Algorithmes num´eriques pour l’analyse topologique

271
Algorithmes num´ eriques pour l’analyse topologique Nicolas Delanoue 1/ 217 Calcul par intervalles L’arithm´ etique des intervalles Calcul par intervalles Analyse de la topologie d’un ensemble Motivation Rappels topologiques Prouver qu’un ensemble est ´ etoil´ e Discr´ etisation Bassin d’attraction Syst` emes dynamiques Th´ eorie de Lyapunov Discr´ etisation Conclusion Algorithmes num´ eriques pour l’analyse topologique Calcul par intervalles et th´ eorie des graphes. Nicolas Delanoue Universit´ e d’Angers - LISA Jeudi 14 d´ ecembre 2006

Transcript of Algorithmes num´eriques pour l’analyse topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue1 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmes numeriques pour lrsquoanalysetopologique

Calcul par intervalles et theorie des graphes

Nicolas Delanoue

Universite drsquoAngers - LISA

Jeudi 14 decembre 2006

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue2 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue3 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Plan

Calcul par intervalles

Analyse de la topologie drsquoun ensembleMotivationRappels topologiquesProuver qursquoun ensemble est etoileDiscretisation

Bassin drsquoattractionSystemes dynamiquesTheorie de LyapunovDiscretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IR

I [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IR

I [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue5 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Topologie sur IRSoient [a] [b] isin IR la distance de Hausdorff d

d([a] [b]) = max(|aminus b| |aminus b|)

munit IR drsquoune topologie

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue10 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue11 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue12 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue13 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue14 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue15 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si [f ] et [g ] sont des fonctions drsquoinclusion pour f et grespectivement alors [f ] [g ] est une fonction drsquoinclusionpour f g

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue18 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue19 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue20 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue21 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue22 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue23 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue24 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue26 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Hypotheses

Le calcul par intervalles permet de verifier

1 S = empty2 (S) = 1 (Newton par intervalles)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue27 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Analyse de la topologie drsquoun ensemble

221515

Fig Robot a 2 degres de liberte

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue31 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Compter le nombre de composantes connexes de

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue32 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Rappels topologiques

Definition Espace connexe par arcs

Un espace topologique S est connexe (par arcs) si forallx y isin S existf continuef [0 1] rarr S verifiant f (0) = x et f (1) = y

path_connexityswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue33 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue34 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue35 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue36 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue37 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue38 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue39 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue40 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue41 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue42 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue43 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue44 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn | f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 de Evers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue45 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue46 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue47 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue48 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue49 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue50 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue51 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue53 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue54 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Diviser S avec un pavage P tel que sur chaque partie pS cap p est etoile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue55 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue56 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue57 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue58 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue59 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue60 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue61 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue62 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue63 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue64 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SS est connexe par arcs hArr GS est connexe

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue65 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CorollaireSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SGS a le meme nombre de composantes connexes que S ieπ0(S) = π0(GS)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue66 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Espace des configurations admissibles y0 = 23

221515

S =

(α β) isin [minusπ π]2

2 sin(α) le y0

minus2 sin(α) le 02 sin(α) + 3

2 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue67 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CIA Connected components via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue68 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Recapitulatif

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue69 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Invariants topologiques

Nombre de composantes connexes par arc

Soit π0 la fonction suivante

π0 Espaces rdquogentilsrdquo rarr NX 7rarr Nombre de composantes

connexes par arcs de X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue70 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue71 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue72 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue73 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue74 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue75 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue79 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples drsquohomeomorphismes

Exemple drsquoensembles homeomorphes

On notera X sim= Y sim= Z

homoemorphismeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue80 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Construire une triangulation pour obtenir plus deproprietes topologiques

I type drsquohomotopie groupe fondamental (π1(S))I groupes drsquohomologie (H1(S)H2(S) )I nombres de Betti

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue81 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue82 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Fonctions homotopes

Deux fonctions continues f g X rarr Y sont homotopesf sim gsrsquoil existe une fonction continue F X times [0 1] rarr Y telleque

F (x 0) = f (x) et F (x 1) = g(x) forallx isin X

homotopy_de_segmentswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue83 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 1 et f 0

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue84 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 2

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue85 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proprietes

π1(Y y0) est un groupe

f 1 times f minus1 sim f 0

homotopy_opposeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue86 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue87 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue88 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue89 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue91 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Deux ensembles du meme type drsquohomotopie

ensemble_homotopicswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue92 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn espace X est contractile srsquoil a le meme type drsquohomotopieqursquoun point

X Y

contractileswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue94 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue95 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Une triangulation

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue96 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition drsquoune triangulation abstraite

Soit N un ensemble fini de symboles (a0) (a1) (an)Une triangulation abstraite K est une famille des parties deN qui verifie σ isin K rArr forallσ0 sub σ σ0 isin K

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue97 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue98 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

On le notera par a0a1a2 + a3a4

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue99 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSi |K1| et |K2| deux realisations drsquoune triangulation abstraiteK alors |K1| et |K2| sont homeomorphes

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue100 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit K une triangulation abstraite et (x) un symbole Onnote C(x K) lrsquoensemble

C(x K) = K cup⋃σisinK

(x σ)

ou (x σ) = (x a1 an) avec σ = (a1 an) isin KC(x K) est le cone de sommet x et de base K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue101 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue102 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue103 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue104 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue105 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue106 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue107 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue108 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue109 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue110 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

C(x K) = x(a0a1a2 + a3a4)

= xa0a1a2 + xa3a4

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue111 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Propriete drsquoun cone

Un cone est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue112 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Construire une triangulation du meme type drsquohomotopieque

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue114 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue115 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue116 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue117 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue118 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Soit F = SJ J sub I tel que SJ est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue119 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue120 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue121 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue122 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue123 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue124 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue125 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue126 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue127 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue128 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue129 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue130 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue131 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue132 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue133 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue134 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue135 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue136 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue137 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue138 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue139 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue140 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue141 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue142 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue143 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue144 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue145 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue146 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue147 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue148 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue149 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue150 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue151 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue152 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

HIA Homotopy type via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue153 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calculer le bassin drsquoattraction drsquoun pointasymptotiquement stable

x = f (x)x isin Rn f isin Cinfin(Rn Rn)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue154 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On note par ϕt Rn rarr RntisinR le flot ie

d

dtϕtx

∣∣∣∣t=0

= f (x) et ϕ0 = Id (1)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue155 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit x isin Rn x est un point drsquoequilibre si f (x) = 0ie ϕt(x) = x forallt isin R

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue156 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn ensemble E est stable si

φR+(E ) sub E

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue158 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionLe bassin drsquoattraction de xinfin est lrsquoensemble

Axinfin = x isin E | φinfin(x) = xinfinx1x2 x3 x4 x6x7 x8 x9x5

Ax8 = x6 x7 x8 x9

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue159 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue160 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue161 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue162 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3 Discretiser la dynamique afin de calculer Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue164 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue165 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue166 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue167 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue168 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue171 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue172 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue173 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue174 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue175 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

4 Trouver une fonction de Lyapunov Lxinfin pour Df (xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue176 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

5 Verifier que Lxinfin est aussi de Lyapunov pour le nonlineaire x = f (x)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue178 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue179 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue180 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue181 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue182 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue183 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue184 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue185 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue186 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue187 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue188 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue189 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue190 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue191 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue192 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue193 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue194 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue195 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue197 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue198 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue199 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue200 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue201 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue202 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme CIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue203 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme HIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue204 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Bassin drsquoattraction

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue206 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Compter le nombre de composantes connexes drsquoun ensemblede la forme

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

est un probleme indecidable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue207 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue208 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue209 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue210 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue211 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue212 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue213 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue214 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue215 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexite

I Developper un algorithme qui prend en entree unsysteme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixes

I leur categorie (dimension des espaces dilatants etcontractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue217 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Merci pour votre attention

  • Calcul par intervalles
    • Analyse de la topologie dun ensemble
      • Motivation
      • Rappels topologiques
      • Prouver quun ensemble est eacutetoileacute
      • Discreacutetisation
        • Bassin dattraction
          • Systegravemes dynamiques
          • Theacuteorie de Lyapunov
          • Discreacutetisation
            • Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue2 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue3 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Plan

Calcul par intervalles

Analyse de la topologie drsquoun ensembleMotivationRappels topologiquesProuver qursquoun ensemble est etoileDiscretisation

Bassin drsquoattractionSystemes dynamiquesTheorie de LyapunovDiscretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IR

I [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IR

I [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue5 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Topologie sur IRSoient [a] [b] isin IR la distance de Hausdorff d

d([a] [b]) = max(|aminus b| |aminus b|)

munit IR drsquoune topologie

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue10 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue11 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue12 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue13 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue14 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue15 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si [f ] et [g ] sont des fonctions drsquoinclusion pour f et grespectivement alors [f ] [g ] est une fonction drsquoinclusionpour f g

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue18 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue19 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue20 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue21 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue22 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue23 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue24 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue26 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Hypotheses

Le calcul par intervalles permet de verifier

1 S = empty2 (S) = 1 (Newton par intervalles)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue27 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Analyse de la topologie drsquoun ensemble

221515

Fig Robot a 2 degres de liberte

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue31 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Compter le nombre de composantes connexes de

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue32 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Rappels topologiques

Definition Espace connexe par arcs

Un espace topologique S est connexe (par arcs) si forallx y isin S existf continuef [0 1] rarr S verifiant f (0) = x et f (1) = y

path_connexityswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue33 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue34 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue35 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue36 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue37 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue38 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue39 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue40 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue41 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue42 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue43 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue44 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn | f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 de Evers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue45 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue46 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue47 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue48 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue49 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue50 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue51 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue53 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue54 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Diviser S avec un pavage P tel que sur chaque partie pS cap p est etoile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue55 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue56 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue57 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue58 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue59 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue60 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue61 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue62 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue63 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue64 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SS est connexe par arcs hArr GS est connexe

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue65 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CorollaireSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SGS a le meme nombre de composantes connexes que S ieπ0(S) = π0(GS)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue66 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Espace des configurations admissibles y0 = 23

221515

S =

(α β) isin [minusπ π]2

2 sin(α) le y0

minus2 sin(α) le 02 sin(α) + 3

2 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue67 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CIA Connected components via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue68 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Recapitulatif

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue69 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Invariants topologiques

Nombre de composantes connexes par arc

Soit π0 la fonction suivante

π0 Espaces rdquogentilsrdquo rarr NX 7rarr Nombre de composantes

connexes par arcs de X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue70 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue71 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue72 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue73 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue74 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue75 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue79 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples drsquohomeomorphismes

Exemple drsquoensembles homeomorphes

On notera X sim= Y sim= Z

homoemorphismeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue80 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Construire une triangulation pour obtenir plus deproprietes topologiques

I type drsquohomotopie groupe fondamental (π1(S))I groupes drsquohomologie (H1(S)H2(S) )I nombres de Betti

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue81 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue82 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Fonctions homotopes

Deux fonctions continues f g X rarr Y sont homotopesf sim gsrsquoil existe une fonction continue F X times [0 1] rarr Y telleque

F (x 0) = f (x) et F (x 1) = g(x) forallx isin X

homotopy_de_segmentswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue83 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 1 et f 0

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue84 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 2

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue85 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proprietes

π1(Y y0) est un groupe

f 1 times f minus1 sim f 0

homotopy_opposeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue86 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue87 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue88 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue89 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue91 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Deux ensembles du meme type drsquohomotopie

ensemble_homotopicswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue92 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn espace X est contractile srsquoil a le meme type drsquohomotopieqursquoun point

X Y

contractileswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue94 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue95 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Une triangulation

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue96 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition drsquoune triangulation abstraite

Soit N un ensemble fini de symboles (a0) (a1) (an)Une triangulation abstraite K est une famille des parties deN qui verifie σ isin K rArr forallσ0 sub σ σ0 isin K

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue97 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue98 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

On le notera par a0a1a2 + a3a4

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue99 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSi |K1| et |K2| deux realisations drsquoune triangulation abstraiteK alors |K1| et |K2| sont homeomorphes

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue100 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit K une triangulation abstraite et (x) un symbole Onnote C(x K) lrsquoensemble

C(x K) = K cup⋃σisinK

(x σ)

ou (x σ) = (x a1 an) avec σ = (a1 an) isin KC(x K) est le cone de sommet x et de base K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue101 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue102 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue103 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue104 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue105 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue106 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue107 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue108 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue109 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue110 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

C(x K) = x(a0a1a2 + a3a4)

= xa0a1a2 + xa3a4

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue111 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Propriete drsquoun cone

Un cone est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue112 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Construire une triangulation du meme type drsquohomotopieque

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue114 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue115 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue116 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue117 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue118 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Soit F = SJ J sub I tel que SJ est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue119 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue120 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue121 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue122 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue123 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue124 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue125 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue126 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue127 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue128 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue129 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue130 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue131 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue132 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue133 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue134 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue135 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue136 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue137 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue138 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue139 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue140 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue141 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue142 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue143 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue144 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue145 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue146 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue147 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue148 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue149 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue150 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue151 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue152 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

HIA Homotopy type via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue153 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calculer le bassin drsquoattraction drsquoun pointasymptotiquement stable

x = f (x)x isin Rn f isin Cinfin(Rn Rn)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue154 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On note par ϕt Rn rarr RntisinR le flot ie

d

dtϕtx

∣∣∣∣t=0

= f (x) et ϕ0 = Id (1)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue155 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit x isin Rn x est un point drsquoequilibre si f (x) = 0ie ϕt(x) = x forallt isin R

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue156 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn ensemble E est stable si

φR+(E ) sub E

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue158 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionLe bassin drsquoattraction de xinfin est lrsquoensemble

Axinfin = x isin E | φinfin(x) = xinfinx1x2 x3 x4 x6x7 x8 x9x5

Ax8 = x6 x7 x8 x9

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue159 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue160 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue161 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue162 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3 Discretiser la dynamique afin de calculer Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue164 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue165 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue166 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue167 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue168 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue171 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue172 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue173 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue174 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue175 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

4 Trouver une fonction de Lyapunov Lxinfin pour Df (xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue176 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

5 Verifier que Lxinfin est aussi de Lyapunov pour le nonlineaire x = f (x)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue178 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue179 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue180 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue181 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue182 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue183 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue184 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue185 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue186 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue187 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue188 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue189 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue190 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue191 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue192 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue193 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue194 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue195 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue197 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue198 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue199 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue200 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue201 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue202 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme CIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue203 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme HIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue204 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Bassin drsquoattraction

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue206 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Compter le nombre de composantes connexes drsquoun ensemblede la forme

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

est un probleme indecidable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue207 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue208 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue209 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue210 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue211 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue212 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue213 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue214 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue215 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexite

I Developper un algorithme qui prend en entree unsysteme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixes

I leur categorie (dimension des espaces dilatants etcontractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue217 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Merci pour votre attention

  • Calcul par intervalles
    • Analyse de la topologie dun ensemble
      • Motivation
      • Rappels topologiques
      • Prouver quun ensemble est eacutetoileacute
      • Discreacutetisation
        • Bassin dattraction
          • Systegravemes dynamiques
          • Theacuteorie de Lyapunov
          • Discreacutetisation
            • Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue3 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Plan

Calcul par intervalles

Analyse de la topologie drsquoun ensembleMotivationRappels topologiquesProuver qursquoun ensemble est etoileDiscretisation

Bassin drsquoattractionSystemes dynamiquesTheorie de LyapunovDiscretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IR

I [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IR

I [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue5 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Topologie sur IRSoient [a] [b] isin IR la distance de Hausdorff d

d([a] [b]) = max(|aminus b| |aminus b|)

munit IR drsquoune topologie

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue10 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue11 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue12 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue13 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue14 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue15 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si [f ] et [g ] sont des fonctions drsquoinclusion pour f et grespectivement alors [f ] [g ] est une fonction drsquoinclusionpour f g

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue18 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue19 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue20 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue21 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue22 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue23 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue24 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue26 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Hypotheses

Le calcul par intervalles permet de verifier

1 S = empty2 (S) = 1 (Newton par intervalles)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue27 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Analyse de la topologie drsquoun ensemble

221515

Fig Robot a 2 degres de liberte

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue31 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Compter le nombre de composantes connexes de

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue32 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Rappels topologiques

Definition Espace connexe par arcs

Un espace topologique S est connexe (par arcs) si forallx y isin S existf continuef [0 1] rarr S verifiant f (0) = x et f (1) = y

path_connexityswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue33 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue34 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue35 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue36 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue37 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue38 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue39 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue40 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue41 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue42 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue43 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue44 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn | f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 de Evers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue45 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue46 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue47 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue48 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue49 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue50 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue51 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue53 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue54 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Diviser S avec un pavage P tel que sur chaque partie pS cap p est etoile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue55 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue56 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue57 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue58 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue59 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue60 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue61 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue62 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue63 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue64 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SS est connexe par arcs hArr GS est connexe

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue65 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CorollaireSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SGS a le meme nombre de composantes connexes que S ieπ0(S) = π0(GS)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue66 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Espace des configurations admissibles y0 = 23

221515

S =

(α β) isin [minusπ π]2

2 sin(α) le y0

minus2 sin(α) le 02 sin(α) + 3

2 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue67 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CIA Connected components via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue68 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Recapitulatif

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue69 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Invariants topologiques

Nombre de composantes connexes par arc

Soit π0 la fonction suivante

π0 Espaces rdquogentilsrdquo rarr NX 7rarr Nombre de composantes

connexes par arcs de X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue70 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue71 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue72 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue73 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue74 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue75 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue79 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples drsquohomeomorphismes

Exemple drsquoensembles homeomorphes

On notera X sim= Y sim= Z

homoemorphismeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue80 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Construire une triangulation pour obtenir plus deproprietes topologiques

I type drsquohomotopie groupe fondamental (π1(S))I groupes drsquohomologie (H1(S)H2(S) )I nombres de Betti

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue81 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue82 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Fonctions homotopes

Deux fonctions continues f g X rarr Y sont homotopesf sim gsrsquoil existe une fonction continue F X times [0 1] rarr Y telleque

F (x 0) = f (x) et F (x 1) = g(x) forallx isin X

homotopy_de_segmentswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue83 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 1 et f 0

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue84 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 2

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue85 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proprietes

π1(Y y0) est un groupe

f 1 times f minus1 sim f 0

homotopy_opposeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue86 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue87 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue88 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue89 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue91 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Deux ensembles du meme type drsquohomotopie

ensemble_homotopicswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue92 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn espace X est contractile srsquoil a le meme type drsquohomotopieqursquoun point

X Y

contractileswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue94 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue95 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Une triangulation

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue96 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition drsquoune triangulation abstraite

Soit N un ensemble fini de symboles (a0) (a1) (an)Une triangulation abstraite K est une famille des parties deN qui verifie σ isin K rArr forallσ0 sub σ σ0 isin K

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue97 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue98 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

On le notera par a0a1a2 + a3a4

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue99 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSi |K1| et |K2| deux realisations drsquoune triangulation abstraiteK alors |K1| et |K2| sont homeomorphes

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue100 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit K une triangulation abstraite et (x) un symbole Onnote C(x K) lrsquoensemble

C(x K) = K cup⋃σisinK

(x σ)

ou (x σ) = (x a1 an) avec σ = (a1 an) isin KC(x K) est le cone de sommet x et de base K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue101 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue102 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue103 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue104 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue105 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue106 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue107 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue108 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue109 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue110 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

C(x K) = x(a0a1a2 + a3a4)

= xa0a1a2 + xa3a4

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue111 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Propriete drsquoun cone

Un cone est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue112 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Construire une triangulation du meme type drsquohomotopieque

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue114 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue115 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue116 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue117 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue118 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Soit F = SJ J sub I tel que SJ est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue119 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue120 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue121 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue122 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue123 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue124 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue125 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue126 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue127 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue128 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue129 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue130 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue131 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue132 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue133 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue134 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue135 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue136 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue137 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue138 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue139 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue140 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue141 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue142 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue143 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue144 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue145 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue146 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue147 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue148 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue149 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue150 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue151 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue152 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

HIA Homotopy type via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue153 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calculer le bassin drsquoattraction drsquoun pointasymptotiquement stable

x = f (x)x isin Rn f isin Cinfin(Rn Rn)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue154 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On note par ϕt Rn rarr RntisinR le flot ie

d

dtϕtx

∣∣∣∣t=0

= f (x) et ϕ0 = Id (1)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue155 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit x isin Rn x est un point drsquoequilibre si f (x) = 0ie ϕt(x) = x forallt isin R

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue156 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn ensemble E est stable si

φR+(E ) sub E

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue158 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionLe bassin drsquoattraction de xinfin est lrsquoensemble

Axinfin = x isin E | φinfin(x) = xinfinx1x2 x3 x4 x6x7 x8 x9x5

Ax8 = x6 x7 x8 x9

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue159 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue160 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue161 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue162 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3 Discretiser la dynamique afin de calculer Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue164 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue165 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue166 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue167 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue168 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue171 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue172 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue173 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue174 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue175 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

4 Trouver une fonction de Lyapunov Lxinfin pour Df (xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue176 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

5 Verifier que Lxinfin est aussi de Lyapunov pour le nonlineaire x = f (x)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue178 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue179 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue180 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue181 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue182 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue183 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue184 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue185 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue186 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue187 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue188 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue189 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue190 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue191 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue192 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue193 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue194 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue195 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue197 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue198 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue199 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue200 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue201 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue202 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme CIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue203 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme HIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue204 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Bassin drsquoattraction

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue206 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Compter le nombre de composantes connexes drsquoun ensemblede la forme

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

est un probleme indecidable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue207 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue208 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue209 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue210 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue211 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue212 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue213 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue214 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue215 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexite

I Developper un algorithme qui prend en entree unsysteme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixes

I leur categorie (dimension des espaces dilatants etcontractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue217 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Merci pour votre attention

  • Calcul par intervalles
    • Analyse de la topologie dun ensemble
      • Motivation
      • Rappels topologiques
      • Prouver quun ensemble est eacutetoileacute
      • Discreacutetisation
        • Bassin dattraction
          • Systegravemes dynamiques
          • Theacuteorie de Lyapunov
          • Discreacutetisation
            • Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IR

I [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IR

I [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue5 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Topologie sur IRSoient [a] [b] isin IR la distance de Hausdorff d

d([a] [b]) = max(|aminus b| |aminus b|)

munit IR drsquoune topologie

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue10 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue11 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue12 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue13 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue14 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue15 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si [f ] et [g ] sont des fonctions drsquoinclusion pour f et grespectivement alors [f ] [g ] est une fonction drsquoinclusionpour f g

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue18 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue19 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue20 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue21 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue22 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue23 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue24 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue26 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Hypotheses

Le calcul par intervalles permet de verifier

1 S = empty2 (S) = 1 (Newton par intervalles)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue27 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Analyse de la topologie drsquoun ensemble

221515

Fig Robot a 2 degres de liberte

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue31 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Compter le nombre de composantes connexes de

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue32 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Rappels topologiques

Definition Espace connexe par arcs

Un espace topologique S est connexe (par arcs) si forallx y isin S existf continuef [0 1] rarr S verifiant f (0) = x et f (1) = y

path_connexityswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue33 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue34 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue35 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue36 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue37 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue38 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue39 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue40 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue41 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue42 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue43 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue44 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn | f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 de Evers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue45 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue46 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue47 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue48 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue49 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue50 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue51 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue53 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue54 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Diviser S avec un pavage P tel que sur chaque partie pS cap p est etoile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue55 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue56 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue57 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue58 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue59 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue60 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue61 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue62 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue63 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue64 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SS est connexe par arcs hArr GS est connexe

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue65 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CorollaireSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SGS a le meme nombre de composantes connexes que S ieπ0(S) = π0(GS)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue66 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Espace des configurations admissibles y0 = 23

221515

S =

(α β) isin [minusπ π]2

2 sin(α) le y0

minus2 sin(α) le 02 sin(α) + 3

2 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue67 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CIA Connected components via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue68 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Recapitulatif

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue69 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Invariants topologiques

Nombre de composantes connexes par arc

Soit π0 la fonction suivante

π0 Espaces rdquogentilsrdquo rarr NX 7rarr Nombre de composantes

connexes par arcs de X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue70 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue71 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue72 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue73 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue74 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue75 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue79 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples drsquohomeomorphismes

Exemple drsquoensembles homeomorphes

On notera X sim= Y sim= Z

homoemorphismeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue80 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Construire une triangulation pour obtenir plus deproprietes topologiques

I type drsquohomotopie groupe fondamental (π1(S))I groupes drsquohomologie (H1(S)H2(S) )I nombres de Betti

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue81 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue82 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Fonctions homotopes

Deux fonctions continues f g X rarr Y sont homotopesf sim gsrsquoil existe une fonction continue F X times [0 1] rarr Y telleque

F (x 0) = f (x) et F (x 1) = g(x) forallx isin X

homotopy_de_segmentswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue83 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 1 et f 0

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue84 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 2

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue85 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proprietes

π1(Y y0) est un groupe

f 1 times f minus1 sim f 0

homotopy_opposeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue86 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue87 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue88 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue89 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue91 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Deux ensembles du meme type drsquohomotopie

ensemble_homotopicswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue92 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn espace X est contractile srsquoil a le meme type drsquohomotopieqursquoun point

X Y

contractileswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue94 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue95 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Une triangulation

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue96 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition drsquoune triangulation abstraite

Soit N un ensemble fini de symboles (a0) (a1) (an)Une triangulation abstraite K est une famille des parties deN qui verifie σ isin K rArr forallσ0 sub σ σ0 isin K

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue97 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue98 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

On le notera par a0a1a2 + a3a4

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue99 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSi |K1| et |K2| deux realisations drsquoune triangulation abstraiteK alors |K1| et |K2| sont homeomorphes

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue100 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit K une triangulation abstraite et (x) un symbole Onnote C(x K) lrsquoensemble

C(x K) = K cup⋃σisinK

(x σ)

ou (x σ) = (x a1 an) avec σ = (a1 an) isin KC(x K) est le cone de sommet x et de base K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue101 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue102 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue103 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue104 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue105 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue106 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue107 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue108 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue109 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue110 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

C(x K) = x(a0a1a2 + a3a4)

= xa0a1a2 + xa3a4

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue111 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Propriete drsquoun cone

Un cone est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue112 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Construire une triangulation du meme type drsquohomotopieque

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue114 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue115 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue116 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue117 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue118 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Soit F = SJ J sub I tel que SJ est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue119 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue120 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue121 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue122 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue123 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue124 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue125 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue126 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue127 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue128 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue129 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue130 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue131 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue132 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue133 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue134 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue135 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue136 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue137 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue138 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue139 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue140 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue141 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue142 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue143 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue144 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue145 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue146 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue147 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue148 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue149 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue150 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue151 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue152 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

HIA Homotopy type via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue153 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calculer le bassin drsquoattraction drsquoun pointasymptotiquement stable

x = f (x)x isin Rn f isin Cinfin(Rn Rn)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue154 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On note par ϕt Rn rarr RntisinR le flot ie

d

dtϕtx

∣∣∣∣t=0

= f (x) et ϕ0 = Id (1)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue155 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit x isin Rn x est un point drsquoequilibre si f (x) = 0ie ϕt(x) = x forallt isin R

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue156 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn ensemble E est stable si

φR+(E ) sub E

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue158 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionLe bassin drsquoattraction de xinfin est lrsquoensemble

Axinfin = x isin E | φinfin(x) = xinfinx1x2 x3 x4 x6x7 x8 x9x5

Ax8 = x6 x7 x8 x9

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue159 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue160 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue161 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue162 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3 Discretiser la dynamique afin de calculer Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue164 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue165 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue166 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue167 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue168 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue171 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue172 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue173 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue174 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue175 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

4 Trouver une fonction de Lyapunov Lxinfin pour Df (xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue176 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

5 Verifier que Lxinfin est aussi de Lyapunov pour le nonlineaire x = f (x)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue178 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue179 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue180 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue181 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue182 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue183 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue184 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue185 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue186 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue187 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue188 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue189 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue190 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue191 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue192 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue193 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue194 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue195 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue197 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue198 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue199 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue200 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue201 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue202 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme CIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue203 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme HIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue204 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Bassin drsquoattraction

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue206 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Compter le nombre de composantes connexes drsquoun ensemblede la forme

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

est un probleme indecidable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue207 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue208 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue209 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue210 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue211 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue212 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue213 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue214 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue215 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexite

I Developper un algorithme qui prend en entree unsysteme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixes

I leur categorie (dimension des espaces dilatants etcontractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue217 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Merci pour votre attention

  • Calcul par intervalles
    • Analyse de la topologie dun ensemble
      • Motivation
      • Rappels topologiques
      • Prouver quun ensemble est eacutetoileacute
      • Discreacutetisation
        • Bassin dattraction
          • Systegravemes dynamiques
          • Theacuteorie de Lyapunov
          • Discreacutetisation
            • Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IR

I [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IR

I [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue5 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Topologie sur IRSoient [a] [b] isin IR la distance de Hausdorff d

d([a] [b]) = max(|aminus b| |aminus b|)

munit IR drsquoune topologie

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue10 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue11 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue12 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue13 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue14 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue15 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si [f ] et [g ] sont des fonctions drsquoinclusion pour f et grespectivement alors [f ] [g ] est une fonction drsquoinclusionpour f g

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue18 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue19 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue20 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue21 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue22 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue23 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue24 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue26 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Hypotheses

Le calcul par intervalles permet de verifier

1 S = empty2 (S) = 1 (Newton par intervalles)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue27 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Analyse de la topologie drsquoun ensemble

221515

Fig Robot a 2 degres de liberte

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue31 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Compter le nombre de composantes connexes de

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue32 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Rappels topologiques

Definition Espace connexe par arcs

Un espace topologique S est connexe (par arcs) si forallx y isin S existf continuef [0 1] rarr S verifiant f (0) = x et f (1) = y

path_connexityswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue33 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue34 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue35 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue36 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue37 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue38 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue39 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue40 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue41 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue42 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue43 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue44 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn | f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 de Evers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue45 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue46 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue47 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue48 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue49 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue50 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue51 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue53 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue54 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Diviser S avec un pavage P tel que sur chaque partie pS cap p est etoile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue55 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue56 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue57 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue58 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue59 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue60 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue61 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue62 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue63 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue64 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SS est connexe par arcs hArr GS est connexe

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue65 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CorollaireSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SGS a le meme nombre de composantes connexes que S ieπ0(S) = π0(GS)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue66 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Espace des configurations admissibles y0 = 23

221515

S =

(α β) isin [minusπ π]2

2 sin(α) le y0

minus2 sin(α) le 02 sin(α) + 3

2 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue67 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CIA Connected components via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue68 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Recapitulatif

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue69 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Invariants topologiques

Nombre de composantes connexes par arc

Soit π0 la fonction suivante

π0 Espaces rdquogentilsrdquo rarr NX 7rarr Nombre de composantes

connexes par arcs de X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue70 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue71 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue72 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue73 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue74 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue75 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue79 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples drsquohomeomorphismes

Exemple drsquoensembles homeomorphes

On notera X sim= Y sim= Z

homoemorphismeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue80 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Construire une triangulation pour obtenir plus deproprietes topologiques

I type drsquohomotopie groupe fondamental (π1(S))I groupes drsquohomologie (H1(S)H2(S) )I nombres de Betti

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue81 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue82 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Fonctions homotopes

Deux fonctions continues f g X rarr Y sont homotopesf sim gsrsquoil existe une fonction continue F X times [0 1] rarr Y telleque

F (x 0) = f (x) et F (x 1) = g(x) forallx isin X

homotopy_de_segmentswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue83 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 1 et f 0

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue84 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 2

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue85 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proprietes

π1(Y y0) est un groupe

f 1 times f minus1 sim f 0

homotopy_opposeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue86 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue87 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue88 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue89 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue91 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Deux ensembles du meme type drsquohomotopie

ensemble_homotopicswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue92 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn espace X est contractile srsquoil a le meme type drsquohomotopieqursquoun point

X Y

contractileswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue94 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue95 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Une triangulation

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue96 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition drsquoune triangulation abstraite

Soit N un ensemble fini de symboles (a0) (a1) (an)Une triangulation abstraite K est une famille des parties deN qui verifie σ isin K rArr forallσ0 sub σ σ0 isin K

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue97 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue98 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

On le notera par a0a1a2 + a3a4

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue99 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSi |K1| et |K2| deux realisations drsquoune triangulation abstraiteK alors |K1| et |K2| sont homeomorphes

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue100 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit K une triangulation abstraite et (x) un symbole Onnote C(x K) lrsquoensemble

C(x K) = K cup⋃σisinK

(x σ)

ou (x σ) = (x a1 an) avec σ = (a1 an) isin KC(x K) est le cone de sommet x et de base K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue101 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue102 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue103 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue104 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue105 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue106 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue107 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue108 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue109 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue110 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

C(x K) = x(a0a1a2 + a3a4)

= xa0a1a2 + xa3a4

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue111 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Propriete drsquoun cone

Un cone est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue112 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Construire une triangulation du meme type drsquohomotopieque

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue114 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue115 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue116 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue117 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue118 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Soit F = SJ J sub I tel que SJ est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue119 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue120 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue121 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue122 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue123 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue124 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue125 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue126 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue127 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue128 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue129 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue130 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue131 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue132 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue133 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue134 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue135 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue136 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue137 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue138 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue139 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue140 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue141 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue142 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue143 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue144 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue145 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue146 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue147 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue148 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue149 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue150 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue151 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue152 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

HIA Homotopy type via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue153 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calculer le bassin drsquoattraction drsquoun pointasymptotiquement stable

x = f (x)x isin Rn f isin Cinfin(Rn Rn)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue154 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On note par ϕt Rn rarr RntisinR le flot ie

d

dtϕtx

∣∣∣∣t=0

= f (x) et ϕ0 = Id (1)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue155 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit x isin Rn x est un point drsquoequilibre si f (x) = 0ie ϕt(x) = x forallt isin R

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue156 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn ensemble E est stable si

φR+(E ) sub E

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue158 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionLe bassin drsquoattraction de xinfin est lrsquoensemble

Axinfin = x isin E | φinfin(x) = xinfinx1x2 x3 x4 x6x7 x8 x9x5

Ax8 = x6 x7 x8 x9

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue159 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue160 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue161 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue162 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3 Discretiser la dynamique afin de calculer Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue164 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue165 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue166 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue167 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue168 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue171 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue172 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue173 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue174 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue175 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

4 Trouver une fonction de Lyapunov Lxinfin pour Df (xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue176 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

5 Verifier que Lxinfin est aussi de Lyapunov pour le nonlineaire x = f (x)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue178 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue179 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue180 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue181 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue182 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue183 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue184 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue185 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue186 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue187 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue188 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue189 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue190 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue191 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue192 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue193 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue194 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue195 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue197 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue198 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue199 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue200 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue201 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue202 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme CIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue203 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme HIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue204 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Bassin drsquoattraction

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue206 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Compter le nombre de composantes connexes drsquoun ensemblede la forme

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

est un probleme indecidable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue207 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue208 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue209 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue210 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue211 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue212 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue213 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue214 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue215 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexite

I Developper un algorithme qui prend en entree unsysteme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixes

I leur categorie (dimension des espaces dilatants etcontractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue217 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Merci pour votre attention

  • Calcul par intervalles
    • Analyse de la topologie dun ensemble
      • Motivation
      • Rappels topologiques
      • Prouver quun ensemble est eacutetoileacute
      • Discreacutetisation
        • Bassin dattraction
          • Systegravemes dynamiques
          • Theacuteorie de Lyapunov
          • Discreacutetisation
            • Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IR

I [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IR

I [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue5 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Topologie sur IRSoient [a] [b] isin IR la distance de Hausdorff d

d([a] [b]) = max(|aminus b| |aminus b|)

munit IR drsquoune topologie

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue10 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue11 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue12 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue13 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue14 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue15 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si [f ] et [g ] sont des fonctions drsquoinclusion pour f et grespectivement alors [f ] [g ] est une fonction drsquoinclusionpour f g

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue18 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue19 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue20 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue21 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue22 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue23 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue24 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue26 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Hypotheses

Le calcul par intervalles permet de verifier

1 S = empty2 (S) = 1 (Newton par intervalles)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue27 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Analyse de la topologie drsquoun ensemble

221515

Fig Robot a 2 degres de liberte

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue31 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Compter le nombre de composantes connexes de

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue32 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Rappels topologiques

Definition Espace connexe par arcs

Un espace topologique S est connexe (par arcs) si forallx y isin S existf continuef [0 1] rarr S verifiant f (0) = x et f (1) = y

path_connexityswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue33 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue34 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue35 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue36 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue37 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue38 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue39 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue40 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue41 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue42 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue43 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue44 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn | f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 de Evers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue45 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue46 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue47 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue48 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue49 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue50 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue51 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue53 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue54 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Diviser S avec un pavage P tel que sur chaque partie pS cap p est etoile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue55 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue56 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue57 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue58 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue59 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue60 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue61 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue62 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue63 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue64 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SS est connexe par arcs hArr GS est connexe

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue65 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CorollaireSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SGS a le meme nombre de composantes connexes que S ieπ0(S) = π0(GS)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue66 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Espace des configurations admissibles y0 = 23

221515

S =

(α β) isin [minusπ π]2

2 sin(α) le y0

minus2 sin(α) le 02 sin(α) + 3

2 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue67 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CIA Connected components via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue68 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Recapitulatif

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue69 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Invariants topologiques

Nombre de composantes connexes par arc

Soit π0 la fonction suivante

π0 Espaces rdquogentilsrdquo rarr NX 7rarr Nombre de composantes

connexes par arcs de X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue70 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue71 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue72 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue73 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue74 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue75 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue79 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples drsquohomeomorphismes

Exemple drsquoensembles homeomorphes

On notera X sim= Y sim= Z

homoemorphismeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue80 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Construire une triangulation pour obtenir plus deproprietes topologiques

I type drsquohomotopie groupe fondamental (π1(S))I groupes drsquohomologie (H1(S)H2(S) )I nombres de Betti

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue81 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue82 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Fonctions homotopes

Deux fonctions continues f g X rarr Y sont homotopesf sim gsrsquoil existe une fonction continue F X times [0 1] rarr Y telleque

F (x 0) = f (x) et F (x 1) = g(x) forallx isin X

homotopy_de_segmentswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue83 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 1 et f 0

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue84 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 2

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue85 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proprietes

π1(Y y0) est un groupe

f 1 times f minus1 sim f 0

homotopy_opposeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue86 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue87 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue88 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue89 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue91 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Deux ensembles du meme type drsquohomotopie

ensemble_homotopicswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue92 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn espace X est contractile srsquoil a le meme type drsquohomotopieqursquoun point

X Y

contractileswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue94 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue95 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Une triangulation

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue96 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition drsquoune triangulation abstraite

Soit N un ensemble fini de symboles (a0) (a1) (an)Une triangulation abstraite K est une famille des parties deN qui verifie σ isin K rArr forallσ0 sub σ σ0 isin K

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue97 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue98 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

On le notera par a0a1a2 + a3a4

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue99 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSi |K1| et |K2| deux realisations drsquoune triangulation abstraiteK alors |K1| et |K2| sont homeomorphes

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue100 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit K une triangulation abstraite et (x) un symbole Onnote C(x K) lrsquoensemble

C(x K) = K cup⋃σisinK

(x σ)

ou (x σ) = (x a1 an) avec σ = (a1 an) isin KC(x K) est le cone de sommet x et de base K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue101 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue102 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue103 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue104 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue105 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue106 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue107 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue108 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue109 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue110 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

C(x K) = x(a0a1a2 + a3a4)

= xa0a1a2 + xa3a4

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue111 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Propriete drsquoun cone

Un cone est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue112 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Construire une triangulation du meme type drsquohomotopieque

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue114 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue115 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue116 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue117 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue118 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Soit F = SJ J sub I tel que SJ est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue119 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue120 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue121 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue122 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue123 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue124 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue125 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue126 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue127 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue128 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue129 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue130 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue131 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue132 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue133 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue134 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue135 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue136 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue137 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue138 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue139 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue140 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue141 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue142 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue143 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue144 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue145 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue146 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue147 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue148 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue149 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue150 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue151 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue152 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

HIA Homotopy type via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue153 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calculer le bassin drsquoattraction drsquoun pointasymptotiquement stable

x = f (x)x isin Rn f isin Cinfin(Rn Rn)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue154 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On note par ϕt Rn rarr RntisinR le flot ie

d

dtϕtx

∣∣∣∣t=0

= f (x) et ϕ0 = Id (1)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue155 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit x isin Rn x est un point drsquoequilibre si f (x) = 0ie ϕt(x) = x forallt isin R

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue156 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn ensemble E est stable si

φR+(E ) sub E

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue158 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionLe bassin drsquoattraction de xinfin est lrsquoensemble

Axinfin = x isin E | φinfin(x) = xinfinx1x2 x3 x4 x6x7 x8 x9x5

Ax8 = x6 x7 x8 x9

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue159 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue160 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue161 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue162 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3 Discretiser la dynamique afin de calculer Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue164 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue165 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue166 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue167 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue168 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue171 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue172 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue173 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue174 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue175 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

4 Trouver une fonction de Lyapunov Lxinfin pour Df (xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue176 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

5 Verifier que Lxinfin est aussi de Lyapunov pour le nonlineaire x = f (x)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue178 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue179 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue180 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue181 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue182 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue183 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue184 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue185 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue186 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue187 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue188 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue189 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue190 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue191 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue192 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue193 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue194 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue195 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue197 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue198 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue199 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue200 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue201 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue202 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme CIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue203 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme HIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue204 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Bassin drsquoattraction

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue206 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Compter le nombre de composantes connexes drsquoun ensemblede la forme

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

est un probleme indecidable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue207 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue208 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue209 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue210 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue211 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue212 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue213 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue214 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue215 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexite

I Developper un algorithme qui prend en entree unsysteme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixes

I leur categorie (dimension des espaces dilatants etcontractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue217 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Merci pour votre attention

  • Calcul par intervalles
    • Analyse de la topologie dun ensemble
      • Motivation
      • Rappels topologiques
      • Prouver quun ensemble est eacutetoileacute
      • Discreacutetisation
        • Bassin dattraction
          • Systegravemes dynamiques
          • Theacuteorie de Lyapunov
          • Discreacutetisation
            • Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IR

I [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue5 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Topologie sur IRSoient [a] [b] isin IR la distance de Hausdorff d

d([a] [b]) = max(|aminus b| |aminus b|)

munit IR drsquoune topologie

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue10 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue11 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue12 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue13 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue14 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue15 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si [f ] et [g ] sont des fonctions drsquoinclusion pour f et grespectivement alors [f ] [g ] est une fonction drsquoinclusionpour f g

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue18 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue19 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue20 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue21 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue22 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue23 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue24 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue26 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Hypotheses

Le calcul par intervalles permet de verifier

1 S = empty2 (S) = 1 (Newton par intervalles)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue27 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Analyse de la topologie drsquoun ensemble

221515

Fig Robot a 2 degres de liberte

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue31 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Compter le nombre de composantes connexes de

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue32 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Rappels topologiques

Definition Espace connexe par arcs

Un espace topologique S est connexe (par arcs) si forallx y isin S existf continuef [0 1] rarr S verifiant f (0) = x et f (1) = y

path_connexityswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue33 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue34 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue35 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue36 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue37 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue38 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue39 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue40 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue41 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue42 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue43 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue44 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn | f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 de Evers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue45 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue46 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue47 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue48 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue49 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue50 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue51 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue53 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue54 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Diviser S avec un pavage P tel que sur chaque partie pS cap p est etoile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue55 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue56 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue57 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue58 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue59 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue60 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue61 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue62 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue63 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue64 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SS est connexe par arcs hArr GS est connexe

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue65 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CorollaireSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SGS a le meme nombre de composantes connexes que S ieπ0(S) = π0(GS)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue66 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Espace des configurations admissibles y0 = 23

221515

S =

(α β) isin [minusπ π]2

2 sin(α) le y0

minus2 sin(α) le 02 sin(α) + 3

2 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue67 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CIA Connected components via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue68 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Recapitulatif

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue69 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Invariants topologiques

Nombre de composantes connexes par arc

Soit π0 la fonction suivante

π0 Espaces rdquogentilsrdquo rarr NX 7rarr Nombre de composantes

connexes par arcs de X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue70 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue71 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue72 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue73 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue74 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue75 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue79 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples drsquohomeomorphismes

Exemple drsquoensembles homeomorphes

On notera X sim= Y sim= Z

homoemorphismeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue80 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Construire une triangulation pour obtenir plus deproprietes topologiques

I type drsquohomotopie groupe fondamental (π1(S))I groupes drsquohomologie (H1(S)H2(S) )I nombres de Betti

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue81 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue82 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Fonctions homotopes

Deux fonctions continues f g X rarr Y sont homotopesf sim gsrsquoil existe une fonction continue F X times [0 1] rarr Y telleque

F (x 0) = f (x) et F (x 1) = g(x) forallx isin X

homotopy_de_segmentswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue83 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 1 et f 0

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue84 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 2

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue85 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proprietes

π1(Y y0) est un groupe

f 1 times f minus1 sim f 0

homotopy_opposeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue86 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue87 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue88 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue89 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue91 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Deux ensembles du meme type drsquohomotopie

ensemble_homotopicswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue92 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn espace X est contractile srsquoil a le meme type drsquohomotopieqursquoun point

X Y

contractileswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue94 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue95 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Une triangulation

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue96 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition drsquoune triangulation abstraite

Soit N un ensemble fini de symboles (a0) (a1) (an)Une triangulation abstraite K est une famille des parties deN qui verifie σ isin K rArr forallσ0 sub σ σ0 isin K

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue97 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue98 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

On le notera par a0a1a2 + a3a4

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue99 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSi |K1| et |K2| deux realisations drsquoune triangulation abstraiteK alors |K1| et |K2| sont homeomorphes

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue100 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit K une triangulation abstraite et (x) un symbole Onnote C(x K) lrsquoensemble

C(x K) = K cup⋃σisinK

(x σ)

ou (x σ) = (x a1 an) avec σ = (a1 an) isin KC(x K) est le cone de sommet x et de base K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue101 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue102 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue103 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue104 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue105 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue106 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue107 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue108 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue109 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue110 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

C(x K) = x(a0a1a2 + a3a4)

= xa0a1a2 + xa3a4

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue111 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Propriete drsquoun cone

Un cone est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue112 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Construire une triangulation du meme type drsquohomotopieque

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue114 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue115 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue116 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue117 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue118 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Soit F = SJ J sub I tel que SJ est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue119 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue120 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue121 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue122 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue123 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue124 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue125 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue126 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue127 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue128 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue129 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue130 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue131 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue132 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue133 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue134 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue135 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue136 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue137 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue138 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue139 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue140 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue141 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue142 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue143 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue144 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue145 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue146 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue147 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue148 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue149 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue150 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue151 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue152 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

HIA Homotopy type via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue153 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calculer le bassin drsquoattraction drsquoun pointasymptotiquement stable

x = f (x)x isin Rn f isin Cinfin(Rn Rn)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue154 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On note par ϕt Rn rarr RntisinR le flot ie

d

dtϕtx

∣∣∣∣t=0

= f (x) et ϕ0 = Id (1)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue155 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit x isin Rn x est un point drsquoequilibre si f (x) = 0ie ϕt(x) = x forallt isin R

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue156 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn ensemble E est stable si

φR+(E ) sub E

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue158 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionLe bassin drsquoattraction de xinfin est lrsquoensemble

Axinfin = x isin E | φinfin(x) = xinfinx1x2 x3 x4 x6x7 x8 x9x5

Ax8 = x6 x7 x8 x9

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue159 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue160 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue161 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue162 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3 Discretiser la dynamique afin de calculer Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue164 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue165 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue166 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue167 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue168 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue171 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue172 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue173 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue174 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue175 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

4 Trouver une fonction de Lyapunov Lxinfin pour Df (xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue176 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

5 Verifier que Lxinfin est aussi de Lyapunov pour le nonlineaire x = f (x)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue178 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue179 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue180 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue181 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue182 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue183 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue184 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue185 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue186 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue187 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue188 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue189 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue190 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue191 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue192 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue193 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue194 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue195 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue197 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue198 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue199 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue200 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue201 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue202 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme CIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue203 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme HIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue204 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Bassin drsquoattraction

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue206 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Compter le nombre de composantes connexes drsquoun ensemblede la forme

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

est un probleme indecidable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue207 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue208 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue209 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue210 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue211 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue212 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue213 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue214 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue215 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexite

I Developper un algorithme qui prend en entree unsysteme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixes

I leur categorie (dimension des espaces dilatants etcontractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue217 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Merci pour votre attention

  • Calcul par intervalles
    • Analyse de la topologie dun ensemble
      • Motivation
      • Rappels topologiques
      • Prouver quun ensemble est eacutetoileacute
      • Discreacutetisation
        • Bassin dattraction
          • Systegravemes dynamiques
          • Theacuteorie de Lyapunov
          • Discreacutetisation
            • Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue4 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calcul par intervalle

NotationSoient x x isin R [x ] = [x x ] = x isin R x le x le x

DefinitionOn note par IR lrsquoensemble des intervalles compacts de R

IR = [x ] | x x isin R x le x

Exemple

I [1π] isin IRI [2 1] 6isin IRI [1infin[6isin IR

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue5 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Topologie sur IRSoient [a] [b] isin IR la distance de Hausdorff d

d([a] [b]) = max(|aminus b| |aminus b|)

munit IR drsquoune topologie

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue10 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue11 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue12 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue13 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue14 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue15 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si [f ] et [g ] sont des fonctions drsquoinclusion pour f et grespectivement alors [f ] [g ] est une fonction drsquoinclusionpour f g

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue18 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue19 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue20 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue21 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue22 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue23 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue24 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue26 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Hypotheses

Le calcul par intervalles permet de verifier

1 S = empty2 (S) = 1 (Newton par intervalles)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue27 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Analyse de la topologie drsquoun ensemble

221515

Fig Robot a 2 degres de liberte

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue31 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Compter le nombre de composantes connexes de

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue32 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Rappels topologiques

Definition Espace connexe par arcs

Un espace topologique S est connexe (par arcs) si forallx y isin S existf continuef [0 1] rarr S verifiant f (0) = x et f (1) = y

path_connexityswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue33 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue34 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue35 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue36 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue37 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue38 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue39 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue40 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue41 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue42 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue43 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue44 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn | f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 de Evers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue45 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue46 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue47 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue48 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue49 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue50 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue51 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue53 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue54 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Diviser S avec un pavage P tel que sur chaque partie pS cap p est etoile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue55 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue56 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue57 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue58 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue59 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue60 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue61 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue62 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue63 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue64 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SS est connexe par arcs hArr GS est connexe

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue65 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CorollaireSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SGS a le meme nombre de composantes connexes que S ieπ0(S) = π0(GS)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue66 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Espace des configurations admissibles y0 = 23

221515

S =

(α β) isin [minusπ π]2

2 sin(α) le y0

minus2 sin(α) le 02 sin(α) + 3

2 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue67 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CIA Connected components via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue68 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Recapitulatif

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue69 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Invariants topologiques

Nombre de composantes connexes par arc

Soit π0 la fonction suivante

π0 Espaces rdquogentilsrdquo rarr NX 7rarr Nombre de composantes

connexes par arcs de X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue70 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue71 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue72 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue73 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue74 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue75 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue79 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples drsquohomeomorphismes

Exemple drsquoensembles homeomorphes

On notera X sim= Y sim= Z

homoemorphismeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue80 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Construire une triangulation pour obtenir plus deproprietes topologiques

I type drsquohomotopie groupe fondamental (π1(S))I groupes drsquohomologie (H1(S)H2(S) )I nombres de Betti

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue81 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue82 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Fonctions homotopes

Deux fonctions continues f g X rarr Y sont homotopesf sim gsrsquoil existe une fonction continue F X times [0 1] rarr Y telleque

F (x 0) = f (x) et F (x 1) = g(x) forallx isin X

homotopy_de_segmentswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue83 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 1 et f 0

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue84 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 2

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue85 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proprietes

π1(Y y0) est un groupe

f 1 times f minus1 sim f 0

homotopy_opposeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue86 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue87 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue88 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue89 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue91 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Deux ensembles du meme type drsquohomotopie

ensemble_homotopicswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue92 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn espace X est contractile srsquoil a le meme type drsquohomotopieqursquoun point

X Y

contractileswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue94 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue95 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Une triangulation

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue96 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition drsquoune triangulation abstraite

Soit N un ensemble fini de symboles (a0) (a1) (an)Une triangulation abstraite K est une famille des parties deN qui verifie σ isin K rArr forallσ0 sub σ σ0 isin K

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue97 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue98 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

On le notera par a0a1a2 + a3a4

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue99 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSi |K1| et |K2| deux realisations drsquoune triangulation abstraiteK alors |K1| et |K2| sont homeomorphes

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue100 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit K une triangulation abstraite et (x) un symbole Onnote C(x K) lrsquoensemble

C(x K) = K cup⋃σisinK

(x σ)

ou (x σ) = (x a1 an) avec σ = (a1 an) isin KC(x K) est le cone de sommet x et de base K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue101 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue102 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue103 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue104 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue105 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue106 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue107 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue108 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue109 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue110 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

C(x K) = x(a0a1a2 + a3a4)

= xa0a1a2 + xa3a4

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue111 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Propriete drsquoun cone

Un cone est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue112 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Construire une triangulation du meme type drsquohomotopieque

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue114 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue115 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue116 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue117 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue118 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Soit F = SJ J sub I tel que SJ est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue119 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue120 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue121 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue122 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue123 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue124 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue125 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue126 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue127 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue128 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue129 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue130 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue131 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue132 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue133 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue134 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue135 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue136 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue137 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue138 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue139 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue140 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue141 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue142 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue143 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue144 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue145 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue146 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue147 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue148 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue149 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue150 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue151 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue152 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

HIA Homotopy type via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue153 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calculer le bassin drsquoattraction drsquoun pointasymptotiquement stable

x = f (x)x isin Rn f isin Cinfin(Rn Rn)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue154 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On note par ϕt Rn rarr RntisinR le flot ie

d

dtϕtx

∣∣∣∣t=0

= f (x) et ϕ0 = Id (1)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue155 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit x isin Rn x est un point drsquoequilibre si f (x) = 0ie ϕt(x) = x forallt isin R

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue156 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn ensemble E est stable si

φR+(E ) sub E

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue158 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionLe bassin drsquoattraction de xinfin est lrsquoensemble

Axinfin = x isin E | φinfin(x) = xinfinx1x2 x3 x4 x6x7 x8 x9x5

Ax8 = x6 x7 x8 x9

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue159 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue160 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue161 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue162 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3 Discretiser la dynamique afin de calculer Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue164 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue165 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue166 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue167 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue168 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue171 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue172 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue173 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue174 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue175 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

4 Trouver une fonction de Lyapunov Lxinfin pour Df (xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue176 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

5 Verifier que Lxinfin est aussi de Lyapunov pour le nonlineaire x = f (x)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue178 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue179 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue180 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue181 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue182 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue183 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue184 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue185 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue186 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue187 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue188 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue189 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue190 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue191 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue192 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue193 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue194 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue195 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue197 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue198 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue199 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue200 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue201 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue202 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme CIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue203 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme HIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue204 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Bassin drsquoattraction

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue206 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Compter le nombre de composantes connexes drsquoun ensemblede la forme

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

est un probleme indecidable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue207 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue208 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue209 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue210 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue211 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue212 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue213 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue214 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue215 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexite

I Developper un algorithme qui prend en entree unsysteme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixes

I leur categorie (dimension des espaces dilatants etcontractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue217 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Merci pour votre attention

  • Calcul par intervalles
    • Analyse de la topologie dun ensemble
      • Motivation
      • Rappels topologiques
      • Prouver quun ensemble est eacutetoileacute
      • Discreacutetisation
        • Bassin dattraction
          • Systegravemes dynamiques
          • Theacuteorie de Lyapunov
          • Discreacutetisation
            • Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue5 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Topologie sur IRSoient [a] [b] isin IR la distance de Hausdorff d

d([a] [b]) = max(|aminus b| |aminus b|)

munit IR drsquoune topologie

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue10 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue11 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue12 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue13 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue14 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue15 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si [f ] et [g ] sont des fonctions drsquoinclusion pour f et grespectivement alors [f ] [g ] est une fonction drsquoinclusionpour f g

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue18 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue19 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue20 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue21 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue22 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue23 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue24 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue26 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Hypotheses

Le calcul par intervalles permet de verifier

1 S = empty2 (S) = 1 (Newton par intervalles)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue27 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Analyse de la topologie drsquoun ensemble

221515

Fig Robot a 2 degres de liberte

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue31 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Compter le nombre de composantes connexes de

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue32 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Rappels topologiques

Definition Espace connexe par arcs

Un espace topologique S est connexe (par arcs) si forallx y isin S existf continuef [0 1] rarr S verifiant f (0) = x et f (1) = y

path_connexityswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue33 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue34 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue35 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue36 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue37 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue38 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue39 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue40 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue41 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue42 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue43 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue44 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn | f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 de Evers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue45 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue46 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue47 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue48 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue49 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue50 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue51 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue53 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue54 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Diviser S avec un pavage P tel que sur chaque partie pS cap p est etoile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue55 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue56 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue57 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue58 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue59 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue60 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue61 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue62 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue63 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue64 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SS est connexe par arcs hArr GS est connexe

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue65 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CorollaireSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SGS a le meme nombre de composantes connexes que S ieπ0(S) = π0(GS)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue66 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Espace des configurations admissibles y0 = 23

221515

S =

(α β) isin [minusπ π]2

2 sin(α) le y0

minus2 sin(α) le 02 sin(α) + 3

2 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue67 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CIA Connected components via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue68 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Recapitulatif

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue69 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Invariants topologiques

Nombre de composantes connexes par arc

Soit π0 la fonction suivante

π0 Espaces rdquogentilsrdquo rarr NX 7rarr Nombre de composantes

connexes par arcs de X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue70 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue71 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue72 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue73 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue74 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue75 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue79 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples drsquohomeomorphismes

Exemple drsquoensembles homeomorphes

On notera X sim= Y sim= Z

homoemorphismeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue80 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Construire une triangulation pour obtenir plus deproprietes topologiques

I type drsquohomotopie groupe fondamental (π1(S))I groupes drsquohomologie (H1(S)H2(S) )I nombres de Betti

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue81 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue82 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Fonctions homotopes

Deux fonctions continues f g X rarr Y sont homotopesf sim gsrsquoil existe une fonction continue F X times [0 1] rarr Y telleque

F (x 0) = f (x) et F (x 1) = g(x) forallx isin X

homotopy_de_segmentswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue83 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 1 et f 0

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue84 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 2

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue85 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proprietes

π1(Y y0) est un groupe

f 1 times f minus1 sim f 0

homotopy_opposeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue86 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue87 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue88 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue89 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue91 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Deux ensembles du meme type drsquohomotopie

ensemble_homotopicswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue92 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn espace X est contractile srsquoil a le meme type drsquohomotopieqursquoun point

X Y

contractileswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue94 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue95 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Une triangulation

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue96 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition drsquoune triangulation abstraite

Soit N un ensemble fini de symboles (a0) (a1) (an)Une triangulation abstraite K est une famille des parties deN qui verifie σ isin K rArr forallσ0 sub σ σ0 isin K

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue97 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue98 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

On le notera par a0a1a2 + a3a4

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue99 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSi |K1| et |K2| deux realisations drsquoune triangulation abstraiteK alors |K1| et |K2| sont homeomorphes

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue100 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit K une triangulation abstraite et (x) un symbole Onnote C(x K) lrsquoensemble

C(x K) = K cup⋃σisinK

(x σ)

ou (x σ) = (x a1 an) avec σ = (a1 an) isin KC(x K) est le cone de sommet x et de base K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue101 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue102 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue103 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue104 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue105 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue106 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue107 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue108 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue109 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue110 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

C(x K) = x(a0a1a2 + a3a4)

= xa0a1a2 + xa3a4

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue111 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Propriete drsquoun cone

Un cone est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue112 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Construire une triangulation du meme type drsquohomotopieque

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue114 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue115 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue116 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue117 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue118 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Soit F = SJ J sub I tel que SJ est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue119 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue120 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue121 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue122 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue123 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue124 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue125 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue126 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue127 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue128 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue129 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue130 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue131 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue132 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue133 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue134 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue135 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue136 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue137 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue138 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue139 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue140 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue141 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue142 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue143 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue144 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue145 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue146 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue147 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue148 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue149 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue150 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue151 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue152 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

HIA Homotopy type via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue153 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calculer le bassin drsquoattraction drsquoun pointasymptotiquement stable

x = f (x)x isin Rn f isin Cinfin(Rn Rn)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue154 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On note par ϕt Rn rarr RntisinR le flot ie

d

dtϕtx

∣∣∣∣t=0

= f (x) et ϕ0 = Id (1)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue155 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit x isin Rn x est un point drsquoequilibre si f (x) = 0ie ϕt(x) = x forallt isin R

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue156 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn ensemble E est stable si

φR+(E ) sub E

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue158 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionLe bassin drsquoattraction de xinfin est lrsquoensemble

Axinfin = x isin E | φinfin(x) = xinfinx1x2 x3 x4 x6x7 x8 x9x5

Ax8 = x6 x7 x8 x9

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue159 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue160 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue161 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue162 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3 Discretiser la dynamique afin de calculer Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue164 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue165 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue166 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue167 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue168 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue171 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue172 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue173 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue174 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue175 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

4 Trouver une fonction de Lyapunov Lxinfin pour Df (xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue176 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

5 Verifier que Lxinfin est aussi de Lyapunov pour le nonlineaire x = f (x)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue178 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue179 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue180 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue181 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue182 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue183 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue184 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue185 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue186 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue187 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue188 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue189 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue190 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue191 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue192 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue193 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue194 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue195 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue197 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue198 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue199 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue200 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue201 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue202 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme CIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue203 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme HIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue204 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Bassin drsquoattraction

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue206 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Compter le nombre de composantes connexes drsquoun ensemblede la forme

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

est un probleme indecidable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue207 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue208 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue209 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue210 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue211 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue212 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue213 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue214 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue215 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexite

I Developper un algorithme qui prend en entree unsysteme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixes

I leur categorie (dimension des espaces dilatants etcontractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue217 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Merci pour votre attention

  • Calcul par intervalles
    • Analyse de la topologie dun ensemble
      • Motivation
      • Rappels topologiques
      • Prouver quun ensemble est eacutetoileacute
      • Discreacutetisation
        • Bassin dattraction
          • Systegravemes dynamiques
          • Theacuteorie de Lyapunov
          • Discreacutetisation
            • Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue10 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue11 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue12 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue13 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue14 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue15 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si [f ] et [g ] sont des fonctions drsquoinclusion pour f et grespectivement alors [f ] [g ] est une fonction drsquoinclusionpour f g

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue18 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue19 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue20 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue21 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue22 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue23 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue24 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue26 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Hypotheses

Le calcul par intervalles permet de verifier

1 S = empty2 (S) = 1 (Newton par intervalles)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue27 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Analyse de la topologie drsquoun ensemble

221515

Fig Robot a 2 degres de liberte

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue31 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Compter le nombre de composantes connexes de

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue32 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Rappels topologiques

Definition Espace connexe par arcs

Un espace topologique S est connexe (par arcs) si forallx y isin S existf continuef [0 1] rarr S verifiant f (0) = x et f (1) = y

path_connexityswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue33 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue34 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue35 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue36 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue37 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue38 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue39 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue40 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue41 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue42 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue43 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue44 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn | f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 de Evers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue45 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue46 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue47 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue48 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue49 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue50 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue51 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue53 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue54 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Diviser S avec un pavage P tel que sur chaque partie pS cap p est etoile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue55 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue56 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue57 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue58 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue59 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue60 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue61 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue62 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue63 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue64 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SS est connexe par arcs hArr GS est connexe

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue65 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CorollaireSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SGS a le meme nombre de composantes connexes que S ieπ0(S) = π0(GS)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue66 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Espace des configurations admissibles y0 = 23

221515

S =

(α β) isin [minusπ π]2

2 sin(α) le y0

minus2 sin(α) le 02 sin(α) + 3

2 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue67 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CIA Connected components via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue68 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Recapitulatif

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue69 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Invariants topologiques

Nombre de composantes connexes par arc

Soit π0 la fonction suivante

π0 Espaces rdquogentilsrdquo rarr NX 7rarr Nombre de composantes

connexes par arcs de X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue70 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue71 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue72 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue73 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue74 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue75 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue79 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples drsquohomeomorphismes

Exemple drsquoensembles homeomorphes

On notera X sim= Y sim= Z

homoemorphismeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue80 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Construire une triangulation pour obtenir plus deproprietes topologiques

I type drsquohomotopie groupe fondamental (π1(S))I groupes drsquohomologie (H1(S)H2(S) )I nombres de Betti

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue81 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue82 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Fonctions homotopes

Deux fonctions continues f g X rarr Y sont homotopesf sim gsrsquoil existe une fonction continue F X times [0 1] rarr Y telleque

F (x 0) = f (x) et F (x 1) = g(x) forallx isin X

homotopy_de_segmentswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue83 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 1 et f 0

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue84 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 2

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue85 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proprietes

π1(Y y0) est un groupe

f 1 times f minus1 sim f 0

homotopy_opposeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue86 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue87 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue88 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue89 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue91 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Deux ensembles du meme type drsquohomotopie

ensemble_homotopicswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue92 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn espace X est contractile srsquoil a le meme type drsquohomotopieqursquoun point

X Y

contractileswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue94 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue95 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Une triangulation

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue96 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition drsquoune triangulation abstraite

Soit N un ensemble fini de symboles (a0) (a1) (an)Une triangulation abstraite K est une famille des parties deN qui verifie σ isin K rArr forallσ0 sub σ σ0 isin K

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue97 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue98 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

On le notera par a0a1a2 + a3a4

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue99 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSi |K1| et |K2| deux realisations drsquoune triangulation abstraiteK alors |K1| et |K2| sont homeomorphes

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue100 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit K une triangulation abstraite et (x) un symbole Onnote C(x K) lrsquoensemble

C(x K) = K cup⋃σisinK

(x σ)

ou (x σ) = (x a1 an) avec σ = (a1 an) isin KC(x K) est le cone de sommet x et de base K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue101 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue102 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue103 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue104 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue105 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue106 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue107 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue108 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue109 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue110 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

C(x K) = x(a0a1a2 + a3a4)

= xa0a1a2 + xa3a4

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue111 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Propriete drsquoun cone

Un cone est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue112 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Construire une triangulation du meme type drsquohomotopieque

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue114 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue115 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue116 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue117 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue118 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Soit F = SJ J sub I tel que SJ est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue119 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue120 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue121 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue122 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue123 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue124 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue125 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue126 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue127 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue128 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue129 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue130 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue131 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue132 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue133 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue134 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue135 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue136 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue137 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue138 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue139 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue140 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue141 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue142 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue143 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue144 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue145 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue146 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue147 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue148 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue149 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue150 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue151 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue152 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

HIA Homotopy type via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue153 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calculer le bassin drsquoattraction drsquoun pointasymptotiquement stable

x = f (x)x isin Rn f isin Cinfin(Rn Rn)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue154 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On note par ϕt Rn rarr RntisinR le flot ie

d

dtϕtx

∣∣∣∣t=0

= f (x) et ϕ0 = Id (1)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue155 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit x isin Rn x est un point drsquoequilibre si f (x) = 0ie ϕt(x) = x forallt isin R

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue156 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn ensemble E est stable si

φR+(E ) sub E

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue158 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionLe bassin drsquoattraction de xinfin est lrsquoensemble

Axinfin = x isin E | φinfin(x) = xinfinx1x2 x3 x4 x6x7 x8 x9x5

Ax8 = x6 x7 x8 x9

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue159 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue160 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue161 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue162 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3 Discretiser la dynamique afin de calculer Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue164 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue165 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue166 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue167 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue168 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue171 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue172 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue173 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue174 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue175 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

4 Trouver une fonction de Lyapunov Lxinfin pour Df (xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue176 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

5 Verifier que Lxinfin est aussi de Lyapunov pour le nonlineaire x = f (x)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue178 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue179 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue180 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue181 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue182 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue183 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue184 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue185 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue186 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue187 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue188 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue189 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue190 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue191 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue192 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue193 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue194 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue195 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue197 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue198 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue199 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue200 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue201 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue202 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme CIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue203 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme HIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue204 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Bassin drsquoattraction

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue206 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Compter le nombre de composantes connexes drsquoun ensemblede la forme

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

est un probleme indecidable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue207 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue208 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue209 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue210 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue211 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue212 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue213 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue214 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue215 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexite

I Developper un algorithme qui prend en entree unsysteme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixes

I leur categorie (dimension des espaces dilatants etcontractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue217 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Merci pour votre attention

  • Calcul par intervalles
    • Analyse de la topologie dun ensemble
      • Motivation
      • Rappels topologiques
      • Prouver quun ensemble est eacutetoileacute
      • Discreacutetisation
        • Bassin dattraction
          • Systegravemes dynamiques
          • Theacuteorie de Lyapunov
          • Discreacutetisation
            • Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue6 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Arithmetique des intervalles

DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors

[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]

Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie

[a] + [b] = [a + b a + b]

[a]minus [b] = [aminus b aminus b]

[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]

[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]

R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue10 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue11 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue12 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue13 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue14 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue15 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si [f ] et [g ] sont des fonctions drsquoinclusion pour f et grespectivement alors [f ] [g ] est une fonction drsquoinclusionpour f g

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue18 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue19 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue20 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue21 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue22 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue23 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue24 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue26 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Hypotheses

Le calcul par intervalles permet de verifier

1 S = empty2 (S) = 1 (Newton par intervalles)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue27 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Analyse de la topologie drsquoun ensemble

221515

Fig Robot a 2 degres de liberte

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue31 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Compter le nombre de composantes connexes de

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue32 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Rappels topologiques

Definition Espace connexe par arcs

Un espace topologique S est connexe (par arcs) si forallx y isin S existf continuef [0 1] rarr S verifiant f (0) = x et f (1) = y

path_connexityswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue33 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue34 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue35 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue36 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue37 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue38 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue39 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue40 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue41 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue42 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue43 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue44 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn | f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 de Evers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue45 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue46 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue47 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue48 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue49 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue50 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue51 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue53 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue54 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Diviser S avec un pavage P tel que sur chaque partie pS cap p est etoile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue55 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue56 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue57 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue58 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue59 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue60 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue61 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue62 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue63 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue64 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SS est connexe par arcs hArr GS est connexe

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue65 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CorollaireSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SGS a le meme nombre de composantes connexes que S ieπ0(S) = π0(GS)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue66 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Espace des configurations admissibles y0 = 23

221515

S =

(α β) isin [minusπ π]2

2 sin(α) le y0

minus2 sin(α) le 02 sin(α) + 3

2 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue67 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CIA Connected components via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue68 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Recapitulatif

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue69 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Invariants topologiques

Nombre de composantes connexes par arc

Soit π0 la fonction suivante

π0 Espaces rdquogentilsrdquo rarr NX 7rarr Nombre de composantes

connexes par arcs de X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue70 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue71 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue72 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue73 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue74 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue75 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue79 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples drsquohomeomorphismes

Exemple drsquoensembles homeomorphes

On notera X sim= Y sim= Z

homoemorphismeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue80 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Construire une triangulation pour obtenir plus deproprietes topologiques

I type drsquohomotopie groupe fondamental (π1(S))I groupes drsquohomologie (H1(S)H2(S) )I nombres de Betti

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue81 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue82 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Fonctions homotopes

Deux fonctions continues f g X rarr Y sont homotopesf sim gsrsquoil existe une fonction continue F X times [0 1] rarr Y telleque

F (x 0) = f (x) et F (x 1) = g(x) forallx isin X

homotopy_de_segmentswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue83 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 1 et f 0

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue84 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 2

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue85 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proprietes

π1(Y y0) est un groupe

f 1 times f minus1 sim f 0

homotopy_opposeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue86 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue87 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue88 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue89 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue91 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Deux ensembles du meme type drsquohomotopie

ensemble_homotopicswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue92 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn espace X est contractile srsquoil a le meme type drsquohomotopieqursquoun point

X Y

contractileswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue94 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue95 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Une triangulation

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue96 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition drsquoune triangulation abstraite

Soit N un ensemble fini de symboles (a0) (a1) (an)Une triangulation abstraite K est une famille des parties deN qui verifie σ isin K rArr forallσ0 sub σ σ0 isin K

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue97 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue98 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

On le notera par a0a1a2 + a3a4

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue99 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSi |K1| et |K2| deux realisations drsquoune triangulation abstraiteK alors |K1| et |K2| sont homeomorphes

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue100 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit K une triangulation abstraite et (x) un symbole Onnote C(x K) lrsquoensemble

C(x K) = K cup⋃σisinK

(x σ)

ou (x σ) = (x a1 an) avec σ = (a1 an) isin KC(x K) est le cone de sommet x et de base K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue101 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue102 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue103 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue104 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue105 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue106 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue107 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue108 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue109 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue110 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

C(x K) = x(a0a1a2 + a3a4)

= xa0a1a2 + xa3a4

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue111 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Propriete drsquoun cone

Un cone est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue112 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Construire une triangulation du meme type drsquohomotopieque

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue114 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue115 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue116 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue117 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue118 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Soit F = SJ J sub I tel que SJ est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue119 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue120 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue121 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue122 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue123 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue124 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue125 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue126 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue127 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue128 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue129 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue130 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue131 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue132 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue133 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue134 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue135 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue136 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue137 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue138 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue139 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue140 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue141 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue142 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue143 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue144 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue145 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue146 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue147 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue148 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue149 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue150 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue151 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue152 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

HIA Homotopy type via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue153 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calculer le bassin drsquoattraction drsquoun pointasymptotiquement stable

x = f (x)x isin Rn f isin Cinfin(Rn Rn)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue154 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On note par ϕt Rn rarr RntisinR le flot ie

d

dtϕtx

∣∣∣∣t=0

= f (x) et ϕ0 = Id (1)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue155 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit x isin Rn x est un point drsquoequilibre si f (x) = 0ie ϕt(x) = x forallt isin R

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue156 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn ensemble E est stable si

φR+(E ) sub E

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue158 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionLe bassin drsquoattraction de xinfin est lrsquoensemble

Axinfin = x isin E | φinfin(x) = xinfinx1x2 x3 x4 x6x7 x8 x9x5

Ax8 = x6 x7 x8 x9

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue159 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue160 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue161 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue162 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3 Discretiser la dynamique afin de calculer Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue164 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue165 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue166 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue167 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue168 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue171 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue172 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue173 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue174 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue175 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

4 Trouver une fonction de Lyapunov Lxinfin pour Df (xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue176 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

5 Verifier que Lxinfin est aussi de Lyapunov pour le nonlineaire x = f (x)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue178 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue179 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue180 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue181 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue182 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue183 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue184 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue185 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue186 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue187 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue188 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue189 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue190 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue191 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue192 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue193 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue194 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue195 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue197 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue198 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue199 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue200 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue201 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue202 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme CIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue203 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme HIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue204 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Bassin drsquoattraction

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue206 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Compter le nombre de composantes connexes drsquoun ensemblede la forme

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

est un probleme indecidable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue207 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue208 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue209 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue210 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue211 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue212 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue213 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue214 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue215 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexite

I Developper un algorithme qui prend en entree unsysteme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixes

I leur categorie (dimension des espaces dilatants etcontractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue217 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Merci pour votre attention

  • Calcul par intervalles
    • Analyse de la topologie dun ensemble
      • Motivation
      • Rappels topologiques
      • Prouver quun ensemble est eacutetoileacute
      • Discreacutetisation
        • Bassin dattraction
          • Systegravemes dynamiques
          • Theacuteorie de Lyapunov
          • Discreacutetisation
            • Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue7 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])

Exemple

Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue8 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples

1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]

2radic

([x ]) = [radic

x radic

x ] si 0 le x

3 ([x ])2 =

[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue9 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple

sin R rarr Rx 7rarr sin(x)

La fonction sin etendue aux intervalles

[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]

[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue10 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue11 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue12 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue13 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue14 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue15 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si [f ] et [g ] sont des fonctions drsquoinclusion pour f et grespectivement alors [f ] [g ] est une fonction drsquoinclusionpour f g

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue16 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle

Exemple

Soitf R rarr R

x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x

Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty

On definit

[f ] IR rarr IR

[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]

[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1

2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1

2 ]

= (sin[0 12 ]minus [0 1

4 ] + 1) cos[0 12 ]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue17 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

= (sin[0 12 ] + [minus1

4 0] + 1) cos[0 12 ]

= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1

2 1]

= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1

2 1]

= [34 cos 12 1 + sin 1

2 ]

[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]

Conclusion0 6isin [f ]([0 1

2 ]) donc S = empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue18 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue19 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue20 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue21 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si

forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue22 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue23 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue24 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution

Exemple 2

S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue25 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Autres utilisations du calcul par intervalles

Analyse numerique

1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles

2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier

3 Resolution garantie drsquoODE Moore

Preuve assistee par ordinateur

1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998

2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue26 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Hypotheses

Le calcul par intervalles permet de verifier

1 S = empty2 (S) = 1 (Newton par intervalles)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue27 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Analyse de la topologie drsquoun ensemble

221515

Fig Robot a 2 degres de liberte

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue28 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Contraintes sur A

yA isin [0 y0]

Contraintes sur B

yB le y0

Contraintes sur α et β

α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue29 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)

Coordonnees de B

xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue30 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

221515

Espace des configurations admissibles

S =

(α β) isin [minusπ π]2

minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0

2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue31 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Compter le nombre de composantes connexes de

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue32 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Rappels topologiques

Definition Espace connexe par arcs

Un espace topologique S est connexe (par arcs) si forallx y isin S existf continuef [0 1] rarr S verifiant f (0) = x et f (1) = y

path_connexityswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue33 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue34 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue35 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue36 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue37 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue38 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue39 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue40 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 1

Un ensemble etoile est connexe par arcs

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue41 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue42 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue43 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition 2

Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue44 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn | f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 de Evers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue45 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue46 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue47 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue48 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue49 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue50 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue51 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si

f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E

nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue52 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par

S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0

lArr

f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0

nrsquoadmet aucune solution

hArr

x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0

nrsquoadmet aucune solution

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue53 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue54 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Diviser S avec un pavage P tel que sur chaque partie pS cap p est etoile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue55 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue56 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue57 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue58 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue59 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue60 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue61 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue62 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue63 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Lrsquoidee

Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue64 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SS est connexe par arcs hArr GS est connexe

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue65 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CorollaireSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SGS a le meme nombre de composantes connexes que S ieπ0(S) = π0(GS)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue66 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Espace des configurations admissibles y0 = 23

221515

S =

(α β) isin [minusπ π]2

2 sin(α) le y0

minus2 sin(α) le 02 sin(α) + 3

2 sin(α + β) le y0

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue67 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

CIA Connected components via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue68 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Recapitulatif

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue69 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Invariants topologiques

Nombre de composantes connexes par arc

Soit π0 la fonction suivante

π0 Espaces rdquogentilsrdquo rarr NX 7rarr Nombre de composantes

connexes par arcs de X

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue70 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue71 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue72 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue73 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue74 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue75 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π0() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue76 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

π0() est un invariant topologique car

Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )

Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue77 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Il existe des ensembles topologiques tels que

X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )

Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue78 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Homeomorphisme

Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si

1 f est continue

2 f est bijective

3 f minus1 est continue

Definition - Espaces homeomorphes

Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue79 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemples drsquohomeomorphismes

Exemple drsquoensembles homeomorphes

On notera X sim= Y sim= Z

homoemorphismeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue80 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Construire une triangulation pour obtenir plus deproprietes topologiques

I type drsquohomotopie groupe fondamental (π1(S))I groupes drsquohomologie (H1(S)H2(S) )I nombres de Betti

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue81 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue82 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition - Fonctions homotopes

Deux fonctions continues f g X rarr Y sont homotopesf sim gsrsquoil existe une fonction continue F X times [0 1] rarr Y telleque

F (x 0) = f (x) et F (x 1) = g(x) forallx isin X

homotopy_de_segmentswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue83 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 1 et f 0

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue84 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition du π1 drsquoun ensemble

Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y

π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim

Fig f 2

Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue85 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proprietes

π1(Y y0) est un groupe

f 1 times f minus1 sim f 0

homotopy_opposeswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue86 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue87 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue88 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue89 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Fig π1() est un invariant topologique

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue90 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y

Fig X Y

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue91 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Deux ensembles du meme type drsquohomotopie

ensemble_homotopicswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue92 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn espace X est contractile srsquoil a le meme type drsquohomotopieqursquoun point

X Y

contractileswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue93 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie

X sim= Y rArr X Y

Remarque

La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie

Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue94 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue95 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Une triangulation

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue96 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Definition drsquoune triangulation abstraite

Soit N un ensemble fini de symboles (a0) (a1) (an)Une triangulation abstraite K est une famille des parties deN qui verifie σ isin K rArr forallσ0 sub σ σ0 isin K

triangulationswf
Media File (applicationx-shockwave-flash)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue97 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue98 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)

(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)

(a0 a1 a2)

On le notera par a0a1a2 + a3a4

Fig Une realisation de K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue99 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSi |K1| et |K2| deux realisations drsquoune triangulation abstraiteK alors |K1| et |K2| sont homeomorphes

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue100 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit K une triangulation abstraite et (x) un symbole Onnote C(x K) lrsquoensemble

C(x K) = K cup⋃σisinK

(x σ)

ou (x σ) = (x a1 an) avec σ = (a1 an) isin KC(x K) est le cone de sommet x et de base K

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue101 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue102 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue103 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue104 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue105 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue106 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue107 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue108 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue109 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue110 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)

(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)

(x a0 a1 a2)

C(x K) = x(a0a1a2 + a3a4)

= xa0a1a2 + xa3a4

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue111 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Propriete drsquoun cone

Un cone est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue112 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Construire une triangulation du meme type drsquohomotopieque

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue113 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que

forallJ sub I ⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue114 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue115 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue116 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue117 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I

⋂jisinJ

Sj est contractile ou vide

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue118 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Soit F = SJ J sub I tel que SJ est contractile

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue119 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue120 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue121 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue122 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue123 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Ordonner F avec lrsquoinclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue124 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue125 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue126 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue127 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue128 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue129 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue130 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue131 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue132 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue133 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue134 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue135 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue136 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue137 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue138 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue139 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue140 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue141 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue142 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue143 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue144 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue145 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue146 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue147 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue148 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue149 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue150 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue151 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue152 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

HIA Homotopy type via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue153 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Calculer le bassin drsquoattraction drsquoun pointasymptotiquement stable

x = f (x)x isin Rn f isin Cinfin(Rn Rn)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue154 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On note par ϕt Rn rarr RntisinR le flot ie

d

dtϕtx

∣∣∣∣t=0

= f (x) et ϕ0 = Id (1)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue155 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit x isin Rn x est un point drsquoequilibre si f (x) = 0ie ϕt(x) = x forallt isin R

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue156 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn ensemble E est stable si

φR+(E ) sub E

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue157 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi

I φR+(E ) sub E0

I φinfin(E ) = xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue158 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionLe bassin drsquoattraction de xinfin est lrsquoensemble

Axinfin = x isin E | φinfin(x) = xinfinx1x2 x3 x4 x6x7 x8 x9x5

Ax8 = x6 x7 x8 x9

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue159 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue160 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue161 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue162 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Objectif

Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin

1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin

2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin

3 Discretiser la dynamique afin de calculer Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue163 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si

1 L(x) = 0 hArr x = xinfin

2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0

3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue164 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue165 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue166 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue167 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue168 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Theoreme de Lyapunov

Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue169 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Dans le cas lineaire x = Ax (2)

Avec L = xTWx W isin Sn

on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x

Conditions de Lyapunov

1 W isin Sn+

2 minus(ATW + WA) isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue170 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de

ATW + WA = minusQ

est definie positive

En pratique

1 ATW + WA = minusI

2 Verifier que W isin Sn+

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue171 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue172 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue173 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue174 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙

(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue175 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

4 Trouver une fonction de Lyapunov Lxinfin pour Df (xinfin)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue176 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

5 Verifier que Lxinfin est aussi de Lyapunov pour le nonlineaire x = f (x)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue177 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que

gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0

I gxinfin(xinfin) = 0

I nablagxinfin(xinfin) = 0

nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0

a11 axis

a22 axis

a12 axis

[A]

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue178 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue179 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue180 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue181 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue182 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue183 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue184 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue185 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue186 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue187 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue188 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue189 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue190 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue191 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue192 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par

iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue193 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue194 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue195 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Si forallj isin I iRj rArr Sj sub Axinfin alors Si sub Axinfin

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue196 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme

Entree x = f (x) avec f [x0] sub Rn rarr Rn xinfin un pointasymptotiquement stable et A un voisinage de xinfin inclusdans le bassin drsquoattraction de Ainfin

1 Creer un recouvrement de SiiisinI de [x0]

2 Calculer la relation R

3 Pour chaque i de I si

forallj isin I iRj rArr Sj sub A

alors A = A cup Si

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue197 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue198 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue199 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue200 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue201 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Exemple(xy

)=

(x lowast (x2 minus x lowast y + 3 lowast y2 minus 1)

y lowast (x2 minus 4 lowast y lowast x + 3 lowast y2 minus 1)

)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue202 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme CIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue203 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithme HIA

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue204 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Bassin drsquoattraction

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue205 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue206 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Proposition

Compter le nombre de composantes connexes drsquoun ensemblede la forme

S =s⋃

i=1

ri⋂j=1

x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)

est un probleme indecidable

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue207 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue208 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue209 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue210 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue211 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue212 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue213 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue214 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue215 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexite

I Developper un algorithme qui prend en entree unsysteme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixes

I leur categorie (dimension des espaces dilatants etcontractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )

I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue216 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

Perspectives

I Applications realistesStar-shaped Roadmaps-A Deterministic SamplingApproach for Complete Motion Planning G VaradhanD Manocha - Proc of Robotics Science and Systems2005

I Aborder des problemes en dimension superieure avecdes methodes de propagations de contraintes

I Montrer que ces algorithmes terminent souvent (Partieresiduelle)

I Montrer la convexiteI Developper un algorithme qui prend en entree un

systeme dynamique et qui renvoie un debut de ldquoportraitde phaserdquo

I le nombre de points fixesI leur categorie (dimension des espaces dilatants et

contractants )I denombrer les cycles limites

Algorithmesnumeriques pour

lrsquoanalysetopologique

Nicolas Delanoue217 217

Calcul parintervalles

Lrsquoarithmetique desintervalles

Calcul par intervalles

Analyse de latopologie drsquounensemble

Motivation

Rappels topologiques

Prouver qursquounensemble est etoile

Discretisation

Bassin drsquoattraction

Systemes dynamiques

Theorie de Lyapunov

Discretisation

Conclusion

I Merci pour votre attention

  • Calcul par intervalles
    • Analyse de la topologie dun ensemble
      • Motivation
      • Rappels topologiques
      • Prouver quun ensemble est eacutetoileacute
      • Discreacutetisation
        • Bassin dattraction
          • Systegravemes dynamiques
          • Theacuteorie de Lyapunov
          • Discreacutetisation
            • Conclusion