ACTIVITE COURS PHYSIQUE N°7 BIS TS 1/8 LE DIPOLE RC

Activité-cours de physique N° 7 bis

Le dipôle RC

Objectifs • Connaître la signification de l’algébrisation de l’intensité dans un circuit. • Connaître la convention récepteur pour un dipôle et en particulier pour un condensateur. • Connaître la relation charge-tension aux bornes d'un condensateur. • Connaître la relation charge-intensité en convention récepteur et savoir en déduire la relation intensité-

tension. • Connaître les caractéristiques de la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension ( charge d’un

condensateur ). • Connaître les caractéristiques de la décharge d’un condensateur. • Savoir faire l’étude théorique de la charge ou de la décharge du condensateur ( équation différentielle ;

solution ; constante de temps, … ) • Connaître l’expression de l’énergie électrique emmagasinée par un condensateur

1. Rappels et compléments d’électricité Représentation fléchée d’une

tension Visualisation d’une tension Algébrisation de l’intensité

La tension uAB entre les bornes A et B d’un dipôle est représentée par une flèche partant de B et arrivant en A. Une tension est une grandeur algébrique.

Visualiser une tension uAB aux bornes d’un dipôle c’est mettre en évidence les variations de uAB en fonction du temps t : on utilise pour cela un système d’acquisition ( oscilloscope ou interface reliée à un ordinateur). Pour visualiser uAB, on connecte A à l’une des voies ( borne rouge) B à la masse du système d’acquisition ( borne noire ).

Le courant électrique qui traverse un dipôle peut être variable et changer de sens au cours du temps : dans ce cas algébrise l’intensité du courant. Pour cela, on choisit arbitrairement un sens positif sur le circuit à l’aide d’une flèche surmontée du symbole i(t) : ♦ Si i(t) est positif, le courant

circule dans le même sens que celui de la flèche.

♦ Si i(t) est négatif, le courant circule dans le sens opposé à celui d e la flèche.

Remarque importante concernant l’algébrisation de l’intensité. Le sens positif choisi arbitrairement sur le circuit n’est pas toujours le sens du courant ♦ le signe de i(t) nous renseigne sur le sens du courant dans le circuit ; ♦ la valeur absolue de i(t) nous donne la valeur de l’intensité du courant qui traverse le dipôle à la date t.

Convention récepteur pour un dipôle Lois d’additivité des tensions en régime variable( ou loi des mailles )

Cas d’un dipôle quelconque

En convention récepteur, les flèches tension et intensité sont opposées.

Cas d’un conducteur ohmique

En convention récepteur : u(t) = + R.i(t)

u(t) = u1(t) + u2(t)

u1(t) + u2(t) + …+ u6(t) = 0

A B

uAB

A B

uAB

Voie masse

i(t)

i(t)

u

i(t)

u(t)

R

u(t)

u1 (t) u2 (t) u1 (t)

u2 (t) u6 (t)

u3 (t) u4 (t)

u5 (t)

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Remarque 1 : expression de la loi d’Ohm hors convention récepteur Hors convention récepteur ( flèche u(t) et flèche i(t) de sens contraires ), la loi d’Ohm s’écrit :

u(t) = - R.i(t) Remarque 2 : grandeurs variables et constantes En électricité les grandeurs constantes sont représentées par des lettres majuscules ( par exemple U, I, …) et les grandeurs variables par des lettres minuscules ( par exemple u(t), i(t) , … )

Visualisation de l’intensité d’un courant dans un circuit

Si l’on veut visualiser une intensité i(t) dans un circuit à l’aide d’un système d’acquisition, on peut introduire une résistance R dans un circuit et on visualise la tension uR (t) = + R.i(t) en convention récepteur aux bornes de R en connectant le conducteur ohmique comme sur la figure ci-contre. ♦ Sur une interface, on crée la grandeur i(t) = u(t) / R et on la visualise. ♦ Sur un oscilloscope, il est impossible de visualiser directement i(t) . Comme

i(t) est proportionnel à u(t)( loi dr’Ohm ) , on considère que uR(t) visualise l’intensité i(t) au coefficient de proportionnalité 1/R près

2. Le dipôle condensateur Définition et symbole

Un condensateur est un dipôle constitué de deux surfaces métalliques, appelées armatures séparées par un isolant appelé diélectrique

Comportement d’un condensateur dans un circuit Un condensateur, introduit dans un circuit comportant un générateur, « accumule » ou « stocke » sur ses armatures des charges électriques de même valeur mais de signes opposés.

Convention récepteur pour un condensateur Un condensateur en convention récepteur est représenté ci-contre : ♦ la pointe de la flèche courant rencontre l’armature

portant une charge électrique algébrique variable notée q(t) ;

♦ la flèche tension et la flèche courant sont de sens opposés

Relation charge-tension dans un condensateur en convention récepteur : capacité d’un condensateur

L’étude expérimentale de la charge d’un condensateur à courant constant ( cf activité de physique N°7 : le condensateur ) nous a montré que : En convention récepteur, la charge q(t) portée à un instant de date t par l’une des armatures d’un condensateur est liée à la tension u(t) à ses bornes par la relation de proportionnalité :

q(t) = C.u(t) où le coefficient de proportionnalité C est appelé capacité du condensateur Unités internationales q(t) en coulomb ( C ) ; u(t) en volt ( V) et C en farad ( F ) La capacité d’un condensateur représente l’aptitude du condensateur à stocker ou emmagasiner des charges électriques. Le farad est une « grande unité ». En général on manipule des capacité sous multiples du farad :

le millifarad : 1 mF = 10-3F ; le microfarad : 1 μF = 10-6 F ; le nanofarad : 1 nF = 10-9 F ; le picofarad : 1 pF = 10-12 F

i(t)

u(t)

R

uR (t)=R.i(t)

Voie masse

R i(t)

u(t)

i(t)

q(t) - q(t)

ACTIVITE COURS PHYSIQUE N°7 BIS TS 3/8 LE DIPOLE RC

Relation charge-intensité en convention récepteur En convention récepteur, l’intensité i du courant à un instant quelconque de date t est égale à la dérivée de la charge q par rapport à t :

t

qi

d

d =

Unités : i en ampère ; q en coulomb ; t en seconde (s). L’intensité i correspond au débit de charges transportée par unité de temps: elle varie en général avec t.

Conséquence : relation intensité-tension en convention récepteur Etablir que la relation entre i(t) et u(t) en convention récepteur est :

t

uCi

d

d . =

3. Etude expérimentale de la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension ( charge d’un condensateur )

Qu’est-ce qu’un dipôle RC ? Un dipôle RC est l’association série d’un conducteur ohmique de résistance R et d’un condensateur de capacité C

Qu’est-ce qu’un échelon de tension ? Un échelon de tension est une tension u telle que : ♦ pour t < 0 : u(t) = 0 V ♦ pour t > 0 : u(t) = E = cste ≠ 0 La représentation graphique d’un échelon d e tension est donnée ci-contre.

Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension Le montage expérimental utilisé est représenté ci-contre. Le dipôle RC est tel que R = 1,0 kΩ et C = 7,5 μF. Le condensateur est initialement déchargé. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K. 1. Pourquoi le dipôle RC est-il soumis à un échelon de tension ? 2. Orienter le circuit en convention récepteur et placer les charges q(t) et - q(t) sur les armatures du condensateur.. 3. Evolution de la tension aux bornes du condensateur : réponse en tension 3.1. Indiquer sur le circuit les connexions à un système d’acquisition pour visualiser la tension uC aux bornes du condensateur. 3.2. La courbe d’évolution uC(t) obtenue avec Généris est donnée sur la figure 1 en annexe. a. Décrire les deux phases d’évolution de la tension uC . Une des phases correspond à un régime transitoire, l’autre à un régime asymptotique. Indiquer ces deux régimes sur la courbe. A quoi correspond la valeur particulière de la tension limite? b. Comment varie la charge q du condensateur au cours du temps ? Justifier brièvement. Calculer alors la valeur de sa charge maximale ( on dit alors que la condensateur est chargé ). Quelle est la durée approximative tC de la charge du condensateur ?

C

R

R

C

K

E = 6,2V uC

uR

+

-

u

t

E

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c. La constante de temps τ du dipôle RC est l’abscisse du point d’intersection de la tangente en O à la courbe uC(t) avec l’asymptote. Déterminer τ. d. Estimer uC(τ) /E. En déduire une autre définition de la constante de temps τ en termes de pourcentage. e. Comparer τ au produit R.C. f. Montrer, par analyse dimensionnelle que le produit R.C a la dimension d’un temps. g. Comparer tc à τ . Retenons Lorsqu’un dipôle RC est soumis à un échelon de tension, le condensateur ne se ……………………… instantanément : la charge du condensateur est un phénomène …………………………, c’est à dire de durée ………………………….. Le condensateur est dit chargé lorsque sa charge est ………………… ou que la tension à ses bornes est …………………………. Le produit τ = R.C est appelé …………………………………………. du dipôle RC. Il est homogène à un …………… Unités S.I : t s’exprime en ………………. (…….) ; R en …………….( …….. ) ; C en ……………….. ( …… ) La durée tC de la charge d’un condensateur est quasiment de l’ordre de …………… 4. Evolution du courant lors de la charge: réponse en courant. L’évolution temporelle du courant de charge i(t) avec l’orientation choisie sur le circuit est donnée sur la figure 2 en annexe. 4.1. Quel est sens du courant de charge ? Justifier à partir du graphe i(t). L’indiquer sur le circuit. 4.2. Décrire les variations temporelles du courant de charge. 4.3. Appliquer théoriquement la loi d’additivité des tensions. 4.4. Comment a-t-on tracé le graphe i(t) à partir du graphe uC(t) sur Généris ? 4.5. A partir de la question 4.4, calculer la valeur initiale i(0) du courant de charge. Est-ce cohérent avec le graphe ? 4.6. Calculer, à partir de la question 4.4, la valeur du courant à la fin de la charge. Est-ce cohérent avec le graphe. 4.7. Retrouver la valeur τ de la constante de temps à partir de la courbe i(t). Quel pourcentage de la valeur initiale du courant représente i(τ) ? En déduire une méthode de détermination de τ à partir de la courbe i(t)

4. Etude expérimentale de la décharge d’un condensateur Les valeurs de R et C sont les mêmes qu’au paragraphe 3. Le condensateur est initialement chargé sous une tension uC (0) = + 6,2V. On ferme l’interrupteur à la date t = 0 et l’on fait l’acquisition de uc(t) ( cf figure 3 en annexe ) et l’on en déduit la courbe i(t) ( cf figure 4 en annexe ). 1. Schématiser les charges initiales sur les armatures du condensateur. 2. Décrire les variations de uC et q(t).

R

C

K

uC

uR

i(t)

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3. Quelle est la durée tdc, du régime transitoire c’est à dire de la décharge du condensateur. 4. Décrire l’état électrique final du condensateur. 5. Quel est le sens du courant de décharge, noté idécharge? Justifier à partir du graphe i(t)? L’indiquer sur le schéma du montage. 6. En appliquant la loi d’additivité des tensions, calculer la valeur initiale, puis la valeur finale du courant de décharge ( en utilisant la courbe uC(t) de la figure 3. Ces résultats sont-ils cohérents avec la courbe expérimentale i(t)? 7. Déterminer graphiquement la constante de temps τ ’du circuit de décharge sur les courbes uC(t) et i(t) en traçant la tangente à l’origine pour les deux graphes. Comparer à la constante de temps τ du circuit de charge.

5. Etude théorique de la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension ( savoir-faire important ) Le condensateur est initialement déchargé.

5.1. Equation différentielle qui régit les variations de uc 1. Etablir à partir de la loi d’additivité des tensions que l’équation différentielle

vérifiée par uC s’écrit : Eut

u

R.CC

d

d

C

=+ . On utilisera la relation tension-intensité.

2. Retrouver la dimension de la constante de temps τ du dipôle RC

5.2. Résolution de l’équation différentielle

On propose comme solution de l’équation différentielle la fonction uC(t) = A + B e-α.t

La résolution de l’équation consiste à déterminer les trois constantes A, B et α., compte tenu de la condition initiale du problème ( condensateur initialement déchargé ). 1. En traduisant que la fonction uC proposée est solution de l’équation différentielle, déterminer les expressions des constantes A et α en fonction de E et de la constante de temps τ = R.C 2. Déterminer, à l’aide de la condition initiale, la valeur de la constante B. 3. Exprimer alors uC(t) en fonction de E et τ.

R

C

K

E uC

uR

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4. Retrouver théoriquement l’allure de la courbe expérimentale pour t variant entre - ∞ et + ∞. Commenter. 5. Calculer la valeur uC(τ). Est-ce bien cohérent avec une méthode de détermination graphique de τ ? 6. Calculer uC (5τ). Conclure. 7. Déduire de ce qui précède les expression de q(t) et i(t), en fonction de t, C, E, E/R et τ. Retrouver le graphe théorique de i(t) entre - ∞ et + ∞. Commenter. Retenons ♦ La tension aux bornes du condensateur d’un dipôle RC série soumis à un échelon de tension ne subit pas

de ………………………………. à la fermeture de l’interrupteur. ♦ L’intensité du courant dans un dipôle RC série, soumis à un échelon de tension, subit

une……………………….. à la fermeture de l’interrupteur. Exercice : s’entraîner à établir directement à partir de la loi d’additivité des tensions et des relations entre q, i et

uC les équation différentielles vérifiées par q(t) et i(t): EC. d

d =+ q

t

q R.C et 0

d

d =+ i

t

i R.C

6. Etude théorique succincte de la décharge d’un condensateur Le condensateur est initialement chargé sous une tension E. L’interrupteur K est ouvert. On ferme K à t = 0. 1. En appliquant la loi d’additivité des tensions, montrer que i(0) = - E/R. 2. En appliquant la loi d’additivité des tensions, expliquer pourquoi le courant s’annule lorsque le condensateur est déchargé. 3 Vérifier que l’équation différentielle qui régit les variations de uC(t) est :

0ut

u

R.CC

d

d

C

=+ et montrer qu’elle admet pour solution : uC (t) = E e- t/τ.

2. En déduire que i(t) = ( -E/R) e- t/τ, puis construire la courbe i(t) entre - ∞ et + ∞. Commenter.

7. Energie emmagasinée par un condensateur Donner un exemple classique qui montre qu’un condensateur chargé emmagasine ou stocke d e l’énergie. On considère le montage de la figure ci-contre. On charge le condensateur ( interrupteur en position 1). On décharge ensuite le condensateur dans le moteur M ( interrupteur en position 2 ) Que se passe-t-il? Interpréter. Retenons Au cours de sa charge , un condensateur ……………………… une énergie Ee qu’il ……………….. lors de sa

décharge. L’expression ( admise ) de Ee est : Ee =

C

q . C.u

2

2

12

2

1=

Unités S.I : Ee est en …………( … ) ; C est en ………….. ( ….. ) ; u est …….. ( ….. ) ; q est en …………… ( …. ) Conséquence : justifier, à partir de considérations énergétiques que la tension aux bornes d’un condensateur ne peut subir de discontinuité ( cf paragraphe 5 ).

R

C

K

uC

uR

i(t)

M E C

1 2

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Annexe

Figure 1 : réponse en tension

figure 2 : réponse en courant

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Figure 3 : tension uC(t) lors de la décharge du condensateur.

Figure 4 : intensité i(t) lors de la décharge du condensateur.