Activité sur linégalité triangulaire. Un jeu de dés !
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Activité sur l’inégalité triangulaire. Un jeu de dés !
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Activité sur l’inégalité triangulaire.
Un jeu de dés !
On désire construire un triangle ABC ayant pour côté AB = 6 cm. Les longueurs des côtés BC et AC sont données par le lancer de deux dés.
1er dé : 2éme dé :
on obtient AC = 3 cmon obtient BC = 5 cm
Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm.
0 1 2 43 65 107 98 11 12 13 1514
Traçons d ’abord le segment [AB].
Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm.
N ’oublions pas de nommer les extrémités.
A B6 cm
Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm.
Il faut placer maintenant le point C.
A B6 cm
Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm.
Il faut placer maintenant le point C.
A B6 cm
Il est à 3 cm de A.
0 1 2 43 65 107 98 11 12 13 1514
Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm.
Il faut placer maintenant le point C.
A B6 cm
Il est à 3 cm de A.
0 1 2 43 65 107 98 11 12 13 1514
Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm.
Il faut placer maintenant le point C.
A B6 cm
Il est à 3 cm de A.
0 1 2 43 65 107 98 11 12 13 1514
Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm.
Il faut placer maintenant le point C.
A B6 cm
Il est à 5 cm de B.
0 1 2 43 65 107 98 11 12 13 1514
Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm.
Il faut placer maintenant le point C.
A B6 cm
Il est à 5 cm de B.
0 1 2 43 65 107 98 11 12 13 1514
Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm.
Il faut placer maintenant le point C.
A B
6 cm
Il est à 5 cm de B.
Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm.
Il faut placer maintenant le point C.
A B6 cm
L ’intersection des arcs de cercle nous donne le point C : il y a deux points possibles.
Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm.
On choisit l’un d’eux et on termine le tracé.
A B6 cm
C
5 cm3 cm
Construisons donc le triangle ayant pour côtés 6, 5 et 3 cm.
On choisit l’un d ’eux et on termine le tracé.
A B6 cm
C
5 cm3 cm
On obtient ainsi un triangle ABC avec les dimensions données par les deux dés.
Remarquons ici que AC+BC = 8 et AB = 6,donc AB < AC+BC.
Considérons toujours un segment [AB] de 6 cm et essayons la constructions avec 2 autres lancers.
1er dé : 2éme dé :
on obtient AC = 4 cmon obtient BC = 2 cm
Retraçons le segment [AB]
Cherchons à placer le point C.
A B6 cm
Retraçons le segment [AB]
Cherchons à placer le point C.
A B6 cm
AC = 4 cm : il est sur le cercle de centre A et de rayon 4 cm.
Retraçons le segment [AB]
Cherchons à placer le point C.
A B6 cm
AC = 4 cm : il est sur le cercle de centre A et de rayon 4 cm.
BC = 2 cm : il est sur le cercle de centre B et de rayon 2 cm.
Retraçons le segment [AB]
Cherchons à placer le point C.
A B6 cm
Le point C doit se trouver sur les deux cercles : il n’y a qu’une seule possibilités.
Le point C se trouve sur le segment [AB].
COn remarque que 6 = 4 + 2
On a l ’égalité : AB = AC+CB
Considérons toujours un segment [AB] de 6 cm et essayons un troisième lancer.
1er dé : 2éme dé :
on obtient AC = 3 cmon obtient BC = 2 cm
Retraçons le segment [AB]
Cherchons à placer le point C.
A B6 cm
Retraçons le segment [AB]
Cherchons à placer le point C.
A B6 cm
AC = 3 cm : il est sur le cercle de centre A et de rayon 3 cm.
Retraçons le segment [AB]
Cherchons à placer le point C.
A B6 cm
AC = 3 cm : il est sur le cercle de centre A et de rayon 3 cm.
BC = 2 cm : il est sur le cercle de centre B et de rayon 2 cm.
Retraçons le segment [AB]
Cherchons à placer le point C.
A B6 cm
Le point C doit se trouver sur les deux cercles : il n’y a aucun point commun aux deux cercles.
On remarque que 6 > 3 + 2
On a l ’inégalité : AB >AC+CB
On ne peut pas placer le point C.
Nous voyons que la possibilité de construire le point C dépend des dimensions initiales et est liée à la comparaison ici de la plus grande dimension à la somme des deux autres.
Avec la même technique recherche tous les lancers possibles où :
1) on obtient un triangle ;
2) on obtient trois points alignés ;
3) il est impossible de placer le point C.
