AES L1 S1-Mathématiques · 2013. 6. 3. · Exercice 1Exercice 2Exercice 3Exercice 4Exercice...

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AES L1 S1-Mathématiques

Michelle Nourigat

Montpellier année universitaire 2012-2013

Exercices de révision

Michelle Nourigat

1 Exercice 1

2 Exercice 2

3 Exercice 3

4 Exercice 4

5 Exercice 5

6 Exercice 6

7 Exercice 7

Michelle Nourigat

D’un point de vue démographique, la population d’un villagediminue de 2% par an.

a) Exprimer la population de l’année n + 1, un+1 en fonction de lapopulation de l’année n que l’on note un.

b) Donner la nature de la suite un.

c) En déduire l’expression de un en fonction de n.

d) Quel est le sens de variation de la suite un ?

Michelle Nourigat

Correctiona) un+1 = un − 2

100un = un(1− 2100) = un × 0, 98.

b) un est donc une suite géométrique de raison 0, 98.

c) Si on note u0 le premier terme de cette suite on aun = u0 × 0, 98n.

d) Comme la raison est inférieure à 1 la suite est décroissante.En effet un+1 − un = un × 0, 98− un = un × (−0, 02) qui est unnombre négatif.

La suite converge vers la valeur 0.

Michelle Nourigat

100un = un(1− 2100) = un × 0, 98.

Michelle Nourigat

100un = un(1− 2100) = un × 0, 98.

Michelle Nourigat

100un = un(1− 2100) = un × 0, 98.

Michelle Nourigat

100un = un(1− 2100) = un × 0, 98.

Michelle Nourigat

1 Exercice 1

2 Exercice 2

3 Exercice 3

4 Exercice 4

5 Exercice 5

6 Exercice 6

7 Exercice 7

Michelle Nourigat

Quels sont les taux mensuels proportionnel et équivalent au tauxannuel de 10% ?

Le taux mensuel proportionnel est le taux annuel divisé par 12 soitici 0, 83%.

Le taux mensuel équivalent vérifie (1+ i)12 = 1+ 10% = 1, 1 donci = 1, 1

112 − 1 = 0, 797%.

Michelle Nourigat

112 − 1 = 0, 797%.

Michelle Nourigat

112 − 1 = 0, 797%.

Michelle Nourigat

1 Exercice 1

2 Exercice 2

3 Exercice 3

4 Exercice 4

5 Exercice 5

6 Exercice 6

7 Exercice 7

Michelle Nourigat

On donne la suite définie par récurrence par un+1 = 34un + 1 avec

u0 = 1a) Calculer u1 et u2. A quel type de suite appartient-elle ? Exprimerun en fonction de n.

u1 = 34u0 + 1 = 3

4 + 1 = 74 = 1, 75

u2 = 34u1 + 1 = 3

4 ×74 + 1 = 21

16 + 1 = 3716 = 2, 3125

C’est une suite arithmético-géométrique de raisons 34 et 1 .

On cherche son point fixe α = 34α+ 1 ce qui donne α− 3

4α = 1donc 1

4α = 1 et α = 4.

On sait alors que un − 4 est une suite géométrique de raison 34 donc

un − 4 = (34)

n(u0 − 4) or u0 = 1 ce qui donne u0 − 4 = −3

Donc un = 4− 3(34)

Michelle Nourigat

u1 = 34u0 + 1 = 3

4 + 1 = 74 = 1, 75

u2 = 34u1 + 1 = 3

4 ×74 + 1 = 21

16 + 1 = 3716 = 2, 3125

4α = 1donc 1

4α = 1 et α = 4.

un − 4 = (34)

Donc un = 4− 3(34)

Michelle Nourigat

u1 = 34u0 + 1 = 3

4 + 1 = 74 = 1, 75

u2 = 34u1 + 1 = 3

4 ×74 + 1 = 21

16 + 1 = 3716 = 2, 3125

4α = 1donc 1

4α = 1 et α = 4.

un − 4 = (34)

Donc un = 4− 3(34)

Michelle Nourigat

u1 = 34u0 + 1 = 3

4 + 1 = 74 = 1, 75

u2 = 34u1 + 1 = 3

4 ×74 + 1 = 21

16 + 1 = 3716 = 2, 3125

4α = 1donc 1

4α = 1 et α = 4.

un − 4 = (34)

Donc un = 4− 3(34)

Michelle Nourigat

u1 = 34u0 + 1 = 3

4 + 1 = 74 = 1, 75

u2 = 34u1 + 1 = 3

4 ×74 + 1 = 21

16 + 1 = 3716 = 2, 3125

4α = 1donc 1

4α = 1 et α = 4.

un − 4 = (34)

Donc un = 4− 3(34)

Michelle Nourigat

u1 = 34u0 + 1 = 3

4 + 1 = 74 = 1, 75

u2 = 34u1 + 1 = 3

4 ×74 + 1 = 21

16 + 1 = 3716 = 2, 3125

4α = 1donc 1

4α = 1 et α = 4.

un − 4 = (34)

Donc un = 4− 3(34)

Michelle Nourigat

b) Préciser le sens de variation de cette suite et son comportementen +∞.

34 < 1 donc (3

4)n est décroissante et −3(3

4)n est croissante donc

un = 4− 3(34)

n est croissante.

n tend vers 0 quand n tend vers +∞ car 34 < 1. La suite

converge donc vers 4 en croissant.

Michelle Nourigat

b) Préciser le sens de variation de cette suite et son comportementen +∞.34 < 1 donc (3

un = 4− 3(34)

n est croissante.

Michelle Nourigat

b) Préciser le sens de variation de cette suite et son comportementen +∞.34 < 1 donc (3

un = 4− 3(34)

n est croissante.

Michelle Nourigat

1 Exercice 1

2 Exercice 2

3 Exercice 3

4 Exercice 4

5 Exercice 5

6 Exercice 6

7 Exercice 7

Michelle Nourigat

On fait des versements de 400 euros mensuels sur un compterémunéré au taux annuel de 3%.Combien a t on au bout de 3 ans ?

Calcul au taux mensuel proportionnel.

Le taux mensuel utilisé sera de3%12

= 0, 25%

Michelle Nourigat

On fait des versements de 400 euros mensuels sur un compterémunéré au taux annuel de 3%.Combien a t on au bout de 3 ans ?

Calcul au taux mensuel proportionnel.

= 0, 25%

Michelle Nourigat

On a :Cn = a

(1+ i)n − 1i

avec ici a = 400, n = 3× 12 = 36 et i = 0, 25%.

Ceci donne :

C = 400(1+ 0, 25%)36 − 1

0, 25%= 400

(1, 0025)36 − 10, 0025

= 15048, 22.

On remarque que 15048, 22 > 400× 36 = 14400.

Michelle Nourigat

On a :Cn = a

(1+ i)n − 1i

avec ici a = 400, n = 3× 12 = 36 et i = 0, 25%.

Ceci donne :

C = 400(1+ 0, 25%)36 − 1

0, 25%= 400

(1, 0025)36 − 10, 0025

= 15048, 22.

On remarque que 15048, 22 > 400× 36 = 14400.

Michelle Nourigat

On a :Cn = a

(1+ i)n − 1i

avec ici a = 400, n = 3× 12 = 36 et i = 0, 25%.

Ceci donne :

C = 400(1+ 0, 25%)36 − 1

0, 25%= 400

(1, 0025)36 − 10, 0025

= 15048, 22.

On remarque que 15048, 22 > 400× 36 = 14400.

Michelle Nourigat

On a :Cn = a

(1+ i)n − 1i

avec ici a = 400, n = 3× 12 = 36 et i = 0, 25%.

Ceci donne :

C = 400(1+ 0, 25%)36 − 1

0, 25%= 400

(1, 0025)36 − 10, 0025

= 15048, 22.

On remarque que 15048, 22 > 400× 36 = 14400.

Michelle Nourigat

Remarque : Si on calcule au taux mensuel équivalent, on a :

i = 1, 03112 − 1 = 0, 002466 = 0, 247%.

Ceci donne :

C = 400(1+ i)36 − 1

i= 15039, 23.

Michelle Nourigat

1 Exercice 1

2 Exercice 2

3 Exercice 3

4 Exercice 4

5 Exercice 5

6 Exercice 6

7 Exercice 7

Michelle Nourigat

Pour un bien donné, dans un modèle de détermination de l’offreavec retard, on note un le prix pendant la période n.On donne l’offre Sn+1 = 3un − 12 et la demande Dn = −5un + 35.On a u0 = 6.

a) Déterminer l’intervalle de prix pour lequel il y a un marché.

On doit avoir pour un prix positif une offre et une demandepositives soit,

3un − 12 > 0 c’est à dire 3un > 12, un >123

Dn = −5un + 35 > 0, −5un > −35 donc un <355

l’intervalle de prix pour lequel il y a un marché est ]4; 7[.

Michelle Nourigat

Dn = −5un + 35 > 0, −5un > −35 donc un <355

Michelle Nourigat

Dn = −5un + 35 > 0, −5un > −35 donc un <355

Michelle Nourigat

Dn = −5un + 35 > 0, −5un > −35 donc un <355

Michelle Nourigat

Dn = −5un + 35 > 0, −5un > −35 donc un <355

Michelle Nourigat

b) Déterminer la relation de récurrence vérifiée par un qui exprimeque le marché est en équilibre.

On écrit Sn+1 = 3un − 12 = Dn+1 = −5un+1 + 35.

−5un+1 = 3un − 12− 35 = 3un − 47 donc un+1 = −35un +

C’est une suite AG. On cherche le point fixe.

α = −35α+

d’où α+35α =

donc85α =

et α =478

un − α est une suite géométrique de raison −35

Michelle Nourigat

−5un+1 = 3un − 12− 35 = 3un − 47 donc un+1 = −35un +

α = −35α+

d’où α+35α =

donc85α =

et α =478

Michelle Nourigat

−5un+1 = 3un − 12− 35 = 3un − 47 donc un+1 = −35un +

α = −35α+

d’où α+35α =

donc85α =

et α =478

Michelle Nourigat

−5un+1 = 3un − 12− 35 = 3un − 47 donc un+1 = −35un +

α = −35α+

d’où α+35α =

donc85α =

et α =478

Michelle Nourigat

−5un+1 = 3un − 12− 35 = 3un − 47 donc un+1 = −35un +

α = −35α+

d’où α+35α =

donc85α =

et α =478

Michelle Nourigat

Le premier terme de la suite est u0 − α = 6− 478

un − α = (−35)n × 1

8donc un = (−3

5)n × 1

c) Quelles sont les valeurs de l’offre et de la demande à l’équilibre ?

Pour un prix de478, l’offre est égale à la demande et leur valeur est

3× 478− 12 =

1418− 96

Michelle Nourigat

un − α = (−35)n × 1

8donc un = (−3

5)n × 1

3× 478− 12 =

1418− 96

Michelle Nourigat

un − α = (−35)n × 1

8donc un = (−3

5)n × 1

3× 478− 12 =

1418− 96

Michelle Nourigat

un − α = (−35)n × 1

8donc un = (−3

5)n × 1

3× 478− 12 =

1418− 96

Michelle Nourigat

1 Exercice 1

2 Exercice 2

3 Exercice 3

4 Exercice 4

5 Exercice 5

6 Exercice 6

7 Exercice 7

Michelle Nourigat

Soit la suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison12.

a) Exprimer un en fonction de n.

b) Calculer u0 + u1 + .....+ u30.

Michelle Nourigat

Soit la suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison12.

a) Exprimer un en fonction de n.

b) Calculer u0 + u1 + .....+ u30.

Michelle Nourigat

C’est une suite arithmétique de raison12d’où un = u0 + n

donc un = 1+ n12.

Les premiers termes sont : 1, 1, 5, 2, 2, 5...

On sait que :somme des termes=nombre de termes x moyenne entre le premieret le dernier terme

Ici : nombre de termes=31 et u30 = 1+ 3012= 1+ 15 = 16

la somme vaut : 31× 1+ 162

= 263, 5.

Michelle Nourigat

donc un = 1+ n12.

= 263, 5.

Michelle Nourigat

donc un = 1+ n12.

= 263, 5.

Michelle Nourigat

donc un = 1+ n12.

= 263, 5.

Michelle Nourigat

donc un = 1+ n12.

= 263, 5.

Michelle Nourigat

donc un = 1+ n12.

= 263, 5.

Michelle Nourigat

1 Exercice 1

2 Exercice 2

3 Exercice 3

4 Exercice 4

5 Exercice 5

6 Exercice 6

7 Exercice 7

Michelle Nourigat

On veut rembourser 400 euros mensuels , le taux annuel del’emprunt est de 3% et la durée de l’emprunt est de 3 ans .Combien peut-on emprunter ? ( calcul au taux mensuelproportionnel).

= 0, 25%On rappelle :

D0 = a1− (1+ i)−n

iavec ici a = 400, n = 3× 12 = 36 et i = 0, 25%.

Michelle Nourigat

On veut rembourser 400 euros mensuels , le taux annuel del’emprunt est de 3% et la durée de l’emprunt est de 3 ans .Combien peut-on emprunter ? ( calcul au taux mensuelproportionnel).

= 0, 25%On rappelle :

D0 = a1− (1+ i)−n

iavec ici a = 400, n = 3× 12 = 36 et i = 0, 25%.

Michelle Nourigat

Ceci donne :

D0 = 4001− (1+ 0, 25%)−36

0, 25%= 400

1− (1, 0025)−36

0, 0025= 13754, 58.

On remarque que 13754, 58 < 400× 36 = 14400.

Le coût de l’emprunt est donc de 144000− 13754, 58 = 645, 42euros.

Michelle Nourigat

Ceci donne :

D0 = 4001− (1+ 0, 25%)−36

0, 25%= 400

1− (1, 0025)−36

0, 0025= 13754, 58.

On remarque que 13754, 58 < 400× 36 = 14400.

Michelle Nourigat

Ceci donne :

D0 = 4001− (1+ 0, 25%)−36

0, 25%= 400

1− (1, 0025)−36

0, 0025= 13754, 58.

On remarque que 13754, 58 < 400× 36 = 14400.

Michelle Nourigat

A la semaine prochaine. Bon courage.

Michelle Nourigat

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