AM1outils Exos4 c
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1 TRANSFORMATION DE FOURIER (Corrig´ e des exercices ) 1. D´ eterminer les transform´ ees de Fourier des fonctions : a) t → 1I [-T,T ] (t), b) t → sin t t , c) t → e -|t|/T , d) t → 1 π 1 1+ t 2 . a) F (1I [-T,T ] (t))(ν )= T -T e -2iπνt dt = e -2iπνt -2iπν T -T = 1 πν e 2iπT ν - e -2iπT ν 2i = sin(2πTν ) πν . b) On sait que 1I [-T,T ] (t)= +∞ -∞ sin(2πTν ) πν e 2iπtν dν . En prenant T = 1 2π , on a donc 1I [- 1 2π , 1 2π ] (t)= 1 π +∞ -∞ sin ν ν e 2iπtν dν = 1 π F sin x x (-t) donc F sin x x (t)= π 1I [- 1 2π , 1 2π ] (-t) et par parit´ ede1I [- 1 2π , 1 2π ] , on a donc F sin x x (ν )= π 1I [- 1 2π , 1 2π ] (ν ). c) F (e -|t|/T )(ν )= 0 -∞ e t T -2iπνt dt+ +∞ 0 e - t T -2iπνt dt = e t T -2iπνt 1 T - 2iπν 0 -∞ + e - t T -2iπνt - 1 T - 2iπν +∞ 0 donc F (e -|t|/T )(ν )= T 1 - 2iπTν + T 1+2iπTν = 2T 1+4π 2 ν 2 T 2 . d) On sait que e -|t|/T = +∞ -∞ 2T 1+4π 2 ν 2 T 2 e 2iπνt dν . En prenant T = 1 2π , on a alors e -2π|t| = +∞ -∞ 1 1+ ν 2 e 2iπνt dν = F 1 π 1 1+ x 2 (-t) et, comme t → e -2π|t| est paire, On a donc F 1 π 1 1+ x 2 (ν )= e -2π|ν| . 2. Soit f (x)= e -πx 2 . D´ eterminer ( ˆ f (ν )) et en d´ eduire une ´ equation diff´ erentielle en ˆ f que l’on r´ esoudra. [On rappelle que IR e -πx 2 dx =1] f (x)= -2πxf (x) donc F (f )= -2πF (tf (t)) (existe car t → tf (t) ∈ L 1 ). Il vient alors (2iπν ) ˆ f (ν )= -2π 1 -2iπ ( ˆ f ) (ν ), soit ( ˆ f ) (ν )+2πν ˆ f (ν ) = 0. La solution g´ en´ erale de cette ´ equation s’´ ecrit ˆ f (ν )= Ke -πν 2 . Sachant que K = ˆ f (0) = IR e -πx 2 dx = 1, on en d´ eduit ˆ f (ν )= e -πν 2 . 3. Soit l’´ equation int´ egrale, pour 0 <a<b et f ∈ L 1 (IR) : IR f (t) (x - t) 2 + a 2 dt = 1 x 2 + b 2 (*) Exprimer (*) sous forme d’une ´ equation de convolution, d´ eterminer ˆ f (ν ) et en d´ eduire f (t).
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1TRANSFORMATION DE FOURIER (Corrige des exercices )
1. Determiner les transformees de Fourier des fonctions :
a) t 7 1I[T,T ](t), b) t 7sin tt
, c) t 7 e|t|/T , d) t 7 1pi
11 + t2
.
a) F( 1I[T,T ](t))() = TT
e2ipit dt =[e2ipit
2ipi]TT
=1pi
e2ipiT e2ipiT2i
=sin(2piT)
pi.
b) On sait que 1I[T,T ](t) = +
sin(2piT)pi
e2ipit d. En prenant T =12pi
, on a donc
1I[ 12pi
, 12pi
](t) =1pi
+
sin
e2ipit d =1piF(sinxx
)(t) donc F
(sinxx
)(t) = pi 1I[ 1
2pi, 12pi
](t)
et par parite de 1I[ 12pi
, 12pi
], on a donc F(sinxx
)() = pi 1I[ 1
2pi, 12pi
]().
c) F(e|t|/T )() = 0
etT2ipit dt+
+0
etT2ipit dt =
[etT2ipit
1T 2ipi
]0
+
[e
tT2ipit
1T 2ipi
]+0
doncF(e|t|/T )() = T
1 2ipiT +T
1 + 2ipiT=
2T1 + 4pi22T 2
.
d) On sait que e|t|/T = +
2T1 + 4pi22T 2
e2ipit d. En prenant T =12pi
, on a alors
e2pi|t| = +
11 + 2
e2ipit d = F(1pi
11 + x2
)(t) et, comme t 7 e2pi|t| est paire, On a donc
F(1pi
11 + x2
)() = e2pi||.
2. Soit f(x) = epix2. Determiner (f()) et en deduire une equation differentielle en f que
lon resoudra. [On rappelle que
IRepix
2dx = 1]
f (x) = 2pixf(x) donc F(f ) = 2piF(tf(t)) (existe car t 7 tf(t) L1).Il vient alors (2ipi)f () = 2pi 12ipi (f)
(), soit (f)()+2pif () = 0. La solution generale
de cette equation secrit f() = Kepi2. Sachant queK = f(0) =
IR
epix2dx = 1, on en deduit
f() = epi2.
3. Soit lequation integrale, pour 0 < a < b et f L1(IR) :IR
f(t)(x t)2 + a2 dt =
1x2 + b2
()
Exprimer () sous forme dune equation de convolution, determiner f() et en deduire f(t).
-
2Posons gc(t) =1
t2 + c2. On a alors f ga = gb donc f .ga = gb.
Grace aux tables de transformees de Fourier, on a1
pi(1 + t2)() = e2pi||, dou`
1c2(1 + t2)
() =pi
c2e2pi|| et
1
c2(1 +
(tc
)2)() = c. pic2 e2pi|c| = pic e2pi|c|On a alors f =
gbga
=a
be2pi(ba)||.
2) On proce`de par transformees inverses successives :a
be2pi(ba)|| a
b
1
pi
(1 +
(t
ba)2) 1b a
dou` f(t) =a(b a)
b
1pi((b a)2 + t2) .
4. Soit f : IR C integrable et f sa transformee de Fourier.Pour tout T > 0 et pour tout t IR, on definit fT (t) =
TT
(1 |x|
T
)e2ipitxf(x) dx.
1) Demontrer que fT (t) =1
pi2T
+0
sin2(piTs)s2
(f(t+ s) + f(t s)) ds.
2) Calculer la valeur de I = +0
sin2 uu2
du.
3) Supposons f bornee. Montrer quen tout point t IR ou` f(t+) et f(t) existent, on a :lim
T+fT (t) =
12(f(t+) + f(t)).
1) fT (t) = TT
(1 |x|
T
)e2ipitx
IR
e2ipixuf(u) du dx. On peut appliquer le theore`me de
Fubini car TT
IR
(1 |x|
T
)|f(u)| du dx = T
IR|f(u)| du est fini. On a alors, avec t u = s,
fT (t) =IR
( TT
(1 |x|
T
)e2ipi(tu)x dx
)f(u) du =
IR
( TT
(1 |x|
T
)e2ipisx dx
)f(t s) ds
Puis TT
(1 |x|
T
)e2ipisx dx =
T0
(1 x
T
)e2ipisx dx+
0T
(1 +
x
T
)e2ipisx dx
= T0
(1 x
T
)e2ipisx dx
0T
(1 x
T
)e2ipisx dx
= 2 T0
(1 x
T
)cos(2pisx) dx
=[(
1 xT
) sin(2pisx)pis
]T0
+1
Tpis
T0
sin(2pisx) dx
= 12pi2Ts2
[ cos(2pisx)]T0 =1 cos 2pisT
2pi2Ts2=
sin2 pisTpi2Ts2
-
3On parvient ainsi a` fT (t) =IR
sin2 pisTpi2Ts2
f(t s) ds. Or avec s s, 0
sin2 pisTpi2Ts2
f(t s) ds = 0+
sin2 pisTpi2Ts2
f(t+ s) d(s) = +0
sin2 pisTpi2Ts2
f(t+ s) ds
et fT (t) = +0
sin2 pisTpi2Ts2
(f(t+ s) + f(t s)) ds .
2) A
sin2 uu2
du =[sin
2 u
u
]A
+ 2 A
sinu cos uu
du 0,A+
+0
sin(2u)u
du et, avec le
changement de variable t = 2u, +0
sin(2u)u
du = +0
sin tt
dt, donc I =pi
2.
3) Dapre`s 1) et 2), fT (t) 12(f(t+) + f(t)) =
1pi
+0
gT (u, t) du ou`
gT (u, t) =sin2 uu2
(f(t+
u
piT
)+ f
(t u
piT
) f(t+) f(t)
)lim
T+gT (u, t) = 0 et |gT (u, t)| 4M sin
2 u
u2ou` M = sup
I|f |. On conclut alors grace au theore`me
de convergence dominee de Lebesgue.
5. Resoudre lequation de Laplace2
x2+
2
y2= 0 ou` y > 0, avec
x 0 et 0 quand
(x, y) +, (x, 0) = 1 pour |x| 1 et (x, 0) = 0 pour |x| > 1. [Utiliser la transformee deFourier par rapport a` x]
Soit (, y) =IR
(x, y)e2ipix dx. Alors
+
2(x, y)y2
e2ipix dx =2
y2
( +
(x, y)e2ipix dx)=
2
y2(, y)
Dautre part, +
2
x2(x, y)e2ipix dx peut etre integre par parties
+
2
x2(x, y)e2ipix dx =
[
x(x, y)e2ipix
]+
+ 2ipi +
xe2ipix dx
= 2ipi[(x, y)e2ipix
]+ 4pi22
+
(x, y)e2ipix dx
= 4pi22(x, y)On a utilise la condition que et sa derivee partielle par rapport a` x tendent vers 0 quand
x . Alors si on prend la transformee de Fourier de lequation de Laplace, on obtient +
(2
x2+2
y2
)(x, y)e2ipix dx = 0
soit2
y2(, y) 4pi22(, y) = 0.
-
4Comme 0 pour y grand, la solution est
(, y) = Ce2pi||y
On applique alors la condition pour y = 0
(, 0) = C = +
(x, 0)e2ipix dx = 11
e2ipix dx =e2ipi e2ipi
2ipi=
sin 2pipi
et donc C =sin 2pipi
et (, y) =sin 2pipi
e2pi||y.
Or on a e2pi||y = F(y
pi
1t2 + y2
)() et
sin 2pipi
= F((x, 0))().On sait que F(F ).F(G) = F(F G) donc
(x, y) =y
pi
11
d
(x )2 + y2 =1pi
(Arctan
(x 1y
)+Arctan
(x+ 1y
))
The`me detude : resolution de lequation de la chaleur
Objectif : Etude de levolution de la temperature a` linterieur dune tige rectiligne, homoge`ne,de section petite par rapport a` la longueur que lon suppose infinie.
On note u(x, t) la temperature de la tige en labscisse x au temps t. Lequation aux deriveespartielles associee a` ce mode`le est lequation de la chaleur :
u
t= a2
2u
x2
(avec a2 =
cou` est la conductivite de la tige, sa masse volumique et c sa chaleur specifique.)
On va resoudre ce proble`me dans le cas ou` la temperature est soumise a` la condition initialeu(x, 0) = (x), ou` est une fonction bornee et integrable sur IR. On suppose u de classe C2 parrapport a` x, et de classe C1 par rapport a` t.
1) Appliquer la transformee de Fourier par rapport a` x, aux deux membres de lequation de lachaleur. En deduire une equation differentielle verifiee par u(x, t). La resoudre.
2) Exprimer u(x, t) sous forme dun produit de convolution.
1) On pose u(, t) =
u(x, t)e2ipix dx. On a alors
u
t(, t) =
u
t(x, t)e2ipix dx = a2
2u
x2(x, t)e2ipix dx
= a2([
u
x(x, t)e2ipix
]+
+ 2ipi
u
x(x, t)e2ipix dx
)
= 4a2pi22
u(x, t)e2ipix dx = 4a2pi22u(, t)
-
5Si on pose g(t) = u(, t), on a doncg(t)g(t)
= 4a2pi22 = (ln g)(t), dou` ln g(t) =4a2pi22t+ c et g(t) = Ke4a2pi22t = u(, t) avec, pour t = 0, u(, 0) = K = ().
Ainsi, u(, t) = () e2pi2(2a2t)2 .
On reconnat e2pi222 avec = a
2t, et cest F
(1
2apit
ex2
4a2t
)().
On utilise enfin la propriete F(F )F(G) = F(F G), puis linverse de la transformee deFourier pour conclure que :
u(x, t) =1
2apit
(s)e
(xs)24a2t ds.
![Gamme de produits - bonfiglioli.fr · 9 Type Couple [Nm] C 05 C 12 C 22 C 32 C 36 C 41 C 51 C 61 C 70 C 80 C 90 C 100 7200 4000 2300 1600 1000 600 450 300 200 100 45 12000 Lorsque](https://static.fdocuments.fr/doc/165x107/5c644d3b09d3f26b1f8c80a5/gamme-de-produits-9-type-couple-nm-c-05-c-12-c-22-c-32-c-36-c-41-c-51-c.jpg)
