Actionneurs hydrauliques - cours, examens · 2017. 7. 3. · Actionneurs hydrauliques Commande par...

Actionneurs hydrauliques

Commandepar Jean-Charles MARÉ

Ingénieur de l’Institut national des sciences appliquées (INSA) de ToulouseProfesseur des universités à l’INSA de Toulouse

1. Modèle de conduite................................................................................. S 7 531 - 21.1 Équations de base, linéarisation – réduction ............................................ — 2

1.1.1 Modulateur de puissance................................................................... — 21.1.2 Équation de continuité ....................................................................... — 31.1.3 Équation dynamique .......................................................................... — 3

1.2 Modèle de conduite..................................................................................... — 31.2.1 Fonction de transfert .......................................................................... — 3

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.© Techniques de l’Ingénieur, traité Informatique industrielle S 7 531 − 1

a commande est la dernière étape du processus de conception des action-neurs hydrauliques, après le choix de l’architecture, le dimensionnement en

puissance, le conditionnement modal, et la modélisation, exposés dans un pre-mier article [S 7 530].

L’ensemble vérin symétrique-servovalve sert toujours de support didactique.

1.2.2 Modèle d’état ...................................................................................... — 41.3 Analogie électrique. Considérations sur la non-linéarité ......................... — 4

1.3.1 Non-linéarité du distributeur de puissance ...................................... — 41.3.2 Non-linéarité de position ................................................................... — 41.3.3 Cas des vérins non symétriques ....................................................... — 5

2. Commande en position .......................................................................... — 52.1 Commande proportionnelle pure............................................................... — 5

2.1.1 Analyse ................................................................................................ — 52.1.2 Effet des non-linéarités....................................................................... — 6

2.2 Correcteurs pour l’asservissement de position ........................................ — 62.2.1 Conception optimale .......................................................................... — 62.2.2 Actions de correction au niveau organique...................................... — 72.2.3 Correcteurs électriques type série..................................................... — 72.2.4 Correcteurs électriques type parallèle .............................................. — 82.2.5 Correcteurs électriques par anticipation........................................... — 92.2.6 Influence des élasticités parasites..................................................... — 92.2.7 Commande non-linéaire .................................................................... — 10

3. Commande en vitesse............................................................................. — 10

4. Commande en effort ............................................................................... — 114.1 Modèle de conduite..................................................................................... — 124.2 Commande proportionnelle ....................................................................... — 134.3 Charge bloquée............................................................................................ — 144.4 Correction..................................................................................................... — 14

Pour en savoir plus ........................................................................................... Doc. S 7 532

L

ACTIONNEURS HYDRAULIQUES ___________________________________________________________________________________________________________

1. Modèle de conduite

Dans ce paragraphe, le modèle de conduite est élaboré en consi-dérant que le vérin et le distributeur sont symétriques. Cette restric-tion est justifiée en remarquant que :

— les distributeurs dissymétriques requièrent une conceptionspécifique et donc rarement envisagée ;

— le cas du vérin dissymétrique est traité à partir du modèle deconduite du vérin symétrique en utilisant une section de vérin« équivalente ».

Dans un premier temps, le corps de vérin est fixe et l’ancrage et latransmission sont supposés infiniment rigides. Dans ces conditions,le schéma de la partie puissance de l’actionneur est présenté sur lafigure 1.

1.1 Équations de base, linéarisation – réduction

1.1.1 Modulateur de puissance Dans le cas le plus courant du distributeur linéaire symétrique àcentre critique (figure 2b) elles sont idéalement définies par :

Figure 1 – Modèle de la partie hydromécanique

Pa

P1V1 P2V2S

PaPr

a c db

Q1

Qe1 Qe2

Ff

rc

Fe

Q12

Q2

Y+

X+

M

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.S 7 531 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Informatique industrielle

L’étage hydraulique de puissance est modélisé en décrivant seule-ment l’effet résistif fonctionnel engendré par chaque orificevariable :

(1)

Les coefficients de débit sont considérés identiques et constants(généralement égaux à 0,75). La caractéristique hydraulique estalors donnée par les deux équations algébriques :

(2)

(3)

avec a, b, c, d indices relatifs aux voies correspondantes dudistributeur.

La relation algébrique entre les sections de passage Sa, Sb, Sc, Sdet l’ouverture de distributeur définissent sa caractéristique géomé-trique (figure 2).

— ouverture positive :

Sa = Sc = KgY et Sb = Sd = 0

— ouverture négative :

Sb = Sd = − KgY et Sa = Sc = 0

avec Y (m) l’ouverture du distributeur,

Kg (m) le gain géométrique du distributeur.

Il est extrêmement rare de modéliser en détail le pilotage du tiroir.C’est pourquoi on adopte un modèle de représentation d’ordre 2 aumaximum. Dans ce cas, les paramètres de ce modèle sont identifiésà partir des données du constructeur :

(4)

(5)

avec Ksv (m/V) le gain de pilotage du distributeur de puissance,

ωsv (rad/s) la pulsation propre du modulateur, ξsv le coefficient d’amortissement réduit du modula-

teur.

Le modèle de conduite global du modulateur est obtenu à partirdes équations précédentes. La première difficulté consiste à en tirerune équation unique liant les variables fonctionnelles : ouverture dedistributeur Y, pression différentielle ∆P = P1 − P2 et débit moyen Qéchangé avec le vérin.

Un tableau des notations et des symboles utilisés se trouvedans la première partie [S 7 530].

Q CqSp 2ρ--- ∆P sgn ∆P( )=

Q1 CqSa 2ρ--- Pa P1– sgn Pa P1–( )=

CqSb 2ρ--- P1 Pr– sgn P1 Pr–( )–

Q2 CqSc 2ρ--- P2 Pr– sgn P2 Pr–( )=

CqSd 2ρ--- Pa P2– sgn Pa P2–( )–

Y

U----

Ksv

Gsv s( )------------------=

Gsv s( ) 12ξsvωsv------------ s

1

ωsv2--------- s2+ +=

Figure 2 – Caractéristiques géométriques de distributeur

S

–Y

critiqueb

S

Y

recouvrementa

S

–Y

double pented

S

Y

découvrementc

__________________________________________________________________________________________________________ ACTIONNEURS HYDRAULIQUES

On considère pour cela que le débit moyen instantanéQ = (Q1 + Q2)/2 est peu différent du débit qui s’établirait en régimeétabli sur charge hydraulique symétrique. Cette hypothèse imposedonc la condition additionnelle Q1 = Q2 qui conduit à :

P1 + P2 = Pa + Pr (6)

On peut alors former une équation unique décrivant la caractéris-tique du distributeur de puissance dans le domaine de fonctionne-ment normal (pas de cavitation ni de surpression) :

(7)

avec le gain statique à vide(m3 · s−1 · v−1),

le facteur de correc-tion de gain.

La linéarisation de cette caractéristique autour du point de fonc-tionnement défini par ∆P0 = P10 − P20 et Y = Y0 fournit finalement lacaractéristique linéaire équivalente du distributeur :

(8)

Le deuxième élément du terme de droite, non linéaire, peut êtrenégligé dans l’un des deux cas suivants :

— l’élongation du vérin X reste faible devant la course totale(SX


— un mode oscillatoire hydromécanique sous-amorti, de pulsa-

tion naturelle

et de coefficient d’amortissement ;

— la dynamique propre à la servovalve Gsv(s) qui est correcte-ment amortie (ξsv = 0,5 à 0,9) ;

— le gain vitesse / effort extérieur ;

— la constante de temps hydraulique .

En pratique, ces expressions sont simplifiées car Af /S2 est la plu-part du temps négligeable devant 1.

Si elle n’est pas nulle, la raideur de charge est souvent très infé-rieure à la raideur hydraulique. Dans ce cas, le mode propre hydrau-lique est peu affecté et il est précédé d’un effet du premier ordre, de

1.3 Analogie électrique. Considérations sur la non-linéarité

Il est intéressant de rapprocher le transfert (12) du transfert qui estobtenu pour un actionneur à moteur à courant continu (CC) com-mandé par tension d’induit à flux inducteur constant. Dans ce cas, Sest remplacé par KT ou KE, Vt/2β par L, A par R et KQU par KU :

avec KT (N · m/A) la constante de couple, KE (V · rad

−1 · s−1) la constante électromagnétique, L (H) l’inductance d’induit, R (Ω) la résistance d’induit, KU (V/V) le gain de l’amplificateur de puissance.

Ce résultat montre l’analogie structurale qui peut être établieentre les modèles de conduite des actionneurs hydrauliques et ceuxdes actionneurs électriques. Malheureusement, la ressemblances’arrête là pour deux raisons essentielles.

D’une part, les valeurs des paramètres produisent des comporte-ments dynamiques différents. Alors que la dynamique propre d’unactionneur hydraulique se manifeste comme un mode oscillatoirehydromécanique rapide et mal amorti, celle du moteur électriquecorrespond à la combinaison de deux premiers ordres (électrique et

ωh 1Af

S2------ +

rhm-----=

ξh

Am

S2----------

f

rh-----+

2 1Af

S2------ +

mrh-----

-----------------------------------------=

KfA

S2 1Af

S2------ +

-------------------------------=

τhS2

Arh----------

Vt2βA-----------= =


pulsation de cassure :

(14)

1.2.2 Modèle d’état

L’équation dynamique du modèle d’état peut prendre deux for-mes usuelles selon le vecteur d’état adopté. En particulier, si l’onnéglige la dynamique du distributeur, le modèle d’état d’ordre 3 del’actionneur est donné par :

(15)

(16)

ou par :

(17)

(18)

avec X le vecteur d’état de l’actionneur.

mécanique) qui produit un mode largement suramorti.

D’autre part, le modèle de l’actionneur hydraulique est obtenu auprix d’une opération de linéarisation / réduction qui rend ses para-mètres fort dépendants du point de fonctionnement. Deux non-linéarités incontournables, conséquences mêmes de la structure del’actionneur, affectent son comportement : la caractéristiquehydraulique du distributeur et la variation de capacité hydrauliqueen fonction de la position du vérin.

1.3.1 Non-linéarité du distributeur de puissance

L’évolution des facteurs de correction de gain du distributeur σ et1/2 σ est présentée sur la figure 3.

Il est important de remarquer que la variation de gain débit / commande est comprise entre − 42 % et + 28 % de la valeur nomi-nale si l’excursion de la pression différentielle reste à chaque instantdans les limites recommandées. Dans les mêmes conditions, le gaindébit / pression varie entre 0,39U0 et 0,87U0. C’est surtout cedernier effet qui produit, par son action sur A (voir (12)) une aug-mentation importante de l’amortissement hydromécanique ξh, pro-portionnelle à l’ouverture même de distributeur.

1.3.2 Non-linéarité de position

La variation de la capacité hydraulique globale du vérin se traduitpar des changements de raideur hydraulique en fonction de la sortiede tige. Si l’on considère que le volume mort de chaque chambre(volume sous pression non balayé par le piston au cours de sonmouvement) est défini par :

Vt = Vm + SXmax = αvSXmax (19)

avec Vm (m3) le volume mort,

αv le facteur volumétrique (αv > 1).

On calcule que la proportion entre la raideur hydraulique maxi-male, obtenue en fin de course et la raideur hydraulique minimale,obtenue en configuration centrée, est donnée par :

(20)

ω0Arc

S2 AfS2rc

rh------------+ +

--------------------------------------≈

X X Ẋ Ẋ̇Fem------+

T

=

Ẋ

0 1 00 0 1

Arcrh

mS2---------------–

rh

m----- 1

Af

S2------

rc

rh-----+ +

– rh

m-----

Am

S2----------

frh-----+

–X=

0 0

0 1m-----–

KQUrh

mS-----------------

f

m2--------

UFe

+

X X Ẋ ∆PT

=

Ẋ

0 1 0

rcm-----

– f

m-----– Sm-----

0 2βSVt

-----------– 2βAVt

-----------–

X

0 0

0 1m-----

–

2βKQUVt

------------------- 0

UFe

+=

max rh( )

min rh( )----------------------

αv2

αv2 1–----------------=


2. Commande en position

La commande en position concerne la majeure partie des applica-tions. Les structures de commande qui sont efficaces sont relative-ment bien connues mais la conception préliminaire est rarement

– 1 – 0,8 – 0,4 0 0,4 0,8– 0,6 – 0,2 0,2 0,6 10

0,2

0,6

1

0,4

0,8

1,21,41,6

Pression différentielle réduite ∆P/Pau

Fact

eur

de

gain

σ U > 0 U < 0U > 0 U < 0

Domaine de fonctionnement recommandé

1,5

2,52

3

44,5

3,5

5

Fact

eur

de

gain

en p

ress

ion

1/2

σ U > 0 U < 0U < 0 U > 0

Domaine de fonctionnement recommandé

facteur de gain débit/commandea Figure 4 – Commande en position

Kp

Kp

FeAnticipation

X * e U XVx

Vx

??? Servovalve+ vérin + charge

Retours d'état

Capteur de position

+–

*


Le tableau 1 montre que pour les proportions usuelles de volumemort, cet effet n’est pas du tout négligeable sur la variation du modepropre hydraulique.

(0)

1.3.3 Cas des vérins non symétriques

Dans le cas où le vérin n’est pas symétrique, on peut définir unesection équivalente dont l’expression dépend de l’approche utiliséepour l’élaboration du modèle symétrique équivalent, à partir de :

— l’équation de continuité et de l’équation d’effort : ;

— la caractéristique du distributeur et de l’équation d’effort :

;

— la valeur moyenne : S = 0,5 (S1 + S2).

Les résultats sont généralement peu différents et l’approche àadopter dépend de l’objectif principal de la linéarisation (reproduirele mode propre, le gain en vitesse, etc.).

abordée avec succès. L’architecture générale de l’actionneur asservien position est présentée sur la figure 4. Pour simplifier les déve-loppements, la charge est ramenée au niveau de la tige de vérin(N = 1).

2.1 Commande proportionnelle pure

Les performances en commande proportionnelle pure (U = Kae)doivent systématiquement être évaluées pour constituer des pointsde repère sur la criticité de la commande à concevoir. L’analyse quisuit fait appel aux considérations générales présentées dansl’encadré 1.

2.1.1 Analyse

Lorsque la raideur de charge est nulle, le transfert en position estformé à partir de la relation (13) et fait apparaître le gain de bouclede position :

(21)

avec Kp (V/m) le gain de mesure de position,

Kv (1/s) le gain de boucle de position.

En l’absence de raideur de charge, l’actionneur est naturellementintégrateur en boucle ouverte. En boucle fermée, cette propriété luiconfère un comportement global aux basses fréquences de typepremier ordre, vis-à-vis de la consigne et de l’effort extérieur :

(22)

Il s’y ajoute la dynamique rapide et mal amortie du mode hydrau-lique dont les caractéristiques sont généralement peu modifiées parle bouclage en position.

Le tableau 2 donne les ordres de grandeur du gain de boucleadmissible et les performances qui en découlent.

Figure 3 – Coefficients de gain non-linéaire de distributeur

Tableau 1 – Influence de la position de tige

Volume mort 5 %αv = 1,05

10 %αv = 1,10

15 %αv = 1,15

Variation de la raideur hydraulique 10,8 5,7 4,1

Variation du mode propre hydraulique 3,3 2,4 2

– 1 – 0,8 – 0,4 0 0,4 0,8– 0,6 – 0,2 0,2 0,6 10

0,51

Pression différentielle réduite ∆P/Pau

facteur de gain débit/pressionb

S S12V2 S2

2V1+( ) S1V2 S2V1+( )⁄=

S 0 5 S13 S2

3+( ),3=

KvKpKaKQU

S 1Af

S2------ +

----------------------------=

X1

11

Kv------ s+

--------------------- XKf 1 τhs+( )

Kv 11

Kv------ s+

--------------------------------- Fe–≈ *


(0)

Tableau 2 – Performances en commande proportionnelle

Performances en boucle fermée Pour rc = 0Pour rc ≠ 0 et rc > ωh (ξh faible) Kv ≈ ξhωh• si ωsv ≈ ωh Kv ≈ 0,2ωh• si ωsv


Au niveau de l'intégration

Augmentation de larapidité naturelle

ωh↑

Action surle vérin

Action surle vérin

Fuiteentre

chambres

Fuiteentre

chambres+ passe-

haut

Action sur ledistributeur

ServovalveP/Q

Recouvre-ment auxorifices

Découvre-ment auxorifices

Action sur ledistributeur

Orifices àgain

variable

Souscharge

Souscharge

dynamiqueNon

Distributeurfermé

Non NonFuite

Action surle fluide

Action surles

conduites

Pressiond'alimen-

tationréduite

Coefficientde

compres-sibilitéaccru

Rigiditéaccrue

Volumesmortsréduits

Sectionaccrue

Coefficientd'effortaccru

Au niveau des organes

Augmentation de lastabilité

Augmentation del'amortissement

ξh

Diminution du gainaux faibles signaux


— maximiser le coefficient de marge d’effort ;— réduire les volumes morts en plaçant le distributeur au plus

près du vérin ;— diminuer la pression d’alimentation (cette action est cepen-

dant limitée par ses conséquences sur la masse et l’encombrementde l’actionneur et par la chute du coefficient de compressibilitéeffectif qu’elle entraîne) ;

— diminuer la contribution de la masse mobile de l’actionneur àla masse totale à mouvoir.

2.2.2 Actions de correction au niveau organique

Les actions appliquées au niveau organique (figure 6) sont effica-ces et fiables car elles agissent au plus près des phénomènes à com-penser. Elles sont de moins en moins utilisées dans les applicationsindustrielles à cause de leur manque de souplesse et de leur surcoûtoccasionné par le développement de composants spécifiques (hor-mis la fuite entre chambre, facile à mettre en œuvre par l’interposi-tion d’une plaque de fuite entre la servovalve et son embase).

2.2.3 Correcteurs électriques type série

Les correcteurs série sont intéressants pour leur faible coût car iln’affectent que le transfert U/e. Malheureusement, leur efficacitédépend étroitement de l’amortissement du mode dominant.

■ Correcteur PID

L’action dérivée du correcteur PID (proportionnel, intégral, dérivé)est efficace lorsque la variation de phase en boucle ouverte estrégulière dans la zone [− 135˚, − 180˚]. Pour l’asservissement de posi-

tion électrohydraulique, c’est typiquement le cas lorsque la dynami-que de servovalve domine ou que le mode hydraulique a déjà étéamorti par un autre moyen. Dans le cas contraire, l’effet de retourtachymétrique introduit par l’action D sur la commande en positionn’améliore pas la stabilité. Par contre, la composante D agissantégalement sur la consigne, elle produit un effet d’anticipation quipermet de réduire le traînage. L’intérêt de l’action intégrale est forte-ment limité par la présence de non-linéarités au voisinage de lavitesse nulle (frottement sec, seuil ou hystérésis de distributeur).Elles engendrent rapidement des cycles limites non-linéaires pourles consignes constantes. Les mêmes remarques s’appliquent auxcorrecteurs avance / retard.

■ Filtre réjecteur

Les limitations de gain de boucle imposées par la présence d’unmode hydraulique très peu amorti peuvent être repoussées en insé-rant dans la chaîne directe un filtre réjecteur, calé sur la fréquence dece mode. On utilise typiquement un filtre du second ordre géné-ralisé qui permet de substituer l’amortissement désiré à l’amor-tissement naturel ξh :

(24)

Les composantes fréquentielles situées au voisinage de la fré-quence du mode peu stable sont ainsi supprimées des signaux decommande, ce qui est très efficace pour la stabilité en réponse auxconsignes de position. Par contre, le filtre n’a pratiquement aucuneffet sur la stabilité vis-à-vis des perturbations introduites par l’effortextérieur qui agit directement sur la partie hydromécanique. Pour

Figure 6 – Corrections au niveau organique

Fonctionnetoujours

Fonctionnetoujours

Sipuissance

hydraulique

Fonctionnetoujours

Sipuissance

hydrauliqueSi

commande

Sipuissance

hydrauliqueSi

commande

Erreur souscharge

FiabilitéIntérêt

Précision

Erreur souscharge

dynamique

Erreur souscharge

tiroir fermé

Erreur souscharge Seuil

Erreur detraînageréduite

ξ*

C p( )Ue---- Ka

12ξhωh--------- s

1

ωh2------- s2+ +

12ξωh------- s

1

ωh2------- s2+ +

-----------------------------------------------= =*


cette raison, il peut être nécessaire d’introduire un amortissementminimal par une fuite en chambres. Enfin, l’utilisation du filtre réjec-teur n’est applicable que si la fréquence du mode oscillatoire évoluepeu avec les conditions de fonctionnement.

2.2.4 Correcteurs électriques type parallèle

Les correcteurs parallèles, réalisant un retour d’état partiel outotal, sont particulièrement efficaces pour les actionneurs électrohy-drauliques pour lesquels le mode hydromécanique domine. Ilsnécessitent hélas l’installation coûteuse de capteurs additionnels.Les bouclages internes ainsi réalisés linéarisent les effets non-linéai-res de la partie hydromécanique et autorisent des améliorations deperformance significatives. La substitution d’observateurs d’état àces capteurs réduit l’efficacité des retours. Ceux-ci utilisent en effetdes observations reconstruites, peu représentatives des signauxréels qui sont l’image des phénomènes non-linéaires.

Les modèles d’état utilisés intègrent rarement la dynamique dumodulateur de puissance qui dispose éventuellement d’un bou-clage spécifique à son constructeur. C’est pourquoi les retoursd’états usuels combinent seulement le retour en position, le retouren vitesse et l’un des trois retours : pression différentielle, accéléra-tion ou effort transmis. On se retrouve donc typiquement dans le casde la commande d’un système d’ordre 5 avec un retour d’état partiel

— le retour en vitesse à gain négatif (compensation du débit fonc-tionnel) permet d’améliorer la stabilité si la réduction induite de lapulsation propre hydraulique est toutefois acceptable ;

— le retour de pression différentielle (effet de fuite créé électri-quement) améliore fortement l’amortissement, modifie peu la pul-sation propre et augmente fortement la sensibilité à l’effortextérieur ;

— le retour en accélération améliore l’amortissement sans effetparasite.

Dans le cas où la dynamique de modulateur domine, le retour envitesse devient efficace alors que le retour en pression, affecté dudéphasage du modulateur ne présente plus d’intérêt pour la stabili-sation.

Compte tenu de ces remarques, il est possible d’exploiter lesrésultats de l’encadré 1 en procédant à un réglage en deux temps,dont l’effet sur les pôles est présenté sur la figure 7 :

— le retour en pression ou le retour en accélération sont utiliséspour stabiliser le mode hydraulique en arrivant éventuellement à unsuramortissement important. Le réglage est opéré pour l’inertieminimale et la raideur hydraulique maximale qui sont les plus péna-lisantes pour la stabilité. À noter que le retour d’accélération est trèspeu utilisé à cause de la difficulté d’obtenir un signal d’accélérationrelative (charge/structure) de bonne qualité. Bien entendu, dans lecas d’un vérin dissymétrique, les signaux de pression de chacune


de dimension 3.

(25)

avec KF (V/N) le gain de retour en effort, KV (V · s/m) le gain de retour en vitesse, Kγ (V · s

2/m) le gain de retour en accélération, K∆P (V/Pa) le gain de retour en pression.

Ce problème peut être donc être traité en aveugle par les appro-ches classiques de l’automatique linéaire (placement de pôles, com-mande LQG : linéaire quadratique gaussienne, etc.). Compte tenude la présence des défauts technologiques et des non-linéaritésstructurelles, l’expérience montre cependant que l’efficacité de lasynthèse du réglage de ce correcteur à trois paramètres est directe-ment liée à la perception physique que le concepteur a de chaqueretour. En particulier, la présence des non-linéarités produit des per-formances différentes selon le vecteur d’état retenu, contrairementaux résultats prévus par l’approche linéaire.

Si l’on néglige la dynamique de servovalve, l’effet fonctionnel desdifférents bouclages en pression, vitesse et accélération internes estmis en évidence par la modification apparente des paramètrescanoniques du transfert en position qui deviennent :

(26)

(27)

(28)

(29)

D’un point de vue fonctionnel, il en résulte que, vu les ordres degrandeur usuels :

— le retour de vitesse dégrade l’amortissement, augmente la pul-sation propre et n’affecte pas la sensibilité à la charge ;

des chambres doivent être amplifiés dans le rapport des surfaceseffectives lors de l’élaboration du signal de retour en pression pourêtre représentatifs de l’effort hydrostatique ;

— le retour en vitesse est ensuite appliqué pour augmenter lapulsation propre en ramenant l’amortissement à sa valeur optimale.Le retour de position est réglé en parallèle pour obtenir la réponsedésirée. Cette phase est conduite pour l’inertie de charge maximaleet la raideur hydraulique minimale.

Cette procédure est limitée par l’apparition d’instabilité des bou-cles internes qui est causée par les dynamiques parasites. En parti-culier, le tableau 3 montre que l’amortissement hydrauliqueapparent qui résulterait du seul bouclage en pression ou en accélé-ration est fortement limité par la première dynamique qui se mani-feste après le mode hydraulique (typiquement, le second ordre de laservovalve).

Le retour en effort transmis à la charge est fonctionnellement assi-milable au retour en pression (F = S∆P) si l’on néglige le rendementmécanique (en particulier, le frottement sec) et la masse mobile duvérin. Dans le cas où ces derniers effets ne sont pas négligeables,les choix de l’un ou de l’autre ne sont pas neutres vis-à-vis des per-formances.

Le comportement statique est généralement dégradé par la pré-sence des retours internes à gain positif. Il est malgré tout com-pensé par l’augmentation du gain de boucle de position permise parleur présence. En particulier, l’erreur sous charge est largement aug-mentée par le retour en pression. Cet effet peut être supprimé enstatique par le filtrage passe-haut du retour en pression qui doitcependant rester efficace à la fréquence du mode hydraulique. Onréalise alors un retour en pression dynamique, de la forme :

avec ω∆P


Figure 7 – Lieu des pôles en boucle ouverte de position

Im

Re

0

0

11

2 2

0

1

2

pôles initiaux

après retour en pression ou accélération

puis retour en vitesse

0 0,5 1 1,5 20

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

Temps (s)

Posi

tio

n (

m)

0 0,5 1 1,5 20

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

Temps (s)

Posi

tio

n (

m)

commande proportionnelle purea


L’efficacité de cette procédure est illustrée par la figure 8 pourωsv = 3ωh. Un échelon de consigne de position de 0,01 m est appli-qué à t = 0 puis échelon de perturbation d’effort extérieur est appli-qué à t = 1 s.

La raideur dynamique rp de l’asservissement ainsi réalisé est pré-sentée sur la figure 9.

2.2.5 Correcteurs électriques par anticipation

Bien qu’elle soit peu utilisée, l’anticipation peut améliorer trèsefficacement la précision statique et dynamique de l’actionneur.Idéalement, la composante d’anticipation Ua de la commande U per-mettant d’annuler l’écart d’asservissement est calculée en rempla-çant X par X* dans l’équation (13) :

(30)

Pour assurer la robustesse de l’anticipation malgré l’incertitude etla variation paramétrique du modèle de conduite linéaire, il estimpératif de limiter l’anticipation aux basses fréquences, sous laforme :

(31)

avec αav le facteur d’anticipation en vitesse, αaf le facteur d’anticipation en effort.

Il apparaît que l’anticipation en vitesse de consigne n’utilise que legain matériel pour compenser le comportement en bassefréquence de l’actionneur commandé en position. La principalesource de variation de ce gain est introduite par le gain débit /commande qui demeure toutefois acceptable si l’excursion de lapression différentielle reste dans les limites recommandées (§ 1.3.1).Le facteur d’anticipation en vitesse αav permet de régler l’impor-tance de cette anticipation pour tenir compte cette incertitude.

L’anticipation d’effort est délicate à réaliser, même à l’ordre 1, àcause des paramètres variables τh et Kf. C’est pourquoi il est préfé-rable de se limiter à compenser la souplesse de l’asservissementpar le gain . Dans ce cas, l’installation d’un capteur d’effort

extérieur peut être évitée en utilisant le signal de pression différen-tielle affecté d’un filtrage passe-bas qui représente de façon accep-table l’effort externe statique. On aboutit alors à un retour enpression positif qui contribue à compenser l’erreur sous charge sta-tique. Là aussi, il convient de n’utiliser qu’une compensationpartielle pour éviter les problèmes liés aux divers frottements (fac-teur ).

En pratique, et dans le cas de l’utilisation de correcteurs comple-xes, il est préférable d’appliquer le signal d’anticipation en aval desretours internes et des correcteurs série éventuels. Le gain statiqued’anticipation doit donc être calculé en conséquence.

2.2.6 Influence des élasticités parasites

L’effet des élasticités d’ancrage et de transmission a été supposénégligeable lors des développements précédents. En pratique, ellesse combinent avec l’effet inertiel des masses fixes et mobiles del’actionneur pour introduire des modes supplémentaires, caractéri-sés par des combinaisons pôle / zéro très peu amorties. Leur priseen compte systématique rend les développements analytiques sou-vent inutiles et rapidement lourds, sauf dans certains cas particu-liers. Il est donc nécessaire d’évaluer dans un premier temps leurimportance pour décider si leur introduction dans le modèle deconduite s’impose. Dans l’affirmative, l’analyse et la synthèse de lacommande sont alors traitées numériquement à l’aide des logicielsde CAO (conception assistée par ordinateur) de l’automatique. Un

Ua1 Af S2⁄+( ) SGsv

KQU-------------------------------------------------= 1

2ξhωh---------+ s 1

ωh2-------+ s2

Ẋ*KfS

KQU-----------Gsv 1 τhs+( )Fe+

UaS

KQU-----------= αavẊ*

KfS

KQU-----------αafFe+

S K⁄ QU

KfS KQU⁄

Figure 8 – Efficacité des retours d’état

0 0,5 1 1,5 20

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

Temps (s)

Posi

tio

n (

m)

commande avec retour en pression et en vitesseb

commande avec retour en pression dynamique et en vitessec

αaf


Du point de vue de la stabilité, cette disposition introduit des pro-blèmes de gouvernabilité ou d’observabilité. La charge peut alorsosciller sur les raideurs d’ancrage et de transmission, sans mouve-ment relatif tige/corps et donc de façon imperceptible pour la com-mande.

Si les effets structuraux ne sont pas négligeables, le concepteurdoit alors analyser, lorsque c’est possible, plusieurs solutions quantà l’emplacement des capteurs de position ou de vitesse. Il est cepen-dant préférable que ces effets soient évalués et maîtrisés dèsl’avant-projet par le conditionnement modal.

2.2.7 Commande non-linéaire

Tout en restant globalement dans l’approche linéaire, la com-mande de l’actionneur peut tirer profit d’actions linéarisanteslocales :

— variation du gain en fonction de la position du vérin pour tenircompte de la variation de la fréquence du mode hydraulique ;

— variation du gain en fonction de la charge hydraulique du dis-tributeur pour compenser les changements de gain KQU et KQP ;

— compensation des efforts perturbateurs (gravité, frottementsec, etc.).

La figure 11 récapitule les choix possibles et la procédure à adop-

Rapport Fe /X

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000120

140

160

180

200

220

f (Hz)

Am

plit

ud

e d

e F e

/X (

dB

)

Sans fuiteSans fuite ModeModehydraulique

Modehydraulique

c

a

b

– 400

– 350

– 300

– 250

– 200

– 150

– 100

Ph

ase

de

F e/X

(°) ModeMode

hydrauliqueMode

hydrauliquec

ab


exemple de modèle de conduite linéaire incluant les élasticités destructure est présenté sur la figure 10.

C’est l’analyse vibratoire ([S 7 530], § 5) qui permet de déterminerrapidement quel modèle doit être adopté. Les raideurs d’ancrage etde transmission peuvent être négligées si la fréquence du modepropre dominant est voisine de la fréquence propre hydraulique.Dans le cas contraire, il est souvent possible de négliger l’inertie del’actionneur devant celle de la charge pour ne considérer quel’influence des élasticités parasites sur le mode propre hydroméca-nique qui devient :

avec (32)

avec re (N/m) la raideur équivalente.

Lorsque les raideurs structurelles affectent la fréquence du modehydromécanique, les performances de la commande en positionsont étroitement dépendantes du signal de position utilisé pour lebouclage. D’une façon générale, c’est la position relative la positionrelative charge / structure porteuse (Xc) qui doit être asservie, alorsque la disposition industrielle commune consiste à mesurer le mou-vement relatif (Xr = Xt − Xb) des parties fixe et mobile du vérin. Dupoint de vue de la précision, cette solution introduit un écart statiqueavec la position relative à asservir qui peut être facilement com-pensé si l’effort est mesuré :

(33)

avec Xr (m) la position relative tige / corps utilisée pour lacommande.

ter pour la correction électrique des actionneurs hydrauliques com-mandés en position.

3. Commande en vitesse

La commande en vitesse s’applique essentiellement au mouve-ment de rotation. Deux types d’architecture de puissance peuventêtre utilisés en pratique pour la commande en vitesse électro-hydraulique :

— la modulation de puissance par distributeur associé à unesource à pression constante est très dynamique mais son rende-ment est médiocre si la vitesse moyenne est non nulle ([S 7 530],§ 4.2.1). Comme c’est l’architecture utilisée pour la commande enposition analysée au paragraphe 2, le modèle de conduite est directe-ment fourni par la dérivation temporelle du modèle de conduite (13) ;

— l’utilisation d’une transmission hydrostatique à réglage decylindrée de pompe et/ou de moteur permet d’obtenir d’excellentsrendements. Par contre, la dynamique est médiocre à cause de laforte capacité hydraulique présentée par les canalisations reliant lapompe et l’actionneur et du temps de réponse du réglage de cylin-drée (typiquement 100 ms). Le modèle de conduite est structurelle-ment identique au modèle précédent et le comportement naturel estplus linéaire à cause de l’absence d’influence de la charge hydrau-lique sur le gain de boucle.

Dans ces deux cas, le modèle de conduite est donc défini par untransfert de la forme :

(34)

avec Kv le gain de boucle de vitesse,

Ω (rad/s) la vitesse angulaire de l’ensemble de la partietournante,

G(s) la fonction de transfert de la dynamique demodulateur (servovalve ou ensemble demodulation de cylindrée),

Ce (N · m) le couple extérieur sur la charge.

L’absence d’intégrateur naturel est pénalisante pour la précisionen régime établi. Cela conduit souvent à adopter une commande de

Figure 9 – Influence des retours d’état sur la raideur dynamique

Phase de Fe /X

0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000f (Hz)

a commande proportionnelle pureb commande avec retour en pression et en vitessec commande avec retour en pression dynamique et en vitesse

ωhremc--------= re rc

1

1ra-----

1rh-----

1rt----+ +

----------------------------+=

Xc Xrra rt+

rart--------------- Fe–=

Ω 1

12ξhωh--------- s

1ωh------- s2+ +

----------------------------------------------- Kv

G s( )------------ Ω Ω–( ) Kf 1 τhs+( )Ce–=

*


Tige

Vt /2βKQU/Gsv(s) 1/s S

S

A

–

–

–

–

–

–

–

rt

rt

f

1/mb 1/s 1/s

1/mt Xt

Xb

1/s 1/s

–

U

Chambres

∆P

Corps


type PI permettant théoriquement d’annuler l’erreur statique et deborner l’erreur de traînage.

La stabilisation du mode hydraulique reprend des solutions utili-sées pour la commande en position. Pour la première architecture,l’amortissement du mode hydraulique augmente globalement avecla vitesse : l’ouverture de distributeur nécessaire à la délivrance dudébit fonctionnel augmente le gain débit / pression KQP qui contri-bue à la valeur globale du paramètre A et donc de ξh. Malheureuse-ment, la variation du gain débit / ouverture qui se manifeste enparallèle risque d’affecter les performances. Il peut alors être utilede mettre en œuvre une compensation de la caractéristique non-linéaire (8) du distributeur par non-linéarité inverse.

L’anticipation à l’ordre 0 filtrée de la consigne permet d’élaborerdirectement une partie du signal de commande nécessaire à laréalisation de la consigne de vitesse. Le débit fonctionnel est alorspartiellement fourni par ce signal, au lieu d’être le résultat de l’erreurd’asservissement. Cette solution permet de limiter le gain intégral etles inconvénients qui en découlent.

Le retour en effort transmis (ou de son image obtenue à partir dela pression différentielle dans le moteur) permet également deréduire efficacement l’erreur sous charge ou d’améliorer la stabilitéselon le signe et le filtrage utilisés.

L’ensemble de ces dispositions est récapitulé sur la figure 12.

Nota : l’asservissement de vitesse est sensible aux effets de commutation spécifiquesaux pompes ou aux moteurs ([S 7 530], § 5.2.4).

4. Commande en effort

La commande en effort concerne surtout les bancs d’essais ou lesdispositifs d’assistance : reproduction des efforts antagonistes surles équipements, application de charges cycliques pour test en fati-gue ou en endurance, test d’amortisseurs, téléopération, etc. Com-parée à la commande en position, elle est beaucoup plus délicate àmettre en œuvre car elle s’applique à une variable d’état qui est bienplus dynamique. Les vibrations de structure, la raideur de capteurd’effort, les pulsations de pression engendrées par la générationhydraulique ou par la vibration des lignes hydrauliques, le retardintroduit par la commande numérique et la dynamique des chaînesde mesure sont autant de dynamiques parasites, difficiles à modéli-ser a priori en détail, qui conditionnent largement les performancesfinales. C’est pourquoi la conception préliminaire revêt ici un carac-tère déterminant.

L’architecture générale d’une commande en effort électrohydrauli-que est présentée sur la figure 13. L’actionneur doit appliquer à lacharge un effort Fe, fixé par la consigne . Sous l’effet de cetteaction, la position X de la charge évolue en entraînant la tige devérin. L’utilisation d’un modulateur en débit se généralise audétriment du modulateur en pression qui doit être adapté à chaqueapplication (spécification hors liste).

Figure 10 – Modèle de conduite de l’actionneur avec élasticités de structure

Charge

Fe

––

N

1/mc 1/s 1/s Xc

N

rc

Seul le frottement tige/corps est modélisé.

La raideur de transmission est ramenée sur l'axe de tige de vérin.

La transposition au cas de la rotation est réalisé à l'aide de l'encadré 2.

Fe*


Système hydromécaniqueDistributeur, vérin, transmission, charge et capteurs

Intégrateur + deuxpôles complexes

Intégrateur + deuxpôles réels

Filtre trou(mode peu variable ?)

Série

Action I du PID

Série

Retour positif

Parallèle

Action D du PID Retour en vitesse

ParallèleSérie

Filtre passe-bas(dynamique servovalve ?)

Série

Retours en pression oueffort ou accélération(stabilité des boucles

internes ?)

Parallèle

Am

élio

rati

on

de

la s

tab

ilité

Au

gm

enta

tio

n d

u g

ain

de

bo

ucl

e lim

ite

on


4.1 Modèle de conduite

On s’intéresse désormais à l’effort transmis par le vérin à lacharge. On établit alors le transfert en effort de l’ensemble vérin +servovalve à partir de l’équation (13). Dans ce cas, la masse à pren-dre en considération est seulement la masse globale sur la tige mt,du côté gauche du capteur d’effort sur la figure 13.

(35)

Ce résultat montre que l’effort transmis est directement affectépar la vitesse de charge qui agit comme une perturbation. Pour con-trer cet effet, le distributeur doit fournir le débit destiné à compenser

Figure 11 – Organigramme de correction électrique d’un asservissement hydraulique de position

Figure 12 – Architecture type d’une commande en vitesse

(risque d'oscillationsnon-linéaires ?)

basse fréquence enpression ou en effort

Filtrage passe-hautdes retours en pression

ou en effort

Parallèle ou anticipation

Anticipationvitesse ou

accélération

Anticipation

Compensationgravité, frottementsec ou distributeur,

position

Non-linéaire

Am

élio

rati

on

de

la p

réci

sist

atiq

ue

et d

ynam

iqu

eΩ PID

Ce

Y

U

∆P

K

V *

ΩV Ω

Anticipationà l'ordre 0

filtrée –

Retour eneffort

transmis

Tension de consigne

Tension de retour

Compensationde gain non-

linéaire

ou

Ω

Fe

1 Af

S2------+

Kf 1 τhs+( )-----------------------------

KQU

S 1 Af

S2------+

Gsv s( )---------------------------------------------- U 1

2ξhωh--------- s

1

ωh2------- s2+ +

sX–=


la variation de volume des chambres qui résulte du mouvement detige. Ce débit peut être beaucoup plus élevé que le débit de com-pressibilité qui engendre la variation de pression différentiellenécessaire à la réalisation de l’effort désiré. Cet effet perturbateurest donc fort pénalisant dans le cas de vitesses importantes pourlesquelles le débit fonctionnel devient prépondérant devant le débit

Figure 13 – Structure de commande en effort

Fe

X+KF

Anticipation

Fe* eF U i

VFe

???

Retours d'état

–U/I

Masse mobilemt

Vérin + servovalve Capteurd'effort

F/U

FeV *

Fe

F fc

rc

mc

X+

Xe+


de compressibilité. La servovalve est alors dimensionnée par lavitesse de charge, alors que la modulation d’effort est assurée parseulement quelques pour-cent du signal de commande nominal quirisquent de se noyer dans les défauts statiques.

La relation entre l’effort transmis par le vérin et la position de tigeest fixée par l’impédance de charge. Dans le cas générique de lafigure 14, cette caractéristique est obtenue après transformation deLaplace de l’équation dynamique de la masse mc :

(mcs2 + fcs + rc)X = Fe + (fcs + rc)Xe − Fc

avec fc (N · s/m)le coefficient de frottement visqueux équivalentà la charge,

Fc (N) l’effort appliqué sur la charge,

Xe (m) la position d’excitation.

La substitution de la position de tige entre les deux équations pré-cédentes fournit alors le transfert en effort dans le cas général :

(36)

La sensibilité par rapport à la commande est donc régie par qua-tre dynamiques :

— le second ordre au numérateur (de pulsation naturelle

et d’amortissement réduit ) correspondant

au mode mécanique de la charge seule (côté droit du capteurd’effort) ;

— au dénominateur, le second ordre de la servovalve (ωsv, ξsv) ;— au dénominateur, le mode hydromécanique global de

l’ensemble des parties mobiles (à rapprocher du terme de gauchede l’équation (12). Si A = 0 ou rc = 0, il dégénère en intégrateur et ensecond ordre de pulsation propre non amortie ωg (rad/s) et d’amor-tissement réduit ξg :

et

— dans le cas contraire, si rc


tions, il apparaît que ω0


Encadré 1 – Systèmes du troisième ordre

La synthèse de la commande des actionneurs électrohydrauliques se ramène souvent au cas de l’étude d’un système dont la fonction detransfert en boucle ouverte est du troisième ordre et présente soit une intégration, soit un premier ordre à basse fréquence.

et ω0


ce retour est équivalent à un retour positif en dérivée d’effort, doncdéstabilisateur, si la charge est purement élastique.

La réduction du gain débit / commande du distributeur en fonc-tion de l’effort engendré dégrade les performances pour les effortsmoteurs élevés. La compensation de cette variation (8) par une non-linéarité inverse s’avère alors efficace. Cette action requiert le signalde pression différentielle et le signal représentatif de l’ouverture dudistributeur qui est rarement disponible. Dans de nombreux cas,elle peut être réalisée en utilisant à la place de ces signaux, l’effortmesuré et le signal de commande sur lequel on applique un filtragereprésentatif de la dynamique du modulateur.

Enfin, l’anticipation à l’ordre 1 de la consigne permet de réduirel’erreur de traînage ou le déphasage sans altérer la stabilité.

L’ensemble de ces possibilités est récapitulé sur la figure 15.

L’utilisation du signal de pression différentielle dans le vérin à laplace du signal d’effort pour réaliser la boucle d’effort est rare. Lemodèle de conduite est légèrement modifié et cette solution est peuprécise à cause des pertes par frottement dans le vérin. Si cette solu-tion est malgré tout utilisée, la plupart des considérations précéden- Figure 17 – Influence d’une dynamique parasite

0 0,4 0,8 1,2 1,6 1,80,2 0,6 1 1,4 20

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

Coefficient d'amortissement ξ du second ordre initial

Gai

n d

e b

ou

cle

réd

uit

du

2n

d o

rdre

init

ial K

v/ω

n

InfInf

10

4

21,5

10,75

0,5

0,25

0,1

Inf

10

4

21,5

10,75

0,5

0,25

0,1

Fréquence naturelle 2e second ordre parasite

Fréquence naturelle second ordre initial


tes demeurent toutefois applicables.

(0)

(0)Figure 16 – Gain de boucle admissible

Encadré 2 – Transposition translation-rotation

Les développements conduits dans le cas d’un mouvementde translation peuvent être facilement transposés au cas d’unmouvement de rotation à l’aide du tableau 4.

Les relations entre les efforts et les déplacements de la pre-mière partie du tableau 5 permettent de ramener les paramè-tres en entrée ou en sortie de transformateur de mouvementmécanique (rotation-translation ou translation-rotation) à partirde l’équation dynamique de la charge. Les indices utilisés sont cpour charge, m pour moteur et v pour vérin. D’une façon géné-rale, il apparaît que les efforts sont dans le rapport N, les posi-tions dans le rapport 1/N et les paramètres dans le rapport N2.

Le rapport N est le bras de levier pour un vérin attelé à unecharge en rotation. Il est égal à l’inverse du pas de vis dans lecas d’un moteur hydraulique associé à une charge en transla-tion par l’intermédiaire d’un système vis - écrou. Il faut par con-tre prendre garde d’exprimer le pas en m/rad au lieu de m/tr.

0 1 2 3 4 50

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Coefficient d'amortissement ξ

Gai

n d

e b

ou

cle

réd

uit

Kv

/ωn

Pente 1

Surtension en boucle fermée 2,3 dB

Surtension en boucle fermée 0 dB

Temps de remps de réponse minimumponse minimum

Pôle en boucle fermée alignés

Pente 1

Surtension en boucle fermée 2,3 dB

Surtension en boucle fermée 0 dB

Temps de réponse minimum

Pôles en boucle fermée alignés

Tableau 4 – Transposition translation-rotation

Translation Rotation

Variables

Position X (m) θ (rad)

Vitesse v (m/s) Ω (rad/s)

Accélération γ (m/s2)

Effort F (N) C (m · N)

Paramètres

Raideur r (N/m) r (m · N/rad)

Frottement visqueux f (N · s/m) f (m · N · s/rad)

Masse m (kg) I (m2 · kg)

Cylindrée unitaire S (m2) V0 (m3/rad)

Tableau 5 – Réduction des paramètres en entrée ou en sortie de transformateur

Moteur hydraulique +charge en translation

Vérin rectiligne + charge en rotation

Rapport de transmission

N (rad/m) N (m/rad)

Efforts Fc = NCm Cc = NFv

Positions Xc = θm/N θc = Xv/N

Raideur rc = N2rm rc = N

2rv

Frottement visqueux fc = N2fm fc = N

2fv

Inertie mc = N2Im Ic = N

2mv

Ω̇ rad/s 2 ( )

Actionneurs hydrauliques1. Modèle de conduite1.1 Équations de base, linéarisation – réduction1.1.1 Modulateur de puissance1.1.2 Équation de continuité1.1.3 Équation dynamique

1.2 Modèle de conduite1.2.1 Fonction de transfert1.2.2 Modèle d’état

1.3 Analogie électrique. Considérations sur la non-linéarité1.3.1 Non-linéarité du distributeur de puissance1.3.2 Non-linéarité de position1.3.3 Cas des vérins non symétriques

2. Commande en position2.1 Commande proportionnelle pure2.1.1 Analyse2.1.2 Effet des non-linéarités

2.2 Correcteurs pour l’asservissement de position2.2.1 Conception optimale2.2.2 Actions de correction au niveau organique2.2.3 Correcteurs électriques type sérieCorrecteur PIDFiltre réjecteur

2.2.4 Correcteurs électriques type parallèle2.2.5 Correcteurs électriques par anticipation2.2.6 Influence des élasticités parasites2.2.7 Commande non-linéaire

3. Commande en vitesse4. Commande en effort4.1 Modèle de conduite4.2 Commande proportionnelle4.3 Charge bloquée4.3.1 Pas de charge4.3.2 Charge libre4.3.3 Conception optimale

4.4 CorrectionEncadré�1 – Systèmes du troisième ordrePrécision et rapiditéStabilité

Encadré�2 – Transposition translation-rotation

Actionneurs hydrauliques - cours, examens · 2017. 7. 3. · Actionneurs hydrauliques Commande par...

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