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Introduction l'arolasticit des structures aronautiquesLaurent STAINIER

Dpartement : Mcanique, Matriaux et Gnie Civil

2008/2009

Table des matires1. Introduction gnrale aux phnomnes arolastiques 1.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Classication des problmes arolastiques . . . . . . . . 1.3. Aperu historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Plan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 5 7 8 8 9 9 11 11 14 18 18 20 21 23 24 25 26 26 30 33 34 35 38 40 42 44 44 45 47 48 51

2. Arolasticit statique 2.1. Le concept de section typique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Le problme bidimensionnel de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Equilibre en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Le centre arodynamique est en arrire du centre de torsion (e < 0) . 2.2.3. Le centre arodynamique est en avant du centre de torsion (e > 0) . . 2.3. Efcacit dune surface de contrle (2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Divergence dune aile droite denvergure nie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Formulation de loprateur lastique par quation diffrentielle . . . . 2.4.2. Formulation de loprateur arodynamique par la mthode des tranches 2.4.3. Stabilit de lquilibre arolastique et phnomne de divergence . . 2.4.4. Notion de mode de divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Intgration analytique dans le cas uniforme . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6. La mthode de Rayleigh-Ritz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. La mthode de la ligne portante de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Formulation de loprateur arodynamique par la mthode de la ligne portante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Rsolution analytique de lquation de Prandtl . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Mthode de rsolution de lquation intgrale par collocation numrique 2.6. Distribution de portance sur une aile lastique droite . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1. Solution analytique par la mthode des tranches . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Solution numrique par quations intgrales . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. Discrtisation de lquation intgrale par collocation numrique . . . 2.7. Efcacit daileron pour une aile droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Acclration en roulis suite un braquage daileron . . . . . . . . . . 2.7.2. Efcacit daileron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3. Vitesse dinversion de commandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Divergence des ailes en che . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1. Equations dans les axes de lcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2. Equations dans les axes de laile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.8.3. Equation intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4. Discrtisation de lquation intgrale par collocation numrique 2.9. Autres problmes de divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1. Ecoulement dans une canalisation exible . . . . . . . . . . . . 2.9.2. Ecoulement sous-sonique sur un panneau exible . . . . . . . . 3. Arolasticit dynamique 3.1. Comportement non stationnaire de la section typique . . . . . . . . . 3.1.1. Equations du systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Frquences propres du systme mcanique . . . . . . . . . . 3.1.3. Approximation quasi-stationnaire des forces arodynamiques 3.1.4. Instabilit de ottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Arodynamique instationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Equations linarises de larodynamique instationnaire . . . 3.2.2. Ecoulements incompressibles bidimensionnels . . . . . . . . 3.2.3. Fonction de Theodorsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Gnralisation au cas non-harmonique . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Rponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Interprtation physique du ottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Cas de la translation seule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Cas de la rotation seule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Flottement deux degrs de libert . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Mthodes de rsolution du problme de ottement . . . . . . . . . . . 3.4.1. Mthodes k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Mthodes s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Mthodes s-k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Analyse du ottement par la mthode des modes imposs . . . . . . . 3.6. Flottement de panneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Analyse du phnomne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Modle simpli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Modlisation structurale par lments nis de poutre A.1. Modle cinmatique de poutre . . . . . . . . . . . . . . A.2. Principe(s) variationnel(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1. Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2. Equilibre statique . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.3. Equilibre dynamique . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Matrices lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1. Matrice de raideur . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2. Matrice de masse . . . . . . . . . . . . . . . . .

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54 55 57 57 59 60 60 60 61 62 63 66 66 67 69 71 72 76 77 78 78 80 81 82 82 83 84 84 87 A.1 A.1 A.2 A.2 A.3 A.5 A.6 A.6 A.7

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Remarque prliminaire : ces notes de cours sont en partie inspires des notes pr-existantes du Prof. Michel Gradin, qui tait titulaire du cours darolasticit lUniversit de Lige, avant que je nassure sa supplance pendant quelques annes (1999-2007).

1. Introduction gnrale aux phnomnes arolastiques1.1. IntroductionDune faon gnrale, larolasticit est la discipline de la mcanique applique qui traite du mouvement dun corps dformable dans un coulement gazeux (lorsque lcoulement envisag est uide, on parle alors plutt dhydrolasticit). Bien que larolasticit ait trouv son origine en aronautique, o les problmes darolasticit se sont avrs critiques ds les dbuts du vol propuls, les phnomnes arolastiques se sont galement rvls trs importants par la suite dans dautres domaines des sciences appliques. On observe en effet une tendance construire en gnie civil des ouvrages dune conception toujours plus audacieuse, et donc toujours plus souples (immeubles, ponts, tours, lignes de transmission lectrique, . . . ). De mme, dans la conception des turbomachines, des ouvrages hydrolectriques, des vhicules terrestres ou maritimes, etc. . . , les problmes aro- ou hydro-lastiques se rvlent de plus en plus comme des facteurs prendre en compte. Do le fait que le domaine de larolasticit soit toujours un thme de recherche scientique et industrielle important. Cest cependant dans la construction aronautique que les phnomnes arolastiques apparaissent de la faon la plus marque. Cest pourquoi, depuis la seconde guerre mondiale, on accorde une grande importance aux problmes arolastiques dans la conception des avions rapides (rgime transsonique et supersonique) et dans celle des avions grande envergure (planeurs, . . . ). En particulier, pour les avions rapides, on notera la ncessit de modier la gomtrie de la voilure et lintroduction des servo-commandes qui ont conduit de nouveaux problmes. On notera par ailleurs lapparition de nouveaux matriaux (tels les composites), qui ont notamment permis laccroissement de lenvergure (et de la exibilit) des diffrents types davions, y renforant ainsi les effets arolastiques.

1.2. Classication des problmes arolastiquesLes phnomnes arolastiques rsultent de linteraction entre diffrents types de force : les forces lastiques, dorigine structurale, les forces dinertie, dorigine structurale galement, les forces arodynamiques, induites par les dformations (stationnaires ou oscillatoires) de la structure dune part, et rsultant de perturbations extrieures (manuvres, turbulence atmosphrique, rafales, . . . ) dautre part. Les problmes arolastiques nexisteraient pas si la structure de lavion restait parfaitement rigide lorsquelle est soumise un coulement dair. Les structures davion sont toutefois

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toujours plus ou moins exibles (comme illustr la gure 1.1), et cette exibilit est la cause fondamentale des divers types de phnomnes arolastiques que lon peut observer.

F IGURE 1.1.: Tests statiques sur un Airbus A340 (CEAT-Toulouse) Les effets inertiels peuvent galement jouer un rle trs important, et on diffrenciera donc larolasticit dynamique, impliquant lensemble des trois forces reprises ci-dessus, et larolasticit statique, impliquant uniquement les forces lastiques et arodynamiques. Il est classique de rpertorier les divers phnomnes arolastiques selon le triangle des forces de Collar (gure 1.2). Les trois types de force rsultant du mouvement lastique, arodynamique, et dinertie sont reprsents par les trois sommets du triangle. Chaque phnomne arolastique peut tre localis sur ce diagramme selon sa relation avec les sommets. Ainsi, les phnomnes relatifs larolasticit dynamique sont placs au centre du triangle, tandis que ceux relatifs larolasticit statique sont placs sur le ct gauche. Le ct droit regroupe les phnomnes nimpliquant que les forces arodynamiques et dinertie, savoir la dynamique de lavion rigide traite en mcanique du vol. La base du triangle est relative aux problmes de vibration traits en dynamique des structures. Les phnomnes les plus importants en arolasticit statique sont la divergence : dans un avion exible en vol stationnaire, un quilibre stablit entre les forces arodynamiques et les forces de rappel lastique, mais au-del dune certaine vitesse cet quilibre devient instable, ce qui peut conduire la ruine brutale de la structure ; la redistribution de portance : mme en-de de la vitesse de divergence, la dformation des ailes entrane une modication de la portance sur celles-ci, dont il importe de tenir compte pour prvoir les performances relles de lavion ; linversion de commande : lefcacit des surfaces de contrle (gouvernes de profondeur,

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FORCES AERODYNAMIQUES

C ME

RO E ST LAS AT TIC IQU IT E E

AN IQU ED UV

AE

AEROELASTICITE DYNAMIQUE

OL

FORCES ELASTIQUES

DYNAMIQUE DES STRUCTURES

FORCES DINERTIE

F IGURE 1.2.: Triangle arolastique de Collar ailerons, . . . ) est galement modie par les effets arolastiques, et il peut mme exister une vitesse au-del de laquelle leur effet sinverse. Dans le cadre de larolasticit dynamique, on sintressera plus particulirement aux phnomnes suivants le ottement : il sagit dune instabilit dynamique, couplant un coulement instationnaire aux modes de vibration de la structure, se traduisant par des oscillations damplitude non dcroissante (on parle damortissement ngatif), pouvant conduire la ruine par fatigue oligo-cyclique ; la rponse dynamique : la exibilit de lavion peut modier de faon signicative sa rponse des perturbations atmosphriques (rafales, turbulence) ou des manuvres rapides. Tous ces phnomnes peuvent tre tudis dans le cadre dune analyse linaire. Dun point de vue mathmatique, ltude des instabilits et de celle de la rponse dynamique sont complmentaires. En effet, les conditions dinstabilit sont gnralement dtermines par la prsence de solutions non-triviales un systme dquations homognes, tandis que la rponse dynamique est obtenue par la rsolution de ces mmes quations en prsence dun terme source. En fait, dans les conditions dinstabilit, les quation (non-homognes) dvolution nont plus de solution unique, alors quen dehors de ces conditions, la solution est unique et non-triviale. Dans les systmes rels, dont le comportement est non-linaire, on peut cependant observer des cas doscillations auto-entretenues, mme sous la vitesse de ottement, qui ne sont pas prdites par la thorie linaire. Par ailleurs, des perturbations non-innitsimales peuvent projeter un systme rput stable daprs lanalyse linaire dans un tat oscillatoire de grande amplitude. Ces deux cas peuvent conduire un tat stationnaire de vibrations entretenues, ap-

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peles limit-cycle oscillations (LCO) en anglais. Bien que ne prsentant pas un amortissement ngatif comme le ottement, cette situation peut acclrer la fatigue des matriaux et tre source dincomfort pour le pilote et les passagers. Pour tudier et prdire ces phnomnes importants, il faut recourir une analyse non-linaire du systme avion-coulement, impliquant gnralement une approche numrique. Ce type danalyse sort cependant du cadre dun cours introductif. Il est important de noter que les phnomnes arolastiques ne causent pas uniquement des effets ngatifs, quil faut sefforcer de contrer lors de la conception dun avion. Par exemple, les recherches en cours sur le concept daile active visent utiliser les effets arolastiques pour le contrle dattitude, permettant de supprimer certaines surfaces mobiles de contrle. Dans les cas o lchauffement du uide en coulement devient signicatif (supersonique, hypersonique de rentre), on est amen prendre en compte les effets thermiques tels que : lapparition de contraintes/dformations dorigine thermique, la modication des proprits des matriaux avec la temprature. On parle alors darothermolasticit, et les phnomnes peuvent tre classis laide du ttradre arothermolastique de Garrick (gure 1.3).

T

A I

EF IGURE 1.3.: Ttrahdre arothermolastique de Garrick Lintroduction de commandes asservies, de systmes de pilotage automatique et de contrle actif a galement donn lieu lapparition dune nouvelle classe de problmes, tudis dans le cadre de laroservolasticit. La rduction progressive du poids structural a conduit une interaction de plus en plus grande entre les systmes automatiques de vol et llasticit de la structure, permettant damliorer : la stabilit globale de lavion ; la vie de service de lavion, en rduisant de manire systmatique leffet de sollicitations transitoires sur la structure, principalement dans la voilure (gust alleviation systems) ; le confort, en rduisant leffet de sollicitations transitoires sur les vibrations du fuselage. Les ralisations les plus spectaculaires de laroservolasticit sont entre autres :

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sur le plan de la mcanique du vol, la stabilisation de congurations naturellement instables par contrle actif (stability augmentation systems) ; sur le plan de larolasticit de la voilure, la suppression du ottement par contrle actif (utter suppression systems).

1.3. Aperu historiqueLes phnomnes arolastiques ont jou un rle majeur ds le dbut de lhistoire du vol propuls. Ainsi le succs des frres Wright dans leur tentative deffectuer le premier vol propuls, en dcembre 1903 sur une plage de Caroline du Nord, est en partie d la matrise du contrle latral quils avaient obtenue pour leur yer, naturellement instable en roulis. Lobservation du vol des buses leur avait en effet suggr de contrler le mouvement de roulis de leur appareil au travers de la torsion des ailes, comme le font les oiseaux. Plus tt en 1903, cest probablement une instabilit de divergence en torsion qui a caus les checs du Prof. Samuel Langley, qui essayait faire voler son appareil au-dessus du Potomac, Washington. Chacune de ses deux tentatives se termina en effet par la rupture brutale des ailes qui navaient pas la rigidit torsionnelle requise (cest en tout cas lexplication communment admise que lon donne aujourdhui ces checs). Les problmes lis au phnomne de divergence en torsion expliquent sans doute en partie la prdominance des architectures de type biplan sur les monoplans jusquau dbut des annes 30, quand lapparition des ailes peau mtallique permit enn dassurer celles-ci une raideur torsionnelle sufsante. Les modles biplans ntaient cependant pas exempt de problmes arolastiques. Parmi ceux-ci, le plus communment rencontr tait sans doute lapparition de modes de ottement dans la queue de lappareil (tail utter). Le premier cas de ottement document date de 1916, et concerne le bombardier Handley Page 0/400. Le ottement observ impliquait un mode doscillation en opposition de phase des gouvernes de profondeur gauche et droite, coupl un mode de torsion du fuselage (avec une amplitude allant jusqu 45 ), tous les deux basse frquence. Suite lanalyse du phnomne par Lanchester et Bairstow, le problme fut rsolu en installant un tube de torsion solidarisant les deux gouvernes, un lment incontournable dans la conception des avions depuis lors.

F IGURE 1.4.: Bombardier Handley Page 0/400 (1917)

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Un autre cas important de phnomne arolastique appart en 1927 sur le Bristol Bagshot. Au fur et mesure de laccroissement de sa vitesse, lefcacit des ailerons diminuait, pour sannuler et devenir ngative au-del dune certaine limite. Le phnomne ft analys avec succs par Roxbee Cox et Pugsley au dbut des annes 30. Ceux-ci proposrent des solutions pour remdier au problme, et furent aussi les premiers utiliser le terme darolasticit pour dcrire ces phnomnes. Il fallut cependant encore de nombreuses annes avant que les critres de conception arolastiques prennent la place importante quils occupent aujourdhui dans la mise au point de nouveau appareils, aussi bien civils que militaires.

F IGURE 1.5.: Bristol Bagshot (1927) Ce nest quaprs la seconde guerre que les phnomnes arolastiques dans les ailes en che furent srieusement tudis. Les premires tudes (1947-48) montrrent quune che avant rduisait la vitesse de divergence, alors quune che arrire sufsante permettait de compltement empcher son apparition. Ce ft un des critres qui empcha pendant longtemps lutilisation dailes che avant. De nos jours, les techniques danalyse de larolasticit linaire sont employes quotidiennement dans lindustrie aronautique. Elles le sont galement dans les bureaux dtude en gnie civil. La prise en compte des effets arolastiques non-linaires requiert lutilisation de mthodes numriques couplant des outils de simulation en dynamique des uides (CFD : Computational Fluid Dynamics) et en dynamique des structures (FEM : Finite Elements Method). Ce type dapproche numrique reste encore largement limits aux laboratoires universitaires et aux centres de recherche. Finalement, les aspects arolastiques constituent un problme important dans la conception des turbomachines, et un intrt particulier leur est port par les industries du domaine.

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1.4. Plan du coursCes notes sont organises comme suit. Le chapitre 2 traite des problmes darolasticit statique. Les phnomnes de divergence et dinversion de commande sont dcrits et illustrs pour le cas simpli dune section typique bidimensionnelle. Lanalyse est ensuite tendue au cas des ailes denvergure nie (cas tridimensionnel). On aborde le problme de la divergence, puis celui de la redistribution de portance, au moyen de mthodes analytiques et numriques. Aprs avoir repris le problme de lefcacit daileron dans le cas tridimensionnel, leffet de la che sur la divergence et la redistribution de portance est tudi. Pour terminer ce chapitre, on tudie quelques cas dinstabilit statique de type divergence dans dautres systmes uidestructures. Dans le chapitre 3, on aborde principalement le phnomne de ottement. Aprs avoir illustr ce phnomne dans le cas dune section typique bidimensionnelle, on introduit quelques lments de la thorie des coulements instationnaires. Cela permet danalyser la physique du phnomne de ottement, avant de passer en revue les mthodes les plus courantes de rsolution du problme de la dtermination de la vitesse et du mode de ottement. Pour terminer, quelques rfrences majeures sont listes, et des annexes donnent quelques lments de base de modlisation structurale (lments nis) et en arodynamique instationnaire.

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2. Arolasticit statique2.1. Le concept de section typiqueSoit une aile droite denvergure l, telle que reprsente la gure 2.1. Tant dun point de vue physique que dun point de vue pdagogique, il est utile de simplier la reprsentation de son comportement en utilisant le concept de section typique.

section typique

1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000

l

F IGURE 2.1.: Choix dune section typique La section typique est un modle bidimensionnel qui est reprsentatif des proprits arodynamiques (prol) et lastiques (torsion et exion) de laile pour ltude de son comportement arolastique. Les premiers arolasticiens (1920-1935) ont observ que le choix de la section situe 75% de la distance entre lemplanture et le bout daile donne en gnral de bons rsultats pour la corrlation entre thorie et exprience. On peut galement rapprocher ce modle simpli de la conguration exprimentale typique dessais en souferie, qui tudient la rponse dun segment daile de section constante plong dans un coulement uniforme et reli aux parois par des attaches exibles. Dans ltude bidimensionnelle des phnomnes arolastiques, on utilise donc le modle illustr la gure 2.2. Les ressorts du modle ont des raideurs k et kh qui rsultent de la mesure ou du calcul des proprits en torsion et exion, respectivement, de la structure en caisson de laile tridimensionnelle. Le prol arodynamique est celui de laile lendroit choisi. Les trois points caractristiques du prol sont : le centre arodynamique ou foyer, not AC, situ une distance relative f du bord dattaque 1 , et auquel est applique la portance L ;1. Pour un coulement subsonique incompressible, ce point est situ au quart-corde, tandis que pour un coulement supersonique, il recule la mi-corde.

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le centre lastique, not EC, situ une distance relative e du centre arodynamique (cette distance est mesure positivement lorsque le centre lastique est en arrire du foyer), et auquel sappliquent les forces de rappel lastiques 2 ; le centre de gravit G. Langle dattaque est positif vers le haut (mouvement de cabrage), tandis que la dection h est mesure positivement vers le bas.

L hAC EC

c kG

kh fc ecF IGURE 2.2.: Modle arolastique bidimensionnel

2.2. Le problme bidimensionnel de la divergence2.2.1. Equilibre en rotationLe phnomne de divergence est une instabilit statique en torsion qui rsulte de laugmentation du couple, ou moment de tangage, autour du centre lastique avec la dformation. Il nimplique dans le cas bidimensionnel aucun couplage avec la exion du prol et peut donc tre dcrit laide du modle un degr de libert illustr la gure 2.3. Si on admet que langle dattaque est mesur par rapport la conguration de portance nulle, la portance sexprime comme : L = qSCL o q (2.1)

est la pression dynamique calcule en fonction de la vitesse U de lcoulement et de la masse spcique de lair q = 1 U 2 2 S est la surface de laile reprsente par le prol ; CL est le coefcient de portance, vriant pour de faibles incidences la loi CL CL = = CL Le moment des forces arodynamiques autour du centre lastique, ou moment de tangage Mp , dni comme positif cabreur, comporte deux contributions : le moment arodynamique2. On verra plus loin que le centre lastique correspond au point auquel exion et torsion sont dcouples.

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L AC EC

c k

fc ecF IGURE 2.3.: Modle bidimensionnel pour la divergence intrinsque MAC , indpendant de la position de laxe lastique, auquel sajoute le moment d la portance. Mp = MAC + ecL = qSc(CM + eCL ) (2.2)AC

o le coefcient CM , indpendant de langle dattaque, est essentiellement fonction de la cambrure du prol et sannule pour un prol symtrique. La distance ec est mesure entre le centre arodynamique du prol et le centre de torsion (centre lastique). On peut dautre part dcomposer langle mesur par rapport la conguration de portance nulle en deux contributions : = 0 + (2.3)AC

o 0 est langle dattaque pour lequel le couple de rappel lastique est nul ; est langle de torsion du ressort. Le couple de rappel lastique Me est donn par : Me = k = k( 0 ) (2.4)

o k = k est la raideur en torsion. Le moment rsultant autour du centre de torsion est alors M = qSc(CM + eCL ) kAC

(2.5)

et la position dquilibre statique que prend le prol est donne par la condition M = 0 : M = qSc(CM + eCL ) k( 0 ) = 0AC

(2.6)

Langle dincidence lquilibre qui en rsulte vaut = qScCM + k0 k qSceCLAC

(2.7)

tandis que la dformation en torsion associe est donne par = qSc CM + eCL 0 k qSceCLAC

(2.8)

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Cette position dquilibre est stable tant que M = qSceCL k < 0 (2.9)

La raideur k tant positive par dnition, on est donc amen considrer les deux cas suivants.

2.2.2. Le centre arodynamique est en arrire du centre de torsion (e < 0)Dans ce cas, lquilibre est stable, et langle dattaque lquilibre est toujours ni. Il tend, lorsque la pression dynamique crot, vers la valeur = Il ny a donc pas de problme. CM eCLAC

(2.10)

2.2.3. Le centre arodynamique est en avant du centre de torsion (e > 0)Dans ce cas, langle dattaque devient inni pour la valeur de la pression dynamique qui annule le dnominateur de (2.7) k (2.11) qD = SceCL La valeur correspondante de la vitesse UD = 2qD (2.12)

est la vitesse de divergence. La position dquilibre qui existe est stable ou instable selon que lon se trouve en-dea ou au-del de cette vitesse de divergence. Dans le cas exceptionnel o lon a e > 0 et CM + eCL 0 = 0, la torsion lastique reste nulle. Il y a cependant changement de stabilit au moment du passage par la divergence. Pour analyser de faon plus prcise le phnomne de divergence, il y a lieu de considrer sparment les diffrents rgimes de vol.AC

Ecoulement incompressible Le coefcient de portance reste alors indpendant de la vitesse et le centre arodynamique est situ au quart avant du prol f = 0.25 et CL = a0 (2.13)

Pour autant que la vitesse de divergence reste effectivement faible, on peut la calculer par la formule k 2 (2.14) qD = 1 UD = 2 Scea0

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Il y a manifestement stabilit tant que q < qD , et instabilit pour q > qD . On peut relever exprimentalement la pression dynamique de divergence en traant le diagramme de Southwell, sur lequel on reprsente 1/ en fonction de 1/q 1 = 1 CM 0 + eCLAC

qD 1 q

(2.15)

1/

1/q D

1/q

F IGURE 2.4.: Diagramme de Southwell : dtermination exprimentale de la divergence On mesure leffet arolastique par le rapport de la torsion effective la torsion qui rsulterait de lapplication du moment arodynamique lincidence 0 . Faisant = 0 dans (2.5), il vient qSc (CM + eCL 0 ) (2.16) = k do on obtient leffet de feedback arolastiqueAC

r=

1 = q 1 qD

(2.17)

qui devient inni quand on approche de la vitesse de divergence. Ecoulement subsonique compressible Pour un nombre de Mach M infrieur au nombre de Mach critique de vol (celui pour lequel lcoulement devient localement supersonique), on peut utiliser lapproximation de Glauert f = 0.25 et CL = a0 1 M2 (2.18)

Dans le cas gnral o f = f (M ) et CL = CL (M ), et en tenant compte de lexpression de la pression en fonction du nombre de Mach q = 1 U 2 = 1 a2 M 2 2 2 (2.19)

12

avec a la clrit du son, la condition de stabilit devient1 a2 M 2 Sce(M )CL (M ) 2

k 1 : il ny a pas de vitesse de divergence (toujours instable) ; h = 1 : il y a une seule vitesse de divergence, pour MD = 2, pour laquelle on a stabilit marginale (les autres vitesses sont instables) ; h < 1 : il y a deux vitesse de divergence. La position dquilibre est alors stable entre les deux vitesses de divergence et instable en dehors. Il est donc ncessaire de raliser la condition h < 1. (2.29)

2.3. Le problme bidimensionnel de lefcacit dune surface de contrleOn considre maintenant le cas dune section typique quipe dune surface de contrle (aileron, gouverne de profondeur ou de direction), telle quillustre la gure 2.6. Lorsque la surface de contrle subit une rotation dun angle positif (vers le bas), la portance crot. Mais la dexion du volet a aussi pour effet de modier le moment de tangage dans le sens dune rduction de langle dattaque. Du fait que la raideur en torsion de laile est indpendante du rgime de vol, alors que les rsultantes arodynamiques L et Mp varient proportionnellement q, il peut donc apparatre une vitesse de vol laquelle la surface de contrle devient inefcace. Au-del de cette vitesse critique, il y a inversion de la commande : un > 0 produit une rduction nette de la portance, et la commande doit tre braque en sens inverse pour obtenir leffet souhait. De plus, au voisinage de la pression dynamique dinversion qR (Reversal), il y a altration notable de lefcacit de la commande.

14

k AC EC

k c

ec

F IGURE 2.6.: Section typique quipe dune surface de contrle Les efforts arodynamiques sur un prol quip dune gouverne peuvent tre crits sous la forme : L = qS [CL (0 + ) + CL ] Mp = qSc(CM 0 + CM ) + ceLAC

(2.30) (2.31)

avec les coefcients CL = CM =

CL CM AC

mesure de laccroissement de portance d au braquage de la gouverne ;

mesure de laccroissement de moment autour du centre arodynamique d au braquage de la gouverne. Pour la simplicit de lexpos, nous supposerons dornavant de 0 = CM 0 = 0, ce qui ne retire rien sa gnralit, puisque nous sommes dans le cadre linaire, o le principe de superposition sapplique pleinement. Il en rsulte que nous pouvons crire dans ce cadre = . Nous calculerons de plus le moment arodynamique autour de larticulation de la gouverneAC

MH = qSH cH (CH + CH )

(2.32)

o CH est le coefcient de moment de tangage autour de larticulation de la gouverne, de corde cH et de surface SH . Tous les coefcients CL , CL , CM , CH , CH sont des constantes arodynamiques dnies par la gomtrie du prol et le nombre de Mach. En particulier, en rgime incompressible, on obtient pour CL et CM les coefcients thoriques CL (2.33) arccos (1 2 ) + 2 (1 ) CL (2.34) CM = (1 ) (1 ) o mesure le rapport entre la corde de la gouverne et la corde totale du prol. Le coefcient CH est lui aussi toujours ngatif. Pour exprimer lquilibre statique du systme, on crit dabord lquilibre des moments autour de laxe lastique : CL = qSce(CL + CL ) + qScCM k = 0 (2.35)

15

ainsi que lquilibre autour de larticulation : qSH cH (CH + CH ) k ( 0 ) = 0 (2.36)

o on a not 0 langle entre la position de dexion nulle et celle de torsion nulle de la surface de contrle (cest langle quon essaie dimposer la gouverne). Matriciellement, le systme dquations (2.35) et (2.36) peut scrire qSceCL k qSc(eCL + CM ) qSH cH CH qSH cH CH k On rsout le problme en posant = (qSceCL k )(qSH cH CH k ) q 2 SSH ccH CH (eCL + CM ) auquel cas on obtient = qSc(eCL + CM ) k 0 qSceCL k k 0 = (2.39) (2.40) (2.38) = 0 k 0 (2.37)

Un cas particulier important est celui dun contrle irrversible (servo-commande), caractris par k . Dans ce cas 1 k = k k qSceCL lim et lexpression (2.39) devient = qSc do la portance L = qS CL + qScCL eCL + CM k qSceCL 0 (2.43) eCL + CM 0 k qSceCL (2.42) (2.41)

Si le prol avait lui aussi une raideur innie, il rsulterait du braquage 0 la valeur de la portance L(r) = qSCL 0 (2.44) On peut mesurer leffet arolastique sur la gouverne par le rapport qScCL eCL + CM L =1+ = (r) L CL k qSceCL k + qSc CL CM CL k qSceCL

(2.45)

qui sannule lorsque la pression dynamique atteint la valeur qR = k CL ScCM CL (2.46)

16

Cest la pression dynamique dinversion. Le coefcient CM tant en gnral ngatif, qR est positive. Le rapport 1 CL CL CL = (2.47) = CL est en fait langle dattaque fournissant le mme accroissement de portance quun braquage unitaire de la surface de contrle . Il est donc toujours infrieur lunit. La gure 2.7 en montre lvolution en rgimes subsonique (M = 0) et supersonique (M = 2) en fonction du rapport = cH /c.

F IGURE 2.7.: Evolution des paramtres CL et CM (daprs [1]) Le rsultat (2.45) peut encore tre mis sous la forme q L qR = q Lr 1 qD 1

(2.48)

o qD est la pression dynamique de divergence dnie en (2.11). La gure 2.8(a) en montre lvolution en fonction de q pour diffrents rapports R = qD /qR > 1. Elle montre que lon a intrt raliser un rapport R aussi voisin de lunit que possible, de manire rendre lefcacit de gouverne aussi constante que possible dans lenveloppe de vol. En rgime incompressible, cette condition peut tre ralise en adaptant la longueur du volet la distance entre le centre arodynamique et laxe lastique. On obtient qR = qD pour e= (1 ) (1 ) (1 ) (2.49)

arccos(1 2 ) + 2

17

Par exemple, si e + f = 0.4, la longueur optimale du volet est c = 0.31c. La gure 2.8(b) montre encore lvolution du rapport L/Lr pour R < 1 ; dans ce cas, linversion apparat en mme temps que la divergence.1

0.8

1.5

0.6

1L/Lr 0.4 R>1 R=1.05 R=1.10 R=1.20 R=1.50 R=2.00 R=3.00

L/Lr 0.5

0.2

0

R qR

(b) cas qD < qR

F IGURE 2.8.: Efcacit de surface de contrle en fonction de la pression dynamique Il est intressant de revenir au cas plus gnral o le contrle prsente une certaine exibilit. Dans ce cas, lefcacit de la surface de contrle se calcule en fonction de (2.30), (2.39), (2.40) et (2.44) par k L = [qSc(CL CM ) + k CL ] (2.50) Lr CL et peut se mettre sous la forme k k L q = 1 (2.51) Lr qR qui montre que la vitesse dinversion ne se trouve pas modie par la souplesse de la commande. Il nen est pas de mme pour lefcacit de la commande elle-mme, ni pour la vitesse de divergence qui est solution de = 0.

2.4. Divergence dune aile droite denvergure nie2.4.1. Formulation de loprateur lastique par quation diffrentielleOn considre maintenant le cas dune aile droite, telle quillustre la gure 2.9, et lon admet la thorie de Saint-Venant de la torsion, selon laquelle le gauchissement de la section droite lencastrement est compltement libre. On peut alors admettre que la exion et la torsion de laile sont des phnomnes dcoupls.

18

ce(y) c(y) yF IGURE 2.9.: Modle en torsion dune aile droite denvergure nie On admet de plus lexistence dun axe lastique rectiligne caractris par les proprits suivantes : si un couple est appliqu en une section quelconque, toutes les sections tournent autour du point de perce de cet axe dans leur plan ; par rciprocit, une force verticale applique en un point de laxe lastique donne lieu une exion sans rotation daucune section. Prenons cet axe comme axe 0y et supposons le perpendiculaire au plan de rfrence (plan de symtrie de lavion dans lequel on considre que laile est encastre). Les forces arodynamiques en prsence sont la portance et le moment arodynamique, rpartis le long de lenvergure. La distribution de portance (y) = qc(y)C (y) sapplique le long de la ligne des centres arodynamiques, situe une distance e(y)c(y) de laxe lastique. La distribution de moment arodynamique m(y) = qc2 (y)Cm (y) sapplique galement autour de la ligne des centres arodynamiques.AC

l(y) C(y) m(y)

C(y)+dCF IGURE 2.10.: Equilibre en torsion dans un lment daile Soit C(y) le moment de torsion par rapport laxe lastique dans une section droite. Langle de torsion lui est li par la relation : C(y) = GJ o GJ(y) est la rigidit en torsion de laile. d dy (2.52)

19

Le moment de torsion rparti d aux forces arodynamiques est t(y) = qc2 (Cm + eC )AC

(2.53)

La portance locale est une fonction de langle dincidence (y) = 0 (y) + (y), o 0 (y) est le vrillage naturel de laile non sollicite. Cest langle dattaque que fait la corde de portance nulle avec la direction de lcoulement lorsque laile nest pas tordue lastiquement. Donc, 0 (0) est langle dattaque dans le plan de symtrie. Il en rsulte aussi que (0) = 0. En bout daile, on a C(y) = 0, soit (y) = 0. Do lquation diffrentielle et ses conditions aux limites : d d GJ + qc2 (Cm + eC ) = 0 dy dy (2.54) d avec (0) = (l) = 0 dyAC

2.4.2. Formulation de loprateur arodynamique par la mthode des tranchesLa difcult dans le calcul de la distribution de portance pour une aile denvergure nie rside dans le fait que la portance ralise au droit dune section est inuence par la distribution dangle dattaque sur toute lenvergure. Nous utiliserons cependant dans un premier temps lapproximation de la mthode des tranches, qui consiste justement admettre que le coefcient local de portance ne dpend que de langle dattaque apparent dans la section considre. On nglige donc les effets dinduction arodynamique en envergure en posant C (y) = C (y) (2.55)

o C est une pente de portance approprie. Eventuellement, leffet denvergure nie peut tre pris en considration de faon approche comme suit : C = a0 = a0 AR AR + 2 (2.56)

o a0 est la pente du coefcient de portance de la section dans un coulement bidimensionnel 2 incompressible, et o AR = 4l est lallongement (aspect ratio) de laile. S Notons dj que la mthode des tranches peut galement tre applique pour une aile en che de grand lancement en utilisant la relation C = a0 cos (2.57)

o est langle de che. Par ailleurs, les effets de compressibilit sont aisment pris en compte par application de la transformation de Glauert qui fournit les relations 1 C = a0 1 M2 (2.58)

20

pour une aile droite, et C = a0 cos 1 M 2 cos2 (2.59)

pour une aile en che. Revenant au problme de la torsion de laile, on peut crire celui-ci dans tous les cas sous la forme diffrentielle d d GJ + qc2 eC = qc2 (Cm + eC 0 ) dy dyAC

(2.60)

Pour simplier les critures, on crit les forces arodynamiques sous la forme b(y) = qc2 eC avec la pression dynamique non-dimensionnelle = qc2 (0)e(0)C (0) qui est une fonction de U et du nombre de Mach, et la fonction b(y) = c2 (y)e(y)C (y) c2 (0)e(0)C (0) (2.63) (2.62) (2.61)

qui dpend de la gomtrie de laile. On dnit galement le couple t0 (y) = qc2 (Cm + eC 0 )AC

(2.64)

pour crire lquation diffrentielle (2.60) sous la forme d d GJ + b(y)(y) = t0 (y) dy dy (2.65)

2.4.3. Stabilit de lquilibre arolastique et phnomne de divergenceLnergie de dformation associe la torsion a pour expression U= 1 2l 2

GJ0

d dy

dy

(2.66)

et le travail effectu par les forces arodynamiques pendant la torsion pour une tranche dy est

dW = dy0

t(y)d = dy0

[t0 (y) + b(y)(y)] d

(2.67)

soit dW = dy t0 (y)(y) + 1 b(y)2 (y) 2 (2.68)

21

Pour laile complte, ce travail vautl l

W =0

t0 (y)(y)dy +

1 2

b(y)2 (y)dy0

(2.69)

Pour examiner la stabilit de lquilibre, donnons (y) un accroissement = (y), o est un paramtre petit, et (y) une fonction continue arbitraire respectant la condition limite (0) = 0. Lorsque prend la valeur perturbe + , lnergie potentielle prend la valeur U + U1 + 2 U2 ol

U1 =0

U2 =

1 2

d d dy dy dy 2 l d GJ dy dy 0 GJ

(2.70) (2.71)

sont les variations premire et seconde de U . De mme, le travail effectu par les forces arodynamique devient W + W1 + 2 W2 , avecl

W1 =0

[t0 (y) + b(y)(y)] (y)dy 2l

(2.72) (2.73)

W2 =

b(y)2 (y)dy0

La condition de stabilit de lquilibre est que laccroissement dnergie de dformation soit suprieur laccroissement du travail des forces arodynamiques : U1 +2

U2 > W1 +

2

W2

(2.74)

Si, en transformant U1 par parties, on note que d U1 W1 = GJ (y) dyl l

0 0

d dy2

GJ

d dy

+ b(y)(y) + t0 (y) (y)dy = 0 (2.75)

au vu de (2.65), la condition de stabilit (2.74) devient alors U2 > W2 , soitl

GJ0

d dy

l

dy > 0

b(y)2 (y)dy

(2.76)

pour toute fonction (y) continue et telle que (0) = 0. Lexistence dun quilibre stable dpend videmment de la vitesse de vol et de laltitude. 1 Ces paramtres interviennent dans lvaluation de q = 2 U 2 et de C qui est une fonction du nombre de Mach (et ventuellement du nombre de Reynolds local). On peut donc poser f (M ) = c2 (0)e(0)C (0) et crire la condition de stabilit sous la formel 0 2

(2.77)

GJl 0

qf (M ) = 0

(2.96)

On en dduit la proprit bien connue du quotient de Rayleigh selon laquelle une erreur du premier ordre sur le mode de torsion, correspond une erreur par excs du second ordre sur 1 lorsque la valeur propre approche est calcule par (2.91).Exemple 2.1: Dans le cas dune aile de caractristiques uniformes, valuons grossirement 1 en prenant la distribution de torsion approche (y) = y qui vrie bien la condition cinmatique (0) = 0. On obtient directement l GJ dy 3GJ = l 0 = 2 l y 2 dy0

Si lon compare ce rsultat la solution analytique (2.88), on obtient lerreur relative sur 1 1 12 2 = = 0.216 1 2

2.4.6. La mthode de Rayleigh-RitzAu lieu de se donner une seule forme possible pour le mode fondamental de divergence, on peut utiliser un dveloppement de la forme (y) =i

xi i (y)

(2.97)

o les xi sont des paramtres inconnus, coordonnes gnralises du modle, et les i (y) des fonctions imposes gomtriquement admissibles. Le quotient de Rayleigh prend alors la forme =i i j

xi xj Kij xT Kx = T x Ax j xi xj Aijl

(2.98)

avec les coefcients lastiques et arodynamiquesl

Kij =0

GJi j dy

Aij =0

bi j dy

(2.99)

25

Le minimum de (2.98) par rapport aux coordonnes gnralises fournit lquation 2 xT Kx = T Kx T Ax = 0 x x Ax x Ax soit [K A] x = 0 (2.101) Le calcul de la vitesse de divergence prend donc la forme dun problme matriciel aux valeurs propres. La vitesse de divergence est obtenue en calculant la racine fondamentale de lquation det[K A] = 0 (2.102) (2.100)

On notera que dans le contexte de la mthode des tranches, la matrice arodynamique A est symtrique (eq. 2.99), ce qui rsulte du fait que les forces arodynamiques sont dductibles dun potentiel (voir eq. 2.69). Lorsquon utilise une reprsentation plus labore de larodynamique, le caractre symtrique de la matrice arodynamique disparat en gnral, mais la vitesse de divergence reste solution dun problme aux valeurs propres expressible sous la forme (2.102).

2.5. La mthode de la ligne portante de PrandtlLa mthode de la ligne portante est une thorie arodynamique approche, applicable aux ailes denvergure sufsante, qui permet de prendre en compte les effets de sillage sans toutefois recourir un modle tridimensionnel de lcoulement.

2.5.1. Formulation de loprateur arodynamique par la mthode de la ligne portanteUn raisonnement physique simple permet dvaluer les difcults associes lenvergure nie de laile. La cration de la portance dans le cas bidimensionnel est associe une circulation constante selon lenvergure de laile. Cette circulation correspond la distribution le long de la corde de tourbillons rectilignes dintensit (x) perturbant lcoulement incident de la mme manire que le prol tudi (gure 2.11). Le thorme de Kelvin sur la conservation de la circulation D = Dt dp (2.103)

se rduit par ailleurs D = 0 dans le cas dun uide incompressible ou dun uide parfait. Dt Seules des discontinuits associes la prsence de chocs ou dune couche limite peuvent entraner la violation de lquation (2.103). Il sensuit quune ligne de tourbillons ne peut se refermer que sur elle-mme ou stendre de part et dautre jusqu linni. Dans le cas dune aile de longueur nie, il nexiste pas de support physique de part et dautre de laile pour assurer la continuit des lignes de tourbillons.

26

y

(x)F IGURE 2.11.: Circulation =z

x

v ds autour du proly

x

F IGURE 2.12.: Largage de tourbillons dans le sillage dune aile denvergure nie On est donc amen admettre que les tourbillons responsables de la portance sont entrans par lcoulement dans le sillage de laile (gure 2.12). La thorie exacte des surfaces portantes est obtenue en calculant le champ de vitesse induit par une nappe de tourbillons couvrant laile et son sillage (voir annexe). Pour les ailes de grand allongement (AR > 5), une approximation sufsante peut tre obtenue de faon plus simple par le modle de la ligne portante de Prandtl. Ce modle consiste admettre que la circulation totale (y) mesure la station y en envergure obit la loi de conservation de la circulation exprime sous la forme (y) = (y + dy) + (y)dy (2.104) o (y) est la quantit de vorticit largue par le prol par unit de longueur (gure 2.13). On a donc la relation suivante entre circulation totale et quantit de vorticit largue (y) = d dy (2.105)

On peut ensuite calculer par la loi de Biot-Savart la vitesse que la nappe tourbillonnaire induit en un point. Pour ce faire, on dcompose le modle de la gure 2.13 en lignes lmentaires de tourbillons en forme de fer cheval (horse shoe vortices), telles que celle illustre la gure 2.14. On obtient

27

(y+dy) (y)

(y)dy

F IGURE 2.13.: Modle de la ligne portante

y P

v

(y)x

F IGURE 2.14.: Horse shoe vortex lmentaire dy ds r (2.106) 4 C r3 et en particulier, pour un point situ dans le plan de la nappe tourbillonnaire, la vitesse induite est perpendiculaire au plan de laile. Pour un segment envergure constante (gure 2.15), on obtient la composante de vitesse dv(P ) = dw(y) = d 42 1

ds sin r2

(2.107)

Notant que r sin = y et ds sin = rd, on obtient2 d dw(y) = sin d 4(y ) 1 d = (cos 1 cos 2 ) 4(y )

(2.108)

soit, pour un point situ sur le prol, la vitesse induite selon la verticale dw(y) = d 4(y ) (2.109)

28

que lon peut intgrer sur lensemble du prol 1 w(y) = 4l l

()d 1 = y 4

l l

d() y

(2.110)

Pour calculer la portance par unit de longueur, on exprime sa proportionnalit avec langle dattaque effectif, cest--dire langle dattaque vu par un observateur attach au prol (gure 2.16) w(y) eff (y) = (y) + (2.111) U do 1 (y) = U (y) = 2 U 2 ca0 eff (y) (2.112) Combinant les rsultats (2.110), (2.111) et (2.112), on obtient la relation intgrale de Prandtl 3 :1 (y) = 2 ca0 U (y) +

1 4

l l

d d () d y

(2.113)

Il est classique de plutt crire la relation (2.112) en terme du coefcient de portance C (y)1 (y) = U (y) = 2 U 2 cC (y)

(2.114)

auquel cas on a cC (y) = a0 c (y) + a0 c 8l l

d[cC ()] y

(2.115)

3. Note : au vu de la prsence dune singularit en y = , lintgrale de la relation de Prandtl est considrer au sens de la valeur principale de Cauchy. Pour une fonction f (x) non borne en x = , si b

y( ) =a

f (x)dx ++

f (x)dx ( > 0)

tend vers une limite L quand tend vers 0, alors f (x) est intgrable au sens de la valeur principale de Cauchy, et b vp a f (x)dx = L = lim 0 y( ).

y, 1

Pr

y 2

ds

F IGURE 2.15.: Calcul de la vitesse induite en un point de la nappe tourbillonnaire

29

U

L

L

D eff w UF IGURE 2.16.: Dnition de langle dattaque effectif et phnomne dinduction de trane Formellement, on peut crire cette relation intgrale en terme dun oprateur linaire cC (y) = A[(y)] ainsi quon en avait fait lhypothse dans lintroduction. (2.116)

2.5.2. Rsolution analytique de lquation de PrandtlLa mthode la plus naturelle de rsoudre lquation intgrale (2.115) consiste dcomposer la variable cC (y) en srie de Fourier. Elle conduit notamment au concept daile elliptique pour laquelle le coefcient de portance est constant et la trane induite minimale. Effectuons le changement de variables = l cos y = l cos (2.117)

Sachant que la circulation , et donc la variable cC (y), sannule en bout daile, on peut adopter un dveloppement de la forme

cC (y) = lr=1

Ar sin r

(2.118)

Il vientl l

1 d[cC ()] = y l

0

d[cC ()] d = rAr d cos cos r=1 0

0

cos r d (2.119) cos cos

Tenant compte dun rsultat classique d Glauert cos(r) sin(r) d = cos cos sin (2.120)

lquation intgrale (2.115) peut donc tre rsolue sous la forme a0 c () = l Il y a lieu de distinguer

Ar sin(r) +r=1

a0 c r sin(r) 8l sin

(2.121)

30

les solutions impaires, qui donnent lieu une distribution symtrique de portance caractristique des phnomnes tels que divergence et redistribution de portance due la torsion ; les solutions paires, qui donnent lieu une distribution antisymtrique de portance caractristique de manuvres en roulis. Calcul de la portance On calcule la portance par la relationl

L=

1 U 2 2

cC (y)dyl

(2.122) (2.123) (2.124)2

1 = 2 U 2 l

cC () sin d

1 = 4 U l A1

0 2 2

Si lon reprend la dnition de lallongement de laile AR = 4l , on obtient lexpression du S coefcient de portance L AR CL = = A1 (2.125) qS 8 qui ne dpend que du premier coefcient du dveloppement (2.118). Calcul de la trane induite Il est intressant de calculer le terme de trane induit par le fait que la portance locale (gure 2.15) cesse dtre perpendiculaire lcoulement. La trane induite sexprimel

Di = l

w (y) dy U w cC (y) dy U ll l l

(2.126) (2.127)

= 1 U 2 2 avec la vitesse induite 1 w(y) = 4 soit w(y) = l l

d U = y 8 U 8 rArr

d[cC ] y

(2.128)

sin r sin

(2.129)

31

Lquation (2.127) fournit donc le rsultat suivant pour la trane

Di = = =

1 U 2 2

l0 r

Ar sin r

1 8 s

sAs

sin s sin

l sin d

(2.130) (2.131) (2.132)

1 U 2 l2 16 U 2 l2 32

rAr As sin r sin s d0 r s

rA2 rr

et il y correspond le coefcient de trane CD = Di AR = qS 64

rA2 rr=1

(2.133)

Ralisation de la trane minimum Il est vident au vu du rsultat prcdent que la trane est minimum pour une forme en plan telle que Ar = 0 (r > 1). On obtient alors cC = lA1 sin = A1 l2 y 2 (2.134)

et la loi correspondante de corde, incidence gomtrique constante, vrie lquation a0 l A1 8 c() = A1 sin (2.135)

soit c() sin , ce qui donne lieu la forme en plan elliptique c(y) = c0 1 y2 l2 (2.136)

et un coefcient de portance constant sur lenvergure C = l A1 c0 a0 + cl0 (2.137)

avec un coefcient A1 que lon calcule partir de (2.135) A1 = Si lon note ensuite que AR = 4l2 8l c0 = l 2 c0 a0 AR + a0 (2.139)a0 8

(2.138)

on met nalement le rsultat (2.137) sous la forme CL = Cl = AR (2.140)

32

Lexprience montre que la formule (2.140) donne une estimation trs prcise du coefcient de portance pour des ailes distribution de portance approximativement elliptique, comme cest le cas pour des ailes forme en plan modrment trapzodale et allongement sufsant (AR > 3). 4 Telle quelle, la thorie de la ligne portante ne permet pas le calcul du moment de tangage. On recourt donc la thorie du prol mince en coulement bidimensionnel pour le calculer, en admettant que la ligne portante est localise au quart de la corde du prol. Le coefcient Cm adopt pour chaque section est le coefcient caractristique du prol (mthode des tranches).AC

2.5.3. Mthode de rsolution de lquation intgrale par collocation numriqueConsidrons le problme du calcul dune distribution de portance symtrique, rsultant dune distribution symtrique dangle dattaque . La mthode gnralement utilise est une mthode de collocation. Elle consiste calculer langle dattaque en un certain nombre de points, gal au nombre de termes requis pour la convergence de la srie

cC = lr=1,3,...

Ar sin(r)

(2.141)

Convenons dans ce qui suit dutiliser les notations matricielles suivantes : pour une matrice rectangulaire (carre) pleine ; pour une matrice diagonale ; pour un vecteur-colonne. Choisissant des points de collocation (1 , . . . , n ) en nombre gal celui des coefcients Ar retenus, on peut mettre la relation (2.121) sous forme matricielle 1 a0 c l = sin(r) Ar + 1 a0 c 8l sin r sin(r) Ar (2.142)

Dautre part, on peut mettre sous forme matricielle la relation (2.141) exprime en chacun des points de collocation cC = l sin(r) Ar (2.143) ce qui permet de rcrire (2.142) sous la forme a0 c soit = As cC (2.145)AR 4. Pour un prol mince, on a a0 2 et lapproximation (2.140) peut tre rcrite C = a0 AR+2 . Par AR ailleurs, Diederich et Budiansky [2] ont propos une autre approximation C = a0 AR+4 , mais uniquement valable dans le cadre du calcul de la divergence en torsion. Pour les ailes en che, on peut remplacer a0 par a0 cos dans les expressions prcdentes.

= I+

1 a0 c 8l sin

1

r sin(r) sin(r)

cC

(2.144)

33

avec loprateur arodynamique symtrique reliant la portance langle dattaque As = 1 1 1 + a0 c 8l sin 1

r sin(r) sin(r)

(2.146)

En gnral, on utilisera pour le calcul de loprateur symtrique (2.146) les points de collocation de Multhopp (gure 2.17) = 2 m , ,..., m+1 m+1 m+1 (m impair)

Le choix m impair provient de la symtrie du problme, et lintrt de la distribution ainsi obtenue est le nombre plus lev de points de collocation en bout daile.

y

7

y

6

y

5

y

4

y

3

y

2

y

1

F IGURE 2.17.: Reprsentation des points de collocation de Multhopp pour m = 7 On peut calculer la portance totale en utilisant la formule dintgration de Multhopp f (y) dy = m+1 1 soit, pour une demi-envergure1 1 m

f (yk ) sin kk=1

(2.147)

m12

(2.148)

f (y) dy =0

f (yk ) sin k + 1 f (y m+1 ) 2 2 m + 1 k=1

2.6. Distribution de portance sur une aile lastique droiteUn problme important associ llasticit de laile en torsion est la redistribution de la portance sur laile, en raison de la modication locale dangle dattaque par la torsion. Dun point de vue physique, le problme peut tre pos de deux manires :

34

langle dattaque est spci lemplanture, auquel cas la portance totale effectivement ralise doit tre dtermine ; la portance totale devant tre ralise est connue en fonction des conditions de vol, auquel cas langle dattaque lemplanture est adapt en consquence. Nous donnerons au problme une solution analytique dans le cas dune aile caractristiques uniformes, et montrerons comment le problme peut tre formul numriquement pour une aile de caractristiques quelconques.

2.6.1. Solution analytique par la mthode des tranchesLquation dquilibre en torsion dune tranche peut scrire d dy GJ d dy = t(y) (2.149)

o le couple extrieur appliqu, t(y), comporte diffrentes contributions le couple dorigine arodynamique qc2 (Cm0 + eC ) le couple d la pesanteur N mgd o d est la distance entre laxe lastique et la ligne des centres de masse (voir gure 2.18), m la masse linique de laile, et N le facteur de charge (N > 1 lors dune ressource).

z l(y)

d(y)x

m0(y)

Nmg

ce(y) c(y)

MC

AC

yF IGURE 2.18.: Equilibre en torsion dune aile denvergure nie Pour une aile uniforme, on a d2 1 = qc2 Cm0 + qc2 eC mN gd 2 dy GJ (2.150)

35

On met ensuite le problme sous forme non dimensionnelle en posant = y . Dautre part, l dans le cadre de la thorie des tranches, on a C = C (0 + ) Do en posant 2 = et K= qc2 el2 C GJ (2.152) (2.153) (2.151)

l2 qc2 Cm0 + qc2 eC 0 mN gd GJ on peut rcrire lquation dquilibre en torsion sous la forme non dimensionnelle d2 + 2 = K d 2 Portance ralise pour un angle dattaque spci lemplanture Sur laile rigide, on aurait la distribution de portance C(r)

(2.154)

= C 0

(2.155)

Pour laile lastique, celle-ci est modie selon la loi C avec solution de(e)

= C (0 + )

(2.156)

d2 + 2 = K d 2 La solution gnrale scrit = soit K + A cos + B sin 2 =

avec (0) = (1) = 0

(2.157)

avec A =

K et B = A tan 2

(2.158)

K (1 cos tan sin ) 2 On doit alors calculer le facteur de charge ainsi ralis par N= L 2q = W W 2ql = Wl 0 1

(2.159)

cC dy cC 0 +0

(e)

(2.160) K (1 cos tan sin ) d 2 (2.161)

Considrons le cas simpli o lon nglige le moment de torsion d au poids propre (d = 0) et le moment de tangage intrinsque du prol. Dans ce cas, K = 2 0 (2.162)

36

et il reste N=1 2ql (cos + tan sin )d cC 0 W 0 2ql tan = cC 0 W

(2.163) (2.164)

On a dautre part la distribution de portance C do le rapport C C2 =/3 =/4 =/8 =0(e) (r) (e)

= C 0 (cos + tan sin )

(2.165)

= cos + tan sin

(2.166)

1.8

1.6 Ce/Cr l l

1.4

1.2

1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

F IGURE 2.19.: Variation de la distribution de portance en envergure en fonction du paramtre =lqc2 eC GJ

(angle dattaque spci)

Ralisation dune portance dtermine Pour calculer la distribution de portance sur une aile droite dont la portance totale est dtermine, on repart de la mme solution = K (1 cos tan sin ) 2 (2.167)

37

mais on calcule langle dattaque 0 lemplanture tel que1

L = N W = 2qcl0

C (0 + )d = 2qclC 0 +

K 2

1

tan

(2.168)

On rcrit ensuite K sous la forme K = 2 0 + 2 K avec K = do N W = 2qclC 0 et mN gd Cm0 2 eC qc eC tan +K 1 tan (2.169)

(2.170)

(2.171)

NW K 1 2qclC tan tan Pour laile rigide, langle dattaque lemplanture serait 0 = 0 = do le rapport des distributions de portance C C avec(e) (r)

(2.172)

NW 2qclC

(2.173)

=

0 + 0 K = (cos + tan sin ) + (1 cos tan sin ) 0 0 0 1 tan

(2.174)

0 K = 0 tan 0 Aprs simplication, on obtient C C(e) (r)

(2.175)

= sin +

K cos + tan 0

1 sin

cos tan

(2.176)

Cette expression se rduit ses deux premiers termes si lon nglige le moment de tangage propre du prol et le couple d la gravit. La gure 2.20 montre comment se redistribue la portance dans ce cas, en fonction de la pression dynamique non dimensionnelle 2 .

2.6.2. Solution numrique par quations intgralesLe problme de la torsion de laile peut aussi tre mis sous la forme dune quation intgrale. Supposons que lon applique un couple concentr en y = . La rpartition en envergure du couple de rappel lastique est alors donne par C(y) = GJ d = dy 0 si si y> y (2.177)

38

1.3 1.2 1.1 1 Ce/Cr l l 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 =/3 =/4 =/8 =0

F IGURE 2.20.: Redistribution de la portance sur une aile lastique de caractristiques uniformes en fonction du paramtre = l En intgrant, on obtient = soit = C (y, ) avec la fonction dinuence en torsion (illustre la gure 2.21) dy si y > 0 GJ(y) C (y, ) = y dy si y 0 GJ(y) (2.179) 0 y 0 qc2 eC GJ

(portance totale spcie)

dy GJ(y) dy GJ(y)

si si

y> (2.178) y

(2.180)

Si le couple appliqu est un couple lmentaire t(y)d, langle de torsion lmentaire en rsultant est donn par d(y) = C (y, )t()d (2.181) et, par application du principe de superposition, on obtient lquation intgrale quivalente (2.54) ou (2.149)l

(y) =0

C (y, )(qc2 Cm + qc2 eC mN gd) dAC

(2.182)

39

C(y)poutre non uniforme poutre uniforme

y

F IGURE 2.21.: Allure typique dun coefcient dinuence en torsion selon lenvergure de laile Les conditions aux limites de (2.54) sont implicitement contenues dans la fonction dinuence (2.180) et ne doivent donc plus tre spcies. Si on dcompose la distribution de portance cC en la partie issue de la dformation lastique de laile et en la partie correspondant la portance de laile rigide : cC = cC(e)

+ cC

(r)

(2.183)

on peut rcrire lquation intgrale (2.182) sous la formel

(y) = q0

C (y, ) ce cC

(e)

l

d +0

C (y, )(qc2 Cm + q ce cCAC

(r)

mN gd) d

f (y)

(2.184) En combinant cette quation avec la relation arodynamique reliant la distribution de portance celle dangle dattaque (oprateur inverse de (2.116)) (y) = A[cC (y)] on obtient lquation intgrale rgissant la distribution de portance lastique A[cC (y)] = q0 (e) l (e)

(2.185)

C (y, ) ce cC

(e)

d + f (y)

(2.186)

2.6.3. Discrtisation de lquation intgrale par collocation numriqueDu fait de ladoption de la formule de Multhopp pour le calcul des forces arodynamiques par la mthode de la ligne portante, il est naturel de faire le mme choix de points de collocation pour discrtiser lquation intgrale (2.186).

40

Posons

As G W

= = =

oprateur arodynamique calcul aux points de quadrature (q. 2.146) matrice des coefcients dinuence [Gij = C (yi , yj )] matrice diagonale des poids dintgration dans la formule de quadral ture de Multhopp W = n+1 sin (e) (e)

Sous forme matricielle, on peut alors crire As cC =q G =q E avec f =q E =q E cC cC(r) (r)

ce cC

W(e)

cC

+ f (2.187)

+ f

+q G +q F

c2 CmAC

W

Cm

AC

N G mg

d

W

mg (2.188)

N H

Vitesse de divergence Pour calculer la vitesse de divergence, il suft de calculer qD solution de As q E Elle est donc solution de det As q E =0 (2.190) cC(e)

=0

(2.189)

Ralisation dune portance dtermine Pour permettre la ralisation dune portance dtermine, on doit ajouter langle de torsion une constante lemplanture (e) (y) = (e) (0) + (y) o (e) (0) est langle quil faut ajouter lemplanture. On a donc (e) (y) = A[cC (y)]l (e)

(2.191)

(2.192)(e)

=q0

C (y, )ec2 C d + f (y) + (e) (0)

(2.193)

soit, matriciellement As cC(e)

=q E

cC

(e)

+ {f } + (e) (0) 1

(2.194)

On a dautre part la condition suivante raliser WT

cC

(e)

=0

(2.195)

41

qui exprime que la portance totale nest pas modie par la torsion lastique. Ds lors, la distribution de portance rsultant de la torsion lastique est solution du systme (e) s f A q E 1 cC = (2.196) T 0 e (0) W 0

2.7. Efcacit daileron pour une aile droiteConsidrons une aile droite munie dune surface de contrle, telle quillustre la gure 2.22. Langle dincidence effectif le long de lenvergure est la rsultante de diffrentes com-

zU py ce(y) c(y) d(y)AC

i

x

p

F IGURE 2.22.: Aile droite munie dun aileron posantes : langle dattaque apparent induit par la vitesse de roulis p i = py U

MC

y

langle de torsion lastique (y) langle dattaque quivalent au braquage de laileron eq = Soit au total C C (2.197)

py C + U C Par ailleurs, les forces intervenant dans lquilibre en torsion sont le couple de rappel lastique (y) = (y)

42

les forces arodynamiques sur laile m(y) = qec cC(e)

+c

C pl pl U U

(r)

les forces arodynamiques dues au braquage daileron m(y) = qec2 C + qc2 Cm les forces dinertie m(y) = dmy p o m est la masse linique de laile. Il est noter que nous navons pas tenu compte ci-dessus du moment arodynamique intrinsque ou de la prsence dune incidence initiale (vrillage). En effet, le principe de superposition sapplique ici (on reste dans un cadre purement linaire), et on sintresse uniquement aux effets lis au braquage daileron. Au total, lquation dquilibre en torsion sous sa forme diffrentielle scrit donc d dy GJ d dy + qec2 C(e)

= q ec2 C + c2 Cm qec2

C pl + mpyd pl U U

(r)

d avec (0) = (l) = 0 dy

(2.198)

pl o on a introduit langle dhlice . On peut galement lcrire sous sa forme intgrale, U savoirl

(y) = q0

C (y, )ec2 Cl

(e)

d + fa (y)2

avec fa (y) =0

C (y, ) qec

C pl C + pl U U(e)

(r)

(2.199) + qc Cm m pd d 2

En introduisant la relation linaire entre cC et , on obtient une solution quon crit sous la forme pl (y) = c1 (y) + c2 (y) + c3 (y)p U (2.200) (e) 1 (y)] + A[c2 (y)] pl + A[c3 (y)]p cC = A[(y)] = A[c U Avant dillustrer ces dveloppements pour une aile de caractristiques uniformes, on peut mentionner quelques paramtres dintrt pour la mcanique du vol.

43

2.7.1. Acclration en roulis suite un braquage daileronConsidrons le cas o, partant dune vitesse de roulis nulle, on applique instantanment un braquage daileron . Lquation dquilibre en roulis scrit alorsl l

Ixx p = 2q 0

cC y dy = 2q0 l

(cCl

(r)

+ cC )y dy (2.201)

(e)

= 2q0

cC y dy + 2q0

cC y dy

(e)

o Ixx est linertie en roulis de lavion. Sachant quon a par ailleurs cC on obtient p= l 0 (e)

= A[c1 (y)] + A[c3 (y)]p cC + A[c1 (y)] y dyIxx 2q

(2.202)

l 0

A[c3 (y)]y dy

(2.203)

2.7.2. Efcacit daileronLefcacit daileron est une mesure de laptitude de laileron maintenir une vitesse de roulis donne. Pour une vitesse de roulis constante, lacclration p = 0, et lquation dqui libre (2.201) devientl l

cC y dy =0 0

cC

(e)

+ cC

(r)

y dy = 0(r)

(2.204)

ou encorel 0

pl C pl A[c1 (y)] + A[c2 (y)] + cC + c pl U U U

y dy = 0

(2.205)

Lefcacit daileron est alors donne par pl U = l 0 l 0

cC + A[c1 (y)] y dy cC(r)

(2.206) + A[c2 (y)] y dy

pl U

En mcanique du vol, on utilise plutt CL 1 = Sll

cC y dy0

et

CLp

1 = Sl

l 0

C c pl y dy U

(r)

(2.207)

Lefcacit daileron scrit alors CL + pl U = CLp +1 Sl 1 Sl l A[c1 (y)]y 0 l A[c2 (y)]y 0

dy dy

(2.208)

44

2.7.3. Vitesse dinversion de commandesLa vitesse dinversion de commande est celle pour laquelle lefcacit daileron sannulle. Partant de lquation (2.208), on obtient lquation dnissant la vitesse dinversion CL + 1 Sll

A[c1 (y)]y dy = 00

(2.209)

Remarque : haute vitesse, les avions de transport utilisent un aileron situ prs de lemplanture, de faon minimiser la contribution du terme lastique.Exemple 2.2: Considrons le cas dune aile de caractristiques uniformes. Adoptant la mthode des tranches pour exprimer les forces arodynamiques, lquation diffrentielle dquilibre en torsion scrit alors GJ avec ua (y) = soit 1 hauteur de laileron 0 ailleurs d2 + qec2 C = qc2 (eC dy 2

+ Cm )ua (y) + qec2 C

py + dmy p U

2 d 2 2 py + k1 py k2 2 ua (y) 2 + = dy U (0) = 0 ; d (l) = 0 dy

o 2 =

eC + Cm md qec2 C ; k1 = ; k2 = . GJ GJ eC La solution est la superposition de la solution de lquation homogne : 0 (y) = A cos y + B sin y

de la solution particulire correspondant aux deux premiers termes du membre de droite : 1 (y) = py k1 p + 2y U

et de la solution particulire correspondant au troisime terme du membre de droite, qui peut tre calcule par transformation de Laplace : esl1 esl (s2 + 2 )2 (s) = k2 2 L[ua (y)] = k2 2 s o on a considr un aileron stendant de l1 l (bout de laile). On a alors 2 (y) = L1 k2 2 esl1 esl s(s2 + 2 )

45

sin y 1 et L1 Notons que L1 s2 +2 = f1 (y) = thorme de convolution, on obtient alorsy

esl1 esl s

= f2 (y) = ua (y). Appliquant le

2 (y) = k2 2 0

f1 (y )f2 ( )d 0y 1 l1

= k2 2

sin ((y )) d

y l1 y > l1

= k2 [1 cos ((y l1 ))] ua (y) La solution gnrale scrit donc (y) = 0 (y) + 1 (y) + 2 (y) = A cos y + B sin y + py k1 p + 2 y k2 [1 cos ((y l1 ))] ua (y) U

Cette solution doit vrier les conditions limites, savoir : (0) = A = 0 p k1 p d (l) = B cos l + + 2 k2 sin ((l l1 )) = 0 dy U On peut donc nalement crire la solution du problme sous la forme (y) = c1 (y) + c2 (y) avec pl + c3 (y)p U

c (y) = k sin ((l l1 )) sin y [1 cos ((y l ))] u (y) 1 1 a 2 cos l sin y y c (y) = 2 l l cos l c (y) = k1 y sin y 3 2 cos l

Dans le cadre de la mthode des tranches, on calcule ensuite la distribution de portance par la relation cC(e)

(y) = A [(y)] = cC

c1 (y) + c2 (y)

pl + c3 (y)p U

Il reste alors introduire les fonctions c1 (y), c2 (y), c3 (y) dans les expressions obtenues dans le cas gnral pour lacclration en roulis (2.203), lefcacit daileron (2.206) ou la vitesse dinversion de commande (2.209). Ainsi, la relation (2.203) devient C p= cos l1 cos l ecC 2GJ

1 +

Cm e

cos l1 cos l l3 3

1 2 tan l 3

2 l2 l1 2

d Ixx 2m ec

+

l 2

De mme, lefcacit daileron (2.206) devient C pl U = cos l1 cos l

1 + C

Cm cos l1 e cos l tan l l 1

1 2

2 l2 l1 2

46

m On voit que lefcacit daileron est une fonction des paramtres l, C , eC et ll1 . En particulier, = 0 correspond au cas de laile inniment rigide. Lefcacit daileron maximale peut donc tre calcule par pl l2 C 3 1 1 lim U = 0 2 l2 C

C

C

Au fur et mesure que augmente, le moment de roulis ngatif d la torsion se rapproche en valeur absolue du moment de roulis d au braquage de laileron. Leurs effets se compensent lorsque la vitesse dinversion de commande est atteinte. La gure 2.23 reprsente lefcacit daileron dune aile de caractristiques donnes (voir valeur des paramtres sur la gure) en fonction du paramtre l. La gure 2.24 reprsente, pour la mme aile, lvolution des moments de roulis dus laileron, la

F IGURE 2.23.: Efcacit daileron dune aile de caractristiques uniformes en fonction de l = lqec2 a0 GJ

(daprs [3])

torsion de laile et lamortissement (terme en pl/U ) jusqu la vitesse dinversion (l = 1.44). Enn, la gure 2.25 montre comment se distribue la portance sur laile au fur et mesure que la pression dynamique (au travers de l) augmente. Dune part, laileron rigide induit le diagramme de portance rectangulaire. Dautre part, la torsion de laile provoque une rpartition de portance ngative qui, linversion, compense compltement le moment de roulis d laileron.

2.8. Divergence des ailes en cheLorsque laile prsente une che, son comportement est modi par rapport laile droite au travers de plusieurs effets : apparition dun couplage exion-torsion (dans les axes lis lcoulement) ; rduction de langle dattaque effectif. Ces effets ont pour consquence de retarder lapparition du phnomne de divergence pour une aile che positive (vers larrire). Dans la suite, nous allons considrer aussi bien une approche par quation diffrentielle quune approche par quation intgrale. Lapproche par quation diffrentielle est limite aux ailes de grand allongement pour lesquelles on peut dnir une ligne des centres lastiques, qui

47

F IGURE 2.24.: Contributions au moment de roulis sur une aile de caractristiques uniformes, en fonction de l = lqec2 a0 GJ

(daprs [3])

servira daxe de rfrence. Lapproche par quation intgrale ne prsente par contre pas cette limitation, et est applicable des ailes de forme en plan quelconque.

2.8.1. Equations dans les axes de lcoulementConsidrons une aile en che, telle que reprsente la gure 2.26, et supposons que laxe lastique soit rectiligne, de sorte quil puisse nous servir daxe de rfrence. Nous supposerons aussi que laile se dforme lastiquement de telle manire que lon pourra considrer les sections y=constante comme rigides. Autrement dit laile se comporte comme une poutre avec un encastrement en biseau. Les forces arodynamiques en prsence sont : la force verticale (effort tranchant) Z(y) = qcC mN g le couple autour de laxe y t(y) = qec2 C + qc2 Cm0 mN gd o C est le coefcient de portance des sections alignes avec lcoulement et m la masse par unit de longueur selon y. Dans les axes de la poutre (,), on doit vrier Z(y)dy = Z()d xy y y et t(y)dy = t()d, avec dy = d cos . On a donc y y y Z() = Z(y) cos = (qcC mN g) cos y t() = t(y) cos = (qec2 C + qc2 Cm0 mN gd) cos y Si on dcompose le couple t() dans les axes de la poutre, on obtient : y y t() = t() cos (couple de torsion) y m() = t() sin (couple de exion) y y (2.212) (2.213) (2.210) (2.211)

48

F IGURE 2.25.: Distribution de portance sur une aile de caractristiques uniformes en roulis, en fonction de l = lqec2 a0 GJ

(daprs [3])

Les quations dquilibre de la poutre scrivent alors : en exion d2 d2 w dt y EI 2 = Z() + () sin y 2 d y d y d y

(2.214)

_

l ec d11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00t(y) 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00

yAC MC

_ y

l

_ x

x

F IGURE 2.26.: Aile en che (axes coulement)

49

y _ m x t _ t _ y

F IGURE 2.27.: Dcomposition du couple en composantes de exion et de torsion en torsion

d d GJ = t() cos y (2.215) d y d y o EI est le module de exion en chaque section, et w le dplacement vertical (selon laxe z). En explicitant les charges arodynamiques, on obtient : 1 d2 cos d2 y d2 w d2 y d d GJ d y d y EI = qcC mN g + d qec2 C + qc2 Cm0 mN gd sin (2.216) d y (2.217)

= qec2 C + qc2 Cm0 mN gd cos2

On spare ensuite les contributions lastique et rigide de la portance : 1 d2 cos d2 y EI d2 w d2 y d (e) (e) q sin qcC ec2 C d y = qcC(r)

mN g + sin

df () y d y

d d (e) GJ + qec2 C cos2 = f () cos2 y d y d y avec f () = qec2 C y(r)

(2.218)

+ qc2 Cm0 mN gd

Il reste relier langle dincidence dans les axes de lcoulement langle de torsion dans les axes de la poutre. Pour ce faire, on peut crire = avec x = x cos y sin y = x sin + y cos Il en rsulte donc la relation : = cos w sin y (2.222) (2.220) (2.221) w = x w x w y + x x y x (2.219)

50

qui montre que la exion a pour effet de rduire langle dattaque effectif. Celui-ci est luimme reli la distribution lastique de portance par loprateur arodynamique w (e) cos sin = A[cC ] y avec, par exemple, dans le cas de la mthode des tranches : A= 1 cC cos (2.224) (2.223)

Il faut noter que, pour les ailes en che, la mthode de la ligne portante nest plus applicable telle quelle. On peut par exemple utiliser la L-mthode de Weissinger [3]. Finalement, pour pouvoir rsoudre le problme de la distribution de portance sur une aile en che, il convient dajouter aux quations prcdentes (2.218, 2.222) des conditions limites stipulant que la torsion et la dexion sont nulles lencastrement : dw (0) = (0) = 0 d y (2.225)

et que les efforts (moments de exion et de torsion, effort tranchant) sannulent en bout daile : EI d2 w d d d2 w (l) = GJ ( = l) EI 2 d2 y d y d y d y ( = 0 l) (2.226)

2.8.2. Equations dans les axes de laileAlternativement, on peut tudier le problme de laile en che en considrant des sections perpendiculaires laxe lastique (voir gure 2.28). Les forces arodynamiques en prsence sont alors : Z() = qC cos2 mN g y c 2 2 y t() = qc C cos + q2 Cm0 cos2 mN g d e c (2.227) (2.228)

o toutes les grandeurs barres sont relatives aux sections prises perpendiculairement laxe lastique. Les quations dquilibre en exion et en torsion scrivent alors (dans les axes de la poutre) d2 w d2 (e) (r) EI 2 qC cos2 = qC cos2 mN g c c (2.229) 2 d y d y d d (r) (e) (2.230) e c GJ + qc2 C cos2 = qc2 C cos2 q2 Cm0 cos2 + mN g d e d y d y Ces quations dquilibre doivent tre compltes par une relation entre la distribution de (e) portance C et la dformation de laile. Si cette relation est dlicate tablir dans le cadre dune thorie qui prendrait en compte les effets dinduction lis lenvergure nie, on peut

51

U cos

U sin U _

l ec d__ _111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000

yAC MC

_ y

l

_ x

x

F IGURE 2.28.: Aile en che (axes de laile) par contre dans le cadre de la mthode des tranches relier langle dattaque effectif eff au (e) coefcient de portance local C par eff = (e) C a0 (2.231)

On peut relier lincidence effective aux dformations locales de laile et dw/d au travers y des considrations suivantes. La vitesse U de lcoulement incident peut tre dcompose en une vitesse U cos perpendiculaire laxe y et une vitesse U sin parallle cet axe. Quand laile se dforme en exion et en torsion, la vitesse U cos , aligne avec la section, vient frapper celle-ci avec une incidence (voir gure 2.29). A cause de la dformation en exion, la composante U sin induit une vitesse verticale U sin (dw/d) qui rduit langle y dincidence apparent. Donc, langle dincidence effectif peut scrire dw tan eff = i = d y_

(2.232)

_ U sin dwdy

U sin U cosdw _ dy

F IGURE 2.29.: Dcomposition de la vitesse incidente sur une section daile en che dforme

52

La relation entre distribution de portance et dformation de laile scrit donc nalement (e) C dw tan = a0 d y (2.233)

Les conditions limites associes sont les mmes que celles donnes prcdemment (2.225, 2.226). On constate a posteriori que les deux approches donnent des rsultats similaires, si ce nest que lquation (2.230) comporte un terme de drive premire en moins.Exemple 2.3: Considrons le cas dune aile en che de caractristiques uniformes. Par lapplication de la mthode des tranches, on obtient cC (e)

dw tan = a0 c d y

En remplaant dans les quations dquilibre (2.229) et (2.230), on obtient qC c d3 qa0 c cos2 tan = d3 y EI d2 qc2 a0 cos2 e tan = + d2 y GJ cos2 mN g EI (r) q cos2 ec2 C + c2 Cm GJ(r)

0

mN g d

o on a pos = dw . Aprs avoir multipli la premire relation par tan et avoir introduit le chand y gement de variable = 1 (/ ces quations diffrentielles deviennent y l), d2 + a tan = f1 () 2 d d3 tan + b tan = f2 () d 3 avec qa0 c3 sin cos l EI 2 ec2 C (r) + c2 C q cos m0 mN g d f1 () = GJ/2 l a= b= f2 () = qC c(r)

qc2 2 a0 cos2 e l GJ

sin cos mN g tan 2 EI/l

En drivant une fois la premire quation par rapport et en lui soustrayant la seconde, on obtient d3 d +a b = f1 () f2 () 3 d d o = tan . Les conditions limites associes lquation ci-dessus sont donnes par (1) = et d (0) = 0 d

d2 (0) = (0) + f1 (0) d 2

53

Si on considre une aile sans vrillage initial, et angle dincidence lemplanture donn, les fonctions f1 () et f2 () sont alors constantes, et f1 () = 0. On vrie alors aisment que la solution complte satisfaisant les conditions limites est donne par () = avec f3 () = 4 2 9 2 + 2 e2 + e 5 2 + 2 9 2 + 2 cos + 3 3 2 9 2 + 3 sin f2 f3 () 1 b f3 (1)

o 2 et i sont les racines de lquation caractristique r3 + ar b = 0 Dans le cas o on nglige les forces dinertie (poids propre), le rapport entre portance totale et portance rigide est donn par C f3 () = (r) f3 (1) C La distribution de ce rapport le long de lenvergure pour des valeurs particulires des paramtres est reprsent la gure 2.30. On y voit clairement leffet attnuateur de la che arrire et leffet amplicateur de la che avant.

F IGURE 2.30.: Distribution de portance pour une che avant et une che arrire (daprs [3])

2.8.3. Equation intgralePlaons-nous dans les axes de lcoulement, et considrons les tranches successives perpendiculaires laxe y comme indformables. Dans le cadre de lapproche par quation intgrale,

54

la forme en plan de laile peut tre quelconque. On peut alors crire lquation dquilibre sous forme intgrale en termes des fonctions dinuence en torsion et en exion :l l

(y) =0

C z (y, )Z()d +0

C (y, )t()d

(2.234)

o C z (y, ) mesure la rotation gnre en y par une force verticale applique en , tandis que C (y, ) mesure la rotation gnre en y par un couple de torsion concentr en . En explicitant les forces arodynamiques, on obtientl l

(y) =0

C z (y, ) (qcC mN g) d +0

C (y, ) qec2 C + qc2 Cm0 mN gd d (2.235)

que lon peut rcrire sous la formel

(y) = q0

(e) C(y, )cC d + f (y)

(2.236)

avec C(y, ) = C z (y, ) + ce()C (y, )l

(2.237)l

f (y) =

q0 l

(r) C(y, )cC d + q 0

C c2 Cm0 d

(2.238)

g0

C z (y, ) + C (y, )d() mN d

Il reste ajouter une relation entre la distribution de portance lastique et la dformation de laile, laide de loprateur arodynamique : (y) = A cC(e)

(2.239)

On remarquera que la nature non-symtrique de la fonction dinuence C z (y, ) enlve au problme mathmatique de la distribution de portance et de la divergence de laile en che le caractre auto-adjoint que ce mme problme pouvait avoir dans le cas de laile droite. En pratique, cela implique par exemple de rsoudre un problme aux valeurs propres nonsymtrique pour dterminer la vitesse de divergence par collocation numrique (voir point suivant).

2.8.4. Discrtisation de lquation intgrale par collocation numriqueSi on utilise une mthode de collocation numrique, telle que celle base sur les points de Multhopp par exemple, lquation intgrale (2.236) peut tre rcrite =q E cC(e)

+ f

(2.240)

55

avec E f F G = C z + C ce cC(r)

W cCm0 N G mg W

(2.241) (2.242) (2.243) (2.244)

= q E = =

+q F

C c2 W C z + C d

Loprateur arodynamique peut lui aussi tre crit sous forme discrte : A cC(e)

=

(2.245)

o A peut tre relatif une distribution de portance symtrique ou anti-symtrique suivant les cas. Divergence La vitesse de divergence peut tre dtermine en rsolvant le problme aux valeurs propres suivant (e) cC =0 (2.246) A q E Si le systme aux valeurs propres admet au moins une solution relle (ce qui nest pas garanti, vu la non-symtrie de [A]), lexprience a montr que celle-ci correspond une pression dynamique de divergence physique. Distribution symtrique de portance La distribution symtrique de portance pour une attitude donne est obtenue en rsolvant le systme suivant : (e) (2.247) As q E cC = f Alternativement, on peut crire les quations en fonction de la portance totale As cC =q E(r)

cC

+ (r) + q F

cCm0 N G mg

(2.248)

o (r) = As cC reprsente le vrillage et lincidence lemplanture de laile. Comme on la vu dans le cas de laile droite, la dformation de laile a pour effet daugmenter la portance effective. Rigoureusement, on ne connat donc pas a priori le facteur de charge effectif. Celui-ci scrit 2q T L N= = W cC (2.249) W W La relation (2.248) devient donc As cC =q 2 E G mg W WT

cC

+ (r) + q F

cCm0

(2.250)

qui peut tre inverse pour obtenir cC .

56

La relation (2.250) peut tre utilise pour calculer linuence de laile lastique en che sur la stabilit longitudinale de lavion. Considrons un avion en vol auquel on impose un saut dincidence . La modication correspondante de la distribution de portance sur laile est donne par 1 2q T cC = As q E + G mg W (2.251) W Leffet global sur la portance des ailes est donc CL = 2 W ST

cC

(2.252)

tandis que leffet sur le cfcient de moment arodynamique global vaut CM = 2 tan y S(MAC)T

W

cC

(2.253)

o MAC est la corde moyenne (Mean Aerodynamic Chord). Les pentes du cfcient de portance et du cfcient de moment sont donc donnes par1 CL 2 T 2q T = W As q E + G mg W 1 S W 2q 2 tan CM T W As q E + G mg W = y S(MAC) W

(2.254)T 1

1 (2.255)

En gnral, les effets sont de rduire CL / et de produire un effet dstabilisant sur CM /. Ce dernier est d au mouvement vers lavant du centre de pression qui accompagne une exion vers le haut dailes che arrire. Les valeurs pour lavion rigide peuvent tre obtenues en faisant [E] = [G] = 0. Les termes associs [E] et [G] sont de signe opposs, ce qui signie que les effets arolastiques dus aux charges arodynamique et au poids propre, respectivement, tendent sopposer. Autrement dit les effets inertiels tendent rduire les effets arolastiques sur une aile che arrire.

2.9. Autres problmes de divergence2.9.1. Ecoulement dans une canalisation exibleUn autre problme darolasticit (hydrolasticit) statique o on voit apparatre le phnomne de divergence est celui dune canalisation lance parcourue par un coulement uide. Considrons un uide incompressible et un coulement uniforme au travers de la section droite. Le chargement arodynamique (hydrodynamique) par unit de longueur le long de la canalisation est alors donn par +U = A t x2

w = A

2w 2w 2w + 2U + U2 2 t2 tx x

(2.256)

57

o A = R2 est laire de la section au travers de laquelle on considre lcoulement (p.e. circulaire de rayon R), U est la vitesse de lcoulement uniforme, sa densit et w la dexion transversale (voir gure 2.31). Si on assimile la canalisation une poutre, son quation dquilibre en exion scrit 4w 2w EI 4 + mc 2 = (2.257) x t o mc = c 2Rh est la masse linique pour une canalisation mince dpaisseur h et de rayon R, et EI la raideur en exion.

z(w)

x

U a

11 00 11 00 A 11 00 11 00

F IGURE 2.31.: Ecoulement au travers dune canalisation exible On peut voir apparatre autant des phnomnes arolastiques statiques que dynamiques dans les canalisations exibles, mais nous nous intresserons dans un premier temps au cas statique uniquement. Plus particulirement, considrons un segment de canalisation simplement appuy, avec les conditions limites w = 0 et M = EI 2w = 0 en x = 0, a x2 (2.258)

pour un segment de longueur a. Dans le cas statique, lquation dquilibre du systme coupl devient par ailleurs 4w 2w EI 4 + AU 2 2 = 0 (2.259) x x Lquation dquilibre (2.259) avec les conditions limites (2.258) correspond au cas du problme de ambement longitudinal dune poutre sous un chargement axial P = U 2 A. La solution gnrale est donne par w = A1 + A2 x + A3 sin2

x x + A4 cos a a

(2.260)

o 2 = U A a2 . Par application des conditions limites, on obtient A1 = A2 = A4 = 0 et EI soit A3 = 0, soit sin = 0. Les solutions non trivialement nulles correspondent la seconde possibilit : = , 2, 3, . . . (2.261)

58

La solution prsentant le plus dintrt est bien entendu = . laquelle correspond une pression dynamique de divergence EI 2 2 UD = (2.262) Aa2

2.9.2. Ecoulement sous-sonique sur un panneau exibleUn problme mathmatiquement semblable apparat quand on considre le cas dun panneau exible insr dans une surface par ailleurs rigide, et soumise un coulement sur un des ct (voir gure 2.32). Ce cas correspond par exemple un modle simpli pour ltude des effets arolastiques sur la dformation locale du fuselage des avions ou sur la paroi dun lanceur.z(w)

111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000

U

x

a

111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000

F IGURE 2.32.: Ecoulement sur un panneau exible Dans le cadre dune modlisation 2D, lquation gnrale permettant dtudier le comportement dynamique du panneau reprsent la gure 2.32 est 2w 4w + m 2 + p = 0 (2.263) x4 t o EI est la raideur en exion du panneau, m sa masse par unit de longueur, w la dexion verticale et p le saut de pression gnr par lcoulement. Pour un coulement sous-sonique incompressible (basse vitesse, faible nombre de Mach), le saut de pression gnr par la dexion du panneau peut tre approxim par EI p A0 U 2 avec A0 = 1 1x/a

2 2w 1 2w 2w + + 2 2 x2 U xt U t

(2.264)

ln ||d. Le problme statique scrit alorsx/a

4w 2w + A0 U 2 2 = 0 (2.265) x4 x Si on nglige la dpendence de A0 par rapport x, en prenant par exemple A0 = A0 (0) = 1/, lquation ci-dessus est similaire celle obtenue dans le cas de la canalisation. Autrement dit, on peut de nouveau se ramener un problme de ambement, et la vitesse de divergence est donne par EI 2 2 UD = (2.266) A 0 a2 EI

59

3. Arolasticit dynamique3.1. Comportement arolastique non stationnaire de la section typique3.1.1. Equations du systmeConsidrons le modle bidimensionnel dni prcdemment (section 2.1). Le dplacement vertical dun point de la section est donn par : w = h x (3.1)

o x est la position du point mesure le long de la corde partir du centre lastique (voir gure 3.1).

L hAC EC

c kG

kh fc ecF IGURE 3.1.: Modle de la section typique

On peut donc crire lnergie cintique du systme : T =1 2 1 s w2 dx = 2 mh2 + 1 I 2 + S h 2

(3.2)

c

avec m = c s dx la masse ; 2 I = c s x dx le moment dinertie ; S = c s xdx le moment statique ; et o c dx dnote lintgrale sur le prol. Par ailleurs, lnergie potentielle de dformation de laile est donne par 1 U = 1 k 2 + 2 kh h2 (3.3) 2

60

An dobtenir les forces associes aux degrs de libert et h, on crit le travail virtuel des forces arodynamiques : W =c

p w dx = Qh h + Q

(3.4)

o p = p p+ est le saut de pression sur le prol (gure 3.2). On a donc Qh = c

p dx = L px dx = Mpc

(3.5) (3.6)

Q =

avec L la portance et Mp le moment de tangage.

p

+

pF IGURE 3.2.: Dnition du saut de pression sur le prol On peut obtenir les quations dquilibre du systme laide des quations de Lagrang