Acétates du chapitre 2 (partie 1)

Cours MEC1420: Chapitre 2 – Chargement uniaxial

MEC1420Chap.1

Notions de base

Chap.21er mode de chargement:traction – compression

Chap.3,4,52e mode de chargement:

flexion

Chap.63e mode de chargement:

torsion

Chap.7,8,9Théorie de l’élasticité Chap. 10

Capacité de résistance


QuQu’’estest--ce que le chargement ce que le chargement uniaxialuniaxial ??

traction

compression


OOùù trouvetrouve--tt--on de lon de la tractiona traction/compression/compression ??


,

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

x xy xz

ij yx y yzI xyz

zx zy z

σ τ τσ τ σ τ

τ τ σ

Chargement uniaxial: les contraintes

Iz

x

y

σx

σx

σx

σx

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

,

0 00 0 00 0 0

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

ij I xyzσ

σx

P

P

x

y

z

I


Chapitre 2: Chargement Chapitre 2: Chargement uniaxialuniaxial

P

P

A, D

Ao, DoLo

x

Déformation axiale:

εx =

z

Déformation transversale:

εy =

εz =

Lo + δx

δx = allongement

Déformations normales

y


Compression ou traction:

traction compression

P

P

P

Py z

x

εx (δx) 0

εy, εz 0><εx (δx) 0

εy, εz 0

><


Chargement uniaxial: les déformations

Iz

x

P

P

x

y

z

I

σx

σx

,

2 2

2 2

2 2

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

xy xzx

yx yzij yI xyz

zyzxz

γ γε

γ γε ε

γγ ε

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

,

0 00 00 0

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

ij I xyzε

εx

−νεx−νεx


Exemple 2.1:

Contraintes barreau 1, 2, 3?

Déplacement en A?


Dilatation thermique: contraintes et déformations

z

x

y[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

,

0 0 00 0 00 0 0

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

ij I xyzσ

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

,

0 00 00 0

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

ij I xyzε

α∆Tα∆T

α∆T


Relations allongement – déplacement:

Hypothèses:• poids des barres négligées;• charges aux nœuds uniquement;• membrures à 2 forces;• petites déformations δAB << L

(donc ∆θ ~ 0)

Par définition: AB’ = AB + δAB

vBuB

B’

∆θ

A

θ

x

B

L

y membrure AB

δ AB

Position finale

L.cosθ

L.sinθ

G

On cherche: δAB= f(uB,vB)?


Relations allongement – déplacement: exemple

σBD? σCD? uD? vD?

DCL AU JOINT D:

tous les joints sont de type pivot

Exemple 2.6


B(rotule)

C(rotule)

D

D1

D’’D’

49,6°

δBD

δ CD

uD

vD

αβD2


Méthode de résolution de problèmes

1. Faire DCL(s) (incluant les réactions)

2. Écrire équations d’équilibre(incluant efforts internes à la coupure)

Si isostatique(i.e. nb inconnues = nb équations)

Si hyperstatique(i.e. nb inconnues > nb équations)

3. Établir conditions de compatibilitégéométrique (relations entre les δi)

4.Appliquer relations forces-allongementsdes compatibilités (Pi=ki*δi, ou δi=Pi/ki)

5. Résoudre système d’équationsForces externes

Forces internes–contraintesAllongements-déplacements

3 Résoudre système d’équationsForces externes

Forces internes-contraintes

5. Compatibilité géométrique(relations entre les δi)

4. Relation force-allongement(Pi=ki*δi, ou δi=Pi/ki)

Allongements-déplacements


Exemple 2.5:Barreau 1 : A1 = 1000 mm2

E1 = 100 GPaα1 = 20 x 10-6 °C-1

Barreau 2 : A2 = 500 mm2E2 = 70 GPaα2 = 13 x 10-6 °C-1

σ1? σ2? ∆B?

F1 F2

DCL: ∆T = 30ºC


Exemple 2.5:

État initial

État final (supposé)

L1 L2

L1 + δ1 L2 + δ2

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Engineering

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