A1663 techniques de l'ingénieur mécanique générale, développement de la cinématique

A 1

66

3

7 -

1996

Mécanique générale

Développement de la cinématiquepar Jean-Pierre BROSSARD

Professeur de mécanique à l’Institut National des Sciences Appliquées (INSA) de Lyon

ous avons divisé cette étude en trois parties pour permettre son utilisationcommode à plusieurs niveaux.

La cinématique plane a une importance considérable dans le domaine tech-nique. On trouve son utilisation directe dans la théorie des engrenages à axesparallèles, des cames et des courbes roulantes, ou de divers mécanismes. Elleest, par exemple, à l’origine de l’étude du modèle de base en dynamique duvéhicule.

La cinématique spatiale a reçu un développement important car, pour denombreuses questions pratiques, la réduction à un mouvement plan sur planne pouvait être effectuée. Mathématiquement, la complexité est beaucoup plusgrande, car il faut aborder les problèmes de courbes gauches, de surfaces etd’enveloppes.

Par ailleurs, en ce domaine, les sources facilement utilisables sont rares, cequi a rendu nécessaires un certain nombre de développements préalables. Lacinématique spatiale est seulement envisagée ici comme une préparation à cer-taines questions de cinématique appliquée.

La cinématique appliquée n’a pas reçu un traitement exhaustif. Ce n’était pasle lieu dans un traité général. Nous avons essentiellement montré comment lesméthodes générales pouvaient s’appliquer plus concrètement.

On trouvera de nombreuses applications de ces méthodes dans les partiesspécialisées du traité Génie mécanique.

1. Cinématique plane................................................................................... A 1 663 - 21.1 Définition du centre instantané de rotation............................................... — 21.2 Détermination du CIR.................................................................................. — 21.3 Distribution des vitesses des points appartenant au plan (P2)................ — 31.4 Enveloppe d’une courbe du plan mobile................................................... — 41.5 Théorème des trois plans glissants ........................................................... — 51.6 Exemple général de synthèse..................................................................... — 71.7 Construction et formule d’Euler-Savary .................................................... — 101.8 Distribution des accélérations des points du plan mobile ....................... — 131.9 Construction de Bobillier. Droite de Bobillier............................................ — 15

2. Cinématique spatiale .............................................................................. — 172.1 Courbes gauches ......................................................................................... — 172.2 Surfaces........................................................................................................ — 212.3 Enveloppes................................................................................................... — 292.4 Surfaces réglées .......................................................................................... — 312.5 Surfaces réglées développables................................................................. — 352.6 Surfaces axoïdes.......................................................................................... — 37

3. Cinématique appliquée .......................................................................... — 393.1 Machine au sens général ............................................................................ — 393.2 Forme générale de l’expression cinématique d’une machine................. — 393.3 Réalisation d’un rapport de vitesses constant. Engrenages .................... — 433.4 Courbes roulantes ....................................................................................... — 483.5 Principe de l’établissement d’une came.................................................... — 53

N

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MÉCANIQUE GÉNÉRALE _________________________________________________________________________________________________________________

1. Cinématique plane

En cinématique générale, nous avons évoqué (cf. article Ciné-matique générale [A 1 661]) une catégorie particulière de mouve-ment de solide : les mouvements plans.

Si l’on considère deux solides (S1) et (S2) ayant un tel mouvement,chaque point de (S2) se déplace dans un plan de (S1). Il existe uneinfinité de plans de (S2) qui restent en coïncidence. Nous avons ainsivu (cf. article Cinématique générale [A 1 661]) que l’étude de telsmouvements se ramène à l’étude d’un plan (P2) lié à (S2) et qui resteen coïncidence avec un plan (P1) lié à (S1). On parle alors de mou-vement plan sur plan.

1.1 Définition du centre instantanéde rotation

Soit deux plans (P1 ) et (P2 ) constamment en coïncidence(figure 1) :

— à (P1), on lie le repère (R1) : ; (P1) est

confondu avec le plan ;

— à (P2), on lie le repère (R2) : ; (P2) est

confondu avec le plan .

On repère l’origine de (R2) sur (R1) par :

On repère l ’orientation de (R2) par rapport à (R1) par

.

Les deux repères (R1) et (R2) sont animés d’un mouvementsplan.Le mouvement est une rotation instantanée autour d’un axe (∆21)perpendiculaire à (P1) et (P2).

On a donc :

On peut en avoir une illustration intuitive en considérant le casd’un polygone régulier. En contact avec la droite support (figure 2),

le polygone peut tourner autour de son sommet, alors .On comprend aisément que l’on peut passer du polygone au cercle.C’est ainsi que Descartes a dégagé cette notion. Nous allons donc,dans ce qui suit, apprendre à déterminer le CIR très rigoureusementet systématiquement.

1.2 Détermination du CIR

1.2.1 Détermination vectorielle

Soit et les éléments du torseur des vitesses. On

peut appliquer la théorie faite en cinématique du solide (cf. articleCinématique générale, [A 1 661]). Le centre instantané de rotationest le point I*, pied de la perpendiculaire abaissée de O2 sur (∆21) :

(1)

avec ,

.

Remarquons que si , le CIR est à l’infini ; le mouvementest alors une translation.

À partir de cette formulation générale, nous aurons à déterminerles coordonnées de ce point dans les divers systèmes d’axes.

1.2.2 Détermination analytique

Donnons-nous les éléments du torseur distributeur des vitessesdans les repères (R1) et (R2) réduit en O2 .

Dans (R1) :

1re définition du CIR

On appelle centre instantané de rotation (en abrégé CIR) lepoint où (∆21) perce les plans (P1) et (P2).

2e définition du CIR

Si I ∈ (∆21), on a . D’où :

le centre instantané de rotation à l’instant t est le pointgéométrique coïncidant à t avec le point ∈ (P2) dont la vitessepar rapport à (P1) est nulle à cet instant.

O1 ; x 1 , y 1 , z 1 ( )

O1 ; x 1 , y 1 ( )

O2 ; x 2 , y 2 , z 2 ( )

O2 ; x 2 , y 2

( )

O1O2

x 0

y 0

0 R1

=

ψ x 1 , x 2 ( ) =

Ω 21 ψ ′ z 1 ψ ′ z 2==

v 21 I( ) 0 =

v 21 I( ) 0 =

Figure 1 – Repérage des plans (P

1

) et (P

2

)

Figure 2 – Illustration intuitive du CIR

v 21

O2( ) Ω 21

O2I*Ω 2

1 v 21 O2( )∧

Ω 21 2

----------------------------------------=

Ω 21 ψ ′ z 1=

Ω 21 ψ ′ z 2=

ψ ′ 0=

Ω

21

00

ψ

′

R

1

=

v

21

O

2

( )

x ′ 0

y

′

0

0

R

1

=

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.A 1 663 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales

________________________________________________________________________________________________________________ MÉCANIQUE GÉNÉRALE

Dans (R

2

) :

Remarque :

et sont les composantes du même vecteur

respectivement dans (R

1

) et (R

2

). Et l’on a :

On peut déterminer les coordonnées de

I

(mis pour

I

*) pour chacundes repères.

1.2.3 Coordonnées de

I

dans (R

2

)

Désignons par (

x

2

,

y

2

, 0) les coordonnées de

I

(mis pour

I

*)dans (R

2

) :

d’après (1)

D’où :

(2)

1.2.4 Coordonnées de

I

dans (R

1

)

Désignons par

x

1

et

y

1

les coordonnées de

I

dans (R

1

) :

(3)

Nous étudierons en détail une détermination de CIR au para-graphe 1.6.1.2.

1.2.5 Propriétés : base et roulante

Propriétés

D’après la définition .

Soit

I

, point géométrique (mobile fictif se trouvant toujours encoïncidence avec le CIR) :

sont portés respectivement par les tangentes à(B) et (R). Par suite, les deux courbes sont tangentes. Comme

, elles roulent sans glisser l’une sur l’autre.

On peut donc restituer le mouvement de la manière suivante :— à (P

1

) on lie (B) ;— à (P

2

) on lie (R) ;

et l’on fait rouler (R) sur (B) sans glisser.

1.3 Distribution des vitesses des points appartenant au plan (P

2

)

Soit

I

le CIR et M

∈

(P

2

) :

D’où : à l’instant

t

, la distribution des vitesses est la même quesi l’on avait une rotation autour du point

I

à la vitesse angulaire

.

C’est ce que l’on connaissait déjà d’après la théorie du mou-vement plan d’un solide.

Conséquence : normales aux trajectoires des pointsdu plan mobile

D’après la formule précédente, est perpendiculaire à :

il est donc porté par la normale à la trajectoire du point M

∈

(P

2

).

Définition

: au cours du mouvement,

I

se déplace sur (P

1

) et sur(P

2

). La trajectoire de

I

sur (P

1

) est appelée base (B). La trajectoirede

I sur (P2) est appelée roulante (R) (figure 3). Rappelons, tou-tefois, qu’il s’agit de mouvements relatifs. On a donc défini pré-cédemment les coordonnées paramétriques de la base et de laroulante.

Ω 21

00

ψ ′ R2

= v 21 O2( )

vx

vy

0 R2

=

x ′0 , y ′ 0 , 0 ( ) vx , v y , 0 ( )

x ′0y ′00 R1

ψcos ψ sin – 0 ψ

sin

ψ

cos 0

0 0 1

v x v

y

0

R

2

=

O2Ix 2

y2

0 R2

;x 2

y2

0 R2

00

ψ ′ R2

vx

vy

0 R2

∧

ψ ′ 2---------------------------------------------==

x 2 v

y ψ ′ ---------–= ; y 2 +

v

x ψ ′ ---------=

O1I O1O2 O2I ; O1O2 x0 , y 0 , 0 [ ] R 1

=+=

O

2

I

00

ψ

′

R

1

=

x ′0y ′00 R1

1ψ ′2-----------⋅∧ ; O2I

y

′

0 ψ ′ ----------– ,

x

′ 0 ψ

′ ---------- , 0

R

1

=

x 1 x0y ′0ψ ′--------– ; y1 y0

x ′0ψ ′--------+==

Figure 3 – Positions relatives de la roulante et de la base

Théorème

: au cours du mouvement, la roulante roule sansglisser sur la base et les deux courbes sont tangentes.

D’où le

théorème

à l’instant

t

, toutes les normales aux tra-jectoires des différents points de (P

2

) passent par le centre ins-tantané de rotation.

v 21 I( ) 0 =

v1 I( ) v 2 I( ) v21 I( )+=

v1 I( ) v 2 I( )=

I : CIR( )

v1 I( ) et v 2 I( )

v21 I( ) 0 =

v 21 M( ) v 2

1 I( ) Ω 21 IM∧+=

v 21 M( ) Ω 2

1 IM∧=

ψ ′ Ω 21 ψ ′ z 1 =

IM v21 M( )



Application : détermination du CIR de certains systèmes

1.4 Enveloppe d’une courbe du plan mobile

À (P

2

) on lie une courbe (C

2

). Au cours du mouvement, (C

2

) restetangente à (C

1

) liée à (P

1

) (figure

5

).

1.4.1 Théorème

Soit M le point de contact : calculons sa vitesse dans le repère(R

1

) à l’aide du théorème de composition des vitesses :

mais est perpendiculaire à , donc

le vecteur est porté par la tangente commune

à (C

1

) et (C

2

).

Donc , perpendiculaire à , est porté par lanormale commune à (C

1

) et (C

2

).

1.4.2 Applications

Tracé de la tangente à certaines courbes

Théorème de l’équerre

Soit une courbe (C

1

)

∈

(P

1

) et une repère tel que

demeure tangent à la courbe (C

1

). On peut le matérialiserpar une équerre constituant un plan (P

2

) (figure

7

).

Exemple :

détermination du CIR de la bielle (S

2

) par rapport aubâti (S

1

) dans un système bielle-manivelle (figure

4

).Le point A de (S

2

) décrit le cercle de centre O et de rayon OA. Le CIRse trouve sur le rayon OA (normale à la trajectoire).

Le point B de (S

2

) décrit la droite O

x

1

, le CIR se trouve donc sur lanormale en B à cette droite.

Conclusion : le CIR se trouve à l’intersection de OA et de la normaleen B à la trajectoire de B. C’est le point I12 .

Figure 4 – Détermination du CIR dans un système bielle-manivelle

Figure 5 – Localisation de I sur la normale

v 1 M( ) v 2 M( ) v 21 M( )+=

v 21 M( ) IM v 2

1 M ( ) Ω 21 I M ∧ =

v 1 M( ) v 2 M( )–

D’ou le

théorème

: le centre instantané de rotation est sur lanormale commune aux deux courbes.

Exemple :

tracé de la tangente aux conchoïdes (figure

6

).Le solide (S

2

) est une barre AB astreinte à passer par un point O dusolide fixe (S

1

) et dont l’extrémité A décrit une droite O

1

y

1

du solide (S

1

).Le CIR

I

21

se trouve sur la normale en A à O

1

y

1

et comme la droiteAB enveloppe le point O, le CIR se trouve sur la normale en O à AB.

Le CIR est donc à l’intersection des deux normales. La tangente à laconchoïde est normale à

I

21

B.

Figure 6 – Exemple de tracé de la tangente aux conchoïdes

Figure 7 – Équerre de Frenet

IM v 1 M( ) v 2 M( )–

M ; x 2 , y 2 , z 2 ( )

M ; y 2 ( )



— enveloppe la courbe (C

1

). Le CIR

I

12

est sur la

normale commune .

— La roulante est donc , puisque cette courbe est lelieu de

I

dans le plan mobile.

— La normale enveloppe la développée (

Γ

1

) de (C

1

).

Or, la courbe (

Γ

1

) est la base du mouvement car est laroulante.

Le point de contact

I

12

est donc à la fois :• point caractéristique de l’enveloppe de la normale, c’est-à-dire

aussi centre de courbure,• centre instantané de rotation du mouvement de (P

2

) par rapportà (P

1

).

1.5 Théorème des trois plans glissants

1.5.1 Théorème

Soit trois plans (P

1

), (P

2

), (P

3

) glissant l’un sur l’autre. Pourchaque mouvement relatif (P

i

)/(P

j

), on peut définir un CIR

I

ij

.

Le nombre de CIR est :

Soit M

∈

(P

3

) :

On obtient donc le double résultat suivant :

D’où le

théorème

: lorsque M décrit la courbe (C

1

), le centreinstantané de rotation du mouvement de (P

2

)/(P

1

) est le centre de

courbure de la courbe (C

1

). La normale roule sans glis-ser sur la développée (

Γ

1

) de (C

1

).

Les CIR

I

31

,

I

32

et

I

21

sont alignés et

I

31

est le barycentre de

I

32

et

I

21

affectés des coefficients .

M ; y 2 ( )M ; x 2 ( )

M ; x 2 ( )

M ; y 2 ( )

M ; x 2 ( )

M ; x 2 ( )

n C 32 3= =

P2( ) P1( ) I21→ I21 I12≡( )

P3( ) P2( ) I32→ I32 I23≡( )

P1( ) P3( ) I13→ I13 I31≡( )

ω 31

z I31M∧ z normal à P1( ), P 2 ( ) , P 3 ( )[ ] =

v

31

M

( )

Ω

31

I31M∧=

v 31 M( ) v 3

2 M( ) v 21 M( )+=

Ω 32

I32M∧ Ω 21 I21M∧+=

z ω 32

I32M ω 21 I21M +∧=

z ω 31 I31M∧ z ω 3

2I32M ω 2

1 I21M +∧=

ω 31 I31M ω 3

2 I32M ω 21 I21M+=

ω 31 MI31 ω 3

2 MI31 ω 21 MI31+=

ou 0 ω 32 I 31 I 32 ω 2

1 I 31 I 21 +=

ω 32 et ω 2

1

Exemple :

trouver la base et la roulante (trajectoire de

I

12

) dans lerepère (R

1

) et dans le repère (R

2

) respectivement.(P

1

) tourne autour de O

1

de (P

0

) ; (P

2

) tourne autour de O

2

de (P

0

)(figure

8

a

).

On impose de plus que .

À (P

0

) on lie (R

0

) est

porté par l’axe de rotation de (P

1

)/(P

0

), donc :

On se propose de chercher

I

21

.

I

21

est aligné avec

I

20

et et l’on a :

mais :

Le point

I

21

est un point fixe de O

1

O

2

. Par suite, la base est une

cercle de centre O

1

et de rayon et la roulante un cercle

de centre O

2

et de rayon (figure

8

b

).

Figure 8 – Exemple de recherche de base et de roulante

Ω 20

Ω 10

------------ k Cte= =

O1 ; x 0 , y 0 , z 0 ( ) tel que x 0 O

1 O

2

d -------------------= ; z 0

y0 z 0 x 0∧=

I10 O1≡ I20 O2≡

I10 I10≡

ω 20 I21I20 ω 0

1 I21I10+ 0=

I10I20 d x0=

ω 20 I21I10 I10I20 + ω 0

1 I21I10 + 0=

ω 20d x 0 I21I10 ω 0

1 ω 20

+( )+ 0=

I10I21 d ω

20

ω

20 ω

01

+----------------------- x 0 =

I

10

I

21

d k

k 1

–-------------- x 0 =

r1 | O1I21 |=

r2 | O2I21 |=



1.5.2 Application du théorème des trois plans glissants à la détermination de certains CIR d’un système formé de N plans glissants (N > 3)

1.5.2.1 Nombre de CIR

Soit un système formé de N plans glissant les uns sur les autres.Le nombre de CIR est égal au nombre de combinaisons que l’on peutfaire en prenant deux plans parmi les N plans formant le système :

1.5.2.2 Table et cercle des CIR

Table des CIR

On trace autant de colonnes et de lignes qu’il y a d’éléments. Oncommence par un élément quelconque et on le combine avec leséléments successifs (figure 10).

Il y a naturellement seulement 6 CIR (I12 ≡ I21). Nous choisironsceux au-dessus de la diagonale (cf. figure 12).

Cercle des CIR

Le nombre de CIR étant égal au nombre de combinaisons quel’on peut faire en prenant deux éléments parmi N, ce nombre estégal au nombre de segments que l’on peut tracer en joignant deuxà deux N points tracés sur un cercle (figure 11).

1.5.2.3 Localisation des CIR inconnus

Certains CIR sont connus directement. On les barre sur la tabledes CIR ou on réunit les indices correspondants par un trait fort surle cercle des CIR (figure 12).

On va obtenir les CIR inconnus à l’intersection de deux lignesdroites portant des CIR alignés avec celui que l’on recherche.

Détermination de I13

I13 appartient au mouvement de (P1)/(P3). Afin de pouvoir appli-quer le théorème des trois plans glissants, combinons les éléments(1) et (3) avec respectivement (2) (figure 13a ) et (4) (figure 13b ).

D’après le théorème des trois plans glissants appliqué successi-vement :

I13 est aligné avec I12 et I23 et I13 est aligné avec I14 et I34 .

Le CIR I13 se trouve donc à l’intersection des droites I12I23 etI14I34 .

Nous pouvons barrer I13 sur la table des CIR ou joindre lespoints 1 et 3 sur le cercle des CIR.

Détermination de I24

On combine les éléments (2) et (4) avec les éléments (1)(figure 13c ) et (3) (figure 13d ).

I24 est aligné avec I12 et I14 et I24 est aligné avec I23 et I34 .

Le CIR I24 est donc à l’intersection des droites I12I14 et I23I34 .

Tous les CIR sont maintenant connus. Le tableau est entièrementbarré et les lignes du cercle sont en trait plein (figure 14a ).

On peut les localiser géométriquement, notamment ceux quisont inconnus (figure 14b ).

Exemple : soit un système formé de quatre plans glissants, parexemple un système articulé formé de quatre barres (figure 9). Il existede nombreuses méthodes pour inventorier les centres instantanés derotation ; nous en indiquerons deux.

Dans ce cas, le nombre de CIR est :

On dresse soit la table, soit le cercle des CIR.

Figure 9 – Système formé de 4 plans glissants :centres instantanés de rotation

Figure 10 – Table des CIR

n C N2 n N N 1–( )

2---------------------------==

n 4 3×2

-------------- 6= =

Figure 11 – Cercle des CIR

Figure 12 – Localisation des CIR connus a priori



1.6 Exemple général de synthèse

Les extrémités A et B d’une barre AB de longueur 2 L sont assu-

jetties à rester sur deux axes rectangulaires

(figure 15a ).

On se propose de déterminer :— la base et la roulante ;— l’enveloppe de AB ;— la trajectoire d’un pont appartenant à AB ;— la trajectoire d’un point quelconque appartenant à la roulante.

La barre AB peut être considérée comme un plan (P2) se dépla-çant sur un plan (P1).

1.6.1 Base et roulante

On peut déterminer le CIR graphiquement ou analytiquement ouparfois par une combinaison des deux méthodes.

1.6.1.1 Méthode graphique

A et B appartiennent au plan (P2) (figure 15).

— A décrit O1x1 . I12 est sur la normale en A à O1x1 .

— B décrit O1y1 . I12 est sur la normale en B à O1y1 .

Base

On lie I12 aux éléments du plan (P1)

O1I12 = 2 L (rectangle)

I12 décrit sur (P1) le cercle de centre O1 et de rayon 2 L.

Roulante

On relie I12 aux éléments du plan mobile (P2). On voit AB sousun angle droit. I12 décrit sur (P2) le cercle de diamètre AB (rayon L )et de centre O2 milieu de AB.

1.6.1.2 Méthode analytique

Nous utiliserons le résultat du paragraphe 1.2. Il convient d’abordde repérer le système.

Figure 13 – Localisation des CIR inconnus ;détermination de I13 et de I24

Figure 14 – Tableau complet des CIRet localisation géométrique des CIR inconnus

Figure 15 – Détermination géométrique du CIR

O1 ; x 1 ( ) et O 1 ; y 1 ( )



On prend un système d’axes liés à (R2) d’origine O2 , milieu deAB, tel que (figure 16) :

On repère O2 par la relation :

On repère la rotation par :

Un mouvement plan nécessite l’usage de 3 paramètres : x0 , y0 , ψ.Le solide (S2) n’est pas un solide libre. La barre AB a ses extrémités

sur . Les paramètres sont donc liés par une rela-tion de liaison. Ce sera toujours le cas.

Relation de liaison

On écrit que l’ordonnée de A et l’abscisse de B sont nulles :

avec

Détermination des éléments de réduction

Il faut connaître la vitesse d’un point et le vecteur rotation :

Coordonnées de I (I21), relativement à (R1) (base)

Il suffit de remplacer les vecteurs par leurs coordonnées sur (R1) :

x1 = 2L sinψ ; y1 = 2L cos ψ

C’est l’équation d’un cercle centré en O1 , de rayon 2 L. L’équationcartésienne est :

Coordonnées de I (I21), relativement à (R2) (roulante)

Il suffit de remplacer dans la formule vectorielle les vecteurs parleur expression sur (R2) :

x2 = L sin 2ψ ; y2 = L cos 2ψ

C’est un cercle de centre O2 et de rayon L. Son équation cartésienneest :

Base et roulante sont représentées sur la figure 17.

1.6.2 Enveloppe de AB

1.6.2.1 Méthode géométrique

On utilise les résultats du paragraphe 1.5.2 (figure 15). La droiteAB est une courbe (C2) du plan (P2). Le point de contact de AB avecson enveloppe est le point M, pied de la perpendiculaire abaisséede I sur AB (figure 17).

Le point M est sur le cercle de diamètre O2I qui roule sans glissersur le cercle de centre O1 et de rayon O1I.

Le point M décrit donc une hypocycloïde à 4 rebroussements ouastroïde.

y2AB2L

-----------=

x2 y2 z2∧= z2 z1 x2 y1∧= =

O1O2

x 0

y0

0 R1

=

ψ x1 , x 2 =

O1; x 1 ( ) et O 1 ; y 1 ( )

O1B x0 L ψ sin – ( ) x 1 y 0 L ψ cos + ( ) y 1 +=

O

1

A x

0

L ψ sin + ( ) x 1 y 0 L ψ cos – ( ) y 1

+=

x0 L ψ sin – 0 = y

0

L ψ cos – 0 =

v 2

1O2( ), 2

1

v 21 O2( ) x ′0 , y ′0 , 0[ ]R1

=

v 21 O2( ) ψ ′L ψ ,cos ψ ′ L ψ , sin 0 – [ ] R 1

=

v

21

O

2

( )

ψ

cos

ψ

sin 0 ψ sin – ψ cos 0

0 0 1

ψ

′

L ψ cos ψ ′ L ψ sin –

0

R

1

=

v

21

O

2

( )

ψ

′

L 2 ψ ,cos ψ ′ L 2 ψ , 0 sin – [ ] R 2

=

Ω

21

ψ

′

z

1 ; Ω 21 ψ ′ z 2 ==

O1I O1O2 O2I+=

O2IΩ 2

1v 2

1 O2( )∧

Ω 21 2

----------------------------------------=

Figure 16 – Repérage pour la détermination analytique du CIR

Ω 21 ψ ′ z1=

v 21 O2( ) x ′0 ,y ′0 ,0[ ]R1

=

v 21 O2( ) ψ ′L ψ ,cos ψ ′ L ψ sin , 0 – [ ] R

1 =

O

2

I

L ψ sin , L ψ ,cos 0 [ ] R 1

=

O

1

I

2L ψ sin , 2L ψ ,cos 0 [ ] R 1

=

x 12 y 1

2+ 4L2=

Ω 21 ψ ′z 2=

v 21 O2( ) ψ ′L 2ψ ,cos ψ ′L 2ψsin , 0–[ ]R2

=

O2I L 2ψsin , 2ψ ,cos 0[ ]R2=

x 22 y 2

2+ L2=



1.6.2.2 Méthode analytique

On utilise la méthode classique de détermination des enveloppes.

Équation de la droite

On écrit l’équation de la droite dans le repère (R

1

). Elle est de laforme :

ax

+

by

+

cz

= 0

a

,

b

sont les composantes d’un vecteur normal :

a

= cos

ψ

,

b

= sin

ψ

Cette droite passe par O

2

, ce qui détermine :

L sinψ cosψ + L sinψ cosψ + c = 0

En définitive, l’équation est donc :

x cosψ + y sinψ – L sin2ψ = 0 (4)

L’équation dérivée par rapport à son paramètre est :

– x sinψ + y cosψ – 2 L cos2ψ = 0 (5)

On obtient l’équation paramétrique de l’enveloppe en résolvantle système formé des équations (4) et (5) :

d’où

et

C’est, en coordonnées paramétriques, l’équation d’une astroïde.Son équation cartésienne est :

1.6.3 Trajectoire d’un point appartenant à AB

C’est la génération classique de l’ellipse par la bande de papier(figure 18).

1.6.4 Trajectoire d’un point quelconquede la roulante

Soit M ∈ à la roulante (R) (figure 19) :

passe donc par O1 . Or, si la vitesse passe constam-ment par un point fixe, la trajectoire est une droite passant par cepoint.

En effet, repérons le point M dans (R1) en coordonnées polaires :

mais

On a donc :

x 2L sin3ψ=

y 2L cos3ψ= ψsin x

2L--------- 1 3⁄

=

ψcos y2L---------

1 3⁄=

x2L---------

2 3⁄

y2L---------

2 3⁄+ 1=

v 21 M( ) Ω 2

1 IM∧=

v 21 M( ) IM⊥

O1M ρ i =

v

21

M

( )

ρ

′ i ρ didt ---------+=

v 21 M( ) λ i =

didt-------- 0=

Figure 17 – Enveloppe de AB

Figure 18 – Trajectoire d’un point de AB

Figure 19 – Trajectoire d’un point quelconque de la roulante



est donc un vecteur fixe et la trajectoire du point M est unedroite. Donc, tout point de la roulante décrit un diamètre de la base(c’est un résultat déjà connu : une hypocycloïde à deux rebrousse-ments est une droite).

Les propriétés que nous venons de voir ont conduit à la réalisationd’un mécanisme qui a eu de nombreuses applications pour faire destranslations rectilignes sans utiliser explicitement des liaisons pris-matiques du type glissière.

1.6.5 Mécanisme à décrire la ligne droite (mécanisme de Cardan)

Le solide (S

1

) fixe est constitué par une roue dentée à contactintérieur de centre O

1

et de rayon 2

L

(base).

Le solide (S

2

) est constitué par une roue dentée à contactextérieur de centre O

2

et de rayon

L

(roulante).

Une manivelle (S

3

) est destinée à assurer le mouvement de O

2

.

Lorsque (S

2

) roule sans glisser sur (S

1

), un point B

2

de la roulante(S

2

) a une trajectoire rectiligne dans (S

1

) (diamètre du cercle de base).

La bielle (S

4

) est donc animée d’un mouvement rectiligne alter-natif (figure

20

).

1.7 Construction et formule d’Euler-Savary

Au cours d’un mouvement, une courbe (C

2

) liée au plan (P

2

) sedéplace sur le plan (P

1

). Cette courbe a une enveloppe (C

1

) liée à (P

1

).Le problème est de caractériser cette enveloppe, notamment par soncentre de courbure. On peut naturellement étendre le champ d’appli-cation de cette théorie au cas de la trajectoire des points de (P

2

) :un point peut être considéré comme un cercle point ; l’enveloppeest la trajectoire. La construction d’Euler-Savary est une méthodegraphique que l’on formalise.

1.7.1 Construction d’Euler-Savary

Précisons les données du problème (figure

21

). On connaît labase (B) et la roulante (R) et leurs centres de courbure respectifs G

1

et G

2

. Base et roulante sont en contact en

I

où il y a roulement sansglissement. Une courbe (C

2

) du

plan mobile

enveloppe unecourbe (C

1

) du

plan fixe

. Le centre de courbure

γ

2

de (C

2

) est connu.La méthode, à partir de ces éléments, permet de construire le centrede courbure inconnu

γ

1

de (C

1

).

La base et la roulante sont tangentes au point

I

. La tangente et

la normale sont portées par .

Les centres de courbure O

1

et O

2

de (B) et (R) sont sur la normale

commune . Le point caractéristique, point de contact de la courbeavec son enveloppe, est désigné par M.

On transforme le problème de géométrie en problème de cinéma-tique. Installons en

I

et en M deux équerres de Frenet qui constituentdeux plans mobiles auxiliaires (P

3

) et (P

4

). Il y a donc en présence4 plans glissants (P

1

), (P

2

), (P

3

), (P

4

) et 6 centres instantanés de rota-tion distincts (figure

22

), dont certains sont connus :

I

12

≡

I

et

I

13

≡

G

1

,

I

23

≡

G

2

et

I

24

≡

γ

2

(théorème de l’équerre). La recherchede

γ

1

est transformée en la recherche de

I

14

. On détermine au préa-

lable I 34 en utilisant le théorème des 3 plans glissants pour (P 2 ), (P 3 ),(P

4

) (figure

23

).

I34 est aligné avec I23 et I24 . D’autre part, IM, côté de l’équerre(P4), enveloppe le point I (sommet de l’équerre (P3)) dans le mou-vement de (P4) par rapport à (P3).

Le CIR I34 est donc à l’intersection H de la normale en I à IM etde I23I24 .

i

Ix et Iy

Iy

Figure 20 – Mécanisme de Cardan

Figure 21 – Construction d’Euler-Savary

Figure 22 – Localisation des CIR pour la construction d’Euler-Savary


Tous les CIR sont connus sauf I14 = γ1 . Combinons les plans (P4 )et (P
1

) avec les plans (P

3

) et (P

2

) (figures

24

a

et

b

). On constate

immédiatement que

I

14

est à l’intersection de

I

12

I

24

et de

I

13

I

34

.Résumons la construction (figure

21

) :— on joint G

2

et

γ

2

;— on joint

I

et M ;— on mène en

I

la normale à

I

M ;— ces deux droites se coupent en H

≡

I

34

;— on joint H et G

1

.

HG

1

et

I

M se coupent au point

γ

1

cherché.

1.7.2 Formule d’Euler-Savary

La formule d’Euler-Savary traduit la construction d’Euler-Savary(figure

27

).

On oriente la tangente en

I

à la base et à la roulante suivant l’axe

de vecteur unitaire (arbitraire). On construit directement

perpendiculaire. On oriente arbitraire et on construit

directement perpendiculaire. On pose :

R

1

,

R

2

,

ρ

1

,

ρ

2

,

µ

étant des valeurs algébriques.

On cherche une relation entre

ρ

1

,

ρ

2

,

R

1

,

R

2

et

θ

. Pour cela, onécrit l’équation des droites H

γ

1

et H

γ

2

dans le système d’axes

:

— droite

X, Y

coordonnées d’un point courant

de la droite H

γ

1

dans le système d’axes ;

— droite

X, Y

coordonnées d’un point courant

de la droite H

γ

2

dans le système d’axes .

Ces droites passent respectivement par G

1

et G

2

.

d’où

en retranchant membre à membre :

Exemple 1 :

reprenons l’exemple général traité au paragraphe

1.6

.La barre AB (figure

25

) est une courbe (C

2

). Le point caractéristiqueM s’obtient en menant par

I

la normale à AB. Le centre de courbure

γ

2

de la barre est à l’infini dans la direction perpendiculaire à AB. Le centrede courbure de la roulante est O

2

et celui de la base O

1

.O

2

γ

2

est obtenu en traçant par O

2

la parallèle à

I

M. L’intersection deO

2

γ

2

et de la perpendiculaire en

I

à

I

M donne H. Le point

γ

1

cherché està l’intersection de O

1

H et de

I

M.

Exemple 2 :

centre de courbure de la trajectoire d’un point.On adapte la méthode générale. La courbure (C

2

) se réduisant à uncercle point, le point

γ

2

est confondu avec M. La construction estindiquée sur la figure

26

a

. L’application à la recherche du centre decourbure d’une cycloïde est faite sur la figure

26

b

.

x y

IM par X

Y

x , X ( ) θ = ; I G 1 R 1 y = ; I G 2 R 2 y =

I

γ

1

ρ

1 X = ; I γ 2 ρ 2 X = ; I H µ Y =

I ; X , Y ( )

Hγ1 : X ρ

1 ------

Y µ -----+ 1 =

I ; X , Y ( )

Hγ2 : X ρ

2 ------

Y µ -----+ 1 =

I ; X , Y ( )

IG1

R1 θsin

R1 θcos

0 I, X , Y ( )

=

I

G

1

R

1

y

=

I

G

2

R

2

θ

sin

R

2

θ

cos

0

I

, X , Y ( )

=

I

G

2

R

2

y

=

Figure 23 – Détermination de

I

34

aligné avec

I

23

et

I

24

Figure 24 – Détermination de

I

14

Figure 25 – Centre de courbure de l’enveloppe de AB

R1 θsinρ1

---------------------R1 θcos

µ-----------------------+ 1= ;

R 2 θsinρ 2

----------------------R 2 θcos

µ-----------------------+ 1=

θsinρ1

-------------- θcosµ

---------------+1

R1--------= ;

θsinρ 2

-------------- θcosµ

---------------+1

R 2---------=

1ρ2-------

1ρ1-------– 1

R2--------

1R1--------– 1

θ sin --------------=



On pose souvent :

d’où

C’est la formule d’Euler-Savary. Remarque : cette relation est évidemment valable qu’il s’agisse de centre de courbure

d’enveloppe ou de centre de courbure de trajectoire (dans ce dernier cas, il suffit de faireM

≡

γ2).

1.7.3 Cercle des inflexions

On cherche le lieu des points qui à l’instant t sont points d’inflexionde leur trajectoire.

Si un point est point d’inflexion de sa trajectoire, on a :

Les points qui sont points d’inflexion vérifient donc :

C’est l’équation d’un cercle en coordonnées polaires : il passepar l’origine I, il est centré sur IG, son diamètre est d1 = |h |. Il

recoupe l’axe des y en K tel que . Il est donc tangenten I à la base et à la roulante (figure 28).

Figure 26 – Centre de courbure de la trajectoire d’un point

1R2------ 1

R1------–

1h---=

1ρ2------- 1

ρ1-------– 1

h θsin--------------------=

ρ1 ∞ 1ρ1-------→ 0= =

Figure 27 – Traduction analytique de la formule d’Euler-Savary

Figure 28 – Cercle des inflexions

1ρ 2-------

1h θsin-------------------- ; ρ 2 h θsin==

IK h y =



1.7.4 Cercle de rebroussements

On cherche le lieu des centres de courbure des enveloppes desdroites du plan mobile.

Si (C

2

) est la droite (D

2

) :

La formule d’Euler-Savary s’écrit :

C’est l’équation d’un cercle passant par

I

, centré sur

I

y, de

diamètre

d

= |

h

| et coupant l’axe des

y

en K’ tel que .Il est donc symétrique du cercle des inflexions par rapport à latangente commune à la base et à la roulante (figure

29

).

1.8 Distribution des accélérationsdes points du plan mobile

1.8.1 Formule générale donnant l’accélération

Soit M un point quelconque du plan mobile (P

2

) :

Mais M est un point appartenant au plan mobile (par contre

I

estun point géométrique) :

Posons (la vitesse du point

I

est portée par latangente commune à la base et à la roulante) (figure

30

).

Soit K, défini par :

1.8.2 Signification du point K

Calculons la vitesse et l’accélération du point K du plan (P

2

) :

En K, les vecteurs vitesse et accélération sont colinéaires ; latrajectoire y présente un point d’inflexion. Le point K est par consé-quent diamétralement opposé au point

I

sur le cercle des inflexions.Le point K est donc celui envisagé au paragraphe précédent :

1.8.3 Lieu des points dont l’accélération normale est nulle

L’accélérat ion est donc purement tangent ie l le . D’où

puisque

I

M est la normale à la trajectoire dupoint M :

d’où .

ρ2 ∞ 1ρ 2-------→ 0= =

1 ρ 1 -------– 1

h θ

sin -------------------- ; ρ 1 h – θ sin ==

IK ′ h – y =

v 21 M( ) Ω 2

1 IM∧ I étant le CIR( )=

J 21 M( ) d

dt-------- Ω 2

1 IM∧ Ω 21 dIM

dt---------------∧+=

Ω 21 ψ ′ z1=

J 21 M( ) ψ ″ z1 IM∧ Ω 2

1 v1 M( ) v1 I( ) –∧+=

J 21 M( ) ψ ″ z1 IM∧ Ω 2

1 IM∧ Ω 21 v 1 I( )∧–+=

J 21 M( ) ψ ″ z1 IM∧ ψ ′ 2 IM Ω 2

1v 1 I( )∧––=

v 1 I( ) w x=

IK w ψ

′ --------- – y =

J

21

M

( )

ψ

″

z

1

I

M

∧

ψ

′

2

I

M

ψ

′

z

1

w x

∧

––=

I

M

I

K KM

+=

J

21

M

( )

ψ

″

z

1

I

M

∧

ψ

′

2 IK KM+( ) ψ′w y––=

J 21 M( ) ψ ″ z1 IM∧ ψ ′2

w ψ ′ --------- y ψ ′ 2 KM ψ ′ w y ––+=

J

21

M

( )

ψ

″

z

1

I

M

∧

ψ

′

2

KM

–=

Figure 29 – Cercle des rebroussements

Figure 30 – Expression géométrique de l’accélération

v 21 K( ) Ω 2

1 IK∧ ψ ′ z1 IK∧= =

J 21 K( ) ψ ″ z1 IK∧=

IK w ψ

′ --------- – y = I K h y = w ψ ′ –= h

J 21 M( ) IM⋅ 0 =

0 ψ ″z 1 IM IM⋅ ψ ′2 KM IM⋅–⋅=

KM IM⋅ 0=



C’est l’équation d’un cercle de diamètre

I

K (figure

31

). On a son

équation analytique dans le repère :

d’où :

1.8.4 Lieu des points dont l’accélération tangentielle est nulle

L’accélération est donc purement normale (figure

32

).

D’où :

Posons :

On a donc :

et finalement

1.8.5 Point d’accélération nulle.Centre des accélérations

Il est à l’intersection des deux cercles précédents. L’accélérationnulle suppose une accélération normale nulle et une accélérationtangentielle nulle. On peut aussi écrire :

d’où : le point d’accélération nulle se trouve à l’intersection du cercle

des inflexions et de la droite d’équation (figure

33

).

Remarque

: si

ψ

’’ = 0 on a . Le point d’accélération nulle est donc lepoint J.

1.8.6 Justification de l’appellationcentre des accélérations

L’accélération d’un point M quelconque est donnée par :

Le lieu des points d’accélération tangentielle nulle est un cerclecentré sur la tangente commune à la base et à la roulante et pas-sant par

I. Il est orthogonal au cercle des inflexions.

I ; x , y ( )

KM

x

y wψ ′---------+

0

= ; IMxy0

=

x 2 y 2 wψ ′--------- y + + 0 =

J 21 M( ) IM∧ 0 =

IMxy0 I ; x , y ( )

=

0 ψ ″ z 1 I M ∧( ) I M ∧ ψ ′ 2 KM I M ∧ –=

ψ

″

I

M

I

M z

1

⋅( )

ψ

″

z

1

I

M

( )

2

–

ψ

′

2

KM

I

M

∧

–=

KM

I

M

∧

x

y w

ψ

′

---------+

0

xy0

∧

=

x w ψ ′ --------- z 1 –=

0 + z 1 ψ ″ x 2 y 2 + ( ) – ψ ′ 2 w ψ ′ --------- x +=

0 x 2 y 2+w ψ ′ψ ″

--------------- x –=

w yψ ′

----------- w ψ ′ x ψ

″ ------------------–= ; y

x ----- ψ ′

2

ψ

″ ------------–=

y ψ ′

2

ψ ″ ----------- – x =

Figure 31 – Lieu des points dont l’accélération normale est nulle

Figure 32 – Lieu des points dont l’accélération tangentielle est nulle

Figure 33 – Centre des accélérations

J 21 M( ) ψ ′ 2 KM –=

J 21 M( ) ψ ″ z1 IM∧ ψ ′ 2 KM–=



Pour le point J, centre des accélérations, on peut écrire :

et en retranchant membre à membre :

Remarque

: pour les vitesses, il faut par contre envisager un mouvement circulaire decentre

I

(centre instantané de rotation). Les vitesses sont distribuées comme dans unerotation de centre

I

.

1.8.7 Expression de l’accélération normale

Sur la figure

30

, on constate que l’accélération normale est la

projection du seul vecteur sur

I

M. La projection de KM

est M

0

M. L’accélération normale est donc .

1.9 Construction de Bobillier.Droite de Bobillier

La construction de Bobillier permet de résoudre le même problèmeque la construction d’Euler-Savary, mais avec des données diffé-rentes.

On veut construire le centre de courbure

γ

1

de l’enveloppe (C

1

)d’une courbe (C

2

) liée rigidement au repère mobile (R

2

), de centrede courbure

γ

2

connu (figure

34

).

On ne connaît pas la base et la roulante dans le mouvement de(R

2

) par rapport à (R

1

). La construction d’Euler-Savary ne peutdonc pas s’appliquer. Mais on connaît les centres de courbure

des enveloppes de deux courbes mobiles

de centres de courbure (figure

34

).

La construction de Bobillier permet de résoudre le problème. Lespoints de contact des courbes (C

1

), avec leurs enve-loppes sont M, M’, M’’.

Remarque 1

: on peut avoir à déterminer le centre de courbure

γ

1

de la trajectoire (C

1

)d’un point du plan mobile. On est immédiatement ramené au cas précédent en considérantqu’il s’agit d’un cercle point.

Remarque 2

: lorsque la courbe du plan mobile (P

2

) est une droite D

2

, le centre decourbure

γ

2

est à l’infini dans la direction perpendiculaire à D

2

et le point caractéristique Msur la normale menée de

I

à D

2

.

1.9.1 Construction de la droite de Bobillier

Orientons

I

M’ et

I

M’’ suivant des axes de vecteurs unitaires

. Le repère constitue un système d’axesobliques.

Posons :

Écrivons dans ce système d’axes, les équations des droites :

en retranchant membre à membre, on aura le lieu du point d’inter-section B :

mais, d’après la formule d’Euler-Savary, nous avons :

Les coefficients ne dépendent que de

la direction des droites

I

M’ et

I

M’’ et non de la position des points (

θ

’ et

θ

’’ fixes).

Pour un couple de droites donné,

I

M et

I

M’, les droites se coupent sur une droite fixe d’équation :

Cette droite passe par

I

. On l’appelle droite de Bobillier.

Remarque :

on peut prendre comme courbe deux cercles points M’ et M’’.

Tout se passe comme si l’accélération du point M était celle àl’instant t d’un mouvement circulaire de centre J. Les accé-lérations sont distribuées comme dans une rotation de centre J.

Figure 34 – Construction de Bobillier

J 21 J( ) ψ ″ z1 IJ∧ ψ ′ 2 KJ–=

J 21 M( ) ψ ″ z1 MJ∧ ψ ′2 MJ–=

ψ ′ 2 KM –

ψ ′ 2 M 0 M –

γ ′1 et γ ″1 C ′1( ) et C″1( )

C ′2( ) et C″2( ) γ ′2 et γ ″2

C ′1( ), C″1( )

X et Y I ; X , Y ( )

Iγ ′1 ρ′1 X = I γ ″ 1 ρ ″ 1 Y =

I

γ ′2 ρ′2 X = I γ ″ 2

ρ ″ 2

Y =

γ ′1 γ ″1 et γ ′2 γ ″2Droite γ ′1 γ ″1 : X ρ ′

1

--------- Y ρ ″

1

----------+ 1 =

Droite

γ ′

2

γ ″

2 : X ρ ′ 2

--------- Y ρ ″ 2

----------+ 1 =

X 1ρ ′2--------- 1

ρ′1---------– Y 1

ρ″2---------- 1

ρ″1----------–+ 0=

1ρ′2--------- 1

ρ′1---------– 1

R2-------- 1

R1-------- –

1 θ ′ sin

----------------=

1

ρ

″

2

----------

1

ρ″1----------– 1

R2-------- 1

R1-------- – 1 θ

″

sin -----------------=

X

θ

′

sin

----------------

Y

θ ″sin-----------------+ 0=

1ρ′2--------- 1

ρ′1---------– et 1

ρ″2---------- 1

ρ″1----------–

γ ′1 , γ ′2 et γ ″1

, γ ″2

γ ′1 γ ″1 et γ ′2 γ ″2X

θ′sin---------------- Y

θ ″sin------------------+ 0=

C ′2( ) et C ″2( )



1.9.2 Propriétés de la droite de Bobillier

Sur les directions IM’ et IM’’ (∆’ et ∆’’), prenons deux points P’et P’’ situés sur le cercle des inflexions et appartenant au plan mobile(figure 35). Il s’agit de deux cercles points ; les centres

de courbure de leur trajectoire sont à l’infini dans les direc-

tions IM’ et IM’’. Le point B1 est donc à l’infini dans la direction P’P’’.La droite de Bobillier est donc parallèle à P’P’’.

Sur la figure, on a immédiatement .

1.9.3 Utilisation de la droite de Bobillier

On peut maintenant résoudre le problème posé au début duparagraphe 1.9.

On construit la droite de Bobillier D relative au couple de droitesIM’ et IM’’, soit (∆’, ∆’’). On peut alors tracer la tangente à la baseet à la roulante : elle est antiparallèle de IM’ et IM’’ par rapport àD (figure 36).

On construit la droite de Bobillier D’ relative au couple de droitesIM’ et IM (on peut évidemment prendre IM’’ au lieu de IM’). D’ estantiparallèle des droites IM’ et IM par rapport à la tangente Ix.

Il suffit donc de reporter à partir de IM un angle . On joint qui coupe D’ au point B’. L’intersection de avec IM

détermine γ1 cherché (figure 36).

1.9.4 Exemple : suspension de véhicule

Voici deux problèmes classiques dans l’étude des suspensions.

1) Déterminer la tangente à la base et à la roulante dans le mou-vement de la roue par rapport au châssis, dans une suspension àquadrilatère articulé (système Lotus).

2) Chercher le centre de courbure γ1 de la trajectoire d’un point porté par l’axe de la roue.

La suspension arrière d’une Porsche type 917 est représentée surla figure 37. Elle est schématisée sur la figure 37b où lesdimensions relatives ne sont pas respectées pour permettre uneplus grande clarté dans la construction.

Les triangles supérieur ➃ et inférieur ➁ sont représentés par desbiellettes comme le support de roue ➂. Le support de roue ➂ et laroue ➄ forment un seul solide. Les biellettes ➁ et ➃ sont articuléessur le chassis ➀.

Conclusion : la droite de Bobillier est l’antiparallèle de la tan-gente commune à la base et à la roulante par rapport au couplede directions ∆’ et ∆’’.

Figure 35 – Propriétés de la droite de Bobillier

γ ′2 et γ ″2γ ′1 et γ ″1

xIM ′ P ′P″I P″IB= =[ [ [

IB

[( )xIM ′γ ′2 γ2 B′ γ ′1

M γ 3

Figure 36 – Utilisation de la droite de Bobillier

Figure 37 – Porte-roue et suspension arrière d’une

Porsche 917

(doc. Porsche)



Tangente à la base et à la roulante

Déterminons au préalable les CIR inconnus dans les mouvementsrelatifs (Pj )/(Pi ). Ici, on constate que

➀

,

➁

,

➂

et

➃

forment un qua-drilatère articulé. On a déterminé les CIR au paragraphe 1.5.2.

On connaît les trajectoires ( respectivement) de deuxpoints du plan (P

3

)

I

32

et

I

43

dans le mouvement par rapport auplan (P

1

) et les centres de courbure

I

21

et

I

41

de leurs trajectoires( respectivement). La droite de Bobillier D passe donc parle point d’intersection B de

I

32

I

43

et

I

21

I

41

(B n’est autre que

I

24

). Onconstruit facilement

I

31

x

en reportant un angle égal (figure

37

b

).

Centre de courbure de la trajectoire de

(figure

37

a

)

L’intérêt pratique de cette détermination est de localiser convena-blement la position des centres A et B des points de transmission.Si B est centre de courbure de A (figure

37

b

), la variation de lon-gueur de AB sera minime et on peut à la limite supprimer le systèmecoulissant en B.

2. Cinématique spatiale

Dans ce paragraphe nous analysons plus en profondeur certainesquestions abordées dans l’article [A 1 661], comme l’étude destrajectoires (position) et abordons des problèmes nouveaux commel’étude de surfaces particulières rencontrées dans les mécanismes.

2.1 Courbes gauches

2.1.1 Paramétrage

Nous supposons la courbe (C) définie par les coordonnées dupoint courant M (figure

38

) :

Le paramètre

t

étant par exemple le temps lorsque

t

varie de

t

0

à

t

(avec

s

abcisse curviligne de M) :

avec

2.1.2 Trièdre de Serret-Frenet

Pour étudier les courbes gauches, on met en place localement un

repère mobile dit trièdre de Serret-Frenet(figures

38

et

39

) :

Tout plan passant par la tangente en M à (C) est dit plan tangentà (C) en M.

Toute perpendiculaire en M à la tangente est dite normale en M

à (C), la normale particulière support de est dite normaleprincipale.

Le plan est dit plan osculateur.

Le plan est dit plan normal.

Le plan est dit plan rectifiant.

2.1.3 Définition des axes

Dans ce paragraphe et dans les suivants, l’exposant zéro indiquele repère R

0

.

est le vecteur unitaire porté par la tangente dans le sens des

t

croissants :

Le vecteur vitesse étant porté par la tangente :

(6)

γ ″3 et γ ′3

γ ″1 et γ ′1

M ——— 3

OM x t( ), y t ( ) , z t ( )[ ] R 0

=

ds dx 2 dy 2 dz 2+ +=

dsdt--------- x ′2 y ′2 z ′2+ + v= =

x ′ dxdt

---------= ; y ′ dydt

---------= ; z ′ dzdt

--------=

M ; T , N , B ( )

T 2 1 = N

2 1 = B

2 1 =

T N ⋅ 0 = N B ⋅ 0 = B T ⋅ 0 =

T N ∧ B = ; N B ∧ T = ; B T ∧ N =

Figure 38 – Courbe gauche

Figure 39 – Trièdre de Serret-Frenet

N

M ; T , N ( )

M ; N , B ( )

M ; B , T ( )

T , N , B

T

v 0 M( ) d0 OMdt

--------------------=

T 1

x

′

2

y

′

2

z

′

2

+ +----------------------------------------------

x

′ y ′

z

′

=

v 0 M( ) d0 OMds

-------------------- = dsdt --------- ; T d

0

OMds

--------------------= ; d ′ où : v 0 M ( ) dsdt

--------- T =



est le vecteur unitaire de la normale principale :

. Il est dans

le plan normal.

Posons :

(7)

La normale principale est le support de ; ρ est appelé

rayon de courbure.

Le sens de est arbitraire. Si on le choisit égal au sens de

, alors ρ > 0.

(8)

Le vecteur accélération est situé dans le plan osculateur :

Le centre de courbure C est défini par :

soit

Il est invariant. Si on change le sens de parcours sur la courbe,

change de sens et ds change de signe.

est le vecteur unitaire de la binormale. forme avec

précédemment définis un repère orthonormé direct :

(9)

2.1.4 Formules de Serret-Frenet

Les formules de Serret-Frenet donnent .

a é té obtenu au paragraphe 2 .1 .3 . Cherchons

.

et

est donc orthogonal à . On peut l’écrire sous la forme :

Mais

donc

d’où

est porté par la normale principale. On pose :

(10)

τ est appelé rayon de torsion. Il n’y a pas de centre de torsioncomme il y a un centre de courbure. La torsion mesure en quelquesorte la façon plus ou moins rapide dont tourne le plan osculateur.On peut préciser la signification du signe de τ.

Supposons que s croisse d’une valeur ds > 0, M se déplace de

et la binormale varie de . Considérons le produit vectorieldes deux binormales voisines :

Si la torsion est positive, le vecteur tourne dans le sensdirect autour de la tangente à la courbe :

(11)

On peut donner une forme cinématique à la formule de Serret-Frenet. En effet, comme nous l’avons vu dans l’article [A 1 661], onpeut écrire :

On peut écrire en désignant par le vecteur rotation du

trièdre de Serret-Frenet (article [A 1 661]) :

(12)

avec qui s’exprime en fonction de la courbure et de la torsion :

(13)

N

T 2 1 = ; T d T ds

------------- ⋅ 0, car = d T ds

------------- est orthogonal à T

d T ds

-------------

N ρ

---------= ; N ρ

v ----- = d T dt

-------------

d T ds

-------------

N

d T ds

-------------

J 0 M( ) d0v 0

dt----------------- M ( ) ; J 0 M ( ) d

2

dt

2

----------- OM ==

J

0

M

( )

d

2

sdt 2----------- T

dsdt

---------

2

d T ds

-------------+=

J 0 M( ) d2sdt 2----------- T 1 ρ ----- ds

dt ---------

2 N +=

d2 OMds 2

-------------------- d T ds

-------------= d ′ où d 2 OMds

2

-------------------- N

ρ

---------=

MC ρ N =

MC ρ2 d T ds

-----------=

d T

B B

T et N

B T N ∧ =

d T ds

------------- ; d N ds

------------- ; d B ds

-----------

d T ds

-------------

d N ds

---------------

et d B ds

-------------

N 2 1 = N d N

ds -------------- ⋅ 0 =

d N ds

-------------- N

d N ds

-------------- b 1 T b 3 B +=

B T N ∧ =

d B ds

------------- d T ds

------------- N ∧ T d N

ds

-------------- ∧+=

d B ds

------------- 0 T + b 1 T b 3 B + ( )∧ – b 3 N = =

d B ds

-------------

d B ds

------------- – N

τ

---------=

d M d B

B B d B + ( )∧ B d B ∧ ds B – N

τ

-------- ∧ ds

τ

--------- T = = =

B

N B T ∧ =

d N ds

-------------- d B ds

------------- T B + d T ds

------------- ∧ ∧ = ; d N ds

-------------- – T ρ

-------- B τ

---------+=

d T ds

-------------

d N ds

--------------

d B ds

-------------

0 1

ρ

-----

0

– 1 ρ ----- 0 1 τ ----

0 – 1 τ ---- 0

T

N

B

=

Ω SF0

d T ds

------------- Ω SF0 T ∧ = ; d N

ds -------------- Ω

SF0 N ∧ = ; d B

ds ------------- Ω

SF0 B ∧ =

Ω SF0

Ω SF0

1τ----

01ρ-----

SF

= ; Ω SF0

1 τ

---- , 0, 1 ρ

-----=



Le vecteur est appelé vecteur de Darboux.

2.1.5 Calcul des rayons de courbureet des rayons de torsion

Rayon de courbure

(14)

Rayon de torsion

Calculons , que l’on appelle suraccélération

:

Le produit mixte s’exprime en fonctionde la courbure et de la torsion :

(15)

2.1.6 Situation locale de la courbe

Au voisinage de M, on peut préciser, d’une manière générale, lecomportement de la courbe en utilisant les courbes décrites par lesprojections de M sur les trois plans de projection.

Dans le cas général, on a la situation décrite sur la figure

40

.

Soit M* un point voisin de M :

On a :

— sur le plan osculateur :

— sur le plan normal :

— sur le plan rectifiant :

Ω SF0

d2 OMdt 2

--------------------d2sdt 2----------- T ds

dt ---------

2 N

ρ

---------+=

d

2

OMdt

2

-------------------- T ∧ 1 ρ ----- ds

dt ---------

2 N T ∧ = ;

d

2

OMdt

2 -------------------- J 0 M ( ) =

ρ dsdt---------2 N T ∧

d

2

OMdt

2

-------------------- T ∧

----------------------------------------=

ρ v 3

J 0 M( ) v 0 M( )∧-----------------------------------------------------=

ρ x ′2 y ′2 z ′2+ +( )3 2/

x ′y ″ x ″y ′–( )2 y ′z ″ y ″z ′–( )2 z ′x ″ z ″x ′–( )2+ +[ ]1 2/--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

d3OMdt 3

--------------------d0

dt-------- J 0 M( )=

S 0 M( )

d0

dt-------- J 0 M( ) d3s

dt 3----------- T d

dt -------- 1

ρ ----- ds

dt ---------

2 + N 1

ρ ----- ds

dt ---------

3 d N

ds --------------+ ⋅=

v 0 M( ) J 0 M( )∧ dsdt--------- T

d

2

sdt

2 ----------- T 1 ρ ----- ds

dt --------- 2 N + ∧ =

v

0

M

( )

J 0 M( )∧ v 3

ρ--------- B =

v 0 M( ),J 0 M( ), S 0 M( )

v 0 M( ),J 0 M( ), S 0 M( ) 1ρ----- ds

dt ---------

3 – T

ρ -------- B

τ ---------+ v 3

ρ --------- B ⋅ =

v 0 M( ), J 0 M( ), S 0 M( ) v 6

ρ 2τ------------=

v 0 M( ), J 0 M( ), S 0 M( ) v 0 M( ) J 0 M( )∧ 2

τ--------------------------------------------------------=

τv 0 M( ) J 0 M( )∧[ ]

2

v 0 M( ), J 0 M( ), S 0 M( )------------------------------------------------------------------------= avec

v 0 M( ) d OMdt

-----------------=

J 0 M( ) d2 OMdt 2

--------------------=

S 0 M( ) d3 OMdt 3

--------------------=

Figure 40 – Situation locale d’une courbe

τ x ′y ″ x ″y ′–( )2 y ′z ″ y ″z ′–( )2 z ′x ″ z ″x ′–( )2+ +

x ′ y ′ z ′x ″ y ″ z ″

x ′ ′ ′ y ′ ′ ′ z ′ ′ ′

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

MM* X, Y, Z [ ] SF = X T ; = Y N = ; Z B =

M ; T , N ( ) Y 12ρ--------- X 2 =

M ; N , B ( ) Z 2 29----- 1

τ 2 -------- 1

ρ ----- Y 3 =

M ; B , T ( ) Z 1ρτ-------- X 3 =



2.1.7 Cas particuliers remarquables : courbes planes

— Si , on dit que la torsion est nulle, donc , ce

qui entraîne , vecteur fixe.

Une courbe a une torsion nulle si, et seulement si, elle est plane.

— Si , on dit que la courbure est nulle, donc ,

ce qui entraîne , vecteur fixe.

Une courbe a une courbure nulle si, et seulement si, c’est unedroite.

2.1.8 Exemple général : hélice circulaire

La courbe est définie par ses coordonnées paramétriques :

x = a cos t ; y = a sint ; z = bt

La courbe est tracée sur le cylindre : x2 + y 2 – a 2 = 0 ; z = bt

Lorsque t augmente de 2π , x et y reprennent la même valeur etz augmente de p = 2πb, p est le pas de l’hélice. Il y a des hélices àdroite (figure 41a ) et à gauche (figure 41b ).

Éléments fondamentaux

ds 2 = (a 2 + b 2)dt 2

v 3 = (a2 + b2)3/ 2

Si θ est l’angle d’inclinaison de l’hélice,

Vecteurs unitaires du trièdre de Serret-Frenet

Le vecteur est dans un plan horizontal et rencontre ;la normale principale est normale au cylindre :

Figure 41 – Hélice circulaire

1τ---- 0= d B

ds

------------- 0 =

B K =

1ρ----- 0= d T

ds ------------- 0 =

T K =

OM a, y, z [ ] R 0 =

dsdt--------- a 2 b 2+ v= =

v 0 M( )– a tsin+ a tcos

b

R

0

= J 0 M ( )

– a tcos– a tsin

0

R

0

=

S

0

M

( )

+ a tsin– a tcos

0

R

0

=

ρ

v

3

v

0

M

( )

J

0

M

( )∧

-----------------------------------------------------=

v 0 M( ) J 0 M( )∧ab tsin

– ab tcos

a

2SF

=

v

0

M

( )

J

0

M

( )

∧

2

a

2

b

2

a

2

+

( )

=

ρ

2

a

2

b

2

+

( )

2

a

2

-------------------------------= ; ρ + a 2

b

2 +

a ----------------------= ; on choisit le signe +

θtan ba----- ; ρ a

cos

2

θ ------------------= =

τv 0 M( ) J 0 M( )∧

2

v 0 M( ), J 0 M ( ) ,S 0 M ( ) --------------------------------------------------------------------------=

v

0

M

( )

J

0

M

( )

∧

S

0

M

( )⋅

a

2

b

=

τ

a

2

b

2

+

b

----------------------=

T 1

a

2

b

2

+----------------------------

– a tsina tcos

b

R

0

=

N ρ v -----

d T dt

------------- – tcos– tsin

0

R

0

= =

N O, z ( )

B T N ∧ ; B 1

a

2

b

2

+----------------------------

b tsin– b tcos

a

R

0

= =



Soit un vecteur de composantes [

x

0

,

y

0

,

z

0

] sur (R

0

) et[

x

,

y

,

z

] sur (SF). Les relations entre les composantes sont donnéespar le changement de base :

Le trièdre de Serret-Frenet est en place sur la figure

42

.

Dérivée des vecteurs unitaires

En utilisant les formules, on obtient (12) :

Équation de la tangente à l’hélice

Soit P, un point courant de la tangente, de coordonnées

x

,

y

,

z

sur (R

0

) (figure

43

)

2.2 Surfaces

On peut définir une surface soit en coordonnées cartésiennes, soiten coordonnées paramétriques.

2.2.1 Représentation cartésienne

La surface est définie par une relation entre les 3 coordonnées d’unde ses points. Cette relation est l’équation de la surface. On la trouvesous deux formes :

forme implicite

f

(

x

,

y

,

z

) = 0

forme explicite

z

=

Φ

(

x

,

y

)

Considérons une sphère de rayon

a

, centrée à l’origine(figure

44

a

) :

x 2 + y 2 + z 2 – a 2 = 0

Sous certaine réserve (a 2 > x 2 + y 2), on obtient :

2.2.2 Représentation paramétrique

On peut aussi définir une surface en se donnant les coordonnéesd’un de ses points en fonction de deux paramètres u, v :

x = x (u, v ) ; y = y (u, v ) ; z = z (u, v )

W

x0

y0

z0 R0

– a

a

2

b

2

+---------------------------- tsin – tcos b

a

2

b

2

+---------------------------- tsin

a

a

2

b

2

+---------------------------- tcos – tsin – b

a

2

b

2

+---------------------------- tcos

b

a

2

b

2

+----------------------------

0 a

a

2

b

2

+----------------------------

xyz

SF

=

Ω SF0 b

a 2 b 2+---------------------- , 0,

aa 2

b 2

+----------------------=

SF

T 1, 0, 0 [ ] SF = ; N 0, 1, 0 [ ] SF = ; B 0, 0, 1 [ ] SF =

d T ds

------------- 0a

a

2

b

2

+----------------------

0

SF

=

d N ds

--------------

– a

a

2

b

2

+----------------------

0b

a

2

b

2

+----------------------

SF

=

d B ds

------------- 0

– ba

2

b

2

+----------------------

0

SF

=

OP OM v T +=

OP

a tcos av

a

2

b

2

+---------------------------- tsin – x 0 =

+ a tsin av

a

2

b

2

+---------------------------- tcos + y 0 bt vb

a

2

b

2

+----------------------------+ z 0 +

Figure 42 – Trièdre de Serret-Frenet relatif à l’hélice circulaire

Figure 43 – Représentation de la tangente à l’hélice

OM2

a 2= OM x, y, z ( ) =

z ε a 2 x 2– y 2– ε 1 ± = =



Et l’on a dans un repère :

Remarquons que la définition explicite entre dans cette catégorie,car on peut écrire :

Si v = Cte, M ne dépend que du seul paramètre u et, lorsque uvarie, il se déplace sur une courbe définie et paramétrique :

x = x (u, a1) ; y = y (u, a1) ; z = z (u, a1)

De même, lorsque u = Cte et que v varie :

x = x (v, b1) ; y = y (v, b1) ; z = z (v, b1)

Lorsque les constantes varient, la surface est recouverte de deuxréseaux de courbes (figure 45).

Ces courbes seront désignées par (Cu ) et (Cv ) · (Cu ) correspondà v = Cte et (Cv ) à u = Cte.

Par la suite, nous développerons plus particulièrement la repré-sentation paramétrique.

2.2.3 Premiers éléments de la représentation paramétrique

2.2.3.1 Condition d’indépendance des paramètres

Le fait que les paramètres u et v doivent être indépendants setraduit par le fait que la matrice [M] soit de rang 2.

Si, pour un point, il n’en est pas ainsi, le point est dit singulier.Notons que les points singuliers peuvent être intrinsèques ou pro-venir du mode de représentation choisi.

2.2.3.2 Déplacement élémentaire de M sur la surface

D’après l’étude faite sur les courbes gauches :

2.2.3.3 Signification de l’indépendance des paramètres

Calculons le produit vectoriel

Dire que le point n’est pas singulier revient à dire que le produitn’est pas nul.

Exemple de la sphère u = θ, v = ϕ :

x = a cosθ cosϕ

y = a cosθ sinϕ

z = asinθ

u et v sont la colatitude et la longitude (figure 44b ).

Figure 44 – Représentation d’une sphère

O ; x 0 , y 0 , z 0 ( )

OM x u, v ( ) x 0 y u, v ( ) y 0 z u, v ( ) z 0 + +=

x u=

y v=

z Φ u, v ( ) =

M[ ]

∂x∂u--------- , ∂y

∂u--------- , ∂z

∂u---------

∂x∂v-------- , ∂y

∂v-------- , ∂z

∂v--------

=

d OM ∂ OM∂u

---------------- du ∂ OM ∂

v

----------------+= dv MM ′ d OM =

∂ OM∂u

---------------- est tangent à la courbe v Cte=

∂ OM∂v

---------------- est tangent à la courbe u Cte=

∂ OM∂u

----------------∂x∂u-------- x 0 ∂ y ∂

u -------- y 0

∂ z ∂ u

-------- z 0 + +=

∂

OM

∂

v

----------------

∂

x

∂

v

-------- x 0 ∂ y ∂ v

-------- y 0 ∂ z ∂ v

-------- z 0 + +=

N ∂ OM ∂

u

---------------- ∂ OM ∂

v

---------------- ∧ =

N

∂

y

∂

u

--------- ∂ z ∂ v -------- ∂ y ∂

v -------- ∂ z ∂

u ---------–

∂

z

∂

u

--------- ∂ x ∂ v -------- ∂ z ∂

v -------- ∂ x ∂

u ---------–

∂

x

∂

u

--------- ∂ y ∂ v -------- ∂ x ∂

v -------- ∂ y ∂

u ---------–

=



2.2.3.4 Plan tangent, normale

Les

vecteurs

définissent un plan si leur produit

vectoriel n’est pas nul. La relation qui définit montre que cevecteur est dans ce plan, c’est aussi le support de la tangente à lacourbe décrite par M lorsque

u

et

v

varient.

Toutes les tangentes aux courbes passant par M sont dans unplan que l’on appelle

plan tangent à la surface

.

Normale

On appelle normale en M à la surface, la normale au plan tan-gent. On a donc pour un vecteur normal (figure

46

) :

Un vecteur unitaire de la normale sera (D, pour Darboux) :

Équation du plan tangent

Soit P, un point courant du plan tangent (figure

46

). L’équations’écrit sous forme vectorielle :

(16)

Équation de la normale

Soit N, un point quelconque de la normale :

On peut aussi écrire :

(17)

2.2.4 Première forme fondamentale.Propriétés liées aux vitesses

Il s’agit d’exprimer la longueur d’un élément linéaire d’un arcinfiniment petit d’une courbe tracée sur la surface.

2.2.4.1 Expression de d

s

2

Avec des notations classiques dues à Gauss :

d

s

2

=

E

d

u

2

+ 2

F

d

u

d

v

+

G

d

v

2

avec :

On a :

E

> 0 ;

G

> 0 ;

EG

–

F

2

> 0 ;

EG

–

F

2

=

H

2

(18)

Avec ces notations, le vecteur unitaire normal s’écrit :

(19)

Si , les coordonnées sont dites orthogonales :

F = 0 (20)

2.2.4.2 Autre interprétation de la première forme fondamentale

Si le point se déplace sur la surface avec u = u (t ), v = v (t ), lavitesse du point M est :

(21)

Figure 45 – Réseau de courbes curvilignes sur une surface.Courbes coordonnées (Cu ) et (Cv )

∂ OM∂u

---------------- et ∂ OM∂v

----------------

d OM

N ∂ OM ∂ u

---------------- ∂ OM ∂ v

---------------- ∧ =

ND

ND N

N --------------=

N 2 ∂ OM

∂

u ---------------- ∂ OM

∂

v ---------------- ∧ ∂ OM

∂

u ---------------- ∂ OM

∂

v ---------------- ∧ ⋅ =

N 2 ∂ OM ∂

u ----------------

2 ∂ OM ∂ v

----------------

2

⋅ ∂ OM ∂ u

---------------- ∂ OM ∂ v

---------------- ⋅

2

–=

MP N ⋅ 0 =

OP OM– ∂ OM∂u

---------------- ∂ OM∂v

----------------∧⋅ 0=

ON OM λ N += ; ON OM λ ∂ OM ∂ u ---------------- ∂

OM ∂ v ---------------- ∧ +=

Figure 46 – Plan tangent normal

ON OM– ∂ OM∂u

---------------- ∂ OM∂v

----------------∧ ∧ 0 =

ds 2 d OM( )2

=

ds 2 ∂ OM∂u

----------------2

du 2 ∂ OM∂v

----------------2

dv 2 2 ∂ OM ∂

u ---------------- ∂ OM

∂

v ---------------- ⋅ du dv + +=

E ∂ OM∂u

----------------2

= ; F ∂

OM ∂ u

---------------- ∂

OM ∂ v

---------------- ⋅ = ; G ∂

OM ∂ v

----------------

2

=

ND1H------ ∂ OM ∂ u

---------------- ∂ OM ∂ v

---------------- ∧ =

∂ OM∂u

---------------- ∂ OM∂v

----------------⋅ 0=

dt v 0 M( ) ∂ OM∂u

---------------- du ∂ OM ∂

v

---------------- dv +=

dt 2 v 0 M( )[ ]2

E du 2 2F du dv G dv 2+ +=



À un scalaire près, la première forme fondamentale est égale aucarré de la vitesse.

2.2.4.3 Angle des courbes coordonnées (C u ), (Cv )

Les vecteurs unitaires portés par les tangentes sont, en utilisantla formule des courbes gauches :

(22)

Soit (figure 47) :

d’où

2.2.4.4 Angle d’une courbe quelconqueavec une courbe du réseau

Soit

(23)

formules qui se simplifient si le réseau est orthogonal (F = 0).

2.2.5 Courbes tracées sur la surface.Deuxième forme fondamentale

Il s’agit en fait, comme nous le verrons, de propriétés liées auxaccélérations.

Nous allons à nouveau employer la méthode du repère mobilequi permet l’étude locale en utilisant au départ des résultats decinématique.

2.2.5.1 Repère de Darboux

Soit une surface (Σ) et une courbe quelconque (C), tracée sur (Σ).

Sur la figure 48 figurent les repères de Frenet

et de Darboux , tous deux

orthonormés directs.

car ils sont tous deux tangents à la courbe (C) en M ;

est porté par la normale à la surface :

La situation relative des deux repères est définie par :

.

On passe des vecteurs unitaires du repère SF à ceux du repère Dà l’aide de l’expression matricielle :

(24)

Exemple concernant la première forme fondamentale

Prenons le cas de la sphère u = θ, v = ϕ :

E = a 2 ; G = a 2 cos2θ ; F = 0 ; H = a 2cosθ

ds 2 = a 2dθ 2 + a 2cos2θ dϕ 2

Les courbes coordonnées θ = Cte ; ϕ = Cte sont orthogonalescomme cela est évident géométriquement (parallèles et méridiens).

, comme on le sait d’après les propriétés de la sphère.

T d OMds

-----------------=

Tu1E

----------= ∂ OM ∂ u ---------------- ; T v 1G

-----------= ∂ OM ∂ v ----------------

ψ Tu , Tv( )=

ψcos Tu Tv⋅= ; ψ sin T u T v ∧( ) N D ⋅ =

ψcos FEG

---------------= ; ψ sin EG F

2

– EG

-----------------------------=

ϕ Tu , T ( ) = ; ϕ cos T u T ⋅ = ; ϕ sin T u T ∧( ) N D ⋅ =

ϕcos 1E

---------- E duds --------- F

dvds ---------+ = ; ϕ sin EG F

2

–

E

----------------------------- dvds --------=

OM a θ ϕ, coscos a θ ϕ sincos , a θ sin [ ] R 0

=

∂

OM

∂θ

----------------

– a θ sin ϕ cos , – a θ sin ϕ sin , a θ cos [ ] R 0

=

∂

OM

∂ϕ

----------------

– a θ cos ϕ sin , a θ cos ϕ cos , 0 [ ] R 0

=

ND1H------ ∂ OM

∂θ ---------------- ∂ OM

∂ϕ ---------------- ∧ = ; N D – 1

a ----

a

θ

cos

ϕ

cosa θ cos ϕ sin

a

θ

sin

R

0

=

ND – OM

a -------------=

Figure 47 – Angle des courbes coordonnées

Figure 48 – Situation relative des trièdres de Serret-Frenetet de Darboux

M ; T SF , N SF , B SF ( ) M ; T D , N D , B D ( )

TD TSF=

ND

BD TD ND∧=

θ NSF , N D ( ) =

TD , N D , B D [ ] 1 0 00 θ cos θ sin0 – θ sin θ cos

T

SF

N SF

B

SF

=



Si un vecteur est exprimé par ou

, la relation entre les deux systèmes de coor-

données est définie par :

(25)

2.2.5.2 Dérivées des vecteurs unitaires. Formules de Darboux

En employant la formule de la dérivation aux vecteurs

:

Ces formules sont les formules de Darboux. Comme pour les for-mules de Serret et Frenet, on peut écrire :

Le vecteur ayant les expressions suivantes sur SF et D :

on définit les quantités suivantes :

Avec ces notations, on a :

2.2.5.3 Expression de la deuxième forme fondamentale

Nous avons démontré, lors de l’étude des courbes gauches :

Si les variables

u

et

v

sont indépendantes :

avec :

(26)

La quantité

e

d

u

2

+ 2

f

d

u

d

v

+

g

d

v

2

est dite seconde forme fonda-mentale.

Par ailleurs

d’où

La courbure normale est égale au quotient des deux formes fonda-mentales.

2.2.5.4 Interprétation cinématique de la courbure normale

Supposons que

u

et

v

soient des fonctions de

t

. L’accélération de Mest donnée par :

W W TSF , N SF , B SF [ ] =

W TD, N D , B D [ ] =

TSF

NSF

BSF SF

1 0 0

0 θcos – θ sin

0

θ

sin

θ

cos

T

D

N D

B

D D

=

TD , N D , B D

TD TSF=

ND θcos NSF θsin BSF+=

BD – θ sin N SF θ cos B SF +=

d

0

ds

-------- W d

SF

ds ----------- W Ω SF

0 W ∧ +=

Ω

SF0

1

τ

----

01

ρ

-----

SF

=

d

0

T

D

ds

----------------

01

ρ

-----

0

SF

= ;d

0

N

D

ds -----------------

– 1 ρ ----- θ cos

– θ sin d θ ds

--------- 1 τ

---- +

θ

cos

d

θ

ds

---------

1

τ

----

+

SF

=

d

0

B

D

ds

-----------------

1

ρ

----- θ sin

– 1 τ ---- d θ ds

---------+ θ cos

– 1 τ ---- d θ ds

---------+ θ sin SF

=

d

0

T

D

ds

----------------

01

ρ

----- θ cos

– 1 ρ ----- θ sin

D

= ;d

0

N

D

ds -----------------

– θ cos ρ ---------------

01

τ

----

d

θ

ds

---------+

D

=

d

0

B

D

ds-----------------

θsinρ

--------------

– 1 τ ---- d θ ds

---------+

0

D

=

dTD

ds-------------- Ω D

0 TD∧= ;dN

D

ds --------------- Ω D

0 N D ∧ = ;

dB

D ds

-------------- Ω D0

B D ∧ =

Ω D0

Ω D0

1τ---- dθ

ds---------+

01ρ-----

SF

= Ω D0

1τ---- dθ

ds---------+

θsinρ

--------------

θcosρ

---------------D

=

1ρN--------

θcosρ

--------------- courbure normale=

1ρG-------- θsin

ρ--------------= courbure géodésique

1τG-------- 1

τ---- dθ

ds---------+= torsion géodésique

Ω D0 1

τG-------- , 1 ρ G

-------- , 1 ρ N --------

D =

NSF

ρ------------- d2OM

ds 2--------------------=

d2OM ∂ 2 OM∂u 2

-------------------- du 2 2 ∂ 2

OM ∂ u ∂ v

-------------------- du dv ∂

2 OM

∂

v

2 -------------------- dv 2 + +=

N

SF

N

D

⋅

ρ----------------------------

∂ 2 OMds 2

-------------------- ∂ OM ∂ u ---------------- ∂

OM ∂ v ---------------- ∧ 1H ------=

N

SF

N

D

⋅

ρ

----------------------------

1ds

2

----------- e du 2 2f du dv g dv 2 + + [ ] =

e ∂ 2 OM∂u 2

-------------------- ND⋅= ; f ∂

2

OM ∂ u ∂ v -------------------- N D ⋅ = ; g ∂

2

OM ∂

v

2 -------------------- N D ⋅ =

NSF ND⋅ρ

---------------------------- θcosρ

---------------=

1ρN-------- e du 2 2f du dv g dv 2+ +

Edu 2 2F du dv G dv 2+ +---------------------------------------------------------------------=

J 0 M( ) d2sdt 2----------- T S ds

dt ---------

2 1

ρ ----- N SF ⋅ +=



donc :

Au scalaire dt 2 près, la seconde forme fondamentale est égale àla projection de l’accélération sur la normale à la surface.

2.2.5.5 Interprétation géométriquede la deuxième forme fondamentale

Dans ce paragraphe, le zéro en exposant indique que noussommes dans le repère (R0).

Prenons l’origine des coordonnées en M0 . Les coordonnées d’unpoint M voisin de M0 et situé sur la surface sont les composantes

de (figure 49) :

Posons :

Au troisième ordre près :

Compte tenu des définitions de e, f, g :

À un facteur 1/2 près, la deuxième forme fondamentale représentela distance du point de la surface au plan tangent en un point voisin.

La surface z = z (du, dv ) est un paraboloïde osculateur à lasurface (Σ). Elle nous permettra d’étudier localement la forme dela surface.

Si f 2 – eg < 0, z > 0, alors la surface est toujours du même côtédu plan tangent.

2.2.5.6 Théorèmes de Meusnier

Cette formule est homogène en . Toutes les courbes qui ont

même tangente en M ont même . Toutes les courbes qui ont

en M même normale principale ont même θ. On peut donc

énoncer le premier théorème de Meusnier.

Pour étudier la courbure des courbes tracées sur (Σ) et passantpar M, il suffit d’étudier la courbure des courbes planes section de(Σ) par les plans passant par M.

Étudions les sections de (Σ) par un plan contenant (figure 50).

Lorsque θ varie, les sections varient, donc les centres de courbureaussi. La section par le plan particulier de la famille contenant

a pour centre de courbure C0 et pour rayon de courbure

ρ0 . Entre les éléments de cette section et les éléments d’une sectionquelconque, on a :

Exemple de calcul des éléments de la deuxième forme fonda-mentale

Poursuivons l’exemple de la sphère :

J 0 M( ) ND⋅ dsdt---------2

N

SF N

D

⋅

ρ ---------------------------=

edu

2

2f du dv g dv

2

+ +

J

0

M

( )

N

D

⋅[ ]

dt

2

=

M0M

OM OM u, v ( ) =

M0M ND⋅ z= ; u u 0 du += , v v 0 dv +=

OM OM0 ∂ OM∂u

----------------0

du ∂ OM∂v

----------------0

dv 12----- ∂

2 OM ∂ u

2 --------------------

0

du 2 + + +=

+ ∂ 2

OM ∂ u

∂

v --------------------

0

du dv 12

----- ∂ 2

OM ∂

v

2 --------------------

0

dv 2 +

z 12----- e du 2 2f du dv g dv 2 + + [ ] =

OMa θcos ϕcosa θcos ϕsin

a θsin R 0

= ND

– θ cos ϕ cos – θ cos ϕ sin

– θ sin R 0

=

∂

2

OM

∂θ

2

--------------------

– a θ cos ϕ cos , – a θ cos ϕ sin , – a θ sin [ ] R 0

=

∂

2

OM

∂θ∂ϕ

--------------------

a

θ

sin

ϕ

sin

, – a θ sin ϕ cos , 0 [ ] R 0

=

∂

2

OM

∂ϕ

2

--------------------

– a θ cos ϕ cos , – a θ cos ϕ sin , 0 [ ] R 0

=

e a

=

f 0

=

g a cos

2

θ

=

Toutes les courbes (C) passant par M (même

u

,

v

), ayantmême plan osculateur, ont même rayon de courbure. Parmitoutes ces courbes, il y a la courbe plane section de (

Σ

) par le

plan .

Figure 49 – Cote d’un point M au-dessus du plan tangent.Distance au plan tangente

Figure 50 – Section normale et section oblique

θcosρ

--------------- edu 2 2f du dv g dv 2+ +Edu 2 2F du dv G dv 2+ +-----------------------------------------------------------------------=

dvdu---------

dvdu---------

NSF

TSF ,NSF( )

M,TSF( )

ND θ 0=( )

θcosρ

--------------- 1ρ0-------= ou ρ ρ0 θcos=



On peut donc énoncer le deuxième théorème de Meusnier :

Ce théorème généralise une proposition évidente concernant lasphère :

la section oblique est un petit cercle et la section normale ungrand cercle. On constate que géométriquement le centre du petitcercle est la projection du centre du grand cercle (figure

51

).

On peut donc étudier les sections obliques à partir des sectionsnormales.

2.2.5.7 Étude des sections normales

Dans ce qui suit :

ρ

=

ρ

N

Le problème est de savoir comment varie

ρ

lorsque le plan

sécant tourne autour de la normale . Ce plan est défini comme

l’indique la figure

52

. est une position arbitraire, forme

avec un trièdre direct. Un plan quelconque contenant

la courbe coupe (

Σ

) suivant une section dont la tangente est

(figure

52

) :

Pour cette section caractérisée par une valeur de

λ

, on a :

Cherchons pour quelle direction la courbure passe par un extré-mum.

(2

f

+ 2

g

λ

)(

E

+ 2

F

λ

+

G

λ

2

) – (2

F

+ 2

G

λ

)(

e

+ 2

f

λ

+

g

λ

2

) = 0

(27)

Équation aux directions principales

Cette équation est l’équation aux directions propres. Elle a, engénéral, deux racines

λ

1

,

λ

2

. Les directions correspondantes sontdites principales. On peut montrer que ces deux directions

sont orthogonales (figure

53

), d’où .

Équation aux rayons de courbure principaux

De la relation qui définit les extrémums, nous pouvons tirer :

Pour que ce système admette une solution autre que la solutionbanale, il faut et il suffit que le déterminant soit nul :

(28)

C’est l’équation aux rayons de courbure principaux.

Cette équation a, en général, deux racines

ρ

1

et

ρ

2

que l’on appelle

rayons de courbure principaux. Par exemple, pour un cylindre, nousavons le résultat exprimé par la figure

52

.

Courbure moyenne, courbure totale ou courbure de gauche

On appelle courbure moyenne la demi-somme des courbures

(29)

Le centre de courbure de la section oblique est la projectionorthogonale sur le plan sécant du centre de courbure de la sectionnormale menée par la tangente à la surface.

1ρ----- e du 2 2f du dv g dv 2+ +

Edu 2 2F du dv G dv 2+ +-----------------------------------------------------------------------=

ND

TSF0BSF0

TSF0et ND

TSF

TSF0, TSF( ) ϕ=

ϕtan dvdu--------- Cte λ= = =

e 2f λ g λ2+ +E 2F λ G λ2+ +------------------------------------------

1ρ----- λ( ) =

ddλ--------- 1 ρ ----- 0 pour =

TSF1 et TSF2

TSF1TSF2

⋅ 0=

1ρ----- f g λ+

F G λ+-------------------= ; 1 ρ ----- e f λ

+

E F

λ

+-------------------= ou

e 1

ρ

----- E – du f 1 ρ

----- F – dv + 0 =

f 1

ρ

----- F – du g 1 ρ ----- G – dv + 0 =

Figure 51 – Section normale et section oblique d’une sphère

Figure 52 – Déplacement sur une section normale

Figure 53 – Directions principales

EG F 2–[ ] 1 ρ

2 -------- 2f F Eg – eG – [ ] 1 ρ

----- eg f 2 –+ + 0 =

12----- 1

ρ1 ρ 2+( )--------------------------× – 1

2 ----- 2f F Eg – eG –

EG F

2

–----------------------------------------=



On appelle courbure totale, le produit des courbures

(30)

Si

f

2

–

eg

= 0, un des rayons de courbure est infini.

Allure locale de la surface

Suivant la valeur de f 2 – eg, la nature du paraboloïde osculateurvarie comme représenté sur la figure 54 :

f 2 – eg < 0 point elliptique

f 2 – eg = 0 point parabolique

f 2 – eg > 0 point hyperbolique

Formule d’Euler

La formule d’Euler permet, lorsque l’on connaît les rayons decourbure principaux, de trouver le rayon de courbure d’une sectionquelconque.

Prenons comme axes locaux les directions principales

et la normale (figure 55).

Mais :

Comme , on en déduit la formule d’Euler :

(31)

Torsion géodésique. Formule d’Ossian-Bonnet

Les formules de Darboux donnent :

En calculant , on aura une expression de la torsion

géodésique.

La torsion géodésique ne dépend pas de θ mais de ϕ ; c’est-à-direde la tangente. Elle s’annule pour les deux directions principales.

2.2.5.8 Courbes particulières tracées sur une surface

Ligne asymptotique

On appelle ligne asymptotique, les lignes pour lesquelles ladeuxième forme fondamentale est nulle :

e du 2 + 2f du dv + g dv 2 = 0 (32)

Figure 54 – Étude locale de la surface

Figure 55 – Détermination de la courbured’une section normale quelconque

1ρ1------- 1

ρ2-------⋅ eg f 2–

EG F 2–------------------------=

z 12----- e du 2 2f du dv g dv 2 + + [ ] =

TSF1, TSF2

ND

TSF TSF1ϕcos TSF2

ϕsin+=

TSF ϕcos ∂ OM ∂ s

1 ---------------- ϕ sin ∂ OM ∂ s 2

----------------+=

d OMds

-----------------∂ OM∂s1

---------------- ds

1 ds ----------- ∂ OM

∂

s

2 ----------------

ds

2 ds -----------+=

ϕ

cosds

1

ds

-----------= ; ϕ sinds

2

ds -----------=

∂

N

D

∂

s

--------------

– 1 ρ ----- T = ;

∂

N

D ∂

s

-------------- T ⋅ – 1 ρ -----=

1

ρ

-----

– ∂

N

D ∂ s

1 --------------

ds 1 ds -----------

∂

N D

∂

s

2 --------------+

ds

2 ds ----------- T SF

1 ϕ cos T SF

2 ϕ sin + ( )⋅ =

– ∂

N

D ∂ s

1 -------------- ϕ cos

∂

N D

∂

s

2 --------------+ ϕ sin T SF

1 ϕ cos T SF

2 ϕ sin + ( )⋅ =

∂

N

D

∂

s

1

--------------

– 1 ρ 1 ------- T SF

1 = ;

∂

N

D ∂ s

2

-------------- – 1 ρ 2 ------- T SF

2 =

1

ρ

-----

1

ρ

1

------- ϕ cos T SF 1

1 ρ

2

-------+ ϕ T SF 2

sin T SF 1

ϕ cos T SF 2

ϕ sin + ( )⋅ =

TSF1TSF2

⊥( )

1ρ-----

1ρ1------- cos 2 ϕ 1 ρ

2 ------- sin 2 ϕ +=

dND

ds--------------- – θ

cos ρ --------------- T D

d θ

ds ---------

1 τ ---- + B D += ; d θ ds

--------- 1 τ ----+ dN

D

ds --------------- B D ⋅ =

dND

ds--------------- BD⋅

dND

ds---------------

∂ND

∂s1--------------

ds

1 ds -----------

∂

N

D ∂ s

2

-------------- ds

2 ds -----------+=

– 1 ρ

1 -------

ds

1 ds ----------- T SF

1 1

ρ

2 -------

ds

2 ds ----------- T SF

2 –=

d

θ

ds

---------

1

τ

----+

– 1 ρ 1 ------- ϕ cos T SF

1 B D ⋅( ) 1

ρ

2 ------- ϕ sin T SF

2 B D ⋅( ) –=

T

SF

1

ϕ

cos T

SF

ϕ

sin B

D

–=

; T

SF

2

ϕ

sin T

SF

ϕ

cos B

D

+=

T

SF

1

B

D

⋅

– ϕ sin = ; T SF 2

B D ⋅ ϕ cos =

d

θ

ds

---------

1

τ

----+

1

ρ

1

-------

1

ρ

2

-------–

ϕ sin ϕ cos =



Cela a lieu, par exemple, lorsqu’un rayon de courbure est infini(il y a des droites sur la surface). Le plan osculateur à la courbe estconfondu avec le plan tangent à (

Σ

).

Ligne de courbure

On appelle ligne de courbure d’une surface, les lignes tracéessur cette surface et telles qu’en tout point la torsion géodésiquesoit nulle.

C’est donc encore celles dont la direction est principale en chaque

point. vérifie l’équation aux directions principales (cf.

équation (27) du § 2.2.5.4 en portant ) :

(

Fg

–

Gf

)d

u

2

+ (

Eg

–

Ge

)d

u

d

v

+ (

Ef

–

Fe

)d

v

2

= 0

(33)

On peut montrer que le long de cette ligne, les normales à lasurface forment ce que l’on appellera ultérieurement une surfacedéveloppable.

Ligne géodésique

On appelle géodésique d’une surface des lignes tracées sur cettesurface et telles que la courbure géodésique soit nulle.

Le long d’une géodésique, la normale principale coïncide avec lanormale à la surface :

(34)

2.3 Enveloppes

2.3.1 Enveloppes de courbes

Soit , une courbe gauche dépendant d’un para-mètre

λ

. Ses coordonnées paramétriques sont dans un repère

:

x

=

x

(

t

,

λ

) ;

y

=

y

(

t

,

λ

) ;

z

=

z

(

t

,

λ

)

Pour chaque valeur de

λ

, on définit une courbe (C

λ

) de l’espace.En faisant varier

λ

, on obtient une famille de courbes. Cette famillede courbes forme une surface. Par exemple :

2.3.1.1 Conditions pour qu’une courbe de l’espaceait une enveloppe (E)

La courbe est exprimée en coordonnées paramétriques. Si (Cλ) aune enveloppe, à toute valeur du paramètre λ on peut associer :

— une courbe (Cλ) ;— un point P où (Cλ) est tangente à (E), c’est-à-dire où les deux

courbes (Cλ) et (E) ont même tangente.

On peut donc prendre comme coordonnées paramétriques de P,x, y, z. P est appelé point caractéristique :

x = x (λ) ; y = y (λ) ; z = z (λ)

Mais ce point est aussi sur (Cλ). On doit, en ce point, pouvoirécrire les coordonnées de M en fonction de λ, c’est-à-dire que t doits’exprimer sous la forme :

t = f (λ)

Cherchons maintenant la tangente à chacune des courbes.

Tangente à

Elle est portée par :

Tangente à (E)

Elle est portée par :

Pour que les vecteurs soient colinéaires, on doit avoir :

(35)

Autrement dit, c’est une circonstance exceptionnelle.

2.3.1.2 Résultat avec une représentation cartésienne

Supposons que la courbe soit définie en coordonnées carté-siennes par l’intersection de deux surfaces :

f (x, y, z, λ) = 0 (36)

g (x, y, z, λ) = 0 (37)

On se ramène à la formulation précédente en posant x = t. Lesdeux équations ci-dessus définissent en principe :

y = y (t, λ) (38)

z = z (t, λ) (39)

La condition vectorielle se traduit par :

Il y a donc 4 équations pour déterminer les trois fonctions quidéfinissent l’enveloppe :

x = x (λ) ; y = y (λ) ; z = z (λ)

En général, il y a incompatibilité.

2.3.1.3 Cas des courbes planes

Résultat en coordonnées paramétr iques ;

(40)

Cette équation fournit t en fonction de λ . En portant dansl’expression x = x (t ), y = y (t ), on obtient les coordonnéesparamétriques de l’enveloppe (E).

Résultat en coordonnées cartésiennes

On obtient l’enveloppe en éliminant λ entre les deux équations :

f (x, y, λ) = 0 (41)

(42)

Ce système permet de calculer les coordonnées paramétriquesde (E) :

x = x (λ) et y = y (λ)

Un exemple a été étudié directement en cinématique plane auparagraphe 1.6.

dudv---------

λ dudv---------=

d2 OMds2

-------------------- ND∧ 0 =

OM OM t, λ( ) =

O ; x 0 , y 0 , z 0 ( )

x 1 2λt–t 2 λ+

--------------------= ; y t 0,5 λ

t

2

–

t 2

λ

+----------------------------= ; z λ

t

2 λ

+

-----------------=

OM t, λ( ) OP ≡ ; t t λ( ) =

C( )

d OMdt

----------------- ∂ OM∂t

----------------=

d OPdλ

--------------- ∂ OM∂ λ

----------------∂ OM

∂f---------------- ∂ f

d λ -------+=

∂ OM∂ t

---------------- µ ∂ OP∂ λ

--------------⋅=

∂f∂ λ-------- 0= ; ∂ g

∂

λ --------- 0 =

x x t, ( ) =y y t, ( ) =

∂x∂t

-------- ∂ y ∂

λ -------- ∂ x

∂

λ -------- ∂ y

∂ t --------=

f x, y , ( ) 0 =

∂f∂ λ------- x, y, λ( ) 0 =



2.3.2 Enveloppe d’une surface à un paramètre

L’équation d’une surface dépendant d’un paramètre

λ

est de laforme :

(43)

Ses coordonnées paramétriques sont :

x

=

x

(

u

,

v

,

λ

) ;

y = y (u, v, λ) ; z = z (u, v, λ)

2.3.2.1 Détermination en coordonnées paramétriquesde l’enveloppe (E) de (S)

Si (Sλ) a une enveloppe, à toute valeur de λ , on peut associer :— une surface (Sλ) ;— une courbe (Γ) où, en chaque point, les deux surfaces ont

même plan tangent. (Γ) est appelée caractéristique.

On prendra comme coordonnées paramétriques de (Γ) :

x = x (u, v ) ; y = y (u, v ) ; z = z (u, v )

Ce point est aussi point de (Sλ). On doit donc pouvoir écrire ence point les coordonnées de M en fonction de u et v ; c’est-à-direque l’on doit pouvoir exprimer λ comme fonction de u, v :

λ = λ(u, v )

Normale au plan tangent en (S)

Normale au plan tangent à (E)

Les deux vecteurs doivent être parallèles. En expri-

mant que leur produit vectoriel est nul, on obtient :

(44)

ce qui se traduit par l’annulation du déterminant :

(45)

De cette relation, on peut tirer : λ = λ(u, v).

En portant dans (43), on obtient les coordonnées paramétriquesde l’enveloppe (E).

2.3.2.2 Cas de l’utilisation des coordonnées cartésiennes

La surface est définie par : f (x, y, z, λ) = 0 (46)

On aura l’équation de l’enveloppe en éliminant λ entre l’équationde la surface et son équation dérivée par rapport à λ.

(47)

2.3.2.3 Enveloppe de la courbe caractéristique

Nous allons montrer que nous sommes dans le cas particulier oùune courbe de l’espace a une enveloppe. La courbe caractéristiqueest définie par l’intersection de deux surfaces :

On obtient l’équation de l’enveloppe en adjoignant les équationsdérivées par rapport à λ , soit :

Il y a donc au total seulement 3 équations pour déterminer x, y, zen fonction de λ :

2.3.3 Enveloppe d’une surface à deux paramètres

Soit , une surface dépendant de deux

paramètres. On généralise les résultats précédents.

OM OM u, v, λ( ) =

OP OP u, v ( ) =

OM u, v, λ( ) OP si λ λ u, v ( ) ==

NS∂ OM

∂u---------------- ∂ OM

∂v----------------∧=

NE ∂ OM∂u

----------------∂ OM

∂ λ---------------- ∂ λ

∂u---------⋅+ ∂ OM

∂v----------------

∂ OM∂ λ

---------------- ∂ λ∂v---------⋅+ ∧=

NS et NE

∂ OM∂u

---------------- , ∂ OM∂ v

---------------- , ∂ OM∂ λ

---------------- 0=

∂x∂u-------- ∂y

∂u-------- ∂z

∂u--------

∂x∂v-------- ∂y

∂v-------- ∂z

∂v--------

∂x∂ λ-------- ∂y

∂ λ-------- ∂z

∂ λ--------

0=

Exemple

Soit la formule de surface définie par l’équation

18

λ

2

x

+

y

– 6

λ

z

– 3

λ

4

= 0

(48)

L’équation dérivée s’écrit :

36

λ

x

– 6

z

– 12

λ

3

= 0

(49)

La caractéristique est l’intersection de ces deux plans. On obtientune représentation pluckérienne :

On a une représentation paramétrique classique :

Cette famille de droites engendre l’enveloppe (E). On pourrait obtenirson équation cartésienne en éliminant

λ

entre les deux équations.

Par

exemple

, l’enveloppe de la famille de plans de l’exempleci-dessus s’obtient par la résolution de :

d’où

x

=

λ

2

;

y

= 9

λ4 ; z = 4λ3

Exemple : famille de plans à deux paramètres

x sinλ1cos λ2 + y sinλ1sin λ2 + z cosλ2 = 1

∂f∂ λ--------- x, y, z, λ( ) 0 =

xz

6λ--------- λ2

3--------+= ; y 3 λ z 3 λ 4 – =

x t6λ--------- λ2

3--------+= ; y 3 λ t 3 λ 4 –= ; z t =

( )

f x, y, z, λ( ) 0 = et ∂

f ∂ λ ------- x, y, z, λ( ) 0 =

∂f∂ λ------- x, y, z, λ( ) 0 = ; ∂

2

f ∂

λ

2 ------------ x, y, z, λ( ) 0 =

f x, y, z, λ( ) 0 = ; ∂

f ∂ λ --------- x, y, z, λ( ) 0 = ; ∂

2

f ∂

λ 2 ------------ x, y, z, λ( ) 0 =

18λ2x y+ 6λz– 3λ4– 0=

36λx 6z– 12λ3– 0=

36x 36λ2 0=–

OM OM u, v, λ 1 , λ 2 ( ) =



Détermination en coordonnées paramétriques

L’enveloppe s’obtient en résolvant :

Détermination en coordonnées cartésiennes

Si l’équation implicite de la surface est

f

(

x

,

y

,

z

,

λ

1

,

λ

2

) = 0, l’enve-loppe s’obtient en résolvant :

La surface est tangente à son enveloppe en un ou plusieurs pointsalors que, pour les surfaces à un paramètre, la tangence a lieu lelong d’une ligne.

2.4 Surfaces réglées

Les surfaces réglées jouent un rôle particulièrement important encinématique et, plus généralement, en mécanique et dans diversesbranches de la physique.

2.4.1 Définition

La surface réglée est une surface engendrée par le déplacementd’une droite (G) appelée génératrice qui ne dépend que d’un para-mètre

u

.

Soit un vecteur unitaire de la génératrice passant par unpoint A situé sur une courbe arbitraire (C) tracée sur (S)(figure

56

).

L’équation de la courbe est :

Un point courant de la génératrice est donc défini par :

v

est un scalaire variable qui peut être positif ou négatif. Quand

v

varie,

u

restant fixe, le point décrit la génératrice. Lorsque

v

restefixe et que

u

varie, le point M se déplace sur (C). Une courbe telleque (C) est appelée directrice.

Des exemples de surfaces réglées sont données figure

57

.

2.4.2 Plan tangent à la surface réglée (S)

Un vecteur normal à (S) non unitaire est :

(50)

Si P est un point courant du plan tangent passant par M, l’équationdu plan tangent est :

(51)

2.4.3 Plan asymptote

On appelle plan asymptote d’une surface réglée (S) la limite,quand elle existe, du plan tangent quand le point M s’éloigne àl’infini sur (G).

Si

(52)

Le plan tangent tend vers :

(53)

Remarquons que la normale en un point quelconque de (G)s’écrit :

(54)

2.4.4 Point central. Plan central

On appelle point central de la génératrice (G), le point où le plantangent est perpendiculaire au plan asymptote. Le plan tangent ence point s’appelle plan central (figure

58

).

Au point central

Γ

, la normale est perpendiculaire à la normaleau plan asymptote :

Désignons par

v

0

la valeur de

v

au point central. Déterminons

v

0

:

Figure 56 – Définition d’une surface réglée quelconque

OM OM u, v, λ 1 , λ 2 ( ) ; ∂ OM ∂

u

--------------- , ∂ OM ∂

v

---------------- , ∂ OM ∂

λ

1

---------------- 0; ==

∂

OM

∂

u

----------------

,

∂

OM

∂

v

----------------

,

∂

OM

∂

λ

2

----------------

0

=

f x,y,z,λ1,λ2( ) 0 ; ∂f∂λ1----------- x,y,z, λ 1 , λ 2 ( ) 0 ==

∂

f

∂

λ

2

------------ x,y,z, λ 1 , λ 2 ( ) 0 =

g

OA OA u( )=

OM OA u( ) v g u( )+=

N ∂ OM∂u

---------------- ∂ OM∂v

----------------∧= ; ∂ OM∂u

---------------- ∂ OAdu

--------------- v+= dg

du ----------- ; ∂ OM

∂

v ---------------- g =

N dOAdu

--------------- g∧ v dgdu ----------- g ∧ +=

MP N⋅ 0=

OP OM–( ) dOAdu

--------------- g∧ v dg

du ------------ g ∧ + 0 = ⋅

v ∞→ ; la normale tend vers : N ∞ d gdu

------------ g ∧ =

OP OM–( ) d gdu

------------ g∧ 0=⋅

N dOAdu

--------------- g∧ v N∞+=

N Γdgdu

------------ g∧⋅ 0=

OΓ OA v0 g u( )+=



La normale au point central Γ est :

(55)

(56)

2.4.5 Ligne de striction

Le lieu des points centraux est appelé ligne de striction.

On peut naturellement prendre comme directrice la ligne de stric-tion. Dans ce cas, A est identique à Γ (figure 59) :

Cela entraîne d’après la formule (56) :

ce qui entraîne :

Mais est orthogonal à :

Par ailleurs : (57)

On en déduit : (58)

Notons que le trièdre est trirectangle.

2.4.6 Formule de Chasles. Paramètre de distribution

Lorsque, partant du point central, on se déplace sur la génératrice,

le plan tangent tourne de en passant du plan central au plan

asymptote (figure 58). Nous allons étudier cette rotation.

Pour cela, nous étudions la rotation de la normale en utilisant

le trièdre local supposé direct (figure 60).

— Au point central, la normale est portée par .

— En un point M quelconque de la génératrice (G), elle est perpen-

diculaire à . Elle est donc parallèle au plan .

On peut donc la repérer par :

On peut déterminer ϕ par son cosinus et son sinus :

On pose : (59)

p est appelé paramètre de distribution ; d’où .

p est caractéristique d’une génératrice.

Cette formule est dite formule de Chasles. Le ligne de p renseignesur le sens de la rotation du plan tangent.

2.4.7 Exemple : étude de l’hélicoïde à plan directeur

C’est la surface de la vis à filet carré (figure 61).

L’hélicoïde à plan directeur est la surface de la vis à filet carré.C’est la surface engendrée par une droite (G) passant par M, point

courant de l’hélice et parallèle au plan . Ce plan est dit

plan directeur. Ce plan est perpendiculaire à . (G) est donc

perpendiculaire à . La génératrice rencontre .

Les coordonnées de A, point appartenant à l’hélice sont :

L’angle d’inclinaison de l’hélice sur le plan horizontal est :

De ces deux valeurs de θ on peut déduire : p = 2πb

N ΓdOAdu

--------------- g∧ v0 N∞+=

dOAdu

--------------- g∧ dgdu

------------ g∧ ⋅ v0 dgdu

------------ g ∧

2

+ 0 =

v

0 dOAdu

---------------

g

∧

dgdu

------------

g

∧

⋅

dgdu

------------

g

∧

2

----------------------------------------------------------------------------–=

v0

dOAdu

---------------

dgdu

------------

⋅

dgdu

------------

2 --------------------------------–=

OΓ OA

dOAdu

--------------- d gdu

------------⋅

dgdu

------------ 2

-------------------------------- g⋅–=

OΓ OA=

dOAdu

--------------- d gdu

------------⋅ 0=

dOΓdu

-------------- d gdu

------------⋅ 0=

g d gdu

------------⋅ 0 ; dgdu

------------=dOΓdu

-------------- et à g

dgdu

------------ a g dOΓdu

--------------∧⋅=

N Γ est porté par g dOΓdu

--------------∧

N Γ g dO Γ

du -------------- ∧ –=

g , d gdu

------------ , dOΓdu

--------------

π2-----

N

Γ ; dgdu

------------ , dO Γ du

-------------- , g dgdu

------------

g d gdu

------------ , dOΓdu

--------------

ΓM v g ; d gdu

------------ , N ϕ= ; N dOΓdu

-------------- g∧ v d gdu

------------ g ∧ +==

ϕcos dOΓ

du-------------- ,g , dg

du------------

N dgdu

------------⋅------------------------------------------------= ; sin ϕ v

dgdu

------------

2

N dgdu

------------

⋅ ---------------------------------–=

ϕ

tan v

d gdu

------------

2

dO

Γ

du

--------------

,g , d gdu

------------

----------------------------------------------–=

p dO

Γ

du --------------

, g , d g

du ------------

d gdu

------------

2

------------------------------------------------–=

ϕtan vp-----=

O, x0 , y0( )

O, z0[ ]

O, z0[ ] z0

OA a cosu,a sinu,bu [ ] R 0

= dans le repère R 0 ( )

s a

2

b

2

+

u

=

tanθ u( ) bua

--------- pour u 2= π=

tanθ 2π( ) b 2πa

-------------- et tanθ 2π( ) pa-----==



Figure 57 – Exemples de surfaces réglées

Figure 58 – Situation relative du plan central et du plan asymptote

Figure 59 – Ligne de striction. Normale à (S) au point central

Figure 60 – Rotation du plan tangent



La longueur d’un arc d’hélice correspondant à une rotation de 2

π

est donc :

Point courant M de la génératrice

Un vecteur unitaire de la génératrice est :

Plan asymptote

La normale au plan asymptote est :

La normale au plan asymptote est portée par . À l’infini, leplan tangent est horizontal. C’est le plan horizontal passant par (G).

Plan central de la génératrice

Il est donc vertical. C’est le plan vertical passant par (G). Il contient

donc aussi .

Point central

Il est défini par

v

=

v

0

,

v

0

étant donné par la formule (55).

La formule (56) donne :

Le point central est donc le point A’ et le plan central .

Paramètre de distribution p

p est donné par la formule (59).

La figure 61c résume les résultats.

Ligne de striction

Le lieu des points centraux est l’axe .

Figure 61 – Étude de l’hélicoïde à plan directeur

s a 2 b 2+ 2× π d ′où s 2 4π 2 a 2 b 2+( )==

OM buz v+ g ; OM v cosu, v sinu, bu[ ]R 0==

g

g a cosu, a sinu, 0[ ] 1

a

2

b

2

+----------------------------=

N∞d gdu

------------ g∧=

dgdu

------------ a usin – a ucos

0

1

a

2

b

2

+----------------------------=

dgdu

------------

g

∧ a usin – a ucos

0

R

0

a ucosa usin

0

R

0

1a

2

b

2

+----------------------

∧

=

dgdu

------------

g

∧

00

a 2 – R 0

1a

2

b

2

+

----------------------=

z0

0, z0( )

dOAdu

--------------- a usin – a ucos

b

R

0

; dgdu

------------ 1

a

2

b

2

+----------------------------=

a usin – a ucos

0

R

0

=

v

0 a 2 b 2 +–=

OΓ00

bu R 0

=

A′ ,g , z0( )

dgdu

------------2a 2

a 2 b 2+---------------------- ; dO Γ

du --------------

00b

R

0

==

dO

Γ

du

--------------

,g , dgdu

------------

+ a 2 ba

2

b

2

+----------------------=

p b – ; tan ϕ vp

-----==

O ; z 0 ( )



Propriétés particulières de l’hélicoïde à plan directeur

L’hélicoïde à plan directeur a une propriété remarquable. Sa cour-bure moyenne est nulle. On désigne ce type de surface sous le nomde surface minimale :

En utilisant les formules de la théorie des surfaces pour calculer

E

,

F

,

G

et

e

,

f

,

g

:

2.5 Surfaces réglées développables

2.5.1 Condition pour qu’une surface régléesoit développable

La normale au plan tangent doit demeurer la même tout le longde la génératrice. Sa rotation est définie par le paramètre de distri-bution :

Si

La direction de (G) est fixe. Nous avons les surfaces cylindriques.

La normale est ; et l’on a

p

→

∞

Si

Le point

Γ

est un point fixe de l’espace. Toutes les génératricespassent par ce point. On a une surface conique.

p

= 0

(60)

Un vecteur normal est :

(61)

Si

le produit mixte peut être nul sans que le soient. On

a alors une développable générale. Le trièdre

n’est plus un vrai trièdre.

La condition générale pour qu’une surface soit développable estdonc, dans tous les cas, exprimée par :

(62)

2.5.2 Arête de rebroussement

Notons que l’on a toujours :

Il s’ensuit que , qui sont coplanaires et perpendicu-

laires à , ont même support et même direction.

est donc porté par la tangente au lieu de

Γ

qui prend le nomd’arête de rebroussement (figure

62

) :

(63)

Définition

On appelle surface développable, une surface réglée dont leplan tangent est le même tout le long de la génératrice.

On sait par la géométrie élémentaire que cette propriété setrouve réalisée dans des surfaces comme le cône ou le cylindre.Mais cette propriété se trouve aussi dans d’autres surfaces quel’on désigne sous le nom de développables générales. Les sur-faces développables ont de nombreuses applications, notam-ment du fait que l’on peut les appliquer sur un plan.

12----- 1 ρ 1

------- 1 ρ 2

-------+ 12 ----- – 2f G Eg

– eG

–

EG F

2

–------------------------------------------=

12----- 1 ρ 1

------- 1 ρ 2

-------+ 0 =

p dO

Γ

du

--------------

, g , dgdu

------------

dgdu

------------

2 ---------------------------------------------------–=

dgdu

------------ 0, g g0==

N dOΓdu

-------------- g∧=

dOΓdu

-------------- 0, OΓ OΓ0==

N dgdu

------------ g∧=

Figure 62 – Surface développable : plan tangent en M

dOΓdu

-------------- ,g , dgdu

------------ 0=

dgdu

------------ ou dOΓdu

--------------

dOΓdu

-------------- ,g , dgdu

------------

dOΓdu

-------------- , g , d gdu

------------ 0=

g d gdu

------------⋅ 0=

dOΓdu

-------------- d gdu

------------⋅ 0=

g et dOΓdu

--------------

d gdu

------------

g

g µ dO Γ du --------------=



On peut noter une caractéristique importante : on peut consi-dérer une surface réglée développable comme engendrée par lestangentes à une courbe gauche.

2.5.3 Plan osculateur en à l’arête de rebroussement

Soit , le trièdre de Frenet en

Γ

:

s

étant un arc de courbe sur l’arête de rebroussement.

La normale au plan osculateur est portée par :

2.5.4 Plan tangent à la surface

La normale à la surface est portée par :

(64)

(65)

a la direction de .

Le plan tangent en un point de la surface en M est le même quele plan osculateur de l’arête de rebroussement au point où la géné-ratrice (G) est en contact avec elle.

2.5.5 Autre forme de la conditionpour qu’une surface soit développable

Comme la surface peut être considérée comme engendrée par latangente à une courbe gauche (G), on peut écrire :

En prenant comme paramètre

s

au lieu de

u sur la courbe (Γ) et

en utilisant le trièdre de Frenet :

Les éléments de la première forme fondamentale sont :

La normale à la surface est portée par .

Les éléments de la deuxième forme fondamentale sont :

De même : f = 0 ; g = 0

Par suite : eg – f 2 = 0 (66)

Et, d’après la formule (30)

(67)

La courbure de Gauss est nulle. On peut montrer que cette pro-priété est caractéristique des surfaces développables.

2.5.6 Exemple : hélicoïde développable

C’est la surface engendrée par les tangentes à une hélice circulaire.On trouve ce type de surface dans certaines vis d’Archimède utiliséesdepuis longtemps pour élever de l’eau ou des produits granuleuxdivers (figure 63a ).

TSF, NSF, BSF

TSFdOΓds

-------------- ; N SF ρ d 2

O Γ

ds 2 ------------------ ; B SF T SF N SF ∧ ===

BSF

BSF ρ dO Γ ds -------------- d

2

O Γ ds

2

------------------ ; ∧ B SF ρ duds ---------

3 dO Γ

du -------------- d

2

O Γ du

2

------------------ ∧ ==

N∞

N dgdu

------------ g ; g µ = dO Γ du -------------- ∧ =

N dµdu--------- dOΓ

du--------------⋅ µ d

2

O Γ du

2 ------------------+ µ dO Γ du -------------- ∧ =

N µ2 d

2

O Γ du

2 ------------------ dO Γ

du

-------------- ∧ =

N BSF

OM OΓ v dO Γ du --------------+=

TSF, NSF, BSF

OM s,v( ) OΓ s( ) v dO Γ ds --------------+=

∂

OM

∂

s

----------------

T

SF

v

ρ

----- + N SF ; ∂ OM ∂ s

---------------- T SF ==

E 1 v 2

ρ 2--------+ ; F 0 = ; G 1 ==

∂

2

OM

∂

s

2

------------------- v ρ

2 -------- T SF – 1 ρ ----- v

ρ

2 -------- d ρ

ds ---------– N SF v ρτ -------- B SF + +=

Figure 63 – Hélicoïde développable : vis d’Archimède

BSF

e ∂ 2OM∂s2

------------------- BSF⋅ ; e vρτ--------==

1ρ1------- 1

ρ2-------⋅ 0=



Le point courant de la surface est :

Un vecteur unitaire de la génératrice est

Plan asymptote

Sa normale est :

ce vecteur est porté par AA’.

Le point central

Γ

est donc le point A courant de l’hélice. L’arêtede rebroussement est l’hélice.

Paramètre de distribution

p

= 0

La surface, comme on s’y attendait, est développable.

Plan tangent en M

La normale a la même direction tout le long de la génératrice :

Le plan tangent en M est le plan osculateur en A à l’hélice.

Intersection avec le plan

z

= 0 ;

x

=

a

cos

u

+

au

sin

u

;

y

=

a

sin

u

–

au

cos

u

C’est une développante de cercle (figure

63

b

).

Intersection avec le plan

Ph est le pas de l’hélice.

Pour

u

= 0, le point est à l’infini : M (figure

63

c

).

Pour . C’est le point N.

Pour , l’intersection est la branche NM.

Pour , l’intersection est la branche NP.

Pour , l’intersection est la branche QR.

Pour , l’intersection est la branche SR.

On peut dire que l’hélicoïde développable est une vis de pas Phdont la courbe MNP est le profil (figure

63

c

).

2.6 Surfaces axoïdes

Une catégorie importante de surfaces réglées est constituée parles surfaces axoïdes que nous avons mises en évidence au para-graphe 2.5 de l’article [A 1 661].

2.6.1 Cas général

Si deux solides (S

1

) et (S

2

) sont en mouvement l’un par rapportà l’autre, il existe une droite (

∆

21

) telle qu’en tout point on ait (article[A 1 661]) :

Pour déterminer l’axe central, on a les relations suivantes, A étantun point quelconque (article [A 1 661]) :

I

* est le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur (

∆

21

) et

λ

le pas du mouvement hélicoïdal tangent.

OM OA v T +=

OA a cosu, a sinu, bu

[ ]

R

0

=

T 1

a

2

b

2

+---------------------------- a – sinu, a cosu, b [ ] R

0 =

OM

a cosu a

a

2

b

2

+---------------------------- v sinu –

a sinu a

a

2

b

2

+---------------------------- v cosu +

bu bv

a

2

b

2

+----------------------------+

R

0

=

g T =

N∞

N∞d gdu

------------ g∧=

dgdu

------------1

a 2 b 2+---------------------------- a – ucos , a sin – u, 0 [ ] R

0 =

N∞1

a 2 b 2+----------------------- ab – sinu, ab cosu, a 2 – [ ] R

0 =

v0

dOAdu

---------------

d gdu

------------

⋅

dgdu

------------

2 ----------------------------------–=

dOAdu

--------------- a – usina ucos

b

R

0

; dOA

du

---------------

dgdu

------------

⋅

0

==

v

0

0 ; O

Γ

OA

==

p dO

Γ

du

--------------

, g , dgdu

------------

dgdu

------------

2

---------------------------------------------------–=

dO

Γ

du

-------------- a – sinu, a cosu, b [ ] R 0

=

g d gdu

------------

∧

1a

2

b

2

+---------------------- + ab sinu, a b – cosu, + a 2 [ ] R

0 =

N aa 2 b 2+---------------------- ab – sinu, ab cosu, a 2 – [ ] R

0 =

O,x 0 , y0( )

O, y0 ,z 0( )

x 0= ; y ausin

---------------= ; z b u 1tanu

---------------+ =

b Ph2

π

---------=

u π2----- ; y a = ; z Ph

4 ---------==

0 u π2-----< <

π2----- u π< <

π u 3π2

---------< <

3π2

--------- u 2π< <

v21 I( ) λ Ω 2

1=

AI*Ω 2

1 v21 A( )∧

Ω 21 2

----------------------------------- ; λ Ω

21

v

21

A

( )⋅

Ω

21

2 ---------------------------------==



Propriété. Théorème de Poncelet

Pour cela, nous allons montrer que (

Σ

1

) et (

Σ

2) ont même plantangent en un point tout le long de (∆). On définira le plan tangenten un point M de (∆) par :

— la génératrice (∆) ;— la tangente à une courbe quelconque.

Soit une courbe (C1) quelconque tracée sur (Σ1) (figure 64).

Soit M, le point de rencontre de (∆) et de (C1). Comme (∆) décrit(Σ1), le point M se déplace sur (C1).

Ce point M est aussi sur (Σ2) (car il est sur ∆). Il décrit donc aussiune courbe (C2) sur (Σ2).

Calculons dans (R1) repère lié à (S1)

est porté par la tangente à (C1)

est porté par la tangente à (C2)

est porté par (∆) car M est situé sur (∆).

Ces trois vecteurs sont coplanaires.

Conclusion

Le plan tangent en M à (Σ1) est déterminé par (ou ∆).

Le plan tangent en M à (Σ2) est déterminé par (ou ∆).

Les deux plans tangents sont donc confondus en M et les surfaces(Σ1) et (Σ2) sont tangentes en M, point quelconque de l’axe (∆).

Remarque : dans le cas général, il y a en chaque point M un plan tangent commundifférent.

2.6.2 Cas particuliers importants

Le couple de surfaces axoïdes ne peut être arbitrairement choisicar, les deux surfaces étant tangentes tout le long de (∆), elles ontmêmes points centraux, mêmes plans centraux et mêmes para-mètres de distribution.

— Si l’une des surfaces est une surface développable, l’autre sur-face est aussi une surface développable.

— Si l’une des surfaces est un cylindre, l’autre surface est aussiun cylindre.

2.6.3 Exemple

Dans le schéma de la figure 65, des dispositifs non représentéspermettent de réaliser les liaisons :

z = hψ h > 0 ; ϕ = – Kψ K > 0

On veut déterminer les surfaces axoïdes du mouvement de (S3)par rapport à (S0).

Déterminons au préalable le vecteur rotation et la vitesse d’unpoint quelconque, par exemple O3 :

Détermination de l’axe central

Il a la direction de et passe par I* :

Le point I* est un point fixe de :

Théorème : à l’instant t, les surfaces (Σ1) et (Σ2) ont encommun la génératrice (∆) et elles sont tangentes en chaquepoint de (∆).

v1 M( )

v1 M( ) v 2 M( ) v 21 M( )+=

v1 M( )

v 2 M( )

v21 M( )

v1 M( ) et v21 M( )

v 2 M( ) et v21 M( )

Ω 30 ψ ′ 0, K – , 1 [ ] R

1 v 3

0 O 3 ( ) ψ ′ = O,R,h [ ] R 1

=

Figure 64 – Illustration du théorème de Poncelet

Figure 65 – Surfaces axoïdes du mouvement de (S

3

) par rapport à (S

0

)

Ω 30

O3I*Ω 3

0 v 30 O3( )∧

Ω 30

2-------------------------------------- ; O3I*

Kh R

+ 1 K

2 +

-------------------- x 1 –==

O2, x 1 ( )

λΩ 3

0 v 30 O3( )⋅

Ω 30 2

------------------------------------ ; λ RK – h +

1 K

2

+---------------------------==



Si

h

=

RK

, le mouvement est une rotation de centre

I

* = O

2

Surfaces axoïdes (

Σ

0

), surface engendrée par (

∆

30

) sur

Un vecteur unitaire de l’axe central est :

Soit un point courant de (

∆

30

).

x

0

=

x

0

(

ψ

,

ρ

) ;

y

0

=

y

0

(

ψ

,

ρ

) ;

z

0

=

z

0

(

ψ

,

ρ

)

C’est l’équation d’une surface hélicoïdale.

Si

h

=

RK

C’est la surface de vis à filets triangulaires. L’hélice directrice esttracée sur le cylindre de rayon

R

.

Surface axoïde (

Σ

3

)

Soit

On peut écrire en coordonnées cartésiennes :

C’est l’équation d’un hyperboloïde.

Si

C’est un hyperboloïde d’axe et de rayon de cercle degorge R .

Les surfaces axoïdes sont représentées sur la figure

66

.

3. Cinématique appliquée

3.1 Machine au sens général

L’objet de la cinématique appliquée est de traiter plus particu-lièrement des mécanismes généraux dont l’assemblage permet deréaliser une machine.

Selon Ampère (Essai sur la philosophie des sciences, 1830), il fautentendre par machine un instrument à l’aide duquel on peut changerla direction et la vitesse d’un mouvement. Les mécanismes appa-raissent comme des machines élémentaires. Reuleaux (Cinéma-tique, 1877) est plus précis : une machine est un assemblage de corpsrésistants, disposés de manière à obliger les forces mécaniquesnaturelles à agir, en donnant lieu à des mouvements déterminés.

Dans ce paragraphe, nous nous proposons de donner lesméthodes générales communes à tous les mécanismes, c’est-à-direde rechercher les relations de cause à effet dans les phénomènesde la machine. Ces relations de cause à effet concernent naturelle-ment le mouvement.

3.2 Forme générale de l’expression cinématique d’une machine

Une machine est caractérisée par le fait que l’on peut obtenir unmouvement bien déterminé de l’un des solides lorsque l’on donneà un ou plusieurs des autres solides un mouvement bien déterminé.

Sur la figure 67a, les rotations θ2 et θ1 des arbres (S2) et (S1) sontliées par la relation : θ2 = K θ1 .

Si l’on prend un différentiel (figure 67b ), les rotations θ1 , θ2 , θ3sont liées par la relation : 2θ3 – θ1 – θ2 = 0. Si θ1 et θ2 sont connus,θ3 est bien déterminé.

z0

O3I* Kh R

+ 1 K

2 +

-------------------- cos ψ , sin ψ , 0 [ ] R 0

–=

O

I

* K RK h

–

( )

1 K

2

+------------------------------- cos ψ , K RK h

– ( )

1 K

2 +

------------------------------- sin ψ , h ψ R

0

=

u

u 1

1 K 2+

------------------- 0, K – ,1 [ ] R 1

; u 1

1 K

2

+------------------- = + K sin ψ , K – cos ψ ,1 [ ] R

0 =

OM x0 , y0 , z0[ ]R 0=

OM OI* ρ u+=

x0K RK h–( )

1 K 2+

------------------------------- cos ψ ρ

K

1 K 2

+------------------- sin ψ +=

y

0 K RK h – ( ) 1 K

2

+-------------------------------– sin ψ = ρ

K

1 K

2

+------------------- cos ψ –

z

0

h

ψ ρ

1 K

2

+-------------------+=

x0ρK

1 K 2+

------------------- sin ψ ; y 0 ρ K

1 K

2 +

------------------- –= cos ψ ; z 0 h ψ ρ

1 K

2

+-------------------+==

O3I* Kh R

+ 1 K

2 +

--------------------– cos ϕ , 0, sin ϕ [ ] R 3

=

u sin ϕ 1 K

2 +

-------------------– , K

1 K 2

+-------------------– , cos ϕ

1 K 2 +

------------------- R

3

=

O3M x3 , y3 , z3[ ]R3=

x3 Kh R

+ 1 K

2 +

--------------------– cos ϕ ρ

1 K

2

+-------------------– sin ϕ ; y 3

K ρ 1 K

2 +

-------------------–==

z

3 Kh R

+ 1 K

2 +

--------------------– sin ϕρ

1 K

2 +

------------------- cos ϕ +=

x 32 z 3

2 y 32

K 2--------–+ Kh R+

1 K 2+

-------------------- 2

=

h RK ; x 32 z 3

2 y 32

K 2--------–+ R 2

==

O3, y3( )

Figure 66 – Surfaces axoïdes : représentation



Dans ce qui suit, nous nous bornerons au cas le plus général oùl’on peut établir une relation entre deux éléments (S

1

) et (S

2

) enmouvement par rapport à un troisième élément (S

0

). Si

q

1

et

q

2

sont les paramètres qui définissent le mouvement de (S

1

) et (S

2

),le mouvement d’une machine peut s’étudier de la manièresuivante en déterminant 4 fonctions. Nous allons déterminer ceque l’on appelle parfois les relations entrée-sortie.

3.2.1 Établissement de l’équation de liaison

On établit la relation entre

q

1

et

q

2

par les procédés décrits dans

l’article [A 1 661] § 3.5, de ce traité.

q

2

=

f

1

(

q

1

)

(68)

Pour étudier cette relation, il est nécessaire de connaître sadérivée par rapport à

q

1

:

(69)

Remarque sur la relation

(68)

Cette forme mathématique peut cacher des situations très différentes comme lemontrent les exemples des figures

68

a

et

b

.

Sur la figure

68

a

, il s’agit de cylindres de friction d’axe dont les sections sont

coupées par le plan . Le mouvement est transmis de (S

1

) à (S

2

) si on assure

le roulement sans glissement :

En intégrant et en choisissant les conditions initiales, on obtient :

(70)

La liaison est semi-holonome, bien qu’elle se présente finalement sous la forme d’une

relation holonome. Mais la relation (70) ne peut être assurée par les effets de la seule

géométrie. En effet, la relation (70) n’est vérifiée que si les lois de Coulomb correspondant

au non-glissement sont vérifiées. Soit , la somme du torseur des actions de contact :

(71)

Autrement dit, la relation (70) ne peut aller sans la relation (71).

En clair : la relation (70) n’est pas cinétiquement déterminée. Si

f

ou |

X

12

| sontinsuffisants, il y a glissement en

I

. (S

1

) et (S

2

) peuvent tourner indépendamment l’un del’autre.

Dans l’exemple de la figure

68

b

, les solides (S

1

) et (S

2

), qui tournent autour de deux

axes parallèles sont munis de surfaces cylindriques dont les sections

planes sont des courbes (D

1

) et (D

2

). Nous avons un couple de roues formant un engrenage

cylindrique. Le contact a lieu en M.

Les courbes (D

1

) et (D

2

) sont liées à (S

1

) et (S

2

). Lorsque

θ

1

et

θ

2

varient, alors cescourbes se déplacent sur (R

0

). Ces deux courbes doivent être à tout instant tangentes.

Autrement dit, (D

2

) est l’enveloppe de (D

1

) se déplaçant sur (S

2

) :

F

(

x

,

y

,

θ

1

,

θ

2

) = 0

Si l’on choisit

a priori

les courbes (D

1

) et (D

2

), on tire :

θ

2

=

f

(

θ

1

)

Si les courbes sont des arcs de développantes de cercle, on sait que :

θ

2

=

K

θ

1

Les relations obtenues sont purement cinématiques. La relation de liaison a lieu quellesque soient les actions mécaniques, sauf s’il y a rupture du mécanisme.

3.2.2 Établissement de la relation entre les vitesses

Dérivons la relation (68) par rapport à t :

(72)

Il faut donc étudier, par les procédés habituels de l’analyse, lafonction f2 , déjà rencontrée en (69) :

Pour cela, il est nécessaire de connaître sa dérivée :

(73)

3.2.3 Accélération de sortie

Dérivons la relation entre les vitesses :

Figure 67 – Exemples de machines

Figure 68 – Établissement de l’équation de liaison

f2∂f1

∂q1-----------=

z 0

O1 ; x 0 , y 0 ( )

v 20 I( ) 0=

R1θ ′1 R 2θ ′2+ 0=

R1θ1 R2θ2+ 0= ; θ

2 θ 1

------- R

1 R 2 ---------– K = =

F 12

F12 X 12 ,Y12 , Z 12[ ] ; Y 122 Z 12

2 + f X 122 < =

O 1, z 0( ) et O 2, z 0( )

∂F∂θ1---------- x, y , θ 1 , θ 2 ( ) 0 ∂ F ∂θ

2 ---------- x, y, θ 1 , θ 2 ( ) 0 ==

q ′2∂f1

∂q1----------- q ′ 1 ;

q

′

2 q

′

1

---------- ∂

f

1

q

1 ( )

∂

q

1

-----------------------==

f2∂f1

∂q1-----------=

f3∂ 2f1

∂q 12

-------------=

q ″2∂ 2f1

∂q 12

------------- q ′ 12

∂

f

1 ∂ q 1

----------- q ″ 1 +=



Pour caractériser la machine du point de vue des accélérations,on se place dans le cas où :

(74)

On caractérise donc la machine du point de vue des accélérationspar le rapport entre l’accélération de sortie et le carré de la vitessed’entrée :

La connaissance de

f

3

nécessite notamment l’établissement desa dérivée :

(75)

En définitive, nous voyons que l’étude cinématique de la machinepeut se faire à l’aide de quatre fonctions :

3.2.4 Système à croix de Malte

Reprenons les éléments de la figure 59 de l’article [A 1 661] de cetraité.

Le mécanisme est représenté dans quatre positions.

En (

a

), l’ergot s’engage dans la rainure. À ce moment,

sont orthogonaux. À partir de cette position, il y a une

relation de liaison entre la position de (S

1

) et celle de (S

2

).

En (

b

), nous sommes dans une position quelconque du mouve-ment de (S

2

).

En (

c

), l’ergot sort de la rainure. La vitesse angulaire de (S

2

) estnulle.

En (

d

), (S

1

) tourne mais (S

2

) est immobile et immobilisé dans laposition précise qu’il avait en (

c

) grâce au système de blocage forméde deux surfaces cylindriques. Précisons, en vue d’une étude plusdétaillée, les éléments de la croix de Malte.

Si la croix a

z

rainures, on peut écrire :

(76)

(77)

(78)

Lorsque

ϕ

varie de –

β

à

β

, l’entraînement de (S

2

) par (S

1

) a lieuet

ψ

varie de –

α

à

α

. Pour les autres valeurs de

ϕ

,

ψ

reste constantet égal à –

α

(figure

69

).

Relation entre

Nous avons trouvé lorsque

ϕ

varie de 2

π

:

(79)

Pendant la phase de mouvement, on peut écrire la relation deliaison sous la forme :

(80)

Lorsque le solide (S1) fait un tour, le solide (S2) fait tour, mais

il est plus logique de caractériser le système sur la seule périodeoù il y a le mouvement, c’est-à-dire par le rapport de α et β :

(81)

q ′1 Cte ω1= =

q ″2ω1

2------------

∂ 2f1

∂q 12

-------------=

f3∂ 2f1

∂q 12

-------------=

f4∂ 3f1

∂q 13

-------------=

f1 q1( ), ∂f1

∂q1----------- ,

∂ 2f1

∂q 12

------------- , ∂ 3f1

∂q 13

-------------

O1M et O2M

α πz---- ; β π

2 -----= z 2 –

z -------------=

sin πz---- r

e----- ; cos π

z ---- R

e -----==

ϕ π2----- θ–=

et

tanψ r e⁄( )sinϕ1 r e⁄( )cosϕ–---------------------------------------- α – ϕ α =

ψ 0 α ϕ 2π α– =

Figure 69 – Système à croix de Malte à 5 rainures

tanψ sin πz----

sin ϕ 1 sin π

z

---- cos ϕ –

------------------------------------------=

1z-----

ε 2β2α--------- ; ε z 2 –

2 -------------==



Nous constatons que, suivant la nécessité, nous pouvons carac-tériser la relation entrée-sortie de différentes façons. On peut étudierla fonction définie par (79) :

(82)

ψ

=

f

1

(

ϕ

)

On a le tableau de variation (figure

70

a

).

Pour

ϕ

= 0 :

On peut alors tracer la courbe représentative pendant la périodede liaison. Pour la commodité, on a tracé un réseau de courbescorrespondant à différents nombres de rainures (figure

70

b

).

Pour une lecture plus facile, on peut représenter l’intégralité dumouvement (figure

71) y compris lorsqu’il y a arrêt de (S2) (article[A 1 661]).

On peut compléter cette étude en comparant les temps de mou-vement de (S2) lorsque (S1) tourne à vitesse constante (avec tm :temps de mouvement et ta : temps d’arrêt) :

(83)

(84)

Le rapport du temps d’arrêt au temps de mouvement est :

(85)

Pour le cas classique z = 4, on a un rapport 3. Ce rapport ne dépendque du nombre de rainures. Temps d’arrêt et temps de mouvementsont dans un rapport bien déterminé.

Relation entre les vitesses de sortie et d’entrée

On l’obtient en dérivant l’équation (80).

On a :

(86)

Dans tout mécanisme, on a à étudier ce type de fonctions.

(87) On peut dresser le tableau de variation (figure 72a ).

On trace la courbe représentative du rapport de vitesses. Sur lafigure 72b, on a un réseau de courbes pour différentes valeurs de z.

ψ arctan sin

π

z

---- sin ϕ

1 sin

π

z

---- cos ϕ –------------------------------------------=

∂ψ∂ϕ--------- sin π

z----

cos

ϕ

sin

π

z ----–

1 2sin

π

z

---- cos ϕ sin 2 π

z ----+–

--------------------------------------------------------------------- ; ∂ψ∂ϕ

--------- ∂

f

1

∂ϕ ----------==

∂ψ∂ϕ

---------

0 pour cos

ϕ

sin

=

π

z

----

ϕ β ± ==

∂ψ∂ϕ--------- sin π z⁄

1 sin π z⁄–-------------------------------=

tm2βϕ′

--------- ; t a 2 π 2 β – ϕ

′

----------------------==

tm2πϕ′

--------- z 2

– 2z -------------=

ta2πϕ′

--------- z 2

+ 2z --------------=

ta

tm-------- z 2+

z 2–--------------=

ψ ′ϕ ′------- sin π

z----

cos

ϕ

sin

π

z

----–

1 2sin

π

z

---- cos ϕ sin 2 π

z ----+–---------------------------------------------------------------------=

ψ ′ϕ ′--------

∂f1

∂ϕ---------- ϕ ( ) =

∂2f1

∂ϕ2------------ sin π

z ---- cos 2 π

z ---- sin ϕ

1 2sin

π

z

---- cos ϕ – sin 2 π

z ----+

2

------------------------------------------------------------------------------–=

Figure 70 – Relations de liaison pour la croix de Malteà 3, 4, 5 et 6 rainures

Figure 71 – Ensemble du mouvement : came à 4 rainures

ϕ 0=∂2f1

∂ϕ2------------ 0=

ϕ β –= ∂

2

f

1 ∂ϕ

2

------------ π

z ---- tan =

ϕ

+ β = ∂

2

f

1

∂ϕ

2 ------------

π z ---- tan –=



Relation entre l’accélération de sortieet le carré de la vitesse d’entrée

Dans de nombreux cas :

On se placera dans ce cas :

(88)

Le deuxième membre est

Pour étudier , il faut calculer sa dérivée :

(89)

Les valeurs de

ϕ

qui correspondent à l’extrémum sont solution de :

(90)

Comme la quantité sous radical est supérieure à 1, seul lesigne + convient.

On obtient deux valeurs

ϕ

m

et

ϕ

M

.

Par exemple pour

z

= 4,

ϕ

m

= 11

o

24’.

Pour

ϕ

= 0

On peut dresser le tableau de variation (figure

73

a

) et le réseaude courbes de la figure

73

b

.

Pour tout mécanisme, on peut conduire une étude de ce type quiporte sur la connaissance de 4 fonctions.

3.3 Réalisation d’un rapport de vitesses constant. Engrenages

On a fréquemment la situation suivante : deux solides (S

1

) et (S

2

)sont en rotation autour de deux axes fixes (

∆

10

) et (

∆

20

) non concou-rants dans le cas général (figure

74

). On désire que le rapport desvitesses angulaires des deux solides autour de leurs axes soitconstant.

Le problème est de déterminer par quelles surfaces (

Σ

1

) et (

Σ

2

)ces deux solides doivent être limités pour résoudre le problème.Leur détermination est à la base de la théorie des engrenages.

3.3.1 Surfaces axoïdes du mouvement de (S

2

)/(S

1

). Cas général

Le mouvement des deux solides est repéré sur les figures

75

a

,

b

et

c

. O

1

appartient à l’axe (∆10), orienté par est porté

par la perpendiculaire commune à (∆10) et (∆20). O2 est l’intersection

de cette perpendiculaire commune avec (∆ 20 ). On a

. (∆20) est orienté par . L’angle θ des deux droites

est constant. Les angles de rotation des repères (R1) et (R2) liés à(S1) et (S2) sont ψ1 et ψ2 .

L’axe central du mouvement (S2)/(S1) qui va engendrer les deuxsurfaces axoïdes (Σ1) et (Σ2) est déterminé (voir Cinématique géné-rale [A 1 661]).

Figure 72 – Rapport des vitesses pour la croix de Malteà 3, 4, 5 et 6 rainures

ψ ′∂f1

∂ϕ---------- ϕ ′ ψ ″

∂

2

f

1

∂ϕ 2 ------------ ϕ ′ 2

∂

f

1 ∂ϕ ---------- ϕ ″ +==

ϕ ″ 0 ou ∂f1

∂ϕ---------- ϕ ″

∂

2

f

1

∂ϕ

2 ------------ ϕ ′ 2 =

ψ ″ϕ′2---------- – sin π

z

---- cos 2 π

z ----

sin ϕ 1 2

π

z

⁄

sin ϕ cos sin 2 π z ⁄ +– [ ] 2

----------------------------------------------------------------------------------------=

∂2f1

∂ϕ 2------------

∂2f1

∂ϕ 2------------

∂3f1

∂ϕ3------------ – π

z

---- sin cos 2 π

z

----=

× 2

π

z

----

sin cos 2 ϕ 1 sin 2 π z ⁄ + ( ) ϕ cos 4 π z ⁄ sin –+

1 2

π

z

⁄

sin ϕ cos sin 2 π z ⁄ +– [ ] 3 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ϕcos 1 sin

2 π

z ⁄ +

4 π

z ⁄

sin ----------------------------------– 1 sin

2

π z ⁄

+ ( )

2

4

π

z

⁄

sin

( )

2 ------------------------------------------- 2 ++=

∂3f1

∂ϕ3------------ϕ 0=

– π z ⁄ sin cos 2 π z ⁄ 1

π

z

⁄

sin

–

( ) 4

------------------------------------------------ ; ∂

2

f

1

∂ϕ

2 ------------

ϕ

0

= 0 ==

x0 O1 ; z 0 ( )⋅

O1 ; z 0 ( )

O1O2 d z0= u



Ce vecteur mobile sur (S1) et (S2) a une direction fixe sur (R0).

L’axe central (∆21) a pour vecteur unitaire et pour direction :

Posons . δ est l’angle que fait avec (∆ 21 )

(figure 76).

(91)

Figure 73 – Accélération angulaire pour la croix de Malteà 3, 4, 5 et 6 rainures

Figure 74 – Position relative de deux solides

Figure 75 – Repérage du mouvement des deux solides

Ω21

O1I*Ω2

1 v 21 O1( )∧

Ω21

2---------------------------------------=

v 21 I( ) λ Ω2

1=

λΩ2

1 v 21 O1( )⋅

Ω21

2------------------------------------=

I ∆21( )∈

Ω21 ψ ′2 u ψ ′1 x0–=

ψ ′2ψ ′1----------- K rapport constant des vitesses de rotation=

Ω21 ψ ′1

1 – K θ cos + K

θ

sin0

R

0

=

g 1

1 K 2 2K θcos–+------------------------------------------------------

1 – K θ cos + K

θ

sin0

R

0

=

x0 ,g( ) δ= x0

δcos 1 – K θ cos +

1 K

2

2K

θ

cos

–+------------------------------------------------------ ; δ sin K θ sin

1 K

2

2K

θ

cos

–+------------------------------------------------------==



En utilisant la formule générale :

Le point

I

* est un point fixe de O

1

O

2

.

On posera :

On a immédiatement :

Le pas

λ

du torseur est :

Surfaces axoïdes

Déterminons par exemple (

Σ

1

). (

∆

21

) restant fixe dans (R

0

) est, parrapport à (S

1

), une droite qui demeure à une distance constante de

l’axe et qui fait un angle constant avec cet axe ; elle

engendre donc sur (S

1

) un hyperboloïde de révolution d’axe

de génératrice (

∆

21

) et dont le rayon du cercle de gorge

est

R

1

, cercle centré en O

1

et situé dans le plan . Nous

allons le déterminer analytiquement (figure

77

).

Un point quelconque de la génératrice (

∆

21

) est défini par :

Les coordonnées

x

1

,

y

1

,

z

1

de ce point sont, sur (R

1

) :

Les deux paramètres qui permettent de décrire la surface sont ici

v

,

ψ

1

. Pour reconnaître plus facilement la surface, nous allons donnerson expression en coordonnées cartésiennes en éliminant

v

et

ψ

1

:

C’est un système de Cramer en sin

ψ

1

et cos

ψ

1

.

Tirons sin

ψ

1

et cos

ψ

1

, puis écrivons que :

On obtient finalement :

équation classique d’un hyperboloïde de révolution à une nappe.Son intersection par le plan

x

1

= 0 est définie par l’équation :

C’est celle d’un cercle de rayon

R

1

, appelé cercle de gorge. Sonintersection par le plan

y

1

= 0 est définie par :

C’est une hyperbole, rapportée à ses asymptotes, caractéris-tiques de cette surface réglée.

gδcosδsin

0 R 0

δtan K θsinK θcos 1–-------------------------------==

v 21 O1( ) v 2

0 O1( ) v 10 O1( )– ; v 1

0 O 1 ( ) 0 ==

v

20

O

1

( )

v

20

O

2

( )

Ω

20

O

2

O

1

∧

+ ; v 20

O 1 ( ) d – ψ ′

2 θ sin

d

ψ

′

2

θ

cos

0

R

0

==

O1I* d K

2 K θ cos

–

1 K 2

2K

θ

cos

–+------------------------------------------------- z 0 =

O1I* R1 z0=

R1 d K

2

K θ

cos

–

1 K

2 2K

θ

cos

–+

-------------------------------------------------= R 1 constant

O2I* d K θ cos 1 – 1 K

2

2K

θ

cos

–+

------------------------------------------------- z 0 ; O 2 I * R 2 – z 0 ==

R

2

d K θ cos 1 – ( ) –

1 K

2 2K

θ

cos

–+-------------------------------------------------=

R 2

constant

ψ

′

2

ψ

′

1

-----------

K

=

λ + dK θ sin1 K

2

2K

θ

cos

–+

-------------------------------------------------=

O1 ; x 1 ( )

O1 ; x 0 ( )

O1 ; y 0 , z 0 ( )

O1M R1 z0 v+ g ; O 1 Mv

δ

cos

v δ sinR

1 R

0

==

x1

y1

z1 R 1

1 0 00 ψ1cos ψ1sin

0 ψ 1 sin – ψ 1 cos

v

δ

cosv

δ

sinR 1 R

0

=

x

1

v

δ

cos

=

y

1

v

δ

sin ψ 1 cos R 1 ψ 1 sin +=

z

1 v – δ sin ψ 1 sin R 1 ψ 1 cos +=

Figure 76 – Situation relative de

Figure 77 – Cercle de gorge

10( ), 20( ) et 21( )

y1 x1 δ ψ1costan R1 ψ1sin+=

z1 R1 ψ1cos x1 δtan ψ1sin–=

ψ12cos ψ1

2sin+ 1=

x

12

R

12

tan

2

δ ⁄ ----------------------------–

y

12

R

12

--------- z

12

R

12

---------+ + 1 =

y 12

R 12

---------z 1

2

R 12

---------+ 1=

z 12

R 12

---------x 1

2

R 12 tan2δ⁄

----------------------------– 1=



Plan asymptote

La normale au plan asymptote est :

La normale au plan asymptote est parallèle au plan :

orthogonal à .

Le plan asymptote est donc le plan passant par I*. Déterminonsle point central :

Le point central est le point I* ; la ligne de striction est le cerclede gorge.

Le point central est le plan . Sa normale est (il

contient la génératrice et la tangente à la ligne de striction).

Paramètre de distribution

On déterminera de façon analogue la surface axoïde (Σ2) qui estun hyperboloïde de révolution à une nappe d’axe (∆20) engendrépar la génératrice (∆ 21) s’appuyant sur le cercle de gorge derayon (R2).

Les deux surfaces axoïdes se raccordent le long de (∆21). Tout lelong de (∆21), il y a glissement et la vitesse de glissement est portéepar (∆21) (figure 78). Mais cette vitesse de glissement y est minimale.En général, on n’utilise pas telles quelles les surfaces axoïdes pourfaire une transmission.

Aux surfaces (Σ1) et (Σ2), on lie des surfaces qui restentenveloppes l’une de l’autre ; ce sont des dentures des engrenages(figure 79).

Il y a deux cas remarquables, très utilisés en pratique : ils cor-respondent aux cas où (∆10) et (∆20) sont soit parallèles soitconcourants.

N∞d gdψ1------------ g∧=

gδcos

δsin

0 R 0

; g

δcos

δsin ψ1cos

δ sin – ψ 1 sin R 1

==

d

gd

ψ

1

------------

0 δ sin – ψ 1 sin

δ sin – ψ 1 cos R 1

=

d gd

ψ

1

------------

g

∧



δ

cos

δ

sin

ψ

1

cos

δ sin – ψ 1 sin R 1

∧

=

N

∞

sin

2

δ δ sin – δ cos ψ 1 cos

+ δ sin δ cos ψ 1 sin R

1

=

N

∞

sin

2

δ δ sin – δ cos

0

R

0

=

O ; x 0 , y 0

dgdψ1------------

1 0 00 ψ1cos ψ 1 sin –

0

ψ

1

sin

ψ

1

cos



=

00

δ sin – R 0

porté par z

0

=

d gd

ψ

1

------------

g

∧

0

0

δ sin –

δ

cos

δ

sin

0

sin

2

δ δ sin – δ cos

0

R

0

= ∧ =

z0

O1Γ O1I* ψ1( ) v0+ g ψ1( ) ; v 0

dO

1

I

*

d

ψ

1

-------------------

d gd

ψ

1

------------

⋅

d gd

ψ

1

------------

2

---------------------------------------==

O

I

* R

1

z

0

R

1

0

ψ

1

sin

ψ

1

cos

R

1

; dO I *d

ψ

1

---------------- + R 1 0

ψ 1 cos

ψ 1 sin – R 1

== =

dO

I

*d

ψ

1

----------------

dgd

ψ

1

------------

⋅

0 ; dO I *d

ψ

1

---------------- R 1 y 0 –==

I∗ ; g , y 0 ( ) z0

Figure 78 – Surfaces axoïdes dans le cas général

p dOΓ

dψ1-------------- , g , dg

dψ1------------

d gdψ1------------

2--------------------------------------------------=

dOΓdψ1

-------------- dOI*dψ1

---------------- R 1 y 0 –= =

g

δ

cos

δ

sin0

R

0

; d gd

ψ 1

------------ 00

δ sin – R 0

==

dO

Γ

d

ψ

1

--------------

g00

R

1

δ

cos

R

0

=

∧

dOΓdψ1

-------------- g ∧ dgdψ1------------⋅ R 1 – δ sin δ cos =

p R

1 δ tan

--------------–=



3.3.2 Surfaces axoïdes du mouvement (S

2

)/(S

1

). Axes parallèles

Les axes (

∆

10

) et (

∆

20

) sont parallèles (figure

80

a

).

On a

θ

= 0, avec :

Le vecteur rotation est parallèle aux axes (

∆

10

) et (

∆

20

) :

L’axe central (

∆

21

), support de la génératrice (G), a la directioncommune des axes (

∆

10

) et (

∆

20

) :

δ

= 0

Le pas

λ

du torseur est nul. Le mouvement de (S

2

) par rapport à(S

1

) est une rotation.

Tout le long de l’axe central . Il y a roulement sansglissement de (

Σ

2

) sur (

Σ

1

).

C’est un cylindre d’axe et de rayon comme le montre

l’équation cartésienne de la surface qui se réduit à :

La surface axoïde (

Σ

2

) est un cylindre d’axe (

∆

20

) et de rayon (figure

80

a

).

Les rayons des cercles de gorge sont les rayons des cylindres :

Les deux surfaces sont développables .

Le mouvement de (S

2

)/(S

1

) est une rotation. Pour tout point de(

∆

21

), on a :

Il y a roulement sans glissement au contact.

Là encore, on n’utilise pas les axoïdes comme surfaces defriction.

On lie à (

Σ

1

) et (

Σ

2

) des surfaces qui sont les flancs des dentsd’engrenages (figure

80

b

).

Suivant la valeur de

K

, les cylindres axoïdes peuvent être exté-rieurs ou intérieurs (figure

81

).

3.3.3 Surfaces axoïdes du mouvement de (S

2

)/(S

1). Axes concourants

Les axes (∆10) et (∆20) sont concourants.

On a : d = 0

L’axe central (∆21) passe par O (figure 82) :

Figure 79 – Surface axoïde munie de denturespour réaliser une roue d’engrenage

Figure 80 – sont parallèles.Les surfaces axoïdes sont des cylindres

Ω21 ψ ′1

1 – K + 0

0

R

0

=

10( ) et 20( )

g+ 1

0

0

R

0

=

v21 O1( )

0d ψ ′2

0 R 0

=

v21 M( ) 0 =

x1 R1

y 12

R 12

---------z 1

2

R 12

---------+ 1=

R2

R1K

K 1–--------------- d ; R 2 1

K 1

–--------------- d ==

p ∞→( )

v21 M( ) v2

1 I*( ) 0 = =

O1 O2 O≡ ≡

O1I* 0 R 1 0 R 2 0 ===

x0 g,( ) δ=

δcos K θcos 1–

1 K 2 2K θcos–+----------------------------------------------------- δsin K θsin

1 K 2 2K θcos–+-----------------------------------------------------==


Le pas λ est nul. Le mouvement (S2)/(S1) est une rotation. Lessurfaces axoïdes sont des cônes (figure 83a ). En effet, (∆21) fait unangle constant avec les axes (∆10) et (∆20). Il est facile d’avoirl’expression analytique de la surface axoïde (Σ1) :
équation d’un cône circulaire centré sur . Tout le long de (∆21),on a :

Il y a roulement sans glissement. Notons que là encore, onn’utilise pas les cônes comme surfaces de friction pour faire une

transmission. On lie à (Σ1) et (Σ2) des surfaces pour réaliser desroues d’engrenages (figure 83b ). Suivant les valeurs de K et de θ,les cônes sont extérieurs ou intérieurs.

3.4 Courbes roulantes

Au paragraphe 3.3.2 nous avons étudié le mouvement des deuxsolides (S1) et (S2) en rotation autour de deux axes parallèles (∆10)et (∆20) d’un solide (S0) de telle manière que le mouvement de (S2)et celui de (S1) soient liés par la relation :

(92)

ou ψ2 = Kψ1 (93)

Les surfaces axoïdes (Σ2) et (Σ1) qui limitent (S2) et (S1) sont descylindres à base circulaire de rayons R1 et R2 qui ont en communune génératrice et qui roulent sans glisser l’un sur l’autre (figure 84).

On a notamment , appartenant à O1O2 . On peut

obtenir en satisfaisant aux lois de Coulomb. Mais

nous avons indiqué qu’il était préférable d’avoir des surfaces (D1)et (D2), enveloppes l’une de l’autre qui forment les dents d’unsystème d’engrenage.

On peut généraliser ce problème au cas suivant (figure 85) : déter-miner la nature et la propriété des surfaces axoïdes pour obtenirentre ψ2 et ψ1 une relation de liaison de type holonome, absolumentquelconque :

(94)

soit encore :

(95)

Figure 81 – Situation relative des surfaces axoïdessuivant la valeur de K

Figure 82 – Axes concourants10( ), 21( ) et 20( )

x 12

– tan 2 δ y 12 z 1

2 + + 0 =

x1

v 12 M( ) 0 =

Figure 83 – sont concourants.Les surfaces axoïdes sont des cônes

10( ) et 20( )

ψ ′2ψ′

1

----------- K=

v21 I*( ) 0 =

v21 I*( ) 0 =

ψ ′2ψ ′1----------- f ψ1( )=

ψ2 ψ02– ψ01

ψ1

f ψ1( ) ψ1d( )=


3.4.1 Nature des axoïdes. Courbes roulantes
En utilisant les résultats du paragraphe 3.3, on obtient :

(96)

(97)

Posons :

(98)

(99)

On en déduit :

ρ

2

+

ρ

1

=

d

(100)

(101)

On a des formules comparables à celles des cylindres de frictionou des engrenages circulaires. Mais, ici, les rayons sont variables.

Le mouvement de (S

1

)/(S

2

) est une rotation d’axe . Le

point

I

* est sur O

1

O

2

. Les surfaces (

Σ

1

) et (

Σ

2

) sont des cylindres

d’axes et de génératrice . Les sections

de ces cylindres par le plan sont des courbes (C

1

) et

(C

2

) appelées courbes roulantes. Les courbes sont tangentes en

I

*et il y a correspondance arc par arc (figure

86

).

3.4.2 Équation des courbes roulantes

On a immédiatement :

(102)

[

ρ

1

,

ψ

1

], [

ρ

2

,

ψ

2

] constituent un système de coordonnées polaires(figure

86

).

3.4.3 Nature des problèmes à résoudre

On a en pratique 3 types de problème à résoudre.

On connaît et la distance des centres

On souhaite déterminer la courbe roulante conjuguée :

ρ

2

=

d

–

ρ

1

(

ψ

1

)

(103)

ρ

2

=

ρ

2

(

ψ

1

)

(104)

(105)

Figure 84 – Rapport des vitesses constant

Figure 85 – Rapport des vitesses variable

Ω21 ψ ′2 ψ ′1–( ) x0 ; Ω 2

1 f ψ 1 ( ) 1 – ( ) ψ ′ 1 x 0 ==

v

21

O

1

( )

d

ψ

′

2

y

0 ; v 21 O 1 ( ) df ψ 1 ( ) ψ ′ 1 y 0 ==

O1I* d f

ψ

1

( )

f ψ

1

( )

1

–-------------------------- z 0 =

λ 0 ; v 21 I * ( ) 0 ==

O2I* d 1f

ψ

1 ( )

1

–-------------------------- z 0 =

O1I* ρ1 z0 ; O 2 I * ρ 2 z 0 ==

ρ1 d f

ψ

1

( )

f ψ 1 ( )

1

–--------------------------=

ρ2 d –

f

ψ

1

( )

1

–--------------------------=

ψ ′2ψ ′1-----------

ρ

1 ρ 2 -------– f ψ 1 ( ) = =

I* ; x 0 ( )

O1 ; x 1 ( ) et O 2 ; x 0 ( ) I* ; x 0 ( )

O1 ; y 0 , z 0 ( )

O1I*0

ρ1 ψ1sin

ρ1 ψ1cos R 1

= ; O 2 I *0

ρ 2 ψ 2 sin

ρ

2

ψ

2

cos

R

2

=

1 1 1( )=

ψ ′2ψ ′1-----------

ρ1 ψ1( )d ρ1 ψ1( )–------------------------------–=

dψ2 ρ

1 d ρ

1 ψ

1 ( )

–------------------------------ – d ψ 1 =

ψ

2 ψ

01

ψ

1

ρ

1

ψ

1 ( )

d

ψ

1

d ρ 1 ψ

1 ( )

–------------------------------- ψ 02 +–=

ψ

2 ψ

01

ψ

1 d – ρ 1 ψ 1 ( ) + d

ρ

1

ψ

1

( )

–------------------------------------ d ψ 1

ψ

01

ψ

1

+ d –

d

ρ

1

ψ

1

( )

–

------------------------------ d ψ 1 ψ 02 +–=

ψ2 + ψ 1 ψ

01

ψ

1 d – d

ρ

1

ψ

1

( )

–

------------------------------ d ψ 1 ψ 02 ψ 01 –++=



Par la formule (103), on a

ρ

2

(

ψ1) et par la formule (105), on a :

ψ2 = F (ψ1)

Par suite, on a l’équation polaire de la courbe conjuguée. Laformule (104) donne le rapport des vitesses angulaires.

Exemple 1 : la courbe (C1) est une ellipse (figure 87). On a, avecles notations classiques (2a grand axe, e excentricité) :

(106)

(107)

(108)

(109)

Désignons par K le rapport du maximum et du minimum, c’est-à-direfinalement des vitesses de rotation maximale et minimale de (S2) :

(110)

On se fixe K ; par exemple K = 4.On peut en déduire :

(111)

(112)

Si on fixe 2a = d et la valeur de K, l’ellipse est entièrementdéterminée. À titre d’exemple, si K = 4 :

L’allure du rapport est la suivante (figure 88a ). On fait cette

étude avec la méthode indiquée au paragraphe 3.2.4.On obtient ψ2 en fonction de ψ1 par intégration de :

Cette intégration se fait uniquement (figure 88b ).

ρ1a 1 e2–( )

1 e ψ1cos+---------------------------------=

ρ2 a 1 2e

ψ

1 cos e

2

+ + 1 e ψ

1

cos +

--------------------------------------------------=

ψ ′2ψ ′1----------- 1 e

2

– 1 e

2

2e

ψ

1

cos

+ +

--------------------------------------------------–=

ψ ′2ψ ′1-----------

maxi

1 e+1 e–------------------

a c+a c–-----------------= =

ψ ′2ψ ′1-----------

mini

1 e–1 e+------------------ a c–

a c+-----------------= =

K a c+a c–-----------------

2=

e K1 2⁄ 1–

K1 2⁄ 1+-----------------------=

b 2a K

1 4

⁄

1 K

1 2 ⁄ +

-----------------------=

e 0,33 ; = b2a

-------- 0,47 =

ψ ′2ψ ′1-----------

ψ ′2 ψ ′ 1 – 2 0

ψ

1

1 e ucos

+

1 2e ucos e

2 + +

----------------------------------------------- du +=

Figure 86 – Courbes roulantes

Figure 87 – Ellipses roulantes



On connaît la distance des centres

d

et la relation de liaison

(113)

(114)

On connaît la distance des centres et la loi du rapport de vitesse

Quelques courbes roulantes classiques

Elles sont représentées figure 90 .

Problème de la fermeture des courbes roulantes

Les courbes roulantes comme les ellipses sont des courbes fer-mées qui permettent des mouvements périodiques continus. Parexemple, si la courbe (C

1

) est donnée, on doit avoir :

ρ

1

(

ψ

1

) =

ρ

1

(

ψ

1

+ 2

π

),

ρ

2

(

ψ

2

) =

ρ

2

(

ψ

2

+ 2

π

)

De toute évidence, il n’en est pas ainsi avec des spirales loga-rithmiques ; cependant, même dans ce cas, on peut obtenir descourbes fermées en raccordant des portions de courbes qui ne lesont pas. On obtient ainsi les roues à lobes (figure

91

).

3.4.4 Engrenages non circulaires

Nous avons employé pour déterminer les courbes roulantes lamême méthode que celle utilisée pour la détermination de la baseet de la roulante. Mais il y a une différence importante. Lorsque nousdéterminons la base et la roulante dans un mécanisme, nous avonsaffaire à un système à un degré de liberté. Par contre, dans un méca-nisme à courbes roulantes, nous avons généralement deux degrésde liberté. Pour illustrer cela, prenons le cas des ellipses roulantes(figure

87

)

Lorsque la courbe (C

1

) est dans la position indiquée, elle fait tour-ner la courbe (C

2 ) avec la loi qui résulte du contact des deux courbes.Du point de vue de la cinématique, rien n’interdit à la courbe (C

2 )

de tourner librement. On dit qu’il n’y a pas clôture cinématique dechaîne.

Par un dispositif convenable, on peut y parvenir lorsque le rayon

ρ

1

est croissant. Mais, lorsque l’on a fait un demi-tour, il sera impossibled’assurer le contact (figure

92

). C’est pourquoi on utilise générale-ment les courbes roulantes de deux manières :

—

sous forme de secteur

: le comportement est analogue à celuid’une came sans glissement et on assure le contact par un systèmeauxiliaire (figure

93

).

On a :

ψ

1i

<

ψ

1

<

ψ

1f

;

ψ

2i

<

ψ

2

<

ψ

2f

i pour initial, f pour final.

L’avantage est que, comme il y a roulement sans glissement, lapuissance développée par les actions mécaniques de liaison est nulle

Exemple 2 :

(figure

89

)On veut réaliser le rapport de vitesses variable :

(115)

pour On a immédiatement la relation de liaison :

(116)

d’où

(117)

(118)

2 F 1( )=

ψ ′2ψ ′1----------- ∂F

∂ψ1------------ f ψ1( )= =

ρ1 d

∂

F

∂ψ

1

------------

∂

F

∂ψ

1

------------

1

–

-----------------------=

ρ2 d – 1 ∂ F

∂ψ

1

------------

1

–

----------------------=

ψ ′2ψ ′1-----------

22

---------- ψ

1

cos 2

2 ------------

–

32

------

2

ψ

1

cos

–

----------------------------------------=

45 ° – ψ 1 45 °

ψ2 arctan 2

ψ

1

sin

1 2

ψ

1

cos

–

--------------------------------------=

ρ1 d 22

---------- ψ

1

cos 2

2

----------–

32

-----

2

ψ

1

cos 2

–

-------------------------------------------=

ρ2 d –

32 -----

2

ψ

1

cos –

32

-----

2

ψ

1

cos 2

–

-------------------------------------------=

ψ ′2ψ ′1--------- f ψ1( )=

ρ1 d f

ψ

1

( )

f ψ 1 ( )

1

–-------------------------- ; ρ 2

d – f

ψ

1

( )

1

–--------------------------==

ψ

2

+ ψ 1 ψ

01

ψ

1

d

d f u ( ) –

------------------------ du ψ 02 ψ 01 –++=

Figure 88 – Exemple 1 : schémas



en théorie. Par suite, le dispositif a un bon rendement et, dans lesappareillages, la sensibilité est bonne (absence d’hystérésis due aufrottement sec de type Coulomb) ;

—

sous forme d’engrenages non circulaires

: si l’on veut obtenirun mouvement continu, les courbes sont fermées. La décroissancede

ρ

1

se produit nécessairement sur un tour et il y a rupture du

contact. Pour assurer la continuité, on utilise les courbes roulantescomme courbes primitives pour munir les solides (S

1

) et (S

2

) dedents comme dans le cas d’engrenages circulaires (figure

94

).

On utilise généralement les profils en développante de cercle. Lesdents sont enveloppés l’une de l’autre, et il y a glissement au contact.

Figure 89 – Exemple 2 : schémas

Figure 90 – Courbes roulantes classiques

Figure 91 – Roues à lobes



3.5 Principe de l’établissement d’une came

Les cames sont des mécanismes destinés à obtenir, pour un solide,des mouvements de rotation ou de translation donnés

a priori

. Il ya de très nombreux types de cames.

3.5.1 Came radiale

Nous exposerons ici le principe de la came radiale schématiséesur la figure

95

.

(S

1

) est un cylindre d’axe . Son mouvement par rapportà (S

0

), grâce à une liaison rotoïde, est une rotation. (S

2

) est entranslation par rapport à (S

0

) :

La section du cylindre par le plan est une courbe (C)appelée profil de la came.

Son équation par rapport au repère est définiede la manière suivante :

Si (S

2

) reste en contact, il y aura une relation de liaison entre

x

et

θ

.

Relation de liaison

On suppose que (S

1

) tourne à vitesse constante, par un procédédéterminé.

θ

–

ω

t

= 0

(119)

Écrivons que le point A qui appartient à (S

2

) est sur la courbe (C).

On en déduit :

ρ

=

x

cos(

θ

+

ϕ

) ; sin(

θ

+

ϕ

) = 0 ;

ϕ

= –

θ

ρ

(–

θ

) =

x

(120)

Figure 92 – Rupture de contact

Figure 93 – Courbes roulantes à secteurs

Figure 94 – Engrenages non circulaires

Figure 95 – Schéma de principe d’une came radiale

O1; z 0

x0, x1 θ= ; OA x x 0 avec A S 2 ∈ =

O; x 0 , y 0

O1 ; x 1 , y 1 , z 1

OM ρx ; x 1 , x ϕ ==

OA x= x0 ; x 0 , x θ ϕ + ( ) =

OA x

θ ϕ

+

( )

xcos

θ ϕ

+

( )

y

sin

–=



Loi de mouvement. Détermination du profil

Soit

x

=

x

(

t

), la loi que l’on souhaite réaliser pour le solide (S

2

).Posons :

(121)

avec xm valeur minimale de x,

déplacement de (S2).

La courbe est la loi de levée en fonction du temps.

Comme θ = ω τ, on peut écrire :

(122)

Cette loi est appelée loi de levée. C’est une fonction périodiquede période 2π.

est la levée de la came (x M : valeur maximale de x ).

Posons :

(123)

La courbe telle que ρ = ρm est un cercle. On l’appelle cercle debase.

(124)

Le cercle de base coupe en m.

Pour construire le profil, on procède de la manière suivante(figure 96a ) :

— on représente la loi de levée en fonction de θ ;— on choisit un cercle de base de rayon (ρ0). Nous verrons ulté-

rieurement sur quel critère on le choisit ;— on construit la courbe en coordonnées polaires par la corres-

pondance :

Loi des vitesses

On appelle loi des vitesses :

Généralement, on représente étant la longueur

choisie en fonction du problème.

Par exemple, si :

L’équation polaire est donc :

C’est la courbe qui a été choisie comme exemple.

x xm x+=

x

OA0 xm x0=

x x t( )=

x x θ( )=

h xM xm–=

ρ ρm ρ+=

xm ρm= ; ρ θ – ( ) x =

O; x ( )

θ ϕ – → ; x ρ →

x h2-----= 1 3

2 ----- θ cos – 0 θ

2

π 3 ---------

x 0

=

2

π

3

---------

θ

π

x h2

----- 1 32 ----- θ π

2 ----- – cos –= π θ 5 π

3 ---------

x 0

=

5

π

3

---------

θ

2

π

ρ h2-----= 1 3

2 ----- ϕ cos – 2 π

3 ---------– ϕ 0

ρ

0

= π – ϕ 2 π 3 ---------–

ρ

+ h2 ----- 1 3

2 ----- – ϕ π

2

----- – cos –= 5 π 3 ---------– ϕ π –

ρ

0

=

2 π – ϕ 5 π 3 ---------–

x ′ d xdt

-----------= ; x ′ ω = dx d

θ

-----------

Figure 96 – Établissement du profil d’une came

Exemple concernant la came étudiée

:

La courbe est représentée sur la figure

96

b

.

x ′ ω

----------

ou x ′ ω

----------

,

x ′ ω

h

----------

34

----- 3

2 ----- θ sin = 0 θ 2 π

3 ---------

x

′ ω

h

--------- 0 = 2 π 3

--------- θ π

x

′ ω

h

--------- 34

----- 32

----- θ π 2

----- – sin = π θ 5 π 3

-------

x

′ ω

h

--------- 0 =

5 π 3

--------- θ 2 π



Loi des accélérations

On appelle loi des accélérations la relation :

Généralement, on représente

L

étant une longueur choisie en fonction du problème à résoudre.

Vitesse de glissement au contact

Ce vecteur est porté par la tangente au profil en A (figure

96

c

).

Remarque. Angle de pression

C’est une donnée qui a une grande importance dans la détermination d’une came, enparticulier pour le choix de

ρ

0

.

C’est l’angle de avec la normale , orthogonale à (figure

96

c

).

On se contente en général de déterminer l’angle par sa tangente :

(125)

Importance de l’angle de pression

C’est un paramètre primordial pour la détermination de la cameau point de vue dynamique.

Au point de contact, les actions de liaison sont représentées par :

Comme il y a glissement, on a, d’après les lois de Coulomb :

(126)

δ

étant l’angle de frottement :

Les actions de liaison de (S

0

)/(S

2

) sont représentées par :

X

02

= 0 si on suppose la liaison sans frottement.

Les autres actions sont les actions extérieures sur (S

2

) :

En appliquant les théorèmes généraux à (S

2

) de masse

m

:

La première relation montre que pour une force donnée, un

mouvement donné et un coefficient de frottement donné, la compo-

sante est d’autant plus grande que l’angle de pression est grand.

Or cette force normale détermine la sollicitation locale desmatériaux.

La deuxième relation montre que l’action de liaison serad’autant plus grande que l’angle

α

sera grand.

Pour cela, on limite

α

à une valeur

α

L

:

α

<

α

L

Extrémum de l’angle maximal

Si

α

<

α

M

et si

α

M

<

α

L

, la limite sera respectée. Les extrémums

de

α

sont ceux de tan

α

. Il faut donc déterminer

α

M

:

(127)

(128)

x

M

désigne le rayon pour lequel l’angle de pression a la valeurmaximale

α

M

.

Ces deux formules permettent de déterminer le rayon minimalde la came ou rayon du cercle de base.

Poursuivons l’

exemple

cité

Sur la courbe on constate une forte discontinuité d’accélération. Onchoisit les lois de levée pour éviter cette discontinuité.

x ″ d2 xdt 2

-------------- ; x ″ ω 2 d 2

x d

θ

2

---------------==

x ″ω 2---------- ou x ″

ω 2L-----------

x ″ω2h------------

98----- 3

2 ----- θ cos = 0 θ

2

π 3 ---------

2

π

3

---------

θ

π

x

″

ω

2

h

------------

98

----- 32

----- θ π 2

----- – cos = π θ 5 π 3

---------

x

″

ω

2

h

------------

0

=

5

π

3

---------

θ

2

π

x

″

ω

2

h

------------

0

=

v 21 A( ) v 2

0 A( ) v 10

–= A( )

v 21 A( ) ω dx

d θ --------- x 0 ω x y 0 –=

x0 N12 v 21 A( )

α x0 N12,( )= ; N 12 1 ω ----- + x

dxd

θ --------- 0 , , R

0

=

α

cos x

x

2

dxd

θ

---------

2

+

-------------------------------------= ; α sin

dxd θ ---------

x

2

dxd

θ

---------

2

+

-------------------------------------=

αtan dx

dθ----------

x-------------------= ; α tan

dxdt

----------

ω

x

-------------------= ; x ρ m x +=

F12 T12 ,N12 , 0[ ]SF=

T12 f – N 12 v

21

A

( )

|| v

21

A

( )

||

--------------------------- ; f δ tan ==

T12 fN – 12 1

x

2

dxd

θ

---------

2

+

------------------------------------

dxd

θ

---------

x – 0

R

0

=

N

12

N

12 1

x

2

dxd

θ

---------

2

+

------------------------------------

+ x

dxd

θ

---------

0

R

0

=

F

12

N 12 – f α sin N 12 α cos +

N

12

f

α

cos N

12

α

sin

+

0

R

0

=

F02 X02 , Y02 , 0[ ]R 0= ; M 02 A ( ) L 02 , M 02 , N 02 [ ] R

0 =

FE2 XE2 , 0, 0[ ]R 0= ; M E2 A ( ) 0 =

XE2 N12 αcos δtan αsin–[ ]+ mx ″=

Y02 N12 αsin + δ tan α cos [ ] + 0 =

X

E2

N

12 α δ + ( ) cos δ

cos ------------------------------+ mx ″ = ; Y 02 N 12 α δ + ( ) sin

δ cos -----------------------------+ 0 =

XE2

N12

Y02

M

ddθ--------- α tan 0 = ; x M d

2

xd θ 2 ------------- dx

d θ ---------

2 – 0 =

xM

dxdt

---------2

d2xdt2

-------------

--------------------=

αMtan

d2xdt2

-------------

ω dxdt ---------

----------------=



Détermination du point où a lieu l’angle maximal

Le point se détermine par les deux relations :

(131)

(132)

Remarque : relation entre l’angle de pression et la pente de la loi du mouvement(figure 97)

est la pente de la tangente à la courbe qui est la loi du temps.

Si ψ est l’angle de la normale à la courbe et de la direction de l’axe , on a :

Les angles α et ψ sont différents. En particulier, au point où ψ est maximal (point detransition), la vitesse est maximale. Ce n’est pas le cas pour l’angle de pression. On ne peutdonc directement utiliser la courbe des espaces pour localiser la position de l’angle depression maximal qui fixe le rayon minimal de la came.

Rayon de courbure

On sait, d’après la théorie de Hertz, que la pression au contact dedeux surfaces dépend des rayons de courbure. Pour le profil de lacame que nous avons pris comme modèle, il suffit de déterminerle rayon de courbure Rc de la courbe définie en coordonnées polaires(ρ , ϕ ) :

Au point A : ϕ = – θ ρ = x

(133)

Le centre de courbure est situé dans la concavité.

(0)

Exemple : prenons la came harmonique déjà utilisée dans la

portion de levée

(129)

(130)

Exemple : h = 0,02 ; αL = 30o (0,524 rad)

0, 2π3

---------

xMh2-----

32 ----- θ M sin

2

32

----- θ M cos -----------------------------------=

αMtan 32----- cotan 3

2 ----- θ M =

αLtan 32----- cotan 3

2 ----- θ M =

xMh2-----

32

----- θ M sin

2

32

----- θ M cos ------------------------------------=

0,577 32----- cotan 3

2 ----- θ M = ; θ M 46 o ; x M 0,024 ==

d xdθ

-----------

x

ψtan d xdθ

-----------=

αtan d x

dθ-----------

x--------------------=

Rcv3

d OMdϕ

----------------- d2OMdϕ2

-------------------∧

---------------------------------------------------=

OM ρ ϕ( ) x ; d OMd

ϕ

----------------- d ρ d

ϕ

--------- x ρ + y ==

d

2

OMd

ϕ

2

--------------------

d

2

ρ

dϕ2------------ ρ– x 2 + d ρ

d ϕ --------- y =

R

c

d

ρ

dϕ---------2

ρ2+

32-----

ρρ″ ρ2– 2 d ρ d ϕ ---------

2 –

-----------------------------------------------------------=

Rc

d xdθ

-----------2

xm x+( )2

32-----

xm x+( ) d 2

xd θ

2 -------------- x m x + ( )

2 2 –– d x

d

θ -----------

2

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

Tableau 1 – Quelques lois de came

Désignation Loi de levée Loi de levée Loi d’accélération

Courbe harmonique

Double harmonique

Cycloïdale

Cubique

Polydyne

xx ′

---------x ″2

----------

h2----- 1 π θ

β -------- cos – hπ2β---------

πθβ

--------sin h2----- π β -----

2

π

θβ -------- cos

h2----- 1 π θ

β -------- cos – h4

----- 1 cos 2 π θβ --------– –

h π2β--------- π θ

β -------- sin 1

2 ----- 2 π θ

β ------------ sin – h

2----- π β

----- 2 π θ

β -------- cos 2 π θ

β ------------ cos –

hπ----- π θ

β -------- 1

2 ----- sin 2 π θ

β --------– h

β----- 1 2 π θ

β ------------ cos – 2hπβ2

------------- 2

π θβ ------------ sin

h θβ-----

2 3 2 θβ -----– Ghθ

β2-------------- 1 θ

β -----– Ghβ2

---------- 1 2 θβ --------–

x C0 C1 θ C2 θ2 C3 θ3 ...+ + + += x ′ C1 2C2 θ 3C3 θ2 ...+ + + += x ″ 2C2 6C3 θ ...+ +=

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.

A 1 663

−

56

© Techniques de l’Ingénieur, traité Sciences fondamentales


3.5.2 Profil utilisé

De nombreuses courbes ont été testées. On cherche généralement

à réduire les discontinuités d’accélération. Les lois de levées sontgénéralement construites à partir de polynômes ou de fonctionstrigonométriques.

Supposons que la levée se fasse pour une rotation

θ

=

β

. Dans letableau

1

, on trouve quelques courbes classiques avec les lois demouvement, vitesse, accélération.

x

Figure 97 – Relation entre angle de pressionet pente de la loi du mouvement


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