AF - FONCTIONS LIPSCHITZIENNES

Définitions Soit (M,d) et (M ′, d′) deux espaces métriques. Si k est un réel positif, on appelleapplication lipschitzienne de rapport k, une application de M dans M ′ qui est telle que, pour toutcouple (x, y) de M2, on ait

d′(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y) .

On notera Lipk(M,M ′) l’ensemble des applications lipschitziennes de rapport k de M dans M ′, etLip(M,M ′) la réunion de ces ensembles lorsque k décrit R

+.On appellera fonction lipschitzienne un élément de cet espace.

Si f est lipschitzienne, on posera

D(f) = supx 6=y

d′(f(x), f(y))

f(x, y)= inf{k ∈ R

+ | ∀(x, y) ∈ M2, d′(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y)} .

Par définition de f le nombre D(f) est fini et c’est le plus petit réel k tel que f soit dans Lipk(M,M ′).

Propriétés élémentaires

1) Si f est dans Lip(M,M ′), elle est uniformément continue sur M .2) L’ensemble Lipk(M,M ′) est une famille de fonctions uniformément équicontinues sur M .3) Si k ≤ k′, l’ensemble Lipk(M,M ′) est inclus dans Lipk′(M,M ′).4) L’ensemble Lip(M,M ′) est la réunion des ensembles Lipkn

(M,M ′), où (kn) est une suite crois-sante de réels positifs de limite +∞.

5) Si B est une partie bornée de M , la famille {f(B) | f ∈ Lipk(M,M ′)} est uniformément bornéedans M ′, et l’on a, pour tout f de Lipk(M,M ′)

diam(f(B)) ≤ k diam(B) .

6 ) Si f est dans Lip(M,M ′) et g dans Lip(M ′,M ′′), alors g ◦ f est dans Lip(M,M ′′), et

D(f ◦ g) ≤ D(f)D(g) .

7) Une fonction f est constante sur M si et seulement si f est lipschitzienne et D(f) est nul.

1) et 2) Soit f lipschitzienne de rapport k > 0. Soit ε > 0, si

d(x, y) <ε

k

alorsd′(f(x), f(y)) < ε ,

AF 2

et donc f est uniformément continue sur M , et l’ensemble Lipk(M,M ′) est une famille de fonctionsuniformément équicontinues sur M .

3) Si k ≤ k′, et si f est dans Lipk(M,M ′), on a, quels que soient (x, y) dans M2,

d′(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y) ≤ k′d(x, y)

et f est aussi dans Lipk′(M,M ′).

4) Si f est dans Lipk(M,M ′), il existe kn tel que kn ≥ k, alors, f est dans Lipkn

(M,M ′), donc dans laréunion de ces ensembles. On en déduit l’inclusion

⋃

k∈R+

Lipk(M,M ′) ⊂⋃

n∈N

Lipkn

(M,M ′) ,

et comme l’inclusion inverse est toujours vraie, on a égalité.

5) Fixons y dans B, et soit f dans Lipk(M,M ′). Soit z dans f(B). Il existe x dans B tel que

f(x) = z .

Alorsd′(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y) ≤ k diam(B) ,

et le membre de droite ne dépend pas de f . Donc la famille {f(B) | f ∈ Lipk(M,M ′)} est uniformémentbornée dans M ′. De plus, comme k diam(B) majore toutes les distances entre deux éléments de f(B),on obtient

diam(f(B)) ≤ k diam(B) .

6) Si f est dans Lip(M,M ′) et g dans Lip(M ′,M ′′), alors

d′′(g ◦ f(x), g ◦ f(y)) ≤ D(g)d′(f(x), f(y)) ≤ D(g)D(f)d(x, y) .

Alors g ◦ f est dans Lip(M,M ′) etD(f ◦ g) ≤ D(f)D(g) .

7) Si f est constante, on a, quels que soient (x, y) dans M2, et k réel positif,

d′(f(x), f(y)) = 0 ≤ k d(x, y)

et il en résulte que D(f) est nul.

Réciproquement, si D(f) est nul, alors, quels que soient (x, y) dans M2,

d′(f(x), f(y)) ≤ 0 = D(f) d(x, y) ,

et doncf(x) = f(y) .

Il en résulte que f est constante.

AF 3

Propriétés supplémentaires Supposons maintenant que (M ′, d) soit un espace vectoriel norméE sur le corps K égal à R ou C.1) L’ensemble Lip(M,E) est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions uniformément conti-

nues sur M à valeurs dans E.2) L’application D est une semi-norme sur Lip(M,E).3) Pour tout réel positif k, l’ensemble Lipk(M,E) est une partie convexe de Lip(M,E).4) Si f et g sont deux fonctions bornées de Lip(M,E), alors fg appartient à Lip(M,E).

1) et 2). Soit f et g dans Lip(M,E). On a, quels que soient (x, y) dans M2,

‖(f + g)(x) − (f + g)(y)‖ ≤ ‖f(x) − f(y)‖ + ‖g(x) − g(y)‖ ≤ D(f)d(x, y) + D(g)d(x, y) .

Donc f + g est dans Lip(M,E) et

D(f + g) ≤ D(f) + D(g) .

Si λ est dans K, on a aussi, quel que soit (x, y) dans M2,

‖(λf)(x) − (λf)(y)‖ = |λ| ‖f(x) − f(y)‖ ≤ |λ|D(d)d(x, y) .

Donc λf est dans Lip(M,E) etD(λf) ≤ |λ|D(f) .

Si λ est nul, on aD(λf) = |λ|D(f) = 0 .

Si λ n’est pas nul,

D(f) = D

(1

λ(λf)

)≤

1

|λ|D(λf) ,

ce qui donne|λ|D(f) ≤ D(λf) .

Finalement, on a bienD(λf) = |λ|D(f) .

Donc D est une semi-norme sur Lip(M,E). Et on a vu que D(f) est nulle si et seulement si f estconstante. Ce n’est donc pas une norme.

3) Soit λ dans [ 0, 1 ] . Alors, si f et g sont dans Lipk(M,E), on a

D(λf + (1 − λ)g) ≤ |λ|D(f) + (1 − λ)D(g) ≤ |λ|k + (1 − λ)k = k .

Donc λf + (1 − λ)g appartient à Lipk(M,E) qui est bien convexe.

4) On a‖(fg)(x) − (fg)(y)‖ ≤ ‖f(x)‖ ‖g(x) − g(y)‖ + ‖g(y)‖ ‖f(x) − f(y)‖ .

Donc‖(fg)(x) − (fg)(y)‖ ≤ (‖f‖∞ D(g) + ‖g‖∞ D(f))d(x, y) .

AF 4

Normes sur Lip(M, E)

Proposition 1 Soit f dans Lip(M,E), et x0, y0 dans M . On pose

‖f‖Lip = ‖f(x0)‖ + D(f) et ‖f‖′Lip = ‖f(y0)‖ + D(f) .

Alorsi) On définit ainsi deux normes équivalentes sur Lip(M,E).ii) L’application D est continue de Lip(M,E) muni d’une de ces normes dans R.iii) L’ensemble Lipk(M,E) est une partie convexe fermée de Lip(M,E).

i) Tout d’abord, pour tout x de M on a

‖f(x)‖ ≤ ‖f(x0)‖ + ‖f(x) − f(x0)‖ ≤ ‖f(x0)‖ + D(f)d(x, x0) ,

et donc

(1) ‖f(x)‖ ≤ (1 + d(x, x0))‖f‖Lip .

Alors

‖f(y0)‖ ≤ (1 + d(y0, x0))‖f‖Lip .

et l’on en déduit

‖f‖′Lip ≤ (2 + d(y0, x0))‖f‖Lip .

Puis, en permutant les rôles de x0 et y0,

‖f‖Lip ≤ (2 + d(y0, x0))‖f‖′Lip .

Alors, en posant

A = 2 + d(y0, x0)

on obtient immédiatement1

A‖f‖Lip ≤ ‖f‖′Lip ≤ A ‖f‖Lip ,

ce qui montre que les deux normes sont équivalentes.

ii) Puisque

|D(f) − D(g)| ≤ D(f − g) ≤ ‖f − g‖Lip ,

la continuité de D en résulte.

iii) Alors

Lipk(M,E) = D−1( [ 0, k ] )

est un ensemble fermé.

AF 5

Proposition 2

i) La convergence au sens de la norme Lip entraîne la convergence uniforme sur les compacts de M .ii) Si M est compact, pour tout f de Lip(M,E), posons

N(f) = ‖f‖∞ + D(f) .

On obtient une norme sur Lip(M,E) équivalente à la norme Lip.

i) Soit K un compact de M . Il résulte de la formule (1) que

supx∈K

‖f(x)‖ ≤ (1 + supx∈K

d(x, x0))‖f‖Lip ≤ (1 + diam M)‖f‖Lip .

Donc la convergence au sens de la norme Lip entraîne la convergence uniforme sur K.

ii) L’application N est la somme d’une norme et d’une semi-norme. C’est donc une norme.

Si M est compact, la fonction f atteint son maximum en un point y, alors

N(f) = ‖f(y)‖ + D(f) ≤ (2 + d(x0, y))‖f‖Lip ≤ (2 + diam M)‖f‖Lip .

Comme d’autre part‖f‖Lip ≤ N(f) ,

on a bien l’équivalence des deux normes.

Remarque : la convergence uniforme n’entraîne pas la convergence pour la norme Lip comme lemontre l’exemple suivant.

Soit M = R+. Prenons x0 = 0. Pour x positif, on pose

fn(x) = inf(nx, 1/n) .

On a de manière évidente

‖fn‖∞ =1

n,

par contre‖fn‖Lip = D(fn) = n .

La suite fn converge uniformément vers 0 pour la norme infinie, mais pas pour la norme Lip.

Théorème 1 Si E est un espace de Banach, l’espace Lip(M,E) est complet pour la norme Lip.

Soit (fn) une suite de Cauchy de Lip(M,E). D’après la formule (1), on a

‖fn(x) − fm(x)‖ ≤ (d(x, x0) + 1)‖fn − fm‖Lip .

AF 6

Il en résulte que, pour x dans M , la suite (fn(x)) est une suite de Cauchy de E qui est complet. Elleconverge donc vers un élément de E noté f(x).

Soit x et y dans M . On a

‖(fn − fm)(x) − (fn − fm)(y)‖ ≤ D(fn − fm) d(x, y) ≤ ‖fn − fm‖Lip d(x, y) .

Il existe N , tel que, si n et m sont plus grands que N , on ait

‖fn − fm‖Lip ≤ ε .

Alors, dans ces conditions,

‖(fn − fm)(x) − (fn − fm)(y)‖ ≤ ε d(x, y) .

Faisons tendre m vers l’infini dans l’inégalité précédente. Pour n supérieur à N on obtient

‖(fn − f)(x) − (fn − f)(y)‖ ≤ ε d(x, y) .

Ceci prouve que fn − f appartient à Lip(M,E), et comme fn appartient à cet espace vectoriel, il ensera de même de f .

Enfin, l’inégalité ci-dessus s’écrit encore

D(fn − f) ≤ ε

et montre que la suite (fn) converge vers f pour la semi-norme D. Comme de plus la suite (fn(x0))converge vers f(x0), il en résultera que la suite (fn) converge vers f pour la norme Lip. Donc l’espacevectoriel Lip(M,E) est complet.

Proposition 3 Soit (fn)n≥0 une suite de fonctions de Lip(M,E), où E est un espace de Banach.On suppose que(i) il existe un point x0 de M tel que la série de terme général fn(x0) converge,(ii) pour tout n, la fonction fn est lipschitzienne de rapport kn et la série de terme général kn

converge.Alors la série de fonctions de terme général fn converge uniformément sur tout compact de M vers

une fonction f lipschitzienne de rapport∞∑

n=0

kn.

D’après les hypothèses, on a‖fn‖Lip ≤ |fn(x0)| + kn ,

et donc la série de terme général fn converge normalement pour la norme Lip. Or l’espace Lip(M,E)est complet pour la norme Lip, puisque E est complet. Donc la série de terme général fn converge, etsa somme est une fonction lipschitzienne. De plus cette convergence implique la convergence uniformesur les compacts de M .

AF 7

Par ailleurs, pour tout n entier, et tout couple (x, y) de M2, on a

‖fn(x) − fn(y)‖ ≤ kn d(x, y) .

On en déduit, pour tout entier naturel N ,

∥∥∥∥∥

N∑

n=0

fn(x) −N∑

n=0

fn(y)

∥∥∥∥∥ ≤

(N∑

n=0

kn

)d(x, y) ,

et par passage à la limite

∥∥∥∥∥

∞∑

n=0

fn(x) −∞∑

n=0

fn(y)

∥∥∥∥∥ ≤

(∞∑

n=0

kn

)d(x, y) ,

ce qui montre que la somme de la série est lipschitzienne de rapport∞∑

n=0

kn.

Remarque : l’exemple de la suite de fonctions de R dans R définies par

fn(x) = 1 +x

n2,

montre que la condition (ii) est insuffisante pour assurer la convergence de la série.

Applications lipschitziennes différentiables

Théorème 2 Soit f une application différentiable d’un ouvert convexe U d’un espace normé Fdans un espace normé réel E. La fonction f appartient à Lip(U,E) si et seulement si f ′ est bornéesur U , et alors

D(f) = supx∈U

‖f ′(x)‖ .

Dans ce qui suit les normes sur E et F seront notées de la même manière.

Si f ′ est bornée sur U , il résulte du théorème des accroissements finis que, quels que soient x et y dansU , on a

‖f(x) − f(y)‖ ≤ supz∈U

‖f ′(z)‖ ‖x − y‖ ,

ce qui montre que f est lipschitzienne et que

D(f) ≤ supz∈U

‖f ′(z)‖ .

Réciproquement, supposons f lipschitzienne sur U . Comme f est différentiable, on a

f(x + h) = f(x) + f ′(x)(h) + g(h)

AF 8

avec

limh→0

‖g(h)‖

‖h‖= 0 .

On a alors‖f ′(x)(h)‖ ≤ ‖f(x + h) − f(x)‖ + ‖g(h)‖ .

Pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que ‖h‖ ≤ η entraîne

‖g(h)‖ ≤ ε‖h‖ .

Alors, dans ces conditions,‖f ′(x)(h)‖ ≤ (D(f) + ε)‖h‖ .

Soit t dans F . Il existe un entier n tel que

‖t/n‖ ≤ η .

Donc‖f ′(x)(t)‖ ≤ ‖f ′(x)(n(t/n))‖ = n‖f ′(x)(t/n)‖ ≤ n(D(f) + ε)‖t/n‖ .

Il en résulte que pour tout x de U , et tout t de F , on a

‖f ′(x)(t)‖ ≤ (D(f) + ε)‖t‖ ,

et donc‖f ′(x)‖ ≤ D(f) + ε .

Alorssupx∈U

‖f ′(x)‖ ≤ D(f) + ε .

Comme ce résultat a lieu pour tout ε > 0, on obtient finalement que

supx∈U

‖f ′(x)‖ ≤ D(f) ,

ce qui, avec l’inégalité inverse, prouve l’égalité.

Recollement des applications lipschitziennes

Proposition 4 Soit f une fonction définie sur R. Soit I un ensemble d’indices dénombrable oufini, et {ai | i ∈ I} un sous-ensemble de R ordonné en croissant. On suppose quei) Pour tout i ∈ I, la restriction fi de f à Ji = [ ai, ai+1 ] ∩ R est lipschitzienne.ii) L’ensemble {D(fi) | i ∈ I} est majoré.Alors f appartient à Lip(R,M ′), et

D(f) = supi∈I

D(fi) .

AF 9

Soit x dans Jp et y dans Jq, avec p < q. On a donc

ap ≤ x ≤ ap+1 < · · · < aq ≤ y ≤ aq+1 .

Alors

d′(f(x), f(y)) ≤ d′(f(x), f(ap+1)) +

q−1∑

j=p+1

d′(f(aj) − f(aj+1)) + d′(f(aq)), f(y)) .

Et comme f est lipschitzienne dans Ji, on a

d′(f(x), f(y)) ≤ D(fp)|x − ap+1| +

q−1∑

j=p+1

D(fj)|aj − aj+1| + D(fq)|aq − y| .

Et en majorant les nombre D(fi) par leur borne supérieure,

d′(f(x), f(y)) ≤ supi∈I

D(fi)

|x − ap+1| +

q−1∑

j=p+1

|aj − aj+1| + |aq − y|

.

Mais en raison de la croissance de la famille {aj | i ∈ I}, on obtient

|x − ap+1| +

q−1∑

j=p+1

|aj − aj+1| + |aq − y| = y − x .

Il en résulte qued′(f(x), f(y)) ≤ sup

i∈I

D(fi) |x − y| .

Donc f est lipschitzienne, etD(f) ≤ sup

i∈I

D(fi) .

Soit ε > 0. Il existe un entier r tel que

supi∈I

D(fi) −ε

2≤ D(fr) .

Puisque D(fr) est la borne supérieure des rapportsd′(fr(x), fr(y))

|x − y|lorsque x et y décrivent Jr, il existe

x et y dans Jr tels que

D(fr) −ε

2≤

d′(fr(x), fr(y))

|x − y|=

d′(f(x), f(y))

|x − y|≤ D(f) .

Alorssupi∈I

D(fi) − ε ≤ D(f) .

Et puisque cette inégalité a lieu pour tout ε > 0, on en déduit

supi∈I

D(fi) ≤ D(f) ,

AF 10

ce qui avec l’inégalité inverse, donne l’égalité.

Remarque : Les deux dernières propositions permettent de construire de façon simple beaucoup defonctions de Lip(R, R). On a par exemple :

Corollaire 1 Toute fonction continûment dérivable par morceaux, continue sur R, dont ladérivée est bornée est lipschitzienne.

Le nombre de morceaux peut même être dénombrable.

Fonction lipschitzienne sur un compact

Proposition 5 Soit K un compact de R. Toute fonction de Lip(K,M ′) est à variations bornéessur K.

Soit (ai)1≤i≤n une suite finie croissante de K, alors

n−1∑

i=1

d′(f(ai), f(ai+1)) ≤

n−1∑

i=1

D(f)|ai − ai+1| = D(f)|a1 − an| ≤ D(f) diam K .

Régularisée lipschitzienne

On considère dans ce paragraphe, des fonctions lipschitziennes à valeurs réelles.

Proposition 6 Soit (fi)i∈I une famille de fonctions de Lip(M, R) telle que l’ensemble{D(fi) | i ∈ I} soit majoré.i) S’il existe x0 dans M tel que l’ensemble {fi(x0) | i ∈ I} soit majoré, alors, pour tout x de M

l’ensemble {fi(x) | i ∈ I} est majoré, la fonction supi∈I

fi appartient à Lip(M, R), et l’on a

D(supi∈I

fi) ≤ supi∈I

D(fi) .

ii) S’il existe x0 dans M tel que l’ensemble {fi(x0) | i ∈ I} soit minoré, alors, pour tout x de Ml’ensemble {fi(x) | i ∈ I} est minoré, la fonction inf

i∈Ifi appartient à Lip(M, R), et l’on a

D(infi∈I

fi) ≤ infi∈I

D(fi) .

i) On a, pour tout i de I et tout x de M

fi(x) ≤ fi(x0) + D(fi)d(x, x0) ≤ sup{fi(x0) | i ∈ I} + d(x, x0) supi∈I

Di .

AF 11

Il en résulte que l’ensemble {fi(x) | i ∈ I} est borné. Alors, pour tout i de I et tout couple (x, y) deM , on a

fi(x) ≤ fi(y) + D(fi)d(x, y) ≤ supi∈I

fi(y) + d(x, y) supi∈I

Di ,

d’où l’on déduit

supi∈I

fi(x) ≤ supi∈I

fi(y) + d(x, y) supi∈I

Di ,

puis, en échangeant les rôles de x et de y,

supi∈I

fi(y) ≤ supi∈I

fi(x) + d(x, y) supi∈I

Di ,

ce qui donne finalement

| supi∈I

fi(x) − supi∈I

fi(y)| ≤ d(x, y) supi∈I

Di ,

d’où le résultat.

ii) On applique le résultat précédent aux fonctions −fi, puisque

infi∈I

fi = − supi∈I

(−fi) .

Remarques

1) La condition que l’ensemble {D(fi) | i ∈ I} soit majoré est importante. Pour tout n entier naturel,soit fn définie sur R par

fn(x) = inf(n2, x2)

qui est dans Lip(R, R) d’après le corollaire 1, on a

supn∈N

fn(x) = x2 ,

et la fonction x 7→ x2 n’est pas lipschitzienne puisque sa dérivée n’est pas bornée.

2) On n’a pas nécessairement l’égalité

D(supi∈I

fi) = supi∈I

D(fi) .

Pour tout n entier naturel, soit la fonction fn définie par

fn(x) =

0 si x ≤ −nx + n si − n ≤ x ≤ −n + 1

1 si x ≥ −n + 1

cette fonction est encore lipschitzienne et D(fn) vaut 1. Par contre supn∈N

fn = 1 et donc D(supn∈N

fn) est nul.

AF 12

Corollaire 2 Soit f lipschitzienne réelle. Il en est de même des fonctions f+, f− et |f |. De plusD(f) majore les trois nombres D(f+), D(f−), D(|f |).

Proposition 7 Soit f une fonction numérique définie sur une partie A non vide de M à valeursréelles. On suppose qu’il existe g dans Lipk(M, R) telle que g minore f sur A. Pour tout x de M onpose

fA,k(x) = infy∈A

(f(y) + kd(x, y)) .

i) La fonction fA,k appartient Lipk(M, R) et minore f sur A.ii) Soit B une partie de M contenant A. Si h appartient à Lipk(B, R), et si h minore f sur A, alors

h minore fA,k sur B.iii) Si f est dans Lipk(A, R), les fonctions f et fA,k coïncident sur A.

i) et ii) Soit h dans Lipk(B, R) et x dans B. Si h minore f sur A, on a, pour tout y de A,

h(x) ≤ h(y) + kd(x, y) ≤ f(y) + kd(x, y) .

Il en résulte queh(x) ≤ inf

y∈A(f(y) + kd(x, y)) = fA,k(x) .

Comme, par hypothèse, il existe une minorante lipschitzienne g sur M tout entier, en prenant h = g,on en déduit

g(x) ≤ fA,k(x) ,

ce qui prouve que fA,k existe dans M tout entier et on a ii).

Posons, si x est dans A et y dans M ,

gy(x) = f(y) + kd(x, y) .

Quels que soient x et z dans M , on a

|gy(x) − gy(z)| = k|d(x, y) − d(z, y)| ≤ kd(x, z) ,

donc gy est dans Lipk(M, R). Mais alors la fonction

fA,k = infy∈A

gy

est aussi dans Lipk(M, R) d’après la proposition 6.

iii) Si f est dans Lipk(A, R), en prenant B = A et h = f dans ii) on trouve, sur A, l’inégalité

f ≤ fA,k .

Mais, comme l’inégalité inverse est vraie, on a l’égalité. Donc f et fA,k coïncident sur A.

AF 13

Nous allons en déduire deux résultats.

Proposition 8 Soit x1, . . . , xn, des points distincts de M , et (c1, . . . , cn) des nombres réels (resp.complexes). Il existe une fonction f dans Lip(M, R) (resp. Lip(M, C), telle que, pour p comprisentre 1 et n, on ait

f(xp) = cp .

Montrons ce résultat dans le cas réel tout d’abord. Soit

A = {x1, . . . , xn} ,

et soit f définie sur A par

∀p ∈ {1, . . . , n} f(xp) = cp .

On a

k = supp 6=j

|f(xp) − f(xj)|

d(xp, xj)= D(f) < +∞ .

Donc f est dans Lipk(A, R), et fA,k est une fonction lipschitzienne qui prolonge f à M et coïncide avecf sur A. Elle répond donc à la question.

Dans le cas complexe, il suffit d’appliquer le résultat précédent aux parties réelles et imaginaires desnombres cp. On trouve deux fonctions f1 et f2 de Lip(M, R) telles que, pour tout p compris entre 1 etn, on ait

f(xp) = Re cp et fx(xp) = Im cp .

Alors f1 + if2 est dans Lip(M, C) et vérifie la condition voulue.

Pour établir le deuxième résultat annoncé, démontrons tout d’abord ce lemme :

Lemme Soit f semi-continue inférieurement positive, et x0 un point de M tel que f(x0) soitstrictement positif. Alors, pour tout ε tel que

0 < ε < f(x0)

il existe h lipschitzienne telle que

i) h(x0) = f(x0) − εii) 0 ≤ h ≤ f .

D’après la semi-continuité de f , il existe η > 0 tel que

d(x0, y) < η

AF 14

implique

f(y) > f(x0) − ε .

Soit

U = B(x0, η) ,

et, pour tout x dans M , posons

ϕ(x) = (f(x0) − ε)

(d(x,M \ U)

d(x,M \ U) + d(x, x0)

).

On a

ϕ(x0) = f(x0) − ε > 0 .

La fonction ϕ est nulle en dehors de U et c’est une fonction continue sur M .

Si x n’est pas dans U , on a

ϕ(x) = 0 ≤ f(x)

et si x est dans U ,

0 ≤ ϕ(x) ≤ f(x0) − ε < f(x) .

Donc

0 ≤ ϕ ≤ f .

Posons alors

k =f(x0) − ε

ηet h = ϕM,k .

On a

0 ≤ h ≤ ϕ ,

d’où

0 ≤ h ≤ f ,

et h est lipschitzienne de rapport k sur M . Par ailleurs

h(x0) = infx∈M

T (x)

où

T (x) = ϕ(x) + kd(x, x0) = ϕ(x0) + d(x, x0)ϕ(x0)

(1

η−

1

d(x,M \ U) + d(x, x0)

).

Si y est dans M \ U , on a

η ≤ d(x0, y) ≤ d(x0, x) + d(x, y) ,

ce qui implique

η ≤ d(x0, x) + d(x,M \ U) .

Il en résulte que

T (x) ≥ ϕ(x0) ,

AF 15

et l’égalité est obtenue pour x = x0. On a donc

h(x0) = ϕ(x0) = f(x0) − ε .

La fonction h répond aux conditions désirées.

Théorème 3 Soit f définie sur M à valeurs réelles possédant une minorante lipschitzienne derapport k sur M , alors la fonction

f̃k = fM,k

existe et c’est la plus grande fonction lipschitzienne de rapport k sur M inférieure à f .Si f est positive, alors f̃k existe et est positive. Si de plus f est semi-continue inférieurement, lesfonctions f et f̃k ont les mêmes zéros.

La première partie résulte immédiatement de la proposition 7 en prenant M = A = B. D’autre part, sif est positive, la fonction constante nulle est une minorante lipschitzienne de rapport k de f et minoreaussi f̃k. Comme

0 ≤ f̃k ≤ f

l’ensemble des zéros de f est inclus dans l’ensemble des zéros de f̃k.

Supposons maintenant que f est s.c.i. Soit x0 dans M tel que f(x0) soit strictement positif, et ε telque

0 < ε < f(x0) .

Le lemme précédent assure l’existence d’une fonction h lipschitzienne inférieure à f et telle que

h(x0) = f(x0) − ε > 0 .

Posons

g =

{h inf(1, k/D(h)) si D(h) 6= 0

h si D(h) = 0.

La fonction g est inférieure à h donc à f , et elle est lipschitzienne de rapport k. Il en résulte qu’elle estinférieure à f̃k. Donc

0 < g(x0) ≤ f̃k(x0) .

et h(x0), donc g(x0) puis f̃k(x0) sont strictement positifs. On en déduit que si f̃k(x0) est nul, alorsf(x0) est nul. L’ensemble des zéros de f̃k est inclus dans l’ensemble des zéros de f . Il en résulte queces deux ensembles sont égaux. Les deux fonctions auront les mêmes zéros.

AF 16

Proposition 9 L’application qui à une fonction réelle f définie sur M associe f̃k est concavecroissante. De manière précise :1) Si g̃k existe, et si g ≤ f , alors f̃k existe et

g̃k ≤ f̃k .

2) Si f̃k et g̃k existent, et si λ appartient à [ 0, 1 ] , alors (λf + (1 − λ)g)ek existe et

λf̃k + (1 − λ)g̃k ≤ (λf + (1 − λ)g)ek .

1) Si g minore f , on a

g̃k ≤ g ≤ f .

Donc g̃k est une minorante lipschitzienne de rapport k de f et minore f̃k.

2) Soit λ dans [ 0, 1 ] . On a alors

λf̃k + (1 − λ)g̃k ≤ λf + (1 − λ)g .

Mais puisque Lipk(M, R) est convexe, la fonction λf̃k + (1 − λ)g̃k appartient à Lipk(M, R) et minoreλf + (1 − λ)g. Elle minore donc (λf + (1 − λ)g)ek.

Remarques

1) Soit f définie sur M à valeurs réelles, et A une partie de M telle que f/A soit dans Lipk(A, R). Ilest faux en général que

f̃k/A = f/A .

Exemple : soit f définie sur R par

f(x) =

0 si x ≤ 02x si 0 ≤ x ≤ 1/21 si x ≥ 1/2

.

Il est facile de de voir que f̃1 est définie par

f̃1(x) =

0 si x ≤ 0x si 0 ≤ x ≤ 11 si x ≥ 1

.

Or, si A est le segment [ 1/2, 1 ] , la fonction f/A appartient à Lip1(A, R) et ne coïncide pas avec f̃1

sur ce segment.

2) On ne peut pas affirmer non plus que D(fk) vaut k. En effet, si f est lipschitzienne de rapportstrictement inférieur à k, elle coïncide avec f̃k et donc D(fk) est strictement plus petit que k.

AF 17

Théorème 4 Soit f une fonction s.c.i. possédant une minorante lipschitzienne g. Alors f estl’enveloppe supérieure des ses minorantes lipschitziennes, ou encore

f = supk>0

fk .

Supposons tout d’abord que f est positive, et soit x0 dans M . Ou bien f(x0) est nul, et dans ce casf̃k(x0) est nul pour tout k d’après le théorème 3, donc

f(x0) = sup f̃k(x0) ,

ou bien f(x0) n’est pas nul. Soit alors ε tel que

0 < ε < f(x0) .

D’après le lemme, il existe h lipschitzienne, telle que

0 ≤ h ≤ f et h(x0) = f(x0) − ε .

Il en résulte quesup

h∈Lip(M,R) ; h≤f

h(x0) ≥ f(x0) − ε .

Comme cette inégalité a lieu pour tout ε, on en déduit que

suph∈Lip(M,R) ; h≤f

h(x0) ≥ f(x0) .

L’inégalité inverse étant vraie, on a donc égalité.

Si maintenant g est s.c.i. et possède une minorante lipschitzienne g, la fonction f − g est s.c.i. positive,et donc

f − g = supk

(f − g)ek ,

soitf = g + sup

k

(f − g)ek .

Donc f est un sup de fonctions lipschitziennes inférieures à f ce qui donne le résultat.

Exemple Soit f définie sur [−1, 1 ] par

f(x) =√

1 − x2 .

Alorsf̃k(x) = inf(f(x), k(1 − |x|) .

AF 18

Appelons provisoirement gk(x) le membre de droite de cette dernière égalité. Si k > 1, la solutionpositive de l’équation

f(x) = k(1 − |x|)

vaut

xk =k2 − 1

k2 + 1.

Si 0 < k < 1, nous poseronsxk = 0 .

La fonction gk est lipschitzienne de rapport k d’après le principe de recollement. En effet, elle estlipschitzienne de rapport k sur [−1, −xk ] ∪ [xk, 1 ] . D’autre part, si k > 1, on a sur [−xk, xk ] ,puisque f est concave

|f ′(x)| ≤ |f ′(xk)| =xk√

1 − x2k

=xk

k(1 − xk)=

k2 − 1

2k=

k

2−

1

2k< k .

On a alors0 ≤ gk ≤ f̃k ≤ f ,

avec, si k > 1 et |x| ≤ xk

gk = f̃k = f ,

et, si |x| = 1,0 = gk(x) = f(x) .

Soit alors x tel quexk ≤ |x| ≤ 1 .

Posonsx0 =

x

|x|.

On a|f̃k(x) − f̃k(x0)| = f̃k(x) ≥ gk(x) = |gk(x) − gk(x0)| = k|x − x0| ,

et comme f̃k est lipschitzienne de rapport k, on a

|f̃k(x) − f̃k(x0)| ≤ k|x − x0| .

On a donc égalité, ce qui implique

f̃k(x) = k|x − x0| = k(1 − |x|) .

Doncgk = f̃k .

AF 19

Méthode des approximations successives

Théorème 5 Soit (M,d) un espace métrique complet et k dans l’intervalle ] 0, 1 [ . Soit f dansLipk(M,M). Il existe t unique dans M tel quei) f(t) = tii) Pour tout x0 dans M , la suite (xn)n≥0 définie par

xn = fn(x0)

converge vers t, et

d(t, xn) ≤kn

1 − kd(x0, x1) .

Pour tout entier n ≥ 2 on a

d(xn, xn−1) = d(f(xn−1), f(xn−2)) ≤ kd(xn−1, xn−2) .

On en déduit par récurrence, que, pour tout n ≥ 1, on a

d(xn, xn−1) ≤ kn−1d(x1, x0) .

Alors, quels que soient les entiers naturels n et p, on obtient

d(xn+p, xn) ≤ d(xn+p, xn+p−1) + · · · + d(xn+1, xn)

≤ (kn+p−1 + · · · + kn)d(x1, x0)

En sommant les termes de la suite géométrique, on trouve

d(xn+p, xn) ≤ kn 1 − kp

1 − kd(x0, x1) ≤

kn

1 − kd(x0, x1) .

Puisque k est strictement plus petit que 1, la suite (kn) converge vers 0, et la suite (xn) est une suitede Cauchy de M . Elle converge donc vers un élément t de M . En faisant tendre p vers l’infini dansl’inégalité précédente, on obtient

d(t, xn) ≤kn

1 − kd(x0, x1) .

On a aussi

d(xn+1, xn) ≤kn

1 − kd(x0, x1) ,

que l’on peut écrire

d(f(xn), xn) ≤kn

1 − kd(x0, x1) ,

et en faisant tendre n vers l’infini, on en déduit, puisque f est continue,

d(f(t), t) ≤ 0 ,

AF 20

et donc que

f(t) = t .

Enfin, si t′ est une autre solution de l’équation

f(x) = x

on a

d(t, t′) = d(f(t), f(t′)) ≤ kd(t, t′) ,

ce qui implique l’égalité de t et t′.

Proposition 10 Soit E un espace de Banach, et f dans Lipk(E,E), où 0 < k < 1. Alors la suite(fn) converge vers une constante dans l’espace Lip(E,E) muni de la norme Lip.

Soit t le point fixe obtenu dans le théorème précédent, que l’on confond avec la fonction constanteégale à t. On a

‖fn − t‖Lip = ‖fn(x0) − fn(t)‖ + D(fn − t) .

Mais

‖fn(x0) − fn(t)‖ ≤ kn‖x0 − t‖ ,

et

D(fn − t) = D(fn) ≤ D(f)n ≤ kn .

Il en résulte que

‖fn − t‖Lip ≤ (1 + ‖x0 − t‖)kn ,

ce qui montre que (fn) converge vers t pour la norme Lip.

Proposition 11 Soit (M,d) un espace métrique complet et k dans l’intervalle ] 0, 1 [ . Soit f telleque fn appartienne à Lipk(M,M). Il existe t unique dans M tel quei) f(t) = tii) Pour tout x0 dans M , la suite (xn)n≥0 définie par

xn = fn(x0)

converge vers t.

En appliquant le théorème 5 à fn, il existe t unique dans M tel que

fn(t) = t .

Alors

fn(f(t)) = fn+1(t) = f(fn(t)) = f(t) .

AF 21

Donc f(t) est aussi un point fixe de fn et par unicité

f(t) = t .

Si t est un point fixe de f , c’est aussi un point fixe de fn, donc il est unique.

Pour tout x de M , la suite (fn(x)) converge vers t. Si l’on applique ceci à f i(x0), pour i compris entre0 et n − 1, les suites (fn+i(x0)) convergent vers t. Mais la réunion de ces suites est la suite (fn(x0))qui converge donc elle aussi vers t.