Re

Im

Amortissement de la réponse croit

INSTABILITE

INSTABLE

t

s(t)

INSTABLE

t

s(t)

Pôle multipleINSTABLE

t

s(t)

Pôle simpleINSTABLE

t

s(t)

Pôle multipleINSTABLE

t

s(t)

t

s(t)

Pôle simpleQUASI INSTABLE

Pôles conjugués Pôles conjugués

Pôles conjugués

Pôles conjugués

STABLE

t

s(t)STABLE

t

s(t)

STABLE

t

s(t)

STABLE

t

s(t)

Pseudo-pulsation de la réponse croit

STABILITE

4-2-2 Allure de la réponse à l’impulsion de Dirac selon la position des pôles de la FTBF d’un système

Re

Im INSTABILITESTABILITE

Pôles conjugués0<Z<1

Cercle Iso-0

-Z0

Pôles à partie réelle positive

Z<0

Pôles imaginaire pur

Z=0

20 1 z

20 1 z 

Racine double = 0

Z=1

Racines réelles négativesZ>1

20 0   z 1 z

Droite Iso-z

Figure 2-2

-600 -500 -400 -300 -200 -100 0

-0.15

-0.10

-0.05

-0.00

0.05

0.10

0.15

O O X

O

Im

Re

100

P1 P1

Figure 2-3

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

TEMPS

S(t) Figure 2-5

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

TEMPS

S

S(t)

Figure 2-4Sans T1

Avec T1

-15-10 -5 0 5 10

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0

Im

Re

K croissant

LIEU D'EVANS pour K de 1 à 500

Figure 2-7

30

GBF en dBPoint « -1 »

E(p) H(p)

S(p)

t 0

s(t)

Ka.E0

t

e(t)

0 E0

T/2

Soit un système en boucle ouverte :

Déphasage de T/2 du signal + amplification de Ka

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

E(p) H(p)

S(p)

t 0

T

s(t)

Ka.E0

t

e(t)

0

T

E0

T/2 Stabilité dela chaînedirecte

Soit un système en boucle ouverte :

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

E(p) H(p)

S(p)

t 0

T

s(t)

Ka.E0

t

e(t)

0

T

E0

T/2

Lorsque l’on boucle un SLCI pour l’asservir, l’utilisation de cette boucle peut déstabiliser le système.

Bouclage

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

L’entrée de la chaîne directe a

changé, c’est maintenant

l’écart.

Lorsque l’on boucle un SLCI pour l’asservir, l’utilisation de cette boucle peut déstabiliser le système.

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

H(p) S(p)

t

s(t)

0

- +

ε(p) E(p)

ε (t)

t 0

t

e(t)

0

E0

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

H(p) S(p)

t

s(t)

0

- +

ε(p) E(p)

ε (t)

t 0

t

e(t)

0

E0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

H(p) S(p)

t

s(t)

0

- +

ε(p) E(p)

ε (t)

t 0

ε1 = E0

t

e(t)

0

E0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

ε(p) = S(p) – E(p)

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

H(p) S(p)

t

s(t)

0

- +

ε(p) E(p)

ε (t)

t 0

ε1 = E0

t

e(t)

0

E0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

T/2

S2 = Ka.ε1 Déphasage de T/2 du signal +

amplification de Ka

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

H(p) S(p)

t

s(t)

0

- +

ε(p) E(p)

ε (t)

t 0

ε1 = E0

t

e(t)

0

E0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

T/2

S2 = Ka.ε1 ε(p) = S(p) – E(p)

ε2 = - E0 - Ka.ε1

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

H(p) S(p)

t

s(t)

0

- +

ε(p) E(p)

ε (t)

t 0

ε1 = E0

t

e(t)

0

E0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

T/2

S2 = Ka.ε1 Déphasage de T/2 du signal +

amplification de Ka

ε2 = - E0 - Ka.ε1

S3 = Ka.ε2

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

H(p) S(p)

t

s(t)

0

- +

ε(p) E(p)

ε (t)

t 0

ε1 = E0

t

e(t)

0

E0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

T/2

S2 = Ka.ε1

ε(p) = S(p) – E(p) ε2 = - E0 - Ka.ε1

S3 = Ka.ε2

ε3 = E0 - Ka.ε2

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

H(p) S(p)

t

s(t)

0

T/2

S2 = Ka.ε1

- +

ε(p) E(p)

ε (t)

t 0

ε1 = E0

t

e(t)

0

E0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

ε2 = - E0 - Ka.ε1

S3 = Ka.ε2

ε3 = E0 - Ka.ε2

S4 = Ka.ε3

etc…

etc…

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

H(p) S(p)

t

s(t)

0

T/2

S2 = Ka.ε1

- +

ε(p) E(p)

ε (t)

t 0

ε1 = E0

t

e(t)

0

E0

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

ε2 = - E0 - Ka.ε1

S3 = Ka.ε2

ε3 = E0 - Ka.ε2

S4 = Ka.ε3

etc…

etc…

L’écart tend en valeur absolue vers :

C’est une suite qui converge ou diverge suivant les valeurs de Ka

Par conséquent si Ka ≥ 1, la suite tend vers +∞ et le signal de sortie également.

Il y a donc instabilité après bouclage si Ka ≥ 1.

)Ka Ka Ka Ka .(1E n320

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

E(p) H(p)

S(p)

t 0

T

s(t)

Ka.E0

t

e(t)

0

T

E0

T/2 Bouclage

Stabilité dela chaînedirecte

Instabilité

après bouclage

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

L’existence de la boucle de retour impose d’étudier la stabilité des systèmes asservis :

• A partir de critères analytiques sur le polynôme caractéristique de la FTBF du système.

• A partir de critères graphiques sur les lieux de transfert de la FTBO du système.

Sensibilisation à l’instabilité d’un système après bouclage.

(Cette introduction ne figure pas dans le polycopié de cours)

Point « -1 »

laissé à gauchePassage par le point« -1 »

Point « -1 »

laissé à droite

Stable Cas limite instable

Instable

Point « -1 » laissé à droite

Passage par le point« -1 »

Point « -1 » laissé à gauche

Systèmestable

Cas limite instable Instable

(rad/s)

(rad/s)

Système instable

φ (°)0

GdB (dB)

-180°

0 (rad/s)

φ (°)

0

GdB (dB)

(rad/s)

-180°

(rad/s)

(rad/s)

0

φ (°)0

GdB (dB)

-180°

0

φ (0dB )<180°

Cas limite instable

φ (0dB ) = 180°

0dB

0dB

0

φ (0dB )>180°

0dB

Système stable

(rad/s)

(rad/s)

Système instable

φ (°)0

GdB (dB)

-180°

0 (rad/s)

φ (°)

0

GdB (dB)

(rad/s)

-180°

(rad/s)

(rad/s)

0

φ (°)0

GdB (dB)

-180°

0

φ (0dB )<180°

Cas limite instable

φ (0dB ) = 180°

0dB

0dB

0

φ (0dB )>180°

0dB

Système stable

(rad/s)

(rad/s)

Système instable

φ (°)0

GdB (dB)

-180°

0 (rad/s)

φ (°)

0

GdB (dB)

(rad/s)

-180°

(rad/s)

(rad/s)

0

φ (°)0

GdB (dB)

-180°

0GdB(ω-180°) > 0dB

Cas limite instable

0dB

0

Système stable

-180°

GdB(-180°) = 0dB

-180°

-180°

GdB(-180°) < 0dB

(rad/s)

(rad/s)

Système instable

φ (°)0

GdB (dB)

-180°

0 (rad/s)

φ (°)

0

GdB (dB)

(rad/s)

-180°

(rad/s)

(rad/s)

0

φ (°)0

GdB (dB)

-180°

0GdB(ω-180°) > 0dB

Cas limite instable

0

Système stable

-180°

GdB(-180°) = 0dB

-180°

-180°

GdB(-180°) < 0dB

-180°φ (0dB ) = 180°

0dB

φ (0dB )<180°

0dB

φ (0dB )>180°

0dB

0dB

-180°

(rad/s)

GdB (dB)Marges positives Système stable

0dB

φ (°)

0° (rad/s)-180°

φ(0dB)

Mφ

MG

20log[G(-180°)]

→0

GdB(FTBO(jω))

Point critique (-1,0)

(°)

R

I

→0

Point critique (-1,0)

MG

-180°0dB0°

Marge de gain sur les diagrammes de Nyquist et de Black

20log[G(-180°)]

G(-180°)

MG = -20.log [G(-180°)]

R

I

→0

→0

GdB(FTBO(jω))

Système stable

(°)Mφ

Point critique (-1,0)

Marge de phase sur les diagrammes de Nyquist et de Black

φ(0dB)

0dB

-180°

Point critique (-1,0)

Mφ

φ(0dB)

et le comportement de la FTBF

- en temporel

Application à un système dont la FTBO est d’ordre 2 et de classe 1.

Feuille de synthèse

Relation entre la FTBO (courbes de Hall)

- en harmonique

Gain GBO infini

MRésonance

BF dB rQ    20log T( )     20log T(0)

rBF

T( )Q    

T(0)

BF dB Q    2,3     0  A.N. :   2 dB  ,3 

BF 2

1Q    

2z 1   z  

z 0,42

M 45 Mz   

100

z 0,45

T(0)     1

2

zD1%   e

1 z

Smax   1,22

BFà 2,3dB

pour 0

M ?

D1% 0,22

Gain (dB)

2,3

20BFQ    10 1,3 

Gain GBO infini

MRésonance

BF dB rQ    20log T( )     20log T(0)

rBF

T( )Q    

T(0)

BF dB Q    2,3     0  A.N. :   2 dB  ,3 

BF 2

1Q    

2z 1   z  

z 0,42

M 45 Mz   

100

z 0,45

T(0)     1

2z

1 zD1%   e

Smax   1,22

BFà 2,3dB

pour 0

D1% 0,22

Gain (dB)

2,3

20BFQ    10 1,3 

M 60

FIN