Algorithmique et structures de données

Jean-Claude GEORGES

ESIEE IGI-3005

2019–2020

1/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Types

Les types simples (TS) utilisés

– NB : nombre– ENT : nombre entier (0, 1, -7)– RÉEL : nombre réel (2.35, 1.6 · 10−19)

– BOOL : valeur logique (Vrai, Faux)– CAR : caractère (’A’, ’5’)– ADR : adresse d’une donnée (pointeur)

2/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Instructions

modifie le contenu de x∈ TS

x expression

Instruction 1 - Affectation

exécute les instructions l’une après l’autre

instruction_1

instruction_2

...

instruction_n

ouinstruction_1, instruction_2, ..., instruction_n

Instruction 2 - Bloc d’instructions

3/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Instructions

exécute le bloc d’instructions 1 si la condition est vraie et le bloc

d’instructions 2 si elle est fausse.SI condition ALORS

bloc d’instructions 1

SINON

bloc d’instructions 2

FIN SI

Instruction 3 - Conditionnelle

Note : la clause SINON peut être omise.

4/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Instructions

exécute le bloc d’instructions tant que la condition est vérifiée.

TANT QUE condition FAIRE

bloc d’instructions

FIN TANT QUE

Instruction 4 - Itération

5/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Instructions

associe un nom au bloc d’instructions

PROCÉDURE nomproc

DONNÉES : liste des données non modifiables et leurs types

DONN. MOD.: liste des données modifiables et leurs types

bloc d’instructions

FIN PROCÉDURE

Instruction 5 - Définition de procédure

6/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Instructions

associe un nom au bloc d’instructions calculant une valeur

FONCTION nomfct

DONNÉES : liste des données non modifiables et leurs types

DONN. MOD.: liste des données modifiables et leurs types

RÉSULTAT : type du résultat

bloc d’instructions

RETOUR expression

FIN FONCTION

Instruction 6 - Définition de fonction

7/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Instructions

RécursivitéUne fonction (ou procédure) récursive fait appel à elle-même dansson bloc d’instructions.

fonction faisant appel à elle-même

FONCTION nomfct

...

SI condition particulière ALORS

bloc d’instructions cas particulier

RETOUR expression cas particulier

SINON

bloc d’instructions cas général contenant un appel

à la fonction avec des arguments se ’rapprochant’

du cas particulier

RETOUR expression cas général

FIN FONCTION

Instruction 7 - Exemple de fonction récursive

8/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Échange mémoire

permute les contenus de x et y

utilise une variable d’échange

PROCÉDURE permute

DONN. MOD.: x∈ TS , y∈ TS

tmp x

x y

y tmp

FIN PROCÉDURE

Algorithme 1 - Échange mémoire

9/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Échange mémoire

Échange mémoire : permutation de deux doubles

En C, les données modifiables (ou celles dont on veut économiser lacopie complète) sont transmises par leurs adresses (pointeurs).void permute (double *px, double *py)

double z;z = *px;*px = *py;*py = z;

10/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

Algorithmes sur les suites

Une suite est définie par son premier terme et une applicationpermettant de calculer le prochain terme de la suite en utilisant toutou partie des données parmi :

– un ou plusieurs termes déjà calculés– le rang du terme courant– des paramètres extérieurs

Dans la suite, on utilisera la notation suivant(u) pour l’expressionpermettant le calcul du terme suivant de la suite.De même une condition booléenne sur un terme de la suite seranotée cond(u).

11/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

calcule le terme de rang n de la suite définie par u0 et suivant

itération sur le calcul u suivant(u)

FONCTION calculUn

DONNÉES : u0 ∈ TS , n∈ ENT

RÉSULTAT : TS

u u0 , i 0

TANT QUE i < n FAIRE

u suivant(u)

i i + 1

FIN TANT QUE

RETOUR u

FIN FONCTION

Algorithme 2 - Calcul de un (approche itérative)

12/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

calcule le terme de rang n de la suite définie par u0 et suivant

récursion sur le calcul de suivant(u)

FONCTION calculUn

DONNÉES : u0 ∈ TS , n∈ ENT

RÉSULTAT : TS

SI n=0 ALORS

RETOUR u0

SINON

RETOUR calculUn(suivant(u0), n - 1)

FIN SI

FIN FONCTION

Algorithme 3 - Calcul de un (approche récursive)

13/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

Calcul de un : la factorielle∣∣∣∣ 0! = 1 =⇒ u0 = 1n! = n · (n − 1)! =⇒ suivant(i , u) = i · u

En C En Python

int fact(int n) int i = 1;int u = 1;while (i <= n)

u = u * i;i = i + 1;

return u;

def fact(n):u, i = 1, 1while i <= n:u = u * ii = i + 1

return u

14/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

Calcul de un : la factorielle (suite)Quand on connaît mieux le langage :Itératif Récursif

int f_it1(int n) int i;int f = 1;for (i = 1 ; i <= n ; ++i)

f *= i;return f;

int f_rec1 (int n) if (n <= 0)return 1;

elsereturn n * f_rec1(n - 1);

def f_it1(n):f = 1for i in range(1, n+1):

f *= ireturn f

def f_rec1(n):if (n <= 0):return 1

else:return n * f_rec1(n - 1)

15/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

Calcul de un : la factorielle (fin)Quand on connaît encore mieux le langage :Itératif Récursif

int f_it2 (int n) int f = 1;while (n)

f *= n--;return f;

f(n)n=n?n*f(n-1):1;/* 21 caractèresgcc uniquementSegmentation fault si n<=0*/

def f_it2(n):if n < 1:

return 1for t in range(1, n): #affreux

n *= treturn n

f=lambda n:n<1or n*f(n-1)# 25 caractères# retourne True(==1) si n<=0

16/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

retourne Vrai s’il existe un terme de la suite de rang inférieur ouégal à n vérifiant la condition cond et Faux sinon

itération tant que cond non vérifiée et limite non atteinte

FONCTION ilExiste

DONNÉES : u0 ∈ TS , n∈ ENT

RÉSULTAT : BOOL

i 0 , u u0 , trouvé Faux

TANT QUE non trouvé et i ≤ n FAIRE

SI cond(u) ALORS

trouvé Vrai

SINON

u suivant(u), i i + 1

, FIN SI

FIN TANT QUE

RETOUR trouvé

FIN FONCTION

Algorithme 4 - ∃ i ∈ [0 ; n] P(ui ) est vrai

17/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

Il existe ... : un diviseur de n inférieur à n

int est_compos(int n) int u = 2; /* ici, comme u = i+2, i est inutile */int trouve = 0;while (! trouve && u < n)

if (n % u == 0)trouve = 1;

elseu = u + 1;

return trouve;

Note : Dans la vraie vie, on s’arrête à√n

18/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

retourne Vrai si tous les termes de la suite de rang inférieur ouégal à n vérifient la condition cond et Faux sinon

itération tant que cond vérifiée et limite non atteinte

FONCTION quelQueSoit

DONNÉES : u0 ∈ TS , n∈ ENT

RÉSULTAT : BOOL

i 0 , u u0 , ok Vrai

TANT QUE ok et i ≤ n FAIRE

SI non cond(u) ALORS

ok Faux

SINON

u suivant(u), i i + 1

FIN SI

FIN TANT QUE

RETOUR ok

FIN FONCTION

Algorithme 5 - ∀ i ∈ [0 ; n] P(ui ) est vrai

19/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

Quel que soit ... : d ∈ [2,E(√n)], d ne divise pas n

int premier(int n) int d = 2;int ok = 1;while (ok && d * d <= n)

if (n % d == 0)ok = 0;

elsed = d + 1;

return ok;

Attention : avec ce programme, 0 et 1 sont considérés premiers.

20/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

calcule l’indice du premier terme de la suite qui vérifie une condi-tion cond

itération tant que cond non vérifiée

FONCTION premierQui

DONNÉES : u0 ∈ TS

RÉSULTAT : ENT

i 0 , u u0

TANT QUE non cond(u) FAIRE

u suivant(u), i i + 1

FIN TANT QUE

RETOUR i

FIN FONCTION

Boucle infinie si aucun élément de la suite ne vérifie lacondition. Penser à limiter l’amplitude de la recherche.

Algorithme 6 - Calcul de min i ∈ N / condition(ui)

21/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

Premier qui... : longueur de la suite de SyracuseLa suite de Syracuse est définie par :∣∣∣∣∣∣

u0 = a

un+1 = un/2 (si un est pair)= 3un + 1 (si un est impair)

On conjecture qu’elle finit toujours par atteindre 1.int longueur_syr(int a)

int i = 0;int u = a;while (u != 1)

++i;if (u%2 == 0)

u /= 2;else

u = 3*u + 1;return i;

22/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

calcule la limite d’une suite

itération tant que termes consécutifs différents

FONCTION limiteUn

DONNÉES : u0 ∈ TS

RÉSULTAT : TS

u u0 , v suivant(u)

TANT QUE u 6= v FAIRE

u v , v suivant(u)

FIN TANT QUE

RETOUR u

FIN FONCTION

Boucle infinie si la suite ne converge pas. Penser à limiterl’amplitude de la recherche.En programmation, penser à faire un test de différencerelative.

Algorithme 7 - Limite de (un)n∈N

23/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

Limite : résolution de l’équation cos(x) = x

La suite définie par : ∣∣∣∣∣ u0 = 1un+1 = cos(un)

converge. Sa limite est solution de l’équation cos(x) = x .double resol_cos_x_egale_x()

/* fonctionne car la dérivée de cos < 1inclure <math.h>, compiler avec -lm */

double u = cos(1.0);double v = cos(u);while (fabs(u - v) > 1e-5 * fabs(u))

u = v;v = cos(u);

return v;

24/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

calcule la somme des n+1 premiers termes d’une suite

schéma d’accumulation

FONCTION sigma

DONNÉES : u0 ∈ NB , n∈ ENT

RÉSULTAT : NB

i 0 , u u0 , s 0

TANT QUE i ≤ n FAIRE

s s + u , u suivant(u) , i i + 1

FIN TANT QUE

RETOUR s

FIN FONCTION

Algorithme 8 - Σi=ni=0(ui)

25/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

Série : calcul de Σi=ni=0x

2

int sigma_carres(int n) int i = 0;int u ;int s = 0;while (i <= n)

u = i * i;s += u;++i;

return s;

26/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

retourne la période si détectée avant le ne élément, ou -1

algo. de Pollard : compare à une suite deux fois plus rapide

FONCTION période

DONNÉES : u0 ∈ NB , n∈ ENT

RÉSULTAT : ENT

i 0 , u u0 , v suivant(u)

TANT QUE i≤n et u 6= v FAIRE

u suivant(u) , v suivant(suivant(v)), i i + 1

FIN TANT QUE

SI i>n ALORS

RETOUR -1

SINON

i 1 , u suivant(u)

TANT QUE u 6= v FAIRE

u suivant(u) , i i + 1

FIN TANT QUE

RETOUR i

FIN SI

FIN FONCTION

Algorithme 9 - (un)n∈N périodique à partir d’un certain rang ?

27/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

Algorithme de Pollard

unsigned int periode(unsigned int u0, unsigned int n, unsigned int (*f)(unsigned int)) /* cherche une période pour la suite u0 et u_n=f(u_n-1) */unsigned int i = 0;unsigned int u = u0, v = f(u);while (i <= n && u != v)

++i;u = f(u); v = f(f(v));

if (i > n)

return -1;i = 1; u = f(u);while (u != v)

++i;u = f(u);

return i;

28/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

Nombres pseudo-aléatoiresPour produire des nombres pseudo-aléatoires, on peut utiliser ungénérateur congruentiel linéaire, basé sur des congruences et unefonction linéaire (D.H. Lehmer, 1948) :

Xn+1 = (a · Xn + c) mod m

Un mauvais choix peut être catastrophique (Randu, IBM 1960) :unsigned int Randu(unsigned int n)

/* u_n = ( 65539*u_n-1 ) mod 2^31 */return ( (n << 16) + (n << 1) + n) % 0x80000000;

Période maxi attendue 231 = 2 147 483 648

u0 période1 536 870 9122 268 435 456

1 024 524 288262 144 2 048

29/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

Nombres pseudo-aléatoires (suite)On montre que la période d’un générateur congruentiel linéaire estmaximale (et égale à m) si et seulement si :

– c est premier avec m– pour chaque nombre premier p divisant m, a− 1 est un

multiple de p– si m est un multiple de 4, a− 1 l’est aussi

Le compilateur gcc utilise le même algorithme pour son générateurde nombres pseudo-aléatoires, mais avec a = 1 103 515 245,c = 12 345 et m = 232

static unsigned long __suivant = 1;

unsigned rand(void)

/* pour RAND_MAX = 32767 */

__suivant = __suivant * 1103515245 + 12345;

return((unsigned)(__suivant / 65536) % 32768);

30/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Suites et séries

Nombres pseudo-aléatoires (suite)Le Mersenne TwisterAujourd’hui, le générateur de nombres pseudo-aléatoires le plusréputé est le Mersenne Twister, développé par Makoto Matsumoto etTakuji Nishimura en 1997 (sa période est 219 937 − 1). C’est lui queMaple utilise depuis sa version 11, ainsi que Python, Ruby, R, PHP,MATLAB et la GNU Scientific Library (GSL).Le source C d’une version du Mersenne Twister est disponible ici :http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/ m-mat/MT/MT2002/CODES/mt19937ar.c

En supposant que vous lanciez aujourd’hui un programme Pythongénérant par le Mersenne Twister un billion (1012) de nombrespseudo-aléatoires par seconde, en quelle année reviendra-t-il à sonpoint de départ ?

31/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Le type tableau (TAB de TS)Un tableau est une suite contiguë d’éléments de même type repérés(indicés) par un nombre entier.La numérotation commence à partir de 0 (zéro).L’accès à l’élément no k du tableau t se notera t[k]

La limite d’exploitation du tableau se fait :– soit en précisant un rang limite du tableau (taille)– soit en précisant une sentinelle (élément marqueur de fin)

32/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Parcours d’un tableau sur le nombre d’éléments

t

0 1 i n-11 i n-1

33/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

traite les n premiers éléments d’un tableau

itération sur les n premiers termes

PROCÉDURE parcoursTaille

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT

i 0

TANT QUE i < n FAIRE

traite(t[i])

i i+1

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 10 - Parcours d’un tableau (sur taille)

34/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Un tableau est-il trié ?

int est_trie(double t[], int n) int i ;for (i = 1; i < n; ++i)

if (t[i] < t[i-1]) return 0;

return 1;

35/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Parcours d’un tableau sur sentinelle

t

0 11

36/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

traite les éléments d’un tableau jusqu’à rencontrer une sentinelle

itération jusqu’à la sentinelle

PROCÉDURE parcoursSentinelle

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : sentinelle∈ TS

i 0

TANT QUE t[i] 6= sentinelle FAIRE

traite(t[i])

i i+1

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 11 - Parcours d’un tableau (sentinelle)

37/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Longueur d’une chaîne

int longueur_chaine(char *s) int i ;i = 0;while (s[i] != '\0')

++i;return i;

38/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Initialisation

t

0 1 i n-11 i n-1

? ? ? ?

inittab

t

0 1 i n-11 i n-1

f(0) f(1) f(i) f(n-1)

39/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

initialise les n premiers éléments d’un tableau par une fonction deleurs indicesitération sur les n premiers termes

PROCÉDURE inittab

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT

i 0

TANT QUE i < n FAIRE

t[i] f(i)

i i+1

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 12 - Initialisation d’un tableau

40/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Initialisation d’un tableau trié

double *remplit_trie(double t[], int n) int i;for (i = 0; i < n; ++i)

t[i] = (double)i;return t;

41/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Application (map)

t

0 1 i n-11 i n-1

map

t

0 1 i n-11 i n-1

f(t[0]) f(t[1]) f(t[i]) f(t[n-1])

42/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

modifie les n premiers éléments d’un tableau par une fonction deleurs valeursitération sur les n premiers termes

PROCÉDURE map

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT

i 0

TANT QUE i < n FAIRE

t[i] f(t[i])

i i+1

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 13 - Application sur les éléments d’un tableau

43/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Conversion d’une chaîne en majuscule

char *majuscule(char *t) int i;for (i = 0; t[i] != '\0'; ++i)

if ('a' <= t[i] && t[i] <= 'z') t[i] += 'A' - 'a';

return t;

44/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Copie

src

0 1 i n-11 i n-1

dest

0 1 i n-11 i n-1

copietab

45/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

copie les n premiers éléments d’un tableau src dans un tableaudest

itération sur les n premiers termes

PROCÉDURE copietab

DONN. MOD.: dest∈ TAB de TS, src∈ TAB de TS,

DONNÉES : n∈ ENT

i 0

TANT QUE i < n FAIRE

dest[i] src[i]

i i+1

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Cet algorithme ne gère pas les recouvrements possiblesentre dest et src.

Algorithme 14 - Copie d’un tableau dans un autre

46/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Copie d’une chaîne dans une autre

char *copie_chaine(char *dest, char *src) int i ;for (i = 0; src[i] != '\0'; ++i)

dest[i] = src[i];dest[i] = '\0';return dest;

ou encore :char *copie_chaine(char *dest, char *src)

char *ret = dest;while (*dest++ = *src++);return ret;

47/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Décalage droite

t

d d+1 f-1 fd+1 f

t

d d+1d+2 f f+1d+2 f+1

decaleD

48/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

décale d’une position vers la droite éléments d’un tableaud’indices compris entre d et f

parcours à rebours pour ne pas perdre de valeur

PROCÉDURE decaleD

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : d∈ ENT, f∈ ENT

i f

TANT QUE i ≥ d FAIRE

t[i+1] t[i]

i i-1

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 15 - Décalage droite

49/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Recherche de base dans un tableau

0 i-1

6= x ?

i n-1

?

i n-1

Invariant : ∀ j < i : t[j ] 6= x

50/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

recherche la première occurrence d’une valeur dans un tableau.Retourne sa position si elle existe, -1 sinon

parcours du tableau jusqu’à rencontrer la valeur cherchée

FONCTION rechercheBase

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT, x∈ TS

RÉSULTAT : ENT

i 0

TANT QUE i < n et t[i] 6= x FAIRE

i i+1

FIN TANT QUE

SI i<n ALORS

RETOUR i

SINON

RETOUR -1

FIN SI

FIN FONCTION

Algorithme 16 - Recherche de base

51/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Recherche séquentielle dans un tableau trié

0 i-1

< x ?

i n-1

?

i n-1

Invariant : ∀ j < i : t[j ] < x

52/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

retourne la position d’insertion d’une valeur dans un tableau.

parcours du tableau jusqu’à rencontrer une valeur supérieure ouégale à la valeur cherchée

FONCTION posSeq

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT, x∈ TS

RÉSULTAT : ENT

i 0

TANT QUE i < n et t[i] < x FAIRE

i i+1

FIN TANT QUE

RETOUR i

FIN FONCTION

Algorithme 17 - Recherche séquentielle dans un tableau trié

53/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

Recherche dichotomique dans un tableau trié

t

0

< x

d

< x

d+1 f

≥ x

n-1

≥ x

n

Invariant : d < position(x) ≤ f

(∀ i <= d : t[i ] < x) ∧ (∀ i ≥ f : t[i ] ≥ x)

54/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Gestion de tableaux

retourne la place d’une valeur dans un tableau trié.

test sur l’élément milieu, puis division par 2 de l’intervalle

FONCTION rechercheDicho

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT, x∈ TS

RÉSULTAT : ENT

d -1, f n

TANT QUE d+1 < f FAIRE

m Ent((d+f)/2)

SI t[m]<x ALORS

d m

SINON

f m

FIN SI

FIN TANT QUE

RETOUR f

FIN FONCTION

Algorithme 18 - Recherche dichotomique

55/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Principaux algorithmes de trisUn tri est un traitement permutant les éléments d’un tableau demanière à ce qu’ils soient ordonnés selon un certain critère.

http://www.sorting-algorithms.com/

https://www.youtube.com/watch?annotation_id=annotation_91201&feature=iv&src_vid=nDKGHGdXLEg&v=aXXWXz5rF64

https://www.youtube.com/watch?v=MtcrEhrt_K0 https://www.youtube.com/watch?v=3San3uKKHgg

56/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Tri d’un tableau

t

0 n-10

t

0 n-10

tri

57/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Tri bulleUn balayage consiste à parcourir le tableau en comparant leséléments consécutifs : s’ils sont ordonnés, on les laisse en place,sinon, on les permute.Le be balayage amène le be plus grand élément à sa place.

t

0

≤ t[i ]

i

?

i+1 n-b

si t[i+1]<t[i], permuter t[i+1] et t[i]

Invariant : ∀ j < i : t[j ] ≤ t[i ]

58/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

tri d’un tableau

n-1 balayages, chaque balayage ordonnant les n-1 pairesd’éléments consécutifs

PROCÉDURE triBulleBase

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT

b 1

TANT QUE b < n FAIRE

i 0

TANT QUE i+1 < n FAIRE

SI t[i+1] < t[i] ALORS

permute(t[i+1], t[i])

FIN SI

i i+1 // ∀j < i : t[j ] <= t[i ]FIN TANT QUE

b b+1 // t[0; n − b[<= t[n − b] et t[n − b; n[ est tri eFIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 19 - Tri bulle de base (bubble sort)

59/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un tribulle

Balayage 1

40

01

62

13

34

75

56

27

0 4 6 1 3 7 5 2

0 4 6 1 3 7 5 2

0 4 1 6 3 7 5 2

0 4 1 3 6 7 5 2

0 4 1 3 6 7 5 2

0 4 1 3 6 5 7 2

0 4 1 3 6 5 2 7

Balayage 2

00

41

12

33

64

55

26

77

0 4 1 3 6 5 2 7

0 1 4 3 6 5 2 7

0 1 3 4 6 5 2 7

0 1 3 4 6 5 2 7

0 1 3 4 5 6 2 7

0 1 3 4 5 2 6 7

60/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un tribulle (2)

Balayage 3

00

11

32

43

54

25

66

77

0 1 3 4 5 2 6 7

0 1 3 4 5 2 6 7

0 1 3 4 5 2 6 7

0 1 3 4 5 2 6 7

0 1 3 4 2 5 6 7

Balayage 4

00

11

32

43

24

55

66

77

0 1 3 4 2 5 6 7

0 1 3 4 2 5 6 7

0 1 3 4 2 5 6 7

0 1 3 2 4 5 6 7

61/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un tribulle (3)

Balayage 5

00

11

32

23

44

55

66

77

0 1 3 2 4 5 6 7

0 1 3 2 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

Balayage 6

00

11

22

33

44

55

66

77

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

Balayage 7

00

11

22

33

44

55

66

77

0 1 2 3 4 5 6 7

62/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

tri d’un tableau

diminue le nombre d’éléments à comparer par balayage

PROCÉDURE triBulleAmeliore

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT

TANT QUE n>1 FAIRE

i 0

TANT QUE i+1 < n FAIRE

SI t[i+1] < t[i] ALORS

permute(t[i+1], t[i])

FIN SI

i i+1

FIN TANT QUE

n n-1

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 20 - Tri bulle amélioré (bubble sort)

63/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

tri d’un tableau

arrête le tri si tous les éléments dans l’ordre

PROCÉDURE triBulleOptimal

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT

fini FAUX

TANT QUE PAS fini FAIRE

fini VRAI, i 0

TANT QUE i+1 < n FAIRE

SI t[i+1] < t[i] ALORS

fini FAUX, permute(t[i+1], t[i])

FIN SI

i i+1

FIN TANT QUE

n n-1

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 21 - Tri bulle optimisé (bubble sort)

64/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Tri par sélection (sélection sort)On cherche dans le tableau le plus grand élément. On permute cetélément avec le dernier élément du tableau. On recommence sur letableau privé de ce dernier élément.La ie itération amène le ie plus grand élément à sa place.

t ≤ t[i ]

0 i-1 i n-1

t

0 i-1

MAX

p i n-1

t ≤ t[i − 1]

0 i-1 n-1

65/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

tri d’un tableau

itération sur la recherche de l’indice du plus grand élément et sapermutation avec le dernier élément non encore placé

PROCÉDURE triSelectionIteratif

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT

TANT QUE n>1 FAIRE

p indicePlusGrand(t,n)

permute(t[p],t[n-1])

n n-1

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 22 - Tri par sélection (selection sort)

66/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

recherche de l’indice du plus grand élément du tableau

parcours du tableau mémorisant la position du plus grand élé-ment rencontré jusqu’à présent

FONCTION indicePlusGrand

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT

RÉSULTAT : ENT

ipg 0 , i 1

TANT QUE i < n FAIRE

SI t[i] > t[ipg] ALORS

ipg i

FIN SI

i i+1

FIN TANT QUE

RETOUR ipg

FIN PROCÉDURE

Algorithme 23 - Indice plus grand (annexe du selection sort)

67/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

tri d’un tableau

itération sur la recherche de la position de l’élément no i et inser-tion à sa place

PROCÉDURE triInsertion

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT

i 1

TANT QUE i<n FAIRE

x t[i]

p rechercheDicho(t, i, x) // voir algo 18

decaleD(t, p, i-1) // voir algo 15

t[p] x , i i+1

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 24 - Tri par insertion (insert sort)

68/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

tri d’un tableau

trie les sous tableaux distants de n/2, (n/2)/2, etc..

PROCÉDURE triShell

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT

h Ent(n/2)

TANT QUE h>0 FAIRE

st 0

TANT QUE st<h FAIRE

triSousTableau(t, st, n, h)

st st+1

FIN TANT QUE

h Ent(h/2)

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 25 - Tri Shell

69/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

anexe du tri shell : tri les éléments d’un tableau compris entreindices debut (inclus) et fin (exclus) et distants d’un écart donné

compare des t[i] et t[i+ecart]

PROCÉDURE triSousTableau

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : debut∈ ENT , fin∈ ENT , ecart∈ ENT

i debut

TANT QUE i+ecart < fin FAIRE

j i+ecart

TANT QUE j - ecart ≥0 et t[j-ecart]>t[j] FAIRE

permute(t[j-ecart], t[j])

j j-ecart

FIN TANT QUE

i i+ecart

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 26 - Tri SousTableau (annexe tri Shell)

70/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un tri shell

H=4 Départ=0

40

01

62

13

34

75

56

27

3 0 6 1 4 7 5 2

3 0 6 1 4 7 5 2

3 0 5 1 4 7 6 2

H=2 Départ=0

30

01

52

13

44

75

66

27

3 0 5 1 4 7 6 2

3 0 4 1 5 7 6 2

3 0 4 1 5 7 6 2

71/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un tri shell (2)

H=2 Départ=1

30

01

42

13

54

75

66

27

3 0 4 1 5 7 6 2

3 0 4 1 5 7 6 2

3 0 4 1 5 2 6 7

H=1 Départ=0

30

01

42

13

54

25

66

77

0 3 4 1 5 2 6 7

0 3 4 1 5 2 6 7

0 3 1 4 5 2 6 7

0 1 3 4 5 2 6 7

0 1 3 4 5 2 6 7

72/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un tri shell (3)

H=1 Départ=0 (suite)

00

11

32

43

54

25

66

77

0 1 3 4 2 5 6 7

0 1 3 2 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

73/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

tri d’un tableau

partitionne le tableau compris entre les indices d et f en deuxsous-tableaux disjoints (les petits et les grands), trie récursive-ment chacun des sous-tableaux

// Appeler un tri initial avec triRapide(t, 0, n-1)

PROCÉDURE triRapide

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : d∈ ENT , f∈ ENT

SI f-d ≥ 1 ALORS

p partition(t, d, f)

triRapide(t, d, p-1)

triRapide(t, p+1, f)

FIN SI

FIN PROCÉDURE

Algorithme 27 - Tri rapide (quick sort)

74/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

place les petits devant et les grands derrière; retourne la positionde la frontière

FONCTION partition

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : d∈ ENT , f∈ ENT

RÉSULTAT : ENT

id d, if f

TANT QUE id<if FAIRE

SI t[id+1]≤t[d] ALORS

id id+1

SINON

permute(t[id+1], t[if])

if if-1

FIN SI

FIN TANT QUE

permute(t[d], t[id])

RETOUR id

FIN FONCTION

Algorithme 28 - Partition (annexe du quick sort)

75/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un quick

Quicksort1 [0..8[

40

01

62

13

34

75

56

27

4 0 6 1 3 7 5 2

4 0 2 1 3 7 5 6

4 0 2 1 3 7 5 6

4 0 2 1 3 7 5 6

4 0 2 1 3 7 5 6

4 0 2 1 3 5 7 6

4 0 2 1 3 5 7 6

3 0 2 1 4 5 7 6

Quicksort2 [0..4[

30

01

22

13

44

55

76

67

3 0 2 1 4 5 7 6

3 0 2 1 4 5 7 6

1 0 2 3 4 5 7 6

Quicksort3 [0..3[

10

01

22

33

44

55

76

67

1 0 2 3 4 5 7 6

1 0 2 3 4 5 7 6

0 1 2 3 4 5 7 6

76/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un quick (2)

Quicksort3 [0..3[ (fin)Quicksort2 [0..4[ (fin)

00

11

22

33

44

55

76

67

Quicksort2 [5..8[

00

11

22

33

44

55

76

67

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

Quicksort3 [6..8[

00

11

22

33

44

55

66

77

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

Quicksort3 [6..8[ (fin)Quicksort2 [5..8[ (fin)Quicksort1 [0..8[ (fin)

00

11

22

33

44

55

66

77

77/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

tri d’un tableau

considère le tableau comme un arbre presque parfait et établitune structure de tas

PROCÉDURE triParTas

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT

construireTas(t, n)

n n-1

TANT QUE n>0 FAIRE

permute(t[0],t[n])

n n-1

retablirTas(t, n , 0)

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 29 - Tri par tas (heap sort)

78/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

transforme le tableau en un tas (chaque élément est supérieur àses fils)

itération à rebours du dernier des pères jusqu’à la racine rétablis-sant le tas

PROCÉDURE construireTas

DONN. MOD.: t∈ TAB de TS

DONNÉES : n∈ ENT

pere Ent((n - 1) / 2) // le dernier vrai père

TANT QUE pere ≥ 0 FAIRE

rétablirTas(t, n, pere)

pere pere-1

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 30 - Construire un tas (annexe du heap sort)

79/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un heap

Heapify

40

01

62

13

34

75

56

27

40

01

62

13

34

75

56

27

40

01

62

23

34

75

56

17

40

01

62

23

34

75

56

17

40

01

72

23

34

65

56

17

40

01

72

23

34

65

56

17

80/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un heap (2)

Heapify

40

31

72

23

04

65

56

17

40

31

72

23

04

65

56

17

70

31

42

23

04

65

56

17

70

31

42

23

04

65

56

17

70

31

62

23

04

45

56

17

70

31

62

23

04

45

56

17

81/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un heap (3)

Echange

10

31

62

23

04

45

56

77

10

31

62

23

04

45

56

77

Reheap

60

31

12

23

04

45

56

77

60

31

12

23

04

45

56

77

60

31

52

23

04

45

16

77

60

31

52

23

04

45

16

77

82/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un heap (4)

Echange

10

31

52

23

04

45

66

77

10

31

52

23

04

45

66

77

Reheap

50

31

12

23

04

45

66

77

50

31

12

23

04

45

66

77

50

31

42

23

04

15

66

77

50

31

42

23

04

15

66

77

83/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un heap (5)

Echange

10

31

42

23

04

55

66

77

10

31

42

23

04

55

66

77

Reheap

40

31

12

23

04

55

66

77

40

31

12

23

04

55

66

77

Echange

00

31

12

23

44

55

66

77

00

31

12

23

44

55

66

77

84/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un heap (6)

Reheap

30

01

12

23

44

55

66

77

30

01

12

23

44

55

66

77

Reheap

30

21

12

03

44

55

66

77

30

21

12

03

44

55

66

77

Echange

00

21

12

33

44

55

66

77

00

21

12

33

44

55

66

77

85/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les tris

Exécution d’un heap (7)

Reheap

20

01

12

33

44

55

66

77

20

01

12

33

44

55

66

77

Echange

10

01

22

33

44

55

66

77

10

01

22

33

44

55

66

77

Echange

00

11

22

33

44

55

66

77

00

11

22

33

44

55

66

77

86/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

Les listes chaînéesUne liste chaînée est ensemble de données (les maillons), chacund’entre eux étant constitué d’un contenu (valeur) et d’un chaînage(pointeur en C) vers le maillon suivant de la liste.

Une liste particulière (noté ici NIL) indique la liste vide et sert desentinelle pour marquer le dernier élément de la liste.

L’accès au contenu d’un maillon m sera noté CONTENUm (lecture etécriture) et l’accès à la sous-liste suivant ce maillon sera notéSUIVANTm (lecture et écriture).

Le maillon de tête d’une liste lst sera noté TETElst et l’adressed’un maillon m sera noté ADRESSEm

87/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

Les listes

lst

Une liste

3x

5

y

8z

1a

6b

l0

Une liste vide

/* Exemple de déclaration C */

typedef struct _m int contenu;struct _m * suivant;

maillon, * liste;

int main() maillon b = 6, NULL;maillon a = 1, &b;maillon z = 8, &a;maillon y = 5, &z;maillon x = 3, &y;liste lst = &x;liste l0 = NULL;return 0;

88/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

parcours pour traiter chaque élément d’une liste chaînée.

traitement, puis passage au suivant tant qu’on ne rencontre pas laliste vide.

PROCÉDURE parcoursIterListe

DONNÉES : lst∈ LISTE

TANT QUE lst 6= NIL FAIRE

m TETElst

traite(CONTENUm) // contenu du premier maillon

lst SUIVANTm // suivant du premier maillon

FIN TANT QUE

FIN PROCÉDURE

Algorithme 31 - Parcours itératif d’une liste chaînée

89/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

parcours pour traiter chaque élément d’une liste chaînée.

traitement, puis appel récursif au traitement du suivant

PROCÉDURE parcoursRecListe

DONNÉES : lst∈ LISTE

SI lst 6= NIL ALORS

m TETElst

traite(CONTENUm)

parcoursRecListe(SUIVANTm)

FIN SI

FIN PROCÉDURE

Algorithme 32 - Parcours récursif d’une liste chaînée

90/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

Affichage d’une liste

void affiche (liste lst) /* affiche la liste sous la forme(1, 2, 3) ou () si liste vide */

printf("(");if (lst != NULL)

printf("%d", lst->contenu);lst = lst->suivant;while (lst != NULL)

printf(", %d", lst->contenu);lst = lst->suivant;

printf(")\n");

91/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

Longueur d’une liste

int longueur(liste l) /* retourne la longueur de la liste (0 pour liste vide) */

if (l == NULL) return 0;

else

return 1 + longueur(l->suivant);

92/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

ajouter un nouvel élément en tête de liste

faire suivre le maillon par la liste actuelle, retourner le maillon

FONCTION insereEnTeteFct

DONNÉES : lst∈ LISTE

DONN. MOD.: m∈ MAILLON

RÉSULTAT : LISTE

SUIVANTm lst

RETOUR ADRESSEm

FIN FONCTION

Algorithme 33 - Insertion en tête de liste chaînée (fonction)

Si le maillon inséré est la tête d’une liste de plusd’un élément, le reste de la liste est perdu de parle nouveau chaînage.

93/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

Insertion en tête de liste (fonction)

/* à appeler avec :lst = insereTeteFct(lst, &m)*/liste insereTeteFct(liste lst, maillon * pm)

pm->suivant = lst;return pm;

94/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

ajouter un nouvel élément en tête de liste

faire suivre le nouveau maillon de la liste actuelle, modifier la listepour que le le nouveau maillon soit sa tête

PROCÉDURE insereEnTeteProc

DONN. MOD.: lst∈ LISTE , m∈ MAILLON

SUIVANTm lst

lst ADRESSEm

FIN PROCÉDURE

Si le maillon inséré est la tête d’une liste de plus d’un élé-ment, le reste de la liste est perdu de par le nouveau chaî-nage.

Algorithme 34 - Insertion en tête de liste chaînée (procédure)

95/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

Insertion en tête de liste (procédure)

/* à appeler avec :insereTeteProc(&l, &m)*/void insereTeteProc(liste * pl, maillon * pm)

pm->suivant = *pl;*pl = pm;

96/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

supprimer la tête de liste

retourner le suivant de la tête actuelle

FONCTION supprimeTeteFonc

DONNÉES : lst∈ LISTE

RETOUR SUIVANTTETElst

FIN FONCTION

La liste est supposée contenir au moins un élément

Algorithme 35 - Supprimer en tête de liste chaînée (fonction)

97/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

Supprimer la tête de liste (fonction)

/* à appeler avec :l = supprimeTeteFct(l)*/liste supprimeTeteFct(liste l)

l = l->suivant;return l;

98/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

supprimer la tête de liste

modifier la liste pour que le la nouvelle tête soit le suivant de latête actuelle

PROCÉDURE supprimeTeteProc

DONN. MOD.: lst∈ LISTE

lst SUIVANTTETElst

FIN PROCÉDURE

La liste est supposée contenir au moins un élément

Algorithme 36 - Suprimer en tête de liste chaînée (procédure)

99/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

Supprimer la tête de liste (procédure)

/* à appeler avec :supprimeTeteProc(&l)*/void supprimeTeteProc(liste * pl)

*pl = (*pl)->suivant;

100/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

ajouter un nouvel élément à sa place dans la liste

si le maillon doit être en tête (liste vide ou maillon<tête), inséreren tête, sinon appel récursif sur le suivant

FONCTION insereTrieFR

DONNÉES : lst∈ LISTE

DONN. MOD.: m∈ MAILLON

RÉSULTAT : LISTE

SI lst= NIL ou CONTENUm < CONTENUTETElst ALORS

RETOUR insereTeteFct(lst,m)

SINON

SUIVANTTETElst insereTrieFR(SUIVANTTETElst,m)

RETOUR lst

FIN SI

FIN FONCTION

Algorithme 37 - Insertion dans une liste triée (fonction récursive)

101/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

Insertion dans une liste triée (fonction récursive)

/* à appeler avec :l = insereTrieFctRec(l, &m)*/liste insereTrieFctRec(liste lst, maillon * pm)

if (lst == NULL || pm -> contenu < lst->contenu)return insereTeteFct(lst, pm);

else lst->suivant = insereTrieFctRec(lst->suivant, pm);return lst;

102/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

ajouter un nouvel élément dans une liste triée

parcourir la liste jusqu’à trouver un élément supérieur. L’insérerentre l’élément précédent et l’élément supérieur

FONCTION insereTrieFctIter

DONNÉES : lst∈ LISTE

DONN. MOD.: m∈ MAILLON

SI lst = NIL ou CONTENUm<CONTENUTETElst ALORS

RETOUR insereEnTeteFct(lst,m)

SINON

av lst , ap SUIVANTTETElst

TANT QUE ap 6=NIL et CONTENUTETEap<CONTENUm FAIRE

av ap , ap SUIVANTTETEap

FIN TANT QUE

SUIVANTm ap , SUIVANTTETEav ADRESSEm

RETOUR lst

FIN SI

FIN FONCTION

Algorithme 38 - Insertion dans une liste triée (fonction itérative)

103/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

Insertion dans une liste triée (fonction itérative)

/* à appeler avec :l = insereTrieFI(l, &m)*/liste insereTrieFI(liste lst, maillon * pm)

maillon *prec, *courant ;if (lst == NULL || pm->contenu < lst->contenu)

return insereTeteFct(lst, pm);prec = lst;while (prec->suivant != NULL

&& prec->suivant->contenu < pm->contenu)prec = prec->suivant;

pm->suivant = prec->suivant;prec->suivant = pm;return lst;

104/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

supprime le premier maillon égal au maillon précisé

si maillon < tête, retour liste. Si maillon = tête, supprime tête. Simaillon>tête, le supprimer dans la suite de liste.

FONCTION supprimeTrieFR

DONNÉES : lst∈ LISTE

DONN. MOD.: m∈ MAILLON

RÉSULTAT : LISTE

SI lst= NIL ou CONTENUm < CONTENUTETElst ALORS

RETOUR lst

SINON SI CONTENUm = CONTENUTETElst

RETOUR supprimeTeteFonc(lst)

SINON

SUIVANTTETElst supprimeTrieFR(SUIVANTTETElst,m)

RETOUR lst

FIN SI

FIN SI

FIN FONCTION

Algorithme 39 - Suppression dans liste triée (fonction récursive)

105/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

Suppression dans une liste triée (fonction récursive)

/* à appeler avec :l = supprimeTrieFctRec(l, &m)*/liste supprimeTrieFctRec(liste lst, maillon * pm)

if (lst == NULL || pm->contenu < lst->contenu)return lst;

if (pm->contenu == lst->contenu)return supprimeTeteFct(lst);

lst->suivant = supprimeTrieFctRec(lst->suivant, pm);return lst;

106/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

modifie la liste et ses chaînages pour qu’elle soit triée

si la liste contient moins de deux éléments, ne fait rien. Scinde laliste en deux sous-listes. Trie ces deux sous-listes. Fusionne lesdeux sous listes triées

PROCÉDURE triefusion

DONN. MOD.: lst∈ LISTE

SI lst 6= NIL ET SUIVANTTETElst 6= NIL ALORS

scinder(lst, l1, l2)

triefusion(l1)

triefusion(l2)

fusionner(lst, l1, l2)

FIN SI

FIN PROCÉDURE

Algorithme 40 - Tri d’une liste : merge sort

107/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

modifie les chaînages d’une liste et crée deux sous-listes de taillesidentiques (à 1 près)

La liste contient au moins deux éléments. Deux itérateurs delistes (un normal et un deux fois plus rapide). Lorsque le plusrapide est arrivé en bout de liste, le plus lent en est à la moitié.

PROCÉDURE scinder

DONN. MOD.: lst, l1, l2∈ LISTE

lente lst , rapide SUIVANTTETElst

TANT QUE rapide 6= NIL ET SUIVANTTETErapide 6= NIL FAIRE

rapide SUIVANTTETErapide , rapide SUIVANTTETErapide

lente SUIVANTTETElente

FIN TANT QUE

l1 lst , l2 SUIVANTTETElente

SUIVANTTETElente NIL

FIN PROCÉDURE

Algorithme 41 - Scinder (annexe du merge sort)

108/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Les listes chaînées

crée une seule liste triée composée des deux listes initiales

Si une des deux listes est vide, la liste fusionnée, c’est l’autre !Prendre le plus petit des premiers éléments des deux listes et luichaîner la fusion de la suite de la liste concernée avec l’autre liste.

FONCTION fusionner

DONN. MOD.: l1, l2∈ LISTE

RÉSULTAT : LISTE

SI l1 = NIL ALORS

RETOUR l2

SINONSI l2 = NIL ALORS

RETOUR l1

SINONSI CONTENUTETEl1 ≤ CONTENUTETEl2

SUIVANTTETEl1 fusionner(SUIVANTTETEl1, l2) , RETOUR l1

SINON

SUIVANTTETEl2 fusionner(SUIVANTTETEl2, l1) , RETOUR l2

FIN SI

FIN FONCTION

Algorithme 42 - fusionner (annexe du merge sort)

109/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéTypes de complexité

Évaluation asymptotique de la quantité de ressources à utiliser pourexécuter.

• en temps• en mémoire

• en moyenne• au pire

110/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéTypes de complexité

Évaluation asymptotique de la quantité de ressources à utiliser pourexécuter.• en temps

• en mémoire

• en moyenne• au pire

110/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéTypes de complexité

Évaluation asymptotique de la quantité de ressources à utiliser pourexécuter.• en temps• en mémoire

• en moyenne• au pire

110/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéTypes de complexité

Évaluation asymptotique de la quantité de ressources à utiliser pourexécuter.• en temps• en mémoire

• en moyenne

• au pire

110/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéTypes de complexité

Évaluation asymptotique de la quantité de ressources à utiliser pourexécuter.• en temps• en mémoire

• en moyenne• au pire

110/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéHypothèses simplificatrices

Tous les détails de l’exécution ne sont pas forcément pris en compte.

• Accès mémoire en temps constant (pas de mémoire cache, pasde mémoire virtuelle)• Affectations types simples en temps constant• Opérations arithmétiques (+,-,*,/) en temps constant• Pas d’exécution parallèle• On ne garde que le terme dominant d’une expression de la

complexité : si le temps d’exécution d’un algorithme d’entrée nest égal à 50n2 + 7n + 3 log(n), on dira que l’algorithme est enΘ(n2).

111/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéHypothèses simplificatrices

Tous les détails de l’exécution ne sont pas forcément pris en compte.• Accès mémoire en temps constant (pas de mémoire cache, pas

de mémoire virtuelle)

• Affectations types simples en temps constant• Opérations arithmétiques (+,-,*,/) en temps constant• Pas d’exécution parallèle• On ne garde que le terme dominant d’une expression de la

complexité : si le temps d’exécution d’un algorithme d’entrée nest égal à 50n2 + 7n + 3 log(n), on dira que l’algorithme est enΘ(n2).

111/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéHypothèses simplificatrices

Tous les détails de l’exécution ne sont pas forcément pris en compte.• Accès mémoire en temps constant (pas de mémoire cache, pas

de mémoire virtuelle)• Affectations types simples en temps constant

• Opérations arithmétiques (+,-,*,/) en temps constant• Pas d’exécution parallèle• On ne garde que le terme dominant d’une expression de la

complexité : si le temps d’exécution d’un algorithme d’entrée nest égal à 50n2 + 7n + 3 log(n), on dira que l’algorithme est enΘ(n2).

111/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéHypothèses simplificatrices

Tous les détails de l’exécution ne sont pas forcément pris en compte.• Accès mémoire en temps constant (pas de mémoire cache, pas

de mémoire virtuelle)• Affectations types simples en temps constant• Opérations arithmétiques (+,-,*,/) en temps constant

• Pas d’exécution parallèle• On ne garde que le terme dominant d’une expression de la

complexité : si le temps d’exécution d’un algorithme d’entrée nest égal à 50n2 + 7n + 3 log(n), on dira que l’algorithme est enΘ(n2).

111/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéHypothèses simplificatrices

Tous les détails de l’exécution ne sont pas forcément pris en compte.• Accès mémoire en temps constant (pas de mémoire cache, pas

de mémoire virtuelle)• Affectations types simples en temps constant• Opérations arithmétiques (+,-,*,/) en temps constant• Pas d’exécution parallèle

• On ne garde que le terme dominant d’une expression de lacomplexité : si le temps d’exécution d’un algorithme d’entrée nest égal à 50n2 + 7n + 3 log(n), on dira que l’algorithme est enΘ(n2).

111/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéHypothèses simplificatrices

Tous les détails de l’exécution ne sont pas forcément pris en compte.• Accès mémoire en temps constant (pas de mémoire cache, pas

de mémoire virtuelle)• Affectations types simples en temps constant• Opérations arithmétiques (+,-,*,/) en temps constant• Pas d’exécution parallèle• On ne garde que le terme dominant d’une expression de la

complexité : si le temps d’exécution d’un algorithme d’entrée nest égal à 50n2 + 7n + 3 log(n), on dira que l’algorithme est enΘ(n2).

111/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéSoumission et domination (notations Knuth)

notation définitionf ∈ O(g) ∃k > 0 ∃n0 ∀n > n0 |f (n)| ≤ k |g(n)|f ∈ Ω(g) ∃k > 0 ∃n0 ∀n > n0 |f (n)| ≥ k |g(n)|f ∈ Θ(g) ∃k1, k2 > 0 ∃n0 ∀n > n0 k1|g(n)| ≤ |f (n)| ≤ k2|g(n)|

112/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéRègles de calcul de complexité : bloc d’instructions

Pour un bloc constitué de n instructions :

complexite(bloc) =n∑

k=1

complexite(instructionk)

113/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéRègles de calcul de complexité : conditionnelles

Pour une instruction SI...ALORS..SINON

complexite(SI) = complexite(test)+max(complexite(blocalors), complexite(blocsinon))

114/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéRègles de calcul de complexité : itérations

Pour une boucle TANTQUE exécutée n fois

complexite(TANTQUE) =n∑

k=0

complexite(testk)

+n∑

k=1

complexite(corpsbouclek )

115/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéRègles de calcul de complexité : appel de fonction

Pour un appel f (expr1, expr2, ..., exprn)

complexite(f(e1, e2, ..., en)) =n∑

k=1

complexite(eval(ek))

+complexite(passage)+complexite(corpsf )+complexite(retour)

116/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéRègles de calcul de complexité : exemple 1

Complexité de la puissance itérative classique

p ← 1 # T_aff

i ← 1 # T_aff

TANTQUE i <= n : # T_test | n+1 fois

p ← p * x # T_mult + T_aff | n fois

i ← i + 1 # T_add + T_aff |

FIN TANTQUE

RETOUR ← p # T_retour

Total : n * (T_test + T_mult + T_aff + T_add + T_aff)

+ (T_aff + T_aff + T_retour + T_test)

= a n + b

Complexité : Θ(n)

117/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéRègles de calcul de complexité : exemple 2

Complexité de la puissance rapide de ap

f, x, n = 1, a, p # 3 T_aff

TANT QUE n>0 : # T_test | 2+E(log_2(p))

SI n %2 != 0 ALORS # T_test | 1+E(log_2(p))

f, n = x*f, n-1 # 2 T_aff | 2T_aff+T_mult+T_add

FIN SI

x, n = x*x, n/2 # 2 T_aff | 2T_aff+T_mult+T_div

FIN TANT QUE

RETOUR = f # T_retour

Total (au pire) : (3*T_aff + T_test + T_retour) +

(1+E(log_2(p))) * (T_Test+4*T_aff+2*T_mult+T_add+T_div)

= a log_2(p) + b

Complexité : Θ(log2(n)) ou Θ(log(n))

118/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéComparaisons de croissance (1)

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0x

0

20

40

60

80

100

120

140

160y

exp(x)

x3

x2

x log(x)

x√x

log(x)

119/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéComparaisons de croissance (2)

2 3 4 5 6 7 8 9 10x

10-1

100

101

102

103

104

105y

exp(x)

x3

x2

x log(x)

x√x

log(x)

120/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéComparaisons de croissance (3)

Le retour des deux féesFâchée que son coffre soit moins rempli le jour du 22e anniversairede la princesse, la fée Linearia modifia son sort : à chaque seconde,le coffre se garnira d’un million d’euros supplémentaires (le coffre estvide au départ).La fée Exponenzia sourit sans modifier son sort. Chaque année lecoffre verra sa somme doubler (le coffre contient 1 centime audépart).

Quel âge aura la princesse lorsque le coffre d’Exponenzia contiendraplus que le coffre de Linearia ?

121/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéComparaisons de croissance (3)

C’est le jour de son 58e anniversaire (PIB mondial 2011 : 7 · 1013$).

54 55 56 57 58 59 60 61 621014

1015

1016

1017

Exponanzia

Linearia

122/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéClasses de problème

On divise les problèmes en différentes classes :

• P (Polynomiaux) : problèmes dont les solutions peuvent êtrecalculées en un temps polynomial (problèmes faciles)• NP (Non-déterministes Polynomiaux) : problèmes dont on ne

connaît pas d’algorithme dans P, mais dont les solutions peuventêtre vérifiées en un temps polynomial (problèmes difficiles)• NP-complet (Non-déterministes Polynomiaux complets) :

problèmes qui peuvent se ramener à n’importe quel problème deNP par une réduction polynomiale (problèmes difficilesprototypes)

P=NP ?Le Clay Mathematics Institute propose 1 000 000 $ à quidémontrera ou infirmera cette conjecture.

123/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéClasses de problème

On divise les problèmes en différentes classes :• P (Polynomiaux) : problèmes dont les solutions peuvent être

calculées en un temps polynomial (problèmes faciles)

• NP (Non-déterministes Polynomiaux) : problèmes dont on neconnaît pas d’algorithme dans P, mais dont les solutions peuventêtre vérifiées en un temps polynomial (problèmes difficiles)• NP-complet (Non-déterministes Polynomiaux complets) :

problèmes qui peuvent se ramener à n’importe quel problème deNP par une réduction polynomiale (problèmes difficilesprototypes)

P=NP ?Le Clay Mathematics Institute propose 1 000 000 $ à quidémontrera ou infirmera cette conjecture.

123/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéClasses de problème

On divise les problèmes en différentes classes :• P (Polynomiaux) : problèmes dont les solutions peuvent être

calculées en un temps polynomial (problèmes faciles)• NP (Non-déterministes Polynomiaux) : problèmes dont on ne

connaît pas d’algorithme dans P, mais dont les solutions peuventêtre vérifiées en un temps polynomial (problèmes difficiles)

• NP-complet (Non-déterministes Polynomiaux complets) :problèmes qui peuvent se ramener à n’importe quel problème deNP par une réduction polynomiale (problèmes difficilesprototypes)

P=NP ?Le Clay Mathematics Institute propose 1 000 000 $ à quidémontrera ou infirmera cette conjecture.

123/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéClasses de problème

On divise les problèmes en différentes classes :• P (Polynomiaux) : problèmes dont les solutions peuvent être

calculées en un temps polynomial (problèmes faciles)• NP (Non-déterministes Polynomiaux) : problèmes dont on ne

connaît pas d’algorithme dans P, mais dont les solutions peuventêtre vérifiées en un temps polynomial (problèmes difficiles)• NP-complet (Non-déterministes Polynomiaux complets) :

problèmes qui peuvent se ramener à n’importe quel problème deNP par une réduction polynomiale (problèmes difficilesprototypes)

P=NP ?Le Clay Mathematics Institute propose 1 000 000 $ à quidémontrera ou infirmera cette conjecture.

123/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéClasses de problème

On divise les problèmes en différentes classes :• P (Polynomiaux) : problèmes dont les solutions peuvent être

calculées en un temps polynomial (problèmes faciles)• NP (Non-déterministes Polynomiaux) : problèmes dont on ne

connaît pas d’algorithme dans P, mais dont les solutions peuventêtre vérifiées en un temps polynomial (problèmes difficiles)• NP-complet (Non-déterministes Polynomiaux complets) :

problèmes qui peuvent se ramener à n’importe quel problème deNP par une réduction polynomiale (problèmes difficilesprototypes)

P=NP ?Le Clay Mathematics Institute propose 1 000 000 $ à quidémontrera ou infirmera cette conjecture.

123/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéDiviser pour régner (1)

• réduire un problème en un ou plusieurs sous-problèmes,• les résoudre récursivement,• fusionner les solutions.

124/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéDiviser pour régner (2)

Un problème : quelques opérations + un sous-problèmeSi C (n) = C (n/k) + g(n), alors C (n) = C (1) +

∑|logk (n)|i=1 g(k i )

Par exemple, recherche dichotomique, exponentiation rapide.

125/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéDiviser pour régner (3)

Un problème : quelques opérations + plusieurs sous problèmes demême tailleThéorème 1Si C (n) = aC (n/b) + cn, avec C (1) = constante alors

• si a < b C (n) = O(n)

• si a = b C (n) = O(n log(n))• si a > b C (n) = O(nlogb(a))

126/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

ComplexitéDiviser pour régner (4)

Théorème 2Si C (n) = aC (n/k) + f (n) alors

• si f (n) = O(nlogka−ε) avec ε > 0alors C (n) = Θ(nlogk (a))

• si f (n) = Θ(nlogka)alors C (n) = Θ(nlogk (a)log(n))

• si f (n) = Ω(nlogka+ε) avec ε > 0 et si il existe c < 1 tel quea.f (n/k) <= cf (n) pour n suffisamment grand,alors C (n) = Θ(f (n))

127/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Majorité absolueL’énoncé du problème

Soit un tableau de N éléments (couleurs de pixels dans une image,nombre de voix dans une élection, etc.)Existe-t-il un élément majoritaire (présent plus de N/2 fois) ?

128/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Majorité absolueApproche simpliste

Pour chaque élément X du tableau (N éléments)Compter son nombre d’occurrences (N comparaisons)S’il est supérieur à N/2 AlorsRetourner X

Retourner PAS_DE_MAJORITE

Complexité Θ(n2)

129/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Majorité absolueDiviser pour régner

Remarque : si un élément est majoritaire, il l’est forcément dans unedes deux moitiés du tableau

Si N=1 Alors Retourner T[0]m1 = Majoritaire(T,N/2)m2 = Majoritaire(Adresse(T+N/2),N-N/2)Si m1=m2 AlorsRetourner m1

Si m1 != PAS_DE_MAJORITE AlorsSi frequence(m1,T,N)>N/2 Alors Retourner m1

Si m2 != PAS_DE_MAJORITE AlorsSi frequence(m2,T,N) > N/2 Alors Retourner m2

Retourner PAS_DE_MAJORITE

Complexité Θ(n log(n))

130/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Majorité absolueUn coup de génie : Boyer & Moore

Remarque : deux éléments consécutifs différents peuvent être enlevésdu tableau sans changer l’élément majoritaire

Compteur = 0Pour chaque élément X du tableauSi Compteur = 0 AlorsCandidat = xCompteur = 1

SinonSi x = Candidat Alors Compteur = Compteur + 1Sinon Compteur = Compteur - 1

Si frequence(Candidat,T,N) > N/2 Alors Retourner CandidatRetourner PAS_DE_MAJORITE

Complexité Θ(n)

131/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingLe contexte

• Comment trouver la position d’un motif dans un texte(Chercher dans un éditeur de texte ou un navigateur)

• Chercher("aababcabcdabcde","bcd")

• Chercher("aababcabcdabcde","bcd") → 7

132/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingLe contexte

• Comment trouver la position d’un motif dans un texte(Chercher dans un éditeur de texte ou un navigateur)• Chercher("aababcabcdabcde","bcd")

• Chercher("aababcabcdabcde","bcd") → 7

132/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingLe contexte

• Comment trouver la position d’un motif dans un texte(Chercher dans un éditeur de texte ou un navigateur)• Chercher("aababcabcdabcde","bcd")

• Chercher("aababcabcdabcde","bcd") → 7

132/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingApproche naïve

Faire glisser une fenêtre de même taille que la longueur du motifau-dessus du texte.S’arrêter dès que le contenu de la fenêtre et du motif coïncidentparfaitement ou que la fenêtre sort du texte.Par exemple : Chercher("aababcabcdabcde","bcd")

• aab abcabcdabcde == bcd ? : non• a aba bcabcdabcde == bcd ? : non• aa bab cabcdabcde == bcd ? : non• aab abc abcdabcde == bcd ? : non• aaba bca bcdabcde == bcd ? : non• aabab cab cdabcde == bcd ? : non• aababc abc dabcde == bcd ? : non• aababca bcd abcde == bcd ? : oui

133/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingApproche naïve

Faire glisser une fenêtre de même taille que la longueur du motifau-dessus du texte.S’arrêter dès que le contenu de la fenêtre et du motif coïncidentparfaitement ou que la fenêtre sort du texte.Par exemple : Chercher("aababcabcdabcde","bcd")

• aab abcabcdabcde == bcd ? : non

• a aba bcabcdabcde == bcd ? : non• aa bab cabcdabcde == bcd ? : non• aab abc abcdabcde == bcd ? : non• aaba bca bcdabcde == bcd ? : non• aabab cab cdabcde == bcd ? : non• aababc abc dabcde == bcd ? : non• aababca bcd abcde == bcd ? : oui

133/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingApproche naïve

Faire glisser une fenêtre de même taille que la longueur du motifau-dessus du texte.S’arrêter dès que le contenu de la fenêtre et du motif coïncidentparfaitement ou que la fenêtre sort du texte.Par exemple : Chercher("aababcabcdabcde","bcd")

• aab abcabcdabcde == bcd ? : non• a aba bcabcdabcde == bcd ? : non

• aa bab cabcdabcde == bcd ? : non• aab abc abcdabcde == bcd ? : non• aaba bca bcdabcde == bcd ? : non• aabab cab cdabcde == bcd ? : non• aababc abc dabcde == bcd ? : non• aababca bcd abcde == bcd ? : oui

133/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingApproche naïve

Faire glisser une fenêtre de même taille que la longueur du motifau-dessus du texte.S’arrêter dès que le contenu de la fenêtre et du motif coïncidentparfaitement ou que la fenêtre sort du texte.Par exemple : Chercher("aababcabcdabcde","bcd")

• aab abcabcdabcde == bcd ? : non• a aba bcabcdabcde == bcd ? : non• aa bab cabcdabcde == bcd ? : non

• aab abc abcdabcde == bcd ? : non• aaba bca bcdabcde == bcd ? : non• aabab cab cdabcde == bcd ? : non• aababc abc dabcde == bcd ? : non• aababca bcd abcde == bcd ? : oui

133/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingApproche naïve

Faire glisser une fenêtre de même taille que la longueur du motifau-dessus du texte.S’arrêter dès que le contenu de la fenêtre et du motif coïncidentparfaitement ou que la fenêtre sort du texte.Par exemple : Chercher("aababcabcdabcde","bcd")

• aab abcabcdabcde == bcd ? : non• a aba bcabcdabcde == bcd ? : non• aa bab cabcdabcde == bcd ? : non• aab abc abcdabcde == bcd ? : non

• aaba bca bcdabcde == bcd ? : non• aabab cab cdabcde == bcd ? : non• aababc abc dabcde == bcd ? : non• aababca bcd abcde == bcd ? : oui

133/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingApproche naïve

Faire glisser une fenêtre de même taille que la longueur du motifau-dessus du texte.S’arrêter dès que le contenu de la fenêtre et du motif coïncidentparfaitement ou que la fenêtre sort du texte.Par exemple : Chercher("aababcabcdabcde","bcd")

• aab abcabcdabcde == bcd ? : non• a aba bcabcdabcde == bcd ? : non• aa bab cabcdabcde == bcd ? : non• aab abc abcdabcde == bcd ? : non• aaba bca bcdabcde == bcd ? : non

• aabab cab cdabcde == bcd ? : non• aababc abc dabcde == bcd ? : non• aababca bcd abcde == bcd ? : oui

133/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingApproche naïve

Faire glisser une fenêtre de même taille que la longueur du motifau-dessus du texte.S’arrêter dès que le contenu de la fenêtre et du motif coïncidentparfaitement ou que la fenêtre sort du texte.Par exemple : Chercher("aababcabcdabcde","bcd")

• aab abcabcdabcde == bcd ? : non• a aba bcabcdabcde == bcd ? : non• aa bab cabcdabcde == bcd ? : non• aab abc abcdabcde == bcd ? : non• aaba bca bcdabcde == bcd ? : non• aabab cab cdabcde == bcd ? : non

• aababc abc dabcde == bcd ? : non• aababca bcd abcde == bcd ? : oui

133/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingApproche naïve

Faire glisser une fenêtre de même taille que la longueur du motifau-dessus du texte.S’arrêter dès que le contenu de la fenêtre et du motif coïncidentparfaitement ou que la fenêtre sort du texte.Par exemple : Chercher("aababcabcdabcde","bcd")

• aab abcabcdabcde == bcd ? : non• a aba bcabcdabcde == bcd ? : non• aa bab cabcdabcde == bcd ? : non• aab abc abcdabcde == bcd ? : non• aaba bca bcdabcde == bcd ? : non• aabab cab cdabcde == bcd ? : non• aababc abc dabcde == bcd ? : non

• aababca bcd abcde == bcd ? : oui

133/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingApproche naïve

Faire glisser une fenêtre de même taille que la longueur du motifau-dessus du texte.S’arrêter dès que le contenu de la fenêtre et du motif coïncidentparfaitement ou que la fenêtre sort du texte.Par exemple : Chercher("aababcabcdabcde","bcd")

• aab abcabcdabcde == bcd ? : non• a aba bcabcdabcde == bcd ? : non• aa bab cabcdabcde == bcd ? : non• aab abc abcdabcde == bcd ? : non• aaba bca bcdabcde == bcd ? : non• aabab cab cdabcde == bcd ? : non• aababc abc dabcde == bcd ? : non• aababca bcd abcde == bcd ? : oui

133/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingApproche naïve

Le programme en Python :

def naif(texte, motif, départ=0) :

for i in range(départ, len(texte) - len(motif) + 1) :

for j in range(len(motif)) :

if texte[i+j]!=motif[j] :

break

else :

return i

return -1

134/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingApproche naïve

Le programme en C :

#include <string.h>

int pm1(char texte[], char motif[], int depart)

int i, j, tt, tm;

tt = strlen(texte); tm = strlen(motif);

for (i = depart; i <= tt - tm; ++i)

for (j = 0; j < tm; ++j)

if (texte[i+j] != motif[j])

break;

if (j>=tm)

return i;

return -1;

135/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingAlgorithme de Karp-Rabin

KARP et RABIN (1987)

Idée : on ne teste la sous-chaine texte[i:i+lgr(motif)-1] que si elle ades chances de correspondre au motif.Pour cela, utiliser une fonction de hachage qui doit :

être rapidement calculable, connaissant sa valeur sur lasous-chaîne précédenteprovoquer le moins possible de collisions (deux sous-chaînesdistinctes ayant le même résultat)

136/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingAlgorithme de Karp-Rabin

Prenons comme exemple une chaîne de caractères ne contenant quedes chiffres, un motif égal à 2019 et la fonction de hachageretournant la somme des quatre prochains chiffres.

texte 1 2 5 2 0 5 3 0 2 0 1 9h 10

9 12 10 8 10 5 3 12

motif 2 0 1 9

Étape 0 h(motif ) = 12, h(texte[0 : 3]) = 10 on passe

Étape 1 h(motif ) = 12, h(texte[1 : 4]) = 9 on passeÉtape 2 h(motif ) = 12, h(texte[2 : 5]) = 12 on compareÉtape 3 h(motif ) = 12, h(texte[3 : 6]) = 10 on passeÉtape 4 h(motif ) = 12, h(texte[4 : 7]) = 8 on passeÉtape 5 h(motif ) = 12, h(texte[5 : 8]) = 10 on passeÉtape 6 h(motif ) = 12, h(texte[6 : 9]) = 5 on passeÉtape 7 h(motif ) = 12, h(texte[7 : 10]) = 3 on passeÉtape 8 h(motif ) = 128, h(texte[8 : 11]) = 12 on compare

137/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingAlgorithme de Karp-Rabin

Prenons comme exemple une chaîne de caractères ne contenant quedes chiffres, un motif égal à 2019 et la fonction de hachageretournant la somme des quatre prochains chiffres.

texte 1 2 5 2 0 5 3 0 2 0 1 9h 10 9

12 10 8 10 5 3 12

motif 2 0 1 9

Étape 0 h(motif ) = 12, h(texte[0 : 3]) = 10 on passeÉtape 1 h(motif ) = 12, h(texte[1 : 4]) = 9 on passe

Étape 2 h(motif ) = 12, h(texte[2 : 5]) = 12 on compareÉtape 3 h(motif ) = 12, h(texte[3 : 6]) = 10 on passeÉtape 4 h(motif ) = 12, h(texte[4 : 7]) = 8 on passeÉtape 5 h(motif ) = 12, h(texte[5 : 8]) = 10 on passeÉtape 6 h(motif ) = 12, h(texte[6 : 9]) = 5 on passeÉtape 7 h(motif ) = 12, h(texte[7 : 10]) = 3 on passeÉtape 8 h(motif ) = 128, h(texte[8 : 11]) = 12 on compare

137/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingAlgorithme de Karp-Rabin

Prenons comme exemple une chaîne de caractères ne contenant quedes chiffres, un motif égal à 2019 et la fonction de hachageretournant la somme des quatre prochains chiffres.

texte 1 2 5 2 0 5 3 0 2 0 1 9h 10 9 12

10 8 10 5 3 12

motif 2 0 1 9

Étape 0 h(motif ) = 12, h(texte[0 : 3]) = 10 on passeÉtape 1 h(motif ) = 12, h(texte[1 : 4]) = 9 on passeÉtape 2 h(motif ) = 12, h(texte[2 : 5]) = 12 on compare

Étape 3 h(motif ) = 12, h(texte[3 : 6]) = 10 on passeÉtape 4 h(motif ) = 12, h(texte[4 : 7]) = 8 on passeÉtape 5 h(motif ) = 12, h(texte[5 : 8]) = 10 on passeÉtape 6 h(motif ) = 12, h(texte[6 : 9]) = 5 on passeÉtape 7 h(motif ) = 12, h(texte[7 : 10]) = 3 on passeÉtape 8 h(motif ) = 128, h(texte[8 : 11]) = 12 on compare

137/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingAlgorithme de Karp-Rabin

Prenons comme exemple une chaîne de caractères ne contenant quedes chiffres, un motif égal à 2019 et la fonction de hachageretournant la somme des quatre prochains chiffres.

texte 1 2 5 2 0 5 3 0 2 0 1 9h 10 9 12 10

8 10 5 3 12

motif 2 0 1 9

Étape 0 h(motif ) = 12, h(texte[0 : 3]) = 10 on passeÉtape 1 h(motif ) = 12, h(texte[1 : 4]) = 9 on passeÉtape 2 h(motif ) = 12, h(texte[2 : 5]) = 12 on compareÉtape 3 h(motif ) = 12, h(texte[3 : 6]) = 10 on passe

Étape 4 h(motif ) = 12, h(texte[4 : 7]) = 8 on passeÉtape 5 h(motif ) = 12, h(texte[5 : 8]) = 10 on passeÉtape 6 h(motif ) = 12, h(texte[6 : 9]) = 5 on passeÉtape 7 h(motif ) = 12, h(texte[7 : 10]) = 3 on passeÉtape 8 h(motif ) = 128, h(texte[8 : 11]) = 12 on compare

137/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingAlgorithme de Karp-Rabin

Prenons comme exemple une chaîne de caractères ne contenant quedes chiffres, un motif égal à 2019 et la fonction de hachageretournant la somme des quatre prochains chiffres.

texte 1 2 5 2 0 5 3 0 2 0 1 9h 10 9 12 10 8 10 5 3 12motif 2 0 1 9

Étape 0 h(motif ) = 12, h(texte[0 : 3]) = 10 on passeÉtape 1 h(motif ) = 12, h(texte[1 : 4]) = 9 on passeÉtape 2 h(motif ) = 12, h(texte[2 : 5]) = 12 on compareÉtape 3 h(motif ) = 12, h(texte[3 : 6]) = 10 on passeÉtape 4 h(motif ) = 12, h(texte[4 : 7]) = 8 on passeÉtape 5 h(motif ) = 12, h(texte[5 : 8]) = 10 on passeÉtape 6 h(motif ) = 12, h(texte[6 : 9]) = 5 on passeÉtape 7 h(motif ) = 12, h(texte[7 : 10]) = 3 on passeÉtape 8 h(motif ) = 128, h(texte[8 : 11]) = 12 on compare

137/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingAlgorithme de Karp-Rabin

Une bonne fonction de hachage doit :être rapidement calculablec’est le cas :h(5, 2, 0, 5) = 12h(2, 0, 5, 3) = 12− 5 + 3 = 10provoquer le moins possible de collisionsce n’est pas le cas :de nombreuses séries de quatre chiffres ont même somme

138/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingAlgorithme de Karp-Rabin

Karp et Rabin proposent la fonction suivante, pour une chaîne delongueur ` quelconque :

h(Tk..k+`−1) =(Tkb

`−1 + Tk+1b`−2 + ...+ Tk+`−2b

1 + Tk+`−1b0) mod m

avec m une valeur facilitant le calcul (souvent une puissance de 2) etb un nombre premier convenablement choisi.

h(Tk+1..k+`) =(b(h(Tk..k+`−1)− b`−1Tk

)+ Tk+`

)mod m

Ainsi, le passage à la prochaine valeur reste facile et le risque decollision s’amenuise ( le modulo permet de ne pas avoir de nombrestrop grands, plus coûteux à manipuler)

139/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingAlgorithme de Karp-Rabin

def KR(motif, texte):

lgr_motif, lgr_texte = len(motif), len(texte)

h_motif, h_texte = 0, 0 # hash sur le motif, sur le texte

b , m = 2, 256

baseP = pow(b, lgr_motif - 1, m) # b^l-1 mod m

for i, c in enumerate(motif): # Calcul du h motif et texte (indice 0)

h_motif = (b * h_motif + ord(c)) % m

h_texte = (b * h_texte + ord(texte[i])) % m

for i in range(lgr_texte - lgr_motif + 1): # Recherche

if h_texte == h_motif:

for j, c in enumerate(motif):

if texte[i + j] != c: break

else: return i

if i < lgr_texte - lgr_motif: # Mise à jour du h_texte

h_texte = (b * (h_texte - ord(texte[i]) * baseP)

+ ord(texte[i + lgr_motif])) % m

return -1

140/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingAlgorithme de Knuth-Morris-Pratt

KNUTH et PRATT (1975) MORRIS (1975)

Principe : une analyse fine de l’algorithme naïf montre que desinformations ne sont pas utilisées : lorsque l’on constate unedifférence, il se peut que des éléments précédents aient correspondu.

Il est possible d’augmenter la longueur des décalages et de prendreen compte les éléments du texte qui ont déjà correspondu au motif.

141/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingAlgorithme de Knuth-Morris-Pratt

En décalant le motif, on peut avoir un préfixe v du motif quicoïncide avec un suffixe de la partie u du texte. Un tel préfixe v estappelé le bord de u. Si on note plb(k) la longueur du plus long bordde motif [0..k − 1], les comparaisons peuvent reprendre entremotif [plb(k)] et texte[i + k]

142/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingAlgorithme de Knuth-Morris-Pratt

def KMP(motif, texte):

# calcul des plus longs bords du motif

plb = [0]

for c in motif[1: ]:

j = plb[-1]

while j > 0 and c != motif[j]: j = plb[j - 1]

if c == motif[j]: j += 1

plb.append(j)

# recherche

j = 0

for i in range(len(texte)):

while j > 0 and texte[i] != motif[j]: j = plb[j - 1]

if texte[i] == motif[j]:

j += 1

if j == len(motif): return i - (j - 1)

return -1

143/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingAlgorithme de Boyer-Moore-Horspool

BOYER et MOORE (1977) HORSPOOL (1980)

Idée : partir de la fin du motifSi le caractère du texte qui ne correspond pas n’appartient pasau motif, on peut décaler de la longueur du motif.S’il appartient au motif, on peut décaler de la distance aucaractère du motif le plus à droite qui lui est égal.

Preprocess : on crée un dictionnaire des décalages à effectuer en casd’inégalité.

Le plus performant !

144/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

def BMH(motif, texte):

lgr_motif = len(motif)

lgr_texte = len(texte)

if lgr_motif > lgr_texte: return -1

decalages = dict((motif[k],lgr_motif - k - 1)

for k in range(lgr_motif - 1))

k = lgr_motif - 1

d = -1

while k < lgr_texte:

j = lgr_motif - 1

i = k

while j > d and texte[i] == motif[j]:

j -= 1

i -= 1

if j == d: return i + 1

d = -1

k += decalages.get(texte[k], lgr_motif)

return -1

145/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Pattern matchingComparaison des algorithmes

Algorithmes implémentés en Python (temps de recherche en ms)

Motif : 40 caractères, texte : 11 129 caractères

position naif KR KMP BMH finddébut 184 0.26 0.22 0.10 0.04 0.00fin 10997 12.50 10.79 3.45 0.52 0.01

absent -1 12.46 10.84 3.29 0.43 0.01Motif : 50 000 caractères, texte : 1 000 000 caractères ACGT

position naif KR KMP BMH finddébut 100 14.53 54.96 61.64 43.56 0.17fin 949900 1382.02 1046.24 535.85 352.52 2.62

absent -1 1321.71 1026.64 566.37 334.45 2.58

146/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Conclusion provisoireQu’est ce qui empêche de résoudre un problème

les contraintes réellesle manque de connaissanceles a-prioris

Ce n’est pas parce que les choses sont difficiles que nous ne lesfaisons pas, c’est parce que nous ne les faisons pas qu’elles noussemblent difficiles.

Sénèque

Ils ne savaient pas que c’était impossible, alors ils l’ont fait.Mark Twain

Le meilleur moment pour planter un arbre, c’était il y a 20 ans.Le deuxième meilleur moment, c’est maintenant.

Proverbe chinois

147/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Bibliographie I

Genrich Altshuller.The innovation algorithm : TRIZ, systematic innovation and technical creativity.Technical Innovation Center, Worcester, Mass, 1999.

Jacques Arsac.Jeux et casse-tête à programmer.DUNOD, Paris ; Bruxelles ; Montréal - France, 1985.

Jon Bentley.Programming pearls.Addison-Wesley, Reading, Mass, 2000.

Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, and Richard K. Guy.Winning ways for your mathematical plays.A.K. Peters, Natick, Mass, 2001.

John H. Conway.On numbers and games.A.K. Peters, Natick, Mass, 2001.

Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein.Introduction to algorithms.MIT Press, Cambridge, Mass, 2009.

A. K. Dewdney.The (new) Turing omnibus : 66 excursions in computer science.Henry Holt, New York, 2001.

148/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Bibliographie II

Henry Dudeney.536 puzzles & curious problems.Scribt, S.l, 1967.

Henry Dudeney.Amusements in mathematics.Dover Publications, New York, 1970.

Henry Dudeney.The Canterbury puzzles.Dover, Mineola, NY, 2002.

Martin Gardner.The colossal book of mathematics : classic puzzles, paradoxes, and problems : number theory,algebra, geometry, probability, topology, game theory, infinity, and other topics of recreationalmathematics.Norton, New York, 2001.

Ronald Graham, Donald Knuth, and Oren Patashnik.Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd Edition).Addison-Wesley, 1994.

Magnus Lie Hetland.Python Algorithms: Mastering Basic Algorithms in the Python Language.Apress, 1990.

Donald Knuth.The art of computer programming.Addison-Wesley, Reading (Mass.) Harlow Menlo Park et al, 1997.

149/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Bibliographie III

Ernst L. Leiss.A programmer’s companion to algorithm analysis.Chapman&Hall/CRC Press, 2007.

Sam Loyd.Cyclopedia of puzzles.Ishi Press International, Bronx, N.Y, 2007.

Edouard Lucas.Récréations mathématiques (4 tomes).A. Blanchard, Paris, 1992.

Zbigniew Michalewicz.How to solve it : modern heuristics.Springer, Berlin New York, 2004.

Roger Nelsen.Proofs without words : exercises in visual thinking.The Mathematical Association of America, Washington, D.C, 1993.

Nils Nilsson.Principles of artificial intelligence.Springer-Verlag, Berlin, Germany New York, N.Y, 1982.

George Pólya.Comment poser et résoudre un problème.J. Gabay, Sceaux, 1989.

150/151 Jean-Claude GEORGES Algorithmique et structures de données

Bibliographie IV

George Pólya.How to solve it : a new aspect of mathematical method.Princeton University Press, Princeton N.J, 2004.

William Poundstone.How would you move Mount Fuji? : Microsoft’s cult of the puzzle : how the world’s smartestcompanies select the most creative thinkers.Little, Brown, Boston, 2004.

Dennis Shasha.Puzzles for programmers and pros.Wiley Pub, Indianapolis, Ind, 2007.

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