme 1.10.8. Une srie est commutativement convergente si et seulement si elleest absolument convergente.

Dmonstration. Cest immdiat daprs 1.8.3, 1.10.6 et 1.10.7.

1.11 INTGRALES ET SRIES

Thorme 1.11.1. Soient a R et f : [a,+[ R valeurs positives ou nulles etdcroissante. La srie

f(a + n) et lintgrale

+a

f(t) dt sont de mme nature.

Dmonstration. Comme f est valeurs positives ou nulles, lintgrale en question

converge si et seulement si la suite( a+n

af(t) dt

)n

converge. Pour n 1, on a : a+n+1a+n

f(t) dt f(a + n) na+n1

f(t) dt.

Alors : a+n+1a+1

f(t) dt n

k=1

f(a + k) a+na

f(t) dt.

Do immdiatement lassertion.

Thorme 1.11.2. Soient a R et f : [a,+[ C localement intgrable. Lesconditions suivantes sont quivalentes :(i) Lintgrale de f sur [a,+[ est convergente.(ii) Pour toute suite (xn)n de points de [a,+[ de limite +, la srie de terme

gnral xn+1xn

f(t) dt est convergente.

Dmonstration. Pour x a, posons F (x) = xa

f(t) dt. On sait que F (x) a une

limite dans C si et seulement si, pour toute suite (xn)n dlments de [a,+[, delimite +, la suite (F (xn))n est convergente. Or :

F (xn) = x0a

f(t) dt +n1k=0

xk+1xk

f(t),dt.

Do le rsultat.


Thorme 1.11.3. Soient a R et f : [a,+[ C localement intgrable. Onsuppose quil existe une suite (xn)n dlments de [a,+[ vrifiant les conditionssuivantes :

(i) La suite (xn)n est croissante et tend vers + si n tend vers +.(ii) La srie de terme gnral un =

xn+1xn

f(t) dt est convergente.

(iii) xn+1xn

|f(t)| dt tend vers 0 si n tend vers +.

Alors lintgrale de f sur [a,+[ converge.Dmonstration. On peut supposer (xn)n strictement croissante. Si y x0, il existeun unique entier p(y) tel que xp(y) y < xp(y)+1. Il est clair que p(y) tend vers +si y tend vers +. On a : y

af(t) dt =

x0a

f(t) dt +p(y)1k=0

uk + yxp(y)

f(t) dt.

Dautre part : yxp(y)

f(t) dt y

xp(y)

|f(t)| dt xp(y)+1xp(y)

|f(t)| dt.

Daprs les hypothses, lintgrale de f sur [a,+[ est donc convergente.

Corollaire 1.11.4. Soient a R et f : [a,+[ R localement intgrable, valeurspositives ou nulles. Les conditions suivantes sont quivalentes :

(i) Lintgrale de f sur [a,+[ est convergente.

(ii) Il existe une suite croissante (xn)n dlments de [a,+[, de limite +, telle quela srie de terme gnral un =

xn+1xn

f(t) dt converge.

Dmonstration. On a ici

un = xn+1xn

f(t) dt = xn+1xn

|f(t)| dt,

et cette dernire intgrale tend vers 0 si n tend vers +, car la srie un est conver-gente.

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Exercices 19

EXERCICES

Exercice 1.1. Soient a, b des rels tels que a < b, f : [a, b] R+ une applicationcontinue, et M la borne suprieure de f sur [a, b]. Si n N, on pose :

un =( b

a[f(t)]n dt

)1/n.

Prouver que la suite u = (un)n converge vers M .

Exercice 1.2. Nature de la srie

un, avec un = sin[(2 +

3)n].

Exercice 1.3. Soit

dn une srie divergente termes rels strictement positifs. Onpose Dn =

nn=0dk, un = dn/Dn, et vn = dn/(Dn)

, avec rel strictement plus

grand que 1. Etudier les sries

un et

vn.

Exercice 1.4. Soit

un une srie convergente termes rels strictement positifs. Onpose Rn =

+n+1up et vn = un/(Rn1)

a, o a R.

1. Si a 0, prouver la convergence de

vn.

2. En tudiant xn = ln(1 vn), montrer la divergence de

vn pour a = 1, puispour a > 1.3. En utilisant une intgrale, prouver la convergence de

vn si 0 < a < 1.

Exercice 1.5. Soient a, b R tels que 0 < a < 1 < b. Si n N, on note n lenombre de chiffres dans lcriture dcimale de n. Comparer les rgles de Cauchy et dedAlembert en les appliquant la srie de terme gnral

un = annbn(1+n)/2.

Exercice 1.6. Soit (an)n1 une suite relle. On pose n =a1 + + an

n. On

suppose que la srie

a2n est convergente. Prouver quil en est de mme de la srie2n et que :

n=12n 4

n=1

a2n.

Exercice 1.7. Soit pn le nme nombre premier. Dterminer la nature de la srie determe gnral 1/pn.


SOLUTIONS DES EXERCICES

Exercice 1.1. Le rsultat est clair si M = 0. Supposons ce cas exclu. Il est immdiatque un (b a)1/nM pour tout n. On en dduit que lim supu M .Soit ]0,M [. Lapplication f tant continue, par dfinition de M , il existe des relsc, d vrifiant a c < d b et f(t) M pour tout t [c, d]. Alors

un ( d

c[f(t)]n dt

)1/n (d c)1/n(M ).

Do lim inf u M . Ceci tant vrai pour ]0,M [, on obtient lim inf u M .Comme lim inf u lim supu, il vient lim inf u = lim supu, et on conclut daprs1.2.6.

Exercice 1.2. Ecrivons (2 +

3)n = N + N

3, avec N,N N. On a alors(23)n = N N 3. Do (2+3)n = 2N (23)n. Par suite, si lonpose vn = sin[(2

3)n], il vient un = vn. Or, comme 0 < 2

3 < 1, on a

0 < vn < (2

3)n. On en dduit la convergence de

vn puis de

un.

Exercice 1.3. Si un ne tend pas vers 0 quand n tend vers +, la srie

un estdivergente. Supposons que limun = 0. Alors un ln(1 un), ce qui scritun ln(Dn1/Dn). Or

n

k=1

ln(1 uk) = lnD0 + lnDn +

si n +. Par suite, la srie un diverge.Pour n 1, on a :

vn =Dn Dn1

Dn DnDn1

dt

t

Comme > 1, pour tout N N, on a doncN

n=1vn

+d0

dt

t< +,

ce qui montre que la srie

vn est convergente.

Exercice 1.4.

1. Si n est assez grand, Rn1 < 1. Si a 0, on a donc 0 vn un pour n assezgrand. Do la convergence de

vn.

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2. Supposons a = 1. Si vn ne tend pas vers 0 quand n tend vers +, il y a divergencede la srie

vn. Supposons lim vn = 0. Dans ce cas, au voisinage de +, on a :

vn ln(1 vn) = ln Rn1Rn

Or :n

k=2

xk = lnR1 lnRn +.

Il y a divergence de la srie

vn.

Si a > 1, ds que Rn1 < 1, on a

vn >un

Rn1

Do nouveau divergence de la srie daprs ce qui prcde.

3. Supposons 0 < a < 1. On a :

vn =Rn1 Rn

Rn1 Rn1Rn

dt

t.

On en dduit que, pour N 1,N

n=1vn

R00

dt

t< +

daprs lhypothse sur . La srie

vn est convergente.

Exercice 1.5. On a ou n = n+1, ou n+1 = 1 + n.

Si n = n+1, on a un+1/un = a. Si n+1 = 1 + n, il vient un+1/un = bn+1,et ce dernier terme peut tre rendu arbitrairement grand avec n. On en dduit que lerapport un+1/un na pas de limite quand n tend vers +, et on ne peut conclurequant la convergence de la srie.

Si 10p n < 10p+1, on a n = p. Do :p

10p+1 0, ilexiste N N tel que |f(x) fn(x)| ds que n N . En gnral, lentier Ndpend de x.

2.1.3. Soit toujours f = (fn)n une suite de fonctions sur X . Si Y est une partie de X ,notons g = (fn|Y )n. Par abus de langage, on dit que f converge simplement sur Y sig converge simplement sur Y .

24 2 Suites et sries de fonctions

2.1.4. Le corps K tant complet, on a le rsultat suivant :

Thorme 2.1.5. Soient X un ensemble et f = (fn)n une suite de fonctions sur X .Les conditions suivantes sont quivalentes :(i) La suite f converge simplement sur X .(ii) Pour tout x X , la suite (fn(x))n est une suite de Cauchy.2.2 CONVERGENCE UNIFORME

Dfinition 2.2.1. On dit quune suite f = (fn)n de fonctions sur X converge uni-formment sil existe une fonction f sur X telle que, pour tout > 0, on puissedterminer N N tel que, pour tout n N :

sup{|fn(x) f(x)| ; x X} .Sil en est ainsi, on dit que f est la limite uniforme de f ou des fn sur X .

Remarque. Si f est la limite uniforme de f sur X, cest aussi la limitesimple de f sur X. Par contre, il est bien connu quune suite de fonctionspeut converger simplement sans converger uniformment.

Dfinition 2.2.2. Soit f = (fn)n une suite de fonctions sur X . On dit que f vrifie lecritre de Cauchy uniforme sur X si, pour tout > 0, il existe N N tel que :

m N,n N sup{|fm(x) fn(x)| ; x X} .

Thorme 2.2.3. Soient X un ensemble et f = (fn)n une suite de fonctions sur X .Les conditions suivantes sont quivalentes :(i) La suite f converge uniformment sur X .(ii) La suite f vrifie le critre de Cauchy uniforme sur X .Dmonstration. (i) (ii) Supposons (i) vrifi, et soit > 0. Il existe N N telque :

n N sup{|f(x) fn(x)| ; x X} .On obtient alors (ii) car, si m N , n N , il vient :

sup{|fn(x) fm(x)| ; x X} 2.(ii) (i) Si (ii) est vrifi, pour tout x X , la suite (fn(x))n est de Cauchy, donc aune limite f(x) K. Soit > 0. Il existe N N tel que, pour tout x X , on ait :

m N,n N |fn(x) fm(x)| .En faisant tendre m vers +, on obtient

n N |f(x) fn(x)| pour tout x X . Par suite, f converge uniformment vers f sur X .

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2.3 Continuit 25

2.3 CONTINUIT

2.3.1. On dsigne par E un espace mtrique.

Thorme 2.3.2. Soient a E et f = (fn)n une suite de fonctions sur E. On supposeque les fn sont continues en a et que f converge uniformment vers une fonction f surE. Alors f est continue en a.

Dmonstration. Fixons un rel > 0. Il existe un entier N 0 tel que lon aitsup{|fN (x) f(x)| ; x E} . Comme fN est continue en a, il existe unvoisinage V de a dans E tel que x V implique |fN (x) fN (a)| . Alors, six V , il vient :|f(x) f(a)| |f(x) fN (x)|+ |fN (x) fN (a)|+ |fN (a) f(a)| 3.

Do lassertion.

Corollaire 2.3.3. Si une suite de fonctions continues sur E converge uniformmentsur E, sa limite est continue sur E.

Corollaire 2.3.4. Soit f une suite de fonctions continues sur E convergeant sim-plement vers une fonction f sur E. On suppose que, pour tout a E, il existe unvoisinage de a sur lequel f converge uniformment. Alors f est continue sur E.Dmonstration. Rsulte de 2.3.2 et du caractre local de la continuit.

2.4 DRIVABILIT

Lemme 2.4.1. Soient I un intervalle de R et f une fonction drivable sur I . Onsuppose quil existe A R+ tel que |f (t)| A pour tout t I . Alors, pour a, b I ,on a |f(b) f(c)| 2A|b a|.Dmonstration. Notons g (respectivement h) la partie relle (respectivement partieimaginaire) de f . Daprs le thorme des accroissements finis, il existe c, d comprisentre a et b tels que :

g(b) g(a) = (b a)g(c) , h(b) h(a) = (b a)h(d).On en dduit :

|f(b) f(a)| |g(b) g(a)|+ |h(b) h(a)| = |b a|(|g(c)|+ |h(d)|) 2A|b a|.

Do le lemme.

Thorme 2.4.2. Soient I un intervalle de R et f = (fn)n une suite de fonctions surI vrifiant les conditions suivantes :(i) Toutes les fonctions fn sont drivables sur I .


(ii) La suite g = (f n)n converge uniformment sur I vers une fonction g.(iii) Il existe I tel que la suite (fn())n converge.Alors la suite f converge simplement sur I vers une fonction f , et cette convergenceest uniforme sur toute partie borne de I . En outre, f est drivable sur I , et f = g.Dmonstration. 1) Soit > 0. Daprs 2.2.3, il existe P N tel que :

m P, n P sup{|f n(t) f m(t)| ; t I} . (1)Dautre part, la suite

(fn()

)n

tant convergente, il existe Q N tel que :m Q,n Q |fm() fn()| .

Soit N = max{P,Q}. Daprs (1) et 2.4.1, si t I , m N , et n N , on a :|(fm(t) fn(t)) (fm() fn())| 2|t |.

Do, dans les mmes conditions :|fm(t) fn(t)| |fm() fn()|+ 2|t | + 2|t |.

Compte tenu de 2.2.3, on voit donc que f converge uniformment sur toute partieborne de I . Notons f la limite des fn.2) Soit a I dfinissons une suite h = (hn)n de fonctions sur I par :

hn(a) = f n(a) , hn(t) =fn(t) fn(a)

t a si t = a.Par construction, les fonctions hn sont continues sur I .Soit h : I C dfinie par :

h(a) = g(a) , h(t) =f(t) f(a)

t a si t = a.La fonction h est limite simple des hn.Soient > 0 et P N comme dans le point 1. Daprs 2.4.1, si t I , m P , etn P , on a :

|(fm(t) fn(t)) (fm(a) fn(a))| 2|t a|.On en dduit, si t = a :

|hm(t) hn(a)| 2.Daprs (1), cest encore vrai si t = a. Ainsi, h vrifie le critre de Cauchy uniformesur I . Comme h converge simplement vers h sur I , on en dduit que h convergeuniformment vers h sur I . Alors, daprs 2.3.2, h est continue sur I . En particulier, hest continue au point a, donc :

limta

f(t) f(a)t a = g(a).

On a prouv que f est drivable en a, et que f (a) = g(a).

Remarque. On sait que, sur [1, 1], la fonction x |x| est limite uniformedune suite de fonctions polynomiales. Ceci montre quune limite uniforme defonctions drivables peut ne pas tre drivable.

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2.5 Intgrabilit 27

2.5 INTGRABILIT

2.5.1. Soient a, b R tels que a < b, et f : [a, b] R une application borne.Soit = (xi)0ip une subdivision de [a, b]. Notons Mi et mi les bornes suprieureet infrieure de f sur [xi1, xi], 1 i p. Les sommes de Darboux relatives f et sont dfinies par :

S(f, ) =p

i=1(xi xi1)Mi , s(f, ) =

pi=1

(xi xi1)mi.

Rappelons que f est intgrale sur [a, b] (au sens de Riemann) si et seulement si, pourtout > 0, il existe une subdivision de [a, b] telle que :

S(f, ) s(f, ) .

Thorme 2.5.2. Soient [a, b] un intervalle de R et f = (fn)n une suite dapplicationsintgrables de [a, b] dans R. On suppose que la suite f converge uniformment sur[a, b] vers une application f . Alors f est intgrable sur [a, b], et : b

af(t) dt = lim

n

ba

fn(t) dt.

Dmonstration. Si n N, posons n = sup{|fn(t) f(t)| ; t [a, b]}.Soit > 0. Il existe N N tel que N 4(b a) On voit en particulier que f estborne sur [a, b]. Soit = (xi)0ip une subdivision de [a, b] telle que

S(fN , ) s(fN , ) 2

Notons Mi et mi (respectivement M i et mi) les bornes suprieure et infrieure de fN(respectivement f ) sur [xi1, xi]. Il vient :

M i Mi +

4(b a) , mi mi

4(b a)

Par suite :

S(f, ) s(f, ) S(fN , ) s(fN , ) + 2(b a)p

i=1(xi xi1) .

On a prouv que f est intgrable sur [a, b]. Pour n N, on a alors : ba

f(t) dt ba

fn(t) dt b

a|f(t) fn(t)| dt (b a)n.

Do la dernire assertion.

Remarque. Le thorme 2.5.2 ne stend pas aux intgrales impropres.


2.6 SRIES DE FONCTIONS

Dfinition 2.6.1. Soit f = (fn)n une suite de fonctions sur X . On appelle srie defonctions de terme gnral fn, et on note

fn, la suite de fonctions(

fn,n

k=0

fk

)n.

Llment f0 + + fn est not Fn, et on dit que F = (Fn)n est la suite de fonctionsassocie la srie

fn.

On dit que la srie

fn converge simplement (respectivement uniformment) sur Xsi la suite F converge simplement (respectivement uniformment) sur X .On dit que la srie

fn vrifie le critre de Cauchy uniforme si la suite F vrifie ce

critre.

2.6.2. Conservons les notations prcdentes. Dire que fn converge simplement sur X signifie que, pour tout x X , la srie

fn(x) converge. Si cest le cas, on dispose de la fonction

F : X C , x

n=0fn(x),

qui est la limite simple de F. Cette application est appele la somme de la srie

fn.On peut aussi considrer la suite de fonctions r = (rn)n donne par :

rn(x) =

k=n+1

fk(x).

Daprs les dfinitionsfn converge uniformment sur X si et seulement si la suiter converge uniformment sur X vers la fonction nulle. Dire que fn vrifie le critre de Cauchy uniforme signifie : pour tout > 0, ilexiste N N tel que :

n N, p N sup{ p

k=1

fn+k(x) ; x X} .

2.6.3. Le rsultat suivant ainsi que ceux de 2.6.4, 2.6.5, 2.6.6, sont des traductions, entermes de sries de fonctions, de rsultats vus pour les suites de fonctions.

Thorme. Une srie de fonctions sur X converge uniformment sur X si et seule-ment si elle vrifie le critre de Cauchy uniforme sur X .

Thorme 2.6.4. Soient X une partie de K,

fn une srie de fonctions sur Xconvergeant uniformment sur X , et F la somme de cette srie.(i) Soit a X . Si les fn sont continues au point a, F est continue en a.(ii) Si les fn sont continues sur X , F est continue sur X .

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2.7 Convergence normale 29

Thorme 2.6.5. Soient I un intervalle de R et

fn une srie de fonctions sur Ivrifiant les conditions suivantes :(i) Les fonctions fn sont drivables sur I .(ii) La srie f n est uniformment convergente sur I .(iii) Il existe I tel que la srie fn() converge.Alors la srie

fn converge simplement sur I , cette convergence tant uniforme sur

toute partie borne de I . La fonction somme de cette srie est drivable sur I et, six I , on a : (

n=0fn

)(x) =

n=0

f n(x).

Thorme 2.6.6. Soient [a, b] un intervalle de R et

fn une srie de fonctionsintgrables sur [a, b]. On suppose que la srie

fn converge uniformment sur [a, b].

Alors la somme de cette srie est intgrable sur [a, b] et : ba

( n=0

fn

)(t) dt =

n=0

ba

fn(t) dt.


fn une srie de fonctions sur X . Si la srie|fn| converge

uniformment sur X , il en est de mme de la srie fn.Dmonstration. Si n, p N et x X , on a :|fn(x) + fn+1(x) + + fn+p(x)| |fn(x)|+ |fn+1(x)|+ + |fn+p(x)|.

Il suffit donc dappliquer le critre de Cauchy uniforme.

2.7 CONVERGENCE NORMALE

Dfinition 2.7.1. Une srie de fonctions fn sur X est dite normalement conver-gente sur X sil existe une srie

n termes rels positifs ou nuls vrifiant les

conditions suivantes :(i) La srie n est convergente.(ii) Pour tout n N, on a sup{|fn(x)| ; x X} n.

Thorme 2.7.2. Si une srie de fonctions sur une partie X de K est normalementconvergente sur X , elle est uniformment convergente sur X .Dmonstration. Cest immdiat daprs le critre de Cauchy uniforme.

Thorme 2.7.3. Soient g = (gn)n et h = (hn)n des suites de fonctions sur Xvrifiant les conditions suivantes :(i) Pour tout x X , la suite (gn(x))n est termes rels et dcroissante.


(ii) La suite g converge uniformment sur X vers la fonction nulle.(iii) Il existe M R+ tel que, pour tout n N, on ait :

sup{ n

k=0

hk(x) ;x X} M.

Alors la srie de fonctions gnhn converge uniformment sur X .Dmonstration. Posons fn = gnhn et Hn = h0 + h1 + + hn. On a :

rk=1

fn+k =r

k=1

gn+k(Hn+k Hn+k1)

= Hngn+1 + gn+rHn+r +r1k=1

(gn+k gn+k+1)Hn+k.

Daprs (i) et (iii), si x X , on a donc : rk=1

fn+k(x) 2Mgr+1(x).

Do le rsultat daprs (ii) et le critre de Cauchy.

EXERCICES

Exercice 2.1. Soient a, b des nombres rels vrifiant a < b et f : [a, b] R uneapplication continue. On pose f0 = f et on dfinit, par rcurrence, une applicationfn : [a, b] R en posant, si x [a, b] :

fn(x) = xa

fn1(t) dt.

Prouver la convergence de la srie de fonctions

n=1fn, et calculer la somme S decette srie.

Exercice 2.2. Soit (Pn)n une suite de fonctions polynmes convergeant uniformmentsur R vers une application f . Prouver que f est une fonction polynme.

Exercice 2.3. Si t [0, 1] et n 1, on pose fn(t) = nt(1 t)n et gn(t) = nfn(t).1. Etudier la convergence de la suite (fn)n.2. Soit g = limn gn. Comparer 1

0g(t) dt et lim

n

10

gn(t) dt.

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Exercice 2.4. Soient I un intervalle de R et (fn)n une suite dapplications sur I , valeurs relles, et convergeant uniformment sur I . On pose gn = fn(1 + f2n)1.Montrer que la suite (gn)n converge uniformment sur I .

Exercice 2.5. Soit f : [0, 1] R une application continue. Etablir : 10

f(t) dt = limx+

[ n=1

(1)n1

n!

10

e(nx(1t)f(t) dt].

Exercice 2.6. Pour n N et (x, y) R2, on pose :fn(x, y) =

1n2

en(x2+y2).

Etudier la convergence de la srie

n=1fn et la diffrentiabilit de la somme F decette srie.

Exercice 2.7. Existence et calcul pour x > 0 de

n=1

1n!

x0

(ln t)n dt.


Exercice 2.1. Fixons un rel A 0 vrifiant |f(x)| A pour tout x [a, b]. On a|f1(x)| A(x a). Si lon suppose que |fn1(x)| A(x a)n1[(n 1)!]1, ilest immdiat de vrifier que |fn(x)| A(x a)n[n!]1.On a donc |fn(x)| A(b a)n[n!]1 pour x [a, b] et n 0. Ceci prouve que lasrie

fn est normalement convergente sur [a, b].

Pour n 1, fn est drivable, et f n = fn1. Les calculs prcdents prouvent que lasrie

f n est uniformment convergente sur [a, b]. Par suite, S est drivable sur [a, b]

et, si x [a, b] :S(x) =

n=1

f n(x) =

n=0fn(x) = f(x) + S(x).

Do :S(x) S(x) = f(x) [S(x)ex] = f(x)ex

S(x)ex S(a)ea = xa

f(t)et dt.


Comme S(a) = 0, on obtient donc :

S(x) = ex xa

f(t)et dt.

Exercice 2.2. Pour toute application g : R C, posons g = sup{|g(x)| ; x R}.Daprs les hypothses, il existe un entier N tel que Pn PN 1 ds que n N .Si n N , le polynme Pn PN est donc constant. Ainsi, il existe n C tel quePn = PN + n pour n N . Il est alors immdiat que f est une fonction polynme.

Exercice 2.3.

1. Si 0 a < 1, on a limn nan = 0. On en dduit que (fn)n converge simplementvers lapplication nulle sur [0, 1]. Dautre part :

fn

( 1n

)=(1 1

n

)n 1e

La convergence vers 0 de la suite (fn)n nest donc pas uniforme sur [0, 1].Soit a ]0, 1]. Si a t 1, on a |fn(t)| n(1 a)n. Par consquent, la suite (fn)nconverge uniformment vers 0 sur [a, 1].2. On voit comme en 1 que g est lapplication nulle. Lintgrale de g sur [0, 1] est doncgale 0. Il vient : 1

0gn(t) dt =

n2

n + 1[ t(1 t)n+1]1

0+

n2

n + 1

10

(1 t)n+1 dt

=n2

(n + 1)(n + 2) 1 si n +.

On dduit en particulier de ceci que la convergence de gn vers 0 nest pas uniformesur [0, 1].

Exercice 2.4. Soient a, b R, A = a(1 + a2)1, et B = b(1 + b2)1. Il vient :

|AB| = |a b||1 ab|(1 + a2)(1 + b2)

|a b|,

car (1 + a2)(1 + b2) 1 + a2 + b2 1 + |ab| |1 ab|.On a ainsi sup{|gn(t) gp(t)| ; t I} sup{|fn(t) fp(t)| ; t I}. Le rsultatest donc une consquence du critre de Cauchy uniforme.

Exercice 2.5. Le rel x > 0 tant fix, dfinissons

gn : [0, 1] R , t (1)n1

n!f(t)enx(1t).

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Si A = sup{|f(t)| ; t [0, 1]}, on a donc, pour 0 t 1 :

|gn(t)| An!

enx = A(ex)n

n!

Ainsi, x tant fix, la srie

gn est normalement convergente sur [0, 1]. On en dduiten particulier que 1

0

( n=1

gn(t))dt =

n=1

10

gn(t) dt,

soit encore : 10

f(t) dt 10

exp[ex(1t)]f(t) dt =

n=1

(1)n1n!

10

enx(1t)f(t) dt.

Soit ]0, 1[. On a : 11

exp[ex(1t)]f(t) dt

1|f(t)| dt A, 1

0exp[ex(1t)]f(t) dt

A 10

exp(ex) dt = A exp(ex).

Or, si x est assez grand, on a exp(ex) . Do facilement le rsultat.

Exercice 2.6. Si n N et (x, y) R2, on a 0 fn(x, y) n2. Par suite, lasrie

fn est normalement, donc uniformment convergente sur R2. Les fn tant

continues, il en est de mme de F .

Posons :gn(t) = 2x

nexp(nx2).

Il vient :gn(t) =

(4x2 2

n

)exp(nx2).

On en dduit que gn est extrmale pour t = 1/

2n, puis que :

|gn(t)|

2/nen = An3/2.

Il vient alors facilement :fnx

(x, y) An3/2 , fn

y(x, y)

An3/2.Ceci montre que les sries de fonctions de termes gnraux fn

xet

fny

sont nor-

malement (donc uniformment) convergentes sur R2. Par consquent, F admet desdrives partielles continues sur R2. Il en rsulte que F est de classe C1 sur R2.


Exercice 2.7. Pour t > 0 et n N, posons :un(t) =

(ln t)n

n!

Si K est un compact de ]0,+[, il existe A > 0 tel que | ln t| A pour tout t K .Il en rsulte que la srie

un est normalement convergente sur K . Si x > 0, on aura

donc : n=1

x1

un(t) dt = x1

( n=1

un(t))dt.

Or, si t > 0 :

n=1un(t) = eln t 1 = t 1.

Do :

n=1

1n!

x0

(ln t)n dt =(x 1)2

2

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Chapitre 3

Sries entires

3.1 GNRALITS

3.1.1. Soient z0 C et r R+. On pose :D(z0, r) = {z C ; |z z0| < r} , D(z0, r) = {z C ; |z z0| r},

C(z0, r) = {z C ; |z z0| = r}.On dit que D(z0, r) (respectivement D(z0, r), C(z0, r)) est le disque ouvert (respec-tivement disque ferm, cercle) de centre z0 et de rayon r.

Dfinition 3.1.2. On appelle srie entire de la variable complexe toute srie defonctions fn, avec

fn : C C , z anzn,o an C pour tout n N. On dit que an est le coefficient dindice n de la srie, etque a0 en est le terme constant.

3.1.3. La srie entire prcdente sera note

anzn

.

On parlera de srie entire de variable relle lorsquil sera question dune srie defonctions

fn, avec fn : R C, t antn, o an C.

Dans la suite, sauf mention expresse du contraire, lexpression srie entire signi-fiera srie entire de la variable complexe .

36 3 Sries entires

3.1.4. Soient

anzn et

bnz

n des sries entires et C. On dfinit :(i) La srie entire somme cnzn de ces sries par cn = an + bn pour tout n N.(ii) La srie entire dnz produit de anzn par en posant dn = an pour tout

n N.(iii) La srie entire produit enzn de ces deux sries par en = nk=0akbnk pour

tout n N.

3.2 RAYON DE CONVERGENCE

Thorme 3.2.1. (Lemme dAbel). Soient anzn une srie entire et z0 C. Onsuppose que la suite (anzn0 )n est borne. Alors, la srie

anz

n est normalementconvergente dans tout disque D (0, r), avec r < |z0|.Dmonstration. On peut supposer z0 = 0. Soit M un majorant de la suite (|anzn0 |)net r un rel positif tel que r < |z0|. Si |z| r, on a :

|anzn| =anzn0( zz0

)n M zz0

n M rz0

n.Do le rsultat daprs 1.3.9.

Corollaire 3.2.2. Si la srie entire

anzn converge pour z0 C, elle converge

normalement dans tout disque D (0, r) tel que r < |z0|.Dmonstration. Si la srie

anz

n0 converge, la suite (anzn0 )n admet 0 pour limite,

donc est borne.

Thorme 3.2.3. Soit

anzn une srie entire. Il existe un unique lment R de

R+ {+} possdant les proprits suivantes :(i) Pour tout z C tel que |z| < R, la srie anzn est absolument convergente.(ii) Pour tout z C tel que |z| > R, la srie anzn est divergente.On dit que R est le rayon de convergence de la srie, que D(0, R) en est le disque deconvergence, et que C(0, R) en est le cercle de convergence.

Dmonstration. Soit B lensemble des rels positifs ou nuls tels que la suite (anrn)nsoit borne. On a 0 B. Soit R R+ {+} la borne suprieure de B. Soit z C vrifiant |z| < R. Il existe r B tel que |z| < r < R. La suite (anrn)ntant borne, la srie

anz

n est absolument convergente daprs 3.2.1. Soit z C tel que |z| > R. Si la srie anzn tait convergente, la suite (an|z|n)nserait borne (1.3.6). Cela contredit la dfinition de R. Lunicit de R est vidente.

3.2.4. Prcisons quelques points.1) En un point z tel que |z| > R, la suite (anzn)n nest pas borne.

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3.2 Rayon de convergence 37

2) Si |z| = R, on ne peut rien dire a priori de la srie anzn.3) Les sries entires anzn, |an|zn, et anzn, avec C, ont mme rayonde convergence.4) Dans le cas dune srie entire de la variable relle, on parle de lintervalle deconvergence ]R,R[ au lieu de disque de convergence.

3.2.5. Soit R R+ {+}. Dans la suite, on conviendra que :1R

= + si R = 0 , 1R

= 0 si R = +.

Thorme 3.2.6. (Formule de Hadamard). Le rayon de convergence R dune srieentire

anz

n est donn par :1R

= lim supn

n|an|.

Dmonstration. Si z C, on a :lim sup

n

n|anzn| = |z| lim sup

n

n|an|.

Il suffit donc dappliquer 1.6.1.

Thorme 3.2.7. Soit

anzn une srie entire de rayon de convergence R.

(i) Si la suite ( n|an|)n a une limite R+ {+}, on a R = 1

(ii) On suppose an = 0 pour n assez grand. Si la suite (|an+1/an|)n a une limite R+ {+}, alors R = 1

Dmonstration. Cela rsulte de 1.6.2 et 1.6.4.


anzn et

bnz

n des sries entires de rayons de conver-gence R1 et R2. On note respectivement 1 et 2 les rayons de convergence des sriesentires somme et produit, notes

cnz

n et

dnzn

.

(i) En tout point z C telles que les sries de termes gnraux anzn et bnznconvergent, la srie de terme gnral cnzn converge et :

n=0

cnzn =

n=0

anzn +

n=0

bnzn.

(ii) En tout point z C tel que les sries de termes gnraux anzn et bnzn convergentabsolument, la srie de terme gnral dnzn converge et :

n=0

dnzn =

( n=0

anzn)(

n=0bnz

n).

(iii) Si R1 = R2, on a 1 = min(R1, R2). Si R1 = R2, alors 1 min(R1, R2).(iv) On a 2 min(R1, R2).

38 3 Sries entires

Dmonstration. On obtient (i) et (ii) daprs 1.3.2 et 1.9.2, et alors i min(R1, R2)si i = 1, 2.Supposons R2 < R1. Comme

bnz

n est la srie somme de

(an)zn et de

cnzn

,

il vient R2 min(R1, 1), do R2 1 puisque R2 < R1. Ainsi, 1 = R2.

3.3 CONTINUIT ET INTGRABILIT

Thorme 3.3.1. La somme dune srie entire est une fonction continue en tout pointde son disque de convergence.

Dmonstration. Les fonctions z anzn tant continues, le thorme est cons-quence immdiate de 2.6.4 et 3.2.1.

Corollaire 3.3.2. Soient p N et anzn une srie entire de rayon de convergenceR > 0 et de somme S. Alors

S(z) = a0 + a1z + + apzp + zp(z),o (z) tend vers 0 quand z tend vers 0.

Dmonstration. Les sries entires

np+1anzn et

np+1anz

np ont pour rayonde convergence R. Daprs 3.3.1, il vient :

limz0

n=p+1

anznp = 0.

Do le rsultat.

Thorme 3.3.3. Soit

antn une srie entire de la variable relle, de rayon de

convergence R > 0. Sa fonction somme est intgrable sur tout intervalle [a, b] contenudans ]R,R[, et on a : b

aS(t) dt =

n=0

an

ba

tn dt.

Dmonstration. Rsulte de 2.6.6 et 3.2.1.

Corollaire 3.3.4. Soit

antn une srie entire de la variable relle, de rayon de

convergenceR > 0. Sur lintervalle ]R,R[, sa fonction somme admet pour ensemblede primitives les fonctions

t k +

n=0an

tn+1

n + 1,

avec k C.

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3.4 Drivabilit 39

3.4 DRIVABILIT

Dfinition 3.4.1. On appelle srie (entire) drive dune srie entire anzn lasrie entire

(n + 1)an+1zn.

Proposition 3.4.2. Une srie entire et sa srie drive ont mme rayon de conver-gence.

Dmonstration. Notons R, les rayons de convergence de

anzn et

(n+1)anzn.

Si |z| > R, la suite (anzn)n nest pas borne (3.2.4). Il en est donc de mme de lasuite

((n + 1)anzn

). Ainsi, la srie

(n + 1)anzn diverge. Do R.

Supposons |z| < R, et soit > 0 tel que |z| + < R. La srie de terme gnral|an|(|z|+ )n est convergente (3.2.3). Or, daprs la formule du binme :

|(n + 1)an+1zn| 1|an+1|(|z|+ )n+1.

Par suite, la srie de terme gnral (n + 1)an+1zn est absolument convergente. Do R.

3.4.3. Soient U un ouvert de C, z0 U , et f une fonction sur U . On dit que f estdrivable en z0 si la fonction

U\{z0} C , z f(z) f(z0)z z0

a une limite quand z tend vers z0. Sil en est ainsi, cette limite est not f (z0), et estappele la drive de f en z0.Les rsultats usuels concernant la drive dune somme, dun produit, dun quotient,se prolongent immdiatement du cas dune variable relle au cas dune variable com-plexe. De mme, si f est drivable en z0, elle est continue en z0.On dit que f est drivable sur U , ou holomorphe sur U , si elle est drivable en toutpoint de U . On peut dfinir dans ce cas la fonction drive f de f . On notera H(U)lensemble des fonctions holomorphes sur U .

Thorme 3.4.4. En tout point z0 du disque de convergence, la fonction somme Sde la srie entire

anz

n est drivable, et S (z0) est gal la somme de la srie determe gnral (n + 1)an+1zn0 .

Dmonstration. Soient R le rayon de convergence commun la srie et sa sriedrive (3.4.2), et r R vrifiant |z0| < r < R. Pour z D(0, r)\{z0}, on a :

S(z) S(z0)z z0 =

n=1

an(zn1 + z0zn2 + + zn20 z + zn10 ).

Considrons la srie dapplications

fn, o :fn : D(0, r) C , z an(zn1 + z0zn2 + + zn20 z + zn10 ).

40 3 Sries entires

Chaque fn est continue sur D(0, r). En outre :sup{|fn(z)| ; |z| r} n|an|rn1.

Comme r < R, la srie de terme gnral n|an|rn1 est convergente. Par suite, la sriefn est normalement convergente sur D(0, r). Sa somme F est donc continue sur

D(0, r). Or :

F (z) =S(z) S(z0)

z z0 si z = 0 , F (z0) =

n=1nanz

n0 .

La continuit de F en z0 fournit donc le rsultat.

Corollaire 3.4.5. Dans le disque de convergence, la fonction somme dune srieentire est indfiniment drivable et ses drives successives sont les fonctions sommesdes sries entires drives successives.

3.4.6. Avec les notations de 3.4.4, si p N et z D(0, R) on a :

S(p)(z) =

n=0

(n + p)!n!

an+pzn.

En particulier, si R > 0, on obtient :

S(p)(0) = p!ap.

3.5 FONCTIONS DVELOPPABLES EN SRIE ENTIRE

Dfinition 3.5.1. Soit f une fonction dfinie dans un voisinage de z0 C. On dit quef est dveloppable en srie entire au point z0 sil existe une srie entire

anz

n,

de rayon de convergence non nul, et un voisinage V de z0 dans C tels que, pour toutz V :

f(z) =

n=0an(z z0)n.

Dfinition 3.5.2. Soit f une fonction dfinie et indfiniment drivable dans un voisi-nage de 0. On appelle srie de Mac-Laurin ou srie de Taylor lorigine de f la srieentire 1

n!f (n)(0)zn.

Thorme 3.5.3. Soit f une fonction dfinie dans un voisinage de 0 et admettant undveloppement en srie entire lorigine.(i) Il existe un voisinage de 0 sur lequel f est indfiniment drivable.(ii) Le dveloppement en srie entire de f lorigine est son dveloppement de Mac-

Laurin.

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3.5 Fonctions dveloppables en srie entire 41

Dmonstration. Il existe R > 0 et une srie entire

anzn

, de rayon de convergenceau moins gal R, tels que D(0, R) soit contenu dans le domaine de dfinition de f ,et

f(z) = S(z) =

n=0anz

n

pour tout z D(0, R). Comme S est indfiniment drivable dans D(0, R) (3.4.5), flest aussi. En outre, daprs 3.4.6, on a f (p)(0) = S(p)(0) = p!ap.

Corollaire 3.5.4.

(i) Sil existe, le dveloppement en srie entire lorigine dune fonction est unique.(ii) Si f est dveloppable en srie entire lorigine, ses drives successives le sont

aussi, et leurs dveloppements sont les sries entires drives successives dudveloppement de f .

(iii) Soient f, g dveloppables en srie entire lorigine et C. Alors f + g, f ,fg sont dveloppables en srie entire lorigine.

3.5.5. Dans le cas de fonctions de variable relle, ce qui a t dit prcdemmentsapplique aussi. Signalons le rsultat suivant dont la preuve est immdiate.

Thorme. Une fonction f dfinie sur un voisinage de 0 dans R est dveloppable ensrie entire lorigine si et seulement sil existe r > 0 tel que :(i) f est indfiniment drivable sur ] r, r[.(ii) Pour tout t ] r, r[, la suite

n n(t) = f(t)n

k=0

1k!

f (k)(0)tk

admet 0 pour limite.Si ces conditions sont vrifies, f concide avec la somme de sa srie de Mac-Laurinsur ] r, r[.

Remarque. Si les hypothses de 3.5.5 sont vrifies, il rsulte de la formulede Taylor avec reste intgral que lon a, pour |t| < r :

n(t) = t0

(t u)nn!

f (n+1)(u) du.

Proposition 3.5.6. Soient r R+ et f : ] r, r[ R une application indfinimentdrivable. On suppose quil existe M > 0 tel que |f (p)(t)| M pour tout t ]r, r[et tout p N. Alors, f est dveloppable en srie entire lorigine.Dmonstration. Si t ] r, r[, il rsulte de la formule de Taylor-Lagrange quilexiste u compris entre 0 et t vrifiant :f(t) n

k=0

1k!

f (k)(0)tk = |t|n+1

(n + 1)!|f (n+1)(u)| M |t|

n+1

(n + 1)!

Il suffit donc dappliquer 3.5.5 pour obtenir le rsultat.

42 3 Sries entires

3.6 QUELQUES EXEMPLES

3.6.1. Soit z D(0, 1). Si n N, on a :1

1 z = 1 + z + + zn +

zn+1

1 z

On en dduit immdiatement que, si |z| < 1 :1

1 z =

n=0zn.

Soit a C. Ecrivant1

a z =1

a(1 a1z),

On obtient, si |z| < |a| :1

a z =

n=0

zn

an+1

En utilisant 3.4.4, on voit que, si p N et |z| < |a| :1

(a z)p =

n=0

(n p + 1)!n!(p 1)!

zn

an+p

Proposition 3.6.2. Soit f une fraction rationnelle dont les ples 1, . . . , k sont nonnuls. Alors, f est dveloppable en srie entire lorigine. Le rayon de convergencede ce dveloppement est R = min{|1|, . . . |k|}. Si S est la somme de ce dvelop-pement, on a f(z) = S(z) pour |z| < R.Dmonstration. Le premier point rsulte de 3.6.1 en utilisant la dcomposition enlments simples de f . Notons r = min{|j | , 1 j k}, et supposons que lerayon de convergence R du dveloppement vrifie R > r. Soit a un ple de f demodule r. La somme S est alors borne au voisinage de a, ce qui contredit le fait queS(z) = f(z) pour |z| < |a|.

3.6.3. En utilisant 3.3.4 et 3.6.1, pour t ] 1, 1[, on a :

ln(1 + t) =

n=1

(1)n1n

tn.

3.6.4. Soient R\N et f(t) = (1 + t).Considrons lquation diffrentielle

(E) (1 + t)y y = 0On vrifie facilement que f est solution de (E) sur I = ] 1, 1[.

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3.7 Fonction exponentielle 43

Cherchons sil existe une srie entire

antn de rayon de convergence R > 0, dont

la somme S vrifie S(0) = 1 et, pour |t| < R :(1 + t)S(t) S(t) = 0.

En crivant

(1 + t)S(t) S(t) =

n=0[(n + 1)an+1 ( n)an]tn

on trouve facilement, daprs 3.5.4 (i), que lunique solution est ( 1) ( n + 1)n!

tn.

La rgle de dAlembert montre que le rayon de convergence de cette srie entire est1. Do, pour t ] 1, 1[ :

(1 + t) = 1 +

n=1

( 1) ( n + 1)n!

tn.

3.7 FONCTION EXPONENTIELLE

3.7.1. On a dfini la fonction exponentielle (complexe) en 1.6.4 parez = exp(z) =

n=0

zn

n!

Daprs ce que lon a dj dit, cette srie a un rayon de convergence infini. Comptetenu de 3.4.4, on a donc :

Proposition. La fonction exponentielle est indfiniment drivable sur C et admet pourdrive ez en tout point z C.

Proposition 3.7.2. Soient z, C. Alors :ez+ = eze , ez = 0 , (ez)1 = ez , |ez| = eRe(z) , |ez| = 1 z iR.

Dmonstration. La srie produit

dn des sries reprsentant ez et e vrifie :

dn =n

k=0

zknk

k!(n k)! =1n!

(z + )n.

On en dduit immdiatement les trois premiers points. Dautre part, les nombres com-plexes

nk=0

zk

k!,

nk=0

zk

k!

tant conjugus, on obtient exp(z) = exp(z) par passage la limite. Do :| exp(z)|2 = exp(z). exp(z) = exp(z + z) = exp(2Re(z)).

On dduit facilement de ceci les deux derniers points.

44 3 Sries entires

3.7.3. Posons U = {z C ; |z| = 1}. Daprs 3.7.2, dire que ez U signifie quez iR. Par suite :

eiz U z R.Pour t R, on a donc eit U.

Thorme 3.7.4. La fonction exponentielle complexe induit un homomorphisme degroupes (C,+) (C,). Cet homomorphisme est continu, surjectif, mais noninjectif.Dmonstration. Le fait que lexponentielle ralise un homomorphisme des groupesen question rsulte de 3.7.2, et la continuit de 3.7.1. Montrons la surjectivit.Soit tout dabord C\R. Lapplication f : [0, 1] C, t 1 t + t est declasse C, et ne sannule pas. Dfinissons

g : [0, 1] C , t t0

f (u)f(u)

du , h : [0, 1] C , t f(t)eg(t).

Les applications g et h sont de classe C 1 et vrifient :

g(t) =f (t)f(t)

, h(t) = 0.

Comme h(0) = 1, il vient f(t) = eg(t) pour tout t [0, 1]. En particulier, eg(1) = .Appliquant ceci = i, on voit quil existe C tel que e = i. Alors e2 = 1.Si R, il vient alors :

e = e+2 = .Ce qui prcde montre que, lquation ez = possde au moins une solution pourtout C.Avec les notations prcdentes, on a e4 = 1 = e0. Lexponentielle nest donc pasinjective.

3.7.5. Rappelons quun sous-groupe de (R,+) est ou dense, ou de la forme Z, avec R.Considrons lapplication : R U, t eit (3.7.3). Cest un homomorphisme degroupes et une application continue.Soit U. Daprs 3.7.4, il existe z C tel que eiz = , et on a z R (3.7.3). Il enrsulte que est surjectif.Avec les notations de la preuve de 3.7.4, on a 4 iR, donc est non injectif. NotonsG son noyau. On a G = {0}. Dautre part, G est un ferm de R (car est continu) etdistinct de R (car est surjectif). Il existe donc a R+ tel que G = aZ. On a doncobtenu :

Thorme. Lapplication (R,+) (U,), t eit est un homomorphisme degroupes, surjectif et non injectif. Son noyau est de la forme aZ, avec a R+. Le rela qui est le plus petit rel positif t tel que eit = 1, est not 2.

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3.8 Fonctions circulaires et hyperboliques 45

Proposition 3.7.6.

(i) Le noyau de lhomomorphisme (C,+) (C,) est 2iZ.(ii) La fonction exponentielle complexe est priodique, et lensemble de ses priodes

est 2iZ.

Dmonstration. (i) Si ez = 1, on a z = it, avec t R (3.7.2), et alors z 2iZ(3.7.5). La rciproque est analogue.(ii) Si z, C, on a ez+ = ez si et seulement si e = 1. Le point (ii) est doncconsquence de (i).

3.8 FONCTIONS CIRCULAIRES ET HYPERBOLIQUES

Dfinition 3.8.1. On appelle cosinus et sinus les applications de R dans R dfiniesrespectivement par :

cos t = Re(eit) , sin t = Im(eit).

3.8.2. Pour tout nombre rel t, on a :

eit = cos t + i sin t =

n=0

(it)n

n!,

cos t =

n=0(1)n t

2n

(2n)!, sin t =

n=0

(1)n t2n+1

(2n + 1)!

Il est alors clair que sin est une application impaire, que cos est une application paire,et que ces deux applications admettent 2 pour priode commune (3.7.6). Dautrepart, elles sont indfiniment drivables (3.4.4), et on a (sin) = cos, (cos) = sin.En outre, comme exp(it) = exp(it), on trouve :

cos t =12(eit + eit) , sin t =

12i

(eit eit).De mme, de |eit| = 1, on dduit :

sin2 t + cos2 t = 1.

Enfin, comme (ei)2 = e2i = 1, il rsulte de 3.7.5 que ei = 1. Do :cos(t + ) = cos t , sin(t + ) sin t.

3.8.3. On va tudier les variations des applications sinus et cosinus. Daprs 3.8.2, onpeut se restreindre lintervalle I =

[0,

2

].

On a (ei/2)2 = ei = 1, donc ei/2 {i, i}, et cos(/2) = 0.Rciproquement, si u R+ verifie cos u = 0, il vient sin2 u = 1, et on trouve alorsu {i, i}, donc e4iu = 1. Ainsi, 4u est un multiple de 2 (3.7.5). On a prouv que/2 est le plus petit rel positif t tel que cos t = 0.

46 3 Sries entires

Ce qui prcde montre que cos t > 0 si 0 t < /2 (thorme des valeursintermdiaires). Ainsi, sin est strictement croissante sur I . Comme sin 0 = 0, on endduit que cos est strictement dcroissante sur I . Ltude prcdente montre que, si et sont deux zros conscutifs de sin ou decos, on a | | = . Toute priode de ces applications est donc multiple de . Or,daprs 3.8.2, nest pas une priode. Ainsi, lensemble des priodes de sin ou de cosest 2Z.

3.8.4. On peut maintenant dfinir les applications de C dans C certainement djrencontres par le lecteur :

cos z =

n=0(1)n z

2n

(2n)!, sin z =

n=0

(1)n z2n+1

(2n + 1)!,

ch z =

n=0

z2n

(2n)!, sh z =

n=0

z2n+1

(2n + 1)!

On remarquera que, si z C :ch(iz) = cos z , sh(iz) = i sin z.

Utilisant ce qui prcde, le lecteur prouvera les rsultats usuels concernant ces appli-cations. Il montrera ainsi que lensemble des priodes de cos et sin (respectivement chet sh) est 2Z (respectivement 2iZ).

EXERCICES

Exercice 3.1. Soit (an)n une suite relle borne. On pose :

f(x) =

n=0anx

n , g(x) =

n=0

ann!

xn.

1. Prouver que le rayon de convergence de f vrifie 1.2. Montrer que g a un rayon de convergence infini et que, si x > 1, on a : +

0extg(t) dt =

1xf(1x

).

Exercice 3.2. Soient

f(x) =

n=1anx

n et g(x) =

n=1bnxn

ayant des rayons de convergence au moins gaux 1.1. Prouver, pour |x| < 1, la convergence des sries

F (x) =

n=1bnf(xn) et G(x) =

n=1

ang(xn).

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2. Montrer que F (x) = G(x) si |x| < 1.

Exercice 3.3. Soient

an une srie convergente, sn =n

p=0ap et s =

n=0an.

1. Que peut-on dire du rayon de convergence def(x) =

n=0

anxn?

Si |x| < 1, calculer :(1 x)

n=0

snxn.

2. Ecriref(x) s1 x

sous-forme dune srie. En dduire que f(x) tend vers s quand x tend vers 1 parvaleurs infrieures.3. Soient

an,

bn des sries convergentes et

cn leur srie produit. Si la srie

cn est convergente, prouver que :( n=0

an

)( n=0

bn

)=

n=0

cn.


Exercice 3.1.

1. Si A est un majorant des |an|, on a |anxn| A|x|n. Il est donc clair que > 1.2. De mme, comme |anxn/n!| A|x|n/n!, on dduit que g a un rayon de conver-gence infini et que g est normalement convergente sur tout compact de R.Soient x > 1 et X > 0. Ce qui prcde montre que : X

0extg(t) dt =

n=0

ann!

exttn dt.

Si lon poseSn(u) =

np=0

up

p!,

on voit facilement par rcurrence que : X0

exttn dt =n!

xn+1[1 exXSn(Xx)].

La suite(Sn(Xx)

)n

est borne. Comme x > 1 implique la convergence de la srie|an| |x|n, on voit que la srie de terme gnral |an|xnexXSn(xX) converge.

48 3 Sries entires

On a alors : X0

extg(t) dt 1x

n=0

anxn

n=0

|an|xn+1

exXSn(xX).

On a |exXSn(xX) 1. Dautre part, > 0 tant donn, il existe N N tel queN+1|an|xn1 (car x > 1). On a donc : X

0extg(t) dt 1

x

n=0

anxn

+ exX Nn=0

|an|xn+1

Sn(xX).

Pour X assez grand, le dernier terme de la ligne prcdente est major par . On endduit que lintgrale propose est convergente et que :

0extg(t) dt =

1x

n=0

anxn

=1xf(1x

).

Exercice 3.2.

1. Soit x C tel que |x| r < 1. Les sries |an|rn et |bn|rn sont convergentes.On a :

|f(x)| =x

n=1anx

n1 |x|

n=1|an|rn = A|x|.

Toujours pour |x| r, si s N, on a |x|s |x| r. Do |f(xn)| A|xn| pourn N. On voit ainsi que la srie F converge normalement dans le disque ferm decentre 0 et de rayon r. Cest analogue pour G.2. Fixons r, r tels que |x| r < r < 1. Soit

Sn(x) =n

p,q=1apbqx

pq.

On va prouver que :limn

Sn(x) = F (x) = G(x).

Par symtrie, il suffit de prouver la premire galit.Soit > 0. Il existe n0 N tel que :

n n0

p=n+1|bp|rp < ,

p=n+1

|ap|rp < .

On a : s=1

bsf(xs) Sn(x)

s=n+1|bs| |f(xs)|+

ns=1

bs

(f(xs)

nq=1

aqxsq)

A

s=n+1|bs|rs +

ns=1

|bs|. q=n+1

|aq|rsq

A +n

s=1|bs|

q=n+1

rq|aq|(rsr)q

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Comme rs r < r < 1, on a donc : s=1

bsf(xs) Sn(x) A +

s=1|bs|r

s

rcar

q=n+1rq|aq|

(rsr)q r

s

r

q=n+1|aq|rq r

s

r

Il vient alors : s=1

bsf(xs) Sn(x) A +

rs=1

|bs|rs A + B.Do le rsultat.

Exercice 3.3.

1. La srie

an tant convergente, il rsulte du lemme dAbel que la srie entireanx

n a un rayon de convergence au moins gal 1.La suite (snxn)n est borne si x = 1, car la suite (sn)n converge. Il rsulte nouveaudu lemme dAbel que la srie

snx

n a un rayon de convergence au moins gal 1.Comme sn sn1 = an pour n 1, il est alors clair que, si |x| < 1 :

(1 x)

n=0snx

n = f(x).

2. Si |x| < 1, on a :1

1 x =

n=0xn.

Par consquent, toujours pour |x| < 1 :f(x) s1 x =

n=0

(sn s)xn.

Soit > 0. Il existe N N tel que |sn s| si n n. Pour 0 < x < 1, on adonc :

|f(x) s| (1 x)N

n=0|sn s|xn + xN+1;

Il est alors immdiat que f(x) tend vers s qaund x tend vers 1 par valeurs infrieures.3. Daprs 1, les sries de termes gnraux anxn, bnxn et cnxn convergent si |x| < 1.Dautre part, daprs la dfinition du produit de deux sries entires, il vient(

n=0anx

n)(

n=0bnx

n)

=

n=0cnx

n.

si |x| < 1. En faisant tendre x vers 1 par valeurs infrieures, on obtient alors( n=0

an

)( n=0

bn

)=

n=0

cn

daprs la question 2.

Chapitre 4

Fonctions analytiques

4.1 DFINITION DES FONCTIONS ANALYTIQUES

4.1.1. Concernant la dfinition suivante, le lecteur se reportera 3.5.1.

Dfinition. On dit quune fonction dfinie sur un ouvert U de C est analytique dansU si elle est dveloppable en srie entire en tou

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