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LICENCE DE MATHÉMATIQUES

TROISIÈME ANNÉE

Unité d’enseignement LCMA 5U12

ALGÈBRE

Françoise GEANDIER

Université Henri Poincaré Nancy I

Département de Mathématiques

Table des matières

I Anneaux · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1

1. Anneaux.

2. Sous-anneaux.

3. Relations d’équivalence - Corps des fractions d’un anneau intègre.

4. Homomorphismes.

5. Idéaux.

6. Polynômes à coefficients dans un anneau.

7. Anneaux-quotients.

II Anneaux euclidiens, principaux, factoriels· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 17

1. Anneaux euclidiens.

2. Anneaux principaux.

3. Anneaux factoriels.

4. Théorèmes de transfert aux anneaux de polynômes.

5. Polynômes irréductibles de Z[X].

III Groupes · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 31

1. Groupes.

2. Homomorphismes.

3. Sous-groupes.

4. Relations d’équivalence dans les groupes.

5. Sous-groupes distingués - Groupes-quotients.

6. Groupes-quotients de (Z,+).

7. Groupes isomorphes.

8. Groupe symétrique.

IV Groupes commutatifs finis · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 57

1. Somme directe de groupes.

2. p-groupes.

3. Groupes p-élémentaires.

4. Théorèmes de décomposition.

V Extensions de corps · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 71

1. Extensions algébriques.

2. Corps de rupture d’un polynôme.

3. Corps algébriquement clos - clôture algébrique.

4. Corps finis.

5. Théorème de Wedderburn.

I ANNEAUX

1. Anneaux

1.1 Définition

On appelle anneau un ensemble non vide A muni de deux lois internes + et . appeléesaddition et multiplication, vérifiant les conditions suivantes :

a) ∀x, y, z ∈ A∗ x+ y = y + x : commutativité de l’addition ;∗ (x+ y) + z = x+ (y + z) : associativité de l’addition ;∗ il existe un élément neutre pour l’addition noté 0A : ∀x ∈ A, 0A + x = x+ 0A = x ;∗ tout élément x ∈ A admet un opposé noté −x appartenant à A tel que

x+ (−x) = (−x) + x = 0A.

Et aussi

b) ∀x, y, z ∈ A∗ (xy)z = x(yz) : associativité de la multiplication ;∗ (x + y)z = xz + yz et z(x + y) = zx + zy : distributivité (à gauche et à droite) de lamultiplication par rapport à l’addition ;∗ il existe un élément neutre pour la multiplication noté 1A : ∀x ∈ A, 1A.x = x.1A = x.

Si de plus la multiplication est commutative, on dit que A est un anneau commutatif.

1.2 Exemples

∗ Z, Q, R, C sont des anneaux commutatifs.

∗ N n’est pas un anneau.

∗ Z[i] := {a + ib/ a, b ∈ Z} est un anneau commutatif : on l’appelle l’anneau des entiersde Gauss.

∗ Pour tout n ≥ 1, l’ensemble Z/nZ est un anneau commutatif.

∗ L’ensemble Mn(R) des matrices réelles carrées d’ordre n est un anneau non commutatif.

1.3 Propriétés

a) Pour tout x ∈ A, l’opposé −x est unique ;

b) un anneau A est régulier pour l’addition :

∀x, y, z ∈ A, x+ z = y + z =⇒ x = y ;

c) ∀x ∈ A, 0A.x = 0A : on dit que 0A est absorbant ;

d) ∀x, y ∈ A,−x = (−1A)x = x(−1A) et −(xy) = (−x)y = x(−y) ;

e) ∀x ∈ A, ∀n ∈ N, on note

nx =

n fois︷︸︸︷x+ x+ · · · + x et xn =

n fois︷︸︸︷x.x · · ·x

1

si n ∈ Z−, on pose nx = −(−n)x ;

f) si l’anneau A est commutatif, on a la formule dite du binôme de Newton :

∀x, y ∈ A, (x+ y)n =n∑

k=0

Cknx

kyn−k

cette propriété est fausse si l’anneau n’est pas commutatif ; en effet, déjà pour n = 2, ona (x+ y)2 = x2 + xy + yx+ y2.

Preuve : immédiate.

�

1.4 Définitions

a) Soit A un anneau commutatif et soient a et b deux éléments de A : on dit que a estmultiple de b ou que b divise a s’il existe un élément c de A tel que a = bc. On note alorsb|a.b) Soit A un anneau non nécessairement commutatif. On dit qu’un élément non nul a deA est un diviseur de zéro à gauche (resp. à droite) s’il existe un élément non nul b de Atel que ab = 0 (resp. ba = 0).

Exemple : Mn(R) possède des diviseurs de zéro, en effet

(1 00 0

)(0 00 1

)=

(0 00 0

)

c) Un élément a de A est dit inversible dans A s’il existe un élément b de A tel queab = ba = 1A. Cet élément b est alors unique et est appelé inverse de a ; on le notea−1. Evidemment, a−1 est lui-même inversible, d’inverse a. On notera A∗ l’ensemble deséléments inversibles de A. Remarquons qu’un élément inversible de A est nécessairementnon nul.

Exemples :∗ Z∗ = {1,−1}.∗ R∗ = R − {0}.∗ (Z/nZ)∗ = {a/pgcd(a, n) = 1}.∗ (Mn(R))∗ est l’ensemble des matrices de déterminant non nul.∗ (Z[i])∗ = {1,−1, i,−i}.

Remarque : On a coutume de noter N∗ = N\{0} ; cette notation n’est pas contradictoireavec la notation vue précédemment pour l’ensemble des éléments inversibles d’un anneaupuisque N n’est pas un anneau.

1.5 Définition

On appelle corps un anneau dont tous les éléments non nuls sont inversibles.

Exemples : Q, R, C sont des corps commutatifs ; Z/nZ est un corps commutatif si etseulement si n est premier.

2

1.6 Définition

On dit qu’un anneau A est intègre s’il ne possède pas de diviseurs de zéro, i.e.

∀x, y ∈ A, xy = 0A =⇒ x = 0A ou y = 0A.

Exemples :∗ Tout corps est intègre ; la réciproque est fausse : Z est intègre sans être un corps.∗ Mn(R) n’est pas intègre.∗ Z/nZ est intègre si et seulement si n est premier.

1.7 Proposition

Soit A un anneau intègre ; alors A est régulier pour la multiplication, i.e.

∀x, y, z ∈ A, xy = xz et x non nul =⇒ y = z.


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2. Sous-anneaux

2.1 Définition

Soit A un anneau et B une partie non vide de A. On dit que B est un sous-anneau de A siB muni de l’addition et de la multiplication de A est lui-même un anneau et si 1B = 1A.

2.2 Proposition

Soit A un anneau et soit B un sous-anneau de A. Alors, on a

a) l’addition et la multiplication sont internes à B ;

b) 0B = 0A ;

c) pour tout x ∈ A, l’opposé de x considéré comme élément de l’anneau B est le mêmeque l’opposé de x considéré comme élément de l’anneau A ;

d) si A est commutatif, alors B l’est aussi. Si A est intègre, alors B l’est aussi.


�

Remarque : un sous-anneau B d’un anneau A peut être commutatif intègre sans que Ale soit. Ainsi l’ensemble B = {λI/ λ ∈ R} des matrices d’homothéties dans Mn(R) estun sous-anneau commutatif et intègre de Mn(R) alors que Mn(R) n’est ni commutatif niintègre.

2.3 Proposition

Soit B une partie d’un anneau A. Alors B est un sous-anneau de A si et seulement si ilvérifie les conditions suivantes :

3

a) 1A ∈ B ;

b) ∀x, y ∈ B, x− y ∈ B et xy ∈ B.

Preuve :

Soit B un sous-anneau de A, alors l’addition et la multiplication sont internes à B. De plus,pour tout y ∈ B, −y ∈ B d’après 2.2, donc ∀x, y ∈ B, x − y = x+ (−y) ∈ B et xy ∈ B.En outre, 1B = 1A donc 1A ∈ B.

Réciproquement, soit B une partie de A vérifiant les conditions a) et b). Alors, en parti-culier B est non vide. De plus, d’après b) on a 0A = 1A − 1A ∈ B, d’où pour tout x ∈ B,−x = 0A − x ∈ B. On en déduit que ∀x, y ∈ B, x+ y = x− (−y) ∈ B et ainsi l’additionest interne à B. De plus, l’addition étant commutative et associative dans A l’est aussidans B.D’autre part, la multiplication est elle aussi interne à B grâce à b), elle est associativeet distributive par rapport à l’addition dans B, puisqu’elle l’est dans A, et elle admet unélément neutre dans B, à savoir 1A. Donc B est bien un sous-anneau de A.

�

2.4 Exemples

∗ Z est un sous-anneau de Q qui est lui-même un sous-anneau de R, qui est lui-même unsous-anneau de C.

∗ Si n est un entier différent de 1 et −1, nZ n’est pas un sous-anneau de Z (1 6∈ nZ).

∗ Z[i] et Z[i√

2] sont des sous-anneaux de C.

3 Relations d’équivalence - Corps des fractions d’un anneau intègre

3.1 Définition et proposition

On considère sur un ensemble E une relation binaire R (i.e. entre deux éléments de E). Ondit que R est une relation d’équivalence sur E si elle vérifie les trois conditions suivantes

a) R est réflexive : ∀x ∈ E, x R x ;

b) R est symétrique : ∀x, y ∈ E, x R y ⇐⇒ y R x ;

c) R est transitive : ∀x, y, z ∈ E, x R y et y R z =⇒ x R z.

Soit E un ensemble muni d’une relation d’équivalence R ;

a) Soit x ∈ E ; on appelle classe d’équivalence de x pour la relation R et on note x lesous-ensemble de E défini par

x = {y ∈ E/ y R x}.

Tout élément de x est appelé un représentant de la classe d’équivalence x. On appellesystème de représentants de la relation d’équivalence R toute famille (xi)i∈I d’élémentsde E vérifiant :

∗ ∀x ∈ E, ∃ i ∈ I, x ∈ xi ;∗ ∀i, j ∈ I, i 6= j =⇒ xi ∩ xj = ∅.

On a les propriétés suivantes pour tous x, y ∈ E

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∗ x ∈ x ;∗ y ∈ x⇐⇒ y R x⇐⇒ x ∈ y ⇐⇒ x = y.

De plus la famille des classes d’équivalence pour la relation R est une partition de E.

b) On appelle ensemble-quotient de E par R, et on note E/R l’ensemble des classesd’équivalence des éléments de E i.e.

E/R = {x/ x ∈ E}.

Si (xi)i∈I est un système de représentants de R, on a en fait

E/R = {xi/ i ∈ I} et ainsi card(E/R) = card(I).

3.2 Théorème et définition

Soit A un anneau commutatif intègre ; on définit sur l’ensemble A×A− {0} la relationbinaire suivante :

(a, b)R(a′, b′) ⇐⇒ ab′ = a′b.

Alors R est une relation d’équivalence et on peut munir l’ensemble-quotient A×A−{0}/Rd’une addition et d’une multiplication définies de la manière suivante :

notons (a, b) la classe d’équivalence d’un couple (a, b) ; Si u = (a, b) et v = (c, d) sont deuxéléments de A×A− {0}/R, on pose

u+ v = (ad+ bc, bd)

uv = (ac, bd)

L’ensemble-quotient A × A − {0}/R muni de ces deux lois est un corps commutatif,appelé corps des fractions de l’anneau A. De plus il existe une injection naturelle de Adans A×A− {0}/R :

A → A ×A− {0}/Ra 7−→ (a, 1)

On peut donc considérer A comme un sous-anneau de son corps des fractions. On note

généralement les éléments du corps des fractions sous la forme (a, b) =a

b.

Preuve : Il est immédiat de vérifier que la relation R est réflexive et symétrique. D’autrepart, la relation est transitive parce que A est intègre ; en effet si (a, b)R(a′, b′) et (a′, b′)R(a′′, b′′)alors, ab′ = a′b et a′b′′ = a′′b′ d’où ab′b′′ = a′bb′′ = a′′b′b donc ab′′ = a′′b d’après 1.7 puisqueA est intègre et b′ 6= 0. Donc (a, b)R(a′′, b′′). Ainsi R est une relation d’équivalence.

Montrons maintenant que l’addition et la multiplication sont bien définies sur l’ensemble-quotient A×A− {0}/R, i.e que le résultat ne dépend pas du choix des représentants deu et v : considérons donc un autre représentant (a′, b′) pour u et un autre représentant(c′, d′) pour v, alors (a, b)R(a′, b′) et (c, d)R(c′, d′) i.e ab′ = a′b et cd′ = c′d. Montrons que(ad+ bc, bd)R(a′d′ + b′c′, b′d′) : or on a (a′d′ + b′c′)bd = a′d′bd+ b′c′bd = ab′dd′ + cd′bb′ =(ad+ bc)b′d′ d’où le résultat. De même on montre que (ac, bd)R(a′c′, b′d′).

Il est alors facile de vérifier que ces deux lois munissent A×A− {0}/R d’une structured’anneau commutatif : l’élément neutre pour l’addition est (0, b) pour tout b ∈ A − {0},

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l’élément neutre pour la multiplication est (1, 1) et l’opposé de (a, b) est (−a, b). Montronsmaintenant que A×A−{0}/R est un corps : soit (a, b) un élément de A−{0}×A−{0},alors il est immédiat de constater que (a, b) possède un inverse dans A × A − {0}/R, àsavoir (b, a).

�

3.3 Exemples

a) Le corps des fractions de Z n’est autre que Q.

b) Le corps des fractions de R[X] est R(X) justement appelé corps des fractions ration-nelles à coefficients réels.

4. Homomorphismes

4.1 Définition

Soit f une application d’un anneau A dans un anneau B. On dit que f est un homomor-phisme d’anneaux s’il vérifie les conditions suivantes :

a) ∀x, y ∈ A, f(x+ y) = f(x) + f(y) et f(xy) = f(x)f(y) ;

b) f(1A) = 1B.

Si A = B, on dit que f est un endomorphisme d’anneaux. On appelle isomorphismed’anneaux tout homomorphisme d’anneaux bijectif. On appelle automorphisme d’anneauxtout endomorphisme d’anneaux bijectif.

4.2 Propriétés

Soit f un homomorphisme d’anneaux de A dans B, alors :

a) f(0A) = 0B ;

b) ∀x ∈ A, f(−x) = −f(x) ;

c) Si x est inversible dans A, alors f(x) est inversible dans B et (f(x))−1 = f(x−1).

d) Imf est un sous-anneau de B.


�

4.3 Exemples

∗ L’application de C dans C qui à un élément associe son conjugué est un automorphismed’anneaux.

∗ L’application de C dans R qui à un élément associe son module n’est pas un homomor-phisme d’anneaux.

∗ Soit P une matrice inversible de Mn(R) ; alors l’application de Mn(R) dans Mn(R) quià une matrice A associe la matrice PAP−1 est un automorphisme d’anneaux.

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Soit f un homomorphisme d’anneaux de A dans B. On appelle noyau de f et on noteker f le sous-ensemble de A défini par

ker f = {a ∈ A/ f(a) = 0B}.

L’homomorphisme f est injectif si et seulement si ker f = {0A}.


�

5. Idéaux

5.1 Définition

Soit A un anneau commutatif et I un sous-ensemble de A. On dit que I est un idéal deA s’il vérifie les conditions suivantes :

a) I 6= ∅ ;

b) ∀x, y ∈ I, x− y ∈ I ;

c) ∀x ∈ I, ∀a ∈ A, ax ∈ I.

5.2 Propriétés

Soit I un idéal de A, alors :a) 0A ∈ I ;

b) ∀x ∈ I, −x ∈ I ;

c) ∀x, y ∈ I, x+ y ∈ I.


�

5.3 Exemples

∗ {0A} et A sont des idéaux de A.

∗ Pour tout a ∈ A, l’ensemble des multiples de a est un idéal de A ; on le note (a) ou aA :

(a) = {ax/ x ∈ A}.

∗ Un sous-ensemble I de Z est un idéal si et seulement si il existe un entier n tel queI = nZ.

∗ Si f est un homomorphisme d’anneaux de A dans B, alors ker f est un idéal de A.

5.4 Définitions et proposition

a) Soit A un anneau commutatif et soit E un sous-ensemble non vide de A. On appelleidéal de A engendré par E le plus petit idéal (au sens de l’inclusion) de A contenant Eet on le note 〈E〉. Ainsi 〈E〉 = I si et seulement si I vérifie les conditions suivantes :

∗ I est un idéal de A contenant E ;

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∗ Pour tout idéal J de A contenant E, I ⊂ J .

b) Soient I et J deux idéaux d’un anneau commutatif A : alors I ∩J est un idéal de A.En général, I ∪ J n’est pas un idéal.

c) Soient I et J deux idéaux d’un anneau commutatif A. On appelle somme de I et Jet on note I + J l’ensemble défini par

I + J = {x+ y/ x ∈ I et y ∈ J }

L’ensemble I + J est un idéal de A : c’est l’idéal engendré par I ∪ J .

d) Soit I un idéal d’un anneau commutatif A, alors :

I = A ⇐⇒ 1A ∈ I ⇐⇒ I ∩ A∗ 6= ∅

Preuve :

b) 0A appartient à I et J donc à leur intersection, d’où I ∩ J 6= ∅. Soient x, y ∈ I ∩J :alors x − y ∈ I et x − y ∈ J puisque I et J sont des idéaux. Donc x − y ∈ I ∩ J . Demême, si x ∈ I ∩ J et a ∈ A, alors ax ∈ I et ax ∈ J donc ax ∈ I ∩ J . Ainsi I ∩ J estun idéal de A.

Mais la réunion de deux idéaux n’est pas un idéal en général : par exemple 2Z∪ 3Z n’estpas un idéal de Z. En effet −2 et 3 ∈ 2Z ∪ 3Z mais leur somme 1 6∈ 2Z ∪ 3Z.

c) Il est facile de voir que I + J est un idéal de A. Montrons que c’est l’idéal engendrépar I ∪ J .Tout d’abord, I + J contient I ∪ J , en effet :∀x ∈ I, x = x + 0A ∈ I + J puisque 0A ∈ J . Ainsi I ⊂ I + J . De même J ⊂ I + J ,d’où I ∪ J ⊂ I + J .Considérons maintenant un idéal K contenant I ∪ J et montrons que I + J ⊂ K ; soitz ∈ I + J : ∃ x ∈ I et ∃ y ∈ J tels que z = x+ y. Comme I ∪ J ⊂ K, x et y ∈ K doncz = x+ y ∈ K puisque K est un idéal, donc I + J ⊂ K.Ainsi I + J est bien l’idéal engendré par I ∪ J .

d) exercice.

�

Remarque : Si a est un élément d’un anneau commutatif A, l’idéal (a) des multiples dea n’est autre que l’idéal engendré par l’ensemble {a}.

6. Polynômes à coefficients dans un anneau

6.1 Définition

On appelle polynôme à coefficients dans A toute suite (an)n∈N d’éléments de A nulle àpartir d’un certain rang : ∃ n0 ∈ N tel que n > n0 =⇒ an = 0. L’élément an est appeléterme d’indice n du polynôme.

On appelle polynôme nul la suite nulle (0, 0, ..., 0, 0, ...).

La suite (0, 1, 0, ..., 0, ...) est notée X et est appelée indéterminée.

On note A[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans A.

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On définit une addition et une multiplication sur A[X] de la manière suivante

Soient P = (an)n∈N et Q = (bn)n∈N deux éléments de A[X]. On pose :

P +Q = (cn)n∈N où ∀n ∈ N, cn = an + bn

P.Q = (dn)n∈N où ∀n ∈ N, dn =n∑

k=0

akbn−k.

Alors (A[X],+, .) est un anneau commutatif.

Preuve :

Vérifions d’abord que les deux lois ainsi définies sont internes à A[X] :P et Q sont des polynômes donc ∃ n0 et m0 ∈ N tels que n > n0 =⇒ an = 0 etn > m0 =⇒ bn = 0, d’où n > max (n0, m0) =⇒ cn = an + bn = 0 : P + Q est donc unpolynôme. De plus, si n > n0 +m0 alors, pour tout k ∈ [0, n], k > n0 ou n− k > m0 doncakbn−k = 0 et ainsi dn = 0 ; P.Q est donc aussi un polynôme.

Il est facile (et un peu fastidieux) de voir que ces deux lois munissent A[X] d’une structured’anneau commutatif ; l’élément neutre pour l’addition est le polynôme nul, l’opposé d’unpolynôme P = (an)n∈N est −P = (−an)n∈N, l’élément neutre pour la multiplication est lepolynôme (1, 0, 0, ..., 0, ...).

�

6.3 Proposition

Si A est un anneau intègre (en particulier si A est un corps), alors l’anneau A[X] estintègre.

Preuve :

Soient P = (an)n∈N et Q = (bn)n∈N deux polynômes non nuls de A[X]. Alors, ∃ n0 ∈ Ntel que an0

6= 0 et n > n0 =⇒ an = 0 et ∃ m0 ∈ N tel que bm06= 0 et n > m0 =⇒ bn = 0.

Notons P.Q = (dn)n∈N, alors dn0+m0= an0

bm0est non nul puisque A est intègre. Donc

P.Q est un polynôme non nul.

�


On a une loi de multiplication externe par les éléments de A sur A[X] définie de la manièresuivante :

soient P = (an)n∈N un polynôme et α un élément de A, alors on pose αP = (αan)n∈N. Ilest clair que αP est un polynôme de A[X] et on a les propriétés suivantes :

∀P,Q ∈ A[X], ∀α, β ∈ A∗ (α+ β)P = αP + βP ; α(P +Q) = αP + αQ ;∗ (αβ)P = α(βP ) ; 1.P = P ; α(PQ) = (αP )Q = P (αQ).

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On remarque alors que A[X] muni de l’addition et de cette multiplication externe vérifieles axiomes de définition des espaces vectoriels, à cette différence près que l’ensemble desscalaires ici est un anneau A et pas nécessairement un corps : cette structure s’appelleun A-module. On a alors, comme dans les espaces vectoriels, la notion de combinaisonlinéaire. Cependant, on prendra garde que beaucoup de résultats valables dans un espacevectoriel ne le sont plus dans un A-module (par exemple, un A-module ne possède pastoujours de base !)

6.5 Définition

Soit P = (an)n∈N un polynôme non nul de A[X], alors ∃ n0 ∈ N tel que an06= 0 et

n > n0 =⇒ an = 0 : cet entier n0 est appelé degré de P et noté d (P ) ou degP .

On convient que le degré du polynôme nul est l’élément −∞ de N ∪ {−∞}.

6.6 Proposition

Soient P et Q deux polynômes de A[X]. Alors, on a

a) d (P +Q) ≤ max (d (P ), d (Q)) ;

b) d (P.Q) ≤ d (P ) + d (Q).

Si de plus, A est intègre, on a l’égalité d (P.Q) = d (P ) + d (Q).

Preuve :

Si P ouQ est le polynôme nul, les inégalités a) et b) sont évidentes. Si aucun des polynômesP et Q n’est nul, il suffit de se reporter à la preuve de 6.2 pour avoir le résultat.

Si de plus A est intègre, la preuve de 6.3 fournit l’égalité d (PQ) = d (P ) + d (Q).

�

6.7 Proposition

Dans l’anneau A[X], pour tout n ∈ N∗, Xn est le polynôme dont tous les termes sontnuls sauf celui d’indice n qui est égal à 1. Pour n = 0, on adopte la convention X0 = 1.

Preuve : par récurrence sur n.

6.8 Corollaire

Dans le A-module A[X], tout polynôme s’écrit de manière unique comme combinaisonlinéaire de la famille (Xn)n∈N. Plus précisément, si P = (an)n∈N est un polynôme non nulde degré n0, alors : P = a0 + a1X + · · ·an0

Xn0 . Le terme an d’indice n de P est alorségalement appelé coefficient du terme de degré n de P .

Preuve : c’est une conséquence immédiate de 6.7.

Remarque : Ainsi, on peut considérer les éléments non nuls de A comme les polynômesde degré 0 de A[X], appelés aussi polynômes constants (non nuls) de A[X].

6.9 Proposition

Si A est un anneau intègre, les éléments inversibles de A[X] sont les éléments inversiblesde A. En particulier, si A est un corps, les éléments inversibles de A[X] sont les polynômesconstants non nuls.

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Preuve :

Soit a ∈ A∗, alors ∃ b ∈ A tel que ab = 1, donc le polynôme constant a possède bienun inverse b dans A[X]. Réciproquement, soit P un polynôme inversible dans A[X], alors∃ Q ∈ A[X] tel que PQ = 1. Donc, d’après 6.6, d (P.Q) = d (P ) + d (Q) puisque A estintègre ; or d (P.Q) = d (1) = 0 donc d (P ) = d (Q) = 0, ainsi P et Q sont des polynômesconstants, i.e. des éléments de A et qui vérifient PQ = 1, donc P est inversible dans A.

�

6.10 Définitions

On appelle coefficient dominant d’un polynôme P non nul de degré n0 le coefficient duterme de degré n0 de P .

On appelle polynôme unitaire de A[X] tout polynôme non nul dont le coefficient dominantest égal à 1.

6.11 Définition

Soient P = a0 + a1X + · · ·+ anXn un polynôme de A[X] et Q un polynôme. On appelle

polynôme composé des deux polynômes P et Q, et on note P (Q) le polynôme défini par :

P (Q) = a0 + a1Q+ · · ·+ anQn.

En d’autre termes, on substitue à l’indéterminée X le polynôme Q.

6.12 Définition

Soit P = a0 + a1X + · · ·+ anXn un polynôme de A[X]. On appelle fonction polynomiale

(ou fonction polynôme) associée à P , la fonction de A dans A, notée P , définie par

∀x ∈ A, P (x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn.

6.13 Proposition

Soient P et Q deux polynômes de A[X]. Alors

a) la fonction polynomiale associée à P + Q est la somme des fonctions polynomiales

associées à P et Q : P +Q = P + Q ;

b) la fonction polynomiale associée à P.Q est le produit des fonctions polynomiales asso-

ciées à P et Q : P.Q = P .Q.

Ainsi l’application P 7→ P est un homomorphisme d’anneaux de A[X] dans l’anneau desfonctions polynomiales de A dans A (on vérifie en effet que la fonction polynomiale asso-ciée au polynôme constant 1 est bien l’élément neutre de la multiplication des fonctions).

c) la fonction polynomiale associée à P (Q) est la composée des fonctions polynomiales

associées à P et Q : P (Q) = P ◦ Q.


6.14 Notation : Dans un souci de simplification, pour tout polynôme P de A[X], et

pour tout a ∈ A, on notera désormais P (a) au lieu de P (a) l’image de a par la fonctionpolynomiale associée à P .

11

6.15 Théorème de division euclidienne

Soit K un corps commutatif et soient A et B deux polynômes de K[X] avec B non nul.Alors il existe un unique couple (Q,R) de polynômes de K[X] tel que :

A = BQ+R avec d (R) < d (B).

Preuve : cf. Cours de 1ère année.

7. Anneaux-quotients


Soit A un anneau commutatif et I un idéal de A. On peut définir une relation sur A dela manière suivante

x R y ⇐⇒ x− y ∈ I.La relation R est une relation d’équivalence que l’on note habituellement x ≡ y (mod I)(x est dit congru à y modulo I). Elle est compatible avec l’addition et la multiplicationdans A :

a ≡ a′ (mod I) et b ≡ b′ (mod I) =⇒ a+b ≡ a′+b′ (mod I) et ab ≡ a′b′ (mod I).

On peut alors définir une addition et une multiplication sur l’ensemble-quotient A/R quiest noté A/I. Soient α et β ∈ A/I, il existe des éléments a et b de A tels que α = a etβ = b. On pose alors

α + β = a+ b = a+ b et α.β = a.b = ab.

L’ensemble A/I muni de cette addition et de cette multiplication est alors un anneaucommutatif appelé anneau quotient de A par I.

Preuve :

La relation R est une relation d’équivalence compatible avec l’addition grâce la propriétésuivante des idéaux : ∀a, b ∈ I, a−b ∈ I. De plus, R est compatible avec la multiplicationgrâce à l’autre propriété des idéaux : ∀a ∈ A, ∀x ∈ I, ax ∈ I. On montre ensuitesans difficulté que A/I muni de cette addition et de cette multiplication est un anneaucommutatif.

�

7.2 Exemples

a) La relation de congruence modulo n sur l’anneau Z permet de munir l’ensemble-quotientZ/nZ d’une structure d’anneau commutatif.

b) Considérons dans l’anneau R[X] l’idéal des multiples du polynôme X2 +1 et la relationassociée :

P ≡ Q (mod (X2 + 1)) ⇐⇒ X2 + 1 divise P −Q.

L’ensemble des polynômes de degré ≤ 1 est un système de représentants pour cette relationd’équivalence ; en effet, si on effectue la division euclidienne de P ∈ R[X] par X2 + 1, onobtient P = (X2 + 1)Q + aX + b, donc P ≡ aX + b (mod (X2 + 1)). De plus, si deux

12

polynômes de degré ≤ 1, aX + b et cX + d sont congrus modulo X2 + 1, alors ils sontégaux ; en effet, X2 + 1 divise (aX + b) − (cX + d) d’où (aX + b) − (cX + d) = 0.

Donc l’anneau quotient R[X]/(X2 + 1) s’identifie à l’ensemble des classes aX + b oùa, b ∈ R. Or, on peut écrire

aX + b = aX + b = aX + b

en identifiant un réel et sa classe modulo (X2 + 1).

D’autre part, on a évidemment X2 + 1 = 0 dans l’anneau quotient, d’où

X2 = X2

= −1 = −1.

Alors, en posant X = i, on a i2 = −1 et les éléments de l’anneau-quotient s’écriventai + b : on reconnaît C. On a ainsi une nouvelle construction du corps C, vu commeanneau-quotient de R[X] par l’idéal des multiples du polynôme X2 + 1.

7.3 Théorème

Soient A et B deux anneaux et ϕ un homomorphisme d’anneaux de A dans B. Alors ϕinduit une application

ϕ : A/ kerϕ −→ Imϕa 7−→ ϕ(a)

qui est un isomorphisme d’anneaux.

Preuve :

Tout d’abord, montrons que l’application ϕ est bien définie sur l’anneau A/I : soient aet b deux éléments de A tels que a = b, alors il existe c ∈ kerϕ tel que a = b + c, doncϕ(a) = ϕ(b+ c) = ϕ(b) + ϕ(c) = ϕ(b) i.e ϕ(a) = ϕ(b). Ainsi ϕ(a) ne dépend pas du choixdu représentant de a.

L’application ϕ étant un homomorphisme d’anneaux de A dans B, on en déduit facilementque ϕ est un homomorphisme d’anneaux de A/ kerϕ dans B.

Montrons maintenant que ϕ est injective : soit a un élément de A tel que a ∈ kerϕ ; alorsϕ(a) = ϕ(a) = 0 donc a ∈ kerϕ i.e a = 0. Donc ϕ est injective.

Enfin, il est clair que ϕ est une surjection de A/ kerϕ sur Imϕ.

�

7.4 Définitions

Soit A un anneau commutatif et I un idéal de A.

a) On dit que I est un idéal premier s’il vérifie la propriété suivante

∀a, b ∈ A, ab ∈ I =⇒ a ∈ I ou b ∈ I.

b) On dit que I est un idéal maximal si I 6= A et si pour tout idéal J de A, on a

I ⊂ J ⊂ A =⇒ J = I ou J = A.

13

7.5 Proposition

Soit A un anneau commutatif et I un idéal de A. Alors on a

a) I est un idéal premier de A ⇐⇒ A/I est un anneau intègre.

b) I est un idéal maximal de A ⇐⇒ A/I est un corps.

c) Tout idéal maximal est un idéal premier.

Preuve :

a) Soit I un idéal premier de A. Considérons a et b deux éléments de A. Si ab = ab = 0dans l’anneau A/I, alors ab ∈ I, donc, puisque I est premier, a ∈ I ou b ∈ I, i.e a = 0ou b = 0. Donc l’anneau A/I est intègre.

Réciproquement, soit I un idéal de A tel que l’anneau A/I est intègre ; considérons a etb deux éléments de A tels ab ∈ I, alors ab = ab = 0, donc a = 0 ou b = 0, i.e a ∈ I oub ∈ I. Donc I est premier.

b) Soit I un idéal maximal de A. Considérons a un élément de A tel que a 6= 0 et montronsque a est inversible dans A/I : comme a 6= 0, a 6∈ I donc l’idéal (a) + I est un idéalvérifiant

I ⊂ (a) + I ⊂ A et (a) + I 6= Idonc, comme I est un idéal maximal de A, on a (a)+I = A. On en déduit que 1 ∈ (a)+I :il existe donc b ∈ A et c ∈ I tels que 1 = ab + c d’où 1 = ab+ 0 = ab et ainsi a possèdeun inverse dans A/I : A/I est donc un corps.

Réciproquement, soit I un idéal de A tel que l’anneau A/I est un corps. Considérons unidéal J de A tel que I ⊂ J ⊂ A ; si J 6= I, alors il existe a ∈ J tel que a 6∈ I, donca 6= 0 et ainsi a est inversible dans le corps A/I : il existe donc b ∈ A tel que 1 = ab doncil existe c ∈ I tel que 1 = ab + c. Par conséquent, 1 ∈ J puisque a ∈ J et c ∈ I ⊂ J :on en déduit aussitôt que J = A d’après 5.4, et ainsi J est un idéal maximal de A.

�

7.6 Caractéristique d’un anneau

Soit A un anneau commutatif. Alors l’application

ϕ : Z −→ An 7−→ n1A

est un homomorphisme d’anneaux de Z dans A. Son noyau kerϕ est alors un idéal de Zdonc il existe un unique q ∈ N tel que kerϕ = qZ ; cet entier q est appelé la caractéristiquede l’anneau A. Si A est intègre, alors sa caractéristique est nulle ou est un nombre premier.

Ainsi, si q 6= 0, q est le plus petit entier ≥ 1 tel que q1A = 0A (d’où ∀a ∈ A, qa = 0A).

Si q = 0 et si A est intègre, alors, ∀n ∈ Z, ∀a ∈ A, on a

na = 0A =⇒ n = 0 ou a = 0A.

14

Preuve :

Il est clair que ϕ est un homomorphisme d’anneaux de Z dans A. Si A est intègre et sisa caractéristique q est non nulle, montrons que q est un nombre premier : d’après 7.3,ϕ induit un isomorphisme d’anneaux de Z/qZ sur Imϕ ; or Imϕ est un sous-anneau deA donc est intègre, par conséquent l’anneau Z/qZ est lui aussi intègre et ainsi q est unnombre premier.

�

Exemples

Les anneaux Z, Q, R, C sont de caractéristique nulle.

Pour tout n ≥ 1, l’anneau Z/nZ est de caractéristique n.

15

II ANNEAUX EUCLIDIENS, PRINCIPAUX, FACTORIELS

Dans tout le chapitre, les anneaux considérés sont commutatifs.

1. Anneaux euclidiens

On sait qu’il existe une division dite euclidienne sur l’anneau Z et sur l’anneau R[X]. Onva donner ci-dessous un autre exemple d’anneau muni d’une division euclidienne, puis ondégagera une définition générale de division euclidienne recouvrant ces trois exemples.

1.1 Proposition

On considère l’anneau Z[i√

2]. Pour tout z ∈ Z[i√

2], on pose N(z) = zz = |z|2. Soienta, b ∈ Z[i

√2], avec b 6= 0. Alors il existe deux éléments q et r de Z[i

√2] vérifiant

a = bq + r avec N(r) < N(b).

Le couple (q, r) n’est pas nécessairement unique.

Preuve :

Posons a = a1 +a2i√

2 et b = b1 + b2i√

2 où a1, a2 sont des entiers et b1, b2 sont des entiersnon tous deux nuls. Alors :

a

b=a1 + a2i

√2

b1 + b2i√

2=a1b1 + 2a2b2 + (a2b1 − a1b2)i

√2

b21 + 2b22= u+ vi

√2

où u, v ∈ Q. Il existe x ∈ Z tel que |u − x| ≤ 1

2: il suffit de prendre x = E(u) si

E(u) ≤ u ≤ E(u) +1

2et x = E(u) + 1 si E(u) +

1

2≤ u ≤ E(u) + 1. De même il existe

y ∈ Z tel que |v − y| ≤ 1

2. Posons alors q = x+ yi

√2 et r = a− bq ; q, r ∈ Z[i

√2] et

r = a− bq = b(a

b− q) = b(u+ vi

√2 − x− yi

√2) = b

((u− x) + (v − y)i

√2).

Donc

N(r) = |r|2 = |b|2|(u− x) + (v − y)i√

2|2 = N(b)((u− x)2 + 2(v − y)2

)

donc N(r) ≤ N(b)

(1

4+ 2

1

4

)=

3

4N(b) < N(b).

Le couple (q, r) n’est pas nécessairement unique puisque, dans le cas où u = E(u)+1

2par

exemple, on a deux choix possibles pour x : x = E(u) ou x = E(u) + 1.

Exemple Il existe quatre divisions possibles de 19 + 76i√

2 par 50 + 2i√

2 ; en effet

19 + 76i√

2

50 + 2i√

2=

1

2+

3

2i√

2

donc on peut prendre q = 0 + i√

2 ou q = 0 + 2i√

2 ou q = 1 + i√

2 ou q = 1 + 2i√

2 etles restes correspondants.

17

1.2 Définition

On dit qu’un anneau A est euclidien si

a) A est intègre ;

b) il existe une application g de A dans N, appelée stathme ou valuation, telle que

∀a ∈ A, ∀b ∈ A− {0A}, ∃ q, r ∈ A tels que a = bq + r et g(r) < g(b).

1.3 Exemples

a) Z est un anneau euclidien pour le stathme g(n) = |n| ;b) R[X] est un anneau euclidien pour le stathme g(P ) = d (P ) ;

c) Z[i√

2] est un anneau euclidien pour le stathme g(z) = |z|2 ;

d) Z[i] est un anneau euclidien pour le stathme g(z) = |z|2 (cf. exercice).

2. Anneaux principaux

2.1 Définition

Soit A un anneau ; un idéal I de A est dit principal s’il existe a ∈ A (en fait a ∈ I) telque I = (a).

Si I est un idéal principal engendré par a 6= 0A, alors l’élément a n’est pas unique, plusprécisément, on a la proposition suivante :


Soit A un anneau intègre, alors on a ∀a, b ∈ A− {0A}

(a) = (b) ⇐⇒ a|b et b|a⇐⇒ ∃ u ∈ A∗/ a = bu.

On dit alors que a et b sont associés. La relation “a est associé à b” est une relationd’équivalence sur A− {0A}.

Preuve :

Si (a) = (b), alors ∃ u, v ∈ A tels que a = bu et b = va, d’où a = uva ; donc a(1A − uv) =0A. Or a 6= 0A et A est intègre, donc uv = 1A et u est inversible. Réciproquement, sia = bu où u est inversible, alors (a) ⊂ (b), et comme b = au−1, on a aussi (b) ⊂ (a).

D’autre part, il est clair qu’on définit ainsi une relation d’équivalence sur A− {0A}.

�

Exemples

a) Dans Z, a et b associés ⇐⇒ a = ±b ;

b) dans R[X], P et Q associés ⇐⇒ ∃ c ∈ R∗, P = cQ ;

c) dans Z[i], a et b associés ⇐⇒ a = b ou a = −b ou a = ib ou a = −ib.

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2.3 Définition

On dit qu’un anneau A est principal si

a) A est intègre ;

b) tous les idéaux de A sont principaux.

2.4 Exemple

Z est un anneau principal ; de plus la preuve de ce théorème repose sur l’existence d’unedivision euclidienne sur Z. Cette démonstration se généralise pour donner le théorèmesuivant :

2.5 Théorème Tout anneau euclidien est principal ; la réciproque est fausse.

Preuve :

Soit A un anneau euclidien pour le stathme g, et soit I un idéal de A.

Si I = {0A}, alors I = (0A) donc est principal. Si I 6= {0A}, considérons le sous-ensembleE de N défini par E = {g(x)/ x ∈ I − {0A}} ; E est non vide et minoré donc possède unplus petit élément n. Comme n ∈ E, il existe a ∈ I − {0A} tel que n = g(a). Montronsque I = (a) ; considérons x ∈ I et effectuons la division euclidienne de x par a : il existe qet r dans A tels que x = qa+r et g(r) < g(a). Supposons r 6= 0A alors, comme r = x−qa,r ∈ I − {0A}, d’où g(r) ∈ E et ainsi g(r) ≥ n = g(a), ce qui est absurde. Donc r = 0A etx = qa ∈ (a) d’où I ⊂ (a). Réciproquement, comme a ∈ I et I est un idéal, on a (a) ⊂ I.

�

2.6 Exemples

a) R[X] est euclidien donc principal ;

b) l’anneau Z

[1 + i

√19

2

]est principal non euclidien ;

c) l’anneau Z[X] n’est pas principal.

Preuve :

b) admis.

c) Montrons que Z[X] n’est pas principal. Considérons l’idéal

I = (2) + (X) = {2P +XQ/ P,Q ∈ Z[X]}.

Montrons que I n’est pas un idéal principal. Tout d’abord, I = {A ∈ Z[X]/ A(0) est pair }en effet, soit A ∈ I alors ∃ P,Q ∈ Z[X] tels que A = 2P +XQ, donc A(0) = 2P (0) estpair.Réciproquement, si A(0) est pair, alors A s’écrit A = anX

n + an−1Xn−1 + · · ·a1X + 2a0

où an, ..., a1, a0 ∈ Z, d’où A = 2a0 +X(anXn−1 + an−1X

n−2 + · · ·a1) et ainsi A ∈ I.

Supposons I principal ; alors, il existe P0 ∈ I tel que I = (P0). Or 2 et X appartiennentà I, donc P0 divise 2 et X. Comme P0 divise 2, P0 est constant et vaut ±1 ou ±2 ; or 2 et−2 ne divisent pas X dans Z[X], donc, nécessairement, P0 = ±1, mais alors P0(0) n’estpas pair, ce qui est absurde. Donc I n’est pas un idéal principal.

19

2.7 Définition

Soient A un anneau principal et a et b deux éléments non nuls de A ; on appelle pgcd de aet b tout élément de A qui engendre l’idéal (principal) I = (a)+(b) = {ax+by/ x, y ∈ A}.Ainsi, on n’a pas l’unicité : si d est un pgcd de a et b, alors tout élément associé à un pgcdde a et b est aussi un pgcd de a et b.

Exemple

Dans l’anneau Z[i], les éléments inversibles sont 1,−1, i− i. Tout couple d’éléments nonnuls de Z[i] possède donc quatre pgcd.

Cependant, dans l’anneau principal R[X], on peut définir le pgcd de deux polynômes demanière unique : pour tous polynômes non nuls P et Q on appelle pgcd de P et Q l’uniquepolynôme unitaire qui engendre l’idéal I = (P ) + (Q). On a ainsi le théorème suivant :

2.8 Théorème

Soient P , Q et R des polynômes non nuls de R[X]. Alors, on a

a) si D = pgcd(P,Q), alors ∃ A,B ∈ R[X] tels que D = AP +BQ ;

b) tout diviseur commun à P et Q divise leur pgcd ;

c) on a le théorème de Bezout : pgcd(P,Q) = 1 ⇐⇒ ∃ U, V ∈ R[X], UP + V Q = 1. Ondit alors que P et Q sont premiers entre eux ;

d) on a le lemme de Gauss :

∗ si P |QR et si pgcd(P,Q) = 1, alors P |R ;

∗ si pgcd(P,Q) = 1, alors P |R et Q|R =⇒ PQ|R ;

e) R[X] étant un anneau euclidien, on peut effectuer l’algorithme d’Euclide pour calculerle pgcd de deux polynômes, tout comme dans Z : le pgcd est le dernier reste non nul,divisé par son coefficient dominant (pour avoir un polynôme unitaire).

Preuve : analogue à celle faite dans Z.

3. Anneaux factoriels

3.1 Définition

Soient A un anneau intègre et x un élément non nul de A ; on dit que x est irréductibledans A si

a) x est non inversible dans A ;b) si a et b sont des éléments de A tels que x = ab, alors a ou b est inversible dansA. Autrement dit, les seuls diviseurs de x, autres que les éléments inversibles, sont seséléments associés.

3.2 Exemples

a) Les éléments irréductibles de Z sont les nombres premiers ;

b) les éléments irréductibles de R[X] sont les polynômes du premier degré et les polynômesdu second degré à discriminant < 0 ;

c) dans l’anneau Z[i], l’élément 3 est irréductible ; en effet, considérons l’application N deZ[i] dans N définie par N(z) = |z|2. S’il existe z et z′ dans Z[i] tels que 3 = zz′, alors,N(3) = 9 = N(z)N(z′), donc N(z) = 1, 3 ou 9 ; si N(z) = 1, alors zz = 1 donc z est

20

inversible dans Z[i] d’inverse z, si N(z) = 9 alors N(z′) = 1 et c’est z′ qui est inversible. SiN(z) = 3, alors N(z′) = 3 aussi ; notons z = u+ iv où u, v ∈ Z, alors 3 = N(z) = u2 + v2,donc u2 = 0 et v2 = 3, ou u2 = 3 et v2 = 0 ou u2 = 1 et v2 = 2 ou u2 = 2 et v2 = 1. Mais√

2 et√

3 ne sont pas des entiers, donc le cas N(z) = N(z′) = 3 est impossible. Donc 3est irréductible dans Z[i] ;

d) 5 est irréductible dans l’anneau Z, mais ne l’est pas dans l’anneau Z[i] : en effet, on a5 = (2 + i)(2 − i). Le caractère irréductible d’un élément dépend donc de l’anneau danslequel on le considère.

3.3 Proposition

Soit A un anneau intègre et x un élément non nul et non inversible de A tel que (x) soitun idéal premier de A ; alors x est irréductible dans A.

Preuve :

Soit x un élément non nul et non inversible de A tel que (x) soit un idéal premier de A ;soient a et b dans A tels que x = ab, alors ab ∈ (x) donc a ou b ∈ (x) puisque (x) estun idéal premier i.e x|a ou x|b. Supposons que x|a, alors ∃ y ∈ A tel que a = xy, d’oùx = xyb, i.e. x(1A − yb) = 0A. Or A est intègre et x 6= 0A, donc 1A = yb ; b est doncinversible dans A, et ainsi x est irréductible.

�

Remarque

La réciproque de la proposition 3.3 est vraie dans Z (lemme d’Euclide), mais ce n’est pasle cas en général : ainsi 1+i

√5 est irréductible dans l’anneau Z[i

√5] mais l’idéal (1+i

√5)

n’est pas premier (cf. exercice). C’est toutefois le cas dans un anneau principal :

3.4 Proposition

Le lemme d’Euclide est vérifié dans tout anneau principal A : si x est un élément irréduc-tible de A alors (x) est un idéal premier de A, i.e il vérifie la condition

(P) ∀a, b ∈ A, x|ab =⇒ x|a ou x|b.

Preuve : Soit x irréductible dans A tel que x|ab, alors ∃ y ∈ A tel que ab = xy. Considéronsl’idéal (a) + (x) : comme A est principal, il existe d ∈ A tel que (a) + (x) = (d) (d estun pgcd de a et x). Alors, en particulier, d|x donc ∃ x′ ∈ A tel que x = dx′. Or x estirréductible, donc x′ ou d est inversible.Si x′ est inversible, alors x et d sont associés et (x) = (d) = (a) + (x), donc a ∈ (x) i.e.

x|a.Si d est inversible, alors (d) = A, et ainsi, 1A ∈ (d) = (a) + (x), donc ∃ u, v ∈ A tel que1A = au + xv (ce résultat n’est rien d’autre que le théorème de Bezout dans un anneauprincipal), donc b = abu + xbv = xyu+ xbv = x(yu+ bv), d’où x|b.

�

21

3.5 Définition

On dit qu’un anneau A est factoriel si

a) A est intègre ;

b) tout élément a non nul et non inversible de A s’écrit sous la forme a = up1p2 · · ·pr oùu ∈ A∗ et p1, p2, ..., pr sont des éléments irréductibles de A ;

c) la décomposition en produit d’éléments irréductibles est essentiellement unique i.e.

pour tout élément a non inversible et non nul dans A, si on a

a = up1p2 · · · pr = vq1q2 · · · qs

où u, v ∈ A∗ et p1, p2, ..., pr, q1, q2, ..., qs irréductibles dans A, alors r = s et il existe unepermutation σ ∈ Sr telle que pour tout i ∈ [1, r], pi et qσ(i) sont associés.

3.6 Proposition

Soit A un anneau factoriel et soit P = {pi / i ∈ I} un système de représentants deséléments irréductibles pour la relation d’équivalence “a est associé à b” sur A − {0A}.Alors tout élément a non nul de A s’écrit de manière essentiellement unique sous la forme

a = u∏

i∈I

pαi

i

où u ∈ A∗ et où pour tout i ∈ I, αi ∈ N et les αi sont presque tous nuls i.e αi = 0 saufpour un nombre fini de i ∈ I.

3.7 Définition

Soit A un anneau factoriel et soit P = {pi / i ∈ I} un système de représentants deséléments irréductibles pour la relation d’équivalence “a est associé à b” sur A− {0A}.Soient a = u

∏

i∈I

pαi

i et b = v∏

i∈I

pβi

i deux éléments de A− {0A} où u, v ∈ A∗ et où pour

tout i ∈ I, αi ∈ N et βi ∈ N sont presque tous nuls ; on définit le pgcd et le ppcm de a etb de la manière suivante

pgcd(a, b) =∏

i∈I

pInf(αi,βi)i et ppcm(a, b) =

∏

i∈I

pSup(αi,βi)i .

Ainsi le pgcd et le ppcm de a et b sont définis à un élément inversible près. Si pgcd(a, b)est un élément inversible, on dit que a et b sont premiers entre eux.

Exemples

Z est un anneau factoriel, plus généralement, on a le résultat suivant :

3.8 Théorème Tout anneau principal est factoriel.

Preuve :

Lemme : Il n’existe pas de suite strictement croissante d’idéaux dans un anneau principal.

22

Considérons en effet une suite croissante d’idéaux (Ik)k∈Nd’un anneau principal A. Soit I

la réunion des idéaux Ik quand k décrit N ; alors I est un idéal de A, car la suite (Ik)k∈N

est croissante, donc ∃ b ∈ I tel que I = (b). Or I est la réunion des idéaux Ik, donc∃ n ∈ N tel que b ∈ In, d’où pour tout m ∈ N, les inclusions (b) ⊂ In ⊂ In+m ⊂ I = (b)et ainsi la suite (Ik)k∈N

est stationnaire à partir du rang n. Il n’existe donc pas de suitestrictement croissante d’idéaux dans un anneau principal.

Existence : soit a un élément non nul et non inversible de A. Supposons que a n’admettepas de décomposition en produit d’éléments irréductibles. Alors, en particulier, a n’estpas irréductible, donc il existe a1 et b1 non inversibles dans A tels que a = a1b1. Comme an’est pas produit d’éléments irréductibles, alors a1 ou b1 n’est pas irréductible, par exemplea1, donc il existe a2 et b2 non inversibles dans A tels que a1 = a2b2, d’où a = a2b1b2 etainsi a2 ou b1 ou b2 est non irréductible, par exemple a2,etc. On construit ainsi une suited’éléments a1, a2, ...., an, ... tels que, pour tout i, ai+1|ai et ai et ai+1 sont non associés,d’où la suite strictement croissante d’idéaux de A suivante

(a) ⊂ (a1) ⊂ (a2) ⊂ .... ⊂ (an) ⊂ (an+1) ⊂ .....

Or, d’après le lemme, il n’existe pas de suite strictement croissante d’idéaux dans unanneau principal, d’où la contradiction. Donc a admet une décomposition en produitd’éléments irréductibles.

Unicité essentielle : la démonstration est analogue à celle faite dans le cas de l’anneau Z ;il suffit d’appliquer le lemme d’Euclide qui est vrai dans tout anneau principal, d’après3.4.

�

3.9 Corollaire

Tout polynôme P non constant de R[X] s’écrit de manière essentiellement unique sousla forme P = cP1P2 · · ·Pr où c ∈ R∗ et P1, P2, ...Pr sont des polynômes irréductibles deR[X], i.e. des polynômes de degré 1 ou des polynômes de degré 2 à discriminant < 0.

Preuve : R[X] étant euclidien est principal, donc factoriel.

�

Remarque : L’existence de la décomposition en produit de polynômes irréductibles dansR[X] est assurée par le théorème précédent, ce qui ne signifie pas que l’on sache explici-tement la calculer pour un polynôme donné (contrairement au cas des entiers) : c’est engénéral un problème difficile, pour ne pas dire insoluble.

3.10 Proposition

Le lemme d’Euclide est vrai dans tout anneau factoriel : si x est un élément irréductiblede A, alors l’idéal (x) est premier, i.e il vérifie la condition

(P) ∀a, b ∈ A, x|ab =⇒ x|a ou x|b.

23

Preuve :

Soit x irréductible dans A factoriel ; si x|ab, alors ∃ y ∈ A tel que ab = xy. Si a est inver-sible, alors b = a−1xy et ainsi x|b, de même si b est inversible, alors x|a. Si a et b ne sontpas inversibles, alors y ne l’est pas non plus, sinon x = aby−1 ce qui est impossible puisquex est irréductible ; ainsi a,b et y se décomposent en produit d’éléments irréductibles :

a = up1p2 · · · pr, b = vq1q2 · · · qs et y = wm1m2 · · ·mt où u, v, w ∈ A∗ et p1, p2, ..., pr,q1, q2, ..., qs, m1, m2, ..., mt sont irréductibles dans A. Alors on a

uvp1p2 · · · prq1q2 · · · qs = wxm1m2 · · ·mt.

Alors, par unicité essentielle de la décomposition, ou bien x est associé à l’un des pi, etalors x|pi donc x|a, ou bien x est associé à l’un des qj et alors x|b.

�

4. Théorèmes de transfert aux anneaux de polynômes

Il est intéressant de se poser la question suivante : si l’anneau A est euclidien, principalou factoriel, en est-il de même de l’anneau de polynômes A[X] ?

4.1 Proposition

a) Si l’anneau A est euclidien, l’anneau A[X] n’est pas euclidien en général.

b) Si l’anneau A est principal, l’anneau A[X] n’est pas principal en général.

En effet, Z est euclidien, donc principal alors que Z[X] n’est pas principal donc n’est paseuclidien.

On a en fait le théorème suivant :

4.2 Théorème Soit A un anneau commutatif ; alors

A[X] est euclidien ⇐⇒A[X] est principal ⇐⇒ A est un corps.

Preuve :

Si A[X] est euclidien, il est principal.

Si A[X] est principal, montrons que A est un corps : soit a un élément non nul deA, considérons l’idéal (X) + (a) de A[X] ; comme A[X] est principal, il existe donc unpolynôme P (non nul) tel que (X) + (a) = (P ). En particulier a ∈ (P ) i.e il existeQ ∈ A[X] tel que a = PQ ; l’anneau A[X] étant principal, il est intègre donc A aussi, parconséquent 0 = deg a = degP + degQ d’où deg P = 0 et ainsi P est une constante c nonnulle. D’autre part on a aussi X ∈ (P ) i.e il existe R ∈ A[X] tel que X = PR = cR, d’oùdegR = 1 et en identifiant les termes de degré 1, on établit l’existence d’un élément b deA tel que 1 = cb donc P = c est inversible dans A et ainsi l’idéal (P ) est égal à A[X].En particulier, 1 ∈ (P ) = (a) + (X) i.e il existe T et S dans A[X] tels que 1 = aS +XTd’où 1 = aS(0) + 0.T (0) = aS(0) et ainsi a possède un inverse dans A : A est un corps.

Enfin, si A est un corps, A[X] est euclidien d’après I 6.15.

�

4.3 Proposition

Soit K un corps ; alors tout idéal premier de l’anneau K[X] non nul et distinct de K[X]est maximal.

24

Preuve :

Soit I un idéal premier non nul de K[X], comme K est un corps, K[X]est un anneauprincipal donc il existe P ∈ K[X] non nul tel que I = (P ) ; (P ) étant un idéal premierdistinct de K[X], d’après 3.3 P est irréductible dans K[X], montrons alors que l’idéal (P )est maximal : soit J un idéal de K[X] tel que

(P ) ⊂ J ⊂ K[X]

alors il existe Q ∈ K[X] tel que J = (Q) ; comme (P ) ⊂ (Q), Q divise P et ainsi il existeR ∈ K[X] tel que P = QR, or P est irréductible dans K[X] donc Q ou R est inversible :si Q est inversible, alors J = (Q) = K[X] et si R est inversible alors P et Q sont associési.e (P ) = (Q) = J : l’idéal (P ) est donc maximal.

�

On va maintenant prouver que si A est factoriel, alors A[X] est factoriel :

4.4 Définition et Proposition

Soit A un anneau factoriel.

a) Soit P = anXn + · · · + a1X + a0 un élément de A[X] ; on appelle contenu de P et on

note c(P ) le pgcd (défini à la multiplication d’un élément inversible près) des coefficientsan, · · · , a1, a0. Si c(P ) = 1, on dit que P est un polynôme primitif.

b) Soient P et Q deux éléments de A[X] ; alors c(PQ) = c(P )c(Q).

Preuve :

Considérons P = anXn + · · ·+ a1X + a0 et Q = bmX

m + · · ·+ b1X + b0 deux éléments de

A[X] alors PQ = cn+mXn+m + · · ·+ c1X + c0 où ck =

∑

i+j=k

aibj pour tout 1 ≤ k ≤ n+m.

1er cas : on suppose P et Q primitifs ; si PQ n’est pas primitif, alors il existe un élémentirréductible p de A tel que p divise c(PQ) = pgcd(cn+m, · · · , c0). D’autre part, p ne divisepas tous les coefficients de P sinon il diviserait leur pgcd, i.e c(P ), ce qui est impossiblepuisque c(P ) = 1 ; il existe donc un entier i0 tel que p divise ai pour tout i < i0 et p nedivise pas ai0 . De même il existe un entier j0 tel que p divise bj pour tout j < j0 et p nedivise pas bj0 .

Alors, on a

p | ci0+j0 =∑

i+j=i0+j0

aibj = ai0bj0 +∑

i+j=i0+j0i<i0 ou j<j0

aibj

donc p | ai0bj0 , or A est factoriel donc, d’après le lemme d’Euclide, p | ai0 ou p | bj0 , cequi est absurde. Donc c(PQ) = 1.

Cas général : on pose d = c(P ) et e = c(Q) puis P1 =1

dP et Q1 =

1

eQ, alors P1 et Q1

sont primitifs et ainsi c(P1Q1) = 1 ; or PQ = deP1Q1 donc c(PQ) = de c(P1Q1) = de =c(P )c(Q).

�

25

4.5 Théorème

Soit A un anneau factoriel et soit K son corps des fractions ; alors les polynômes irréduc-tibles de A[X] sont :

1) Les éléments de A irréductibles dans A ;

2) Les polynômes P de A[X] de degré ≥ 1, primitifs et irréductibles dans K[X].

Preuve :

Montrons d’abord que les éléments cités ci-dessus sont bien irréductibles dans A[X] :

Soit a un élément irréductible de A : si a s’écrit sous la forme a = PQ où P et Q sont despolynômes de A[X], alors deg a = 0 = deg P + degQ donc degP = degQ = 0, d’où P etQ sont des éléments de A et par conséquent P ou Q ∈ A∗ puisque a est irréductible dansA, donc a fortiori P ou Q est inversible dans A[X] (cf. I 6.9) et ainsi a est irréductibledans A[X].

Soit un polynôme P de A[X] de degré≥ 1, primitif et irréductible dans K[X] : si P s’écritsous la forme P = QR où Q et R sont des polynômes de A[X], alors, par exemple Qconsidéré comme polynôme de K[X] est inversible dans K[X], i.e est une constante nonnulle : Q = a ∈ A − {0}. On en déduit que P = aR et donc a divise c(P ) dans A ; or Pest primitif donc a est inversible dans A donc dans A[X] : P est donc irréductible dansA[X].

Considérons maintenant un polynôme P irréductible de A[X]. Si degP = 0, alors P ∈ Adonc est irréductible dans A ; si degP ≥ 1, alors, comme c(P ) divise P , nécessairementc(P ) = 1 puisque P est irréductible dans A[X], il reste donc à montrer que P est irréduc-tible dans K[X] :

supposons qu’il existe des polynômes Q et R de K[X] tels que P = QR ; le polynôme Qs’écrit sous la forme

Q =an

bnXn + · · ·+ a1

b1X +

a0

b0

où an, · · · , a0 ∈ A et bn, · · · , b0 ∈ A − {0}. En multipliant Q par b = ppcm(bn, · · · , b0),on obtient un polynôme bQ ∈ A[X] et en notant a = c(bQ), on a bQ = aQ1 où Q1 est unpolynôme primitif de A[X], d’où

Q =a

bQ1.

De même on peut écrire

R =d

eR1

où d et e sont des éléments de A−{0} et où R1 est un polynôme primitif de A[X]. Alorson a

P =a

b

d

eQ1R1

ou encorebeP = adQ1R1

Alors c(beP ) = be c(P ) = c(adQ1R1) = ad c(Q1)c(R1) d’où l’existence d’un élémentu ∈ A∗ tel que ad = ube puisque P , Q1 et R1 sont primitifs. Donc on a P = uQ1R1, or Pest irréductible dans A[X] donc, par exemple, Q1 est inversible dans A[X], i.e Q1 est unélément de A∗, donc Q est une constante non nulle de K donc un élément inversible deK[X] : P est donc irréductible dans K[X].

26

4.6 Théorème Soit A un anneau commutatif.

Si A est factoriel, alors A[X] est factoriel.

Preuve :

L’anneau A étant factoriel est intègre donc peut être plongé dans son corps des fractionsK.

Existence : soit P un polynôme de A[X] non nul et non inversible ; si P ∈ A, on décom-pose P en produit de facteurs irréductibles dans l’anneau factoriel A, sinon deg P ≥ 1 etP est aussi un polynôme de K[X], on distingue alors deux cas :

1er cas : P est primitif ; K étant un corps, l’anneau K[X] est euclidien donc factoriel ; onpeut donc écrire P sous la forme

P = P α1

1 · · ·P αr

r

où P1, · · · , Pr sont des polynômes irréductibles deK[X] distincts deux à deux et α1, · · · , αr

sont des entiers ≥ 1.

Comme dans la preuve de 4.5, on peut écrire chaque polynôme Pi sous la forme Pi =ai

biPi

où Pi est un polynôme primitif de A[X] et où ai et bi sont des éléments non nuls de A,

ainsi on a Pi =biai

Pi donc Pi est irréductible dans K[X] donc dans A[X] d’après 4.4. On

a alors

(

r∏

i=1

bαi

i )P = (

r∏

i=1

aαi

i )P α1

1 · · · P αr

r .

En calculant les contenus des polynômes, on obtient alors

(

r∏

i=1

bαi

i )c(P ) = (

r∏

i=1

aαi

i )c(P1)α1 · · · c(Pr)

αr .

Or les polynômes considérés sont tous primitifs, donc il existe u ∈ A∗ tel que

r∏

i=1

aαi

i = u

r∏

i=1

bαi

i

On en déduitP = uP α1

1 · · · P αr

r

et ainsi P est produit de polynômes irréductibles de A[X].

2ème cas : si P n’est pas primitif, on écrit P = c(P )P où P est primitif, on décompose

c(P ) en produit d’irréductibles dans A puis P en produit d’irréductibles dans A[X] commeci-dessus et on obtient ainsi la décomposition de P en produit d’irréductibles dans A[X].

Unicité essentielle : Comme dans Z, la démonstration repose sur le lemme d’Euclide ; ilsuffit donc de montrer que le lemme d’Euclide est valide dans l’anneau A[X], ou encore,que si P est un polynôme irréductible de A[X], alors l’idéal PA[X] est premier dansA[X]. Considérons donc un polynôme P irréductible de A[X] :

∗ si P est constant alors P = p ∈ A ; on a alors l’application

ϕ : A[X] −→ A/(p)[X]n∑

k=0

akXk 7−→

n∑

k=0

akXk

27

qui est clairement un homomorphisme d’anneaux surjectif.

Calculons kerϕ : Soit Q =

n∑

k=0

akXk ∈ kerϕ, i.e

n∑

k=0

akXk = 0 alors, pour tout k on a

ak = 0 c’est-à-dire ak ∈ (p) donc Q ∈ pA[X] et réciproquement, donc kerϕ = pA[X].Alors, d’après I.7.3, on a l’isomorphisme d’anneaux

A[X]/pA[X] ≃ A/(p)[X].

Or p est irréductible dans A[X] et constant donc est irréductible dans A, par conséquentl’idéal (p) est premier dans l’anneau factoriel A d’après 3.8, on en déduit que l’anneauA/(p) est intègre donc que l’anneau de polynômes A/(p)[X] est intègre puis, par isomor-phisme, que l’anneau A[X]/pA[X] est lui aussi intègre. Donc l’idéal pA[X] est premierdans A[X].

∗ si degP ≥ 1, alors P est primitif d’après 4.5 ; on considère l’application

ψ : A[X]/PA[X] −→ K[X]/PK[X]

Q mod PA[X] 7−→ Q mod PK[X]

Cette application est bien définie puisque PA[X] ⊂ PK[X] et est clairement un homo-morphisme d’anneaux. Montrons que ψ est injective : pour celà il suffit de montrer quePK[X]∩A[X] ⊂ PA[X]. Soit donc Q ∈ PK[X]∩A[X], alors il existe R ∈ K[X] tel que

Q = PR. On écrit alors R sous la forme R =a

bR où a et b sont des éléments non nuls de

A et où R est un polynôme primitif de A[X], et Q = cQ où Q est un polynôme primitif

de A[X]. Alors on a bcQ = aP R, d’où, en calculant les contenus, on établit l’existenced’un élément u ∈ A∗ tel que bc = au donc b divise a et ainsi R ∈ A[X], d’où Q ∈ PA[X].

On peut donc considérer que A[X]/PA[X] est un sous-anneau de K[X]/PK[X] ; or P estirréductible dans A[X] et de degré ≥ 1 donc est irréductible dansK[X] d’après 4.5, de plusl’anneau K[X] est euclidien donc l’idéal PK[X] est premier donc l’anneau K[X]/PK[X]est intègre, et par conséquent, le sous-anneau A[X]/PA[X] est lui aussi intègre, i.e l’idéalPA[X] est premier.

�

5 Polynômes irréductibles de Z[X]

5.1 Théorème

Soit P = anXn + · · ·+a1X+a0 un polynôme de degré ≥ 1 de Z[X] ; s’il existe un nombre

premier p tel que an 6= 0 dans le corps Z/pZ et tel que P = anXn + · · · + a1X + a0 est

irréductible dans Z/pZ[X], alors P est irréductible dans Q[X].

Si de plus P est primitif, alors P est irréductible dans Z[X].

Preuve :

Soient Q = bqXq + · · · + b0 et R = crX

r + · · · + c0 dans Z[X] avec bq 6= 0 et cr 6= 0 telsque P = QR, alors P = Q R d’où an = bq cr ; or an 6= 0 donc bq 6= 0 et cr 6= 0 puisqueZ/pZ est intègre. On en déduit que deg(Q) = deg(Q) et deg(R) = deg(R).

Or P est irréductible dans Z/pZ[X] donc, par exemple, Q est inversible, i.e deg(Q) = 0,d’où deg(Q) = 0 et ainsi Q est inversible dans Q[X], donc P est irréductible dans Q[X].

28

5.2 Critère d’Eisenstein

Soit P = anXn + · · ·+a1X+a0 un polynôme de degré ≥ 1 de Z[X] ; s’il existe un nombre

premier p tel que p divise a0, a1, · · · , an−1, p ne divise pas an et p2 ne divise pas a0, alorsP est irréductible dans Q[X].

Si de plus P est primitif, alors P est irréductible dans Z[X].

Preuve :

Soient Q = bqXq + · · ·+b0 et R = crX

r + · · ·+c0 dans Z[X] tels que P = QR et supposonsq ≥ 1 et r ≥ 1 ; alors on a

P = anXn = Q R

on en déduit que Q et R sont des monômes d’où Q = bqXq et R = crX

r. Par conséquentbq−1 = · · · = b0 = 0 et cr−1 = · · · = c0 = 0, ainsi p divise b0,...bq−1 et c0,...cr−1, d’où p2

divise b0c0 = a0 ce qui est impossible. Donc q = 0 ou r = 0 et ainsi P est irréductibledans Q[X].

�

Exemple

Si a = p1p2 · · · pn où p1, p2, · · · , pn sont des nombres premiers deux à deux distincts, alorspour tout entier m ≥ 1, le polynôme P = Xm ± a est irréductible dans Z[X].

29

III GROUPES

1 Groupes

1.1 Définition

Soit G un ensemble non vide muni d’une loi de composition interne notée multiplicative-ment :

G × G −→ G(x, y) 7−→ x.y noté aussi xy

On dit que (G, .) est un groupe (multiplicatif) si les conditions suivantes sont vérifiées :

a) la loi est associative : ∀x, y, z ∈ G, (xy)z = x(yz) ;

b) il existe un élément neutre e ∈ G : ∀x ∈ G, xe = ex = x ;

c) tout élément possède un symétrique : ∀x ∈ G, ∃ y ∈ G tel que xy = yx = e.

Si de plus la loi est commutative, on dit que G est un groupe commutatif ou abélien.

1.2 Exemples

a) Z, Q, R, C munis de l’addition sont des groupes commutatifs. Plus généralement, toutanneau est un groupe commutatif pour l’addition.

b) Q∗, R∗, C∗ munis de la multiplication sont des groupes commutatifs. Plus généralement,pour tout corps K, K∗ = K −{0K} est un groupe pour la multiplication. En fait, avec levocabulaire des groupes, on a la définition des corps suivante :

(K,+, .) est un corps si et seulement si (K,+) est un groupe commutatif, (K − {0K}, .)est un groupe et la multiplication est distributive par rapport à l’addition.

c) Si A est un anneau, l’ensemble A∗ des éléments inversibles est un groupe pour lamultiplication. Par exemple, (Z[i])∗ = {1,−1, i,−i} est un groupe pour la multiplication.

d) Soit n ∈ N∗. On appelle permutation à n éléments toute bijection de l’ensemble{1, 2, ..., n} sur lui-même et on note Sn l’ensemble des permutations à n éléments. AlorsSn muni de la loi de composition des applications est un groupe à n! éléments, appelégroupe symétrique. Pour n ≥ 3, Sn n’est pas commutatif.

Preuve :

c) Soit A un anneau ; montrons que (A∗, .) est un groupe.Tout d’abord la multiplication est bien une loi interne à A∗ : si a et b ∈ A∗, alors ab ∈ A∗,en effet son inverse est b−1a−1. De plus la multiplication étant associative dans A, l’estaussi dans A∗ ; 1A ∈ A∗ est élément neutre, et évidemment, tout élément x de A∗ possèdeun symétrique dans A∗, à savoir x−1.

d) Tout d’abord, Card(Sn) = n! ; en effet, soit σ ∈ Sn : pour σ(1) on a n choix possiblesparmi {1, 2, ..., n}, une fois σ(1) fixé, comme σ est injective, on a n − 1 choix possiblespour σ(2) parmi {1, 2, ..., n}−{σ(1)}. Par une récurrence finie, pour σ(k), on a n−(k−1)choix possibles pour σ(k) parmi {1, 2, ..., n} − {σ(1), σ(2), ..., σ(k − 1)}. Donc le nombretotal de permutations est n(n− 1) · · · (n− k + 1) · · ·2.1 = n!

Montrons que (Sn, ◦) est un groupe ; la loi de composition des applications est interneà Sn (la composée de deux bijections est une bijection). De plus, la loi de composition

31

des applications est toujours associative. Il y a un élément neutre, à savoir l’applicationidentité Id de {1, 2, ..., n} dans {1, 2, ..., n}. Enfin, par définition même, toute bijectionpossède une bijection réciproque qui est donc son symétrique.

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1.3 Propriétés

Soit G un groupe multiplicatif. Alors

a) L’élément neutre e est unique ;

b) tout élément possède un unique symétrique ;

c) G est régulier à gauche et à droite : ∀x, y, z ∈ G, zx = zy =⇒ x = y et xz = yz =⇒x = y.

Preuve : immédiat.

1.4 Notations

Le plus souvent on emploie la notation multiplicative pour les groupes. Si (G, .) est ungroupe, on note généralement e ou eG son élément neutre, et pour tout x ∈ G, on notex−1 son symétrique et on l’appelle l’inverse de x.

Pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ G, on note xn =

n fois︷︸︸︷x · · ·x et x0 = e par convention.

Pour n ∈ Z−, on note xn = (x−1)−n.

On remarquera que, si G n’est pas commutatif, pour tous x, y ∈ G et tout n ∈ N∗

(xy)n = (xy)(xy) · · · (xy) 6= xnyn

en général.

Il arrive qu’on utilise la notation additive, principalement quand le groupe G est commu-tatif ; on parle alors de groupe additif. Dans ce cas, on note généralement 0G son élémentneutre, le symétrique d’un élément x est noté −x et est appelé opposé de x.

Pour tout n ∈ N∗ et tout x ∈ G, on note nx =

n fois︷︸︸︷x+ · · · + x et 0x = 0G par convention.

Pour n ∈ Z−, on note nx = −((−n)x).

1.5 Table d’un groupe

Quand le groupe est fini, et de cardinal "raisonnable", on peut écrire la table du groupe.

Exemple : Table de S3.

S3 a 6 éléments :

e =

(1 2 31 2 3

), σ1 =

(1 2 32 1 3

), σ2 =

(1 2 31 3 2

), σ3 =

(1 2 33 2 1

),

σ4 =

(1 2 33 1 2

), σ5 =

(1 2 32 3 1

).

On a la table suivante :

32

ր e σ1 σ2 σ3 σ4 σ5

e e σ1 σ2 σ3 σ4 σ5

σ1 σ1 e σ5 σ4 σ3 σ2

σ2 σ2 σ4 e σ5 σ1 σ3

σ3 σ3 σ5 σ4 e σ2 σ1

σ4 σ4 σ2 σ3 σ1 σ5 eσ5 σ5 σ3 σ1 σ2 e σ4

2. Homomorphismes

2.1 Définition

Soient G et G′ deux groupes multiplicatifs et ϕ une application de G dans G′. On dit queϕ est un homomorphisme de groupes si

∀x, y ∈ G, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y).

On appelle isomorphisme de groupes tout homomorphisme de groupes bijectif et auto-morphisme de groupes tout isomorphisme d’un groupe sur lui-même.

2.2 Propriétés

Soient G et G′ deux groupes et soit ϕ : G −→ G′ un homomorphisme de groupes. Alors,on a

a) ϕ(eG) = eG′ ;

b) ∀x ∈ G, ϕ(x−1) = (ϕ(x))−1.

Preuve : immédiat.

2.3 Exemples

a) L’application det : GLn(R) −→ R∗ est un homomorphisme de groupes

∀A,B ∈ GLn(R), det(AB) = det(A) det(B).

b) L’application ln : R+∗ −→ R est un homomorphisme de groupes de (R+∗, .) dans (R,+)

∀a, b ∈ R+∗, ln(ab) = ln(a) + ln(b)

.

c) Si G est un groupe multiplicatif, pour tout a ∈ G, l’application :

ϕa : G −→ Gx 7−→ axa−1

est un automorphisme de groupes de G, appelé automorphisme intérieur. On dit que axa−1

est le conjugué de x par a.

Cette notion d’automorphisme intérieur n’a d’intérêt que dans un groupe non commutatif ;en effet, dans un groupe commutatif, ∀a, x ∈ G, on a axa−1 = aa−1x = x et ainsi ϕa = Id.

33

2.4 Proposition

Soient G, G′ et G′′ trois groupes et ϕ : G −→ G′ et ψ : G′ −→ G′′ deux homomorphismesde groupes. Alors la composée ψ ◦ ϕ : G −→ G′′ est un homomorphisme de groupes.

Si ϕ est un homomorphisme de groupes bijectif de G dans G′, alors ϕ−1 est un homomor-phisme de groupes de G′ dans G.

Preuve :

Si x, y ∈ G, alors, (ψ ◦ ϕ)(xy) = ψ(ϕ(xy)) = ψ(ϕ(x)ϕ(y)) = ψ(ϕ(x))ψ(ϕ(y)). Donc ψ ◦ ϕest un homomorphisme de groupes.

Si ϕ est bijectif, alors, pour tous x, y ∈ G′, ϕ(ϕ−1(xy)) = xy. Or on a également

ϕ(ϕ−1(x)ϕ−1(y)) = ϕ(ϕ−1(x))ϕ(ϕ−1(y)) = xy

puisque ϕ est un homomorphisme de groupes. Donc, ϕ(ϕ−1(xy)) = ϕ(ϕ−1(x)ϕ−1(y)), d’oùϕ−1(xy) = ϕ−1(x)ϕ−1(y) par injectivité de ϕ.


On dit que deux groupes G et G′ sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de groupesde G sur G′ ; on note G ≃ G′. La relation d’isomorphisme ≃ est une relation d’équivalencesur l’ensemble des groupes.

Preuve :

La relation ≃ est réflexive : l’application identique de G sur G est un isomorphisme degroupes.

La relation ≃ est symétrique : si G ≃ G′, il existe un isomorphisme de groupes ϕ de G surG′ ; alors ϕ−1 est un isomorphisme de groupes de G′ sur G d’après 2.4, donc G′ ≃ G.

La relation ≃ est transitive : si G ≃ G′ et si G′ ≃ G′′, il existe un isomorphisme de groupesϕ de G sur G′ et un isomorphisme de groupes ψ de G′ sur G′′ ; alors la composée ψ ◦ϕ estun isomorphisme de groupes de G sur G′′, d’après 2.4.

�


Soient G et G′ deux groupes multiplicatifs ; on peut définir une loi de composition internesur le produit G × G′ de la façon suivante :

∀(x, y), (x′, y′) ∈ G × G′, (x, y).(x′, y′) = (xx′, yy′).

Alors G × G′ muni de cette loi de composition est un groupe :

∗ l’élément neutre de G × G′ est (eG, eG′) ;

∗ l’inverse d’un élément (x, y) est (x−1, y−1) ;

∗ si G et G′ sont commutatifs, G × G′ est commutatif ;

∗ on a des isomorphismes G × {eG′} ≃ G et {eG} × G′ ≃ G′.

Preuve : sans difficultés ; l’isomorphisme entre G ×{eG′} et G n’est autre que l’applicationϕ définie par ϕ(x, eG′) = x.

34

2.7 Définition

Soient G et G′ deux groupes et ϕ : G −→ G′ un homomorphisme de groupes. On appellenoyau de ϕ et on note kerϕ le sous-ensemble de G défini par

kerϕ = {x ∈ G/ ϕ(x) = eG′}.

On appelle image de ϕ et on note Im ϕ le sous-ensemble de G′ défini par

Im ϕ = ϕ(G) = {ϕ(x)/ x ∈ G} = {y ∈ G′/ ∃ x ∈ G, y = ϕ(x)}.

On remarque que eG ∈ kerϕ et eG′ ∈ Im ϕ d’après 2.2.

Exemples

a) Pour l’homomorphisme det : GLn(R) −→ R∗, ker(det) = {A ∈ GLn(R)/ det(A) = 1} ;ce noyau est un groupe, appelé groupe spécial linéaire et noté SLn(R).

b) Pour l’homomorphisme ln : R+∗ −→ R, ker(ln) = {a ∈ R+∗/ ln(a) = 0} = {1}.

2.8 Proposition

Soient G et G′ deux groupes et ϕ : G −→ G′ un homomorphisme de groupes. Alors, on a

a) ϕ est injective ⇐⇒ kerϕ = {eG} ;

b) ϕ est surjective ⇐⇒ Im ϕ = G′.

Preuve :

a) Supposons ϕ injective et soit x ∈ kerϕ alors ϕ(x) = eG′ , or ϕ(eG) = eG′ d’après 2.2,donc x = eG par injectivité, d’où kerϕ = {eG}.Réciproquement, supposons que kerϕ = {eG} et soient x, y ∈ G tels que ϕ(x) = ϕ(y) ; alorsϕ(x)(ϕ(y))−1 = eG′ or d’après 2.2, (ϕ(y))−1 = ϕ(y−1), donc eG′ = ϕ(x)ϕ(y−1) = ϕ(xy−1).Donc xy−1 ∈ kerϕ, d’où xy−1 = eG et ainsi x = y. Donc ϕ est injective.

b) Evident par définition même d’une application surjective.

�

3. Sous-groupes

3.1 Définition

Une partie non vide H d’un groupe G est appelée sous-groupe de G si et seulement si Hmuni de la loi de composition de G est un groupe.

3.2 Proposition

Soit H un sous-groupe d’un groupe G. Alors la loi de composition de G est interne à H,l’élément neutre eH du groupe H n’est autre que l’élément neutre eG de G.

De plus, pour tout x ∈ H, l’inverse de x considéré comme élément du groupe H est lemême que l’inverse de x considéré comme élément du groupe G.

35

Preuve :

On a eHeH = eH dans le groupe H, mais aussi eHeG = eH dans le groupe G, d’oùeHeH = eHeG ; on en déduit eG = eH par régularité du groupe G.

Pour tout x ∈ H, considérons son inverse x−1 dans le groupe G et x′ son inverse dans legroupe H ; alors xx′ = eH = eG = xx−1 d’où x′ = x−1, toujours par régularité du groupeG.

�

3.3 Proposition

Soit H une partie d’un groupe multiplicatif G. Alors H est un sous-groupe de G si etseulement si les conditions suivantes sont vérifiées :

a)H 6= ∅ ;

b) ∀x, y ∈ H, xy ∈ H ;

c) ∀x ∈ H, x−1 ∈ H.

Les deux conditions b) et c) sont équivalentes à la condition b’) suivante :

b’) ∀x, y ∈ H, xy−1 ∈ H.

Preuve :

Soit H un sous-groupe de G alors, par définition, H 6= ∅. De plus, la loi est interne à H,donc la condition b) est vérifiée. Enfin, l’inverse dans le groupe H d’un élément x de Hest évidemment dans H ; or, d’après 3.2, il coïncide avec l’inverse x−1 de x dans le groupeG, donc x−1 ∈ H.

Réciproquement, soit H une partie de G vérifiant les conditions a), b) et c). Alors la loiest interne à H grâce à b) et la loi est encore associative dans H. De plus, H étant nonvide, il contient au moins un élément x, donc il contient également x−1 par c) et, parconséquent, il contient xx−1 = eG par b). Enfin, tout élément x de H possède un inversedans H d’après c). Donc H est bien un sous-groupe de G.

�

3.4 Remarque : en notation additive, les conditions b), c) et b’) s’écrivent sous la forme

b) ∀x, y ∈ H, x+ y ∈ H ;

c) ∀x ∈ H, −x ∈ H ;

b’) ∀x, y ∈ H, x− y ∈ H.

Exemples

a) Pour tout groupe G, {eG} et G sont des sous-groupes de G.

b) (Z,+) est un sous-groupe de (R,+).

c) Si n ∈ N∗, Un = {z ∈ C/ zn = 1} est un sous-groupe de (C∗, .).

d) {e, σ1} est un sous-groupe de S3 (cf. 1.5).

36

e) Tout idéal d’un anneau A est un sous-groupe de (A,+).

f) Pour tout groupe G, on appelle centre de G et on note Z(G) le sous-ensemble suivant :

Z(G) = {x ∈ G / ∀y ∈ G, xy = yx}alors Z(G) est un sous-groupe de G.

g) Si G et G′ sont des groupes, G × {eG′} et {eG} × G′ sont des sous-groupes de G × G′.

3.5 Proposition

a) L’intersection de deux sous-groupes d’un groupe G est un sous-groupe de G. Plus

généralement, si (Gi)i∈I est une famille de sous-groupes de G, alors⋂

i∈I

Gi est un sous-

groupe de G.

b) Soient G et G′ deux groupes et ϕ : G −→ G′ un homomorphisme de groupes. Alorskerϕ est un sous-groupe de G et Im ϕ est un sous-groupe de G′. Si H est un sous-groupede G, alors ϕ(H) est un sous-groupe de G′.

Preuve

a) Soit H =⋂

i∈I

Gi. Alors H est non vide puisque pour tout i ∈ I, Gi contient eG. Soient

x, y ∈ H alors, pour tout i ∈ I, x et y ∈ Gi, donc xy−1 ∈ Gi puisque Gi est un sous-groupede G, d’où xy−1 ∈ H. Ainsi H est un sous-groupe de G.

b) kerϕ est non vide puisqu’il contient au moins eG. Soient x, y ∈ kerϕ, alors

ϕ(xy−1) = ϕ(x)ϕ(y−1) = ϕ(x)(ϕ(y))−1 = eG′e−1G′ = eG′

donc xy−1 ∈ kerϕ et ainsi kerϕ est un sous-groupe de G.

Soit H un sous-groupe de G, alors H contient eG, donc ϕ(H) contient ϕ(eG) = eG′ . Soienty, y′ ∈ ϕ(H), il existe x, x′ ∈ H tels que y = ϕ(x) et y′ = ϕ(x′), alors

yy′−1 = ϕ(x)(ϕ(x′))−1 = ϕ(x)ϕ(x′−1) = ϕ(xx′−1).

Or xx′−1 ∈ H puisque H est un sous-groupe, donc yy′−1 ∈ ϕ(H) et ainsi ϕ(H) est unsous-groupe de G′. Dans le cas particulier où H = G, on a ϕ(H) = Im ϕ qui est donc unsous-groupe de G′.

�

Remarque : la réunion de deux sous-groupes n’est pas un sous-groupe en général. Parexemple, 2Z et 3Z sont des sous-groupes de (Z,+), mais 2Z∪3Z n’est pas un sous-groupede (Z,+), en effet 2 ∈ 2Z et 3 ∈ 3Z, mais 3 − 2 = 1 6∈ 2Z ∪ 3Z.


Soit G un groupe et A une partie non vide de G. Alors l’intersection de tous les sous-groupes de G contenant A est un sous-groupe de G, appelé sous-groupe engendré par Aet noté 〈A〉 ; 〈A〉 est aussi le plus petit sous-groupe de G contenant A, i.e. H = 〈A〉 si etseulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

∗ H est un sous-groupe de G contenant A ;

∗ pour tout sous-groupe K de G contenant A, H ⊂ K.

37

Preuve :

Soit (Gi)i∈I la famille des sous-groupes de G contenant A (elle est non vide puisqu’ellecontient G).

Si H = 〈A〉, alors par définition H =⋂

i∈I

Gi. Donc H est lui-même un sous-groupe de G

contenant A, et si K est un sous-groupe de G contenant A, alors K est l’un des Gi, donccontient H.

Réciproquement, si H vérifie les deux conditions, alors, il existe i0 ∈ I tel que H = Gi0 et∀i ∈ I, on a H ⊂ Gi. On en déduit

H ⊂⋂

i∈I

Gi ⊂ Gi0 = H.

d’oùH =

⋂

i∈I

Gi = 〈A〉.

�

Exemples

a) Le sous-groupe de Z engendré par {n} est nZ.

b) Le sous-groupe de Z engendré par {n,m} est nZ +mZ = dZ où d = pgcd(n,m).


Soit G un groupe multiplicatif et x un élément de G. Le sous-groupe de G engendré par lapartie {x} est appelé sous-groupe engendré par x est noté 〈x〉 (plutôt que 〈{x}〉). On a〈x〉 = {xn/ n ∈ Z} en notation multiplicative et 〈x〉 = {nx/ n ∈ Z} en notation additive.

On dit qu’un groupe G est cyclique ou monogène s’il existe x ∈ G tel que G = 〈x〉.

Preuve :

Notons H = {xn/ n ∈ Z} ; H contient x et est un sous-groupe de G. En effet, pour tousn,m ∈ Z, xn(xm)−1 = xn−m ∈ H.

Soit K un sous-groupe de G contenant x, alors, comme K est stable pour la loi de groupede G, ∀n ∈ N∗, xn ∈ K ; x−1 ∈ K également, donc (x−1)n = x−n ∈ K, et x0 = e ∈ K. DoncH ⊂ K. Ainsi H est bien le sous-groupe engendré par x d’après 3.6.

�

Exemples

a) le groupe additif Z est cyclique : Z = 〈1〉 = 〈−1〉.b) pour tout entier n ≥ 1, le groupe nZ est cyclique : nZ = 〈n〉 = 〈−n〉.

38

3.8 Définition

Soit G un groupe ; on appelle ordre de G et on note |G| le cardinal du groupe G.

Soit x ∈ G ; on appelle ordre de x et on note ord(x) l’ordre du groupe 〈x〉.

Remarque : Si G est un groupe d’ordre fini, alors tout élément de G est évidemmentd’ordre fini, mais la réciproque est fausse : l’ensemble G = {z ∈ C/ ∃ n ∈ N∗, zn = 1} estun groupe d’ordre infini dont tous les élément sont d’ordre fini.

Exemples

a) Dans tout groupe G, l’élément neutre est d’ordre 1 (et c’est le seul élément d’ordre 1de G).

b) Dans le groupe S3, σ1, σ2, σ3 sont d’ordre 2, σ4 et σ5 sont d’ordre 3.

4. Relations d’équivalence dans les groupes


Soit G un groupe multiplicatif et soit H un sous-groupe de G. On définit une relation Rg

sur G de la façon suivante :

x Rg y ⇐⇒ x−1y ∈ H.

Rg est une relation d’équivalence sur G ; les classes d’équivalence de Rg sont les ensemblesxH où x ∈ G, on les appelle classes à gauche modulo H. L’ensemble-quotient est noté(G/H)g. On a bien sûr les équivalences :

x Rg y ⇐⇒ y ∈ xH ⇐⇒ x ∈ yH ⇐⇒ xH = yH.

De même, on définit une relation Rd sur G de la façon suivante :

x Rd y ⇐⇒ yx−1 ∈ H.

Rd est une relation d’équivalence sur G ; les classes d’équivalence de Rd sont les ensemblesHx où x ∈ G, on les appelle classes à droite modulo H. L’ensemble-quotient est noté(G/H)d.

Preuve :

Rg est réflexive : en effet ∀x ∈ G, x−1x = e ∈ H donc x Rg x.

Rg est symétrique : si x Rg y, alors x−1y ∈ H donc (x−1y)−1 ∈ H, or (x−1y)−1 = y−1x,ainsi y−1x ∈ H, i.e. y Rg x.

Rg est transitive : si x Rg y et si y Rg z, alors x−1y ∈ H et y−1z ∈ H donc le produitx−1yy−1z = x−1z ∈ H, d’où x Rg z.

Donc Rg est une relation d’équivalence sur G. De même Rd est une relation d’équivalencesur G.

�

39

Remarques :

Si le groupe G est commutatif, les relations Rg et Rd coïncident, on note alors simplementR. En notation additive, on a donc

x R y ⇐⇒ x− y ∈ H.

Dans le cas où G = Z, comme tout sous-groupe est de la forme nZ, on retrouve la définitiondes relations de congruence modulo n.

4.2 Théorème de Lagrange et définition

Soit G un groupe fini et soit H un sous-groupe de G. Alors les ensembles-quotients (G/H)g

et (G/H)d sont finis et ont même cardinal, appelé indice de H dans G et noté [G : H]. Deplus, on a

[G : H] =|G||H| .

On en déduit que l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe.

Preuve :

Il est clair que (G/H)g et (G/H)d sont finis puisque G est fini. Considérons l’application :

f : (G/H)g −→ (G/H)d

xH 7−→ Hx−1

Montrons que f est injective ; soient x et y dans G tels que f(xH) = f(yH), alorsHx−1 = Hy−1. Or x−1 ∈ Hx−1, donc x−1 ∈ Hy−1, i.e. il existe h ∈ H tel que x−1 = hy−1,donc x = (hy−1)−1 = yh−1 ∈ yH, d’où xH = yH : f est injective.

Montrons que f est surjective ; tout élément de (G/H)d est de la forme Hy où y ∈ G, alorsy−1H est un antécédent de Hy par f . Donc f est surjective.

Donc f est une bijection et ainsi (G/H)g et (G/H)d ont même cardinal, noté [G : H].

Montrons que

[G : H] =|G||H| .

Posons [G : H] = r et considérons un système de représentants (x1, x2, ..., xr) de (G/H)g ;les classes d’équivalence x1H, x2H,...,xrH forment alors une partition de G. Donc

|G| = Card(x1H) + Card(x2H) + · · ·+ Card(xrH).

Or chaque classe xiH a même cardinal que H ; en effet, on voit facilement que l’applica-tion :

fi : H −→ xiHh 7−→ xih

est une bijection. On en déduit que |G| = r|H| = [G : H]|H|.

�

40

Remarque La réciproque du théorème de Lagrange est fausse : si G est un groupe finid’ordre n et si k divise n, il n’existe pas toujours de sous-groupe ou d’élément de G d’ordrek.

Exemples

Considérons les éléments de S4 suivants :

e =

(1 2 3 41 2 3 4

), σ1 =

(1 2 3 43 4 1 2

), σ2 =

(1 2 3 44 3 2 1

), σ3 =

(1 2 3 42 1 3 4

),

σ4 =

(1 2 3 41 3 4 2

), σ5 =

(1 2 3 41 4 2 3

), σ6 =

(1 2 3 43 2 4 1

), σ7 =

(1 2 3 44 2 1 3

),

σ8 =

(1 2 3 42 4 3 1

), σ9 =

(1 2 3 44 1 3 2

), σ10 =

(1 2 3 42 3 1 4

), σ11 =

(1 2 3 43 1 2 4

).

et notons A4 l’ensemble de ces éléments. Alors A4 est un sous-groupe de S4 d’ordre 12qui ne possède aucun élément d’ordre 6 ; en effet, e est d’ordre 1, σ1, σ2, σ3 sont d’ordre2 et tous les autres éléments sont d’ordre 3. On montre que A4 ne possède pas non plusde sous-groupe d’ordre 6.

5. Sous-groupes distingués - Groupes-quotients

On a défini au § 4 pour tout sous-groupe H d’un groupe G deux ensembles-quotients(G/H)g et (G/H)d : on va voir à quelle condition ces deux ensembles-quotients coïncidentet on va alors munir ce quotient d’une loi de groupe.


Soit G un groupe multiplicatif et soit H un sous-groupe de G ; on dit que H est unsous-groupe distingué de G si et seulement si il vérifie l’une des 5 conditions équivalentessuivantes :

a) (G/H)g = (G/H)d ;

b) ∀x ∈ G, xH = Hx ;

c) ∀x ∈ G, xH ⊂ Hx ;

d) ∀x ∈ G, xHx−1 ⊂ H ;

e) ∀x ∈ G, xHx−1 = H.

On note alors H ⊳ G.

Preuve :

Seule l’implication d) =⇒ e) n’est pas immédiate : supposons donc d) vérifié ; alors,pour tout x ∈ G, on a l’inclusion xHx−1 ⊂ H, mais aussi, puisque x−1 ∈ G, l’inclusionx−1H(x−1)−1 ⊂ H, i.e x−1Hx ⊂ H, d’où H ⊂ xHx−1 et ainsi l’égalité xHx−1 = H.

�

5.2 Exemples

a) Soit G un groupe, alors {eG} est un sous-groupe distingué de G.

b) Si G un groupe commutatif, alors tout sous-groupe de G est distingué dans G.

41

c) Soit ϕ : G −→ G′ un homomorphisme de groupes, alors kerϕ est un sous-groupedistingué de G.

d) Le centre d’un groupe G est un sous-groupe distingué de G.

Preuve :

c) Soit ϕ : G −→ G′ un homomorphisme de groupes ; considérons x ∈ G et h ∈ kerϕ etmontrons que xhx−1 ∈ kerϕ : ϕ(xhx−1) = ϕ(x)ϕ(h)ϕ(x−1) = ϕ(x)eG′(ϕ(x))−1 = eG′ doncxhx−1 ∈ kerϕ.

d) Considérons x ∈ G et h ∈ Z(G) et montrons que xhx−1 ∈ Z(G) ; ∀y ∈ G, on a :

(xhx−1)y = x(hx−1)y = x(x−1h)y = (xx−1)hy = hy

puisque h commute avec tout élément de G. De même on a :

y(xhx−1) = yx(hx−1) = yx(x−1h) = y(xx−1)h = yh = hy.

Donc xhx−1 commute avec tout élément de G : xhx−1 ∈ Z(G).

�

5.3 Théorème

Soit G un groupe multiplicatif et soit H un sous-groupe distingué de G, alors les relationd’équivalence Rg et Rd coïncident (on note alors simplement R) et sont compatibles avecla loi de groupe de G ; par conséquent l’ensemble quotient (G/H)g = (G/H)d que l’on notedans ce cas G/H, est muni d’une loi de groupe définie de la manière suivante :

Soient α et β ∈ G/H ; il existe x et y ∈ G tels que α = x et β = y. On pose alors

αβ = x y = xy.

On dit que G/H est le groupe-quotient de G par H. De plus la surjection canonique de Gsur G/H :

p : G/ −→ G/Hx 7−→ x

est un homomorphisme de groupes.

Enfin, si G est commutatif ,alors G/H l’est aussi.

Preuve :

Soient x, x′, y, y′ ∈ G tels que x R x′ et yRy′ i.e x−1x′ ∈ H et y−1y′ ∈ H, alors ilexiste h ∈ H tel que x−1x′ = h et il existe k ∈ H tel que y−1y′ = k ou encore y′ = yk ;montrons que xy R x′y′ : (xy)−1x′y′ = (y−1x−1)x′y′ = y−1(x−1x′)y = y−1hy′ = y−1hyk =(y−1hy)k ∈ H car y−1hy ∈ H puisque H ⊳ G. Donc xy R x′y′.

�

42

5.4 Théorème

Soient G et G′ deux groupes multiplicatifs et soit ϕ un homomorphisme de groupes de Gdans G′. Alors ϕ induit un isomorphisme de groupes

ϕ : G/ kerϕ −→ Im ϕx 7−→ ϕ(x)

Preuve : L’application ϕ étant un homomorphisme de groupes, kerϕ est un sous-groupedistingué de G et G/ kerϕ est un groupe.

L’application ϕ est bien définie sur le groupe G/ kerϕ en effet, si x = y il existe h ∈ kerϕtel que y = xh, d’où

ϕ(y) = ϕ(xh) = ϕ(x)ϕ(h) = ϕ(x)eG′ = ϕ(x)

et ainsi ϕ(x) ne dépend pas du représentant choisi pour la classe x.

D’autre part, ϕ est un homomorphisme de groupes ; pour tous x, y ∈ G, on a en effet

ϕ(xy) = ϕ(xy) = ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(x)ϕ(y).

Il est clair que ϕ est surjective puisque son ensemble d’arrivée est Im ϕ. Montrons que ϕest injective ; soit x ∈ kerϕ, on a

eG = ϕ(x) = ϕ(x)

donc x ∈ kerϕ. On en déduit que x = eG et ainsi ϕ est injective.

�

5.5 Proposition

Soit H un sous-groupe distingué d’un groupe G ; alors les sous-groupes de G/H sontexactement les groupes-quotients K/H où K est un sous-groupe de G contenant H.

Preuve :

Si K est un sous-groupe de G contenant H, il est clair que H est distingué dans K puisqu’ill’est dans G et que K/H est un sous-groupe de G/H.

Réciproquement, si A est un sous-groupe de G/H et si p désigne la surjection canoniquede G sur G/H :

p : G −→ G/Hx 7−→ x

alors, en posant K = p−1(A), on voit facilement que K est un sous-groupe de G contenantH et que A = K/H.

�

43

6. Groupes-quotients de (Z,+)

6.1 Proposition

Soit H une partie de Z. Alors, on a

H est un sous-groupe de Z ⇐⇒ ∃ k ∈ Z, H = kZ.

Preuve : cf. cours de 2ème année.

6.2 Proposition

a) Pour tout n ∈ N∗, le groupe-quotient (Z/nZ,+) est cyclique d’ordre n.

b) Soit n ∈ N∗ et a ∈ Z. Alors, on a

a engendre Z/nZ ⇐⇒ pgcd(a, n) = 1.

Preuve :

a) On a pour tout m ∈ Z, m = m1 dans Z/nZ donc Z/nZ = 〈1〉 est cyclique.

b) Supposons Z/nZ = 〈a〉. Alors, en particulier, 1 s’écrit 1 = ka = ka pour un certainentier k, donc il existe m ∈ Z tel que 1 = ka +mn ; on en déduit alors que pgcd(a, n) =1 d’après le théorème de Bezout. Réciproquement, si pgcd(a, n) = 1, alors d’après lethéorème de Bezout, il existe k,m ∈ Z tels que 1 = ka+mn, d’où 1 = ka+0 = ka. Alors,pour tout l ∈ Z, l = l1 = lka, donc Z/nZ = 〈a〉.

�

6.3 Théorème

Le théorème des restes chinois vu en 2ème année peut s’exprimer de la façon suivante :soient n,m ∈ N∗, alors l’application

ϕ : Z/nmZ −→ Z/nZ × Z/mZk (mod nm) 7−→ ( k (mod n), k (mod m))

est bien définie et est un homomorphisme de groupes. De plus, on a :

pgcd(n,m) = 1 ⇐⇒ ϕ est un isomorphisme .

Preuve :

L’application ϕ est bien définie, en effet, si k ≡ l (mod nm) alors nm divise k − l, doncn et m divisent k − l et ainsi k ≡ l (mod n) et k ≡ l (mod m).

Montrons que ϕ est un homomorphisme de groupes :

Si k ∈ Z, notons k la classe de k (mod n) , k la classe de k (mod m) et k la classe de k(mod nm).Pour tous k, l ∈ Z, on a alors

ϕ(k + l) = (k + l, k + l) = (k + l, k + l) = (k, k) + (l, l) = ϕ(k) + ϕ(l).

44

Donc ϕ est un homomorphisme de groupes.

Dire que ϕ est bijectif revient à dire que pour tout (a, b) ∈ Z/nZ × Z/mZ, il existe

un unique élément k ∈ Z/nmZ tel que ϕ(k) = (a, b), i.e. le système de congruences{k ≡ a (mod n)k ≡ b (mod m)

possède une unique solution dans Z modulo nm. Or le théorème des

restes chinois affirme que c’est le cas si et seulement si n et m sont premiers entre eux.

�

On a vu que Z et Z/nZ sont des groupes cycliques ; en fait, à isomorphisme près, ce sontles seuls :

6.4 Théorème

1) Soit G un groupe cyclique. Alors

a) Si G est infini, G est isomorphe à Z.

b) Si G est d’ordre fini n, G est isomorphe à Z/nZ.

Preuve :

1) G étant un groupe cyclique, il existe x ∈ G tel que G = 〈x〉 = {xm/ m ∈ Z} en notationmultiplicative.

Considérons l’application :ϕ : Z −→ G

m 7−→ xm

Alors, ϕ est un homomorphisme de groupes, en effet :

∀k,m ∈ Z, ϕ(k +m) = xk+m = xkxm = ϕ(k)ϕ(m).

Donc kerϕ est un sous-groupe de Z et ainsi, il existe n ∈ N tel que kerϕ = nZ. Deplus, ϕ est clairement surjective, puisque G = {xm/ m ∈ Z}. Donc, d’après 5.4, on al’isomorphisme

Z/nZ ≃ G.

Si G est fini alors il est donc d’ordre n.

Si G est infini, alors Z/nZ aussi donc nécessairement, n = 0 donc kerϕ = {0} et ainsi ϕest un isomorphisme de Z sur G.

�

6.5 Proposition

Soit G un groupe multiplicatif d’ordre fini et soit x ∈ G. Alors l’ordre de x est le pluspetit des entiers k ≥ 1 vérifiant xk = e et on a

〈x〉 = {e, x, x2, ..., xord(x)−1}.

De plus, pour tout m ∈ Z, on a : xm = e⇐⇒ ord(x)|m.

45

Preuve :

Soit x ∈ G ; comme 〈x〉 est un sous-groupe du groupe fini G, il est lui-même fini, d’ordren ≥ 1. Considérons l’homomorphisme de groupes

ϕ : Z −→ Gm 7−→ xm

alors, il est clair que Imϕ = 〈x〉, de plus kerϕ est un sous-groupe de Z donc il existe d ∈ Ntel que kerϕ = dZ. Donc, d’après 5.4, on a l’isomorphisme

Z/dZ ≃ 〈x〉

on en déduit aussitôt que d = n ; par conséquent, on a pour tout entier k

xk = e⇐⇒ ϕ(k) = e⇐⇒ k ∈ kerϕ⇐⇒ k ∈ nZ ⇐⇒ n|k

et ainsi ord(x) est bien le plus petit des entiers k ≥ 1 vérifiant xk = e.

Montrons maintenant que 〈x〉 = {e, x, x2, ..., xord(x)−1} : notons E = {e, x, x2, ..., xord(x)−1},il est clair que E ⊂ 〈x〉 ; réciproquement, considérons un élément y de 〈x〉 : il existe m ∈ Ztel que y = xm. Effectuons la division euclidienne dem par n :m = nq+r où 0 ≤ r ≤ n−1 ;alors y = xm = (xn)qxr = eqxr = xr ∈ E d’où 〈x〉 ⊂ E et ainsi 〈x〉 = E.

�

6.6 Corollaire

Soit G un groupe fini d’ordre n. Comme pour tout x ∈ G, l’ordre de x divise l’ordre de G,on a ∀x ∈ G, xn = e.

Exemple Dans le groupe fini Un, e2iπn est d’ordre n.

6.7 Notation additive

Soit G un groupe additif et x ∈ G, alors

〈x〉 = {nx/ n ∈ Z}.

Si G est fini, alors ord(x) est le plus petit des entiers k ≥ 1 tels que kx = 0G et

〈x〉 = {0G, x, 2x, ..., (ord(x) − 1)x}.De plus, pour tout m ∈ Z on a : mx = 0G ⇐⇒ ord(x)|m.

6.8 Théorème

Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.

Preuve :

Soit H un sous-groupe d’un groupe cyclique G.

Si G est infini, G est isomorphe à Z ; comme les sous-groupes de Z sont tous cycliquesd’après 3.4 alors, par isomorphisme, les sous-groupes de G sont tous cycliques également.

Si G est d’ordre fini n, alors G = 〈x〉 = {e, x, x2, ..., xn−1}. Soit H un sous-groupe de G :

46

Si H = {e}, alors H est engendré par e donc cyclique.

Si H 6= {e}, l’ensemble E ′ = {k ≥ 1/ xk ∈ H} est non vide, puisque H est un sous-groupede {e, x, x2, ..., xn−1}, non réduit à {e}. Donc E ′ possède un plus petit élément d ≥ 1 ;montrons que H = 〈xd〉. Il est clair que 〈xd〉 ⊂ H, puisque xd ∈ H, réciproquement, soita ∈ H alors a fortiori a ∈ G, donc il existe k ∈ {0, 1, ..., n− 1} tel que a = xk. Effectuonsla division euclidienne de k par d : k = qd + r où 0 ≤ r ≤ d − 1, alors a = xk = (xd)qxr

donc xr = a(xd)−q d’où xr ∈ H, puisque xd ∈ H et a ∈ H. Si r ≥ 1 alors r ∈ E ′ doncr ≥ d, ce qui est absurde, donc r = 0 et ainsi a = (xd)q ∈ 〈xd〉. Donc H = 〈xd〉 : H estcyclique.

�

6.9 Théorème

Le produit direct de deux groupes cycliques finis H et K est cyclique si et seulement siles ordres de H et K sont premiers entre eux.

Preuve :

Soient H et K deux groupes cycliques finis d’ordre respectivement n et m. Alors d’après6.4 on a H ≃ Z/nZ et K ≃ Z/mZ. Donc, si n et m sont premiers entre eux, d’après 6.3on a H×K ≃ Z/nmZ donc H×K est cyclique.

Réciproquement, supposons que H ×K est cyclique : alors il existe un élément (h, k) deH×K qui engendre H×K, i.e qui est d’ordre nm. Démontrons le lemme suivant :

Lemme : Soient H et K deux groupes finis et soient (h, k) ∈ H × K ; alors l’ordre de(h, k) est le ppcm des ordres de h et k.

En effet, si on note ord(h) = r, ord(k) = s, ord(h, k) = t et ppcm(r, s) = u, alors(eH, eK) = (h, k)t = (ht, kt) d’où ht = eH et kt = eK donc r et s divisent t et ainsiu = ppcm(r, s) divise t. D’autre part, r divise u donc hu = eH et s divise u donc ku = eK,d’où (h, k)u = (eH, eK) et ainsi t divise u, donc t = u.

Appliquons le lemme à (h, k) : notons ord(h) = r, ord(k) = s, alors on a

nm = ord(h, k) = ppcm(r, s)

or h ∈ H qui est d’ordre n donc r divise n i.e il existe n′ ∈ N tel que n = rn′, de mêmes divise m donc il existe m′ ∈ N tel que m = sm′, ainsi on a n′m′rs = ppcm(r, s) ;or ppcm(r, s) divise rs, i.e il existe u ∈ N tel que rs = u × ppcm(r, s), donc n′m′u ×ppcm(r, s) = ppcm(r, s) d’où n′m′u = 1 et ainsi n′ = m′ = u = 1. On en déduit que n = ret m = s donc nm = ppcm(n,m), d’où pgcd(n,m) = 1.

�

7. Groupes isomorphes

L’un des problèmes centraux de la théorie des groupes consiste à pouvoir dire si deuxgroupes donnés sont isomorphes ou pas ; s’ils le sont, il suffit pour le prouver d’exhiberun isomorphisme entre les deux, s’ils ne le sont pas, il suffit de montrer qu’une propriétéque l’on sait commune à deux groupes isomorphes est vérifiée par l’un et pas par l’autre.

47

D’où l’utilité de faire une liste (non exhaustive !) de propriétés communes à deux groupesisomorphes :

7.1 Théorème

Soient G et G′ deux groupes isomorphes ; notons ϕ un isomorphisme de G sur G′. Alors,on a :

a) Si G est commutatif, G′ aussi ;

b) Si G est infini, alors G′ aussi ;

c) Si G est fini, alors G′ aussi et |G| = |G′| ;d) ∀x ∈ G, ord(x) = ord(ϕ(x)) (éventuellement infini). Pour un entier k donné, G et G′

ont le même nombre d’éléments d’ordre k (éventuellement aucun !) ;

e) Si G est cyclique, G′ aussi ;

f) Si G possède un sous-groupe H d’ordre k, alors G′ aussi, à savoir ϕ(H). Pour un entierk donné, G et G′ ont le même nombre de sous-groupes d’ordre k (éventuellement aucun !).

Preuve :

a) : immédiat.

b) et c) : proviennent du fait que ϕ est bijectif.

d) et e) : en notation multiplicative 〈x〉 = {xn/ n ∈ Z}, alors, on a

ϕ(〈x〉) = {ϕ(xn)/ n ∈ Z} = {(ϕ(x))n/ n ∈ Z} = 〈ϕ(x)〉.

D’où le résultat.

f) Si H est un sous-groupe de G, alors ϕ(H) est un sous groupe de G′ d’après 3.5, et demême cardinal que H puisque ϕ est bijectif.

�

7.2 Exemples

a) Z/4Z et Z/6Z ne sont pas isomorphes car ils sont d’ordres différents.

b) Z/6Z et S3 ne sont pas isomorphes : ils ont certes le même ordre, mais l’un est com-mutatif et l’autre ne l’est pas.

c) Z/4Z et Z/2Z × Z/2Z ne sont pas isomorphes : ils ont le même ordre, sont tousdeux commutatifs, mais Z/4Z possède un élément d’ordre 4, alors que Z/2Z×Z/2Z n’enpossède pas. En effet :

Z/2Z × Z/2Z = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.

et (0, 0) est d’ordre 1 , (0, 1), (1, 0), (1, 1) sont d’ordre 2.

Z/2Z × Z/2Z est appelé groupe de Klein.

8 Groupe symétrique

On a défini au § I le groupe symétrique Sn comme le groupe des bijections de l’ensembleEn = {1, 2, · · · , n} sur lui même. On va étudier plus en détail sa structure.

48


Soit σ ∈ Sn ; on définit une relation Rσ sur En de la façon suivante :

k Rσ m⇐⇒ ∃ p ∈ Z / m = σp(k)

La relation Rσ est une relation d’équivalence. La classe d’équivalence d’un élément k deEn est appelée orbite de k suivant σ et notée Oσ(k)

Oσ(k) = {σp(k) / p ∈ Z}

Les orbites suivant σ forment alors une partition de En.


8.2 Définition

Soit σ ∈ Sn − {Id} ; on appelle support de σ et on note supp(σ) le sous-ensemble de En

défini par :

supp(σ) = {i / 1 ≤ i ≤ n et σ(i) 6= i}.

8.3 Définition

Soit d un entier ≤ n ; on dit qu’un élément σ ∈ Sn est un d-cycle si et seulement si uneseule de ses orbites, dont le cardinal est d, n’est pas réduite à un élément. Cette orbiteest alors le support du cycle σ.

Autrement dit, σ est un d-cycle si et seulement si il existe d éléments a1, a2, · · · , ad distinctsdeux à deux de En tels que

{σ(ai) = ai+1 pour 1 ≤ i ≤ d− 1 et σ(ad) = a1

σ(j) = j pour j ∈ En − {a1, a2, · · · , ad}

On a alors supp(σ) = {a1, a2, · · · , ad} et on note σ = (a1 a2 · · · ad).

Un 2-cycle est appelé une transposition : il échange deux éléments de En et laisse fixestous les autres.

On dit que deux cycles sont disjoints si leurs supports respectifs sont disjoints.

8.4 Proposition

Soit σ et τ des cycles de Sn. Alors on a :

a) Si σ est un d-cycle, ord(σ) = d ;

b) supp(σ) = supp(σ−1) et σ(supp(σ)) = supp(σ) ;

c) supp(σ ◦ τ) ⊂ supp(σ) ∪ supp(τ) ;

d) Si σ et τ sont disjoints alors σ ◦ τ = τ ◦ σ et supp(σ ◦ τ) = supp(σ) ∪ supp(τ).

Preuve :

a) Soit σ = (a1 a2 · · · ad) un d-cycle ; il est facile de voir que σk(a1) = a1+k pour1 ≤ k ≤ d− 1, d’où σd−1(a2) = σd−1(σ(a1)) = σ(σd−1(a1)) = σ(ad) = a1, ....., σd−1(ad) =σd−1(σ(ad−1)) = σ(σd−1(ad−1)) = σ(ad−2) = ad−1 ; on en déduit, d’une part que σk 6= Id

49

si 1 ≤ k ≤ d − 1, et d’autre part que σd(a1) = σ(ad) = a1,....., σd(ad) = σ(ad−1) = ad,

d’où σd = Id. Donc ord(σ) = d.

b) Soit j ∈ En, alors on a

j 6∈ supp(σ) ⇐⇒ σ(j) = j ⇐⇒ σ−1(j) = j ⇐⇒ j 6∈ supp(σ−1).

Donc supp(σ) = supp(σ−1). D’autre part il est clair que σ(supp(σ)) = supp(σ).

c) Soit j ∈ En tel que j 6∈ supp(σ) et j 6∈ supp(τ) ; alors σ(j) = j et τ(j) = j, d’oùσ◦τ(j) = j et ainsi j 6∈ supp(σ◦τ). Donc, par contraposée, supp(σ◦τ) ⊂ supp(σ)∪supp(τ).d) Supposons σ et τ disjoints et soit j ∈ En ; comme supp(σ) et supp(τ) sont disjoints, iln’y a que 3 cas de figure pour j :

∗ 1er cas : j 6∈ supp(σ) et j 6∈ supp(τ) ; alors σ(j) = j et τ(j) = j donc σ ◦ τ(j) = j =τ ◦ σ(j).

∗ 2ème cas : j 6∈ supp(σ) et j ∈ supp(τ) ; alors σ(j) = j donc τ ◦ σ(j) = τ(j), d’autrepart, τ(j) ∈ supp(τ) d’après b) et supp(σ) et supp(τ) sont disjoints donc τ(j) 6∈ supp(σ)d’où σ ◦ τ(j) = τ(j) et ainsi σ ◦ τ(j) = τ ◦ σ(j).

∗ 3ème cas : j ∈ supp(σ) et j 6∈ supp(τ) ; on se ramène au 2ème cas en échangeant lesrôles de σ et τ .

Donc ∀j ∈ En, σ ◦ τ(j) = τ ◦ σ(j) : σ ◦ τ = τ ◦ σ.

Montrons maintenant que supp(σ ◦ τ) = supp(σ) ∪ supp(τ) ; d’après c) on a l’inclusionsupp(σ ◦ τ) ⊂ supp(σ) ∪ supp(τ), il reste à montrer l’inclusion inverse :

soit j ∈ En tel que j 6∈ supp(σ ◦ τ), alors σ ◦ τ(j) = τ ◦σ(j) = j. Supposons que σ(j) 6= j,alors τ(j) 6= j, en effet, si τ(j) = j, alors σ ◦ τ(j) = σ(j) 6= j ce qui est absurde, doncj ∈ supp(σ) ∩ supp(τ) ce qui est impossible puisque supp(σ) et supp(τ) sont disjoints.Donc σ(j) = j et par conséquent, j = τ ◦ σ(j) = τ(j), d’où j 6∈ supp(σ) et j 6∈ supp(τ).On en déduit aussitôt que supp(σ) ∪ supp(τ) ⊂ supp(σ ◦ τ).

�

8.5 Proposition

Soit (σi)1≤i≤p une famille de cycles deux à deux disjoints et soit σ = σ1 ◦ · · · ◦ σp ; alors,on a :

a) σ coïncide avec σj sur supp(σj) pour tout 1 ≤ j ≤ p, et avec Id sur En−⋃

1≤i≤p

supp(σi).

b) Les supports des σi sont les orbites suivant σ non réduites à un élément.

Preuve :

a) Soit k ∈ supp(σj), alors on a pour tout i 6= j, k 6∈ supp(σi) puisque les supports sont

deux à deux disjoints d’où σi(k) = k donc∏

i6=j

σi(k) = k d’où, en écrivant σ = σj

∏

i6=j

σi,

on obtient σ(k) = σj(k).

Soit maintenant k ∈ En −⋃

1≤i≤p

supp(σi), alors pour tout 1 ≤ i ≤ p, σi(k) = k d’où

σ(k) = k.

50

b) Soit k ∈ supp(σi), alors on peut écrire

supp(σi) = {σmi (k) / m ∈ Z} = Oσi

(k)

car supp(σi) est la seule orbite non réduite à un élément. Or d’après a) σ(k) = σi(k)puisque k ∈ supp(σi), donc pour tout m ∈ Z, on a σm(k) = σm

i (k) car σi(k) ∈ supp(σi)et par conséquent

supp(σi) = {σm(k) / m ∈ Z} = Oσ(k)

et ainsi supp(σi) est une orbite suivant σ. De plus, d’après a), on a

⋃

1≤i≤p

supp(σi) = {k ∈ En / σ(k) 6= k}

donc toute orbite suivant σ non réduite à un élément est l’un des supp(σi).

�


Toute permutation σ ∈ Sn distincte de Id s’écrit de manière unique, à l’ordre près, commeproduit d’une famille de cycles disjoints deux à deux :

σ = σ1 ◦ · · · ◦ σp

où σi est un di-cycle avec d1 ≤ d2 ≤ · · · ≤ dp : le p-uplet (d1, · · · , dp) est appelé le typede σ.

De plus ord(σ) = ppcm(ord(σ1), · · · , ord(σp)).

Preuve : Soit σ ∈ Sn distincte de Id, alors les orbites suivant σ ne sont pas toutes réduitesà un seul élément ; considérons donc la famille (Ti)1≤i≤p des orbites suivant σ non réduitesà un seul élément et pour tout 1 ≤ i ≤ p notons σi la permutation qui coïncide avec σsur Ti et avec Id sur En − Ti : il est clair que σi est un cycle de support Ti.

Les orbites d’une permutation formant une partition de En, il est clair que les ensemblesTi sont disjoints deux à deux, donc les cycles σi commutent entre eux deux à deux. Posonsalors

σ′ = σ1 ◦ · · · ◦ σp.

Montrons que σ = σ′ : si k ∈ En−⋃

1≤i≤p

supp(σi), alors σ(k) = k = σ′(k) et si k ∈ supp(σj),

alors en écrivant σ′ = σj

∏

i6=j

σi, on a σ′(k) = σj(k) = σ(k). Donc σ = σ′.

Montrons maintenant l’unicité, à l’ordre près, de la décomposition : si σ = τ1 ◦ · · · ◦ τq oùτ1, · · · , τq sont des cycles disjoints deux à deux , alors d’après 8.5, les supports des τj sontexactement les orbites suivant σ non réduites à un élément, donc ce sont les ensembles Ti,par conséquent p = q et, quitte à réindexer les τi, on a supp(τi) = Ti pour tout 1 ≤ i ≤ p.On en déduit, toujours d’après 8.5, que pour tout 1 ≤ i ≤ p, τi coïncide avec σ sur Ti et

avec Id sur En −⋃

1≤i≤p

supp(σi). Or σi coïncide avec σ sur Ti et avec Id sur En −supp(σi),

de plus, comme les supports des cycles σj sont disjoints deux à deux, σi coïncide avec Idsur Tj pour tout j 6= i ; donc τi = σi pour tout 1 ≤ i ≤ p.

51

Notons m = ppcm(ord(σ1), · · · , ord(σp)) et n = ord(σ) ; comme σ1, · · · , σp commutententre eux deux à deux, on a σm = σm

1 ◦ · · · ◦ σmp = Id ◦ · · · ◦ Id = Id, d’où n divise m.

Réciproquement, on a Id = σn = σn1 ◦ · · · ◦ σn

p donc σn1 = (σ−1

2 )n ◦ · · · ◦ (σ−1p )n, donc

supp(σn1 ) = supp((σ−1

2 )n ◦ · · · ◦ (σ−1p )n) ⊂ supp(σ2) ∪ · · · ∪ supp(σp) d’après 8.4. Or, si

σn1 6= Id, son support est non vide et contenu dans supp(σ1) ; mais comme les cyclesσ1, · · · , σp sont disjoints deux à deux, supp(σ1) et supp(σ2)∪· · ·∪supp(σp) sont disjoints,ce qui est absurde. Donc σn

1 = Id ; de la même manière, on montre que σn2 = · · · = σn

p = Idet ainsi n est multiple des ordres des σi donc de leur ppcm m. On en déduit que n = m.

�

Exemple Considérons la permutation

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 109 10 1 8 7 4 5 2 3 6

)

et déterminons ses orbites :

O(1) = {1, 9, 3}, O(2) = {2, 10, 6, 4, 8} et O(5) = {5, 7}

Alors, en posant σ1 = (1 9 3), σ2 = (2 10 6 4 8) et σ3 = (5 7), on a aussitôt σ = σ1 ◦σ2◦σ3

et ainsi ord(σ) = ppcm(3, 5, 2) = 30.

8.7 Application

On peut facilement calculer la puissance nieme d’une permutation à partir de sa décompo-sition en cycles : si σ = σ1 ◦ · · · ◦σp où les σi sont des di-cycles deux à deux disjoints donccommutant entre eux deux à deux , alors σm = σm

1 ◦ · · · ◦ σmp et, puisque σi est d’ordre di,

σmi = σri

i où ri est le reste de la division euclidienne de m par di :

Exemple : Calcul de σ3071 si σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 109 10 1 8 7 4 5 2 3 6

)

alors σ = σ1 ◦ σ2 ◦ σ3 où σ1 = (1 9 3), σ2 = (2 10 6 4 8) et σ3 = (5 7), d’où

σ3071 = σ30711 ◦ σ3071

2 ◦ σ30713 et σ3071

1 = σ21 = (3 9 1) , σ3071

2 = σ2 = (2 10 6 4 8) et σ30713 = σ3 = (5 7)

donc

σ3071 =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 103 10 9 8 7 4 5 2 1 6

)

8.8 Théorème

a) Si n ≥ 2, toute permutation σ ∈ Sn s’écrit comme produit de transpositions (ladécomposition n’est pas unique).

b) Si n ≥ 2, toute permutation σ ∈ Sn s’écrit comme produit de transpositions du type(i i+ 1).

Preuve :

a) Il suffit de constater que tout cycle peut s’écrire comme produit de transpositions grâceà l’identité

(a1 a2 a3 · · · ad−1 ad) = (a1 a2) ◦ (a2 a3) · · · (ad−1 ad)

52

et d’utiliser le théorème 8.6.

b) Avec a) il suffit de montrer que toute transposition (a b) où a < b peut s’écrire commeproduit de transpositions du type (i i+ 1) : si b = a + 1, c’est clair et si b > a + 1 , onfait une récurrence sur b− a à l’aide de l’identité (a b) = (b− 1 b)(a b− 1)(b− 1 b).

�

8.9 Théorème

Deux permutations σ et σ′ de Sn sont conjuguées (i.e il existe τ ∈ Sn tel que σ′ = τ◦σ◦τ−1)si et seulement si σ et σ′ ont le même type.

Preuve :

Si σ et σ′ ∈ Sn sont conjuguées, alors il existe τ ∈ Sn tel que σ′ = τ ◦ σ ◦ τ−1 ; écrivonsσ = σ1 ◦ · · · ◦ σp où les σi sont des di-cycles deux à deux disjoints. Il est facile de vérifierque le conjugué d’un di-cycle est un di-cycle, plus précisément si σi = (a1 a2 · · · adi

) ona :

τ ◦ σi ◦ τ−1 = (τ(a1) τ(a2) · · · τ(adi)) = σ′

i

alors

σ′ = τ ◦ σ ◦ τ−1 = (τ ◦ σ1 ◦ τ−1) ◦ (τ ◦ σ2 ◦ τ−1) ◦ · · · ◦ (τ ◦ σd ◦ τ−1) = σ′1 ◦ · · · ◦ σ′

p

donc σ′ a même type que σ.

Réciproquement, si σ et σ′ ont le même type alors on a les décompositions en produit decycles disjoints σ = σ1 ◦ · · · ◦σp où σi = (ai

1 ai2 · · · ai

di) est un di-cycle et σ′ = σ′

1 ◦ · · · ◦ σ′p

où σ′i = (a′1

i a′2i · · · a′di

i) est aussi un di-cycle. Comme les cycles sont disjoints deux àdeux, on peut définir une permutation τ en posant pour tout 1 ≤ i ≤ p et pour tout1 ≤ j ≤ di, τ(a

ij) = a′j

i et τ(a) = a si a n’est dans aucun support des σi, alors on a pourtout 1 ≤ i ≤ p, τ ◦ σi ◦ τ−1 = σ′

i d’où σ′ = τ ◦ σ ◦ τ−1.

�

8.10 Définition

Soit σ ∈ Sn : on appelle signature de σ et on note ε(σ) l’entier (−1)n−m où m désigne lenombre d’orbites suivant σ.

8.11 Proposition

a) ε(Id) = 1 ;

b) Si σ est une transposition, ε(σ) = −1 ;

c) Si σ est un d-cycle, ε(σ) = (−1)d−1.

Preuve :

a) Dans Sn, Id possède n orbites, d’où ε(Id) = (−1)n−n = 1.

b) Une transposition σ de Sn possède n− 1 orbites : son support réduit à deux élémentset n− 2 orbites réduites à un élément, d’où ε(σ) = −1.

c) Soit σ un d-cycle de Sn : σ = (a1 a2 a3 · · · ad−1 ad), alors O(a1) = O(a2) = · · · =O(ad) et O(a) = {a} si a 6∈ {a1, a2 a3, · · · , ad} donc σ possède n − d + 1 orbites, d’oùε(σ) = (−1)d−1.

53

8.12 Proposition

Soit σ ∈ Sn et soit τ une transposition ; alors ε(σ ◦ τ) = −ε(σ).

Preuve : Soit m le nombre d’orbites suivant σ.

Posons τ = (a b) et σ′ = σ ◦ τ , alors σ′(a) = σ(b) , σ′(b) = σ(a) et σ′(x) = σ(x) si x 6= aet b, donc seules les orbites suivant σ contenant a ou b sont modifiées par τ .

1er cas : a et b sont dans la même orbite O de cardinal p suivant σ, alors

O = {a, σ(a), · · · , σp−1(a)}et il existe 0 < q ≤ p − 1 tel que b = σq(a) ; calculons l’orbite suivant σ′ contenant a :σ′(a) = σ(b) = σ(σq(a)) = σq+1(a), σ′2(a) = σ′(σ(b)) = σ(σ(b)) = σq+2(a),etc.....,σ′k(a) =σq+k(a), etc...., σ′p−q−1(a) = σ′(σ′p−q−2(a)) = σ′(σp−2(a)) = σp−1(a) etσ′p−q(a) = σ′(σ′p−q−1(a)) = σ′(σp−1(a)) = σp(a) = a, d’où

Oσ′(a) = {a, σq+1(a), σq+2(a), · · · , σp−1(a)}.Donc b 6∈ Oσ′(a) : on obtient deux orbites suivant σ′ alors qu’on en avait une seule pourσ, donc σ′ admet m+ 1 orbites, d’où ε(σ′) = (1)n−m−1 = −ε(σ).

2ème cas : a et b sont dans deux orbites distinctes O1 et O2 suivant σ

O1 = {a, σ(a), · · · , σp−1(a)} et O2 = {b, σ(a), · · · , σq−1(b)}Alors σ′(a) = σ(b), σ′2(a) = σ′(σ(b)) = σ2(b),etc..., σ′q(a) = σ′(σ′q−1(b)) = σ(σq−1(b)) =σq(b) = b donc b ∈ Oσ′(a) et par conséquent a et b sont dans la même orbite suivant σ′,donc σ′ admet m− 1 orbites, d’où ε(σ′) = (1)n−m+1 = −ε(σ).

�

8.13 Corollaire

Si σ est produit de p transpositions, alors ε(σ) = (−1)p.

Preuve : immédiate avec 8.12.

�

8.14 Définition et théorème

Si σ ∈ Sn, on définit le nombre k d’inversions de σ comme le nombre de couples (i, j) ∈ E2n

tels que i < j et σ(i) > σ(j) ; alors ε(σ) = (−1)k.

Preuve :

D’après 8.8 b) σ peut s’écrire comme produit de transpositions de la forme (i i + 1)et il est facile de voir que le nombre de transpositions nécessaires à cette écriture estexactement le nombre d’inversions k de σ, d’où ε(σ) = (−1)k d’après 8.13.

�

8.15 Théorème

L’application signature est un homomorphisme de groupes de Sn dans le groupe multipli-catif {1,−1}, surjectif si n ≥ 2 :

∀σ, τ ∈ Sn, ε(σ ◦ τ) = ε(σ)ε(τ).

54

Preuve :

Considérons σ et τ ∈ Sn, alors d’après 8.8 σ peut s’écrire comme produit de p transposi-tions et τ comme produit de q transpositions, donc σ ◦ τ peut s’écrire comme produit dep+ q transpositions et ainsi d’après 8.13 :

ε(σ ◦ τ) = (−1)p+q = (−1)p(−1)q = ε(σ)ε(τ)

Donc ε est un homomorphisme de groupes de Sn dans le groupe multiplicatif {1,−1} ; deplus si n ≥ 2, Sn contient Id et au moins une transposition, donc ε est surjectif.

�

8.16 Calcul de la signature

On a donc trois méthodes pour calculer la signature d’une permutation :

a) en calculant le nombre d’orbites et en utilisant la définition 8.10 ;

b) à partir de la décomposition en produit de cycles disjoints en utilisant 8.15 et 8.11 ;

c) en comptant le nombre d’inversions de la permutation et en utilisant 8.14.

Exemple Considérons la permutation de S10

σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 109 10 1 8 7 4 5 2 3 6

)

On a vu dans 8.6 que σ comptait trois orbites, donc ε(σ) = (−1)10−3 = −1 ; d’autre parton a vu que σ = σ1 ◦ σ2 ◦ σ3 où σ1 = (1 9 3), σ2 = (2 10 6 4 8) et σ3 = (5 7), doncε(σ) = ε(σ1)ε(σ2)ε(σ3) = (−1)3−1(−1)5−1(−1)2−1 = −1 ; enfin le nombre d’inversions deσ est égal à 8 + 8 + 0 + 6 + 5 + 2 + 2 + 0 + 0 = 31, donc ε(σ) = (−1)31 = −1.


Le noyau de l’homomorphisme ε est un sous-groupe distingué de Sn, appelé groupe alternéet noté An :

An = {σ ∈ Sn / ε(σ) = 1}.Les éléments de An sont appelées permutations paires et les éléments de Sn − An sontappelées permutations impaires.

Si n ≥ 2, ε étant surjectif, on a l’isomorphisme de groupes

Sn/An ≃ {1,−1}

On en déduit que An est d’ordren!

2: il y a donc autant de permutations paires que de

permutations impaires.

Preuve : immédiat d’après 5.2, 5.4 et le théorème de Lagrange.

55

9. Equation des classes


Soit G un groupe ; pour tout x ∈ G, l’ensemble Cx défini par

Cx = {y ∈ G / xy = yx}

est un sous-groupe de G appelé centralisateur de x.

Preuve : immédiat.


On considère la relation B dite de conjugaison sur un groupe G définie par

x B y ⇐⇒ ∃ a ∈ G, y = axa−1.

Alors B est une relation d’équivalence sur G.

Preuve : immédiat.

9.3 Théorème

Soit G un groupe fini et soit (x1, x2, · · · , xr) un système de représentants de la relation deconjugaison B tel que pour 1 ≤ i ≤ s, xi 6∈ Z(G) et pour s+ 1 ≤ i ≤ r, xi ∈ Z(G) ; alorson a “l’équation des classes”

|G| = |Z(G)| +∑

1≤i≤s

[G : Cxi].

.

Preuve : cf. exercice.

56

IV GROUPES COMMUTATIFS FINIS

Dans tout le chapitre, on considère des groupes additifs commutatifs.

1 Somme directe de groupes

1.1 Définition

Soit (G,+) un groupe commutatif et soient H1,H2, · · · ,Hk des sous-groupes de G ; on ditque G est somme directe des sous-groupes H1,H2, · · · ,Hk et on note G = H1⊕H2⊕· · ·⊕Hk

si et seulement si on a :

∀x ∈ G, il existe un unique k-uplet (x1, x2, · · · , xk) ∈ H1 ×H2 × · · · × Hk tel que

x =

k∑

j=1

xj .

Si H et K sont des sous-groupes de G, on dit H et K sont supplémentaires dans G si etseulement si H⊕K = G.

1.2 Proposition

Soit (G,+) un groupe commutatif et soient H1,H2, · · · ,Hk des sous-groupes de G ; alorson a :

G = H1 ⊕H2 ⊕ · · · ⊕ Hk ⇐⇒

G = H1 + H2 + · · ·+ Hk

∀1 ≤ i ≤ k, Hi

⋂∑

j 6=i

Hj = {0}

Preuve : analogue à celle faite dans le cas des espaces vectoriels.

�

1.3 Remarques

a) Si G = H1 ⊕H2 ⊕ · · · ⊕ Hk, alors G ≃k∏

j=1

Hj .

b) Si H est un sous-groupe de G, H ne possède pas nécessairement de supplémentairedans G.

2 p-groupes

2.1 Définition

Soit p un nombre premier et G un groupe commutatif ; on dit que G est un p-groupeou un groupe p-primaire si et seulement si les ordres de tous les éléments de G sont despuissances de p.

57

Exemples

a) Z/2Z, Z/8Z, (Z/2Z)3 × Z/4Z sont des 2-groupes (finis).

b) Z/5Z[X] est un 5-groupe (infini).

2.2 Théorème

Soit G un groupe commutatif fini et p un nombre premier ; alors on a :

G est un p-groupe ⇐⇒ ∃ a ∈ N∗, |G| = pa.

Preuve :

S’il existe a ∈ N∗ tel que |G| = pa alors, d’après le théorème de Lagrange, l’ordre de toutélément de G divise pa donc est une puissance de p : G est donc un p-groupe.

Réciproquement, si G est un p-groupe, montrons qu’il existe a ∈ N∗ tel que |G| = pa parrécurrence :

si |G| = 2, alors |G| est une puissance de 2 ;

soit n ≥ 2 et supposons le résultat démontré pour tous les p-groupes d’ordre ≤ n − 1 :considérons un p-groupe G d’ordre n et soit x ∈ G − {0}, alors il existe b ∈ N∗ tel queord(x) = pb. Le groupe-quotient G/〈x〉 est aussi un p-groupe, en effet :pour tout α ∈ G/〈x〉, il existe y ∈ G tel que α = y ; comme G est un p-groupe, y estd’ordre pk pour un certain entier k, donc pk y = 0, d’où pk y = 0, i.e pkα = 0 et ainsil’ordre de α divise pk donc est une puissance de p.

De plus, |G/〈x〉| =|G|pb

< |G| donc on peut appliquer l’hypothèse de récurrence au p-groupe

G/〈x〉 : il existe c ∈ N tel que |G/〈x〉| = pc, d’où |G| = pb+c.

�


Soit G un groupe commutatif fini et soit p un nombre premier divisant |G| ; on définit lacomposante p-primaire Gp de G de la façon suivante :

Gp = {x ∈ G / ∃ a ∈ N, ord(x) = pa}.Gp est un sous-groupe de G (et évidemment un p-groupe).

Preuve :

Tout d’abord, 0 ∈ Gp, en effet ord(0) = 1 = p0.

Considérons maintenant x et y deux éléments de Gp : il existe deux entiers a et b tels queord(x) = pa et ord(y) = pb ; si on suppose a ≥ b, alors on a

pa(x− y) = pax− pay = 0 − 0 = 0

donc ord(x− y) divise pa, d’où ord(x− y) est une puissance de p : x− y ∈ Gp.

�

58

Exemple Considérons le groupe G = Z/60Z et calculons G2 :

G2 = {k ∈ G / ∃ a ∈ N, ord(k) = 2a}or pour tout k ∈ G , ord(k) divise 60 donc si k ∈ G2, ord(k) = 1, 2 ou 4 et ainsi

G2 = {k ∈ G / 4k = 0} = {k ∈ G / k ∈ 15Z} = 15Z/60Z = {0, 15, 30, 45}.

2.4 Théorème

Soit G un groupe commutatif fini d’ordre n ≥ 2 ; considérons la décomposition de n enproduit de facteurs premiers

n = pa1

1 pa2

2 · · · pak

k

où p1, p2, · · · , pk sont des nombres premiers distincts deux à deux et où a1, a2, · · · , ak sontdes entiers ≥ 1, alors on a :

G = Gp1⊕ Gp2

⊕ · · · ⊕ Gpk.

et pour tout 1 ≤ i ≤ k, ord(Gpi) = pai

i .

De plus cette décomposition est unique à l’ordre près, plus précisément :si G = H1 ⊕ · · · ⊕ Hm où pour tout j, Hj est un sous-groupe de G qj-primaire avecq1, · · · , qm des nombres premiers distincts deux à deux, alors k = m et, quitte à réindexer,pour tout 1 ≤ i ≤ k, on a qi = pi et Hi = Gpi

.

Preuve :

Existence : posons pour tout i, ni =∏

j 6=i

paj

j , alors il est clair que n1, n2, · · · , nk sont

premiers entre eux dans leur ensemble, donc d’après le théorème de Bezout, il existeq1, q2, · · · , qk tels que

n1q1 + · · ·+ nkqk = 1

donc pour tout x ∈ G, on a

x = (n1q1 + · · · + nkqk)x = n1q1x+ · · ·+ nkqkx

alors en posant xi = niqix pour tout 1 ≤ i ≤ k, on a

x = x1 + · · ·+ xk.

Montrons que pour tout 1 ≤ i ≤ k, xi ∈ Gpi: on a pai

i xi = pai

i qinix = qinx = 0 doncord(xi) divise pai

i , d’où ord(xi) est une puissance de pi : xi ∈ Gpi; donc

G = Gp1+ Gp2

+ · · ·+ Gpk.

Montrons maintenant que la somme est directe : soit 1 ≤ i ≤ k et y ∈ Gpi

⋂∑

j 6=i

Gpj.

Comme y ∈ Gpi, il existe un entier b tel que ord(y) = pb

i ; de plus y ∈∑

j 6=i

Gpjdonc

y =∑

j 6=i

yj où yj ∈ Gpjpour tout j 6= i, donc il existe des entiers cj tel que ord(yj) = p

cj

j ,

d’où pcj

j yj = 0. Posons alors q =∏

j 6=i

pcj

j , il est clair que qy = 0 : on en déduit alors que

59

ord(y) = pbi divise q, or q et pb

i sont premiers entre eux, donc nécessairement pbi = 1 d’où

y = 0 : Gpi

⋂∑

j 6=i

Gpj= {0}. Donc la somme est directe :

G = Gp1⊕ Gp2

⊕ · · · ⊕ Gpk

d’où

G ≃ Gp1× Gp2

× · · · × Gpk

donc|G| = |Gp1

| × · · · × |Gpk|.

Or pour tout 1 ≤ i ≤ k, Gpiest un pi-groupe donc ∃ di ∈ N tel que |Gpi

| = pdi

i , d’où

n = |G| = pd1

1 · · · pdk

k

Par unicité de la décomposition en produit de nombres premiers, on a alors pour tout1 ≤ i ≤ k, di = ai et ainsi |Gpi

| = pai

i .

Unicité : Supposons que G = H1 ⊕ · · · ⊕ Hm où pour tout j, Hj est un sous-groupe de Gqj-primaire d’ordre q

ej

j avec q1, · · · , qm des nombres premiers distincts deux à deux ; alors

|G| = |H1| × · · · × |Hm|donc

n = |G| = qe1

1 · · · qem

m

donc, toujours par unicité de la décomposition en produit de nombres premiers, m = ket quitte à réindexer, qi = pi et ei = ai pour tout 1 ≤ i ≤ k : ainsi chaque sous-groupe Hi

est pi-primaire d’ordre pai

i , donc Hi ⊂ Gpiet est de même ordre donc Hi = Gpi

.

�

Exemple Considérons le groupe G = Z/60Z ; comme 60 = 22 × 3 × 5, alors d’après 2.4on a :

G = G2 ⊕ G3 ⊕ G5.

On a déjà calculé G2 = 15Z/60Z en 2.3, de la même manière on montre que

G3 = {k ∈ G / 3k = 0} = {k ∈ G / k ∈ 20Z} = 20Z/60Z

etG5 = {k ∈ G / 5k = 0} = {k ∈ G / k ∈ 12Z} = 12Z/60Z

d’oùZ/60Z = 15Z/60Z ⊕ 20Z/60Z ⊕ 12Z/60Z.

2.5 Corollaire

Tout groupe cyclique fini est somme directe de p-groupes cycliques.

60

Preuve :

Si G est un groupe cyclique fini, il est commutatif donc on peut lui appliquer le théorème2.4 : G est somme directe de p-sous-groupes ; or tout sous-groupe d’un groupe cyclique estcyclique, d’où le résultat.

�

3 Groupes p-élémentaires

3.1 Définitions

a) Soit G un groupe commutatif fini et soit p un nombre premier ; on dit que G estp-élémentaire si et seulement si

∀x ∈ G, px = 0.

b) Soit G un groupe commutatif fini et soit p un nombre premier ; on note

G[p] = {x ∈ G / px = 0}.

De manière évidente, G est p-élémentaire si et seulement si G = G[p].

3.2 Proposition

Soit G un groupe commutatif fini et soit p un nombre premier ; alors, on a :

a) G[p] est un sous-groupe de G et un groupe p-élémentaire.

b) Si G est un groupe p-élémentaire, alors tout sous-groupe de G est un groupe p-élémentaire.

c) x ∈ G[p] ⇐⇒ x = 0 ou x est d’ordre p.

d) Si G est somme directe de sous-groupes G = H1 ⊕ · · · ⊕ Hm, alors

G[p] = H1[p] ⊕ · · · ⊕ Hm[p].

e) Si G ≃ G′, alors G[p] ≃ G′[p].

f) Pour tout entier n, Z/pnZ[p] = pn−1(Z/pnZ).

g) Tout groupe p-élémentaire est p-primaire.

Preuve :

a) et b) immédiat.

c) Si px = 0, alors ord(x) divise p donc vaut 1 ou p, d’où le résultat, et réciproquement.

d) Si G = H1 ⊕ · · ·⊕Hm, considérons x ∈ G[p], alors px = 0 ; de plus x est un élément deG donc x s’écrit x = x1 + x2 + · · · + xm où xi ∈ Hi pour tout 1 ≤ i ≤ m, d’où

px = px1 + px2 + · · ·+ pxm = 0.

Or pour tout 1 ≤ i ≤ m, Hi est un sous-groupe donc pxi ∈ Hi, donc comme les Hi sonten somme directe, on en déduit que

px1 = px2 = · · · = pxm = 0

61

donc pour tout 1 ≤ i ≤ m, xi ∈ Hi[p] et ainsi

G[p] = H1[p] + · · ·+ Hm[p].

De plus, pour tout 1 ≤ i ≤ m, Hi[p] ⊂ Hi et les Hi sont en somme directe donc les Hi[p]sont aussi en somme directe.

e) Soit ϕ un isomorphisme entre G et G′ : alors on voit facilement que ϕ(G[p]) = G′[p] etainsi la restriction de ϕ à G[p] est un isomorphisme de G[p] sur G′[p].

f) Soit k ∈ Z/pnZ[p] alors pk = 0 i.e pn divise pk d’où pn−1 divise k et réciproquement,d’où le résultat.

g) Evident.

�

3.3 Proposition

Soit p un nombre premier et soit G un groupe commutatif p-élémentaire ; on peut définirsur G une multiplication externe ⊤ par les éléments du corps Z/pZ de la façon suivante :

Z/pZ × G → G

(k, x) 7→ k⊤x = kx

Alors (G,+,⊤) est un Z/pZ-espace vectoriel.

Preuve :

La multiplication externe par les éléments de Z/pZ est bien définie sur G car G est ungroupe p-élémentaire ; il est ensuite facile de vérifier que la loi additive de groupe de G etla multiplication externe par les éléments de Z/pZ munissent G d’une structure d’espacevectoriel.

�

3.4 Proposition

Soit p un nombre premier et soit G un groupe commutatif p-élémentaire ; alors on a :

a) Tout sous-groupe H de G est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel G sur Z/pZ ;

b) si A est une partie non vide de G, alors le sous-groupe de G engendré par A coïncideavec le sous-espace vectoriel de G sur Z/pZ engendré par A ;

c) si H1, · · · ,Hm sont des sous-groupes de G en somme directe, alors les sous-espacesvectoriels H1, · · · ,Hm sur Z/pZ sont aussi en somme directe, et la somme directe deH1, · · · ,Hm en tant que sous-groupes coïncide avec la somme directe de H1, · · · ,Hm entant que sous-espaces vectoriels ;

d) Si H est un sous-groupe de G, il admet un supplémentaire dans G en tant que sous-espace vectoriel sur Z/pZ, donc en tant que sous-groupe.


62

3.5 Théorème

Soit p un nombre premier et soit G un groupe commutatif p-élémentaire fini ; alors il existex1, x2, · · · , xk ∈ G tels que

G = 〈x1〉 ⊕ 〈x2〉 · · · ⊕ 〈xk〉De plus, pour tout 1 ≤ i ≤ k, on a

〈xi〉 ≃ Z/pZ

d’oùG ≃ (Z/pZ)k.

Preuve :

Le groupe G étant fini, c’est un espace vectoriel de dimension finie sur Z/pZ : il ad-met donc une base finie x1, x2, · · · , xk et ainsi est somme directe des droites engendréespar x1, x2, · · · , xk. Par conséquent il est somme directe des sous-groupes engendrés parx1, x2, · · · , xk :

G = 〈x1〉 ⊕ 〈x2〉 · · · ⊕ 〈xk〉.De plus, pour tout 1 ≤ i ≤ k, xi 6= 0 donc xi est d’ordre p d’après 3.2, d’où

〈xi〉 ≃ Z/pZ en tant que groupe.

�

4 Théorèmes de décomposition

4.1 Théorème

Soit G un groupe commutatif fini, alors G est somme directe de sous-groupes cycliquesprimaires ; de plus, dans deux décompositions de G en somme directe de sous-groupescycliques primaires, il y a pour tout nombre premier p et tout entier n ≥ 1 le mêmenombre de facteurs d’ordre pn.

Preuve :

Existence : d’après 2.4, G est somme directe de sous-groupes primaires, il suffit donc demontrer le résultat pour un groupe G p-primaire où p est un nombre premier.

Le groupe G étant p-primaire, il existe un entier m ≥ 1 tel que pmG = {0} ; montrons parrécurrence sur m que G est somme directe de sous-groupes cycliques p-primaires :

si m = 1, alors G est p-élémentaire et il suffit d’appliquer le théorème 3.5 ;

supposons le résultat vrai pour tout groupe p-primaire H tel que pm−1H = {0}. Po-sons H = pG, alors on a pm−1H = {0}, donc par hypothèse de récurrence, il existey1, y2, · · · , yk ∈ H d’ordres respectifs pb1 , pb2 · · · , pbk avec b1, · · · , bk ≥ 1 et tels que

H = 〈y1〉 ⊕ 〈y2〉 · · · ⊕ 〈yk〉.

Comme pour tout 1 ≤ i ≤ k, yi ∈ H, il existe zi ∈ G tel que yi = pzi : montrons que lessous-groupes 〈z1〉, · · · , 〈zk〉 sont en somme directe :

63

soit 1 ≤ i ≤ k et soit x ∈ 〈zi〉⋂∑

j 6=i

〈zj〉 : il existe m1, · · · , mk ∈ Z tels que

x = mizi =∑

j 6=i

mjzj

d’oùpx = miyi =

∑

j 6=i

mjyj ∈ 〈yi〉⋂∑

j 6=i

〈yj〉.

Or 〈y1〉, · · · , 〈yk〉 sont en somme directe donc pour tout 1 ≤ q ≤ k on a mqyq = 0, doncpbq divise mq : il existe sq ∈ N tel que mq = sqp

bq , d’où

x = sipbizi =

∑

j 6=i

sjpbjzj

et

x = sipbi−1yi =

∑

j 6=i

sjpbj−1yj

or 〈y1〉, · · · , 〈yk〉 sont en somme directe, d’où x = 0. Notons alors

L = 〈z1〉 ⊕ 〈z2〉 · · · ⊕ 〈zk〉.

Construisons maintenant un sous-groupe M tel que G = L⊕M et tel que M soit sommedirecte de sous-groupes cycliques primaires :

On a pour tout 1 ≤ i ≤ k, ord(yi) = pbi donc pbizi ∈ G[p] : de plus pour tout 1 ≤ i ≤ k,pbizi ∈ 〈zi〉 donc les sous-groupes 〈pbizi〉 sont en somme directe ; or G[p] est un espacevectoriel de dimension finie sur Z/pZ, donc les 〈pbizi〉 sont aussi en somme directe en tantque sous-espaces vectoriels de G[p], par conséquent 〈pb1z1〉 ⊕ 〈pb2z2〉 · · · ⊕ 〈pbkzk〉 admetun supplémentaire dans G[p] que l’on peut écrire sous la forme

M = 〈x1〉 ⊕ 〈x2〉 · · · ⊕ 〈xs〉.

où x1, · · · , xs sont des éléments de G[p], libres sur Z/pZ.

Montrons que G = L +M : soit x ∈ G, alors px ∈ H = 〈y1〉 ⊕ 〈y2〉 · · · ⊕ 〈yk〉, i.e il existedes entiers n1, · · · , nk tels que

px = n1y1 + · · ·+ nkyk = p(n1z1 + · · ·+ nkzk)

d’oùp(x− (n1z1 + · · ·+ nkzk)) = 0

par conséquent x− (n1z1 + · · ·+nkzk) ∈ G[p] ; on en déduit aussitôt qu’il existe des entiersλ1, · · · , λk et µ1, · · · , µs tels que

x− (n1z1 + · · ·+ nkzk) = λ1pb1z1 + · · · + λkp

bkzk + µ1x1 + · · ·+ µsxs

et ainsi x ∈ L+M .

Montrons que L ∩ M = {0} : soit y ∈ L ∩M , alors il existe des entiers n1, · · · , nk eta1, · · · , as tel que

y = n1z1 + · · ·+ nkzk = a1x1 + · · · + asxs

64

d’oùpy = n1y1 + · · ·+ nkyk = pa1x1 + · · · + pasxs.

Or y ∈ M ⊂ G[p] donc py = 0, d’où n1y1 = · · · = nkyk = 0 puisque la somme est directe.On en déduit que pour tout 1 ≤ i ≤ k, ord(yi) = pbi divise ni : il existe un entier θi telque ni = θip

bi . Donc

y = θ1pb1z1 + · · · + θkp

bkzk = a1x1 + · · ·+ asxs

or 〈pb1z1〉⊕〈pb2z2〉 · · ·⊕〈pbkzk〉 est en somme directe avec 〈x1〉⊕〈x2〉 · · ·⊕〈xs〉, d’où y = 0.Donc G = L⊕M est bien somme directe de sous-groupes cycliques primaires.

Unicité : montrons que pour tout nombre premier p et tout entier n ≥ 1 le nombre mn

de facteurs d’ordre pn dans une décomposition de G en somme directe de sous-groupescycliques primaires est donné par

pmn = Card(pn−1G ∩ G[p]/pnG ∩ G[p]

)

(et ainsi mn ne dépend que de G).

D’après 2.4, G est somme directe de sous-groupes primaires, il suffit donc de montrer lerésultat pour un groupe G p-primaire où p est premier : d’après le résultat d’existencedémontré ci-dessus, on a une décomposition du type

G = (G11 ⊕ · · · ⊕ G1

m1) ⊕ · · · ⊕ (Gs

1 ⊕ · · · ⊕ Gsms

)

où pour tous i, j, Gij ≃ Z/piZ : ainsi pour tout entier 1 ≤ k ≤ s, mk est le nombre de

facteurs d’ordre pk. Or on a pour tout entier k, pkGij = {0} si k ≥ i et pkGi

j ≃ pk(Z/piZ) ≃Z/pi−kZ si k < i ; on prouve en effet facilement que l’application

ϕ : Z −→ Z/piZ

x 7−→ pkx = pkx

est un homomorphisme de groupes tel que kerϕ = pi−kZ et Imϕ = pk(Z/piZ).

Alors on a pour tout entier k :

pkG = (pkGk+11 ⊕ · · · ⊕ pkGk+1

mk+1) ⊕ · · · ⊕ (pkGs

1 ⊕ · · · ⊕ pkGsms

)

Or on voit facilement que pkG ∩ G[p] = (pkG)[p], donc, d’après 3.2 on a

pkG ∩ G[p] =((pkGk+1

1 )[p] ⊕ · · · ⊕ (pkGk+1mk+1

)[p])⊕ · · · ⊕

((pkGs

1)[p] ⊕ · · · ⊕ (pkGsms

)[p])

mais, pkGij ≃ Z/pi−kZ, donc d’après 3.2,

(pkGij)[p] ≃ Z/pi−kZ[p] = pi−k−1(Z/pi−kZ) ≃ Z/pZ

d’où

pkG ∩ G[p] ≃(

mk+1∏

1

Z/pZ

)× · · · ×

(ms∏

1

Z/pZ

)

donc

65

pkG ∩ G[p] ≃ (Z/pZ)mk+1+···+ms

par conséquentpk−1G ∩ G[p]/pkG ∩ G[p] ≃ (Z/pZ)mk .

Ainsi l’entier pmk ne dépend pas de la décomposition de G en somme directe de sous-groupes cycliques primaires.

�


a) Soit G un groupe commutatif fini d’ordre n ; alors il existe une unique suite de nombrespremiers p1 < p2 < · · · < pk et pour tout 1 ≤ i ≤ k il existe une unique suite d’entiersstrictement positifs, αi1 ≤ αi2 ≤ · · · ≤ αini

telles que n = pα11

1 · · · pα1n1

1 · · · pαk1

k · · · pαknk

k et

G ≃ Z/pα11

1 Z × · · · × Z/pα1n1

1 Z × · · · × Z/pαk1

k Z × · · · × Z/pαknk

k Z.

On dit que la suite d’entiers (pα11

1 , · · · , pα1n1

1 , · · · , pαk1

k , · · · , pαknk

k ) est le type de G.

b) Deux groupes commutatifs finis sont isomorphes si et seulement si ils ont le même type.

Preuve : c’est une conséquence immédiate de 4.1.

�

Exemple Considérons le groupe G = Z/24Z×Z/30Z ; alors ord(G) = 720 = 24 × 32 × 5donc sa décomposition en composantes primaires est la suivante

G = G2 ⊕ G3 ⊕ G5.

On a :

G2 = {(k, n) ∈ G / ord(k, n) est une puissance de 2} = {(k, n) ∈ G / 24(k, n) = (0, 0)}

= {(k, n) ∈ G / 3 divise k et 15 divise n} = (3Z/24Z) × (15Z/30Z)

de même, on a


= (8Z/24Z) × (10Z/30Z)

et


= {0} × 6Z/30Z

Or on peut écrire

G2 =(3Z/24Z × {0}

)⊕({0} × 15Z/30Z

)

66

de mêmeG3 =

(8Z/24Z × {0}

)⊕({0} × 10Z/30Z

).

Donc la décomposition de G en somme directe de groupe cycliques primaires est la sui-vante :

G =(3Z/24Z × {0}

)⊕({0} × 15Z/30Z

)⊕(8Z/24Z × {0}

)⊕({0} × 10Z/30Z

)⊕({0} × 6Z/30Z

)

et le type de G est (2, 23, 3, 3, 5).

En fait, il n’est pas nécessaire dans ce cas précis de décomposer G en somme directe degroupes cycliques primaires pour calculer son type : il suffit de faire appel au théorèmedes restes chinois :

G = Z/24Z × Z/30Z ≃ (Z/3Z × Z/8Z) × (Z/2Z × Z/3Z × Z/5Z)

doncG ≃ (Z/2Z) ×

(Z/23Z

)× (Z/3Z) × (Z/3Z) × (Z/5Z) .

4.3 Théorème de Cauchy

Soit G un groupe commutatif fini et soit p un nombre premier divisant |G| ; alors G admetau moins un élément d’ordre p.

Preuve :

On décompose G en somme directe de sous-groupes cycliques primaires d’après 4.1, etcomme p est un nombre premier divisant |G|, l’un des sous-groupes cycliques primairesest d’ordre pa pour un certain entier a ≥ 1 : notons-le H et considérons un générateur xde H, alors pa−1x est un élément d’ordre p de G.

�

Remarque : le résultat est faux pour un entier non premier : le groupe de KleinZ/2Z × Z/2Z est d’ordre 4 et ne contient pas d’élément d’ordre 4.

4.4 Théorème

Soit G un groupe commutatif fini et soit d un entier ≥ 1 divisant |G| ; alors G admet aumoins un sous-groupe d’ordre d.

Preuve :

D’après 2.4, G est somme directe de groupes primaires : il suffit donc de démontrer lethéorème dans le cas où G est un groupe p-primaire pour un certain nombre premier p.Posons |G| = pa et montrons que G admet un sous-groupe d’ordre pb pour tout entier bvérifiant 0 ≤ b ≤ a par récurrence sur b :

si b = 0, {0} est un sous-groupe de G d’ordre p0 = 1 ;

si b ≥ 1, supposons que tout groupe fini p-primaire d’ordre ≥ pb−1 admet un sous-grouped’ordre pb−1 ; comme |G| = pa, d’après le théorème de Cauchy, G admet un élément xd’ordre p, alors le groupe-quotient G/〈x〉 est d’ordre pa−1, donc est un p-groupe et pa−1 ≥pb−1 donc on peut appliquer l’hypothèse de récurrence : G/〈x〉 admet un sous-groupe Ad’ordre pb−1. Par conséquent, il existe un sous-groupe H de G tel que 〈x〉 ⊂ H ⊂ G etA = H/〈x〉 et ainsi |H| = |A| × |〈x〉| = pb−1p = pb.

67

4.5 Théorème

Soit G un groupe commutatif fini ; alors il existe des groupes cycliques H1,H2, · · · ,Hr

tels queG ≃ H1 ×H2 × · · · × Hr

et pour tout 1 ≤ i ≤ r − 1 , |Hi+1| divise |Hi|.De plus la décomposition est unique à isomorphisme près : s’il existe d’autres groupescycliques K1,K2, · · · ,Ks vérifiant

G ≃ K1 ×K2 × · · · × Ks

et pour tout 1 ≤ i ≤ s− 1 , |Ki+1| divise |Ki| alors s = r et pour tout 1 ≤ i ≤ r, Ki ≃ Hi.

Preuve :

Existence : D’après 4.2, il existe une unique suite de nombres premiers p1 < p2 < · · · < pk

et pour tout 1 ≤ i ≤ k une unique suite d’entiers ∈ N∗, αi1 ≤ αi2 ≤ · · · ≤ αinitelles que

G ≃ Z/pα11

1 Z × · · · × Z/pα1n1

1 Z × · · · × Z/pαk1

k Z × · · · × Z/pαknk

k Z.

Posons H1 = Z/pα1n1

1 Z× · · ·×Z/pαknk

k Z ; comme pα1n1

1 , · · · , pαknk

k sont premiers entre euxdeux à deux, d’après le théorème des restes chinois, H1 est cyclique et G ≃ H1 × G1 oùG1 est le produit des termes restants Z/p

αij

i Z où pour tout i et j , αij ≤ αini. On refait

la même opération avec G1 et le groupe H2 obtenu vérifie |H2| divise |H1| puisque pourtous i et j on a αini

≥ αij , etc.... Comme G est fini, le processus est fini.

Unicité : supposons qu’il existe d’autres groupes cycliques K1,K2, · · · ,Ks vérifiant

G ≃ K1 ×K2 × · · · × Ks

et pour tout 1 ≤ i ≤ s− 1 , |Ki+1| divise |Ki| ; alors d’après 4.2,on a :

Ki ≃∏

j

Z/pβji

j Z

et comme pour tout 1 ≤ i ≤ s , ord(Ki+1) divise ord(Ki), on a βji+1 ≤ βji pour tout j.De plus, d’après 4.1, le plus grand exposant est le même dans deux décompositions de Gen somme directe de sous-groupes cycliques primaires, donc pour tout j, on a βj1 = αjnj

.On en déduit que K1 ≃ H1, puis on fait le quotient des deux décompositions de G par∏

j Z/pβji

j Z et on continue le processus : on obtient ainsi K2 ≃ H2, etc... d’où finalements = r et pour tout 1 ≤ i ≤ r, Ki ≃ Hi.

�

Exemple Considérons à nouveau le groupe G = Z/24Z × Z/30Z ; alors on a :

G ≃(Z/3Z × Z/23Z

)× (Z/2Z × Z/3Z × Z/5Z)

doncG ≃

(Z/23Z × Z/3Z × Z/5Z

)× (Z/2Z × Z/3Z) ≃ Z/120Z × Z/6Z

alors H1 = Z/120Z et H2 = Z/6Z.

68

4.6 Corollaire

Soit K un corps commutatif et soit G un sous-groupe fini du groupe multiplicatif K∗ ;alors G est cyclique.

En particulier, pour tout corps commutatif fini K, le groupe multiplicatif K∗ est cyclique.

Preuve :

D’après 4.5, il existe des groupes cycliques H1,H2, · · · ,Hr d’ordres respectifs n1, n2, · · · , nr

tels queG ≃ H1 ×H2 × · · · × Hr

et pour tout 1 ≤ i ≤ r − 1 , ni+1 divise ni. Montrons que pour tout x ∈ G, xn1 = 1K :

considérons ϕ un isomorphisme de G sur H1 ×H2 × · · · × Hr :

ϕ : G −→ H1 ×H2 × · · · × Hr

x 7−→ (x1, x2, · · · , xr)

Comme pour tout 1 ≤ i ≤ r−1, ni+1 divise ni, alors ni+1 divise n1 et ainsi on a xn1

j = eHj

pour tout 1 ≤ j ≤ r, d’où (ϕ(x))n1 = (eH1, · · · , eHr

) ; or (ϕ(x))n1 = ϕ(xn1) donc xn1 = 1K

puisque ϕ est injective.

On a ainsi prouvé que tout élément de G est racine du polynôme Xn1 − 1K ; or K est uncorps donc le polynôme Xn1 − 1K a au plus n1 racines dans K, d’où |G| ≤ n1. D’autrepart |G| = n1n2 · · ·nr ≥ n1, donc |G| = n1 et ainsi n2 = · · · = nr = 1, d’où Hi = {eHi

}pour i = 2, · · · , r et par conséquent

G ≃ H1 × {eH2} × · · · × {eHr

} ≃ H1

d’où G est cyclique.

�

69

V EXTENSIONS DE CORPS

Dans tout le chapitre (sauf au § 5), on considère des corps commutatifs. Pour tout nombrepremier p on notera Fp le corps Z/pZ.

1 Extensions algébriques


a) Soit K un corps commutatif ; on dit qu’un sous-ensemble L de K est un sous-corps deK si et seulement si L muni de l’addition et de la multiplication de K est lui-même uncorps ; on vérifie facilement que L est un sous-corps de K si et seulement si L est non videet vérifie les conditions suivantes :

∗ ∀x, y ∈ L, x− y ∈ L et xy ∈ L ;

∗ ∀x ∈ L− {0}, x−1 ∈ L.

b) Soit K un corps commutatif ; on appelle sous-corps premier de K l’intersection de tousles sous-corps contenus dans K : c’est aussi le plus petit sous-corps de K.

Si K est de caractéristique 0, le sous-corps premier de K est isomorphe à Q. Si K est decaractéristique p (premier), le sous-corps premier de K est isomorphe à Fp.

Preuve : Notons (Li)i∈I la famille des sous-corps de K ; alors le sous-corps premier de K

est L =⋂

i∈I

Li.

Rappelons la définition de la caractéristique : on considère l’homomorphisme d’anneaux

ϕ : Z −→ Kn 7−→ n1K

alors kerϕ est un idéal de Z et par conséquent il existe un unique entier p ∈ N, appelécaractéristique de K, tel que kerϕ = pZ et Imϕ est un sous-anneau de K isomorphe àZ/pZ. D’autre part, Imϕ ⊂ L, en effet tout sous-corps Li de K contient 1K donc contientImϕ.

Si p = 0, alors Imϕ ≃ Z donc le corps des fractions M de Imϕ est isomorphe à Q ; orImϕ ⊂ L donc M ⊂ L, de plus il est clair que M est un sous-corps de K donc L ⊂ Md’où M = L et ainsi L ≃ Q.

Si p 6= 0, alors p est un nombre premier et Imϕ ≃ Z/pZ = Fp est un sous-corps de K d’oùL ⊂ Imϕ et ainsi L = Imϕ est isomorphe à Fp.

�

1.2 Proposition et définition

Soit L un corps et K un sous-corps de L, alors L est un espace vectoriel sur K : on ditque L est une extension de K. On note [L : K] la dimension du K-espace vectoriel L eton l’appelle le degré de l’extension L de K.


�

Exemple : C est une extension de R de degré 2.

71

1.3 Proposition

Soit K un corps fini ; alors sa caractéristique est un entier premier p et son cardinal estde la forme pn pour un certain entier n ≥ 1.

Preuve : Le corps K étant fini est nécessairement de caractéristique non nulle, sinon sonsous-corps premier serait isomorphe à Q d’après 1.1 donc infini, ce qui est impossible ;donc la caractéristique de K est un nombre premier p et son sous-corps premier L estisomorphe à Fp, ainsi K est un L-espace vectoriel de dimension nécessairement finie npuisque K est de cardinal fini, d’où K ≃ Ln et ainsi Card(K) =Card(Ln) = pn.

�


Soit L une extension d’un corps K et soit a un élément de L ; considérons l’homomor-phisme d’anneaux

ψ : K[X] −→ LP 7−→ P (a)

on notera K[a] = {P (a) / P ∈ K[X]} l’image de ψ et K(a) le plus petit sous-corps de Lcontenant K et a.

1er cas : ψ est injective, alors K[a] ≃ K[X] et K(a) ≃ K(X) : on dit alors que a esttranscendant sur K ; ainsi a est transcendant sur K s’il n’existe aucun polynôme non nulde K[X] tel que P (a) = 0.

2ème cas : ψ n’est pas injective, alors il existe un unique polynôme unitaire P tel quekerψ = (P ) d’où K[a] ≃ K[X]/(P ) ; de plus P est irréductible donc K[a] est un corps etainsi K[a] = K(a). On dit alors que a est algébrique sur K et le polynôme P est appelépolynôme minimal de a : c’est donc le polynôme unitaire de plus petit degré de K[X]annulant a. De plus, le degré de l’extension K(a) de K est égal au degré du polynômeminimal de a :

[K(a) : K] = deg(P ).

On dit alors que a est algébrique de degré deg(P ).

Preuve :

1er cas : ψ est injective, alors d’après I 7.3, Imψ = K[a] ≃ K[X]. De plus K(a) est le pluspetit sous-corps de L contenant K et a donc il contient les éléments de la forme P (a) oùP ∈ K[X], i.e K[a] ⊂ K(a) ; d’autre part, pour tout Q ∈ K[X] − {0}, Q(a) 6= 0 puisqueψ est injective, donc Q(a) est inversible dans L, on peut donc considérer l’applicationsuivante

ψ : K(X) −→ LF = P

Q7−→ F (a) = P (a)(Q(a))−1

il est facile de constater que ψ est un homomorphisme d’anneaux ; en outre, ψ est injective,

en effet soit F =P

Q∈ K(X) tel que F (a) = P (a)(Q(a))−1 = 0 alors P (a) = 0 i.e P = 0

puisque ψ est injective, d’où F = 0. Montrons que Imψ = K(a) : comme ψ est injective,

Imψ ≃ K(X) donc Imψ est un sous-corps de L, de plus il contient ψ(K) = K et ψ(X) = a

72

donc Imψ contient K(a) ; d’autre part, on a K[a] ⊂ K(a), donc pour tout Q ∈ K[X]−{0},Q(a) ∈ K(a) et par conséquent (Q(a))−1 ∈ K(a), on en déduit alors que Imψ ⊂ K(a) et

ainsi Imψ = K(a). Donc K(a) ≃ K(X).

2ème cas : ψ n’est pas injective, alors kerψ est un idéal non nul de K[X] donc il existe ununique polynôme unitaire P tel que kerψ = (P ) d’oùK[a] ≃ K[X]/(P ) ; orK[a] ⊂ L doncK[a] est un anneau intègre, on en déduit que l’idéal (P ) est premier, donc d’après II 3.3et II 4.3, P est irréductible dans K[X] et l’idéal (P ) est maximal, donc l’anneau-quotientK[X]/(P ) est un corps et ainsi K[a] est un corps également. On en déduit aussitôt queK[a] = K(a).

Notons P = Xd + ad−1Xd−1 + · · · + a0 et montrons que [K(a) : K] = d ; considérons

Q ∈ K[X] et effectuons la division euclidienne de Q par P : il existe S et R dans K[X]tels que

Q = PS +R et deg(R) ≤ d− 1

d’oùQ(a) = P (a)S(a) +R(a) = 0 × S(a) +R(a) = R(a)

et ainsi (1, a, · · · , ad−1) est un système générateur de K[a] = K(a). Montrons que lesystème (1, a, · · · , ad−1) est libre sur K : soient b0, b1, · · · , bd−1 dans K tels que

b0 + b1a+ · · ·+ bd−1ad−1 = 0

alors le polynôme b0 +b1X+ · · ·+bd−1Xd−1 ∈ kerψ donc est multiple de P ; or deg(P ) = d

donc nécessairement b0+b1X+· · ·+bd−1Xd−1 est le polynôme nul, i.e b0 = · · · = bd−1 = 0 :

(1, a, · · · , ad−1) est donc libre sur K. Ainsi (1, a, · · · , ad−1) est une base de K(a) sur K :

[K(a) : K] = d.

�

Exemples

a)√

2 est algébrique sur Q, en effet√

2 est racine du polynôme X2 − 2 ∈ Q[X] ; de même√3 et i sont algébriques sur Q.

b) a =√

2+√

3 est algébrique sur Q, en effet, on a (a−√

3)2 = 2 d’où a2 + 1 = 2√

3a et,en élevant au carré, on obtient a4 − 10a2 + 1 = 0 ; plus généralement, la somme de deuxéléments algébriques sur un corps K est algébrique sur K, mais il est en général difficilede le montrer directement : on montrera ce résultat en 1.7.

c) e et π sont transcendants sur Q.

1.5 Proposition

Soit L une extension d’un corps K et soit a un élément de L ; a est algébrique sur K siet seulement si il existe un sous-corps M de L contenant K et a tel que le degré [M : K]est fini.

Preuve :

D’après 1.4, si a est algébrique, alors K(a) est un sous-corps de L contenant K et a et[K(a) : K] est fini.

73

Réciproquement, s’il existe un sous-corps M de L contenant K et a tel que le degré[M : K] soit fini égal à m, alors la famille (1, a, · · · , am) est liée puiqu’elle compte m+ 1éléments distincts, i.e il existe m+ 1 éléments non tous nuls b0, b1, · · · , bm de K tels que

b0 + b1a + · · ·+ bmam = 0

ainsi le polynôme b0 + b1X + · · ·+ bmXm est un polynôme non nul de K[X] qui annule a

et par conséquent a est algébrique sur K d’après 1.4.

�

1.6 Théorème (dit de la base télescopique)

Soit L une extension d’un corps K et soit M une extension du corps L, alors

[M : K] = [M : L][L : K].

Preuve :

Considérons (e1, · · · , en) une base de L sur K et (f1, · · · , fp) une base de M sur L : onva montrer que la famille (eifj, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ p) est une base de M sur K.

Soit x ∈M , alors il existe b1, · · · , bp ∈ L tels que

x = b1f1 + · · ·+ bpfp

or, pour tout 1 ≤ j ≤ p, bj s’écrit

bj = a1je1 + · · ·+ anjen

où a1j , · · · , anj ∈ K, d’où

x =∑

i,j

aijeifj

et ainsi (eifj , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ p) engendre M sur K.

Montrons que (eifj, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ p) est libre sur K : soient aij des éléments de Kpour 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p tels que

∑

i,j

aijeifj = 0

alors ∑

j

(∑

i

aijei)fj = 0

donc pour tout 1 ≤ j ≤ p, on a ∑

i

aijei = 0

puisque (f1, · · · , fp) est libre sur L, d’où, pour tous 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p, aij = 0puisque (e1, · · · , en) est libre sur K.

�

74

1.7 Théorème

Soit L une extension d’un corps K ; alors l’ensemble des éléments de L algébriques sur Kest un sous-corps de L.

Preuve :

Soient x et y deux éléments de L algébriques sur K : il suffit de montrer que x − y, xysont algébriques sur K, et que si x 6= 0, x−1 est également algébrique sur K.

Puisque x est algébrique sur K, on a [K(x) : K] < +∞ ; d’autre part, y est algébriquesur K donc sur K(x) (un polynôme à coefficients dans K est a fortiori un polynôme àcoefficients dans K(x)), donc [K(x)(y) : K(x)] < +∞. Or d’après 1.6, on a

[K(x)(y) : K] = [K(x)(y) : K(x)][K(x) : K]

d’où[K(x)(y) : K] < +∞

et ainsi K(x)(y) est une extension de degré fini sur K et qui contient x− y, xy et x−1 six 6= 0, donc d’après 1.5, x− y, xy et x−1 sont algébriques sur K.

�

1.8 Définition

On dit qu’une extension L d’un corps K est une extension algébrique si tous les élémentsde L sont algébriques sur K.

1.9 Proposition

Toute extension L de degré fini d’un corps K est une extension algébrique.

Preuve : immédiate d’après 1.5.

�

Remarque : La réciproque est fausse : l’ensemble Q des éléments de C algébriques surQ est une extension algébrique de Q de degré infini. (cf. 3.5)

2 Corps de rupture d’un polynôme

2.1 Proposition

Soit K un corps et soit P un polynôme irréductible de K[X] ; alors le corps K[X]/(P )est une extension de K, de degré doP , dans laquelle P admet au moins une racine.

Preuve :

Le polynôme P étant irréductible, l’anneau-quotient K[X]/(P ) est un corps ; de plus onvoit facilement que la surjection canonique

f : K[X] −→ K[X]/(P )Q 7−→ Q (mod P )

est telle que sa restriction à K est injective, donc f(K) ≃ K ; on identifie alors K et f(K)et on pose f(a) = a pour tout a ∈ K et pour tout Q = aqX

q + · · · + a1X + a0 ∈ K[X],f(Q) = aqX

q+ · · · + a1X + a0 ; alors K est un sous-corps de K[X]/(P ) et X est racine

de P dans le corps K[X]/(P ). Enfin, si n = deg(P ) on montre comme dans la preuve de

1.4 que (1, X, · · · , Xn−1) est une base de K[X]/(P ) sur K.

75


Soit K un corps et soit P un polynôme irréductible de K[X] ; alors il existe une extensionL de K, unique à isomorphisme près, telle que P ait au moins une racine a dans L et telleque le plus petit sous-corps de L contenant K et a soit L. Cette extension est appeléecorps de rupture du polynôme P .

Preuve :

Existence : d’après 2.1, le corps L = K[X]/(P ) répond à la question : P admet pourracine l’élément a = X de L et le plus petit sous-corps de L contenant K et a est bien L.

Unicité : soit M une extension de K telle que P ait au moins une racine b dans Met telle que le plus petit sous-corps de M contenant K et b soit M ; considérons alorsl’homomorphisme ω suivant :

ω : K[X] −→ MQ 7−→ Q(b)

il est clair que P ∈ kerω, de plus P étant irréductible dans K[X], l’idéal (P ) est maximaldonc kerω = (P ) et ainsi Imω ≃ K[X]/(P ) donc Imω est un sous-corps de M contenantω(X) = b et ω(K) = K : on en déduit que Imω = M et ainsi M ≃ K[X]/(P ) = L.

�

2.3 Théorème

Soit K un corps et soit P un polynôme non constant de K[X] ; alors il existe une extensionL de K dans laquelle P est scindé, i.e P est produit de polynômes de L[X] de degré 1.

Preuve : La démonstration se fait par récurrence sur d = deg(P ) : écrivons P commeproduit de facteurs irréductibles Q1, Q2, · · · , Qr dans l’anneau factoriel K[X].

Le théorème est évident si d = 1 ; si d ≥ 2 supposons le théorème vrai pour tout polynômenon constant de degré < d sur un corps quelconque. Considérons L1 le corps de rupturede Q1 et a1 ∈ L1 une racine de Q1, alors il existe R1 ∈ L1[X] tel que

Q1 = (X − a1)R1(X).

Appliquons l’hypothèse de récurrence à R1 : il existe une extension M1 de L1 dans laquelleR1 est produit de polynômes de M1[X] de degré 1 donc Q1 est produit de polynômesde M1[X] de degré 1 ; puis on construit de la même façon une extension M2 de M1

dans laquelle Q2 est produit de polynômes de M2[X] de degré 1, etc... En effectuantl’opération pour tous les facteurs irréductibles de P , on construit une suite croissante decorps M1 ⊂M2 ⊂ · · · ⊂Mr de K et Mr est alors une extension de K dans laquelle P estscindé.

�

2.4 Proposition

Soit L une extension de degré fini d’un corps K et soit P un polynôme irréductible deK[X] ayant au moins une racine a dans L ; alors le degré de P divise le degré de l’extension[L : K].

76

Preuve :

En effet, d’après 1.6, on a

[L : K] = [L : K(a)][K(a) : K]

or [K(a) : K] = deg(P ) d’après 1.4.

�

2.5 Définition

Soit K un corps et soit P un polynôme de K[X] de degré n ≥ 1 ; on appelle corps dedécomposition de P sur K toute extension L de K vérifiant :

a) P est scindé dans L ;

b) L est minimal pour cette propriété, i.e L est engendré sur K par les racines de P .

2.6 Théorème

Soit K un corps et soit P un polynôme de K[X] de degré n ≥ 1 ; alors il existe un corpsde décomposition de P , unique à isomorphisme près.

Preuve :

Existence : elle est donnée par le théorème 2.3.

Unicité : il suffit de démontrer le lemme suivant qui fournit un résultat meilleur

Lemme : Soient K et K ′ deux corps et i un isomorphisme de K sur K ′ ; on considère Pun polynôme de K[X] de degré n ≥ 1, L un corps de décomposition de P sur K et L′

un corps de décomposition de i(P ) sur K ′ : alors il existe un isomorphisme de L sur L′

prolongeant i.

La démonstration se fait par récurrence sur [L : K] :si [L : K] = 1, alors L = K i.e P est scindé sur K donc i(P ) est scindé sur i(K) = K ′ etpar minimalité, on a alors L′ = K ′ ;si [L : K] ≥ 2, on suppose que si L est une extension d’un corps M avec [L : M ] < [L : K],alors le lemme est vrai pour tout polynôme de degré ≥ 1 de M [X] ;comme [L : K] ≥ 2, P n’est pas scindé sur K donc il existe α ∈ L−K tel que α est racinede P ; soit Q le polynôme minimal de α, alors Q est un facteur irréductible de P . De plusi induit de manière évidente un isomorphisme de K[X] sur K ′[X] et un isomorphisme i deK[X]/(Q) sur K ′[X]/(i(Q)), d’où i(Q) est un facteur irréductible de i(P ) : considéronsα′ une racine de i(Q) dans L′ et posons M = K(α) et M ′ = K ′(α′), alors M (resp. M ′)est un corps de rupture de Q sur K (resp. de i(Q) sur K ′) ; on en déduit alors, d’après 2.2qu’il existe un isomorphisme ψ de M sur M ′ prolongeant i, défini de la manière suivante :

ψ : M = K(α)∼−→ K[X]/(Q)

ei−→ K ′[X]/(i(Q))∼−→ M ′ = K ′(α′)

A(α) 7−→ A (mod Q) 7−→ i(A) (mod i(Q)) 7−→ i(A)(α′)

et vérifiant ψ(α) = α′. De plus, dans M [X], P s’écrit P = (X −α)S et dans M ′[X], i(P )s’écrit i(P ) = (X − α′)T , d’où ψ(S) = T . Alors L est un corps de décomposition de Ssur M et L′ est un corps de décomposition de T sur M ′ ; or [L : M ] < [L : K], doncpar hypothèse de récurrence, il existe un isomorphisme ϕ de L sur L′ prolongeant ψ doncprolongeant i.

77

3 Corps algébriquement clos - clôture algébrique

3.1 Définition

On dit qu’un corps K est algébriquement clos si tout polynôme non constant de K[X]possède au moins une racine dans K.

3.2 Théorème

Soit K un corps ; alors K est algébriquement clos si et seulement si il vérifie l’une destrois conditions équivalentes suivantes :

a) tout polynôme non constant de K[X] est scindé dans K[X],

b) tout polynôme irréductible de K[X] est de degré 1,

c) toute extension algébrique de K coïncide avec K.

Preuve :

Tout d’abord, montrons que K est algébriquement clos si et seulement si il vérifie lacondition a) : si a) est vérifiée, il est clair que K est algébriquement clos ;

réciproquement, supposons que K est algébriquement clos et considérons un polynôme dedegré d ≥ 1 : si d = 1, la condition a) est vérifiée ; si d ≥ 2, supposons la condition a)vérifiée pour tout polynôme de K[X] de degré < d : comme K est algébriquement clos, Padmet au moins une racine a ∈ K et ainsi, il existe Q ∈ K[X] tel que P = (X − a)Q(X) ;alors deg(Q) = d − 1, donc par hypothèse de récurrence, Q est produit de facteurs dedegré 1 dans K[X], il en est donc de même pour P .

a)=⇒ b) : considérons un polynôme irréductible P de K[X] ; si deg(P ) = d ≥ 2 alors,comme d’après a) P est produit de d polynômes de degré 1, P ne serait pas irréductible,donc P est de degré 1.

b)=⇒ c) : Soit L une extension algébrique de K et soit a ∈ L ; alors le polynôme minimalde a est irréductible dans K[X], donc est de degré 1 d’après b), on en déduit aussitôt quea ∈ K et ainsi L = K.

c)=⇒ a) : supposons a) non vérifiée, alors, comme l’anneau K[X] est factoriel, celà si-gnifie qu’il existe au moins un polynôme P irréductible de degré d ≥ 2 ; alors l’extensionK[X]/(P ) de K est de degré d (donc algébrique) et contient strictement K puisque d 6= 1,ce qui contredit c) : donc a) est vérifiée.

�

Exemples

a) C est algébriquement clos.

b) R n’est pas algébriquement clos : le polynôme X2 + 1 n’admet pas de racine réelle.

c) Un corps fini n’est jamais algébriquement clos : en effet, si K est un corps fini à n

éléments K = {a1, · · · , an}, le polynôme∏

1≤i≤n

(X − ai) + 1 ne possède pas de racine dans

K.

78

3.3 Définition

Soit K un corps : on appelle clôture algébrique de K tout corps algébriquement clos quiest une extension algébrique de K.

3.4 Théorème

Tout corps K possède une clôture algébrique L unique à isomorphisme près : si L′ est uneautre clôture algébrique de K, il existe un isomorphisme de corps ϕ : L −→ L′ dont larestriction à K est l’identité.

Preuve : admise.

3.5 Théorème

Soit Q l’ensemble des éléments de C qui sont algébriques sur Q : alors Q est une clôturealgébrique de Q de degré infini sur Q.

Preuve :

D’après 1.7, Q est un sous-corps de C et est évidemment une extension algébrique de Q ;montrons que Q est algébriquement clos :

soit P = anXn + · · · + a0 un polynôme de Q[X] ; on définit par récurrence une suite

croissante de sous-corps de C, K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Kn en posant K0 = Q(a0) et Ki =Ki−1(ai) pour tout 1 ≤ i ≤ n, alors [Ki : Ki−1] = [Ki−1(ai) : Ki−1] < +∞ pour tout 1 ≤i ≤ n puisque ai est algébrique sur Q donc sur son extension Ki−1, et [K0 : Q] = [Q(a0) :Q] < +∞ ; on en déduit par le théorème de la base télescopique que [Kn : Q] < +∞.

Considérons maintenant une racine complexe a de P et montrons que a ∈ Q : a estalgébrique sur Kn puisque P (a) = 0 et P ∈ Kn[X] donc [Kn(a) : Kn] < +∞, d’où[Kn(a) : Q] = [Kn(a) : Kn][Kn : Q] < +∞ et ainsi a est algébrique sur Q d’après 1.5, i.ea ∈ Q. Donc P est produit de facteurs de degré 1 dans Q[X] : Q est donc algébriquementclos.

Montrons enfin que [Q : Q] = +∞ : pour tout n ∈ N∗, le polynôme Xn−2 est irréductibledans Q[X] (critère d’Eisenstein) , donc n

√2 est un élément algébrique sur Q de degré n ;

supposons [Q : Q] < +∞, alors d’après 2.4, n divise [Q : Q] et ce pour tout n ∈ N∗, cequi est impossible. Donc [Q : Q] = +∞.

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4 Corps finis

4.1 Proposition

Soit K un corps de caractéristique non nulle p (nombre premier) ; alors l’application

F : K −→ Kx 7−→ xp

est un homomorphisme d’anneaux injectif appelé homomorphisme de Frobenius. De plus,si K est fini, F est un automorphisme, et si K = Fp, F est l’identité.

Preuve : on a clairement F (1) = 1 et pour tous x, y ∈ K, on a F (xy) = (xy)p = xpyp =F (x)F (y) puisque K est commutatif.

79

D’autre part, F (x+y) = (x+y)p = xp+

p−1∑

k=1

Ckpx

kyp−k+yp ; démontrons le lemme suivant :

Lemme : soit p un nombre premier, alors pour tout 1 ≤ k ≤ p− 1, p divise Ckp .

En effet, on a Ckp × k! = p(p − 1) · · · (p − k + 1) donc p divise Ck

p × k!, or p est premieravec k! puisque 1 ≤ k ≤ p− 1 et p est un nombre premier, d’où p divise Ck

p .

On en déduit que Ckpx

kyp−k = 0 pour tout 1 ≤ k ≤ p−1 puisque K est de caractéristiquep. D’où F (x + y) = (x + y)p = xp + yp = F (x) + F (y). Ainsi F est un homomorphismed’anneaux.

Montrons que F est injectif : kerF est un idéal du corpsK donc kerF = {0} ou kerF = K,or F n’est pas l’homomorphisme nul donc kerF 6= K, d’où kerF = {0} et F est injectif.

D’autre part, si K est fini, alors F étant injectif est bijectif, et si K = Fp, F est l’identitéd’après le petit théorème de Fermat.

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4.2 Théorème

a) Soit K un corps fini à q éléments, alors il existe un nombre premier p et un entier n ≥ 1tel que q = pn.

b) Soit q = pn où p est un nombre premier et n un entier n ≥ 1, alors “le” corps dedécomposition du polynôme Xq −X sur Fp est un corps à q éléments.

c) Soit q = pn où p est un nombre premier et n un entier n ≥ 1 et soit K un corps à qéléments ; alors K est isomorphe au corps de décomposition du polynôme Xq −X sur Fp.Ainsi deux corps à q éléments sont isomorphes. On note alors Fq “le” corps à q éléments.

Preuve :

a) : cf. 1.3.

b) : Soit q = pn où p est un nombre premier et n un entier n ≥ 1 et soit K “le” corps dedécomposition du polynôme P = Xq − X sur Fp ; considérons k = {x ∈ K / P (x) = 0}l’ensemble des racines de P sur K et montrons que k est un sous-corps de K :

il est clair que 1K est racine de P donc 1K ∈ k ;

soient x et y ∈ k, alors xq = x et yq = y d’où (xy)q = xqyq = xy et ainsi xy ∈ k ; montronsmaintenant par récurrence sur n que (x− y)q = xq − yq :

si n = 1, alors q = p et on a d’après 4.1, (x− y)p = xp + (−y)p = xp + (−1K)pyp ; or p estpremier donc, soit p ≥ 3 et alors p est impair, soit p = 2 et K est alors de caractéristique 2,d’où 1K = −1K , donc dans tous les cas (−1K)pyp = −yp. On en déduit (x−y)p = xp−yp.

si n ≥ 2, supposons que (x− y)pn−1

= xpn−1 − ypn−1

, alors on a(x − y)pn

= ((x − y)pn−1

)p = (xpn−1 − ypn−1

)p = (xpn−1

)p − (ypn−1

)p d’après le cas n = 1,d’où (x− y)pn

= xpn − ypn

.

Ainsi on a (x− y)q = xq − yq = x− y puisque x et y ∈ k, d’où x− y ∈ k. Donc k est unsous-anneau de K ; de plus, pour tout x ∈ k∗, x possède un inverse x−1 dans le corps Ket xq = x, d’où x−1 = (xq)−1 = x−q = (x−1)q et ainsi x−1 ∈ k, donc k est un sous-corps

80

de K. On en déduit que K = k, puisque le corps de décomposition d’un polynôme estengendré par les racines de ce polynôme.

De plus, P ′ = qXq−1 − 1 = pnXq−1 − 1 = −1 puisque K est de caractéristique p, donctoutes les racines de P sont simples, i.e Card(k) = q, donc K = k est un corps à qéléments.

c) Soit K un corps à q = pn éléments, alors K∗ = K −{0K} est un groupe multiplicatif àq−1 éléments donc, d’après le théorème de Lagrange, tout x ∈ K∗ vérifie xq−1 = 1K d’oùxq = x ; cette égalité étant également vérifiée par 0K , on en déduit que tout élément de Kest racine du polynôme Xq −X. D’autre part, K étant de caractéristique p, le sous-corpspremier k de K est isomorphe à Fp ainsi, puisque K est engendré sur k par les racines deXq −X, K est isomorphe au corps de décomposition de Xq −X sur Fp.

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5 Théorème de Wedderburn


Soit n ∈ N∗ : on note Un = {z ∈ C / zn = 1} le groupe des racines nièmes de l’unité ;alors l’application

f : Z/nZ −→ Un

k 7−→ e2ikπ

n

est un isomorphisme de groupes (et ainsi Un est cyclique) ; de plus on a les équivalences

e2ikπ

n engendre Un ⇐⇒ k engendre Z/nZ ⇐⇒ k ∧ n = 1.

On appelle racine primitive nième de l’unité tout élément de Un qui engendre Un, i.e quiest d’ordre n, et on note P (Un) l’ensemble des racines primitives nièmes de l’unité : ainsion a

P (Un) = {e 2ikπn / k ∧ n = 1}

et CardP (Un) = ϕ(n) où ϕ est la fonction indicateur d’Euler.

5.2 Définition

Soit n ∈ N∗ : on appelle nième polynôme cyclotomique le polynôme Φn(X) défini par

Φn(X) =∏

α∈P (Un)

(X − α).

5.3 Proposition

Soit n ∈ N∗ ; alors on a :

a) Φn(X) est unitaire et de degré ϕ(n) ;

b) Xn − 1 =∏

d∈N∗,d|n

Φd(X) ;

c) Φn(X) est à coefficients dans Z.

81

Preuve :

a) clair.

b) Les ensembles P (Ud) forment une partition de Un quand d décrit l’ensemble des divi-seurs positifs de n, en effet :

pour tout diviseur positif d de n et pour tout α ∈ P (Ud), on a αd = 1 donc αn = 1 d’oùP (Ud) ⊂ Un ; réciproquement, pour tout α ∈ Un, ord(α) divise n et α ∈ P (Uord(α)), donc

Un =⋃

d|n

P (Ud).

D’autre part, pour tout d le groupe Ud est cyclique donc P (Ud) 6= ∅ et, si P (Ud)∩P (Ud′)est non vide, alors pour tout α ∈ P (Ud) ∩ P (Ud′) on a ord(α) = d = d′ : on a donc bienune partition.

Or Xn − 1 est unitaire et n’a que des racines simples dans C donc, par définition mêmede Un, on a

Xn − 1 =∏

α∈Un

(X − α)

d’où

Xn − 1 =∏

d|n

∏

α∈P (Ud)

(X − α)

=

∏

d|n

Φd(X).

c) Montrons que Φn(X) est à coefficients dans Z par récurrence sur n :

si n = 1, alors Φn(X) = X − 1 ∈ Z[X] ;

si n ≥ 2, on suppose que Φm(X) ∈ Z[X] pour tout entier m ≤ n− 1 ; alors on a

Xn − 1 =∏

d|n

Φd(X) = Φn(X)R(X)

où R(X) =∏

d|n,d6=n

Φd(X) : ainsi R(X) est unitaire et à coefficients entiers par hypothèse

de récurrence donc, quand on effectue la division euclidienne de Xn −1 par R, le quotientΦn(X) est aussi à coefficients entiers.

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5.4 Théorème de Wedderburn

Tout corps fini est commutatif ; ainsi pour tout corps fini K, il existe un nombre premierp et un entier n ≥ 1 tel que K ≃ Fpn.

Preuve :

Soit K un corps fini a priori non commutatif ; considérons le centre Z(K) défini par

Z(K) = {x ∈ K / ∀ y ∈ K, xy = yx}.

Notons q = Card(Z(K)), alors q ≥ 2 puisque 0K et 1K ∈ Z(K). On vérifie facilementque Z(K) est un sous-corps commutatif de K, et ainsi K est muni d’une structure de

82

Z(K)-espace vectoriel, de dimension finie n ≥ 1 puisque K est fini, d’où |K| = qn : on vamontrer que n = 1, ainsi on aura Z(K) = K et K sera commutatif.

Considérons x ∈ K∗ et posons Kx = {y ∈ K / xy = yx}, alors on vérifie facilementque Kx est un sous-corps de K et que Z(K) ⊂ Kx donc Kx est muni d’une structurede Z(K)-espace vectoriel de dimension finie nx ≥ 1, d’où |Kx| = qnx . D’autre part, K∗

x

est un sous-groupe du groupe multiplicatif K∗ donc d’après le théorème de Lagrange,|K∗

x| = qnx − 1 divise |K∗| = qn − 1 ; on en déduit alors que nx divise n à l’aide du lemmesuivant :

Lemme : Soient a et b ∈ N∗, alors on a :

qb − 1 | qa − 1 ⇐⇒ b | a.

En effet, si b | a, il existe k ∈ N∗ tel que a = bk, d’où

qa − 1 = (qb)k − 1 = (qb − 1)((qb)k−1 + · · ·+ qb + 1).

Réciproquement, si qb−1 | qa−1, effectuons la division euclidienne de a par b : a = bs+roù 0 ≤ r ≤ b− 1, alors

qa − 1 = qbsqr − 1 = qr(qbs − 1) + qr − 1

or qb − 1 divise qa − 1 et qbs − 1 donc, si r 6= 0, qb − 1 divise qr − 1 ; comme qb − 1 ≥ 1et qr − 1 ≥ 1, on en déduit que qb − 1 ≤ qr − 1, d’où b ≤ r puisque q ≥ 2 ce qui estimpossible, donc r = 0 et b divise a.

Le centre Z(K∗) du groupe K∗ n’est autre que Z(K)∗ = Z(K) − {0} et K∗x = Kx − {0}

est le centralisateur de x dans K∗.

Supposons n 6= 1 : alors K 6= Z(K) et ainsi K∗ 6= Z(K∗), on a alors d’après III 9.3“l’équation des classes”

|K∗| = |Z(K∗)| +∑

x 6∈Z(K∗)

[K∗ : K∗x]

en prenant un et un seul x 6∈ Z(K∗) par classe de conjugaison dans la somme.

Alors on obtient

qn − 1 = q − 1 +∑

x 6∈Z(K∗)

|K∗||K∗

x|= q − 1 +

∑

x 6∈Z(K∗)

qn − 1

qnx − 1.

Or, d’après 5.3 on a Xn − 1 =∏

d|n

Φd(X) et pour tout d ∈ N∗, Φd(X) est à coefficients

dans Z, d’où qn − 1 =∏

d|n

Φd(q) et Φn(q) divise qn − 1.

De la même façon, on a pour tout x 6∈ Z(K∗), qnx −1 =∏

d|nx

Φd(q) donc, puisque nx divise

n, si on note I = {d ∈ N∗ / d|n et d6 |nx}, on obtient

qn − 1

qnx − 1=∏

d∈I

Φd(q)

83

or, comme x 6∈ Z(K∗), il existe y ∈ K tel que xy 6= yx d’où Kx 6= K et nx 6= n, par

conséquent l’ensemble I contient n et ainsi Φn(q) diviseqn − 1

qnx − 1. On en déduit aussitôt

que Φn(q) divise q − 1, d’où |Φn(q)| ≤ |q − 1|.Or n 6= 1 donc, pour tout α = cos θ + i sin θ ∈ P (Un), on a α 6= 1 donc

|q − α| =√

(q − cos θ)2 + sin2 θ =√q2 − 2q cos θ + 1 >

√q2 − 2q + 1 = |q − 1|

d’où

|Φn(q)| =∏

α∈P (Un)

|q − α| > |q − 1|ϕ(n) ≥ |q − 1|

ce qui est absurde, donc n = 1 et ainsi K est commutatif.

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