1

Exemple

Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de trois clés. Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite:

– La serrure est ouverte si au moins deux clés sont utilisées.

– La serrure reste fermée dans les autres cas

عع أ على اللقل لقفل ذو ةثلةثة مفاتيح، يفتح بمفتاحين م

2

Algèbre de Boole

Taha Zerrouki

Taha.zerrouki@gmail.com

Module: Structure Machine

1ère MI S2

Fonctions logiquesالدوال المنطقية

4

Étude d’une fonction logique

دراسة دالة منطقية

5

Tableau de Karnaugh

Solution de l'exercice 5 de l'examen

00 01 11 10

00 1 1

01 1

11 1 1

10 1 1 1 1

CDAB

00 01 11 10

00 1 1

01 1

11 1 1

10 1 1 1 1

CDAB

AB' + C'D + AD + B'C'

7

Étude d’une fonction logique

• Définition textuelle d’une fonction logique

• Les entrées et les sorties

• Table de vérité

• Formes algébriques

• Simplification:– Algébrique

– Table de Karnaugh

• Logigramme

منطقية دالة دراسة

تعريف، -

والمخارج - المداخل

الحقيقة، - جدول

جبري، - شكل

تبسيط،-

المخطط - رسم

8

Définition textuelle d’une fonction

• Généralement la définition du fonctionnement d’un système est donnée sous un format textuelle .

• Pour faire l’étude et la réalisation d’un tel système on doit avoir son modèle mathématique (fonction logique).

• Donc il faut tirer ( déduire ) la fonction logique a partir de la description textuelle.

صص�ي عادة تعطى تعريف عمل النظام بوصف ندالة منطقية• )لدراسة هذا النظام علينا وضع نموذج رياض�ي )صص�ي• ييتستنتج من الوصف الن

9

Exemple

10

Les entrées/sorties

● Trois entrées : ● chaque entrée représente une clé.

● Une seule sortie :● l’état de la serrure ( ouverte ou fermé ).

11

Les entrées/sorties

● Trois entrées :

– Clé A : utilisé 1 non utilisé 0

– Clé B : utilisé 1 non utilisé 0

– Clé C : utilisé 1 non utilisé 0● Une seule sortie :

● l’état de la serrure ( ouverte ou fermé ).

S : Ouverte 1 Fermé 0

12

Fonction logique

S=F(A,B,C)

F(A,B,C)= 1 si au mois deux clés sont introduites

F(A,B,C)=0 si non .

Circuit

AS=F(A,B,C)

B

C

13

2. Table de vérité ( Exemple )

A B C S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

A+B+C : max termeA+B+C : max termeA+B+C : max termeA. B . C : min termeA+B+C : max termeA .B . C : min termeA . B .C : min termeA . B . C : min terme

14

Formes canoniques

● La 1ère forme : forme disjonctive● La 2ème forme : conjonctive

15

Formes numériques

• Il existe une autre représentation des formes canoniques d’une fonction , cette représentation est appelée forme numérique.

• R : pour indiquer la forme disjonctive

• P : pour indiquer la forme conjonctive.

R( 2,4,6 )=∑ (2,4,6 )=R( 010,100,110 )=ABC+ ABC+ABC

P (0,1,3,5,7 )=∏ (0,1,3,5,7 )=P (000,001,011,101,111 )

=(A+B+C )( A+B+C )(A +B+C )(A+B+C ) (A+B+C )

16

Formes numériques R

• R : pour indiquer la forme disjonctive

• R(2, 4, 6) =

= ∑(2,4,6)

– = R(010, 100, 110)

– = A'BC' +AB'C' + ABC'

Formes numériques P

• P : pour indiquer la forme conjonctive.

• P(0,1,3,5,7)

– = ∏(0,1,3,5,7)

– = P(000,001,011,101,111)

– = (A+B+C)(A+B+C')(A+B'+C')(A'+B+C')(A'+B'+C')

Exercice

A B C S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Donner les formes canoniques numériques

Exercice

A B C S

0 0 0 0 01 0 0 1 02 0 1 0 03 0 1 1 14 1 0 0 05 1 0 1 16 1 1 0 17 1 1 1 1

Donner les formes canoniques numériques

∑(3,5,6,7)R(3,5,6,7)∏(0,1٫2٫4)P(0,1,2,4)

20

Fonction non totalement définie

دالة تعريفها ناقص

21

Exemple

Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de trois clés A, B, C

Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite :

S(A,B,C)= 1 si au moins deux clés sont utilisées

S(A,B,C)= 0 sinon

Les clés A et C ne peuvent pas être utilisées en même temps.

، يفتح بمفتاحين معا على القل،A,B,Cقفل بثلةثة مفاتيح

ععاC, و Aالمفتاحان ل يمكن استعمالهما م

Remarque

On remarque que si la clé A et C sont utilisées en même temps l’état du système n’est pas déterminé.

Ces cas sont appelés cas impossibles ou interdites comment représenter ces cas dans la table de vérité ?.

ف�ي ولقت واحدC و Aيمكن استعمال المفتاحين ل هذه الحال ت تتسمى حال ت متستحيلة أو ممنوعة، كيف نمثلها ف�ي جدول

الحقيقة

Table de vérité

A B C S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 X

1 1 0 1

1 1 1 X

Les cas interdits notés par x

TV => Karnaugh

A B C S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 X

1 1 0 1

1 1 1 X

00 01 11 10

0 11 X X 1

BC

A

Tableau de Karnaugh

00 01 11 10

0 11 1 X X 1

BC

A

F(A, B, C) = AB + BC

26

Exercice

Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de quatre clés A, B, C, D

Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite :

S(A,B,C, D)= 1 si au moins deux clés sont utilisées

S(A,B,C, D)= 0 sinon

Les clés A et D ne peuvent pas être utilisées en même temps.

، يفتح بمفتاحين معا على القل،A,B,C,Dقفل بأربعة مفاتيح

ععاD, و Aالمفتاحان ل يمكن استعمالهما م

27

A B C D S

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 X

1 0 1 0 1

1 0 1 1 X

1 1 0 0 1

1 1 0 1 X

1 1 1 0 1

1 1 1 1 X

•Pour les cas impossibles ou interdites

il faut mettre un X dans la T.V .

•Les cas impossibles sont représentées

aussi par des X dans la table de karnaugh

00 01 11 10

00 1

01 1 1 1

11 1 x x 1

10 0 x x 1

CD

AB

28

• Il est possible d’utiliser les X dans des regroupements :– Soit les prendre comme étant des 1– Ou les prendre comme étant des 0

• Il ne faut pas former des regroupement qui contient uniquement des X

00 01 11 10

00 1

01 1 1 1

11 1 x x 1

10 0 x x 1

CDAB

CD

29

00 01 11 10

00 1

01 1 1 1

11 1 x x 1

10 0 x x 1

AB

CD

CD+ AB

30

AB + CD + BD

00 01 11 10

00 1

01 1 1 1

11 1 x x 1

10 0 x x 1

AB

CD

31

AC BD CD AB

00 01 11 10

00 1

01 1 1 1

11 1 x x 1

10 0 x x 1

AB

CD

32

00 01 11 10

00 1

01 1 1 1

11 1 x x 1

10 0 x x 1

BC AC BD CD AB

AB

CD

33

Exercice 1

Trouver la fonction logique simplifiée à partir de la table suivante ?

00 01 11 10

00 1 X

01 1 X 1

11 1 X 1

10 X 1 X

CD

Ab

34