Allocation stratégique d’actifs sousSolvabilité 2 dans le cadre de l’assurance vie

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AbstractKeywords

Life insurance, assets, liabilities, strategic allocation, Solvency 2, Solvency Capital Re-quirement, best estimate, coverage ratio, real world / risk neutral model Vasice , Black-Scholes model of Heston, Merton model, model Health, Jarrow and Morton model Savings,risk indicators, performance indicators.

Life insurance is today one of the favorite French investments. Around 41% of Frenchhave subscribe a life insurance to an estimated amount of 1.4 trillion euros of total outs-tanding at end-June 2011 (FFSA and INSEE).

The management of these assets requires strict standards to ensure policyholders thebest financial security. It is in this context that, since 2006, Solvency 2 aims to create aninnovative and harmonized prudential regime at European level. The aim of this reform isto place the risk in the heart of corporate strategy in order to ensure optimum protectionto policyholders.

In the current standards of solvency, the capital requirements required for an insurer,is simply measured as a factor of the mathematical provision. Then the Solvency 2 reformimplements calculations of the technical provisions and capital requirements taking intoaccount the specific risk profile to which is submitted each insurer.

This new reform encourages many insurers to question the impact of their strategicallocation and especially the consequences of their equity exposure concerning their levelof solvency ; making some of them starting to change their investment structure.

Thus the objective of this thesis is to study the development of an optimal strategicasset allocation which in the one hand maximizes the performance of the portfolio and inthe other hand minimizes the risks and insurer ?s capital requirements.

Unlike the modern portfolio theory of Markowitz, we are not going to try to optimizethe yield and the average risk of the asset portfolio, but we are going to try to optimizethe indicators of profitability and risks specifically to the life insurance business.

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RésuméMots clés

Assurance vie, actifs, passifs, allocation stratégique, Solvabilité 2, Solvency CapitalRequirement, Best estimate, ratio de couverture, univers réel/risque neutre, modèle deVasicek, modèle de Black et Scholes, modèle de Heston, modèle de Merton, modèle deHealth, Jarrow et Morton, modèle Épargne, indicateurs de risque, indicateurs de rende-ment.

L’assurance vie représente aujourd’hui l’un des placements préféré des français. En ef-fet environ 41 % des français ont souscrit une assurance vie pour un encours global estiméà un peu moins de 1400 milliards d’euros à fin juin 2011 (source FFSA et INSEE).

La gestion de ces encours nécessite des normes strictes afin de garantir aux assurésla meilleure sécurité financière possible. C’est dans ce contexte que, depuis 2006, se meten place la réforme Solvabilité 2 qui vise à instaurer un régime prudentiel et harmonisénovateur, au niveau européen. Le but de cette réforme est de placer le risque au centre dela stratégie d’entreprise pour garantir aux assurés une protection optimale.

Dans les normes actuelles de solvabilité, les besoins en capitaux propres, nécessairesà la bonne santé financière de l’assureur, se mesurent de façon déterministe par simpleapplication forfaitaire sur les éléments du bilan et des comptes de résultat. La réformeSolvabilité 2 met en place des calculs de provisions techniques et des exigences de fondspropres en tenant en compte du profil de risque spécifique auquel est soumis chaque as-sureur.

Cette nouvelle réforme pousse bon nombre d’assureurs à se questionner sur l’impactde leur allocation stratégique et plus particulièrement sur les conséquences de leur expo-sition action sur leur niveau de solvabilité ; au point que certains d’entre eux commencentà modifier leur structure de placement.

Ainsi l’objectif de ce mémoire est d’étudier la mise en place d’une allocation straté-gique d’actifs optimale, afin de maximiser la performance du portefeuille et également deminimiser les risques et les besoins en fonds propres de l’assureur.

A la différence de la théorie moderne du portefeuille (Markovitz), nous ne recherchonspas l’optimisation du rendement et du risque moyen du portefeuille d’actifs, mais desindicateurs de rentabilité et de risques propres à l’activité d’assurance vie.

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RemerciementsJe tiens à remercier tout d’abord Thibault JACOB et Arnaud LEMÉNAGER, res-

pectivement directeur du département Risque et chef du service ALM au sein de NatixisAssurances pour m’avoir guidé au cours de la réalisation de ce mémoire, pour tous leursconseils et leur disponibilité.

Je remercie également l’ensemble des collaborateurs de Natixis Assurances qui m’ontaidé à travailler sur ce mémoire et en particulier le service gestion Actif Passif :

– Christophe LE PAPE– Célia CALLEN– Morgan VERDOUX– Lionel ALDEBERT– Anthony DARNÉ– Sebastien LE DARZ MARANGONI– Maxime DRUAIS– Nicolas DENOJEAN– Adrien LE MENN– Odile BRETHENOUX– Assia OUDNI– Stéphanie RALAIARINOSYJe remercie l’ISFA pour ces trois années de riches enseignements.

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Table des matièresAbstract 2

Résumé 3

Remerciements 4

Introduction 7

I Solvabilité 2 et risques de marché dans le cadre de l’assurancevie 8

1 Définition de l’assurance vie 81.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Fin de vie du contrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 La réforme Solvabilité 2 162.1 Description de la réforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Best estimate et Risk margin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Solvency Capital Requirement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Ratio de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Calibrage des risques de marché sous Solvabilité 2 en formule standard 333.1 Risque Taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Risque Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Risque Immobilier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Risque de change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Risque de crédit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6 Risque de concentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.7 Prime d’illiquidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

II Présentation du modèle Épargne utilisé et de la création desscénarios économiques 49

1 Structure des Actifs dans le modèle Épargne 491.1 Modélisation générique des actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.2 Obligation à taux fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.3 Obligation à taux variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.4 Obligation indexée inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.5 Actifs indiciels, R.332-20 : Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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2 Structure du passif dans le modèle Épargne 562.1 Description de l’écoulement du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2 Algorithme de taux servis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Mise en place des scénarios économiques 623.1 Univers risque neutre et monde réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Modèle utilisé pour la poche Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3 Modèle utilisé pour la poche Taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4 Modèle utilisé pour la poche Immobilier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

III Mise en place d’une allocation stratégique d’actifs 76

1 Contexte de l’étude et hypothèses 761.1 Description du périmètre de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.2 Description de la démarche de l’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2 Recherche d’une allocation optimale par l’utilisation des indicateursclassiques 822.1 Résultats indicateurs vision assurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.2 Résultats indicateurs vision actionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.3 Synthèse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3 Analyse de l’impact de Solvabilité 2 sur la gestion du portefeuille obli-gataire 883.1 Description des hypothèses retenues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.2 Étude de la sensibilité du SCR aux caractéristiques obligataires . . . . . . 893.3 Étude du couple rendement/SCR taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.4 Synthèse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4 Recherche d’une allocation optimale par l’utilisation d’indicateurs propresà Solvabilité 2 984.1 Projection à partir de la situation initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.2 Projection à partir d’une situation initiale modifiée . . . . . . . . . . . . . 1014.3 Taux de couverture Solvabilité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.4 Synthèse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Conclusion 111

Bibliographie 112

Annexe 113

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IntroductionFace à l’importance du rôle économique et social joué par des assurances et dans le

cadre d’un marché unique commun, une nouvelle réforme de solvabilité européenne a étémise en place : Solvabilité 2.

Faisant suite à la réforme Solvabilité 1, jugée insuffisante à cause de sa vision purementfactorielle (besoin de solvabilité calculé en pourcentage des provisions mathématiques) peusensible aux risques et dont l’harmonisation de la méthodologie de calcul est remise encause, la réforme Solvabilité 2 a pour objectif d’améliorer le système de solvabilité euro-péen en intégrant tous les risques qui pèsent sur les sociétés d’assurances. Cette nouvelleréforme permet aux autorités de contrôle d’évaluer "de façon plus juste" la solvabilité dechaque assureur, grâce à des normes harmonisées qui mettent en place des principes degestion de risques et adaptent l’exigence de fonds propres au profil de risque de chaqueassureur.

La littérature actuarielle est très prolixe en matière d’optimisation d’allocation d’actifsdes fonds généraux d’assurance. Il est vrai que le sujet est particulièrement complexe. Lagestion d’actifs des assureurs vie doit en effet concilier trois objectifs distincts dans unenvironnement économique fluctuant :

- Servir aux clients un taux de rendement compétitif- Dégager un résultat (social et consolidé) en rapport avec les fonds propres immobilisés- Garantir la solvabilité de la compagnie d’assurance

Si les engagements des assurés et la solvabilité des entreprises sont aujourd’hui éva-lués selon les normes Solvabilité 1 permettant un pilotage relativement "aisé" du bilandes compagnies, la nouvelle réforme Solvabilité 2 va introduire une forte volatilité de lasolvabilité de l’assureur.

Afin de réduire cette volatilité, les assureurs vie vont principalement devoir agir surleurs allocations d’actifs tout en essayant de garder une certaine souplesse sur leur gestionfinancière. L’objectif de notre étude est de réfléchir à l’impact de la réforme Solvabilité 2sur la stratégie d’allocation d’actifs pour les fonds généraux en assurance vie, en conciliantles objectifs poursuivie par l’assureur : servir un taux compétitif aux assures et limiter lavolatilité du ratio de couverture en optimisant le couple rendement/risque.

Après avoir présenté la réforme Solvabilité 2, le modèle utilisé et l’ensemble des hy-pothèses de l’étude, nous analyserons les variations du taux de couverture tel que définipar la réforme Solvabilité 2 en fonction de différentes allocations d’actifs afin d’essayerd’identifier une allocation d’actif efficiente, reposant sur les outils et hypothèses retenues.

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Première partie

Solvabilité 2 et risques de marché dansle cadre de l’assurance vie1 Définition de l’assurance vie

1.1 Définition

L’étude réalisée tout au long de ce mémoire a été effectuée dans le cadre de contratsépargne en assurance vie, nous allons donc commencer par définir ce qu’est un contratd’épargne en assurance vie.

L’épargne correspond à la partie du revenu disponible des ménages qui n’est pas consa-crée à une consommation immédiate. Épargner revient donc tout simplement à placer cesurplus d’argent non consommé. Cet argent devient indisponible pour les paiements im-médiats et la consommation courante.

Le placement peut être réalisé sur de nombreux produits différents proposés par unétablissement financier ou un assureur. Le rendement de ce type de contrat varie en fonc-tion du type de placement choisi, de la durée d’immobilisation ou du taux de rémunérationfixé par le contrat. L’épargne est donc, en sciences économiques, considérée comme uneconsommation différée dans le temps. Épargner permet de répondre à un grand nombre debesoins différents comme la constitution d’un capital retraite, la valorisation d’un capitaldisponible, protection contre un risque futur, transmission un capital...

Il existe différents types de produits d’épargne. On distingue les livrets d’épargne, lesépargnes retraite, les épargnes liées au logement ou les épargnes long terme type assurancevie. Nous nous intéressons par la suite particulièrement aux contrats d’épargne long termetype assurance vie.

Un contrat d’assurance vie est une assurance par laquelle un assureur s’engage auprèsde l’adhérent (assuré), moyennant le paiement de prime(s), à verser un capital ou unerente en cas de vie ou en cas de décès d’une personne désignée (l’assuré) au profit del’adhérent ou d’un tiers (le bénéficiaire).

1.2 Fonctionnement

Dans le cadre d’une assurance vie, le contrat d’épargne est considéré par certainscomme un placement financier, proche d’un système de capitalisation. Cependant il pos-sède malgré tout un facteur d’aléa nécessaire à la définition de tout contrat d’assurance.L’aléa, dans les contrats d’assurance vie réside dans la survie ou le décès de l’assuré.

L’assurance vie s’appuie sur une capitalisation viagère. Depuis le moment de la si-gnature et durant toute la vie du contrat, le souscripteur ne perçoit pas de revenus. Ilpeut dans certains cas percevoir le versement d’une partie des intérêts ou d’une éventuelleparticipation aux bénéfices. Les primes versées par le souscripteur sont investies et le fruit

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de ces investissements est majoritairement réinvesti.

La capitalisation financière en assurance vie s’appuie sur l’utilisation d’un taux d’in-térêt technique défini dans l’article A.132-1 du Code des Assurances (Article disponibleen Annexe dans la partie Article du code des Assurances). Cet article impose que « lestarifs pratiqués par les entreprises pratiquant des opérations mentionnées au 1 de l’articleL. 310-1 (c’est-à-dire les entreprises qui contractent des engagements dont l’exécutiondépend de la durée de la vie humaine, à l’exception des sociétés de secours mutuels etdes institutions de prévoyance publiques ou privées régies par des lois spéciales) doiventêtre établis d’après un taux au plus égal à 75% du taux moyen des emprunts de l’Étatfrançais calculé sur une base semestrielle sans pouvoir dépasser, au-delà de huit ans, leplus bas des deux taux suivants : 3,5 % ou 60 % du taux moyen indiqué ci-dessus. Pourles contrats à primes périodiques ou à capital variable, quelle que soit leur durée, ce tauxne peut excéder le plus bas des deux taux suivants : 3,5 % ou 60 % du taux moyen indiquéci-dessus ». Le TME désigne le taux moyen des emprunts d’État (calculé sur une basesemestrielle) qui est « le plus élevé des deux taux suivants : taux à l’émission et taux derendement sur le marché secondaire ».

Les montants épargnés peuvent être investis par l’assurance dans plusieurs types desupports en fonction des préférences de l’assuré ou de la conjoncture économique.

Les contrats monosupport Euros

Un contrat d’assurance vie monosupport euros est un contrat dans lequel l’épargneest investie sur un seul type de placement. Il s’agit d’un contrat en euros, au sein duquell’épargne est investie majoritairement, par l’assureur, sur des actifs tels que des obliga-tions, des emprunts d’État ou des bons du Trésor, qui sont des produits sûrs et peusensibles aux aléas des marchés. Au sein d’un contrat monosupport euros, l’épargne in-vestie est intégrée à l’actif général de l’assureur, qui s’en porte garant. Le capital peutégalement être intégré à l’actif cantonné de l’assureur : l’épargne est ainsi gérée à part desautres contrats proposés par la compagnie.

En plus de cette garantie en capital, un taux minimal de rémunération (le TAG) estgaranti en cours d’année par l’assureur. En fin d’année, l’assureur verse une participationaux bénéfices liée au rendement de l’actif général ou de l’actif cantonné selon le cas.

Les contrats monosupports euros sont surtout utilisés pour sécuriser de l’épargne (carils mettent en place une garantie en capital). Cependant ils n’offrent pas le choix d’arbi-trer entre divers placements pour dynamiser l’épargne en l’investissant sur des unités decompte, comme il est possible de le faire au sein des contrats multisupports. Le souscrip-teur ne peut modifier l’orientation de son épargne en fonction de l’évolution des marchésfinanciers ou de ses objectifs personnels.

Depuis 2005 et à cause d’une baisse des rendements des contrats monosupports euros,les pouvoirs publics ont donné la possibilité de transférer l’épargne investie en contratsmono supports vers des contrats multisupports, au travers de l’amendement Fourgous.

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Les contrats en unité de compte

Les contrats en unité de compte contrairement aux contrats monosupport euros sontdes contrats qui n’ont pas comme référence une monnaie mais une unité de compte. Lesprincipales unités de compte sont adossées aux actions, aux obligations et à l’immobilier.Elles évoluent en fonction des performances de leurs marchés de référence. Les contratsen unité de compte sont souvent choisis par des investisseurs à long terme qui cherche desplacements diversifiés et qui acceptent les risques inhérents à la volatilité des marchés.

Ces contrats offrent souvent des garanties d’assurance complémentaires, dites « ga-ranties plancher ». Les bénéficiaires reçoivent ainsi, en cas de réalisation de l’événementcouvert (décès, invalidité, survie au terme,...), un capital minimal garanti. Ces garantiesont la particularité de faire porter aux assureurs, directement au passif de leur bilan, deuxtypes de risque. D’une part, un risque traditionnel d’assurance. D’autre part, un risquefinancier lié à la volatilité des unités de compte : le capital sous risque dépend en effet deleur valeur de marché.

Les contrats multisupports

Les sommes versées sur un contrat assurance vie multisupports peuvent être investiesdans des actifs financiers de tous types (le plus souvent ce sont des opcvm, sicav ou fondscommun de placement). C’est l’assureur du contrat qui décide les supports éligibles aucontrat d’assurance vie qu’il propose. Le capital n’est pas garanti, l’évolution de l’épargnedépendant du choix des supports. A noter que le fonds en euros peut également être choisicomme support dans un contrat d’assurance vie multisupports.

Il s’agit du contrat le plus courant : la quasi-totalité des contrats d’assurance viecommercialisés aujourd’hui sont des contrats multissupports. Ces contrats comportentplusieurs supports ou compartiments, en euros et/ou en unité de compte, entre lesquelssont réparties les cotisations versées. Le souscripteur peut à tout moment modifier larépartition de son épargne entre les supports en procédant à un arbitrage.

1.3 Caractéristiques

Alimentation du contrat d’épargne

Le contrat d’assurance vie prend effet dès le versement de la première prime (oucotisation). La date du paiement de la cotisation est fixée librement par l’assureur etle souscripteur du contrat. La cotisation contractuellement prévue peut être unique oupériodique (versement annuel, trimestriel, mensuel...).

Contrairement aux autres contrats d’assurance classiques, dans le cas de l’assurancevie, le souscripteur du contrat n’est pas obligé de payer la prime de son contrat. Lepaiement des cotisations étant facultatif, l’assureur ne peut contraindre le souscripteur às’en acquitter. Il faut distinguer selon que le contrat est à versements libres ou périodiques.

Contrat à versements libres

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S’il est prévu au contrat que les versements seront libres, c’est-à-dire que le contratlaisse à l’assuré le choix du montant des cotisations et de leurs dates de versement, l’as-sureur ne pourra évidemment pas mettre en demeure le souscripteur d’effectuer un ver-sement. Cependant dans certains contrats d’assurance vie le souscripteur du contrat estobligé d’effectuer au moins un versement par an.

Contrat à versements périodiques

Pour les contrats engageant le souscripteur à verser des cotisations périodiques à desdates fixes (anniversaire de la signature du contrat ou début d’année calendaire), une pro-cédure est prévue au terme de laquelle, en cas de non-paiement, le contrat peut être réduitou résilié comme décrit dans l’article L. 132-20 du code des assurances ((Article disponibleen Annexe dans la partie Article du code des Assurances). Le choix de la réduction ou dela résiliation du contrat dépend de l’existence ou non d’une provision mathématique. Lesprovisions mathématiques représentent les primes nettes de frais reçues par l’assureur etmajorées des intérêts. Les assurances temporaires décès n’ont pas, par exemple, de provi-sion mathématique car la prime versée se consume tout au long de l’année pour couvrirle risque décès de l’assuré.

- La résiliation du contrat : lorsqu’une prime ou une fraction de prime n’est pas payéedans les dix jours de son échéance et qu’aucune provision mathématique ne s’est consti-tuée, l’assureur adresse au souscripteur une lettre recommandée par laquelle il l’informequ’à l’expiration d’un délai de quarante jours à dater de l’envoi de cette lettre, le contratd’assurance s’éteindra si aucun versement n’est effectué. Ce sera le cas pour les assurancestemporaires décès ou encore les assurances en cas de vie sans contre-assurance.

- La réduction ou le rachat du contrat : s’il existe une provision mathématique, lecontrat ne s’éteint pas au bout de quarante jours mais reste en sommeil jusqu’au termeinitialement prévu. L’assureur, qui ne peut résilier le contrat, va procéder à sa réduction :le souscripteur reste assuré en proportion des sommes versées par rapport à celles quiauraient dû être versées au jour de l’échéance du contrat ou du décès.

Les modalités de réduction sont déterminées par un règlement général mentionné dansle contrat d’assurance. L’assureur doit communiquer, chaque année le cas échéant, le mon-tant de la valeur de réduction. L’assureur peut d’office substituer le rachat à la réductionsi la valeur de rachat du contrat est inférieure à un certain montant.

Charges et frais liés au contrat

Les frais liés aux contrats d’épargne

Ils peuvent être très différents d’une compagnie à l’autre. Nous allons énumérer lesprincipaux frais liés aux contrats d’épargne :

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- les frais d’entrée ou d’acquisition : il s’agit d’un pourcentage prélevé à l’occasion desversements effectués ou d’une somme forfaitaire par police ;

- les frais de gestion liés à la gestion du contrat : ils sont prélevés sur l’épargne (c’est-à-dire sur les provisions mathématiques ou l’encours), lors de la capitalisation annuelle,sur les intérêts générés par le fonds ;

- les commissions liées aux réseaux de distribution ;- les frais d’arbitrage (cas des contrats multisupports) : ils sont calculés sur les sommes

transférées en cas de changement de supports,- les frais OPCVM inhérents à certains supports (SICAV, par exemple) ;- les pénalités de rachat dans certain contrats.

Cotisations sociales

Elles sont différentes suivant le type de contrat souscrit. En effet, pour les contratsmonosupports en euros, à chaque capitalisation annuelle, les prélèvements sociaux sontappliqués au taux en vigueur sur les rendements de l’investissement crédité aux assurés.Lors d’un rachat total en cours d’année, des intérêts pour cette dernière année sont calculéset donne aussi lieu à des cotisations sociales.

Notons que le taux en vigueur en 2011 (depuis le 1er janvier 2011) est de 12,3 % soit :- 8,2 % pour la CSG (Contribution Sociale Généralisée) ;- 0,5 % pour la CRDS (Contribution pour le Remboursement de la Dette Sociale) ;- 2,5 % pour le prélèvement social et contribution additionnelle ;- 1,1 % pour le RSA (Revenu de Solidarité Active).

Impôt sur les sociétés

L’impôt sur les sociétés, qui concerne les sociétés de capitaux ainsi que certaines asso-ciations et des organismes publics, se calcule à partir du résultat technique avant impôt.Il est imputé en même temps que le résultat, c’est-à-dire généralement en fin d’année. Letaux d’imposition en vigueur est de 33,34 % (depuis le 1er janvier 1993). Mais en général,pour tenir compte du fait que certaines opérations ne sont pas taxées au même taux etque des changements de taxation peuvent intervenir dans le temps, nous appliquons untaux d’imposition « biaisé » égal à 34,43 %. Enfin, l’impôt sur les sociétés ne fait paspartie du compte de résultat utilisé pour calculer la participation aux bénéfices verséeaux assurés.

Revalorisation du contrat

Taux minimum garanti

Lors de la souscription d’un contrat d’épargne, l’assureur s’engage à garantir un taux derémunération de l’épargne. Ce taux minimum garanti est défini par le Code des assurancesdans l’article A.132-3 du Code des assurances (Article disponible en Annexe dans la partie

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Article du code des Assurances). Il est fixé à la souscription pour toute la durée du contratet est stipulé dans les conditions générales du contrat.

Le taux minimum garanti peut être fixé annuellement ou semestriellement pour l’an-née suivante. Dans ce cas, « il ne peut excéder alors 85 % de la moyenne des taux derendement des actifs de l’entreprise calculés pour les deux derniers exercices ».

D’autre part, le taux peut être variable « en fonction d’une référence fournie par unmarché réglementé et en fonctionnement régulier de valeurs mobilières ou de titres admisen représentation des engagements réglementés des entreprises d’assurance ». Mais la ga-rantie de ce taux n’est possible que pendant une durée maximale de 8 ans.

Participation aux bénéfices

D’après l’article L.331-3 du Code des assurances, « les entreprises d’assurance sur lavie ou de capitalisation doivent faire participer les assurés aux bénéfices techniques etfinanciers qu’elles réalisent, dans les conditions fixées par arrêté du ministre de l’économieet des finances.» Ces profits sont distribués à l’assuré par l’intermédiaire de la partici-pation aux bénéfices. La réglementation fixe le montant minimal de distribution de laparticipation aux bénéfices. Il est déterminé globalement à partir d’un compte de partici-pation aux résultats. Ce dernier fait intervenir deux autres comptes :

-un compte technique,-un compte financier.

Le compte technique comprend principalement :

Primes versées par les assurés+ Intérêts techniques (en fonction du taux minimum garanti)- Prestations garanties (rachats, termes, décès)- Charges de provision+ Reprises de provision- Frais de gestion et commissions+ Participation incorporée aux provisions= Solde du compte technique

Le compte financier est précisé dans l’article A.331-6 du Code des assurances (Articledisponible en Annexe dans la partie Article du code des Assurances). Il se présente de lafaçon suivante :

Produits financiers- Part des résultats que l’entreprise a dû affecter aux fonds propres pour satisfaire au

montant minimal réglementaire de la marge de solvabilité+ Intérêts techniques

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= Solde du compte financier

Les produits financiers dont il est question ici se calculent en multipliant l’encoursmoyen des provisions techniques de l’exercice par le taux de rendement réel des actifs.Le taux de rendement réel des actifs est égal à (article A.331-7 du Code des assurances,Article disponible en Annexe dans la partie Article du code des Assurances ) :

Taux de rendement reel des actifs = Produits de placements netsMontant de placements

Avec :Produits de placement- Charges de placement+ Plus-values sur cessions d’éléments d’actifs- Moins-values sur cession d’éléments d’actifs= Produits de placements nets

Et :Montant moyen des placements au cours de l’exercice+ Autres éléments d’actifs pouvant être admis en représentation des provisions tech-

niques- Valeurs remises par le réassureur= Montant de placements

L’ensemble de ces données nous permet alors d’établir le compte de participation auxrésultats qui met en évidence le montant minimal de la participation bénéficiaire à attri-buer aux assurés :

85 % du solde du compte financier+ 90 % du solde du compte technique- Intérêts techniques- Participation incorporée aux provisions- Solde de réassurance= Participation bénéficiaire

Ainsi, les assureurs sont dans l’obligation de distribuer, au minimum :

- 85 % des bénéfices financiers ;- 90 % des gains techniques.

Dans la pratique, la participation aux bénéfices peut être effectuée :- par un versement en espèces (peu pratiqué) ;- par une incorporation directe aux provisions mathématiques ;- par une affectation partielle ou totale à la provision pour participation aux excédents.

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Il est à noter que les sommes portées à la provision pour participation doivent êtreaffectées à la provision mathématique ou versées aux assurés dans un délai de huit ans.

1.4 Fin de vie du contrat

La clôture d’un contrat d’assurance vie s’effectue de différentes façon. En effet il peuts’agir d’un contrat qui arrive à terme, d’un rachat ou d’un décès de l’assuré.

Rachats Totaux

En assurance-vie, le rachat total d’un contrat est une technique qui revient à retirer lemontant total des sommes capitalisées (provisions placées grâce au versement de primeset les intérêts issus du placement de ces provisions). Un rachat total équivaut à la clôturedu contrat. Tous les contrats ne sont pas forcément rachetables (caractère définis à lasignature du contrat). De plus des pénalités de rachat peuvent exister. Il existe différentstype de rachats totaux, les rachats structurels et les rachats conjoncturels.

Rachats Totaux conjoncturel

Les rachats totaux dynamiques interviennent lorsqu’un client n’est pas satisfait durendement de ces placements, c’est-à-dire lorsque son niveau de satisfaction dépasse leseuil de déclenchement.

Rachats Totaux structurels

C’est l’ensemble des rachats totaux usuels qui ne tiennent pas compte des évènementsextérieurs au contrat (ex : Conjoncture économique)

Rachats Partiels

Le rachat partiel est une opération qui consiste à effectuer un retrait définitif d’unepartie de l’épargne disponible. La part des intérêts qui compose le rachat peut être soumisà taxation. Le rachat partiel en assurance vie permet à l’assuré de demander à l’assureurune partie de la valeur acquise du contrat. De la même façon que pour les rachats totauxil existe les rachats partiels structurels mais également les rachats partiels programmés.Il s’agit de retraits définitifs périodiques programmés à l’avance par le souscripteur ducontrat d’assurance-vie.

Arbitrage

Le principe de l’arbitrage est de transférer une partie de son épargne euro vers dessupports en UC (notamment lorsqu’on anticipe une hausse des marchés financiers) oudans l’autre sens, à savoir de l’UC vers l’euro. Cette seconde stratégie s’effectue dans un

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cadre un peu plus prudentiel que la première.

Rééquilibrage automatique

Le rééquilibrage automatique des investissements est conçu pour aider les investis-seurs à maintenir leurs actifs à l’image de leurs directives de placement d’origine. Lesinvestisseurs peuvent par exemple déterminer leur tolérance au risque et leurs objectifs deretraite et d’épargne afin de programmer au mieux le rééquilibrage automatique de leursplacements. Avec le temps, un portefeuille de titres peut finir par ne plus correspondreaux directives de placement initiales de l’investisseur. Par exemple, si le rendement desactions surclasse celui des titres à revenu fixe, la composition de placements peut ne plusrendre entièrement compte des objectifs de placement et du niveau de tolérance détermi-nés initialement. C’est alors que prend effet le rééquilibrage automatique. Le service derééquilibrage automatique des investissements évalue régulièrement l’écart entre la com-position courante du compte du participant et la répartition d’origine, puis ajuste cettecomposition pour la ramener à sa pondération initiale.

2 La réforme Solvabilité 2

2.1 Description de la réforme

La réforme Solvabilité 2 est une nouvelle réforme règlementaire du monde de l’as-surance qui introduit des modifications importantes par rapport aux règles actuelles enmettant la gestion des risques au coeur du système. Cette réforme doit entrer en applica-tion le 1er janvier 2016.

La réforme Solvabilité 2 a pour objectif d’adapter au mieux les exigences de fondspropres des compagnies d’assurances et réassurance, aux risques auxquels ces compa-gnies sont soumises. Cette réforme va également permettre d’harmoniser l’évolution et lecontrôle des risques en Europe.

La figure 1 ci-dessous synthétise les principales évolutions apportées par solvabilité 2 :

La grande évolution mise en place par la réforme Solvabilité 2 par rapport aux an-ciennes normes en vigueur réside dans le fait que les calculs des provisions techniques etdes exigences de fonds propres sont effectués en prenant en compte le profil de risque spé-cifique complet auquel est soumis chaque assureur. En particulier, la reforme Solvabilité2 prend en compte le risque d’investissement.

Présentation des piliers de Solvabilité 2

Solvabilité 2 s’appuie sur trois piliers :

Pilier 1 : Le pilier 1 vise à définir les normes quantitatives qui permettront de mesurerl’exigence de marge imposée aux compagnies d’assurance. Ces règles devront permettre

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Figure 1 – Principales évolutions apportées par solvabilité 2

Figure 2 – Piliers de Solvabilité 2

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d’obtenir une harmonisation des provisions techniques à travers l’utilisation de deux ni-veaux de capital règlementaire le SCR (Solvency Capital Requirement) et MCR (MinimumCapital Requirement) :

- Le MCR représente le niveau minimum de fonds propres en dessous duquel l’inter-vention de l’autorité de contrôle sera automatique.

- Le SCR représente le capital cible nécessaire pour absorber le choc provoqué par unrisque majeur (par exemple : un sinistre exceptionnel, un choc sur les actifs...). La notionde SCR sera développée plus précisément dans la suite de l’étude.

Les règles d’éligibilité des éléments de ces capitaux seront définies dans ce pilier. Cepilier définit donc les outils de mesure de la « suffisance » des provisions techniques etformule une harmonisation des principes de calcul entre les différentes compagnies euro-péennes.

Pilier 2 : Le pilier 2 a pour objectif de définir et d’harmoniser les activités de sur-veillance aussi bien au niveau des entreprises d’assurance qu’au niveau des superviseursc’est-à-dire par les autorités de contrôle telles que l’ACP (l’Autorité de Contrôle Pru-dentiel) ou le CEIOPS (Committee of European Insurance and Occupational PensionsSupervisors). Ce pilier fixe des normes qualitatives de suivi des risques en interne auxsociétés et régit les interventions des autorités de contrôle.

Pilier 3 : Le pilier 3 concerne les éléments d’information qui doivent être publiés par lessociétés d’assurance, que ce soient les informations publiques dans le cadre de la disciplinede marché ou les informations à l’usage des superviseurs sous forme de dossier annuel,ainsi que les règles d’information des assurés.

Ce mémoire s’intéressera plus particulièrement aux éléments décris dans le pilier 1.

Évolution du bilan prudentiel en assurance vie lors du passage sous Solvabilité 2

Nous allons décrire les différents éléments qui composent le bilan prudentiel sous Sol-vabilité 2.

Actifs incorporels : Dans le cadre d’une valorisation selon Solvabilité 2, il convientd’éliminer les actifs incorporels qui ont pour origine un rapprochement d’entreprise (écartd’acquisition, valeurs de portefeuille) ou qui ne peuvent être vendus (logiciels etc...)

Participations : Les participations sont valorisées après prise en compte de l’activitéde la participation et du type de contrôle.

Actifs de placement financier en coût amorti : Pour la valorisation sous Solvabilité 2,ces actifs de placements sont désormais valorisés à la Juste Valeur (la juste valeur estdéfinie par les normes lAS / IFRS comme étant le montant pour lequel un actif pourraitêtre échangé, ou un passif éteint, entre des parties bien informées et consentantes dans lecadre d’une transaction effectuée dans des conditions de concurrences normales).

Actifs de placement financier en juste valeur : Pour ces actifs il y a conservation de la

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Figure 3 – Bilan prudentiel sous Solvabilité 2

valorisation en Juste Valeur.Part des réassureurs dans les provisions techniques (PT) : Il s’agit d’une quote-part

des provisions Best estimate et de la Risk Margin cédées au réassureur.Autres Actifs IFRS dont IDA IFRS : Élimination / Réévaluation des impôts différés

actifs compte tenu de la nouvelle répartition des richesses entre actionnaires et assurésliés à la réévaluation des actifs et des passifs.

Les impôts différés actifs (IDA) proviennent de différences temporaires entre les chargescomptables et les charges fiscales. Ces IDA sont principalement constitués des chargescomptables qui ne seront déductibles fiscalement que ultérieurement comme la provisionpour indemnité de retraite (ou d’autres provisions qui ne seront déductibles que lors dela survenance de la charge ou du risque provisionné), ou certains déficits fiscaux qui vien-dront, éventuellement, diminuer ultérieurement les impôts à payer (reports déficitaires,amortissements réputés fiscalement différés, moins-values à long terme...).

On constate que dans la vision Solvabilité 2 du bilan prudentiel, les actifs sont évaluésen valeurs de marché différentes de la valeur comptable qui existe dans Solvabilité 1.

Fonds Propres SII : les fonds propres d’une société d’assurance sont constitués descapitaux de départ, de réserves et du résultat de l’exercice. Ce poste est construit pardifférence entre l’actif et les autres passifs (A-P).

Dettes subordonnées SII : Ré-incorporation en capital des titres subordonnés classésen dettes en IFRS.

Valeur de Portefeuille : La valeur du portefeuille est évaluée à partir des modèles deprojection.

Risk Margin : Cette notion sera développée dans la suite de ce mémoire. La RiskMargin est évaluée à partir des modèles de projection.

Best Estimate : Cette notion sera développée dans la suite de ce mémoire. Le BestEstimate est évalué à partir des modèles de projection.

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Autres Provisions Techniques : Ce poste rassemble les provisions techniques.Autres Passifs : Ce poste correspond principalement aux impôts différés passifs (IDP).

Les IDP sont une source d’imposition future, provenant d’actifs qui, lors de leur cessionou de leur utilisation, donneront lieu à des déductions fiscales inférieures à leur valeurcomptable. Il en est ainsi pour les actifs réévalués lors de la première consolidation d’unefiliale. Ils entrent alors au bilan consolidé pour une valeur supérieure à la valeur fiscale. Demême, certains produits, comme les produits financiers courus, ont une imposition différée.

Par rapport aux contraintes concernant le niveau minimum de capital que doit détenirl’assureur pour couvrir ses risques (en plus de toutes les provisions règlementaire), Solva-bilité 2 s’éloigne également des méthodes de calcul mise en place dans Solvabilité 1. Eneffet l’exigence de marge de solvabilité, dans le cas d’une assurance vie investie dans descontrats à support euro, était calculée jusqu’à présent de façon proportionnelle en prenantune part (4 %) des provisions mathématiques gérées par l’assureur, sans tenir compte nide garanties particulière accordées à certains assurés tel des taux minimum garanti ni dutype de placements effectués. Dorénavant cette exigence de solvabilité s’exprime à traversle SCR qui s’adapte au profil de risque de chaque assureur et calcule l’impact sur cesfonds propres qu’aurait la survenance d’un risque particulier.

Nous allons maintenant présenter plus précisément les principaux éléments qui com-posent ce bilan S2.

2.2 Best estimate et Risk margin

Best estimate

Dans cette partie nous allons définir le Best Estimate dans le cadre de la réformeSolvabilité 2. Le Best Estimate est décrit dans les textes comme « la moyenne pondéréepar leurs probabilités des flux de trésorerie futurs, compte tenu de la valeur de l’argent,estimée sur la base de la courbe des taux sans risque pertinents ». De façon mathématiquele Best Estimate s’écrit de la façon suivante :

BE = EQ∗P∣∣∑

u>1 δu ∗ Lu∣∣

Avec Q la probabilité risque neutre. Les probabilités risque neutres caractérisent unemesure de probabilité différente de la mesure historique telle que la valeur d’un actif finan-cier soit égale à la valeur actualisée aux taux sans risque de ses flux futurs : cela revientà dire que les investisseurs sont neutres vis-à-vis du risque.

P représente la probabilité réelle qui s’applique à la durée de vie des assurés, les notionsde probabilité risque neutre et probabilité réelle seront décrites avec plus de précision dansla suite du mémoire.

δu représente le facteur d’actualisation qui s’exprime en fonction du taux sans risqueinstantané r :

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δu = e−u∫0

rh dh

Lu représente l’ensemble des flux de passif.

Le calcul du Best Estimate requiert la mise en place d’un modèle de gestion actif/passif,qui sera décrit précisément par la suite. Afin d’obtenir la meilleur estimation du Best Es-timate, le modèle mis en place doit tenir compte de l’ensemble des aléas qui touche l’actifet le passif étudiés tels que :

- Fréquence et coût des rachats ;- Fréquence et coût des décès ;- Fréquence et coût des termes ;- Incertitude sur le montant des frais.

Best Estimate Garanti et Future Discretionary Benefits

Dans cette partie nous allons définir deux notions étroitement liées au Best Estimate :le Best Estimate Garanti (BEG) et le Future Discretionary Benefits (FDB), dans le cadred’une application pour une société d’assurance vie soumis à Solvabilité 2.

Comme décrit en début d’étude les engagements d’un assureur vie dans le cadre d’uncontrat d’assurance épargne possèdent des caractéristiques qui lui sont propres et quipeuvent être réparties en différentes catégories en fonction des engagements liés à chaquecontrat. On distingue donc :

- les provisions destinées à couvrir un engagement de taux minimum garanti (TMG) ;- les provisions utilisées pour respecter les contraintes obligatoires de participations

aux bénéfices ;- les provisions destinées à répondre à des engagements contractuels de participation

aux bénéfices particulier ;- les provisions destinées à la participation aux bénéfices discrétionnaires ;- la provision pour participation aux bénéfices déjà constituée à la date d’inventaire.

L’ensemble de ces engagements sont donc divisés en une partie garantie Best EstimateGaranti destiné à couvrir les engagements contractuels en matière de TMG et une partieFuture Discretionary Benefits correspondant aux participations aux bénéfices futurs.

Dans le cadre de la cinquième étude quantitative d’impact, l’ACP a proposé une mé-thode de calcul permettant d’estimer le BEG. Cette méthode s’appuie sur quatre étapeset nécessite le calcul préliminaire du Best Estimate ainsi que la réalisation d’un jeu com-plet de simulation. (Le descriptif des quatre étapes est issu des Orientations NationalesComplémentaires aux Spécifications Techniques).

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1. Phase 1 : extraction de la chronique des prestations : pour chaque scénario simulé,il convient d’enregistrer pour chaque pas de projection le pourcentage de l’épargnequi est versé aux bénéficiaires (décès, rachats structurels, rachats etc...) ; il doit enrésulter une matrice pour laquelle une ligne correspond à un scénario et une colonneà un pas de projection.

2. Phase 2 : calcul de la partie garantie de ces prestations : pour chaque scénario, lachronique de prestations doit être appliquée à la valeur garantie. Cette valeur ga-rantie est calculée à chaque instant selon les hypothèses suivantes :

(a) L’épargne acquise à la date d’évaluation est revalorisée au taux technique.(b) Au sein de la PPB (Provision pour Participation aux Bénéfices) en stock à

la date de calcul, la part ne pouvant pas être utilisée pour servir un éventuelTMG est incorporée à l’épargne acquise 8 ans après sa constitution.

(c) L’épargne est diminuée annuellement des chargements contractuels éventuels.

3. Phase 3 : actualisation des flux garantis : les flux de trésorerie ainsi obtenus danschaque scénario doivent être actualisés à l’aide des taux d’actualisation propres àchaque scénario.

4. Phase 4 : calcul du BEG : le BEG est égal à la moyenne des valeurs obtenues surchacun de ces scénarios.

Pour obtenir le montant des Future Discrtionary Benefits, on effectue ensuite la diffé-rence entre le Best Estimate total et le Best Estimate Guaranted calculé précédemment.

Figure 4 – Structure du Best Estimate

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Risk margin

Dans cette partie nous allons définir ce que représente la Risk Margin dans le cadrede la réforme Solvabilité 2. Dans le cadre de cette réforme l’ensemble des provisions tech-niques est évalué comme le montant qu’un assureur s’attend à recevoir en contrepartie dela reprise du portefeuille d’assurance.

Lorsque les risques sont couvrables, les provisions techniques sont égales au prix dela couverture c’est à dire aux prix d’instruments financiers qui répliquent parfaitementles flux d’assurances alors pour les risques non couvrables les provisions techniques sontégales à la somme du Best Estimate défini précédemment et de la Risk Margin. La RiskMargin est donc une composante des provisions techniques destinée à garantir que leurvaleur est équivalente au montant nécessaire à une compagnie d’assurance pour accep-ter de reprendre et honorer les engagements du passif. La Risk Margin est calculée endéterminant le coût de l’immobilisation d’un montant de fonds propres éligibles égal auSCR nécessaire pour honorer les engagements d’assurance sur toute la durée des contrats.Le calcul de la marge de risque est basé sur le fait que lors du transfert, l’entreprise deréférence se capitalisera au niveau de fonds propres requis c’est-à-dire

EOFRU(0) = SCRRU(0)

Avec EOFRU(0) le montant de fonds propres éligibles utilisé par l’entreprise de réfé-rence au moment du transfert

Et SCRRU(0) le SCR calculé par l’entreprise de référence au moment du transfert.Le coût de la mobilisation de ce montant de fonds propres éligibles est égal au taux

de coût du capital multiplié par ce montant.

La méthode de calcul de la marge de risque globale (CoCM) peut donc être expriméecomme suit :

CoCM = CoC ∗∑

t>0EOFRU (t)

(1+rt+1)(t+1) = CoC ∗∑

t>0SCRRU (t)

(1+rt+1)(t+1)

Avec CoCM qui correspond à la marge de risqueSCRRU(t) qui correspond au SCR pour l’année t tel que calculé pour l’entreprise de

référencert qui correspond au taux sans risque pour l’échéance tet CoC qui correspond au taux de coût du capital.

Le taux de capital CoC correspond au taux à appliquer à l’exigence de capital à chaquepériode. Ce taux ne doit pas tenir compte du rendement total des actifs (ceux-ci étantdétenus en titres négociables) mais seulement du spread par rapport au taux sans risque.Ce taux est utilisé pour garantir les provisions techniques disponibles et cela quel que soitle scénario d’étude. Le taux de capital est donc un taux long terme moyen reflétant de lamême façon un scénario central ou un scénario de stress.

Le taux de coût en capital est fixé à 6 %.

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2.3 Solvency Capital Requirement

Dans cette partie nous allons nous intéresser au Solvency Capital Requirement. LeSCR est le montant de fonds propres économiques cible nécessaire à une compagnie d’as-surance pour être sûr de ne pas être en ruine dans un an avec une probabilité de 99,5%. En d’autres termes il s’agit des fonds nécessaires pour absorber les pertes sur un ho-rizon d’un an, issues d’un choc provoqué par un risque majeur et ce dans un niveau deconfiance de 99,5 %. Le calcul du SCR repose sur des scénarios économiques précis, en effetle SCR dépend de l’impact d’un scénario donné sur la valeur de la Net Asset Value (NAV).

La NAV (comme représenté sur la figure 5) correspond à la différence entre l’actif etle passif.

Figure 5 – Description de la NAV

On a donc NAV (t) = A(t)−BE(t)

Le passif pris en compte pour le calcul de la NAV ne prend pas en compte la RiskMargin des provisions techniques ni les passifs subordonnés, en effet la NAV correspondaux fonds propres de base.

Chaque poste décrit dans le bilan économique ci-dessus peut être calculé comme uneespérance sous probabilité risque neutre des flux futurs correspondants actualisés. Ainsiles fonds propres peuvent être définis comme la valeur actuelle probable des résultatsfuturs :

NAV0 = EQ∗P [∑

u>1 δu ∗Ru]

Avec Q la probabilité risque neutre

P représente la probabilité réelle qui s’applique à la durée de vie des assurées

δu représente le facteur d’actualisation qui s’exprime en fonction du taux sans risqueinstantané r :

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δu = e−u∫0

rh dh

Ru représente le résultat de l’entreprise en u.

Le SCR peut donc être défini comme le montant de fonds propres minimal dont doitdisposer la société d’assurance pour satisfaire la contrainte

P (NAV1 < 0) 6 0, 5

avec P la probabilité en monde réel

Et donc on peut écrire :

SCR = NAV0 − P (0, 1) ∗ q0,5%(NAV1)

Avec NAV0 le montant des fonds propres économiques à l’instant t = 0NAV1 le montant des fonds propres économiques à l’instant t = 1P(0,1) correspond au prix d’un zéro coupon 1 an utilisé comme facteur d’actualisationEt q0.5%qui correspond au quantile 0,5% des fonds propres économiques NAV1. Le SCR

correspond donc à la Value-at-Risk des fonds propres de base d’une entreprise d’assuranceou de réassurance avec un niveau de confiance de 99,5 % à l’horizon d’un an.

Structure du SCR

Le formule du SCR se décompose en plusieurs sous modules comme l’illustre la figure6 :

Un SCR se décompose donc en grands modules de risque, subdivisés en plusieurs sous-modules. Ainsi par exemple le module marché sera composé du capital requis au titre durisque de taux d’intérêt, du risque action, du risque immobilier, du risque de spread, durisque de change, du risque de concentration et du risque d’illiquidité.

On débute donc par calculer le SCR de chaque sous module que l’on agrège via unematrice de corrélation adéquate. Enfin le SCR global, appelé BSCR, est obtenu en ad-ditionnant les résultats des différents modules en utilisant des techniques de corrélationlinéaires. Chaque coefficient de corrélation utilisé est représentatif des liens de dépendancepossibles dans la queue de distribution et de la stabilité des hypothèses de corrélation dansdes conditions de stress. On part donc d’une granularité fine pour arriver au SCR globaled’où le nom de Bottom-up donné à cette méthodologie de calcul.

Méthode de Calcul du SCR

Comme présenté dans le schéma ci-dessus le SCR est défini par la somme :

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Figure 6 – Structure du SCR

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SCR = BSCR + Adj + SCRop

avec BSCR, le Basic Solvency Capital Requierement, qui correspond au SCR avantajustement. Il regroupe les SCR associés aux grands modules de risques ;

SCRop, le SCR associé au risqué opérationnel ;et Adj, l’ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des provisions tech-

niques et des impôts différés. Cet ajustement ne doit jamais être négatif.

Le BSCR se calcule en utilisant la formule suivante :

BSCR =√∑

ij Corrij ∗ SCRi ∗ SCRj + SCRintangible

Avec Corrij les données de la matrice de corrélation définissant les liens entre lesgrands modules de risques

SCRi et SCRj sont les montants de capital requis au titre des différents types derisques du SCR selon les lignes et colonnes de la matrice de corrélation Corr ij

La matrice suivante récapitule les corrélations entre grandes familles de risques.

i || j Marché Défaut Vie Santé Non-VieMarché 1Défaut 0,25 1Vie 0,25 0,25 1Santé 0,25 0,25 0,25 1

Non-Vie 0,25 0,25 0 0 1

Tableau 1 - Corrélations entre grandes familles de risques

Le SCRintangible correspond au capital requis au titre du risque sur les actifs incorporelscalculé en multipliant la valeur des actifs incorporels (comme décrit dans les spécificationstechniques du Qis5) par 0,8.

Le SCR opérationnel est défini comme le risque de perte dû à une gestion inadéquateou des processus internes défectueux causés par des erreurs du personnel ou du système.Le risque opérationnel n’intègre pas les risques causés par des erreurs dans les décisionsstratégiques de gestion de l’entreprise.

Le SCR opérationnel est calculé à partir de la formule suivante :

SCRop = min(0, 3 ∗BSCR;Op) + 0, 25 ∗ Expul

où Op correspond à la charge de risque de tous les business autre que ceux touchantà l’assurance vie, où le risque d’investissement est porté par les assurés ;

et Expul correspond au montant des sinistres annuels survenus lors des 12 mois pré-cédents la date d’étude.

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Calcul du SCR brut et SCR net

Le SCR associé à chaque module de risques doit être calculé brut et net.

Le SCR brut est utilisé pour calculer le capital de solvabilité requis de base ainsi quel’ajustement dû à la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques. L’utilisa-tion de ce SCR permet de ne pas double compter les effets d’atténuation des risques dansle cadre de l’approche modulaire (qui sera défini par la suite) et donne des informationssur le profil de risques auquel est soumis l’assureur. Cependant le SCR brut ne tient pascompte des effets d’atténuation des risques des futures prestations discrétionnaires.

Le SCR net de chaque module de risques est obtenu en calculant la valeur du bilanéconomique soumis à un scénario de stress (suivant les stress, définis par les autorités decontrôle et propres à chaque module de risques) et en la comparant à la valeur du bilanéconomique non stressé initiale. Grâce à ces deux valeurs de bilan, pour chaque modulede risques, l’assureur peut calculer le Best Estimate des provisions techniques associéesaux prestations discrétionnaires futures. La variation de ces provisions mesure l’impactde l’atténuation des risques. Dans chaque module, son montant doit être ajouté au SCRnet utilisé pour calculer le SCR brut.

Comme nous l’avons défini précédemment, le calcul du SCR fait intervenir une variabled’ajustement. Nous allons maintenant la définir.

Cet ajustement est réalisé au titre de la capacité d’absorption des pertes des provisionstechniques et des impôts différés de l’assureur. Dans le cadre du QIS 5, les entreprisesdoivent calculer cet ajustement par le biais de deux méthodes :

- L’approche fondée sur le scénario équivalent ;

- L’approche modulaire.

Ce double calcul n’est demandé que dans le cadre du calcul de l’ajustement. Pour lescalculs liés au SCR (Risk margin) l’approche par scénario équivalent suffit.

Quelle que soit la méthode utilisée, l’ajustement au titre de l’absorption des pertes desprovisions techniques et des impôts différés se calcule en sommant l’AdjTp qui correspondà la part de l’ajustement lié à la capacité d’absorption des pertes sur provisions tech-niques, et l’AdjDT qui correspond à la part de l’ajustement lié à la capacité d’absorptiondes pertes des impôts différés.

Approche Scénario équivalent

Ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques

L’ajustement appliqué au SCR dans le cadre de la capacité d’absorption des pertes des

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provisions techniques est calculé en comparant le BSCR et le nBSCR. De plus, le montantde l’ajustement ne doit pas excéder la valeur totale des participations discrétionnairesfutures/futurs taux de participation aux bénéfices. Ainsi mathématiquement l’ajustementlié aux provisions techniques s’écrit :

AdjTP = -min ( BSCR - nBSCR ; FDB)

Comme indiqué précédemment le BSCR est calculé en agrégeant les exigences decapital brut calculées sur chaque sous module de risques.

Dans l’approche par scénario équivalent, le nBSCR qui correspond à l’exigence de ca-pital de solvabilité requis de base net, est calculé à partir d’un seul scénario économiquedans lequel tous les risques, inclus dans le scope du calcul du SCR en formule standardinterviennent simultanément. Selon cette méthode, le calcul peut être divisé en plusieursétapes :

On commence par calculer le montant du capital requis pour couvrir chaque risqueauquel est soumise l’entreprise, brut de l’ajustement au titre de la capacité d’absorptiondes pertes des provisions techniques.

A partir de ces montants bruts calculés, on détermine ensuite un scénario équivalenten fonction de l’importance relative de chaque risque par rapport à l’ensemble des risquesauxquels est soumise l’entreprise.

L’entreprise tient compte des décisions de gestion qui seraient prises en cas de sur-venance du scénario équivalent obtenu précédemment et détermine si cela modifie leshypothèses retenues pour les prestations discrétionnaires futures/futurs taux de partici-pation aux bénéfices.

On calcule ensuite la variation de la valeur de l’actif nette à partir du scénario équi-valent, en supposant que tous les chocs à appliquer aux risques surviennent simultanément.On obtient ainsi le nBSCR qui correspond à la baisse de la valeur d’actif net produite parle scénario équivalent.

Ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des impôts différés

L’ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des impôts différés estégal à la variation d’impôts différés qui résulterait d’une perte instantanée égale à

SCRshock = BSCR + AdjTP + SCRop

Avec BSCR le SCR de base défini précédemmentAdjTP l’ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des provisions tech-

niques ;et SCRop le SCR rattaché au risque opérationnel

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Il est important que l’assureur tienne compte de l’impact qu’aurait une perte SCRshock

susceptible de créer un impôt différé, sur sa situation financière.Une diminution du passif d’impôts différés ou une augmentation de l’actif d’impôts

différés entraîne un ajustement négatif au titre de la capacité d’absorption des pertes desimpôts différés.

Approche Modulaire

Ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques

Comme avec l’approche utilisant le scénario équivalent, cet ajustement est calculé dela façon suivante :

AdjTP = −min(BSCR - nBSCR;FDB).

La différence avec l’approche dite scénario équivalent réside dans la méthode de calculdu BSCR et nBSCR. Dans l’approche modulaire, le BSCR est calculé en agrégeant lesexigences de capital brut en utilisant une matrice de corrélation adéquate et le nBSCRest calculé en agrégeant les exigences de capital net en utilisant également une matrice decorrélation adéquate.

L’ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des provisions techniquescalculé à travers l’approche modulaire tient compte des effets d’atténuation pour le risquede marché, le risque de souscription vie, le risque de souscription santé SLT, le risque desanté CAT et le risque de contrepartie. Pour les autres risques, les montants de capitalbrut et de capital net requis sont égaux.

Ajustement au titre de la capacité d’absorption des pertes des impôts différés

Cet ajustement est calculé de la même façon que dans l’approche dite scénario équi-valent, mais en utilisant les montants BSCR et nBSCR calculés par l’approche modulaire.

2.4 Ratio de couverture

Après avoir défini le SCR, qui correspond au besoin de capital nécessaire pour absor-ber le choc provoqué par un risque majeur, nous allons définir le ratio de couverture quireprésente le ratio entre les éléments des fonds propres éligibles à la couverture du SCRet le SCR.

La classification des fonds propres (FP) est réalisée par Tier selon leur capacité d’ab-sorption des pertes : Tier 1, Tier 2, Tier 3.

Les fonds propres sont répartis en deux grandes catégories :- fonds propres de base (Basic Own Funds) ;

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- fonds propres auxiliaires (Ancillary Own Funds).

Les fonds propres auxiliaires sont composés d’éléments, autres que les fonds propres debase, qui peuvent être appelés pour absorber des pertes, dont le capital social ou initialnon appelé et non versé, les lettres de crédit ou garanties ou tout autre engagement,juridiquement contraignant, reçu par les entreprises d’assurance et de réassurance.

Les fonds propres auxiliaires sont soumis à l’approbation de l’autorité de contrôle (ana-lyse du caractère réaliste et prudentiel de la somme retenue) et sont classés uniquementen Tier 2 ou Tier 3.

Nous allons maintenant décrire plus particulièrement la composition des différents tier.

Éléments constitutifs du Tier 1

Sont classés en Tier 1 :

- le capital social initial ;- les actions ordinaires ;- les primes d’émission ;- les revenus non distribués qui incluent les bénéfices de l’année nets des dividendes à

verser et incluent les réserves ne correspondant pas aux engagements ;- les emprunts subordonnés (selon critères de subordination, de disponibilité, échéance)

et actions privilégiées ;- la réserve de réconciliation qui correspond à l’ajustement afin d’adosser le passif à

l’actif constitué en partie de la valeur actuelle des bénéfices nets futurs (« Inforce value »).

Cette réserve est calculée en appliquant la formule suivante :

Reserve reconciliation =Excedent actif sur passif − (FP de base T2 et T3 + autres elements du T1)

Éléments constitutifs du Tier 2

Sont classés en Tier 2 :

- les actions ordinaires appelées ;- les autres capitaux appelés qui ont la capacité d’absorber des pertes ;- les autres capitaux versés comme les actions privilégiées ou des emprunts subordon-

nés qui ne répondent pas aux critères du Tier 1.

Ces trois groupes de fonds propres correspondent aux fonds propres de base associésau Tier 2.

- le capital social non appelé et capitaux non versés ;- les lettres de crédit ou garanties ;

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- les autres types d’engagements légaux.

Ces trois groupes de fonds propres correspondent aux fonds propres auxiliaires associésau Tier 2.

Éléments constitutifs du Tier 3

Sont classés en Tier 3 :

- les impôts différés d’actif à ne pas utiliser dans les 12 mois ;- les autres instruments de capitaux incluant les actions privilégiées et emprunts su-

bordonnés ne figurant pas au titre du Tier 1 et 2.

Ces deux groupes de fonds propres correspondent aux Fonds Propres de base associésau Tier 3.

- les éléments non éligibles au Tier 2 et qui peuvent être compris dans la marge desolvabilité.

Cela correspond aux fonds propres auxiliaires associé au Tier 3.

La figure 7 suivante décrit précisément la classification des fonds propres.

Figure 7 – Classification des fonds propres

Éligibilité et limites applicables aux éléments de Tiers 1,2 et 3

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Afin de couvrir le capital de solvabilité requis (SCR) certaines conditions doivent êtrerespectées :

- Les éléments de Tier 1 doivent représenter au moins 50 % des éléments éligibles ;- Le montant des éléments de Tier 3 doit représenter moins de 15 % des éléments

éligibles.

Seuls les éléments de Tier 1 et les éléments de fonds propres de base de Tier 2 sontpris en compte pour couvrir le minimum de capital requis (MCR). Les éléments de Tier1 doivent représenter au moins 80 % du MCR. Les éléments de fonds propres de base deTier 3 et les fonds propres auxiliaires ne sont pas admis.

Clause de Grandfathering

Le Grandfathering permet d’assurer le passage d’un régime à un autre en introduisantdes exceptions à certaines règles.

Dans les pré-spécifications techniques du QIS 5, des critères de maintien de l’éligibi-lité différents des critères de Solvabilité 2 sont présentés. Il est important de noter queces critères visent uniquement à répondre aux besoins de QIS 5 et ne sont nullementreprésentatifs du contenu des dispositions finales.

Les pré-spécifications du QIS 5 définissent des critères de Grandfathering pour laclassification des éléments éligibles sur la base des fonds propres actuels des assureurs.

Dans l’application de l’étude réalisée, le montant de fonds propres indiqué pour lacouverture du SCR comprendra clause de Grandfathering

3 Calibrage des risques de marché sous Solvabilité 2 enformule standard

Après avoir décrit dans sa globalité la méthode de calcul du SCR ainsi que les prin-cipaux éléments qui le composent nous allons nous intéresser plus particulièrement auSCR marché. Dans cette partie de l’exposé nous allons présenter les modules constitutifsdu SCR marché ainsi que la méthodologie de calcul mise en place dans les spécificationstechniques QIS 5 et dans le draft des mesures de niveau 2.

Pour chaque type de risque qui compose le SCR marché, un besoin en capital estcalculé à partir de scénarios qui viennent choquer une classe d’actifs particulière.

3.1 Risque Taux

Description du risque Taux

Le risque de taux s’applique à tous les actifs et passifs dont la net asset value estsensible à des changements sur la structure des taux, que ce soit les taux réels ou les

33

taux nominaux, c’est à dire les actifs tels les obligations à taux fixe, les obligations à tauxvariables, les dérivés de taux...

Pour quantifier la composante risque Taux dans le SCR de marché, la valeur NAV, NetAsset Value, définie en début de présentation est utilisée. Pour obtenir cette composantedu SCR de marché, nous allons devoir calculer :

- le (Mktint)Up qui représente le besoin en capital pour le risque Taux après un choc

à la hausse ;- le (Mktint)

Down qui représente le besoin en capital pour le risque Taux après un chocà la baisse ;

- le n(Mktint)Up qui représente le besoin en capital pour le risque Taux après un choc

à la hausse en incluant la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques ;- le n(Mktint)

Down qui représente le besoin en capital pour le risque Taux après unchoc à la baisse en incluant la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques.

Méthode de calcul

Le besoin en capital pour le module Taux se divise en deux parties

MktUpint = ∆NAV |up

et

MktDownint = ∆NAV |Down

Avec ∆NAV |up et ∆NAV |Down les variations de net asset value causées par un stressinstantané à la hausse ou à la baisse des courbes de taux.

Les courbes de taux stressées sont obtenues en multipliant la courbe de taux initialepar (1 + sup) ou (1 + sdown) avec sup(t) et sdown(t) le montant des chocs à appliquer enfonction de la maturité t décrit dans le tableau suivant :

Le besoin en capital pour le module de Taux est issu du type de choc qui aboutit aubesoin en capital le plus élevé pour le risque Taux en incluant la capacité d’absorptiondes pertes des provisions techniques, c’est à dire :

Si nMktUpint > nMktDownint alors nMktint = max(nMktUpint; 0) et Mktint = MktUpint sinMktint > 0 et 0 sinon

Si nMktUpint ≤ nMktDownint alors nMktint = max(nMktDownint ; 0) et Mktint = MktDownint sinMktint > 0 et 0 sinon

34

Figure 8 – Choc pour le module Taux

3.2 Risque Action

Description du risque Action

Dans cette partie nous allons décrire la méthode de calibrage du risque Action. Lerisque Action est causé par la volatilité inhérente au marché boursier qui peut entrai-ner une fluctuation de la valeur des actifs Actions. Tous les actifs susceptibles de subir lesconséquences causées par une variation des prix des actions sont visés par ce risque Action.

Pour quantifier la composante risque Action dans le SCR de marché, la NAV estutilisée. Pour obtenir cette composante du SCR de marché, nous allons devoir calculer :

- le Mkteq qui représente le besoin en capital pour le risque action ;- le nMKTeq qui représente le besoin en capital pour le risque action en incluant la

capacité d’absorption des pertes des provisions techniques.

Méthode de calcul

Pour le calcul de la composante Action, une différenciation de méthode de calcul estréalisée selon le type d’actions présentes dans le portefeuille de la société d’assurance. Eneffet si les actions sont cotées sur des marchés des pays membres du EEA ou du OECD(l’EEA correspond à l’espace économique européen, European Economic Area. Il s’agitd’un espace de libre échange pour les pays membres de l’UE plus la Norvège, l’Islande et leLiechtenstein. L’OECD correspond à l’Organisation for Economic Co-operation and De-

35

velopment) elles sont alors qualifiées de "Global equity". Si les actions ne sont pas cotéessur ces marchés elles sont alors qualifiées de "Other equity". Cette catégorie correspondaux actions cotées sur les marchés émergents, aux private equity, à la gestion alternativeainsi que les autres actifs non traités par une autre "briquette" du SCR marché.

Pour calculer la composante Action du SCR marché, on calcule pour chaque catégoried’action un besoin en capital associé au scénario stressé particulier décrit ci-dessous :

Mkteq,i = max(∆NAV |equity shocki; 0 )

Avec equity shocki qui correspond au choc action appliqué en fonction de la catégorie ide l’action etMkteq,i le besoin en capital associé au risque Action de la catégorie d’action i.

Le tableau suivant présente les valeurs des chocs à appliquer en fonction de la catégoriedes actions :

Global Equity Other EquityEquity Shock i 39 % 49 %

Tableau 2 - Chocs action par catégorie

Il convient de noter qu’à ces choc est appliqué un ajustement symétrique de la chargeen capital action pour prendre en considération l’effet Dampener. La charge en capitaltient compte de la position dans le cycle et permet de limiter les effets pro-cycliques. Lechoc est modulé en fonction de la position du marché par rapport à une moyenne mobiledu MSCI Europe sur 3 ans.

La formule qui décrit cette ajustement est la suivante :

SA = 12( (CI−AI

AI− 8%)

avec CI le niveau actuel du MSCI Europe et AI la moyenne journalière sur 3 ans del’indice

La valeur de l’ajustement symétrique ne peut être inférieur à -10 % et ne peut êtresupérieur à 10 %.

Le montant de besoin en capital calculéMkteq,i est donc vu comme l’impact d’un chocà la baisse sur la Net Asset Value des actifs soumis au risque Action. Des cas particuliersde choc pour certaines actions sont décrits dans les spécifications QIS 5.

Après avoir calculé le montant Mkteq,i pour chaque catégorie d’action, le besoin encapital global pour le risque Action est calculé de la façon suivante :

MKTeq =√∑

rxcCorrIndexrxc ∗Mktr ∗Mktc

avec Mktr et Mktc les besoins en capitaux de chaque catégorie et avec CorrIndexrxc,la matrice de corrélation des catégories d’actions décrites ci dessous :

36

CorrIndex Global Equity Other EquityGlobal Equity 1 0,75Other Equity 0,75 1

Tableau 3 - Matrice de corrélation des catégories d’actions

3.3 Risque Immobilier

Description du risque Immobilier

Dans cette partie nous allons décrire la méthode de calibrage du risque Immobilier.Le risque Immobilier résulte de la sensibilité des actifs, des passifs et des investissementsfinanciers aux fluctuations des prix sur le marché immobilier. Sont pris en compte dansce module immobilier les actifs suivants :

- les terres, les immeubles, les droits de propriété immobilière ;- les participations directes ou indirectes dans des sociétés immobilières qui génèrent

des entrées de flux de monnaie périodiques grâce à des actifs immobiliers destinés à l’in-vestissement ;

- des biens immobiliers utilisés pour la propre utilisation de l’assureur.

Comme décrit dans les spécifications QIS 5 certains actifs immobiliers particuliers sontintégrés dans le calcul du besoin en capital du module Action.

Pour quantifier la composante risque Immobilier dans le SCR de marché, la valeurNAV est utilisée pour calculer les éléments suivants :

- le Mktprop qui représente le besoin en capital pour le risque Immobilier ;- le nMKTprop qui représente le besoin en capital pour le risque Immobilier en incluant

la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques.

Méthode de calcul

Pour calculer la composante Immobilier du SCR marché, on calcul un besoin en capitalassocié au scénario stressé particulier décrit ci dessous :

Mktprop = max(∆NAV |property shock ; 0)

Le choc appliqué est le choc à la baisse de 25 % de la valeur des actifs entrant dans lescope du calcul du besoin en capital Immobilier.

3.4 Risque de change

Description du risque de change

37

Dans cette partie nous allons décrire la méthode de calibrage du risque de change.Le risque de change est issu de la volatilité des taux de change. Les engagements d’unecompagnie d’assurance vie sont soumis au risque de change à travers leur portefeuilled’investissement.

Est appelée « monnaie locale », l’unité monétaire utilisée par la compagnie d’assu-rance étudiée, pour réaliser ses états financiers. Toute autre devise est appelée « monnaieétrangère » (noté C). Il n’est pertinent d’étudier le risque de change des seules monnaiesdont le taux d’échange impact les besoins en capitaux propres.

Pour quantifier la composante risque de change dans le SCR de marché, la NAV estutilisée pour calculer les éléments suivants :

- le Mktfx qui représente le besoin en capital pour le risque de change ;- le MktUpfx qui représente le besoin en capital pour le risque de change après un choc

à la hausse ;- le MktDownfx qui représente le besoin en capital pour le risque de change après un

choc à la baisse ;- le nMKTfx qui représente le besoin en capital pour le risque de change en incluant

la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques ;- le nMKTUpfx qui représente le besoin en capital pour le risque de change après un

choc à la hausse en incluant la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques ;- le nMKTDownfx qui représente le besoin en capital pour le risque de change après un

choc à la baisse en incluant la capacité d’absorption des pertes des provisions techniques.

Méthode de calcul

Le besoin en capital pour le risque de change est calculé à partir des résultats de deuxscénarios prédéfinis :

MktUpfx,C = max(∆NAV |fxupward shock ; 0)

MktDownfx,C = max(∆NAV |fxdownward shock ; 0)

Le scénario de choc haussier est construit à partir du taux d’échange entre une monnaieétrangère C et la monnaie locale, auquel on applique un choc instantané à la hausse de+ 25 %. Le scénario de choc à la baisse est réalisé en suivant le même principe mais avecun choc à la baisse de -25 %.

Pour chaque monnaie entrant dans le scope du calcul du risque de change, la contribu-tion au besoin en capital, Mktfx,C , correspond au maximum entre les résultats MktUpfx,Cet MktDownfx,C . Le besoin en capital total Mktfx est alors la somme des besoins en capitalMktfx,C de chaque monnaie.

Des chocs particuliers peuvent être appliqués pour certaines devises spécifiques (ceschocs sont décrits précisément dans les spécifications QIS 5).

38

Le besoin en capital global associé au risque de change est déduit du type de choc (à lahausse ou à la baisse) qui fournit la valeur la plus élevée de besoin en capital en incluantla capacité d’absorption des pertes des provisions techniques.

Si nMktUpfx > nMktDownfx alors Mktfx = MktUpfx et nMktfx = nMktUpfxSi nMktUpfx ≤ nMktDownfx alors Mktfx = MktDownfx et nMktfx = nMktDownfx

3.5 Risque de crédit

Description du risque de crédit

Le risque de crédit résulte de la sensibilité de la valeur de certains actifs, certainspassifs ou certains instruments financiers face à des variations des spreads de crédit parrapport à la courbe des taux sans risque.

Sont particulièrement soumis au risque de crédit les actifs suivants :

- les obligations corporates ;- les obligations high yields ;- la dette subordonnée ;- la dette hybride.

Le calcul du besoin en capital pour couvrir le risque de crédit s’applique aussi pourtoutes les tranches de produits de crédit structuré ainsi qu’aux dérivés de crédit. Pour lesdérivés de crédit, seule la part du risque qui est transférée entre dans le scope du risquede crédit.

D’autres actifs décrits précisément dans les spécifications techniques du QIS 5 sontégalement pris en compte dans le calcul du besoin en capital associé au risque de crédit.

Pour quantifier la composante risque de crédit dans le SCR de marché, la valeur NAV,Net Asset Value, est utilisée. Nous allons également avoir besoin des inputs suivants :

- MVi correspond à la valeur de l’élément i exposé au risque de crédit conformémentaux normes de valorisation présentées en annexe.

- ratingi correspond au rating de l’obligation corporate i exposée au risque de crédit- durationi correspond à la duration de l’obligation corporate i exposée au risque de

crédit

Dans le cas où une exposition possèderait plusieurs rating différents en fonction desagences de notation, c’est de le second meilleur rating qui sera utilisé pour les calculs.

Dans le cadre du calcul du risque de crédit dans le SCR de marché, nous allons devoircalculer :

- le Mktsp qui représente le besoin en capital pour le risque de crédit ;

39

- le nMktsp qui représente le besoin en capital pour le risque de crédit en incluant lacapacité d’absorption des pertes des provisions techniques.

Méthode de calcul

Le besoin en capital associé au risque de crédit est calculé de la façon suivante :

Mktsp = Mktbondssp +Mktstructsp +Mktcdsp

AvecMktbondssp le besoin en capital associé aux obligationsMktstructsp le besoin en capital associé aux produits structurés de créditMktbondssp le besoin en capital associé aux dérivés de crédit

Risque de crédit associé aux obligations

Est concerné dans cette partie : les Obligations Corporates (senior, subordonnées etcovered)

- Obligations Taux fixe- Obligations Taux variable- Obligations Convertibles- OATi- Obligations « structurées » (émises sous forme d’EMTN)et les Obligations gouver-

nementales (EEA / Non EEA (y compris OCDE)) Assimilées

Pour chaque composante du SCR de crédit, le calcul va être effectué selon une ap-proche facteur et scénario.

Étape 1 : Calcul calcul du Mktbondssp selon une approche factorielle

- Impact d’un choc immédiat (écartement des spreads) sur la valeur de marché destitres via une fonction calibrée sur une Var à 99,5

- Le fonction du choc est différente selon la sous-segmentation du titre Bond (Obliga-tion Non Covered, Obligations Covered,Obligations Etats EEA Assimilés ou ObligationsEtats non EEA Assimilés)

Étape 2 : Calcul calcul du nMktbondssp selon une approche par scénarios

- Impact de l’écartement des spreads sur la NAV incluant la capacité d’absorption dela participation aux bénéfices

- nMktbondssp = ∆NAVspreadchoc = NAV avec bonds choqués - NAV initiale

Obligations Corporate Non covered

Calcul de l’impact d’un choc F upi sur la valeur de marché des titres

40

Mktbondssp =∑

iMVi Fupi

avec F upi choc par titre « i » dépendant :

- Du "credit quality step" de i : rating de l’obligation (émission)- De la sensibilité du titre i capé et flooré selon le rating de i (modified duration)

La figure 9 présente les valeurs de la fonction F upi .

Figure 9 – Description des valeur de la fonction F

Spécificité des expositions à des compagnies d’assurance ou institutions bancaire non ratées

Pour les compagnies d’assurance ou institutions bancaire non ratées, le "credit qualitystep" est déterminé en fonction du ratio de couverture S2 comme décrit dans la figure 10.

Figure 10 – Description des valeur de la fonction F

Si le ratio de couverture > 196%, alors credit quality step = 1Si le ratio de couverture < 75%, alors credit quality step = 5Si ratio de couverture se situe entre 2 bornes, alors interpolation de la fonction F up

i àpartir du point le plus proche. Par défaut une exposition dans une banque ou une compa-gnie d’assurance non ratée se verra traitée la qualité de crédit 7 « unrated » initialementprévue pour les « bonds ».

Obligations "Covered"

41

Pour les Obligations "Covered", une application d’un choc F upi différent est mis en

place si i a une note AAA ou AA et si i répond aux exigences définies dans l’article 22(4) de la directive 85/611/EEC qui concerne les UCITS.(figure 11)

Si l’obligation "Covered" ne répond pas aux critères ci-dessus, application du calibragestandard des obligations "Non Covered", décrits dans la figure 9.

Figure 11 – Description des valeur de la fonction F pour les "Non Covered"

Obligations dites "Etats EEA et Assimilés"

Sont inclus dans les obligations dites "Etats EEA et Assimilés" les obligations garan-ties par un état de l’EEA, les obligations émises par les banques de développement, lesobligations émises par les organismes internationaux, les obligations émises par la banquecentrale européenne.

Pour cette catégorie d’obligations, aucune charge en capital n’est mise en place, doncMktbondssp = nMktbondssp = 0

Obligations dites " Non EEA et Assimilés"

Sont inclus dans les obligations garanties par un état hors EEA (y compris l’OCDE) etémises dans la devise locale et les obligations émises par des banques centrales hors EEA.Pour ces obligations un calibrage spécifique à l’étape 1 du F up

i est mis en place (figure 12).

Risque de crédit associé aux produits structuré de crédit

Pour la composante associé aux produits structuré de crédit Mktstructsp , la même ap-proche factorielle et par scénarios que pour les Bonds (Etape 1 et 2) est utilisée. Le choceffectué appliqué est égale à F up

i′ multiplié par la duration de i.La valeur de F up

i′ dépend du rating de l’obligation et duration i dépend de la sensibilitéet du minimum et maximum autorisé par rating.

42

Figure 12 – Description des valeur de la fonction F pour les obligations dites " Non EEAAssimilés"

La fonction F upi′ prend des valeurs différentes si i est qualifié de "resecurisation expo-

sition" (figure 13) ou non (figure 14).

Figure 13 – Valeur de la fonction F si i est qualifié de "resecurisation exposition"

Figure 14 – Valeur de la fonction F si i est non qualifié de "resecurisation exposition"

Risque de crédit associé aux dérivés de crédit

Les dérivées de crédits inclus les swaps de crédit (CDS), les Total Return Swaps(opération par laquelle deux acteurs économiques échangent les revenus et le risque d’évo-lution de la valeur de deux actifs différents pendant une période de temps donnée), ou lesCrédits Linked Note (dérivé de crédit financé qui a recours dans son montage à un CDSpour transférer un risque de crédit, mais ce en passant par un fonds commun de créances).

43

Le besoin en capital pour le risque de crédit associé aux dérivés de crédit est calculéà partir des résultats d’un scénario prédéfini :

Mktcdsp,upward = max(∆NAV |upward spread shock on credit derivatives ; 0)

Mktcdsp,downward = max(∆NAV |downward spread shock on credit derivatives ; 0)

Pour ces calcul nous utilisons une approche unique par scénario (différent des bondset structurés).

- Un scénario de choc à la hausse des spreads (en valeur absolue)- Un scénario de choc à la baisse des spreads (en valeur relative)

Les chocs à la hausse sont définis selon le rating du produit dérivé et le choc à la baisseest de -75% quel que soit le rating.

Le choc des spreads à la hausse (respectivement à la baisse) appliqué aux dérivés decrédit correspond à l’impact immédiat sur la valeur nette des actifs et passifs qu’auraitune hausse (respectivement à la baisse) du spread de crédit des dérivés de crédit suivantles magnitudes suivantes :

Hausse des spreads(en points de base) Baisse des spreads (en %)AAA +130 bp -75 %AA +150 bp -75 %A +260 bp -75 %

BBB +450 bp -75 %BB +840 bp -75 %

B et moins +1620 bp -75 %Non noté +1620 bp -75 %

Tableau 7 - Descriptif des chocs des spreads

Le capital requis pour couvrir le risque de crédit associé aux dérivés de crédit dépenddu choc qui entraine la valeur la plus élevée de besoin en capital en incluant la capacitéd’absorption des pertes des provisions techniques.

Si nMktcdsp,upward > nMktcdsp,downward alorsMktcdsp = Mktcdsp,upward et nMktcdsp = nMktcdsp,upwardSi nMktcdsp,upward ≤ nMktcdsp,downward alorsMktcdsp = Mktcdsp,downward et nMktcdsp = nMktcdsp,downward

3.6 Risque de concentration

Description du risque de concentration

44

Le périmètre d’étude du risque de concentration prend en compte les actifs concernéspar le risque Action, le risque de Spread et le risque Immobilier mais ne prend pas encompte les actifs concernés par le risque de contrepartie afin d’éviter tout double comptage.

Le risque de concentration touchant les investissements financiers se limite aux risquesdûs à l’accumulation des expositions sur la même contrepartie. Il ne prend pas en compteles autres types de concentrations tels que la zone géographique ou le secteur industriel.

Les expositions appartenant au même groupe (comme défini dans l’article 212 deSolvency II Framework Directive) ne sont pas traitées comme des expositions dépendantes.

L’exposition aux risques des actifs est regroupée en fonction de la contrepartie.On définit les variables suivantes :- Ei l’exposition au défaut de la contrepartie i ;- Assetxl le montant total des actifs considérés dans ce sous-module ;- ratingi le rating externe de la contrepartie i.

Lorsqu’un même engagement est associé à plusieurs contreparties alors Ei et ratingisont calculés en moyennant les Ei et ratingi de chaque contrepartie.

Pour quantifier la composante risque de concentration dans le SCR de marché, la va-leur NAV, Net Asset Value, est utilisée pour calculer :

- Mktconc qui représente le besoin en capital pour le sous module risque de concentra-tion.

Méthode de calcul

Le calcul du besoin en capital pour le sous module risque de concentration se diviseen trois étapes. D’abord le calcul de l’excès d’exposition puis du besoin en capital associéau risque de concentration par nom enfin l’agrégation.

L’excès d’exposition est calculé de la façon suivante :

XSi = Max(0; EiAssetsxl−CT

)

avec le seuil de concentration CT qui dépend du rating de la contrepartie i commedécrit dans le tableau suivant :

Rating i Seuil de concentration CTAA et AAA 3 %

A 3 %BBB 1,5 %

BB et mois 1,5 %

45

Tableau 8 - Seuil de concentration CT

et Assetsxl le montant des actifs pris en compte dans ce sous module sans prendre encompte :

- les actifs associés aux contrats d’assurance vie où le risque est supporté par l’assuré ;- les expositions liées à des engagements d’assurance ou de réassurance définis dans

Article 212 de la Directive 2009/138/EC (décrit en détail dans les spécifications QIS 5) ;- les actifs concernés par le sous module de risque de contrepartie.

Le besoin en capital associé au risque de concentration par nom i est calculé grâce àun scénario pré défini :

conci = ∆NAV |concentration shock

Le choc de concentration sur le nom i est l’effet immédiat sur la valeur des actifs etdes passifs causé par une baisse instantanée de la valeur XSi ∗ gi sur l’exposition, avec gqui dépend du rating de la contrepartie comme décrit ci-dessous :

Rating i Seuil de qualité de crédit g iAAA 1A 0,12AA 1B 0,12A 2 0,21

BBB 3 0,27BB et moins 4-6 0,73

Tableau 9 - Seuil de qualité de crédit

Pour les contreparties non notées mais qui sous soumises à la réforme Solvabilité 2 (lescompagnies d’assurance...) le paramètre g dépendra alors du ratio de couverture de cescompagnies comme présenté ci-dessous.

Ratio de couverture gi>175 % 0,12>150 % 0,21>120 % 0,27<125 % 0,73

Tableau 10 - Valeur de la fonction g

Pour les autres contreparties non notées la valeur du paramètre g est fixée à 0,73.

Le besoin en capital pour le risque de concentration est finalement calculé en supposantqu’il n’y a pas de corrélation entre le besoin en capital pour le risque de concentration dechaque contrepartie i.

46

Mktconc =√∑

i conc2i

Le calcul du besoin en capital pour le risque de concentration pour l’immobilier, l’ex-position aux dettes de gouvernements, de banques centrales... diffère légèrement du calculprésenté précédemment. (Le détail de ces cas particuliers est disponible dans les spécifi-cations du Qis 5)

3.7 Prime d’illiquidité

Les autorités de contrôle ont constaté une forte fluctuation dans les modèles de la valo-risation des actifs adossés aux engagements d’assurance due au risque d’illiquidité sur desobligations à duration élevée, ce qui induit une volatilité des fonds propres non justifiée(actifs non destinés à la spéculation). Pour corriger cette erreur les autorités de contrôle,ont décidé de répercuter ces fluctuations sur la valeur des passifs via une prime d’illiqui-dité ajoutée à la courbe des taux sans risque modifiant ainsi le niveau d’actualisation.Les normes QIS 5 décrivait une prime d’illiquidité qui a était remplacé, dans les normesde niveau 2, par deux autres primes la Matching preminum et la Counter cyclical premium.

Matching preminum

La matching premium est une prime qui vient remplacer la prime d’illiquidité utiliséepour le QIS5. Néanmoins cette prime est restrictive puisqu’elle ne s’applique que souscertaines conditions :

- Cantonnement des actifs nécessaire- Cash flow matching- Pas de primes futures- Les coupons doivent être fixes (les titres subordonnées sont exclus)- Les risques de souscription associés au contrat sont les risques de longévité, de frais

et de révisions.

Au vue des critères d’application de la Matching preminum, peu de produit sur lemarché français sont soumis à cette prime.

L’EIOPA propose donc dans le cadre de la matching premium d’actualiser le passif autaux sans risque augmenté d’une prime d’illiquidité entity specific.

La matching premium est calculée comme la différence entre le spread spot et le spreadmoyen long terme calculé sur les actifs correspondants (pondéré par le produit de la du-ration et de la valeur des actifs correspondants).

Counter cyclical premium

La counter-cyclical premium concerne tous les types de produit d’assurances à l’ex-ception de ceux auxquels on appliquerait déjà la matching premium décrite plus haut.Cette prime est appliquée à des produits d’assurances couverts par des obligations d’états

47

uniquement en cas de crise de liquidité et en accord avec l’EIOPA. Cette prime est déter-minée par l’EIOPA et s’applique à chaque point de la courbe des taux sans risque. Ellecorrespond alors à une proportion de l’écart (corrigé du risque de crédit) observé entre lesrendements attendus sur un portefeuille d’actifs de référence et la courbe des taux sansrisque.

48

Deuxième partie

Présentation du modèle Épargne utiliséet de la création des scénarioséconomiques

Dans cette partie nous allons décrire le modèle épargne utilisé pour la projection descontrats. Suivant les scénarios économiques obtenus grâce au générateur de scénarios, lemodèle épargne projette les actifs et passifs de l’assureur afin d’obtenir sa situation éco-nomique à une date donnée. Le modèle ALM que nous allons décrire permet d’étudierl’ensemble des flux économiques qui interviennent dans le calcul du SCR utilisé dans lesuite de l’étude pour la détermination de l’allocation stratégique d’actifs. Dans cette par-tie nous allons présenter comment est modélisée chaque classe d’actifs présents dans notreportefeuille d’étude.

1 Structure des Actifs dans le modèle Épargne

1.1 Modélisation générique des actifs

Chronologie des événements

Nous allons distinguer les événements suivants, mis en indice dans les formules :

1. Initialisation (init) : Date d’inventaire, ou la fin de période précédente.2. Performance (perf) : Prise en compte du scénario économique de la période en cours

(changement de courbe des taux, évolution de l’indice action, etc.)3. Réalignement (real) : Réallocation4. Pilotage du taux (pil) : Réalisation de plus values latentes supplémentaires pour

servir le taux (dernière période de l’année uniquement).

Valorisations comptables et de marché en fonction des événements

Ces formules sont communes à toutes les classes d’actifs. On note VM la valeur demarché, VNC la valeur comptable et PMVR les plus ou moins values latentes réalisées.

49

Figure 15 – Valorisation des actifs

Pour l’ensemble de cette partie Structure des Actifs dans le modèle épargne, nous allonsutiliser les notations suivantes :

- d la date de tombée du flux(d)- τ la durée résiduelle entre la date d et le début de la période suivante t+ 1- flux_capitalisé(t) le flux capitalisé sur la période t du flux(d)

1.2 Obligation à taux fixe

Dans cette partie nous allons présenter comment sont modélisées les obligations à tauxfixes. La modélisation est applicable aux obligations d’État et assimilées ainsi qu’aux obli-gations corporate. Elle n’intègre pas le risque de crédit.

Nominal

Le nominal évolue dans le temps en fonction des ventes. En reprenant la suite d’évé-nements arrivant sur une période, on obtient les formules suivantes :

nominal_init (t) = nominal_pil(t-1)nominal_perf (t) = nominal_init(t)nominal_real (t) = β * nominal_perf(t), impact en cas de ventenominal_pil (t) = nominal_real(t) pas d’impact car pas de réalisation de PVL sup-

plémentaires sur R332 19

Flux

Ils sont constitués des tombées de coupons et des remboursements.

Flux(t) = coupon(t) + remboursement(t)

avec coupon(t) = tx_couponr

∗ nominal_perf(t) si t date de tombée de coupon et rnombre de coupons annuels, 0 sinon.

50

remboursement(t) = nominal_perf(t) ∗ taux_remboursement si t date de terme

Capitalisation du flux

Cas 1 : nous avons une courbe des taux spot en date d

En notant CT (d, τ) le taux zéro coupon en d de maturité τ

F lux_capitalise(t) = flux(d) ∗ (1 + CT (d, τ))τ

Cas 2 : nous n’avons pas une courbe des taux spot en date d

Nous disposons simplement d’une courbe des taux en début de période.En notant TxZCf (t− 1, d, τ) est la courbe des taux zéro coupon forward en d, vue en

début de période, de maturité τ

F lux_capitalise(t) = flux(d) ∗ (1 + TxZCf (t− 1, d, τ))τ

avec TxZCf (t− 1, d, τ) = [ PZC(t−1,d)PZC(t−1,d+τ)

]1τ − 1

VNC

La valeur nette comptable est obtenue en actualisant les flux de l’obligation au taux derendement actuariel (le taux permettant d’intégrer l’amortissement du titre, noté TRA) :

V NCperf (t) =∑N

i=1coupon(t)

(1+TRA)in

+ remboursement(t)

(1+TRA)Nn

avec N le nombre de périodes avant maturité et n le nombre de périodes sur 1 an.

VM

La valeur de marché est obtenue en actualisant les flux de l’obligation aux taux demarché (courbe des taux zéro coupon) :

VM_perf(t) =∑N

i=1coupon(t)

(1+CT (t,i)in

+ remboursement(t)

(1+CT (t,N)Nn

avec CT (t, i) la courbe des taux zéro coupon en t de maturité i.

51

1.3 Obligation à taux variable

Dans cette partie nous allons présenter comment sont modélisées les obligations à tauxvariable. Une obligation à taux variable reverse un coupon dont le taux de coupon estréévalué périodiquement. On considère ici les obligations à taux variables indexées sur leCMS.

Nominal

Le raisonnement est le même que pour les obligations à taux fixe.

Flux

Ils sont constitués des tombées de coupons et des remboursements.

Flux(t) = coupon(t) + remboursement(t)

avec coupon(t) =txCMS(di−1)+marge_additive

r∗ nominal_perf(t) si t date de tombée de

coupon et r nombre de coupons annuels et di−1 date du précédent coupon

remboursement(t) = nominal_perf(t) ∗ taux_remboursement si t date de terme

Cas 1 : nous avons une courbe des taux spot en date de dernière tombée de coupondi−1

txCMS(di−1) = 1−PZC(di−1,m)∑mj=t+1 δ∗PZC(di−1,j)

)

avec δ = 1r

Cas 2 : nous disposons simplement d’une courbe des taux en début de période.

En notant :- t la période dans laquelle s’inscrivent les flux(d) et flux(di−1)- PZCf (d, s,m) le prix du zéro coupon forward en s de maturité m, vu en d

txCMS(di−1) = 1−PZCf (t−1,di−1,m)∑mj=t+1 δ∗PZCf (t−1,di−1+j)

avec δ = 1rfréquence des coupons

et PZCf (t− 1, di−1, j) = PZC(t−1,di−1,j)PZC(t−1,di−1)

Capitalisation du flux

La capitalisation du flux pour les obligations à taux variables est modélisée de la mêmefaçon que pour les obligations à taux fixe.

52

Coupons futurs

Il faut reconstituer la courbe des taux couponnés forwards de maturité m fixée :Obtention des prix zéro coupon forwards pour chaque période future, à partir des prix

ZC :

PZCf (t, s,m) = PZC(t,s+m)PZS(t,s)

avec PZC forward en s de maturité m, vu en t

On a également TxZCf (t, s,m) = ( PZS(t,s)PZS(t,s+m)

)1m − 1

Obtention des courbes des taux forwards pour chaque période future, à partir de lacourbe des taux ZC :

txfCMS(t, h) = 1−PZCf (t,h,m)∑mj=t+1 PZS

f (t,h,j)h > t

On en déduit les coupons forwards :

coupon_fwd(t, i) = txCMS(t,t+i)+marge_additiver

∗ nominal_init(t) avec i>2 et r couponsannuels

Remarques :

1. Les taux CMS utilisés sont ici calculés en partant de la courbe ZC du générateurde scénarios. Le taux CMS sera calculé sur une courbe de taux de notation AAlorsqu’elle sera disponible en entrée du modèle.

2. Le raisonnement est similaire pour obtenir la valorisation d’une obligation sur tauxTEC10, qui est cette fois calculé sur une courbe de taux d’état (notation AAA).

3. Pour les obligations taux variables indexées sur l’Euribor, les formules changent detaux de référence, qui deviennent les taux zéro coupon et leurs forward.

VNC

Les obligations à taux variables sont amorties linéairement.

V NC_perf(t) = V NC_init(t) + remboursement(t+N)−V NC_init(t)N

avec N le nombre de période avant maturité.

VM

Les obligations à taux variables sont amorties linéairement.

V NC_perf(t) = coupon(t)

(1+CT (t,1))1n

+∑N

i=2coupon_fwd(t,i)

(1+CT (t,i))in

+ remboursement(t)

(1+CT (t,N))Nn

avec CT (t, i) la courbe des taux zéro coupon en t de maturité i.

53

1.4 Obligation indexée inflation

Dans cette partie nous allons présenter comment sont modélisées les obligations in-dexée sur l’inflation. Les coupons et le nominal d’une OATi sont réévalués à dates fixéespour prendre en compte l’inflation cumulée depuis le lancement de l’emprunt.

Nominal

Le nominal évolue dans le temps en fonction des ventes. En reprenant la suite d’évé-nements arrivant sur une période, on obtient les formules suivantes :

nominal_init (t) = nominal_pil(t-1)nominal_perf (t) = nominal_init(t) ( 1+ inflation (t))nominal_real (t) = βt * nominal_perf(t), impact en cas de ventenominal_pil (t) = nominal_real(t) pas d’impact car pas de réalisation de PVL sup-

plémentaires sur R332 19

Flux

Ils sont constitués des tombées de coupons et des remboursements.

Flux(t) = coupon(t) + remboursement(t)

avec coupon(t) = tx_couponr

∗ nominal_perf(t) si t date de tombé de coupon et rnombre de coupon annuels

remboursement(t) = Max(nominal_init_MP (t), nominal_perf(t)) si t date determe

En d = t− 1, le nominal_perf(t-1) est impacté de l’inflation depuis la date d’émissiondu titre indexé.

En notant :- BEI(s,u) représente l’inflation sur la période [s,s+u]- CTR(s, τ) le taux réel en s d’échéance τ

Inflation(t) = ((1 +BEI(t− 1, d))d−(t−1)

BEI(t− 1, d) = 1+CT (t−1,d)1+CTR(t−1,d)

− 1

Capitalisation du flux

La capitalisation du flux pour les OATi est modélisée de la même façon que pour lesobligations à taux fixe.

VNC

54

La valeur nette comptable est obtenue en actualisant les flux de l’obligation au taux derendement actuariel (le taux permettant d’intégrer l’amortissement du titre, noté TRA) :

V NCper(f ) =∑N

i=1coupon(t)

(1+TRA)in

+ remboursement(t)

(1+TRA)Nn

avec N le nombre de période avant maturité et n le nombre de période sur un an.

VM

La valeur de marché est obtenue en actualisant les flux de l’obligation aux taux demarché (courbe des taux zéro coupon) :

V NC_perf(t) =∑N

i=1coupon(t)

(1+CTR(t,i))in

+Max(nominal_init_RN(1+CT (t,N))

Nn

, nominal_perf(t)

(1+CTR(t,N))Nn

)

1.5 Actifs indiciels, R.332-20 : Actions

Dans cette partie nous allons présenter comment sont modélisées les actions.

Performance « total return »

Elle est issue des scénarios économiques. Elle se décompose en une partie capital, etune partie revenu (dividende).

tx_perf_tot_return_action(t) = tx_capital_action(t) + tx_div_action(t)

VM

VM_perf(t) = VM_init(t) ∗ (1 + tx_capital_action(t))

VNC

V NC_perf(t) = V NC_init(t)− dotation_PDD(t)

avec dotation_PDD(t) le montant de PDD à doter calculé par le modèle.

Flux

Ils sont constitués des dividendes.

flux(t) = dividendes(t) avec dividendes(t) = tx_div_action(t) ∗ VM_init

55

2 Structure du passif dans le modèle ÉpargneDans cette partie nous allons décrire les différents processus qui interviennent dans

l’écoulement du passif. Nous nous intéresserons plus particulièrement à la déterminationdu taux servi, fonction des hypothèses économiques, utilisé dans l’application de l’étuded’allocation d’actifs.

2.1 Description de l’écoulement du passif

La situation des contrats dont dispose l’assureur, à l’instant de l’étude du portefeuille,est décrite par un l’ensemble des caractéristiques de ces contrats (année de souscription,âge de l’assuré, provisions mathématiques, taux de frais de gestion...) qui vont être utilisépour faire "vivre" ces contrats.

Chaque contrat va subir une série d’évènements selon un ordre précis :1. Versements de primes viennent s’ajouter au montant de la provision mathématique

présente en début d’étude2. Sorties par rachats totaux, rachats partiels et décès3. Sorties par rachats partiels programmés4. Arbitrages hypothétiques, opérés par l’assuré qui choisit de transférer une partie,

ou la totalité, de ces provisions mathématiques d’un fond à un autre (du fond eurovers le fond UC ou inversement)

5. Termes (pour les contrats possédant une date de terme).A la suite de ces évènements le montant des provisions mathématiques et revalorisé au

taux servis (algorithme de détermination du taux servis sera présenté par la suite) pourobtenir le montant de provision mathématique de l’année suivante.Le graphique présent en figure 16 décrit l’écoulement du passif.

Figure 16 – Processus d’écoulement du passif

56

Nous allons maintenant brièvement décrire chacune des étapes évoquées précédem-ment.

1. Versement des primes

Il peut s’agir d’une ouverture de contrat (affaire nouvelle) ou d’un versement de primessur un contrat déjà existant (dans ce cas les primes versées viennent s’ajouter à la provi-sion mathématique n-1). Comme décrit dans la première partie, il peut s’agir de primesuniques, de primes périodiques ou de primes programmées. Les primes sont ventilées entrele support euro et le support UC selon l’allocation fixé dans les caractéristiques du contrat.

2. Sortie par rachat totaux ou partiels

Le rachat peut être total (disparition du contrat du portefeuille de l’assureur) ou partiel( seule une partie de l’encours du contrat est rachetée). Dans les deux cas l’encours euro estrevalorisé, au prorata temporis, au maximum entre le taux annuel garanti par l’assureurà chaque contrat et le taux minimum garanti du contrat racheté (si celui ci dispose d’uneTMG dans ces conditions générales). Pour l’encours UC, l’assuré récupère le montant desprovisions mathématiques tel quel (sauf si ce montant est inférieur à la somme des primesversées et que le contrat dispose dans ces conditions générales d’une garantie plancher,dans ce cas l’assuré récupèrera au moins la somme des primes versées, après compensationavec l’encours euro).

Les rachats totaux peuvent être structurels, dynamiques (causés par un différentielimportant entre le taux servis et le taux des concurrents) ou exceptionnels (causés parune mauvaise conjoncture économique). Le taux de rachat structurel est déterminé à par-tir d’un historique de trois ans glissant et est défini selon des critères d’âge, d’anciennetéet de produit.

3. Sortie par décès

Les sorties par décès surviennent simultanément aux rachats totaux et partiels. De lamême façon que pour les rachats totaux et partiels, les encours euro qui sortent aprèsdécès sont revalorisés au minimum entre le TAG et le TMG. Le montant des encourssortant par décès est obtenu grâce à une table de qx certifiée appliquée à tous les contratsprésents en portefeuille, en fonction de l’âge des assurés.

4. Sortie par rachats partiels programmés

Les rachats partiels programmés interviennent après les flux de décès, rachats partielset totaux si la période correspond à une date de rachat. Ces rachats partiels programmésne concernent qu’une partie des contrats du portefeuille clairement identifiés.

Ils sont revalorisés de la même façon que les rachats totaux.

5. Arbitrages structurels

57

Les arbitrages structurels interviennent après les rachats partiels programmés. Il s’agitde la prise en compte de la volonté de l’assuré de transférer une partie de son épargne d’unsupport à l’autre. Les arbitrage de l’euro vers l’UC sont revalorisé au maximum entre leTAG, le TMG et le taux servis défini en fin d’année par l’assureur.

6.Termes

Prise en compte des échéances des contrats définies dans les conditions générales. Lestermes ont lieu après les arbitrages structurels.

7. Revalorisation des contrats

Les encours restant après la prise en compte de tous ces évènements (primes, rachats,décès, arbitrages, termes) sont revalorisés en fin de périodes. Les encours euros sont reva-lorisés au masimum entre le TAG, le TMG et le taux servi. les encours UC sont revalorisésselon un taux de performance UC calculé à partir des scénarios économiques.

PMEurofin (t) = PMEuro

apres_flux_passif (t− 1) ∗ [1 +Max(TMGi, TAGi, taux_servi)]PMUC

fin (t) = PMUCapres_flux_passif (t− 1) ∗ [1 + tx_perf_UC_nette]

2.2 Algorithme de taux servis

Dans le cadre de l’assurance vie, l’élément qui impacte le plus l’assuré est le taux quel’assureur sera en mesure de lui servir en fin d’année, c’est à dire le taux de revalorisationde l’ensemble des primes que l’assuré à confié à l’assureur.

L’optimisation de ce taux servi est donc un élément essentiel du choix d’une allocationd’actif. Nous allons donc, dans cette partie, présenter l’algorithme de taux servis mis enplace dans le modèle ALM utilisé pour cette étude.

L’algorithme va être traité séquentiellement.

Étape 1 : Dégagement automatique de plus values R.332-20 en cours d’année

Lors de la projection du passif, dans le cas où les scénarios économiques entrainentl’apparition de plus values latentes (PVL) R332 20, le programme de projection met enplace une réalisation automatique de ces PVL. Il s’agit de notre règle d’extériorisationde x % (Dansq notre application présentée en dernière partie, x % = 20 %) des PVLR.332-20. Elles sont réalisées en milieu d’année, après le ré alignement partiel.

Toutes les classes d’actifs R.332-20 sont concernées, on fait un aller-retour sur x % detous les titres R.332-20.

Étape 2 : Test de suffisance de produits financiers

Nous regardons si les produits financiers de l’année affectés aux assurés nous per-mettent de servir le taux commercial. A ce niveau nous raisonnons en montant brut de

58

marge. Il faut donc tout d’abord déterminer le montant de produits financiers nécessairepour servir le taux commercial, appelé PB commerciale brute (notée PB com. brute dansla suite). Dans la suite, lorsque nous évaluerons un montant de PB (revalorisation despassif, y compris intérêts crédités sur les sorties) pour un taux de référence précisé (tauxcommercial, taux servi, etc.), nous utiliserons les assiettes des clients restants en fin d’an-née précédemment.

PB(tx_ref, n) =∑

iMP [Max(tx_ref, TMGi, TAGi) ∗ assiette_restante(i, n) +montant_interetcrdit_sorties(i, n)] ∀n

Ainsi

PB_com_brute(n) =∑

iMP [Max(tx_commercial, TMGi, TAGi) ∗assiette_restante(i, n) +montant_interetcrdit_sorties(i, n)] ∀n

Si les produits financiers sont supérieurs à la PB com. brute, alors on sert le tauxcommercial, et l’excédent est doté à la PPE.

Étape 3 : Si insuffisance de produits financiers

Dans ce cas, nous allons chercher de la richesse par ordre de priorité décrit infra. Nousdéfinissons le montant de richesse supplémentaire à dégager (noté MRSD)

MRSD = PB_com_brute− Produit_financiers

Étape 3.1 : Réalisation de PVL R.332-20 supplémentaires

A ce niveau nous raisonnons toujours en montant brut de marge.On s’autorise à réaliserjusqu’à x % de PVL supplémentaires, c’est-à-dire à vendre toutes les lignes (les ventess’effectuant en proportionnelles). Toutes les classes d’actifs R.332-20 sont concernées, onles vend toutes proportionnellement. On vend selon le coefficient de maintien β défini par :

β = βi = [1− Min(MSRD,PMV LR332−20)

PMV LR332−20]∀ actif i ∈ R332− 20 et avec PMV LR332−20 > 0

Si cette étape est suffisante, alors on sert le taux commercial. Sinon, on définitMRSD1

comme étant le montant de richesse supplémentaire à dégager à l’issu de l’étape 3.1 :

MRSD1 = PB_com_brute− Produit_financiers− (1− β) ∗ PMV LR332−20

Le taux servi brut (ou taux d’équilibre) à prendre en compte pour la suite de l’algo-rithme est un taux de produits financiers « cascade », c’est-à-dire un taux obtenu aprèsle paiement des intérêts crédités aux TMG les plus importants.

Étape 3.2 : Consommation de PPE

Nous raisonnons maintenant en montant net de marge.

59

MRSD1 net = PB_com_nette− PB servie à l’issue de l’étape 3.1

Avec PB_com_nette la revalorisation du passif au taux commercial et la PB servieà l’issue de l’étape 3.1 qui correspond à la revalorisation du passif au "taux cascade".

Si la réalisation de x % des PMVL nest pas suffisante ( MRSD1 > 0 ), alors on s’au-torise à consommer jusqu’à y % de PPE. Soit δ le taux de PPE que l’on doit consommer :

δ = Min(MRSD1netPPE

, y%)

PPEapres_conso3.2 = (1− δ) ∗ PPEavant_conso3.2

Si cette étape est suffisante, alors on sert le taux commercial. Sinon, on définitMRSD2

comme étant le montant de richesse supplémentaire à dégager à l’issu de l’étape 3.1.

MRSD2 = MRSD1 net− δ ∗ PPE

Étape 3.3 : Réduction de la PB commerciale

Nous raisonnons toujours en montant net de marge. Si la consommation de PPE n’estpas suffisante (MRSD2 > 0 ), alors on s’autorise à réduire la PB com. de telle sorte queles rachats dynamiques ne se déclenchent pas. On parle alors de PB commerciale réduite(notée PB com. red.), qui correspond à la distribution du taux commercial diminué duseuil de déclenchement σ des rachats dynamiques :

Taux_commercial_reduit = Taux_commercial − σ

avec PB com red nette la revalorisation du passif au taux commercial réduit. Si PBcom red nette < PB servie à l’issue de l’étape 3.1 +δ ∗ PPE alors on sert le taux corres-pondant à ce niveau de PB, compris entre le taux commercial et le taux commercial réduit.

Étape 3.4 : Réduction des marges variables

Si PB com red nette > PB servie à l’issue de l’étape 3.1 +δ ∗PPE alors on s’autoriseà consommer z % (z = 100 par défaut) des marges variables (marges sur fonds propres etmarges variables assuré).

Soit τvar le taux de marge variable que l’on doit consommer pour servir le taux com-mercial réduit :

τvar = Min(PBcomrednette−PB servie l′issue de,l′etape 3.1−δ∗PPEMargevar

, z%)

Si τvar < z% alors on peut servir le taux commercial réduit, et la marge variable aprèsréduction devient :

60

Margeapresreductionvar = (1− τvar) ∗Margeavantreductionvar

Les montants de marges correspondant aux marges prélevées sur une année n. Ellessont composées des marges fixes et variables assurés et des marges sur fonds propres :

Marge_fixei(n) = PMTFGSE=0i,revalo_tx_eq3.1(n)− PMi,revalo_tx_eq3.1(n)

Marge_variable_assurei(n) = PMTAF=100 %i,revalo_tx_eq3.1(n)− PMi,revalo_tx_eq3.1(n)

Marge_variable_FP (n) = Produit_financiers_actionnaires_apres_TSD

Étape 3.5 : Réduction des marges fixes

Nous avons également avoir la possibilité réduire également la marge fixe (correspon-dant aux chargements sur encours / FGSE), en appliquant un coefficient de réductionτfixe, qui réduira également proportionnellement les commissions sur encours.

Étape 3.6 : Insuffisance pour servir la PB commerciale réduite

Dans ce dernier cas, on va servir le taux brut correspondant à la PB disponible (<taux commercial réduit) :

PB_disponible = PB servie à l’issue de l’étape 3.1+δ ∗ PPE + τvar ∗Margeavant reductionvariable + τvar ∗Margeavant reductionfixe

Ce taux est obtenu par interpolation.On obtient le taux servi net par application de la clause de participation aux bénéfices.

Participation aux bénéfices finales incorporée aux PM

Il s’agit du montant de revalorisation au taux servi du Model Point i, l’année m, notérevalorisation(i,m) .

Elle est obtenue par la différence de la PM revalorisée au taux servi toute l’annéem avec la PM sans revalorisation (taux servi = 0 %). Elle peut également être estiméeautrement (en appliquant le taux servi à de l’assiette notamment).

PB minimale réglementaire

Si la PB servie est inférieure à la PB minimale réglementaire, alors l’excédent est dotéà la PPE.

PB minimale (m) = 90 % Max(Solde souscription (m)- charges d’acquisition de ges-tion nettes (m),0) + Min (Solde souscription (m)- charges d’acquisition de gestion nettes(m),0) + 85 % [Produits financiers assurés (m) + (PRE(m) - PRE(m-1))] * Clé de répar-tition

61

PPEaprespbmini(m)=Max(0, PB minimale (m) -(revalorisation(m) +PPEapresALM(m)−PPEaprespbmini(m− 1))) + PPEapresALM(m)

Avec Solde de souscription(m) = Primes_uniques_brutes_euro(m) + primes_périodiques_euro(m)- prestation_euro(m) - frais_prestation_euro(m) - (PRE(m)- PRE(m-1)) -(PM euro

finper(m)−PM euro

finper(m− 1) - revalorisation (m))

et charges d’acquisition et de gestion nettes (m) = frais_acq_euro (m) + frais_admin_euro(m) + com_enc_euro(m) + comm_sur_primes_euros (m)

La variation de PRE étant prise en compte dans le solde de souscription, les produitsfinanciers assurés sont pris nets de cette variation retraitée de la quote part revenant auxfonds propres (application de la clé de répartition).

Étape 4 : Excédent de PPE

Si la PPE dépasse un certain niveau (cap) x % par rapport à la PM fin, on distribuelexcédent aux assurés.

PBcomplmenttaire(m) = PPEaprespbmini(m)− PPEaprescap(m)PPEapres cap(m) = x% ∗ [PMapresALM(m)+ PB complémentaire (m)]PPEapres cap(m) = x%

1−x%∗ [PMapresALM(m)− PMapres pbmini(m))

On procède identiquement à l’étape 3.6 pour obtenir le taux brut, puis net correspon-dant.

Étape 5 : Réalisation supplémentaire en cas de fortes PVL

En cas de forte PVL R.332-20, et si on n’a pas distribué d’excédent de PPE auxassurés, alors on réalise jusqu’à x % des PVL R332-20 en stock si le niveau de PVLR332-20 dépasse y %, de telle sorte que la PPE soit reconstituée mais ne dépasse pas sonseuil.

3 Mise en place des scénarios économiquesDans cette partie nous allons présenter les différents modèles mathématiques utilisés

par le générateur de scénarios pour simuler l’évolution des cours des différentes classesd’actifs.

Nous allons commencer cette partie en définissant les univers risque neutre (RN) etmonde réel (RW).

62

3.1 Univers risque neutre et monde réel

Univers risque neutre

La technique de la probabilité risque neutre est une méthode utilisée pour calculer lavaleur actualisée des cash flow futurs à partir du taux sans risque basé sur divers scénarios.La méthode de l’univers risque neutre suppose une absence d’opportunité d’arbitrage, c’està dire qu’il n’existe pas de stratégie d’investissement qui permet, à partir d’une mise defond initiale nulle, d’obtenir une richesse terminale positive, non nulle.

L’univers risque neutre suppose également la complétude des marchés : on dit quele marché est complet si et seulement si on peut générer par au moins un portefeuillen’importe quel profil de revenu.

Dans ces conditions un modèle mathématique explique que la valeur attendu des cashflow futurs actualisés à partir du taux sans risque et d’une probabilité de distributiontransformé (la mesure Q) est équivalente à la valeur attendu des cash flow futurs actualisésà partir du taux adéquat et d’une probabilité de distribution historique (la mesure P).

Pour un scénario particulier le cash flow ajusté au risque est égale au cash flow multipliépar la ratio entre la probabilité d’occurrence de ce scénario sur la mesure Q et la probabilitéd’occurrence de ce scénario sur la mesure P.

La méthode de l’univers risque neutre est utilisé car il est souvent difficile de détermi-ner le taux adéquat à utiliser pour l’actualisation des cash flow sous la mesure P alors quesous la mesure Q le taux sans risque est facilement récupérable sur la courbes des tauxsans risque.

Univers monde réel

La méthode de l’univers monde réel est une méthode utilisée pour calculer la valeuractualisée des cash flow en actualisant les cash flow projetés par des taux basés sur plu-sieurs scénarios économiques. Sous cette méthode les cash flows projetés peuvent ne pasêtre ajustés pour des risques incertains entrainant le fait que certains cash flow futurssoient différents des cash flow projetés.

Pour refléter le coût de ces risques incertains, il est commun d’utiliser un taux d’ac-tualisation supérieur au taux sans risque.

Cependant comme précisé précédemment, il est souvent difficile de déterminer com-ment bien ajuster le taux d’actualisation. Si cette ajustement est fait de façon adéquate,la valeur actualisée des cash flow futurs doit être la même dans l’univers risque neutreque dans l’univers monde réel.

Comparaison entre les deux univers

La question de savoir comment choisir entre utiliser la probabilité historique ou utiliserla probabilité risque neutre se pose inévitablement.

Lorsque que l’on cherche à déterminer la valeur actualisée des cash flow futurs, uncalcul dans un univers risque neutre sera privilégié. Cela est la conséquence d’un choix degestion de ces risques dans une logique de couverture.

63

On cherche alors le prix aujourd’hui du portefeuille qui permet de se couvrir dans lefutur. Cependant il existe deux limites à ce raisonnement :

- il faut que le marché soit suffisamment liquide pour pouvoir gérer les couverturessous-jacentes à l’évaluation

- dans de nombreux cas il n’y a pas unicité de la mesure risque neutre, et donc lacouverture est imparfaite. Il faut donc choisir les sources de risques que l’on couvre.

L’utilisation de déflateurs en probabilité historique permet d’obtenir les mêmes résul-tats et est justifiée par la même logique. Le déflateur n’est rien d’autre que la densité deRadon-Nicodym du changement de probabilité qui permet de passer de P à Q : Z = dQ

dP.

Par contre lorsque l’objectif poursuivi est la mise en place d’une stratégie de gestion,la probabilité historique sera privilégiée car le sujet d’étude est en réalité la distributionréelle des paiements futurs.

3.2 Modèle utilisé pour la poche Action

Dans cette partie nous allons présenter le modèle mathématique utilisé par le généra-teur de scénario B+H pour générer le court des actions, à savoir le Stochastic VolatilityJump Diffusion (SVJD).

Présentation du modèle

Le modèle SVJD est un modèle créé à partir de deux modèles mathématiques : lemodèle de Heston à volatilité stochastique et le modèle de diffusion par saut de Merton.Ce modèle à volatilités et sauts stochastiques est utilisé en RN et en RW.

Le modèle de Heston à volatilité stochastique s’appuie sur deux équations différen-tielles, la première qui présente l’évolution du prix des actifs et la seconde qui présentel’évolution de la variance stochastique.

Le modèle de diffusion par saut de Merton décrit également l’évolution du prix desactifs à travers une équation différentielle que l’on peut séparer en une partie continue etune partie discontinue.

La partie continue est modélisée par un mouvement brownien calibré avec un pa-ramètre de volatilité constant. La partie discontinue est modélisée par un processus dePoisson avec un paramètre tirée d’une distribution Log-Normale.

Le modèle de Heston à volatilité stochastique

Le modèle de Heston représente la généralisation du modèle du Black et Scholes. Eneffet le modèle de Black et Scholes ne mettait en place qu’une volatilité constante alorsque le modèle de Heston incorpore une volatilité qui varie avec le temps lors du calculdu prix de l’option. Comme précisé dans la présentation du modèle, Heston s’appuie surles deux équations suivantes pour décrire l’évolution du prix ainsi que l’évolution de lavariance au cours du temps :

dS(t) = µSdt+√υ(t)SdW1(t)

64

d√υ(t) = −β

√υ(t)dt+ δdW2(t)

avec dW1(t)dW2(t) = %dt et W1 et W2 deux processus de Wiener ;S le prix de l’action sous-jacente ;µ le taux de rendement espéré instantané de l’action ;et√υ(t) la volatilité du rendement de l’action.

La volatilité√υ(t) suit le processus de diffusion de Omstein-Uhlenbeck.

Rappel du lemme de Itô

Soit un processus d’Itô Xt, processus stochastique de la forme :

Xt = X0 +t∫

0

µs ds+t∫

0

σs dBs

ou autrement formulé, on a

dXt = µtdt+ σtdBt

avec µt et σt deux fonctions aléatoires satisfaisant quelques hypothèses techniquesd’adaptation au processus Bt.

Si f(Xt, t) est une fonction de classe C2(R ∗R+, R), alors la formule d’Itô s’écrit :

d(f(Xt, t)) = ∂f∂t

(Xt, t)dt+ ∂f∂x

(Xt, t)dXt + 12∂2f∂x2

(Xt, t)σ2t dt

En utilisant le lemme d’Itô, nous pouvons obtenir la formule suivante :

dυ(t) = [δ2 − 2βυ(t)]dt+ 2δ√υ(t)dW2(t)

L’équation ci-dessus peut se réécrire sous la forme du processus de Cox, Ingersoll, etRoss (1985) :

dυ(t) = κ[θ − υ(t)]dt+ σ√υ(t)dW2(t)

Dans ce modèle mathématique, est noté C(t, S(t), υ(t)) le prix d’un dérivé de S(t) etdonc en appliquant le lemme d’Itô et en simplifiant nous obtenons l’équation différentiellesuivante :

∂C∂t

+ S2υ2

∂2C∂S2 + rS ∂C

∂S− rC + [κ(θ − υ(t))− λυ]∂C

∂υ+ σ2υ

2∂2C∂υ2

+ %σSυ ∂2C∂S∂υ

Avec λ le paramètre qui représente le prix du risque de la volatilité défini en fonctiondu prix de l’action, du temps et de la volatilité.

Pour identifier une solution à cette équation différentielle, Heston a mis en place unefonction du prix analogue à celle de la Formule de Black et Scholes :

65

C(t, S(t), υ(t)) = StP1 −Ke−(r(T−t))P2

Avec P1 et P2 des transformés de Fourier inverses.

Le modèle diffusif de saut de Merton

Nous allons maintenant présenter l’autre composante du modèle SVJD, le modèlediffusif de saut de Merton.

Les modèles diffusifs de saut sont apparus pour tenir compte des premières limites desmodèles diffusifs classiques constatées sur les marchés financiers.

Dynamique du sous-jacent

Le modèle de Merton s’appuie sur le modèle initial de Black et Scholes auquel estajoutée une composante de sauts représentée par un processus de Poisson composé. Demême que dans le modèle de Black et Scholes, la dynamique du cours est définie classi-quement au travers d’une équation différentielle stochastique que l’on peut résoudre grâceau lemme d’Itô pour obtenir :

St = S0eXt

Avec S0 le prix à l’instant 0 et

Xt = γ′t+ σWt +∑Nt

i=1 Ji

Avec γ′t+ σWt la partie diffusive et∑Nt

i=1 Ji la partie correspondant au saut.W est un mouvement brownien standard avec W0 = 0. Les constantes γ et σ, stric-

tement positive, sont la dérive et la volatilité de la partie diffusive de la dynamique decours. N est un processus de Poisson simple de paramètre λ .

La suite Ji de variables aléatoires, indépendantes et identiquement distribuées repré-sente la taille des sauts pouvant survenir. Le processus de Poisson composé ainsi constituécorrespond à la composante de saut du modèle. Les processus W, N et la suite de variablesaléatoires Ji sont supposés indépendants.

Nous pouvons donc déduire de l’équation précédente la fonction caractéristique sui-vante :

ΦXt(u) = et(iγ′u−σ

2

2u2+λ(ΦJ (u)−1))

Le modèle à sauts gaussiens de Merton

D’après le modèle de Merton, la dynamique de l’actif peut s’exprimer à partir deséquations différentielles suivantes :

dStSt

=

{(α− λκ)dt+ σdWt, s’il n’y a pas d’évenement de Poisson(α− λκ)dt+ σdWt + (Y − 1), s’il y a saut de Poisson

66

Un saut de prix est caractérisé par la variable aléatoire Y qui fait passer le prix del’actif de St à Y St.

Y − 1 représente alors le pourcentage d’évolution de prix lorsqu’un saut de poisson seproduit. L’espérance mathématique de ce pourcentage est notée par κ = E(Y − 1). Dansce modèle, α représente le rendement instantané espéré sur l’actif St. Le nombre moyend’évènements de Poisson est noté λ.

Nous pouvons donc déduire de l’équation différentielle précédente, l’équation suivante :

St = S0e(α−σ

2

2−λκ)t+σWt+

∑Nti=1 Ji

Modèle SJVD

En regroupant les deux modèles décrits précédemment, nous obtenons le modèle deHeston-Merton, défini par la formule suivante :

dStSt

= (r − d)dt+√υtdW

1t + (eJ − 1)dNt

dVt = κ(θ − υt)dt+ συ√υ(t)dW 2

t

avec l’intensité du saut J qui suit une loi normale. Les mouvements browniens ont unecorrélation %.

Nous avons noté :d et r les taux de dividendes et le taux de rendement de l’action ;θ comme la volatilité long-terme ;συ comme la volatilité de la volatilité.

Avantages et Limites

Ce modèle permet de mieux répliquer la dynamique du smile de volatilité contraire-ment aux modèles à volatilité locale qui ont tendance à l’aplanir.

L’hypothèse de log-normalité des rendements n’est pas vérifiée sur le marché : la vo-latilité de la volatilité n’est pas nulle et la corrélation de la valeur du titre à sa volatilitén’est pas nulle. D’où la nécessité d’introduire des modèles à volatilité stochastique.

De plus en RN, ce modèle permet d’être Market Consitency (définition) avec desoptions de maturités supérieures à 1 an .

Cependant ce modèle met en place une non iso-méthode dans le traitement des cor-rélations : en RW les chocs dus aux sauts impactent les corrélations des actions utiliséespour répliquer des corrélations extrêmes mais ne les impactent pas en RN (corrélationsconstantes) car sinon cela engendre des difficultés pour répliquer les prix des options ob-servés sur le marché (problème de stabilité volatilité-corrélation).

3.3 Modèle utilisé pour la poche Taux

Le générateur de scénario utilisé pour cette étude utilise des modèles mathématiquesdifférents pour générer des courbes de taux nominaux ou des courbes de taux réels. Nous

67

allons commencer par décrire le modèle utilisé pour les taux nominaux.

Présentation du modèle générant la courbe des taux nominaux

Pour générer une courbe des taux nominaux, le générateur de scénario utilise le modèlede Health, Jarrow et Morton (HJM). Ce modèle fait partie des modèles de la structureà termes des taux d’intérêts les plus utilisés. Le modèle HJM contrairement à d’autresmodèles de taux possède l’avantage de s’ajuster automatiquement à la structure des tauxgrâce à un choix judicieux des paramètres qui interviennent. Néanmoins des écarts dansl’ajustement peuvent tout de même apparaitre.

Avant d’étudier précisément le modèle HJM, il convient de rappeler et redémontrerquelques notations

Modélisation des taux à termes

On note P (t, T ) le prix d’une obligation zéro coupon en t qui sera payée en T . Pardéfinition on peut écrire le relation suivante :

P (t, T ) = e−r(T−t)

et donc le taux implicite de l’obligation est donné par la relation suivante :

r = − ln(P (t,T ))(T−t)

Les taux d’intérêts étant variables, nous en déduisons donc que le taux de rendementcontinu s’écrit :

R(t, T ) = − ln(P (t,T ))(T−t)

Ainsi, quelque soit le prix de l’obligation zéro coupon, nous pouvons, à l’aide de R(t, T )reproduire la structure à terme des taux d’intérêt.

Modélisation des taux sans risque instantané

Le taux d’intérêt sans risque instantané peut être vu comme la valeur du taux définiprécédemment sur un intervalle de temps δt que l’on fait tendre vers zéro. Nous pouvonsdonc écrire les relations suivantes :

R(t, t+ δt) = − lnP (t,t+δt)(δt)

et donc par passage à la limite

limδt→0R(t, t+ δt) = limδt→0− lnP (t,t+δt)δt

= rt = R(t, t) = −∂ln(P (t,t))∂T

68

Nous avons donc obtenu la valeur rt du taux sans risque instantané.

Modélisation des taux forward

Nous ne possédons pas encore de relation de passage entre P (t, T ) et R(t, T ). La seulerelation dont nous disposons pour l’instant entre ces deux valeurs implique un passageà la limite et donc une perte d’information. Nous allons essayer de définir une relationgénérale entre P (t, T ) et R(t, T ).

Pour cela nous allons considérer un contrat forward qui garantit à l’instant t de payerun montant dans le futur à l’instant T1 et de recevoir une certaine somme en contrepartieà l’instant T2. Ce forward revient en réalité à exercer une obligation zéro coupon quipayerait un flux à l’instant T2.

Pour trouver le prix de ce forward, nous allons le dupliquer en considérant l’achatd’une obligation zéro coupon de maturité T2 associé à une vente de x valeur d’obligationzéro coupon de maturité T1. Cette stratégie d’investissement a donc un coût initial quel’on estime à

P (t, T2)− xP (t, T1)

Par le principe d’absence d’opportunité d’arbitrage, le coût initial doit être nul et doncla proportion x d’obligation à vendre est égale à

x = P (t,T2)P (t,T1)

x est donc le prix forward qui correspond à l’achat d’une obligation de maturité T2

vue en T1. Or nous savons que le prix forward d’une obligation de maturité T2 vue en T1

peut s’écrire de la façon suivante :P (t,T2)P (t,T1)

= ef1(T2−T1)

Par passage au logarithme nous obtenons la relation suivante :

ln(P (t,T2)P (t,T1)

) = f1(T2 − T1)

et donc

f1 =−ln(

P (t,T2)P (t,T1)

)

T2−T1 = − lnP (t,T2)−lnP (t,T1)T2−T1

en choisissant T1 = T et T2 = T + δt en faisant tendre δt vers zéro on obtient :

f(t, T ) = −∂lnP (t,T )∂T

(On constate que lorsque T = t, c’est-à-dire lorsqu’un emprunt forward s’effectue ins-tantanément, on retombe exactement sur l’expression du taux d’intérêt instantané).

A partir de ces relations, nous allons établir un lien entre P (t, T ) et f(t, T ) et doncentre P (t, T ) et R(t, T ).

En dérivant le formule de R(t, T ) décrite précédemment, nous obtenons :

69

∂R(t,T )∂T

= −∂lnP (t,T )

∂T(T−t)− ∂(T−t)

∂TlnP (t,T )

(T−t)2

=∂P (t,T )∂T

T−t + lnP (t,T )(T−t)2

= f(t,T )T−t −

R(t,T )T−t

f(t, T ) = R(t, T ) + (T − t)∂R(t,T )∂T

Pour obtenir le prix de l’obligation en fonction du taux forward, il ne reste plus qu’aintégrer et ainsi obtenir l’équation suivante :

−T∫t

f(t, u) du = −T∫t

−∂lnP (t,u)∂T

du = −(T − t) lnP (t,T )T−t

et donc

P (t, T ) = e−T∫tf(t,u) du

= e−(T−t)R(t,T )

On peut donc conclure que les trois descriptions des courbes de rendement à l’échéancesont équivalentes et donc donc il suffit de préciser le comportement d’une de ces trois quan-tités.

Méthodologie de Health, Jarrow et Morton

Au vu de l’équivalence des trois descriptions démontrée ci-dessus nous allons nousfocaliser sur la dynamique des taux forward instantanés. Cette dynamique est décrite parl’équation différentielle stochastique suivante :

df(t, T ) = µ(t, T )dt+ σ(t, T )dWt

avec dWt un processus de Wiener standard sous la probabilité historique P . En inté-grant on obtient :

f(t, T ) = f(0, T ) +t∫

0

µ(s, T ) ds+t∫

0

σ(s, T ) dWs

avec comme hypothèse initial f(0, T ) = f ∗(0, T ) où f ∗(0, T ) représente le taux forwardobservable sur le marché.

De plus l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage impose une condition sur µet sur σ. Si le processus λ(t, T ) vérifie la relation

µ(t, T ) = σ(t, T )[T∫t

σ(t, s) ds− λ(t, T )]

70

alors la condition d’absence d’opportunité d’arbitrage s’exprime par l’indépendancede λ(t, T ) vis à vis de T, c’est pourquoi la méthode de Health, Jarrow et Morton proposed’utiliser la probabilité risque neutre Q et ainsi l’évaluation du prix de l’obligation ne faitpas intervenir de prime de risque λ(t).

Sous la probabilité risque neutre, nous obtenons donc une nouvelle équation différen-tielle stochastique :

df(t, T ) = µ(t, T )dt+ σ(t, T )dWt

L’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage existe encore mais, sous la probabilitérisque neutre, ne fait plus intervenir de prime de risque, nous avons donc :

µ(t, T ) = σ(t, T )[T∫t

σ(t, s) ds]

Pour déterminer la valeur d’une obligation il suffit donc de réaliser les étapes suivantes :

1. Identifier sur les marchés la courbe des taux forward instantanés f ∗(0, T )

2. Choisir le processus de volatilité σ(t, T )

3. Déduire la valeur de µ(t, T ) via la relation définie précédemment4. Déterminer le taux forward instantané dans l’univers risque neutre en utilisant la

relation

f(t, T ) = f(0, T ) +t∫

0

µ(s, T ) ds+t∫

0

σ(s, T ) dWs

avec

f(0, T ) = f ∗(0, T )

5. Retrouver le taux court terme en utilisant la relation démontrée précédemmentr(t) = f(t, t) c’est à dire :

r(t) = f(0, t) +t∫

0

µ(s, t) ds+t∫

0

σ(s, t) dWs

6. Combiner l’ensemble des égalités prouvées jusqu’ici pour obtenir l’expression du prixd’une obligation suivante :

P (t, T ) = exp{−(T∫t

f(0, u) du+t∫

0

T∫t

µ(s, u) du ds+t∫

0

T∫t

σ(s, u) du dWs)}

Présentation du modèle générant la courbe des taux réels

Dans cette partie nous allons présenter le modèle mathématique utilisé pour générerles courbes de taux réels (le même modèle est utilisé en RN et RW).

Le générateur de scénario de B+H utilise le modèle de Vasicek à deux facteurs. Nousprésenterons d’abord le modèle général de Vasicek puis le modèle à deux facteurs.

71

Modèle de Vasicek

Le modèle de Vasicek modélise les taux courts sous la forme d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck selon la formule suivante :

dr(t) = k[θ − r(t)]dt+ σdz(t)

avec r(t) : taux court en t ;θ la moyenne sur long terme du taux court ;k la vitesse de retour à la moyenne ;Et z(t) un mouvement brownien.

Cette modélisation permet de prendre en compte l’effet de retour à la moyenne constatésur les taux d’intérêt. En effet lorsque les valeurs des taux sont élevées, elles ont tendanceà être suivies plus fréquemment par des baisses que par des hausses. L’effet inverse estégalement constaté pour des niveaux de taux inhabituellement bas.

Lorsque r(t) est éloigné de θ, l’espérance de variation instantanée de r(t), égale àk(θ − r(t)) est positive si r(t) < θ.

Dans ce cas, le taux court a tendance à augmenter, se rapprochant de la moyenne surle long terme d’autant plus intensément qu’il s’en est écarté et que le paramètre θ estgrand.

A l’inverse, si r(t) > θ , l’espérance de variation instantanée de r(t) est négative etr(t) diminue dans le temps pour se rapprocher de θ.

L’inconvénient de cette modélisation est que le taux court suit un processus gaussien,donc est négatif avec une probabilité non nulle.

La solution explicite de l’équation différentielle stochastique décrite précédemmentest :

r(t) = θ + (r0 − θ)e−tk + σt∫

0

e−(t−u)k dz(u)

Considérons maintenant que le prix en t d’un zéro-coupon délivrant 1 euro en T, notéP(t,T), est une fonction du temps et du taux court r(t), soit P (t, T ) = P (t, T, r(t)).

En appliquant le lemme d’Itô à P (t, T, r(t)) nous obtenons l’équation différentiellesuivante :

dP = [∂P∂t

+ ∂P∂rk(θ − r(t)) + 1

2σ2 ∂2P

∂2r]dt+ ∂P

∂tσdW (t)

Modèle de Vasicek à deux facteurs

Le modèle de Vasicek à deux facteurs s’appuie sur le modèle de Vasicek simple enconsidérant que le taux réel est la somme de deux taux.

dr(t) = α1[m(t)− r(t)]dt+ σ1(dz1 + γ)dt

72

pour le processus du taux court et

dr(t) = α2[µ−m(t)]dt+ σ2(dz2 + γ)dt

pour le processus du taux moyen terme.avecr(0) valeur du taux court initial ;m(0) valeur du taux moyen terme initial ;mu taux infini ;α1 et α2 les vitesses de retour à la moyenne ;σ1 et σ2 les volatilités des processus respectifs ;z1 et z2 deux mouvements browniens géométriques.γ contrôle la prime de risque (γ = 0 en risque neutre) puisqu’il permet d’augmen-

ter/diminuer le taux infini : s’il est négatif, le taux infini Monde Réel < taux infini RN etdès lors la prime de risque arithmétique est positive : r tend vers µ+ γ(α1

α2+ σ1

σ2)

Le premier processus est un processus de retour à la moyenne qui diffuse le tauxinstantané tandis que le second processus rend stochastique le retour à la moyenne dupremier processus par un processus de retour à la moyenne. (Les processus de Wienersont indépendants).

Le premier mouvement brownien donne les chocs qui affectent en tout point de touteéchéance la courbe des rendements à l’échéance et le deuxième mouvement browniendonne des chocs à court terme qui n’affectent que très peu les segments à long terme dela courbe.

L’avantage de ce modèle à deux facteurs réside dans le fait qu’il permet de collerdavantage à la courbe des taux spot.

3.4 Modèle utilisé pour la poche Immobilier

Le générateur de scénario utilise le modèle de Black et Scholes pour simuler l’évolutiondu cours de l’immobilier dans un univers monde réel ou risque neutre.

Le modèle de Black et Scholes est un modèle initialement utilisé pour évaluer le coûtd’options. Il s’agit d’un modèle utilisé en finance afin d’estimer la valeur théorique d’uneoption financière tel un put ou un call. Ce modèle est également utilisé pour dans la miseen place de couverture financière.

Le modèle de Black et Scholes repose sur une série d’hypothèses :

1. le temps est modélisé comme une fonction continue2. les options que l’on cherche à estimer sont de type européennes et donc elles ne

peuvent s’exercer qu’a leur maturité (dans notre étude le générateur de scénarioconsidère la poche immobilier comme un poche d’options européennes)

3. le sous-jacent considéré ne paye pas de dividende ou ne paye que des dividendesconstantes

73

4. le prix du sous-jacent suit un processus dit brownien géométrique qui a la formesuivante :

dS = µSdt+ σdz ⇔ dSS

= µdt+ σdz

où S est le prix du sous-jacent, µ est le taux de rendement attendu, σ est la volatilitéde l’action et dz est un processus de Wiener qui peut s’écrire dz = ε

√t avec ε qui

suit une loi N(0, 1).Un tel processus appartient à la famille des processus de Markov et donc la distri-bution du prix dépend uniquement du prix du sous-jacent à l’instant t

5. il n’y a pas d’opportunité d’arbitrage6. la vente à découvert est possible7. les coûts de transaction sont nuls8. il existe un taux d’intérêt sans risque constant pendant toute la période9. les sous-jacents sont parfaitement divisibles

Ces hypothèses ne sont pas toutes vérifiées dans des conditions réelles de marché fi-nancier, il peut donc apparaître des écarts plus ou moins importants entre la réalité et lemodèle.

Équation différentielle de Black et Scholes

Si f est le prix du sous-jacent, en appliquant le lemme d’Itô, on montre facilement quef suit le processus suivant :

df = ( ∂f∂SµS + ∂f

∂t+ 1

2∂2f∂S2σ

2S2)dt+ ∂f∂SσSdz

On rappel que le processus de Wiener dz est le même dans l’expression de df ci-dessusque dans l’expression de dS rappelé en début de présentation du modèle. En créant unportefeuille composé de S et de f on peut donc éliminer cette composante dz de l’équationci-dessus.

Imaginons un portefeuille composé de −1 sous jacent(vente de dérivé) et + ∂f∂S

sous-jacent (achat de ∂f

∂Ssous-jacent).

La valeur de se portefeuille créé peut donc s’écrire :

P = −f + ∂f∂SS

Soit en étudiant la valeur de ce portefeuille sur un intervalle de temps δt

dP = −df + ∂f∂SdS

En remplaçant df et dS par leurs valeurs respectives on obtient :

dP = (−∂f∂t− 1

2∂2f∂S2σ

2S2)dt

74

faisant ainsi disparaitre la composante dz la seule source d’aléa. Cela signifie que lavariation de la valeur du portefeuille constitué dP est certaine et donc ne peut que êtreégale au taux sans risque. Ainsi nous pouvons écrire l’égalité suivante :

dP = rPdt

et donc on obtient :

−∂f∂t− 1

2∂2f∂S2σ

2S2 = r(f − ∂f∂S

)dt

c’est à dire l’équation différentielle de Black et scholes

∂f∂S

+ rS ∂f∂S

+ 12∂2f∂S2σ

2S2 = rf

Pour déterminer la valeur d’un actif financier dérivé particulier, il convient de définirdes conditions aux limites.

On soulignera que le portefeuille P est sans risque au sens "infinitésimal" : il n’estsans risque que pendant une période de temps extrêmement courte puisque lorsque S ett changent, ∂f

∂Schange aussi.

75

Troisième partie

Mise en place d’une allocationstratégique d’actifs

Le but de cette présentation est d’obtenir une allocation stratégique d’actifs pour unesociété test dans le cadre de la mise en place de la réforme Solvabilité 2.

A la différence de la théorie moderne du portefeuille (Markovitz), nous ne recherchonspas l’optimisation du rendement et du risque moyen du portefeuille d’actifs, mais desindicateurs de rentabilité et de risques propres à l’activité d’assurance vie (indicateursprésentés par la suite).

Après avoir décrit le modèle Épargne, la méthodologie de calcul du SCR ainsi queles modèles mathématiques utilisés par le générateur de scénarios, dans les parties pré-cédentes, nous allons présenter une application de ces modèles à travers l’étude de l’allo-cation stratégique d’actifs. Nous allons commencer par décrire les caractéristiques de lasociété étudiée puis nous présenterons la démarche mise en place pour étudier l’allocationd’actifs. Enfin, après avoir commenté les différents résultats nous conclurons en présentantl’allocation optimale obtenue.

1 Contexte de l’étude et hypothèsesDans cette première partie nous allons présenter les caractéristiques de la société étu-

diée ainsi que l’algorithme de la stratégie d’investissement utilisé pour étudier son alloca-tion stratégique.

1.1 Description du périmètre de l’étude

L’étude qui a été réalisée se base sur la situation économique de la société au 31décembre 2010.

Nous allons commencer par présenter quelle est l’allocation de la société étudié au 31décembre 2010 ainsi que son évolution depuis fin 2007.

La figure 17 nous montre que le poids de la poche taux ne cesse d’augmenter depuisfévrier 2009 pour atteindre environ 82 % fin 2010. La poche action quant à elle représenteun peu plus de 10 % du portefeuille. Le poids de la poche action est relativement stabledepuis début 2010.

Nous allons maintenant nous intéresser plus précisément à la situation du portefeuilled’actifs au 31 décembre 2010.

76

Figure 17 – Évolution de l’allocation d’actifs depuis fin 2007

Figure 18 – Détail de l’allocation d’actifs au 31 décembre 2010

Le PRCA correspond au prix de revient capital amorti.Le tableau présenté en figure 18 montre que le portefeuille d’étude est en plus value

globale (+69 Me essentiellement composé de plus value sur les produits de taux) néan-moins il est caractérisé par une forte moins value action (-163 Me ).

Zoom sur la poche taux

Nous allons maintenant nous intéresser plus particulièrement à la poche taux du por-tefeuille d’actifs. Le tableau suivant récapitule les principales caractéristiques de la poche

77

taux au 31 décembre 2010 de la société étudiée.

Figure 19 – Détail de la poche taux au 31 décembre 2010

On constate que la duration moyenne du portefeuille est relativement courte (moinsde 5,5 ans).

Zoom sur la poche action

Nous allons maintenant nous intéresser plus particulièrement à la poche action duportefeuille d’actifs. Le graphique suivant présente la répartition de la poche action parrating au 31 décembre 2010 de la société étudiée.

Figure 20 – Détail de la poche taux au 31 décembre 2010

Ce graphe montre que le portefeuille action est diversifié et globalement composé d’ac-tion avec un bon rating. Le rating moyen du portefeuille est A.

Nous allons maintenant présenter brièvement le passif au 31 décembre de la sociétéétudiée.

Zoom sur le passif de la société étudiée

Le tableau en figure 21 récapitule les caractéristiques du passif.

78

Figure 21 – Caractéristiques du passif 31 décembre 2010

1.2 Description de la démarche de l’étude

Dans cette partie nous allons présenter la démarche utilisée pour identifier l’allocationstratégique d’actifs dans le cadre de la réforme Solvabilité 2. Comme indiqué dans l’intro-duction de cette partie, l’allocation stratégique ne va pas s’appuyer sur théorie modernedu portefeuille mais sur des indicateurs de rentabilité et de risques (tels le SCR) propresà l’activité d’assurance.

Le modèle mis en place pour le calcul du SCR nécessite des calculs très lourds et trèsgourmands en temps. L’étude va donc être effectuée en trois parties afin d’optimiser lestemps de calculs. Dans une première partie nous allons estimer des allocations d’actifsoptimales grâce à des indicateurs de rentabilité et de risques ne faisant pas intervenirle SCR. Dans une seconde partie, nous effectuerons une étude plus précise sur le SCRbrut obligataire, puis nous testerons la cohérence des allocations prédéterminées dansles deux premières parties, en calculant les SCR nets et taux de couverture associés à cesallocations pour confirmer ou infirmer leur caractère optimal dans une vision Solvabilité 2.

Cette étude va être réalisée grâce à la projection du bilan et du compte de résultat surun horizon de 30 ans, de deux jeux de 1000 scénarios économiques (un jeu en configurationnormale et l’autre en configuration choquée) réalisés d’après les modèles mathématiquesdécrits dans la partie "Mise en place des scénarios économiques".

Cette étude mettra en place une projection du passif (fonds propres, Provisions ma-thématiques euros et UC et autres provisions techniques réglementaires), une projectionde l’actif sur la base de scénarios risque neutre (projection des produits de taux, actions,immobilier, etc en valeur de marché et comptable) et également l’interaction actifs/passifvia la gestion du comportement de l’assureur (taux servi, allocation d’actif, gestion desréserves...) et de l’assuré (rachats conjoncturels...)

79

Les provisions mathématiques sont projetées en prenant en compte tous les événementsde la vie d’un contrat (versement de primes, rachats structurels, rachats dynamiques,arbitrages, décès, arrivée à terme, revalorisation...)

Les parties Euro et UC d’un contrat sont projetées simultanément.Toutes les grandes classes d’actifs sont représentées : Produits de taux (obligations

à taux fixes, taux variables, indexées inflation), actions, immobilier, gestion alternative,private equity (actifs indiciels).

Les valeurs comptables et de marché sont calculées durant la projection conformémentaux méthodes décrites dans la partie "Structure des actifs dans le modèle Épargne".

Les coupons et dividendes sont pris en compte dans les produits financiers.La provision pour dépréciation durable est modélisée, et dotée semestriellement si

besoin.Pour les projections, nous avons pris comme hypothèse que la société étudié était en

run off, c’est-à-dire sans chiffre d’affaires.En cours de projection le modèle peut être amené à vendre certains actifs ou à contrario

acheter des actifs d’une autre classe afin de respecter l’allocation cible. Les caractéristiquesdes actifs à acheter sont fixés en inputs au modèle. Pour cette étude lorsque la poche tauxfixe est inférieur à l’allocation cible, des obligations zéro-coupons dont la maturité estautour de la duration cible, fixé à 5,5 ans, sont achetées. De même pour les obligationsà taux variables, en cas d’insuffisance le modèle achète des obligations indexées sur leTEC10. Enfin pour les OATi, le modèle investit sur des OATi 10 ans.

Description des indicateurs de rentabilité et de risques

Afin de prédéterminer des allocations optimales à tester sous la vision Solvabilité 2,nous allons nous appuyer sur deux types d’indicateurs, des indicateurs vision assurés etdes indicateurs vision actionnaires.

Indicateurs vision assurés

Pour les indicateurs vision assurés, nous avons retenu un indicateur de richesse, et unindicateur de satisfaction assurés sur un horizon de 3 et 10 ans :

TauxPPE =PPEfin anneePMfin annee

Taux d′insuffisance du rendement = taux servi− taux commercial

Le taux commercial est le taux attendu par le client en fin d’année, prenant en compteles conditions de marchés (actions, obligations) et la rémunération des produits d’épargneconcurrents (autres assureurs, Livrets, dépôts à terme, etc...)

Le taux commercial correspond au taux brut que l’on va chercher à servir tous les ans.Dans notre modèle il est fonction des taux courts, des taux longs, de la moyenne sur 5ans du taux long ainsi que de la moyenne sur 3 ans de la performance du CAC.

80

Nous allons donc étudier l’allocation stratégique d’actif à travers les couples (rende-ment, risque) suivant :

- (Moyenne taux de PPE, Volatilité taux de PPE)- (Moyenne taux de PPE, Nombre d’occurrences de l’insuffisance de rendement)- (Moyenne taux de PPE, Moyenne taux d’insuffisance du rendement)

Indicateurs vision actionnaires

Pour les indicateurs vision actionnaires, nous avons retenu un indicateur de richesse,et un indicateur de risque actionnaires sur un horizon de 3 et 10 ans :

V AResultats =∑N

i=1Resultat net IS annee i∏i

j=1(1+txcourts(j))

N = 3 ou 10 ans

V APertes =∑N

i=1Pertesi∏i

j=1(1+txcourts(j))

Pertes = −Min(Resultat net IS, 0)

N = 3 ou 10 ans

Nous allons donc étudier l’allocation stratégique d’actif à travers les couples (rende-ment, risque) suivant :

- (Moyenne VA résultats, Moyenne VA pertes)- (Moyenne VA résultats, Max pertes)- (Moyenne VA résultats, Nombre d’occurrences des pertes)

Représentation graphique des résultats

L’ensemble des résultats obtenus est présenté sous la forme d’un nuage de point re-partie selon les indicateurs étudiés.

Le nuage de points présenté dans la figure 22 représente l’ensemble des allocationstestées pour une classe d’actif et un indicateur choisit.

Un point correspond à une allocation testée (w % action, x %TF, y % TV, zL’indicateur est calculé avec cette allocation, sur 1000 scénarios, en projetant sur 30

ans.A titre d’exemple, le point entouré correspond à une allocation action de 7 %. Sur les

1000 scénarios et sur les 30 années, la moyenne du taux de PPE est de 0,32 % (rende-ment), et sa volatilité de 0,50 % (risque).

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Figure 22 – Exemple de nuage de points

2 Recherche d’une allocation optimale par l’utilisationdes indicateurs classiques

Dans cette partie nous allons rechercher l’allocation d’actifs sans faire intervenir lesindicateurs propres à Solvabilité 2 (SCR, Taux de couverture).

2.1 Résultats indicateurs vision assurés

Nous allons commencer par présenter les résultats issus de l’exploitation des indica-teurs vision assurés.

Allocation Action

Les deux nuages de points figure 23 présentent les résultats des allocations d’actionstestées pour le couple (Moyenne Taux PPE, Nb occurrences insuffisance de rendement) àhorizon 3 ans et 10 ans.

Nous pouvons constater grâce à ces deux nuages de points que l’allocation actionest très discriminante. Nous constatons une grande dispersion des grappes.

Nous remarquons que l’horizon d’investissement est déterminant, en effet lesnuages de points sur 3 ans n’ont pas la même structure que les nuages de points sur 10ans.

Nous notons une croissance du taux de PPE moyen avec l’accumulation de 10 ans deprime de risque actions (437 bps).

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Figure 23 – Nuage de points Allocation Action - Moy Taux PPE

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A première vue, nous pouvons dire que sur l’horizon 3 ans, une allocation faibleen actions (6 % point bleu) est avantageuse. En effet, cette allocation permetd’obtenir un taux de rendement moyen d’environ 1,40 % pour environ 1920 insuffisancesde rendement.

A l’inverse on peut constater à partir de ces deux graphes que sur l’horizon 10 ansc’est l’allocation 16 % la plus optimale avec un taux de rendement moyen d’environ1,95 % pour environ 5100 insuffisances de rendement.

Les quatre nuages de points figure 24 présentent les résultats des couples (MoyenneTaux PPE, Volatilité Taux PPE) et (Moyenne Taux PPE, Moyenne Taux insuffisance derendement) à horizon 3 ans et 10 ans pour l’allocation action.

Figure 24 – Nuage de points Allocations Action

Ces quatre graphes mettent en avant les même résultats que les deux graphes pré-cédent. En effet nous constatons une réduction de 50 % de l’insuffisance de rendementmoyenne sur le long terme en passant de 6 % à 16 % d’allocation actions.

L’ensemble de ces nuages de points permettent de conclure que à moyen terme, lesallocations actions les plus faibles sont optimales alors l’allocation actions estplus avantageuse sur le long terme.

Nous avons donc choisit un compromis sur les deux horizons dans la fourchette [9%,11 %] pour l’allocation d’actions.

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Allocation taux

Les deux nuages de points figure 25 présentent les résultats des allocations taux fixetestées pour le couple (Moyenne Taux PPE, Volatilité Taux PPE ) à horizon 3 ans et 10ans.

Figure 25 – Nuage de points Allocations Action

Nous constatons que l’allocation Duration TF est discriminante sur le long terme.L’horizon d’investissement est déterminant.

A niveau de risque équivalent, l’augmentation de la duration permet la croissancedu taux de PPE. Ceci est particulièrement visible sur le graphe présentant les résultatssur l’horizon 10 ans. En effet, on constate que les points en jaune qui représentent uneduration de 10 ans sont les plus nombreux à se situer dans la région optimale.

Nous pouvons donc dire qu’il y a un réel intérêt à aller chercher du rendementsur la poche TF pour optimiser la PPE.

2.2 Résultats indicateurs vision actionnaires

Nous allons maintenant présenter les résultats issus de l’exploitation des indicateursvision actionnaires.

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Allocation Action

Les deux nuages de points figure 26 présentent les résultats des allocations d’actionstestées pour le couple (Moyenne VA Résultats, Pertes max) à horizon 3 ans et 10 ans.

Figure 26 – Nuage de points Allocation Action - Moy VA Résultats

Ces nuages de points confirment que l’allocation action est discriminante. Nous consta-tons qu’une forte allocation actions (>10 %) pénalise les rendements à moyenet long terme. En effet on constate que allocation action de 16 % (carré bleu) possèdele rendement moyen le plus faible des allocations testées et le risque le plus élevé.

Les allocations actions les plus faibles sont optimales et le critère de risque « pertemaximale » est sévère (niveau de choc annuel > 50 %).

Cela est confirmé par les graphes figure 27 où l’allocation optimale est toujours cellepossédant une poche action faible.

Tout cela nous pousse à ne pas aller au-delà de 9 % pour minimiser le risque de pertemaximale.

Allocation Taux

Les quatre nuages de points présentés en figure 28 illustrent les résultats des allocationstaux fixe testées pour le couple (Moyenne Taux PPE, Pertes max) à horizon 3 ans et 10ans.

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Figure 27 – Nuage de points Allocation Action

Figure 28 – Nuage de points Allocation taux fixe

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Nous constatons que l’allocation TF semble discriminante, elle est liée à l’allocationactions sous jacente. Les deux graphes du haut de la figure 28 prônent une allocationdu portefeuille favorisant la poche Taux. En effet nous pouvons constater que lespoint verts, qui symbolise une allocation composé à 85 % de taux fixe permet, quelquesoit l’horizon, d’optimiser la moyenne taux PEE et de minimiser les pertes.

Les deux graphes du dessous de la figure 28 confirment les résultats obtenus avec lesindicateurs vision assurés, à savoir qu’il est préférable d’avoir des produits de taux avecune duration élevée.

Allocation Gestion Alternative, Private Equity et Immobilier

Les allocations gestion alternative, private equity et immobilier ne sont pasdéterminantes (nuages de points associés disponibles en annexes), l’allocation actuelleest jugée satisfaisante et est donc conservée.

2.3 Synthèse des résultats

L’ensemble de ces nuages de points obtenus permettent de préconiser une baissede la part actions avec une cible à 9 % (contre 11,2 % actuellement). D’un point devue tactique, il convient d’attendre des conditions de marché plus favorables pour vendreune partie de la poche actions et ainsi se rapprocher de l’allocation cible.

Cette baisse de la part actions s’effectue au profit de la poche taux fixe et notammentdu crédit.

Il convient de rechercher du rendement sans dégrader le rating moyen du portefeuilleen cherchant également à optimiser la duration cible, tout en optimisant les contraintesmise en place par Solvabilité 2. C’est dans cette optique que nous allons analyser, dans lapartie suivante, la composante taux du SCR (SCR taux d’intérêt et SCR spread).

Pour ce qui concerne les autres poches, nous conservons la diversification actuelle.

3 Analyse de l’impact de Solvabilité 2 sur la gestion duportefeuille obligataire

Dans la première partie de l’étude, en analysant les indicateurs assurés et actionnairesmis en place, nous avons conclu à la nécessité de réduire la part de la poche action auprofit de la poche taux fixe. Nous proposons donc dans cette partie d’étudier l’impact deSolvabilité 2 sur notre gestion obligataire. En nous basant sur la méthodologie de calculdu SCR obligataire décrite dans la première partie du mémoire, nous allons commencerpar identifier quelles sont les variables obligataires qui influent le plus le montant du SCRtaux afin de déterminer, les variables discriminantes dans l’achat d’une obligation pour unassureur. Nous essayerons ensuite de déterminer, à travers l’étude du couple rendement-risque (en utilisant le SCR brut comme indicateur du risque), si Solvabilité 2 met en place

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des opportunités d’arbitrage entre différents types d’obligations taux fixe. Tous les SCRcalculés dans cette partie sont des SCR bruts. Dans cette partie, est appelé SCR taux, leSCR taux d’intérêt et le SCR spread agrégé.

3.1 Description des hypothèses retenues

Pour effectuer nos calculs de SCR taux, nous avons retenu la courbe des taux swapsau 31/12/2011. La figure 29 décrit la courbe utilisée.

Figure 29 – Courbes des taux au 31/12/2011

Dans la deuxième partie de l’étude, faisant intervenir le couple rendement-risque, nousavons utilisé les taux de rendement réels des obligations de notre échantillon étude. Ce-pendant dans un second temps pour l’étude du ratio Return On Equity (ROE) qui mesurela rentabilité des capitaux immobilisés, nous avons utilisé les taux de rendement moyensprésentés en figure 30.

Ces taux sont issus du générateur de scénario Barry and Hilbert en univers Real World.

3.2 Étude de la sensibilité du SCR aux caractéristiques obliga-taires

Afin de pouvoir déterminer les produits de taux efficients sous Solvabilité 2, nous allonsanalyser la sensibilité du SCR taux aux différentes caractéristiques obligataires.Pour ce faire, nous avons utilisé l’ensemble des obligations de notre société. Notre échan-tillon d’étude se compose d’environ 800 obligations pour un prix de revient d’environ 10milliards d’euros. Cet échantillon est composé à 78 % d’obligations corporate (taux fixeou zéro coupon), avec un rating moyen de A+ et une duration moyenne de 5 ans. Pour

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Figure 30 – Hypothèses de taux de rendement

étudier la sensibilité du SCR taux aux différentes caractéristiques obligataires nous allonsnous intéresser aux corrélations entre ces caractéristiques et le SCR taux. Pour cela nousallons utiliser la mesure de corrélation de Pearson et la mesure de corrélation de rang deSpearman.

Corrélation de Pearson

Le coefficient de corrélation linéaire simple, dit de Bravais-Pearson (ou de Pearson),est une normalisation de la covariance par le produit des écarts-type des variables.

rxy =COV (X, Y )

V (X)V (Y )=COV (X, Y )

σxσy

Corrélation de rang de Spearman

La corrélation de rang de Spearman est calculée lorsque deux variables statistiquessemblent corrélées sans que la relation entre les deux variables soit de type affine. Elleconsiste à trouver un coefficient de corrélation, non pas entre les valeurs prises par lesdeux variables mais entre les rangs de ces valeurs. Elle permet de repérer des corrélationsmonotones. L’analyse des résultats obtenus est la même que pour la corrélation de Pearson.

ρ =

∑i (xi − x)(yi − y)√∑i (xi − x)2(yi − y)2

Nous avons calculé ces corrélations entre le SCR taux et la duration, le rating, lamaturité, le taux nominal, le prix de revient, la valeur boursière et le taux de coupondes obligations de notre échantillon d’étude. Nous avons calculé ces corrélations sur notreéchantillon complet puis sur l’échantillon hors les obligations d’états non soumis au risque

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de spread (le calcul de la corrélation de Spearman étant plus complexe, nous n’avonscalculé les corrélations de Spearman des éléments obligataires uniquement avec le SCRobligataire). Nous obtenons les résultats présentés en figures 31 et 32.

Figure 31 – Tableau de corrélation sur l’échantillon complet

Figure 32 – Tableau de corrélation sur l’échantillon hors les obligations d’états

Nous pouvons constater, à première vue, que les différentes caractéristiques obliga-taires sont globalement corrélées entre elle. En analysant les corrélations des élémentsobligataires avec le SCR taux, nous pouvons constater que la plus forte corrélationest avec la duration, environ 71 % sur l’échantillon global. Ceci est encore plus visiblesur l’échantillon hors obligations d’états, corrélation de 81,4 % (ceci s’explique facilementpar le fait que les obligations d’état ne sont pas soumises au risque de spread, dans lequella composante duration est prépondérante dans la détermination de l’ampleur du choc àappliquer). Nous constatons également une très forte corrélation du SCR taux avecla maturité (environ 75 % sur l’échantillon complet et 81 % sur l’échantillon hors états)ainsi qu’avec le rating (environ 31 % sur l’échantillon complet et 38 % sur l’échantillonhors états). Les autres éléments obligataires sont très faiblement corrélés avec le SCRtaux (inférieurs à 5 %), ce qui nous incite à ne conserver que ces trois critères commeéléments de sélection d’obligations optimales sous le scope Solvabilité 2. En analysant lacorrélation entre la maturité et la duration, nous constatons que ces deux éléments sont

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fortement corrélés (environ 91 % sur l’échantillon complet et 89 % sur l’échantillon horsétats), contrairement aux couples maturité/rating et duration/rating (- 10,6 % entre lamaturité et le rating et -16,7 % entre la duration et le rating). Nous décidons donc de neconserver que la maturité et le rating comme élément de sélection (la maturité est préféréeà la duration car elle est plus facilement calculable).

A partir de l’échantillon disponible (hors états), nous allons représenter le SCR tauxen fonction de la maturité, figure 33, et du rating, figure 34 (pour l’ensemble de l’étudele rang 0 représente le AAA, le rang 1 les AA, AA- et AA+, le rang 2 les A, A- et A+,le rang 3 les ratings BBB, BBB- et BBB+, le rang 4 les BB, BB- et BB+, le rang 5 lesratings B, B- et B+ enfin le rang 6 représente le rating CCC)

Figure 33 – SCR taux en fonction de la maturité

Nous constatons que le SCR taux est une fonction croissante de la maturitéainsi que du rating. Dans le premier graphe, les points ayant un SCR taux très élevésont caractérisés par une maturité longue (supérieur à 10 ans) et un rating défavorable.

L’analyse de ces deux graphes nous pousse à représenter graphiquement le comporte-ment du SCR obligataire moyen pour une tranche de maturité et pour une notation donnée(figure 35). Ce graphe ainsi que le reste de l’étude sera réalisé sur l’échantillon d’obliga-tion hors états, en effet les obligations d’états (EEA plus OCDE bien notée) n’étant passoumis au SCR de spread, leur SCR de taux sera bien inférieur à celui d’une obligationpossédant les mêmes caractéristiques et donc cela fausserait nos conclusions.

Tout d’abord nous observons, sur la figure 35, que globalement pour une maturitédonnées les obligations notées AAA, AA et A consomment sensiblement moinsde capital que les obligations ayant un rating moins favorables.

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Figure 34 – SCR taux en fonction du rating

Figure 35 – SCR obligataire moyen pour une tranche de maturité

Nous pouvons constater que, la partie gauche du graphe , l’écart entre les courbes étaitrelativement faible (hormis les obligations ayant un rating BBB ou BB qui possèdent unSCR taux supérieur aux autres ratings), donc pour les maturités courtes, l’impactdu rating sur le SCR obligataire est moindre, il convient donc de favoriser,en terme de SCR, sur des maturités courtes, des obligations ayant un ratinglégèrement plus faible (A voir BBB) car en moyenne ces obligations possèdent unrendement supérieur.

Globalement, nous pouvons constater que la hausse du SCR obligataire en fonctionde la maturité est bien plus rapide pour les obligations ayant un rating BBB ou BB. Cesrésultats incitent les assureurs soumis à la réforme Solvabilté 2 à délaisser

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les obligations ayant une maturité longue et un rating BBB ou moindre. Atravers ce graphique qui représente le SCR taux en fonction du couple maturité/notation,il est également possible d’obtenir des équivalences entre deux obligations en termes decharge en capital. Par exemple, les trois obligations ayant comme caractéristiques ratingAAA maturité 6 ans, rating A maturité 5 ans et rating BB maturité 2 ans sont quasimentéquivalentes en terme de coût en capital (environ 8 %).

Dans cette partie nous avons donc étudié la sensibilité du SCR taux aux caracté-ristiques obligataires (travaux basés sur la poche taux de notre société d’étude) afin dedéterminer les caractéristiques discriminantes en termes de SCR taux dans l’optique d’uneétude d’allocation d’actifs. Grâce à l’utilisation des corrélations de Pearson et Spearman,nous avons noté que le SCR taux été fortement corrélé à la maturité et au rating, ce quinous a permis d’étudier l’impact de ces caractéristiques sur le SCR taux. Nous avons puainsi constater que les obligations ayant une maturité supérieure à 5 ans étaient fortementpénalisées en termes de charge de capital, ainsi que les obligations possédant un ratinginférieur à A.

3.3 Étude du couple rendement/SCR taux

Dans la partie précédente nous avons réussi à identifier les caractéristiques obligatairesles plus couteuses en charge de capital, nous allons dans cette partie essayer d’identifierl’efficacité d’une prise de risque sous les contraintes de Solvabilité 2, à savoir est ce quecertaines catégories obligataires fourniraient un rendement supérieur qui vien-drait compenser une charge en capital supérieure. Pour cela nous allons focalisernotre étude sur l’analyse du couple rendement/risque avec pour indicateur de risque leSCR obligataire (taux d’intérêt plus spread). Notre échantillon d’étude sera le même quepour la partie précédente, à savoir la poche taux de notre société d’étude.

Dans cette partie, nous allons essayer de voir si la mesure de risque SCR obligatairefavorise certaines catégories obligataires. Pour cela nous allons utiliser le nuage de pointsfigure 36 qui représente le couple rendement-SCR obligataire selon la notation des obliga-tions. La forte volatilité des taux ces dernières années, provoquant une forte volatilité destaux de rendement obligataire, nous ont contraints à ne conserver, pour la figure 36, queles obligations émises entre le 01/01/2011 et le 31/12/2011, afin d’obtenir une cohérencedans les rendements d’une obligation à l’autre.

Tout d’abord, nous notons que les obligations les moins couteuses en SCR sont lesobligations d’état. Cependant, leur taux nominal moyen est inférieur aux taux moyensdes autres obligations.

Concernant les obligations hors états, nous pouvons constater que le nuage de pointssemble pourvoir se décomposer en deux parties, une première sur des faibles niveaux derisque (inférieur à 10 %) et une seconde pour les obligations plus couteuses en charge decapital (supérieur à 10 %).

Dans la première partie du nuage de points, les rendements augmentent en mêmetemps que le SCR obligataire et donc la prise de risque (l’achat d’une obligation

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Figure 36 – Evolution du taux de rendement par rapport au coût en capital

plus couteuse en SCR taux) est rémunérée. Dans la seconde partie, les rémunérationssemblent stagner, il semble donc qu’au-delà d’un certain niveau de risque (auxalentours de 8% dans l’échantillon d’étude), cette prise de risque ne sembleplus rémunérée. Ce comportement s’explique par l’inversion de la structurepar terme de taux. En effet il existe une valeur d’inversion à partir de laquelle lerendement n’augmente plus voir diminue alors que le SCR est toujours croissant.

En analysant la première partie du nuage de points, et plus précisément les obligationsde notations différentes mais ayant le même rendement (obligations AAA et AA rendement4,13 %, obligations AAA, AA et A rendement 3,63 % ou obligations AAA et AA rendement2,75 %), nous constatons que plus la notation est faible, plus le risque pris doit êtreimportant pour obtenir le même rendement. En effet pour le triplet d’obligations AAA,AA et A rendement 3,63 %, les charges en SCR taux sont respectivement, 4,34 %, 5,14% et 6,08 %.

L’analyse du couple rendement/SCR taux, nous a donc permis d’identifier plusieurstendances :

- les obligations d’état sont moins couteuses en SCR mais moins rémunératrices. Dansla suite de l’étude nous ne focaliserons que sur les obligations non gouvernementales (pourles projections de la dernière partie, nous utiliserons la répartition initiale du portefeuilleCorporates/Govies de 70 % / 30 % comme répartition cible afin de ne pénaliser ni le SCRglobal ni le rendement du portefeuille).

- la prise de risque (augmentation du SCR taux) ne rémunère que jusqu’à un certainseuil.

- de plus nous avons constaté que pour obtenir un même rendement, les obligationsayant une notation plus faible nécessitent une charge en capital supérieure.

Dans la suite de notre analyse nous allons étudier le ratio Taux nominal obligataire/

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SCR taux afin d’identifier si certaines obligations génèrent des rendements additionnelssous la norme Solvabilité 2. Pour cela nous avons classé l’ensemble des obligations de notreéchantillon d’étude initial (toujours hors gouvernementales) par rating et par tranche de5 % de charge de capital (le rang 0 pour le coût en capital compris entre 0 et 5 %, rang 1pour le coût en capital compris entre 5 et 10 %...). Pour chaque tranche nous avons cal-culé la duration moyenne, le rendement obligataire moyen, le SCR taux moyen ainsi quele ratio moyen rendement/SCR taux qui correspond au ROE. Nous obtenons le tableaudécrit en figure 37.

Figure 37 – Ratio RoE par tranche de coût en capital et par notation

Tout d’abord nous constatons que, pour un même rating, le ratio diminue avec lal’augmentation de la duration. Nous constatons également que quelque soit le rating leratio est maximal pour les premiers rangs de coût en capital. De même nous constatonsque ce ratio est également maximal pour les plus faibles durations (pour les obligationsAAA le ratio est maximal pour une duration égale à 2,06).

L’assureur cherche à maximiser son ratio Rendement/SCR taux, tout en ayant unportefeuille le mieux raté possible. Or nous constatons en analysant les ratios du rang1 pour les notations AAA, AA et A, qu’à maturité proche (comprise entre 4,7 et4,4 ans), l’impact d’une baisse de la notation est légère, en effet pour les troisnotations, les ratios oscillent à environ 60 %.

L’impact d’une hausse de la duration, dans ces niveaux de notation est luipar contre significatif. En effet pour les obligations ayant un rating AAA, le passaged’une duration de 2,06 à 4,51 entraine une diminution du ratio de 193 % à environ 61%. Un assureur qui souhaiterait donc optimiser le rendement de son portefeuille, sous les

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contraintes de Solvabilité 2, cherchera donc à diminuer le rating des obligations qu’ilachète avant d’investir sur des obligations à plus forte duration. Néanmoinsce raisonnement n’est valable que pour les obligations AAA, AA et A. En effetl’impact du passage A à BBB est bien plus important que l’impact d’un passage AA àA. Nous constatons dans le tableau figure 37, que pour les obligations du rang 1, afinde conserver un ratio d’environ 60 %, la duration moyenne tombe à 2.8 contre 4.4 enmoyenne pour les obligations ayant un rating AAA, AA et A. A duration équivalente enrating BBB, le ratio n’est plus que d’environ 40 %. Afin de conserver un ratio élevé pourles obligations ayant un rating BBB ou même BB, il convient de réduire fortement laduration (un ratio de 247 % est obtenu pour un rating BBB et une duration de 0.99 etde 152 % pour un rating BB et une duration de 0.85)

Afin d’approfondir notre étude du couple rendement/risque, nous avons représentégraphiquement le ROE (figure 38), en fonction de la maturité et du rating en utilisant lesrendements décrits dans les hypothèses. Dans cette représentation nous avons intégré lesobligations gouvernementales.

Figure 38 – Ratio RoE par caractéristique des titres

Le graphe figure 38 nous montre un accroissement significatif de la pentificationdes RoE lorsque la maturité diminue (comme indiqué par les flèches noires). Demême nous pouvons constater que la maturité/duration est le critère discriminant pourle RoE par rapport aux notations en investment grade. De plus ce graphique confirmece que nous avons constaté jusqu’à présent à savoir que la zone d’efficience se situe dansles obligations corporate A pour les maturités faibles (inférieure à cinq ans). Pour lesmaturités supérieures, les obligations souveraines semblent être favorisées.

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L’analyse du ratio Rendement nominal/ SCR, à donc permis de confirmer les élémentsde la première partie de l’étude. A savoir que pour optimiser le ratio rendement/risqueil est préférable d’investir sur des obligations ayant une maturité courte. De même afind’essayer d’améliorer le rendement du portefeuille, une faible dégradation du rating decelui-ci est généralement préférables à un investissement sur une maturité plus longue. Ilconvient cependant de noter que le passage de A à BBB est extrêmement pénalisant enterme de SCR.

3.4 Synthèse des résultats

Dans cette partie nous avons commencé par étudier les sensibilités du SCR aux dif-férentes caractéristiques obligataires, nous avons mis en avant le fait qu’il était possibled’obtenir une perception assez fine du SCR obligataire à partir de deux va-riables, la notation et la maturité. Cela nous a permis d’étudier l’impact de cescaractéristiques sur le SCR taux et nous avons ainsi constaté que les obligations ayantune maturité longue étaient fortement pénalisées en termes de charge de ca-pital, ainsi que les obligations possédant un rating inférieur à A.

Nous avons ensuite analysé le couple rendement/SCR taux, ce qui nous a permis deconstater que la prise de risque (augmentation du SCR taux) ne rémunère quejusqu’à un certain seuil et que pour obtenir un même rendement, les obligations ayantune notation plus faible nécessitent une charge en capital supérieure.

Enfin nous avons calculé le ratio Taux nominal obligataire/SCR taux pour confirmerles premiers éléments et constater qu’il était préférable, pour améliorer le rendement duportefeuille, sous le scope de Solvabilité 2, d’envisager une diminution du rating duportefeuille, plutôt qu’une augmentation de la maturité, à condition d’éviterles investissements sur les obligations ayant un rating inférieur à A car sinonil faudrait envisager une forte diminution de la maturité afin de conserver un ratio tauxnominal obligataire / SCR taux élevé.

4 Recherche d’une allocation optimale par l’utilisationd’indicateurs propres à Solvabilité 2

La première partie de l’étude nous a permis d’identifier une tendance dans l’optimisa-tion de l’allocation d’actifs, à savoir une diminution de la poche action en faveurde la poche taux fixe.

Dans la deuxième partie de l’application, nous nous sommes focalisés sur l’étude duSCR obligataire afin d’identifier sur quel type d’obligations nous devions investir en contre-partie d’une diminution de la poche action.

Dans cette partie nous allons donc essayer de confirmer ou d’infirmer les résultats

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obtenus suite à l’étude des indicateurs vision assurés et actionnaire en faisant intervenirdes indicateurs de risques propres à la réforme Solvabilité 2. Les investissements réalisésdans cette partie en produits de taux sont effectués conformément aux conclusions issuesde l’étude du SCR taux réalisée précédemment, à savoir l’achat d’obligations ayant unrating moyen A et une duration moyenne 5.

Le calcul d’un SCR étant très lourd en temps, il n’est pas possible d’établir des nuagesde points, comme il a été fait dans la première partie, pour déterminer l’allocation opti-male. Nous allons donc tester certaines allocations prédéterminées.

Pour effectuer nos simulations nous sommes partis de la situation réelle du portefeuilleau 31 décembre 2010 et donc sur une allocation d’actif initiale et une richesse initialecommune à toutes les simulations. Nous avons indiqué en données modèle, l’allocationd’actifs cible et la durée de ré-alignement sur l’allocation cible (pour l’ensemble de nossimulations cette durée est fixée à 2 ans).

Afin d’obtenir des résultats significatifs, nous avons réalisé nos calculs de SCR enutilisant deux courbes des taux initiales différentes. Le figure 39 présente les deux courbesde taux de référence, une centrale et une choquée, utilisées pour générer les deux jeux de1000 scénarios nécessaires au calcul complet du SCR net.

Figure 39 – Courbes de référence

4.1 Projection à partir de la situation initiale

A partir des hypothèses précédemment décrites et en utilisant le jeu de scénarios crééà partir de la courbe de taux de référence centrale, nous avons testé les allocations décritesen figure 40.

Les résultats que nous avons obtenus sont décrits en figure 41.

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Figure 40 – Allocations d’actifs testées à partir de la situation initiale

Figure 41 – Décomposition des SCR bruts et nets

Nous constatons que ces résultats sont contre intuitifs. En effet, nous notons que lapremière et seconde allocation, bien que possédant une poche action plus faible quela troisième (5 % et 7 % contre 11 %), possède une composante SCR actionnet plus élevé (673,6 Me et 729,6 Me contre 631,2 Me pour la troisième allocation).

Ceci s’explique en réalité par le fonctionnement de l’algorithme de stratégie d’inves-tissement du modèle. En effet, en début de projection le modèle utilise un portefeuilled’actifs prédéfini (décrit dans la partie "Description du périmètre de l’étude") qui pos-sède une poche actions d’environ 11,2 %. Conformément à l’algorithme, le modèle va donc

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être amené à vendre une partie de ces actions afin d’arriver aux allocations cibles à testerau bout de deux ans (5 % d’action dans l’allocation 1, 7 % d’action dans l’allocation 2 et11 % dans l’allocation 3).

Or comme dans la situation initiale la poche action est en forte moins valuelatente (environ 160 M e de moins value latente), le modèle en vendant ces actifs varéaliser une partie de ces moins value, ce qui impacte directement le montant de la NAVet donc du SCR Action, ce qui explique la hausse du SCR action net en cas de baisse dupoids de la poche action dans l’allocation cible. La ré allocation d’un portefeuille enmoins value latente cristallise les pertes ce qui impacte le SCR.

Afin d’obtenir des résultats exploitables, nous avons donc décidé d’adapter notre mé-thodologie d’étude à l’algorithme d’investissement de notre modèle.

4.2 Projection à partir d’une situation initiale modifiée

Nous avons décidé d’effectuer nos projections, non plus sur la situation initiale d’actifs,mais sur une situation modifiée. Lors de la première partie de l’étude, nous avions concluqu’il fallait diminuer le poids de la poche action en faveur de la poche taux fixe. Nousavons donc décidé de modifier directement l’allocation initiale en la faisant directementcoller à l’allocation cible. Nous avons également choisi de ne pas modifier la richesse duportefeuille d’une allocation à l’autre, les montants de plus ou moins value latente sontdonc identiques sur chaque allocation testée. De même nous avons fait le choix de ne pasmodifier la structure de la poche de taux initiale, la modification de l’allocation globaledu portefeuille a donc été effectuée en modifiant la valeur bilan et la valeur marché deséléments de la poche action du portefeuille afin de faire varier le poids de celle ci. Encontrepartie nous avons fait modifier par homothétie les nominaux et valeur boursière desactifs de taux afin que la valeur globale du portefeuille reste inchangée d’une allocationtestée à l’autre.

Nous avons utilisé les mêmes hypothèses de projections que précédemment.Nous avons testé les six allocations décrites en figure 42 et 43 sur les deux jeux de

scénarios.Sur la base du jeu de scénario créé à partir de la courbe de référence centrale, la mo-

dification de méthodologie nous permet d’obtenir les résultats décrits en figure 44 et 45.

La première chose que l’on constate est le fait que contrairement à l’étude réalisée surla situation initiale, les allocations les plus favorables en termes de SCR brutet net sont celles qui possèdent l’allocation action la plus basse. En effet endéformant directement l’allocation initiale et en conservant la même richesse pour toutesles allocations testées, il n’y a plus de moins value réalisée qui viennent impacter défavo-rablement le SCR action net. Nous allons analyser en détail l’évolution du SCR.

Tout d’abord, nous pouvons constater que d’une allocation à l’autre, les SCR contre-partie sont égaux. Cela s’explique par le fait que les éléments soumis à ce risque sontles mêmes d’une allocation à l’autre. En effet on retrouve dans tous les cas les mêmes ex-

101

Figure 42 – Allocations d’actifs testées à partir de la situation déformée

Figure 43 – Allocations d’actifs testées à partir de la situation déformée

positions de type 1 (couverture CAPs présente dans notre société d’étude, le montant decash en banque, les prêts de titres...) et de type 2 (créances nées d’opérations d’assurance,nées d’opérations diverses ou sur divers débiteurs).

Globalement en analysant la décomposition des SCR bruts et nets, nous notons que lacomposante marché est la plus couteuse en SCR essentiellement à cause du SCR action,taux et spread. Nous notons également que le SCR marché brut et net augmente en mêmetemps que le poids de l’allocation action.

Les SCR action bruts et nets diminuent linéairement en fonction que l’ex-position en action diminue, cela s’explique simplement par le fait que le coût en SCRaction est forfaitaire et grâce à la déformation initiale de l’actif, il n’y a plus de moinsvalue réalisée qui viendrait alourdir ces SCR action.

Comme la diminution de la poche d’action est effectuée au profit de la poche taux, ilest tout à fait naturel que lorsque les SCR action bruts et nets diminuent, les SCR taux

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Figure 44 – Décomposition des SCR bruts et nets

Figure 45 – Décomposition des SCR bruts et nets

bruts et nets augmentent. Néanmoins il convient de noter que la poche action est pluspénalisante que la poche taux. En effet pour le passage de l’allocation 5 % à l’allocation7 %, le SCR action brut augmente de 306,7 Me, contre une diminution de seulement17,1 Me pour le SCR taux brut. De même pour le SCR net action, celui-ci augmente de

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67,3 Me contre une diminution de seulement 21,6 Me du SCR taux net (l’effet est moinsimportant sur le SCR net grâce à un important ajustement Participation aux bénéfices).Cela se vérifie sur chacune des allocations testées, en moyenne nous constatons que, pour1 % de taux transféré en action, le SCR action brut augmente environ 20 foisplus vite que ne diminue le SCR taux brut (cela est réduit à environ 3 foissur les SCR net) et donc clairement, sous Solvabilité 2, les actions sont défavorisées parrapport aux produits de taux.

En analysant les SCR spread, nous constatons que le SCR spread brut et le SCR spreadnet n’évoluent pas de la même façon d’une allocation testée à l’autre. Nous notons que leSCR spread brut augmente lorsque la part action dans l’allocation diminue etdonc la part taux augmente (le SCR spread brut passe de 1036 Me à 1080 Me lorsquel’allocation action passe de 9 % à 7 %). Cela s’explique aisément par l’augmentation de lapoche obligataire. Néanmoins le SCR spread net évolue de façon inverse, à savoirqu’il diminue lorsque la part action dans l’allocation diminue (le SCR spread net passede 271 Me à 248 Me lorsque l’allocation action passe de 9 % à 7 %). Cela s’explique parle fait que la capacité d’absorption du choc soit supérieure dans l’allocation à 7 % quedans l’allocation à 9 %. Dans la situation où la poche action pèse 7% du portefeuille, desrichesses plus importantes permettent une meilleure absorption du choc ce qui expliquel’évolution du SCR spread net par rapport au SCR spread brut. Nous constatons doncque l’analyse de l’évolution du SCR spread net, nous confirme l’intérêt, sousSolvabilité 2, de réduire la poche action.

Le SCR immobilier brut est, lui indépendant de l’allocation testée. En effet, comme lapoche immobilière est identique d’une allocation à l’autre, il est tout à fait normalque les montants de SCR immobilier brut soient identiques. Cependant, les mon-tants de SCR immobilier net varient d’une allocation à l’autre, à savoir qu’il diminuelorsque l’allocation action diminue (passage de 75 Me à 70 Me lorsque l’allocationaction passe de 9 % à 7%). Cela s’explique par les mêmes raison que l’évolution du SCRspread net, à savoir une plus forte capacité d’absorption du choc. Nous voyons donc que,même pour les classes d’actifs non affectées en soi par la modification de la poche action,une meilleure capacité d’absorption du choc pour les allocations à faible ni-veau d’action, incite à réduire le poids de la poche action.

Contrairement aux SCR marché bruts et nets qui augmentent en même temps que l’ex-position action, on peut remarquer que les SCR vie bruts et nets diminuent lorsquel’allocation action augmente, le SCR net passe de 148,9 M e à 143,05 M e lorsquel’allocation passe de 5 % à 7 % d’action (de 637,6 M e à 619,5 M e pour le SCR brut).Nous constatons que l’ensemble des composantes du SCR vie brut et net (mortalité, ra-chat, frais et catastrophe) évolue de la même façon. Cela s’explique par le fait que le SCRvie est calculé sur la base du passif (choc sur le taux de décès appliqué au passif, choc surle taux rachat appliqué au montant des encours ...) et non sur la base de l’actif, commele SCR marché. Or dans les projections effectuées avec des allocations actions faibles, letaux de revalorisation du passif est globalement inférieur à celui des projections réalisées

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avec une allocation d’action plus élevée (le rendement action est globalement supérieurau rendement taux), ce qui permet de moins subir les chocs vie et donc d’obtenir un SCRvie brut et net plus faible. Néanmoins cette diminution des SCR vie bruts et nets esttrès largement inférieure à l’augmentation des SCR actions.

L’analyse des allocations testées à partir de la situation initiale modifiée, sur la basedu jeux de scénario central, nous a permis de constater que la réforme Solvabilité 2est extrêmement pénalisante pour les allocations ayant une part action élevée.

Nous allons essayer de confirmer cette analyse à partir des résultats obtenus grâce auxprojections effectuées sur la base des scénarios choqués. Les figures 46 et 47 présentent ladécomposition des SCR bruts et nets obtenus sur le jeux de scénario choqué.

Figure 46 – Décomposition des SCR brut et net

Commençons par analyser les différences entre les deux séries de projection. Toutd’abord nous constatons que globalement les SCR bruts et nets sont plus élevésdans les projections choquées. Cela est dû à la forte augmentation de la compo-sante SCR vie, elle même causée par l’augmentation du risque SCR rachat, passage de75,6 Me pour le SCR rachat net pour l’allocation 9 % avec la courbe des taux de référenceinitiale, à 292,6 Me pour le SCR équivalent avec la courbe des taux de référence choquée(les SCR mortalité, frais et catastrophe sont globalement stables dans les deux jeux deprojections). Cela s’explique par l’augmentation des rachats massifs. En effet, dansles projections réalisées avec les courbes choquées, le taux commercial, calculé grâce auxcourbes des taux des scénarios, sera bien plus élevé que le taux que notre société d’étudeva pouvoir servir et donc cela entrainera une insatisfaction de nos assurés qui auront une

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Figure 47 – Décomposition des SCR brut et net

plus forte tendance à racheter.

La composante SCR marché net a globalement diminué par rapport aux pro-jections centrales réalisées contrairement aux SCR marché bruts qui eux ont augmenté.La diminution des SCR marché net s’explique par s’explique par la diminution ducoût des options (financement des taux minimum garanti et taux annuel garanti ainsique la garantie en capital) dans les projections réalisées sur un jeu de scénario choqué àla hausse, ce qui entraine une augmentation de la capacité d’absorption du choc. Cepen-dant cette diminution est bien plus faible que l’augmentation du SCR marché net, ce quiexplique l’augmentation du SCR global.

Nous allons maintenant essayer de confirmer les analyses réalisées sur le premier jeude projection.

Nous constatons que l’ensemble des conclusions issues du premier jeux de résultatsse vérifient sur ces projections. En effet nous constatons que globalement les SCR brutset nets augmentent en même temps que la part actions dans l’allocation d’actifs. Celaest encore causé par une augmentation des SCR action bien que faiblement réduit par labaisse des SCR taux et SCR vie.

Nous pouvons donc conclure que, sur les deux courbes des taux de référenceutilisées pour la création des jeux de scénarios, la réforme Solvabilité 2, incite for-tement à une réduction de l’allocation action.

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4.3 Taux de couverture Solvabilité 2

A partir des SCR nets calculés dans la partie précédente, nous allons maintenant nousintéresser aux taux de couverture afin d’analyser l’impact de l’allocation d’actifs sur cesratios.

Description des éléments éligibles

Nous allons présenter les éléments qui constituent les fonds propres éligibles à la cou-verture du SCR. La figure 48 représente les éléments éligibles obtenus pour l’allocationcontenant 9 % d’action.

Figure 48 – Description des éléments éligibles associés à l’allocation 9 % calculés à partirdu jeux de scénarios central

Nous constatons que les fonds propres éligibles, avant Grandfathering, sont composésde fonds propres Tier 1 et Tier 3 uniquement, pour un total d’environ 966 Me . Enanalysant la composition de ce montant, nous pouvons remarquer que les limites de Tier3 sont atteintes.

La clause de Grandfathering, permet de faire basculer les 274 Me de TSDD Tier 3 enTier 2 et ainsi d’augmenter considérablement le montant global de fonds propres éligibles.

De la même façon, nous allons étudier le montant de fonds propres éligibles pourl’ensemble des allocations testées.

D’une allocation à l’autre, seul le poste réserve de réconciliation va varier.En effet le capital social, les Autres réserves (composé des bénéfices non redistribués, desréserves pour fonds de garantie ...), le montant de TSDD et de TSDI sont des caractéris-tiques de la société d’étude et ne varient pas d’une allocation à l’autre.

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La réserve de réconciliation est composée des ajustements sur l’actif, sur les provisionstechniques et sur les autres passifs. Dans les différentes allocations testées, cette réservevarie car les montants d’impôts différés actif ou passif, qui la composent, va-rient et ce à cause de l’évolution des montants de Best Estimate et de valorisation del’actif .

Le montant total de fonds propres éligibles Tier 1 va donc évoluer. Le montant totalde fonds propres éligibles Tier 2 et Tier 3 ne variera pas d’une allocation d’actif à l’autre,cependant comme le montant global de fonds propres éligibles va évoluer, la limite deTier 3 admissible (15 % du montant total) va elle aussi évoluer et donc une plus grandequantité d’éléments Tier 3 sera acceptée pour couvrir le SCR.

Pour les différentes allocations testées avec une situation initiale déformée, nous obte-nons donc les montants de fonds propres éligibles décrits dans la figure 49.

Figure 49 – Description des éléments éligibles associés aux différents allocations testées

A première vue, nous notons que le montant global d’éléments éligibles aug-mente au fur et à mesure que l’allocation action diminue et ce pour les deux jeuxde scénarios. Comme expliqué précédemment, nous pouvons constater que ces évolutionssont causées essentiellement par les mouvements de la réserve de réconcilia-tion (les éléments de Tiers 3 varient seulement car la part admissible varie). La variationsur le montant de réserve de réconciliation s’explique essentiellement par une variationde la valeur de l’ajustement sur les provisions techniques. Cet ajustement est calculé ensommant l’ensemble des différences entre la valorisation des provisions techniques sousSolvabilité 2 et la valorisation de ces mêmes provisions en French Gaap (dans notre casd’étude il s’agit essentiellement de la différence entre les provisions mathématiques euroet le Best Estimate euro associé). Or dans les allocations possédant une part action plusélevée, le passif aura tendance à être mieux revalorisé et donc le Best Estimate du passifsera supérieur. L’écart entre la valorisation French Gaap et le Best Estimate Solvabilité2 sera plus faible entrainant une diminution de la réserve de réconciliation est donc deséléments éligibles.

En analysant les écarts de montant d’éléments éligibles entre le scénario centraleet le scénario choqué, nous constatons que ceux ci sont supérieurs pour les projec-tions effectuées sur le scénario choqué. Cela s’explique par le fait que dans le calcul

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des Best Estimate, les valeurs des encours sont actualisées à des taux plus élevés et doncle Best Estimate, qui correspond à la somme de ces actualisations sera inférieur, ce quiaugmente l’écart entre la valorisation Solvabilité 2 et French Gaap et par conséquent laréserve de réconciliation.

Maintenant que nous disposons du coût en capital associé à chaque allocation testéeainsi que du montant d’éléments éligibles associé, nous allons calculé le taux de couvertureobtenue pour chacune des allocations testées. Le figure 50 présente les résultats obtenues.

Figure 50 – Description des Taux de couverture associés aux différents allocations testées

Nous constatons que quelque soit l’allocation d’actif testée, le taux de couverture aprèsGrandfathering est supérieur à 1. En effet cette clause est très favorable pour le montantd’éléments éligibles et donc sur le taux de couverture. Par contre, nous notons que, avantGrandfathering, sur le scénario central, deux allocations d’actifs entrainent un taux decouverture inférieur à 1 (94,4 % pour l’allocation 10 % et 80,6 % pour l’allocation 11 %),ce qui prône pour une réduction de la poche action pour arriver à une part action inférieurà 10%.

Les taux de couverture calculé sur le scénario choqué sont globalement supérieur etce malgré des SCR nets en hausse, grâce à un montant d’éléments éligibles bien supérieur.

4.4 Synthèse des résultats

Les projections effectuées sur la situation initiale déformée mettent en avant l’impactd’une diminution de la poche action sur le SCR de la société d’étude et donc sur sontaux de couverture. En effet on constate que le poids de la composante action du SCR demarché net diminue de plus de moitié, soit environ 280 Me entre l’allocation 11 % d’actionet l’allocation 5 % d’action, alors que dans le même temps le poids de la composante tauxn’augmente que de 80 Me .

Concernant le taux de couverture, nous constatons que quelque soit l’allocation d’étude,après clause de Grandfathering, celui ci est supérieur à 100 % (au minimum égale à 112 %pour l’allocation 11 % d’action). Néanmoins hors clause de Granffathering, nous consta-tons que le taux de couverture n’est supérieur à 100 % qu’à partir de l’allocation 9 %d’action), donc au vue du caractère temporaire de cette clause il convient de réduire

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le poids de la poche action pour que celle ci soit inférieur à 9 % afin d’être suf-fisamment couvert même avant clause de grandfathering. De plus l’analyse des résultatsobtenus à partir de la courbe de taux choquée montre la forte volatilité du taux de couver-ture, les scénarios utilisés ont un réel impact sur ce taux et donc une situationmoins favorable économiquement pourrait handicaper ce ratio de couverture,ce qui milite pour une réduction encore plus grande de la part action dans l’allocationd’actifs.

Il convient toutefois d’attendre des conditions de marché plus favorable poureffectuer cette diminution car, comme montré dans la partie "Projection à partir de lasituation initiale", la réalisation de moins value lors de cession d’actif impactefortement le SCR action et donc le taux de couverture.

110

ConclusionLa reforme Solvabilité 2 amène chaque assureur à adapter son niveau de fonds propres

en fonction de son profil de risque. Elle bouleverse le modèle économique de l’assurancepar la constatation, en fonds propres, des variations instantanées des marches financiersalors que le modèle économique des assureurs vie repose sur le long terme. Pour mesurer lavolatilité des capitaux propres des sociétés d’assurance, de nombreux tests sont effectués(test Qis, test Long Term Guarantee Assessment).

La reforme Solvabilité 2 incite donc aujourd’hui les assureurs à remettre en cause leurallocation d’actifs afin de limiter la volatilité des leurs fonds propres.

Dans le cadre de ce mémoire d’actuariat, nous avons essayé d’analyser cette évolutionà travers une application sur une société d’assurance vie.

A partir des outils et hypothèses retenues et sur le fondement des normes actuelles,les différentes simulations ont permis de mettre en exergue les éléments suivants :

- L’analyse des indicateurs de performance/risques vision assuré et vision actionnaireincite à réduire l’allocation action de notre société au profit de la poche taux (pour arriverà environ 9 % d’action).

- Le SCR taux, fonction croissante de la duration et du rating, est très favorable auxobligations d’état mais défavorable aux obligations ayant un rating BBB ou inférieur et/ouune duration élevée.

- D’après l’analyse du couple rendement/risque, la prise de risque (augmentation duSCR taux) ne rémunère que jusqu’à un certain seuil (aux alentours d’un SCR brut de 8%dans l’échantillon d’étude). De plus, pour améliorer le rendement, il est préférable, sousle scope de Solvabilité 2, d’opter pour des obligations ayant un rating inférieur plutôt qued’investir sur des durations longues.

- L’analyse des taux de couverture met en avant leur forte volatilité et confirme lanécessité de réduire le poids de la poche actions.

Cependant l’analyse des SCR à partir de la situation initiale a montré que la réallo-cation cristallise les pertes et a un fort impact sur le niveau des SCR. Il convient doncd’attendre des conditions plus favorables pour se désensibiliser en actions.

L’ensemble de ces résultats apportent un éclairage quantitatif sur le risque encouru parles compagnies d’assurance. Néanmoins ils restent fonction des hypothèses initialementretenues.

Les normes n’étant pas encore définitives, une amélioration éventuelle pourrait être lamise en place des éléments amortisseurs (prime contra cyclique) pour limiter la volatilité.

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BibliographieDocumentation Barry and Hilbert

- StochasticV olatilityJumpDiffusionCalibrationDynamicsImplementation.pdf- TechnicalNote199811ACalibrationofa2FactorV asicekModel[1].pdf- LiborMarketModel−MarketConsistentCalibrationMethodology.pdf

Mémoires

- Modélisation et allocation stratégique d’actifs dans le cadre du référentiel Solvabilité2 par L . ALLAG, 2008

- Allocation stratégique d’actifs et ALM pour les régimes de retraite par A. FALEH ,2011

- Pourquoi et comment calibrer le risque de marché sous Solvabilité 2 ? Le rôle centraldu générateur de scénarios économiques par M.DRUAIS, 2012

- Évaluation du risque de marché d’un contrat d’épargne en euros sous Solvabilité II :formule standard et portefeuille répliquant par L.DELAGE 2011

- Eurodiversifié : allocation stratégique d’actifs sous Solvabilité 2 par A. MAZURIE,2011

- Allocation d’actifs stratégique et diversification entre scénarios macroéconomiquespar Pola GIANNI, 2013

Présentations

- Modèles de la courbe des taux d’intérêt, ENSAE, P. PRIAULET- Merton’s Jump Diffuction Model, Bloomberg LP, P.CARR- Allocation d’actifs, Théorie VS pratique, Goldman Sachs Asset management- Draft Implementing measures Solvency 2- Gestion d’actifs et Solvabilité par C.DESCURE et C.BOREAN

Sites Internet

http ://www.ffsa.frhttps ://eiopa.europa.eu/http ://www.acam-france.fr/http ://www.qis5.fr/http ://www.ressources-actuarielles.net/memoireshttp ://www.acp.banque-france.fr/international/les-grands-enjeux/solvabilite-ii.html

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AnnexesArticles du Code des Assurances

Article A. 132-1

Les tarifs pratiqués par les entreprises pratiquant des opérations mentionnées au 1 del’article L. 310-1, en ce compris celles mentionnées à l’article L. 143-1 doivent être établisd’après un taux au plus égal à 75 % du taux moyen des emprunts de l’État français calculésur une base semestrielle sans pouvoir dépasser, au-delà de huit ans, le plus bas des deuxtaux suivants : 3,5 % ou 60 % du taux moyen indiqué ci-dessus. Pour les contrats à primespériodiques ou à capital variable, quelle que soit leur durée, ce taux ne peut excéder leplus bas des deux taux suivants : 3,5 % ou 60 % du taux moyen indiqué ci-dessus.

En ce qui concerne les contrats libellés en devises étrangères, le taux d’intérêt techniquene sera pas supérieur à 75 % du taux moyen des emprunts d’État à long terme du paysde la devise concernée calculé sur base semestrielle ou, à défaut, de la référence du taux àlong terme pertinente pour la devise concernée et équivalente à la référence retenue pourl’euro.

Pour les contrats au-delà de huit ans, le taux du tarif ne pourra en outre être supé-rieur au plafond établi par les réglementations en vigueur dans le pays de chaque deviseconcernée, pour les garanties de même durée, sans pouvoir excéder 60 % du taux moyenvisé à l’alinéa précédent. Il en est de même pour les contrats à primes périodiques.

Le taux moyen des emprunts d’État à retenir est le plus élevé des deux taux suivants :taux à l’émission et taux de rendement sur le marché secondaire.

Les règles définies au présent article sont à appliquer en fonction des taux en vigueurau moment de la souscription et ne sont pas applicables aux opérations de prévoyancecollective visées au chapitre Ier du titre IV du livre IV du code des assurances. Dans lecas de versements non programmés aux termes du contrat, ces règles sont à apprécier aumoment de chaque versement.

Article L. 132-20

L’assureur n’a pas d’action pour exiger le paiement des primes. Le défaut de paiementd’une prime n’a pour sanction, après accomplissement des formalités prescrites par l’articleL. 113-3, que la résiliation pure et simple de l’assurance ou la réduction de ses effets.

Dans les contrats d’assurance en cas de décès faits pour la durée entière de la vie del’assuré, sans condition de survie, et dans tous les contrats où les sommes ou rentes assu-rées sont payables après un certain nombre d’années, le défaut de paiement ne peut avoirpour effet que la réduction du capital ou de la rente assurée, nonobstant toute conventioncontraire, pourvu qu’il ait été payé au moins trois primes annuelles.

Article A. 132-3

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I.-Pour un exercice donné, le montant total de participations aux bénéfices garanti parl’entreprise au titre de l’article A. 132-2 devra être inférieur à un plafond calculé commela différence, lorsqu’elle est positive, entre :

-80 % du produit de la moyenne des taux de rendement des actifs de l’entreprisecalculée pour les deux derniers exercices, par les provisions mathématiques des contratsrelevant des catégories 1, 2, 3, 4, 5 et 7 mentionnées à l’article A. 344-2 au 31 décembrede l’exercice précédent ; et

-la somme des intérêts techniques attribués aux contrats mentionnés au tiret précédentlors de l’exercice précédent.

Pour le calcul mentionné au premier tiret, l’entreprise substitue aux provisions mathé-matiques au 31 décembre de l’exercice précédent les provisions mathématiques estiméesau 31 décembre de l’exercice si celles-ci apparaissent devoir être plus faibles.L’entreprisesubstitue alors pour le même calcul la somme des intérêts techniques estimée au 31 dé-cembre de l’exercice à la somme des intérêts techniques lors de l’exercice précédent.

II.-Les taux garantis mentionnés à l’article A. 132-2 sont exprimés sur une base an-nuelle et sont fixés sur une durée continue au moins égale à six mois et au plus égale à lapériode séparant la date d’effet de la garantie de la fin de l’exercice suivant.

Toutefois cette durée peut être inférieure à six mois pour un souscripteur ou adhérentdonné, dès lors que l’ensemble des assurés d’un contrat collectif ou de contrats individuelsayant les mêmes conditions d’affectation de la participation aux bénéfices bénéficie decette garantie depuis le début de l’exercice.

III.-Les taux garantis mentionnés au II ne peuvent excéder le minimum entre 150 % dutaux d’intérêt technique maximal défini aux articles A. 132-1 et A. 132-1-1 par référenceà 75 % du taux moyen des emprunts d’Etat à la date d’effet de la garantie et le plus élevédes deux taux suivants :

120 % de ce même taux d’intérêt technique maximal et110 % de la moyenne des taux moyens servis aux assurés lors des deux derniers exercices

précédant immédiatement la date d’effet de la garantie.Le taux moyen servi aux assurés est défini à chaque exercice pour l’ensemble des

contrats relevant des catégories 1, 2, 3, 4, 5 et 7 mentionnées à l’article A. 344-2 commele montant cumulé des intérêts techniques et des participations aux bénéfices attribuéesaux assurés rapporté à la moyenne annuelle des provisions mathématiques.

IV.-Par dérogation aux dispositions des I et III, jusqu’à la clôture du deuxième exercicesuivant la délivrance de son agrément, une entreprise peut proposer des taux d’intérêt telsque ceux mentionnés au II qui ne doivent pas excéder 120 % du taux d’intérêt techniquemaximal défini aux articles A. 132-1 et A. 132-1-1 par référence à 75 % du taux moyendes emprunts d’Etat à la date d’effet de la garantie.

V.-Le montant total de participations aux bénéfices garanti au titre de l’article A.132-2 pour l’exercice en cours mais également le cas échéant pour l’exercice suivant doitêtre imputé sur le montant mentionné au premier alinéa du I.

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Toutefois, seul le montant de participations aux bénéfices garanti au titre de l’exerciceen cours s’impute sur le montant mentionné au premier alinéa du I lorsque l’entreprisepropose un taux dont elle n’a pas fixé explicitement la valeur.

Article A. 331-6Le compte financier mentionné à l’article A. 331-4 comprend, en recettes, la part du pro-duit net des placements calculée suivant les règles mentionnées à l’article A. 331-7 et,en dépenses, sur autorisation de l’Autorité de contrôle prudentiel et après justifications,la part des résultats que l’entreprise a dû affecter aux fonds propres pour satisfaire aumontant minimal réglementaire de la marge de solvabilité.

Article A. 331-7

Pour l’établissement du compte défini à l’article A. 331-6, la part du résultat financierà inscrire en recettes de ce compte est égale à la somme des deux éléments suivants :

1. Le produit du montant moyen au cours de l’exercice des provisions techniques brutesde cessions en réassurance des contrats des catégories mentionnées aux 1 à 7 de l’articleA. 344-2, et diminuées de la valeur, calculée conformément aux articles R. 332-19 et R.332-20, des actifs transférés mentionnés au 2, par le taux de rendement des placements(tableaux a à h) figurant à l’annexe à l’article A. 344-3 (point 1.4 A du modèle d’annexe) ;

2. Le montant total des produits financiers nets afférents à des actifs transférés avecun portefeuille de contrats par une entreprise mentionnée au 1 de l’article L. 310-1 etaffectés du code T dans l’état détaillé des placements figurant à l’annexe à l’article A.344-3 (point 1.4 A du modèle d’annexe) autres que ceux mentionnés au 12 de l’article A.344-2.

Le taux de rendement prévu au 1 du présent article est égal au rapport :- du produit net des placements considérés, figurant à l’annexe à l’article A. 344-3,

au compte technique de l’assurance vie, à la rubrique II.2 "Produits des placements"diminuée de la rubrique II.9 "Charges des placements", déduction faite des produits desplacements mentionnés aux a, b et c du I de l’article R. 344-1 ;

- au montant moyen, au cours de l’exercice, des placements mentionnés dans les ta-bleaux a à h de l’état détaillé de la même annexe, autres que ceux mentionnés aux a, bet c du I de l’article R. 344-1.

Résultats Allocations Gestion Alternative, Private Equityet Immobilier

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Figure 51 – Nuage de points Allocation Gestion Alternative et Private equity - Moy VARésultats

Figure 52 – Nuage de points Allocation Immobilier - Moy taux PPE

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