ALG 1 Raisonnements, entiers et rationnels · Son enseignement était fondé sur les nombres...

ALG 1 Raisonnements, entiers et rationnels

Nous commençons l’année par un survol des principales formes de raisonnementset des ensembles de nombres usuels.

1 Raisonnements, entiers et rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 La langue symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Prédicats et quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Petite typologie des raisonnements mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.1 Démontrer une disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Démontrer une implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3 Démontrer une équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.4 Le raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.5 Démonstration d’une propriété universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Conseils de rédaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.1 Pas de langue symbolique dans les démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.2 Tout objet nouveau doit être correctement introduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75.3 De l’intelligence des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6 Quelques stratégies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.1 La disjonction des cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.2 Preuves d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86.3 L’analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7 Entiers naturels, propriété de bon ordre et raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . 98 Division euclidienne dansZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110 Annexe : réponses aux tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

PCSI2 \ 2019-2020 Laurent Kaczmarek

P YTHAGORE fonda une école vers 525 avant JC. Son enseignement était fondé sur les nombresentiers ; il pensait en particulier que toutes les longueurs sont commensurables : pour touteslongueurs a et b, le rapport a /b est un nombre rationnel, ie le rapport de deux entiers. Un de

ses élèves découvrit un jour l’existence de nombres irrationnels ce qui remis en question tout l’édificephilosophique de Pythagore. De nombreux membres de cette école tentèrent de garder secret cettedécouverte, on prétend même (mais cela est controversé) qu’ils allèrent jusqu’au meurtre pour cacherl’existence des nombres irrationnels.

Les débuts de l’Arithmétique sont intimement liés à l’idée de numération. Certaines civilisations dé-veloppèrent indépendemment des méthodes de calcul (cf. en Chine, à Babylone ou encore en Egypte)mais il faudra attendre l’époque d’Euclide pour voir apparaître une véritable théorie mathématique.Diophante développera ce corpus en y apportant l’étude des équations d’inconnues entières.

En 1621, Bachet donna la première édition gréco-latine de Diophante avec un copieux commentaire.Il vérifia pour les 325 premiers entiers qu’ils sont bien la somme de quatre carrés au plus (théorèmedes qautre carrés, dit parfois de Bachet). D’autre part dans ses Problèmes plaisans et délectables de1624, il énonça que si a et b sont premiers entre eux, il existe x et y tels que ax +by = 1 (théorème deBezout). Il établissait cette importante relation grâce à l’algorithme d’Euclide.

Fermat, lisant Diophante dans l’édition de Bachet, alla beaucoup plus loin. Citons parmi ses décou-vertes :

Pierre de Fermat

. le petit théorème de Fermat : pour tout nombre premier p ettout entier a non divisible par p, ap −a est divisible par p ;

. l’équation de Fermat : x2 = Ay2 +1 avec A ∈N qui n’est pas uncarré parfait ;

. les nombres de Fermat : ils sont de la forme 22n + 1, soit3,5,17,257,65537,4294967297, etc. On croyait à l’époque qu’ilsétaient premiers. Mais 4294967297 ne l’est pas ;

. le grand théorème de Fermat 1 : pour tout entier n, n > 2, l’équa-tion

xn + yn = zn

n’a pas de solution non triviale dansZ3.

Le XVIIIe siècle ne connut que peu de développements en Arithmétique, les mathématiciens s’inté-ressèrent surtout à l’Algèbre et à l’Analyse naissante (voir l’invention commune du calcul différentielpar Leibniz et Newton). On peut tout de mêm citer les noms d’Euler et de Lagrange dont les contribu-tions à la reine des sciences furent non négligeables.

Au XIXe siècle, deux noms dominent : Legendre et Gauss. Adrien-Marie Legendre (1752-1833) débuteen 1794 et sa grande œuvre demeure la Théorie des Nombres publiée en 1830. Carl-Friedrich Gauss(1777-1855) écrit les Disquisitionnes arithmeticae en 1801 : cet ouvrage contraste fortement avec celuide Legendre car est empli d’une rigueur toute nouvelle. On y trouve la première étude correcte descongruences et plusieurs preuves de la loi de réciprocité quadratique.

L’Arithmétique a connu un regain d’intérêt au XXe siècle grâce au développement de l’informatique.La cryptologie, science du codage, utilise de nombreux résultats pointus d’Arithmétique (corps finis,tests de primalité, etc).

1. Voir les preuves des cas n = 4 par Fermat, n = 3 par Euler, puis les travaux de Sophie Germain Germain et de Kummer au XIXe siècle. La premièredémonstration du cas général dans le grand théorème de Fermat a été donnée par par Andrew Wiles en 1994.

LLG \ PCSI2 ALG 1 \ 2


1. La langue symbolique

La logique formelle n’est pas au programme, nous nous contentons d’une introduction informelle. EnMathématiques, on manipule des propositions qui sont vraies ou fausses et cela sans ambiguité. Pourune proposition p, on écrit couramment « supposons p » au lieu de « supposons p vraie ».

Définition 1.1. Opérateurs logiques ¬, ∧, ∨, =⇒ et ⇐⇒Dans ce qui suit, les inconnues p et q désignent des propositions.

. La négation : la proposition ¬p est vraie si p est fausse et fausse si p est vraie.

. La conjonction « et » : la proposition p ∧q est vraie si p et q sont vraies toutes les deux et faussesinon.

. La disjonction « ou » : la proposition p ∨q est vraie si l’une au moins des propositions p et q est vraieet fausse dans le seul cas où p et q sont fausses toutes les deux.

. L’implication : la proposition p =⇒ q, qu’on lit p implique q, est fausse dans le seul cas où p estvraie et q fausse.

. L’équivalence : la proposition p ⇐⇒ q, qu’on lit p si et seulement si q ou encore p et q sont équi-valentes, est vraie si p et q sont toutes deux vraies ou toutes les deux fausses, et fausse sinon.

Remarque 1.2. Tables de véritéOn peut résumer ces définitions au moyen de tableaux appelés tables de vérité.

On rappelle que l’implication q =⇒ p est appelée réciproque de p =⇒ q . Deux propositionsconstruites sur des propositions p, q , etc. sont dites synonymes si elles ont la même valeur de vé-rité quelles que soient les valeurs de vérités de p, q , etc. Par exemple, p et ¬(¬p) sont synonymes.

Définition 1.3. Condition nécessaire, condition suffisante

Soient p et q deux propositions. On dit que p est une condition suffisante de q ou encore que q est unecondition nécessaire de p si l’implication p =⇒ q est vraie.

Exemple 1.4. Petite illustrationLes propositions p =⇒ q et ¬q =⇒ ¬p sont synonymes. Pour un entier naturel n, « n est divisiblepar 6 » est une condition suffisante de « n est pair » mais elle n’est pas nécessaire.

�Du bon usage de l’implicationIl ne faut confondre l’opérateur =⇒ et la conjonction « donc ». Le premier est souvent employécomme synonyme de « donc » lorsque l’on prend des notes mais il faut absolument éviter cet

usage en Mathématiques. Quant on écrit « p est vraie donc q est vraie », on condense en fait le raison-nement déductif suivant :

p est vraie et p =⇒ q est vraie donc q est vraie

Quant on écrit p =⇒ q , on affirme que cette implication est vraie ce qui ne signifie pas que p et qsont vraies. À méditer : l’implication 0 = 1 =⇒ 0 = 2 est vraie.

2. Les ensembles

D’un point de vue naïf, un ensemble est une « boîte » virtuelle contenant des objets appelés ses élé-ments. Il faut bien comprendre que seule l’appartenance des objets à la boîte importe : il n’y a aucunehiérarchie (aucun ordre) entre les différents éléments d’un ensemble.



π

0p2 5

2

E

La notation des ensembles est universelle : la boîte est délimitéepar une paire d’accolades ouvrante-fermante { } et les élémentssont écrits entre ces accolades. Notons E l’ensemble ci-contre.Puisqu’un ensemble n’est pas ordonné, on a

E ={

0,π,p

2,5

2

}=

{π,

5

2,0,

p2

}

Définition 1.5. Notion naïve d’ensemble, symboles ∈ et 6∈, ensemble vide, cardinal

Un ensemble E est une collection d’objets sans ordre.

. L’énoncé x ∈ E signifie que l’objet x appartient à l’ensemble E, on dit aussi que x est un élément deE ou encore que E contient x, ou plus simplement que x est dans E.

. On écrira x 6∈ E pour signifier que E ne contient pas l’objet x.

. On note ∅ et on appelle ensemble vide, l’ensemble qui ne contient aucun élément.

. Le nombre d’élément(s) d’un ensemble fini E est appelé cardinal de E et noté card (E), #E ou |E|.

Remarque 1.6. De la théorie des ensembleInsuffisance de cette « définition » : évocation du paradoxe de Russell et de son équivalent ensem-bliste. Un mot sur la théorie de ensembles qui n’est pas au programme.

Définition 1.7. Inclusion, différence

Soient E et F deux ensembles.

. On écrira F ⊂ E et l’on dira que « F est un sous-ensemble de E » ou encore que « F est une partie deE » pour signifier que tous les éléments de F sont contenus dans E. La proposition F ⊂ E est doncsynonyme de ∀x , (x ∈ F) =⇒ (x ∈ E).

. On notera E \ F l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans F.

�Ne pas confondre ⊂ et ∈Le symbole d’inclusion ⊂ est réservé à la comparaison dedeux ensembles, il ne faut pas le confondre avec le symbole

∈ qui est utilisé pour dire qu’un objet appartient à un ensemble.Ainsi, on écrira au choix x ∈ F ou {x} ⊂ F pour traduire le fait que xest un élément de F. Ci-contre, on a les relations x ∈ F et F ⊂ E.

x

E

F

Rappelons la définition naïve d’un couple : (x, y) est la donnée simultanée et ordonnée de deux objetsmathématiques x et y .

Définition 1.8. Produit cartésien d’ensemble

Soient E et F deux ensembles.

. On note E×F l’ensemble des couples (x, y) tels que (x ∈ E) ∧ (y ∈ F

).

. L’ensemble E×E est noté plus simplement E2.

L’ensemble E×F est vide si et seulement si E =∅ou F =∅. On définit plus généralement E1×E2×·· ·×En

l’ensemble des listes (x1, . . . , xn) où ∀i ∈ {1, . . . ,n}, xi ∈ Ei . De même pour En .



3. Prédicats et quantification

D’un point de vue naïf, un prédicat est une proposition dépendant de variables. Le cas le plus connuest celui d’une proposition P(n) dépendant d’un entier n dans un raisonnement par récurrence.

Définition 1.9. Quantificateurs universel et existentiel

On considère un prédicat P sur un ensemble E.

. La proposition ∀x ∈ E, P(x) signifie que « pour tout x de E, la proposition P(x) est vraie ».

. La proposition ∃x ∈ E, P(x) signifie qu’ « il existe un élément x de E tel que P(x) soit vraie ».

. La proposition ∃!x ∈ E, P(x) signifie qu’ « il existe un unique élément x de E tel que P(x) soit vraie ».

Il y a deux grandes manières de définir un ensemble : en énumérant ses éléments ou en les décrivantpar un prédicat.

Exemple 1.10.Illustration de ces deux modes de définition au moyen de l’ensemble I des entiers naturels impairs.Donner sous forme quantifiée la définition d’une suite de nombre réels bornée.

Savoir faire 1.11. Négation d’une proposition quantifiée

Soit P un prédicat sur un ensemble E.

. La négation de ∀x ∈ E, P(x) est ∃x ∈ E, ¬P(x). Celle de ∃x ∈ E, P(x) est ∀x ∈ E, ¬P(x).

Exemple 1.12.Expliciter la négation de ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y, P(x, y). Idem avec la définition d’une suite bornée.

D’une manière générale, pour nier une phrase contenant un ou plusieurs quantificateurs, on réécritcette phrase en remplaçant tous les ∀ par des ∃ et tous les ∃ par des ∀, puis on nie le prédicat final.

4. Petite typologie des raisonnements mathématiques

4.1. Démontrer une disjonction

Rédaction à adopter pour démontrer p ∨q :

Supposons ¬p.

... démonstration ...

Ainsi q est vraie.

En résumé, pour établir que p ∨q est vraie,on suppose que p est fausse et l’on démontrequ’alors q est vraie.

On peut bien-sûr inverser les rôles des proposi-tions p et q .

Exemple 1.13.Établir que, pour tout nombre réel x, max( |x|, |x −2| ) Ê 1.

4.2. Démontrer une implication

Pour montrer l’implication p =⇒ q :



On peut procéder directement :

Supposons p.


Ainsi q est vraie.

Ou par contraposition :

Raisonnons par contraposition.Supposons ¬q .


Ainsi ¬p.

L’implication ¬q =⇒ ¬p est appelée contraposée de p =⇒ q . Une implication et sa contraposée sontsynonymes (cf. « il pleut =⇒ il y a des nuages » et « il n’y a pas de nuage =⇒ il ne pleut pas »).

Exemple 1.14.Établir que ∀x ∈R, ((∀ε> 0, |x| É ε) =⇒ x = 0).

4.3. Démontrer une équivalence

Pour montrer l’équivalence p ⇐⇒ q :

On peut parfois procéder par équivalences suc-cessives :

p ⇐⇒ p1

⇐⇒ p2

...

⇐⇒ pn

⇐⇒ q

Ou par double implication en démontrant suc-cessivement p =⇒ q et q =⇒ p.

En effet, les propositions

(p =⇒ q)∧(q =⇒ p)

et

p ⇐⇒ q

sont synonymes.

Exemple 1.15. Deux cas d’écoleDémontrer les propriétés suivantes :

a) Pour tout (x, y) ∈R2,( |x + y | = |x|+ |y | ⇐⇒ x et y sont de même signe

).

b) Pour tout (x, y) ∈N2, x2 −x y + y2 = 1 ⇐⇒ (x, y) ∈ {(0,1), (1,0), (1,1)}.

4.4. Le raisonnement par l’absurde

On cherche à montrer qu’une proposition p estvraie.

Pour cela on trouve une proposition q notoire-ment fausse telle que ¬p =⇒ q .

Dans certains cas, on montre que ¬p =⇒ p.

Montrons p.Raisonnons par l’absurde.Supposons ¬p.


Ce qui est absurde : p est donc vraie.



Exemple 1.16.Démontrer que a fonction cosinus n’est pas polynomiale.

4.5. Démonstration d’une propriété universelle

La rédaction d’une preuve de

∀x ∈ E, P(x)

commence toujours par « Soit x ∈ E ».

Soit x ∈ E.

... preuve de P(x) ...

Ainsi P(x) est vraie.

Exemple 1.17.

Démontrer que, pour tout nombre réel x, x(1−x) É 1

4·

5. Conseils de rédaction

5.1. Pas de langue symbolique dans les démonstrations

�Éviter les connecteurs logiques et les quantificateurs dans les démonstrationsIl est préférable de réserver la langue symbolique à l’énoncé des théorèmes. Mêler la langue fran-çaise et les connecteurs logique présente quelques pièges : par exemple, il ne faut pas confondre

la conjonction « donc » et =⇒ , un quantificateur « ne porte » que sur le prédicat le suivant immédia-tement, etc.

Exemple 1.18. QuizzOn cherche à prouver la proposition ∀x ∈R∗, x2+1 > 1. Que pensez-vous des rédactions suivantes ?

a) Soit x un nombre réel non nul. On a x2 > 0 =⇒ x2 +1 > 1.

b) Soit x ∈R∗. On a x2 > 0 donc x2 +1 > 1.

c) ∀x ∈R∗, x2 > 0 donc x2 +1 > 1.

En ce début d’année, la seule exception tolérée à cette règle est le cas des équivalences lors de larésolution d’équations ou la démonstration d’égalités ou d’inégalités.

Exemple 1.19.Démontrer l’inégalité triangulaire surR.

5.2. Tout objet nouveau doit être correctement introduit

Dans une démonstration, tout objet mathématique x doit être clairement identifié par un des deuxmoyens suivants :

. Soit en le posant : « Soit x := ·· · ».

. Soit en le caractérisant par un prédicat : « Soit x tel que P(x) », etc.

Le second cas nécessite parfois des justifications : il faut en effet démontrer que l’ensemble des x telsque P(x) soit vrai est non vide!



5.3. De l’intelligence des notations

. Si un objet complexe à définir revient plusieurs fois dans un raisonnement ou un calcul, alors on atout intérêt à le nommer afin d’alléger la rédaction.

. En cas de prolifération des inconnues, il convient d’adopter des notations naturelles : on notera(par exemple) a, a′ (a1, a2 ou encore xA, yA, etc). les éléments d’un ensemble A.

6. Quelques stratégies

On regroupe dans ce qui suit des stratégies de raisonnement spécifiques.

6.1. La disjonction des cas

Commençons par un exemple.

Exemple 1.20.Démontrer que, pour tout x ∈R, x2 −x +1 Ê |x −1 |.

D’un point de vue plus formel, la disjonction repose sur la propriété suivante : si p ⇐⇒ q1∨q2, alorsp =⇒ q est synonyme de (q1 =⇒ q)∧(q2 =⇒ q). Elle s’adapte sans peine à un nombre de cassupérieur à deux. Cette technique est aussi intéressante pour la résolution des équations :

Exemple 1.21.Soit un nombre réel a. Résoudre dansR, l’équation |x +a| = 2x −a.

6.2. Preuves d’unicité

On cherche à montrer l’unicité d’un x ∈ E telque P(x) soit vraie.

Dans de nombreux cas, l’unicité découle d’unthéorème.

Si ce n’est pas le cas, on peut adopter la stratégieci-contre.

Soient x et x ′ dans E.

Supposons P(x) et P(x ′).


D’où x = x ′.

Exemple 1.22.Démontrer l’unicité dans la théorème de la division euclidienne surZ (cf. 10)

6.3. L’analyse-synthèse

Pour rechercher les solutions à un problème donné, on peut procéder par analyse-synthèse :

. l’analyse : on considère une hypothétique solution au problème et, par un raisonnement déductif,on accumule des propriétés qu’elle doit nécessairement vérifier.

. la synthèse : on examine tous les objets vérifiant les conditions nécessaires précédemment trouvées(ce sont les seuls candidats pouvant être des solutions) et on détermine, parmi eux, lesquels sontréellement des solutions.



Il arrive souvent que la phase d’analyse produise des conditions nécessaires si restrictives qu’il nereste plus qu’un seul objet qui les vérifie. Dans ce cas, cette première phase prouve l’unicité de lasolution, et la phase de synthèse permet de montrer soit l’existence d’une solution (si ce candidatrépond au problème), soit qu’il n’y a aucune solution.

Exemple 1.23. Une équation fonctionnelleDéterminer les suites de réels (un)n∈N telles que ∀(n,m) ∈N2, un+m = un +um .

7. Entiers naturels, propriété de bon ordre et raisonnement par récurrence

Les ensembles N = {0,1,2, . . .

}des entiers naturels et Z = {

. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}

des entiers relatifssont munis des deux opérations (+ et ×) et de la relation d’ordre (É) usuelles. Pour (a,b) ∈Z2, on note�a,b� l’ensemble des entiers k tels que a É k É b.

Définition 1.24. Parties majorées, minorées

Soit A une partie deZ.

. A est dite minorée si ∃m ∈Z tel que ∀a ∈ A, a Ê m ; on dit que m est un minorant de A.

. A est dite majorée si ∃M ∈Z tel que ∀a ∈ A, a É M ; on dit que M est un majorant de A.

. On dit que a est un plus petit élément de A si a ∈ A et a est un minorant de A.

. On dit que a est un plus grand élément de A si a ∈ A et a est un majorant de A.

En cas d’existence un plus petit (resp. grand) élément de A est unique et noté min(A) (resp. max(A)).

Nous considérerons la propriété suivante comme un axiome.

Proposition 1.25. Toute partie non vide deN admet un plus petit élément.

De cette propriété, dite de bon ordre, découle les cinq théorèmes suivants :

Theoreme 1.26. (Propriétés fondamentales deN).a) Toute partie non vide et minorée deZ admet un plus petit élément.

b) Toute partie non vide et majorée deN admet un plus grand élément.

c) Toute suite décroissante d’entiers naturels est stationnaire (ie constante APCR).

d) Il n’existe pas de suite strictement décroissante d’entiers naturels.

e) Soit, pour tout entier naturel n, une assertion HR(n).

Si HR(0) est vraie, et, ∀n ∈N, HR(n) =⇒ HR(n +1), alors ∀n ∈N, HR(n) est vraie

Le e) justifie les raisonnements par récurrence. On prouve 2 que l’on peut initialiser une réccurenceen n0 ∈N.

2. Considérer HR′(n) := HR(n +n0) pour tout n ∈N.



Savoir faire 1.27. Récurrences simple, double et forte

On pourra conclure que ∀n Ê n0, HR(n) est vraie dans les cas suivants :

. La récurrence simple :

{HR(n0) est vraie

∀n Ê n0, HR(n) =⇒ HR(n +1)

. La récurrence double :

{HR(n0) et HR(n0 +1) sont vraies

∀n Ê n0, HR(n) et HR(n +1) =⇒ HR(n +2)

. La récurrence forte :

{HR(n0) est vraie

∀n Ê n0, (HR(n0) et · · · et HR(n −1) et HR(n) ) =⇒ HR(n +1)

La phase du raisonnement où l’on prouve que HR(n0) est vraie est appelée initialisation, celle où l’onprouve que∀n Ê n0, HR(n) =⇒ HR(n+1) est l’hérédité. Dans une récurrence forte, l’hérédité consisteà supposer la propriété vraie jusqu’au rang n et à prouver qu’elle est vraie au rang n +1.

Exemple 1.28. Illustration des raisonnements par récurrence.Les questions suivantes sont presque indépendantes. . .

a) Montrer que ∀n ∈N, 1+·· ·+n = n(n +1)

2· Bonus : donner une preuve directe de cette formule.

b) Montrer que ∀n ∈N, 5n+2 Ê 4n+2 +3n+2.

c) Soit (un)n∈N définie par u0 = u1 = 1 et ∀n ∈N, un+2 = un+1 +un . Montrer que ∀n ∈N, un Ê n.

d) Soit (un)nÊ1 une suite de réels positifs telle que u1 = 1 et ∀n Ê 2, u2n = un−1 +·· ·+u1.

Démontrer que ∀n ∈N∗, un Ê n

4·

e) Déterminer les suites d’entiers naturels (un)n∈N strictement croissantes telles que

u2 = 2 et ∀(n,m) ∈N2, unm = unum

Les propositions c) et d) de la proposition 1.26. sont essentielles en informatique théorique (ellespermettent de justifier que certains algorithmes s’arrêtent).

8. Division euclidienne dansZ

Le théorème de la division euclidienne est une mise en forme de la divisionenseignée et pratiquée dans « les petites classes, celle que l’on pose (cf. ci-contre) :

701 = 4×175+1

Plus généralement, a = bq + r avec 0 É r < b :a

r

b

q

L’algorithme sous-jacent est simple dans le cas où a Ê 0 et b > 0 : on re-tranche b à a tant que le résultat est supérieur ou égal à b.

701

− 400

= 301

− 280

= 21

− 20

= 1

4

175

Theoreme 1.29. (de la division euclidienne).Soit (a,b) ∈Z2 avec b 6= 0. Il existe un unique couple (q,r ) ∈Z2 tel que a = qb + r et 0 É r < |b|.



Les entiers naturels q et r sont appelés quotient et reste dans la division euclidienne de a par b.

Définition 1.30. Diviseurs et multiples

Soient (a,b) ∈Z2.

. On dit que a divise b (ou que a est un diviseur de b ou encore que b est un multiple de a) s’il existec ∈Z tel que b = ac. On note cette propriété a |b (le contraire est noté a 6 | b ).

. Pour a ∈Z, on note Da l’ensemble des diviseurs de a et aZ l’ensemble des multiples de a.

Corollaire 1.31. Pour b 6= 0, b |a ⇐⇒ le reste dans la division euclidienne de a par b est nul.

Exemple 1.32. Quelques résultats classiquesOn regroupe ci-dessous des propriétés usuelles.

a) Montrer que surZ, a |b et b |a si et seulement si a =±b.

b) Déterminer tous les entiers n ∈N tels que n +1 divise n2 +1.

c) Si (a,b) ∈N×N∗, alors quotient et reste euclidiens de a par b appartiennent àN.

9. Rationnels et irrationnels

L’ensemble des nombres rationnels est notéQ={ a

b; (a,b) ∈Z×N∗

}.

Savoir faire 1.33. Forme irréductible d’un rationnel

Tout nombre rationnel r s’écrit de manière unique sous la forme

r = a′

b′ , où(a′,b′) ∈Z×N∗ vérifie que a′ et b′ n’ont pas de diviseurs commun autre que ±1.

Cette écriture est appelée forme irréductible de r . On rappelle que pour calculer la somme de deuxnombres rationnels, on commence par les écrire sous forme irréductible puis on les met au mêmedénominateur (qui est le plus petit multiple commun de leurs dénominateurs) :

17

35+ 13

21= 17

5×7+ 13

3×7= 3×17

3×5×7+ 5×13

3×5×7= 116

3×5×7

Nous reviendrons plus longuement dans le chapitre Calculus sur l’ensemble des nombres réels quel’on peut se représenter comme une droite graduée :

0−1 1 2p

2

Proposition 1.34. (Irrationnalité de racine de deux).p

2 est irrationnel.

Tests

1.1. Soient a,b,c et d dansR∗ tels que b +d 6= 0. Prouver quea

b= c

d=⇒ a

b= c

d= a + c

b +d.

1.2. Que dire de l’irrationnalité de x + y et x y dans les trois cas suivants ?

a) x, y ∈Q ; b) x, y ∈R\Q ; c) x ∈Q, y ∈R\Q.



10. Annexe : réponses aux tests

1.1. Supposons l’égalité des deux fractions. On a alorsad = bc donc aussi (a + c)b = a(b +d), d’où le résultat.

1.2. Les preuves sont immédiates et laissées au lecteur.

a) On a x + y et x y dansQ.

b) Tout peut se produire ! Par exemple, pour x =p2, on a

2x ∉Qmais x −x = 0 ∈Q. De même, x2 = 2 ∈Qmaisxp

3 ∉Q.

c) On a x + y ∉Q. Si x = 0, x y = 0 ∈Q. Mais si x 6= 0, alorsx y ∉Q.


ALG 1 Raisonnements, entiers et rationnels · Son enseignement était fondé sur les nombres...

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