Aérodynamique Appliquée,(Th. FAURE)

Master Sciences de lIngnieur 1e anne Parcours Mcanique et Ingnierie des Systmes

Module doption MS 154

ARODYNAMIQUE APPLIQUETh. FAURE 2006

Universit Pierre et Marie Curie Paris 6

cole Normale Suprieure de Cachan

Arodynamique Applique Th. FAURE Master SDI Parcours MIS Module MS 154

Ce cours est exclusivement destin aux tudiants du Master Sciences de lIngnieur parcours Mcanique et Ingnierie des Systmes de lUniversit Pierre et Marie Curie Paris 6 et de lcole Normale Suprieure de Cachan.

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Table des matiresI EFFORTS AERODYNAMIQUES APPLIQUES A UNE AILE.................................................................... 7 I-1 INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 7 I-1-1 Les trois approches de larodynamique.............................................................................................. 7 I-1-2 Diffrents rgimes dcoulement .......................................................................................................... 7 I-1-3 Fonction dune aile............................................................................................................................... 8 I-2 DEVELOPPEMENTS HISTORIQUES (LES PRECURSEURS) ................................................................................... 9 I-2-1 Leonardo da Vinci (1452-1519) ........................................................................................................... 9 I-2-2 George Cayley (1773-1857) ................................................................................................................. 9 I-2-3 Horatio Frederick Phillips (1845-1926)............................................................................................. 10 I-2-4 Clment Ader (1841-1925) ................................................................................................................. 11 I-2-5 Otto Lilienthal (1848-1896)................................................................................................................ 12 I-2-6 tienne-Jules Marey (1830-1904) ...................................................................................................... 13 I-2-7 Samuel Pierpont Langley (1834-1906)............................................................................................... 14 I-2-8 Wilbur (1867-1912) et Orville Wright (1871-1948) ........................................................................... 15 I-2-9 volution de la distance parcourue .................................................................................................... 16 I-3 DEFINITION DUNE AILE ............................................................................................................................... 18 I-3-1 Profil 2D............................................................................................................................................. 18 I-3-2 Aile 3D................................................................................................................................................ 18 I-4 DEFINITION DES FORCES ET MOMENTS ......................................................................................................... 19 I-4-1 Portance, trane et moment de bord dattaque ................................................................................. 19 I-4-2 Forces et moments appliqus un profil 2D...................................................................................... 19 I-4-3 Efforts surfaciques.............................................................................................................................. 19 I-4-4 Efforts arodynamiques et moments 3D ............................................................................................. 21 I-5 COEFFICIENTS AERODYNAMIQUES ............................................................................................................... 22 I-5-1 Coefficients dune aile ........................................................................................................................ 22 I-5-2 Coefficients dun profil....................................................................................................................... 22 I-5-3 Coefficients de pression et de frottement............................................................................................ 23 I-5-4 Finesse dun profil ou dune aile........................................................................................................ 23 I-5-5 Calcul des coefficients de portance et de trane ............................................................................... 23 I-6 CENTRE DE PRESSION .................................................................................................................................. 24 I-7 MOMENT QUART DE CORDE ......................................................................................................................... 24 I-8 CENTRE AERODYNAMIQUE .......................................................................................................................... 25 II COULEMENT POTENTIEL AUTOUR DUN PROFIL ........................................................................ 27 II-1 INTRODUCTION ........................................................................................................................................... 27 II-2 POTENTIEL DE VITESSE ............................................................................................................................... 27 II-3 NAPPE TOURBILLONNAIRE ......................................................................................................................... 27 II-4 MODELISATION DUN PROFIL ..................................................................................................................... 30 II-5 CONDITION DE KUTTA................................................................................................................................ 31 II-6 CIRCULATION AUTOUR DUN PROFIL .......................................................................................................... 32 II-7 DEVELOPPEMENTS HISTORIQUES (LES PREMIERES THEORIES) .................................................................... 34 II-7-1 Martin Wilhelm Kutta (1867-1944)................................................................................................... 34 II-7-2 Nicola Egorovich Joukowski (1847-1921) ....................................................................................... 34 II-7-3 Max Munk (1890-1986)..................................................................................................................... 34 III THEORIE DES PROFILS MINCES .......................................................................................................... 37 III-1 INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 37 III-2 QUATION FONDAMENTALE DE LA THEORIE DES PROFILS MINCES ............................................................ 37 III-2-1 Hypothses ....................................................................................................................................... 37 III-2-2 Champ de vitesse autour du profil ................................................................................................... 37 III-3 PROFILS MINCES SYMETRIQUES ................................................................................................................. 40 III-4 PROFILS MINCES CAMBRES ........................................................................................................................ 42 IV THEORIE DES PROFILS EPAIS............................................................................................................... 47 IV-1 INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 47 IV-2 FONCTION POTENTIELLE ET FONCTION DE COURANT ................................................................................ 47

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Arodynamique Applique Th. FAURE Master SDI Parcours MIS Module MS 154 IV-3 COULEMENTS ELEMENTAIRES ................................................................................................................. 47 IV-3-1 coulement uniforme ....................................................................................................................... 47 IV-3-2 Source et puits.................................................................................................................................. 48 IV-3-3 Diple............................................................................................................................................... 49 IV-3-4 Tourbillon......................................................................................................................................... 49 IV-4 DESCRIPTION DUN PROFIL EPAIS SYMETRIQUE A INCIDENCE NULLE ........................................................ 50 IV-5 DESCRIPTION DUN PROFIL MINCE CAMBRE A INCIDENCE NON NULLE ...................................................... 53 IV-6 PRINCIPE DE SUPERPOSITION ..................................................................................................................... 54 V AILES DENVERGURE FINIE .................................................................................................................... 55 V-1 INTRODUCTION .......................................................................................................................................... 55 V-2 TOURBILLONS DE BOUT DAILE ET TRAINEE INDUITE ................................................................................. 55 V-3 DEVELOPPEMENTS HISTORIQUES (LES THEORIES TRIDIMENSIONNELLES)................................................... 57 V-3-1 Frederick William Lanchester (1868-1946) ...................................................................................... 57 V-3-2 Ludwig Prandtl (1875-1953) ............................................................................................................. 57 V-3-3 Hermann Glauert (1892-1934).......................................................................................................... 58 V-4 RAPPELS DE DYNAMIQUES TOURBILLONNAIRES ......................................................................................... 58 V-4-1 Loi de Biot et Savart .......................................................................................................................... 58 V-4-2 Thorme de Helmholtz..................................................................................................................... 59 V-5 THEORIE DE LA LIGNE PORTANTE ............................................................................................................... 59 V-6 DISTRIBUTION ELLIPTIQUE DE PORTANCE .................................................................................................. 64 V-7 DISTRIBUTION DE PORTANCE QUELCONQUE ............................................................................................... 67 V-8 EFFET DU FACTEUR DE FORME ................................................................................................................... 70 VI METHODE DES SINGULARITES............................................................................................................. 73 VI-1 INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 73 VI-2 DISTRIBUTION DE SOURCES ET DE PUITS ................................................................................................... 73 VI-3 DISTRIBUTION DE TOURBILLONS ............................................................................................................... 76 VII COULEMENT REEL AUTOUR DUNE AILE..................................................................................... 81 VII-1 INTRODUCTION ........................................................................................................................................ 81 VII-2 VOLUTION DE LA PORTANCE AVEC LINCIDENCE ................................................................................... 81 VII-2-1 Profil trs mince.............................................................................................................................. 81 VII-2-2 Profil mince .................................................................................................................................... 83 VII-2-3 Profil pais...................................................................................................................................... 84 VII-3 VOLET ET BEC ......................................................................................................................................... 85 VII-4 AILES TRIDIMENSIONNELLES ................................................................................................................... 87 VII-5 VOLUTION HISTORIQUE DES AILES AERONAUTIQUES ............................................................................. 89 VIII COULEMENT COMPRESSIBLE SUBSONIQUE AUTOUR DUN PROFIL................................. 93 VIII-1 INTRODUCTION ...................................................................................................................................... 93 VIII-2 QUATION DU POTENTIEL DE VITESSE .................................................................................................... 93 VIII-2-1 Rappels sur les coulements compressibles................................................................................... 93 VIII-2-2 quation du potentiel de vitesse .................................................................................................... 94 VIII-3 DISTRIBUTION DE PRESSION ................................................................................................................... 96 VIII-4 CORRECTION DE LA COMPRESSIBILITE DE PRANDTL-GLAUERT .............................................................. 98 VIII-5 NOMBRE DE MACH CRITIQUE ................................................................................................................. 99 VIII-6 NOMBRE DE MACH DE DIVERGENCE DE TRAINEE ................................................................................. 102 VIII-7 CONCEPTION DUNE AILE DAVION EN ECOULEMENT TRANSSONIQUE .................................................. 103 VIII-8 REGLE DE LAIRE ................................................................................................................................. 105 VIII-9 PROFIL SUPERCRITIQUE ........................................................................................................................ 107 VIII-10 DEVELOPPEMENT HISTORIQUES (LES ECOULEMENTS COMPRESSIBLES) .............................................. 108 VIII-10-1 Ernst Mach (1838-1916) ........................................................................................................... 108 VIII-10-2 Theodor von Krmn (1881-1963)............................................................................................ 109 VIII-10-3 Richard Travis Whitcomb (1921-) ............................................................................................. 110 IX COULEMENT SUPERSONIQUE AUTOUR DUN PROFIL............................................................. 111 IX-1 INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 111 IX-2 DEFINITION DUN ECOULEMENT SUPERSONIQUE ..................................................................................... 111 IX-2-1 Angle de Mach ............................................................................................................................... 111

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IX-2-2 Grandeur totale.............................................................................................................................. 112 IX-2-3 Grandeur critique........................................................................................................................... 112 IX-3 CHOC DROIT ........................................................................................................................................... 113 IX-3-1 quations dune onde de choc droit............................................................................................... 113 IX-3-2 Relations de Rankine-Hugoniot ..................................................................................................... 114 IX-4 CHOC OBLIQUE ....................................................................................................................................... 114 IX-4-1 quations dune onde de choc oblique........................................................................................... 114 IX-4-2 Relation de Rankine-Hugoniot ....................................................................................................... 115 IX-4-3 Diagramme - - M ..................................................................................................................... 116 IX-4 ONDE DE DETENTE .................................................................................................................................. 118 IX-5 APPLICATION DE LA THEORIE DES CHOCS AUX PROFILS SUPERSONIQUES ................................................ 121 IX-6 THEORIE LINEARISEE DECOULEMENT SUPERSONIQUE ............................................................................ 123 IX-7 APPLICATION DE LA THEORIE LINEARISEE AUX PROFILS SUPERSONIQUES ............................................... 125 X AERODYNAMIQUE DES HELICOPTERES........................................................................................... 127 X-1 INTRODUCTION ........................................................................................................................................ 127 X-2 DEVELOPPEMENTS HISTORIQUES.............................................................................................................. 127 X-2-1 Leonardo da Vinci (1452-1519) ...................................................................................................... 127 X-2-2 George Cayley (1773-1857) ............................................................................................................ 128 X-2-3 Robert Edmund Froude (1846-1924) .............................................................................................. 129 X-2-4 Paul Cornu (1881-1944) ................................................................................................................. 129 X-2-5 Juan de la Cierva (1895-1936)........................................................................................................ 129 X-2-6 Louis Charles Brguet (1880-1955) ................................................................................................ 131 X-2-7 Henrich Focke (1890-1979) ............................................................................................................ 132 X-2-8 Igor Ivanovitch Sikorsky (1889-1972) ............................................................................................. 133 X-3 THEORIE DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT ............................................................................................. 135 X-3-1 Vol stationnaire ............................................................................................................................... 135 X-3-2 Monte verticale .............................................................................................................................. 136 X-3-3 Descente verticale ........................................................................................................................... 139 X-3-4 Autorotation..................................................................................................................................... 142 X-4 THEORIE DE LELEMENT DE PALE ............................................................................................................. 143 X-5 AERODYNAMIQUE DU ROTOR EN VOL HORIZONTAL ................................................................................. 145 X-5-1 Mcanisme de la tte du rotor ......................................................................................................... 145 X-5-2 Thorie de la quantit de mouvement pour le vol horizontal .......................................................... 148 X-5-3 Thorie de llment de pale pour le vol horizontal........................................................................ 149 XI AERODYNAMIQUE DES VEHICULES AUTOMOBILES .................................................................. 153 XI-1 INTRODUCTION ....................................................................................................................................... 153 XI-2 SOURCES DE TRAINEE DUN VEHICULE.................................................................................................... 154 XI-3 REDUCTION DE LA TRAINEE DUN VEHICULE .......................................................................................... 156 XI-3-1 Trane de pression ........................................................................................................................ 156 XI-3-2 Trane due au soubassement et aux accessoires........................................................................... 160 XI-3-3 Trane interne............................................................................................................................... 160 XI-4 METHODES EXPERIMENTALES ................................................................................................................ 160 XI-4-1 Essais sur route .............................................................................................................................. 160 XI-4-2 Essais en soufflerie......................................................................................................................... 161 XI-5 VEHICULES AUTOMOBILES DE COMPETITION ......................................................................................... 162 XI-5-1 Aileron arrire ............................................................................................................................... 163 XI-5-2 Ailerons avant ................................................................................................................................ 164 XI-5-3 Diffuseur......................................................................................................................................... 164 XII THEORIE DES SURFACES PORTANTES ........................................................................................... 165 XII-1 INTRODUCTION ...................................................................................................................................... 165 XII-2 FONCTION POTENTIELLE ........................................................................................................................ 165 XII-3 CONDITION LIMITE SUR LAILE .............................................................................................................. 165 XII-4 COULEMENTS TRIDIMENSIONNELS ELEMENTAIRES .............................................................................. 167 XII-4-1 Source et puits tridimensionnels ................................................................................................... 167 XII-4-2 Diple tridimensionnel ................................................................................................................. 168 XII-5 DESCRIPTION DUNE AILE EPAISSE SYMETRIQUE A INCIDENCE NULLE ................................................... 168 XII-6 DESCRIPTION DUNE AILE MINCE CAMBREE A INCIDENCE NON NULLE SURFACE PORTANTE ............... 170

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XII-6-1 Distribution de diples.................................................................................................................. 171 XII-6-2 Distribution de tourbillons............................................................................................................ 172 XII-7 CHAMP DE PRESSION ............................................................................................................................. 173 XIII THEORIE DES AILES ELANCEES ..................................................................................................... 175 XIII-1 INTRODUCTION .................................................................................................................................... 175 XIII-2 POTENTIEL DE VITESSE......................................................................................................................... 175 XIII-3 AILE ELANCEE EN POINTE..................................................................................................................... 177 XIII-4 METHODE DE JONES ............................................................................................................................. 181 XIV THEORIE DES CORPS ELANCES....................................................................................................... 185 XIV-1 INTRODUCTION .................................................................................................................................... 185 XIV-2 POTENTIEL DE VITESSE ........................................................................................................................ 185 XIV-3 COULEMENT LONGITUDINAL .............................................................................................................. 186 XIV-4 COULEMENT TRANSVERSAL ............................................................................................................... 188 ANNEXE 1 : INTEGRALE DE GLAUERT .................................................................................................. 191 ANNEXE 2 : MECANIQUE DU VOL............................................................................................................ 193 A2-1 DEFINITION DUN AVION ........................................................................................................................ 193 A2-2 DEFINITION DES FORCES ET MOMENTS APPLIQUES A LAVION ................................................................ 193 A2-3 POLAIRE DE LAVION ............................................................................................................................. 195 A2-4 STABILITE .............................................................................................................................................. 196 A2-5 VOL HORIZONTAL .................................................................................................................................. 197 A2-6 DESCENTE PLANEE ................................................................................................................................. 200 A2-7 MONTEE ................................................................................................................................................. 201 REFERENCES DAERODYNAMIQUE APPLIQUEE................................................................................ 203

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I Efforts arodynamiques appliqus une aileI-1 Introduction I-1-1 Les trois approches de larodynamique Lobservation de la nature et de ses phnomnes est la base de toute dmarche scientifique. Comme toute branche de la physique, larodynamique sarticule aujourdhui autour de trois axes : lexprimentation ; la thorie ; la simulation numrique. Depuis le XVIIe sicle et les travaux de Newton, les tudes arodynamiques se limitaient lexprimentation et la thorie. Ce nest que depuis les annes 1960 que sest adjoint ce schma la simulation numrique. Ces trois approches conservent de fortes interactions entre elles et ont chacune un rle essentiel dans le dveloppement scientifique et technologique. Ce schma demeure le mme pour les applications de larodynamique, avec, comme nous le verrons par la suite, des dates dapparition plus rcentes : lexprimentation depuis 1804, la thorie depuis 1902, la simulation numrique depuis 1960.

observation

exprimentation

thorie

simulation numrique

Figure 1 : Les trois approches de larodynamique I-1-2 Diffrents rgimes dcoulement Larodynamique couvre diffrents rgimes dcoulement, en fonction du nombre de Mach M, caractristique des effets de compressibilit du fluide : U M= a o U est la vitesse de lcoulement et a la clrit du son. On considre ces effets de compressibilit travers deux types dcoulement : d = cst ; incompressible (M < 0,3) o dt

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d cst . dt Il convient galement de distinguer les rgimes dcoulement : subsonique (M < 1) o les perturbations de lcoulement se propagent aussi bien en amont quen aval ; sonique (M = 1) ; transsonique (0,8 < M < 1,2) qui prsente des zones dcoulement subsonique et des zones dcoulement supersonique ; supersonique (1 >M > 5) o les perturbations de lcoulement ne peuvent pas se propager en amont, cet coulement est aussi marqu par des zones de discontinuit (ondes de choc) ; hypersonique (M > 5) avec des ondes de choc trs intenses et de trs hautes tempratures prs des parois, ce qui entraine des ractions chimiques (dissociation des molcules) et la cration dun plasma. compressible (M > 0,3) oincompressible compressible

transsonique

0

0,3

0,8

1

1,2supersonique

5

Mhypersonique

subsonique sonique

Figure 2 : Diffrents rgimes dcoulementI-1-3 Fonction dune aile

La fonction dune aile, dans le cadre dapplications aronautiques, est de gnrer une portance, cest dire une force verticale permettant dquilibrer la pesanteur de lavion. Cette force est due la diffrence de pression qui stablit entre les deux cts de laile.

extrados

p V+

V p+

+

+

+

+

+

+

+ +

intrados

Figure 3 : Principe de la cration de portance par une aile8


Pour remplir cette fonction, il y a deux possibilits : soit dplacer un grand volume dair petite vitesse : cest le principe de laile battante qui est le mode de vol des oiseaux et des insectes, qui a t la premire approche suivie en aronautique et qui redevient dactualit ces dernire annes pour des applications au vol de drones miniatures en espace clos ; soit dplacer un petit volume dair grande vitesse : cest le principe de laile fixe, qui est le principe de vol de tous les avions.I-2 Dveloppements historiques (les prcurseurs)

Lhomme a toujours rv dimiter le vol des oiseaux, et ceci depuis lAntiquit comme le prouve le mythe dIcare. Dans ce paragraphe, nous allons aborder lvolution historique de larodynamique applique au vol dappareils plus lourds que lair, des origines au premier vol dun avion.I-2-1 Leonardo da Vinci (1452-1519)

Le premier imaginer un systme mcanique permettant datteindre cet objectif est Leonardo da Vinci qui ralisa dans ses cahiers, plusieurs croquis de machines volantes fondes sur le principe de laile battante. Il eu galement lide dun systme sapparentant lhlicoptre. Aucune de ses ides neut de ralisation pratique, du fait de labsence, lpoque, de matriaux suffisamment lgers et rsistants ainsi que dune source de puissance suffisante.

Figure 4 : Croquis dune machine volanteI-2-2 George Cayley (1773-1857)

George Cayley est le vritable pre de larodynamique et de ses applications laronautique. Il fut le premier noncer les efforts arodynamiques (portance, trane) en

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1799, et ralisa en 1804 une maquette de planeur quil fit voler, dont la forme remarquable prsente tous les lments des avions actuels. Il fabriqua un planeur de grande dimension et russit le premier vol plan avec un enfant de 10 ans son bord en 1849, puis en 1853 fit faire un vol de 130 m son propre cocher, dans un modle plus grand et dune envergure de 2 m. Il faut remarquer la prsence de stabilisateurs horizontaux et dun aileron vertical sur ce planeur.

Figure 5 : Modle de 1804

Figure 6 : 1e vol dun planeur (1853)I-2-3 Horatio Frederick Phillips (1845-1926)

Horatio Phillips fut le premier en 1884 utiliser une soufflerie arodynamique pour tester les performances de profils daile. Il fit dailleurs dposer plusieurs brevets pour ces formes de profils. Il conut par la suite en 1893 une machine motorise munie dune aile multiplan se dplaant sur une piste circulaire et retenue par une longe au centre du cercle, pour le test de profils. Cette machine sans pilote sleva de 90 cm sur une distance de 610 m.

Figure 7 Schma de la premire soufflerie dessais de profils daile (1884)

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Figure 8 : Profils daile brevets

Figure 9 : Machine motorise pour les essais de profils sur une piste circulaireI-2-4 Clment Ader (1841-1925)

Clment Ader ralisa une machine volante dnomme ole utilisant comme source de puissance un moteur vapeur bicylindre dune puissance de 20 cv entrainant une hlice quadripales et qui se souleva de 20 cm sur une distance de 50 m en 1890. Cet essai, gard secret, intressa larme franaise qui finana les travaux dAder. Il sorienta alors vers la fabrication dun bimoteur pour liminer les instabilits de lappareil, lies aux effets de couple de lhlice unique. Aucun de ces appareils ne possdait de rel systme de contrle de direction ni de stabilisation arodynamique. De nouveaux essais eurent lieu en 1897 mais se soldrent par une sortie de piste de lAvion III qui se brisa.

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Figure 10 : Lole (1890)

Figure 11 : LAquilon ou Avion III (1897)I-2-5 Otto Lilienthal (1848-1896)

Otto Lilienthal russit le premier vol plan contrl en 1891. Il ralisa plusieurs types de planeurs (aile battante, aile monoplan, aile biplan) et mit en vidence limportance du rle de la cambrure. Il effectua plus de 2000 vols entre 1891 et 1896 et possdait une bonne matrise de larodynamique de ses engins. Lors dun vol avec une aile biplan, la partie suprieure se dtacha et dstabilisa le planeur qui scrasa. Lilienthal se brisa le cou et succomba le lendemain. Il tait en train de travailler un moteur pour placer sur son planeur et aurait peut tre russi le premier vol motoris sil avait survcu cet accident.

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Figure 12 : Diffrents types de planeurs tests par O. Lilienthal (1891-1896)I-2-6 tienne-Jules Marey (1830-1904)

Ce mdecin sintressa la dcomposition et lenregistrement des phases du mouvement et inventa en 1882 un fusil photographique permettant la prise de 12 images par secondes puis le chronophotographe o les images taient enregistres sur une mme plaque photographique. Il appliqua son systme la dcomposition du vol des oiseaux et sorienta vers des tudes arodynamiques. Ainsi il inventa une machine fume en 1901 lui permettant de raliser des visualisations dcoulements autour de diffrents obstacles et en particulier des profils daile. Nanmoins, bien quayant travaill la dcomposition du mouvement en images successives, il ne fit pas la distinction, sur ses visualisations dcoulements, entre une image instantane et une image moyenne au cours du temps.

Figure 13 : Machine fume

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Figure 14 : Visualisations dcoulements par mission de fume autour de diffrents obstaclesI-2-7 Samuel Pierpont Langley (1834-1906)

Il sintressa lastronomie, plus particulirement au soleil, et effectua des travaux en arodynamique. En 1887, il fut nomm la tte de la Smithsonian Institution tout en poursuivant ses recherches en dynamique du vol. Il construisit plusieurs modles motoriss, nomms Aerodrome, utilisant deux ailes en tandem. En particulier en 1896, lAerodrome no 6 vola 1280 m et sleva une hauteur de 18 m. Langley sorienta alors vers une machine volante pouvant embarquer un homme. Ses travaux obtinrent dimportants financements, notamment du Dpartement de la Guerre amricain, afin de raliser lAerodrome A qui fut achev en 1903. Le dcollage seffectuait dune plate-forme flottant sur le Potomac, et lappareil tait catapult. Mais les deux essais furent des checs et chaque fois lAerodrome A scrasa dans le fleuve, ce qui permit au pilote de sen sortir sans dommage.

Figure 15 : Aerodrome no 6 (1896)

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Figure 16 : Schma de lAerodrome A et premier essai de vol (1903)I-2-8 Wilbur (1867-1912) et Orville Wright (1871-1948)

Les frres Wright travaillaient dans la fabrication et la rparation de bicyclettes. Ils commencrent sintresser laronautique en 1899, en tudiant les travaux de leurs prdcesseurs, et financrent leurs recherches sur leurs propres fonds. Ils testrent en particulier diffrents types de profils daile en soufflerie et commencrent en 1900 la ralisation et les essais de cerfs-volants munis dune aile biplan, puis de planeurs de plus grande dimension. Cette dmarche rationnelle les amena en 1903 la ralisation du Flyer muni dun moteur moins puissant que ses prdcesseurs mais disposant dune aile plus performante, de stabilisateurs avant et dun gouvernail de direction arrire. Il effectua le 17 dcembre 1903 un premier vol de 36 m, puis la mme journe trois autres vols dont un de 260 m. Leur savoir faire saffirma dans la possibilit de rpter des vols de plus en plus longs. Les Wright poursuivirent leurs travaux et amliorrent leur modle jusqu aboutir au premier vol circulaire sur une distance de 1240 m en 1904. Leur troisime modle davion motoris permis un vol de 30 tours en circuit ferm couvrant une distance de 39,4 km en 1905. Ils dposrent alors un brevet et recherchrent un acheteur pour leur invention qui fut commercialise sous le nom de Wright Flyer model B et quipa larme amricaine en 1911.

Figure 17 : Soufflerie dessais des frres Wright

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Figure 18 : Essais dun cerf-volant biplan et dun planeur biplan

Figure 19 : Wright Flyer

Figure 20 : 1e vol du 17 dcembre 1903 Kitty Hawk (Caroline du Nord)I-2-9 volution de la distance parcourue

Le tableau ci-dessous prsente les principales caractristiques techniques de quatre plus lourds que lair motoriss. Il faut mettre en vidence limportance de larodynamique dans la ralisation dun vol car ce nest pas la machine disposant du moteur le plus puissant qui russit ce dfi.

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ole anne inventeur moteur hlices masse totale avec pilote envergure systme de direction systme de stabilisation distance du vol 1890 C. Ader vapeur 20 cv 1 quadripale 295 kg 14 m aucun aucun soulvement sur 50 m

Avion III 1897 C. Ader vapeur 20 cv 2 quadripales 400 kg 16 m gouvernail aucun -

Aerodrome A 1903 S.P. Langley explosion 52 cv 2 bipales 340 kg 14,8 m gouvernail aucun -

Flyer 1903 O. & W. Wright explosion 12 cv 2 bipales 341 kg 12,3 m gouvernail prsent 260 m

Tableau 1 : Caractristiques techniques de quelques pionniers du vol motoriss La figure suivante montre lvolution de la distance parcourue aux dbuts de laronautique, pour des machines motorises ou non. De nombreuses tentatives de vol furent entreprises dans la priode 1890-1903, sans vritable progrs (droite horizontale). Lapport des frres Wright fut prpondrant avec le passage une pente positive dans lvolution de la distance parcourue, qui permit le passage lre du dveloppement de laronautique. Leur modle de Flyer, muni dune aile biplan, fut largement copi par la suite et servit de base tous les avions jusque dans les annes 1930.distance premires tentatives vols des frres Wright dveloppement de laronautique ln (distance)

O. Wright (1903)

C. Ader (1890)

S.P. Langley (1903)

anne

Figure 21 : volution de la distance parcourue pour diffrents types de machines volantes (motorises ou non) avec un pilote

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I-3 Dfinition dune aile

Nous allons tout dabord donner les principales dfinitions utiles par la suite, pour les profils 2D et pour les ailes 3D.I-3-1 Profil 2D z

z (x) ligne de cambrure moyenne s bord dattaque e bord de fuite U c x

Figure 22 : Profil daile On dfinit pour un profil : c : la corde ; e : lpaisseur ; z(x) : la ligne de cambrure moyenne ou squelette ; U : la vitesse linfini amont ; : langle dincidence ; s : labscisse curviligne.I-3-2 Aile 3D y ct

c(y)

U cos

cr S

b x

Figure 23 : Aile complte

18


On dfinit pour une aile : b : lenvergure ; cr : la corde en pied ; ct : la corde en bout daile ; S : la surface de laile.I-4 Dfinition des forces et moments I-4-1 Portance, trane et moment de bord dattaque z R D L MBA

N

A U

x

Figure 24 : Efforts et moment arodynamiques On dfinit les efforts arodynamiques suivants : A : la force axiale ; N : la force normale ; R : la force rsultante ; D : la trane ; L : la portance ; MBA : le moment de tangage de bord dattaque. La portance et la trane peuvent tre dtermines partir des forces axiale et normale connaissant langle dincidence du profil.L = N cos A sin D = N sin + A cos

I-4-2 Forces et moments appliqus un profil 2D

Dans le cas dun profil 2D, ou dune aile denvergure infinie, on dfinit les forces et moments par unit denvergure (b = 1 m), et on note les forces et moments correspondants.I-4-3 Efforts surfaciques

On dfinit p(s) la distribution surfacique de pression et (s) la distribution surfacique de frottement par contrainte de cisaillement visqueux, sur lintrados (indice i) et lextrados (indice e) du profil.

19


z

p s

x U

Figure 25 : Distribution defforts surfaciques Examinons les efforts appliqus sur un lment de profil, situ ct extrados puis ct intrados. z

pe(s)

e(s)MBA > 0 dse dsi U pi(s)

>0 i(s) >0x

Figure 26 Efforts surfaciques ct intrados et ct extrados Il vient : - sur lextrados, pour un lment dse : dN = p e cos ds e + e sin ds e e dA = p e sin ds e + e cos ds e e sur lintrados, pour un lment dsi :dN = p i cos ds i + i sin ds i i

dA = p i sin ds i + i cos ds i i

Les forces normale et axiale totales par unit denvergure sobtiennent en intgrant les forces lmentaires ct extrados et intrados entre le bord dattaque et le bord de fuite :N = BF BA

( p e cos + e sin )ds e + BA (p i cos + i sin )ds iBF

20


A =

(p e sin + e cos )ds e + BA ( p i sin + i cos )ds i BABF BF

On en dduit la portance et la trane :L = N cos A sin D = N sin + A cos

Si lon dcompose les forces normale et axiale en une partie provenant de la distribution de pression et une partie provenant de la distribution de frottement :

N = N p + N A = A p + A On en dduit une dcomposition similaire de la trane : D = Dp + D o Dp est la trane de pression et D la trane de frottement. De mme que pour les efforts, on peut calculer le moment de tangage au bord dattaque : - sur lextrados, pour un lment dse : dM BA,e = (p e cos e sin )x ds e + (p e sin + e cos )z ds e sur lintrados, pour un lment dsi : dM BA,i = (p i cos + i sin )x ds i + ( p i sin + i cos )z ds i Le moment rsultant des efforts appliqus au profil, calcul au bord dattaque est alors :M BA = BF BA

[(p e cos e sin )x + (p e sin + e cos )z]ds e [ (p i cos + i sin )x + ( p i sin + i cos )z]ds i

+

BF

BA

I-4-4 Efforts arodynamiques et moments 3D

Dans lespace, on dfinit les efforts arodynamiques et les moments suivants : D : la trane ; L : la portance ; T : la drive ; MR : le moment de roulis ; MT : le moment de tangage ; ML : le moment de lacet. Dans le cas 2D, il ne reste, comme nous lavons vu prcdemment, que deux forces (trane et portance) et un moment (moment de tangage). Ce moment pourra tre appliqu, par exemple, au bord dattaque du profil.

21


z L ML y MR D x

T MT

Figure 27 : Efforts et moments arodynamiques 3DI-5 Coefficients arodynamiques

Les diffrents coefficients arodynamiques sont dfinis partir de la pression dynamique 1 2 q = U . 2I-5-1 Coefficients dune aile

Pour une aile 3D, on dfinit les coefficients par rapport la surface de laile : A - le coefficient deffort axial : CA = q S N - le coefficient deffort normal : CN = q S L - le coefficient de portance : CL = q S D - le coefficient de trane : CD = q S M C M ,BA = BA - le coefficient de moment : q ScI-5-2 Coefficients dun profil

Pour un profil 2D, on dfinit les coefficients par rapport la corde du profil (pour une longueur daile unit) : A - le coefficient deffort axial : C A = qc N - le coefficient deffort normal : C N = qc L - le coefficient de portance : C L = qc D - le coefficient de trane : C D = qc

22


-

le coefficient de moment

:

C M,BA =

M BA qc2

I-5-3 Coefficients de pression et de frottement

On dfinit galement le coefficient de pression et le coefficient de frottement parital : p(s ) p C p (s ) = : - le coefficient de pression q (s ) - le coefficient de frottement : C f (s ) = q Contrairement aux coefficients deffort et de moment, qui sont globaux, ces deux coefficients sont locaux et sont fonction de la position sur le profil.I-5-4 Finesse dun profil ou dune aile

La finesse f dun profil ou dune aile est le rapport entre le coefficient de portance et le coefficient de trane :f = CL L = CD D

La finesse est fonction de la forme du profil ou de laile, mais galement de langle dincidence. Pour une aile davion, elle est de lordre de 25 et atteint 50 pour une aile de planeur. La finesse f correspond aussi au rapport entre la distance parcourue horizontalement et la distance parcourue verticalement pour un vol plan sans vent extrieur.I-5-5 Calcul des coefficients de portance et de trane

Daprs les notations prcdentes, Cp,e est le coefficient de pression sur lextrados et Cp,i le coefficient de pression sur lintrados. De mme lon dsigne par Cp,1 le coefficient de pression sur la partie amont aux maxima dpaisseur de laile (ze ct extrados et zi ct intrados) et Cp,2 le coefficient de pression sur la partie aval aux maxima dpaisseur de laile.z Cp,e 0 c Cp,i U z Cp,1 0 x

ze zi Cp,2 c x

U

Figure 28 : Distribution du coefficient de pression

23


En ngligeant leffet du frottement, on peut, connaissant la distribution du coefficient de pression Cp sur le profil, obtenir les coefficients deffort axial et deffort normal :x x x x C N = C p , i d C p , e d c c 0 c c 01 1

C A

c z z z z = C p ,1 d C p , 2 d c c zi c c zi c c

ze c

ze

do lon dduit lexpression des coefficients de portance et de trane : C L = C N cos C A sin C D = C N sin + C A cos I-6 Centre de pression

Le centre de pression dun profil est le point autour duquel le moment rsultant des efforts arodynamiques appliqus au profil est nul : M = 0 cp Par rapport au moment des efforts calcul au bord dattaque du profil, la position du centre de pression est donne par la relation : x cp = M BA N

M BA . L Remarque : la position du centre de pression dpend de langle dincidence du profil. Pour de faibles angles dincidence, sin 0 et cos 1 donc N L et x cp I-7 Moment quart de corde

On dfinit le moment quart de corde dun profil comme le moment rsultant des efforts arodynamiques appliqus x = c / 4. c M BA = L + M / 4 = x cp L c 4efforts appliqus au bord dattaque MBA0 L MBA Mc/4 D efforts appliqus au quart de corde Mc/40 L efforts appliqus au centre de pression Mcp=0 L

c/4

D

xcp

D

Figure 29 : Diffrents points dapplication des efforts arodynamiquesRemarque : pour un profil mince symtrique, le centre de pression est situ au quart de corde.

24


I-8 Centre arodynamique

Le centre arodynamique dun profil est le point du profil pour lequel le moment est indpendant de langle dincidence :

M ( ) = cst ca

25


26


II coulement potentiel autour dun profilII-1 Introduction

Dans ce chapitre, nous tudions lcoulement potentiel autour dun profil, cest dire dont le champ de vitesse drive dun potentiel, satisfaisant les hypothses dcoulement : - stationnaire : =0 ; t - non visqueux : ngligeable ; r divV = 0 ; - incompressible : r r - irrotationnel : rotV = 0 . En pratique, cette dmarche pourra tre mise en uvre pour les coulements dont la couche limite reste attache sur le profil, cest dire pour des incidences faibles.U U

faible incidence coulement attach

forte incidence coulement dcoll

Figure 30 : Effet de lincidence du profil sur le type dcoulementII-2 Potentiel de vitesse

Dans un coulement potentiel, il vient : r V = grad

avec les conditions limites : r r - lim V = U x

-

sur le profil (impermabilit)

r r Vn = 0

=0 n

Lquation de continuit scrit alors : r divV = div grad = = 0

La fonction potentielle est donc solution de lquation de Laplace = 0.II-3 Nappe tourbillonnairer On rappelle que la circulation dun champ de vecteur V autour dun contour ferm C est dfinie par : r r = V d lC

27


C

r V r dl

Figure 31 : Contour ferm pour le calcul de la circulation dun champ de vecteur Daprs le thorme de Stokes :r r r r = V d l = rotV n dSC

o est une surface quelconque sappuyant sur le contour C. On dfinit une nappe tourbillonnaire comme tant la distribution de tourbillons suivant une ligne (a, b).P(x,y) z y x x a s r dV

z

(s)ds

b

Figure 32 : Nappe tourbillonnaire Si lon considre un lment de longueur ds de la ligne (a, b) dintensit tourbillonnaire (s), on peut calculer la vitesse induite par ce tourbillon, suppos ponctuel, au point P(x,z). En effet, par dfinition dun coulement tourbillonnaire irrotationnel : V= cst r

La constante cst est dtermine par la circulation autour dune ligne de courant circulaire de rayon r entourant llment ds. r r d = (s )ds = dV d l = 2r dVC

do : dV = ds 2r 1 on a : r

Par ailleurs, comme en coordonnes polaires V = d =

ds 2

28


Par intgration sur toute la longueur de la ligne tourbillonnaire, il vient :1 = ds 2 ab

La circulation autour de la ligne tourbillonnaire est lintgrale curviligne des tourbillons lmentaires : = dsa b

Cette ligne tourbillonnaire est une discontinuit de lcoulement travers laquelle se produit un saut de vitesse. Examinons ce qui se passe pour un rectangle lmentaire entourant une portion de ligne tourbillonnaire.u1 w1 w2 dn

u2 ds

Figure 33 : Discontinuit de la vitesse autour dun lment de nappe tourbillonnaire La circulation autour du rectangle est : r r d = dV d l = (w 2 dn u 1ds w 1dn + u 2 ds )C

d = (u 1 u 2 ) ds + (w 1 w 2 ) dn

Or, comme lon considre un lment ds de la ligne tourbillonnaire, la circulation autour du rectangle est :

d = dsdo : ds = (u 1 u 2 )ds + (w 1 w 2 )dn

Par passage la limite quand dn 0, les vitesses u1 et u2 sont les composantes de vitesse tangentielle immdiatement dessus et dessous la ligne tourbillonnaire. ds = (u 1 u 2 )ds = u1 u 2

Le saut de vitesse local de part et dautre de la nappe tourbillonnaire est gal lintensit tourbillonnaire locale de la nappe. Examinons maintenant la variation de pression de part et dautre dun lment de nappe tourbillonnaire.

29


p1 u1

u2 p2

Figure 34 : Discontinuit de la pression autour dun lment de nappe tourbillonnaire Daprs le thorme de Bernoulli appliqu entre linfini amont et les deux cts de la ligne : 1 1 1 2 2 p + U = p1 + U 1 = p 2 + U 2 2 2 2 2 avec U 1 = U + u 1 et U 2 = U + u 2 do : p 2 p1 =p 2 p1 =

1 2 2 ( U + u 1 ) (U + u 2 ) 2

[

]{ ordre 2

1 2 2 2 ( U + 2U u 1 + u 1 U 2U u 2 u 2 ) 2 2 { ordre 2 p 2 p1 = U (u 1 u 2 )

Or, on sait que : = u1 u 2

do :p = p1 p 2 = U

II-4 Modlisation dun profil

Lcoulement incompressible autour dun profil sera modlis partir de la notion de nappe tourbillonnaire. Pour cela on considre un profil de forme et dpaisseur quelconques, plac dans un coulement incident de module U. Le profil est modlis en remplaant sa surface matrielle par une nappe tourbillonnaire damplitude (s), de telle sorte que la vitesse induite par cette distribution soit la mme que celle gnre par lcoulement de module U autour du profil rel.U U s

(s)

Figure 35 : Modlisation dun profil La circulation autour du profil est par dfinition :

= ds

30


et la portance est donne par le thorme de Kutta-Joukowski (1906) : la force arodynamique qui sexerce sur un profil dans un coulement incompressible, irrotationnel o les effets de la viscosit sont ngligeables est dirige dans une direction normale lcoulement incident et damplitude :L = U

Cette approche de la modlisation de lcoulement autour dun profil nest pas nouvelle, puisquelle a t dveloppe par Ludwig Prandtl et Max Munk dans les annes 1912 1920. Cependant, il ny a pas de solution analytique au problme ainsi pos pour un profil de forme et dpaisseur quelconque. La distribution dintensit tourbillonnaire peut nanmoins tre dtermine numriquement, comme nous le verrons au chapitre VI. Ainsi la mise en uvre gnrale et directe de cette approche a d attendre le milieu des annes 1960 et lavnement des gros calculateurs. Remarque : pour un profil mince, on peut assimiler la distribution de tourbillons autour du profil une distribution de tourbillons le long de la ligne de cambrure moyenne du profil.U profil mince U s

(s)

ligne de cambrure moyenne

Figure 36 : Modlisation dun profil minceII-5 Condition de Kutta

La thorie de lcoulement potentiel autour dun profil nadmet pas une solution unique. Ainsi, on peut obtenir les deux solutions ci-dessous pour le mme profil et le mme angle dincidence.

1

2

Figure 37 : Deux solutions potentielles possibles pour lcoulement autour dun profil Il faut une condition supplmentaire pour savoir quelle est la solution qui a un sens physique. Pour cela, il faut connatre la nature de lcoulement au bord de fuite du profil, o la vitesse doit tre tangente au profil. Celui-ci peut soit former un angle fini, soit possder une tangente identique ct intrados et ct extrados. V2 BF V1 V1 BF V2bord de fuite formant un angle fini bord de fuite en point de rebroussement

Figure 38 : coulement au bord de fuite dun profil

31


Dans le cas dun bord de fuite formant un angle fini, si la vitesse au point a est finie alors il y a deux vitesses avec des directions diffrentes au mme point, ce qui nest pas possible dun point de vue physique, donc : V1 = V2 = 0 Dans le cas dun point de rebroussement au bord de fuite, V1 et V2 ont la mme direction, donc peuvent tres finies. Cependant, la pression statique au bord de fuite est unique, or daprs le thorme de Bernoulli : 1 1 p BF + V12 = p BF + V22 2 2 do :V1 = V2 Cette condition impose le tourbillon au bord de fuite qui vaut : (BF) = V1 V2 = 0

II-6 Circulation autour dun profil

Soit un coulement de fluide non-visqueux, incompressible, en labsence de forces extrieures. Considrons le dplacement de particules fluides le long dun contour ferm qui se trouve : en C1 ; - linstant t1 - linstant t2 > t1 en C2.t2 t1 C2 C1r Vr V

Figure 39 : Dplacement au cours du temps dun contour ferm dans lcoulement La circulation autour du contour C1 est :r r 1 = V d lC1

Comme nous considrons le dplacement des mmes particules fluides entre les instants t1 et t2, la circulation autour du contour C2 vaut : r r 2 = V d lC2

32


On rappelle galement le thorme de Kelvin qui sobtient facilement en coulement potentiel irrotationnel partir du thorme de Stokes. Il nonce la conservation de la circulation au cours du temps : d =0 dt Donc 1 = 2. On montre ainsi quune nappe tourbillonnaire prsente dans un coulement un instant t demeurera une nappe tourbillonnaire quelque soit t. Considrons maintenant un profil plong dans un fluide au repos, et un contour C1 entourant ce profil.C1

1 = 0

C2

2 = 0 4 3

C4r r V = 0

C3

U

Figure 40 : Cration du tourbillon du dmarrage par conservation de la circulation r r Le fluide tant au repos, le champ de vitesse vaut V = 0 partout do : r r 1 = V d l = 0C1

Un coulement stablit autour du profil, et le contour C1 volue sous leffet de cet coulement, en un contour C2. Daprs la conservation de la circulation autour du profil :1 = 2 = 0

Cependant, pendant les tous premiers instants de dmarrage de lcoulement, il se produit une rgion de fort gradient de vitesse au bord de fuite et par consquent stablit une circulation autour du profil sur un contour C4 tel que : r r 4 = V d l 0C4

Si lon choisit un contour tel que C2 = C4 C3 alors on peut crire la conservation de la circulation : 2 = 3 + 4 = 0 3 = 4 Il y a donc une circulation autour du contour C3 qui se traduit par la prsence dun tourbillon de dmarrage lors de ltablissement de lcoulement autour du profil.

33


II-7 Dveloppements historiques (les premires thories) II-7-1 Martin Wilhelm Kutta (1867-1944)

Ce mathmaticien allemand sintressa larodynamique la suite des vols dOtto Lilienthal. Il essaya de calculer thoriquement la portance sur un profil daile employ par Lilienthal et supposa, partir des donnes exprimentales, que lcoulement quittait bien le profil en son bord de fuite et que ce processus fixait la circulation autour du profil. Il tait rticent publier cette ide et attendit 1902 pour rdiger une courte note o il ne donnait pas la relation quantitative entre la circulation et la portance.II-7-2 Nicola Egorovich Joukowski (1847-1921)

Ce mathmaticien et physicien russe sintressa larodynamique la fois exprimentale et thorique. Il construisit la premire soufflerie de Russie en 1902. Il publia en 1906 le thorme qui porte son nom en nayant pas connaissance des travaux de Kutta.II-7-3 Max Munk (1890-1986)

Il travailla dans lquipe de Ludwig Prandtl Gttingen o il prsenta une thse de doctorat. Ses travaux concernaient larodynamique thorique, et sa contribution majeure fut la thorie des profils minces en 1917. Il est intressant de remarquer que cette thorie, permettant le dessin de forme de profils, ne fut tablie que bien aprs les dbuts de laronautique. Aprs la Premire Guerre Mondiale il partit travailler aux Etats-Unis ou il poursuivit ses travaux au sein du National Advisory Committee for Aerodynamics (1921). Il contribua la ralisation de la premire soufflerie subsonique masse volumique variable (Variable Density Tunnel, 1922) qui fournit les donnes des profils NACA pour diffrents nombres de Reynolds.

34


Figure 41 : Variable Density Tunnel (1922)espace vide annulaire moteur redresseur de lcoulement

hlice section dessais

Figure 42 : Schma du Variable Density Tunnel

35


36


III Thorie des profils mincesIII-1 Introduction

La thorie des profils minces fut dveloppe par Ludwig Prandtl et Max Munk pendant la Premire Mondiale. Cest une approche quantitative des efforts qui sexercent sur un profil dans un coulement potentiel. Elle est fonde sur une mthode de petites perturbations du champ de vitesse dues la prsence du profil dans lcoulement.III-2 quation fondamentale de la thorie des profils minces III-2-1 Hypothses

Les hypothses de la thorie des profils minces considrent : - un profil de faible paisseur, dcrit par sa ligne de cambrure moyenne ; - un profil faiblement cambr ; - un angle dincidence faible (en pratique 15 15). zligne de cambrure moyenne z(x)

0 U

c

x

Figure 43 : Profil mince Le profil mince est donc dfini par sa ligne de cambrure moyenne. Dans le cadre des hypothses prcdentes : dz petit cos 1 sin tan petit et dx dz dz arctan dx dx III-2-2 Champ de vitesse autour du profil

Nous avons vu prcdemment que pour un profil mince, on peut assimiler la distribution de tourbillons autour du profil une distribution de tourbillons le long de la ligne moyenne du profil. Dans le cadre de cette thorie de profil mince faiblement cambr, nous allons remplacer la distribution de tourbillon sur la ligne de cambrure moyenne par une distribution de tourbillons sur la corde du profil, en conservant le fait que la ligne de cambrure moyenne est une ligne de courant (condition limite) et que la condition de Kutta soit vrifie. z z Vn Vn (s) s s x U

U

(s)

x

Figure 44 : quivalence entre une distribution de tourbillons sur la ligne de cambrure moyenne du profil ou sur sa corde37


Pour que la ligne de cambrure moyenne soit une ligne de courant, il faut que la composante de vitesse normale cette ligne soit nulle sur toute sa longueur. On dcompose le champ de vitesse en une partie lie lcoulement incident et une partie lie la prsence du profil (gnre par la distribution de tourbillons) : r r r V (x , z ) = U + v (x , z ) r r r r r V(x , z ) = U (cos e x + sin e z ) + u e x + w e z o les perturbations induites par le profil u(x, z) et w(x, z) sont petites devant U.zr U

r vr V

r U

x

Figure 45 : Perturbation de vitesse induite par le profil Comme la ligne de cambrure moyenne est une ligne de courant, explicitons le fait que la vitesse normale soit nulle. dz arctan dx vnu U

w

V,n

dz arctan dx

dz arctan dx

z

z(x) x

Figure 46 : Vitesse normale au profil La composante de vitesse normale la ligne de cambrure moyenne est donc : Vn = V ,n + v n avec : dz V ,n = U sin + arctan dx dz dz v n = w cos arctan + u sin arctan dx dx 38


do : dz dz dz + u sin arctan + w cos arctan Vn = U sin + arctan dx dx dx

14 244 4 3 dz dx

144 2444 4 3 1

1444 444 2 3 ordre 2

dz dz + w = U + w Vn = U sin dx dx

1 24 4 3 petit

comme Vn = 0 il vient : dz w = U dx Dterminons maintenant la perturbation w induite par la nappe tourbillonnaire rpartie suivant la corde, en considrant un lment dintensit d. z

r l x

w

x

Figure 47 : Vitesse induite par un lment de la nappe tourbillonnaire La vitesse induite en x par le tourbillon lmentaire est : dw = ( ) d 2(x )c

La vitesse induite en x par lensemble de la nappe tourbillonnaire est alors simplement :w (x ) = 0

( ) d 2(x )

On obtient ainsi lquation fondamentale de la thorie des profils minces :dz 1 ( ) U = d dx 2 x 0c

39


III-3 Profils minces symtriques

Un profil symtrique na pas de cambrure, donc thorie des profils minces devient :U =

dz = 0 et lquation fondamentale de la dx

1 ( ) d 2 x 0c

On effectue le changement de variable suivant : c = (1 cos * ) 2 d = avec tel que : x= c (1 cos ) 2 c sin * d* 2

0 =0 bord dattaquec 2

c =

x

bord de fuite

Figure 48 : Schma du changement de variable Lquation fondamentale des profils minces scrit alors :U = 1 * sin * d * 2 cos * cos 0

( )

On montre que cette quation intgrale admet comme solution : () = 2U

1 + cos sin

ce que lon peut vrifier en remplaant la solution dans lquation intgrale : U 1 + cos * 1 * sin * d * = d * * cos * cos 2 0 0 cos cos

( )

40


or daprs lintgrale de Glauert (souvent utile et dont la dmonstration est donne en annexe 1) :cos n * sin n * cos * cos d = sin 0

on obtient : U 1 + cos * U 1 cos * * * d = d + d* * 0 cos * cos cos * cos 0 0 cos cos U (0 + ) = = U

Connaissant la distribution de tourbillons sur le profil, il est maintenant possible de calculer la circulation et la portance : = ( )d0 c

en utilisant le changement de variable prcdent :c = * sin * d * 20 = cU 1 + cos * d * = cU 0

( )

(

)

Daprs le thorme de Kutta-Joukowski :2 L = U = cU

on en dduit le coefficient de portance : C L = do :C L = 22 L cU = qc 1 U2 c 2

et la pente du coefficient de portance vaut donc :a0 = dC L = 2 d

Calculons le moment de bord dattaque partir dun tourbillon lmentaire dintensit () d.

41


dL

bord dattaque d

d=()d ()

Figure 49 : Moment induit par un lment de la nappe tourbillonnaire Ce tourbillon lmentaire gnre une portance dL telle que :dL = U d

do un moment par rapport au bord dattaque :dM BA = dL

Le moment total cr par la nappe tourbillonnaire est :M BA = dL = U ( )d0 0 c c

do, aprs le changement de variables prcdent : M BA = q c 2 Le coefficient de moment est donc :C M,BA = M BA C = = L 2 2 4 qcC L 4

2

De mme, calculons le moment quart de corde :C M,c / 4 = C M,BA +

donc, pour un profil mince symtrique : C M,c / 4 = 0 ce qui signifie que le centre de pression est au quart de corde, tout comme le centre arodynamique. Remarque : la thorie potentielle ne permet pas de prdire la trane du profil.III-4 Profils minces cambrs

dz 0 et on utilise la forme gnrale de lquation dx fondamentale de la thorie des profils minces : Pour un profil mince cambr

42


dz 1 ( ) d U = dx 2 x 0c

Utilisons nouveau le changement de variable :=

c (1 cos * ) 2

do :dz 1 * sin * U = d * dx 2 cos * cos 0

( )

Cette quation admet pour solution : 1 + cos () = 2U A 0 + A n sin n sin n =1

o le premier terme est semblable ce que lon obtient pour le profil non cambr plus une dcomposition en srie de Fourier. On peut vrifier que cette relation est solution de lquation de dpart, sachant que :cos n * sin n * cos * cos d = sin 0 sin n * sin * * cos * cos d = cos n 0

Si lon rintroduit cette solution dans lquation de dpart, il vient : dz 1 1 + cos * 1 sin n * sin * * = A0 d * + A n d dx 0 n =1 0 cos * cos cos * cos dz = A 0 A n cos n dx n =1

do :

donc : dz = A 0 + A n cos n dx n =1

On montre ainsi que lon peut crire la fonction type :

dz sous la forme dune srie de Fourier du dx

f () = B 0 + B n cos nn =1

avec les coefficients B0 et Bn :1 B 0 = f * d * 043

( )


2 B n = f * cos n * d * 0

( )

Les coefficients de Glauert A0, An correspondent donc un dveloppement en srie de dz cosinus de entre 0 et : dxB0 = A 0 =

1 dz * d dx 0

Bn = A n =

2 dz * * dx cos n d 0

dz fonction de . dx Connaissant la ligne de cambrure moyenne z(x) du profil, on pourra donc calculer les coefficients de Glauert A0, An et en dduire la distribution de tourbillons () : cest la mthode directe. Au contraire, connaissant la rpartition de tourbillons autour dun profil, on pourra dz effectuer un dveloppement pour obtenir et donc la ligne de cambrure moyenne : cest la dx mthode inverse. partir de la distribution de tourbillons, il est maintenant possible de dterminer les coefficients arodynamiques du profil. La circulation totale est : avec = ( )d =0 c

c ( ) sin d 2 0

do : = cU A 0 (1 + cos )d + A n sin n sin d n =1 0 0

or :

(1 + cos )d = 0

sin n sin d = 2 0 0

si n = 1 si n 1

donc : = cU A 0 + A 1 2 On en dduit la portance par unit denvergure :

44


2 L = U = U c A 0 + A 1 2 et le coefficient de portance : CL = L = (2A 0 + A1 ) q c

En remplaant A0 et A1 par leur expression, il vient : 1 dz C L = 2 + (cos 1)d 0 dx

1442443 cstdonc la pente du coefficient de portance vaut :a0 = dC L = 2 d

tout comme pour un profil symtrique. La thorie des profils minces prdit que la pente du coefficient de portance par rapport langle dincidence est indpendante de la forme du profil. Si on note L'=0 langle dincidence pour lequel la portance est nulle, il vient :C L = dC L ( L=0 ) = 2( L=0 ) d 1 dz = (cos 1)d 0 dx

avec la dfinition de CL' sous forme intgrale on a : L = 0

Remarque : L'=0 dpend de la forme du profil, car pour un profil symtrique on a L'=0 = 0. Tout comme pour un profil symtrique, on peut calculer maintenant le moment de bord dattaque :M BA = dL = U ( )d0 0 c c

M BA = U

c2 4

(1 cos )sin ()d0

do le coefficient de moment :C M,BA 1 = 2U

(1 cos )sin ()d0

En remplaant () par son expression et en calculant les intgrales il vient : A C M,BA = A 0 + A 1 2 2 2

45


C C M,BA = L + (A 1 A 2 ) 4 4Remarque : pour un profil symtriqueC M,BA =

dz = 0 et A1 = A2 = 0 et lon retrouve lexpression dx

C L . 4 Le coefficient de moment au quart de corde est :

C M,c / 4 =

(A 2 A1 ) 4

Ce coefficient nest pas nul pour un profil cambr, donc le quart de corde nest pas le centre de pression. Par contre, comme les coefficients A1 et A2 ne dpendent pas de langle dincidence , CM,c/4 est indpendant de , et par consquent le quart de corde est la position thorique du centre arodynamique. Daprs sa dfinition, la position du centre de pression est : x cp = do :x cp = c (A1 A 2 ) 1 + 4 C L

C M,BA c M BA = L C L

46


IV Thorie des profils paisIV-1 Introduction

Nous allons caractriser linfluence de lpaisseur dun profil sur le champ arodynamique autour de ce profil. On restera toujours dans le cadre dun coulement potentiel.IV-2 Fonction potentielle et fonction de courant

On rappelle que dans un coulement potentiel, le champ de vitesse scrit : r V = grad

avec la fonction potentielle solution de = 0 De mme on dfinit la fonction de courant telle que : = 0 En coordonnes cartsiennes : U= W= = z x = x z

Ces deux fonctions et sont donc solutions de lquation de Laplace, qui est une quation aux drives partielles du deuxime ordre linaire. Ce rsultat est important, car la somme de solutions particulires dune quation diffrentielle linaire est aussi solution de lquation. On pourra donc dcomposer un coulement potentiel en plusieurs coulements potentiels simples, et sommer les diffrentes solutions : = 1 + 2 ++ nIV-3 coulements lmentaires

Nous allons prsenter les fonctions potentielles et les fonctions de courant associes diffrents coulements lmentaires 2D.IV-3-1 coulement uniforme

z

= cst ligne quipotentielleM

r U

= cst ligne de courant

x

Figure 50 coulement uniforme

47


Pour un coulement uniforme, on montre que : = U x = U r cos = U z = U r sin le champ de vitesse tant : u = U w=0IV-3-2 Source et puits

z

= cst

z

= cst

= cst

= cst

x

x

source > 0Figure 51 : Source et puits

puits < 0

Pour une source ou un puits 2D dintensit centr lorigine on a : = ln r = ln x 2 + z 2 2 2 z = arctan 2 2 x x 2 2 x + z 2 z 2 2 x + z 2

= avec le champ de vitesse :

u= w=

48


IV-3-3 Diple

z

= cst

= cst l

x

Figure 52 : Diple Un diple 2D est constitu dun puits dintensit - et dune source dintensit spars entre eux dune distance l 0 ; lamplitude du diple est telle que :

= lim ll0

La fonction potentielle et la fonction de courant associes ce diple sont : = = avec le champ de vitesse : x2 z2 u= 2 x 2 + z 2 2

x cos = 2 2 x + z 2 2 r z sin = 2 2 x + z 2 2 r

(

)

w=IV-3-4 Tourbillon

xz x2 + z2

(

)

2

z

= cst = cst

x

Figure 53 : Tourbillon

49


Un tourbillon centr sur lorigine du repre est tel que : = = avec le champ de vitesse : u= z 2 2 x + z 2 x 2 2 x + z 2 z = arctan 2 2 x

ln r = ln x 2 + z 2 2 2

w=

IV-4 Description dun profil pais symtrique incidence nulle

Lcoulement potentiel autour dun profil pais symtrique incidence nulle est modlis par une rpartition de sources et de puits (x) sur la surface du profil. Par raison de symtrie, on peut aussi considrer une distribution de sources ou de puits le long de la corde du profil.U

s

(s)

U

s

(x)

Figure 54 : quivalence entre une distribution de sources ou du puits sur la surface du profil et le long de la corde

z

(x)U

0

c

x

Figure 55 : Modlisation dun profil pais symtrique incidence nulle Cet coulement admet pour solution une fonction potentielle telle que : = 0 Or, pour une source (ou puits) dintensit (x0)dx0 plac sur laxe des abscisses en x0, on a : x0 = x0 = (x 0 )dx 0 ln r 2

(x 0 )dx 0 ln 2

(x x 0 )2 + z 2

50


Pour une distribution linique de sources le long de la corde du profil :1 = (x 0 ) ln 2 0c c

(x x 0 )2 + z 2 dx 0 dx 0

z 1 = (x 0 )arctan x x 0 2 0

avec le champ de vitesse :c 1 (x 0 )(x x 0 ) dx 0 u= 2 (x x 0 ) 2 + z 2 0 c (x 0 )z 1 w= (x x )2 + z 2 dx 0 2 0 0

et la condition limite, le long de la corde : w (x, z = 0) = ( x ) 2

Si on note e(x) la rpartition dpaisseur le long du profil, on a la relation de vitesse normale la paroi Vn = 0, dmontre au paragraphe III-2-2, qui sexplicite par : dz w = U dx

z

+e/2e/2

x c

Figure 56 : Distribution dpaisseur dun profil symtrique do :w = U U de dz = dx 2 dx

en reportant cette expression dans la condition limite prcdente, il vient : ( x ) = U de (x ) dx

ce qui donne pour les fonctions potentielle et de courant := U 2 de dx (x ) ln (x x )0 0 0 c 2

+ z 2 dx 0

51


U = 2

z de dx (x ) arctan x x c 0 0

0

dx 0

et pour le champ de vitesse :U u= 2 U w= 2 xx de dx (x ) (x x ) + z0 0 2 0 0 c 2

dx 0 dx 0

z de dx (x ) (x x )0 0 0

c

2

+ z2

On remarque que la composante u est symtrique par rapport laxe des abscisses, et la composante w est antisymtrique. Le champ de vitesse autour du profil est alors : U = U + W= avec :2 V 2 = U 2 + W 2 = U + 2U

x

z + + x x z 2 2

En appliquant le thorme de Bernoulli, et en ne conservant que les termes du 1e ordre : p p = 1 2 U V 2 U 2 x

(

)

p p = U u (x ,0 )

Le coefficient de pression est alors :Cp = p p u (x ,0 ) = 2 1 U 2 U 2c

do :1 de 1 C p = (x 0 ) dx 0 x - x0 0 dx

La distribution de pression est donc identique sur les deux faces du profil do : p = p i p e = 0 Ce qui donne pour la portance :L = pdx = 00 c

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IV-5 Description dun profil mince cambr incidence non nulle

Lcoulement potentiel autour dun profil mince cambr incidence non nulle est modlis par une rpartition de tourbillons (x) le long de la ligne de cambrure moyenne que lon peut ramener une distribution de tourbillons le long de la corde (cf. paragraphe III-2-2). z (s)

U

0

c

x

Figure 57 : Modlisation dun profil mince cambr incidence non nulle Cet coulement admet pour solution une fonction potentielle telle que : = 0 Or, pour un tourbillon dintensit (x0)dx0 plac sur laxe des abscisses en x0 : x0 = x0 = (x 0 )dx 0 2

z (x 0 )dx 0 arctan xx 2 0

Pour une distribution linique de tourbillons le long de la corde du profil :c z 1 = (x 0 ) arctan x x 0 2 0

dx 0

1 = (x 0 ) ln 2 0

c

(x x 0 )2 + z 2 dx 0

avec le champ de vitesse :c (x 0 )z 1 u= (x x )2 + z 2 dx 0 2 0 0 c 1 (x 0 )(x x 0 ) w= dx 0 2 (x x 0 )2 + z 2 0

et la condition limite, le long de la corde : u ( x , z = 0 ) = (x ) 2

Par ailleurs, la distribution de tourbillons (x) doit vrifier la condition de vitesse normale la paroi qui est nulle qui scrit : dz w = U c dx avec zc la ligne de cambrure moyenne du profil. On obtient ainsi lquation fondamentale de la thorie des profils minces :

53


dz c 1 c (x 0 ) U dx 0 = dx 2 x x 0 0

Comme cette quation nadmet pas une solution unique, on doit par ailleurs vrifier la condition de Kutta : (x = c ) = 0

Par ailleurs, on a montr au paragraphe II-3 que llvation de pression entre lintrados et lextrados du profil tait donne par :p = U (x )

do la portance :L = U (x )dx0 c

Cest donc la distribution de tourbillons (lie la cambrure) qui impose la portance du profil.IV-6 Principe de superposition

On sintresse prsent au problme complet de lcoulement autour dun profil pais cambr avec une incidence non nulle. Le principe de superposition consiste sparer le problme de lpaisseur du problme de la cambrure, cest dire de la portance. Comme lcoulement potentiel autour dun profil est un problme linaire on peut dcomposer le problme complet en trois sous problmes : - lcoulement autour dun profil pais symtrique incidence nulle solution 1 ; - lcoulement autour dun profil mince symtrique incidence non nulle solution 2 ; - lcoulement autour dun profil mince cambr incidence nulle solution 3. La solution de lcoulement potentiel complet est alors : = 1 + 2 + 3

U U

1 2

U

3

U Figure 58 : Principe de superposition

= 1 + 2 + 3

Remarque : en pratique, on peut traiter simultanment, comme nous lavons vu dans la thorie des profils minces, le problme de la cambrure et de lincidence non nulle.

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V Ailes denvergure finieV-1 Introduction

Nous avons jusqu prsent tudi lcoulement 2D autour dun profil. Cependant, les ailes relles sont 3D et donc lcoulement autour dune aile est galement 3D cest dire quil y a une composante de vitesse dans la direction de lenvergure.V-2 Tourbillons de bout daile et trane induite

Examinons lcoulement autour dune aile denvergure finie. Le mcanisme de cration de portance implique une face de laile en surpression et une face en dpression. Aux extrmits, il y a donc enroulement de lcoulement de lintrados vers lextrados.

wi

wi

wi < 0 est la perturbation induite le long de lenvergure par les tourbillons de bout daile

ligne de courant ct extrados ligne de courant ct intrados U

Figure 59 : Gnration des tourbillons de bout daile

55


Cette dviation de lcoulement autour des extrmits de laile se traduit par deux tourbillons de bout daile contrarotatifs, qui se propagent, par convection de lcoulement incident, en aval de laile. Lintensit de ces tourbillons est suffisamment forte pour quun avion de tourisme soit dstabilis au dcollage sil suit de trop prs un avion de ligne. Cest pour cette raison quil faut espacer les dcollages des appareils sur les pistes denvol, afin de laisser un temps suffisant pour la dissipation de ces tourbillons de bout daile. Les tourbillons de bout daile vont donc gnrer une perturbation wi du champ de vitesse, qui a pour effet dincliner la vitesse relative de lcoulement incident. Di L wi < 0 eff i > 0 i U i w i extrmit de laile vitesse relative i

Figure 60 : Trane induite par les tourbillons de bout daile On appelle incidence induite i langle form entre lcoulement amont et la vitesse relative. Ainsi, le profil voit lcoulement incident avec un angle effectif eff par rapport lincidence relle, tel que : eff = i La portance du profil est perpendiculaire la vitesse relative vue par le profil, par consquent il y a une composante de la portance dans la direction de lcoulement incident, qui est la trane induite par la portance. Cette trane induite provient de lcoulement 3D qui modifie la distribution de pression le long de lenvergure de laile ; pour cette raison, la trane induite est de type trane de pression . Si Di est la trane induite, D la trane de frottement et Dp la trane de pression due au dcollement, la trane totale dune aile denvergure finie sera : D = Di + D + D p On appelle trane de profil la contribution des deux derniers termes, qui sont lis aux effets visqueux : la trane de frottement est due au frottement parital et la trane de pression au dcollement de couche limite. On dfinit ainsi le coefficient de trane de profil : Cd = D + Dp q S

qui est dtermin partir des donnes du profil de laile. Le coefficient de trane induite est alors dfini par :C D ,i = Di q S

et il est calcul par la thorie des ailes denvergure finies. Le coefficient de trane totale est : C D = C d + C D ,i Ces tourbillons de bout daile ont t identifis par Lanchester en 1907.

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V-3 Dveloppements historiques (les thories tridimensionnelles) V-3-1 Frederick William Lanchester (1868-1946)

Frederick Lanchester fut un des premiers constructeurs automobiles britanniques : il fabriqua avec son frre la premire automobile anglaise utilisant un moteur essence en 1895 et fonda sa compagnie en 1899. Il fut linventeur dun moteur trois rapports de vitesse engrenages picyclodaux, dun systme dembrayage original et dun systme de freinage semblable aux freins disques actuels en 1902. Il publia galement un systme de photographie en couleur en 1895. Paralllement ces activits, il sintressa larodynamique ds 1892. Il fut le premier relier la notion de circulation dun champ de vitesse la portance ds 1894. Il montra galement lexistence des tourbillons de bout daile : un premier article sur le sujet fut rejet et ce concept ne fut publi quen 1907 dans son ouvrage Aerodynamics. Sa manire de rdiger tait confuse et difficile comprendre, aussi ses crits ne furent pas pris en considration par la communaut scientifique de lpoque. Laccueil de ses travaux par le public le rendit amer et il ne se consacra plus dsormais qu lautomobile.

Figure 61 : Dessin original de Lanchester illustrant un tourbillon de bout daile (1907)V-3-2 Ludwig Prandtl (1875-1953)

Cest le vritable fondateur de larodynamique tant incompressible que compressible. Il obtint en 1900 une thse de doctorat en mcanique des solides puis sintressa la mcanique des fluides. Un an plus tard, il fut nomm professeur Hanovre o il publia, en 1904, la thorie de la couche limite. Cette mme anne, il partit pour Gttingen o il resta jusqu la fin de sa vie et mit en place un des meilleurs laboratoires de recherche en arodynamique au

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monde. Entre 1905 et 1908 il ralisa un grand nombre dexpriences sur les coulements supersoniques travers des tuyres et dveloppa la thorie des ondes de choc oblique et des ondes de dtente. Il ralisa les premires visualisations photographiques dcoulements travers des tuyres, en utilisant un systme strioscopique. Pendant la priode 1910-1920, il sintressa larodynamique incompressible, et dveloppa la thorie des profils et la thorie de la ligne portante pour les ailes denvergure finie (1918). Puis il retourna ltude des coulements compressible dans les annes 1920 et nona la rgle de correction des effets de compressibilit de Prandtl-Glauert (1922). En 1929 il mit au point avec Adolf Busemann une mthode de conception de tuyres supersoniques. Il eut de nombreux tudiants de grande renomme parmi lesquels Max Munk et Theodore Von Krmn.V-3-3 Hermann Glauert (1892-1934)

Cet arodynamicien britannique participa grandement la diffusion et la synthse des travaux de Prandtl. Il dmontra, en coulement incompressible, la forme que devait possder une aile pour prouver une trane induite minimale et mit en vidence leffet du vrillage en 1926. Dans le domaine des coulements compressibles, il donna en 1928 la formulation complte de la correction des effets de compressibilit prcdemment nonce par Prandtl.V-4 Rappels de dynamiques tourbillonnaires V-4-1 Loi de Biot et Savart

On considre un fil tourbillonnaire infini dintensit plac dans un coulement potentiel. r dl r r r dV

P

Figure 62 : Vitesse induite lmentaire par un lment de fil tourbillonnaire r r La vitesse induite lmentaire dV au point P par llment d l du fil tourbillonnaire est donne par la loi de Biot et Savart : r r r dl r dV = 4 r 3 rRemarque : cette loi est obtenue par analogie avec llectromagntisme, cest un rsultat gnral de la thorie potentielle.

Si lon considre maintenant un tourbillon rectiligne semi-infini, on montre que le champ de vitesse induit au point P distant de h par rapport lorigine du tourbillon est : V= 4h

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r dlr

h

P

V

Figure 63 : Vitesse induite par un tourbillon semi-infiniV-4-2 Thorme de Helmholtz

Dans un coulement potentiel : - lintensit dun fil tourbillonnaire est constante selon sa longueur, - un fil tourbillonnaire ne peut pas se terminer dans un fluide, mais soit la frontire du fluide, soit former un chemin ferm. Remarque : daprs le thorme de Helmholtz, les deux tourbillons de bout daile forment en fait un seul et mme tourbillon qui se boucle linfini aval : cette ligne tourbillonnaire correspond au tourbillon de dmarrage que lon avait identifi dans le cadre dune thorie potentielle bidimensionnelle.V-5 Thorie de la ligne portante

La premire thorie pratique pour prdire larodynamique dune aile denvergure finie a t dveloppe par Ludwig Prandtl dans les annes 19111918. Cette thorie est toujours utilise de nos jours pour des calculs prliminaires au dessin dune aile denvergure finie. La thorie de la ligne portante considre les hypo

Aérodynamique Appliquée,(Th. FAURE)

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