Adaptation de maillage

6

Adaptation de maillage

Lhomme raisonnable sadapte au monde ;

lhomme draisonnable sobstine essayer dadapter le

monde lui-mme.

Tout progrs dpend donc de lhomme draisonnable.

(G. B. Shaw)

Rsum. Ayant mis en vidence au chapitre prcdent la ncessit, faibles nombres

donde, de procder une adaptation de maillage de manire satisfaire une erreur

prescrite, nous sommes confronts au choix de la mthode et des outils.

On distingue essentiellement trois mthodes dadaptation de maillage : la r-adaptation

(relocalisation des noeuds), la p-adaptation (augmentation du degr des fonctions de

forme) et la h-adaptation (modification de la taille lmentaire). Dans ce chapitre, nous

nous restreignons cette dernire mthode.

Disposant de lerreur estime, il convient maintenant dtablir un lien avec les tailles

lmentaires du maillage qui permet de satisfaire une erreur prescrite. Nous dmontrons

dans ce chapitre que ce maillage optimal quidistribue lerreur absolue lmentaire. Donc,

moyennant lhypothse de convergence asymptotique, nous dfinissons un indice de

raffinement par le rapport de la taille initiale la taille optimale. Si cet indice est suprieur un, il y a lieu de raffiner, et inversement.

Ensuite, il faut bien convenir que les logiciels commerciaux disposant de gnrateurs

automatiques de maillages ne permettent pas encore aisment de prescrire une taille

lmentaire en une distribution de points (par exemple, le centre de gravit des lments

du maillage initial). Nous avons alors dvelopp les mthodes de m-raffinement

permettant, pour des maillages mixtes dlments plans cts rectilignes, de procder au

raffinement du maillage initial.

Ce chapitre se termine par lanalyse adaptative du compartiment passager dun vhicule

automobile.

Chapitre 6 Adaptation de maillage 116

6.1 Mthodes dadaptation de maillage

Les analyses lments finis erreur contrle requirent essentiellement quatre outils : un code lments

finis (ici, SYSNOISE), une estimation de la distribution de lerreur (voir chapitre 5), la connaissance du

comportement asymptotique de la solution lments finis et des mthodes dadaptation de maillage. Ce

chapitre dveloppe les deux derniers points.

Lintroduction (paragraphe 1.4) a rappel que lon distingue dans la littrature les mthodes de r-

adaptation, p-adaptation et de h-adaptation ainsi que les combinaisons de celles-ci, principalement la hp-

adaptation.

1) la r-adaptation opre uniquement par relocalisation des noeuds et, employe seule, ne

permet pratiquement jamais dobtenir le rsultat escompt. Elle nest intressante que

couple une h-adaptation car elle permet un lissage du maillage sur un critre de

prcision et non de gomtrie des lments. Nous ne laborderons plus dans le cadre

de ce travail,

2) la p-adaptation consiste enrichir le degr des fonctions dinterpolation.

Lestimation derreur a priori (3.77) montre la supriorit de cette mthode par

rapport la h-adaptation. Toutefois, ne disposant pas dun logiciel dlments finis

de degr suprieur 2, nos tests se borneront comparer les lments linaires (p=1)

et quadratiques (p=2),

3) la h-adaptation travaille par modification de la taille des lments. Cette modification

peut se faire avec rgnration complte du maillage ou par raffinement du maillage

initial. Les logiciels de CAO disposent en gnral de gnrateur automatique de

maillage autorisant les raffinements locaux [SDR96, DAS97], malheureusement nous

nen connaissons aucun qui autorise lintroduction dun critre de raffinement

utilisateur par exemple sous la forme dune carte de taille lmentaire prescrite.

Nous avons donc dvelopp nos propres outils de raffinement de maillage 2D (mais

les techniques stendent 3D) permettant lautomatisation complte du cycle

adaptatif dcrit en figure 1.4.

De mme, on peut envisager plusieurs faons de spcifier lerreur atteindre : erreur absolue lmentaire,

erreur relative lmentaire, ... [ZHO91]. Nous nous limiterons ici envisager, sans perte de gnralit, le

cas o lerreur relative globale en semi-norme H1 est prescrite et la notons .

6.2 Comportement asymptotique des solutions lments finis

Nous avons rappel au chapitre 3 les relations caractrisant lerreur relative globale en semi-norme H1.

On a (3.77)

C1 + C2 2 (6.1)

o

= h

p p

(6.2)

Si lon sintresse au comportement asymptotique (h 0), il vient, galement pour lerreur absolue,


p -ph 1, C (p , ) h p (6.3)

qui montre que lerreur globale absolue en semi-norme H1 est domine asymptotiquement par lerreur

dapproximation. Les critres dadaptation de maillages sont tablis ci-dessous en supposant que la

solution lments finis a atteint son comportement asymptotique cest--dire en labsence de pollution.

Ladaptativit que nous illustrons ne peut donc pas contrler la pollution car nos estimateurs derreur ne

sont pas fiables dans ce cas (paragraphe 5.5) et parce que nos prdictions de maillage optimal nen

tiennent pas compte.

La relation (6.3) dfinit le taux de convergence asymptotique global. Au niveau lmentaire, en labsence

de pollution due une singularit gomtrique ou physique (annexe 9.3), le taux de convergence est

toujours plus lev. En effet, supposons que l'ordre de convergence de l'erreur absolue lmentaire soit pi

p - ph 1, h pi (6.4)

Lerreur globale converge alors comme

p - ph 1, 2

= p - ph 1, 2

Th

( ) hpi ( ) 2 Th

#Th 2 h 2pi (6.5)

o

2 = max

2 ( )

et h = max

h ( )

(6.6)

Pour aller plus loin, il faut exprimer le nombre d'lments #Th en fonction de la taille des lments mais

ceci dpend de la dimension de l'espace de travail.

Cas unidimensionnel

Pour les grilles unidimensionnelles, le nombre dlments est proportionnel au rapport (L/h) o L est la

longueur totale. Par comparaison des relations (6.3) et (6.5), on en dduit le taux de convergence de p - ph 1,

2p = 2pi - 1 pi = p + 1

2 (6.7)

Cas bidimensionnel

Pour les grilles bidimensionnelles, le nombre dlments est proportionnel au rapport (S/h2) o S est la

surface totale. Par comparaison des relations (6.3) et (6.5), on en dduit le taux de convergence de p - ph 1,

2p = 2pi - 2 pi = p + 1 (6.8)


Cas tridimensionnel

Pour les grilles tridimensionnelles, le nombre dlments est proportionnel au rapport (V/h3) o V est le

volume total. Par comparaison des relations (6.3) et (6.5), on en dduit le taux de convergence de p - ph 1,

2p = 2pi - 3 pi = p + 3

2 (6.9)

6.3 h-adaptation

6.3.1 Dfinition du maillage optimal

Le maillage optimal est celui qui ralise la prcision prescrite par lutilisateur moindre cot. Le cot

dune analyse lments finis est une fonction polynomiale du nombre de degrs de libert, cest donc ce

dernier ou, ce qui revient au mme, le nombre de noeuds, quil faut minimiser. Malheureusement, les

normes derreur sont dfinies par des intgrales, il nest donc pas possible dexploiter cette dfinition et il

est alors couramment admis que le maillage optimal est celui qui ralise lerreur prescrite pour un nombre

minimal dlments [LI95/1, LI95/2, PEL93].

Il est possible de dmontrer par cette dfinition que le maillage optimal est celui qui quidistribue lerreur

absolue lmentaire (paragraphe 6.3.2, dmonstration restreinte aux solutions rgulires), ce qui nest pas

vident a priori. Une gnralisation de cette dmonstration se trouve dans [PEL93] et montre que cest le

produit p p - ph 1, ' qui doit tre quidistribu dans le cas de maillages p variable, y compris en

prsence de singularits.

Notons enfin que ce paragraphe tablit les relations ncessaires la h-adaptation pour les erreurs exactes.

Non disponibles en pratique, elles seront remplaces par les erreurs estimes.

6.3.2. Lien entre maillage optimal et distribution derreur

On considre le maillage initial Th et le maillage adapt Th. Lerreur relative globale en semi-norme H1

du maillage adapt vaut par dfinition (3.26)

' = p - ph 1, '

p 1, ' (6.10)

Le maillage adapt doit satisfaire

' (6.11)

Par dfinition, le maillage adapt optimal sera donc solution du problme

Minimiser #T'h ( p - ph 1, ' )

avec la condition p - ph 1, '2

' T'h

- 2 p 1, '2

= 0

(6.12)

Pour rsoudre ce problme, il faut exprimer les grandeurs du maillage adapt, notes avec lindice ', en

fonction de celles du maillage initial. Pour les dterminer, nous supposons que les maillages et les

raffinements sont rguliers. Bien sr, ceci introduit une approximation gnralement admise lorsque nous

exploiterons ces rsultats dans le cas de maillages irrguliers, ce que confirment nos tests numriques.


Cas bidimensionnel

Pour un lment parent raffin uniformment, le nombre dlments enfants dans le cas bidimensionnel est gal au rapport (figure 6.1)

# ' = h ( )

h ( ' )

2

(6.13)

figure 6.1. Nombre dlments enfants dun raffinement uniforme

Le nombre total dlments du maillage adapt est alors gal

#T'h = h( )

h( ' )

2

Th (6.14)

lindice de sommation tenant compte du fait que ' . En exploitant lordre de convergence asymptotique pour lerreur lmentaire (6.4) et le rsultat (6.8), on peut donc crire, respectivement pour

les maillages initial et adapt,

p - ph 1, = C h

p+1 ( ) (6.15)

p - ph 1, ' = C' h

p+1 ( ' ) (6.16)

Dans le cadre de cette dmonstration, nous supposons la raffinement uniforme au sein de chaque lment.

Les erreur absolues p - ph 1, et p - p

h 1, ' prennent place sur la mme droite de convergence en

zone asymptotique (en diagramme log-log) et les constantes sont donc gales

C = C' (6.17)

En combinant (6.15) et (6.16), il vient avec (6.17),

h( ' ) = p - ph 1, '

2

p - ph 1, 2

1 p+1

h( )

(6.18)

La condition du problme (6.12) peut alors tre exprime en fonction des donnes du maillage initial. En

effet,

p - ph 1, '2

' T'h

- 2 p 1, ' = 0

(6.19)

peut tre rcrite par un raisonnement analogue celui qui a donn (6.14), toujours en supposant un

raffinement uniforme,

p - ph 1, '2

h( )

h( ' )

2

Th

- 2 p 1, ' = 0

(6.20)

soit, en tenant compte de (6.18)


p - ph 1, '2

p - ph 1,

2

p - ph 1, '2

2p+1

Th

- 2 p 1, ' = 0

(6.21)

Le problme (6.12) peut tre formul comme un problme de minimum libre en introduisant une

fonctionnelle F et la condition par paramtre de Lagrange

F( p - ph 1, '2

, ) = p - ph 1,

2

p - ph 1, '2

2p+1

Th

+ p - ph 1, '2

p - ph 1,

2

p - ph 1, '2

2p+1

Th

- 2 p 1, '2

(6.22)

Le problme d'extrmum s'exprime alors par les deux conditions

F ( p - ph 1, '2

, )

p - ph 1, '2

= 0

(6.23)

F ( p - ph 1, '2

, )

= 0

(6.24)

Condition (6.23)

La premire condition donne pour le premier terme de (6.22), l'indice de sommation disparaissant lorsque

lon drive par rapport lerreur au sein de llment ,

- 2

p+1 p - ph 1,

2

2

p+1 p - ph 1, '2

- 2

p+1 - 1

(6.25)

ou encore, sous une forme qui permettra les simplifications ci-dessous,

- 2

p+1 p - ph 1,

2

2

p+1 p - ph 1, '2

p-1

p+1 - 2

(6.26)

Le deuxime terme de (6.22) donne

2pp+1

p - ph 1, 2

2

p+1 p - ph 1, '2

2p

p+1 - 1

(6.27)

ou encore,

2pp+1

p - ph 1, 2

2

p+1 p - ph 1, '2

p-1

p+1

(6.28)

La premire condition (6.23) devient alors, aprs simplifications,


- p - ph 1, '

2 - 2

+ p = 0 (6.29)

ou encore,

p - ph 1, '2

= 1

p (6.30)

montrant que pour raliser le maillage optimal dfini par le problme (6.12), lerreur absolue lmentaire

doit tre quidistribue. Les relations (6.10) et (6.11) impliquent alors

p - ph 1, ' = p 1, '

#T'h (6.31)

La plupart des algorithmes proposs [ZIE87, ZHO91, TRI92] proposent de remplacer dans l'quation (6.31)

dans un souci de simplicit #T'h par #Th , cest--dire de ne pas prdire le nombre dlments du maillage

optimal. Cette simplification nest pas ncessaire comme le montre la prsente dmonstration. En effet, en

combinant les quations (6.14), (6.18) et (6.31), il vient

#T'h pp+1 =

p - ph 1,

p 1,

2 p+1

(6.32)

o lon a galement fait lhypothse

p 1, p 1, ' (6.33)

Ce sont les relations (6.31), (6.32) et (6.18) qui ont t implantes et qui permettent de dfinir un indice

de taille optimale par

= h ( )

h ( ' ) (6.34)

Lorsque lindice est suprieur 1, llment doit tre raffin ; lorsque lindice est infrieur 1, llment doit tre draffin. La distribution de lindice de raffinement est appele carte doptimalit. Cas tridimensionnel

La dmonstration qui prcde peut tre tendue trois dimensions. Il suffit de remplacer le nombre

dlments du maillage adapt (6.14) par

#T'h = h ( )

h ( ' )

3

Th (6.35)

Tous calculs faits [BOU96/7], la relation (6.30) est remplace par

p - ph 1, '2

= 1

( 2p - 1 ) (6.36)

aboutissant la mme conclusion dquidistribution et l'quation (6.31) reste alors valable.


6.3.3 Critres requis pour les mthodes de h-adaptation

Dans les paragraphes qui suivent, nous nous intressons uniquement aux mthodes de raffinement de

maillage et nabordons pas les mthodes de h-adaptation bases sur une rgnration complte ou partielle

du maillage.

Dans le cadre de la version h de la mthode des lments finis, il est indispensable dassurer la conformit

du maillage Th, cest--dire de sassurer que lintersection de deux lments 1 et 2 non disjoints et non identiques est : un noeud sommet commun, un ct commun, ou ( trois dimensions) une face commune.

Le raffinement local de llment affecte videmment les lments voisins, formant un sous-domaine

appel zone de transition et not . Nous dirons que les mthodes de raffinement limitent la zone de transition lorsque celle-ci se rduit aux lments connects par un noeud llment , cest--dire lorsque

(6.37) Enfin, nous exigeons des mthodes de raffinement quelles gnrent des lments dont la taille sapproche

le mieux possible de la carte doptimalit (6.34) en respectant au mieux les critres gomtriques

habituellement attribus aux lments. Ces critres peuvent tre quantifis par des indices de qualit

gomtrique considrant le carr et le triangle quilatral comme les formes optimales des quadrilatre et

triangle respectivement [SDR96].

Allongement

Lindice dallongement A est dfini par :

A =

LmaxLmin idal

LmaxLmin rel (6.38)

o llment rel est compar llment de forme idale correspondant (la carr ou le triangle

quilatral). Lmax dsigne la longueur de la plus grande diagonale (cas du quadrilatre) ou la longueur du

plus grand ct (cas du triangle) et Lmin la longueur du plus petit ct (cas du quadrilatre) ou le rayon du

cercle inscrit (cas du triangle). Llment aura un allongement acceptable si

0.8 A 1.2 (6.39)

Distorsion

Lindice de distorsion D est dfini par :

D = dt J idal rel (6.40)

o llment rel est compar son lment parent idal dfini dans les axes naturels. J dsigne le

jacobien de la transformation isoparamtrique, idal laire de llment dans les axes naturels et rel laire de llment dans les axes rels. Lindice D optimal vaut 1 correspondant au paralllogramme et au

triangle cts rectilignes. Llment aura un allongement acceptable si

0.8 D 1.2 (6.41)

En rsum, nous exigeons des outils de raffinements de maillage quils :

1) assurent la conformit du maillage,


2) limitent la zone de transition,

3) gnrent des lments dont la taille sapproche au mieux de la taille optimale,

4) gnrent des lments satisfaisant aux critres de qualit gomtrique (6.39) et

(6.41).

Lvaluation de ces quatre critres a dj fait lobjet dune tude systmatique sur des configurations

lmentaires typiques [ROM97].

6.3.4 Mthode de m-raffinement

Disposant de la carte doptimalit de taille, nous souhaitons adapter le maillage en consquence. Pour

cela, nous pouvons procder par rgnration complte de la grille ou par raffinements locaux. Dans le

premier cas, nous devons disposer d'un gnrateur automatique permettant la prescription locale en une

distribution de points sur la gomtrie. De tels outils existent [SDR96, DAS97] mais ils ne prvoient pas

d'interface "utilisateur" permettant de saisir une carte d'optimalit. Nous avons alors dvelopp les

algorithmes de raffinement pour des maillages mixtes dlments 2D (triangles et quadrilatres). Adapte

des mthodes de 2- et 3-raffinement applicables aux quadrilatres [SCH95, BAN95], notre approche a le

grand avantage dtre tout fait gnrale et compltement intgre de manire permettre le traitement

indiffrent de maillages de quadrilatres seuls, de triangles seuls et de maillages mixtes. De plus, J. Z. Zhu

et al. [ZHU93] ont montr que les mthodes de raffinement de maillage taient satisfaisantes par rapport

la rgnration complte au moins pour les lments linaires (p=1). Les outils dvelopps sont

schmatiss la figure 6.2. Nous ne nous sommes pas intresss aux algorithmes de recombinaison qui

permettent de transformer des maillages de triangles en maillages de quadrilatres.

grille de

quadrilatres

grille

mixte

grille de

triangles

grille de

triangles

grille

mixte

grille de

quadrilatres

grille de

triangles

maillage initial

maillage adapt

figure 6.2. Outils du logiciel de m-raffinement

Les mthodes de m-raffinement sont bases sur la division rgulire dun lment parent en m2 lments

enfants. La figure 6.3 reprsente les motifs lmentaires fondamentaux des mthodes de 2- et 3-

raffinement pour les triangles et quadrilatres.

3-raffinement

2-raffinement

figure 6.3. Motifs de division lmentaires du 2- et 3-raffinement


Les motifs de division lmentaires appliqus sans lments de transition introduiraient videmment une

non conformit de maillage qui doit, pour satisfaire au critre 2 (paragraphe 6.3.3) tre rsolue dans le

groupe dlments voisins. Le principe des mthodes de m-raffinement est bas sur la dmarche illustre

la figure 6.4 et dtaille ci-aprs. Il sagit dun algorithme rcurrent puisque suivant lindice de

raffinement exig, il y aura lieu dappliquer plusieurs fois les motifs de subdivision lmentaires.

effectuer une

subdivision

niveau de subdivision lmentaire

carte doptimalit

niveau de subdivision nodal

mettre jour

oui

non

S ( ) = ar(logm )

maillage initial

Th

maillage adapt

' T'h

n S (n ) > 0

S (n ) = max

S ( ) n

figure 6.4. Mthodologie du m-raffinement

Maillage initial

Le maillage initial est considr grossier de sorte que tous les indices de raffinement lmentaires soient

suprieurs ou gaux un. De cette manire, les techniques de draffinement ne doivent pas tre

envisages, ce qui simplifie considrablement la dmarche.

Niveau de subdivision lmentaire S()

Le niveau de subdivision lmentaire est dfini par la relation

S ( ) = ar(logm ) (6.42) liant lindice de raffinement au nombre de subdivisions S() ncessaires pour llment , cest--dire au nombre de fois quil faut appliquer les motifs de division lmentaires (figure 6.3). La fonction ar

dsigne larrondi lentier le plus proche. Bien entendu, suivant la valeur de m, la relation (6.42)

permettra de gnrer des lments dont la taille sera plus au moins proche de celle requise par lindice de

raffinement (6.34).

Niveau de subdivision nodal S(n)

Afin de pouvoir grer plus facilement les zones de transition, lalgorithme va travailler avec la valeur des

niveaux de subdivision lmentaires ramens aux noeuds par la relation

S (n ) = max

S ( ) n

(6.43)


qui indique que lon choisit de conserver au noeud n le niveau de subdivision le plus lev parmi tous les

lments connects ce noeud.

Effectuer une subdivision

On considre ensuite chaque lment Th successivement. Sil existe au moins un noeud n dont le niveau de subdivision nodal est non nul, lalgorithme applique cet lment le motif de division lmentaire appropri.

Th, n S (n ) > 0 subdiviser (6.44)

Les motifs de subdivision lmentaires appropris dpendent de la configuration lmentaire. La figure

6.5 illustre les motifs de la mthode de 3-raffinement o lon dsigne par le symbole un noeud dont le

niveau de subdivision est non nul. Des motifs semblables sont disponibles pour le 2-raffinement avec une

attention particulire la configuration 2a (voir pour plus de dtails [ROM97]).

0 1 2a

2b 3 4

figure 6.5. Motifs de subdivisions lmentaires (3-raffinement)

Mettre jour Il serait naturel que la rcurrence soit base sur une mise jour du niveau de subdivision nodal par une

relation du type

S (n ) S (n ) - 1 (6.45)

et cest dailleurs cette dmarche qui figure dans la publication originale de R. Schneiders et al. [SCH95].

Toutefois, nous avons estim prfrable de comparer la taille rellement obtenue aprs une division

celle prescrite par lindice de raffinement. Cette nuance prend effet pour les maillages non rguliers o

lapplication de motifs de subdivision lmentaires peut gnrer des lments de taille trs diffrente

lorsque llment parent est distordu. Elle permet galement de ne pas cumuler les approximations par

arrondi ar dans la relation (6.42). La mise jour de lindice de raffinement se fait alors par la relation

(6.46), si h() dsigne la taille initiale (de 6.34) et h(") celle obtenue pour l'instant

" = h (")

h ( ) (6.46)


et lalgorithme reprend au niveau des calculs de niveaux de subdivision lmentaires.

Rcurrence

Lalgorithme se termine lorsque tous les niveaux de subdivision nodaux sont nuls.

Choix optimal de m

Le choix de m doit tre fait a priori. Les tests numriques effectus dans [ROM97] montrent que la

mthode de 2-raffinement est quasiment toujours la plus intressante sur base des critres de respect des

tailles prescrites et de la qualit du maillage adapt.

6.4 Analyse adaptative du compartiment passager dun vhicule

Nous avons vu au paragraphe 5.6.2 que lanalyse acoustique du compartiment passager dun vhicule

(coupe bidimensionnelle) ne comportait pas de singularits spcifiques de lacoustique pour des

frquences infrieures 200 Hz. Nous savons alors quen-dessous de cette limite, il est possible de

contrler le maillage pour satisfaire une erreur prescrite. Nous allons tudier deux frquences

dexcitation (30 et 50 Hz) typiques dune analyse adaptative en postulant que nous voulons atteindre une

prcision de 5 % (erreur relative globale prescrite). Cet exemple nous parat pertinent car il nous permet

de traiter des maillages mixtes, illustrant l'efficacit du lissage du champ de vitesses et des algorithmes de

m-raffinement dans ce cas.

6.4.1 Analyse adaptative 30 Hz (=1.47)

Lestimation de lerreur par la mthode de lissage du champ de vitesses SPRB conduit, pour le maillage

initial (figure 5.14) une erreur relative estime par lissage du champ de vitesses de 11.5 %. La

distribution de lindice de raffinement (6.34), ou carte doptimalit, est donne la figure 6.6. On observe les valeurs d'indice de raffinement les plus leves dans les zones de singularits gomtriques

(prs des siges) ou physiques (discontinuit des conditions aux limites de Neumann lavant).

figure 6.6. Compartiment passager dun vhicule : distribution de lindice de raffinement

sur le maillage initial (p=1, f=30 Hz, k=0.55 m-1, =1.47) - SPRB = 11.5 %

Lapplication de la mthode de 2-raffinement la carte doptimalit 6.6 gnre le maillage de la figure 6.7

dont lerreur relative globale estime par lissage du champ de vitesses SPRB vaut 4.96 %, ce qui est

infrieur la tolrance que nous nous tions impose. Lanalyse adaptative a donc permis datteindre la

valeur prescrite en une tape, ce qui est videmment plus rapide que par raffinements uniformes. La

comparaison des ordres de convergence en semi-norme H1 entre le raffinement uniforme et ladaptation

de maillage est donne la figure 6.8 montrant le net avantage de cette dernire.


figure 6.7. Compartiment passager dun vhicule : maillage adapt (1)

(p=1, f=30 Hz, k=0.55 m-1, =1.47) - SPRB = 4.96 %

1%

10%

100%

100 1000 10000

uniforme

adaptatif

# d.d.l.v*-vh 0

v* 0

=1.47 (f=30Hz)

figure 6.8. Compartiment passager dun vhicule : convergence de lerreur relative globale estime,

raffinement uniforme vs. raffinement adaptatif (p=1, f=30 Hz, k=0.55 m-1, =1.47)

6.4.2 Analyse adaptative 50 Hz (=2.45)

Lestimation de lerreur par la mthode de lissage du champ de vitesses SPRB conduit, pour le maillage

initial (figure 5.14) une erreur relative de 12.2 %. La distribution de lindice de raffinement (6.34), ou carte doptimalit, est donn la figure 6.9. A nouveau, on observe les valeurs d'indice de raffinement les

plus leves dans les zones de singularits gomtriques ou physiques.


figure 6.9. Compartiment passager dun vhicule : distribution de lindice de raffinement

sur le maillage initial (p=1, f=50 Hz, k=0.92 m-1, =2.45) - SPRB = 12.2 %

Lapplication de la mthode de 2-raffinement la carte doptimalit 6.9 gnre le maillage de la figure

6.10 dont lerreur relative globale estime par lissage du champ de vitesses SPRB vaut 8.72 %, ce qui est

suprieur la tolrance que nous nous tions impose. La carte doptimalit du maillage adapt est

donne la figure 6.11 et lapplication de la mthode de 2-raffinement fournit le maillage de la figure

6.12. Cette fois, lerreur relative globale estime est infrieure la tolrance (4.05 %), ce qui clture la

procdure adaptative.


(p=1, f=50 Hz, k=0.92 m-1, =2.45) - SPRB = 8.72 %

figure 6.11. Compartiment passager dun vhicule :

distribution de lindice de raffinement sur le maillage adapt (1)

(p=1, f=50 Hz, k=0.92 m-1, =2.45) - SPRB = 8.72 %



(p=1, f=50 Hz, k=0.92 m-1, =2.45) - SPRB = 4.05 %

La comparaison des ordres de convergence en semi-norme H1 entre le raffinement uniforme et

ladaptation de maillage est donne la figure 6.13 montrant le net avantage de cette dernire.

1%

10%

100%

100 1000 10000 100000

uniforme

adaptatif

# d.d.l.v*-vh 0

v* 0

=2.45 (f=50Hz)

figure 6.13. Compartiment passager dun vhicule : convergence de lerreur relative globale estime,

raffinement uniforme vs. raffinement adaptatif (f=50 Hz, =2.45)

6.4.3 Estimation d'erreur 500 Hz (=24.49)

Nous avons voqu (paragraphe 5.6.2) les raisons pour lesquelles nous pensons que lestimation derreur

au-del de 200 Hz nest pas fiable (lestimateur nest pas efficace). Nanmoins, nous regardons par

curiosit la carte doptimalit 500 Hz base sur lestimation derreur par lissage du champ de vitesses

SPRB et, mme si nous savons pertinemment que les indices de raffinement sont probablement sous-

valus, on peut nanmoins constater que le maillage doit tre raffin globalement et non localement.

Nous interprtons ceci comme une confirmation de la domination, cette frquence, de linfluence de la

k-singularit qui est caractre global par opposition aux singularits gomtriques qui sont caractre

local.


figure 6.14. Compartiment passager dun vhicule : distribution de lindice de raffinement sur la maillage initial

(p=1, f=500 Hz, k=9.24 m-1, =24.49) - SPRB = 26.7 %

Adaptation de maillage

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