Groupe d'étude INRP « Ampères »Dynamiser l’étude des mathématiques dans l’enseignement secondaire (collège et lycée)

par la mise en place de séquences d’enseignement organisées autour d’Activités d’Étude et de Recherche (AER) ou de Parcours d’Étude et de Recherche (PER)

AMPERES

• Apprentissages Mathématiques et Parcours d'Études et de Recherches pour l'Enseignement Secondaire

• Des équipes à Bordeaux, Clermont-Fd, Marseille, Poitiers, Toulouse, et Dijon, Nice, Montpellier

• Des contacts avec des équipes belges et espagnoles

Motifs

• « Demandez aux enseignants quels sont leurs principaux sujets de préoccupation : les salaires, les programmes, les notes et l'évaluation, les parents, la laïcité, la violence, les incivilités... ? Vous n'y êtes pas : c'est la motivation des élèves, leur engagement dans le travail scolaire, leur intérêt pour les activités et les savoirs constitués. »

• Sur le site du café pédagogique du 1er septembre

Motifs

• « Je crois que ce qui manque souvent dans l’enseignement des sciences, c’est le sens d’un enjeu, d’un problème non résolu à l’avance qui a mobilisé les passions d’êtres humains… »

• « Pour comprendre ce qu’est une investigation il vaut mieux lire les enquêtes de Sherlock Holmes qu’un manuel scolaire de physique. »

•  In bulletin de l’APMEP de mai-juin 2008 

CONSTATS :Les mathématiques, discipline qui contribue à apporter un éclairage sur le monde ? Extrait de Radiographie du peuple lycéen. Pour changer le lycée (Establet R. & al., 1995)

D'après le rapport: 'Science Education Now:

A Renewed Pedagogy for the Future of Europe' • La recommandation principale du groupe

concerne un revirement de l'enseignement des sciences dans les écoles pour passer d'une méthode principalement déductive à une méthode basée sur le questionnement. L'approche déductive de l'enseignement suppose que l'enseignant présente des concepts, leurs implications logiques et des exemples d'applications. En revanche, l'enseignement scientifique basé sur le questionnement (Inquiry-Based Science Education, IBSE) donne plus d'espace à l'observation et à l'expérimentation et l'enfant, guidé par l'enseignant, est invité à construire ses propres connaissances.

Principes

• Partir de questions à fort pouvoir générateur d’études et de recherches

• Guider l’étude par un jeu de questions cruciales

• Exemples : Dans le domaine de la géométrie, « Comment déterminer la distance entre deux points inaccessibles ? » « Comment représenter un solide? »

Exemples clermontois

• Comment introduire le produit scalaire? Quelles questions?

• Comment introduire le calcul littéral? 

Quelles questions?

Des raisons d’être de l’algèbre 

• Comment représenter de façon concise et non ambiguë des programmes de calcul.

• Comment comparer des programmes de calcul. • Comment résoudre des équations .

• « l’algèbre élémentaire est la science des programmes de calcul (sur les nombres), et en particulier la science du calcul sur les programmes de calcul. »

Une AER en classe de cinquième

Ce sont surtout les raisons d'être de l'Algèbre qui nous ont guidé : l'enjeu est de faire comprendre aux élèves les raisons pour lesquelles on s'intéresse aux transformations d'écritures algébriques comme, par exemple, l'usage de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition

Brevet des collèges 2007

On donne un programme de calcul :

1) Écrire les calculs permettant de vérifier que si l'on fait fonctionner ce programme avec le nombre -2, on obtient 0.2) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.3) a) Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d'un autre nombre entier (les essais doivent figurer sur la copie).b) En est-il toujours ainsi lorsqu'on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul ? Justifier la réponse.4) On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ?

Choisir un nombre. Lui ajouter 4. Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi. Ajouter 4 à ce produit. Ecrire le résultat.

Représenter un calcul?

• Lîlâvati, Exemple 50. Jolie fille aux yeux mouvants, si tu connais la bonne méthode d'inversion, dis-moi quel est le nombre qui, multiplié par trois, auquel on ajoute ses trois quarts, divisé par sept et diminué de son tiers, multiplié par lui-même et ayant soustrait cinquante-deux du produit, ayant extrait la racine carrée de ce qui reste et ayant ajouté huit puis divisé par dix, donne deux. (Réponse : 28)

• Textes écrits, textes dits dans la tradition mathématique de l’Inde médiévale

Agathe Keller , CNRS, Equipe REHSEIS

Une AER en classe de cinquième

• La situation proposée devait conduire les élèves à comparer des programmes de calculs en travaillant uniquement l'expression littérale de ceux-ci. Il convenait donc que les élèves ne puissent pas se référer à la situation modélisée pour faire la comparaison. C'est ce qui nous a conduit à proposer non pas un mais deux problèmes que l'on découvrira ci-dessous.

• Une équation à résoudre : sans utiliser les règles de transposition , il s'agit cependant de faire percevoir aux élèves que certaines formes de programme de calcul sont plus opérantes que d'autres, une façon de plus de justifier l'étude des transformations algébriques.

Entrer dans l’algèbre en classe de cinquième

Introduire l’objet d’étude : les programmes de calcul

Les textes distribués aux élèves

• Sujet 1• On considère un carré recouvert de carreaux blancs avec tout

autour une rangée de carreaux grisés. Le  nombre de carreaux blancs sur le côté du carré central est variable.

1- a) Combien y a-t-il de carreaux grisés sur la figure 1 ci-dessus ? b) Combien y aurait-il de carreaux grisés si le nombre de

carreaux sur un côté du carré central était de 8 ? c) de 35 ? 2 - Ecris le programme de calcul que tu as utilisé pour trouver le

nombre de carreaux grisés de n’importe quelle figure semblable à celles de la première question.

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Les textes distribués aux élèves

• Sujet 2• On considère un carré recouvert de carreaux blancs avec tout

autour une rangée de carreaux grisés. Le  nombre de carreaux blancs sur le côté du carré central est variable.

1- a) Combien y a-t-il de carreaux grisés sur la figure 2 ci-dessus ? b) Combien y aurait-il de carreaux grisés si le nombre de

carreaux sur un côté du carré central était de 8 ? c) de 35 ? 2 - Ecris le programme de calcul que tu as utilisé pour trouver le

nombre de carreaux grisés de n’importe quelle figure semblable à celles de la première question.

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Les objectifs de l’AER

• Produire un programme de calcul.

Les objectifs de l’AER : ne pas se tremper d’enjeu!

• (a × 4) + 4

• (a + 2) × (a + 2) – ( a × a)

Une « équation »

• a) En utilisant un des programmes de calcul trouvés dans la classe, retrouver le nombre de carreaux sur le côté du carré blanc sachant que le nombre de carrés grisés est 228.

• b) Même question si le nombre de carrés grisés est 139.

• Les différents programmes trouvés en classe ont été écrits au tableau :

(c + 2 )2 – c × c ( a + 1 ) × 4

c × 4 + 4c × 2 + ( c + 2 ) × 2

( c × 2 ) + ( c × 2 ) + 4

En fin de parcours: la forme d’un programme de calcul donne des renseignements

• Usage pour les problèmes de constructions géométriques

• Inscrire un carré dans un triangle

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