Cycle préparatoire 2ème année

Analyse dansRn – Notes de cours

Romain Dujol

2013 – 2014

Table des matières

1 Espaces vectoriels normés 31.1 Espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Espace métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Boule ouverte, boule fermée, sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5 Partie ouverte, partie fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.6 Intérieur, adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Suite convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Valeur d’adhérence et point adhérent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Suite de CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Applications continues 172.1 Limite. Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Structure algébrique de l’ensemble des fonctions continues . . . . . . . . . . . . 182.1.3 Caractérisations séquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Images de sous-ensembles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Compacité 253.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Lien avec les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Lien avec les applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Équivalence des normes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Théorème de BOLZANO-WEIERSTRASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

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4 Calcul différentiel 334.1 Dérivée partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Fonctions de classeC 1 sur un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.3 Structure algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.4 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 C 1-difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.2 Applications : changement de variables et équations aux dérivées partielles 41

4.4 Fonctions différentiables sur un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5 Fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Changement de variables en coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Calcul différentiel d’ordre supérieur 555.1 Différentiation d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.1 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.2 Fonctions de classeC k sur un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.3 Ordre de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.4 C k -difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Extrema de fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.2 Condition nécessaire d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2.3 Conditions d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

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Chapitre 1

Espaces vectoriels normés

Dans ce chapitre, E , F et G désignent desR-espaces vectoriels. En pratique, on aura souventE =Rp , F =Rn , p et n désignant deux entiers naturels non nuls.

1.1 Espace vectoriel normé

1.1.1 Norme

Définition 1.1 (Norme). Une norme sur E est une application ‖ · ‖ de E dans R qui vérifie lestrois propriétés suivantes :

1. ∀x ∈ E , (‖x‖= 0 ⇐⇒ x = 0E )

2. ∀λ∈R, ∀x ∈ E , ‖λx‖= |λ| ‖x‖3. ∀x ∈ E , ∀y ∈ E , ‖x + y ‖ ≤ ‖x‖+ ‖y ‖ (« inégalité triangulaire »)

Si il existe une telle application, alors le couple (E , ‖ · ‖) est un espace vectoriel normé.

Remarque. Donc ‖0E ‖= 0 et ‖−x‖= | −1| · ‖x‖= ‖x‖.

Exemple.• E =Rn est un espace vectoriel normé. Citons trois normes à connaître :

– ∀x = (x1, . . . , xn )∈Rn , ‖x‖1 =n∑

i=1

|x i |

– ∀x = (x1, . . . , xn )∈Rn , ‖x‖2 =

s

n∑

i=1

x 2i (norme « euclidienne »)

– ∀x = (x1, . . . , xn )∈Rn , ‖x‖∞ = max1≤i≤n|x i |

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• E =C ([0, 1], R) l’ensemble des applications continues de [0, 1] dansR est un espace vec-toriel normé avec :

– ∀ f ∈C ([0, 1], R), ‖ f ‖1 =∫ 1

0

| f (x )|dx

– ∀ f ∈C ([0, 1], R), ‖ f ‖2 =

s

∫ 1

0

[ f (x )]2 dx

– ∀ f ∈C ([0, 1], R), ‖ f ‖∞ = maxx∈[0, 1]

| f (x )|

Proposition 1.1. Une norme est toujours positive.Démonstration. Soit x ∈ E , alors 0= ‖0E ‖= ‖x +(−x )‖ ≤ ‖x‖+ ‖−x‖= 2‖x‖. Donc ‖x‖ ≥ 0.

Corollaire (Deuxième inégalité triangulaire). Soit ‖ · ‖ une norme sur E .Alors pour tous vecteurs x et y de E ,

�

�‖x‖−‖y ‖�

�≤ ‖x − y ‖.

Démonstration. On a ‖x‖= ‖(x − y )+ y ‖ ≤ ‖x − y ‖+ ‖y ‖, donc ‖x‖−‖y ‖ ≤ ‖x − y ‖et ‖y ‖= ‖(y −x )+x‖ ≤ ‖y −x‖+ ‖x‖, donc ‖y ‖−‖x‖ ≤ ‖y −x‖= ‖x − y ‖

On peut alors conclure que�

�‖x‖−‖y ‖�

�=max{‖x‖−‖y ‖, ‖y ‖−‖x‖} ≤ ‖x − y ‖.

Définition 1.2 (Normes équivalentes). Soit ‖ · ‖a et ‖ · ‖b deux normes sur E .On dit que ‖ · ‖a et ‖ · ‖b sont équivalentes si et seulement si il existe deux réels

strictement positifs α et β tels que

∀x ∈ E , α‖x‖a ≤ ‖x‖b ≤β‖x‖a

Remarque. Les coefficients α et β doivent être indépendants de x .

Proposition 1.2. La relation ainsi définie est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normessur E .

Exemple. Les trois normes ‖ · ‖1, ‖ · ‖2 et ‖ · ‖∞ sont équivalentes :

∀x ∈Rn , ‖x‖∞ ≤ ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ n ‖x‖∞

Théorème 1.1 (Équivalence des normes en dimension finie). Si E est un espace vectorielde dimension finie, alors toutes les normes sur E sont équivalentes entre elles.

Démonstration. Voir démonstration en fin de chapitre 3, page 29.

Remarque. Dans le cas de la dimension finie uniquement, toutes les définitions ultérieuresseront donc indépendantes de la norme utilisée et celle-ci sera alors omise.

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1.1.2 Espace métrique

Définition 1.3 (Distance). Soit X un ensemble quelconque. Une distance sur X est une appli-cation d de X 2 = X ×X dans R qui vérifie les trois propriétés suivantes :

1. ∀x ∈ X , ∀y ∈ X ,�

d (x , y ) = 0 ⇐⇒ x = y�

2. ∀x ∈ X , ∀y ∈ X , d (x , y ) = d (y ,x )

3. ∀x ∈ X , ∀y ∈ X , ∀z ∈ X , d (x , z )≤ d (x , y )+d (y , z ) ( inégalité triangulaire)

Si il existe une telle application, alors le couple (X , d ) est un espace métrique.

Proposition 1.3. Une distance est toujours positive.

Démonstration. Soit x ∈ E et y ∈ E , alors 0= d (x ,x )≤ d (x , y )+d (y ,x ) = 2 d (x , y ). Donc d (x , y )≥ 0.

Proposition 1.4 (Distance associée à une norme). Soit ‖ · ‖ une norme sur E .Alors l’application d : E 2 → R

(x , y ) 7→ ‖x − y ‖est une distance sur E et est appelée distance

associée à la norme ‖ · ‖.

Remarque. Toutes les distances sur E ne sont pas associées à des normes de E , comme la dis-

tance δ définie par ∀x ∈ E , ∀y ∈ E , δ(x , y ) =

(

0 si x = y

1 si x 6= y.

1.1.3 Boule ouverte, boule fermée, sphère

Définition 1.4 (Boule ouverte. Boule fermée. Sphère).Soit ‖ · ‖ une norme sur E , a ∈ E et r un réel positif. On définit :

– la boule ouverte de centre a et de rayon r , notée B (a , r ) ou Bo(a , r ) par

B (a , r ) = {x ∈ E , ‖x −a‖< r }

– la boule fermée de centre a et de rayon r , notée B (a , r ) ou B f (a , r ) par

B (a , r ) = {x ∈ E , ‖x −a‖ ≤ r }

– la sphère de centre a et de rayon r , notée S (a , r ) par

S(a , r ) = {x ∈ E , ‖x −a‖= r }

On parle de boule unité ou de sphère unité lorsque a = 0E et r = 1.

Remarque. On a évidemment B (a , r ) = B (a , r )∪S(a , r ) de sorte que B (a , r ) et S(a , r ) sont dessous-parties de B (a , r ).

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ATTENTION. La définition de la boule ou de la sphère change selon la norme utilisée !Représentez les boules unité de E =R2 pour les trois normes ‖ · ‖1, ‖ · ‖2 et ‖ · ‖∞ :

1.1.4 Voisinage

Définition 1.5 (Voisinage). Soit ‖ · ‖ une norme sur E , a ∈ E et V une partie de E .On dit que V est un voisinage de a si et seulement si V contient une boule ouverte de centre a

de rayon non nul, c’est-à-dire si et seulement si

∃r > 0, B (a , r )⊂V

On notera alors V(E ,‖·‖)(a )— ou V (a ) lorsqu’il n’y a pas d’ambigüité — l’ensemble des voisi-nages de a pour la norme ‖ · ‖.

Exemple.

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Proposition 1.5 (Opérations sur les voisinages). Soit ‖ · ‖ une norme sur E et a ∈ E .

1. a est toujours un élément de ses voisinages : ∀V ∈V(E ,‖·‖)(a ), a ∈V .

2. Toute réunion de voisinages de a est un voisinage de a .

3. Toute intersection finie de voisinages de a est un voisinage de a .

4. Toute boule (ouverte ou fermée) de centre a et de rayon non nul est un voisinage de a .

Remarque. La proposition 3 ne peut pas s’étendre à une intersection infinie de voisinages.

Exemple. On considère E =Rmuni de la valeur absolue.

Pour n ∈N∗, on définit Vn = B

�

0,1

n

�

=

�

− 1

n,

1

n

�

qui est un voisinage de 0.

Or⋂

n≥1

Vn = {0}= B (0, 0) n’est pas un voisinage de 0.

Proposition 1.6 (Espace séparé). Tout espace vectoriel normé (E , ‖ · ‖) est un espace séparé, i.e. :

∀a ∈ E , ∀b ∈ E , (a 6=b )⇒�

∃Va ∈V(E ,‖·‖)(a ), ∃Vb ∈V(E ,‖·‖)(b ), Va ∩Vb =∅�

Démonstration. Soit a ∈ E et b ∈ E tels que a 6=b . On note δ= ‖a −b‖ 6= 0 et on définit Va = B (a , δ/2) etVb = B (b , δ/2). Va est bien un voisinage de a et Vb est bien un voisinage de b .

Supposons par l’absurde que Va ∩Vb 6= ∅. Alors il existe x ∈ Va ∩Vb = B (a , δ/2)∩ B (b , δ/2), c’est-à-dire que ‖a −x‖<δ/2 et que ‖b −x‖<δ/2. En utilisant l’inégalité triangulaire, il vient que δ= ‖a −b‖ ≤‖a −x‖+ ‖x −b‖<δ/2+δ/2=δ, ce qui est absurde.

On en conclut que Va ∩Vb =∅ puis que E est séparé.

Remarque. Un espace non séparé est un objet mathématique très particulier (pour ne pas direpathologique) qui ne sera jamais traité : dans un tel espace, une suite convergente pourrait avoirdeux limites distinctes !

1.1.5 Partie ouverte, partie fermée

Définition 1.6 (Partie ouverte). Soit ‖ · ‖ une norme sur E et U une partie de E .On dit que U est un ouvert de E si et seulement si U est un voisinage de chacun de ses

éléments, c’est-à-dire que∀x ∈U , ∃r > 0, B (x , r )⊂U

Par convention, ∅ est un ouvert de E .

Remarque. Le rayon r de la boule est dépendant de x .

Exemple. ]0, 1[ est un ouvert de (R, | · |), mais pas [0, 1[.

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Proposition 1.7 (Opérations sur les ouverts).

1. Une boule ouverte est un ouvert.

2. Toute réunion d’ouverts est un ouvert.

3. Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.

Remarque. La proposition 3 ne peut pas s’étendre à une intersection infinie d’ouverts. (Il suffitde reprendre l’exemple utilisé pour les voisinages, car ceux-ci sont en fait des ouverts.)

Démonstration. Soit ‖ · ‖ une norme sur E .

1. Soit a ∈ E et r > 0. Soit x ∈ B (a , r ) etδ= ‖a−x‖ : alors r−δ > 0. Montrons que B (x , r−δ)⊂ B (a , r ).

Soit y ∈ B (x , r −δ) : alors ‖y −x‖< r −δ et

‖y −a‖ ≤ ‖y −x‖+ ‖x −a‖< (r −δ)+δ= r

Donc y ∈ B (a , r ) et l’inclusion est bien montrée.

On en conclut que B (a , r ) est voisinage de chacun de ses points et que c’est donc un ouvert.

2. Soit (Ui )i∈I une famille d’ouverts et U =⋃

i∈I

Ui .

Soit x ∈U : alors il existe un indice i de I tel que x ∈Ui . Comme Ui est un ouvert, c’est un voisinagede x : donc il existe r > 0 tel que B (x , r ) ⊂Ui ⊂U et U est bien un voisinage de x . On en conclutque U est ouvert.

3. Soit U1, . . . , Un des ouverts et U =n⋂

i=1

Ui . Si U est vide, U est un ouvert par convention.

Soit x ∈U , alors pour tout i entier entre 1 et n , x ∈Ui et il existe ri > 0 tel que B (x , ri )⊂Ui (car Ui

est un ouvert).Soit r = min

1≤i≤nri , alors r > 0 et B (x , r )⊂ B (x , ri )⊂Ui pour tout entier i entre 1 et n : donc B (x , r )⊂U

et U est bien un voisinage de x . On en conclut que U est ouvert.

Définition 1.7 (Partie fermée). Soit ‖ · ‖ une norme sur E et F une partie de E . On dit que Fest un fermé de E si et seulement si le complémentaire ∁E F de F dans E est un ouvert de E .

Par convention, ∅ est un fermé de E .

Exemple. [0, 1] est un fermé de (R, | · |), mais pas [0, 1[.

Proposition 1.8 (Opérations sur les fermés).

1. Une boule fermée est un fermé.

2. Toute intersection de fermés est un fermé.

3. Toute réunion finie de fermés est un fermé.

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Démonstration. Soit ‖ · ‖ une norme sur E .

1. Soit a ∈ E et r > 0. Soit x ∈ ∁E B (a , r ) = {y ∈ E , ‖y −a‖> r } et δ= ‖a−x‖ : alors δ−r > 0. Montronsque B (x , δ− r )⊂ ∁E B (a , r ).Soit y ∈ B (x , δ− r ) : alors ‖y −x‖<δ− r et

δ= ‖x −a‖ ≤ ‖x − y ‖+ ‖y −a‖< (δ− r )+ ‖y −a‖Donc ‖y −a‖>δ− (δ− r ) = r et y ∈ ∁E B (a , r ) et l’inclusion est bien montrée.On en conclut que ∁E B (a , r ) est voisinage de chacun de ses points et que c’est un ouvert, puis queB (a , r ) est un fermé.

2. Soit (Fi )i∈I une famille de fermés et F =⋂

i∈I

Fi . Alors (∁E Fi )i∈I est une famille d’ouverts : donc ∁E F =

⋃

i∈I

(∁E Fi ) est un ouvert et F est un fermé.

3. Même principe que précédemment.

1.1.6 Intérieur, adhérence

Définition 1.8 (Point intérieur. Intérieur).Soit ‖ · ‖ une norme sur E , A une partie de E et a ∈ E .On dit que a est intérieur à A si et seulement si A est un voisinage de a , c’est-à-dire si et

seulement si∃r > 0, B (a , r )⊂ A

L’ensemble des points intérieurs à A est appelé intérieur de A et noté �A .

Théorème 1.2 (Caractérisation de �A).L’intérieur de A est le plus grand (au sens de l’inclusion des ensembles) ouvert contenu

dans A. Notamment �A ⊂ A.A est un ouvert de E si et seulement si �A = A.

Remarque. Donc l’intérieur d’une partie est toujours un ouvert.

Exemple.– Dans R, �]a ,b [ = �[a ,b ] = �]a ,b ] = �[a ,b [ = ]a ,b [.– L’intérieur deQ dans R est vide.

Supposons par l’absurde que ce ne soit pas le cas : alors il existe un intervalle ouvert de Rconstitué exclusivement de nombres rationnels, ce qui est impossible.

On montre de même que l’intérieur de R\Q est également vide.

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Définition 1.9 (Point adhérent. Adhérence).Soit ‖ · ‖ une norme sur E , A une partie de E et a ∈ E .On dit que a est adhérent à A si et seulement si tout voisinage de a rencontre A, c’est-à-dire

si et seulement si∀V ∈V(E ,‖·‖)(a ), A ∩V 6=∅

L’ensemble des points adhérents à A est appelé adhérence de A ou fermeture de A est noté A .

Théorème 1.3 (Caractérisation de A).L’adhérence de A est le plus petit (au sens de l’inclusion des ensembles) fermé contenant A.

Notamment A ⊂ A.A est un fermé de E si et seulement si A = A.

Remarque. Donc l’adhérence d’une partie est toujours un fermé.

Exemple.– Dans R, ]a ,b [ = [a ,b ] = ]a ,b ] = [a ,b [ = [a ,b ].– Q=R\Q=R

Définition 1.10 (Partie dense). Soit ‖ · ‖ une norme sur E et A une partie de E .On dit que A est dense dans E si et seulement si A = E .

Exemple. Q et R\Q sont denses dans R.

Définition 1.11 (Frontière). Soit ‖ ·‖ une norme sur E et A une partie de E et a ∈ E . On appellefrontière de A , noté Fr A ou ∂A l’ensemble

FrA = ∂A = A\�A

Remarque. On peut montrer que FrA = A∩∁E A : c’est-à-dire que la frontière de A est constituéede l’ensemble des points dont tous les voisinages rencontrent à la fois A et ∁E A.

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1.2 Suites

Définition 1.12 (Suite). Une suite de E est une application de N dans E .Si x est une suite de E de terme général xn , on note x = (xn )n∈N.

Définition 1.13 (Suite bornée). Soit ‖ · ‖ une norme sur E .La suite (xn )n∈N de E est bornée si et seulement si la suite numérique réelle (‖xn‖)n∈N est

bornée, c’est-à-dire si et seulement si

∃M ≥ 0, ∀n ∈N, ‖xn‖ ≤M

le réel M étant indépendant de n.

1.2.1 Suite convergente

Définition 1.14 (Suite convergente). Soit ‖ · ‖ une norme sur E et ℓ∈ E .La suite (xn )n∈N de E converge vers ℓ si et seulement si l’une des trois propriétés équivalentes

est vérifiée :

1. ∀ǫ > 0, ∃N ∈N, ∀n ≥N , ‖xn − ℓ‖< ǫ2. ∀ǫ > 0, ∃N ∈N, ∀n ≥N , xn ∈ B (ℓ, ǫ)

3. ∀V ∈V(E ,‖·‖)(ℓ), ∃N ∈N, ∀n ≥N , xn ∈V

On dit alors que ℓ est limite de la suite (xn )n∈N.

Remarque. La propriété 1 est équivalente à limn→+∞‖xn −ℓ‖= 0.

Remarque. On peut également formuler la propriété 1 avec une inégalité large, et donc la pro-priété 2 avec des boules fermées.

Remarque. Si E est un espace vectoriel normé de dimension finie, le caractère convergent ounon d’une suite est totalement indépendant de la norme. On ne précisera alors pas la normeutilisée.

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Proposition 1.9. Si une suite (xn )n∈N converge, alors elle admet une unique limite ℓ.On note alors ℓ= lim

n→+∞xn .

Démonstration. Supposons la suite (xn )n∈N converge. Supposons par l’absurde qu’elle converge versdeux éléments ℓ1 et ℓ2 tels que ℓ1 6= ℓ2.

Comme E est un espace séparé, il existe un voisinage V1 de ℓ1 et V2 un voisinage de ℓ2 tels queV1 ∩V2 =∅. En utilisant la propriété de la limite avec les voisinages (propriété 3 de la définition 1.14 pageprécédente), il vient que

∃N1 ∈N, ∀n ≥N1, xn ∈V1 et ∃N2 ∈N, ∀n ≥N2, xn ∈V2

Donc ∀n ≥max{N1, N2}, xn ∈V1∩V2 =∅, ce qui est absurde. On conclut donc que ℓ1 = ℓ2 et que la limite

d’une suite convergente est unique.

Remarque. Cette propriété n’est pas garantie si E n’est pas séparé (cas qui est en dehors de notreétude).

Théorème 1.4 (Linéarité de la limite).Soit ‖ · ‖ une norme sur E , et deux suites convergentes de E (xn )n∈N et (yn )n∈N.

Pour tout λ ∈R, la suite (xn +λyn )n∈N est convergente et

limn→+∞

(xn +λyn ) =�

limn→+∞

xn

�

+λ�

limn→+∞

yn

�

Proposition 1.10. On suppose ici que E =Rp .

Alors une suite (xn )n∈N =�

(xn ,1, . . . , xn ,p )�

n∈Nde E est convergente si et seulement si pour

tout entier i entre 1 et p , chaque suite réelle (xn ,i )n∈N converge. Auquel cas,

limn→+∞

xn = (ℓ1, . . . , ℓp ) avec ℓi = limn→+∞

xn ,i

Remarque. L’étude de la convergence d’une suite vectorielle se réduit donc à l’étude de la con-vergence des suites composantes.

Exemple. On considère la suite (xn )n≥1 de R3 telle que pour tout n ≥ 1, xn =

�

1

n,

1

n 2 ,1

n 3

�

.

Alors (xn ,1)n≥1 =

�

1

n

�

n≥1, (xn ,2)n≥1 =

�

1

n 2

�

n≥1et (xn ,3)n≥1 =

�

1

n 3

�

n≥1.

Ces trois suites numériques convergent respectivement vers ℓ1 = 0, ℓ2 = 0 et ℓ3 = 0.Donc (xn )n≥1 converge vers ℓ= (ℓ1,ℓ2,ℓ3) = (0, 0, 0).

Romain Dujol 12

1.2.2 Valeur d’adhérence et point adhérent

Définition 1.15 (Valeur d’adhérence). Soit ‖ · ‖ une norme sur E et (xn )n∈N une suite de E .On dit que ℓ ∈ E est une valeur d’adhérence de la suite (xn )n∈N si et seulement si l’une des

trois propriétés équivalentes est vérifiée :

1. il existe une suite extraite de la suite (xn )n∈N qui converge vers ℓ.

2. ∀ǫ > 0, {n ∈N, ‖xn − ℓ‖< ǫ}= {n ∈N, xn ∈ B (ℓ, ǫ)} est infini

3. ∀V ∈V(E ,‖·‖)(ℓ), {n ∈N, xn ∈V } est infini

Exemple. La suite (xn )n∈N n’est pas nécessairement convergente. Ainsi 1 est une valeur d’ad-hérence dans R de la suite

�

(−1)n�

n∈N qui n’est pas convergente.

Proposition 1.11 (Valeur d’adhérence d’une suite convergente).Si une suite (xn )n∈N est convergente, sa limite ℓ est l’unique valeur d’adhérence de la suite.

Démonstration. Remarquons tout d’abord que ℓ est évidemment une valeur d’adhérence.De plus, si ℓ′ est une autre valeur d’adhérence, alors elle est la limite d’une suite extraite. Or cette

suite extraite converge également vers ℓ comme sous-suite d’une suite convergente. Par unicité de lalimite, on en conclut que ℓ′ = ℓ et que ℓ est l’unique valeur d’adhérence.

ATTENTION. Une suite possédant une seule valeur d’adhérence n’est pas forcément convergente.En effet, la suite réelle (xn )n∈N définie par x2n = 2n et x2n+1 = 1 admet 1 pour seule valeur d’ad-hérence mais ne converge pas.

Proposition 1.12 (Point adhérent comme valeur d’adhérence).Soit ‖ · ‖ une norme sur E , A une partie de E et a ∈ E . Alors les trois propositions suivantes

sont équivalentes :

1. a est adhérent à A

2. il existe une suite (xn )n∈N d’éléments de A dont a est une valeur d’adhérence

3. il existe une suite (xn )n∈N d’éléments de A qui converge vers a

Démonstration.1⇒ 3 : Soit a un point adhérent à A. Alors, pour tout entier naturel non nul n ,

A ∩ B (a , 1/n ) 6=∅ : on choisit alors xn ∈ A ∩ B (a , 1/n ).On a, par construction, ‖xn −a‖< 1/n : donc lim

n→+∞‖xn −a‖= 0 et lim

n→+∞xn = a . On en conclut que

(xn )n∈N est une suite d’éléments de A qui converge vers a .3⇒ 1 : Soit (xn )n∈N une suite d’éléments de A qui converge vers a .

Soit V un voisinage de a . Alors il existe un entier naturel N tel que pour tout n ≥ N , xn ∈ V . Deplus, xn ∈ A : on en conclut que xn ∈ A ∩V et que A ∩V 6=∅, puis que a est adhérent à A.

2⇒ 3 : Il suffit de choisir la suite extraite convergente.3⇒ 2 : La limite d’une suite convergente est une valeur d’adhérence.

Romain Dujol 13

Proposition 1.13 (Caractérisation séquentielle de l’adhérence).Soit ‖ · ‖ une norme sur E et A une partie de E .Alors l’adhérence de A est l’ensemble des valeurs d’adhérences de suites d’éléments de A ou

encore l’ensemble des limites de toutes les suites convergentes d’éléments de A.

Corollaire (Caractérisation séquentielle d’un fermé).Soit ‖ · ‖ une norme sur E et A une partie de E .A est fermé si et seulement si toute suite d’éléments de A convergente dans E admet une limite

dans A.

Exemple. La suite réelle

n∑

k=0

1

k !

!

n∈N

est une suite d’éléments de Q qui converge vers e /∈ Q.

DoncQ n’est pas un fermé de R.

1.2.3 Suite de CAUCHY

Définition 1.16 (Suite de CAUCHY). Soit ‖ · ‖ une norme sur E et (xn )n∈N une suite de E .On dit que (xn )n∈N est une suite de CAUCHY si et seulement si

∀ǫ > 0, ∃N ∈N, ∀n ≥N , ∀p ≥N , ‖xn −xp‖< ǫ

Proposition 1.14 (Valeur d’adhérence d’une suite de CAUCHY).Si une suite de CAUCHY admet une valeur d’adhérence, alors elle est convergente (et la valeur

d’adhérence est donc sa limite).

Démonstration. Soit (xn )n∈N une suite de CAUCHY de E et a une valeur d’adhérence de la suite.Soit ǫ > 0. Alors il existe NC ∈N tel que pour tout n ≥NC et p ≥NC , on ait ‖xn −xp‖< ǫ/2.Soit (xϕ(n ))n∈N une suite extraite convergente vers la valeur d’adhérence a . Alors il existe N1 ∈ N tel

que pour tout n ≥N1, on ait

xϕ(n )−a

< ǫ/2.On note N =max{NC , N1}. Pour tout n ≥N , on a ϕ(n )≥ n ≥N ≥NC .

Donc ‖xn −a‖ ≤ ‖xn −xϕ(n )‖+ ‖xϕ(n )−a‖< ǫ. On vient de montrer que :

∀ǫ > 0, ∃N ∈N, ∀n ≥N , ‖xn −a‖< ǫ

On conclut donc que (xn )n∈N converge vers la valeur d’adhérence a .

Définition 1.17 (Espace complet. Espace de BANACH).Un espace vectoriel normé (E , ‖ · ‖) est dit complet si et seulement si toute suite de CAUCHY

d’éléments de E est convergente.Un espace vectoriel normé complet est appelé espace de BANACH.

Remarque. Dans un espace complet, le critère de suite de CAUCHY est donc une condition suff-isante de convergence.

Romain Dujol 14

Espaces vectoriels normés : Exercices

Exercice 1.1. Dans cet exercice, E = C ([0, 1],R) est l’ensemble des fonctions à valeurs réellesdéfinies et continues sur [0, 1].

On définit également les applications N∞, N1 et N2 par

N∞ : E → Rf 7→ sup

x∈[0,1]| f (x )|

, N1 : E → R

f 7→∫ 1

0

f (x )dx

et N2 =N∞+N1

1. Montrer que les applications N∞, N1 et N2 sont des normes sur E .

2. Montrer que N∞ et N2 sont des normes équivalentes.

3. Pour tout entier naturel n, on définit l’application f n : [0, 1] → Rx 7→ x n

.

En utilisant la suite d’applications ( f n )n∈N, montrer que N∞ et N1 ne sont pas des normeséquivalentes.

4. Montrer que E n’est pas de dimension finie.

Exercice 1.2. Soit n un entier naturel non nul et E =Rn [X ].On définit les applications ‖ · ‖ : E → R

P 7→ supk∈J0,nK

�

�P (k )(0)�

�

et N : E → R

P 7→ supx∈R

|P(x )|1+ |x |n

.

1. Vérifier que N est bien définie.

2. Montrer que ‖ · ‖ et N sont des normes sur E .

3. Montrer qu’il existe un réel strictement positif C tel que

∀P ∈ E , ‖P‖ ≤C ·N (P)

Romain Dujol 15

Exercice 1.3. Parmi ces applications de R2 dans R, lesquelles sont des distances sur (R, | · |) ?1. d 1 : R2 → R

(x , y ) 7→ (x − y )2

2. d 2 : R2 → R(x , y ) 7→

p

|x − y |3. d 3 : R2 → R

(x , y ) 7→ |x 2− y 2|4. d 4 : R2 → R

(x , y ) 7→ |x −2y |5. d 5 : R2 → R

(x , y ) 7→ |x − y |1+ |x − y |

.

�

Indication : On pourra commencer par montrer que : ∀(a ,b , c )∈R3+

, (a ≤b + c ) =⇒�

a

1+a≤ b

1+b+

c

1+ c

��

6. d 6 : R2 → R(x , y ) 7→ |x 3− y 3|

7. d 7 : R2 → R

(x , y ) 7→(

e−1/|x−y | si x 6= y

0 si x = y

Exercice 1.4. Pour chaque sous-ensemble suivant de R2 :– le représenter graphiquement ;– dire si c’est un ouvert de R2, un fermé de R2, ou ni l’un l’autre.

1. A1 = {(x , y )∈R2 |0≤ y ≤ x et 0≤ x ≤ 3}2. A2 = {(x , y )∈R2 |0< y < x et 0< x < 3}

3. A3 =

�

(x , y )∈R2

�

�

�

�

0< x et 0< y <1

x

�

Romain Dujol 16

Chapitre 2

Applications continues

Dans ce chapitre, E , et F désignent des R-espaces vectoriels.

2.1 Limite. Continuité

2.1.1 Définition

Définition 2.1 (Limite d’une fonction en un point).Soit (E , ‖ · ‖E ) et (F, ‖ · ‖F ) deux espaces vectoriels normés et A une partie de E .Soit f une application de A dans F , a ∈ A et ℓ ∈ F . On dit que f admet ℓ comme limite

lorsque x tend vers a si et seulement si l’une des trois propriétés équivalentes est vérifiée :

1. ∀ǫ > 0, ∃η> 0, ∀x ∈ A,�

‖x −a‖E <η⇒‖ f (x )− ℓ‖F < ǫ�

2. ∀ǫ > 0, ∃η> 0, ∀x ∈ A,�

x ∈ BE (a , η)⇒ f (x )∈ BF (ℓ, ǫ)�

3. ∀VF ∈V(F,‖·‖F )(ℓ), ∃VE ∈V(E ,‖·‖E )(a ),�

x ∈VE ⇒ f (x )∈VF�

On écrit alors ℓ= limx→a

f (x ).

Remarque. On peut également formuler la propriété 1 avec une inégalité large, et donc la pro-priété 2 avec des boules fermées.

Remarque. Dans la définition 3, «�

x ∈VE ⇒ f (x )∈VF�

» peut être remplacé par « f (VE )⊂ VF ».

Proposition 2.1 (Définition avec des normes équivalentes).Changer une des deux normes ‖ · ‖E ou ‖ · ‖F par une norme équivalente ne change pas le fait

que la limite existe ou non. Si de plus la limite existe, elle reste inchangée.

Remarque. Dans le cas de la dimension finie, l’existence et la valeur éventuelle de limx→a

f (x ) ne

dépend donc pas de la norme utilisée.

Romain Dujol 17

Proposition 2.2. On suppose que E =Rn et F =Rp .Alors une application f de E dans F admet ℓ = (ℓ1, . . . , ℓp ) ∈ F comme limite lorsque x tend

vers a ∈ E si et seulement si pour tout entier i entre 1 et p , la i ème application composantef i : E →R de f admet ℓi pour limite lorsque x tend vers a .

Définition 2.2 (Application continue en un point, sur une partie).Soit (E , ‖ · ‖E ) et (F, ‖ · ‖F ) deux espaces vectoriels normés et A une partie de E .Soit f une application de A dans F et a ∈ A. On dit que f est continue en a si et seulement

si f admet f (a ) pour limite lorsque x tend vers a , c’est-à-dire si et seulement si

∀ǫ > 0, ∃η> 0, ∀x ∈ A,�

‖x −a‖<η⇒‖ f (x )− f (a )‖< ǫ�

f est dite continue sur A si et seulement si elle est continue en tout point de A.

2.1.2 Structure algébrique de l’ensemble des fonctions continues

Théorème 2.1. Soit (E , ‖ · ‖E ) et (F, ‖ · ‖F ) deux espaces vectoriels normés et A une partie deE . L’ensemble des applications de A dans F continues sur A est un sous-espace vectoriel del’ensemble des applications de A dans F .

Notamment si f et g sont deux fonctions de A dans F continues sur A, alors pour tout réelλ, f +λg est une application de A dans F continue sur A.

Proposition 2.3. La composition d’applications continues (lorsqu’elle est définie) est continue.

Théorème 2.2. Soit (E , ‖ · ‖E ) un espace vectoriel normé et A une partie de E . L’ensemble desapplications de A dans R continues sur A est un sous-algèbre de l’ensemble des applicationsde A dans R.

Notamment si f et g sont deux fonctions de A dans R continues sur A, alors f · g est uneapplication de A dans R continue sur A.

Proposition 2.4. Soit (E , ‖ · ‖E ) un espace vectoriel normé et A une partie de E .Si f et g sont deux fonctions de A dans R continues sur A telles que g ne s’annule jamais sur

A, alors f /g est une application de A dans R continue sur A.

Romain Dujol 18

2.1.3 Caractérisations séquentielles

Théorème 2.3 (Caractérisation séquentielle de la limite).Soit (E , ‖ · ‖E ) et (F, ‖ · ‖F ) deux espaces vectoriels normés et A une partie de E .Soit f une application de A dans F et a ∈ A. Alors f admet une limite ℓ en a si et seule-

ment si pour toute suite (xn )n∈N d’éléments de A convergente vers a , la suite�

f (xn )�

n∈N con-verge vers ℓ.

Démonstration.– Supposons que f admette une limite ℓ en a . Soit (xn )n∈N une suite d’éléments de A convergente

vers a .Soit ǫ > 0, alors il existe η > 0 tel que si ‖x −a‖E < η, alors ‖ f (x )− ℓ‖F < ǫ. Pour ce réel η, il existeun entier naturel N tel que pour tout n ≥N , ‖xn−a‖E <η : alors pour tout n ≥N , ‖ f (xn )−ℓ‖F < ǫ.On vient de montrer que :

∀ǫ > 0, ∃N ∈N, ∀n ≥N , ‖ f (xn )− ℓ‖< ǫ

On conclut donc que la suite�

f (xn )�

n∈N converge vers ℓ.– On raisonne par contraposée en supposant donc que f n’admet pas ℓ comme limite en a , c’est-à-

dire :∃ǫ > 0, ∀η> 0, ∃x ∈ A,

�

‖x −a‖<η et ‖ f (x )− ℓ‖ ≥ ǫ�

Pour ce réel ǫ, en prenant η= 1/n , on choisit pour tout entier naturel n un élément xn de A tel que

‖xn −a‖< 1/n et ‖ f (xn )− ℓ‖ ≥ ǫ

Alors (xn )n∈N est une suite d’éléments de A qui converge vers a . De plus, comme ‖ f (xn )−ℓ‖ ≥ ǫ, ilest impossible que la suite

�

f (xn )�

n∈N ait ℓ pour limite (si elle converge).On en conclut qu’il existe une suite (xn )n∈N d’éléments de A qui converge vers A telle que la suite�

f (xn )�

n∈N ne converge pas vers ℓ, ce qu’il nous fallait.

Corollaire (Caractérisation séquentielle de la continuité).Soit (E , ‖ · ‖E ) et (F, ‖ · ‖F ) deux espaces vectoriels normés et A une partie de E .Soit f une application de A dans F et a ∈ A. Alors f est continue en a si et seulement si pour

toute suite (xn )n∈N d’éléments de A convergente vers a , la suite�

f (xn )�

n∈N converge vers f (a ).

Démonstration. On applique le théorème précédent avec ℓ= f (a ).

Remarque. Ce corollaire est souvent utilisé pour montrer qu’une applicationo n’est pas con-tinue en un point.

Romain Dujol 19

Exemple. On considère l’application f : R2 → R

(x , y ) 7→

x y

x 2+ y 2 si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

et la suite (xn )n∈N de A définie par xn =

�

1

n,

1

n

�

:

– ‖xn − (0, 0)‖∞ =1

n−−−→n→+∞

0, donc limn→+∞

xn = (0, 0) ;

– f (xn ) =1/n 2

2/n 2 =1

2, donc lim

n→+∞f (xn ) =

1

26= f (0, 0).

Alors f n’est pas continue en (0, 0).

2.2 Images de sous-ensembles particuliers

Théorème 2.4 (Images réciproques d’ouvert, de fermé).

1. L’image réciproque d’un ouvert par une application continue est un ouvert.

2. L’image réciproque d’un fermé par une application continue est un fermé.

Démonstration. Soit f une application continue de (E , ‖ · ‖E ) dans (F, ‖ · ‖F ).1. Soit U un ouvert de F .

Soit x ∈ f −1(U ) : alors f (x )∈U . U étant un ouvert, c’est un voisinage de f (x ). Par continuité de f ,

∃V ∈V(E ,‖·‖E )(x ), ∀y ∈V, f (y )∈U

Donc V ⊂ f −1(U ). Comme V est un voisinage de x , il vient alors que f −1(U ) l’est aussi.

On en conclut que f −1(U ) est voisinage de chacun de ses points et que c’est un ouvert de E .

2. Soit A un fermé de F . On montre aisément que ∁E f −1(A) = f −1�

∁F A�

.

Comme A est un fermé de F , ∁F A est un ouvert de F . D’après ce que l’on vient de montrer, ∁E f −1(A) =f −1

�

∁F A�

est donc un ouvert de E . On en conclut que ∁E ∁E f −1(A) = f −1(A) est un fermé de E .

Romain Dujol 20

2.3 Continuité uniforme

Définition 2.3 (Continuité uniforme).Soit (E , ‖ · ‖E ) et (F, ‖ · ‖F ) deux espaces vectoriels normés et A une partie de E .Soit f : A 7→ F , a ∈ A. On dit que f est uniformément continue sur A si et seulement si

∀ǫ > 0, ∃η> 0, ∀a ∈ A, ∀x ∈ A,�

‖x −a‖<η⇒‖ f (x )− f (a )‖< ǫ�

Proposition 2.5. Toute application uniformément continue est continue.

Démonstration. Comparons la continuité sur A et la continuité uniforme sur A :– continuité uniforme sur A : ∀ǫ > 0, ∃η> 0, ∀a ∈ A, ∀x ∈ A,

�

‖x −a‖<η⇒‖ f (x )− f (a )‖< ǫ�

– continuité sur A : ∀a ∈ A, ∀ǫ > 0, ∃η> 0, ∀x ∈ A,�

‖x −a‖<η⇒‖ f (x )− f (a )‖< ǫ�

Autrement dit, les coefficients ǫ et η ne dépendent plus de a lorsque la continuité est uniforme (mais η

dépend toujours de ǫ).

Exemple. Toute application continue n’est pas uniformément continue.Montrons que l’application f : R → R

x 7→ x 2n’est pas uniformément continue sur R,

c’est-à-dire que

∃ǫ > 0, ∀η> 0, ∃a ∈ A, ∃x ∈ A,�

|x −a |<η et | f (x )− f (a )| ≥ ǫ�

Prenons ǫ = 1. Soit η> 0, on pose a = 1/η et x = a +η/2. Alors |x −a |=η/2<η et

| f (x )− f (a )|=�

�

�

�

�

a +η

2

�2

−a 2

�

�

�

�

=η

2

�

2a +η

2

�

= aη+η2

4= 1+

η2

2≥ 1= ǫ

Définition 2.4 (Application lipschitzienne).Soit (E , ‖ · ‖E ) et (F, ‖ · ‖F ) deux espaces vectoriels normés.Une application f : E → F est dite lipschitzienne si et seulement si

∃κ≥ 0, ∀x ∈ E , ∀y ∈ E , ‖ f (x )− f (y )‖F ≤ κ‖x − y ‖E

le réel κ étant indépendant de x et y .

Dans un tel cas, on dit que f est κ-lipschitzienne. Si 0<κ< 1, f est dite contractante.

Remarque. Une application 0-lipschitzienne est une application constante.

Romain Dujol 21

Proposition 2.6. Toute application lipschitzienne est uniformément continue.

Démonstration. Soit f une application κ-lipschitzienne de (E , ‖ · ‖E ) dans (F, ‖ · ‖F ). Soit ǫ > 0.– Si κ= 0, f est constante. Donc pour tout a ∈ E et x ∈ E , ‖ f (x )− f (a )‖F = 0< ǫ. On en conclut que

f est uniformément continue.– Si κ 6= 0, alors on pose η= ǫ/κ> 0. Soit a ∈ E et x ∈ E tels que ‖x −a‖E <η. Alors ‖ f (x )− f (a )‖F ≤κ‖x −a‖E <κη= ǫ. On vient de montrer que :

∀ǫ > 0, ∃η> 0, ∀a ∈ E , ∀x ∈ E ,�

‖x −a‖E <η⇒‖ f (x )− f (a )‖F < ǫ�

On en conclut donc que f est uniformément continue.

Proposition 2.7. Soit ‖ ·‖ une norme sur E . Alors l’application ‖ ·‖ est 1-lipschitzienne de (E , ‖ ·‖)dans (R, | · |) (et donc uniformément continue).

Démonstration. On rappelle que pour tous vecteurs x et y de E , on a�

�‖x‖−‖y ‖�

�≤ ‖x − y ‖.

Définition 2.5 (Isométrie). Soit ‖ · ‖E une norme sur E et ‖ · ‖F une norme sur F .Une application f : E → F est une isométrie de l’espace vectoriel normé (E , ‖ · ‖E ) dans

l’espace vectoriel normé (F , ‖ · ‖F ) si et seulement si

∀x ∈ E , ∀y ∈ E , ‖ f (x )− f (y )‖F = ‖x − y ‖E

Remarque. Autrement dit, une isométrie conserve les distances.

ATTENTION. Changer de norme — même équivalente — ne conserve pas automatiquement lapropriété d’isométrie.

Remarque. Une isométrie est une application 1-lipschitzienne, donc uniformément continue.

Romain Dujol 22

Applications continues : Exercices

Exercice 2.1.

1. On considère la fonction f 1 : R×R∗ → R

(x , y ) 7→ 1+x 2+ y 2

ysin y

.

Déterminer si f 1 admet une limite en (0, 0).

2. On note D = {(x , y )∈R2,x 2−y 2 6= 0} et on considère la fonction f 2 : R2\D → R(x , y ) 7→ 1+x + y

x 2− y 2

.

Déterminer si f 2 admet une limite en (0, 0).

Exercice 2.2. Reprendre l’exercice 1.4 du chapitre 1.

Exercice 2.3. On considère la fonction f : R2 → R

(x , y ) 7→

|y |x 2 e−|y |/x 2 si x 6= 0

0 si x = 0

.

1. Soit λ un nombre réel et Aλ = {(x ,λx ), x ∈R}. On note fλ = f |Aλ la restriction de f à Aλ.Calculer la limite de fλ en (0, 0).

2. Soit B = {(x ,x 2), x ∈R}. On note g = f |B la restriction de f à B.Calculer la limite de g en (0, 0).

3. Que peut-on dire de la continuité de f en (0, 0) ?

Exercice 2.4. Pour chacune des fonctions suivantes, étudier sa continuité en (0, 0).

1. f : R2 → R

(x , y ) 7→

(x + y )2

x 2+ y 2 si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

.

2. f : R2 → R

(x , y ) 7→

x 3+ y 3

x 2+ y 2 si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

.

3. f : R2 → R

(x , y ) 7→

e−�

yx +

xy

�2

si x 6= 0 et y 6= 0

0 sinon

.

Romain Dujol 23

Exercice 2.5.

1. Peut-on prolonger f 1 : {(x , y )∈R2 |x y > 0} → R

(x , y ) 7→ 1− cos(p

x y )

y

par continuité en (0, 0) ?

2. Peut-on prolonger f 2 : {(x , y )∈R2 |x 6= y } → R(x , y ) 7→ cosx − cos y

x − y

par continuité sur R ?

Exercice 2.6. Trouver les éventuels points de discontinuité des fonctions suivantes.

1. f : R2 → R

(x , y ) 7→

x + y

x 2+ y 2 si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

.

2. f : R2 → R(x , y ) 7→ y sinx

.

Romain Dujol 24

Chapitre 3

Compacité

Dans ce chapitre, E , et F désignent des R-espaces vectoriels.

3.1 Définition

Définition 3.1 (Recouvrement, recouvrement ouvert). Soit A une partie de E .

Une famille (A i )i∈I de parties de E est un recouvrement de A si et seulement si A ⊂⋃

i∈I

A i .

Si de plus, pour tout i ∈ I , A i est un ouvert de l’espace vectoriel normé (E , ‖ · ‖), alors (A i )i∈I

est un recouvrement ouvert de A.

Définition 3.2 (Partie compacte). Soit ‖ · ‖ une norme sur E et A une partie de E .On dit que A est un compact de E si et seulement si de tout recouvrement ouvert de A, on

peut extraire un recouvrement fini de A.

Exemple. R n’est pas un compact de lui-même. En effet, (]n − 1, n + 1[)n∈Z est un recouvrement ouvertde R, mais aucune sous-famille finie ne peut recouvrir R tout entier.

Proposition 3.1.1. Tout compact est un fermé.

2. Toute partie fermée d’un compact est elle-même compacte.

Corollaire.1. Tout compact est borné.

2. Tout espace compact est complet.

Théorème 3.1 (Caractérisation en dimension finie). Soit E un espace vectoriel de dimen-sion finie. Alors A est une partie compacte de E si et seulement si elle est fermée et bornée.

Romain Dujol 25

3.2 Lien avec les suites

Proposition 3.2. Soit (xn )n∈N une suite convergente de E de limite ℓ.Alors {xn , n ∈N}∪ {ℓ} est un compact de E .

Démonstration. On note A = {xn , n ∈N}∪ {ℓ}.Soit (Ui )i∈I un recouvrement ouvert de A : alors il existe un indice j ∈ I tel que ℓ ∈Uj . Comme Uj est

un ouvert, c’est un voisinage de ℓ : donc il existe un entier naturel N tel que pour tout n ≥N , xn ∈Uj .Soit k un entier entre 0 et n : alors il existe un indice i k de I tel que xk ∈Ui k car xk ∈ A. Alors

A ⊂

N−1⋃

k=0

Ui k

!

∪Uj

qui est un recouvrement fini extrait ouvert de A. On en conclut que A est un compact.

Théorème 3.2 (BOLZANO-WEIERSTRASS). Soit A une partie de E .A est un compact de E si et seulement si toute suite d’éléments de A admet une valeur

d’adhérence dans A, c’est-à-dire que de toute suite d’éléments de A on peut extraire une sous-suite convergente dans A.

Démonstration. Voir en fin de chapitre

3.3 Lien avec les applications continues

Théorème 3.3 (Image directe de compact). L’image d’un compact par une application con-tinue est un compact.

Démonstration. Soit f une application continue de E dans F et A un compact de E .Soit (Ui )i∈I un recouvrement ouvert de f (A).

Si x ∈ A, alors f (x ) ∈ f (A)⊂⋃

i∈I

Ui : donc il existe un indice i ∈ I tel que f (x ) ∈Ui , c’est-à-dire tel que

x ∈ f −1(Ui ). On vient alors de montrer que A ⊂⋃

i∈I

f −1(Ui ).

Comme Ui est un ouvert de F pour tout i ∈ I et que f est continue, il vient que f −1(Ui ) est un ouvertde E . Donc

�

f −1(Ui )�

i∈I est un recouvrement ouvert de A. Comme A est compact, il existe U1, . . . , Un tel

que A ⊂n⋃

k=1

f −1(Uk ).

Romain Dujol 26

Si y ∈ f (A), alors il existe x ∈ A ⊂n⋃

i=1

f −1(Uk ) tel que y = f (x ) : donc il existe un indice i entre 1 et n

tel que x ∈ f −1(Uk ), c’est-à-dire que y = f (x )∈Uk . On vient alors de montrer que f (A)⊂n⋃

k=1

Uk .

On en conclut que f (A) admet un recouvrement extrait fini puis que f (A) est un compact de F .

Corollaire. Soit ‖ · ‖ une norme sur E et f une application continue de (E , ‖ · ‖) dans (R, | · |).Si A est un compact de E , alors f est bornée sur A et f atteint ses bornes.

Démonstration. D’après le théorème précédent, f (A) est un compact donc :– f (A) est borné, donc il existe M ∈R tel que pour tout x ∈ A, | f (x )| ≤M ;– sup f (A)∈ f (A) = f (A) : donc il existe x ∈ A tel que f (x ) = sup f (A) ;– inf f (A)∈ f (A) = f (A) : donc il existe x ∈ A tel que f (x ) = inf f (A).

On en conclut que f est bornée et atteint ses bornes.

Théorème 3.4 (HEINE).Toute application continue définie sur un compact y est uniformément continue.

Démonstration. Montrons le résultat par contraposée en supposant que f n’est pas uniformémmentcontinue, c’est-à-dire que

∃ǫ > 0, ∀η> 0, ∃a ∈ A, ∃x ∈ A,�

|x −a |<η et | f (x )− f (a )| ≥ ǫ�

Pour le réel ǫ cité, en prenant η = 1/n , on choisit pour tout entier naturel n des éléments a n et xn de atels que

‖xn −a n‖< 1/n et ‖ f (xn )− f (a n )‖ ≥ ǫ

Comme (a n )n∈N est une suite d’éléments de A, qui est un compact, il existe une suite extraite (aϕ(n ))n∈Nqui converge vers ℓ∈ A (car A est fermé). De plus, pour tout entier naturel n , on a :

‖xϕ(n )− ℓ‖ ≤ ‖xϕ(n )−aϕ(n )‖+ ‖aϕ(n )− ℓ‖ ≤ ‖aϕ(n )− ℓ‖+1/n

Donc limn→+∞‖xϕ(n )− ℓ‖= 0 et on en déduit que la suite (xϕ(n ))n∈N converge également vers ℓ.

En utilisant l’inégalité triangulaire, on a que pour tout entier naturel n ,

ǫ ≤ ‖ f (xϕ(n ))− f (aϕ(n ))‖ ≤ ‖ f (xϕ(n ))− f (ℓ)‖+ ‖ f (ℓ)− f (aϕ(n ))‖

Donc, nécessairement, l’un des deux termes est supérieur ou égal à ǫ/2.On définit la suite (yn )n∈N de la manière suivante :

∀n ∈N, yn =

(

aϕ(n ) si ‖ f (aϕ(n ))− f (ℓ)‖ ≥ ǫ/2xϕ(n ) sinon

Romain Dujol 27

de sorte que ∀n ∈N, ‖ f (yn )− f (ℓ)‖ ≥ ǫ/2. De plus

‖yn − ℓ‖ ≤max{‖aϕ(n )− ℓ‖, ‖xϕ(n )− ℓ‖} −−−→n→+∞

0

On en conclut que (yn )n∈N est une suite qui converge vers ℓ telle que la suite ( f (yn ))n∈N ne converge

pas vers f (ℓ). Donc f n’est pas continue en ℓ et donc sur A.

Théorème 3.5 (Produit cartésien compact).Soit (E i )1≤i≤p des espaces vectoriels normés et A i une partie de E i pour tout i entier entre

1 et p .

Alorsp∏

i=1

A i est un compact dep∏

i=1

E i si et seulement si pour tout entier i entre 1 et p , A i

est un compact de E i .

Romain Dujol 28

Équivalence des normes en dimension finie

Théorème 3.6. Si E est un espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les normes sontéquivalentes entre elles.

Démonstration.– On se place dans le cas particulier E = Rn . On note (e1, . . . , en ) la base canonique de Rn . On rap-

pelle que

∀x = (x1, . . . , xn ) =

n∑

i=1

x i e i ∈Rn , ‖x‖∞ = max1≤i≤n|x i |

Soit ‖ · ‖ une norme sur Rn . Montrons qu’elle est équivalente à ‖ · ‖∞.

• Soit x = (x1, . . . , xn ) =

n∑

i=1

x i e i ∈Rn . Alors

‖x‖=

n∑

i=1

x i e i

≤n∑

i=1

‖x i e i ‖ ≤n∑

i=1

|x i |‖e i ‖ ≤n∑

i=1

�

max1≤i≤n|x i |�

‖e i ‖=

n∑

i=1

‖e i ‖!

‖x‖∞

Si on note κ=n∑

i=1

‖e i ‖> 0, alors ∀x ∈Rn , ‖x‖ ≤ κ‖x‖∞, d’où

∀x ∈Rn , ∀y ∈Rn , |‖x‖−‖y ‖| ≤ ‖x − y ‖ ≤ κ‖x − y ‖∞

Donc ‖ · ‖ est une application κ-lipschitzienne de (Rn , ‖ · ‖∞) dans (R, | · |), donc continue.

• Soit S =S∞(0, 1) = {x ∈Rn , ‖x‖∞ = 1} la sphère unité deRn pour la norme ‖·‖∞ : on a S ⊂ B∞(0, 1).Or x = (x1, . . . , xn )∈ B∞(0, 1) ⇐⇒ max

1≤i≤n|x i | ≤ 1

⇐⇒ |x i | ≤ 1 pour tout 1≤ i ≤ n

⇐⇒ x i ∈ [−1, 1] pour tout 1≤ i ≤ n

⇐⇒ x ∈ [−1, 1]n

Or [−1, 1] est un compact de (R, | · |), donc B∞(0, 1) = [−1, 1]n est un compact de (Rn , ‖ · ‖∞). Deplus S = (‖ · ‖∞)−1({1}) est un fermé inclus dans un compact, donc S est un compact de (Rn , ‖ · ‖∞).

Comme ‖ · ‖ est continue de (Rn , ‖ · ‖∞) dans (R, | · |) et que S est un compact de (Rn , ‖ · ‖∞), il vientque ‖ · ‖ est bornée sur S et atteint ses bornes :– il existe deux réels m et M , tel que pour tout x ∈S, on a m ≤ ‖x‖ ≤M ;– il existe xm ∈ S tel que ‖xm ‖ =m . Comme ‖xm ‖∞ = 1 6= 0, il vient que xm 6= 0Rn puis ‖xm ‖ 6= 0 :

donc m est un réel strictement positif.

Soit x ∈Rn . Si x = 0, alors m‖x‖∞ = 0≤ 0= ‖x‖. Sinon, soit x1 = x/‖x‖∞ : alors x1 ∈S et

m ≤ ‖x1‖=

x

‖x‖∞

=‖x‖‖x‖∞

, soit m‖x‖∞ ≤ ‖x‖

Romain Dujol 29

Donc ∀x ∈Rn , m‖x‖∞ ≤ ‖x‖.

Donc ‖ ·‖ et ‖ ·‖∞ sont équivalentes. Par transitivité de la relation d’équivalence, on en conclut quetoutes les normes sur Rn sont équivalentes entre elles.

– Soit E un espace vectoriel de dimension n . Alors il existe un isomorphisme ϕ (c’est-à-dire uneapplication linéaire bijective) de Rn dans E . Soit ‖ · ‖a et ‖ · ‖b deux normes sur E .

Vérifions que Na : x 7→ ‖ϕ(x )‖a est une norme sur Rn :– soit x ∈Rn , alors

Na (x ) = 0 ⇐⇒ ‖ϕ(x )‖a = 0 ⇐⇒ ϕ(x ) = 0 ⇐⇒ x = 0 (car ϕ est bijective)

– soit x ∈Rn et λ∈R, alors

Na (λx ) = ‖ϕ(λx )‖a = ‖λϕ(x )‖a = |λ|‖ϕ(x )‖a = |λ|Na (x )

– soit x ∈Rn et y ∈Rn , alors

Na (x + y ) = ‖ϕ(x + y )‖a = ‖ϕ(x )+ϕ(y )‖a ≤ ‖ϕ(x )‖a + ‖ϕ(y )‖a =Na (x )+Na (y )

On vérifie également que Nb : x 7→ ‖ϕ(x )‖b est une norme sur Rn .

D’après ce qui précède, Na et Nb sont équivalentes. Donc il existe deux réels strictements positifsα et β tels que

∀x ∈Rn , αNa (x )≤Nb (x )≤ βNa (x )

Soit y ∈ E et x = ϕ−1(y ) ∈ Rn : alors y = ϕ(x ). Donc Na (x ) = ‖ϕ(x )‖a = ‖y ‖a et Nb (x ) = ‖ϕ(x )‖b =‖y ‖b : d’où α‖y ‖a ≤ ‖y ‖b ≤β‖y ‖a .

On vient de montrer qu’il existe deux réels strictement positifs α et β tels que

∀y ∈ E , α‖y ‖a ≤ ‖y ‖b ≤β‖y ‖a

c’est-à-dire que ‖ · ‖a et ‖ · ‖b sont équivalentes.

Romain Dujol 30

Théorème de BOLZANO-WEIERSTRASS

Théorème 3.7 (BOLZANO-WEIERSTRASS). A est un compact de E si et seulement si toute suited’éléments de A admet une valeur d’adhérence dans A, c’est-à-dire que de toute suite d’élé-ments de A on peut extraire une sous-suite convergente dans A.

Démonstration.– On suppose que A est un compact de E .

Soit (xn )n∈N une suite d’éléments de A : on suppose par l’absurde qu’elle n’admet aucune valeurd’adhérence dans A. Donc

∀a ∈ A, ∃ǫa > 0, {n ∈N, xn ∈ B (a ,ǫa )} est fini

Or�

B (a , ǫa )�

a∈A est un recouvrement ouvert de A. Comme A est compact, il existe un entier na-

turel N et N éléments a 1, . . . , a N de A tels que A ⊂N⋃

k=1

B (a k , ǫa k ). Mais :

• A contient toutes les valeurs de la suite, c’est-à-dire un nombre infini ;• chaque B (a k , ǫa k ) contient un nombre fini de valeurs de la suite : donc une réunion finie de ces

B (a k , ǫa k ) contient aussi un nombre fini de valeurs de la suite.

On aboutit donc à une contradiction et on conclut que (xn )n∈N admet une valeur d’adhérence.– On suppose que toute suite d’éléments de A admet une valeur d’adhérence dans A.

Soit (Ui )i∈I un recouvrement ouvert de A.•On va d’abord montrer que

∃r > 0, ∀x ∈ A, ∃i ∈ I , B (x , r )⊂Ui

(r n’est donc pas dépendant de x , mais i l’est).

Raisonnons par l’absurde en supposant que ∀r > 0, ∃x ∈ A, ∀i ∈ I , B (x , r ) 6⊂Ui .

En prenant r = 1/n , on choisit pour tout entier naturel n un élément xn de A tel que∀i ∈ I , B (xn , 1/n ) 6⊂ Ui . La suite (xn )n∈N étant une suite d’éléments de A, elle admet une suiteextraite (xϕ(n ))n∈N qui converge vers a ∈ A.

Comme (Ui )i∈I un recouvrement de A, il existe un indice j de I tel que a ∈ Uj .Uj est un ouvert, donc c’est un voisinage de a et il existe ǫ > 0 tel que B (a , ǫ)⊂Uj .

Or limn→+∞‖xϕ(n )−a‖+1/n = 0 : donc

∃N ∈N, ∀n ≥N , ‖xϕ(n )−a‖+1/ϕ(n )< ǫ

Soit n ≥N : si y ∈ B (xϕ(n ), 1/ϕ(n )), alors

‖y −a‖ ≤ ‖y −xϕ(n )‖+ ‖xϕ(n )−a‖< 1/ϕ(n )+ ‖xϕ(n )−a‖< ǫ

On vient de montrer que B (xϕ(n ), 1/ϕ(n )) ⊂ B (a , ǫ) ⊂Uj , ce qui est impossible par constructionde la suite (xn )n∈N.

On en conclut donc que ∃r > 0, ∀x ∈ A, ∃i ∈ I , B (x , r )⊂Ui .

Romain Dujol 31

• On montre ensuite qu’il existe un recouvrement fini de A constitué uniquement de boules ou-vertes de rayon r .

Raisonnons par l’absurde en supposant qu’un tel recouvrement est impossible. On construit alorsune suite (xn )n∈N de la manière suivante :– on choisit x0 de manière arbitraire dans A ;– si x0, . . . , xn sont définis, alors (B (x i , r ))0≤i≤n ne peut constituer un recouvrement de A, donc on

choisit un élément xn+1 dans A\n⋃

i=0

B (x i , r ).

La suite ainsi construite est une suite d’éléments de A telle que

∀n ∈N, ∀p ∈N, (n 6= p ⇒‖xn −xp‖ ≥ r )

Or, par hypothèse, il existe une sous-suite (xϕ(n ))n∈N qui converge vers ℓ ∈ A. Donc il existe unentier naturel N tel que pour tout n ≥N , ‖xϕ(n )− ℓ‖< r /2. Donc, si n ≥N et p ≥N avec n 6= p , ona

‖xϕ(n )−xϕ(p )‖ ≤ ‖xϕ(n )− ℓ‖+ ‖ℓ−xϕ(p )‖< r

avecϕ(n )≥ n ≥N , ϕ(p )≥ p ≥N et ϕ(n ) 6=ϕ(p )

ce qui est impossible par construction de la suite (xn )n∈N.Donc A admet un recouvrement fini constitué uniquement de boules ouvertes de rayon r .

• Il existe alors un entier naturel m et x1, . . . , xm des élements de A tels que

A ⊂m⋃

k=1

B (xk , r )

Or pour tout entier naturel k entre 1 et m , il existe un indice i k ∈ I tel que B (xk , r ) ⊂Ui k . Donc

A ⊂m⋃

k=1

Ui k , qui est un recouvrement extrait fini.

On en conclut donc que A est un compact.

Romain Dujol 32

Chapitre 4

Calcul différentiel

Dans ce chapitre, E et F désignent des R-espaces vectoriels normés. En pratique, on aurasouvent E = Rp et F = Rn munis d’une norme quelconque, p et n désignant deux entiers na-turels non nuls.

4.1 Dérivée partielle

Définition 4.1 (Dérivée directionnelle).Soit U un ouvert de E et f une application de U dans F .Soit a un point de U et v un vecteur non nul de E . On dit que f admet une dérivée première

en a suivant v si et seulement si l’applicationφv : t 7→ f (a + t v ) est définie au voisinage de 0 etdérivable en 0.

Auquel cas, on définit la dérivée première de f en a suivant v , notée Dv f (a ), par

Dv f (a ) =φ′v (0) = limt→0

f (a + t v )− f (a )

t

Sauf mention contraire, on suppose que E =Rp dans toute la suite du chapitre.

Définition 4.2 (Dérivée partielle).Soit U un ouvert de Rp , a un point de U et f une application de U dans F .Soit j ∈ J1, pK. On dit que f admet une dérivée partielle en a par rapport à la j èmevariable

si et seulement si f admet une dérivée première en a suivant le j èmevecteur e j de la base canon-ique de Rp .

Auquel cas, on définit la dérivée partielle en a par rapport à la j èmevariable, notée Dj f (a )

ou∂ f

∂x j(a ), par Dj f (a ) =De j f (a ).

Romain Dujol 33

Définition 4.3 (Fonctions dérivées partielles).Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .Pour tout j ∈ J1, pK, on définit — lorsque c’est possible — la j èmefonction dérivée partielle

première, notée Dj f ou∂ f

∂x j, par Dj f : a 7→D j f (a ).

Proposition 4.1. On suppose ici que F =Rn .Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans Rn .Soit j ∈ J1, pK. Alors f admet une dérivée partielle par rapport à la j èmevariable si et seulement

pour tout i ∈ J1, nK, la i èmeapplication composante f i : U → R admet une dérivée partielle parrapport à la j èmevariable. Auquel cas :

∀j ∈ J1, pK, Dj f (a ) =�

Dj f 1(a ), . . . , Dj f p (a )�

4.2 Fonctions de classeC 1 sur un ouvert

4.2.1 Définition

Définition 4.4 (Fonction de classeC 1).Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .Alors f est dite de classe C 1 sur U si et seulement si toutes les fonctions dérivées partielles

premières de f sont définies et continues sur U.

Proposition 4.2 (Développement limité à l’ordre un).Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F de classe C 1 sur U. On munit Rp

d’une norme ‖ · ‖.Soit a un point de U et U0 = {h ∈ Rp , a +h ∈U}. Alors il existe une application ǫ : U0 → F

telle que limh→0Rp

ǫ(h) = 0 et :

∀h = (h1, . . . , hp )∈U0, f (a +h) = f (a )+p∑

j=1

h j ·Dj f (a )+ ‖h‖ǫ(h)

Cette dernière relation est appelée développement limité de f à l’ordre un en a .

Corollaire. Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .Si f est de classeC 1 sur U, alors f est continue sur U.

Romain Dujol 34

Démonstration. Si f est de classe C 1 sur U , alors elle admet un développement limité à l’ordre un entout point a de U :

∀h = (h1, . . . , hp )∈U0, f (a +h) = f (a )+p∑

j=1

h j ·Dj f (a )+ ‖h‖ǫ(h)

Alors ‖ f (a +h)− f (a )‖F ≤p∑

j=1

|h j | · ‖Dj f (a )‖+ ‖h‖ · ‖ǫ(h)‖F

≤p∑

j=1

‖h‖∞‖Dj f (a )‖+ ‖h‖ · ‖ǫ(h)‖F = ‖h‖∞p∑

j=1

‖Dj f (a )‖+ ‖h‖ · ‖ǫ(h)‖F

Or limh→0‖h‖∞ = lim

h→0‖h‖·‖ǫ(h)‖F = 0. Par encadrement des limites, il vient que lim

h→0‖ f (a+h)− f (a )‖F = 0,

puis que limh→0

f (a +h) = f (a ).

On conclut que f est continue en a , puis qu’elle est continue sur U .

4.2.2 Différentielle

Définition 4.5 (Différentielle).Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F de classeC 1 sur U.On définit la différentielle de f en a , notée d f (a ), l’application

d f (a ) : Rp → F

h = (h1, . . . , hp ) 7→p∑

j=1

h j ·Dj f (a )

Remarque. Pour tout point a de U , l’application d f (a ) est linéaire.

Remarque. On peut donc réécrire le développement limité d’une application de classeC 1 :

f (a +h) = f (a )+d f (a )[h]+ ‖h‖ǫ(h)

Théorème 4.1. Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .Alors f est de classe C 1 sur U si et seulement si l’application d f : U → L (Rp , F )

a 7→ d f (a )est continue.

Romain Dujol 35

Proposition 4.3 (Différentielle d’une application linéaire).Toute application ϕ linéaire deRp dans F est de classeC 1 sur Rp . De plus :

∀a ∈Rp , dϕ(a ) =ϕ

Démonstration. Soit j ∈ J1, pK et e i le i èmevecteur de la base canonique de Rp . Alors :

ϕ(a + t e i )−ϕ(a )t

=ϕ(a + t e i −a )

t=ϕ

�a + t e i −a

t

�

=ϕ(e i )

Donc ϕ admet des derivées partielles premières par rapport à toutes les variables.De plus, pour tout j ∈ J1, pK, Djϕ : a 7→ϕ(e i ) est constante, donc continue sur Rp .

On en déduit que ϕ est de classeC 1 sur Rp et que pour tout point a de Rp :

∀h ∈Rp , dϕ(a )[h] =p∑

j=1

h j Djϕ(a ) =p∑

j=1

h jϕ(e j ) =ϕ(h)

c’est-à-dire dϕ(a ) =ϕ.

Définition 4.6. Pour tout entier j entre 1 et p , on définit la j èmeprojection canonique,notée πj , par πj : Rp → R

x = (x1, . . . ,xp ) 7→ x j

.

Remarque. En remarquant que dπj (h) =πj (h) = h j , il vient que

d f (a )[h] =p∑

j=1

h j ·Dj f (a ) =p∑

j=1

Dj f (a ) ·dπj (h)

Si on note abusivement dx j = dπj , il vient que :

d f (a ) =p∑

j=1

Dj f (a ) ·dπj =

p∑

j=1

Dj f (a ) ·dx j

Définition 4.7. On suppose ici que F =Rn .Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans Rn .On définit la matrice jacobienne de f en a , notée J f (a ), la matrice à n lignes et p colonnes

de d f (a ) relativement aux bases canoniques deRn et Rp .Si n = p , on appelle jacobien de f en a le déterminant de la matrice jacobienne J f (a ) de f

en a .

Romain Dujol 36

Proposition 4.4. Avec les notations précédentes, en notant f i : U → R la i èmeapplication com-

posante de f , J f (a ) =

�

∂ f i

∂x j(a )

�

1≤i≤n1≤j≤p

=

∂ f 1

∂x1(a ) · · · ∂ f 1

∂xp(a )

......

...∂ f n

∂x1(a ) · · · ∂ f n

∂xp(a )

.

Définition 4.8 (Gradient). On suppose ici que F =R.Soit U un ouvert de Rp et f une application de classeC 1 de U dans R.

Pour tout point a de U, on définit le gradient de f en a , noté−−→grad ( f )(a ), par

−−→grad ( f )(a ) = t J f (a ) =

∂ f

∂x1(a )

...∂ f

∂xp(a )

4.2.3 Structure algébrique

Théorème 4.2. Soit U un ouvert de Rp .L’ensemble des applications de classeC 1 sur U est un sous-espace vectoriel de l’ensemble

des applications continues sur U.Notamment, si f et g sont de classe C 1 sur U, alors pour tout réel λ, f +λg est de classe

C 1 sur U.

Théorème 4.3. On suppose ici que F =Rn .Soit U un ouvert de Rp et f une application de classeC 1 de U dans Rq .Soit V un ouvert de Rq et g une application de classeC 1 de V dans Rn .Si f (U )⊂V , alors g ◦ f est de classeC 1 sur U et

∀a ∈U , d(g ◦ f )(a ) = dg ( f (a )) ◦d f (a )

Jg ◦ f (a ) = Jg ( f (a )) · J f (a )

Romain Dujol 37

4.2.4 Inégalité des accroissements finis

Théorème 4.4 (Inégalité des accroissements finis). On suppose ici que F =R.Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans R de classeC 1 sur U.Soit a et b deux points de U tels que [a ,b ] = {(1−λ)a +λb , λ∈ [0, 1]} ⊂U.Si il existe un réel M tel que

∀x ∈ [a ,b ],

−−→grad ( f )(x )

1=

p∑

j=1

�

�

�

�

∂ f

∂x j(x )

�

�

�

�

≤M

alors | f (b )− f (a )| ≤M‖b −a‖∞.

Définition 4.9 (Partie convexe). Soit E un espace vectoriel quelconque.Une partie C de E est dite convexe si et seulement si :

∀(x , y )∈C 2,∀λ∈ [0, 1], (1−λ)x +λy ∈C

Remarque. Une partie C est convexe si et seulement si tout segment dont les extrêmités sontdans C est entièrement inclus dans C .

Corollaire (Cas d’un ouvert convexe). On suppose ici que F =R.Soit U un ouvert convexe de Rp et f une application de U dans R de classeC 1 sur U.

Si il existe un réel M tel que pour tout point a de U on a

−−→grad ( f )(a )

1=

p∑

j=1

�

�

�

�

∂ f

∂x j(a )

�

�

�

�

≤M ,

alors f est M -lipschitzienne sur U.

Corollaire (Cas de l’adhérence d’un ouvert convexe). On suppose ici que F =R.Soit U un ouvert convexe de Rp et f une application de U dans R continue sur U et de classe

C 1 sur U.

Si il existe un réel M tel que pour tout point a de U on a

−−→grad ( f )(a )

1=

p∑

j=1

�

�

�

�

∂ f

∂x j(a )

�

�

�

�

≤M ,

alors f est M -lipschitzienne sur U.

Remarque. Compte tenu de l’équivalence des normes sur Rp , l’inégalité des accroissementsfinis et ses corollaires peuvent être étendus à n’importe quelle norme définie sur Rp .

Romain Dujol 38

Corollaire (Caractérisation d’une application constante sur un ouvert convexe).On suppose ici que F =R.Soit U un ouvert convexe de Rp et f une application de U dans R de classeC 1 sur U.

Alors f est constante sur U si et seulement si−−→grad ( f ) est nul sur U, c’est-à-dire :

∀j ∈ J1, pK, ∀a ∈U ,∂ f

∂x j(a ) = 0

4.3 C 1-difféomorphismes

4.3.1 Définition

Définition 4.10 (C 1-difféomorphisme). On suppose ici que F =Rn .Soit U un ouvert de Rp et V un ouvert de Rn . Une application φ de U dans V est un C 1-

difféomorphisme de U sur V si et seulement si les propriétés suivantes sont vérifiées :

1. φ est de classeC 1 sur U ;

2. φ réalise une bijection de U dans V ;

3. φ−1 est de classeC 1 sur V .

Remarque. Siϕ est une application linéaire bijective deRp dansRn , alors φ : U → ϕ(U )x 7→ φ(x )

est unC 1-difféomorphisme de U sur ϕ(U ).

Exemple. φ : R2 → R2

(x , y ) 7→ (x + y ,x − y )est unC 1-difféomorphisme de R2 sur R2.

Proposition 4.5. On suppose ici que F =Rn .Soit U un ouvert de Rp et V un ouvert de Rn . Si l’application φ de U dans V est un C 1-

difféomorphisme de U sur V , alors p = n.De plus, pour tout point a de U, dφ(a ) est une application linéaire bijective deRp dansRn et

[dφ(a )]−1 = d(φ−1)�

φ(a )�

.

Théorème 4.5 (Théorème de l’inverse local). On suppose ici que F =Rn .Soit U un ouvert de Rp etφ une application de U dans Rn de classeC 1 sur U.Si a est un point de U tel que dφ(a ) est une application linéaire bijective de Rp dans

Rn , alors p = n et il existe un voisinage V de a ouvert dans E tel que φ soit un C 1-diff’́eomorphisme de V surφ(V ).

Romain Dujol 39

Corollaire (Caractérisation rapide d’unC 1-difféomorphisme). On suppose ici que F =Rn .Soit U un ouvert de Rp et V un ouvert de Rn . Si l’application φ de U dans V vérifie les trois

propriétés suivantes :

1. φ est de classeC 1 sur U ;

2. φ réalise une bijection de U dans V ;

3. pour tout point a de U, dφ(a ) est une application linéaire bijective de Rp dans Rn ;

alors p = n etφ est unC 1-difféomorphisme de U sur V .

Remarque. Il est donc possible d’établir que φ est un C 1-difféomorphisme sans effectivementévaluerφ−1.

Remarque. Si φ est une application affine bijective de Rn dans lui-même, alors φ est une C 1-difféomorphisme de Rn sur lui-même.

En effet, pour tout point a deRn , dφ(a ) = ~φ qui est bijective. Ici ~φ est la partie linéaire deφdéfinie par ~φ =φ−φ(0).

Exemple. φ : R2 → R2

(x , y ) 7→ (3+x + y , 2+x − y )est unC 1-difféomorphisme de R2 sur R2.

Exemple (Passage en coordonnées sphériques).

Soit U =R∗+×]−π,π[×

�

−π2

,π

2

�

et V =R3\(R−×{0}×R) et l’application

F : U → V(ρ,θ ,ϕ) 7→ (ρ cosθ cosϕ,ρ sinθ cosϕ,ρ sinϕ)

On montre que F est bijective et de classeC 1 sur U . De plus, pour tout (ρ,θ ,ϕ)∈U , on a :

det dF (ρ,θ ,ϕ) = det JF (ρ,θ ,ϕ) =

�

�

�

�

�

�

cosθ cosϕ −ρ sinθ cosϕ −ρ cosθ sinϕsinθ cosϕ ρ cosθ cosϕ −ρ sinθ sinϕ

sinϕ 0 ρ cosϕ

�

�

�

�

�

�

=ρ2 cosϕ 6= 0

Donc pour tout (ρ,θ ,ϕ) de U , det dF (ρ,θ ,ϕ) 6= 0, c’est-à-dire que dF (ρ,θ ,ϕ) est bijective.On conclut que F est unC 1-difféomorphisme de U sur V .

Exercice. On considère l’application φ : R3 → R3

(x , y , z ) 7→ (x + y 2, y + z 2, z +x 2)

.

1. Montrer qu’il existe un voisinage U ouvert de (1, 1, 1) et un voisinage V ouvert de (2, 2, 2)tel que φ(U ) = V et que φ1 : U → V

(x , y , z ) 7→ φ(x , y , z )soit un C 1-difféomorphisme de U

sur V .

2. Calculer la matrice jacobienne deφ−1 en (2, 2, 2) sans calculerφ−1.

Romain Dujol 40

Exercice.

1. Montrer que φ : R2 → R2

(x , y ) 7→ (e x − e y ,x + y )est un C 1-difféomorphisme de R2 sur lui-

même.

2. Montrer que φ : R2 → R2

(x , y ) 7→ (x 3+3x e y , y −x 2)

est un C 1-difféomorphisme de R2 sur

lui-même.

Exercice. On considère l’application φ : R2 → R2

(x , y ) 7→ (e x cos y , e x sin y ).

1. Montrer queφ n’est pas injective.

2. Montrer que pour tout point (x , y ) deR2, il existe un voisinage U ouvert de (x , y ) tel queφ|Uest injective.

Remarque. On dit alors queφ est localement injective.

4.3.2 Applications : changement de variables et équations aux dérivées partielles

Exercice. Trouver toutes les applications f de R2 dans R de classeC 1 sur R2 telles que :

∀(x , y )∈R2, 2∂ f

∂x(x , y )− ∂ f

∂y(x , y ) = x 2y

On utilisera le changement de variables (X , Y ) = (x ,x +2y ).

4.4 Fonctions différentiables sur un ouvert

Définition 4.11 (Fonction différentiable).Soit E est un espace vectoriel normé quelconque, U un ouvert de E et f une application de

U dans F .Soit a un point de U et U0 = {h ∈ Rp , a +h ∈U}. On dit que f est différentiable en a si et

seulement si il existe une application linéaire ℓ de E dans F et une application ǫ : U0→ F tellesque :

1. limh→0E

ǫ(h) = 0 ;

2. ∀h ∈U0, f (a +h) = f (a )+ ℓ(h)+ ‖h‖ǫ(h).On dit que f est différentiable sur U si et seulement si f est différentiable en tout point de U.

Romain Dujol 41

Proposition 4.6.Soit E est un espace vectoriel normé quelconque, U un ouvert de E et f une application de U

dans F . Si f est différentiable en un point a de U, alors :

1. f est continue en a ;

2. f admet une dérivée première en a suivant tout vecteur non nul v .

Démonstration.

1. On reprend la démonstration du corollaire 6 page 34.

2. Soit v un vecteur non nul de E , alorsf (a + t v )− f (a )

t=ℓ(t v )+ ‖t v ‖ǫ(t v )

t= ℓ(v )+

|t |t‖v ‖ǫ(t v ).

Or limt→0(t v ) = 0E , donc lim

t→0ǫ(t v ) = lim

h→0E

ǫ(h) = 0.

De plus t 7→ |t |t‖v ‖ est borée, donc lim

t→0

|t |t‖v ‖ǫ(t v ) = 0 et lim

t→0

f (a + t v )− f (a )

t= ℓ(v ).

On en déduit que f admet une dérivée première en a suivant v et que Dv f (a ) = ℓ(v ).

Théorème 4.6 (Unicité de l’application linéaire tangente).Soit E est un espace vectoriel normé quelconque.Soit U un ouvert de E , a un point de U et f une application de U dans F . Si f est différen-

tiable en a , alors l’application ℓ définie précédemment est unique. L’application linéaire ℓ estalors appelée application linéaire tangente à f en a et notée Ta f .

Démonstration. Supposons qu’il existe deux applications linéaires ℓ1 et ℓ2 ainsi que deux applications ǫ1

et ǫ2 telles que :

limh→0E

ǫ1(h) = 0 et ∀h ∈U0, f (a +h) = f (a )+ ℓ1(h)+ ‖h‖ǫ1(h)

limh→0E

ǫ2(h) = 0 et ∀h ∈U0, f (a +h) = f (a )+ ℓ2(h)+ ‖h‖ǫ2(h)

Alors ∀h ∈U0, 0= (ℓ1− ℓ2)(h)+ ‖h‖(ǫ1− ǫ2)(h).

Comme U est ouvert, il existe r > 0 tel que B (a , r ) ⊂ U . Soit h0 ∈ B (0E , r ) et x0 = a + h0 : alorsx0 = a +h0 ∈ B (a , r )⊂U et h0 ∈U0. De plus ‖h0‖< r , donc pour tout t ∈ [0, 1], ‖(a + t h0)−a‖= ‖t h0‖=t ‖h0‖< r : il vient alors que a + t h0 ∈ B (a , r )⊂U puis que t h0 ∈U0.

Donc pour tout t ∈ [0, 1], 0= (ℓ1− ℓ2)(t h0)+ ‖t h0‖(ǫ1− ǫ2)(t h0) = t (ℓ1− ℓ2)(h0)+ t ‖h0‖(ǫ1− ǫ2)(t h0).En simplifiant par t , il vient que 0= (ℓ1− ℓ2)(h0)+ ‖h0‖(ǫ1− ǫ2)(t h0)

Comme limt→0(t h0) = 0E , il vient que lim

t→0ǫ1(t h0) = lim

h→0E

ǫ1(h) = 0. De même, limt→0ǫ1(t h0) = 0 : en passant

à la limite lorsque t tend vers 0, il vient que 0= (ℓ1− ℓ2)(h0) et ce, pour tout point h0 de B (0E , r ).

Romain Dujol 42

Soit h ∈ E . Si h = 0, alors h ∈ B (0E , r ) et (ℓ1− ℓ2)(0) = 0.

Si h 6= 0, on note h̃ =r

2· h

‖h‖ . Alors h =2‖h‖

r· h̃ et ‖h̃‖= r

2·

h

‖h‖

=r

2· ‖h‖‖h‖ =

r

2< r .

Donc (ℓ1− ℓ2)(h) = (ℓ1− ℓ2)

�

2‖h‖r· h̃�

=2‖h‖

r· (ℓ1− ℓ2)(h̃) = 0.

On en déduit que ℓ1− ℓ2 est l’application linéaire nulle, puis que ℓ1 = ℓ2. On conclut donc à l’unicité

de la différentielle.

Corollaire. Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .Si f est différentiable en a , alors elle admet des dérivées partielles premières par rapport à

toutes les variables et l’application linéaire tangente à f en a est

Ta f : Rp → F

h = (h1, . . . , hp ) 7→p∑

j=1

h j ·Dj f (a )

Remarque. Il existe des applications admettant des dérivées partielles par rapport à toutes lesvariables en un point sans qu’elles n’y soient différentiables (voire même continues !).

Exemple. On considère l’application f : R2 → R

(x , y ) 7→(

0 si x y 6= 0

1 si x y = 0

. Alors :

– on af (t , 0)− f (0, 0)

t=

1−1

t= 0 : donc D1 f (0, 0) = lim

t→00= 0 ;

– on af (0, t )− f (0, 0)

t=

1−1

t= 0 : donc D2 f (0, 0) = lim

t→00= 0 ;

– on a limn→+∞

f

�

1

n,

1

n

�

= 0 6= 1 = f (0, 0) : comme limn→+∞

�

1

n,

1

n

�

= (0, 0), il vient que f n’est

pas continue en 0, donc pas différentiable en 0.

Théorème 4.7. Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .Si f admet des dérivées premières par rapport à toutes les variables en tout point de U et

qu’elles sont continues en a ∈U, alors f est différentiable en a .

Proposition 4.7 (Lien avec la différentielle).Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans F .

Si f est diteC 1 sur U, alors elle est différentiable sur U et d f (a ) = Ta f pour tout point a de U.

Remarque. Le terme différentielle désignera désormais aussi bien la différentielle d’une appli-cation de classeC 1 que l’application linéaire tangente d’une application différentiable.

La notation d f (a ) sera donc privilégiée par rapport à la notation Ta f .

Romain Dujol 43

4.5 Fonctions implicites

Théorème 4.8 (Théorème des fonctions implicites). Soit W un ouvert deRp×Rn , (a ,b ) unpoint de W et f une application de W dans Rn telle que :

1. f (a ,b ) = 0 ;

2. f est de classeC 1 sur W ;

3. la matrice

∂ f 1

∂xp+1(a ,b ) · · · ∂ f 1

∂xp+n(a ,b )

......

...∂ f n

∂xp+1(a ,b ) · · · ∂ f n

∂xp+n(a ,b )

est inversible où f i : W → R est la

i èmeapplication composante de f ;

alors :

1. il existe un voisinage U ouvert de a et un voisinage V ouvert de b tels que U ×V ⊂W ;

2. il existe une unique application ϕ de U dans V de classeC 1 sur U telle que

∀x ∈U , f�

x ,ϕ(x )�

= 0

De plus il existe un voisinage U ′ de a inclus dans U tel que pour tout point x de U ′, on ait :

Jϕ(x ) =

∂ f 1

∂xp+1

�

x ,ϕ(x )�

· · · ∂ f 1

∂xp+n

�

x ,ϕ(x )�

......

...∂ f n

∂xp+1

�

x ,ϕ(x )�

· · · ∂ f n

∂xp+n

�

x ,ϕ(x )�

−1

∂ f 1

∂x1

�

x ,ϕ(x )�

· · · ∂ f 1

∂xp

�

x ,ϕ(x )�

......

...∂ f n

∂x1

�

x ,ϕ(x )�

· · · ∂ f n

∂xp

�

x ,ϕ(x )�

Exercice.

1. Montrer que la relation ln(1+x + y )−x 2+ y 3 = 0 définit implicitement y en fonction de yau voisinage de (0, 0).

2. Déterminer le développement limité à l’ordre deux de la fonction φ : x 7→ y au voisinagede 0.

Romain Dujol 44

Calcul différentiel : Exercices

Fonctions de classeC 1

Exercice 4.1. On considère l’application f : R2 → R2

(x , y ) 7→�

xp

1+ y 2+ yp

1+x 2, (x +p

1+x 2)(y +p

1+ y 2)�

.

1. Montrer que f est de classeC 1 sur R2.

2. Calculer le jacobien de f en tout point (x , y ) de R2.

Exercice 4.2.

1. Etudier la continuité des fonctions suivantes ainsi que l’existence et la continuité de leursdérivées partielles premières.

(a) f 1 : R2 → R

(x , y ) 7→

(x + y )2

x 2+ y 2 si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

(b) f 2 : R2 → R

(x , y ) 7→

(x 2+ y 2)sin

1p

x 2+ y 2

!

si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

(c) f 3 : R2 → R

(x , y ) 7→

x sin y − y sinx

x 2+ y 2 si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

(d) f 4 : R2 → R

(x , y ) 7→

e x 4 − e y 4

(x 2+ y 2)2si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

2. Que pouvez-vous en conclure pour chaque fonction ?

Romain Dujol 45

Exercice 4.3.

1. Soit a un réel non nul. Étudier la différentiabilité au point (a , 0)de f : R2\{(0, 0)} → R

(x , y ) 7→ x 2y

x 2+ |y |

.

2. Discuter suivant la valeur du réel α de la différentiabilité au point (0, 0) de

f : R2 → R

(x , y ) 7→

xαy

x 2+ |y | si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

Exercice 4.4. Étudier la continuité et la différentiabilité puis calculer le gradient (lorsqu’il existe)des fonctions suivantes.

1. f 1 : R2 → R(x , y ) 7→ x 3+x y

2. f 2 : R2 → R(x , y ) 7→ e−x 2−y 2

3. f 3 : {(x , y )∈R2, x 2+ y 2 < 1} → R(x , y ) 7→ ln(1−x 2− y 2)

4. f 4 : {(x , y )∈R2, x 2+ y 2 ≥ 1} → R(x , y ) 7→

p

x 2− y 2−1

5. f 5 : R2 → R(x , y ) 7→

p

(a −x )2+(b − y )2où a et b sont deux nombres réels

6. f 6 : R2 → R(x , y ) 7→

p

x 2+(1− y )2+p

x 2+(1+ y )2

7. f 7 : R2 → R

(x , y ) 7→

x 3− y 3

x 2+ y 2 si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

8. f 8 : R2 → R

(x , y ) 7→

sinx − sin y

x − ysi x 6= y

cosx si x = y

Romain Dujol 46

Exercice 4.5. On considère la fonction f : R2 → R2

(x , y ) 7→

x yx 2− y 2

x 2+ y 2 si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

.

1. Déterminer l’ensemble de continuité de la fonction f .

2. Montrer que f est différentiable sur R2\{(0, 0)} et calculer sa différentielle.

3. La fonction f est-elle différentiable en (0, 0) ? Si oui, indiquer l’expression de la différentielleen (0, 0).

C 1-difféomorphismes. Équations aux dérivées partielles

Exercice 4.6. On cherche toutes les fonctions f de R2 dans R telles que

(E )∂ f

∂x(x , y )+2x

∂ f

∂y(x , y ) = 0 ∀(x , y )∈R2

On considère l’application ϕ : R2 → R2

(x , y ) 7→ (x , y +x 2)

.

1. Montrer que ϕ est bijective et de classeC 1 sur R2.

2. Définir ϕ−1 et montrer que ϕ−1 est de classeC 1 sur R2.

3. Que peut-on en déduire pour ϕ ?

4. Soitψ une application deR2 dans R de classeC 1 sur R2. On pose g =ψ ◦ϕ.

(a) Montrer que la fonction g est de classeC 1 sur R2.

(b) Montrer queψ est solution de (E ) si et seulement si

∂ g

∂x(x , y ) = 0 ∀(x , y )∈R2

5. Soit f une application de R2 dans R de classe C 1 sur R2. Montrer que f vérifie (E ) si etseulement s’il existe une application h deR dans R de classeC 1 sur R telle que

∀(x , y )∈R2, f (x , y ) = h(y −x 2)

Romain Dujol 47

Exercice 4.7. Résoudre les équations aux dérivées partielles du premier ordre suivantes d’incon-nue f : U →R à l’aide du changement de variables fourni.

1. Sur U =R∗+×R, résoudre

x∂ f

∂x+ y∂ f

∂y= 0

avec le changement de variables (u , v ) =�

x ,y

x

�

.

2. Sur U =R∗+×R, résoudre

x∂ f

∂x+ y∂ f

∂y=p

x 4+ y 4

avec le changement de variables (u , v ) =�y

x,x 2+ y 2

�

.

3. Sur U =R∗+×R, résoudre

x∂ f

∂x− y∂ f

∂y= x y 2

avec le changement de variables (u , v ) = (x ,x y ).

4. Sur U =R∗+×R, résoudre pour a réel fixé

x∂ f

∂x− y∂ f

∂y= a f

avec le changement de variables en coordonnées polaires.

Exercice 4.8. Soit U = {(x , y ) ∈R2, x > y } et V = {(x , y ) ∈R2, y 2− 4x > 0}. On cherche toutes lesapplications f de U dans R de classeC 1 sur U telles que

(E )∂ f

∂x(x , y )− ∂ f

∂y(x , y )+3(x − y ) f (x , y ) = 0 ∀(x , y )∈U

1. Montrer que si (x , y )∈U alors (x y ,x + y )∈V .

2. On considère l’application ϕ : U → V(x , y ) 7→ (x y ,x + y )

.

(a) Montrer que ϕ est bijective et de classeC 1 sur U.

(b) Définir ϕ−1 et montrer que ϕ−1 est de classeC 1 sur V .

(c) Que peut-on en déduire pour ϕ ?

3. Soitψ une application de U dans R une fonction de classeC 1 sur U. On pose g =ψ ◦ϕ−1.

(a) Montrer que la fonction g est de classeC 1 sur V .

(b) Montrer queψ est solution de (E ) si et seulement si

∂ g

∂x(x , y )−3g (x , y ) = 0 ∀(x , y )∈V

4. Déterminer toutes les fonctions f : U →R de classeC 1 sur U vérifiant (E ).

Romain Dujol 48

Exercice 4.9. Soit f une application de R dans R de classeC 1 sur R telle que

∃k ∈ [0, 1[, ∀t ∈R, | f ′(t )| ≤ k

On définit l’application ϕ : R2 → R2

(x , y ) 7→�

x + f (y ), y + f (x )�

.

1. Montrer que la fonction ϕ est de classeC 1 sur R2.

2. Ecrire la jacobienne de ϕ en tout point (x , y ) de R2 et montrer qu’elle est inversible.

3. Montrer que ϕ est injective.

4. Soit y un réel fixé. On pose g (x ) = x + f�

y − f (x )�

pour tout réel x . Montrer que l’on définitainsi une fonction strictement croissante et que l’on a g (R) =R.[Indication : On rappelle que pour toute application h deR dansR de classeC 1 surR, on a

h(x )−h(0) =

∫ x

0

h ′(t )dt pour tout réel x .]

5. En déduire que ϕ est bijective.

Exercice 4.10. Soit E = {(x , y ) ∈R2, x 3− y 2 = 0} et g une application de R2 dans R de classeC 1

sur R2 qui s’annule en tout point de E .

1. Montrer que g (t 2, t 3) = 0 pour tout réel t .

2. On pose ϕ = g ◦h avec h : R → R2

t 7→ (t 2, t 3)

.

(a) Calculer la dérivée de ϕ.

(b) En déduire que l’on a∂ g

∂x(0, 0) = 0.

(c) Montrer que pour tout réel t strictement positif, il existe un réel v (t ) ∈]− t 3, t 3[ tel que

l’on ait∂ g

∂y

�

t 2, v (t )�

= 0.

[Indication : On pourra utiliser l’application ψ : [−t 3, t 3] → Ru 7→ g (t 2, u )

de classe

C 1 sur [−t 3, t 3] et évaluerψ(t 3) etψ(−t 3).]

(d) En déduire que l’on a∂ g

∂y(0, 0) = 0.

Romain Dujol 49

Théorème des fonctions implicites

Exercice 4.11. Pour chaque des relations suivantes, montrer qu’elle définit implicitement y enfonction x au voisinage de (a ,b ) et déterminer le développement limité à l’ordre deux de la fonc-tionφ : x 7→ y au voisinage de a .

1. cos y −x sin y −x 3 = 0 au voisinage de (a ,b ) = (1, 0)

2. x 2 ln y − y 2 lnx = 0 au voisinage de (a ,b ) = (1, 1)

3. e x+y −x 2+2x y 2−2− ln(3+x +3y ) = 0 au voisinage de (a ,b ) = (1,−1)

Exercice 4.12. On considère la fonction f : R∗+×R∗

+→ R

(x , y ) 7→ x y − y x.

1. Donner les conditions que doivent vérifier les points (a ,b )∈R∗+×R∗

+pour pouvoir appliquer

le théorème des fonctions implicites.

2. Déterminer les points (a ,b )∈R∗+×R∗

+les vérifiant.

3. En déduire la dérivée de la fonction implicite ϕ : x 7→ y définie par la relation x y = y x .

4. Ecrire le développement limité à l’ordre 2 au voisinage de 1 de la fonction ϕ.

Romain Dujol 50

Changement de variables en coordonnées polaires

Introduction

Le changement de variables permettant le passage des coordonnées cartésiennes (x , y ) auxcoordonnées polaires (ρ,θ ) est aisément exprimable dans le sens indirect par les relations :

x =ρ cosθ et y =ρ sinθ

Lorsque l’on cherche l’expression de ce changement de variables dans le sens direct :

– l’expression de ρ =p

x 2+ y 2 ne pose aucun problème et implique que l’intervalle dedéfinition de ρ est R∗

+;

– en revanche, comme le changement de variables doit être un C∞-difféomorphisme, lecaractère 2π-périodique selon θ dudit changement de variables oblige à restreindre l’ensem-ble de définition de θ à un intervalle Iθ :– ouvert (on ne peut étudier des fonctions de classeC∞ que sur des ouverts)– dont la longueur ne dépasse pas 2π (sinon, le changement n’est plus injectif).Selon l’intervalle Iθ choisi, l’expression de θ en fonction de x et y peut être plus ou moinssimple.

Si Iθ est un intervalle comme vu ci-avant, alors on définitψ comme étant l’application associéeau changement de variables dans le sens indirect, c’est-à-dire ψ : R∗

+× Iθ → R2

(ρ,θ ) 7→ (ρ cosθ ,ρ sinθ ).

Se posent alors deux questions :– ψ induit-il unC∞-difféomorphisme de R∗

+× Iθ surψ

�

R∗+× Iθ

�

?– quelle est, le cas échéant, l’expression de φ = ψ−1 (c’est-à-dire l’expression du change-

ment de variables dans le sens direct) ?

Remarque. Le fait que Iθ soit un intervalle ouvert de longueur maximale 2π implique qu’il ex-iste θ0 tel que Iθ ⊂ ]θ0,θ0 + 2π[. Donc le C∞-difféomorphisme ψ doit nécessairement ne pasinclure au moins une direction θ0 (cf. le premier cas avec θ0 =−π qui n’inclut pas la demi-droitenégative).

LE CHANGEMENT DE VARIABLES EN COORDONNÉES POLAIRES

NE PERMET PAS DE CONSTRUIRE DE C∞-DIFFÉOMORPHISME SUR R2\{(0, 0)}.

On considèrera trois cas usuels deC∞-difféomorphismes associés au changement de vari-ables en coordonnées polaires.

Romain Dujol 51

Le changement de variables sur le plan privé de la demi-droite négative : Iθ =]−π,π[

Proposition 4.8.L’applicationψ définit unC∞-difféomorphisme de V =R∗

+×]−π,π[ surψ(V ) =R2\(R−×{0}).

De plus,φ =ψ−1 est définie par φ : ψ(V ) → V

(x , y ) 7→

p

x 2+ y 2, 2 arctan

y

x +p

x 2+ y 2

!!

Démonstration. L’applicationψ est clairement de classeC∞ sur V et pour tout (ρ,θ )∈V ,

det Jψ(ρ,θ ) =

�

�

�

�

cosθ −ρ sinθsinθ ρ cosθ

�

�

�

�

=ρ cos2θ +ρ sin2θ =ρ > 0

Donc pour tout (ρ,θ )∈V , Jψ(ρ,θ ) est une application linéaire bijective.Ajoutons que ψ(V ) est l’ensemble des points du plan à l’exception des points dont l’argument est

égal à π (ou −π), c’est-à-dire les points placés sur la demi-droite réelle négative R−×{0}. On en conclutdonc queψ(V ) =R2\(R−×{0}).

Vérifions queφ est bien défini surψ(V ). Soit (x , y )∈R2 tel que x +p

x 2+ y 2 = 0. Alors :

– on a x =−p

x 2+ y 2 : donc x est un réel négatif ;– de plus x 2 = x 2+ y 2 : donc y = 0 ;

On en déduit que (x , y ) ∈ R− × {0}. On conclut par contraposition que si (x , y ) ∈ R2\(R− × {0}), alors

x +p

x 2+ y 2 6= 0, ce qui permet d’établir queφ est bien définie surψ(V ).

Il reste à vérifier queφ =ψ−1, en calculantφ ◦ψ etψ ◦φ.Soit (ρ,θ )∈V , alors :

p

(ρ cosθ )2+(ρ sinθ )2 =p

ρ2 cos2θ +ρ2 sin2θ =p

ρ2 = |ρ|=ρ car ρ > 0

ρ sinθ

ρ cosθ +p

(ρ cosθ )2+(ρ sinθ )2=

ρ sinθ

ρ cosθ +ρ=

sinθ

cosθ +1=

2 sinθ

2cos

θ

2

cos2θ

2− sin2 θ

2+1=

2 sinθ

2cos

θ

2

2 cos2θ

2

= tanθ

2

On en déduit alors que (φ ◦ψ)(ρ,θ ) =φ(ρ cosθ ,ρ sinθ ) =

�

ρ, 2 arctan

�

tanθ

2

��

. Comme θ ∈]−π,π[, il

vient queθ

2∈�

−π2

,π

2

�

et arctan

�

tanθ

2

�

=θ

2, puis que (φ ◦ψ)(ρ,θ ) = (ρ,θ ). Doncφ ◦ψ= idV .

Romain Dujol 52

Soit (x , y )∈ψ(V ), on note α= arctan

y

x +p

x 2+ y 2

!

∈�

−π2

,π

2

�

. Alors :

tanα=y

x +p

x 2+ y 2

tan2α=y 2

(x +p

x 2+ y 2)2=

y 2

x 2+2xp

x 2+ y 2+x 2+ y 2=

y 2

2x 2+2xp

x 2+ y 2+ y 2

cos(2α) = 2 cos2α−1= cos2α

�

2− 1

cos2α

�

=1

1+ tan2α

�

2− (1+ tan2α)�

=1− tan2α

1+ tan2α

=2x 2+2x

p

x 2+ y 2+ y 2− y 2

2x 2+2xp

x 2+ y 2+ y 2+ y 2=

x 2+xp

x 2+ y 2

x 2+xp

x 2+ y 2+ y 2=

x (x +p

x 2+ y 2)p

x 2+ y 2(x +p

x 2+ y 2)=

xp

x 2+ y 2

sin(2α) = 2 sinαcosα= 2 tanαcos2α=2 tanα

1+ tan2α=

2y

x +p

x 2+ y 2

2x 2+2xp

x 2+ y 2+ y 2+ y 2

(x +p

x 2+ y 2)2

=2y (x +

p

x 2+ y 2)

2x 2+2xp

x 2+ y 2+2y 2=

y (x +p

x 2+ y 2)

x 2+xp

x 2+ y 2+ y 2=

y (x +p

x 2+ y 2)p

x 2+ y 2(x +p

x 2+ y 2)=

yp

x 2+ y 2

On en déduit alors que (ψ ◦φ)(x , y ) = ψ(p

x 2+ y 2, 2α) =�p

x 2+ y 2 cos(2α),p

x 2+ y 2 sin(2α)�

= (x , y ).

Doncψ ◦φ = idψ(V ).

Finalement ψ est un C∞-difféomorphisme de V sur son image ψ(V ) avec ψ−1 = φ, ce qui permet

d’affirmer queφ est également unC∞-difféomorphisme deψ(V ) sur V .

Le changement de variables sur le demi-plan strictement positif : Iθ =]−π/2,π/2[

Proposition 4.9.L’applicationψ définit unC∞-difféomorphisme de V =R∗

+×]−π/2,π/2[ surψ(V ) =R∗

+×R.

De plus,φ =ψ−1 est définie par φ : ψ(V ) → V

(x , y ) 7→�

p

x 2+ y 2, arctan�y

x

��

Démonstration. Voir exercices faits en cours

Romain Dujol 53

Le changement de variables sur le demi-plan strictement négatif : Iθ =]π/2, 3π/2[

Proposition 4.10.

L’applicationψ définit unC∞-difféomorphisme de V =R∗+×�

π

2,

3π

2

�

surψ(V ) =R∗−×R.

De plus,φ =ψ−1 est définie par φ : ψ(V ) → V

(x , y ) 7→�

p

x 2+ y 2, π+arctan�y

x

��

Démonstration. L’étude est presque identique à celle réalisée dans le cas précédent.

Comme précédemment, tanθ =y

x. Mais, par construction, arctan

�y

x

�

∈�

−π2

,π

2

�

ce qui ne corre-

spond pas à l’ensemble de définition de θ .

Toutefois, θ =π+arctan�y

x

�

∈�

π

2,

3π

2

�

et

tanθ = tan�

π+arctan�y

x

��

= tan�

arctan�y

x

��

=y

x

car tan est π-périodique. D’où le résultat final.

Romain Dujol 54

Chapitre 5

Calcul différentiel d’ordre supérieur

5.1 Différentiation d’ordre supérieur

5.1.1 Dérivées partielles d’ordre supérieur

Définition 5.1 (Dérivées partielles d’ordre supérieur).Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans Rn .Soit k un entier naturel non nul et (i 1, . . . , i k ) ∈ J1, pKk un k -uplet d’entiers. On dit que

f admet une dérivée partielle k ème en a par rapport aux variables numéro i 1, . . . , i k si etseulement si :

– f admet une dérivée (k − 1)ème par rapport aux variables numéro i 1, . . . , i k−1 sur unvoisinage de a ;

– cette dérivée partielle (k −1)ème admet elle-même une dérivée partielle première en a parrapport à i k

ème variable.Auquel cas, on définit la dérivée partielle k ème en a par rapport aux variables numéro

i 1, . . . , i k , notée Di 1,...,i k f (a ) ou∂k f

∂x i k · · ·∂x i 1

(a ).

On définit également — lorsque c’est possible — la fonction dérivée partielle k ème par

rapport aux variables numéro i 1, . . . i k , notée Di 1,...,i k f ou∂k f

∂x i k · · ·∂x i 1

, par Di 1,...,i k f : a 7→Di 1,...,i k f (a ).

Remarque. Autrement dit,∂k f

∂x i k · · ·∂x i 1

(a ) existe si et seulement si la fonction∂k−1f

∂x i k−1 · · ·∂x i 1

est

définie au voisinage de a et admet une derivée partielle première en a par rapport à la i kème

variable.

Remarque. Si k = 1, on retrouve la définition de la dérivée partielle première.

Romain Dujol 55

5.1.2 Fonctions de classeC k sur un ouvert

Définition 5.2 (Fonction de classeC k , de classeC∞).Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans Rn .Alors f est dite de classe C k sur U si et seulement si toutes les fonctions dérivées partielles

de f pour tout ordre entre 1 et k sont définies et continues sur U.Alors f est dite de classeC∞ sur U si et seulement si toutes les fonctions dérivées partielles

de f à tout ordre sont définies et continues sur U.

Proposition 5.1. Soit U un ouvert deRp . On noteC k (U ,Rn ) l’ensemble des fonctions de U dansRn de classeC k sur U.

1.�

C k (U ,Rn )�

k≥1est une suite décroissante d’ensembles :

∀(m , k )∈�

N∗�2 , (m ≤ k ) =⇒C k (U ,Rn )⊂Cm (U ,Rn )

2. C∞(U ,Rn ) =⋂

k≥1C k (U ,Rn ) : une fonction est de classe C∞ sur U si et seulement si elle est

de classeC k sur U pour tout entier naturel non nul k .

Théorème 5.1 (Structure d’espace vectoriel).Soit U un ouvert de Rp et k un entier naturel non nul.L’ensemble des applications de classeC k sur U est un sous-espace vectoriel de l’ensemble

des applications continues sur U.Notamment, si f et g sont de classeC k sur U, alors pour tout réel λ, f +λg est de classe

C k sur U.

Théorème 5.2 (Stabilité par composition).Soit U un ouvert de Rp et f une application de classeC k de U dans Rq .Soit V un ouvert de Rq et g une application de classeC k de V dans Rn .Si f (U )⊂V , alors g ◦ f est de classeC k sur U.

Romain Dujol 56

5.1.3 Ordre de dérivation

Théorème 5.3 (Théorème de SCHWARTZ).Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans Rn de classeC 1 sur U.Soit a ∈U et (i , j )∈ J1, pK2.

Si Di j f et Dj i f sont définies sur U et continues en a , alors Di j f (a ) =Dj i f (a ).

Corollaire. Le calcul d’une dérivée partielle k ème d’une fonction de classe C k ne dépend pas del’ordre des variables de dérivation.

5.1.4 C k -difféomorphismes

Définition 5.3 (C k -difféomorphisme).Soit U un ouvert de Rp et V un ouvert de Rn . Une application φ de U dans V est

unC k -difféomorphisme de U sur V si et seulement si les propriétés suivantes sont vérifiées :

1. φ est de classeC k sur U ;

2. φ réalise une bijection de U dans V ;

3. φ−1 est de classeC k sur V .

Corollaire (Caractérisation rapide d’unC k -difféomorphisme).Soit U un ouvert de Rp et V un ouvert de Rn . Si l’application φ de U dans V vérifie les trois

propriétés suivantes :

1. φ est de classeC k sur U ;

2. φ réalise une bijection de U dans V ;

3. pour tout point a de U, dφ(a ) est une application linéaire bijective de Rp dans Rn ;

alors p = n etφ est unC k -difféomorphisme de U sur V .

Exercice. Soit U = {(x , y , z )∈R3, x > 0 et x + y > 0}.Montrer que φ : U → R3

(x , y , z ) 7→�

x + y ,y

x,

z

x

�

est unC∞-difféomorphisme de U surφ(U ).

Romain Dujol 57

Applications : changement de variables et équations aux dérivées partielles

Exercice.

1. Trouver toutes les applications f deR2 dans R de classeC 2 sur R2 telles que :

∀(x , y )∈R2,∂ 2f

∂x 2 (x , y ) = x y

2. Trouver toutes les applications f deR2 dans R de classeC 2 sur R2 telles que :

∀(x , y )∈R2,∂ 2f

∂x∂y(x , y ) = 0

Exercice. Trouver toutes les applications f de R2 dans R de classeC 2 sur R2 telles que :

∀(x , t )∈R2,∂ 2f

∂x 2 (x , t )− 1

c 2

∂ 2f

∂ t 2 (x , t ) = 0

On utilisera le changement de variables (X , Y ) = (x + c t ,x − c t ).

5.2 Extrema de fonctions à valeurs réelles

5.2.1 Définition

Définition 5.4 (Extremum local).Soit A une partie de Rp , a un point de A et f une application de A dans R.On dit que f admet un minimum local en a ou que a est un minimum local de f si et

seulement si il existe un voisinage V de a tel que

∀x ∈ A ∩V, f (x )≥ f (a )

On dit que f admet un maximum local en a ou que a est un maximum local de f si etseulement si il existe un voisinage V de a tel que

∀x ∈ A ∩V, f (x )≤ f (a )

On dit que f admet un extremum local en a ou que a est un extremum local de f si etseulement si f admet un minimum local en a ou un maximum local en a .

Romain Dujol 58

Définition 5.5 (Extremum local strict).Soit A une partie de Rp , a un point de A et f une application de A dans R.On dit que f admet un minimum local strict en a ou que a est un minimum local strict

de f si et seulement si il existe un voisinage V de a tel que

∀x ∈ (A ∩V )\{a }, f (x )> f (a )

On dit que f admet un maximum local strict en a ou que a est un maximum local strict

de f si et seulement si il existe un voisinage V de a tel que

∀x ∈ (A ∩V )\{a }, f (x )< f (a )

On dit que f admet un extremum local strict en a ou que a est un extremum local de f siet seulement si f admet un minimum local strict en a ou un maximum local strict en a .

5.2.2 Condition nécessaire d’ordre un

Définition 5.6 (Point critique).Soit U un ouvert de Rp , a un point de U et f une application de U dans R.On dit que a est un point critique de f si et seulement si toutes les dérivées partielles pre-

mières de f en a sont définies et égales à zéro.

Théorème 5.4 (Condition nécessaire d’ordre un).Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans R.Si f admet un extremum local en a et que les toutes dérivées partielles de f en a sont

définies, alors a est un point critique de f .

Remarque. Donc les extrema locaux sont à chercher uniquement parmi les points critiques.

ATTENTION. Tout point critique n’est pas un extremum local. Ainsi a = 0 est un point critique def : x 7→ x 3 mais n’en est pas pas un extremum local pour autant.

Romain Dujol 59

5.2.3 Conditions d’ordre deux

Cas général

Proposition 5.2 (Développement limité à l’ordre deux).Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans R de classe C 2 sur U. On munit Rp

d’une norme ‖ · ‖.Soit a un point de U et U0 = {h ∈ Rp , a +h ∈U}. Alors il existe une application ǫ : U0 → F

telle que limh→0Rp

ǫ(h) = 0 et :

∀h = (h1, . . . , hp )∈U0, f (a +h) = f (a )+p∑

j=1

h j ·Dj f (a )+1

2

p∑

i=1

p∑

j=1

h i h j ·Di j f (a )+ ‖h‖2ǫ(h)

Cette dernière relation est appelée développement limité de f à l’ordre deux en a .

Théorème 5.5 (Condition suffisante d’ordre deux).Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans R de classeC 2 sur U.Soit a un point critique de f . On note Q : Rp → R

h = (h1, . . . , hp ) 7→p∑

i=1

p∑

j=1

h i h j ·Di j f (a )

.

Si Q est à valeurs positives et ne s’annule que en h = 0, alors f admet un minimum localstrict en a .

Si Q est à valeurs négatives et ne s’annule que en h = 0, alors f admet un maximum localstrict en a .

Si Q admet des valeurs strictement positives et strictement négatives, alors f n’admet pasd’extremum local en a .

ATTENTION. Ce résultat n’a aucune validité si a n’est pas un point critique de f (on rappelle queles extrema potentiels sont nécessairement des points critiques de f ).

Définition 5.7 (Matrice hessienne).Soit U un ouvert de Rp et f une application de U dans R de classeC 2 sur U.On définit la matrice hessienne de f en a , notée H f (a ), par

H f (a ) =

�

∂ 2f

∂x i ∂x j(a )

�

1≤i≤p1≤j≤p

=

∂ 2f

∂x1∂x1(a ) · · · ∂ 2f

∂x1∂xp(a )

......

...∂ 2f

∂xp∂x1(a ) · · · ∂ 2f

∂xp∂xp(a )

Remarque. Avec les notations du théorème précédent, on aQ(h) = th ·H f (a )·h pour tout h ∈Rp .

Romain Dujol 60

Corollaire. La matrice hessienne d’une fonction de classeC 2 est symétrique en tout point.

Démonstration. C’est une conséquence directe du théorème de SCHWARTZ.

Cas des fonctions à deux variables (p = 2)

Définition 5.8 (Notations de MONGE).Soit U un ouvert de R2 et f une application de U dans R de classeC 2 sur U.Pour tout point critique a de f , on note

r =∂ 2f

∂x 2 (a ) , s =∂ 2f

∂x∂y(a ) =

∂ 2f

∂y ∂x(a ) , t =

∂ 2f

∂y 2 (a )

Théorème 5.6 (Condition suffisante d’ordre deux).Soit U un ouvert de R2 et f une application de U dans R de classeC 2 sur U.Soit a un point critique de f . En utilisant les notations de MONGE :– si r t − s 2 > 0 :

– si r > 0, alors f admet un minimum local strict en a ;– si r < 0, alors f admet un maximum local strict en a ;

– si r t − s 2 < 0, alors f n’admet pas d’extremum local en a : a est dit point-col ou point-

selle de f .

Démonstration. Comme a est un point critique de f , il vient que∂ f

∂x(a ) =

∂ f

∂y(a ) = 0. En utilisant les

notations de MONGE, le développement limité à l’ordre deux de f devient :

∀h = (h1, h2)∈U0, f (a+h) = f (a )+r h21+s h1h2+s h2h1+t h2

2+o�

‖h‖2�

= f (a )+r h21+2s h1h2+t h2

2+o�

‖h‖2�

Les cas à étudier imposent que r est non nul : en effet, on ne peut pas avoir r t − s 2 < 0 et r = 0.

On note Q(h) = r h21+2s h1h2+ t h2

2 = r�

h21+2

s

rh1h2

�2

+ t h22 = r

��

h1+s

rh2

�2

− s 2

r 2h2

2

�

+ t h22

= r�

h1+s

rh2

�2

+r t − s 2

rh2

2.

– Si r t − s 2 > 0 alors Q(h) = 0 ⇐⇒

h1+s

rh2 = 0

h2 = 0⇐⇒

h1 =−s

rh2 = 0

h2 = 0⇐⇒ h = 0. Donc :

– si r > 0, alors Q(h)≥ 0 pour tout h et a est un minimum local de f ;– si r < 0, alors Q(h)≤ 0 pour tout h et a est un maximum local de f .

– Si r t − s 2 < 0, alors Q(1, 0) ·Q(0, 1) = r · r t − s 2

r< 0 : Q admet des valeurs strictement positive et

strictement négative. Donc a n’est pas un extremum local.

Romain Dujol 61

Définition 5.9 (Extremum global).Soit A une partie de Rp , a un point de A et f une application de A dans R.On dit que f admet un minimum global en a ou que a est un minimum global de f si et

seulement si∀x ∈ A, f (x )≥ f (a )

On dit que f admet un maximum global en a ou que a est un maximum global de f si etseulement si

∀x ∈ A, f (x )≤ f (a )

On dit que f admet un extremum global en a ou que a est un extremum global de f si etseulement si f admet un minimum global en a ou un maximum global en a .

Proposition 5.3. Tout minimum (respectivement maximum) global est un minimum (respec-tivement maximum) local.

⋄ ⋄

Un plan général de recherche d’extrema de f : U ⊂R2→R peut alors se présenter comme suit.

Étape no 0 Verification du caractèreC 2 de f sur U .

Étape no 1 Recherche des points critiques (x , y ) de f , en résolvant le système

∂ f

∂x(x , y ) = 0

∂ f

∂y(x , y ) = 0

.

Étape no 2 Pour chaque point critique, calculer r , s et t , puis :– r t − s 2 > 0 et r > 0⇒minimum local strict– r t − s 2 > 0 et r > 0⇒maximum local strict– r t − s 2 < 0⇒ point-selle

Étape no 3 Recherche de minima globaux :– f n’est pas minorée⇒ pas de minimum global– f est minorée⇒ on choisit le (ou les) minimum(a) locau(x) strict(s) dont la valeur

de f est la plus faible.Recherche de maxima globaux :– f n’est pas majorée⇒ pas de maximum global– f est majorée⇒ on choisit le (ou les) maximum(a) locau(x) strict(s) dont la valeur

de f est la plus forte.

Romain Dujol 62

Calcul différentiel d’ordre supérieur : Exercices

Fonctions de classeC 2

Exercice 5.1.

1. On considère l’application f 1 : R2 → R

(x , y ) 7→

y 4

x 2+ y 2 si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

(a) Montrer que f 1 est de classeC 1 sur R2.

(b) Calculer∂ 2f 1

∂y ∂x(0, 0) et

∂ 2f 1

∂x∂y(0, 0).

(c) Montrer que∂ 2 f 1

∂y ∂xou

∂ 2 f 1

∂x∂yn’est pas continue en (0, 0).

2. On considère l’application f 2 : R2 → R

(x , y ) 7→

x y 2

x + ysi x + y 6= 0

0 si x + y = 0

(a) Calculer∂ 2f 2

∂y ∂x(0, 0) et

∂ 2f 2

∂x∂y(0, 0).

(b) En déduire que∂ 2 f 2

∂y ∂xou

∂ 2 f 2

∂x∂yn’est pas continue en (0, 0).

3. On considère l’application f 3 : R2 → R

(x , y ) 7→

x y sin

�

π

2· x + y

x − y

�

si x 6= y

0 si x = y

(a) Montrer que f 3 est différentiable en (0, 0).

(b) Calculer∂ 2f 3

∂y ∂x(0, 0) et

∂ 2f 3

∂x∂y(0, 0).

(c) En déduire que∂ 2 f 3

∂y ∂xou

∂ 2 f 3

∂x∂yn’est pas continue en (0, 0).

Romain Dujol 63

Exercice 5.2. Déterminer la classe exacte des applications suivantes :

1. f 1 : R2 → R

(x , y ) 7→

(x 2− y 2)2

x 2+ y 2 si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

2. f 2 : R2 → R

(x , y ) 7→

x y 2

x 2+(y −x 2)2si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

3. f 3 : R2 → R

(x , y ) 7→

�

e x 2 −1��

e y 2 −1�

x 2+ y 2 si (x , y ) 6= (0, 0)

0 si (x , y ) = (0, 0)

C 2-difféomorphismes. Équations aux dérivées partielles

Exercice 5.3. Résoudre les équations aux dérivées partielles du second ordre suivantes d’incon-nue f : U →R de classeC 2 à l’aide du changement de variables fourni.

1. Sur U =R∗+×R∗, résoudre

x 2 ∂2 f

∂x 2 +2x y∂ 2 f

∂x∂y+ y 2 ∂

2 f

∂y 2 = 0

avec le changement de variables (u , v ) =�

x y ,y

x

�

.

2. Sur U =R∗+×R∗, résoudre

x 2 ∂2 f

∂x 2 − y 2 ∂2 f

∂y 2 = x∂ f

∂x− y∂ f

∂y

avec le changement de variables (u , v ) =�

x y ,y

x

�

.

3. Sur U =R∗+×R∗

+, résoudre

x 2 ∂2 f

∂x 2 +x∂ f

∂x= y 2 ∂

2 f

∂y 2 + y∂ f

∂y

avec le changement de variables (u , v ) = (lnx , ln y ).

4. Sur U =R∗+×R, résoudre

∂ 2 f

∂x 2 −4x 2 ∂2 f

∂y 2 −1

x

∂ 2 f

∂x= 0

avec le changement de variables (u , v ) = (x 2− y ,x 2+ y ).

Romain Dujol 64

Exercice 5.4. Soit f une application de R dans R de classe C 2 sur R dont la dérivée seconde f ′′

ne s’annule jamais sur R.Soit g une application de R2 dans R dont toutes les fonctions dérivées partielles premières et

secondes sont définies sur R2 et telle que

∀(x , y )∈R2,∂ 2 f

∂x 2 (x , y )+∂ 2 f

∂y 2 (x , y ) = 0

(On dit que g est harmonique.)

Montrer que F = f ◦ g est harmonique si seulement si g est constante.

Extrema de fonctions à deux variables

Exercice 5.5. On considère l’application f : [0, 1]2 → R

(x , y ) 7→

x y (1−x )(1− y )

1−x ysi (x , y ) 6= (1, 1)

0 si (x , y ) = (1, 1)

.

Montrer que f est continue sur [0, 1] et déterminer sup(x ,y )∈[0,1]2

f (x , y ).

Exercice 5.6. Déterminer les extrema locaux et globaux des applications suivantes.

1. f 1 : R2 → R(x , y ) 7→ y 2−3x 2y +2x 4

2. f 2 : R2 → R(x , y ) 7→ (y 2−x 2)(y 2−2x 2)

3. f 3 : R2 → R(x , y ) 7→ (x + y )2− (x 4+ y 4)

4. f 4 :�

R∗+

�2 → R(x , y ) 7→ 4x y +

1

x+

1

y

5. f 5 : R2 → R(x , y ) 7→ x 4+ y 4−2(x − y )2

6. f 6 : R2 → R(x , y ) 7→ 3x y − y 3−x 3

Romain Dujol 65

Exercice 5.7. On considère l’application g :�

R∗+

�2 → R

(x , y ) 7→ 1

2

�

1

x+

1

y

�

(1+x )(1+ y )

1. Déterminer les extrema locaux de g .

2. On considère l’application f : R∗+→ R

x 7→ 1

2

�

x +1

x

�

.

(a) Montrer que f (x )≥ 1 pour tout réel strictement positif x .

(b) Montrer que

∀(x , y )∈�

R∗+

�2, g (x , y ) = 1+ f (x )+ f (y )+ f

�

x

y

�

(c) En conclure que les extrema locaux de g sont globaux.

Romain Dujol 66