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Ele tromagnétisme I : Aix-Marseille Université22 septembre 2014

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Table des matières1 Systèmes de oordonnées et ve teurs 61.1 Systèmes de oordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1 Repère artésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Repère ylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Le hamp éle trostatique 162.1 Notions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.1 Phénomènes éle trostatiques : notion de harge éle trique . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Stru ture de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.3 Matériaux isolants et matériaux ondu teurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 For e et hamp éle trostatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.1 La for e de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Champ éle trostatique réé par une harge pon tuelle . . . . . . . . . . . . . . 202.2.3 Champ réé par un ensemble de harges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.4 Exemple : hamp réé par un segment ni de harge . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Propriétés de symétrie du hamp éle trostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.1 Quelques Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Lois fondamentales de l'éle trostatique 273.1 Flux du hamp éle trostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.1 Lignes de hamp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.2 Dénition de ux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.3 Notion d'angle solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.4 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.5 Exemples d'appli ations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.6 Cir ulation du hamp éle trostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.7 Potentiel réé par une harge pon tuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1.8 Potentiel réé par un ensemble de harges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Equations diérentielles et intégrales de l'éle trostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.1 Forme lo ale du théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.2 Dérivation de la forme lo ale de Gauss (esquisse) . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.3 Equations fondamentales de l'éle trostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.4 Equation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Condu teurs en équilibre 404.1 Condu teurs isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.1 Notion d'équilibre éle trostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

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Ele tromagnétisme TABLE DES MATIÈRES4.1.2 Quelques propriétés des ondu teurs en équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.3 Pression éle trostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.4 Pouvoir des pointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.5 Capa ité d'un ondu teur isolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.6 Superposition des états d'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Systèmes de ondu teurs en équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.1 Théorème des éléments orrespondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.2 Phénomène d'inuen e éle trostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.3 Coe ients d'inuen e éle trostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Le ondensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.1 Condensation de l'éle tri ité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.2 Capa ités de quelques ondensateurs simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3.3 Asso iations de ondensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Complément : Relations de ontinuité du hamp éle trique . . . . . . . . . . . . . . . . 545 Diple éle trique - Energie éle trostatique 565.1 Le diple éle trostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.1 Potentiel éle trostatique réé par deux harges éle triques . . . . . . . . . . . . 565.1.2 Champ éle trique à grande distan e d'un diple : r ≫ d . . . . . . . . . . . . . 585.1.3 Développements multipolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Diéle triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2.1 Champ réé par un diéle trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.2 Le ve teur polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.3 Condensateur ave diéle trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.4 Dépla ement éle trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.5 Condensateur et dépla ement éle trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3 Energie potentielle éle trostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3.1 Energie éle trostatique d'une harge pon tuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3.2 Energie éle trostatique d'un ensemble de harges pon tuelles . . . . . . . . . . 655.3.3 Energie éle trostatique d'une distribution ontinue de harges . . . . . . . . . . 665.3.4 Energie sto kée dans le hamp éle trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3.5 Energie éle trostatique d'un ondu teur en équilibre . . . . . . . . . . . . . . . 685.3.6 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.4 A tions éle trostatiques sur des ondu teurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.4.1 Notions de mé anique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.4.2 Cal ul dire t des a tions éle trostatiques sur un ondu teur hargé . . . . . . . 725.4.3 Cal ul des a tions à partir de l'énergie éle trostatique(Méthode des travaux virtuels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4.4 Exemple du ondensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4.5 Exemple du diple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756 Courant et hamp magnétique 776.1 Courant et résistan e éle triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.1 Le ourant éle trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2 Le hamp magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2.1 Bref aperçu historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2.2 Nature des eets magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.3 Expressions du hamp magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

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Ele tromagnétisme TABLE DES MATIÈRES6.3.1 Champ magnétique réé par une harge en mouvement . . . . . . . . . . . . . . 836.3.2 Champ magnétique réé par un ensemble de harges en mouvement . . . . . . . 846.3.3 Champ réé par un ir uit éle trique (formule de Biot et Savart) . . . . . . . . 846.3.4 Propriétés de symétrie du hamp magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.4 Cal ul du hamp dans quelques as simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4.1 Champ réé par un segment de l re tiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4.2 Champ réé par un l inni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.4.3 Spire ir ulaire (sur l'axe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.4.4 Champ d'un solénoïde ni (sur l'axe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.4.5 Solénoïde inni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 Lois fondamentales de la magnétostatique 927.1 Flux du hamp magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.1.1 Conservation du ux magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.1.2 Lignes de hamp et tubes de ux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.2 Cir ulation du hamp magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2.1 Cir ulation du hamp autour d'un l inni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.3 Le théorème d'Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.3.1 Relations de ontinuité du hamp magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.4 Potentiel ve teur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.5 Quatre façons de al uler le hamp magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.6 Le diple magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.6.1 Champ magnétique réé par une spire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018 Champ magnétique en présen e de la matière 1058.1 Le modèle du diple en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.2 La magnétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.3 Le hamp H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079 A tions et énergie magnétiques 1099.1 For e magnétique sur une parti ule hargée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.1.1 La for e de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.1.2 Traje toire d'une parti ule hargée en présen e d'un hamp magnétique . . . . 1109.1.3 Distin tion entre hamp éle trique et hamp éle trostatique . . . . . . . . . . . 1119.2 A tions magnétiques sur un ir uit fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.2.1 La for e de Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.2.2 Dénition légale de l'Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1149.2.3 Moment de la for e magnétique exer ée sur un ir uit . . . . . . . . . . . . . . 1149.2.4 Exemple du diple magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.3 Energie potentielle d'intera tion magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.3.1 Le théorème de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.3.2 Energie potentielle d'intera tion magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189.3.3 Expressions générales de la for e et du ouple magnétiques . . . . . . . . . . . . 1199.3.4 La règle du ux maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.4 Lapla e et le prin ipe d'A tion et de Réa tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

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Ele tromagnétisme TABLE DES MATIÈRES10 Indu tion éle tromagnétique 12310.1 Les lois de l'indu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.1.1 L'appro he de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310.1.2 La loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12410.1.3 La loi de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12710.2 Indu tion mutuelle et auto-indu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810.2.1 Indu tion mutuelle entre deux ir uits fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810.2.2 Auto-indu tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.3 Régimes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.3.1 Dénition du régime quasi-stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.3.2 For es éle tromotri es (fém) induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.4 Retour sur l'énergie magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.4.1 L'énergie magnétique des ir uits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.4.2 Forme intégrale de l'énergie magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210.4.3 Bilan énergétique d'un ir uit éle trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13411 Annexe des mathématiques 13511.1 Formules utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13511.2 Analyse ve torielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13511.2.1 Le ux d'un hamp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13511.2.2 La divergen e du hamp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.2.3 Le rotationnel d'un hamp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.2.4 L'opérateur nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.3 Théorème de Green-Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13711.3.1 Enon é général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13711.3.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.4 Théorème de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.4.1 Enon é général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.4.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.5 Identités d'analyse ve torielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13911.6 Exer i es d'Analyse ve torielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5

Page 6: able - Fresnel

Chapitre 1Systèmes de oordonnées et ve teurs1.1 Systèmes de oordonnées1.1.1 Repère artésienRepérage d'un point en oordonnées artésiennesUn repère artésien est déni par un point origine O et trois axes (Ox,Oy,Oz) perpendi ulairesentre eux (voir gure 1.1a)). Les ve teurs unitaires portés par les axes sont : −→u x,

−→u y,−→u z que nousallons le plus souvent dénoté simplement par x, y, et z.

M ’

O

z

x

y

Mz r

M ’

O

z

M

z

x

A( )M

a) b)

y

x

y

x

y

Figure 1.1 Repère artésienOn doit bien noter la disposition relative des dire tions (Ox,Oy,Oz). Telles qu'elles sont pla ées,elles dénissent un trièdre dire t. Dans un tel trièdre, un bonhomme transper é des pieds à la tête parOy, regardant la dire tion Oz, a la dire tion Ox à sa gau he. On peut noter aussi que Ox,Oy, et Ozsont respe tivement orientés selon les dire tions de l'index, du majeur, et du pou e de la main droite.Un point M de l'espa e est repéré par les trois omposantes du ve teur −→r joignant O à M (voir g.1.1a) :

−→r (x, y, z) =−−−→OM = xx+ yy + zz (1.1)

M ′ est la proje tion de M dans le plan (xOy). Les omposantes x et y de −→r sont les oordonnées dupoint M ′ dans e plan. La omposante z est obtenue en traçant la parallèle à OM ′ passant par M . Ondira indistin tement qu'un objet se trouve au point M ou en −→r .6

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Ele tromagnétisme 1.1. SYSTÈMES DE COORDONNÉESRepérage d'un ve teur en oordonnées artésiennesQuand il s'agit de repérer un ve teur −→A (M) dont le point d'appli ation est situé au pointM(x, y, z),ou −→r (x, y, z), on peut dé rire e ve teur ave le même base de ve teurs unitaires x, y, z (voir g.1.1b)).Nous appelons don x, y, z, un répère orthonormé global par e qu'on peut l'utiliser à dé rire un ve teurayant n'importe lequel point d'appli ation.Dépla ement (diérentielle) en oordonnées artésiennesLa diérentielle de la position se trouve fa ilement à partir de sa dénition :d−−−→OM ≡

∂−−−→OM

∂xdx+

∂−−−→OM

∂ydy +

∂−−−→OM

∂zdz = xdx+ y dy + z dz (1.2)La diérentielle volume autour d'un point, dV, orrespond au produit des trois diérentielles de dépla- ement

dV = dxdydz (1.3)On en déduit également la diérentielle de surfa e orientée −→dS

−→dS = xdydz + ydxdz + zdxdy (1.4)Exemple - Densité de harge :La plus souvent en physique, on ne parle pas de harges pon tuelles, mais de densité volumiquede harge, ρ(−→r ), distribuée dans un gaz, liquide, plasma ou objet solide. La densité de harge, ρv(−→r ),est analogue à la densité de masse étudiée en ours de mé anique : notamment, si l'on onsidère undiérentielle de volume, dV autour du point −→r qui enferme une quantité harge appelée dq, la densitévolumique de harge en e point s'é rit par déntion :

ρv(−→r ) ≡

dq

dV(1.5)La harge totale, Qtot dans un volume V quel onque s'obtient en intégrant ρv sur e volume,

Qtot =

∫∫∫

V

ρv(−→r )dV (1.6)Exer ises résolus :1. On onsidère une densité volumique de harge donnée par ρv (x, y, z) = ρ0

a6xy2z3 à l'intérieur d'un ube de té, a (le ube o upe la région a > x > 0, a > y > 0, et a > z > 0 et ρ0 et a sont des onstantes). La harge totale ontenue dans le ube est obtenue en intégrant sur le volume :

Qcube =

∫∫∫

cube

ρ (x, y, z) dV =

∫ a

0dx

∫ a

0dy

∫ a

0dz

ρ0a6

xy2z3

=ρ0a6

×

∫ a

0xdx

∫ a

0y2dy

∫ a

0z3dz

=ρ0a6

×a2

a3

a4

4=

ρ024

a32. On onsidère un re tangle déni dans un plan z = cte ave une largueur a selon l'axe Ox etune longueur b selon l'axe Oy. Sa densité surfa ique est donnée par σ (x, y) = σ0

ab3xy3. Trouverla harge totale de e re tangle. I i, le fait que z est onstant nous di te que dz = 0 et l'éq.(1.4)7

Page 8: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 1. SYSTÈMES DE COORDONNÉES ET VECTEURSnous donne par onséquen e que −→dS ≡ ndS = zdxdy omme il se doit. On ne s'intéresse i i qu'àl'amplitude dS = dxdy de la diérentielle de surfa e. On obtient la harge totale du re tangle enintégrant σ sur sa surfa e :Qrect =

∫∫

rect

σ (x, y) dS =σ0ab3

∫ a

0xdx

∫ b

0y3dy

=σ0ab3

a2

2

b4

4=

abσ08Gradient en oordonnées artésiennesLa diérentielle en oordonnées artésiennes d'un hamp s alaire Φ s'exprime :

dΦ =∂Φ

∂xdx+

∂Φ

∂ydy +

∂Φ

∂zdz (1.7)Le gradient en oordonnées artésiennes est déni telle que :

dΦ =−−−→gradΦ · d

−−−→OM (1.8)En insérant les expressions de l'éq.(1.2) et (1.7) dans (1.8) on en déduit qu'en oordonnées artésiennesque l'opérateur gradient s'exprime :

−−−→grad = x

∂x+ y

∂y+ z

∂z(1.9)1.1.2 Repère ylindriqueRepérage d'un point en oordonnées ylindriquesEn oordonnées ylindriques, un point M de l'espa e est repéré omme un point de ylindre (droit,à base ir ulaire) dont l'axe Oz est généralement onfondu ave l'axe Oz du repère artésien.Le point M (ou −→r ) est repéré par le rayon ρ du ylindre sur lequel il s'appuie z sa distan e par rapport au plan de référen e xOy φ l'angle (Ox,OM ′) où M ′ est la proje tion de M sur le plan xOy.La notation −→r (ρ, φ, z) vient se substituer à −→r (x, y, z) du repère artésien. Vous pouvez fa ilementvérier que, pour un point donné, les omposantes artésiennes et ylindriques sont liées par :

x = ρ cosφ y = ρ sinφ z = z (1.10)Repérage d'un ve teur en oordonnées ylindriquesNous nous posons la question de repérer un ve teur dont le point d'appli ation est situé au pointM(ρ, φ, z), ou −→r (ρ, φ, z). Pour ela nous atta hons à M un repère orthonormé lo al (ρ, φ,z). Nousl'appelons lo al par e qu'il n'est pas le même pour tous les points M de l'espa e. Ce repère lo al estfait de 3 ve teurs unitaires de base orthogonaux (ρ, φ,z) : ρ ( ou −→u ρ ) est un ve teur parallèle à −−−→

OM ′. φ (ou −→u φ) est dans le de roissan e de φ, .-à-d. un ve teur ontenu dans le plan xOy etperpendi ulaire au ve teur ρ. 8

Page 9: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 1.1. SYSTÈMES DE COORDONNÉES

M ’

f

O

z

x

y

r

r

M

r

z

f

r

f

Figure 1.2 oordonnées ylindriques z) (ou −→u z ) est parallèle à l'axe Oz.En oordonnées ylindriques, un ve teur −→E (M) (ou simplement −→E(−→r )) atta hé au point M(ρ, φ, z)est repéré par trois omposantes (Eρ, Eφ, Ez) dans un repère orthonormé lo al (ρ, φ, z) : Dans erepère, le ve teur hamp éle trique a 3 omposantes et s'é rit−→E (M) = Eρρ+ Eφφ+ Ezz ou −→

E (M) =

Ez

Au point M , la relation entre les ve teurs unitaires (ρ, φ,z) et les ve teurs unitaires artésiennes

(x, y, z) s'é rivent :ρ ≡

∂−−→OM∂ρ∥∥∥∂−−→OM∂ρ

∥∥∥= cosφ x+ sinφ y

φ ≡

∂−−→OM∂φ∥∥∥∂−−→OM∂φ

∥∥∥= − sinφ x+ cosφ y

z ≡∂−−→OM∂z∥∥∥∂−−→OM∂z

∥∥∥= z (1.11)où nous avons utilisé la relation

−−−→OM = ρ cosφx+ ρ sinφy + zz (1.12)que l'on a obtenue en inserrant les relations de l'éq.(1.10) dans l'eq.(1.1).On peut voir les relations de l'éq.(1.11) omme une relation matri ielle (tensorielle) :

ρ

φ

z

=

cosφ sinφ 0

− sinφ cosφ 0

0 0 1

x

y

z

= T

x

y

z

9

Page 10: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 1. SYSTÈMES DE COORDONNÉES ET VECTEURSLes relation inverses sont obtenues en prenant l'inverse de la matri e T . Puisque les deux bases sontorthonormées, on a T−1 = T t où T t est la transpose de la matri e T . On obtient de ette manière lesve teurs unitaires (x, y,z) en fon tion des (ρ, φ,z) :

x

y

z

= T t

ρ

φ

z

=

cosφ − sinφ 0

sinφ cosφ 0

0 0 1

ρ

φ

z

'est-à-dire.

x = cosφ ρ− sinφ φ

y = sinφ ρ+ cosφ φ

z = z (1.13)On peut également vérier es relations ave de la géométrie.Dépla ement (diérentielle) en oordonnées ylindriquesEn oordonnées ylindriques le ve teur position s'exprime−−−→OM = ρρ+ zzet la diérentielle de dépla ement est don :

d−−−→OM =

∂−−−→OM

∂ρdρ+

∂−−−→OM

∂φdφ+

∂−−−→OM

∂zdzSi l'on veut exprimer d

−−−→OM en oordonnées ylindriques, il faut tenir ompte du fait que le ve teurunitaire lo al ρ dépend de la oordonnée φ (voir eq.(1.11)) :

∂−−−→OM

∂ρ= ρ+ ρ

∂ρ

∂ρ= ρ

(puisque

∂ρ

∂ρ= 0

)

∂−−−→OM

∂φ= ρ

∂ρ

∂φ= ρ

∂φ(cosφx+ sinφy) = ρ (− sinφx+ cosφy) = ρφUn dépla ement en oordonnées ylindriques s'exprime don

d−−−→OM = ρdρ+ φρdφ+ zdz (1.14)Cette formule est très utile an d'en déduire des volumes et des surfa es élémentaires. Par exemple,un élément de volume élémentaire en oordonnées ylindriques (plus pré isement la diérentielle duvolume) s'exprime :

dV = (dρ) (ρdφ) (dz) = ρdρdφdz (1.15)On peut également servir de l'éq.(1.14) an d'exprimer la diérentielle de surfa e orientée :−→dS = ρρdφdz + φdρdz + zdρρdφ (1.16)Exemples : 10

Page 11: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 1.1. SYSTÈMES DE COORDONNÉES1. On peut utiliser l'éq.(1.15) an de dériver la formule pour un ylindre de rayon R et de ote L :Volume ylindre R,L=

∫∫∫

cylindre

dV =

∫ R

0dρ

∫ 2π

0ρdφ

∫ L

0dz = L

∫ R

0ρdρ

∫ 2π

0dφ

= 2πL

∫ R

0ρdρ = πR2L2. On peut utiliser l'éq.(1.16) an de al uler la harge totale d'un disque de rayon a et de hargesurfa ique σ (ρ) = σ0

ρ2

a2. Puisqu'il s'agit d'un disque, on a dz = 0, et −→dS = dSn = zρdρdφ ave

n = z omme le ve teur dire teur de la surfa e. Pour ette utilisation, on n'a besoin que del'amplitude, dS = dρρdφ, de la diérentielle de surfa e. On al ul la harge totale ave l'intégralesuivante :Qdisque =

∫∫

disque

σ (ρ) dS =

∫ a

0ρdρ

∫ 2π

0dφσ0

ρ2

a2

=2πσ0a2

∫ a

0ρ3dρ =

2πσ0a2

ρ4

4

∣∣∣∣a

0

=πσ0a

2

2Gradient en oordonnées ylindriquesLa diérentielle en oordonnées ylindriques d'un hamp s alaire Φ s'exprime :dΦ =

∂Φ

∂ρdρ+

∂Φ

∂φdφ+

∂Φ

∂zdz (1.17)Le gradient en oordonnées ylindriques est déni telle que :

dΦ =−−−→gradΦ · d

−−−→OM (1.18)Une omparaison entre (1.14), (1.17) et (1.18) montre que l'expression du gradient en oordonnées ylindriques s'é rit :

−−−→gradΦ =

∂Φ

∂ρρ+

1

ρ

∂Φ

∂φφ+

∂Φ

∂zz (1.19)Exemple : Lorsque le potentiel éle trique V (M) est exprimé en oordonnées ylindriques (ρ, φ, z),les omposantes du hamp éle trique dans le repère ylindrique atta hé au point M sont données par :

−→E (ρ, φ, z) = −

−−−→gradV (ρ, φ, z)

−→E = Eρρ+ Eφφ+ Ezz

Eρ = −∂V∂ρ

Eφ = −1ρ∂V∂φ

Ez = −∂V∂zLe potentiel réé par une distribution linéique de harge ave une densité par unité de longueur λest donné par V (ρ) = − λ

2πǫ0ln (ρ) + Cte. On obtient immédiatement le hamp éle trique par

−→E (ρ) = −

−−−→gradV (ρ) =

λ

2πǫ0ρρ11

Page 12: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 1. SYSTÈMES DE COORDONNÉES ET VECTEURS1.1.3 Coordonnées sphériquesRepérage d'un point en oordonnées sphériquesEn oordonnées sphériques, un point M(r, θ, φ) est onsidéré omme un point d'une sphère entréesur O. Le point M est repéré par le rayon r de la sphère à laquelle il appartient L'angle θ entre la dire tion −→Oz et la dire tion −−−→

OM . θ = (−→Oz,

−−−→OM) l'angle φ entre la dire tion −→

Ox et la dire tion −−−→OM ′ où M ′ est la proje tion de M dans le plan

xOy. : φ = (−→Ox,

−−−→OM ′)Un point M(r, θ, φ) étant donné, on trouve que ses oordonnées artésiennes s'é rivent en fon tiondes oordonnées sphériques ; ainsi :

x = r sin θ cosφ y = r sin θ sinφ z = r cos θ (1.20)

M ’

f

O

z

x

y

rM

q

rf

M ’’

q

Figure 1.3 Coordonnées sphériquesEn géographie, où on est amené à repérer un point sur la sphère terrestre, l'angle θ indiquerait lalatitude par rapport au ple nord et l'angle φ, la longitude est par rapport au méridien de référen e.Repérage d'un ve teur en oordonnées sphériquesEn oordonnées sphériques, un ve teur −→E (M) (ou simplement −→E (−→r )) atta hé au point M(r, θ, φ)est repéré par trois omposantes (Er, Eθ, Eφ) dans un repère orthonormé lo al (r, θ, φ) :−→E (M) = Err + Eθθ +Eφφave r (ou −→u r ) est un ve teur parallèle à −−−→

OM . θ (ou −→u θ ) est parallèle au ve teur tangent en M au er le de rayon r dé rit dans le plan qui ontient à la fois les dire tions −→Oz, −−−→OM et −−−→OM ′. φ (ou −→u φ ) est tangent en M au er le de entre M ′′ et de rayon M ′′M = OM ′, ontenu dansle plan perpendi ulaire à −→Oz. 12

Page 13: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 1.1. SYSTÈMES DE COORDONNÉESAu point M , la relation entre les ve teurs unitaires (r, θ,φ) et les ve teurs unitaires artésiennes(x, y, z) s'é rivent :

r ≡∂−−→OM∂r∥∥∥∂−−→OM∂r

∥∥∥= sin θ cosφ x+ sin θ sinφ y + cos θ z

θ ≡∂−−→OM∂θ∥∥∥∂−−→OM∂θ

∥∥∥= cos θ cosφ x+ cos θ sinφ y − sin θ z

φ ≡

∂−−→OM∂φ∥∥∥∂−−→OM∂φ

∥∥∥= − sinφ x+ cosφ y (1.21)où nous avons utilisé la relation

−−−→OM = r sin θ cosφx+ r sin θ sinφy + r cos θz (1.22)que l'on a obtenue en insérant les relations de l'éq.(1.20) dans l'eq.(1.1).On peut voir les relations de l'éq.(1.21) omme une relation matri ielle (tensorielle)

r

θ

φ

=

sin θ cosφ sin θ sinφ cos θ

cos θ cosφ cos θ sinφ − sin θ

− sinφ cosφ 0

x

y

z

= T

x

y

z

(1.23)ainsi que les relation inverses

x

y

z

= T−1

r

θ

φ

= T t

r

θ

φ

=

sin θ cosφ cos θ cosφ − sinφ

sin θ sinφ cos θ sinφ cosφ

cos θ − sin θ 0

r

θ

φ

(1.24)où nous avons en ore utilisé le fait que les deux bases sont orthonomés implique que T−1 = T t.Exemple de oordonnées sphériques : Considérons le potentiel et le hamp éle triques rééspar une harge pon tuelle q pla ée à l'origine O. En oordonnées sphériques, eux- i s'exprimententièrement en fon tion du ve teur radial −→r et la oordonnée radiale r =

∥∥−→r∥∥ :

V (r) =q

4πǫ0

1

r

−→E (−→r ) =

q

4πǫ0

r

r2=

q

4πǫ0

−→r

r3(ave −→r = rr) e qui est plus simple et naturel que les expressions en oordonnées artésiennes :

V (x, y, z) =q

4πǫ0

1√x2 + y2 + z2

−→E(x, y, z) =

q

4πǫ0

xx+ yy + zz

(x2 + y2 + z2)3/2Position et dépla ement (diérentielle) en oordonnées sphériquesEn oordonnées sphériques, le ve teur position s'é rit simplement−−−→OM = rr13

Page 14: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 1. SYSTÈMES DE COORDONNÉES ET VECTEURSLa diérentielle, d−−−→OM , en oordonnées sphériques s'éxprime :d−−−→OM =

∂−−−→OM

∂rdr +

∂−−−→OM

∂θdθ +

∂−−−→OM

∂φdφAn d'exprimer d−−−→OM en oordonnées sphériques, il faut tenir ompte du fait que le ve teur unitairelo al r dépend des oordonnées θ, et φ (mais pas sur r) :

∂−−−→OM

∂r= r + r

∂r

∂r= r

∂−−−→OM

∂θ= r

∂r

∂θ= rθ

∂−−−→OM

∂φ= r

∂r

∂φ= r sin θφUn dépla ement en oordonnées sphériques s'exprime don

d−−−→OM = dr r + rdθ θ + r sin θdφ φ (1.25)Comme pour les autres systèmes de oordonnées, on peut utiliser la diérentielle de position an detrouver les diérentielles de volume et de surfa e. Par exemple, un élément de volume élémentaire en oordonnées ylindriques est

dV = (dr) (rdθ) (r sin θdφ) = r2dr sin θdθdφ (1.26)On peut également servir de l'éq.(1.25) an d'exprimer la diérentielle de surfa e orientée :−→dS = rr2 sin θdθdφ+ θr sin θdrdφ+ φrdrdθ (1.27)Exemples :1. On peut utliser l'éq.(1.26) an de dériver la formule pour le volume d'une sphère de rayon R :Volumesphère de rayon R

=

∫∫∫

sphere

dV =

∫ R

0dr

∫ π

0dθ

∫ 2π

0r2 sin θdφ =

∫ R

0r2dr

∫ π

0sin θdθ

∫ 2π

0dφ

= 2π

∫ R

0r2dr

∫ 1

−1d (cos θ) = 4π

∫ R

0r2dr =

3R32. Quelle est la harge totale d'une sphère de rayon R dont la harge volumique s'exprime ρv (r) =

ρ0rR ? (Attn : Il ne faut pas onfondre la densité de harge volumique ρv ave la oordonnée ylindrique ρ). Cet a ident de notation ne pose pas trop de di ultés i i puisque il s'agit dans e problème de oordonnées sphériques, r, θ, φ. La harge totale se trouve par une intégrationde la densité volumique :

Qsphère = ∫∫∫sphere

ρv (r) dV =

∫ R

0dr

∫ π

0dθ

∫ 2π

0ρ0

r

Rr2 sin θdφ

= 4πρ0

∫ R

0

r3

Rdr =

4πρ0R

r4

4

∣∣∣∣R

0

= πρ0R314

Page 15: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 1.1. SYSTÈMES DE COORDONNÉES3. Quelle est la harge totale sur une surfa e sphérique dénie par r = a quand la densité de harge surfa ique s'exprime σ (θ) = σ0 sin2 θ ? Puisque il s'agit d'une surfa e à rayon onstant,on a dr = 0 e qui donne dans l'éq.(1.27) que −→

dS ≡ ndS = ra2 sin θdθdφ. I i, on ne s'intéressequ'à l'amplitude, dS = a2 sin θdθdφ de la diérentielle de surfa e et on obtient la harge totaleen intégrant la densité surfa ique :Qsurfa e = ∫∫surfa eσ (θ) dS =

∫ π

0dθ

∫ 2π

0dφ a2σ0 sin

2 θ sin θ

= 2πa2σ0

∫ π

0sin2 θ sin θdθ = 2πa2σ0

∫ 1

−1

(1− cos2 θ

)d (cos θ)

= 2πa2σ0

∫ 1

−1

(1− u2

)du = 2πa2σ0

(u−

u3

3

)∣∣∣∣1

−1

=8πa2σ0

3Gradient en oordonnées sphériquesLa diérentielle en oordonnées sphériques s'é rit :dΦ =

∂Φ

∂rdr +

∂Φ

∂θdθ +

∂Φ

∂φdφ ≡

−−−→gradΦ · d

−−−→OM (1.28)Une omparaison entre ette équation et l'éq.(1.25) montre que l'expression du gradient en oordonnéessphériques est donnée par :

−−−→gradΦ = r

∂Φ

∂r+ θ

1

r

∂Φ

∂θ+ φ

1

r sin θ

∂Φ

∂φ(1.29)Exemple : Pour une harge pon tuelle située à l'origine par exemple, si on se rappelle que son po-tentiel éle trique, s'é rit V (r) = q/ (4πǫ0r), on obtient toute suite son hamp éle trique en oordonnéessphériques :

−→E (−→r ) = −

−−−→gradV (r) = −r

∂V

∂r= −

q

4πǫ0r∂

∂r

1

r

=q

4πǫ0

r

r2alors que le al ul est plus onéreux en oordonnées artésiennesV (x, y, z) =

q

4πǫ0

1

(x2 + y2 + z2)1/2

−→E(x, y, z) = −

−−−→gradV (x, y, z) = −

q

4πǫ0

(x∂V

∂x+ y

∂V

∂y+ z

∂V

∂z

)

=q

4πǫ0

(x

(x2 + y2 + z2)3/2x+

y

(x2 + y2 + z2)3/2y +

z

(x2 + y2 + z2)3/2z

)

=q

4πǫ0

xx+ yy + zz

(x2 + y2 + z2)3/2=

q

4πǫ0

−→r

r3

15

Page 16: able - Fresnel

Chapitre 2Le hamp éle trostatique2.1 Notions générales2.1.1 Phénomènes éle trostatiques : notion de harge éle triqueQui onque a déjà vé u l'expérien e désagréable d'une dé harge éle trique lors d'un onta t ave un orps étranger onnaît un eet provoqué par une harge éle trostatique. Une autre manifestationde l'éle tri ité statique onsiste en l'attra tion de petits orps légers (bouts de papier par ex.) ave des orps frottés (règles, pour ontinuer sur le même ex.). Ce type de phénomène est même rapporté parThalès de Milet, aux alentours de 600 av. J.-C. : il avait observé l'attra tion de brindilles de paille parde l'ambre jaune frotté. . . Le mot éle tri ité, qui désigne l'ensemble de es manifestations, provient deelektron , qui signie ambre en gre .L'étude des phénomènes éle triques a ontinué jusqu'au XIXème siè le, où s'est élaborée la théorieuniée des phénomènes éle triques et magnétiques, appelée éle tromagnétisme. C'est à ette époqueque le mot statique est apparu pour désigner les phénomènes faisant l'objet de e ours. Nousverrons plus loin, lors du ours sur le hamp magnétique, pourquoi il en est ainsi. On se ontenterapour l'instant de prendre l'habitude de parler de phénomènes éle trostatiques.Pour les mettre en éviden e et pour apporter une interprétation ohérente, regardons deux expé-rien es simples. Expérien e 1 :Prenons une boule (faite de sureau ou de polystyrène, par ex.) et suspendons-la par un l. Ensuiteon appro he une tige, de verre ou d'ambre, après l'avoir frottée préalablement : la tige attire laboule. Par ontre, si l'on appro he simultanément deux tiges (ambre et verre) te à te, onpeut arriver à une situation ou rien ne se passe.- - - - - - - - --

Tout se passe don omme si ha une des tiges était, depuis son frottement, porteuse d'éle tri ité,mais elle- i se manifeste en deux états ontraires ( ar apables d'annuler les eets de l'autre).16

Page 17: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 2.1. NOTIONS GÉNÉRALESOn a ainsi qualié arbitrairement de positive l'éle tri ité ontenue dans le verre (frotté ave dela soie), et de négative elle portée par l'ambre (idem, ou en ore du plastique frotté ave de lafourrure). Expérien e 2 :Prenons maintenant deux boules A et B, préalablement mises en onta t ave une tige frottée(elles sont éle trisées ), et suspendons-les te à te. Si elles ont été mises en onta t toutesdeux ave une tige de même matériau, elles se repoussent.

Par ontre, si elles ont été mises en onta t ave des tiges de matériau diérent (ex. A ave du verrefrotté et B ave de l'ambre frotté), alors elles s'attirent. Si, du fait de leur attra tion, elles viennent àse tou her, on observe qu'elles perdent alors toute éle trisation : elles prennent une position d'équilibrevis-à-vis de leur poids.Cette expérien e est assez ri he. On peut tout d'abord en on lure que deux orps portant uneéle tri ité de même nature (soit positive, soit négative) se repoussent, tandis qu'ils s'attirent s'ilsportent des harges opposées.Mais ette expérien e nous montre également que ette éle tri ité est apable, non seulement d'agirà distan e (répulsion ou attra tion), mais également de se dépla er d'un orps à un autre. Mais alorsqu'est- e qui se dépla e ? Si l'on suspend les boules à une balan e, même très pré ise, nous sommesin apables de déte ter la moindre variation de poids entre le début de l'expérien e et le moment oùelles sont éle trisées. Pourtant, le fait qu'il soit né essaire qu'il y ait un onta t entre deux matériauxpour que l'éle tri ité puisse passer de l'un à l'autre, semble indiquer que ette éle tri ité est portée parde la matière.On explique l'ensemble des eets d'éle tri ité statique par l'existen e, au sein de la matière, departi ules portant une harge éle trique q, positive ou négative, et libres de se dépla er. C'estRobert A. Millikan qui a vérié pour la première fois en 1909, grâ e à une expérien e mettant enjeu des gouttes d'huile, le fait que toute harge éle trique Q est quantiée, 'est-à-dire qu'elle existeseulement sous forme de multiples d'une harge élémentaire e, indivisible (Q = Ne). La parti uleportant ette harge élémentaire est appelée l'éle tron.Dans le système d'unités international, l'unité de la harge éle trique est le Coulomb (sym-bole C ) (et A.s en unités SI de base). Des phénomènes d'éle tri ité statique mettent en jeudes nano oulombs (nC) voire des mi ro oulombs (µC), tandis que l'on peut ren ontrer des harges del'ordre du Coulomb en éle tro inétique.L'ensemble des expérien es de la physique (et en parti ulier elles dé rites plus haut) ne peuvents'expliquer que si la harge éle trique élémentaire est invariante : on ne peut ni la détruire ni l'engendrer,et e i est valable quel que soit le référentiel. C'est e que l'on dé rit par la notion d'invarian e relativistede la harge éle trique. 17

Page 18: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 2. LE CHAMP ÉLECTROSTATIQUE2.1.2 Stru ture de la matièreLa vision moderne de la matière dé rit elle- i omme étant onstituée d'atomes. Ceux- i sont eux-mêmes onstitués d'un noyau (dé ouvert en 1911 par Rutherford) autour duquel gravite une sortede nuage omposé d'éle trons et portant l'essentiel de la masse. Ces éle trons se repoussent les uns lesautres mais restent onnés autour du noyau ar elui- i possède une harge éle trique positive quiles attire. On attribue ette harge positive à des parti ules appelées protons. Cependant, le noyauatomique ne pourrait rester stable s'il n'était omposé que de protons : eux- i ont en eet tendan eà se repousser mutuellement. Il existe don une autre sorte de parti ules, les neutrons (dé ouverts en1932 par Chadwi k) portant une harge éle trique nulle. Les parti ules onstituant le noyau atomiquesont appelées les nu léons.Dans le tableau de Mendeleiïev tout élément himique X est représenté par la notation AZX . Lenombre A est appelé le nombre de masse : 'est le nombre total de nu léons (protons et neutrons).Le nombre Z est appelé le nombre atomique et est le nombre total de protons onstituant le noyau.La harge éle trique nu léaire totale est don Q = +Ze, le ortège éle tronique possédant alors une harge totale Q = −Ze, assurant ainsi la neutralité éle trique d'un atome. Exemple : le Carbone 12

6 Cpossède 12 nu léons, dont 6 protons (don 6 éle trons) et 6 neutrons, le Cuivre 6329Cu 63 nu léons dont29 protons (don 29 éle trons) et 34 neutrons. L'atome de uivre existe aussi sous la forme 64

29Cu , 'est-à-dire ave 35 neutrons au lieu de 34 : 'est e qu'on appelle un isotope.Valeurs des harges éle triques et des masses des onstituants atomiques dans le Système Interna-tional :Ele tron : q = −e = −1, 605 10−19C : me = 9, 109 10−31kgProton : q = +e = 1, 605 10−19C : mp = 1, 672 10−27kgNeutron : q = 0 C : mn = 1, 674 10−27kgComme on peut le remarquer, même une harge de l'ordre du Coulomb ( e qui est énorme), or-respondant à environ 1018 éle trons, ne produit qu'un a roissement de poids de l'ordre de 10−12 kg : 'est ee tivement imper eptible.Si les éle trons sont bien des parti ules quasi-pon tuelles, les neutrons et les protons en revan heont une taille non nulle (inférieure à 10−15 m). Il s'avère qu'ils sont eux-mêmes onstitués de quarks,qui sont aujourd'hui, ave les éle trons, les vraies briques élémentaires de la matière. Les protons ainsique les neutrons forment ainsi une lasse de parti ules appelée les baryons.A l'heure a tuelle, l'univers (ou plutt l'ensemble re onnu de ses manifestations) est des riptible àl'aide de quatre for es fondamentales :1. La for e éle tromagnétique, responsable de la ohésion de l'atome (éle trons-nu léons) et qui joueun rle primordiale dans la vaste majorité des phénomènes naturelles et te hnologiques qui nousentoure.2. La for e nu léaire faible, responsable pour ertains dé roissan es nu léaires exotiques. (mais quia joué un rle important dans les premiers instants de l'univers, et à la mort des étoiles)3. La for e nu léaire forte, responsable de la ohésion des baryons (quarks-quarks) et du noyau(protons-neutrons) ;4. La for e gravitationnelle, qui garde nos pieds sur terre et qui est responsable de la stru ture àgrande é helle de l'univers ( ohésion des orps astrophysiques, ohésion des systèmes planétaires,des galaxies, des amas gala tiques, moteur de la osmologie).2.1.3 Matériaux isolants et matériaux ondu teursUn matériau est ainsi onstitué d'un grand nombre de harges éle triques, mais elles- i sont toutes ompensées (même nombre d'éle trons et de protons). Aux températures usuelles, la matière est éle -18

Page 19: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 2.2. FORCE ET CHAMP ÉLECTROSTATIQUEStriquement neutre. En onséquen e, lorsque des eets d'éle tri ité statique se produisent, ela signi-e qu'il y a eu un dépla ement de harges, d'un matériau vers un autre : 'est e que l'on appellel'éle trisation d'un orps. Ce sont es harges, en ex ès ou en manque, en tout as non ompensées,qui sont responsables des eets éle triques sur e orps (ex : baguette frottée).Un matériau est dit ondu teur parfait si, lorsqu'il devient éle trisé, les porteurs de harge non ompensés peuvent se dépla er librement dans tout le volume o upé par le matériau.Ce sera un isolant (ou diéle trique) parfait si les porteurs de harge non ompensés ne peuventse dépla er librement et restent lo alisés à l'endroit où ils ont été déposés. Un matériau quel onque sesitue évidemment quelque part entre es deux états extrêmesRefaisons une expérien e d'éle tri ité statique : prenons une baguette métallique par la main etfrottons-la ave un hion. Cela ne mar hera pas, la baguette ne sera pas éle trisée. Pourquoi ? Etantnous-mêmes d'assez bons ondu teurs, les harges éle triques arra hées au hion et transférées à labaguette sont ensuite transférées sur nous et l'on ne verra plus d'eet éle trique parti ulier au niveaude la baguette. Pour que ette expérien e mar he, il est né essaire d'isoler éle triquement la baguette(en la tenant ave un matériau diéle trique).2.2 For e et hamp éle trostatiques2.2.1 La for e de CoulombCharles Auguste de Coulomb (1736-1806) a ee tué une série de mesures (à l'aide d'une balan e detorsion) qui lui ont permis de déterminer ave un ertain degré de pré ision les propriétés de la for eéle trostatique exer ée par une harge pon tuelle q1 sur une autre harge pon tuelle q2 :1. La for e est radiale, 'est-à-dire dirigée selon la droite qui joint les deux harges ;2. Elle est proportionnelle au produit des harges : soit attra tive si elles sont de signe opposé, soitrépulsive sinon ;3. Enn, elle varie omme l'inverse du arré de la distan e entre les deux harges.L'expression mathématique moderne de la for e de Coulomb et traduisant les propriétés i-dessusest la suivante−→F 1→2 =

1

4πǫ0

q1q2r212

r12 (2.1)ave les dénitions :P1

P2

q2

q1

r P12 2=P1

r12

−→r 12 ≡−−−→P1P2 r12 ≡

∥∥−→r 12

∥∥ r12 ≡

−−−→P1P2∥∥∥−−−→P1P2

∥∥∥=

−→r 12

r12(2.2)où la onstante multipli ative vaut

K ≡1

4πǫ0≈ 9 109 SI

(N.m2.C−2

) ou en unités fondamentales : (kg.m3.s−4.A−2) (2.3)19

Page 20: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 2. LE CHAMP ÉLECTROSTATIQUELa onstante, ǫ0, joue un rle parti ulier et est appelée la permittivité éle trique du vide (unités :Farad/m ; et en unités de base : kg−1.m−3.s4.A2).Remarques :1. Cette expression n'est valable que pour des harges immobiles (approximation de l'éle trosta-tique) et dans le vide. Cette loi est la base même de toute l'éle trostatique.2. Cette for e obéit au prin ipe d'A tion et de Réa tion de la mé anique lassique. ( .-à-d. si unsystème (dénoté a) exer e une for e éle trostatique, −→F a→b , sur un système b, le systeme b exer eune for e, −→F b→a = −−→F a→b sur le système a.3. A part la valeur numérique de la onstante K, ainsi que l'éxistan e de harges positives etnégatives, ette loi a exa tement les mêmes propriétés ve torielles que la for e de la gravitation(loi de Newton). Il ne sera don pas étonnant de trouver des similitudes entre es deux lois.4. Le hapeau sur r12 indique qu'il s'agit d'un ve teur unitaire ( .-à-d. ‖r12‖ = 1).Ordres de grandeur Quel est le rapport entre la for e d'attra tion gravitationnelle et la répulsion oulombienne entredeux éle trons ?

Fe

Fg=

e2

4πǫ0

1

Gm2e

≈ 4 1042La for e éle trostatique apparaît don dominante vis-à-vis de l'attra tion gravitationnelle. Celaimplique don que tous les orps élestes sont exa tement éle triquement neutres. Quelle est la for e de répulsion oulombienne entre deux harges de 1 C situées à 1 km?Fe

g=

1

4πǫ0

1

(103)21

10≈ 103kgC'est une for e équivalente au poids exer é par une tonne !2.2.2 Champ éle trostatique réé par une harge pon tuelleSoit une harge q1 située en un point O de l'espa e, exerçant une for e éle trostatique sur uneautre harge q2 située en un point M . L'expression de ette for e est donnée par la loi de Coulomb i-dessus (éq.(2.1)). Mais omme pour l'attra tion gravitationnelle, on peut la mettre sous une formeplus intéressante,

−→F 1→2 = q2

−→E 1 (M)où

−→E 1 (M) =

1

4πǫ0

q1r2

r r ≡∥∥∥−−−→OM

∥∥∥ ≡ OM r =

−−−→OM

OML'intérêt de ette séparation vient du fait que l'on distingue lairement e qui dépend uniquementde la parti ule qui subit la for e (i i, 'est sa harge q2, pour la gravité 'est sa masse), de e qui nedépend que d'une sour e extérieure, i i le ve teur −→E 1 (M).O

M

q

r= MO

r

20

Page 21: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 2.2. FORCE ET CHAMP ÉLECTROSTATIQUESDénition 1 Une parti ule de harge q située en O rée en tout point M de l'espa e distin t de O un hamp ve toriel :−→E (M) =

1

4πǫ0

q

r2r r ≡

∥∥∥−−−→OM∥∥∥ ≡ OM r =

−−−→OM

OM(2.4)appelé hamp éle trostatique. L'unité usuel est du hamp élé trique le Volt/mètre (symbole V.m−1). Enunités SI de base, le hamp éle trique est : kg.m.s−3. A−1Cette façon de pro éder dé oule de (ou implique) une nouvelle vision de l'espa e : les parti ules hargées se dépla ent maintenant dans un espa e où existe (se trouve déni) un hamp ve toriel. Ellessubissent alors une for e en fon tion de la valeur du hamp au lieu où elle se trouve.2.2.3 Champ réé par un ensemble de hargesOn onsidère maintenant N parti ules de harges éle triques qi , situées en des points Pi : quel estle hamp éle trostatique réé par et ensemble de harges en un point M ?

P1 1( )q

M

E1( )M

P2 2( )q

E2( )M

E4( )MP4 4( )q

P3 3( )q

E3( )M

La réponse n'est absolument pas évidente ar l'on pourrait penser que la présen e du hamp réépar des parti ules voisines modie elui réé par une parti ule. En fait, il n'en est rien et l'expérien emontre que la for e totale subie par une harge q située en M est simplement la superposition desfor es élémentaires,−→F (M) =

N∑

i=1

−→F i (M) =

N∑

i=1

q

4πǫ0

qiPiM2

ui = q

N∑

i=1

1

4πǫ0

qiPiM2

ui = q−→E (M)où ui ≡

−−−→PiMPiM

, et il en résulte don −→E (M) =

N∑

i=1

1

4πǫ0

qiPiM2

ui (2.5)est don le hamp éle trostatique réé par un ensemble dis ret de harges.Cette propriété de superposition des eets éle trostatiques est un fait d'expérien e et énon é ommele prin ipe de superposition ( omme tout prin ipe, il n'est pas démontré).En pratique, ette expression est rarement utilisable puisque nous sommes la plupart du tempsamenés à onsidérer des matériaux omportant un nombre gigantesque de parti ules. C'est simplementdû au fait que l'on ne onsidère que des é helles spatiales très grandes devant les distan es inter-parti ulaires, perdant ainsi toute possibilité de distinguer une parti ule de l'autre. Il est dans e asplus habile d'utiliser des distributions ontinues de harges.21

Page 22: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 2. LE CHAMP ÉLECTROSTATIQUEM

dV

P PMu

dE( )M

dq= dr V

Soit P un point quel onque d'une distribution de harges (solide, gaz, ou plasma) et dq(P ) la harge élémentaire ontenue en e point. Le hamp éle trostatique total réé en un point M par ettedistribution de harges est−→E (M) =

distribution

d−→E (M) ave d

−→E (M) =

1

4πǫ0

dq

PM2u (2.6)Mathématiquement, tout se passe don omme une harge pon tuelle dq était située en un point

P de la distribution, réant au point M un hamp éle trostatique d−→E (M), ave −−−→

PM = PM u. Ils'agit évidemment d'une approximation, permettant de rempla er une somme presque innie par uneintégrale.En désignant par dV le volume innitésimal autour du point P , on peut dénir ρ (P ) ≡ dqdV ommeétant la densité volumique de harges (unité : Cm−3). Le hamp éle trostatique réé par une telledistribution est don :

−→E (M) =

1

4πǫ0

∫∫∫ρ (P )

−−−→PM

PM3dV =

1

4πǫ0

∫∫∫ρ (P )

PM2u dV (2.7)Lorsque l'une des dimensions de la distribution de harges est beau oup plus petite que les deux autres(ex : un plan ou une sphère reuse), on peut généralement faire une intégration sur ette dimension.On dénit alors la densité surfa ique de harges σ (P ) = dq

dS (unité : Cm−2) produisant un hamp total−→E (M) =

1

4πǫ0

∫∫σ (P )

PM2u dS (2.8)Enn, si deux des dimensions de la distribution sont négligeables devant la troisième (ex : un l), onpeut dénir une densité linéique de harges λ(P ) = dq

dl (unité : Cm−1) produisant un hamp total−→E (M) =

1

4πǫ0

∫λ (P )

PM2u dl (2.9)L'utilisation de l'une ou l'autre de es trois expressions dépend de la géométrie de la distribution de harges onsidérée. L'expression générale à retenir est elle de l'éq.(2.6) i-dessus.2.2.4 Exemple : hamp réé par un segment ni de hargeOn onsidère un segment re tiligne P1P2 de densité linéique homogène λ0. On veut al uler le hampéle trique −→

E à un point M à une distan e ρ du segment. Compte tenu des symétries, on travaille en oordonnées ylindriques ave l'axe z onfondu ave l'axe du segment. Les bouts du segment sontrespe tivement z1 et z2. On obtient le hamp −→E en appliquant l'expression intégrale de l'éq.(2.9) :

−→E (M) =

1

4πǫ0

∫ P2

P1

λ0

−−−→PM∥∥∥−−−→PM

∥∥∥3 dl (2.10)22

Page 23: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 2.2. FORCE ET CHAMP ÉLECTROSTATIQUESa2

a1

z

a

z1

z2

P

OM

r

l0

E

P2

P1Figure 2.1 Segment re tiligne de hargeDans e système de oordonnées ylindriques on a −−→OP = zz et :

dl = dz−−−→PM = −zz + ρρet l'intégrale s'é rit :

−→E (M) =

λ0

4πǫ0

∫ z2

z1

−−−→PM∥∥∥−−−→PM

∥∥∥3 dz =

λ0

4πǫ0

∫ z2

z1

−zz + ρρ

(ρ2 + z2)3/2dz

= ρλ0ρ

4πǫ0

∫ z2

z1

dz

(ρ2 + z2)3/2− z

λ0

4πǫ0

∫ z2

z1

z

(ρ2 + z2)3/2dz (2.11)La deuxième intégrale de l'éq.(2.11) s'ée tue ave un hangement de variable

u2 = ρ2 + z2 ⇒ udu = zdz (2.12) e qui ammène à :−

∫ z2

z1

z

(ρ2 + z2)3/2dz = −

∫ (ρ2+z22)

1/2

(ρ2+z21)

1/2

du

u2=

1

u

∣∣∣∣(ρ2+z2

2)1/2

(ρ2+z21)

1/2

=

[1

(ρ2 + z22

)1/2 −1

(ρ2 + z21

)1/2

]=

1

ρ[cosα2 − cosα1] (2.13)Pour le omposant du hamp dans la dire tion, ρ, il faut évaluer l'intégrale :

∫ z2

z1

dz

(ρ2 + z2)3/2=

∫ z2

z1

dz∥∥∥−−−→PM∥∥∥3 (2.14)Pour ette intégrale, il onvient de faire un hangement de variables vers l'angle α =(−−−→MO,

−−−→MP

) eton peut ainsi é rire ∥∥∥−−→OP∥∥∥ = z = ρ tanα, PM ≡

∥∥∥−−−→PM∥∥∥ =

ρ

cosα(2.15)On trouve dz en prenant la diérentielle de z = ρ tanα :

dz = ρd(tanα) = ρ

(1 +

sin2 α

cos2 α

)dα =

ρ

cos2 αdα (2.16)23

Page 24: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 2. LE CHAMP ÉLECTROSTATIQUEMettant les relations de (2.15) et (2.16) dans l'éq.(2.14) on obtient :∫ z2

z1

dz∥∥∥−−−→PM

∥∥∥3 =

∫ α2

α1

cos3 α

ρ3ρ

cos2 αdα =

1

ρ2

∫ α2

α1

cosαdα

=1

ρ2(sinα2 − sinα1) =

1

ρ2

(z2(

ρ2 + z22)1/2 −

z1(ρ2 + z21

)1/2

) (2.17)Utilisant les résultats des intégrations des équations (2.13) et (2.17) dans l'éq.(2.11), on obtientenn −→E (M) en fon tion de ρ et des angles α1 et α2 :

−→E (M) =

λ0

4πǫ0ρ[ρ (sinα2 − sinα1) + z (cosα2 − cosα1)] (2.18)ou en ore en fon tion de ρ et les positions, z1 et z2 :

−→E (M) =

λ0

4πǫ0ρ

ρ

z2/ρ(

1 +z22

ρ2

)1/2 −z1/ρ(

1 +z21

ρ2

)1/2

+ z

1(1 +

z22

ρ2

)1/2 −1

(1 +

z21

ρ2

)1/2

(2.19)Les expressions (2.18 et 2.19) sont un peu ompliquées, mais il onvient de remarquer que si l'ons'intéresse qu'au hamp près du segment tel que z2/ρ → ∞ et z1/ρ → −∞ ( .-à-d. α1 → −π

2 etα2 →

π2 ), l'expression du hamp est assez simple :

−→E (ρ) →

λ0

2πǫ0ρρ (2.20)Nous verrons dans le pro hain hapitre omment retrouver e résultat ave beau oup plus de fa ilité.2.3 Propriétés de symétrie du hamp éle trostatiquePrin ipe de Curie : Lorsque ertaines auses produisent ertains eets, les éléments de symétriedes auses doivent se retrouver dans les eets produits.Du fait que le hamp soit un eet réé par une distribution de harges, il ontient des informationssur les auses qui lui ont donné origine. Ainsi, si l'on onnaît les propriétés de symétrie d'une distri-bution de harges, on pourra onnaître elles du hamp éle trostatique asso ié. Ces propriétés sontfondamentales ar elles permettent de simplier onsidérablement le al ul du hamp éle trostatique.Dans un espa e homogène et isotrope, si l'on fait subir une transformation géométrique à unsystème physique (ex : ensemble de parti ules, distribution de harges) sus eptible de réer ertainseets (for es, hamps), alors es eets subissent les mêmes transformations. Si un système physique

S possède un ertain degré de symétrie, on pourra alors déduire les eets réés par e système en unpoint à partir des eets en un autre point.Le prin ipe de Curie nous permet d'arriver à ertaines on lusions on ernant le omportement du hamp produit par des systèmes possédant une ou plusieurs symétriesRègles de symétrie - invarian es Invarian e par translation : si S est invariant dans toute translation parallèle à un axe Oz,le hamp de ve teur asso ié ne dépend pas de z. Symétrie axiale : si S est invariant dans toute rotation φ autour d'un axe Oz, alors un hampde ve teur asso ié exprimé en oordonnées ylindriques (ρ,φ,z) ne dépend pas de φ.24

Page 25: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 2.3. PROPRIÉTÉS DE SYMÉTRIE DU CHAMP ÉLECTROSTATIQUE Symétrie ylindrique : si S est invariant par translation le long de l'axe Oz et rotation autourde e même axe, alors un hamp de ve teur asso ié exprimé en oordonnées ylindriques (ρ,φ,z)ne dépend que de la distan e à l'axe ρ. Symétrie sphérique : si S est invariant dans toute rotation autour d'un point xe O, alorsun hamp de ve teur asso ié en oordonnées sphériques (r,θ,φ) ne dépend que de la distan e au entre r.Pour des systèmes possédant des plans de symétrie ou d'antisymétrie, le prin ipe de Curie nouspermet de onnaître la dire tion et l'amplitude d'un ve teur si nous onnaissons préalablementson ve teur symétrique.Transformations géométriques d'un ve teurConsidérons un système possèdant une symétrie par rapport à un plan Π.E

E E

E’

E’ E’

P

Soit −→A′ (M ′) le ve teur obtenu par symétrie par rapport à un plan Π à partir de −→A (M). D'aprèsla gure i-dessus, on voit que :1. −→

A′ (M ′) =−→A (M) si −→A (M) est engendré par les mêmes ve teurs de base que Π.2. −→

A′ (M ′) = −−→A (M) si −→A (M) est perpendi ulaire à Π.Les signes des règles i-dessus sont inversés s'il s'agit d'un système antisymétrique.Les deux règles de transformation ombinés ave le prin ipe de Curie nous permet d'imposer les ontraintes suivantes on ernant les dire tions d'un hamp de ve teurs aux points ontenus dans leplan de symétrie (ou d'antisymétrie) : Plan de symétrie Π : si un système S admet un plan de symétrie Π, alors en tout point de eplan, le hamp éle trostatique, −→E , est ontenu dans e plan. Plan d'antisymétrieΠ′ : si, par symétrie par rapport à un planΠ′, un système S est transforméen −S, alors en tout point de e plan, le hamp éle trostatique, −→E , lui est perpendi ulaire.Remarque importanteNous verrons en magnétostatique qu'il onvient de faire la distin tion entre vrais ve teurs (ouve teurs axiaux) et pseudo-ve teurs (ou ve teurs polaires), es derniers étant dénis à partir du produitve toriel de deux ve teurs vrais. Ainsi, le hamp éle trostatique est un vrai ve teur tandis que le hampmagnétique est un pseudo-ve teur. Tout e qui a été dit i-dessus n'est valable que pour les vraisve teurs. 25

Page 26: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 2. LE CHAMP ÉLECTROSTATIQUEPlan d’anti-symétriePlan de symétrie2.3.1 Quelques Compléments Pourquoi un vrai ve teur −→

A (x1, x2, x3) est indépendant de la variable x1 si le systèmeS n'en dépend pas ?Soit un point M (x1, x2, x3) dont les oordonnées sont exprimé dans un système quel onque. Soitun point M ′ ≡ M (x1 + dx1, x2, x3) lui étant inniment pro he. On a alors

−→A(M ′)=

A1 (M′) = A1 (x1 + dx1, x2, x3) ≃ A1 (x1 + dx1, x2, x3) +

∂A1

∂x1dx1

A2 (M′) = A2 (x1 + dx1, x2, x3) ≃ A2 (x1 + dx1, x2, x3) +

∂A2

∂x1dx1

A3 (M′) = A3 (x1 + dx1, x2, x3) ≃ A3 (x1 + dx1, x2, x3) +

∂A3

∂x1dx1 'est-à-dire, de façon plus ompa te −→

A (M ′) =−→A (M) + ∂

−→A(M)∂x1

dx1. Si le système physique Sreste invariant lors d'un hangement de M en M ′, alors (Prin ipe de Curie) −→A (M ′) =−→A (M).On a don ∂

−→A(M)∂x1

=−→0 en tout point M , e qui signie que −→

A (x2, x3) ne dépend pas de x1. Onpeut suivre le même raisonnement pour ha une des autres oordonnées. Pourquoi un vrai ve teur appartient né essairement à un plan de symétrie ?Si M appartient à un plan de symétrie Π du système, son symétrique par rapport à Π est pardénition le même point ( .-à.-d. M ′ = M) e qui entraîne par le prin ipe de Curie que n'importequel ve teur −→A (M) s'appuyant sur e point doit satisfaire :−→A′ (M) =

−→A (M) . (2.21)Si un ve teur −→

A (M) est engendré par les mêmes ve teurs de base que Π, la règle 1 entraîne−→A′ (M ′) =

−→A′ (M) =

−→A (M), e qui est onsistent ave (2.21). Par ontre, si on veut onsidérerque −→

A (M) soit perpendi ulaire à Π, la règle 2 i-dessus impose que −→A′ (M ′) =

−→A′ (M) =

−−→A (M) e qui n'est onsistent ave (2.21) que si −→A (M) =

−→0 . Pourquoi un vrai ve teur est né essairement perpendi ulaire à un plan Π′ d'antisy-métrie ?Si M appartient à un plan d'antisymétrie Π′ du système, son symétrique par rapport à Π′ estpar dénition le même point ( .-à.-d. M ′ = M) e qui entraîne par le prin ipe de Curie quen'importe quel ve teur −→A (M) s'appuyant sur e point doit satisfaire :

−→A′ (M) = −

−→A (M) . (2.22)Si un ve teur −→

A (M) soit engendré par les mêmes ve teurs de base que Π′, la règle 1 entraîne−→A′ (M ′) =

−→A′ (M) =

−→A (M) e qui n'est onsistent ave (2.22) que si −→A (M) =

−→0 . Par ontre,si le ve teur −→A (M) est perpendi ulaire à Π′, la règle 2 i-dessus impose que −→

A′ (M) = −−→A (M) e qui est onsistent ave (2.22). 26

Page 27: able - Fresnel

Chapitre 3Lois fondamentales de l'éle trostatique3.1 Flux du hamp éle trostatique3.1.1 Lignes de hampLe on ept de lignes de hamp (également appelées lignes de for e) est très utile pour se faire unereprésentation spatiale d'un hamp de ve teurs.Dénition : Une ligne de hamp d'un hamp de ve teur quel onque est une ourbe C déniedans l'espa e telle que, en ha un de ses points le ve teur y soit tangent. Considérons un dépla ementE

E

E

élémentaire −→dl le long d'une ligne de hamp éle trostatique C. Le fait que le hamp −→

E soit en toutpoint de C parallèle à −→dl s'é rit :

−→E ∧

−→dl =

−→0 . (3.1)

Figure 3.1 Lignes de hamp éle trique asso iés ave deux harges positives et une harge négative.Une façon de penser aux lignes de hamp est la suivante : si l'on pla e une harge positive surune ligne de hamp, la for e sera parallèle à la ligne de hamp ave l'orientation de la ligne du hampdonnée par la dire tion de la for e. Un exemple de ette démar he se trouve en Figure 3.1.1 i-dessusou on a représenté les lignes de hamp de deux harges positives et une harge négative.27

Page 28: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 3. LOIS FONDAMENTALES DE L'ÉLECTROSTATIQUEIl est important de remarquer qu'ave la représentation par lignes du hamp, nous n'avons pasd'information dire te sur l'intensité du hamp. L'intensité du hamp orrespond à la densité des lignesdu hamp (une densité de lignes hamp élévée orrespond à une région de forte amplitude du hamp).3.1.2 Dénition de uxLa notion de ux est toujours asso iée ave une surfa e S (de façon expli ite ou impli ite).Dénition : Le ux, Φv, d'un hamp ve toriel, −→V , à travers une surfa e orientée, −→

S ,est par dénition :Φv ≡

∫∫

S

−→V ·

−→dS . (3.2)C'est-à-dire, le ux d'un hamp ve toriel à travers une surfa e est la mesure du nombre de lignes dudit hamp traversant ette surfa e.Dans l'Eq.(3.2), le double intégrale, ∫∫S , indique une intégration sur la surfa e S. On se rappel quela diérentielle de surfa e orientée s'é rit, −→dS = dSn ou n est le ve teur unitaire normale à la surfa e.Pour une surfa e, S, quel onque, il va de soit qu'il y a deux sens possibles pour le ve teur n, et il fauten générale imposer un hoix (souvent arbitraire) sur le sens de n. Quand il s'agit d'une surfa e ferméepar ontre, l'intégrale est dénoté, ∫∫S , et la onvention habituelle est d'orienter n de l'intérieur versl'extérieur de la surfa e.Notre notion intuitive de ux orrespond au transport de quelque hose . En eet, si le ve teur,

−→V , représente la vitesse d'un uide de densité homogène, le ux est proportionnel à quantité deuide qui traverse la surfa e par unité de temps. Néanmoins, en physique, on peut parler de ux den'importe quel hamp ve toriel, omme le hamp éle trique −→

E , même en l'absense d'une quel onquequantité transporté à travers la surfa e.3.1.3 Notion d'angle solideLa notion d'angle solide est l'extension naturelle dans l'espa e de l'angle déni dans un plan. Parexemple, le ne de lumière onstruit par l'ensemble des rayons lumineux issus d'une lampe tor heest entièrement dé rit par la donnée de deux grandeurs : la dire tion (une droite) et l'angle maximald'ouverture des rayons autour de ette droite. On appelle ette droite la génitri e du ne et l'angleen question, l'angle au sommet.O

dW

Oa

dSrDénition : l'angle solide élémentaire dΩ, délimité par un ne oupant un élément desurfa e élémentaire dS située à une distan e r de son sommet O vaut :dΩ =

dS

r2(3.3)Cet angle solide est toujours positif et indépendant de la distan e r. Son unité est le stéradian (symbole sr).En oordonnées sphériques, la surfa e élémentaire à r onstant vaut dS = r2 sin θdθdφ. L'anglesolide élémentaire s'é rit alors dΩ = sin θdθdφ. Ainsi, l'angle solide délimité par un ne de révolution,d'angle au sommet α vaut

Ω =

∫dΩ =

∫ 2π

0dφ

∫ α

0sin θdθ = 2π (1− cosα) . (3.4)28

Page 29: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 3.1. FLUX DU CHAMP ÉLECTROSTATIQUELe demi-espa e, engendré ave α = π/2 (radians), orrespond don à un angle solide de 2π stéradians,tandis que l'espa e entier orrespond à un angle solide de 4π stéradians (α = π).O

dS’ dS

nq

q

D'une façon générale, le ne (ou le fais eau lumineux de l'exemple i-dessus) peut inter epter unesurfa e quel onque, dont la normale n fait un angle θ ave la génératri e de ve teur dire teur r. Ave la surfa e orientée −→dS ≡ dS n, l'angle solide élémentaire est déni par :

dΩ ≡

−→dS · r

r2=

dS n · r

r2=

dS cos θ

r2=

dS ′

r2, (3.5)où dS ′ est la surfa e ee tive (qui, par exemple, serait vue par un observateur situé en O).3.1.4 Théorème de GaussOn onsidère maintenant une harge pon tuelle q située en un point O de l'espa e. Le ux du hamp éle trostatique −→E , réé par ette harge, à travers une surfa e élémentaire quel onque orientéeest par dénition :

dΦe =−→E ·

−→dS ≡

−→E · ndS . (3.6)Par onvention, on oriente le ve teur unitaire n , normal à la surfa e dS, vers l'extérieur, 'est-à-diredans la dire tion qui s'éloigne de la harge q. Ainsi, pour q > 0, le hamp −→

E est dirigé dans le mêmesens que n et l'on obtient un ux positif.A partir du hamp réé par une harge pon tuelle, on obtient alors :dΦe =

q

4πǫ0

r · n

r2dS =

q

4πǫ0dΩ , (3.7) 'est-à-dire un ux dépendant dire tement de l'angle solide sous lequel est vue la surfa e et non desa distan e r (notez bien que dΩ > 0, q pouvant être positif ou négatif). Ce résultat est une simple onséquen e de la dé roissan e du hamp éle trostatique en 1/r2 : on aurait le même genre de résultatave le hamp gravitationnel.

1

2n3

n2

n1

n1

dW

q

dS1

dS1

dS2

dS3

dWFigure 3.2 Flux éle trique à travers une surfa e ferméeQue se passe-t-il lorsqu'on s'intéresse au ux total à travers une surfa e (quel onque) fermée ?Prenons le as illustré dans la gure 3.1.4 i-dessus. On a une harge q située à l'intérieur de la surfa e29

Page 30: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 3. LOIS FONDAMENTALES DE L'ÉLECTROSTATIQUES (enfermant ainsi un volume V ), surfa e orientée (en haque point de S, le ve teur n est dirigévers l'extérieur). Pour le rayon 1, on a simplement :

dΦ1 =q

4πǫ0dΩ , (3.8)mais le rayon 2 traverse plusieurs fois la surfa e, ave des dire tions diérentes. On aura alors une ontribution au ux :

dΦ2 =q

4πǫ0

(r · n1

r21dS1 +

r · n2

r22dS2 +

r · n3

r23dS3

)

=q

4πǫ0(dΩ− dΩ+ dΩ)

=q

4πǫ0dΩ . (3.9)Ce résultat est général, puisque pour une harge se trouvant à l'intérieur de S, un rayon dans unedire tion donnée va toujours traverser S un nombre impair de fois. En intégrant alors sur toutes lesdire tions ( 'est-à-dire sur les 4π stéradians), on obtient un ux éle trique totalΦe = ©

∫∫

S

−→E ·

−→dS =

q

ǫ0. (3.10)En vertu du prin ipe de superposition, e résultat se généralise aisément à un ensemble quel onquede harges. Don nous avons obtenu le :Théorème 1 - Théorème de Gauss : le ux du hamp éle trique à travers une surfa e ferméequel onque est égal, dans le vide, à 1/ǫ0 fois la harge éle trique ontenue à l'intérieur de ette surfa e(N.B. ve teur normale lo ale de la surfa e orientée vers l'extérieur) :

Φe ≡ ©

∫∫

S

−→E ·

−→dS =

Qint

ǫ0. (3.11)Remarques :1. Du point de vue physique, le théorème de Gauss fournit le lien entre le ux du hamp éle tro-statique et les sour es du hamp, à savoir les harges éle triques.2. La démonstration pré édente utilise la loi de Coulomb qui, elle, est un fait expérimental et n'estpas démontrée. Inversement, on peut retrouver la loi de Coulomb à partir du théorème de Gauss : 'est e qui est fait dans l'éle tromagnétisme, dans lequel le théorème de Gauss onstitue une loifondamentale, non démontrable (l'une des quatre équations de Maxwell).3.1.5 Exemples d'appli ationsLe théorème de Gauss fournit une méthode très utile pour al uler le hamp −→

E lorsque elui- i possède des propriétés de symétrie parti ulières. Celles- i doivent en eet permettre de al ulerfa ilement le ux Φe. Comme le théorème de Gauss est valable pour une surfa e quel onque, il noussut de trouver une surfa e S adaptée, 'est-à-dire respe tant les propriétés de symétrie du hamp,appelée surfa e de Gauss .Champ éle trostatique réé par un plan inni uniformément hargéOn onsidère un plan inni Π portant une harge éle trique σ uniforme par unité de surfa e.Pour utiliser Gauss, il nous faut d'abord onnaître les propriétés de symétrie du hamp −→E . Tousles plans perpendi ulaires au plan inni Π sont des plans de symétrie de elui- i : −→

E appartientaux plans de symétrie, il est don perpendi ulaire à Π. Si e plan est engendré par les ve teurs30

Page 31: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 3.1. FLUX DU CHAMP ÉLECTROSTATIQUEn=z

n=P

S1

S2

n

SL

S r=r

n= - z

(x, y) alors −→E = Ez (x, y, z) z. Par ailleurs, l'invarian e par translation selon x et y nous fournit

−→E (x, y, z) = Ez (z) z. Le plan Π ( .-à-d. le plan z = 0) est lui-même plan de symétrie, don Ez (z) estimpaire.Etant donné es propriétés de symétrie, la surfa e de Gauss la plus adaptée est un ylindre dese tions parallèles au plan et situées à des hauteurs symétriques (dénoté par ±z). Le ux à travers ette surfa e est alors :

Φe = ©

∫∫

S

−→E ·

−→dS = ©

∫∫

S1

−→E ·

−→dS1 +©

∫∫

S2

−→E ·

−→dS2 +©

∫∫

SL

−→E ·

−→dSL

= Ez (z)S − Ez (−z)S + 0 = 2EzS

=Qint

ǫ0=

1

ǫ0

∫∫

S

σdS =σS

ǫ0. (3.12)où nous avons utilisé le fait que S1 = S2 = S et que E ·−→dSL = 0. Il s'ensuit que le hamp éle trostatique réé par un plan inni uniformément hargé vaut :

−→E = Ezz =

σ

2ǫ0z . (3.13)Ce résultat n'est valable que pour z > 0. En se rappelant que le hamp Ez est impair en z, on peuté rire e résultat sous une forme valable pour z ≶ 0 :

−→E = sgn(z)

σ

2ǫ0z ≡

z

|z|

σ

2ǫ0z . (3.14)Remarques :1. Le hamp ne varie pas ave la distan e. Ce i est une onséquen e du fait que le plan estsupposé inni.2. On peut en ore appliquer e résultat pour une surfa e quel onque hargée uniformé-ment. Il sut alors d'interpréter −→

E omme le hamp au voisinage immédiat de lasurfa e : susamment près, elle- i peut être assimilée à un plan inni.3. Le hamp subit une variation de dire tion brusque en traversant le plan de harge surfa ique.Ce saut du hamp est hara téristique des problèmes on ernant des densités de hargesurfa ique. Nous le reverrons plus en détail dans le hapitre suivant.Champ réé par une boule uniformément hargéeOn onsidère une boule (sphère pleine) de entre O et rayon a, hargée ave une distributionvolumique homogène de harges ρ0. Cette distribution possédant une symétrie sphérique, le hampéle trostatique qui en résulte aura la même symétrie, don −→E(−→r)= Er (r) r.31

Page 32: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 3. LOIS FONDAMENTALES DE L'ÉLECTROSTATIQUELa surfa e de Gauss adaptée à la symétrie du problème est une sphère de rayon r entrée surl'origine et l'évaluation de l'intégrale surfa ique dans le théorème de Gauss donne :Φe = ©

∫∫

S

−→E ·

−→dS = ©

∫∫

SE (r) dS = Er (r) 4πr

2

=Qint

ǫ0. (3.15)

y

z

O

r<a

r>a

x

a

r0

S2

S1

Ave e résultat en main, il nous sut à déterminer le hamp dans les deux régions distin tes, r < aet r > a : Lorsque r < a, il n'y a qu'un partie de la harge totale de la sphère à l'intérieur de la surfa e deGauss, S1 (Qint =43πr

3ρ0), et la formule de l'éq.(3.15) nous donne :Er (r) =

Qint

4πǫ0r2=

43πr

3ρ0

4πr2ǫ0=

ρ03ǫ0

r r < a (3.16) Lorsque r > a, la sphère de Gauss enferme un volume V supérieur à elui de la boule, mais ladistribution de harges n'est non nulle que jusqu'en r = a. Don on a simplement que la hargeà l'intérieur de S2 est Qint = Qtot =43πa

3ρ0 e qui fournit dans l'éq.(3.15) que :Er (r) =

Qtot

4πǫ0r2=

ρ03ǫ0

a3

r2r > a (3.17)On vient ainsi de démontrer, sur un as simple, qu'une distribution de harges à symétrie sphé-rique produit à l'extérieur de la distribution, le même hamp qu'une harge pon tuelle égale,située en O.3.1.6 Cir ulation du hamp éle trostatiqueOn va démontrer i-dessous qu'il existe un hamp s alaire V , appelé potentiel éle trostatique, dénitdans tout l'espa e et qui permet de re onstruire le hamp éle trostatique −→

E . Outre une ommodité de al ul (il est plus fa ile d'additionner deux s alaires que deux ve teurs), l'existen e d'un tel s alairetraduit des propriétés importantes du hamp éle trostatique. Mais tout d'abord, est-il possible d'obtenirun hamp de ve teurs à partir d'un hamp s alaire ?Prenons un s alaire V (M) déni en tout point M de l'espa e (on dit un hamp s alaire). Unevariation dV de e hamp lorsqu'on passe d'un point M à un point M ′ inniment pro he est alorsfourni par la diérentielle totale :dV (M) =

3∑

i=1

∂V

∂xidxi =

−−−→gradV · d

−−−→OM , (3.18)32

Page 33: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 3.1. FLUX DU CHAMP ÉLECTROSTATIQUEoù le ve teur −−−→gradV , est le gradient du hamp s alaire V et onstitue un hamp de ve teurs dénipartout. Ses omposantes dans un système de oordonnées donné sont obtenues très simplement. Parexemple, en oordonnées artésiennes, on a d

−−−→OM = dxx+ dyy + dzz et

dV =∂V

∂xdx+

∂V

∂ydy +

∂V

∂zdz , (3.19)d'où l'expression suivante pour le gradient en oordonnées artésiennes

−−−→gradV =

∂V

∂xx+

∂V

∂yy +

∂V

∂zz =

∂V∂x∂V∂y∂V∂z

. (3.20)En faisant de même en oordonnées ylindriques et sphériques on trouve respe tivement d

−−−→OM =

dρρ + ρdφφ + dzz et d−−−→OM = drr + rdθθ + r sin θdφφ e qui amènent aux expressions respe tivespour le gradient en oordonnées ylindriques et sphériques :

−−−→gradV = ρ

∂V

∂ρ+ φ

1

ρ

∂V

∂φ+ z

∂V

∂z=

∂V∂ρ

1ρ∂V∂φ

∂V∂z

−−−→gradV = r

∂V

∂r+ θ

1

r

∂V

∂θ+ φ

1

r sin θ

∂V

∂φ=

∂V∂r

1r∂V∂θ

1r sin θ

∂V∂φ

. (3.21)Un dépla ement d

−−−→OM = MM ′ le long d'une ourbe (ou surfa e) dénie par V = Constante orres-pond à dV = 0, e qui signie que −−−→

gradV est un ve teur qui est perpendi ulaire en tout point à ette ourbe (ou surfa e).Par ailleurs, plus les omposantes du gradient sont élevées et plus il y a une variation rapide de V .Or, 'est bien e qui semble se produire, par exemple, au voisinage d'une harge éle trique q : les lignesde hamp éle trostatique sont des droites qui onvergent (q < 0) ou divergent (q > 0) toutes vers la harge. Il est don tentant d'asso ier le hamp −→E (ve teur) au gradient d'une fon tion s alaire V .En fait, depuis Newton (1687) et sa loi de gravitation universelle, de nombreux physi iens et ma-thémati iens s'étaient pen hé sur les propriétés de ette for e radiale en 1/r2. En parti ulier Lagrangeavait ainsi introduit en 1777 une fon tion s alaire appelée potentiel, plus fondamentale puisque lafor e en dérive. C'est Poisson qui a introduit le potentiel éle trostatique en 1813, par analogie ave laloi de Newton.Dénition : le potentiel éle trostatique V est relié au hamp éle trostatique −→

E par−→E = −

−−−→gradV . (3.22)Remarques :1. Le signe moins est une onvention liée à elle adoptée pour l'énergie éle trostatique ( f. hapitre5).2. La onséquen e de ette dénition du potentiel est dV (M) = −

−→E · d

−−−→OM pour un dépla ementinnitésimal quel onque.3. Les lignes de hamp éle trostatique sont perpendi ulaires aux ourbes équipotentielles.Dénition : la ir ulation du hamp éle trostatique le long d'une ourbe allant de A vers B est

∫ B

A

−→E ·

−→dl = −

∫ B

AdV = V (A)− V (B) . (3.23)Remarques : 33

Page 34: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 3. LOIS FONDAMENTALES DE L'ÉLECTROSTATIQUEVA

E

V VB A<1. Cette ir ulation est onservative : elle ne dépend pas du hemin suivi. Du oup, on dit qu'un hamp est onservateur du moment qu'on peut l'exprimer partout omme un gradient d'un hamp s alaire.2. La ir ulation du hamp éle trostatique sur une ourbe fermée (on retourne en A) est nulle. Onverra plus loin que e i est d'une grande importan e en éle tro inétique.3. D'après la relation i-dessus, le long d'une ligne de hamp, 'est-à-dire pour −→E ·

−→dl > 0 on a

V (A) > V (B). Les lignes de hamp éle trostatiques vont dans le sens des potentiels dé roissants.3.1.7 Potentiel réé par une harge pon tuelleNous venons de voir l'interprétation géométrique du gradient d'une fon tion s alaire et le lien ave la notion de ir ulation. Mais nous n'avons pas en ore prouvé que le hamp éle trostatique pouvaitee tivement se déduire d'un potentiel V !M ’

O

z

x

M

r=OM

f

q

y

E( )M

M’

dOM=MM ’

Considérons don une harge pon tuelle q située en un point O pris omme l'origine d'un systèmede oordonnées sphériques. En un point M de l'espa e, ette harge rée un hamp éle trostatique −→E .Le potentiel éle trostatique est alors donné par :

dV (M) = −−→E · d

−−−→OM = −

q

4πǫ0

r ·−→dr

r2= −

q

4πǫ0

dr

r2, (3.24) 'est-à-dire, après intégration suivant r,

V (r)− V (∞) =q

4πǫ0

∫ ∞

r

dr

r2= −

q

4πǫ0

1

r

∣∣∣∣∞

r

=q

4πǫ0

1

r, (3.25) e qu'on é rit souvent dans la forme

V (r) =q

4πǫ0

1

r+ V (∞) =

q

4πǫ0

1

r+ V0 , (3.26)où la onstante d'intégration V0 est le potentiel à l'inni.34

Page 35: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 3.1. FLUX DU CHAMP ÉLECTROSTATIQUERemarques :1. La onstante d'intégration V0 orrepsond à la valeur absolue du potential éle trostatique à ª'in-ni. Ce i est arbitraire puisque seulement des diéen es de potentiel sont mesurables. C'est une onvention universelle de prendre le potentiel nul à l'inni ( .-à-d. V0 = 0).2. L'unité du potentiel est le Volt . En unités du système international (SI) le Volt vaut :[V ] = [E.m] = NmC−1 = kg.m2.s−3.A−1(unités SI de base) .3. Si l'on veut se donner une représentation du potentiel, on peut remarquer qu'il mesure le degréd'éle tri ation d'un ondu teur (voir Chapitre 4). Il y a en fait une analogie formelle entre d'un oté, le potentiel V et la température T d'un orps, et de l'autre, entre la harge Q et la haleurdéposée dans e orps.3.1.8 Potentiel réé par un ensemble de hargesConsidérons maintenant un ensemble de N harges pon tuelles qi distribuées aux points Pi danstout l'espa e. En vertu du prin ipe de superposition, le hamp éle trostatique total −→E =

∑Ni=1

−→E i estla somme ve torielle des hamps −→

E i réés par haque harge qi . On peut don dénir un potentieléle trostatique total V (M) =∑N

i=1 Vi (M) tel que −→E = −

−−−→gradV soit en ore vérié. En utilisantl'expression du potentiel réé par une harge unique, on obtient :

V (M) =1

4πǫ0

N∑

i=1

qiri

+ V0 , (3.27)où ri = PiM =∥∥∥−−−→PiM

∥∥∥ est la distan e entre la harge qi et le point M .Lorsqu'on s'intéresse à des é helles spatiales qui sont très grandes par rapport aux distan es entreles harges qi , on peut faire un passage à la limite ontinue et rempla er la somme dis rète parune intégrale ∑i qi (Pi) →∫dq (P ) où P est un point ourant autour duquel se trouve une harge élémentaire dq. Le potentiel éle trostatique réé par une distribution de harges ontinue est alorsV (M) =

1

4πǫ0

∫dq

r+ V0 r ≡ PM . (3.28)Remarques :1. Pour une distribution de harges nie, V0 est simplement le potentiel à l'inni (examiner la limite

PM → ∞). Dans e as, la onvention est de prendre V0 = 0.2. Pour des distributions de harges linéique λ, surfa ique σ et volumique ρ, on obtient respe tive-mentV (M) =

1

4πǫ0

∫λdl

r, V (M) =

1

4πǫ0

∫∫σdS

r, V (M) =

1

4πǫ0

∫∫∫ρ dV

r. (3.29)où r ≡ PM .3. Noter que l'on ne peut pas évaluer le potentiel (ni le hamp d'ailleurs) d'une parti ule en utilisantl'expression dis rète ( 'est-à-dire pour ri = 0). Par ontre, on peut le faire ave une distribution ontinue (surfa ique ou volumique) : 'est dû au fait que dq/r onverge lorsque r tend vers zéropour une distribution surfa ique ou volumique.35

Page 36: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 3. LOIS FONDAMENTALES DE L'ÉLECTROSTATIQUE3.2 Equations diérentielles et intégrales de l'éle trostatique3.2.1 Forme lo ale du théorème de GaussLe théorème de Gauss, tel que nous l'avons présenté dans l'éq.(3.11), est apparu sous une formeintégrale. Le ux à travers une surfa e fermée est relié à la quantité de harges intérieures à e volume,sans dépendre de leur distribution. Puisque ette formule mar he pour n'importe quelle volume, elleimplique l'existen e d'une loi lo ale ou diérentielle qui relie deux grandeurs en un point −→r . (Commepar exemple la relation −→E = −

−−−→gradV qui est lo ale dans le sens que le hamp en −→r est lié à la dérivéedu potentiel en e même point −→r .)Si on laisse le volume dans la forme intégrale de Gauss, l'éq.(3.11), devient innitéssimal, (δV → 0)on démontre dans 3.2.2 i-dessous que la loi de Gauss intégrale prend la forme :[∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z

]δV =

ρ

ǫ0δV . (3.30)La forme lo ale (ou diérentielle) de l'éq.(3.11) est don :

∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z=

ρ

ǫ0. (3.31)Elle relie, en haque point de l'espa e, la somme des trois dérivées partielles é rites i-dessus à ladensité de harge volumique en e même point. Les harges surfa iques, linéiques et pon tuelles sontdes idéalisations de la distribution des harges qui doivent être traitées ave pré aution (La théorie desdistributions est notamment bien adapté à e genre de situation).Pour un hamp ve teur −→A donné, les physi iens ont pris l'habitude de noter :

div−→A =

∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z. (3.32)La forme lo ale du théorème de Gauss s'é rit alors :

div−→E =

ρ

ǫ0. (3.33)La divergen e (div) d'un ve teur est un s alaire. Cet être mathématique vient rejoindre le gradient etle rotationnel dans e que l'on appelle l'analyse ve torielle. N.B.Dans le vide ρ = 0 et div

−→E = 0 . (3.34)Comme le gradient et le rotationnel, la divergen e présente des expressions distin tes en oordonnées artésiennes, ylindriques et sphériques.3.2.2 Dérivation de la forme lo ale de Gauss (esquisse)Considérons un petit parallélépipède re tangle entré en un point d'abs isse x0, y0, z0 et de tés

a, b et c (voir gure 3.3). Les deux fa es perpendi ulaires à la dire tion Ox sont situées en x = x0−a/2et x = x0 + a/2. Les tés de es fa es sont b (parallèlement à Oy) et c (parallèlement à Oz). L'aire de es deux fa es est égale au produit bc.Reproduire le même raisonnement pour les autres fa es.L'ensemble des 6 re tangles (tels que ABCD) forme une surfa e fermée entourant le volume δV =

abc du parallélépipède re tangle 36

Page 37: able - Fresnel

Ele tromagnétisme3.2. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET INTÉGRALES DE L'ÉLECTROSTATIQUED

y -b0 /2

x

S4

S5

S6

S3

S1

S2

y

z

H G

C

E F

A B

y +b0 /2

z +c0 /2

z -c0 /2 x +a0 /2

x -a0 /2

( , ,x y0 0 z0)

Figure 3.3 Parallélépipède de volume δV = abc entré sur le point (x0, y0, z0)Les ve teurs −→S 1, −→S 2, −→S 3, −→S 4, −→S 5, −→S 6 représentant les surfa es des re tangles sont orientées versl'extérieur du volume et s'é rivent :−→S 1 =

bc

0

0

−→S 2 =

−bc

0

0

−→S 3 =

0

ac

0

−→S 4 =

0

−ac

0

−→S 5 =

0

0

ab

−→S 6 =

0

0

−ab

. (3.35)Le ux total de −→

E à travers la surfa e parallélépipédique fermée s'é rit :Φe =

(−→E 1 ·

−→S 1 +

−→E 2 ·

−→S 2

)+(−→E 3 ·

−→S 3 +

−→E 4 ·

−→S 4

)+(−→E 5 ·

−→S 5 +

−→E 6 ·

−→S 6

)

= Φ12 +Φ34 +Φ56 . (3.36)Déterminons Φ12, 'est-à-dire la somme des ux du hamp éle trique à travers les surfa es −→S 1 et−→S 2. Pour ela, faisons gurer es deux surfa es de prol. −→E 1 est le hamp éle trique −→E 1 en x = x0+a/2.−→E 1 =−→

E (x0 + a/2, y0, z0). (et −→E 2 =−→E (x0 − a/2, y0, z0)).

xS1

S2

z

G,HC,D

E,FA,B

( , ,x y0 0 z0)

E2E1

x +a0 /2x -a0 /2Puisque bc est l'aire du re tangle ABCD, et au vu de l'orientation de −→S 1 qui n'a de omposanteque suivant l'axe Ox, le ux de −→E à travers la surfa e −→S 1 s'é rit : (bc)Ex (x0 + a/2, y0, z0). Faisons demême ave le ux travers −→S 2, nous avons don :

Φ12 =−→E 1 ·

−→S 1 +

−→E 2 ·

−→S 2

= (bc)Ex (x0 + a/2, y0, z0) + (−bc)Ex (x0 − a/2, y0, z0)

= (bc) [Ex (x0 + a/2, y0, z0)− Ex (x0 − a/2, y0, z0)] . (3.37)37

Page 38: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 3. LOIS FONDAMENTALES DE L'ÉLECTROSTATIQUEDans la limite où a tend vers 0, on peut faire un développement limité autour de x0, y0, z0,Ex (x0 + a/2, y0, z0) = Ex (x0, y0, z0) +

(a2

) ∂Ex

∂x(x0, y0, z0)

Ex (x0 − a/2, y0, z0) = Ex (x0, y0, z0)−(a2

) ∂Ex

∂x(x0, y0, z0) , (3.38)d'où

Φ12 = abc∂Ex

∂x(x0, y0, z0) , (3.39)où le produit abc n'est autre que le volume δV du parallélépipède re tangle. Les ux Φ34 et Φ56 peuventêtre al ulés de la même façon, e qui onduit à :

Φe → δV ×

(∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z

)≡ δV div

−→E . (3.40)La harge à l'intérieur du volume est la densité lo ale de harge ρ(x0, y0, z0) multipliée par le volumedu parallélépipède, .-à-d. Qint = ρδV, et la loi de Gauss pour un volume innitessimal prend don laforme, Φe = δV div

−→E = δV ρ

ǫ0.L'appli ation du théorème de Gauss à un volume innitésimal donne don une forme lo ale (dié-rentielle) de ette loi :

div−→E =

ρ

ǫ0. (3.41)Nous pouvons également utiliser le théorème de Green-Ostrogradsky de l'éq.(11.15) an d'allerdans l'autre sens et voir que la forme intégrale du théorème de Gauss est une onséquen e dire te desa formulation diérentielle.

div−→E =

ρ

ǫ0⇔ ©

∫∫

S

−→E ·

−→dS =

Qint

ǫ0. (3.42)Autrement dit : les formes diérentielle et intégrale du théorème de Gauss sont deux expressionsmathématiques de la même relation physique fondamentale.3.2.3 Equations fondamentales de l'éle trostatiqueIl s'avère que toute l'éle trostatique du vide peut être formulé en termes d'équations diérentielles.En eet, on peut montrer que l'autre loi lo ale de l'éle trostatique, le fait qu'on peut exprimer −→

E omme un gradient d'un hamp s alaire, est équivalent au fait que la rotationnelle de −→E soit nullepartout :

−→E = −

−−−→gradV ⇔

−→rot

−→E =

−→0 . (3.43)(Voir 11.17 de l'appendi e des maths pour une démonstration de −→

rot−−−→gradf =

−→0 ) N.B. Un hamp onservateur est ara térisé par −→rot−→A = 0 dans toute l'espa e.Don en résumé, on peut formuler toute l'éle trostatique du vide ave deux équations diérentiellesde premier ordre :

div−→E =

ρ

ǫ0et −→

rot−→E =

−→0 . (3.44)3.2.4 Equation de PoissonOn peut également formuler l'éle trostatique en termes d'une seule équation diérentielle (dedeuxième ordre) appelée équation de Poisson. La ombinaison de la forme lo ale du théorème deGauss div−→E = ρ/ǫ0 et de la relation −→

E = −−−−→gradV onduit à l'équation de Poisson. En eet :

div−→E =

∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z= −

∂(∂V∂x

)

∂x−

∂(∂V∂y

)

∂y−

∂(∂V∂z

)

∂z=

ρ

ǫ0,38

Page 39: able - Fresnel

Ele tromagnétisme3.2. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET INTÉGRALES DE L'ÉLECTROSTATIQUEentraîne∂2V

∂x2+

∂2V

∂y2+

∂2V

∂z2= −

ρ

ǫ0, e qui est l'équation de Poisson. Elle se synthétise en :

∆V = −ρ

ǫ0(3.45)où :

∆ ≡ div−−−→grad (3.46)dénie un opérateur d'analyse ve torielle appelé Lapla ien. Nous avons démontré qu'en oordonnées artésiennes, elle s'exprime simplement omme

∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2. (3.47)On peut démontrer mathématiquement (mais nous ne le ferons pas i i) que la solution générale del'équation de Poisson, l'éq.(3.45), peut s'é rire sous forme intégrale :

V(−→x)=

1

4πǫ0

∫∫∫ρ(−→x ′

)∥∥−→x −−→x ′

∥∥d3x′ + V0 , (3.48)qui n'est rien d'autre que l'expression pour le potentiel trouvé en (3.28) et (3.29) (ave une notationun peu plus sophistiqué). Prenant le gradient de ette expression, on obtient

−→E(−→x)= −

−−−→gradV

(−→x)=

1

4πǫ0

∫∫∫ −→x −−→x ′

∥∥−→x −−→x ′∥∥3ρ

(−→x ′)d3x′ , (3.49)qui est de nouveau l'expression intégrale de l'équation du hamp éle trique déduite de la for e deCoulomb dans le hapitre 2. Don la bou le est bou lée, et on retrouve la physique de Coulomb enprenant les équations diérentielles de l'éq.(3.44) omme point de départ. Bien qu'on puisse en déduireune formulation de l'autre, l'histoire (et la pratique) de la physique démontrent que la formulation del'éle tromagnétisme en termes de hamps est plus porteur pour les développements qui vont suivre quele point de vu de Coulomb en termes de for es agissant entre des harges à distan e.

39

Page 40: able - Fresnel

Chapitre 4Condu teurs en équilibre4.1 Condu teurs isolés4.1.1 Notion d'équilibre éle trostatiqueJusqu'à présent, nous nous sommes intéressés uniquement aux harges éle triques et à leurs eets.Que se passe-t-il pour un orps ondu teur dans lequel les harges sont libres de se dépla er ?Prenons une baguette en plastique et frottons-la. On sait qu'elle devient éle trisée par e qu'elledevient alors apable d'attirer des petits bouts de papier. Si on la met en onta t ave une autrebaguette, alors ette deuxième devient également éle trisée, 'est-à-dire atteint un ertain degré d'éle -trisation. Au moment du onta t des deux baguettes, des harges éle triques passent de l'une à l'autre,modiant ainsi le nombre de harges ontenues dans ha une des baguettes, jusqu'à e qu'un équilibresoit atteint. Comment dénir un tel équilibre ?Dénition : l'équilibre éle trostatique d'un ondu teur est atteint lorsqu'au une harge éle triquene se dépla e plus à l'intérieur du ondu teur.Du point de vue des harges élémentaire, ela signie que le hamp éle trostatique total àl'intérieur du ondu teur est nul.Comme le hamp dérive d'un potentiel, ela implique qu'un ondu teur à l'équilibre éle tro-statique est équipotentiel.Remarques :1. Si le ondu teur est hargé, le hamp éle trostatique total est (prin ipe de superposition) lasomme du hamp extérieur et du hamp réé par la distribution de harges ontenues dans le ondu teur. Cela signie que les harges s'arrangent (se dépla ent) de telle sorte que le hampqu'elles réent ompense exa tement, en tout point du ondu teur, le hamp extérieur.2. Nous voyons apparaître i i une analogie possible ave la thermodynamique :Equilibre éle trostatique ⇐⇒ Equilibre thermodynamiquePotentiel éle trostatique ⇐⇒TempératureCharges éle triques ⇐⇒ ChaleurEn eet, à l'équilibre thermodynamique, deux orps de températures initialement diérentes misen onta t, a quièrent la même température nale en é hangeant de la haleur (du plus haud vers leplus froid).4.1.2 Quelques propriétés des ondu teurs en équilibre(a) Lignes de hamp Nous avons vu que, à l'intérieur d'un ondu teur ( hargé ou non) le hampéle trostatique total est nul. Mais e n'est pas for ément le as à l'extérieur, en parti ulier si le40

Page 41: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 4.1. CONDUCTEURS ISOLÉS ondu teur est hargé. Puisqu'un ondu teur à l'équilibre est équipotentiel, ela entraîne alorsque, sa surfa e étant au même potentiel, le hamp éle trostatique est normal à la surfa e d'un ondu teur. Par ailleurs, au une ligne de hamp ne peut revenir vers le ondu teur. En eet,la ir ulation du hamp le long de ette ligne imposeV (A)− V (B) =

∫ B

A

−→E ·

−→dlSi les points A et B appartiennent au même ondu teur, alors la ir ulation doit être nulle, equi est impossible le long d'une ligne de hamp (où, par dénition −→

E est parallèle à −→dl ).

+

+

+

+ + + ++

+ ++

+++

+

+++ + + + +

E = 0

V=Cst

Impossible

(b) Distribution des harges Si un ondu teur est hargé, où se trouvent les harges non om-pensées ? Supposons qu'elles soient distribuées ave une distribution volumique ρ. Prenons unvolume quel onque V situé à l'intérieur d'un ondu teur à l'équilibre éle trostatique. En vertudu théorème de Gauss, on a©

∫∫

S

−→E ·

−→dS = ©

∫∫∫

V

ρ

ǫ0dV = 0puisque le hamp −→

E est nul partout. Cela signie que ρ = 0 (autant de harges + que de harges −) et don , qu'à l'équilibre, au une harge non ompensée ne peut se trouver dans levolume o upé par le ondu teur. Toutes les harges non ompensées se trouvent don né essairement lo alisées à la surfa e du ondu teur.Ce résultat peut se omprendre par l'eet de répulsion que elles- i exer ent les unes sur lesautres. A l'équilibre, les harges tendent don à se trouver aussi éloignées les unes des autresqu'il est possible de le faire.( ) Théorème de Coulomb En un point M inniment voisin de la surfa e S d'un ondu teur, le hamp éle trostatique −→E est normal à S. Considérons une petite surfa e Sext parallèle à lasurfa e S du ondu teur. On peut ensuite onstruire une surfa e fermée Σ en y adjoignant unesurfa e rentrant à l'intérieur du ondu teur Sint ainsi qu'une surfa e latérale SL . En appliquantle théorème de Gauss sur ette surfa e fermée, on obtient

Φ = ©

∫∫

Σ

−→E ·

−→dS =

∫∫

SL

−→E ·

−→dSL +

∫∫

Sint

−→E ·

−→dSint +

∫∫

Sext

−→E ·

−→dSext

=

∫∫

Sext

−→E ·

−→dSext = ESext =

Qint

ǫ0=

1

ǫ0

∫∫

SM

σdS =σSM

ǫ0(4.1)où SM est la surfa e dessinée par le tube de ux passant par Sext , don SM = Sext (on peut hoisir es surfa es aussi petites que l'on veut). Mettant e résultat dans la relation σSM

ǫ0= ESextobtenue dans l'éq.(4.1) on obtient le :Théorème de Coulomb : le hamp éle trostatique à proximité immédiate d'un ondu teur dedensité surfa ique σ vaut

−→E =

σ

ǫ0n (4.2)41

Page 42: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 4. CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRES

S

n

n

Sext

Sint

SMn

SL

où n est un ve teur unitaire normal au ondu teur et dirigé vers l'extérieur.Lorsque le hamp au voisinage d'un ondu teur dépasse une ertaine limite, une étin elle estobservée : le milieu entourant le ondu teur devient alors ondu teur. Ce hamp maximal, del'ordre de 3 Méga V/m dans l'air, est appelé hamp disruptif. Il orrespond à l'ionisation desparti ules du milieu (molé ules dans le as de l'air).4.1.3 Pression éle trostatiqueSoient deux points M et M ′ inniment pro hes de la surfa e d'un ondu teur de densité surfa iqueσ, M situé à l'extérieur tandis que M ′ est situé à l'intérieur. Considérons maintenant une surfa eélémentaire dS située entre es deux points. Soit −→

E 1 le hamp réé en M par les harges situées surdS et −→E2 le hamp réé en M par toutes les autres harges situées à la surfa e du ondu teur. Soient−→E ′

1 et −→E ′2 les hamps respe tifs en M ′.

dSM

M

E1 E2

E1 E2

On a alors les trois propriétés suivantes :1. −→E 2 =

−→E ′

2 ar M et M ′ sont inniment pro hes.2. −→E ′

2 = −−→E ′

1 ar le hamp éle trostatique à l'intérieur du ondu teur est nul.3. −→E 1 = −

−→E ′

1 ar −→E1 est symétrique par rapport à dS, onsidérée omme un plan puisque M et

M ′ peuvent être inniment rappro hés.Grâ e à es trois propriétés, on en déduit que −→E 2 =

−→E 1, 'est-à-dire que la ontribution de l'en-semble du ondu teur est égale à elle de la harge située à proximité immédiate. Comme le hamptotal vaut −→E =

−→E 1+

−→E2 =

σǫ0n (théorème de Coulomb), on en déduit que le hamp réé par l'ensembledu ondu teur (à l'ex lusion des harges situées en dS) au voisinage du point M est −→E 2 =

σ2ǫ0

n.Autrement dit, la for e éle trostatique −−→d2F subie par ette harge dq = σdS de la part de l'ensembledes autres harges du ondu teur vaut−−→d2F = dq

−→E 2 = σdS

σ

2ǫ0n =

σ2

2ǫ0ndS (4.3)Quel que soit le signe de σ, la for e est toujours normale et dirigée vers l'extérieur du ondu teur. Cettepropriété est ara téristique d'une pression, for e par unité de surfa e. Ainsi, la pression éle trostatique42

Page 43: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 4.1. CONDUCTEURS ISOLÉSsubie en tout point d'un ondu teur vaut :P =

σ2

2ǫ0. (4.4)Cette pression est en général trop faible pour arra her les harges de la surfa e du ondu teur. Maiselle peut déformer ou dépla er la surfa e, les harges ommuniquant au solide la for e éle trostatiquequ'elles subissent.4.1.4 Pouvoir des pointes

S1

fil conducteurR1S2

R2

L'expression Pouvoir des pointes dé rit le fait expérimental que, à proximité d'une pointe, le hamp éle trostatique est toujours très intense. En vertu du théorème de Coulomb, ela signie que ladensité surfa ique de harges est, au voisinage d'une pointe, très élevée. On peut aborder e phénomèneave deux sphères hargées de rayons diérents, reliées par un l ondu teur et pla ées loin l'une del'autre. On peut don onsidérer que haque sphère est isolée mais qu'elle partage le même potentielV . Cela implique alors :

V1 = V2 ⇐⇒1

4πǫ0

∫∫

S1

σ1dS1

R1=

1

4πǫ0

∫∫

S2

σ2dS2

R2

⇐⇒σ1R1

ǫ0=

σ2R2

ǫ0

⇐⇒σ1σ2

=R2

R1. (4.5)Don , plus le rayon de la sphère sera petit et plus sa densité de harges sera élevée. Tout se passe ommesi les harges préféraient les zones à forte ourbure. A priori, ela semble en ontradi tion ave l'idéenaïve que les harges non ompensées ont tendan e à se repousser mutuellement. Le résultat i-dessusnous montre l'eet d'une pointe (a umulation de harges), mais ne nous ore au une expli ation de ephénomène. Qu'est e qui, physiquement, a permis une a umulation de harges sur une pointe ?Prenons une sphère hargée pla ée seule dans l'espa e. Se repoussant mutuellement, les hargesvont produire une distribution surfa ique uniforme. Maintenant, si l'on fait une pointe (zone onvexe)les harges situées en haut de la pointe voient non seulement le hamp éle trostatique réé par les harges immédiatement voisines, mais également elui réé par les harges situées sur les bords de lapointe. Quand une harge se retrouve, sous l'eet répulsif des autres harges, repoussée vers la pointe,le hamp qu'elle-même rée devient moins important (puisqu'elle est éloignée des autres harges) vis-à-vis des harges restées sur la partie uniforme de la sphère. Cela permet ainsi à une autre hargede prendre sa pla e : ette nouvelle harge se dépla e don et se retrouve elle-même repoussée sur lapointe. Le ondu teur atteint l'équilibre éle trostatique lorsque le hamp répulsif réé par toutes les harges a umulées au niveau de la pointe ompense elui réé par les harges restées sur le orps du ondu teur. 43

Page 44: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 4. CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE4.1.5 Capa ité d'un ondu teur isoléNous avons vu qu'il était possible de faire une analogie entre la température d'un orps et lepotentiel éle trostatique. Or, pour une quantité de haleur donnée, la température d'un orps dépenden fait de sa apa ité alorique. Il en va de même pour le potentiel éle trostatique : il dépend de la apa ité du orps à absorber les harges éle triques qu'il reçoit. On peut don suivre ette analogieet dénir une nouvelle notion, la apa ité éle trostatique :Capa ité éle trostatique ⇐⇒ Capa ité alorique .Soit un ondu teur à l'équilibre éle trostatique isolé dans l'espa e, hargé ave une distributionsurfa ique σ et porté au potentiel V . Celui- i s'é rit :V (M) =

1

4πǫ0

∫∫

Surface

σ (P ) dS

PM,en tout point M du ondu teur, le point P étant un point quel onque de sa surfa e. Par ailleurs, la harge éle trique totale portée par e ondu teur s'é rit

Q =

∫∫

Surface

σ (P ) dS .Si on multiplie la densité surfa ique par un oe ient onstant a, on obtient une nouvelle harge totaleQ′ = aQ et un nouveau potentiel V ′ = aV . On a ainsi un nouvel état d'équilibre éle trostatique,parfaitement déni. On voit don que, quoi qu'on fasse, tout état d'équilibre d'un ondu teur isolé( ara térisé par Q et V ) est tel que le rapport Q/V reste onstant ( ela résulte de la linéarité de Q etV en fon tion de σ).Dénition : La apa ité éle trostatique d'un ondu teur à l'équilibre est dénie par

C =Q

V, (4.6)où Q est la harge éle trique totale du ondu teur porté au potentiel V . L'unité de la apa ité est leFarad (symbole F) - unité fondamentale ( A2.s4.m−2.kg−1 ).Remarques :1. La apa ité C d'un ondu teur est une grandeur toujours positive. Elle ne dépend que des ara téristiques géométriques et du matériau dont est fait le ondu teur.2. Les unités ouramment utilisées en éle tro inétique sont le nF ou pF.3. La permittiviité du vide, ǫ0, a la dimension de F.m−1 (unités de base : m−3.kg−1.s4.A2).4. Exemple : apa ité d'une sphère de rayon R, hargée ave une densité surfa ique σ

V = V (O) =1

4πǫ0

∫∫

Surface

σ (P ) dS

OP=

1

4πǫ0

∫∫

Surface

σdS

R=

1

4πǫ0R

∫∫

Surface

σdS =Q

4πǫ0R

C =Q

V= 4πǫ0R . (4.7)4.1.6 Superposition des états d'équilibreNous avons vu qu'un ondu teur isolé, à l'équilibre éle trostatique, est ara térisé par sa harge

Q et son potentiel V , qui sont reliés entre eux par la apa ité C du ondu teur. Inversement , étant44

Page 45: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 4.2. SYSTÈMES DE CONDUCTEURS EN ÉQUILIBREdonné un ondu teur de apa ité C, la donnée de sa distribution surfa ique σ détermine omplètementson état d'équilibre, puisque Q =∫∫

Surface

σdS.Soit maintenant un autre état d'équilibre du même ondu teur déni par une densité surfa iqueσ′. Le ondu teur porte alors une harge Q′ et a un potentiel V ′. Du fait de la linéarité de Q et V ave σ, toute ombinaison linéaire de σ et σ′ est en ore un état d'équilibre :

σ′′ = aσ + bσ′ ⇔

Q′′ = aQ+ bQ′

V ′′ = Q′

C = aV + bV ′.On a don i i un résultat qui nous sera utile plus tard : toute superposition d'états d'équilibre(d'un ondu teur ou d'un ensemble de ondu teurs) est également un état d'équilibre.4.2 Systèmes de ondu teurs en équilibre4.2.1 Théorème des éléments orrespondantsSoit deux ondu teurs (A1) et (A2), pla és l'un à oté de l'autre et portant des densités surfa iques

σ1 et σ2 à l'équilibre. S'ils ne sont pas au même potentiel, des lignes de hamp éle trostatique relient(A1) à (A2). Soit un petit ontour fermé C1 situé sur la surfa e de (A1) tel que l'ensemble des lignesde hamp s'appuyant sur C1 rejoignent (A2) et y dessinent un ontour fermé C2 (on en déduit par onstru tion que toutes les lignes de hamp s'appuyant sur la surfa e A1 bornée par C1 se terminentsur la surfa e A2 bornée par C2) . L'ensemble de es lignes de hamp onstitue e qu'on appelle unSL

C1C2

S1S2

E

Eléments correspondants

A1 A2tube de ux : le ux du hamp éle trostatique à travers la surfa e latérale SL dessinée par e tube estnul par onstru tion (−→E ·−→dS = 0). Soit une surfa e fermée produite S = SL + S1 + S2 où S1 est unesurfa e qui s'appuie sur C1 et plonge à l'intérieur de ondu teur A1 et S2 une surfa e analogue pourle ondu teur A2.En vertu du théorème de Gauss, on a

Φ = ©

∫∫

S

−→E ·

−→dS =

∫∫

SL

−→E ·

−→dSL +

∫∫

S1

−→E ·

−→dS1 +

∫∫

S2

−→E ·

−→dS2 = 0

=Qint

ǫ0=

q1ǫ0

+q2ǫ0

,où q1 est la harge totale ontenue sur la surfa e de (A1) embrassée par C1 tandis que q2 est la harge ontenue sur la surfa e orrespondante de (A2). Du oup q2 = −q1 né essairement.Théorème : les harges éle triques portées par deux éléments orrespondants sont op-posées.Cette démonstration a fait appel à un on ept inportant, le tube de ux, qui relayait dans etexemple les deux éléments orrespondants, C1 et C2. En générale, le tube de ux est dénie ommesuit : 45

Page 46: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 4. CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE- Soit un ontour fermé C tel que le hamp éle trostatique lui est perpendi ulaire, 'est-à-dire telque −→E ⊥

−→dl où −→

dl est un ve teur élémentaire de C. En haque point de C passe don une ligne de hamp parti ulière. L'ensemble de toutes les lignes de hamp passant par C dessine alors une surfa edans l'espa e, une sorte de tube. Par onstru tion, le ux du hamp éle trostatique est nul à travers lasurfa e latérale du tube, de telle sorte que le ux est onservé : e qui rentre à la base du tube ressortde l'autre oté. On appelle un tel rassemblement de lignes de hamp un tube de ux.4.2.2 Phénomène d'inuen e éle trostatiqueJusqu'à présent nous n'avons abordé que les ondu teurs hargés, isolés dans l'espa e. Que se passe-t-il lorsque, par exemple, on pla e un ondu teur neutre dans un hamp éle trostatique uniforme ? Etantneutre, sa harge Q =∫∫

σdS doit rester nulle. Mais étant un ondu teur, les harges sont libres dese dépla er : on va don assister à un dépla ement de harges positives dans la dire tion de −→E et de harges négatives dans la dire tion opposée. On obtient alors une polarisation du ondu teur ( réationde ples + et −), se traduisant par une distribution surfa ique σ non-uniforme (mais telle que Q = 0).

E

Q=0--

- -+ +

++

E

E=0

Considérons maintenant le as plus ompliqué d'un ondu teur (A1) de harge Q1 ave une densitésurfa ique σ1, pla é à proximité d'un ondu teur neutre (A2). En vertu de e qui a été dit pré édem-ment, on voit apparaître une densité surfa ique σ2 non-uniforme sur (A2) due au hamp éle trostatiquede (A1). Mais, en retour, la présen e de harges σ2 situées à proximité de (A1) modie la distributionde harges σ1 ! A l'équilibre éle trostatique, les deux distributions de harges σ1 et σ2 dépendent l'unede l'autre. On appelle ette a tion ré iproque, l'inuen e éle trostatique. Dans et exemple, l'inuen eest dite partielle, ar l'ensemble des lignes de hamp éle trostatique issues de (A1) n'aboutissent passur (A2). Soit q2 la harge portée par la région de (A2) reliée à (A1). En vertu du théorème des éléments orrespondants, on a |q2| < |Q1|.Q1

-Q1

E

Influence totale

Q1

Influence partielle

-

-

-

+

+

+

++

+++

+

Q2=0

++

+++

+

--

-

-

-

-

--

-

+

+

+

+ +

+

q2

Q2,ext

A2

A1

A2A1

On peut réer des onditions d'inuen e éle trostatique totale en plaçant (A1) à l'intérieur de(A2). Puisque l'ensemble des lignes de hamp issues de (A1) aboutit sur l'intérieur de (A2), on voitapparaître la harge Qint2 = −Q1 sur la fa e orrespondante interne de (A2), et e i quelle que soitla position de (A1). Cette propriété (démontrée à partir du théorème des éléments orrespondants)46

Page 47: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 4.2. SYSTÈMES DE CONDUCTEURS EN ÉQUILIBREest onnue sous le nom de théorème de Faraday. La harge éle trique totale sur (A2) est simplementQ2 = Qint

2 +Qext2 = −Q1 +Qext

2 .Notion d'é ran ou de blindage éle trostatique - la age de Faraday : Un ondu teur àl'équilibre a un hamp nul : de e fait, s'il possède une avité, elle- i se trouve automatiquement isolée(du point de vue éle trostatique) du monde extérieur. On dénit par é ran éle trostatique parfait tout ondu teur reux maintenu à un potentiel onstant.Lorsqu'on relie (A2) au sol, on a Qext2 = 0 (les harges s'é oulent vers la Terre ou proviennent de elle- i). Dans e as, le hamp éle trostatique mesuré à l'extérieur de (A2) est nul, malgré la présen ede (A1) hargé à l'intérieur de (A2). Ainsi, l'espa e extérieur à (A2) est protégé de toute inuen eéle trostatique provenant de la avité. L'inverse est également vrai.

Prenons maintenant le as où (A1) porte une harge nulle et où (A2) est pla é à proximité d'autres ondu teurs hargés. A l'équilibre, on aura Qint2 = 0mais aussi un hamp éle trostatique non nul mesuréà l'extérieur de (A2), dépendant de la distribution surfa ique externe de (A2). Ainsi, malgré la hargeportée par la surfa e extérieure de (A2), la avité interne possède un hamp éle trostatique nul. Nousvoyons don que le hamp éle trostatique régnant à l'intérieur de (A2) est parfaitement indépendantde elui à l'extérieur. Noter que e i reste vrai même si (A2) n'est pas maintenu à potentiel onstant.Une ombinaison linéaire de es deux situations permettant de dé rire tous les as possibles, nousvenons de démontrer que tout ondu teur reux maintenu à potentiel onstant onstitue bien un é ranéle trostatique dans les deux sens. Un tel dispositif est appelé age de Faraday.Alors que la distribution des harges Qint2 dépend de la position de (A1), elle des harges Qext

2portées par la surfa e externe de (A2) dépend, elle, uniquement de e qui se passe à l'extérieur.Appli ations :1. Prote tion ontre la foudre : un paratonnerre est en général omplété par un réseau de âblesentourant l'édi e à protéger, reliés à la Terre.2. Tout ondu teur transportant un ourant faible est entouré d'une gaine métallique (appeléeblindage) reliée au sol. Cette gaine est parfois simplement le hâssis de l'appareil.4.2.3 Coe ients d'inuen e éle trostatiqueNous avons vu que lorsque plusieurs ondu teurs sont mis en présen e les uns des autres, ils exer entune inuen e éle trostatique ré iproque. A l'équilibre (mé anique et éle trostatique), les densités surfa- iques de haque ondu teur dépendent des harges qu'ils portent, de leur apa ité et de leurs positionsrelatives. Si l'on her he à al uler, par exemple, le potentiel pris par l'un des ondu teurs, alors il nousfaut résoudre le problème omplet : al uler le potentiel de haque ondu teur.Soit un ensemble de N ondu teurs (Ai) de harge éle trique totale Qi et potentiel Vi , en équilibreéle trostatique. Prenons (A1) et appliquons la notion vue pré édemment de superposition des états47

Page 48: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 4. CONDUCTEURS EN ÉQUILIBREd'équilibre. On peut toujours dé omposer la distribution surfa ique sur (A1) de la forme σ1 =∑Nj=1 σ1joù σ11 est la densité surfa ique de harges apparaissant sur (A1) si tous les autres ondu teurs étaientportés au potentiel nul (mais présents) et σ1j elle apparaissant lorsque tous (y ompris A1) sont portésau potentiel nul, sauf (Aj). On peut alors é rire que la harge totale sur (A1) est :

Q1 =

∫∫σ1dS =

N∑

j=1

∫∫σ1jdS = q11 + q12 + ...+ q1N

= C11V1 + C12V2 + ...+ C1NVN . (4.8)Pour onnaître Q1 il faut don onnaître les N états d'équilibre éle trostatique.Considérons le premier état d'équilibre, elui où on garde le premier armature à potentiel V1 ettous les autres armatures sont mis au potentiel nul. Utilisant un exposant (1) pour indiquer qu'il s'agitdu premier état d'équilibre, les harges, Q(1)i , sur ha un des armatures s'é rit :

Q(1)1 ≡ q11 = C11V1

Q(1)2 ≡ q21 = C21V1 (4.9)... ≡

... =...

Q(1)N ≡ qN1 = CN1V1 .En eet, la harge apparaissant sur (A1) ne peut être due qu'à V1, C11 étant la apa ité du ondu teur

+

+

+

+

V1,q11

+

++

--

--

q21

V=0+

++

-

-

+

-

qN1

V=0

E

V1

(A1) en présen e des autres ondu teurs. Mais par inuen e, une distribution σj1 apparaît sur tous lesautres ondu teurs (Aj). Celle- i dépend du nombre de lignes de hamp qui joignent (A1) à haque ondu teur (Aj). En vertu du théorème des éléments orrespondants, la harge qui apparaît est designe opposé à elle sur (A1), elle-même proportionnelle à q11 don à V1 : les oe ients d'inuen eCj1 sont don négatifs.Considérons maintenant le deuxième état d'équilibre, où tous les ondu teurs sauf (A2) sont misau potentiel nul. On a alors dans e as

Q(2)1 ≡ q12 = C12V2

Q(2)2 ≡ q22 = C22V2 (4.10)... ≡

... =...

Q(2)N ≡ qN2 = CN2V2 .Bien évidemment, en reproduisant ette opération, on obtient que l'état d'équilibre le plus général estdé rit par :

Qi =N∑

j=1

Q(j)i =

N∑

j=1

qij =N∑

j=1

CijVj , (4.11)48

Page 49: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 4.2. SYSTÈMES DE CONDUCTEURS EN ÉQUILIBREou sous forme matri ielle :

Q1...QN

=

C11 · · · C1N... . . . ...CN1 · · · CNN

V1...VN

. (4.12)Les oe ients Cij sont appelés oe ients d'inuen e. Les oe ients Cii sont parfoisappelés oe ients de apa ité ou apa ités des ondu teurs en présen e des autres. Il nefaut pas les onfondre ave les apa ités propres Ci des ondu teurs isolés, seuls dans l'espa e. D'unefaçon générale, on a les propriétés suivantes :1. Les Cii sont toujours positifs.2. Les Cij sont toujours négatifs et Cij = Cji (matri e symétrique).3. Cii ≥ −

∑j 6=iCji, l'égalité n'étant possible que dans le as d'une inuen e totale.La dernière inégalité est une onséquen e du théorème des éléments orrespondants. En eet,prenons le ondu teur (A1) porté au potentiel V1 alors que les autres sont mis au potentiel nul. Tousles tubes de ux partant de (A1) n'aboutissent pas né essairement à un autre ondu teur (ils ne leferaient que pour une inuen e totale). Don , ela signie que la harge totale située sur (A1) est(en valeur absolue) supérieure à l'ensemble des harges situées sur les autres ondu teurs, 'est-à-dire

q11 = C11V1 ≥ |q21|+ ..+ |qN1| =∑

j 6=1 |Cj1|V1.Exemple : Soient deux ondu teurs sphériques, (A1) et (A2), de rayons R1 et R2 portant une harge Q1 et Q2, situés à une distan e d l'un de l'autre.O1

R1

O2

R2

d O O= >1 2 > ,R R1 2

S1S21. A quels potentiels se trouvent es deux ondu teurs ?En vertu du prin ipe de superposition, le potentiel de (A1), pris en son entre O1 est

V1 =1

4πǫ0

∫∫

S1

σ1dS1

P1O1+

1

4πǫ0

∫∫

S2

σ2dS2

P2O1,où le premier terme est dû aux harges Q1 et le se ond à elles situées sur (A2). Lorsque ladistan e d est beau oup plus grande que les rayons, on peut assimiler P2O1 ≃ O2O1 = d pourtout point P2 de la surfa e de (A2) et l'on obtient

V1 ≃Q1

4πǫ0R1+

Q2

4πǫ0d=

Q1

C1+

Q2

Cd,où l'on re onnaît en C1 la apa ité d'une sphère isolée et en Cd = 4πǫ0d, un oe ient qui dépendà la fois de la géométrie des deux ondu teurs et de leur distan e. En faisant de même pour (A2),on obtient

V2 ≃Q2

4πǫ0R2+

Q1

4πǫ0d=

Q2

C2+

Q1

Cd,où C2 est la apa ité de (A2) isolée. 49

Page 50: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 4. CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE2. Trouver les oe ients de apa ité de e système.A partir des deux expressions approximatives pour V1 et V2 pré edentes, on obtient don unproblème linéaire qui peut se mettre sous la forme matri ielle suivante :[

1C1

1Cd

1Cd

1C2

] [Q1

Q2

]≃

[V1

V2

], (4.13) 'est-à-dire Vi = DijQj où la matri e Dij est onnue à partir de l'inverse des diverses apa ités.Si l'on veut se ramener au problème pré édent ( al ul des harges onnaissant les potentiels), 'est-à-dire à la résolution de Qi = CijVj , où Cij est la matri e des oe ients d'inuen e, il fautinverser la matri e Dij . On obtiendra en eet Qi = D−1

ij Vj . e qui donne Cij = D−1ij . Dans le asprésent, on obtient

C11 =C1

1− C1C2

C2

d

C22 =C2

1− C1C2

C2

d

C12 = C21 = −

C1C2

Cd

1− C1C2

C2

d

. (4.14)On voit lairement sur et exemple (1) que les apa ités en présen e des autres ondu teurs Cii nesont pas identiables aux apa ités propres Ci des ondu teurs isolés dans l'espa e et (2) les oe ientsd'inuen e Cij sont bien négatifs.4.3 Le ondensateur4.3.1 Condensation de l'éle tri itéDénition : On appelle ondensateur tout système de deux ondu teurs en inuen e éle trosta-tique. Il y a deux sortes de ondensateurs : à armatures rappro hées (à inuen e quasi totale) à inuen e totaleV1

V2

V1

V2

En général, les deux armatures sont séparées par un matériau isolant (un diéle trique), e qui apour eet d'a roître la apa ité du ondensateur. Dans e qui suit on suppose qu'il n'y a que du vide.Soient don deux ondu teurs (A1) et (A2) portant une harge totale Q1 et Q2 et de potentiels V1 etV2. D'après la se tion pré édente, on a Q1 = C11V1 + C12V2 et Q2 = C21V1 +C22V2, .-à.-d. :

[Q1

Q2

]=

[C11 C12

C21 C22

][V1

V2

]. (4.15)Les oe ients Cij étant indépendants des valeurs de Q et de V , il sut, pour les trouver, de onsidérerdes as parti uliers simples (formellement on a i i 2 équations à 4 in onnues).Regardons e qui se passe dans le as d'un ondensateur à inuen e totale, 'est-à-dire un onden-sateur pour lequel on a :

Q2 = Qext2 +Qint

2 = Qext2 −Q1 . (4.16)50

Page 51: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 4.3. LE CONDENSATEURSi on relie (A2) à la masse (V2 = 0, Qext2 = 0 ar on néglige toute inuen e extérieure), alors on obtient

Q2 = −Q1

C21 = −C11 .(4.17)La première relation n'est vraie que si (A2) est à la masse, mais la se onde est générale. Par ailleurs,on sait par l'analyse dans la se tion pré édent que C12 = C21. Par onvention, la apa ité C du ondensateur, sa harge Q et sa tension entre armatures sont alors dénies de la façon suivante,

C = C11

Q = Q1

U = V1 − V2 . (4.18)Mettant es relation dans l'éq.(4.15) on voit que la première ligne nous donne la relation des onden-sateursQ = CU . (4.19)Remarques :1. Pourquoi appelle-t-on es dispositifs des ondensateurs ? Par e qu'ils permettent de mettre enéviden e le phénomène de ondensation de l'éle tri ité , à savoir l'a umulation de hargeséle triques dans une petite zone de l'espa e. Ainsi, en onstruisant des ondensateurs de apa ité

C élevée, on obtient des harges éle triques Q élevées ave des tensions U faibles.2. La harge située sur l'armature (A2) est Q2 = Qext2 −Q (pour un ondensateur à inuen e totale)et, en toute rigueur, ne vaut −Q que lorsque (A2) est mise à la masse. En général, elle reste ependant négligeable devant Q dans les as onsidérés dans e ours et on n'en tiendra don pas ompte.Pour un ondensateur à armatures rappro hées, on obtient le même résultat, moyennant une sé-paration faible (devant leur taille) des ondu teurs. Dans e type de ondensateur, les harges Q1 et

Q2 orrespondent à elles qui se trouvent réparties sur l'ensemble de la surfa e de haque ondu teur.Mais si la distan e est faible, l'inuen e éle trostatique va ondenser les harges sur les surfa es enregard, de telle sorte que l'on peut faire l'hypothèse suivante :Q1 = Qext

1 +QS1 ≃ QS

1

Q2 = Qext2 +QS

2 = Qext2 −QS

1 ≃ QS2 −Q1 , (4.20) e qui nous ramène à une expression identique à elle d'un ondensateur à inuen e totale.4.3.2 Capa ités de quelques ondensateurs simplesDans e qui suit, nous allons voir plusieurs exemples de al uls de apa ités. Pour obtenir la apa ité

C d'un ondensateur, il faut al uler la relation entre sa harge Q et sa tension U , 'est-à-dire :U = V1 − V2 =

∫ 2

1

−→E ·

−→dl =

Q

C. (4.21)Autrement dit, il faut être apable de al uler la ir ulation du hamp éle trostatique entre les deuxarmatures ainsi que la harge Q.(a) Condensateur sphérique : Soit un ondensateur onstitué de deux armatures sphériques demême entre O, de rayons respe tifs R1 et R2 , séparées par un vide. (R2 > R1). D'après le51

Page 52: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 4. CONDUCTEURS EN ÉQUILIBREthéorème de Gauss, le hamp éle trostatique en un point M situé à un rayon r entre les deuxarmatures vaut :−→E (r) =

Q

4πǫ0r2r ,en oordonnées sphériques, e qui donne une tension

U = V1 − V2 =

∫ R2

R1

−→E ·

−→dl =

Q

4πǫ0

∫ R2

R1

dr

r2=

Q

4πǫ0

(1

R1−

1

R2

)=

Q

4πǫ0

R2 −R1

R1R2,et fournit don une apa ité totale :

C =Q

U= 4πǫ0

R1R2

R2 −R1. (4.22)

R2

-Q

O

+Q

R1

(b) Condensateur ylindrique : Soit un ondensateur onstitué de deux armatures ylindriques oaxiales de rayons a et b séparées par un vide (b > a) et de longueurs l quasi-innie (l ≫ b). Soita

z

+l

-lb

λ = Q/l la harge par unité de longueur du ylindre intérieur. D'après le théorème de Gauss, le hamp éle trostatique entre les deux armatures s'é rit :−→E (ρ) =

λ

2πǫ0ρρ ,en oordonnées ylindriques, e qui donne une diéren e de tension :

U = V1 − V2 =

∫ b

a

−→E ·

−→dl =

λ

2πǫ0

∫ b

a

ρ=

Q

2πǫ0l(ln b− ln a) ,et une apa ité par unité de longueur

C/l =Q

lU=

2πǫ0

ln ba

. (4.23)( ) Condensateur plan Soient deux armatures (A1) et (A2) planes parallèles, orthogonales à unmême axe Oz de ve teur unitaire z, de surfa e S et situées à une distan e d = z2 − z1 l'unede l'autre. On utilise l'approximation de planes innies, .-à-d. S ≫ d. L'armature (A1) porteune densité surfa ique de harges σ et (A2), en vertu du théorème des éléments orrespondants,porte une densité −σ. Entre les deux armatures, le hamp éle trostatique est la superposition52

Page 53: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 4.3. LE CONDENSATEURz

x

y

xyz1

z2

d z z= -2 1

S

S-s

+s

des hamps réés par es deux plans innis, 'est-à-dire−→E =

−→E1 +

−→E 2 =

σ

2ǫ0z +

−σ

2ǫ0(−z) =

σ

ǫ0z .La diéren e de potentiel entre les deux armatures est alors

U = V1 − V2 =

∫ z2

z1

−→E ·

−→dl =

σ

ǫ0

∫ z2

z1

dz =σ

ǫ0d ,d'où une apa ité

C =Q

U=

σS

U=

Sǫ0d

. (4.24)Dans la pratique, ette relation s'applique à tous les ondensateurs dans le vide (de façon ap-proximative) à ondition que les dimensions de la surfa e S sont très grandes devant la distan ede séparation d des armatures.4.3.3 Asso iations de ondensateursU

Q1

-Q1

C1

Q2

-Q2

C2

QN

-QN

CN

Q

-Q

C1

Q

-Q

C2

Q

-Q

CN

U

Condensateurs en sérieCondensateurs en parallèlle

a)

b)

a) Condensateurs en parallèle Soient N ondensateurs de apa ités Ci mis en parallèle ave lamême tension U = V1−V2. La harge éle trique de ha un d'entre eux est donnée par Qi = CiU .La harge éle trique totale est simplement :Q =

N∑

i

Qi =

(N∑

i

Ci

)U , e qui orrespond à une apa ité équivalente :

Ceq =

N∑

i

Ci , (4.25)qui est la somme des apa ités individuelles.53

Page 54: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 4. CONDUCTEURS EN ÉQUILIBREb) Condensateurs en série Soient N ondensateurs de apa ités Ci mis en série les uns derrièreles autres. On porte aux potentiels V0 et VN les deux extrémités de la haîne et on apporte la harge Q sur le premier ondensateur. En supposant que tous les ondensateurs sont initialementneutres, il s'établit la harge ±Q (par inuen e) sur les armatures des ondensateurs adja ents.La tension totale aux bornes de la haîne de ondensateurs s'é rit alors simplement

U = V0 − VN = (V0 − V1) + (V1 − V2) + ...+ (VN−1 − VN )

=Q

C1+

Q

C2+ ...+

Q

CN=

(N∑

i

1

Ci

)Q ,et orrespond à elle d'une apa ité unique C de apa ité équivalente

1

Ceq=

N∑

i

1

Ci. (4.26)4.4 Complément : Relations de ontinuité du hamp éle triqueDans e hapitre, nous avons vu qu'il y a une dis ontinuité du hamp éle trqiue en présen e de harges surfa iques d'un ondu teur (théorème de Coulomb). I i, on fait appel aux lois fonda-mentales an d'exprimer les ontraintes générales sur le hamp à la traversée de n'importe quellenappe de harge surfa ique.Soit une distribution surfa ique de harge σ sur une surfa e Σ séparant l'espa e en deux ré-gions 1 et 2. Pour la omposante tangentielle du hamp, nous remarquons que puisque le hampéle trostatique −→

E s'éxprime omme un gradient du potentiel, on a :∮

C

−→E ·

−→dl = −

CdV = 0 .sur n'importe quel ontour C.Considérons maintenant le ontour ABCD traverssant la surfa e de harge : La ir ulation du

Région 2

Région 1

N

sD

AB

C

M

n12

t

hamp sur e ontour s'é rit alors :∫

AB

−→E ·

−→dl +

BC

−→E ·

−→dl +

CD

−→E ·

−→dl +

DA

−→E ·

−→dl = 0 .Laissant les otés DA et BC tendre vers zéro, on obtient

MN

(−→E 1 −

−→E2

)·−→dl = 0 .Puisque MN est quel onque (sur la surfa e), on doit avoir :

(−→E 1 −

−→E 2

)·−→dl = 0 ,54

Page 55: able - Fresnel

Ele tromagnétisme4.4. COMPLÉMENT : RELATIONS DE CONTINUITÉ DU CHAMP ÉLECTRIQUE e qui veut dire que la omposante tangentielle du hamp à une surfa e doit être ontinue mêmeen présen e de harges surfa iques.Une façon ourante d'exprimer ette propriété de ontinuité est de remarquer qu'on peut é rire(−→E 1 −

−→E2

)·−→dl =

(−→E 1 −

−→E 2

)· (τ ∧ −n12) dl

=[(−→

E 1 −−→E 2

)∧ n12

]· τdl , 'est-à-dire (puisque la dire tion de τ est arbitraire)

n12 ∧(−→E 2 −

−→E 1

)= 0 , (4.27)sur n'importe quelle surfa e.Considérons maintenant une surfa e fermée tive en forme de ylindre fermé ontenant unenappe de harge surfa ique séparant les deux régions :

Région 2

Région 1

S

S2

S1

dS1

dS2

n12

s

On applique le théorème de Gauss à ette surfa e qui s'é rit :∫∫

S1

−→E ·

−→dS1 +

∫∫

S2

−→E ·

−→dS2 +

∫∫

SL

−→E ·

−→dSL =

Qint

ǫ0=

1

ǫ0

∫∫

S

σdS ,où SL est la surfa e latérale. Lorsqu'on fait tendre ette surfa e vers zéro (S1 tend vers S2), onobtient∫∫

S2

−→E 2 ·

−→dS2 +

∫∫

S1

−→E 1 ·

−→dS1 =

1

ǫ0

∫∫

S

σdS ⇒

∫∫

S

(−→E 2 −

−→E 1

)· n12dS =

1

ǫ0

∫∫

S

σdS ,puisque −→dS2 = −−→dS1 = dSn12 dans ette limite. Ce résultat étant valable quelque soit la surfa e

S hoisie, on vient don de démontrer que :n12 ·

(−→E2 −

−→E 1

)=

σ

ǫ0(4.28)En résumé ave une densité surfa ique de harge σ sur une surfa e Σ séparant deux milieux 1 et

2 : la omposante tangentielle (à la surfa e) du hamp éle trique est ontinue. la omposante normale du hamp éle trique est dis ontinue en présen e d'une harge surfa iqueσ E2,⊥ −E1,⊥ = σ

ǫ0sur toute la surfa e.

55

Page 56: able - Fresnel

Chapitre 5Diple éle trique - Energie éle trostatiqueNous avons étudié jusqu'i i les lois de l'éle trostatique valables dans le vide et dans les métauxparfaitement ondu teurs. Nous nous proposons maintenant de ommen er d'étendre es lois à desmatériaux autres que les métaux, les diéle triques.En ontraste ave les ondu teurs qui ont une grande quantité de harges libres se déplaçant àl'intérieur du matériau, la grande majorité des harges dans les diéle triques peuvent di ilement sedépla er et sont liés aux atomes ou molé ules du matériel. Ce qu'il faut omprendre est que même sides systèmes omme des atomes ou molé ules sont globalement neutres, a ne veut pas dire qu'ils ontun omportement éle trique nul et qu'il faut en tenir en ompte dans la des ription des matériaux.Le modèle qui va nous permettre à omprendre le omportement des onstituants des diéle triques est elui du diple éle trique.5.1 Le diple éle trostatique5.1.1 Potentiel éle trostatique réé par deux harges éle triquesd

-q +q

B A

p

z

H+ Cl

-

O-

p

C+ O

-

O-

p = 0

O-

H+

H+

p

C+

Dipôle « idéal » Dipôle moléculaires

Il existe dans la nature des systèmes éle triquement neutres mais dont le entre de gravité des harges négatives n'est pas onfondu ave elui des harges positives. Un tel système peut souventêtre dé rit (on dit modélisé) en première approximation par deux harges éle triques pon tuelles, +qet −q situées à une distan e d = 2a l'une de l'autre. On appelle un tel système de harges un dipleéle trostatique.Dénition : Quand deux harges égales et opposées sont séparées par une distan e −−→BA , (ve teurde position relative de la harge positive par rapport à la harge négative) on dénit le moment dipolaireéle trique, −→p , tel que :

−→p ≡ q−−→BA = q

∥∥∥−−→BA

∥∥∥ rBA ≡ qdrBA ≡ prBA (5.1)56

Page 57: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 5.1. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE Dans la nature, ertains molé ules sont ara térisés par un moment dipolaire permanent, telsque l'eau, le hlorue d'hydrogène, et monoxyde de arbone ; alors que d'autres, omme le dioxydede arbone sont dépourvus de moment dipolaire permanent. (voir la gure 5.1.1) Les unités SI ne sont pas ommodes pour exprimer le moment dipolaire des molé ules. Par onséquant, une unité du système CGS est toujours assez utilisé pour mésurer le moment dipolairedes molé ules. Il s'agit du debye (symble D), ave 1 D = 3,33564× 10−30 C.m. Le momentdipolaire de l'eau par exemple est 1,8546 ± 0,0040 D.Connaître l'eet (la for e) éle trostatique que es deux harges réent autour d'eux né essite le al ul du hamp éle trostatique. Nous aurions pu appliquer le prin ipe de superposition aux hampséle triques et al uler ainsi la somme ve torielle des hamps éle triques réé par ha une des harges(±q). Il s'avère plus simple de al uler le potentiel réé produit par le dipole et al uler le hampéle trique en appliquant la formule E = −−−−→gradV . C'est e que nous allons faire ave l'aide de la gure5.1.1 i-dessous.OO

M

-q q

r

z

q

r- r+

2a

aFigure 5.1 Repérage du point M par rapport aux harges du dipole.Le système est invariant par rapport à des rotations autour de l'axe de symétrie, z, don le potentielne dépend pas de la oordonné φ. D'après la gure 5.1.1 et le hapitre pré édent, le potentiel, V (M), réé en un point M repéré par ses oordonnées sphériques (r,θ,φ) est simplement :V (M) = V+q (M) + V−q (M)

=q

4πǫ0

(1

r+−

1

r−

)=

q

4πǫ0

(r− − r+r+r−

)où l'on a hoisi arbitrairement V = 0 à l'inni et r± ≡ |−→r ±| ave −→r ± = −→r ∓ az. Lorsqu'on nes'intéresse qu'à l'a tion éle trostatique à grande distan e, 'est-à-dire à des distan es r ≫ a, on peutfaire un développement limité de V (M). Au premier ordre en a/r. on obtient :r± =

(−→r ± · −→r ±

)1/2≃ r

(1∓ 2

a

r2−→r · z

)1/2≃ r

(1∓

a

rcos θ

) 'est-à-dire r− − r+ ≈ 2a cos θ et r−r+ = r2 + O((a/r)2). Le potentiel réé à grande distan e par undiple éle trostatique vaut don V(−→r)=

2aq cos θ

4πǫ0r2=

−→p · r

4πǫ0r2(5.2)Cette expression pour le potentiel réé par un diple est fa ile à retenir.57

Page 58: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 5. DIPÔLE ÉLECTRIQUE - ENERGIE ÉLECTROSTATIQUE5.1.2 Champ éle trique à grande distan e d'un diple : r ≫ dPour al uler le hamp éle trostatique, il nous sut maintenant d'utiliser E = −−−−→gradV en oor-données sphériques. On obtient ainsi :

−→E (r, θ, φ) =

Er = −∂V∂r = 2p cos θ

4πǫ0r3

Eθ = −1r∂V∂θ = p sin θ

4πǫ0r3

Eφ = − 1r sin θ

∂V∂φ = 0

(5.3)En oordonnées sphériques, le hamp éle trique s'exprime don (voir l'éq.(1.24) ) :

−→E(−→r)=

1

4πǫ0

p

r3

(2 cos θ r + sin θ θ

) (5.4)où il ne faut pas oublier que θ est l'angle entre −→p et −→r .Dans l'éq.(5.4), on est parfois gêné par la dépendan e expli ite en θ par rapport à l'axe du diple.On peut mettre e resultat sous une forme plus fa ile à retenir en remarquant que nous avons dérivé le hamp éle trique en prenant −→p = 2az et l'expression du ve teur unitaire z en oordonnées sphériquess'é rit don :z = cos θr − sin θθ e qui permet d'é rire le hamp éle trique sous la forme ompa te :

−→E (M) =

−→E(−→r)=

1

4πǫ0

3(−→p · r

)r −−→p

r3(5.5)Bien entendu, rien ne nous empê he d'exprimer le résultat en oordonnées artésiennes, mais le résultatn'est pas fa ile à retenir ;

Ez =p

4πǫ0

2z2 − x2 − y2

r5Ex =

p

4πǫ0

3zx

r5Ey =

p

4πǫ0

3zy

r5Par onstru tion, le diple possède une symétrie de révolution autour de l'axe qui le porte (i i l'axeOz) : le potentiel ainsi que le hamp éle trostatique possèdent don également ette symétrie. Cela vanous aider à visualiser les lignes de hamp ainsi que les équipotentiels. Par exemple, le plan médiateurdéni par θ = π/2 (z = 0) est une surfa e équipotentielle V = 0. Les équipotentiels sont des surfa es(dans l'espa e 3D ; dans le plan e sont des ourbes) dénies par V = Constante = V0 , 'est-à-dire :

r(θ) =

√p cos θ

4πǫ0V0(5.6)L'équation des lignes de hamp est obtenue à partir de l'équation −→

E ∧−→dl =

−→0 :

Er

dr

rdθ

r sin θdφ

=

−→0 ⇒

dr

Er=

rdθ

Eθ⇒

dr

r=

Er

Eθdθ =

2cos θdθ

sin θL'équation des hamps −→E est ensuite obtenue par intégration∫

dr

r= 2

∫d (sin θ)

sin θ⇒ ln r = ln sin2 θ + C ⇒ r(θ) = K sin2 θ (5.7)où K est une onstante d'intégration dont la valeur (arbitraire) dénie la ligne de hamp.Il ne faut pas oublier que les équations des surfa es équipotentielles, eq.(5.6) et les linges du hamp,ont été dérivées dans l'approximation (5.7). Si on veut onnaître les lignes du hamp près de la distri-bution de harge, il faut se renseigner sur les détails pré is sur la distribution des harges du diple.Les équipotentiels et les lignes du hamp du diple modèle sont illustré dans la gure 5.2. On peut onstater dans ette gure que, loin du diple, les équipotentiels et les lignes du hamp orrespond auxfon tions, de r(θ), dé rites respe tivement dans les l'éqs.(5.6) et (5.7).58

Page 59: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 5.1. LE DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE

Figure 5.2 Lignes de hamp et équipotentielles d'un modèle de diple éle trique5.1.3 Développements multipolairesLorsqu'on a aaire à une distribution de harges éle triques et qu'on ne s'intéresse qu'au hamp réé à une grande distan e devant les dimensions de ette distribution, on peut également utiliser uneméthode de al ul appro hée du potentiel. Le degré de validité de e al ul dépend dire tement del'ordre du développement limité utilisé : plus on va à un ordre élevé et meilleure sera notre approxima-tion. Par exemple, l'expression du diple i-dessus n'est valable que pour r >> a, mais lorsque r tendvers a, il faut prendre en ompte les ordres supérieurs, les termes dits multipolaires.Prenons le as d'une distribution de N harges pon tuelles qi situées en −→ri =−−→OP i. Le potentiel réé en un point M repéré par le ve teur position −→r =

−−−→OM ( oordonnées sphériques) est

V(−→r)≃

N∑

i=1

1

4πǫ0

qi∣∣−→r −−→r i

∣∣ (5.8)En supposant r >> ri, on peut montrer que e potentiel admet le développement suivantV(−→r)=

1

4πǫ0

N∑

i=1

(qir+

qiri cos θir2

+qir

2i

r3(3 cos2 θi − 1

)+ ...

)où θi est l'angle entre −→r et −→r i . Faire un développement multipolaire d'une distribution quel onque de harges onsiste à arrêter le développement limité à un ordre donné, dépendant du degré de pré isionsouhaité. Dans le développement i-dessus, le premier terme (ordre zéro ou monopolaire) orrespondà assimiler la distribution à une harge totale pla ée en O. Cela peut être susant vu de très loin, si ette harge totale est non nulle. Dans le as ontraire (ou si l'on souhaite plus de pré ision) on obtientle deuxième terme qui peut se mettre sous la forme−→p · r

4πǫ0r2où le ve teur−→p =

N∑

i=1

qi−→ri (5.9)59

Page 60: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 5. DIPÔLE ÉLECTRIQUE - ENERGIE ÉLECTROSTATIQUEest lemoment dipolaire du système de harges. Si la harge est dé rite par une distribution volumiquede harge, le moment dipolaire s'é rit respe tivement−→p =

∫∫∫ρ (P )

−−→OP dV −→p =

∫∫σ (P )

−−→OP dS (5.10)En la dénition du moment dipolaire i-dessus, on aurait pu s'inquiéter du fait qu'il semble quele moment dipolaire dépend du hoix de l'origine, O. En réalité, le moment dipolaire ne dépend pasdu hoix d'origine à ondition que la harge totale soit nulle. Comme démonstration, imaginons qu'on al ule le moment dipolaire autour d'une autre origine O′. Le moment dipolaire dans e nouveausystème est :

−→p′ =

∫∫∫ρ (P )

−−→O′P dV

=

∫∫∫ρ (P )

(−−→O′O +

−−→OP

)dV

=−−→O′O

∫∫∫ρ (P ) dV +

∫∫∫ρ (P )

−−→OP dV

=−−→O′OQT +−→pDon −→

p′ = −→p à ondition que la harge totale du système, QT , soit nulle.5.2 Diéle triquesL'expérien e démontre que le modèle du diple éle trique est souvent susant pour dé rire le omportement des onstituants fondamentaux des objets diéle triques. Il faut se rappeler une foisen ore que les milieux matériels ou liquides ma ros opiques sont omposés d'un nombre gigantesqued'atomes et/ou molé ules.Certains onstituants omme les molé ules d'eau ont un moment dipolaire mais en absen e de hamps éle triques, es diples sont orientés aléatoirement an que le moment dipolaire global del'eau soit quasi nul. D'autres onstituants ( omme le CO2) n'ont pas de moment dipolaire propre maispeuvent a quérir un moment dipolaire sous l'eet d'un hamp éle trique −→E . Dans es deux as, on parledemoment dipolaires induits (en présen e de hamp éle triques). Quelques rares matériaux ommeles ferroéle triques, ont des moments dipolaires qui ont tendan e à s'aligner les uns ave les autres. Onparle dans es as de moments dipolaires permanents qui peuvent persister même en absen e de hamp éle triques. On appel tout es types de matériaux des diéle triques et plus pré isément :Un milieu diéle trique est, par dénition, une substan e possédant l'une des propriétés sui-vantes tout volume dV de la substan e possède un moment éle trique dipolaire −→dp, on dit dans e asque la polarisation est permanente ; tout volume dV de la substan e est sus eptible d'a quérir sous l'a tion d'un hamp éle triqueextérieur −→E un moment dipolaire éle trique −→

dp : la polarisation est dite induite par le hamp −→E .Puisque une petite quantité ma ros opique d'un diéle trique ontient un grand nombre d'atomeset/ou molé ules, on dé rite généralement les diéle triques par un ve teur polarisation, −→P , qui peutêtre interprété omme une densité volumique du moment dipolaire telle que −→

dp =−→P dV ( e iest analogue ave e que nous avons fait pour la harge dq = ρdV).60

Page 61: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 5.2. DIÉLECTRIQUES5.2.1 Champ réé par un diéle triquePour simpli ité, prenons le as (assez ourant) où la harge totale diéle trique soit négligeable. Ily a plusieurs façons (équivalentes) de pro éder à al uler le hamp produit par un diéle trique, maisils prennent des points de vu physique diérents sur le problème. La méthode que l'on hoisira seradéterminée par la nature de question posée.(1) Méthode dire te : Imaginons pour l'instant, qu'on onnaît le ve teur polarisation, −→P . Onpeut al uler la ontribution au potentiel du diéle trique en mettant −→dp =−→P dV dans l'équation(5.2) et intégrant ( omme nous avons al ulé le hamp éle trique à partir de la loi de Coulomb).Le potentiel réé par le diéle trique est don :

V (M) =1

4πǫ0

∫∫∫ −→P (Q) · u

r2dV (5.11)où r = QM est la distan e entre le point d'intégration Q et M ainsi que dV est maintenantun volume d'intégration autour du point Q (u ≡

−−→QMQM ). Bien-entendu, ave V (M) en main onobtient le hamp éle trique produit par le diéle trique ave −→

E = −−−−→gradV .Remarque : Dans e hapitre, nous remplaçons le point d'intégration P utilisé dans les hapitrespré édents par Q, an d'éviter onfusion ave le ve teur polarisation, −→P(2) Méthode harges de polarisationAve une intégration par parties tri-dimensionnel, nous pouvons démontrer que l'expression del'éq.(5.11) est équivalente à une expression en termes d'intégrales de la surfa e, S, et du volume V dudiéle trique

V (M) =1

4πǫ0

∫∫

S

−→P (Q) · ndS

r−

1

4πǫ0

∫∫∫

V

divQ P (Q)

rdV (5.12)Le sens physique de ette formule devient plus laire si on dénit une densité de harge de polari-sation surfa ique, σpol, ainsi qu'une densité volumique de harges de polarisation, ρpol, tellesque :

σpol(Q) ≡−→P (Q) · n ρpol(Q) ≡ − divQ

−→P (Q) (5.13)Ave es dénitions, la formule de l'éq.(5.12) du potentiel s'é rit en termes de harges de polarisation :

V (M) =1

4πǫ0

∫∫

S

σpolr

dS +1

4πǫ0

∫∫∫

V

ρpolr

dV (5.14)Ave la formule de l'éq.(5.14), on peut al uler le potentiel V (M) et déterminer le hamp éle -tromagnétique ave −→E = −

−−−→gradV , omme ave la méthode dire te, mais on peut également amenerle gradient sous l'intégrale an d'obtenir −→

E une formule dire te pour −→E analogue à la formule deCoulomb :

−→E (M) =

1

4πǫ0

∫∫

S

σpolr2

udS +1

4πǫ0

∫∫∫

V

ρpolr2

udV (5.15)ave r = QM , et u =−−→QM/QM omme d'habitude.Remarque : L'expression (5.15) est un exemple du théorème de ompensation qui dit que l'eetéle tromagnétique de tout objet matériel peut être reproduit par des harges et ourants agissant dansle vide. Enn ompte, nous avons déjà ren ontré un autre exemple de e théorème ave les ondu teursparfait quand leurs eets était traités omme des harges surfa iques.61

Page 62: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 5. DIPÔLE ÉLECTRIQUE - ENERGIE ÉLECTROSTATIQUE5.2.2 Le ve teur polarisationAn qu'on puisse appliquer les formules dérivés dans 5.2.1, il nous faut onnaître le ve teur polari-sation −→P partout. Pour un vaste nombre de milieux dans des onditions ordinaires, −→P est simplementproportionnel au hamp éle trique −→E présent à et endroit (Appelésmilieux linéaires). La onstantede proportionnalité entre −→

P et ǫ0−→E , est dénoté χe et on l'appel la sus eptibilité éle trique dumatériel

−→P ≡ χeǫ0

−→E (5.16)où ǫ0 est mis dans la dénition an χm puisse être un nombre sans dimension. Bien qu'en prin ipe,on doive pouvoir al uler χe théoriquement, e i né essiterait un al ul en mé anique quantique degrande envergure et en pratique on prend des valeurs de χe mesuré dans le laboratoire.Si on met l'expression de l'éq.(5.16) dans les équations pour al uler le hamp V ou −→

E de la se tionpré édente (les éq.(5.12) ou (5.15)) on s'en aperçoit qu'an de al uler le hamp −→E à un point donné

M , il faut déjà onnaître le hamp −→E dans tout le matériel. Une telle situation, où la onnaissan ed'une quantité (i i le hamp −→

E ) est requise an de le al uler e même quantité est souvent ren ontréen physique et dénommé al ul auto- onsistent. Nous verrons plus loin omment la linéarité de −→Ppar rapport à −→

E nous permettra de ontourner e problème d'auto- onsistan e. Pour l'instant, voyons omment le problème d'auto- onsistan e e manifeste dans le problème simple d'un ondensateur ave milieu diéle trique entre es armatures.5.2.3 Condensateur ave diéle triqueOn onsidère un ondensateur plan ave un diéle trique de sus eptibilité χe remplissant le volumeV = Sd entre les deux armatures (de surfa e S) d'un ondensateur (voir la gure 5.3 i-dessous). La harge sur l'armature A1 est Q (σ = Q/S). On dénote par −→

E0 le hamp qui serait présent entre lesarmatures si le diéle trique n'était pas présent, −→E 0 = Q/(ǫ0S)z. An de résoudre le problème auto- onsistant, on fait l'hypothèse que le ve teur −→P entre les armatures soit onstant et dirigé selon ladire tion z et voir si on trouve une solution.

-s

+s + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - -

d

+ + + + + + + + + + + + + + + +

E0Ep Pspol

Figure 5.3 Condensateur ave un diéle trique entre les armatures.Ave l'hypothèse de −→P onstant entre les armatures on voit qu'il n y a pas de harges volumiquesdans le matériel ρpol = − divQ

−→P (Q) = 0, il sut de al uler le hamp réé par les harges depolarisation surfa iques, σpol. On se rappel que σpol =

−→P · n où n est le ve teur normale à la surfa edu diéle trique et dirigé vers l'extérieur. Il y a don une harge surfa ique de σpol = P sur la fa esupérieure du diéle trique ainsi qu'une harge σpol = −P sur la fa e inférieur (voir la gure 5.3).Le diéle trique doit don avoir le même omportement qu'un ondensateur dont le hamp éle triqueà l'intérieur est en opposition au hamp éle trique imposée −→

E 0. Don le hamp de polarisation est−→Epol = −σpol/ǫ0z = −

−→P /ǫ0 = −χe

−→E à l'intérieur du diéle trique et nul ailleurs. Le hamp éle trique,62

Page 63: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 5.2. DIÉLECTRIQUES−→E , réellement présent entre les armatures est alors la superposition de −→

E 0 et de −→Epol

−→E =

−→E 0 +

−→Epol =

−→E 0 − χe

−→E

−→E =

1

(1 + χe)

−→E 0Don , on voit que l'eet de pla er un diéle trique entre les armatures est de diminuer le hamp éle triquepar un fa teur 1 + χe qu'on appel la onstante diéle trique relatif du matériel

εr = (1 + χe) (5.17)Remarque : On onstate que εr est un nombre sans dimension. On l'appel onstante diéle triquerelatif an d'éviter onfusion ave le fait que ertains préfère parler de onstant diéle trique (oupermittivité) du matériel, la quantité ǫd = εrǫ0 qui a évidemment les mêmes dimensions que lapermittivité du vide ǫ0.Le fait d'avoir diminué −→E entre les armatures diminue également leur diéren e de potentiel.

U = V1 − V2 =

∫ A2

A1

−→E ·

−→dl =

d

εrE0 =

d

εr

Q

ǫ0S≡

Q

CDon on peut en on lure que la apa ité d'un ondensateur ave un diéle trique entre les armaturesest augmentée par le fa teur εrC =

ǫ0εrS

d(5.18)5.2.4 Dépla ement éle triqueC'est souvent assez pénible de formuler un problème d'éle trostatique en termes harges de pola-risation. Après tout, es harges n'existent que grâ e à un hamp éle trique appliqué au système.et disparaissent aussitt qu'on enlève le hamp appliqué. Il est di ile de mesure les harges polari-sation et on ne peut pas les manipuler dire tement lors d'une expérien e. On peut se demander don ,pourquoi en parler de tout. Y-a-t-il un moyen de formuler l'éle trostatique de prendre es harges depolarisation en ompte automatiquement an d'oublier ou presque leur existen e ? La réponse et oui,et 'est la raison pour laquelle les physi iens hoisissent souvent d'utiliser un hamp auxiliaire −→

Dqui intègre le ve teur polarisation dans sa dénition dès le départ, le dépla ement diéle trique −→Ddénit tel que :

−→D(−→r ) ≡ ǫ0

−→E (−→r ) +

−→P (−→r ) (5.19)L'équation diérentielle de −→

D est :div

−→D = ǫ0 div

−→E + div

−→P = ρ− ρpol ≡ ρlibre (5.20)où ρlibre orrespond aux harges réellement manipulées dans une expérien e. Ave e hamp, on neparle pas des harges de polarisations mais seulement des harges libres omme elles qu'on pla e surles armatures d'un ondensateur.Si les symétries du problème sont susant, on peut résoudre −→D en faisant appel à la forme intégralede l'éq.(5.20) :

©

∫∫

S

−→D ·

−→dS = Qlibre,int (5.21) e qui est un analogue du théorème de Gauss. 63

Page 64: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 5. DIPÔLE ÉLECTRIQUE - ENERGIE ÉLECTROSTATIQUEIl ne faut pas oublier, que 'est toujours le hamp −→E qui est relié aux quantités mesurables (dif-féren es de potentiel) et que le hamp auxiliaire , −→D sert surtout omme un moyen de trouver −→E .Le lien entre les deux quantités est dire te pour des matériels linéaires ( dont le ve teur polarisationsatisfait l'éq.(5.16)). Mettant la relation (5.16) dans (5.19), on obtient une relation linéaire entre −→

D et−→E (appelée relation onstitutive) :

−→D = ǫ0 (1 + χe)

−→E ≡ ǫ0εr

−→E ≡ ǫ

−→E (5.22)où ǫ est la permittivité du diéle trique et εr = ǫ/ǫ0 = (1 + χe) est la onstante diéle trique (relative)du diéle trique.En résumé, en présen e de diéle triques, les lois de l'éle trostatique peuvent être formulées à partirde deux formules :

div−→D = ρlibre

−→rot

−→E =

−→0

(5.23)asso iées ave la relation onstitutive :−→D = ǫ0εr

−→E (5.24)Utilisant les mêmes te hniques que dans le omplément du hapitre 4, les onditions limites asso iésave les formules de l'éq.(5.23) sont :

n12 ∧(−→E 2 −

−→E 1

)= 0 n12 ·

(−→D2 −

−→D1

)= σlibre (5.25)On verra plus tard que es onditions limites sont toujours valables même dans le régime de hampsvariables dans le temps. Dans des appli ations plus avan ées, on exploite souvent es onditions limitesdans la re her he de solutions.5.2.5 Condensateur et dépla ement éle triqueAn d'appré ier l'utilité du hamp auxilliaire −→

D, reprenons le ondensateur plane traité en 5.2.3.La harge Q sur les l'armature A1 est simplement la harge libre et la densité surfa ique libre estsimplement σ = Q/S. Grâ e à la symétrie du problème, −→D est dans la dire tion de séparation desarmatures et on obtient −→D = σz en utilisant l'éq.(5.21) et les mêmes te hniques de surfa es de Gaussque elles employées pour le ondensateur du vide (voir hapitre 4). On en déduit que le hamp entreles armatures est :−→E =

−→D

ǫ0εr=

σ

ǫ0εrz (5.26) e qui amène à U = Qd

Sǫ0εret C = Sǫ0εr

d exa tement omme nous avons trouvé dans la se tion 5.2.3mais ave nettement moins d'eort.5.3 Energie potentielle éle trostatique5.3.1 Energie éle trostatique d'une harge pon tuelleComment mesure-t-on l'énergie potentielle gravitationnelle d'un orps de masse m ? On le dépla ed'une position initiale jusqu'à une position nale (on exer e don une for e) puis on le lâ he sansvitesse initiale. S'il a quiert une vitesse, 'est qu'il développe de l'énergie inétique. Or, en vertu duprin ipe de onservation de l'énergie, ette énergie ne peut provenir que d'un autre réservoir énergétique,appelé énergie potentielle. Comment s'est onstituée ette énergie potentielle gravitationnelle ? Grâ eau dépla ement du orps par l'opérateur. Ainsi, le travail ee tué par elui- i est une mesure dire tede l'énergie potentielle. On va suivre le même raisonnement pour l'énergie éle trostatique.64

Page 65: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 5.3. ENERGIE POTENTIELLE ÉLECTROSTATIQUEDénition 2 l'énergie potentielle éle trostatique d'une parti ule hargée pla ée dans un hamp éle -trostatique est égale au travail qu'il faut fournir pour amener de façon quasi-statique ette parti ule del'inni à sa position a tuelle.Prenons une parti ule de harge q pla ée dans un hamp −→E . Pour la dépla er de l'inni vers unpoint M , un opérateur doit fournir une for e qui s'oppose à la for e de Coulomb. Si e dépla ementest fait susamment lentement, la parti ule n'a quiert au une énergie inétique. Cela n'est possibleque si, à tout instant, −→F ext = −

−→F = −q

−→E . Le travail fourni par l'opérateur sera don

W (M) =

∫ M

∞dW =

∫ M

−→F ext ·

−→dr = −

∫ M

∞q−→E ·

−→dr = q [V (M)− V (∞)]Puisqu'on peut toujours dénir le potentiel nul à l'inni, on obtient l'expression suivante pour l'énergieéle trostatique d'une harge pon tuelle située en M

We = qVOn voit don que le potentiel éle trostatique est une mesure (à un fa teur q près) de l'énergie éle -trostatique : 'est dû au fait que V est lié à la ir ulation du hamp. Autre remarque importante :l'énergie est indépendante du hemin suivi.5.3.2 Energie éle trostatique d'un ensemble de harges pon tuellesDans la se tion pré édente, nous avons onsidéré une harge q pla ée dans un hamp −→E extérieur etnous avons ainsi négligé le hamp réé par la harge elle-même. Mais lorsqu'on a aaire à un ensemblede N harges pon tuelles qi, ha une d'entre elles va réer sur les autres un hamp éle trostatiqueet ainsi mettre en jeu une énergie d'intera tion éle trostatique. Quelle sera alors l'énergie potentielleéle trostatique de et ensemble de harges ?Soit la harge pon tuelle q1 pla ée en P1. On amène alors une harge q2 de l'inni jusqu'en P2, 'est-à-dire que l'on fournit un travail W2 = q2V1 (P2) = q1V2 (P1) = W1 identique à elui qu'il auraitfallu fournir pour amener q1 de l'inni en P1 en présen e de q2 déjà située en P2. Cela signie que esystème onstitué de 2 harges possède une énergie éle trostatique

We =q1q2

4πǫ0r12= W1 = W2 =

1

2(W1 +W2)où r12 = P1P2.Remarque : Dans ette appro he, nous avons onsidéré q2 immobile alors que l'on rappro hait

q1. En pratique évidemment, 'est la distan e entre les deux harges qui diminue du fait de l'a tionde l'opérateur extérieur à la fois sur q1 et q2 (ave −→F ext→1 = −

−→F ext→2 puisque −→

F 1→2 = −−→F 2→1). Onaurait aussi bien pu al uler le travail total fourni par l'opérateur en évaluant le dépla ement de q1 et de

q2 de l'inni à la distan e intermédiaire (M/2 ). Une autre façon de omprendre ela, 'est de réaliserque nous avons évalué le travail fourni par l'opérateur dans le référentiel lié à q2 (immobile). Celui- iest identique au travail évalué dans un référentiel xe (où q1 et q2 se dépla ent) ar le dépla ement des harges s'ee tue de manière quasi-statique (au une énergie n'a été ommuniquée au entre de masse).Si maintenant on amène une 3eme harge q3 de l'inni jusqu'en P3 ( q1 et q2 xes), il faut fournirun travail supplémentaireW3 = q3V1+2 (P3) = q3 (V1 (P3) + V2 (P3))

=1

4πǫ0

(q1q3r13

+q3q2r23

)65

Page 66: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 5. DIPÔLE ÉLECTRIQUE - ENERGIE ÉLECTROSTATIQUE orrespondant à une énergie éle trostatique de e système de 3 hargesWe =

1

4πǫ0

(q1q2r12

+q1q3r13

+q3q2r23

)Ainsi, on voit qu'à haque ouple qiqj est asso iée une énergie potentielle d'intera tion. Pour un systèmede N harges on aura alors :We =

1

4πǫ0

couples

qiqjrij

(5.27)Cette formule est assez pratique d'utilsation pour des systèmes omposés de quelques harges pon -tuelles.Il existe néanmoins, une forme équivalente à l'éq.(5.27) qui s'avère parfois plus pratique en présen ede symétries, et qui est surtout indispensable quand on veut généraliser l'énergie éle trostatique à desdistributions de harge. La dérivation de ette forme alternative est la suivante :We =

1

4πǫ0

couples

qiqjrij

=1

4πǫ0

N∑

i=1

N∑

j>i

qiqjrij

=1

2

N∑

i=1

qi4πǫ0

j 6=i

qjrij

=1

2

N∑

i=1

qiVioù le fa teur 1/2 apparaît par e que haque ouple est ompté deux fois. On remarque qu'i i Vi estle potentiel réé en Pi par toutes les autres harges du système (le potentiel dû à la harge qi étantex lu).L'énergie éle trostatique d'un ensemble de N harges pon tuelles peut don s'é rire de façon alter-native (mais équvalente à elle de (5.27)) omme suit :We =

1

2

N∑

i=1

qiVi (Pi) ave Vi (Pi) =1

4πǫ0

j 6=i

qjrij

(5.28)5.3.3 Energie éle trostatique d'une distribution ontinue de hargesPour une distribution ontinue de harges, la généralisation de la formule pré édente est immé-diate. Soit dq = ρdV la harge située autour d'un point P quel onque de la distribution. L'énergieéle trostatique de ette distribution s'é ritWe =

1

2

∫∫∫ρ (P )V (P ) dVP =

1

2

∫∫∫ρV dV (5.29)où nous avons de nouveau supprimé la dépendan e expli ite en P dans la deuxième égalité.Remarque : Nous n'avons pas spé ié une limite à l'intégration puisque ρ = 0 en dehors de ladistribution des harges. Don en prin ipe, l'intégrale est ee tué sur tout l'epsa e, mais en pratiqueon n'ee tue l'intégrale que sur les régions ontenant des distributions de harges non-nulles.Il est important de remarquer qu'en passant à une distribution ontinu dans l'éq.(5.29), le potentielà un point P :

V (P ) =1

4πǫ0

∫∫∫ρ (P ′) dVP ′

PP ′=

1

4πǫ0

∫∫∫ρ dV

PP ′est maintenant le potentiel réé par toute la distribution de harge. En eet, pour volume inni-téssimal dV de taille ara téristique d, on a dV ∝ d3 alors que le potentiel venant des harges dans ette région ∝ d−1. De e fait, la région autour du point P fait une ontribution nulle à l'intégrale dansle passage à la limite innitésimal. 66

Page 67: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 5.3. ENERGIE POTENTIELLE ÉLECTROSTATIQUEDe la même manière, on obtient un résultat analogue pour une distribution surfa ique :We =

1

2

∫∫

S

σV dS (5.30)où S est la surfa e ontenant la harge. Par ontre, on ne peut pas généraliser es arguments aux lsinniment min es en intera tion. Pour de tels as, on est obligé de pro éder omme nous avons faitpour des harges pon tuelles et ex lure le potentiel réé par le l lui-même ou d'abandonner le on eptd'un l inniment min e et revenir à une distribution de harges surfa ique ou volumique.Un eet subtil mais important est que le We obtenu par l'éq.(5.29) ou (5.30) seront non négatives,We ≥ 0. Ce i vient du passage à la distribution ontinue de harge qui a eu un eet subtil mais im-portant. Pour une distribution volumique (ou surfa ique) de harge, il n'est pas né essaire d'ex lureexpli itement la harge située en P puisque dq(P ) tend vers zéro ave l'élément innitésimal ( ontri-bution nulle à l'intégrale, absen e de divergen e). Du oup, dans l'expression intégrale de We , on tient ompte du travail à établir les distributions de harges, alors qu'on ne tenait pas ompte de l'énergiené essaire an d'établir les harges pon tuelles que nous avons pris omme existant ex nihilo.5.3.4 Energie sto kée dans le hamp éle triqueLes équations (5.35), (5.29) et (5.30) nous disent qu'une distribution de harges peut emmagasinerde l'énergie éle trostatique. Mais où est-elle sto kée ? Sous quelle forme ? Une réponse possible à ettequestion est de voir l'énergie éle trostatique omme étant sto ké dans le hamp éle trique lui-même.On peut dériver une telle formulation en se rappelant qu'au niveau fondamentale, toute distributionde harge peut être dé rite omme une densité volumique du hamp ρ

(−→r) :

We =1

2

Vρ (P )V (P ) dVP =

1

2

VρV dV (5.31)où nous avons supprimé la dépendan e spatiale sur P an de mieux voir le ontenu physique de etteéquation.L'équation (5.31) est sans ambiguité dans le vide, mais en présen e de diéle triques, 'est la hargelibre qu'il faut lire dans l'éq.(5.31). En invoquant l'équation div−→D = ρlibre on peut réé rire etteéquation omme :

We =1

2

∫∫∫

V

V div−→DdV =

1

2

∫∫∫

V

div(V−→D)dV −

1

2

∫∫∫

V

−→D ·

−−−→gradV dVoù nous avons ee tué une intégration par parties tridimensionnelle en utilisant l'identité

div(f−→A)≡

−→A ·

−−−→gradf + f div

−→A (5.32)En invoquant le théorème d'Ostrogradsky, et −→E = −

−−−→gradV on obtient

We =1

∫∫

SV−→D · n dS +

1

2

∫∫∫

V

−→D ·

−→EdVoù il faut se rappeler que la surfa e d'intégration S dans ette équation est rejetté à l'inni and'entourer tout l'espa e. De e fait, l'intégrale surfa ique est nul puisque à des grandes distan es, Vdé roît omme 1/r et −→D dé roît omme 1/r2, tandis que la surfa e S augmente seulement omme r2.67

Page 68: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 5. DIPÔLE ÉLECTRIQUE - ENERGIE ÉLECTROSTATIQUENous avons enn une expression de l'énergie éle trostatique d'une distribution de harges expriméeentièrement en termes du hamp −→D et −→E :

We =1

2

∫∫∫

−→D ·

−→EdV (5.33)Pour des harges dans le vide, −→D = ǫ0

−→E et on peut interprêter la quantité ǫ0

2

∥∥∥−→E∥∥∥2, omme unedensité volumique d'énergie éle trique. En présen e de diéle triques par ontre, une partie de l'énergieest ontenue dans les dégrès de libertés du diéle trique, et on ne peut pas distinguer la partie de l'énergiesto kée dans le hamp éle trique de elle qui est sto kée dans le matériel sans savoir les détails sur lespropriétés mi ros opiques du diéle trique.5.3.5 Energie éle trostatique d'un ondu teur en équilibre

Q V1 1,

r=0Q V2 2,

Q V3 3,

Soit un ondu teur isolé, de harge Q distribuée sur sa surfa e S. L'énergie potentielle éle trosta-tique de e ondu teur est alorsWe =

1

2

∫dqV (P ) =

V

2

∫dq =

QV

2puisqu'il est équipotentiel, 'est-à-direWe =

1

2QV =

1

2CV 2 =

1

2

Q2

CCe i est l'énergie né essaire pour amener un ondu teur de apa ité C au potentiel V . Puisque etteénergie est toujours positive ela signie que, quel que soit V (et don sa harge Q), ela oûte toujoursde l'énergie.Soit un ensemble de N ondu teurs hargés pla és dans un volume V. A l'équilibre, ils ont une harge Qi et un potentiel Vi . En dehors du volume o upé par haque ondu teur, il n'y a pas de harge don dq = 0. L'énergie éle trostatique de ette distribution de harges est alors simplementWe =

1

2

VdqV (P ) =

1

2

N∑

i=1

Si

Viσi (P ) dSi =1

2

N∑

i=1

Vi

Si

σi (P ) dSi 'est-à-direWe =

1

2

N∑

i=1

QiVi (5.34)68

Page 69: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 5.3. ENERGIE POTENTIELLE ÉLECTROSTATIQUE5.3.6 Quelques exemples Exemple 1 : Le ondensateurSoit un ondensateur onstitué de deux armatures. L'énergie éle trostatique de e système dedeux ondu teurs estWe =

1

2(Q1V1 +Q2V2) =

1

2Q1 (V1 − V2) =

1

2QU 'est-à-dire

We =1

2QU =

1

2CU2 =

1

2

Q2

C(5.35)Energie emmagasinée par un ondensateur plan - On se rappelle du hapitre 4 qu'un ondensateurplan est onstitué de deux armatures de surfa es, S, en inuen e quasi-totale et séparées d'une distan e

d ≪ S (remplit eventuellement par un diéle trique). Nous avons vu également que la apa ité de e ondensateur est C = Sεrǫ0/d, et don l'énergie sto kée dans le ondensateur est donnée par l'éq.(5.35).On se rappelle que −→E et −→D sont parallèles entres les armatures et nul ailleurs. Entre les armatures ona ∥∥∥−→E∥∥∥ = σ/ (εrǫ0) et ∥∥∥−→D∥∥∥ = σ et on peut ainsi vérier que le résultat de l'éq.(5.35) est onsistantave l'expression de l'éq.(5.33) pour de l'énergie sto kée dans le hamp éle trique :

We =1

2

∫∫∫

V

−→D ·

−→EdV =

Sd

εrǫ0

)=

1

2εrǫ0Sd

(Q

S

)2

=1

2

Q2

Sεrǫ0d

=1

2

Q2

C Exemple 2 : Le dipleSoit un diple éle trostatique pla é dans un hamp éle trostatique −→E ext. On s'intéresse au po-tentiel d'intera tion éle trostatique entre e diple et le hamp et non pas à elle qui existeentre la harge +q et −q du diple lui-même. On onsidère don le diple omme un systèmede deux harges, −q pla ée en un point B et +q en A, n'interagissant pas entre elles. L'énergieéle trostatique de e système de harges est simplement

We,ext = qVext (A)− qVext (B) = q

∫ A

BdV = −q

∫ A

B

−→E ext ·

−→dr ≃ −q

−→E ext ·

−−→BA e qui donne

We,ext = −−→p ·−→E ext (5.36)où −→p = q

−−→BA est le moment dipolaire éle trique.Remarque : L'énergie éle trostatique entre la harge +q et −q du diple lui-même est We,int =

− q2

4πǫ0BA = −→p ·−→E int (A) où −→

E int (A) est le hamp réé par la harge −q en A. Si le hampextérieur −→E ext est bien supérieur à −→E int (A) ela signie que le diple est profondément modié(voire brisé) par le hamp : l'énergie d'intera tion est supérieure à l'énergie interne de liaison.Cependant, la distan e AB étant en général très petite, ela ne se produit pas et le diple se omporte omme un système lié, sans modi ation de son énergie interne ( e i n'est pas toutà fait exa t : un hamp extérieur peut faire os iller les deux harges autour de leur positiond'équilibre, induisant ainsi une variation de leur énergie de liaison). Exemple 3 : Un ondu teur hargé pla é dans un hamp extérieurSoit un ondu teur portant une harge Q et mis au potentiel V en l'absen e de hamp extérieur.Il possède don une énergie éle trostatique interne We,int =

QV2 orrespondant à l'énergie qu'il afallu fournir pour déposer les Q harges au potentiel V sur le ondu teur. Si maintenant il existe69

Page 70: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 5. DIPÔLE ÉLECTRIQUE - ENERGIE ÉLECTROSTATIQUEun hamp extérieur −→E ext, alors le ondu teur prend un nouveau potentiel V ′ et son énergie peuts'é rire We,int =QV ′

2 . Comment al uler V ′ ?La méthode dire te onsiste à prendre en ompte la polarisation du ondu teur sous l'eet du hamp extérieur et al uler ainsi la nouvelle distribution surfa ique σ (ave Q =∫∫S

σdS).Une autre méthode onsiste à onsidérer la onservation de l'énergie : en plaçant le ondu teurdans un hamp extérieur, on lui fournit une énergie potentielle d'intera tion éle trostatique quis'ajoute à son énergie éle trostatique interne . Supposons (pour simplier) que le hampextérieur −→E ext est onstant à l'é helle du ondu teur. Alors e dernier se omporte omme une harge pon tuelle pla ée dans un hamp et possède don une énergie potentielle d'intera tionéle trostatique We,ext = QVext. L'énergie éle trostatique totale sera alorsWe = QVext +Q

V

2= QV ′ 'est-à-dire V ′ = V + 2Vext5.4 A tions éle trostatiques sur des ondu teurs5.4.1 Notions de mé anique du solidea) Cal ul dire t des a tions (for e et moment d'une for e)Un ondu teur étant un solide, il faut faire appel à la mé anique du solide. Tout d'abord, on hoisit un point de référen e O, des axes et un système de oordonnées respe tant le plus possiblela symétrie du solide. La for e et le moment de ette for e par rapport au point O sont alors

−→F =

∫∫∫

solide

−−→d3F

−→ΓO =

∫∫∫

solide

−−→d3ΓO =

∫∫∫

solide

−−→OP ∧

−−→d3Foù −−→

d3F est la for e s'exerçant sur un élément innitésimal entré autour d'un point P quel onquedu solide et où l'intégrale porte sur tous les points du solide. Le formalisme de la mé anique dusolide onsidère ensuite que la for e totale ou résultante −→F s'applique au bary entre G du solide.b) Liens entre travail d'une a tion (for e ou moment) et l'a tion elle-même.Lors d'une translation pure du solide, onsidéré omme indéformable, tout point P du solidesubit une translation d'une quantité xe : −→dr =−→r′ − −→r = −→ε . La for e totale responsable de edépla ement doit fournir un travail

dW =

∫∫∫

solide

−−→d3F ·

−→dr =

∫∫∫

solide

−−→d3F

· −→ε =

−→F · −→ε

=

3∑

i=1

Fidxioù −→F est la résultante de la for e s'exerçant sur le solide et les xi les oordonnées du entre demasse du solide.Dans le as de rotations pures, on ne s'intéresse qu'au moment des for es responsables de esrotations. Celles- i sont dé rites par trois angles innitésimaux dα autour de trois axes ∆i.70

Page 71: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 5.4. ACTIONS ÉLECTROSTATIQUES SUR DES CONDUCTEURSpassant par le entre d'inertie G du solide et engendrés par les ve teurs unitaires ei. L'expressiongénérale du moment d'une for e (ou ouple) par rapport à G est alors−→ΓO =

3∑

i=1

ΓieiLors de rotations du solide, le ve teur repérant la position d'un de ses points P quel onque variesuivant la règled(−−→OP

)=

3∑

i=1

dαi−→e i ∧

−−→OPLe travail fourni par le moment de la for e est

e1

G

O

da1

OP

dOP

dW =

∫∫∫

solide

−−→d3F · d

−−→OP =

∫∫∫

solide

−−→d3F ·

(3∑

i=1

dαiei ∧−−→OP

)

=

3∑

i=1

dαiei ·

∫∫∫

solide

−−→OP ∧

−−→d3F

=

3∑

i=1

dαiei ·−→Γ

=3∑

i=1

dαiΓiDans le as général d'une translation a ompagnée de rotations, haque eet produit une ontri-bution au travail fourni lors de l'intera tion. ) Cal ul des a tions à partir de l'énergie potentielle (méthode des travaux virtuels)Si l'on a her hé le lien entre travail de l'a tion et les omposantes de elle- i, 'est qu'il estpossible de al uler es dernières en appliquant le prin ipe de onservation de l'énergie. En eetune for e produit un mouvement de translation de l'ensemble du solide tandis que le moment dela for e produit un mouvement de rotation. Ces deux a tions orrespondent à un travail, don àune modi ation de l'énergie d'intera tion.L'énergie totale Etot d'un solide en éle trostatique s'é rit Etot = Ec +Wp où Ec est son énergie inétique et We son énergie éle trostatique (aussi appelée : potentielle d'intera tion). Si le solideest isolé, son énergie totale reste onstante, 'est-à-dire dEtot = 0, et l'on obtient ainsi le théorèmede l'énergie inétiquedEc = dW = −dWe (5.37)où nous avons vu que au dessus que dW =

∑3i=1 Fidxi. Si l'on a par ailleurs l'expression del'énergie éle trostatiqueWe, alors on peut dire tement exprimer la for e ou son moment (exprimésdans dW ) en fon tion de dWe. 71

Page 72: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 5. DIPÔLE ÉLECTRIQUE - ENERGIE ÉLECTROSTATIQUESi, lors de l'évolution du solide, elui- i n'est pas isolé et reçoit ou perd de l'énergie, on a dEtot 6= 0, 'est-à-dire :dEc = dW = dEtot − dWe (5.38)On voit don que dans e as, le lien entre la for e (ou son moment) et l'énergie potentielle n'estplus dire te. Si l'on veut faire un tel lien, il faudra alors retran her au travail la partie due à etapport (ou perte) d'énergie mé anique. Il faudra alors onsidérer haque as parti ulier. Nousallons illustrer ette appro he dans la se tion (5.4.3) i-dessous.5.4.2 Cal ul dire t des a tions éle trostatiques sur un ondu teur hargéRevenons maintenant au as d'un ondu teur hargé pla é dans un hamp éle trostatique −→

E ext.Celui- i produit une for e de Coulomb sur haque harge éle trique distribuée sur la surfa e S du ondu teur. Nous permettons que les ondu teurs baignent éventuellement dans un milieu diéle trqiue(liquide de préféren e) ara térisé par εr. D'après e que nous avons vu pré édemment, la for e totales'é rit−→F =

∫∫

S

−−→d2F =

∫∫

S

σ−→E extdS =

∫∫

S

P ndS =

∫∫

S

σ2

2εrǫ0ndS (5.39)où P = σ2/ (2εrǫ0) est la pression éle trostatique dans un milieu diéletrique. Le moment de la for eéle trostatique s'é rit

−→ΓO =

∫∫

S

−−→OP ∧

−−→d2F =

∫∫

S

−−→OP ∧

−→E extσdS

=

∫∫

S

−−→OP ∧ nPdS =

∫∫

S

−−→OP ∧ n

σ2

2εrǫ0dS (5.40)Mais es expressions ne sont utilisables que si l'on peut al uler la densité surfa ique σ. Lorsque en'est pas le as, il faut utiliser la méthode i-dessous.5.4.3 Cal ul des a tions à partir de l'énergie éle trostatique(Méthode des travaux virtuels)Soit un système de deux ondu teurs hargés (A1) et (A2). Pour onnaître la for e−→F 1→2 exer ée par(A1) sur (A2), on imagine une petite mod ation des paramètres de A2 (position et/ou orientation)et on examine le hangement apporté à l'énergie éle trostatique. Ce i nous permettra d'en déduireles for es (moments) asso iées ave es modi ations. Cette méthode s'appelle méthode des travauxvirtuels. Un ondu teur en équilibre éle trostatique étant ara térisé par un potentiel V et une harge

Q, il y a deux as extrêmes qu'il faut onsidérer séparément.a) Système isolé : harges onstantesxA1 A2

F1/2FextOn se pla e à l'équilibre mé anique, ou les for es externes empê hent des dispa ments des ar-matures (A1) et (A2) ( .-à-d. −→F ext = −

−→F ). Imaginons maintenant un qu'on laisse le systèmefaire un dépla ement élémentaire autour de ette position. Nous somme dans le as d'un systèmeisolé où dEtot = 0 e qui implique par onservation d'énergie que dW = −dWe (voir eq.(5.37)).72

Page 73: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 5.4. ACTIONS ÉLECTROSTATIQUES SUR DES CONDUCTEURSL'énergie de e travail, dW est don fournit par l'energie éle trostatique de (A2) et nous pouvonsé rire :dW =

3∑

i=1

Fidxi =−→F ·

−→dr = −dWeOr, l'énergie éle trostatique est une fon tion de la position de (A2), don dWe =

∑3i=1

(∂We∂xi

)Qdxi.Autrement dit, dans le as d'un dépla ement d'un ondu teur isolé on doit avoir à tout moment :

dW =3∑

i=1

Fidxi = −dWe = −3∑

i=1

(∂We

∂xi

)

Q

dxi 'est-à-dire une for e éle trostatique :Fi = −

(∂We

∂xi

)

Q

(5.41)exer ée par (A1) sur (A2). Notez que les variables xi dé rivent la distan e entre (A1) et (A2).Cette for e peut aussi s'interpréter omme une for e interne exer ée par un ondu teur sur unepartie de lui-même. Ainsi, ette expression est également valable dans le as d'un ondu teur quiserait soumis à une déformation : e serait la for e exer ée par le ondu teur sur une partie delui-même lors d'une modi ation de son énergie d'intera tion éle trostatique We.Dans le as de rotations pures, l'énergie dépend des diérents angles et l'on va plutt é rire pourun ondu teur isolé (Q onstant)dW =

3∑

i=1

Γidαi = −dWe = −

3∑

i=1

(∂We

∂αi

)

Q

dai 'est-à-dire un moment des for es éle trostatiques −→Γ =∑3

i=1 Γiei dont les omposantes vérient :Γi = −

(∂We

∂αi

)

Q

(5.42)L'utilisation des expressions eq.(5.41) et (5.42) né essite de al uler l'énergie éle trostatique Weet sa dépendan e en fon tion de la position du (ou des) ondu teur(s).La présen e du signe moins indique que les a tions éle trostatiques (for es et moments) tendenttoujours à ramener le ondu teur vers une position d'énergie minimale.b) Système relié à un générateur : potentiels onstantsx

V1

A1

V2

A2

F1/2FextA proximité de l'équilibre mé anique ( −→F ext = −

−→F ) on ee tue un petit dépla ement autour de ette position. Les for es internes ee tuent toujours un travail dW =

−→F ·

−→dr, mais il existe unedeuxième sour e d'énergie, le générateur. Lors du dépla ement, elui- i maintient les potentiels V1et V2 onstants. Cela ne peut se faire qu'en modiant la harge Q1 et Q2 de haque ondu teur.Ainsi, le générateur fournit un travail permettant d'amener des harges dQ1 au potentiel V1 et

dQ2 au potentiel V2, 'est-à-dire une énergie fournie dWGen = dQ1V1 + dQ2V2.73

Page 74: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 5. DIPÔLE ÉLECTRIQUE - ENERGIE ÉLECTROSTATIQUENous sommes don dans le as traité en eq.(5.38) où le hangement à d'énergie totale, dEtotest elui fournie par le générateur ( .-à-d. dEtot = dWGen). La onservation d'énergie s'é ritmaintenant :dW = dWGen − dWe

−→F ·

−→dr = V1dQ1 + V2dQ2 −

1

2(V1dQ1 + V2dQ2)

3∑

i=1

Fidxi =1

2(V1dQ1 + V2dQ2) = dWe =

3∑

i=1

(∂We

∂xi

)

V

dxi ,où nous avons utilisé le fait qu'à potentiel onstant, la variation d'énergie éle trostatique s'é rit :dWe = 1

2 (V1dQ1 + V2dQ2). Autrement dit, dans le as d'un dépla ement d'un ondu teur reliéà un générateur (V maintenu onstant), la for e éle trostatique vaut :Fi = +

(∂We

∂xi

)

V

. (5.43)Dans le as de rotations pures, l'énergie dépend des diérents angles et l'on obtient un momentdes for es éle trostatiques égal à :Γi = +

(∂We

∂αi

)

V

. (5.44)Les expressions obtenues dans les deux as onsidérés sont générales et indépendantes du dépla- ement élémentaire. En fait elui- i ne onstitue qu'un arti e de al ul, onnu sous le nom deméthode des travaux virtuels. Notez qu'une telle méthode s'appuie sur le prin ipe de onservationde l'énergie et don , né essite l'identi ation de l'ensemble des sour es d'énergie présentes.5.4.4 Exemple du ondensateurL'énergie éle trostatique du ondensateur s'é rit We = 12QU = 1

2CU2 = 12Q2

C . D'après la se tionpré édente, lorsque le ondensateur est isolé, la for e éle trostatique entre les deux armatures s'é rit :Fi = −

(∂We

∂xi

)

Q

=Q2

2C2

(∂C

∂xi

)=

U2

2

(∂C

∂xi

).Par ontre, lorsque le ondensateur est relié à un générateur, on a

Fi = +

(∂We

∂xi

)

U

=U2

2

(∂C

∂xi

).Ainsi, on vient de démontrer que, dans tous les as, la for e éle trostatique existant entre les deuxarmatures d'un ondensateur s'é rit :

−→F =

U2

2

−−−→gradC . (5.45)On obtient de même que le moment par rapport à l'axe ∆i de la for e éle trostatique s'é rit dans tousles as :

Γi =U2

2

(∂C

∂αi

). (5.46)Remarques :1. On aurait pu s'attendre que les for es et moments soient les mêmes dans les deux formulationspar e que peu importe qu'on soit en train de garder Q ou U ontant lors d'un dépla ement, les harges et hamps sont les mêmes dans les deux as à un instant donné.74

Page 75: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 5.4. ACTIONS ÉLECTROSTATIQUES SUR DES CONDUCTEURS2. Les a tions éle trostatiques tendent toujours à augmenter la apa ité C d'un ondensateur.3. La for e obtenue par la méthode des travaux virtuels est la même que elle donné par l'expression−→F =

∫∫−−→d2F =

∫∫P ndS, e qui signie que la distribution de harges σ doit s'arranger de tellesorte que e soit ee tivement le as.Exemple : le ondensateur planSoit un ondensateur plan de apa ité C (z) = εrǫ0S/z, où S est la surfa e d'inuen e mutuelle ommune aux deux armatures et z = z2 − z1 la distan e entre elles- i.

z

x

y

xyz1

z2

z z z= -2 1

S

S

La for e exer ée par l'armature 1 sur l'armature 2 est :−→F 1→2 =

U2

2

−−−→grad2C = −

−→F 2→1

−→F 1→2 = z

U2

2

∂C

∂z2= −z

U2

2

εrǫ0S

(z2 − z1)2

−→F 2→1 = z

U2

2

∂C

∂z1= z

U2

2

εrǫ0S

(z2 − z1)2 .Notez que la bonne utilisation de la formule générale (portant sur le gradient de C) né essite la ompréhension de sa démonstration ( e que signie les variables xi).5.4.5 Exemple du dipleSoit un diple éle trostatique de moment dipolaire −→p pla é dans un hamp extérieur −→

E ext. On her he dans un premier temps à al uler la for e éle trostatique exer ée par e hamp sur le diple.Celui- i restant à harge onstante, on va don utiliser l'expression obtenue pour un système isolé. Ense rappelant que l'energie potentielle d'intera tion éle trique est We = −−→p ·−→E ext, nous avons :

Fi = −

(∂We

∂xi

)

Q

=∂(−→p ·

−→E ext

)

∂xi, 'est-à-dire une expression ve torielle

−→F =

−−−→grad

(−→p ·

−→E ext

). (5.47)Sous l'eet de ette for e, un diple aura tendan e à se dépla er vers les régions où le hamp éle tro-statique est le plus fort.Le moment de la for e éle trostatique est donné par

Γi = −

(∂We

∂αi

)

Q

=∂(−→p ·

−→E ext

)

∂αi75

Page 76: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 5. DIPÔLE ÉLECTRIQUE - ENERGIE ÉLECTROSTATIQUEave −→Γ =

∑i Γiei. On peut ependant larier onsidérablement ette expression. Il sut en eet deremarquer que lors d'une rotation pure, le ve teur moment dipolaire varie omme

d−→p =3∑

i=1

dαiei ∧−→p =

3∑

i=1

∂−→p

∂αidαipuisqu'il dépend a priori de la position du point onsidéré, don des angles αi. En supposant alors quele hamp −→

E ext est onstant à l'é helle du diple, on obtientΓi =

∂(−→p ·

−→E ext

)

∂αi=

∂−→p

∂αi·−→E ext =

(ei ∧

−→p)·−→E ext = ei ·

(−→p ∧

−→E ext

) 'est-à-dire l'expression ve torielle suivante :−→Γ = −→p ∧

−→E ext (5.48)Le moment des for es éle trostatiques a don tendan e à aligner le diple dans la dire tion du hampextérieur.

76

Page 77: able - Fresnel

Chapitre 6Courant et hamp magnétique6.1 Courant et résistan e éle triques6.1.1 Le ourant éle triqueNous avons vu qu'il était possible d'éle triser un matériau ondu teur, par exemple par frottements.Si l'on met ensuite e ondu teur en onta t ave un autre, le deuxième devient à son tour éle trisé, 'est-à-dire qu'il a a quis une ertaine harge Q. Cela signie que lors du onta t des harges se sontdépla ées de l'un vers l'autre. On dénit alors le ourant par

I =dQ

dt, (6.1)où les unités sont les Ampères (symbole A). Dans le système international, l'Ampère est l'une des 4unités fondamentales (ave le mètre, le kilogramme et la se onde), de telle sorte que

1C = 1A s (Ampère se onde). (6.2)La dénition de l'éq.(6.1) de I ne nous renseigne pas sur son signe, il faut hoisir une onvention.Par exemple, soit Q > 0 la harge du ondu teur initialement hargé (A1). On a aaire i i à unedé harge de (A1) vers (A2). Si l'on désire ompter positivement le ourant de (A1) vers (A2), alors ilfaut mettre un signe moins à l'expression de l'éq.(6.1).La densité de ourant éle triqueLa raison physique du ourant est un dépla ement de harges, 'est-à-dire l'existen e d'une vitesseorganisée (par opposition à la vitesse d'agitation thermique) de elles- i. Considérons don un l ondu teur de se tion S, dans lequel se trouvent np porteurs de harge qp par unité de volume, animésd'une vitesse −→v dans le référentiel du laboratoire. Pendant un instant dt, es harges par ourent unedistan e −→v dt. Soit dSn un élément innitésimal de surfa e mesuré sur la se tion du l, orienté dansune dire tion arbitraire. La quantité de harge éle trique, dQ, qui traverse ette surfa e pendant dt est elle ontenue dans le volume élémentaire dV = dSdl asso ié :dQ = nqpdV = nqp

−→v dt · dSn .On voit alors apparaître un ve teur qui dé rit les ara téristiques du milieu ondu teur et qu'on appellela densité de ourant :−→j = npqp

−→v p = ρp−→v p , (6.3)77

Page 78: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 6. COURANT ET CHAMP MAGNÉTIQUEdS

j

dl = vdt

dV

exprimée en Ampères par mètre arré (A m−2 ). La harge totale dQ traversant une se tion du l estl'intégrale des harges dQ sur la se tion du l. Finalement don , le ourant I ir ulant dans le l estrelié à la densité parI =

dQ

dt=

1

dt

∫∫se tion dQ =1

dt

∫∫se tion−→j · dSndt , 'est-à-dire :I =

∫∫se tion−→j · d−→S . (6.4)On dit que le ourant dans un ir uit est le ux à travers la se tion du l de la densité de ourant.Le sens du ourant (grandeur algébrique) est alors donné par le sens du ve teur densité de ourant.Un ondu teur est un ristal (ex, uivre) dans lequel se dépla ent des parti ules hargées (ex,éle trons). Suivant le matériau, les porteurs de harges responsables du ourant peuvent être diérents.Dans un métal, e sont des éle trons, dits de ondu tion (la nature et le signe des porteurs de hargepeuvent être déterminés grâ e à l'eet Hall voir hapitre 9). Dans un gaz onstitué de parti ulesionisées, un plasma, ou bien dans un éle trolyte, il peut y avoir plusieurs espè es hargées en présen e.En toute généralité, on doit don dénir la densité lo ale de ourant de la forme

−→j =

α

nαqα−→v α , (6.5)où l'on fait une sommation sur toutes les espè es (éle trons et ions) en présen e. Dans le as parti ulierd'un ristal omposé d'ions immobiles (dans le référentiel du laboratoire) et d'éle trons en mouvement,on a

−→j = −nee

−→v e , (6.6)où e ≃ 1, 6× 10−19C est la harge élémentaire et ne la densité lo ale d'éle trons libres. La densité de ourant (don le sens attribué à I) est ainsi dans le sens ontraire du dépla ement réeldes éle trons.Loi d'Ohm mi ros opique (ou lo ale)Dans la plupart des ondu teurs, on observe une proportionnalité entre la densité de ourant et le hamp éle trostatique lo al,−→j = γ

−→E , (6.7)où le oe ient de proportionnalité γ (souvent dénoté par σ) est appelé la ondu tivité du milieu(unités : voir plus bas). On dénit également η = 1/γ, la résistivité du milieu. La ondu tivité est unegrandeur lo ale positive, dépendant uniquement des propriétés du matériau. Ainsi, le uivre possèdeune ondu tivité γCU = 58× 106 S/m, tandis que elle du verre (isolant) vaut γverre = 10−11S/m.Une telle loi implique que les lignes de hamp quasi-éle trostatique sont également des lignes de ourant, indiquant don le hemin pris par les harges éle triques. Par ailleurs, omme γ est positif, ela implique que le ourant s'é oule dans la dire tion des potentiels dé roissants.78

Page 79: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 6.1. COURANT ET RÉSISTANCE ÉLECTRIQUESD'où peut provenir ette loi ? Prenons le as simple d'une harge éle trique qp soumise à la for e deCoulomb mais aussi à des ollisions (modèle de Drude). Ces ollisions peuvent se dé rire omme unefor e de frottement proportionnelle à la vitesse (moyenne) −→v p de la harge. La relation fondamentalede la dynamique s'é rit :mp

d−→v p

dt= qp

−→E − k−→v p , (6.8)où mp est la masse des porteurs. Cette équation montre qu'en régime permanent (stationnaire, maisnon statique), la harge qp atteint une vitesse limite −→v l = µ

−→E où µ = qp/k est appelé la mobilité des harges. Ce régime est atteint en un temps ara téristique τ = mp/k, appelé temps de relaxation.Insérant es valeurs dans l'expression de la densité de ourrant −→

j = npqp−→v l, on obtient la loid'Ohm ave :

−→j =

npq2p

k

−→E ⇒ γ =

npq2p

k→ k =

npq2p

γ. (6.9)Cette expression mi ros opique pour γ nous permet d'en déduire le temps de temps de relaxation desporteurs de ourant :

τ =mp

k=

γmp

npq2p. (6.10)Ainsi, la loi d'Ohm mi ros opique (ou lo ale) s'explique bien par e modèle simple de ollisions desporteurs de harge. Mais ollisions ave quoi ? On a longtemps ru que 'étaient des ollisions ave lesions du réseau ristallin du ondu teur, mais il s'avère qu'il s'agit en fait de ollisions ave les impuretés ontenues dans elui- i.Prenons le as du uivre, métal ondu teur au sein duquel existe une densité numérique d'éle tronsde ondu tion de l'ordre de ne ≃ 8 × 1028m−3. Le temps de relaxation est alors de τ = γCUme

e2ne≈

2 10−14s. C'est le temps typique entre deux ollisions. Quelle est la distan e maximale par ourue parles éle trons pendant e temps (libre par ours moyen) ? Elle dépend de leur vitesse réelle : elle- iest la somme de la vitesse moyenne −→v e (le ourant) et d'une vitesse d'agitation thermique de normevth =

√kT/me ≈ 105m/s à température ambiante mais dont la valeur moyenne (ve torielle) est nulle(pour mémoire, un l de Cuivre d'une se tion de 1mm2 par ouru par un ourant de 1 A, possède unedensité de ourant de j = 106 Am−2 et une vitesse moyenne de ve = j/nee ≃ 0, 007m/s). Le librepar ours moyen d'un éle tron serait alors de :

l = vthτ ≈ 2 10−9m = 20A ,un ordre de grandeur supérieur à la distan e inter-atomique (de l'ordre de l'Angström). Ce ne sontdon pas les ollisions ave les ions du réseau qui sont la ause de la loi d'Ohm.Résistan e d'un ondu teur : loi d'Ohm ma ros opiqueConsidérons maintenant une portion AB d'un ondu teur par ouru par un ourant I. S'il existeun ourant, ela signie qu'il y a une hute de potentiel entre A et B, U = VA − VB =∫ BA

−→E ·

−→dl. Ondénit alors la résistan e de ette portion par

R =U

I=

∫ BA

−→E ·

−→dl

∫∫S

γ−→E · d

−→S

, (6.11)où l'unité est l'Ohm (symbole Ω). Dans le as simple d'un ondu teur liforme de se tion S où, sur unelongueur L, le hamp éle trostatique est uniforme, on obtient le lien entre la résistan e d'un ondu teur(propriété ma ros opique) et sa résistivité, η (propriété mi ros opique) :R =

L

γS= η

L

S, (6.12)79

Page 80: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 6. COURANT ET CHAMP MAGNÉTIQUEqui montre que les unités de la résistivité sont le Ωm (Ohm mètre).Asso iations de résistan es(a) Résistan es en série Soient N résistan es Ri mises bout à bout dans un ir uit et par ouruespar un ourant I. La tension aux bornes de la haîne est simplement :U = (V0 − V1) + (V1 − V2) + · · ·+ (VN−1 − VN ) = R1I +R2I + · · ·+RN I 'est-à-dire analogue à elle obtenue par une résistan e unique dont la valeur est :

Req =

N∑

i=1

Ri . (6.13)

(b) Résistan es en parallèle Soient N résistan es Ri mises en parallèle sous une tension U = V1−V2et alimentées par un ourant I. Le ourant se sépare alors en n ourants :Ii =

U

Ri,dans ha une des N bran hes. En vertu de la onservation du ourant (voir i-dessous), on a :

I =N∑

i=1

Ii =N∑

i=1

Ui

Ri=

U

Req, 'est-à-dire que l'ensemble des N bran hes est analogue à une résistan e équivalente en série :

1

Req=

N∑

i=1

1

Ri. (6.14)6.2 Le hamp magnétique6.2.1 Bref aperçu historiqueLes aimants sont onnus depuis l'Antiquité, sous le nom de magnétite, pierre trouvée à proximité dela ville de Magnésie (Turquie). C'est de ette pierre que provient le nom a tuel de hamp magnétique.Les hinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants, il y a plus de 1000 ans, pourfaire des boussoles. Elles étaient onstituées d'une aiguille de magnétite posée sur de la paille ottantsur de l'eau ontenue dans un ré ipient gradué.Au XVIIIème siè le, Franklin dé ouvre la nature éle trique de la foudre (1752). Or, il y avait déjàà ette époque de nombreux témoignages de marins attirant l'attention sur des faits étranges : Les orages perturbent les boussoles La foudre frappant un navire aimante tous les objets métalliques.80

Page 81: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 6.2. LE CHAMP MAGNÉTIQUEFranklin en déduisit la possibilité d'une ommunauté de nature entre les phénomèneséle triques et magnétiques .Coulomb (1785) montre la dé roissan e en 1/r2 des deux for es.Mais il faut attendre la n du XIXème siè le pour qu'une théorie omplète apparaisse, la théoriede l'éle tromagnétisme. Tout ommença ave l'expérien e d'Oersted en 1820. Il plaça un l ondu teurau dessus d'une boussole et y t passer un ourant. En présen e d'un ourant l'aiguille de la boussoleest ee tivement déviée, prouvant sans ambiguïté un lien entre le ourant éle trique et le hampmagnétique. Par ailleurs, il observa : Si on inverse le sens du ourant, la déviation hange de sens. La for e qui dévie l'aiguille est non radialeL'étude quantitative des intera tions entre aimants et ourants fut faite par les physi iens Biot etSavart (1820). Ils mesurèrent la durée des os illations d'une aiguille aimantée en fon tion de sa distan eà un ourant re tiligne. Ils trouvèrent que la for e agissant sur un ple est dirigée perpendi ulairementà la dire tion reliant e ple au ondu teur et qu'elle varie en raison inverse de la distan e. De esexpérien es, Lapla e déduisit e qu'on appelle aujourd'hui la loi de Biot et Savart. Une question quis'est ensuite immédiatement posée fut : si un ourant dévie un aimant, alors est- e qu'un aimant peutfaire dévier un ourant ? Ce i fut ee tivement prouvé par Davy en 1821 dans une expérien e où ilmontra qu'un ar éle trique était dévié dans l'entrefer d'un gros aimant.L'élaboration de la théorie éle tromagnétique mit en jeu un grand nombre de physi iens de renom :Oersted, Ampère, Arago, Faraday, Fou ault, Henry, Lenz, Maxwell, Weber, Helmholtz, Hertz, Lorentzet bien d'autres. Si elle débuta en 1820 ave Oersted, elle ne fut mise en équations par Maxwell qu'en1873 et ne trouva d'expli ation satisfaisante qu'en 1905, dans le adre de la théorie de la relativitéd'Einstein.Dans e ours, nous traiterons dans les hapitres 6 à 10 de la question suivante : omment pro-duire un hamp magnétique à partir de ourants permanents ? Dans le hapitre 10 nous aborderons leproblème inverse : omment produire de l'éle tri ité à partir d'un hamp magnétique ?6.2.2 Nature des eets magnétiquesJusqu'à présent nous n'avons abordé que des parti ules hargées immobiles, ou en ore des ondu -teurs (ensembles de parti ules) en équilibre. Que se passe-t-il lorsqu'on onsidère enn le mouvementdes parti ules ? Soient deux parti ules q1 et q2 situées à un instant t aux points P1 et P2. En l'absen ede mouvement, la parti ule q1 réé au point P2 un hamp éle trostatique −→E 1 (P2) et la parti ule q2subit une for e dont l'expression est donnée par la loi de Coulomb :

−→F 1→2 = q2

−→E 1 (P2) .Qui dit for e, dit modi ation de la quantité de mouvement de q2 puisque −→

F 1→2 = d−→p 2

dt ≃ ∆−→p 2

∆t .Autrement dit la for e éle trostatique due à q1 rée une modi ation ∆−→p 2 pendant un temps ∆t. Unefor e orrespond en fait à un transfert d'information (i i de q1 vers q2) pendant un ourt laps de temps.Or, rien ne peut se propager plus vite que la vitesse c de la lumière. Cette vitesse étant grande maisnie, tout transfert d'information d'un point de l'espa e à un autre prend né essairement un tempsni. Ce temps pris par la propagation de l'information introduit don un retard, omme nous allons levoir.On peut onsidérer l'exemple i-dessus omme se qui se passe ee tivement dans le référentielpropre de q1. Dans un référentiel xe, q1 est animée d'une vitesse −→v 1. Quelle serait alors l'a tion deq1 sur une parti ule q2 animée d'une vitesse −→v 2 ? Soit dt le temps qu'il faut à l'information (le hampéle trostatique réé par q1) pour se propager de q1 vers q2. Pendant e temps, q1 par ourt une distan e81

Page 82: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 6. COURANT ET CHAMP MAGNÉTIQUEq1

v1dt

q2

v2

cdt

E1( )t-dt

E1( )t

r

u12

P1

P2

v1dt et q2 par ourt la distan e v2dt. Autrement dit, lorsque q2 ressent les eets éle trostatiques dus à q1, eux- i ne sont plus radiaux : le hamp −→E 1 (t− dt) vu par q2 est dirigé vers l'an ienne position de q1et dépend de la distan e cdt et non pas de la distan e r. On voit i i qu'il faut orriger la loi de Coulombqui nous aurait donné le hamp −→

E 1 (t) qui est faux (suppose propagation instantanée de l'informationi.e. une vitesse innie). Les eets éle triques ne peuvent se résumer au hamp éle trostatique.Cependant, l'expérien e montre que la prise en ompte d'une orre tion tenant ompte de la vitessenie du transport d'information ne surait pas à expliquer la traje toire de q2 : une for e supplémen-taire apparaît, plus importante d'ailleurs que elle asso iée ave la vitesse nie d'information ! Enpremière approximation, la for e totale exer ée par q1 sur q2 s'é rit en fait :−→F 1→2 ≃

q1q24πǫ0r212

[u12 +

−→v 2

c∧

(−→v 1

c∧ u12

)]. (6.15)Dans ette expression, on voit don apparaître un deuxième terme qui dépend des vitesses des deuxparti ules ainsi que la vitesse de propagation de la lumière. Ce deuxième terme s'interprète omme la ontribution d'un hamp magnétique réé par q1. Autrement dit :

−→F 1→2 ≃ q2

(−→E 1(P2) +

−→v 2 ∧−→B1(P2)

), (6.16)où nous avons introduit un hamp magnétique, −→B1, réé par la harge q1 où :

−→B1(P2) =

q14πǫ0c2

(−→v 1 ∧ u12

)

r212=

q14πǫ0c2

−→v 1 ∧−−−→P1P2∥∥∥−−−→P1P2

∥∥∥3 (6.17)(nous avons utilisé le fait que r12 =

∥∥∥−−−→P1P2

∥∥∥ et u12 =−−−→P1P2/

∥∥∥−−−→P1P2

∥∥∥).L'inpse tion des équations (6.15) à (6.17) montre que la for e magnétique a un rapport de (v/c)2à la for e de Coulomb (don normalement très faible). Les expressions (6.17) et (6.16) sont le fruitde dé ennies de travail par nombreux physi iens de renom. Nous renonçons don à un développement historique du sujet et on va utiliser es expressions, que l'on admettra, an de dériver les loisfondamentales de la magnétostatique (obtenues historiquement à travers des expérien es).Nous reviendrons plus tard ( hapitre 9) sur les propriétés de la for e magnétique exprimée dansl'éq.(6.16). Cette expression n'est valable que pour des parti ules se déplaçant à des vitesses beau oupplus petites que elle de la lumière (approximation de la magnétostatique). Dernière remarque : la for emagnétique dépend de la vitesse de la parti ule, e qui implique que le hamp magnétique dépend du hoix du système référentiel (voir dis ussion hapitre 9) !82

Page 83: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 6.3. EXPRESSIONS DU CHAMP MAGNÉTIQUE6.3 Expressions du hamp magnétique6.3.1 Champ magnétique réé par une harge en mouvementD'après l'éq.(6.17) i-dessus, le hamp magnétique réé en un point M par une parti ule de hargeq située en un point P et animée d'une vitesse −→v dans un référentiel galiléen est :

B( )M

M

q

P v

−→B (M) =

µ0

q−→v ∧−−−→PM∥∥∥−−−→PM∥∥∥3où µ0 = 1/

(ǫ0c

2). L'unité du hamp magnétique dans le système international est le Tesla (T). Uneautre unité appartenant au système CGS, le Gauss (G), est également très souvent utilisée :

1 Gauss = 10−4 Tesla. (6.18)Le fa teur µ0 est la perméabilité du vide : il dé rit la apa ité du vide à laisser passer le hampmagnétique. Sa valeur dans le système d'unités international MKSA est :µ0 = 4π10−7 H.m−1 (H pour Henry) ( 1 Henry = 1 V.A−1s = 1 m2.kg.s−2.A−2 ) . (6.19)Remarques : La valeur de µ0 donné en l'éq.(6.19) est exa te, dire tement liée à la dénition de l'Ampère (voirChapitre 9). Le fa teur 4π a été introduit pour simplier les équations de Maxwell. Nous avons vus que les phénomènes éle triques et magnétiques sont intimement reliés. Les ex-périen es de l'époque montrèrent que la vitesse de propagation était toujours la même, à savoirc, la vitesse de la lumière. Cela signiait qu'il y avait don un lien se ret entre le magnétisme,l'éle tri ité et la lumière, et plongeait les physi iens dans la plus grande perplexité. On remarqueque :

µ0ǫ0c2 = 1 , (6.20) e qui permet de dénir la valeur de la permittivité du vide ( ara téristique dé rivant sa apa itéà aaiblir les for es éle trostatiques) :

ǫ0 =1

c2µ0≃

107

4π.9.1016=

10−9

36πF.m−1 (F pour Farad) .Deux propriétés importantes du hamp magnétique : De même que pour le hamp éle trostatique, le prin ipe de superposition s'applique au hampmagnétique. Si on onsidère deux parti ules 1 et 2 alors le hamp magnétique réé en un point

M quel onque de l'espa e sera la somme ve torielle des hamps réés par haque parti ule. Du fait du produit ve toriel, le hamp magnétique est e qu'on appelle un pseudo-ve teur (voirplus bas). 83

Page 84: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 6. COURANT ET CHAMP MAGNÉTIQUE6.3.2 Champ magnétique réé par un ensemble de harges en mouvementConsidérons N parti ules de harges qi situés en des points Pi et de vitesse −→v i . En vertu du prin ipede superposition, le hamp magnétique réé en un point M est la somme ve torielle des hamps rééspar haque parti ule et vaut−→B (M) =

µ0

N∑

i=1

qi−→v i ∧

−−−→PiM∥∥∥−−−→PM∥∥∥3 .Si le nombre de parti ules est très grand dans un volume V donné et qu'on s'intéresse à des é helles spa-tiales bien plus grandes que la distan e entre es parti ules, il est avantageux d'utiliser une des ription ontinue. Il faut don dénir des distributions ontinues omme nous l'avons fait en éle trostatique.Mais des distributions ontinues de quoi ?Le passage à la limite ontinue onsiste à assimiler tout volume élémentaire dV, situé autour d'unpoint P ′ quel onque de la distribution de harges en mouvement, à une harge dq animée d'une vitessemoyenne −→v . Le hamp magnétique résultant s'é rit alors

−→B (M) =

µ0

V

dq−→v ∧−−−→PM∥∥∥−−−→PM∥∥∥3 ,où l'intégrale porte sur le volume V total embrassé par es harges. En toute généralité, onsidérons

α espè es diérents de parti ules (ex : éle trons, ions) ha une animée d'une vitesse −→v α de hargeqα et d'une densité numérique n. On peut alors é rire dq−→v =

∑α nαqα

−→v αdV, où la somme portesur le nombre d'espè es diérentes et non sur le nombre de parti ules. On re onnaît ainsi l'expressiongénérale du ve teur densité lo ale de ourant −→j =∑

α nαqα−→v α.L'expression du hamp magnétique réé par une distribution volumique de harges quel onque estdon :

−→B (M) =

µ0

∫∫∫ −→j (P ) ∧

−−−→PM∥∥∥−−−→PM∥∥∥3 dV . (6.21)Ce résultat est général et valable quelle que soit la forme du ondu teur. On peut l'appliquer, parexemple, à l'intérieur d'un métal de volume V quel onque.Quelques ordres de grandeur : Champ magnétique interstellaire moyen : B ≈ µG Champ magnétique terrestre : B⊥ ≈ 0, 4G, Bhorizontal ≈ 0, 3G Un aimant ourant B ≈10 mT Champ magnétique dans une ta he solaire B ≈ kG ≈ 0.1 Tesla Un éle troaimant ordinaire B ≈ Tesla Une bobine supra ondu tri e B ≈20 Tesla Champ magnétique d'une étoile à neutrons 108 Tesla6.3.3 Champ réé par un ir uit éle trique (formule de Biot et Savart)Dans le as parti ulier d'un ir uit liforme fermé, par ouru par un ourant permanent I, la formulepré édente va nous fournir la loi de Biot et Savart. Dans e as, le volume élémentaire s'é rit dV =dSdloù dS est un élément de surfa e transverse situé en P et dl un élément de longueur du l. Or, on onsidère seulement les as où le point M est situé à une distan e telle du l qu'on peut onsidérer84

Page 85: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 6.3. EXPRESSIONS DU CHAMP MAGNÉTIQUESection du fil

d dtl v=P

dSv(P )’

IP

M

dOP

C

d MB( )

elui- i omme très min e. Plus pré isément, le ve teur vitesse (ou densité de ourant) a la mêmeorientation sur toute la se tion du l ( −→j parallèle à −→dl et à −→

dS). Ainsi, on é rit−→B (M) =

µ0

circuit

dl

∫∫se tion−→j (P ′) ∧−−−→P ′M∥∥∥

−−−→P ′M

∥∥∥3 dS =

µ0

circuit

[ ∫∫se tion−→j (P ′) dS

]dl ∧

−−−→PM

∥∥∥−−−→PM∥∥∥3

=µ0

circuit

[ ∫∫se tion−→j (P ) ·−→dS

]−→dl ∧

−−−→PM

∥∥∥−−−→PM∥∥∥3 =

µ0

circuit

I−→dl ∧

−−−→PM∥∥∥−−−→PM∥∥∥3où l'on a utilisé P ′M ≫ PP ′ (don P ′M ≃

−−−→PM), P étant un point sur le l ( entre de la se tion).Par ailleurs, nous avons utilisé le fait que la normale à la se tion ainsi que −→

dl étaient orientés dans lesens du ourant (−→j dSdl =(−→j ·

−→dS)−→dl ).Formule de Biot et Savart : en un point M quel onque de l'espa e, le hamp magnétique réépar un ir uit par ouru par un ourant permanent I est :

−→B (M) =

µ0I

circuit

−→dl ∧

−−−→PM∥∥∥−−−→PM

∥∥∥3 , (6.22)où P est un point quel onque le long du ir uit et −→

dl =−−→dOP (O étant l'origine, quel onque, dusystème)La formule de Biot et Savart (1820) a été établie expérimentalement et fournit un lien expli iteentre le hamp magnétique et le ourant. Mais e n'est que plus tard (1880+) que les physi iens ontréalisé que le ourant était dû au dépla ement de parti ules dans un ondu teur.Règles mnémote hniques :Dans l'utilisation de la formule de Biot et Savart, il faut faire attention au fait que le hampmagnétique réé par un ir uit est la somme ve torielle de tous les −→dB, engendrées par un élément de ir uit, dont le sens est donné par elui du ourant I,

d−→B (M) =

µ0I

−→dl ∧

−−−→PM∥∥∥−−−→PM∥∥∥3 .Or haque −→

dB est déni par un produit ve toriel. Il faut don faire extrêmement attention àl'orientation des ir uits. Voi i quelques règles mnémote hniques : Règle des trois doigts de la main droite Règle du bonhomme d'Ampère 85

Page 86: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 6. COURANT ET CHAMP MAGNÉTIQUE6.3.4 Propriétés de symétrie du hamp magnétiqueCes propriétés sont fondamentales ar elles permettent de simplier onsidérablement le al ul du hamp magnétique. Du fait que le hamp soit un eet réé par un ourant, il ontient des informationssur les auses qui lui ont donné origine. Cette règle se traduit par la présen e de ertaines symétrieset invarian es si les sour es de ourant en possèdent également. Ainsi, si l'on onnaît les propriétés desymétrie de la densité de ourant, on pourra onnaître elles du hamp magnétique.Ve teurs et pseudo-ve teursUn ve teur polaire, ou vrai ve teur, est un ve teur dont la dire tion, le module et le sens sontparfaitement déterminés. Exemples : vitesse d'une parti ule, hamp éle trostatique, densité de ourant.Un ve teur axial, ou pseudo-ve teur, est un ve teur dont le sens est déni à partir d'une onventiond'orientation d'espa e et dépend don de ette onvention. Exemples : le ve teur rotation instantanée,le hamp magnétique, la normale à une surfa e.Cette diéren e provient du produit ve toriel : le sens du produit ve toriel dépend de la onventiond'orientation de l'espa e. Le produit ve toriel de deux vrais ve teurs (respe tivement pseudo-ve teurs)est un pseudo-ve teur (resp. vrai ve teur), tandis que elui d'un vrai ve teur par un pseudo-ve teurest un pseudo-ve teur.c

a

b

c’

a’b’

c = a b

Figure 6.1 Transformation par rapport à un plan de symétrieOrienter l'espa e revient à asso ier à un axe orienté un sens de rotation dans un plan perpendi ulaireà et axe. Le sens onventionnellement hoisi est déterminé par la règle du tire-bou hon de Maxwellou la règle du bonhomme d'Ampère (pour le hamp magnétique mais aussi pour le ve teur rotationinstantanée).Transformations géométriques d'un ve teur ou d'un pseudo-ve teurVe teurs et pseudo-ve teurs se transforment de la même manière dans une rotation ou une trans-lation. Il n'en est pas de même dans la symétrie par rapport à un plan ou à un point. Dans estransformations un ve teur est transformé en son symétrique, un pseudo-ve teur est transformé en l'opposé du symétrique.Soit −→A′ (M ′) le ve teur obtenu par symétrie par rapport à un plan Π à partir de −→A (M). D'aprèsla gure i-dessus, on voit que1. Si −→A (M) est un vrai ve teur −→

A′ (M ′) =−→A (M) si −→A (M) est engendré par les mêmes ve teurs de base que S ; −→

A′ (M ′) = −−→A (M) si −→A (M) est perpendi ulaire à S.2. au ontraire, si −→A (M) est un pseudo-ve teur −→

A′ (M ′) =−→A (M) si −→A (M) est perpendi ulaire à S. −→

A′ (M ′) = −−→A (M) si −→A (M) est engendré par les mêmes ve teurs de base que S ;.86

Page 87: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 6.3. EXPRESSIONS DU CHAMP MAGNÉTIQUEE

E E

E’E’ E’

P

Transformation d’un vecteurpar symétrie par rapport à un plan

BB B

B’B’

B’

P

Transformation d’un pseudo-vecteurpar symétrie par rapport à un planCes deux règles de transformation vont nous permettre de déterminer des règles de symétrie utiles.Dans un espa e homogène et isotrope, si l'on fait subir une transformation géométrique à unsystème physique (ex : ensemble de parti ules, distribution de harges et/ou de ourants) sus eptiblede réer ertains eets (for es, hamps), alors es eets subissent les mêmes transformations. Si unsystème physique S possède un ertain degré de symétrie, on pourra alors déduire les eets réés par e système en un point à partir des eets en un autre point.Règles de symétrie Invarian e par translation : si S est invariant dans toute translation parallèle à un axe Oz,les eets ne dépendent pas de z. Symétrie axiale : si S est invariant dans toute rotation φ autour d'un axe Oz, alors ses eetsexprimés en oordonnées ylindriques (ρ, φ, z) ne dépendent pas de φ. Symétrie ylindrique : si S est invariant par translation le long de l'axe Oz et rotation autourde e même axe, alors ses eets exprimés en oordonnées ylindriques (ρ, φ, z) ne dépendent quede la distan e à l'axe ρ. Symétrie sphérique : si S est invariant dans toute rotation autour d'un point xe O, alors seseets exprimés en oordonnées sphériques (r, θ, φ) ne dépendent que de la distan e au entre r. Plan de symétrie Π : Si S admet un plan de symétrie Π, alors en tout point de e plan, un eet à ara tère ve toriel est ontenu dans le plan un eet à ara tère pseudo-ve toriel lui est perpendi ulaire.

j

Figure 6.2 Exemples de plans d'anti-symétrie Plan d'antisymétrie Π′ : si, par symétrie par rapport à un plan Π′, S est transformé en −Salors en tout point de e plan, un eet à ara tère ve toriel est perpendi ulaire au plan un eet à ara tère pseudo-ve toriel est ontenu dans e plan.Voi i quelques règles simples et très utiles, dire tement issues de la liste i-dessus : Si −→j est invariant par rotation autour d'un axe, −→B l'est aussi. Si −→j est poloïdal (porté par ρ et/ou z ), alors −→B est toroïdal (porté par φ ).87

Page 88: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 6. COURANT ET CHAMP MAGNÉTIQUE Si −→j est toroïdal, alors −→B est poloïdal. Si le système de ourants possède un plan de symétrie, alors −→j est ontenu dans e plan et don −→B lui est perpendi ulaire.6.4 Cal ul du hamp dans quelques as simples6.4.1 Champ réé par un segment de l re tiligneOn onsidère le hamp magnétique δ−→B réé par un segment re tiligne P1P2 par ouru par un ourantd'intensité I en un point M situé à une distan e ρ du l. On é rit δ−→B par e que e segment ne peutêtre qu'une partie d'un ir uit omplet, et il faut en général al uler le hamp −→

B produit par le ir uiten entier (par superposition).a2

a1

z

a

z1

z2

P

OM

uf

r

I

Figure 6.3 Segment re tiligne d'un ir uitA partir de la loi Biot-Savart on é rit :δ−→B (M) =

µ0

4πI

∫ P2

P1

−→dl ∧

−−−→PM∥∥∥−−−→PM

∥∥∥3 . (6.23)Compte tenu de la symétrie, on utilise des oordonnées ylindriques ave −−→

OP = zz et on a :−→dl = zdz

−−−→PM = −zz + ρρ .Ave es oordonnées on trouve :

−→dl ∧

−−−→PM = dzz ∧ (−zz + ρρ) = dzρ φ . (6.24)Il onvient dans e problème de faire un hangement de variables vers l'angle α

(−−−→MO,

−−−→MP

) et onpeut ainsi é rire . ∥∥∥−−→OP

∥∥∥ = z = ρ tanα, PM ≡∥∥∥−−−→PM

∥∥∥ =ρ

cosα.On trouve dz en prenant la diérentielle de z = ρ tanα :

dz = ρd(tanα) = ρ

(1 +

sin2 α

cos2 α

)dα =

ρ

cos2 αdα . (6.25)88

Page 89: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 6.4. CALCUL DU CHAMP DANS QUELQUES CAS SIMPLESMettant les relations expressions de (6.24) et (6.25) dans (6.23) on obtient :δ−→B (ρ) =

µ0

4πI

∫ z2

z1

−→dl ∧

−−−→PM

PM3=

µ0

4πI φ

∫ z2

z1

dzρ

PM3

=µ0

4πρI φ

∫ α2

α1

cosαdα

=µ0

4πρI φ (sinα2 − sinα1) . (6.26)On peut également exprimer le résultat en fon tion de z en utilisant sinα = z/(z2 + ρ2)1/2 (voir gure6.3) :

δ−→B (ρ) =

µ0

4πρI φ

(z2(

z22 + ρ2)1/2 −

z1(z21 + ρ2

)1/2

). (6.27)6.4.2 Champ réé par un l inniDans l'approximation, où le point M est susamment près du l pour utiliser l'approximation dul inni (ρ ≪ z1 et ρ ≪ z2), on peut ignorer les ontributions des autres portions du ir uit et onprend la limite z1 → −∞ , z2 → ∞ (α1 → −π

2 , α2 →π2 ) en équations (6.27) ou (6.26) e qui donne :

−→B (ρ) →

µ0

2πρI φ . (6.28)On onstate que dans la limite du l inni, la nature toroïdale du hamp aurait pu être déduite dire -tement des symétries du problème. Nous verrons dans le hapitre 7 omment obtenir (6.28) fa ilementen utilisant le théorème d'Ampère.6.4.3 Spire ir ulaire (sur l'axe)Considérons maintenant le as d'une spire ir ulaire de rayon R, par ourue par un ourant perma-nent I. On ne s'intéresse i i qu'au hamp magnétique sur l'axe z de la spire. La densité de ourantétant toroïdale et invariante par rotation autour de l'axe z, 'est-à-dire :

−→j (ρ, φ, z) = j (ρ, z) φ ,le hamp magnétique sera poloïdal en onséquen e ( .-à-d.) :

−→B (ρ, φ, z) = Bρ (ρ, z) ρ+Bz (ρ, z) z .Cependant, sur l'axe z, la omposante radiale du hamp s'annule et il ne reste qu'une omposanteselon z.En projetant la loi de Biot et Savart sur z on obtient

dBz =∥∥∥d−→B

∥∥∥ sinα =µ0I

dOP sinα∥∥∥−−−→PM∥∥∥2 =

µ0I

dOP sin3 α

R2=

µ0I

sin3 αdφ

Roù nous avons utilisé dOP = Rdφ et PM = R/ sinα . En évaluant l'intégrale, on obtient :Bz =

∮dBz =

µ0I

sin3 α

R

2π∫

0

dφ =µ0I

2

sin3 α

R.Parfois, on a besoin de e résultat en fon tion de la position z sur l'axe

Bz =µ0I

2

sin3 α

R=

µ0I

2

R2

(R2 + z2)3/2, (6.29)où nous avons utilisé le fait que sinα = R/(z2 +R2)1/2.89

Page 90: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 6. COURANT ET CHAMP MAGNÉTIQUEM a

O z

P

I

dB

a

R

Figure 6.4 Spire par ourue par un ourant.6.4.4 Champ d'un solénoïde ni (sur l'axe)MaO

z’

2I

R

dz’

l

z

a2

a1

1

Figure 6.5 Modèle d'un Solénoïde ni : Cal ul de hamp magnétique sur l'axeUn solénoïde est onstitué d'un enroulement d'un l ondu teur autour d'un ylindre de longueurl et de rayon R. On suppose que e l est susamment min e pour pouvoir modéliser e solénoïde omme une juxtaposition de N spires oaxiales, ave n = N/l spires par unité de longueur. Chaquespire est alors par ourue par un ourant permanent I. Comme pour la spire simple vue plus haut, lespropriétés de symétrie du ourant montrent que le hamp magnétique du solénoïde, qui est la sommeve torielle du hamp réé par haque spire, est suivant z uniquement. Autour d'un point P situé enz′, sur une épaisseur dOP = dz′, il y a ndz′ spires. Ces spires réent don un hamp en un point M(OM = z) quel onque de l'axe :

dBz (z) =µ0Indz

2Rsin3 α ,où nous avons utilisé (6.4.3) et l'angle α est reliée à z et z′ par

cotα =z − z′

R.Si on prend la diérentielle de ette expression, on obtient

dz′ = −Rd(cosαsinα

)= −R

(−1−

cos2 α

sin2 α

)dα =

R

sin2 αdα .90

Page 91: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 6.4. CALCUL DU CHAMP DANS QUELQUES CAS SIMPLESLe hamp magnétique total s'é rit don Bz =

∫ 2

1dBz =

µ0In

2

∫ α2

a1

sinα dα

=µ0In

2(cosα1 − cosα2) . (6.30)6.4.5 Solénoïde inniDans la limite du solénoïde inni R ≪ l, on a α1 → 0 et α2 → π et l'expression de l'éq.(6.30) pourle hamp sur l'axe devient−→B → µ0Inz , (6.31)où on se rappelle que n = N/l orrespond au nombre de spires par unité de longueur. Ave le théorèmed'Ampère du hapitre 7, nous pourrons montrer que e i est la valeur partout à l'intérieur du solénoïde(dans la limite de R ≪ l) et que −→

B =−→0 à l'extérieur du solénoïde. On remarquera les analogies dusolénoïde vis-à-vis du hamp −→

B par rapport au ondensateur pour le hamp −→E .

91

Page 92: able - Fresnel

Chapitre 7Lois fondamentales de la magnétostatique7.1 Flux du hamp magnétique7.1.1 Conservation du ux magnétiqueNous avons vu dans le hapitre pré édent que la forme mi ros opique de la loi de Biot-Savartpermet de al uler le hamp magnétique réé par n'importe quelle distribution de ourant volumiquej (voir l'éq.(6.21)). Cette loi est l'analogue de la loi de Coulomb en éle trostatique qui nous a permisd'en déduire les deux lois fonadamentales de l'éle trostatique : div−→E = ρ/ǫ0 et −→rot−→E =

−→0 .De façon analogue, nous verons dans e hapitre, que la loi de Biot et Savart nous permmetd'en déduire deux lois fondamentales de la magnétostatique. Pour e faire, nous allons d'abord é rireeq.(6.21) ave une notation un peu plus sophistiquée où −→r indique la position du point de mesure du hamp M et −→r ′ indique la position de la sour e du hamp P . L'élément de volume, dV autour du point

P sera i i dénoté d3r′ et la forme mi ros opique de la loi de Biot-Savart ave ette notation s'é rit :−→B(−→r)=

µ0

∫∫∫ [−→j(−→r ′

)∧

−→r −−→r ′

∥∥−→r −−→r ′∥∥3

]d3r′ (7.1)Commençons par prendre la divergen e du hamp B en magnétostatique :

divr−→B(−→r)

=µ0

∫∫∫divr

[−→j(−→r ′

)∧

−→r −−→r ′

∥∥−→r −−→r ′∥∥3

]d3r′

=µ0

∫∫∫ −→r −−→r ′

∥∥−→r −−→r ′∥∥3 ·

−→rotr

−→j(−→r ′

)−

−→j(−→r ′

)·−→rotr

−−−→gradr

1∥∥−→r −−→r ′∥∥

d3r′(7.2)où l'indi e r sur divr, −→rotr, et −−−→gradr nous rappelle que es opérateurs agissent sur la variable −→r (etpas sur −→r ′). Dans la deuxième ligne, nous avons utilisé l'identité :

div(−→a ∧

−→b)=

−→b ·

−→rot−→a −−→a ·

−→rot

−→b , (7.3)(dérivé dans l'éq.(11.22) de l'Annexe des mathématiques) et le fait que :

−−−−→gradr

1∥∥−→r −−→r ′∥∥ =

−→r −−→r ′

∥∥−→r −−→r ′∥∥3 . (7.4)Puisque −→j (−→r ′

) est indépendant de −→r , on a −→rotr−→j (−→r ′)=

−→0 . Insérrant ette relation et l'identité,

−→rot

−−−→grad f ≡ 0 , (7.5)92

Page 93: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 7.1. FLUX DU CHAMP MAGNÉTIQUEdans l'éq.(7.2) nous donne une loi fondamentale de la magnétostatique :div

−→B = 0 . (7.6)Considérons maintenant une surfa e fermée S quel onque, 'est-à-dire pour laquelle on peut dénirlo alement un élément de surfa e −→

dS = dSn dont le ve teur normal est orienté vers l'extérieur (par onvention). On peut maintenant appliquer le théorème de Green-Ostrodgradsky sur le volume V àS

dS

dSl'intérieur de ette surfa e :©

∫∫

S

−→B ·

−→dS =

∫∫∫

Vdiv

−→BdV = 0 .où dans le dernier membre de droite nous avons utilisé le fait que div

−→B = 0.Ce i prend don la forme intégrale d'une loi générale appelé la onservation du ux magnétiquequi dit que le ux du hamp magnétique, Φm, à travers une surfa e fermée est nul, .-à-d. :

Φm = ©

∫∫

S

−→B ·

−→dS = 0 . (7.7)Bien que nous avons obtenu ette loi dans le ontexte du magnétostatisme, on peut faire l'hypothèse,qui s'avère être vraie, que le hamp magéntique reste onservé même si les hamps et les ourants varientave le temps. Les équations (7.6) et (7.7) expriment don deux formes d'une même loi fondamentalede la physique la onservation du ux magnétique .La onservation du ux magnétique est une propriété très importante et montre une diéren efondamentale entre le hamp magnétique et le hamp éle trostatique. Nous avons vu, ave le théorèmede Gauss, que le ux du hamp éle trostatique dépend des harges éle triques ontenues à l'intérieurde la surfa e :

Φe = ©

∫∫

S

−→E ·

−→dS =

Qint

ǫ0.Si la harge totale est positive, le ux est positif et il sort de ette surfa e un hamp éle tro-statique (sour e). Si la harge est négative, le ux est négatif et le hamp rentre , onverge vers lasurfa e (puits). Cette propriété reste d'ailleurs également valable en régime variable. Rien de tel n'ajamais été observé pour le hamp magnétique. On ne onnaît pas de harge magnétique analogue à la harge éle trique ( e serait un monople magnétique ) : don tout le hamp qui rentre dans unesurfa e fermée doit également en ressortir. La sour e la plus élémentaire de hamp magnétique est undiple (deux polarités), omme l'aimant dont on ne peut disso ier le ple nord du ple sud.A partir de l'équation (7.7), on montre que le ux à travers une surfa e ouverte s'appuyant sur un ontour fermé C est indépendant du hoix de ette surfa e. Prenons deux surfa es distin tes S1 et S2s'appuyant sur un même ontour C. La réunion de es surfa es, S = S1+S2, forme une surfa e fermée.En orientant la surfa e S de l'intérieur vers l'extérieur, la onservation du ux magnétique impose

ΦS = ΦS1− ΦS2

= 0 ,93

Page 94: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 7. LOIS FONDAMENTALES DE LA MAGNÉTOSTATIQUEdon ΦS1= ΦS2

, 'est-à-dire le ux magnétique à travers n'importe quelle surfa e s'appuyant sur lemême ontour C ( et utilisant la même onvention de normale) est indépendant du hoix de la surfa e.C

S1

S2

S= +S2S1

d dS S= 1

d dS S= - 2

7.1.2 Lignes de hamp et tubes de uxLe on ept de lignes de hamp (également appelées lignes de for e) est très utile pour se faire unereprésentation spatiale d'un hamp de ve teurs. Ce sont es lignes de hamp qui sont tra ées par lamatière sensible au hamp magnétique, telle que la limaille de fer au voisinage d'un aimant.Dénition 3 Une ligne de hamp d'un hamp de ve teur quel onque est une ourbe C dans l'espa etelle qu'en ha un de ses points le ve teur y soit tangent.Considérons un dépla ement élémentaire −→dl le long d'une ligne de hamp magnétique C. Le faitque le hamp magnétique −→

B soit en tout point de C parallèle à −→dl s'é rit :

−→B ∧

−→dl =

−→0 .En oordonnées artésiennes −→dl = dxx+ dyy+ dzz et les lignes de hamp sont al ulées en résolvant :

dx

Bx=

dy

By=

dz

Bz.En oordonnées sphériques −→dl = drr + rdθθ + r sin θdφφ et l'équation des lignes devient

dr

Br=

rdθ

Bθ=

r sin θdφ

Bφ. (7.8)La onservation du ux magnétique implique que les lignes de hamp magnétique se referment surelles-mêmes.Un tube de ux est une sorte de rassemblement de lignes de hamp. Soit une surfa e S1s'appuyant sur une ourbe fermée C telle que le hamp magnétique y soit tangent ( 'est-à-dire −→

B ⊥−→dl où −→

dl est un ve teur élémentaire de C). En haque point de C passe don une ligne de hampparti ulière. En prolongeant es lignes de hamp on onstruit ainsi un tube de ux.Tout au long de e tube, le ux magnétique est onservé. En eet, onsidérons une portion de tube ylindrique entre S1 et S3, ayant un rétré issement en une surfa e S2. La surfa e S = S1 + S3 + SL,où SL est la surfa e latérale du tube, onstitue une surfa e fermée. Don le ux à travers S est nul.Par ailleurs, le ux à travers la surfa e latérale est également nul, par dénition des lignes de hamp (−→B ·

−→dS = 0 sur SL) . Don , le ux en S1 est le même qu'en S3. On peut faire le même raisonnement94

Page 95: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 7.2. CIRCULATION DU CHAMP MAGNÉTIQUEB

S1

S3

S2

dS3

dS1

dS2

pour S2. Cependant puisque S1 > S2 pour un ux identique, ela signie que le hamp magnétiqueest plus on entré en S2. D'une manière générale, plus les lignes de hamp sont rappro hées et plusle hamp magnétique est lo alement élevé. Les exemples les plus élèbres de tubes de ux ren ontrésdans la nature sont les ta hes solaires.7.2 Cir ulation du hamp magnétique7.2.1 Cir ulation du hamp autour d'un l inniNous avons vu dans le hapitre pré édent que la loi Biot et Savart prédit que le hamp −→B réé parun l inni en un point M(r, φ, z) s'é rit en oordonnées ylindriques :

−→B =

µ0I

2πρφ .Considérons maintenant une ourbe fermée quel onque C. Un dépla ement élémentaire le long de ette ourbe s'é rit −→dl = dρρ+ ρdφφ+ dzz. La ir ulation de −→

B sur la ourbe fermée C vaut alors :∮

C

−→B ·

−→dl = µ0I

∮dφ

2π.

f

O

M

C

dl

Plusieurs as de gures peuvent se présenter : Si C n'enla e pas le l, ∮ dφ = 0 Si C enla e le l, ∮ dφ = 2π Si C enla e le l N fois, ∮ dφ = N2πLa ir ulation de −→B sur une ourbe fermée est don dire tement reliée au ourant qui traverse lasurfa e délimitée par ette ourbe. C'est Ampère qui, en re her hant une expli ation du magnétisme95

Page 96: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 7. LOIS FONDAMENTALES DE LA MAGNÉTOSTATIQUEdans une théorie de la dynamique des ourants, dé ouvrit ette propriété du hamp magnétique. Elleest démontrée i i sur un as parti ulier à partir de la loi de Biot et Savart mais elle traduit une loimagnétostatique fondamentale onnu sous le nom de théorème d'Ampère.7.3 Le théorème d'AmpèreThéorème 2 La ir ulation de −→B le long d'une ourbe C quel onque, orientée et fermée, appelée ontour d'Ampère, est égale à µ0 fois la somme algébrique des ourants enla ées par le ountour ( .-à-d. le ux du ourant traversent une surfa e ouverte délimitée par C)

C

−→B ·

−→dl = µ0Ienl . (7.9)Cette relation fondamentale est l'équivalent du théorème de Gauss pour le hamp éle trostatique : ellerelie le hamp ( −→B ou −→

E ) à ses sour es (le ourant I ou la harge Q) dans le vide ( à l'intérieur d'unmatériau il faut les orriger). Cependant, à la diéren e du théorème de Gauss, elle n'est valable qu'enrégime permanent ( ourants ontinus).I1

I2

I =-I +I -I =-Ienl 2 11 2Remarques : Le théorème d'Ampère et la loi de Biot et Savart ont la même ause originelle. Le hoix du sens de la ir ulation sur le ontour d'Ampère hoisi est purement arbitraire. Unefois e hoix fait, la règle du bonhomme d'Ampère permet d'attribuer un signe aux ourants quitraversent la surfa e ainsi délimitée. Comme pour le théorème de Gauss, e qui ompte 'est la somme algébrique des sour es : parexemple, si deux ourants de même amplitude mais de sens diérents traversent la surfa e, le ourant total sera nul (voir gure i-dessus). Le théorème d'Ampère est une forme intégrale d'une loi fondamentale. Cette loi peut égalementêtre é rite sous forme diérentielle :−→rot

−→B = µ0

−→j . (7.10)Comme d'habitude, il est plus fa ile d'aller de la forme diérentielle d'une loi fondamentale versla forme intégrale que dans le sens inverse. 96

Page 97: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 7.3. LE THÉORÈME D'AMPÈRELe passage forme diérentielle → forme intégrale du théorème d'Ampère s'ee tue ave le :Théorème 3 Théorème de Stokes qui s'é rit : La ir ulation d'un hamp ve toriel −→A le longd'un ontour C quel onque est égal au ux du rotationnel de −→A à travers toute surfa e s'appuyantsur C : ∮

C

−→A ·

−→dl =

∫∫

S

−→rot

−→A ·

−→dS . (7.11)En appliquant e théorème au hamp −→

B et en se servant de l'équation (7.10) on obtient :∮

−→B ·

−→dl =

∫∫

S

(−→rot

−→B)·−→dS = µ0

∫∫

S

−→j ·

−→dS ≡ µ0Ienl .Exemple d'utilisation : le solénoïde inniConsidérons un solénoïde inni, omportant n spires par unité de longueur, ha une par ou-rue par un ourant I permanent. Etant donné la géométrie ylindrique du solénoïde, on se pla e en oordonnées ylindriques, l'axe z étant l'axe du solénoïde. La densité de ourant est toroïdal et s'é rit

−→j (ρ, φ, z) = jφ (ρ) φ puisqu'il y a invarian e par rotation autour de l'axe z et translation le long de e même axe. Don , le hamp magnétique est poloïdal et s'é rit :

−→B (ρ, φ, z) = Bz (ρ) z .(Il n'y a pas de hamp dans la dire tion ρ à ause du fait que z =Cste est un plan de symétrie pourun solénoide inni.)On hoisit trois ontours d'Ampère, ha un en forme de re tangle de longueur arbitraire l et auxarrêts (A,B,C,D) (voir gure) :

O

I

R

(2)

AA B

D C

(1)

(3)

l

z

B z( )=r Bz( )r

Contour (1) :∮

(1)

−→B ·

−→dl =

AB

−→B ·

−→dl +

BC

−→B ·

−→dl +

CD

−→B ·

−→dl +

DA

−→B ·

−→dl = 0 ,

∫ l

0

−→B (ρAB) · zdz +

∫ 0

l

−→B (ρCD) · zdz = 0 ,

⇒ Bz (ρAB) l = Bz (ρCD) l .Don , le hamp magnétique est uniforme à l'intérieur du solénoïde (inni) (pour ρ < R Bz (ρ) =

Cste ≡ Bint). 97

Page 98: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 7. LOIS FONDAMENTALES DE LA MAGNÉTOSTATIQUE Contour (2) : on obtient le même résultat, 'est-à-dire un hamp uniforme à l'extérieur. Mais omme e hamp doit être nul à l'inni, on en déduit qu'il est nul partout (pour ρ > R, Bz (ρ) =

Bext = 0). Contour (3) :∮

(3)

−→B ·

−→dl =

AB

−→B ·

−→dl +

BC

−→B ·

−→dl +

CD

−→B ·

−→dl +

DA

−→B ·

−→dl = −nlµ0I

⇒ −

∫ l

0

−→B(ρCD) · zdz = −nlµ0I .

⇒ Bz (ρCD) = B = µ0nIEn résumé : le hamp magnétique est faible l'extérieur d'un solénoïde et le hamp à l'intérieur(orienté le long de l'axe du solénoïde) est approximativement uniforme ave :−→B int = µ0nIz , (7.12)où n est le nombre de spires par unité de longueur et I est le ourant dans haque spire.7.3.1 Relations de ontinuité du hamp magnétiquePuisque le ourant est la sour e du hamp magnétique, on peut se demander e qui se passe à latraversée d'une nappe de ourant. Comme pour le hamp éle trostatique, va-t-on voir une dis ontinuitédans le hamp ?Soit une distribution surfa ique de ourant −→j s séparant l'espa e en deux régions 1 et 2. Considérons

Région 2

Région 1

S

S2

S1

dS1

dS2

n12

js

Figure 7.1 Nappe de ourant surfa ique : ontinuité de la omposante normale de Bune surfa e tive fermée et innitésimalle (illustrée en gure 7.1), traversant la nappe de ourant. La onservation du ux magnétique à travers ette surfa e s'é rit :©

∫∫

S

−→B ·

−→dS =

∫∫

S1

−→B ·

−→dS1 +

∫∫

S2

−→B ·

−→dS2 +

∫∫

SL

−→B ·

−→dSL = 0 ,où SL est la surfa e latérale. Lorsqu'on fait tendre le volume ontenu par ette surfa e à zéro ( .-à-d.

S1 tend vers S2), on obtient∫∫

S2

−→B2 ·

−→dS2 +

∫∫

S1

−→B1 ·

−→dS1 = 0 ⇒

∫∫

S

(−→B2 −

−→B1

)· n12dS = 0 ,98

Page 99: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 7.3. LE THÉORÈME D'AMPÈREpuisque −→dS2 = −

−→dS1 = dSn12 dans ette limite. Ce résultat étant valable quelque soit la surfa e S hoisie, on vient don de démontrer que :

n12 ·(−→B2 −

−→B1

)= 0 . (7.13)Pour la omposante tangentielle, nous allons utiliser le théorème d'Ampère. Considérons le ontourd'Ampère innitéssimal illustré en gure 7.2 :

Région 2

Région 1

Njs

D

AB

C

M

n12

t

Figure 7.2 Nappe de ourant surfa ique : dis ontinuité de la omposante tangentielle de BLe théorème d'Ampère pour e ountour s'é rit alors :∮

−→B ·

−→dl =

AB

−→B ·

−→dl +

BC

−→B ·

−→dl +

CD

−→B ·

−→dl +

DA

−→B ·

−→dl = µ0Ienl .Le ourant Ienl est elui qui ir ule sur la nappe, autrement dit, il est déni par la densité de ourantsurfa ique :

Ienl =

∫∫

ABCD

−→j ·

−→dS =

MN

(−→j s · τ

)dl ,où (−−−→MN , n12, τ

) est un trièdre dire t. Dans la limite DA → 0, le théorème d'Ampère fournit∫

MN

(−→B1 −

−→B2

)·−→dl = µ0

MN

(−→j s · τ

)dl .Puisque MN est quel onque (sur la surfa e), on doit avoir :

(−→B1 −

−→B2

)·−→dl = µ0

−→j s · τdl ,mais

(−→B1 −

−→B2

)·−→dl =

(−→B1 −

−→B2

)· (τ ∧−n12) dl

=[(−→

B1 −−→B2

)∧ n12

]· τdl , 'est-à-dire (puisque la dire tion de τ est arbitraire)

n12 ∧(−→B2 −

−→B1

)= µ0

−→j s . (7.14)En résumé, à la traversée d'une nappe de ourant, la omposante normale du hamp magnétique reste ontinue, la omposante tangentielle du hamp magnétique est dis ontinue.99

Page 100: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 7. LOIS FONDAMENTALES DE LA MAGNÉTOSTATIQUE7.4 Potentiel ve teur Une onséquen e mathématique de la loi div−→B = 0 ( f. l'éq.(7.6) ), est que l'on peut toujours dénirun hamp ve toriel −→A tel que −→B =−→rot

−→A. On appelle −→

A le potentiel ve teur même s'il n'a pas lespropriétés d'un potentiel.De plus est, le hamp −→A n'est pas bien dénie puisqu'on peut toujours ajouter le gradient d'un hamp s alaire f à −→

A sans hanger sa rotationnelle−→A ′ =

−→A +

−−−→gradf

−→rot

−→A ′ =

−→rot

−→A +

−→rot

−−−→gradf =

−→rot

−→A =

−→B ,Insérant −→B =

−→rot

−→A dans −→rot−→B = µ0

−→j , on obtient une équation diérentielle pour −→A :

−→rot

−→rot

−→A ≡

−−−→graddiv

−→A −∆

−→A = µ0

−→j , (7.15)où nous avons utilisé une autre identité mathématique (voir la démonstration (11.20) de l'Annexe desmathématiques) −→

rot−→rot ≡

−−−→grad div −∆. On peut enlever une partie de la liberté dans la dénitionde −→

A en imposant la ontrainte de la gauge de Coulomb, .-à.-d. on impose la ondition :div

−→A = 0 . (7.16)Ainsi l'équation (7.15) dans ette gauge devient :

∆−→A = −µ0

−→j (7.17) e qui est une sorte d'équation de Poisson ve torielle.La solution de l'éq.(7.17) −→A est analogue à elle pour V en éle trostatique :

−→A (M) =

µ0

∫∫∫ −→j (P ) dV∥∥∥−−−→PM

∥∥∥. (7.18)On obtient la formule pour −→A produit par un ir uit liforme, en suivant la même logique qui nousa permis de passer de l'éq.(6.21) pour le −→B en termes de −→j à la loi de Biot et Savart (l'éq.(6.22)) dansle hapitre 6. On obtient ainsi :

−→A (M) =

µ0I

circuit

−→dlP∥∥∥−−−→PM

∥∥∥. (7.19)Même si les équations (7.18) et (7.19) sont analogues à l'expression intégrale d'un potentiel s alaire(d'où le nom potentiel ve teur), elles sont moins pratiques à l'utilisation, puisque qu'il s'agit d'ée tuerdes intégrales d'une quantité ve torielle.Les physi iens se méaient au départ du potentiel ve teur à ause de la liberté du hoix de gauge etdu fait qu'il ne s'agit pas d'une quantité dire tement mesurable (en ontraste ave les hamps −→E , −→B ,et V ). Ce point de vue était radi alement modié à l'arrivé de la mé anique quantique dans laquelle lafor e joue un rle moins important que l'énergie et par onséquent les hamps −→A et V se sont trouvésdans le rle de vedette tandis que les hamps −→E et −→B ont été relégués à des rles se ondaires.7.5 Quatre façons de al uler le hamp magnétiqueEn guise de résumé voi i des onseils sur les méthodes à employer pour al uler le hamp magné-tique. 100

Page 101: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 7.6. LE DIPÔLE MAGNÉTIQUE La formule de Biot et Savart : elle n'est pratique que lorsqu'on sait al uler l'additionve torielle des hamps −→dB réés par tous les éléments du ir uit (souvent des ir uits liformes). Le théorème d'Ampère : il faut être apable de al uler la ir ulation du hamp sur un ontour hoisi. Cela né essite don une symétrie relativement simple des ourants. La onservation du ux : à n'utiliser que si l'on onnaît déjà son expression dans une autrerégion de l'espa e. Le potentiel ve teur : On al ul le potentiel ve teur −→A par une méthode qui ressembleà elle du al ul du potentiel s alaire en éle trostatique. Néanmoins, il faut al uler ses trois omposantes dans une région donnée et ensuite pouvoir al uler −→

rot−→A an d'obtenir le hamp

−→B .Dans tous les as, il faut prendre en ompte les propriétés de symétrie de la densité de ourant.7.6 Le diple magnétique7.6.1 Champ magnétique réé par une spireSoit une spire plane, de forme quel onque, de entre d'inertie O, par ourue par un ourant per-manent I. Nous allons al uler le hamp magnétique réé par ette spire en tout point M de l'espa e,situé à grande distan e de la spire (pré isément, à des distan es grandes omparées à la taille de laspire). On pose ( f. gure i-dessous)

−→r =−−−→OM −→r ′ =

−−−→PM −→ρ =

−−→OP = −→r −−→r ′ r =

−→r

r.

I

z

O

PdOP

M

rq

r’rn

Figure 7.3 Diple magétique : hamp loin d'une spire de ourantBien qu'on pourrait trouver le hamp magnétique réé par le ir uit dire tement à partie de laformule de Biot et Savart, il est instru tif d'arriver à e résultat en employant le potentiel ve teur −→A.Le potentiel ve teur asso ié ave la spire de ourant s'é rit :−→A (M) =

µ0I

spire

−→dl

PM=

µ0I

spire

−→dρ

r′ave r′ = PM =∥∥∥−−−→OM −

−−→OP

∥∥∥ =(r2 + ρ2 − 2

−−→OP ·

−−−→OM

)1/2.où nous avons utilisé le fait que −→dl ≡ d

−−→OP =

−→dρ dans le plan de la spire. On se rappelle qu'on emploie101

Page 102: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 7. LOIS FONDAMENTALES DE LA MAGNÉTOSTATIQUEla limite r ≫ ρ, pour tout point P appartenant à la spire, don :1

r′=

1

r

(1 +

ρ2

r2− 2

−−→OP · −→r

r2

)−1/2

=1

r+

−→r · −→ρ

r3+O

(ρ2

r2

).et l'on obtient :

−→A (M) =

µ0I

spire

−→dρ

r′≃

µ0I

4πr

spire

−→dρ+

µ0I

4πr3

spire

−→dρ(−→r · −→ρ

). (7.20)La première intégrale de l'éq.(7.20) se fait rapidement. Si on dé ompose le ve teur −→ρ et −→r dansune base (e1, e2) engendrant le plan de la spire, on a :

spire

−→dρ =

−→0 = e1

spiredρ1 + e2

spiredρ2 =

−→0 .puisque haque intégrale est nulle :

spiredρ1 = [ρ1 (P0)− ρ1 (P0)] = 0 =

spiredρ2 .Il faut maintenant évaluer la deuxième intégrale de l'éq.(7.20). Si on dé ompose les ve teurs −→ρ et

−→r dans une base (e1, e2) engendrant le plan de la spire, on a :∮

spire

−→dρ(−→ρ · −→r

)=

spiredρ1 (ρ1r1 + ρ2r2) e1 + ρ2 (ρ1r1 + ρ2r2) e2 = 0 . (7.21)On remarque d'abord que :

spired(−→ρ · −→ρ

)=[ρ2]P0

P0

= 0

spired(ρ21 + ρ22

)= 2

spire(ρ1dρ1 + ρ2dρ2) = 0 , (7.22)puisqu'on revient au même point départ de P0. De la même manière :

spired (ρ1ρ2) =

spireρ1dρ2 +

spireρ2dρ1 = [ρ1ρ2]

P0

P0= 0 ,et on a don l'égalité : ∮

spireρ2dρ1 = −

spireρ1dρ2 . (7.23)Utilisant les relations (7.22) et (7.23) dans l'éq.(7.21) donne :

spire

−→dρ(−→ρ · −→r

)= r2

spireρ2dρ1e1 + r1

spireρ1dρ2e2

= (−r2e1 + r1e2)1

2

spire(ρ1dρ2 − ρ2dρ1)

=n ∧ −→r

2

spire(ρ1dρ2 − ρ2dρ1)

= Sn ∧ −→r , (7.24)où n = e3 est le ve teur normal au plan de la spire (ve teur de base de l'axe 3) et S sa surfa e. Dansla dernière ligne de l'éq.(7.24) nous avons utilisé l'intégrale :1

2

spire

−→ρ ∧−→dρ = n

[1

2

spire(ρ1dρ2 − ρ2dρ1)

]= Sn . (7.25)102

Page 103: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 7.6. LE DIPÔLE MAGNÉTIQUECe al ul est général, valable quelle que soit la surfa e. En eet, une surfa e élémentaire dS, telle que :1

2−→ρ ∧

−→dρ = dSn ,est toujours engendrée lors d'un petit dépla ement du ve teur −→ρ (voir la gure 7.4)

O

P

nn

r dr = dOP

dSFigure 7.4 Surfa e élémentaire d'une spireOn obtient don une expression relativement simple pour le potentiel −→A loin de la spire :−→A (M) ≃

µ0I

4πr2Sn ∧ r =

µ0

(−→m ∧ r

r2

), (7.26)où on voit apparaître une grandeur importante ar dé rivant omplètement la spire vue depuis unegrande distan e, à savoir le moment magnétique dipolaire :

−→m = ISn . (7.27)Le hamp magnétique se déduit de −→B =

−→rot

−→A :

−→B (M) =

µ0

−→rot

(−→m ∧ r

r2

).On invoque maintenant une relation d'analyse ve torielle ( f. l'éq.(11.21) de l'annexe des mathéma-tiques) :

−→rot

(f−→V)= f

−→rot

−→V +

−−−→gradf ∧

−→V ave −→

V = −→m ∧ −→r et f =1

r3.En se rappelant que −−−→

grad(1/r3

)= −3−→r /r5, on obtient :

−→rot

(−→m ∧ −→r)

=−→rot

mx

my

mz

x

y

z

=

∣∣∣∣∣∣∣

x y z∂∂x

∂∂y

∂∂z

zmy − ymz xmz − zmx ymx − xmy

∣∣∣∣∣∣∣= 2mxx+ 2myy + 2mzz = 2−→m ,où nous avons utilisé la formulation déterminant an de al uler le rotationnelle. On obtient don pour le hamp magnétique :

−→B (M) ≃

µ0I

4πr2

[2S

rn−

3Sr

r∧ (n ∧ r)

]. (7.28)En utilisant l'égalité r ∧

(−→m ∧ r)= −→m (r · r) − r

(r · −→m

), on obtient alors l'expression du hampmagnétique réé par un diple magnétique :−→B (M) =

µ0

4πr3[3r(−→m · r

)−−→m

], (7.29)103

Page 104: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 7. LOIS FONDAMENTALES DE LA MAGNÉTOSTATIQUE e qui peut également s'é rire :−→B (M) = −

µ0

−−−→grad

[−→m · r

r2

]. (7.30)En oordonnées sphériques, r · −→m = m cos θ et les omposantes poloïdales du hamp s'é rivent :

Br =µ0

4πr32m cos θ Bθ =

µ0

4πr3m sin θ .Remarque : On onstate que le hamp −→

B d'un diple magnétique est analogue au hamp −→E produitpar un diple éle trique :

−→E (M) → −

1

4πǫ0

−−−→grad

[−→p · r

r2

](voir hapitre 5 et l'éq.(5.5) en parti ulier)Cette analogie est assez surprenante ompte tenu du fait que les équations et les sour es de −→B sontbien diérentes que elles de −→E .Lignes de hampOn peut dériver les équations pour les lignes de hamp −→

B qui sont toujours parallèles au hamp.I i, l'équation des lignes de hamp en oordonnées sphériques fournit (voir (7.8)) :dr

µ0

4πr32m cos θ=

rdθµ0

4πr32m sin θ⇒

dr

r=

cos θdθ

sin θ,don les lignes de hamp magnétique sont obtenues en intégrant les deux tés :

∫dr

r=

∫cos θdθ

sin θ⇒ ln r = 2 ln (sin θ) + C ⇒ r (θ) = K sin2 θoù K est une onstante.

104

Page 105: able - Fresnel

Chapitre 8Champ magnétique en présen e de lamatière8.1 Le modèle du diple en physiqueComme nous avons remarqué dans le hapitre pré édent, les expression du hamp magnétique réépar une spire de ourant (diple magnétique −→m = ISn) est formellement équivalente à elle du hampéle trostatique réé par un système de deux harges opposées (diple éle trique −→p = q

−→d )

−→B (M) → −

µ0

−−−→grad

[−→m · r

r2

]−→E (M) → −

1

4πǫ0

−−−→grad

[−→p · r

r2

]Cependant, pour le hamp magnétique, il s'avère impossible de séparer le diple en une harge ma-gnétique + et une autre - . Le diple est la première sour e de hamp magnétique. C'est laraison pour laquelle il joue un si grand rle dans la modélisation des eets magnétiques observés dansla nature, au niveau mi ros opique omme ma ros opique.L'origine du hamp magnétique d'un matériau quel onque (ex : aimant) doit être mi ros opique.En utilisant le modèle atomique de Bohr, on peut se onvain re que les atomes (du moins ertains)ont un moment magnétique dipolaire intrinsèque. Le modèle de Bohr de l'atome d'Hydrogène onsiste en un éle tron de harge q = −e en mouvement ir ulaire uniforme autour d'un noyau entral(un proton) ave une période T = 2πω .

Si on regarde sur des é helles de temps longues par rapport à T , tout se passe omme s'il y avaitun ourantI =

q

T=

2π105

Page 106: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 8. CHAMP MAGNÉTIQUE EN PRÉSENCE DE LA MATIÈREOn a don une sorte de spire ir ulaire, de rayon moyen la distan e moyenne au proton, 'est-à-dire lerayon de Bohr a0. L'atome d'Hydrogène aurait don un moment magnétique intrinsèque :−→m = ISn =

2a20n =

q

2m

(mωa20n

)

=q

2m

−→L (8.1)où −→

L est le moment inétique de l'éle tron et q/2m est appelé le fa teur gyromagnétique.Ce raisonnement peut se généraliser aux autres atomes. En eet, un ensemble de harges en rotationautour d'un axe produit un moment magnétique proportionnel au moment inétique total. Cela seproduit même si la harge totale est nulle (matériau ou atome neutre) : e qui ompte 'est l'existen ed'un ourant. Il sut don d'avoir un dé alage, même léger, entre les vitesses des harges + et elles des harges - .Du oup, on peut expliquer qualitativement les propriétés magnétiques des matériaux en fon tionde l'orientation des moments magnétiques des atomes qui les omposent : Matériaux diamagnétiques : produisent un moment magnétique induit, proportionnel au hamp magnétique appliqué, qui s'oppose à e dernier. Le hamp −→B résultant est d'intensitéinférieure au hamp appliqué. Matériaux paramagnétiques : Leurs ontituants ont des moments dipolaires magnétiquesintrinsèques qui peuvent s'aligner ave un hamp magnétique externe. Elles peuvent ainsi êtreaimantés momentanément et le −→

B résultant est d'intensité supérieur au hamp appliqué. Matériaux ferromagnétiques : eux dont les moments sont déjà orientés dans une dire tionparti ulière, de façon permanente (aimants naturels).La Terre est onnue pour avoir un hamp magnétique dipolaire, où le ple Nord magnétique or-respond approximativement au ple Sud géographique. Au niveau ma ros opique, l'expli ation del'existen e du hamp magnétique observé sur les planètes et sur les étoiles est en ore aujourd'hui loind'être satisfaisante. La théorie de l'eet dynamo essaye de rendre ompte des hamps observés par laprésen e de ourants, essentiellement azimutaux, dans le ÷ur des astres.Plusieurs faits onnus restent partiellement inexpliqués : Les y les magnétiques : le Soleil a un hamp magnétique à grande é helle qui ressemble à elui de la Terre, approximativement dipolaire. Cependant, il y a une inversion de polarité tousles 11 ans. Pour la Terre, on a pu mettre en éviden e qu'il y avait eu une inversion il y a environ700.000 ans. Par ailleurs, on observe des u tuations du hamp. Non-alignement ave le moment inétique de l'astre : s'il est de l'ordre d'une dizaine dedegrés pour la Terre (ave une modi ation de la dire tion de l'axe magnétique d'environ 15' paran), il est de 90 pour elui de Neptune !8.2 La magnétisationOn vient de voir dans la se tion pré édente que les onstituants atomiques de la matière peuventagir omme de petites bou les de ourants et donnent naissan e à des hamps magnétiques dipolaires.Pour les milieux diamagnétiques et paramagnétiques le moment de magnétique est proportionnelleau hamp magnétique in ident sur l'atome. Don , par analogie ave le traitement des diéle triques,on dénit une densité volumique de moment dipolaire −→M (appelé magnétisation) tel que le momentmagnétique d'un volume innitésimal dV est donné par d−→m =

−→MdV.106

Page 107: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 8.3. LE CHAMP H On dénit également une sus eptibilité magnétique χm qui donne la proportionnalité entre −→Met −→B , ara téristique du matériau en question :

−→M =

χm

µ0

−→B (8.2)où χm est un nombre sans dimension qui est typiquement de l'ordre de χm ∼ −10−5 pour les matériauxdiamagnétiques et χm ∼ 10−3 pour des matériaux paramagnétiques. A ause de la petite taille de χmon peut dans beau oup de situations ignorer la présen e de la matière sur les eets magnétiques et al uler le hamp magnétique omme s'il s'aggissait du vide.Les matériaux ferromagnétiques font une grande ex eption à la règle i-dessus. Pour es matériaux,les moments dipolaires s'agissent entre eux fortement et tendent à tous s'aligner dans le même sens(au moins à l'intérieur d'un domaine ristallin).La densité de ourant, −→j m, (de nature atomique) asso iée ave l'existen e de −→M , se trouve ave larelation :

−→j m =

−→rot

−→M (8.3)L'équation d'ampère s'é rit don

−→rot

−→B = µ0

(−→j m +

−→j libre

) (8.4)où −→j libre sont des ourants manipulés dans une expérien e (usuellement dans des ls éle triqiues)8.3 Le hamp H Puisque nous n'avons pas de ontrle dire t de−→j m, il s'avère pratique en présen e de la matière(et ses moments dipolaires magnétiques asso iés) de dénir un hamp auxiliaire −→

H de façon analogueave le hamp −→D de :

−→H ≡

−→B

µ0−

−→M (8.5)On obtient l'équation diérentielle de −→H en prenant la rotationnelle de l'éq.(8.5) et utilisant ensuite leséquations (8.4) et (8.3). On obtient ainsi L'équation diérentielle de −→

H en magnétostatique :−→rot

−→H =

−→j libre (8.6)Pour des matériaux diamagnétiques et paramégnétiques, −→M est proportionelle à −→

B , et on peut é rire−→H =

−→B

µ0−

χm−→B

µ0=

1

µ0(1− χm)

−→B

−→B

µrµ0

⇒ µr =1

(1− χm)(8.7)On appelle µr = 1/ (1− χm) la perméabilité magnétique relative du matériel. La relation entre −→Het −→B pour les milieux linéaires est :

−→H =

−→B

µ0µr(8.8)107

Page 108: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 8. CHAMP MAGNÉTIQUE EN PRÉSENCE DE LA MATIÈRESi la symétrie du problème est susamment élevée, on peut obtenir −→H en faisant appel à la formeintégrale de l'éq.(8.6) : ∮

C

−→H ·

−→dl = Ienl (8.9)Remarque : Si on ompare attentivement les dénitions des hamps auxiliaires −→

H et −→D, ainsi queles paramètres onstitutifs asso iés, εr et µr, on remarquera quelques diéren es un peu troublantes(de signe et .). Ces diéren es regrettables ne viennent pas de la physique elle-même mais plutt d'una ident de par ours historique. Elles proviennent du fait qu'au début, les physi iens pensaient que −→Hétait le hamp fondamental et −→B le hamp auxiliaire. Ainsi, autrefois (et parfois en ore), on appelait

−→H le hamp magnétique et −→B le hamp d'indu tion magnétique . De nos jours, on préfère appelerle hamp fondamentale −→

B le hamp magnétique, et −→H simplement le hamp H .

108

Page 109: able - Fresnel

Chapitre 9A tions et énergie magnétiques9.1 For e magnétique sur une parti ule hargéeCe qui a été dit aux hapitres pré édents on erne plus parti ulièrement les aspe ts ma ros opiques,par exemple, le hamp magnétique measurable réé par un ir uit éle trique. Or, le ourant ir ulantdans un ir uit est dû au dépla ement de parti ules hargées. Nous prendrons don le parti i i de poserl'expression de la for e magnétique s'exerçant sur une parti ule (sans la démontrer) puis de montrer omment s'exprime ette for e sur un ir uit. Historiquement bien sûr, 'est la for e de Lapla e qui aété mise en éviden e la première, la for e de Lorentz n'est venue que bien plus tard. . .9.1.1 La for e de LorentzLa for e totale, éle trique et magnétique (on dit éle tromagnétique) subie par une parti ule de harge q et de vitesse −→v mesurée dans un référentiel galiléen est l'équation de Lorentz :−→F = q

(−→E +−→v ∧

−→B)

. (9.1)On appelle ette for e la for e de Lorentz. On peut la mettre sous la forme :−→F =

−→F e +

−→F m où −→

F e = q−→E

−→F m = q−→v ∧

−→B

,où −→F e est la omposante éle trique et −→F m la omposantemagnétique. La omposante magnétique dela for e de Lorentz (parfois appelée for e magnétique) possède un ensemble de propriétés remarquables :1. La for e magnétique ne fournit pas de travail. Si on applique la relation fondamentale dela dynamique pour une parti ule de masse m et harge q, on obtient :

−→F m = q−→v ∧

−→B = m

d−→v

dt,don

d

dt

(1

2mv2

)=

d

dt

(1

2m−→v · −→v

)= m−→v ·

d

dt−→v = q−→v ·

(−→v ∧

−→B)= 0 .L'énergie inétique de la parti ule est don bien onservée.2. La for e magnétique est une orre tion en (v/c)2 à la for e de Coulomb, où c estla vitesse de la lumière. Ce i se voit en regardant la for e d'intera tion entre deux parti ules hargées :

−→F 1→2 ≃

q1q24πǫ0r212

[u12 +

−→v 2

c∧

(−→v 1

c∧ u12

)]. (9.2)109

Page 110: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 9. ACTIONS ET ÉNERGIE MAGNÉTIQUES3. Violation du prin ipe d'a tion et de réa tion. On peut aisément vérier sur un as parti- ulier simple que la for e magnétique ne satisfait pas le 3eme prin ipe de Newton. Pour ela, ilsut de prendre une parti ule 1 se dirigeant vers une parti ule 2. Le hamp magnétique réé par1 sera alors nul à l'empla ement de la parti ule 2 :−→B1 =

µ0q14πr2

−→v 1 ∧ u12 = 0 ,et don la for e−→F 1→2 sera nulle. Mais si la deuxième parti ule ne se dirige pas vers la première, son hamp magnétique sera non nul en 1 et il y aura une for e −→F 2→1 non nulle. . . (N.B. Il ne faut paspenser pour autant que l'éle tromagnétisme viole la onservation de la quantité de mouvement.La théorie est in omplète à e stade puisque on ne parle que de ourants stationnaires. La onservation de la quantité de mouvement sera restaurée une fois que nous aurons les équations omplètes de l'éle trodynamique.)9.1.2 Traje toire d'une parti ule hargée en présen e d'un hamp magnétiqueConsidérons une parti ule de masse m pla ée dans un hamp magnétique uniforme ave une vitesseinitiale −→v (t = 0) = −→v 0. La relation fondamentale de la dynamique s'é ritd

dt−→v =

q

m

(−→v ∧

−→B)Puisque la for e magnétique est nulle dans la dire tion du hamp, ette dire tion est privilégiée. Onva don tirer parti de ette information et dé omposer la vitesse en deux omposantes, l'une parallèleet l'autre perpendi ulaire au hamp, −→v = −→v ‖ +

−→v ⊥. L'équation du mouvement s'é rit alors

ddt−→v ‖ =

−→0

ddt−→v ⊥ = q

m

(−→v ⊥ ∧

−→B)La traje toire reste don re tiligne uniforme dans la dire tion du hamp. Prenons un repère artésiendont l'axe z est donné par le hamp −→

B = Bz. Le produit −→v ∧−→B dans e repère s'é rit

−→v ∧−→B =

vxvyv‖

0

0

B

= vyBx− vxByet l'équation portant sur la omposante perpendi ulaire se dé ompose alors en deux équations :

ddtvx = −ωvyddtvy = ωvx

où ω =

∣∣∣∣qB

m

∣∣∣∣Ce système se ramène à deux équations de la forme d2vidt2 = −ω2vi (pour i = x, y) et on a don poursolution

dx

dt= vx = v⊥0

cosωt

dy

dt= vy = v⊥0

sinωtoù l'on a hoisi une vitesse initiale suivant x, v⊥0= v⊥0

x. En intégrant une deuxième fois e systèmeon obtient

x =v⊥0

ω sinωt

y = −v⊥0

ω cosωt110

Page 111: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 9.1. FORCE MAGNÉTIQUE SUR UNE PARTICULE CHARGÉEx

y

z

B

v x0 0=v

e-

R1 O

Figure 9.1 Cas parti ulier d'une parti ule de harge négative (rotation dans le sens dire t)où les onstantes d'intégration ont été hoisies nulles ( hoix arbitraire). La traje toire est don un er le de rayon RL =∣∣∣v⊥0

ω

∣∣∣ =∣∣∣mv⊥0

qB

∣∣∣, le rayon de Larmor, dé rit ave la pulsation ω = |q|Bm ,dite pulsation gyro-syn hrotron. Ce er le est par ouru dans le sens onventionnel positif pour des harges négatives.Le rayon de Larmor orrespond à la distan e la plus grande que peut par ourir une parti uledans la dire tion transverse avant d'être déviée de sa traje toire. Cela orrespond don à une sorte dedistan e de piégeage. A moins de re evoir de l'énergie inétique supplémentaire, une parti ule hargéeest ainsi piégée dans un hamp magnétique.Il est intéressant de noter que plus l'énergie inétique transverse d'une parti ule est élevée (grandemasse ou grande vitesse transverse) et plus le rayon de Larmor est grand. Inversement, plus le hampmagnétique est élevé et plus e rayon est petit.Remarque : Nous avons vu au hapitre 7 qu'une harge en mouvement réé un hamp magnétique.Don , une parti ule mise en rotation par l'eet d'un hamp magnétique extérieur va réer son propre hamp. Il n'en a pas été tenu ompte dans le al ul pré édent, elui- i étant la plupart du tempsnégligeable.9.1.3 Distin tion entre hamp éle trique et hamp éle trostatiqueNous allons traiter i i un problème un peu subtil. En mé anique lassique, il y a trois prin ipesfondamentaux : le prin ipe d'inertie, la relation fondamentale de la dynamique et le prin ipe d'a tionet de réa tion. Nous avons déjà vu que la for e magnétique −→

F m = q(−→v ∧

−→B) ne satisfaisait pas au3eme prin ipe. Mais il y a pire. Pour pouvoir appliquer la relation fondamentale de la dynamique, ilfaut se hoisir un référentiel galiléen. Ce hoix étant arbitraire, les lois de la physique doivent êtreindépendantes de e hoix (invarian e galiléenne). Autrement dit, les véritables for es doivent êtreindépendantes du référentiel. Il est lair que e n'est pas le as de la for e magnétique −→

F m. En eet, onsidérons une parti ule q se déplaçant dans un hamp magnétique ave une vitesse onstante dansle référentiel du laboratoire. Dans e référentiel, elle va subir une for e magnétique qui va dévier satraje toire. Mais si on se pla e dans le référentiel propre de la parti ule (en translation uniforme parrapport au laboratoire, don galiléen), sa vitesse est nulle. Il n'y a don pas de for e et elle ne devraitpas être déviée ! Comment résoudre e paradoxe ? C'est Lorentz qui a donné une solution formelle à eproblème, mais 'est Einstein qui lui a donné un sens grâ e à la théorie de la relativité. La véritablefor e, éle tromagnétique, est la for e de Lorentz−→F = q

(−→E +−→v ∧

−→B)111

Page 112: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 9. ACTIONS ET ÉNERGIE MAGNÉTIQUESSupposons que ette parti ule soit soumise à un hamp éle trostatique −→E et un hamp magnétique

−→B , mesurés dans le référentiel R du laboratoire. Dans un référentiel R′ où la parti ule est au repos, leterme magnétique sera nul. Si on exige alors l'invarian e de la for e, on doit é rire

−→F ′ = q

−→E ′ =

−→F = q

(−→E s +

−→v ∧−→B)Le hamp −→

E ′ vu dans le référentiel R′ est don la somme du hamp éle trostatique −→E s et d'unautre hamp, appelé hamp éle tromoteur −→Em = −→v ∧

−→B . Ainsi, on a bien onservé l'invarian e de lafor e lors d'un hangement de référentiel, mais au prix d'une omplexi ation du hamp éle trique quin'est plus simplement un hamp éle trostatique !Deux onséquen es importantes :1. La ir ulation d'un hamp éle trique −→

E =−→E s +

−→Em est en générale non nulle à ause du termeéle tromoteur (d'où son nom d'ailleurs) : elui- i peut don réer une diéren e de potentiel quiva engendrer un ourant, e qui n'est pas possible ave un hamp purement éle trostatique.2. Le hamp éle trique vu dans R

′ dépend du hamp magnétique vu dans R. On ne peutdon pas appliquer la règle de hangement de référentiel lassique (transformation galiléenne)mais une autre, plus omplexe (transformation de Lorentz). Champs éle trique et magnétiquedépendent tous deux du référentiel, la ompréhension de e phénomène éle tromagnétique nepouvant se faire que dans le ontexte de la relativité.Ce i dit, nous utiliserons tout de même l'expression de la for e magnétique ou de Lorentz pour al uler, par exemple, des traje toires de parti ules dans le formalisme de la mé anique lassique. Onne devrait pas obtenir des résultats trop aberrants tant que leurs vitesses restent très inférieuresà elle de la lumière.Une dernière remarque : nous avons impli itement supposé que la harge q de la parti ule était lamême dans les deux référentiels. Cela n'est a priori pas une éviden e. Nous pouvons en eet imposer quetoute propriété fondamentale de la matière soit ee tivement invariante par hangement de référentiel.Le on ept de masse, par exemple, né essite une attention parti ulière. En eet, tout orps massifpossède un invariant appelé masse au repos . Cependant sa masse dynamique (impulsion diviséepar sa vitesse) sera d'autant plus élevée que e orps aura une vitesse s'appro hant de elle de la lumière.Nous admettrons don que la harge éle trique est bien un invariant (dit relativiste).9.2 A tions magnétiques sur un ir uit fermé9.2.1 La for e de Lapla eNous avons vu que la for e subie par une parti ule hargée en mouvement dans un hamp magné-tique, la for e Lorentz, s'é rit ; −→F = q(−→E +−→v ∧

−→B). Considérons un milieu omportant α espè esdiérentes de parti ules hargées, haque espè e ayant une densité volumique nα, et une vitesse −→v α.Ces divers porteurs de harges sont don responsables d'une densité lo ale de ourant

−→j =

α

nαqα−→v αPar ailleurs, haque parti ule étant soumise à la for e de Lorentz, la for e s'exerçant sur un élémentde volume dV omportant ∑α nα

−→v α parti ules s'é rit−−→d3F =

α

nαqα

(−→E +−→v α ∧

−→B)dV112

Page 113: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 9.2. ACTIONS MAGNÉTIQUES SUR UN CIRCUIT FERMÉOn voit don apparaître une for e due au hamp éle trique. Cependant, si le volume élémentaireque l'on onsidère est susamment grand pour que s'y trouve un grand nombre de parti ules et si le ondu teur est éle triquement neutre, on doit avoir∑

α

nαqα = 0 e qui annule la for e éle trique.On obtient alors −−→d3F =∑

α nαqα

(−→v α ∧

−→B)dV =

(∑α nαqα

−→v α

)∧−→BdV, 'est-à-dire :

−−→d3F =

−→j ∧

−→B dV (9.3)Nous avons don i-dessus l'expression générale de la for e réée par un hamp magnétique extérieur surune densité de ourant quel onque ir ulant dans un ondu teur neutre (la résultante est évidemmentdonnée par l'intégrale sur le volume).Dans le as parti ulier d'un ondu teur liforme, l'élément de volume s'é rit dV =

−→dS ·

−→dl, où −→

dlest un élément de longueur innitésimal orienté dans la dire tion de −→j et −→dS une surfa e innitésimale(voir gure i-dessous). Dans le as d'un ir uit liforme (très min e don où l'on peut onsidérer queS : Section du fil

dS

j

dlle hamp −→B est onstant), la for e qui s'exer e sur une longueur dl du l s'é rit

−→dF L =

∫∫ (−→j ∧

−→B) −→dS ·

−→dl =

∫∫ (−→j ·

−→dS) −→dl ∧

−→B

= I−→dl ∧

−→BLa for e qui s'exer e sur un ondu teur fermé, par ouru par un ourant permanent I, appelée for ede Lapla e, vaut

FL =

circuit

−→dF L = I

circuit

−→dl ∧

−→B (9.4)Cette for e s'applique sur un ir uit qui est un solide. Dans e ours, on ne onsidèrera quedes ir uits pour lesquels on pourra appliquer le prin ipe fondamental de la mé anique, en assimilant eux- i à des points matériels (leur entre d'inertie). Au un élément de longueur ne sera privilégié : lafor e −→

dF L = I−→dl ∧

−→B s'applique au milieu de haque portion −→

dl.Remarques :1. Ayant été établie à partir d'équations valables uniquement en régime permanent, ette expressionn'est vraie que pour un ourant permanent. Il faut en parti ulier faire attention à intégrer la for esur le ir uit fermé. 113

Page 114: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 9. ACTIONS ET ÉNERGIE MAGNÉTIQUES2. Pour des ir uits fermés de forme omplexe, il devient di ile de al uler la for e magné-tique à partir de l'expression de la for e de Lapla e. Dans e as, il vaut mieux utiliser uneméthode énergétique (travaux virtuels, voir 9.3.3 plus bas).3. A partir de la for e de Lorentz, qui est une for e mi ros opique agissant sur des parti ulesindividuelles et qui ne travaille pas, nous avons obtenu une for e ma ros opique agissant sur unsolide. Cette for e est apable de dépla er le solide et don d'exer er un travail non nul. Comment omprendre e résultat ? Il faut interpréter la for e de Lapla e omme la résultante de l'a tion desparti ules sur le réseau ristallin du ondu teur. C'est don une sorte de réa tion du support à lafor e de Lorentz agissant sur ses onstituants hargés. Au niveau mi ros opique ela se traduitpar la présen e d'un hamp éle trostatique, le hamp de Hall( voir TD ).4. Bien que la for e de Lorentz ne satisfasse pas le prin ipe d'A tion et de Réa tion,la for e de Lapla e entre deux ir uits, elle, le satisfait ! (voir omplement 9.4) Laraison profonde réside dans l'hypothèse du ourant permanent par ourant les ir uits (I le même,partout dans haque ir uit) : en régime permanent, il n'y a plus de problème de délai lié à lavitesse de propagation nie de la lumière.9.2.2 Dénition légale de l'AmpèreConsidérons le as de deux ls innis par ourus par un ourant I1 et I2, situés à une distan e dl'un de l'autre. Grâ e au théorème d'Ampère, il est alors fa ile de al uler le hamp magnétique rééI2I1

d

u12

B1

B1

par haque l. La for e par unité de longueur subie par le l 2 à ause du hamp −→B1 vaut

−→dF 1→2

dl2=

I2−→dl2 ∧

−→B1

dl2= −

µ0I1I22πd

u12

= −I1−→dl1 ∧

−→B2

dl1= −

−→dF 2→1

dl1Cette for e est attra tive si les deux ourants sont dans le même sens, répulsive sinon. Puisqu'il y aune for e magnétique agissant sur des ir uits par ourus par un ourant, on peut mesurer l'intensitéde elui- i. C'est par la mesure de ette for e qu'a été établie la dénition légale de l'Ampère (A) :L'Ampère est l'intensité de ourant passant dans deux ls parallèles, situés à 1 mètrel'un de l'autre, et produisant une attra tion ré iproque de 2.10−7 Newtons par unité delongueur de l.9.2.3 Moment de la for e magnétique exer ée sur un ir uitPuisqu'un ir uit éle trique est un solide, il faut utiliser le formalisme de la mé anique du solide.On va introduire i i les on epts minimaux requis.114

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Ele tromagnétisme 9.2. ACTIONS MAGNÉTIQUES SUR UN CIRCUIT FERMÉSoit un point P quel onque appartenant à un ir uit éle trique et le point O, le entre d'inertie de e ir uit. Si e ir uit est par ouru par un ourant permanent I et plongé dans un hamp magnétique−→B , alors haque élément de ir uit −→

dl =−−−→dOP , situé autour de P , subit une for e de Lapla e

−→dF L = I

−→dl ∧

−→B . Le moment par rapport à O de la for e de Lapla e sur l'ensemble du ir uit est alors

−→Γ =

circuit

−−→OP ∧

−→dF LSoient trois axes ∆i, passant par le entre d'inertie O du ir uit et engendrés par les ve teurs unitaires

ei. Le moment des for es s'é rit alors −→Γ =

∑i Γiei. L'existen e d'un moment non nul se traduit parla mise en rotation du ir uit autour d'un ou plusieurs axes ∆i. Autrement dit, par une modi ationde la quantité de rotation du solide, 'est-à-dire son moment inétique. Le moment inétique dusolide par rapport à O est

−→L =

circuit

−−→OP ∧ −→v dmoù dm est la masse élémentaire située sur l'élément −−−→dOP , et −→v sa vitesse. Dans tous les as de gureétudiés dans e ours, on admettra qu'on peut hoisir les axes ∆i tel que le moment inétique d'un ir uit peut se mettre sous la forme

−→L =

i=3∑

i=1

IiΩieioù Ω est le ve teur instantané de rotation et Ii les 3 moments d'inertie du ir uit par rapport aux 3axes ∆i ([I est la matri e d'inertie, i i diagonale). Le moment d'inertie par rapport à l'axe ∆i estdéni parIi =

circuit

dmr2ioù ri est la distan e d'un point P quel onque du ir uit à l'axe ∆i . La dynamique d'un ir uit soumisà plusieurs moments de for es extérieures est donnée par le théorème du moment inétique (pour unsolide)d−→L

dt=

−→Γ ext (9.5)Dans le as d'un ir uit tournant autour d'un seul axe Oz, ave une vitesse angulaire −→

Ω = Ωz =•θzet un moment d'inertie I onstant, on obtient l'équation simpliée suivante :

Iz••θ = Γz (9.6)9.2.4 Exemple du diple magnétiqueConsidérons le as simple d'un diple magnétique, 'est-à-dire d'une spire par ourue par un ourant

I permanent, plongé dans un hamp magnétique extérieur −→B onstant (soit dans tout l'espa e, soitayant une variation spatiale sur une é helle bien plus grande que la taille de la spire). La for e deLapla e s'é rit alors

−→F L =

spire

I−→dl ∧

−→B =

spire

I−→dl

−→B =

−→0(puisque dans le plan xOy du ir uit, le dépla ement ve toriel s'é rit : −→dl = −−−→

dOP = dxx+dyy ommeon peut voir dans la gure 9.2 i-dessous.) 115

Page 116: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 9. ACTIONS ET ÉNERGIE MAGNÉTIQUESm

O

G

q

I

B

O

POP dl dOP=

I

m zn,,B

Figure 9.2 Cir uit dans un hamp magnétiqueUn hamp magnétique onstant ne va don engendrer au un mouvement de translation de la spire.Le moment de la for e de Lapla e par rapport au entre d'inertie O de la spire s'é rit−→Γ =

spire

−−→OP ∧

−→dF L =

spire

−−→OP ∧

(I−−−→dOP ∧

−→B)

= I

spire

−−−→dOP

(−−→OP ·

−→B)− I

−→B

spire

(−−→OP ·

−−−→dOP

)= I

spire

−−−→dOP

(−−→OP ·

−→B)− 0

= I

spire

(dxx+ dyy) (xBx + yBy) = IByx

spire

ydx+ IBxy

spire

xdy

= (IByx− IBxy)

spire

xdy = (IByx− IBxy)1

2

spire

(xdy − ydx) = (IByx− IBxy)S

= ISn ∧−→Boù n = −→z , (x et y sont dans le plan du diple magnétique : voir la gure 9.2). En se rappelant que

−→m = ISn, on a−→Γ = −→m ∧

−→B (9.7)Malgré une résultante des for es nulle, le hamp magnétique exer e un moment qui va avoir tendan eà faire tourner la spire sur elle-même, de telle sorte que son moment magnétique dipolaire −→m s'alignedans la dire tion de −→

B .Remarques :1. L'expression (9.7) i-dessus n'est valable que dans le as d'un diple.2. On utilise souvent le terme ouple magnétique pour dé rire le moment des for es magné-tiques sur un ir uit, e i pour éviter de onfondre ave le moment magnétique dipolaire.116

Page 117: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 9.3. ENERGIE POTENTIELLE D'INTERACTION MAGNÉTIQUE3. Les matériaux ferromagnétiques sont eux pour lesquels on peut assimiler leurs atomes à desdiples alignés dans le même sens. Mis en présen e d'un hamp magnétique externe, ils auronttendan e à se mettre dans la dire tion du hamp, e qui va produire un mouvement ma ros opiqued'ensemble.9.3 Energie potentielle d'intera tion magnétique9.3.1 Le théorème de MaxwellUn ir uit éle trique par ouru par un ourant produit un hamp magnétique engendrant une for ede Lapla e sur un deuxième ir uit, si elui- i est lui-même par ouru par un ourant. Chaque ir uitagit sur l'autre, e qui signie qu'il y a une énergie d'origine magnétique mise en jeu lors de etteintera tion. D'une façon générale, un ir uit par ouru par un ourant permanent pla é dans un hampmagnétique ambiant possède une énergie potentielle d'intera tion magnétique.Pour la al uler, il sut d'évaluer le travail de la for e de Lapla e lors d'un dépla ement virtuel de e ir uit (méthode des travaux virtuels, omme en éle trostatique).dSc

I

dldr

Considérons un élément −→dl d'un ir uit liforme, orienté dans la dire tion du ourant I. Cet élémentsubit une for e de Lapla e −→dF L . Pour dépla er le ir uit d'une quantité −→

dr , ette for e doit fournirun travaild2WL =

−→dF L ·

−→dr = I

(−→dl ∧

−→B)·−→dr = I

(−→dr ∧

−→dl)·−→B

= IdScn ·−→B ≡ Id2Φcoù dScn est la surfa e élémentaire dé rite lors du dépla ement de l'élément de ir uit (les trois ve teursforment un trièdre dire t). On re onnaît alors l'expression du ux magnétique à travers ette surfa ebalayée, appelé ux oupé. Pour l'ensemble du ir uit, le travail dû à un dépla ement élémentaire −→

drestdWL =

circuit

d2WL =

circuit

Id2Φc = IdΦcThéorème de Maxwell :Le dépla ement d'un ir uit éle trique fermé dans un hamp magnétique extérieurengendre un travail des for es magnétiques égal au produit du ourant traversant le ir uitpar le ux oupé par elui- i lors de son dépla ement.Commentaires sur la notion de Flux oupéLe nom de ux oupé provient de notre représentation du hamp magnétique sous forme de lignesde hamp. Lors du dépla ement du ir uit, elui- i va en eet passer à travers es lignes, don les ouper . La notion de ux oupé est très importante ar elle permet parfois de simplier les al uls onsidérablement. Par ailleurs, dans le as d'un hamp magnétique onstant dans le temps,117

Page 118: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 9. ACTIONS ET ÉNERGIE MAGNÉTIQUESnous allons démontrer que le ux oupé par le ir uit Φc lors de son dépla ement est exa tement égalà la variation du ux total ∆Φ.Position initial

du circuit

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

dSi

dSc

dSf

Position finaldu circuit

Soit un ir uit C orienté, par ouru par un ourant I et dépla é dans un hamp magnétique extérieur(voir gure 9.3.1 i-dessus). Ce ir uit dénit à tout instant une surfa e S s'appuyant sur C. Lors dudépla ement de sa position initiale vers sa position nale, une surfa e fermée Σ = Si+Sf +Sc est ainsidé rite, où Sc est la surfa e balayée lors du dépla ement. On hoisit d'orienter les normales à haquesurfa e vers l'extérieur. La onservation du ux magnétique impose alorsΦΣ = ΦSi − ΦSf

+Φc = 0 'est-à-direΦc = ΦSf

− ΦSiOn a don bien Φc = ∆Φ et le travail fait par la for e de Lapla e est :WL = I∆Φ (9.8)qui est vérié algébriquement. Ne pas oublier que e raisonnement n'est valable que pourun hamp magnétique extérieur statique (pas de variation temporelle du hamp au ours dudépla ement du ir uit).9.3.2 Energie potentielle d'intera tion magnétiqueConsidérons un ir uit éle trique par ouru par un ourant permanent I et pla é dans un hampmagnétique statique. Le ir uit est don soumis à la for e de Lapla e : ela signie qu'il est sus eptiblede se dépla er et don de développer une vitesse. On pourra al uler ette vitesse en appliquant, parexemple, le théorème de l'énergie inétique ∆Ec = WL = I∆Φ . Mais d'où provient ette énergie ?Si l'on en roit le prin ipe de onservation de l'énergie, ela signie que le ir uit possède un réservoird'énergie potentielle Wm, lié à la présen e du hamp magnétique extérieur. L'énergie mé anique du ir uit étant E = Ec + Um, on obtient dUm = −dWL.L'énergie potentielle magnétique d'un ir uit par ouru par un ourant permanent I et pla é dansune hamp magnétique extérieur est don

Um = −IΦ+ Constante (9.9)La valeur de la onstante, omme pour toute énergie potentielle d'intera tion, est souvent hoisiearbitrairement nulle. 118

Page 119: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 9.3. ENERGIE POTENTIELLE D'INTERACTION MAGNÉTIQUE9.3.3 Expressions générales de la for e et du ouple magnétiquesL'existen e d'une énergie potentielle se traduit par une a tion possible (re onversion de ette éner-gie). Ainsi la résultante −→F L =

∮−→dF L des for es magnétiques exer ées sur le ir uit est donnée par

dUm =

3∑

i=1

∂Um

∂xidxi = −dWL = −

−→F L ·

−→dr = −

3∑

i=1

Fidxioù les dxi mesurent les dépla ements (translations) dans les trois dire tions de l'espa e par rapport au entre d'inertie du ir uit (là où s'applique la for e magnétique). On obtient ainsi l'expression généralede la for e de Lapla e agissant sur un ir uit par ouru par un ourant permanent, 'est-à-direFi = −

∂Um

∂xiou sous forme ve torielle−→F L = −

−−−→gradUm = I

−−−→gradΦ (9.10)Remarques :1. La for e totale (s'exerçant don sur le entre d'inertie du ir uit) a tendan e à pousser le ir uitvers les régions où le ux sera maximal.2. Cette expression est valable uniquement pour des ourants permanents. Noter qu'elle s'appliquenéanmoins pour des ir uits déformés et don pour lesquels il y aura aussi une modi ation duux sans réel dépla ement du ir uit.On peut faire le même raisonnement dans le as d'un mouvement de rotation pure du ir uit.Prenons le as général de rotations d'angles innitésimaux dαi autour de trois axes ∆i. passant par le entre d'inertie O du ir uit et engendrés par les ve teurs unitaires ei.

O

r da

dr

Di

I ei

Soit le ve teur −→r =−−→OP = rr reliant un point P quel onque d'un ir uit et le point O. La vitessedu point P s'é rit en toute généralité (voir un ours de mé anique)

d−→r

dt=

dr

dtr +

−→Ω ∧−→roù le premier terme orrespond à une translation pure et le se ond à une rotation pure, dé rite par leve teur instantané de rotation

−→Ω =

·α1·α2·α3

=

3∑

i=1

dαi

dtei119

Page 120: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 9. ACTIONS ET ÉNERGIE MAGNÉTIQUESL'expression générale du moment de la for e magnétique par rapport à O est −→Γ =

∑3i=1 Γiei. Letravail dû à la for e de Lapla e lors d'une rotation pure ( r = OP reste onstant)

dWL =

circuit

−→dF L ·

−→dr =

circuit

−→dF L ·

(3∑

i=1

dαiei ∧−→r

)

=3∑

i=1

dαiei ·

circuit

−→r ∧−→dF L

=

3∑

i=1

dαiei ·−→ΓL =

3∑

i=1

dαiΓi

= IdΦ =

3∑

i=1

I∂Φ

∂αidαid'où

Γi = I∂Φ

∂αiAutrement dit, le moment de la for e magnétique par rapport à un axe∆i passant par le entre d'inertieO du ir uit, dépend de la variation de ux lors d'une rotation du ir uit autour de et axe.Exemple : Le diple : En supposant que le hamp magnétique extérieur est onstant à l'é helled'un diple de moment magnétique dipolaire −→m = ISn, on obtient un ux Φ =

−→B · Sn.La for e magnétique totale s'é rit alors

−→F L = I

−−−→gradΦ =

−−−→grad

(ISn ·

−→B) 'est-à-dire

−→F L =

−−−→grad

(−→m ·

−→B) (9.11)Le moment de la for e magnétique ( ouple magnétique) s'é rit

Γi = I∂Φ

∂αi= I

∂αi

(−→B · Sn

)=

−→B ·

∂ (ISn)

∂αi=

−→B ·

∂−→m

∂αiOr le moment magnétique dipolaire varie de la façon suivante lors d'une rotationd−→m =

3∑

i=1

dαiei ∧−→m =

3∑

i=1

∂−→m

∂αidαiet on obtient don

Γi =−→B ·

(ei ∧

−→m)= ei ·

(−→m ∧

−→B) 'est-à-dire l'expression ve torielle

−→ΓL = −→m ∧

−→B (9.12)Remarquer que e al ul est bien plus fa ile que le al ul dire t ee tué à la se tion 9.2.4.9.3.4 La règle du ux maximumUn solide est dans une position d'équilibre stable si les for es et les moments auxquels il est soumistendent à le ramener vers ette position s'il en est é arté. D'après le théorème de Maxwell on a

dWL = IdΦ = I (Φf − Φi) =−→F L ·

−→drSi la position est stable, ela signie que l'opérateur doit fournir un travail, autrement dit un dépla e-ment −→dr dans le sens ontraire de la for e (qui sera une for e de rappel), don dW < 0 ou Φf < Φi.120

Page 121: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 9.4. LAPLACE ET LE PRINCIPE D'ACTION ET DE RÉACTIONUn ir uit tend toujours à se pla er dans des onditions d'équilibre stable, où le uxdu hamp est maximum.Cette règle est très utile pour se forger une intuition des a tions magnétiques.9.4 Lapla e et le prin ipe d'A tion et de Réa tionOn démontre i i que le prin ipe d'A tion et de Réa tion est bien vérié pour la for e de Lapla es'exerçant entre deux ir uits C1 et C2 quel onques, par ourus par des ourant permanents I1 et I2.La for e exer ée par C1 sur C2 s'é rit−→F 1→2 =

C2

I2−−→dP2 ∧

−→B1 =

C2

I2−−→dP2 ∧

C1

µ0I14π

−−→dP1 ∧ u12

(P1P2)2

=

µ0I1I24π

C2

C1

−−→dP2 ∧

−−→dP1 ∧ u12

(P1P2)2où P1 (resp. P2) est un point quel onque de C1 (resp. C2) et −−−→P1P2 =P1P2u12. La for e exer ée par C2sur C1 vaut

−→F 2→1 =

C1

I1−−→dP1 ∧

−→B2 =

C1

I1−−→dP1 ∧

C1

µ0I24π

−−→dP2 ∧ u21

(P2P1)2

= −

µ0I1I24π

C2

C1

−−→dP1 ∧

−−→dP2 ∧

−→u 12

(P1P2)2puisque u21 = −u12. Par ailleurs, on a

−−→dP2 ∧

(−−→dP1 ∧ u12

)=

−−→dP1

(−−→dP2 · u12

)− u12

(−−→dP2 ·

−−→dP1

)

−−→dP1 ∧

(−−→dP2 ∧ u12

)=

−−→dP2

(−−→dP1 · u12

)− u12

(−−→dP1 ·

−−→dP2

)Il nous sut don de al uler le premier terme puisque le se ond est identique dans les deux expressionsdes for es. Mathématiquement, les expressions∮

C1

C2

[ ] =

C2

C1

[ ]sont ee tivement équivalentes si e qui se trouve dans le ro het (la fon tion à intégrer) est symétriquepar rapport aux variables de ha une des deux intégrales. Mais dans elle de gau he, le point P1 rested'abord onstant lors de l'intégrale portant sur C2, tandis que dans elle de droite, 'est le point P2qui est maintenu onstant lors de l'intégration sur C1. Ainsi, on peut é rire∮

C2

−−→dP1

(−−→dP2 · u12

)

(P1P2)2 =

−−→dP1

C2

−−→dP2 · u12

(P1P2)2

C1

−−→dP2

(−−→dP1 · u12

)

(P1P2)2 =

−−→dP2

C2

−−→dP1 · u12

(P1P2)2Posant −→r =

−−−→P1P2 et remarquant que −−→

dP2 = d−−−→P1P2 +

−−→dP1 ( puisque d

−−−→P1P2 = d

(−−→P2O −

−−→P1O

)=

−−→dP2 −

−−→dP1), on obtient

C2

(−−→dP2 · u12

)

(P1P2)2 =

C2

−→dr · −→r

r3=

C2

d(r2)

2r3u→r2=

1

2

C2

du

u3/2= −

C2

d(u−1/2

)= 0121

Page 122: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 9. ACTIONS ET ÉNERGIE MAGNÉTIQUESpuisque l'on fait un tour omplet sur C2 et l'on revient don au point de départ. Le résultat estévidemment le même pour l'intégrale portant sur C1. En résumé, on obtient−→F 1→2 =

µ0I1I24π

C2

C1

−−→dP2 ∧

−−→dP1 ∧ u12

(P1P2)2 = −

µ0I1I24π

C2

C1

u12 ·(−−→dP2 ·

−−→dP1

)

(P1P2)2

= −µ0I1I24π

C2

C1

u12 ·(−−→dP1 ·

−−→dP2

)

(P1P2)2 = −

−→F 2→1Ce i a hève la démonstration.

122

Page 123: able - Fresnel

Chapitre 10Indu tion éle tromagnétique10.1 Les lois de l'indu tion10.1.1 L'appro he de FaradayJusqu'à maintenant, nous nous sommes intéressés essentiellement à la réation d'un hamp magné-tique à partir d'un ourant permanent. Ce i fut motivé par l'expérien e de Oersted. A la même époque,le physi ien anglais Faraday était préo upé par la question inverse : puisque es deux phénomènessont liés, omment produire un ourant à partir d'un hamp magnétique ? Il t un ertain nombred'expérien es qui é houèrent ar il essayait de produire un ourant permanent. En fait, il s'aperçutbien de ertains eets troublants, mais ils étaient toujours transitoires.Exemple d'expérien e : on enroule sur un même ylindre deux ls éle triques. L'un est relié àune pile et possède un interrupteur, l'autre est seulement relié à un galvanomètre, permettant ainsi demesurer tout ourant qui serait engendré dans e se ond ir uit. En eet, Faraday savait que lorsqu'un ourant permanent ir ule dans le premier ir uit, un hamp magnétique serait engendré et il s'attendaitdon à voir apparaître un ourant dans le deuxième ir uit. En fait rien de tel n'était observé : lorsquel'interrupteur était fermé ou ouvert, rien ne se passait. Par ontre, lors de son ouverture ou de safermeture, une déviation fuga e de l'aiguille du galvanomètre pouvait être observée ( ela n'a pas étéperçu immédiatement). Une telle déviation pouvait également s'observer lorsque, un ourant ir ulantdans le premier ir uit, on déplaçait le deuxième ir uit.Autre expérien e : prenons un aimant permanent et plaçons le à proximité d'une bou le onsti-tuée d'un l ondu teur relié à un galvanomètre. Lorsque l'aimant est immobile, il n'y a pas de ourantmesurable dans le l. Par ontre, lorsqu'on dépla e l'aimant, on voit apparaître un ourant dont le signevarie selon qu'on appro he ou qu'on éloigne l'aimant. De plus, e ourant est d'autant plus importantque le dépla ement est rapide.Ces deux types d'expérien es ont amené Faraday à é rire e i : Quand le ux du hampmagnétique à travers un ir uit fermé hange, il apparaît un ourant éle trique. Dans les deux expérien es, si on hange la résistan e R du ir uit, alors le ourant I apparaissantest également modié, de telle sorte que e = RI reste onstant. Tous les faits expérimentaux mis enéviden e par Faraday peuvent alors se résumer ainsi :Loi de Faraday : la variation temporelle du ux magnétique à travers un ir uit ferméy engendre une fém induitee = −

dt( expression 1 ) (10.1)L'indu tion éle tromagnétique est don un phénomène qui dépend intrinsèquement du temps et sort du adre de la magnétostatique (étude des phénomènes magnétiques stationnaires). Nous allons l'étudier123

Page 124: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 10. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUEdans un premier temps dans le ontexte d'une approximation dite quasi-stationnaire (voir se tion10.3.1). L'importan e de l'indu tion provient du fait qu'il s'agit d'un phénomène magnétique produisantun eet éle trique.10.1.2 La loi de FaradayPosons-nous la question de Faraday. Comment rée-t-on un ourant ? Un ourant est un dépla- ement de harges dans un matériau ondu teur. Ces harges sont mises en mouvement grâ e unediéren e de potentiel (ddp) qui est maintenue par une for e éle tromotri e ou fém (elle s'exprimedon en Volts). Une pile, en onvertissant son énergie himique pendant un instant dt, fournit don une puissan e P (travail W par unité de temps) modiant l'énergie inétique des dQ porteurs de hargeet produisant ainsi un ourant I.Soit Pp la puissan e ommuniquée à une parti ule de harge qp se déplaçant à une vitesse −→vp .Sa hant que dans un ondu teur il y a np porteurs de harge par unité de volume, la puissan e totaleP que doit fournir le générateur (par ex. une pile) est

P =

∫∫∫

V

nPpdV =

circuit

dl

∫∫

section

nPpdS =

circuit

dl

∫∫

section

n−→F p ·

−→v pdS

=

circuit

∫∫

section

(nqp

−→v p ·−→dS) −→F p ·

−→dl

qp=

circuit

−→F p ·

−→dl

qp

∫∫

section

(−→j ·

−→dS)

= I

circuit

−→F p ·

−→dl

qp= IeOn pose don que la fém d'un ir uit est

e ≡P

I=

circuit

−→F p ·

−→dl

qp(10.2)où −→

F p est la for e qui s'exer e sur les harges mobiles qp ( .-à-d. les porteurs du ourant). Or la for e deCoulomb est in apable de produire une fém, puisque la ir ulation du hamp éle trostatique (don le travail) est nulle sur un ir uit fermé,e =

circuit

−→E s ·

−→dl = V (A)− V (A) = 0 (10.3)Il faut quand même se rappeler que l'indu tion est toujours asso iée ave une variation des paramètresphysique dans le temps,(soit une variation temporelle du hamp −→

B , soit le dépla ement d'un ir uit)et rien n'empê he que la ir ulation du hamp éle trique dans de telles ir onstan es ne soit pas nulle.La for e −→F p responsable de l'apparition d'une fém sur les porteurs n'est rien d'autre que la for ede Lorentz, 'est-à-dire

e =

circuit

(−→E +−→v fil ∧

−→B)·−→dl ( expression 2 ) (10.4)où −→v fil est la vitesse du l éle trique qui ontient les porteurs du ourant.N.B. Ce n'était pas né essairede tenir ompte de la vitesse des porteurs du ourant par rapport au l éle trique dans l'expression 2,puisque e omposant de leur vitesse est toujours parallèle à −→

dl.124

Page 125: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 10.1. LES LOIS DE L'INDUCTIONdl

dr

d dtr v= fil

nc

dSc

I

Reprenons maintenant l'expérien e qui onsiste à dépla er un ir uit fermé ave une vitesse −→vdans un hamp magnétique −→Bs et un hamp éle trique −→

Es statiques. Que se passe-t-il pendant uninstant dt ? La for e de Lorentz (due à e mouvement d'ensemble) agissant sur haque parti ule q du ondu teur s'é rit −→F = q(−→E s +

−→v fil ∧−→Bs

), fournissant ainsi une f.é.m.,e =

circuit

(−→E s +

−→v fil ∧−→Bs

)·−→dl = −

1

dt

circuit

(−→v fildt ∧

−→dl)·−→Bs

= −1

dt

circuit

dScn ·−→Bsoù dScnc est la surfa e orientée élémentaire, dé rite lors du dépla ement du ir uit. On re onnaît alorsl'expression du ux oupé à travers ette surfa e élémentaire. On a don

e = −1

dt

circuit

d2Φc = −dΦc

dt= −

dtpuisque la variation du ux oupé est égale à elle du ux total à travers le ir uit ( onservation du uxmagnétique, f. théorème de Maxwell). Attention au sens de −→dl : il doit être ohérent ave dΦc = dΦ.Nous venons de démontrer la loi de Faraday dans le as d'un ir uit rigide, dépla é dans un hampéle tromagnétique statique. Nous avons vu apparaître naturellement l'expression du ux oupé. Enfait, la seule hose qui ompte, 'est l'existen e d'un mouvement d'ensemble du tout ou d'une partiedu ir uit (revoir démonstration pour s'en onvain re). Ainsi, l'expression de la fém induite

e = −dΦc

dt( expression 3 ) (10.5)reste valable pour un ir uit déformé et/ou dépla é dans un hamp magnétique statique.Première di ultéPrenons l'expérien e de la roue de Barlow. L'appareil onsiste en un disque métallique mobileautour d'un axe xe, plongeant dans un hamp magnétique et tou hant par son bord extérieur une uve de mer ure. Un ir uit éle trique est ainsi établi entre la uve et l'axe et on ferme e ir uit surun galvanomètre permettant de mesurer tout ourant. Lorsqu'on fait tourner le disque, un ourantéle trique est bien déte té, en ohéren e ave la formule de l'expression 2. Cependant, il n'y a pasde variation du ux total à travers la roue ! Ce résultat expérimental semble don ontradi toire ave

e = −dΦcdt !Comment omprendre ela ? Même si, globalement, il n'y a pas de variation du ux total, il n'enreste pas moins que les harges du disque ondu teur se dépla ent dans un hamp magnétique. Onpourrait don faire de l'égalité dΦc = dΦ et al uler ainsi une f.é.m. non nulle. Cependant, la ause125

Page 126: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 10. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUEphysique fondamentale de l'indu tion réside dans l'expression 2. Il faut don utiliser lesexpressions 1 et 3 uniquement omme des moyens parfois habiles de al uler la fém.Deuxième di ultéSi on se pla e maintenant dans le référentiel du ir uit rigide, on verra un hamp magnétiquevariable ( 'est le as, par ex, lorsqu'on appro he un aimant d'un ir uit immobile). Dans e as, le ux oupé est nul et on devrait don avoir une fém nulle, e qui n'est pas le as d'après l'expérien e deFaraday. Ce résultat expérimental semble ette fois- i en ontradi tion ave e = −dΦcdt !Résolution de e paradoxePuisque, dans e dernier as, le hamp magnétique dépend du temps, il n'y a plus de lien dire tentre le ux oupé et le ux total à travers le ir uit. Si on revient à l'expression 2, on voit que dansle référentiel du ir uit la for e magnétique est nulle et il ne reste plus que le terme éle trique. Or, lorsque nous avons onsidéré les hangements de repère dans se tion III.1.3, nous avons vuque le hamp éle trique dépend du hamp magnétique (de rotation non nul) dans un autre repère.An d'être en a ord ave l'expérien e de Faraday, on doit en on lure que la variation d'un hampmagnétique doit produire un hamp éle trique de rotationnel non nul −→Em (dit hamp éle tromoteur)qui va s'ajouter au hamp éle trostatique, −→E s. Ave ette supposition, on obtient :

e = −dΦ

dt( expérien e de Faraday)

=

circuit

−→Em ·

−→dl =

circuit

−→E ·

−→dl ( ir ulation du hamp éle tromoteur)où nous avons utilisé −→

E =−→E s +

−→Em et l'équation 10.3 dans la dernière égalité. En se rappelant de ladénition du ux magnétique, ette relation s'é rit

dt=

d

dt

∫∫

circuit

−→B ·

−→dS =

∫∫

circuit

∂−→B

∂t·−→dS = −

circuit

−→E ·

−→dlCette équation intégrale dé rit ainsi un nouvel eet physique, totalement indépendant de tout e quenous avons vu jusqu'à présent : l'indu tion. Comme, les hamps sont présents même en absen e d'un ir uit, on en déduit la validité de ette relation pour un ontour arbitraire C et elle devient ainsi unedes quatre équations fondamentales du hamp éle tromagnétique :

C

−→E ·

−→dl = −

∫∫

S

∂−→B

∂t·−→dS (10.6)Comme les autres lois fondamentales, on peut exprimer l'éq.(10.6) sous forme diérentielle. Lethéorème de Stokes nous di te que

C

−→E ·

−→dl =

∫∫

S

−→rot

−→E ·

−→dS (10.7)pour n'importe quelle hamp ve toriel et puisque le ontour C est arbitraire, une omparaison entrel'éq.(10.7) et l'éq.(10.6), nous di te l'expression diérentielle du rotationnel de −→

E :−→rot

−→E = −

∂−→B

∂t(10.8)Résumé/Bilan 126

Page 127: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 10.1. LES LOIS DE L'INDUCTIONQue se passe-t-il si on dépla e un ir uit (rigide ou non) dans un hamp magnétiquevariable ? Quelle expression faut-il utiliser ? En fait, il faut revenir à la for e de Lorentz dans le asgénéral de hamps variables. On aura alors une fém induitee =

circuit

(−→E +−→v fil ∧

−→B)·−→dl =

circuit

−→E ·

−→dl −

dΦc

dt

= −

∫∫

S

∂−→B

∂t·−→dS −

dΦc

dt= −

dt(10.9)Le premier terme dé rit la ir ulation non nulle d'un hamp éle tromoteur, asso ié à la variationtemporelle du hamp magnétique, tandis que le deuxième terme dé rit la présen e d'un ux oupé dûau dépla ement du ir uit et/ou à sa déformation.Note Bene : La onvention est d'appeler e la for e éle tromotri e (f.é.m.) du ir uit même sion voit qu'elle est en réalité l'intégrale d'un for e par unité de harge sur un tour ompletdu ir uit. De e fait e a les unités de Volts même si l'idée de potentiel éle trique n'estplus appli able en présen e d'indu tion. Puisque e est mesuré en Volts on dit parfois diéren e depotentiel dû à la for e éle tromotri e mais e i est un léger abus de langage.Quelques subtilités :1. Puisque les porteurs de ourant subissent une f.é.m., on aurait pu se demander pourquoi ettefor e n'entraîne pas une for e mé anique sur le l. Il faut se rappeler que le l est neutre et qu'ily a autant de harges immobiles (de harge opposée) qu'il y a de harges porteurs de ourant.Les for es sur es harges sont égales et opposées aux for es sur les porteurs, et par onséquen e,la for e d'indu tion ne produit pas de for e mé anique sur un l neutre.2. On pouvait également se demander pourquoi nous avons invoqué seulement la vitesse du l, −→v fil,et pas la vitesse moyenne des porteurs de ourant, −→v p, qui est responsable pour le ourant (I =

Sqnp

∥∥−→v p

∥∥). La véritable vitesse moyenne des harges de ondu tion est ainsi −→v = −→v fil +−→v p).Les raisons pour et apparent oubli sont les suivantes :(a) La vitesse −→v p asso ié ave le ourant est dirigé selon la dire tion −→

dl du l. La for e éle tro-motri e, −→v p ∧−→B qu'elle génère sera don perpendi ulaire au l. Cette for e va rapidementredistribuer les porteurs de ourant an d'établir un hamp de Hall qui produira unefor e qui lui est égale et opposée (voir TD). Don , la plupart du temps on se sou ie gère de ette for e et elle ne ontribue pas dans le al ul de la f.é.m. du ir uit (par e qu'elle estperpendi ulaire à −→

dl).(b) D'autre part, le fait que les harges sont en mouvement ave une vitesse −→v p par rapport aul, ils subissent une for e mé anique −→v p ∧−→B que les harges immobiles ne subissent pas.Cette for e mé anique est pré isément la for e de Lapla e que nous avons déjà étudié dansle hapitre 9. Nous onstatons don , que la for e de Lorentz est à la fois responsablede la for e de Lapla e et au terme −→v fil ∧

−→B dans la for e éle tromotri e.10.1.3 La loi de LenzEnon é : l'indu tion produit des eets qui s'opposent aux auses qui lui ont donnénaissan e.Cette loi est, omme la règle du ux maximum, déjà ontenue dans les équations et don n'apporterien de plus, hormis une intuition des phénomènes physiques. En l'o urren e, la loi de Lenz n'estque l'expression du signe ontenu dans la loi de Faraday.127

Page 128: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 10. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUEExemple : si on appro he un ir uit du ple nord d'un aimant, le ux augmente et don la féminduite est négative. Le ourant induit sera alors négatif et produira lui-même un hamp magnétiqueinduit opposé à elui de l'aimant. Deux onséquen es :1. L'augmentation du ux à travers le ir uit est amoindrie.2. Il apparaît une for e de Lapla e −→F = I

−−→gradΦ négative, s'opposant à l'appro he de l'aimant.Le signe dans la loi de Faraday (la loi de Lenz) dé rit le fait que dans des onditions normales,il n'y a pas d'emballement possible (ex. ourant ne faisant qu'augmenter).Remarque sur la onvention de signeLa détermination du sens du ourant induit se fait de la façon suivante :1. On se hoisit arbitrairement un sens de ir ulation le long du ir uit.2. Ce sens dénit, grâ e à la règle du bonhomme d'Ampère, une normale au ir uit.3. Le signe du ux est alors déterminé en faisant le produit s alaire du hamp magnétique par ettenormale.4. En utilisant ensuite la loi de Faraday, on obtient la valeur et le signe de la fém.5. Enn, le ourant est obtenu à partir de la loi d'Ohm (son signe peut aussi être dire tement onnuen utilisant la loi de Lenz).10.2 Indu tion mutuelle et auto-indu tion10.2.1 Indu tion mutuelle entre deux ir uits fermésSoient deux ir uits fermés, orientés, traversés par des ourants I1 et I2.

I1

dS1 dS2

I2C1 C2Le premier rée un hamp magnétique −→B1 dont on peut al uler le ux Φ12 à travers le deuxième ir uit,

Φ12 =

∫∫

S2

−→B1 ·

−→dS2 =

µ0

∫∫

S2

C1

−→dl1 ∧

−−−→PM∥∥∥−−−→PM∥∥∥3 ·

−→dS2

I1 (10.10)où P est un point quel onque du ir uit C1 ( l'élément de longueur valant −→dl1 = d

−−→OP ) et M un pointquel onque de la surfa e délimitée par C2, à travers laquelle le ux est al ulé. De même, on a pour leux réé par le ir uit C2 sur le ir uit C1 :

Φ21 =

∫∫

S1

−→B2 ·

−→dS1 =

µ0

∫∫

S1

C2

−→dl2 ∧

−−−→PM∥∥∥−−−→PM∥∥∥3 ·

−→dS1

I2 (10.11)où P est ette fois- i un point du ir uit C2 et M un point de la surfa e délimitée par C1, à traverslaquelle le ux est al ulé. Les termes entre ro hets dépendent de la distan e entre les deux ir uits128

Page 129: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 10.2. INDUCTION MUTUELLE ET AUTO-INDUCTIONet de fa teurs uniquement géométriques liés à la forme de haque ir uit. Comme, dans le as général,ils sont di iles voire impossible à al uler, il est ommode de poserΦ12 = M12I1

Φ21 = M21I2Le signe des oe ients dépend de l'orientation respe tive des ir uits et suit la même logique quepour le ourant induit. D'après les hoix pris pour le sens de ir ulation le long de haque ir uit (voirgure), les ux sont négatifs pour des ourants I1 et I2 positifs. Don les oe ients sont négatifs dans et exemple.Théorème : Le oe ient d'indu tion mutuelle ou indu tan e mutuelle (unités : Henry)M = M12 = M21 (10.12)Il met en jeu une énergie potentielle d'intera tion magnétique entre les deux ir uits

Um = −MI1I2 + ConstanteIl nous faut démontrer que les indu tan es sont bien les mêmes pour haque ir uit. La raisonprofonde réside dans le fait qu'ils sont en intera tion, don possèdent ha un la même énergie potentielled'intera tion. Si on dépla e C2, il faut fournir un travaildW2 = I2dΦ12 = I1I2dM12Mais e faisant, on engendre une variation du ux à travers C1 et don un travaildW1 = I1dΦ21 = I2I1dM21Puisqu'ils partagent la même énergie d'intera tion ( haque travail orrespond au mouvement relatif de

C1 par rapport à C2), on a dW1 = dW2 et don dM12 = dM21 ⇒ M12 = M21 + ConstanteCette onstante d'intégration doit être nulle puisque, si on éloigne les ir uits l'un de l'autre à l'inni,l'intera tion tend vers zéro et don les indu tan es s'annulent.N.B. Quand nous disons i-dessus que les deux ir uits possède le même potentiel d'intera tion, çarevient à dire que le prin ipe d'a tion et réa tion est satisfait pour les ir uits. Nous avons démontréque e i est bien le as pour des ourants stationnaire démontrer dans la se tion 9.4.10.2.2 Auto-indu tionSi on onsidère un ir uit isolé, par ouru par un ourant I, on s'aperçoit qu'on peut produire lemême raisonnement que i-dessus. En eet, le ourant I engendre un hamp magnétique dans toutl'espa e et il existe don un ux de e hamp à travers le ir uit lui-même,

Φ =

∫∫

S

−→B ·

−→dS =

µ0

∫∫

S

C

−→dl ∧

−−−→PM∥∥∥−−−→PM∥∥∥3 ·

−→dS

Iqu'on peut simplement é rire

Φ = LI (10.13)où L est le oe ient d'auto-indu tion ou auto-indu tan e (ou self), exprimé en Henry. Il ne dépend quedes propriétés géométriques du ir uit et est né essairement positif (alors que le signe de l'indu tan emutuelle dépend de l'orientation d'un ir uit par rapport à l'autre).129

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Ele tromagnétisme CHAPITRE 10. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE10.3 Régimes variables10.3.1 Dénition du régime quasi-stationnaireAve les lois que nous avons énon é jusqu'à présent, nous sommes en mesure d'étudier ertainsrégimes variables. En eet, tous les raisonnements basés sur la notion d'un hamp (éle trique oumagnétique) onstant au ours du temps peuvent aisément être appliqués à des systèmes physiquesvariables ( hamps dépendant du temps), pourvu que ette variabilité s'ee tue sur des é helles detemps longues par rapport au temps ara téristique d'ajustement du hamp. Voi i tout de suite unexemple on ret.La plupart des lois de la magnétostatique supposent un ourant permanent, 'est-à-dire le mêmedans le tout le ir uit. Lorsqu'on ferme un interrupteur, un signal éle tromagnétique se propage danstout le ir uit et 'est ainsi que peut s'établir un ourant permanent : ela prend un temps de l'ordrede l/c, où l est la taille du ir uit et c la vitesse de la lumière. Si l'on a maintenant un générateurde tension sinusoïdale de période T , alors on pourra malgré tout utiliser les relations déduites de lamagnétostatique siT ≫ l/c (10.14)Ainsi, bien que le ourant soit variable, la réation d'un hamp magnétique obéira à la loi de Biotet Savart tant que le ritère i-dessus reste satisfait. Ce type de régime variable est également appelérégime quasi-stationnaire.10.3.2 For es éle tromotri es (fém) induitesConsidérons tout d'abord le as d'un ir uit isolé rigide (non déformable). Nous avons vu qu'unefém induite apparaissait dès lors que le ux variait. D'après la loi de Faraday et l'expression i-dessus, ette fém vaudrae = −L

dI

dt(10.15)(L étant onstant pour un ir uit rigide). En régime variable, si le ourant diminue, on verra don apparaître une fém positive engendrant un ourant induit qui va s'opposer à la dé roissan e du ourantdans le ir uit. La self d'un ir uit tend don à atténuer les variations de ourant.Dans les s hémas éle triques la self est symbolisée par une bobine. C'est en eet la façon la plus ommode de produire une self : plus le nombre de spires est élevé et plus grande sera l'auto-indu tan e

L (le ylindre sur lequel on fait l'enroulement est d'ailleurs souvent onstitué de fer doux, matériauferromagnétique, pour amplier le hamp, don L). Puisque le même ux magnétique traverse les Nspires de la bobine le ux à travers la bobine s'é ritΦbobine ≡

∫∫

bobine

−→B ·

−→dS ≃ N

∫∫

spire

−→B ·

−→dS e qui donne la règle

Φbobine ≃ NΦspire (10.16)Exemple : On peut appliquer ette règle an de trouver l'auto indu tion d'une bobine ir ulaireave un oeur vide (pas de fer doux) ave N spires ir ulaires de rayon R, distribués uniformément surune longueur l dans l'approximation d'une bobine inni, 'est-à-dire R ≪ l.On se rappelle qu'en hapitre 7, que nous avons montré que le hamp −→B est onstant (dirigé selonl'axe de la bobine) et que ∥∥∥−→B∥∥∥ = µ0nI = (µ0NI) /l. Le ux magnétique à travers une spire ir ulaire130

Page 131: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 10.4. RETOUR SUR L'ÉNERGIE MAGNÉTIQUEI

R

l

z

Bz,ext=0

Bz,int=m0nl

s'é rit don Φspire =

∫∫

spire

−→B ·

−→dS = πR2 (µ0NI) /lAve la règle de l'éq.(10.16), nous obtenons Φbobine = NΦspire =

(µ0πR

2N2I)/l et par la dénition de

L de l'éq.(10.13) on obtient :Lself,vide ≃

(µ0πR

2N2)/l (10.17) omme oe ient d'auto-indu tion de la bobine.Si l'on onsidère maintenant deux bobines ouplées C1 et C2, alors l'expression des ux totaux àtravers es ir uits s'é rit :

Φ1 = Φ11 +Φ21 = L1I1 +MI2

Φ2 = Φ22 +Φ12 = L2I2 +MI1On aura don en régime variable des fém induites dans haque ir uit

e1 = −L1dI1dt −M dI2

dt

e2 = −M dI1dt − L2

dI2dtCe i peut avoir des onséquen es importantes (parfois désastreuses), omme l'apparition soudaine d'un ourant dans un ir uit fermé non alimenté. En eet, supposons que I2 soit nul à un instant et qu'il yait à e moment là une variation de ourant I1. L'indu tion mutuelle va alors engendrer un ourant I2induit, qui va à son tour modier I1.10.4 Retour sur l'énergie magnétique10.4.1 L'énergie magnétique des ir uitsDans le hapitre 9, nous avons vu que l'énergie magnétique d'un ir uit par ouru par un ourantpermanent I pla é dans un hamp magnétique extérieur B s'é rit W = −IΦ. Or, un tel ir uit produitun ux Φ = LI à travers lui-même, e qui semblerait impliquer une énergie magnétique. . . néga-tive ? Etrange. D'autant plus que nous avions interprété ette énergie omme une énergie potentielled'intera tion entre le ir uit et le hamp extérieur.An de omprendre e résultat, il faut se rappeler que e qu'on appelle l'énergie magnétique po-tentielle n'est pas l'énergie totale du système. L'énergie magnétique potentielle était dérivée sous la ondition qu'un générateur de ourant fournissait du travail an de garder le ourant onstant dans les ir uits. Nous avons déjà ren ontré une situation analogue dans éle trostatique quand il s'agissait de al uler la for e sur les armatures d'un ondensateur quand eux- i sont tenues à potentiel éle trique onstant par un générateur. 131

Page 132: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 10. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUEIl nous faut de nouveau raisonner par la méthode des travaux virtuels. Tout eet a né essité untravail et est don porteur d'énergie. Un ondu teur portant une harge éle trique Q (et potentiel V )possède une énergie éle trostatique :We =

Q2

2C=

1

2CV 2 =

1

2QVoù C est la apa ité du ondu teur. Cette énergie est sto kée dans (portée par) le hamp éle trostatique.Nous avons al ulé ette énergie en évaluant le travail fourni pour onstituer e réservoir de harges.Il nous faut faire un raisonnement similaire pour le as magnétique i i. S'il existe un ourant I, 'est qu'un générateur a fourni une puissan e P (t) = ei(t) pendant un ertain temps. Cela signie quele ir uit (dé rit par une self L) a reçu une puissan e

Pm(t) = −ei(t) = Lidi

dt=

d

dt

(Li2

2

)puisque elui- i rée un hamp magnétique (on néglige i i toute dissipation). Partant d'un ourant nulà t = 0, on obtient après un temps ∆t un ourant I = i(∆t) et une énergie emmagasinéeWm =

∫ ∆t

0Pmdt =

1

2LI2 (10.18)Cette énergie est sto kée dans le hamp magnétique qui est réé par un ourant d'amplitude I, ir ulantdans un ir uit de self L. Le fa teur 1/2 provient de l'a tion du ir uit sur lui-même. Si l'on prend en ompte la dissipation (voir plus bas), on obtient que l'énergie né essaire à la réation d'un ourant I(ou la génération du hamp −→

B asso ié) doit être supérieure.Prenons maintenant le as de deux ir uits en intera tion. Cha un est par ouru par un ourantpermanent et engendre ainsi un hamp magnétique. L'énergie magnétique totale emmagasinée est alorsWm = −

∫ t

0e1I1dt−

∫ t

0e2I2dt

=

∫ t

0

[L1I1

dI1dt

+MI1dI2dt

]dt+

∫ t

0

[L2I2

dI2dt

+MI2dI1dt

]dt

=1

2

(L1I

21 + L2I

22

)+MI1I2On voit don que W 6= W1 + W2 : il y a un troisième terme, orrespondant à l'intera tion entre lesdeux ir uits.10.4.2 Forme intégrale de l'énergie magnétiqueOn se rappelle que l'énergie éle trique We pouvait être é rite dans la forme d'une intégrale volu-miqueWe =

ǫ02

∫∫∫ρV dVNous avons vu également que We peut être interprétée omme étant sto kée par le hamp éle triqueet qu'on peut le al uler via l'intégrale :

We =ǫ02

∫∫∫εr−→E2dVNotre obje tif dans ette se tion est d'obtenir des expressions analogues pour l'énrgie magnétique.A partir de l'éq.(10.18) on peut en déduire

Wm =1

2LI2 =

1

2IΦcirc132

Page 133: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 10.4. RETOUR SUR L'ÉNERGIE MAGNÉTIQUEoù Φcirc est le ux magnétique à travers le ir uit. Il s'avère utile dans e ontexte de faire appel aupotentiel ve teur −→A dans l'expression du ux magnétique à travers une surfa e S s'appuyant sur le ir uit :Φcirc ≡

∫∫

S

−→B ·

−→dS =

∫∫

S

−→rot

−→A ·

−→dS =

circ

−→A ·

−→dl =

circ

−→A(M) ·

−−−→dOMoù dans la dernière expression, nous avons hoisi de dénoter par M le point d'intégration sur le ir uit.Mettant e résultat dans l'expression Wm = 1

2IΦ et en utilisant l'expression intégrale de l'éq.(7.18)pour le potentiel ve teur −→A(M), on obtient :Wm =

1

2I

circ

∫∫∫µ0

−→j (P )

PMdVP ·

−−−→dOM =

1

2

∫∫∫ ∮

circ

µ0

I−−−→dOM

PM·−→j (P )dVP

=1

2

∫∫∫−→A(P ) ·

−→j (P )dVPoù nous avons aussi fait appel à l'expression de l'éq.(7.19) pour le hamp −→

A généré par un ir uitliforme. Ces manipulations nous indiquent don , que l'énergie magnétique emmagasinée, Wm, peuts'exprimer en générale via l'intégrale volumique :Wm =

1

2

∫∫∫−→A ·

−→j dV (10.19)où l'intégrale s'ee tue sur tout l'espa e.Insérant la relation −→

rot−→H =

−→j dans ette équation et en faisant appel à l'identité 6 de hapitre 11sur les mathématiques, on obtient :

∫∫∫−→A ·

(−→rot

−→H)dV =

∫∫∫div(−→A ∧

−→H)dV +

∫∫∫−→H ·

(−→rot

−→A)dV

= ©

∫∫

(−→A ∧

−→H)· ndS +

∫∫∫−→H ·

−→BdV

=

∫∫∫−→H ·

−→BdV (10.20)où dans la dernière ligne nous avons utilisé le fait que l'intégrale surfa ique du terme −→

A ∧−→H · ndS,évaluée à l'inni soit nulle (puisque pour grand r, ||−→A|| ∝ 1/r et ||

−→H || ∝ 1/r2). Finalement, en serappelant que pour un milieu linéaire −→

H =−→B

µ0µr, on obtient une expression lo ale pour Wm é riteentièrement en termes du hamp magnétique :

Wm =1

2

∫∫∫−→H ·

−→BdV =

1

2µ0

∫∫∫ −→B2

µrdV (10.21)Un exemple de l'utilité de ette formule se trouve ave l'énergie emmagasinée dans une bobine. Enprenant les mêmes onditions que pour la bobine évalué dans la se tion pré édente on a ∥∥∥−→B int

∥∥∥ =

µ0NI/l à l'intérieur du ylindre de la bobine (de rayon R et de longueur l), et nul partout ailleurs. Laformule de l'éq.(10.21) nous donneWm =

1

2µ0

∫∫∫−→B2(−→r )dV =

−→B2

int

2µ0

∫∫∫

cylindredV =

(µ20N

2I2/l2)

2µ0

(πR2l

)

=1

2

µ0πR2N2

lI2Le omparaison ave l'équation (10.18) permet d'en déduire que L =

(µ0πR

2N2)/l en a ord ave e que nous avons trouvé dans l'éq.(10.17) i-dessus en faisant appel à des onsidérations de uxmagnétique. 133

Page 134: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 10. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE10.4.3 Bilan énergétique d'un ir uit éle triqueD'après la relation établie en éle tro inétique, la tension entre deux points A et B d'un ir uit vautVA − VB = RI − eoù e est la fém située entre A et B, R la résistan e totale et le ourant I ir ulant de A vers B. Etantpar ouru par un ourant, e ir uit (ou ette bran he du ir uit) va engendrer un hamp magnétique,don produire un ux à travers lui-même qui, si le hamp varie, va engendrer une fém (loi de Faraday)et on aura alors

VA − VB = RI + LdI

dtSi le ir uit est pla é dans un hamp magnétique extérieur −→Bext , le hamp total sera la somme du hamp induit et du hamp −→

Bext et l'équation seraVA − VB = RI + L

dI

dt+

dΦext

dt= RI + L

dI

dt− Ugenoù Ugen est la for e éle tromotri e venant de l'extérieur (toute autre sour e de for e éle tromotri epourrait en prin ipe être assimilée dans Ugen, mais les sour es de for e éle tromotri e alternatives sontle plus souvent de type indu tion).On obtient un ir uit fermé omplet en mettant les points B = A ave VA − VB = 0. Ainsi, un ir uit omposé d'un générateur délivrant une tension Ugen, d'une résistan e R, d'une bobine de self

L et d'un ondensateur de apa ité C ( ir uit RLC) aura pour équationUgen = RI + L

dI

dt+

Q

C(10.22)où I = dQ

dt est le ourant ir ulant dans le ir uit etQ la harge sur l'une des armatures du ondensateur.La puissan e fournie par le générateur se transmet au ir uit qui l'utilise alors de la façon suivante :P = UgenI

= I

(RI + L

dI

dt+

Q

C

)= RI2 +

d

dt

(1

2LI2

)+

d

dt

(1

2

Q2

C

) 'est-à-direP = PJ +

d

dt(Wm +We) (10.23)Une partie de la puissan e disponible est don onvertie en haleur (dissipation par eet Joule), tandisque le reste sert à produire des variations de l'énergie éle tromagnétique totale du ir uit. Dans un ir uit libre (où Ugen = 0), on voit que ette énergie totale diminue au ours du temps, entièrementre onvertie en haleur.

134

Page 135: able - Fresnel

Chapitre 11Annexe des mathématiques11.1 Formules utiles−−−→grad f =

−→∇ f = x

∂xf + y

∂yf + z

∂zf (11.1)

div−→A =

−→∇ ·

−→A =

∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z(11.2)

−→a ∧−→b =

∣∣∣∣∣∣∣

x y z

ax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣∣=

axayaz

bxbybz

= x (aybz − azby) + y (azbx − axbz) + z (axby − aybx) (11.3)−→rot

−→A =

−→∇ ∧

−→A =

∣∣∣∣∣∣∣

x y z∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣

= x

(∂Az

∂y−

∂Ay

∂z

)+ y

(∂Ax

∂z−

∂Az

∂x

)+ z

(∂Ay

∂x−

∂Ax

∂y

) (11.4)∆f ≡ div

−−−→grad f =

−→∇ ·

(−→∇ f

)=

∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2(11.5)11.2 Analyse ve torielle11.2.1 Le ux d'un hampSi dans la notion du ux on ressent ommunément une idée de mouvement, 'est sans doute par eque l'on parle du ux et du reux de l'eau. C'est aussi par e que les ux que l'on introduit en physiquesont souvent eux de ve teurs auxquels sont asso iées des dépla ements d'objets ou de uides.En fait, le ux est une dénition mathématique n'impliquant a priori au un mouvement. Pour un hamp de ve teur −→

A(r) et un élément de surfa e orienté −→dS pla é en −→r , un élément de ux dΦ estdéni par : dΦ =

−→A(−→r ) ·

−→dSLe ux total à travers une surfa e S est égal à la somme de es éléments de ux. L'expressionintégrale du ux à travers ette surfa e est don

ΦS =

∫dΦ =

∫∫

S

−→A(−→r ) ·

−→dSLe hamp éle trique est un hamp de ve teur et,en tant que tel, des éléments de ux lui sont asso iés.135

Page 136: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 11. ANNEXE DES MATHÉMATIQUES11.2.2 La divergen e du hampPrenons un petit volume dV autour d'un point P . On appelle dΦf le ux d'un hamp de ve teurs−→A à travers la surfa e fermée dS délimitant le volume dV. On appelle la divergen e du hamp −→

A, lalimite suivante lorsque dS et dV tendent vers 0div

−→A ≡ lim

dV→0

dΦf

dVOn trouvera qu'en oordonnées artésiennes, la divergen e s'exprimediv

−→A =

∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z(11.6)Un théroème important pour l'éle trostatique est le théorème de d'Ostrogradsky qui nous apprendque le ux d'un hamp −→

A à travers une surfa e fermée S est égale à l'intégrale du divergen e du hamp−→A sur le volume, V, délimitée par la surfa e :

©

∫∫

S

−→A ·

−→dS = ©

∫∫∫

Vdiv

−→A dV (11.7)11.2.3 Le rotationnel d'un hampConsidérons un hamp ve toriel −→A(x, y, z) et ses omposantes Ax(x, y, z), Ay(x, y, z) et Az(x, y, z).On appelle rotationnel de −→

A, le ve teur −→rot−→A dont les omposantes en oordonnées artésiennes sont−→rot

−→A =

(∂Az∂y −

∂Ay

∂z

)(∂Ax∂z − ∂Az

∂x

)(∂Ay

∂x − ∂Ax∂y

)

Une façon simple de se rappeler ette formule est l'expréssion déteminant :

−→rot

−→A =

∣∣∣∣∣∣∣

x y z∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣

= x

(∂Az

∂y−

∂Ay

∂z

)+ y

(∂Ax

∂z−

∂Az

∂x

)+ z

(∂Ay

∂x−

∂Ax

∂y

)Un théroème important pour le magnétostatique est un des théorèmes de Stokes qui nousapprend que la ir ulation de hamp −→A le long d'un ontour fermée C est égale au ux du rotationnelde −→

A à travers toute surfa e S s'appuyant sur C :∮

C

−→A ·

−→dl =

∫∫

S

−→rot

−→A ·

−→dS (11.8)11.2.4 L'opérateur nabla L'opérateur nabla noté −→

∇ est largement utilisé dans les ouvrages anglo-saxon. Il s'é rit−→∇ = −→x

∂x+−→y

∂y+−→z

∂z(11.9)don en oordonnées artésiennes, ses omposantes sont

−→∇ =

∂∂x∂∂y∂∂z

(11.10)136

Page 137: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 11.3. THÉORÈME DE GREEN-OSTROGRADSKYAve ette notation, le gradient d'un hamp s alaire V s'é rit (en oordonnées artésiennes)−−−→gradV =

−→∇V (11.11)La divergen e d'un hamp ve teur −→A s'é rit

div−→A =

−→∇ ·

−→A (11.12)et nalement le rotationnel d'un hamp ve teur −→A s'é rit

−→rot

−→A =

−→∇ ∧

−→A (11.13)Notamment

−→rot

−→A =

∂∂x∂∂y∂∂z

Ax

Ay

Az

=

∂Az∂y −

∂Ay

∂z∂Ax∂z − ∂Az

∂x∂Ay

∂x − ∂Ax∂y

(11.14)Attention : Cette notation peut servir omme aide-mémoire aux expressions de div, −−−→grad, etde −→

rot en oordonnées artésiennes, mais il ne faut pas oublier qu'elle ne mar he qu'en oordonnées artésiennes. En oordonnées ylindriques et sphériques, il faut revenir aux dénitions mathématiquesde es opérateurs an de retrouver leurs expressions orre tes.11.3 Théorème de Green-Ostrogradsky11.3.1 Enon é généralNous avons montré i-dessus que le ux de −→E à travers la surfa e (orientée normale sortante) quidélimite un petit ube est égale à la divergen e de −→

E multipliée par le volume de e ube. Ce i segénéralise à toute surfa e fermée et à tout ve teur −→A. Soit −→

A un hamp de ve teur, S une surfa efermée dont les éléments de surfa e −→dS sont orientés dans le sens de la normale sortante, et V le volumedélimité par la surfa e fermée.S

dS

V

dS

dS

On a de façon générale :©

∫∫

S

−→A ·

−→dS = ©

∫∫∫

Vdiv

−→A dV (11.15)Ave e théorème, on peut remonter au théorème intégrale de Gauss, (l'éq.(3.11)) à partir de sa formelo al : On remplaçe −→

A par −→E et on invoque la forme lo ale du théorème de Gauss, div−→E = ρǫ0

dans lese ond membre du théorème. Ensuite, puisque©

∫∫∫

Vρ dV = Qint e qui donne ∫

S

−→E ·

−→dS =

Qint

ǫ0où l'on retrouve l'expression intégrale du théorème de Gauss.137

Page 138: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 11. ANNEXE DES MATHÉMATIQUES11.3.2 ExempleL'appli ation de e théorème sur un volume quel onque et pour un hamp de ve teur non trivialest très vite ompliquée. Nous nous ontenterons de le vérier sur un hamp radial de omposante :Ax =

x

aAy =

y

aAz =

z

aet pour un volume délimité par une sphère de rayon R entrée à l'origine. −→A = −→r /a est un ve teurradial de norme r. Le ux de −→A à travers une sphère de rayon R est don

©

∫∫

S

−→A ·

−→dS =

R

a× 4πR2 =

4πR3

aOn obtient dire tement que div−→A = 3/a en tout point de l'espa e, et l'intégrale de la divergen e de

−→A sur le volume de la sphère est :

©

∫∫∫

Vdiv

−→A dV =

3

4

3πR3 =

4πR3

a e qui est en a ord ave le théorème de Green-Ostrogradsky.11.4 Théorème de Stokes11.4.1 Enon é généralThéorème 4 Le Théorème de Stokes s'é rit : La ir ulation d'un hamp ve toriel −→A le long d'un ontour C quel onque est égal au ux du rotationnel de −→A à travers toute surfa e s'appuyant sur C :

C

−→A ·

−→dl =

∫∫

S

−→rot

−→A ·

−→dS (11.16)11.4.2 ExempleVérier le théorème de Stokes pour −→

E =(z3, 2x, y2

) et pour un disque dans un plan z = Cte derayon R entré au dessus de l'origine.Réponse : En général−→rot

−→E =

∣∣∣∣∣∣∣

x y z∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ex Ey Ez

∣∣∣∣∣∣∣= x

(∂Ez

∂y−

∂Ey

∂z

)+ y

(∂Ex

∂z−

∂Ez

∂x

)+ z

(∂Ey

∂x−

∂Ex

∂y

)Pour e problème−→rot

−→E =

∣∣∣∣∣∣∣

x y z∂∂x

∂∂y

∂∂z

z3 2x y2

∣∣∣∣∣∣∣= x

(∂y2

∂y

)+ y

(∂z3

∂z

)+ z

(∂x

∂x

)

= 2yx+ 3z2y + 2zDans le plan z = 1, −→dS = dSz = dxdyz = dρρdφz et −→rot−→E = 2yx+ 3z2yy + 2z. On obtient don :∫∫

disque

−→rot

−→E ·

−→dS = 2

∫∫

disque

dS = 2πR2138

Page 139: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 11.5. IDENTITÉS D'ANALYSE VECTORIELLEPour al uler la ir ulation sur le périmètre du disque, il est pratique de paramétrer l'intégrale entermes de l'angle φ

−→dl = φRdφ = Rdφ

(−

y

Rx+

x

Ry)

x = R cosφ y = R sinφel la ir ulation de −→E sur le périmètre du disque s'exprime don

∮−→E ·

−→dl =

∫ 2π

0

(z3x+ 2xy + y2z

)·Rdφ

(−

y

Rx+

x

Ry)

= R

∫ 2π

0

(z3x+ 2R cosφy +R2 sin2 φz

)· (− sinφx+ cosφy) dφ

= R

∫ 2π

0

(−z3 sinφ+ 2R cos2 φ

)dφ = 2R2

∫ 2π

0cos2 φdφ

= 2πR2où nous avons utilisé la relation :cos (2α) = cos2 α− sin2 α ⇒ cos2 α =

1 + cos (2α)

2Don nous avons montré dans notre exemple que∮

cercle

−→E ·

−→dl =

∫∫

disque

−→rot

−→E ·

−→dS = 2πR2 e qui vérie le théorème de Stokes.11.5 Identités d'analyse ve torielle1. Montrer que −→

rot(−−−→grad f

)=

−→0 .Démonstration :

−−−→grad f = x

∂xf + y

∂yf + z

∂zf

−→rot

−−−→grad f =

∣∣∣∣∣∣∣

x y z∂∂x

∂∂y

∂∂z

∂f∂x

∂f∂y

∂f∂z

∣∣∣∣∣∣∣= x

(∂2f

∂y∂z−

∂2f

∂z∂y

)+ y

(∂2f

∂z∂x−

∂2f

∂x∂z

)+ z

(∂2f

∂x∂y−

∂2f

∂y∂x

)

=−→0 (11.17)

2. Montrer que div(−→rot

−→A)= 0.Démonstration :

div(−→rot

−→A)=

∂x

(∂Az

∂y−

∂Ay

∂z

)+

∂y

(∂Ax

∂z−

∂Az

∂x

)+

∂z

(∂Ay

∂x−

∂Ax

∂y

)

=

(∂2Az

∂x∂y−

∂2Ay

∂x∂z

)+

(∂2Ax

∂y∂z−

∂2Az

∂y∂x

)+

(∂Ay

∂z∂x−

∂2Ax

∂z∂y

)

= 0 (11.18)139

Page 140: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 11. ANNEXE DES MATHÉMATIQUES3. Montrer que div(f−→A)= (−−−→grad f) ·

−→A + f div

−→A.Démonstration :

∂xfAx +

∂yfAy +

∂zfAz

= Ax

(∂

∂xf

)+ f

(∂

∂xAx

)+Ay

(∂f

∂y

)+ f

(∂Ay

∂y

)+Az

(∂

∂zf

)+ f

(∂

∂zAz

)

= f

[(∂

∂xAx

)+

(∂Ay

∂y

)+

(∂

∂zAz

)]+Ax

(∂

∂xf

)+Ay

(∂f

∂y

)+Az

(∂

∂zf

)

= f div−→A + (

−−−→gradf) ·

−→A (11.19)4. Montrer que (−→rot−→rot)−→A =(−−−→graddiv−∆

)−→A où ∆ est le Lapla ien.Démonstration :

−→rot

−→A =

∣∣∣∣∣∣∣

x y z∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣= x

(∂Az

∂y−

∂Ay

∂z

)+ y

(∂Ax

∂z−

∂Az

∂x

)+ z

(∂Ay

∂x−

∂Ax

∂y

)

−→rot

−→rot

−→A =

∣∣∣∣∣∣∣

x y z∂∂x

∂∂y

∂∂z(

∂Az∂y −

∂Ay

∂z

) (∂Ax∂z − ∂Az

∂x

) (∂Ay

∂x − ∂Ax∂y

)

∣∣∣∣∣∣∣

= x

[∂

∂y

(∂Ay

∂x−

∂Ax

∂y

)−

∂z

(∂Ax

∂z−

∂Az

∂x

)]

+ y

[∂

∂z

(∂Az

∂y−

∂Ay

∂z

)−

∂x

(∂Ay

∂x−

∂Ax

∂y

)]

+ z

[∂

∂x

(∂Ax

∂z−

∂Az

∂x

)−

∂y

(∂Az

∂y−

∂Ay

∂z

)]

= −x

(∂2Ax

∂y2+

∂2Ax

∂z2

)− y

(∂2Ay

∂x2+

∂2Ay

∂z2

)− z

(∂2Az

∂x2+

∂2Az

∂y2

)

+ x∂

∂x

(∂Ay

∂y+

∂Az

∂z

)+ y

∂y

(∂Az

∂z+

∂Ax

∂x

)+ z

∂z

(∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y

)

= −x

(∂2Ax

∂x2+

∂2Ax

∂y2+

∂2Ax

∂z2

)− y

(∂2Ay

∂x2+

∂2Ay

∂y2+

∂2Ay

∂z2

)− z

(∂2Az

∂x2+

∂2Az

∂y2+

∂2Az

∂z2

)

+ x∂

∂x

(∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z

)+ y

∂y

(∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z

)+ z

∂z

(∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z

) e qui s'é rit :(−→rot

−→rot)−→A =

(−−−→grad div−∆

)−→A (11.20)5. Montrer que −→

rot(f−→A)=(−−−→grad f

)∧−→A + f

−→rot

−→A140

Page 141: able - Fresnel

Ele tromagnétisme 11.6. EXERCICES D'ANALYSE VECTORIELLEDémonstration :−→rot

(f−→A)= x

(∂ (fAz)

∂y−

∂ (fAy)

∂z

)+ y

(∂ (fAx)

∂z−

∂ (fAz)

∂x

)+ z

(∂ (fAy)

∂x−

∂ (fAx)

∂y

)

= x

(Az

∂f

∂y−Ay

∂f

∂z

)+ y

(Ax

∂f

∂z−Az

∂f

∂x

)+ z

(Ay

∂f

∂x−Ax

∂f

∂y

)

+ xf

(∂Az

∂y−

∂Ay

∂z

)+ yf

(∂Ax

∂z−

∂Az

∂x

)+ zf

(∂Ay

∂x−

∂Ax

∂y

)

=

∣∣∣∣∣∣∣

x y z∂f∂x

∂f∂y

∂f∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣+ f

−→rot

−→A

=(−−−→grad f

)∧−→A + f

−→rot

−→A (11.21)6. Montrer que div

(−→A ∧

−→B)=

−→B ·

(−→rot

−→A)−−→A ·

(−→rot

−→B)Démonstration :

−→A ∧

−→B = x (AyBz −AzBy) + y (AzBx −AxBz) + z (AxBy −AyBx)

div(−→A ∧

−→B)=

∂x(AyBz −AzBy) +

∂y(AzBx −AxBz) +

∂z(AxBy −AyBx)

=

(Bz

∂Ay

∂x+Ay

∂Bz

∂x−By

∂Az

∂x−Az

∂By

∂x

)

+Bx∂Az

∂y+Az

∂Bx

∂y−Bz

∂Ax

∂y−Ax

∂Bz

∂y

+By∂Ax

∂z+Ax

∂By

∂z−Bx

∂Ay

∂z−Ay

∂Bx

∂z

= Bx

(∂Az

∂y−

∂Ay

∂z

)+By

(∂Ax

∂z−

∂Az

∂x

)+Bz

(∂Ay

∂x−

∂Ax

∂y

)

−Ax

(∂Bz

∂y−

∂By

∂z

)−Ay

(∂Bx

∂z−

∂Bz

∂x

)−Az

(∂By

∂x−

∂Bx

∂y

)

=−→B ·

(−→rot

−→A)−

−→A ·

(−→rot

−→B) (11.22)11.6 Exer i es d'Analyse ve torielle1. Cal uler −→rot r

r2.Réponse : On se rappel que

r ≡−→r

r=

xx+ yy + zz

(x2 + y2 + z2)1/2don on a−→rot

r

r2=

−→rot

−→r

r3=

∣∣∣∣∣∣∣

x y z∂∂x

∂∂y

∂∂z

xr3

yr3

zr3

∣∣∣∣∣∣∣

= x

(∂

∂y

z

r3−

∂z

y

r3

)+ y

(∂

∂z

x

r3−

∂x

z

r3

)+ z

(∂

∂x

y

r3−

∂y

x

r3

)

= −x3

r5(zy − yz)− y

3

r5(xz − zx) + z

3

r5(yx− xy) =

−→0141

Page 142: able - Fresnel

Ele tromagnétisme CHAPITRE 11. ANNEXE DES MATHÉMATIQUES2. Considérer le hamp de ve teurs −→E = (−y, x, 0) /(x2 + y2

). Cal uler son rotationnel et sa ir u-lation sur un er le de rayon R dans le plan xy entré à l'origine. −→E dérive-t-il d'un potentiel ?Réponse : Le rotationnel de −→E

−→rot

−→E =

∣∣∣∣∣∣∣

x y z∂∂x

∂∂y

∂∂z

− y(x2+y2)

x(x2+y2) 0

∣∣∣∣∣∣∣

=

(∂

∂x

x

(x2 + y2)+

∂y

y

(x2 + y2)

)z

=

(2

(x2 + y2)−

2x2

(x2 + y2)2−

2y2

(x2 + y2)2

)z

=−→0sauf sur l'axe z (x → y → 0) où il est mal déni. A ause de problème sur l'axe, on a pas le droitd'armer que −→

E dérive d'un potentiel, par eque pour éla il faut démontrer que −→rot

−→E =

−→0partout.On al ul maintenant sa ir ulation sur un er le de rayon R dans le plan xy entré à l'origine.Le dépla ement le long d'un er le de rayon R est

−→dl = Rdφφ = Rdφ

(−

y

Rx+

x

Ry)ave la ontrainte

x2 + y2 = R2La ir ulation sur e er le est don ∮

cercle

−→E ·

−→dl =

∫ 2π

0

−yx+ xy

R2·(−

y

Rx+

x

Ry)Rdφ

=1

R2

∫ 2π

0(−yx+ xy) · (−yx+ xy) dφ

=1

R2

∫ 2π

0

(x2 + y2

)dφ =

∫ 2π

0dφ

= 2πLe théorème de Stokes nous di te que∫∫

S

−→rot

−→E ·

−→dS =

cercle

−→E ·

−→dlet on peut don on lure que ∫∫

S

−→rot

−→E ·

−→dS = 2πpour n'importe quelle surfa e S qui s'appuie sur le er le. On peut en on lure que le rotationnelde −→

E n'est pas nul sur l'axe z. et par onséquen e le hamp −→E ne dérive pas d'un potentiel.

142