A tkz-fct.sty v2.0 07 07 2007 - altermundus.fraltermundus.fr/pages/downloads/TKZdoc-fct.pdf · t L...

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tkz-fct.sty v2.0 07 07 2007

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Alain Matthestkz-fct.sty v2.0

tkz-fct.sty est un package pour créer à l’aide de Tikz des graphiques de fonctions en 2D leplus simplement possible. Il est dépendant de Tikz et fera partie d’une série de modules ayantcomme point commun, la création de dessins utiles dans l’enseignement des mathématiques.La lecture de cette documentation va, je l’espère vous permettre d’apprécier la simplicitéd’utilisation de Tikz et vous permettre de commencer à le pratiquer. Il est possible de compileravec pdflatex ainsi qu’avec latex, mais dans ce dernier cas, il est nécessaire de passer de PS àPDF, en utilisant ps2pdf14 pour des problèmes de transparence.doc-tkz-fct v2.0 07 07 2007

t Les zones de texte en orange sont des liens directs vers mon site http://www.altermundus.fr. Lesliens en rouge concernent les débuts de chapitre, ceux en vert les exemples.

t Je remercie Till Tantau pour nous permettre d’utiliser tikz/pgf.

t Je remercie Michel Bovani pour nous permettre d’utiliser fourier et utopia avec LATEX.

t Je remercie également Jean-Côme Charpentier, Josselin Noirel pour les différentes idées qui m’ontpermis de faire ce package.

tL Attention à ne pas mettre d’espace entre les arguments.

tL Le package fait partie dans un ensemble constituté de tkz-base.sty et de tkz-2d.sty. Il chargeautomatiquement tkz-base.sty. Le nom des macros a été modifié.

tL Le fichier pgfmathparser.code.tex de PGF 1.18 doit être remplacé par celui qui est disponibleen CVS. Ce fichier se trouve dans le dossier generic/pgf/math. Le lien pour récupérer la nouvelleversion est le suivant :http://pgf.cvs.sourceforge.net/*checkout*/pgf/pgf/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex

http://www.altermundus.fr/

mailto:[email protected]

http://www.altermundus.fr

http://pgf.cvs.sourceforge.net/*checkout*/pgf/pgf/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex

Mathématiques tkz-fct.sty v2.0 Altermundus

Sommaire

I. Installation de tkz-fct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 6

II. Compilation avec Gnuplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 7

Partie A : Installation de Gnuplot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 7Partie B : Utilisation de Gnuplot en ligne de commande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 7Partie C : Sortie vers un fichier des résultats de Gnuplot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 7Partie D : Test de l’installation de Tkz-base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 8Partie E : Tikz et Gnuplot ; Test de l’installation de Tkz-fct. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 8Partie F : Problème avec : caractère actif de frenchb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 10Partie G : Un préambule plus complet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 10

III. Utilisation pgfmath et de fp.sty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 11

Partie A : Utilisation de pgfmath. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 11Partie B : Utilisation de fp.sty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 11

IV. Exemples des possibilités de tkz-fct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 13

ex. no 1 Dans le style du manuel, sans tkz-fct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 13ex. no 2 Toujours sans tkz-fct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 14ex. no 3 Variante intermédiaire : on mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 15ex. no 4 Uniquement avec tkz-fct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 16ex. no 5 f (x) =

px3 +x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 17

ex. no 6 f (x) = xx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 18ex. no 7 Zoom sur f (x) = xx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 19ex. no 8 Tangentes avec f (x) = xx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 20ex. no 9 Courbes de Lorentz : f (x) = ex−1

e−1 et g (x) = x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 21ex. no 10 Courbe paramétrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 22

V. Les macros pour les fonctions : \tkzFct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 23

macro no 1 Tracé d’une fonction \tkzFct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 23ex. no 11 Tracé de 1

x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 23ex. no 12 Utilisation de valeurs plus importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 24ex. no 13 Simple courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 24

macro no 2 Placer un point avec une fonction \tkzFctPt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 28ex. no 17 Calcul de valeurs, tracé de tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 28ex. no 18 Placer un point sans se soucier des coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . page 29ex. no 19 Placer des points avec deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 30

macro no 3 Tracé d’une tangente \tkzTan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 31ex. no 20 Tracé d’une tangente \tkzTan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 31ex. no 21 Demi-tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 32ex. no 22 Demi-tangentes : courbe de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 33

macro no 4 Aire pour une intégrale \tkzAera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 38ex. no 27 Aire simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 38ex. no 28 Aire simple avec des hachures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 38ex. no 29 Aire et dégradé de couleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 39ex. no 30 Aire et hachures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 40

macro no 5 Aire comprise entre deux courbes \tkzAerafg . . . . . . . . . . . . . . . . . page 41ex. no 31 Aire comprise entre deux courbes en couleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 41ex. no 32 Aire comprise entre deux courbes avec des hachures. . . . . . . . . . . . page 41ex. no 33 Aire comprise entre deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 42ex. no 34 Aire comprise entre deux courbes : courbe de Lorentz . . . . . . . . . . page 43

Collège Sévigné /83

Mathématiques tkz-fct.sty v2.0 Altermundus

macro no 6 Asymptotes \tkzHLine et \tkzVLine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 47ex. no 37 Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 47ex. no 38 Asymptotes verticale et horizontale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 48

VI. Courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 50

macro no 7 Courbes avec équations paramétrées \tkzFctPar . . . . . . . . . . . . . . page 50ex. no 40 x(t ) = t × sin(t ), y(t ) = t ×cos(t ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 50ex. no 41 x(t ) = t − sin(t ), y(t ) = 1−cos(t ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 51ex. no 42 x(t ) = t 2, y(t ) = t 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 51ex. no 43 x(t ) = exp(t )× sin(t ), y(t ) = exp(t )×cos(t ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 52

VII. Pgfmath : Ajout de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 53

ex. no 44 Tracé de la courbe de ln x avec pgfmath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 54ex. no 45 Tracé de la courbe de ln x

x avec Pgfmath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 54

VIII. Exemple : Interpolation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 55

IX. Exemple : Courbes de Van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 58

X. Exemples du baccalauréat ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 67

ex. no 46 Amérique du Sud ES 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 67ex. no 47 Antilles ES juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 72ex. no 48 Antilles ES juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 75ex. no 49 Centres Étrangers ES 2006. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 77ex. no 50 Liban ES 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 78ex. no 51 France ES 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 80ex. no 52 France ES 2005 septembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 82

Liste de toutes les macros par ordre d’apparition :• \tkzFct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 23• \tkzFctPt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 28• \tkzTan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 31• \tkzAera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 38• \tkzAerafg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 41• \tkzFctPar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 50


Mathématiques avec tkz-fct.sty v2.0 Installation.

I . Installation.

Le plus simple est de créer un dossier prof avec comme chemin : texmf/tex/latex/prof . texmf esten général le dossier personnel, voici les chemins de ce dossier sur mes deux ordinateurs :

• sous OS X /Users/ego/Library/texmf ;

• sous Ubuntu /home/ego/texmf .Je suppose que si vous mettez vos fichiers .sty ailleurs, vous savez pourquoi !. L’installation que jepropose, n’est valable que pour un utilisateur.

1/ Placez tkz-fct.sty et tkz-base.sty dans le dossier prof .

2/ Ouvrir un terminal, puis faire sudo texhash . Cela dépend de la distribution.

3/ Vérifier que xkeyval, ifthen, fp et PGF 1.18 sont installés car ils sont obligatoires, pour le bonfonctionnement de tkz-fct. gnuplot doit être présent et accessible. De plus, il sera nécessairede compiler sous latex et pdftex avec l’option --shell-escape. Cela se traduit par write18enabled et cela permet à gnuplot d’écrire.

B Pour le bon fonctionnement de tkz-fct, il faut que vous fassiez une mise à jour de PGF. Lefichier pgfmathparser.code.tex doit être remplacé par celui qui est disponible en CVS. Le lienest le suivant :

http://pgf.cvs.sourceforge.net/*checkout*/pgf/pgf/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.texMon dossier texmf est structuré ainsi :

texmf

tex

doc

generic

generic

latex

pgf

pgf

xkeyval

fourier

prof

etc...

pgf

prof.cls

alterqcm.sty

tkz-base.sty

tkz-2d.sty

tkz-fct.sty

tkz-tab.sty

tkz-berge.sty

tkz-tukey.sty

prof.cfg

profparam.cfg

bbpage.cfg


http://pgf.cvs.sourceforge.net/*checkout*/pgf/pgf/generic/pgf/math/pgfmathparser.code.tex

Mathématiques avec tkz-fct.sty v2.0 Compilation des exemples, utilisation de Gnuplot

II . Compilation des exemples, utilisation de Gnuplot

Le code ci-dessous permet de tester votre installation de tkz-base et de tkz-fct. Ce module nécessiteles modules fp.sty et ifthen.sty ainsi qu’une version récente de xkeyval(2.5). Vous devez en-suite installer Gnuplot, son installation dépend de votre système. Puis il faudra que votre distributiontrouve Gnuplot et que TEX autorise Gnuplot à écrire un fichier (voir la partie E pour les détails).

Partie A Installation de GnuplotGnuplot est proposé avec la plupart des distributions Linux , et existe pour OS X ainsi que pourWindows. Pour Linux : on l’installe en suivant la procédure classique d’installation d’un nouveaupaquetage mais il est assez facile de le compiler à partir des sources si on veut une version récente.Seuls, les utilisateurs de Windows devront se méfier, car gnuplot est nommé wgnuplot et il faudrarenommer l’application.

Partie B Utilisation de Gnuplot en ligne de commandeVoyons tout d’abord quelques notions sur gnuplot qui vous permettront de mieux comprendre com-ment Tikz l’utilise.Dans une console ou un terminal, taper gnuplot. L’invite change pour devenir gnuplot> . On entredes commandes qui sont alors prises en compte au fur et à mesure de leur saisie. Ainsi si vous voulezquitter gnuplot, il suffit de saisir exit . Une ligne commençant par un # est une ligne de commentaires.Il est possible de remonter l’historique comme en ligne de commande shell.1/ Premier exemple.

On souhaite tracer la courbe représentative de la fonction f définie par f (x) =p

x3 +x2

# définition de la fonction# on a le choix entre (((x+1)*x)*x)**(0.5)# (x**3+x**2)**(0.5) ou (x*x*x+x*x)^(.5)> f(x)=(((x+1)*x)*x)**(0.5)# tracé de la courbe> plot f(x)# affinons la présentation et modifions les intervalles en x et y> set xrange [-2:4] ; set yrange [0:10]# les graduations des axes> set xtics axis ; set ytics axis# on retrace> replot# on peut utiliser replot à chaque étape pour voir l’évolution

2/ Second exemple

On souhaite tracer une courbe paramétrée définie par :{x(t ) = sin(2∗ t )y(t ) = cos(3∗ t )

Cela se fait très simplement, si on tient compte du fait que la variable devient t :

> set parametric> plot sin(2*t), cos(3*t)

Voilà l’essentiel, et vous pourrez retrouver certains mots importants dans les fichiers créés par Tikz.

Partie C Sortie vers un fichier des résultats de GnuplotPour pouvoir intégrer le graphique obtenu à un document LaTeX, il faut choisir le terminal que vautiliser gnuplot. Par défaut sur linux, la sortie standard est x11. La commande associée est :>set term x11Possible aussi :>set term aqua pour OSX>set term pdf pour obtenir un résultat en PDF>set term png idem pour PNG.Ces commandes possèdent des options, vous pouvez consulter la documentation de gnuplot pour lesdécouvrir ou encore utiliser la commande



>help set termEn invoquant cette commande, toutes les possibilités sont expliquées.Dans le cas de Tikz et en général il est souhaitable de créer un fichier eps. Ce terminal est le plus richeet possède de multiples options. Par exemple :> set term postscript enhanced eps color solid monochromeEnfin on peut obtenir une sortie LaTeX mais guère exploitable :>set term latex

Partie D Test de l’installation de Tkz-base

Enregister le code suivant dans un fichier avec le nom test.tex, puis compiler avec pdflatex ou bien lachaîne dvi–>ps–>pdf

\documentclass{article}\usepackage{tikz,tkz-fct}\usetikzlibrary{arrows,plotmarks}%% pour les français\usepackage[frenchb]{babel}% need by numprint\usepackage[np,autolanguage]{numprint}\begin{document}

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,ymax=5]\tkzGrid\tkzX[orig]\tkzY

\end{tikzpicture}\end{document}

Vous devez obtenir cela :

x−3 −2 −1 0 1 2 3

y

1

2

3

4

5

Partie E Tikz et Gnuplot ; Test de l’installation de Tkz-fct

Le principe est le suivant, des paramètres sont envoyés à Gnuplot ainsi si vous compilez un fichiertest.tex qui contient une fonction ayant comme identifiant id=exp, si Gnuplot est trouvé alors unfichier test.exp.gnuplot sera créé. Ce fichier va contenir les paramètres permettant la constructiondu graphe. Gnuplot va rendre les résultats sous forme d’un fichier test.exp.table contenant unetable de valeurs numériques représentant les coordonnées de points du graphe.1/ Il faut tout d’abord que Gnuplot soit trouvé par votre distribution TEX ou bien encore par une

interface graphique et le réglage de son fichier de configuration. Il s’agit que Gnuplot soit dans le« PATH ».

2/ Enfin, il faut que les résultats de Gnuplot soient rendus à Tikz sous forme d’une table de valeursnumériques dans un fichier.

• Cela peut être autorisé globalement par exemple en modifiant le fichier texmf.cnf. Quelquesindications qui fonctionnent sur linux et OSX avec une distribution TeXLive :a/ On peut trouver le fichier texmf.cnf avec la commande kpsewhich texmf.cnfb/ En root, ou bien avec sudo vous éditez ce fichier et vous remplacez « shell_escape=f »

par « shell_escape=t ».



Si vous êtes sous windows et/ou si vous travaillez sur une distribution particulière avec uneinterface graphique sophitiquée, il est probable que tout cela soit prévu dans des options. Il sepeut qu’il y ait deux niveaux d’options : celles de la distibution par exemple MikTeX et celles del’interface graphique (TeXMaker sur tout système, TeXshop sur mac, winedt sur windows, kilesur Linux).

• Il est possible d’agir localement en compilant avec l’option --shell-escape, par exemplepdflatex --shell-escape fic.tex. Cela peut se faire en ligne de commandes ou bien en-core en réglant les options de l’interface graphique.

t Certaines distributions emploient l’expression write18-enabled à la place de --shell-escape.

Modifier le fichier test.tex précédent en ajoutant une ligne :

\documentclass{article}\usepackage{tikz,tkz-fct}\usetikzlibrary{arrows,plotmarks}%% pour les français\usepackage[frenchb]{babel}% need by numprint

\usepackage[np,autolanguage]{numprint}\begin{document}

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmin=-3,xmax=3,ymax=5]\tkzGrid\tkzX[orig]\tkzY%%%%% ligne ajoutée %%%%%\tkzFct(-2..2){x*x}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{tikzpicture}\end{document}

Cette fois, vous devez avoir cette figure :

x−3 −2 −1 0 1 2 3

y

1

2

3

4

5

Si cette figure n’apparaît pas ou bien s’il manque la parabole, cela signifie que Gnuplot n’est pas installéou encore installé mais pas trouvé ou finalement qu’il n’est pas autorisé à écrire.On peut faire un diagnostic, en regardant les fichiers dans le dossier où ce situe le fichier test.tex. Vousdevez y trouver test.aux, test.log, test.pdf et peut-être test.dvi ainsi que test.ps.Il devrait y avoir test.tkzfonct.gnuplot, ce fichier est éditable et doit contenir les paramètrespassés à Gnuplot. Dans notre cas, on doit y trouver :

set terminal table; set output "test.tkzfonct.table"; set format "%.5f"set samples 100; plot [x=-3.000000000000000000:3.000000000000000000] (x*x)/1

Si la parabole n’est pas présente, c’est qu’il manque le fichier : test.tkzfonct.tablecelui-ci est aussi éditable et il doit commencer par :

#Curve 0 of 1, 100 points#x y type-2.00000 4.00000 ietc...

Si tout c’est bien passé alors vous pouvez continuer la découverte de mon module.



Partie F Problème avec : caractère actif de frenchbPour ceux qui utilisent frenchb avec babel, en cas de problème vous pouvez utiliser les commandessuivantes twoptoff et twopton. Tikz est en effet allergique aux caractères actifs, si le besoin se faitsentir, vous pouvez encadrer l’environnement tikzpicture ainsi

\twoptoff\begin{tikzpicture}...\end{tikzpicture}\twopton

Voir le premier exemple donné dans le chapitre suivant. Il est possible d’utiliser shorthandoff{:} etshorthandon{:} mais il faut pour cela que babel et frenchb soient chargés. Donc pour les macros dumodule, j’ai dû créer deux macros indépendantes de frenchb.

Partie G Un préambule plus complet

Pour terminer voici le préambule que j’utilise pour tester mes fichiers. Il est plus complet :

\documentclass{article}\usepackage[utf8]{inputenc}%\usepackage[T1]{fontenc} % pas nécessaire avec fourier%\usepackage{lmodern}\usepackage[upright]{fourier}\usepackage{graphicx}\usepackage{amsmath,amssymb}\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}\usepackage{tikz}\usetikzlibrary{plotmarks,%

arrows,%patterns}

\usepackage{tkz-fct}\usepackage[frenchb]{babel}\usepackage[np,autolanguage]{numprint}%couleur pour certains exemples\definecolor{bistre}{rgb}{.75,.50,.30}\providecolor{bistre}{rgb}{.75,.50,.30}


Mathématiques avec tkz-fct.sty v2.0 Utilisation pgfmath et de fp.sty

III . Utilisation pgfmath et de fp.sty

Partie A pgfmathOn peut faire maintenant beaucoup de tracés sans Gnuplot, voici à titre d’exemple et d’après une idéed’Herbert Voss (le membre le plus actif de la communauté Pstricks) un exemple de courbes obtenuesavec seulement Tikz, vous remarquerez l’usage de \twoptoff et twopton qui permettent de ne pasavoir d’erreur avec les caratères actifs et frenchb.

\begin{tikzpicture}\twoptoff%shorthandoff{:} si tkz-base n’est pas chargé\def\Asmall{0.7 } \def\Abig{3 } \def\B{20}%Herbert Voss\path[fill=blue!40!black,domain=-pi:pi,samples=500,smooth,variable=\t]%

plot({\Abig*cos(\t r)+\Asmall*cos(\B*\t r)},%{0.5*\Abig*sin(\t r)+0.5*\Asmall*sin(\B*\t r)});

\def\Asmall{0.7 } \def\Abig{3 } \def\B{10}\path[shift={(1,1)},fill=blue!40!black,%

domain=-pi:pi,samples=500,smooth,variable=\t]%plot({\Abig*cos(\t r)+\Asmall*cos(\B*\t r)},%

{0.5*\Abig*sin(\t r)+0.5*\Asmall*sin(\B*\t r)});\twopton

\end{tikzpicture}

Partie B fp.styLe principal problème de fp.sty se produit lors de l’évaluation par exemple de (−4)2 ce qui peut setraduire avec fp par :

\begin{tikzpicture}\FPeval\result{(-4)^2}

\end{tikzpicture}

ce qui donne une erreur car fp utilise les logarithmes pour faire cette évaluation.Pour calculer les pentes des tangentes et pour placer des points sur les courbes, mon module traduitl’expression donnée pour Gnuplot et la stocke dans une commande \tkzFcta pour être utiliséeensuite avec les macros \tkzFctPt et \tkzTan. Ainsi pour obtenir le graphe de la fonction f qui a xassocie f (x) = x2, on peut soit utiliser :

\begin{tikzpicture}\tkzFct(-3..3){x*x}

\end{tikzpicture}

soit

\begin{tikzpicture}\tkzFct(-3..3){x**2}

\end{tikzpicture}

mais si vous voulez placer un point de ce graphe ayant pour abscisse x = 2, il est alors préférable dechoisir la première méthode.Sinon pour une fonction polynômiale, il sera nécessaire pour utiliser les macros relatives aux imageset aux tangentes de mettre le polynôme sous la forme d’Horner. Ainsi avec \tkzFct l’ argument5x4 −3x3 +4x +7 devra être écrit : 7+x*(4+x*(x*(-3+x*5)).Voici ce qu’il faut donc faire :


Mathématiques avec tkz-fct.sty v2.0 Utilisation pgfmath et de fp.sty

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

1

2

3

4

5

A

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmin=-4,xmax=4,ymax=5]\tkzGrid\tkzX[orig]\tkzY\tkzFct(-3..3){x*x}\tkzFctPt\tkzFcta(2){A}

\end{tikzpicture}

Une autre possibilité est la suivante , on redifinit \tkzFcta juste avant de l’utiliser en évitant lesécritures qui posent des problèmes.

x−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

1

2

3

4

5

A

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmin=-4,xmax=4,ymax=5]\tkzGrid\tkzX[orig]\tkzY\tkzFct(-3..3){x**2}\def\tkzFcta{x*x}on rédéfinit \tkzFcta\tkzTan[kr=0]\tkzFcta(2){A}

\end{tikzpicture}


Mathématiques avec tkz-fct.sty v2.0 Exemples de représentations graphiques

IV . Exemples de représentations graphiques

Gnuplot détermine les points nécessaires pour tracer la courbe. Le nombre de points est fixé parl’option samples ; dans les premiers exemples la valeur du nombre de points est celle donnée pardéfaut. Ensuite Tikz va utiliser cette table pour tracer la courbe. C’est donc Tikz qui trace la courbe .

Exemple n° 1 Dans le style du manuel, sans tkz-fct

x

y

fh

\shorthandoff{:}% only for frenchb & babel\begin{tikzpicture}[scale=2]

\draw[very thin,color=gray] (-0.1,-1.1) grid (3.9,3.9);\draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[right] {\scriptsize $x$};\draw[->] (0,-1.2) -- (0,4.2) node[above] {\scriptsize $y$};\draw[color=red]%

plot[id=x,domain=0:4]%function{ x} node[right]{\scriptsize $f$};

\draw [color=blue]%plot[id=exp,domain=0:1.8]%function{exp(x)-2} node[right]{\scriptsize $h$};

\clip (0,0) -- (0,-1) -- (2,-1) -- (2,2);\fill[color=gray!50,fill,fill opacity=0.6]%

plot[id=exp,domain=0:2]%function{exp(x)-2} -| (0,0) ;

\end{tikzpicture}\shorthandon{:}



Exemple n° 2 Toujours sans tkz-fct

Le tracé du graphe de la fonction qui a x associe ln x. Dans le code qui suit, il est utile de regarder lefonctionnement de la macro \foreach et de voir dans la documentation de pgf, les pages consacréesà cette macro.

x

f (x)

1 2 e 3

−1

0

1

f (x) = ln(x)

\shorthandoff{:}% only for frenchb & babel\begin{tikzpicture}[scale=4]

\shade[top color=gray!80,bottom color=gray!20]%(1,0) plot[id=ln,domain=1:3] function{log(x)} |- (1,0);

\draw[style=help lines] (0,0) grid (3,1.2)[step=0.20cm] (1,0) grid +(2,1.2);

\draw[->] (0,0) -- (3.2,0) node[right] {$x$};\draw[->] (0,-1) -- (0,1.5) node[above] {$f(x)$};\foreach \x/\xtext in {1/1, 2/2, 2.718/{\textcolor{red} e}, 3/3}\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,1pt) -- (0pt,-1pt) node[below] {$\xtext$};\foreach \y/\ytext in {-1/-1,0/0,1/1}\draw[shift={(0,\y)}] (1pt,0pt) -- (-1pt,0pt) node[left] {$\ytext$};\draw[color=blue] plot[id=ln,domain=0.5:3.2]%

function{log(x)} node[right] {};\node [draw=blue,color=blue,fill=white] at (1.6,-0.8)%

{\scriptsize $f(x)=\ln(x)$};\draw[->,dashed] [color=red,thin] (2.718,0) -- (2.718,1) -- (0,1) ;\fill[fill=red] (2.718,1) circle (0.032cm);\fill[fill=blue] (1,0) circle (0.032cm);

\end{tikzpicture}\shorthandon{:}



Exemple n° 3 Variante intermédiaire : on mélange

Les codes de Tikz et de tkz-fct peuvent se compléter. Ainsi les axes et les textes sont gérés partkz-fct mais la courbe est laissée à Tikz et gnuplot.

f (x)

−2

−1

0

1

2

x1 2 3 4

A = ∫ e1 ln(x)dx = [

x ln(x)]e

1 = eA

\begin{tikzpicture}[scale=2]\tkzInit[xmin=0,xmax=4,ymin=-2,ymax=2]\tkzY[label=$f(x)$,orig]\tkzPoint[noname,color=blue,size=0.6pt](1,0){x}\twoptoff\shade[top color=gray!80,bottom color=gray!20] (1,0)%

plot[id=ln,domain=1:2.718] function{log(x)} |-(1,0);\draw[color=blue] plot[id=ln,domain=0.2:4,samples=200]%

function{log(x)};\twopton\tkzX\tkzPoint[coord,noname,color=red,size=0.6pt](2.718,1){x}\tkzText[style={draw},color= black,bkgcolor=bistre!50](4.5,0.5)%

{$\mathcal{A} = \int_1^{\text{e}}\ln(x)\text{d}x =%\big[x\ln(x)\big]_{1}^{\text{e}} = \text{e}$}

\tkzText[style={draw},%color= black,bkgcolor=bistre!50](2,0.3){$\mathcal{A}$}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 4 Uniquement avec tkz-fct

Il faut remarquer que les commandes ne se terminent pas par un point-virgule comme dans Tikz. laprincipale partie du code qui va suivre est constituée de macros définies dans tkz-base.sty.

f (x)

−2

−1

0

1

2

x1 2 3 4

f (x) = ln(x)

e

A = ∫ e1 ln(x)dx = [

x ln(x)]e

1 = eA

\begin{tikzpicture}[scale=2]\SetUpPoint[noname]\tkzInit[xmin=0,xmax=4,ymin=-2,ymax=2]\tkzY[label=$f(x)$,orig]\tkzFct[](0.2..4){log(x)}\tkzAera[style={top color=gray!80,bottom color=gray!20}](1..3)\tkzGrid[sub,color=orange](1,0)(3,1.2)\tkzX\tkzPoint[color=blue](1,0){A}\tkzFctPt[coord,color=red]\tkzFcta(exp(1)){B}\tkzText[style = {draw},%

color = black,%bkgcolor = bistre!50]%(2,-0.8){$f(x)=\ln(x)$}

\tkzText[color = red](2.718,-0.2){$\text{e}$}\tkzPoint[coord,noname,%

color = red,%size = 0.6pt](2.718,1){x}

\tkzText[style = {draw},%color = black,%bkgcolor = bistre!50](4.5,0.5)%{$\mathcal{A} = \int_1^{\text{e}}\ln(x)\text{d}x =%

\big[x\ln(x)\big]_{1}^{\text{e}} = \text{e}$}\tkzText[style = {draw},%

color = black,%bkgcolor = bistre!50](2,0.3){$\mathcal{A}$}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 5 f (x) =p

x3 +x2

Il faut remarquer que les tangentes sont en réalité deux demi-tangentes ce qui permet d’obtenirsimplement le résultat ci-dessous.Il faut remarquer également que l’écriture (x**3+x**2)**(0.5) provoque une erreur pour le tracédes tangentes. Le module FP est utilisé mais provoque certaines erreurs si on ne fait pas attention auxexpressions utilisées. L’écriture ((x+1)*x)*x est préférable pour plusieurs raisons ou bien encore(x*x*x+x*x)**(0.5).

x−2 −1 0 1 2 3

y

1

2

3

f (x) =p

x3 +x2

\begin{tikzpicture}[scale=2.5]\tkzInit[xmin=-2,xmax=3,ymax=3]\tkzGrid[color=orange](-2,0)(3,3)\tkzX[orig]\tkzY\tkzFct[samples = 200,%

lw = 1pt,color = red](-1..2)%{(((x+1)*x)*x)**(0.5)}% le mieux

%\def\tkzFcta{(x*x*x+x*x)^(.5)} est possible\tkzTan[noname]\tkzFcta(0){x}\tkzText[style = {draw},%

color = red,%bkgcolor = orange!20](2,1)%

{$f(x)=\sqrt{x^3+x^2}$}\end{tikzpicture}



Exemple n° 6 f (x) = xx

La syntaxe utilisée pour la fonction est celle de gnuplot. Il est intéressant de voir que l’on profite de FPpour faire évaluer l’antécédent 1/exp(1) mais cette fois pas de problème car x est strictement positif.

x0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

y

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

A

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]\tkzInit[xmax=1,xstep=0.1,ymax=1,ystep=0.1]\tkzGrid\tkzGrid[sub,subcolor=orange,subxstep=0.01,subystep=0.01](0.2,0.6)(0.6,0.8)\tkzX\tkzY\tkzFct[lw=0.8pt](0.00001..1){(\x**\x)}\tkzTan[color=blue,lw=.8pt,kr=0.2,kl=0.2]{\tkzFcta}(1/exp(1)){A}\tkzTan[color=blue,lw=.8pt,kr=0,kl=1,noname]{\tkzFcta}(1){B}\end{tikzpicture}



Exemple n° 7 Zoom sur f (x) = xx

tL Fp fait bien son travail. Lorsque xstep est différent de 1, ce qui est le cas ici, il est nécessaire deremplacer x par \x.

x0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

y

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1

A

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]\tkzInit[xmax=.1,xstep=0.01,ymin=.7,ymax=1,ystep=0.05]\tkzGrid[sub,subcolor=orange,subystep=0.005,subxstep=0.002](0,0.70)(0.1,1)\tkzX\tkzY\tkzFct[lw=0.8pt](0.00001..0.1){(\x**\x)}\tkzFctPt[color=red,coord,pos=above right]\tkzFcta(1/exp(3)){A}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 8 Tangentes avec f (x) = xx

Pas de courbe car l’épaisseur du trait est très faible mais des tangentes !

x

y

y = xex

\begin{tikzpicture}[scale=2]\tikzstyle{StyleTan}=[-]

\tkzInit[xmin=-5,xmax=2,ymin=-1,ymax=3]\tkzX[nograd]\tkzY[nograd]\tkzText[style={draw},color = red, bkgcolor = orange!20]%

(1.5,1.5){$y = xe^x$}\tkzFct[samples = 200,%

lw = 0.01 pt,%color = red](-5..1){x*exp(x)}

\foreach \x in {-4,-3.8,...,0}{%\tkzTan[color=blue,lw=.4pt,kr=1,kl=0.5,nopoint]\tkzFcta(\x){pt}}

\foreach \x in {0.6,0.8,1}{%\tkzTan[color=blue,lw=.4pt,kr=0,kl=0.5,nopoint]\tkzFcta(\x){pt}}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 9 Courbes de Lorentz : f (x) = ex −1

e−1et g (x) = x3

x0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

y

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

f (x) = ex −1

e−1

g (x) = x3

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmax=1,ymax=1,xstep=0.1,ystep=0.1]\tkzGrid(0,0)(1,1)\tkzX[orig]\tkzY\tkzFct[samples = 200,%

lw=1pt,%color = red](0..1)%

{(exp(\x)-1)/(exp(1)-1)}\tkzTan[kl=0,kr=0.4,color=red,noname]\tkzFcta(0){t}\tkzTan[kl=0.2,kr=0,color=red,noname]\tkzFcta(1){t1}\tkzText[style = {draw},%

color = red,%bkgcolor = bistre!30]%(0.4,0.6){$f(x)=\dfrac{\text{e}^x-1}{\text{e}-1}$}

\tkzFct[samples = 200,%lw=1pt,color = blue](0..1){\x*\x*\x}

\tkzTan[kl=0,kr=0.4,color=blue,noname]\tkzFctb(0){t2}\tkzTan[kl=0.2,kr=0,color=blue,noname]\tkzFctb(1){t3}\tkzText[style = {draw},%

color = blue,%bkgcolor = bistre!30](0.8,0.1){$g(x)=x^3$}

\tkzFct[samples = 100,lw=1pt](0..1){\x}\tkzAerafg[color=blue!40](0..1){\tkzFctgnuc}{\tkzFctgnub}\tkzAerafg[color=red!60](0..1){\tkzFctgnuc}{\tkzFctgnua}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 10 Courbe paramétrée

{x(t ) = (cos(t ))3

y(t ) = (sin(t ))3

x−1 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1

y

−1

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0,2

0,4

0,6

0,8

1

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmin=-1,xmax=1,xstep=.2,ymin=-1,ymax=1,ystep=.2]\tkzGrid[sub]\tkzX\tkzY\tkzFctPar[samples=400](0..2*pi){(cos(\t))**3}{(sin(\t))**3}

\end{tikzpicture}


Mathématiques avec tkz-fct.sty v2.0 Utilisation de \tkzFct

V . Utilisation de \tkzFct

macro n° 1 Tracé d’une fonction avec gnuplot \tkzFct

Syntaxe : \tkzFct[⟨local options⟩](⟨xmin..xmax⟩){⟨gnuplot expression⟩}(⟨xmin..xmax⟩) est le domaine sur lequel est demandé le tracé. L’expression est de la forme 2*x+1 ;3*log(x) ; x*exp(x) ; x*x*x+x*x+x . Il faut remarquer que Gnuplot a un défaut majeur, même pour unexposant entier, il obtient les puissances en utilisant exp et ln, de ce fait l’évaluation de (-4)**2 provoqueune erreur. Il est préférable de passer par x*x à la place de x**2.

L L Lorsque xstep est différent de 1, il est nécessaire de remplacer x par \x.t Il faut bien évidemment avoir initialisé l’environnement à l’aide \tkzInit avant d’appeler \tkzFct.L L Attention à ne pas mettre d’espace entre les arguments.

options défaut définitionlw 0.8pt définit la largeur du trait de la courbecolor black couleur du traitstyle solid définit le style du trait de la courbesamples 100 nombres de points pour le tracélabel false nom attribué au labellabelfct $\mathcal{C}_f$ label attribué à la fonction

Exemple n° 11 Tracé de1

x; option : samples

On demande 200 valeurs pour la table qui va permettre le tracé

x1 2 3 4 5 6

y

1

2

3

4

5

6

\begin{tikzpicture}[scale=1.6]\tkzInit[xmax=6,ymax=6]\tkzGrid[sub]\tkzX\tkzY\tkzFct[samples=200](0.1..10){1/x}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 12 Même fonction ; options : xstep, ystep, orig, label, poslabel

jours

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

litres

0

1

2

3

4

5

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmax = 110,xstep=10,ymax=5,ystep=1]\tkzGrid[sub,subxstep=10,subystep=0.5,color=darkgray,subcolor=gray]%

(-5,0)(110,5)\tkzX[label={\textit{jours}},poslabel= -18pt]\tkzY[orig,label={\textit{litres}}]\tkzFct[](0.1..100){1/\x}

\end{tikzpicture}

Exemple n° 13 Modification de xstep et ystep

Cette fois le domaine s’étend de 0 à 800, les valeurs prises par la fonction de 0 à 2000. xstep=100 doncil faut utliser \x à la place de x. Une petite astuce au niveau de gnuplot, 1. et 113. permettent d’obtenirune division dans les décimaux sinon la division se fait dans les entiers.Ensuite, j’utilise les macros pour placer des points

x100 200 300 400 500 600 700

y

400

800

1200

\begin{tikzpicture}[scale=1.5]\tkzInit[xmin=0,xmax=700,xstep=100,ymin=0,ymax=1200,ystep=400]\tkzGrid(0,0)(700,1200) \tkzX \tkzY\tkzFct[color=red,samples=100,lw=0.8pt](0..800)%{(1./90000)*\x*\x*\x-(1./100)*\x*\x+(113./36)*\x}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 14 Simple courbe y = x2 +1

x3

Une partie du code est du Tikz pur(voir la traduction ci-dessous)

x1 2 3 4 5 6

y

−1

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Courbe de f

O

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmin=0,xmax=6,ymin=-1,ymax=1.2,ystep=0.2]\tkzGrid(0,-1)(6,1.2)\tkzX\tkzY\tkzFct[color=red,lw=0.8pt](0.55..6){(\x*\x+\x-1)/(\x*\x*\x)}\node[draw] at (3,-1.5) {\textbf{Courbe de} $\mathbf{f}$};\node[below left] at (0,0) {O};

\end{tikzpicture}

Il était préférable d’utiliser ceci :

\tkzText(3,-0.3){\textbf{Courbe de} $\mathbf{f}$}\tkzPoint[pos=below left](0,0){O}



Exemple n° 15 Sous grille et y = (x −4)e−0.25x+5

Il est possible de dessiner une autre grille.

x6 8 10 12 14 16 18 20 22

y

30

40

50

60

70

80

90

100

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmin=4,xmax=23,xstep=2,ymin=20,ymax=100,ystep=10]\tkzFct(4..20){(\x-4)*exp(-0.25*\x+5)}\tkzGrid(0,0)(22,90)\tkzX\tkzY\tkzGrid[sub,subxstep=0.5,subystep=2,subcolor=bistre](6,60)(12,90)

\end{tikzpicture}



Exemple n° 16 Utilisation des macros de tkz-base

y

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

C f

A

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,ymin=-5,ymax=8]\tkzGrid[sub,subxstep=.5,subystep=.5](-5,-5)(5,8)\tkzY\tkzX[orig]\tkzFct(-5..2.48){(2-x)*exp(x)}\tkzText(-2,1.25){$\mathcal{C}_{f}$}\tkzPoint(2,0){A}\end{tikzpicture}



macro n° 2 Placer un point sur une courbe en utilisant la fonction \tkzFctPt

Syntaxe : \tkzFctPt[⟨local options⟩]{\tkzFcta}(⟨xA, yA⟩){⟨Node⟩}ou encore\tkzFctPt[⟨local options⟩]\tkzFcta(⟨xA, yA⟩){⟨Node⟩}Les options sont celles d’un point, la fonction utilisée est donnée par \tkzFcta ou encore \tkzFctbla dernière lettre dépend de l’ordre de définition de la fonction dans l’environnement tikzpicture.

options défaut définitionnoname false si true pas de nomname empty si non vide alors c’est le nom attribué au pointcolor black couleur du pointnomark false si true pas de marquemark * représentation du pointsize 1pt représentation du pointnamecolor black couleur du labelsize \normalsize taille du pointpos above right position du nomcoord false booléen pour indiquer si on représente les coordonnéesxlabel empty nom de l’abscisse si coord = trueylabel empty nom de l’ordonnée si coord = trueposxlabel 0pt écart par rapport l’axe des abs. de xlabelposylabel 0pt écart par rapport l’axe des ord. de ylabel

Exemple n° 17 Placer un point ;option mark,pos

x−3 −2 −1 1 2 3 4

y

−2

−1

1

2

3

4

A

−→

−→ıO

\begin{tikzpicture}[scale=1.3]\tkzInit[xmin=-3,xmax=4,ymin=-2,ymax=4]\tkzGrid(-3,-2)(4,4)\tkzX \tkzY\tkzFct(-2.15..3.2){(2+x)*exp(-x)}\tkzFctPt[mark=o,pos=above left]\tkzFcta(-1){A}\tkzRep

\end{tikzpicture}



Exemple n° 18 Placer un point sans se soucier des coordonnées

Cette fois le domaine s’étend de 0 à 800, les valeurs prises par la fonction de 0 à 2000. xstep=100 doncil faut utliser \x à la place de x. Une petite astuce au niveau de gnuplot, 1. et 113. permettent d’obtenirune division dans les décimaux sinon la division se fait dans les entiers.Ensuite, j’utilise les macros pour placer des points

x100 200 300 400 500 600 700 800

y

400

800

1200

1600

2000

A

\begin{tikzpicture}[scale=1.6]\tkzInit[xmin=0,xmax=800,xstep=100,ymin=0,ymax=2000,ystep=400]\tkzGrid(0,0)(800,2000)\tkzX\tkzY\tkzFct[color=red,samples=100,lw=0.8pt](0..800)%{(1./90000)*\x*\x*\x-(1./100)*\x*\x+(113./36)*\x}\tkzFctPt\tkzFcta(450){A}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 19 Placer des points avec deux fonctions

Revoir \SetUpPoint et \tkzText du module tkz-base.sty

x1 2 3

y

1

2

A

B

C

D

f (x) = 18 (3x −1)+ 3

8

(3x−1x2

)

g (x) = 18 (3x −1)

\begin{tikzpicture}[scale=4]\tkzInit[xmax=3,ymax=2]\tkzX\tkzY\tkzGrid(0,0)(3,2)\tkzFct[samples = 200,%

lw = 0.8pt,%color = red]%(1/3..3){0.125*(3*x-1)+0.375*(3*x-1)/(x*x)}

\tkzFct[ samples = 200,%lw = 0.8pt,%color = green]%

(1/3..3){0.125*(3*x-1)}\SetUpPoint[size=0.5pt,mark=x]\tikzstyle{StyleMark}=[mark=oplus, mark size = 0.5pt]\tkzFctPt\tkzFcta(2){A}\tkzFctPt\tkzFcta(3){B}\tkzFctPt\tkzFctb(3){C}\tkzFctPt\tkzFctb(1/3){D}\tkzText[style={draw},color= red,bkgcolor=bistre!50] (1,1.5) %{$f(x)=\frac{1}{8}(3x-1)+\frac{3}{8}%\left(\frac{3x-1}{x^2}\right)$}\tkzText[style={draw},color= green!50!black,bkgcolor=bistre!50]%

(2,0.3) %{$g(x)=\frac{1}{8}(3x-1)$}

\end{tikzpicture}



macro n° 3 Tracé d’une tangente \tkzTan

Syntaxe : \tkzTan[⟨local options⟩]\tkzFcta(xa)Si une seule fonction est utilisée, elle est stockée avec comme nom \tkzFcta, si une deuxième fonc-tion est utilisée elle sera stockée avec comme nom \tkzFctb, et ainsi de suite. . .

tL Il faut bien évidemment avoir initialisé l’environnement à l’aide \tkzInit avant d’appeler \tkzFct.Pour la longueur des vesteurs représentant les demi-tangentes, il faut attribuer une valeur aux coeffi-cients kl et kr si possible multiple de xstep. kl = 0 ou kr = 0 annule le dessin de la demi-tangentecorrespondante (l=left) et (r=right). Si xstep=1 et ystep=1 alors si la pente est égale à 1, la demi-tangente a pour mesure

p2. Dans les autres cas si AT est la longueur de la demi-tangente et si p est la

pente alors−→AT a pour coordonnées (kl,kl*p.)

options défaut définitionlw 0.8pt définit la largeur du trait de la tangentecolor blue couleur du traitstyle solid solid, dashed, dotted etc...(voir manuel de tikz)kr 1 coefficient pour la longueur de la demi-tangente à droitekl 1 coefficient pour la longueur de la demi-tangente à droite

Exemple n° 20 Quelques tangentes

x−3 −2 −1 1 2 3 4

y

−4

−3

−2

−1

1

2

C

A

B

D

−→

−→ıO

\begin{tikzpicture}[scale=1.5]\tkzInit[xmin=-3,xmax=4,ymin=-4,ymax=2]\tkzGrid(-3,-4)(4,2)\tkzX\tkzY\tkzFct[](-2.15..3.2){(-x*x)+2*x}\tkzFctPt\tkzFcta(exp(1)){C}\tkzTan[kl=0]{\tkzFcta}(-1){A}\tkzTan{\tkzFcta}(2){B}\tkzTan[kr=0]{\tkzFcta}(3){D}\tkzRep

\end{tikzpicture}



Exemple n° 21 Tangente avec xstep et ystep différents de 1

Il faut remarquer qu’il n’est point nécessaire de faire des calculs. Il suffit d’utiliser les valeurs qui cor-respondent aux graduations. On peut changer le style des tangentes avec \tikzstyleStyleTan=[-].

x100 200 300 400 500 600 700 800

y

400

800

1200

1600

A

f (x) = 1

90000x3 − 1

100x2 + 113

36x

\begin{tikzpicture}[scale=1.5]\tikzstyle{StyleTan}=[-]\tkzInit[xmin=0,xmax=800,xstep=100,ymin=0,ymax=1800,ystep=400]\tkzGrid[color=bistre,sub,subxstep=50,subystep=200](0,0)(800,1800)\tkzX\tkzY\tkzFct[color=red,samples=100,lw=0.8pt](0..800)%

{(1./90000)*\x*\x*\x-(1./100)*\x*\x+(113./36)*\x}

\tkzMark(800,1800){X}\tkzTan[color=blue,kr=300,kl=450,coord]{\tkzFcta}(450){A}\tkzText[style = {draw},%

color = black,%bkgcolor = bistre!50,%opacity = 0.8]%

(300,1200)%{$f(x)=\dfrac{1}{90000}x^3 -\dfrac{1}{{100}}x^2 +\dfrac{113}{36}x$}\end{tikzpicture}



Exemple n° 22 Tangentes avec xx ; option nopoint

x0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

y

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1A

O

\begin{tikzpicture}[scale=1.5]\tkzInit[xmax=1,xstep=0.1,ymax=1,ystep=0.1]\tkzGrid\tkzX\tkzY\tkzFct(0.00001..1){\x**\x}\tkzTan[color=blue,kr=0.2,kl=0.2,nopoint]\tkzFcta(1-1/exp(1)){t}%\tkzTan[color=blue,kr=0,kl=1]\tkzFcta(1){A}%\tkzPoint[pos=below left](0,0){O}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 23 Exemple plus complexe

x1 2 3

y

1

2

A

f (x) = 18 (3x −1)+ 3

8

(3x−1x2

)

g (x) = 18 (3x −1)

\begin{tikzpicture}[scale=4]\tkzInit[xmax=3,ymax=2]\tkzX\tkzY\tkzGrid(0,0)(3,2)\tkzFct[color = red]%

(1/3..3){0.125*(3*x-1)+0.375*(3*x-1)/(x*x)}\tkzFct[color = green]%

(1/3..3){0.125*(3*x-1)}\SetUpPoint[noname,size=0.5pt,mark=x]\tkzTan[color=blue,lw=.8pt,size=0.5pt]{\tkzFcta}(1){A}\tkzText[style={draw},color= red,bkgcolor=bistre!50] (1,1.5) %

{$f(x)=\frac{1}{8}(3x-1)+\frac{3}{8}%\left(\frac{3x-1}{x^2}\right)$}

\tkzText[style={draw},color= green!50!black,bkgcolor=bistre!50]%(2,0.3){$g(x)=\frac{1}{8}(3x-1)$}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 24 Quelques tangentes

x

y

y = xex

A B

C

D

\begin{tikzpicture}[scale=2]\tkzInit[xmin=-5,xmax=2,ymin=-1, ymax=3]\tkzX[nograd]\tkzY[nograd]\tkzText[style={draw},color = red,%

bkgcolor = orange!20]%( 1.5,1.5){$y = xe^x$}

\tkzFct[samples = 200,%lw = 1 pt, color = red](-5..1){x*exp(x)}%

\SetUpPoint[mark=*,size=1pt,pos=below right]\tkzTan[color=blue,kr=2,kl=2]\tkzFcta(-2){A}\tkzTan[color=green,kr=2,kl=2,pos=below]\tkzFcta(-1){B}\tkzTan[color=blue]\tkzFcta(0){C}\tkzTan[color=blue,kr=0]\tkzFcta(1){D}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 25 Demi-tangentes

Dans cet exemple, elles sont obtenues automatiquement :

x−2 −1 0 1 2 3

y

1

2

3

x

f (x) =p

x3 +x2

\begin{tikzpicture}[scale=2.75]\tkzInit[xmin=-2,xmax=3,ymax=3]\tkzGrid[color=orange](-2,0)(3,3)\tkzX[orig]\tkzY\tkzFct[samples = 200,%

lw=1pt,%color = red](-1..2)%{(x*x*x+x*x)**(0.5)}

\tkzTan\tkzFcta(0){x}\tkzText[style = {draw},%

color = red,%bkgcolor = orange!20]%

(2,1)%{$f(x)=\sqrt{x^3+x^2}$}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 26 Demi-tangentes Courbe de Lorentz

Ici on veut que les demi-tangentes comprises entre 0 et 1, pour cela il suffit dans un cas de donner lavaleur 0 à kr et dans l’autre à kl.

x0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

y

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

f (x) = ex −1

e−1

\begin{tikzpicture}[scale=1.25]\tkzInit[xmax=1,ymax=1,xstep=0.1,ystep=0.1]\tkzGrid(0,0)(1,1)\tkzX[orig]\tkzY\tkzFct[samples = 200,%

lw = 1pt,%color = red](-1..2)%

{(exp(\x)-1)/(exp(1)-1)}\tkzTan[kl = 0, kr = 0.4,nopoint]{\tkzFcta}(0){x}\tkzTan[kl = 0.4,kr = 0 ,nopoint ]{\tkzFcta}(1){y}\tkzText[style = {draw},%

color = red,%bkgcolor = orange!20]%(0.5,0.6)%{$f(x)=\dfrac{\text{e}^x-1}{\text{e}-1}$}

\end{tikzpicture}



macro n° 4 Aire pour une intégrale \tkzAera

Syntaxe : \tkzAera[⟨local options⟩](⟨xa..xb⟩)On l’emploie juste après l’utilisation de \tkzFct

options défaut définitioncolor lightgray couleur de remplissageopacity 0.5 transparencestyle {} permet de personnaliser le remplissagesamples 200 nombre de points pour définir la surface

Exemple n° 27 Aire simple

x100 200 300 400 500 600

y

400

800

\begin{tikzpicture}[scale=2]\tkzInit[xmin=0,xmax=600,xstep=100,ymin=0,ymax=800,ystep=400]\tkzGrid\tkzX\tkzY\tkzFct(0..600)%{(1./90000)*\x*\x*\x-(1./100)*\x*\x+(113./36)*\x}\tkzPoint[noname,coord](450,400){a}\tkzAera[color=orange!50](0..450)

\end{tikzpicture}

Exemple n° 28 Aire simple avec des hachures

\tkzAera[style={pattern=north west lines}](0..450)

x100 200 300 400 500 600

y

400

800



Exemple n° 29 Aire et dégradé de couleur

x−3 −2 −1 1 2 3 4

y

−2

−1

1

2

3

4

A

D

BC

−→

−→ıO

\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=2,line width=0.6pt,>=latex]\tkzInit[xmin=-3,xmax=4,ymin=-2,ymax=4]

\tkzFct[](-2.15..3.2){(2+\x)*exp(-\x)}\tkzAera[style={top color=gray!80,bottom color=gray!20}](0..2)\tkzGrid(-3,-2)(4,4)\tkzX\tkzY\tkzTan[color=blue,lw=.8pt,kr=3,kl=2,pos=above right]\tkzFcta(0){A}\tkzTan[color=blue,lw=.8pt]\tkzFcta(-1){D}\tkzPoint[pos=above right](2,0){B}\tkzPoint[pos=above right](-2,0){C}\tkzRep

\end{tikzpicture}



Exemple n° 30 Aire et hachures

x−3 −2 −1 1 2 3 4

y

−2

−1

1

2

3

4

A

D

BC

−→

−→ıO

\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=2,line width=0.6pt,>=latex]\tkzInit[xmin=-3,xmax=4,ymin=-2,ymax=4]

\tkzFct[](-2.15..3.2){(2+\x)*exp(-\x)}\tkzAera[style={pattern=north west lines}](0..2)\tkzGrid(-3,-2)(4,4)\tkzX\tkzY\tkzTan[color=blue,kr=3,kl=2,pos=above right]\tkzFcta(0){A}\tkzTan[color=blue]\tkzFcta(-1){D}\tkzPoint[pos=above right](2,0){B}\tkzPoint[pos=above right](-2,0){C}\tkzRep

\end{tikzpicture}



macro n° 5 Aire comprise entre deux courbes \tkzAerafg

Syntaxe : \tkzAerafg[⟨local options⟩](⟨xa..xb⟩)Si sur xa..xb, f est supérieure à g alors f est passée comme argument en premier. Il est possible d’éviterde renommer les fonctions en utilisant le nom de stockage interne \tkzFctgnua puis \tkzFctgnub.C’est l’expression utilisée par gnuplot.a,b etc... sont attribuées dans l’ordre d’apparition.

options défaut définitioncolor lightgray couleur de remplissageopacity 0.5 transparencestyle {} permet de personnaliser le remplissagesamples 200 nombre de points pour définir la surface

Exemple n° 31 Aire comprise entre deux courbes en couleur

x1 2 3 4 5

y

1

2

3

4

5

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmax=5,ymax=5]\tkzGrid(0,0)(5,5) \tkzX \tkzY\tkzFct(0..5){x}\tkzFct(5..-0.5){log(x)}\tkzAerafg[color=orange!50](1..5){\tkzFctgnua}{\tkzFctgnub}

\end{tikzpicture}

Exemple n° 32 Aire comprise entre deux courbes avec des hachures

\tkzAerafg[style = {pattern=north west lines}](1..5)%{\tkzFctgnua}{\tkzFctgnub}

x1 2 3 4 5

y

1

2

3

4

5



Exemple n° 33 Aire comprise entre deux courbes

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

−4

−3

−2

−1

1

2

3

Cg

C f

−→

−→ıO

\begin{tikzpicture}\tkzInit[ymin=-4,ymax=3]

\tkzGrid(0,-4)(10,3)\tkzX[]\tkzY[]\tkzFct[label=$C_g$](0.5..9){1/x}\tkzFct[label=$C_f$](0.05..9){log(x)}\tkzAerafg[style={pattern=north west lines}](1..8)%

{\tkzFctgnub}{\tkzFctgnua}\tkzRep

\end{tikzpicture}



Exemple n° 34 Aire comprise entre deux courbes : courbe de Lorentz

x0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

y

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

f (x) = ex −1

e−1

g (x) = x3

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmax=1,ymax=1,xstep=0.1,ystep=0.1]\tkzGrid(0,0)(1,1)\tkzX[orig]\tkzY\tkzFct[samples = 200,%

lw=1pt,%color = red](-1..2)%

{(exp(\x)-1)/(exp(1)-1)}\tkzTan[kl=0,kr=0.4,color=red,noname]\tkzFcta(0){t}\tkzTan[kl=0.2,kr=0,color=red,noname]\tkzFcta(1){t1}\tkzText[style = {draw},%

color = red,%bkgcolor = bistre!30]%(0.4,0.6)%{$f(x)=\dfrac{\text{e}^x-1}{\text{e}-1}$}

\tkzFct[samples = 200,%lw=1pt,%color = blue](-1..2){\x*\x*\x}

\tkzTan[kl=0,kr=0.4,color=blue,noname]\tkzFctb(0){t2}\tkzTan[kl=0.2,kr=0,color=blue,noname]\tkzFctb(1){t3}\tkzText[style = {draw},%

color = blue,%bkgcolor = bistre!30](0.8,0.1){$g(x)=x^3$}

\tkzFct[lw = 1pt,%color = black,%style = solid]%(-1..2){\x}

\tkzAerafg[color=gray!40](0..1){\tkzFctgnuc}{\tkzFctgnub}\tkzAerafg[color=gray!60](0..1){\tkzFctgnuc}{\tkzFctgnua}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 35 Mélange de style

x−1 1 2 3 4

y

−1

1

2

3

4

5

−→

−→ıO

C f

Cg

\begin{tikzpicture}[scale=2]\tkzInit[xmin=-1,xmax=4,ymin=-1,ymax=5]\tkzGrid[]\tkzX \tkzY\tkzFct(-.5..4){ 4*x-x**2+4/(x**2+1)**2}\tkzFct(-.5..4){x-1+4/(x**2+1)**2}\tkzAerafg[color=green](1..4){\tkzFctgnua}{\tkzFctgnub}\tkzAerafg[style={pattern=north west lines}](-.5..1){\tkzFctgnua}{\tkzFctgnub}\tkzRep\tkzText(2.5,4.5){$C_f$}\tkzText(2.5,1){$C_g$}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 36 Courbes de niveaux

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmax=20,ymax=12]\tkzGrid[color=orange,sub](0,0)(20,12)\tkzX \tkzY\tkzFct[samples=400](0..8){(32-4*x)**(0.5)}\tkzFct[samples=400](0..18){(72-4*x)**(0.5)}\tkzFct[samples=400](0..20){(112-4*x)**(0.5)}\tkzFct[samples=400](2..20){(152-4*x)**(0.5)}\tkzFct[samples=400](12..20){(192-4*x)**(0.5)}\tkzAerafg[color=gray!80](0..8){\tkzFctgnub}{\tkzFctgnua}\tkzAerafg[color=gray!80](8..18){\tkzFctgnub}{0}\tkzAerafg[color=gray!50](2..20){\tkzFctgnud}{\tkzFctgnuc}\tkzAerafg[color=gray!50](0..2){12}{\tkzFctgnuc}\tkzAerafg[color=gray!20](12..20){12}{\tkzFctgnue}\tkzTan[color=blue,kr=6,kl=14,pos=above]{\tkzFctb}(14){M}

\end{tikzpicture}

voir la figure sur la page suivante



x1

23

45

67

89

1011

1213

1415

1617

1819

20

y 123456789101112

M

FIG

.1.C

ourb

ed

en

ivea

ux



macro n° 6 Asymptotes \tkzHLine et \tkzVLine

Syntaxe : \tkzHLine[⟨local options⟩](⟨list of values⟩)et\tkzVLine[⟨local options⟩](⟨list of values⟩)

options défaut définitioncolor black couleur du traitlw 0.6pt épaisseur du pointstyle dashed style du trait

Exemple n° 37 Asymptote horizontale

x1 2 3 4 5

y

0,5

1

1,5

2

x

f (x) = xe−x +1

\begin{tikzpicture}[scale=2.5]\tkzInit[xmax=5,ymax=2,ystep=0.5]\tkzGrid\tkzX\tkzY\tkzFct[lw=0.8pt](0..10){x*exp(-x)+1}\tkzHLine[color=red,style=solid,lw=1.2pt]{1}\tkzTan[color=blue,lw=.8pt]{\tkzFcta}(1){x}\tkzText[style = {draw},%

color = black,%bkgcolor = bistre!20]%(2,0.5)%

{$f(x)=x \text{e}^{-x}+1$}\end{tikzpicture}



Exemple n° 38 Asymptotes verticale et horizontale

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

1+e

f (x) = 1

ln2(x −1)+1

\begin{tikzpicture}\tkzInit\tkzGrid\tkzX\tkzY\tkzFct[lw=0.8pt](1.001..1.9){1+1/(log(x-1)**2)}\tkzFct[lw=0.8pt](2.1..10){1+1/(log(x-1)**2)}\tkzVLine[color=red,style=solid]{2}\tkzHLine[color=green,style=solid]{1}\tkzHLine[style=dotted,color=red]{1}\tkzVLine[style=dotted,color=green]{2}\tkzFctPt[coord,xlabel=$1+\text{e}$,poslabel=12pt,mark=oplus]%

{\tkzFctb}(1+exp(1)){A}\tkzText[style = {draw},%

color = black,%bkgcolor = bistre!20]%(6,6)%{$f(x)=\dfrac{1}{\ln^2 (x-1)}+1$}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 39 Multiples lignes

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

\begin{tikzpicture}\tkzInit\tkzX\tkzY\tkzVLine[color=red,style=solid]{0,2,...,8}\tkzHLine[color=green,style=solid]{1,2,...,5}

\end{tikzpicture}


Mathématiques avec tkz-fct.sty v2.0 Courbes avec équations paramétrées

VI . Courbes avec équations paramétrées

macro n° 7 Fonction paramétrée avec gnuplot \tkzFctPar

Syntaxe : \tkzFctPar[⟨local options⟩](⟨xmin..xmax⟩){⟨exp 1⟩}{⟨exp 2⟩}(⟨xmin..xmax⟩) est le domaine sur lequel est demandé le tracé. Voir les exemples pour le style desexpressions de gnuplot. x et y s’écrivent en fonction de \t.

Exemple n° 40 x(t ) = t × sin(t ), y(t ) = t ×cos(t )

x−50 −40 −30 −20 −10 10 20 30 40 50

y

−50

−40

−30

−20

−10

10

20

30

40

50

\begin{tikzpicture}[scale=1.5]\tkzInit[xmin=-50,xmax=50,ymin=-50,ymax=50,xstep=10,ystep=10]\tkzGrid[sub]\tkzX\tkzY\tkzFctPar[samples=800](0..50){\t*sin(\t)}{\t*cos(\t)}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 41 x(t ) = t − sin(t ), y(t ) = 1−cos(t )

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

1

2

3

\begin{tikzpicture}\tkzInit[ymax=3]\tkzGrid[sub]\tkzX\tkzY\tkzFctPar[samples=400](0..2*pi){(\t-sin(\t))}{(1-cos(\t))}

\end{tikzpicture}

Exemple n° 42 x(t ) = t 2, y(t ) = t 3

x−2 2 4 6 8 10

y

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

10

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmin=-2,xmax=10,xstep=2,ymin=-10,ymax=10,ystep=2]\tkzGrid[sub]\tkzX\tkzY\tkzFctPar[samples=400](-5..5){(\t)**2}{(\t)**3}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 43 x(t ) = exp(t )× sin(t ), y(t ) = exp(t )×cos(t )

x−2 2 4 6 8 10

y

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

10

\begin{tikzpicture}[scale=1.5]\tkzInit[xmin=-2,xmax=10,xstep=2,ymin=-10,ymax=10,ystep=2]\tkzGrid[sub]\tkzX\tkzY\tkzFctPar[samples=400](-5..5){exp(\t)*sin(\t)}{exp(\t)*cos(\t)}

\end{tikzpicture}


Mathématiques avec tkz-fct.sty v2.0 Fonction avec pgfmath

VII . Fonction avec pgfmath

Ajout d’une fonction : pgfmath ne connait pas la fonction ln, j’ai implanté cette macro à l’aide d’unoutil dû à Mark Wibrow. Les valeurs de Ln sont obtenues à l’ade d’un polynôme d’interpolation deTchebychev.Le polynôme est celui-ci :-2.787927935+(5.047861502+(-3.489886985+(1.589480044+(-.4025153233+0.04300521312*x)*x)*x)*x)*x

\def\pgfmath@coF{ 0.04301}\def\pgfmath@coE{-0.40252}\def\pgfmath@coD{ 1.58949}\def\pgfmath@coC{-3.48989}\def\pgfmath@coB{ 5.04786}\def\pgfmath@coA{-2.78793}%%%%%%%%%%%%% code qui permet d’insérer la nouvelle fonction\long\def\pgfmathaddfunctiononearg#1#2{%\expandafter\gdef\csname pgfmath@parsefunction@#1\endcsname{%\expandafter\let\expandafter\pgfmath@parsepostgroup\csnamepgfmath@parsefunction@#1@\endcsname%\pgfmath@parse@}%\expandafter\gdef\csname pgfmath@parsefunction@#1@\endcsname{%\csname pgfmath#1@\endcsname{\pgfmathresult}%\pgfmath@postfunction}%\expandafter\gdef\csname pgfmath#1\endcsname##1{%\pgfmathparse{##1}%\csname pgfmath#1@\endcsname{##1}}%\expandafter\gdef\csname pgfmath#1@\endcsname##1{%\begingroup%\expandafter\pgfmath@x##1 pt\relax%#2%\pgfmath@returnone\pgfmath@x%\endgroup}}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début de l’insertion\pgfmathaddfunctiononearg{ln}{% définition de ln

\c@pgfmath@counta0\relax%\c@pgfmath@countb0\relax%\pgfmath@xb=\pgfmath@x\relax%\ifdim\pgfmath@x>2pt\relax%\loop%

\pgfmath@x=.5\pgfmath@x%\advance\c@pgfmath@counta1\relax%\ifdim\pgfmath@x>2pt\relax%

\repeat%\c@pgfmath@countb\c@pgfmath@counta%\fi%\ifdim\pgfmath@x<1pt\relax%\loop%

\pgfmath@x=2\pgfmath@x%\advance\c@pgfmath@counta-1\relax%\ifdim\pgfmath@x<1pt\relax%

\repeat%\c@pgfmath@countb\c@pgfmath@counta%\fi%

\pgfmath@xa=\pgfmath@x%\edef\pgfmath@xsq{\pgfmath@tonumber{\pgfmath@xa}}%\pgfmath@x=\pgfmath@coF\pgfmath@xa%\advance\pgfmath@x by\pgfmath@coE pt\relax%\pgfmath@x=\pgfmath@xsq\pgfmath@x%\advance\pgfmath@x by\pgfmath@coD pt\relax%\pgfmath@x=\pgfmath@xsq\pgfmath@x%\advance\pgfmath@x by\pgfmath@coC pt\relax%\pgfmath@x=\pgfmath@xsq\pgfmath@x%\advance\pgfmath@x by\pgfmath@coB pt\relax%\pgfmath@x=\pgfmath@xsq\pgfmath@x%\advance\pgfmath@x by\pgfmath@coA pt\relax%\advance\pgfmath@x by \c@pgfmath@countb pt%\pgfmath@x=0.69315\pgfmath@x}


Mathématiques avec tkz-fct.sty v2.0 Fonction avec pgfmath

Exemple n° 44 La foncion ln avec pgfmath

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

−3

−2

−1

1

f (x) = ln x

\twoptoff\begin{tikzpicture}%[domain=0.1:4]

\tkzInit[xmin=0,xmax=10,ymin=-3,ymax=1]\tkzGrid \tkzX \tkzY\draw[color=blue,smooth,samples at ={0.2,0.4,...,10} ]%

plot (\x,{ln(\x)}) node[right] {$f(x) =\ln x $};\end{tikzpicture}\twopton

Exemple n° 45 La foncion ln xx avec pgfmath

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

−3

−2

−1

1

2

3

f (x) = ln xx

\twoptoff\begin{tikzpicture}%[domain=0.1:4]

\tkzInit[xmin=0,xmax=10,ymin=-3,ymax=3]\tkzGrid \tkzX \tkzY\draw[color=blue,smooth,samples at ={0.3,0.4,...,10} ]%

plot (\x,{ln(\x)/\x}) node[right] {$f(x) =\frac{ \ln x}{x}$};\end{tikzpicture}\twopton


Mathématiques avec tkz-fct.sty v2.0 Interpolation

VIII . Interpolation

Il s’agit ici de trouver un polynôme d’interpolation sur l’intervalle [−1 ; 1] de la fonction f définie par :

f (x) = 1

1+8x2

Le polynôme d’interpolation est celui obtenu par la métode de Lagrange :

P(x) =1.000000000−0.0000000072x −7.991424876x2 +0.000001079x3 +62.60245358x4

−0.00004253x5 −444.2347594x6 +0.0007118x7 +2516.046396x8 −0.005795x9

−10240.01777x10 +0.025404x11 +28118.29594x12 −0.05934x13 −49850.83249x14

+0.08097x15 +54061.87086x16 −0.055620x17 −32356.67279x18 +0.015440x19

+8140.046421x20

Ayant utilisé vingt et un points, le polynôme est de degré 20.Dans un premier temps, on demande à gnuplot de tracer la courbe de f en rouge, puis on demande àTikz de montrer ce qu’il peut faire avec 21 points, l’option smooth et plot coordinates , le résultatest en vert ; enfin on trace le poynôme d’interpolation en bleu. les points utilisés sont en magenta.Le code :

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmin=-1,xmax=1,ymin=-1.8,ymax=1,xstep=0.1,ystep=0.2]\tkzGrid(-1,-1.8)(1,1)\tkzX[orig] \tkzY\draw[smooth,color= green,line width=10pt,opacity=0.4] plot coordinates {%

(-10,.55555) (-9 ,.66844) (-8 ,.81699) (-7 ,1.0162) (-6 ,1.2886)%(-5,1.6666) (-4 ,2.1929) (-3 ,2.9069) (-2 ,3.7878) (-1 ,4.6296)%(0,5.) (1,4.6296) (2,3.7878) (3,2.9069) (4,2.1929) (5 ,1.6666)%

(6 ,1.2886) (7 ,1.0162) (8 ,.81699) (9 ,.66844) (10 ,.55555)};\tkzFct[samples = 400, lw=4pt, color = red](-1..1)%{1/(1+8*\x*\x)}\tkzFct[samples = 400, lw=1pt, color = blue](-1..1)%\tkzFct[samples = 400, lw=1pt, color = blue](-1..1)%{1+((((((((((((((((((((8140.0464*(\x)+0.0154)*(\x)-32356.6728)*(\x)%

-0.0556 )*(\x)-49850.8325 )*(\x) +54061.8709 )*(\x)+0.0810)*(\x)%-49850.8325)*(\x)-0.0593)*(\x) +28118.2959 )*(\x)+0.0254)*(\x)%-10240.0178 )*(\x)-0.0058 )*(\x)+2516.0464)*(\x)+0.0007)*(\x)%-444.2348)*(\x)-0.00004 )*(\x)+62.6025)*(\x) -7.9914)*(\x)}

\foreach \x in {-1,-0.8,...,1}%{\tkzFctPt[noname,size=4pt,color=magenta,mark=*]{\tkzFctb}(\x){pt}}\end{tikzpicture}

une autre possibilité était de mettre le polynôme sous cette forme :

{+1.00000000 %-0.000000007 *\x%-7.991424876 *(\x)**2%+0.000001079 *(\x)**3%+62.60245358 *(\x)**4%-0.00004253 *(\x)**5%-444.2347594 *(\x)**6%+0.0007118 *(\x)**7%+2516.046396 *(\x)**8%-0.005795 *(\x)**9%-10240.01777 *(\x)**(10)%+0.025404 *(\x)**(11)%+28118.29594 *(\x)**(12)%-0.05934 *(\x)**(13)%-49850.83249 *(\x)**(14)%+0.08097 *(\x)**(15)%+54061.87086 *(\x)**(16)%-0.055620 *(\x)**(17)%-32356.67279 *(\x)**(18)%+0.015440 *(\x)**(19)%+8140.046421 *(\x)**(20)%}

ou bien encore ainsi :



{+1.00000000%-0.000000007 *\x%-7.991424876 *\x*\x%+0.000001079 *\x*\x*\x%+62.60245358 *\x*\x*\x*\x%-0.00004253 *\x*\x*\x*\x*\x%-444.2347594 *\x*\x*\x*\x*\x*\x%+0.0007118 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%+2516.046396 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%-0.005795 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%-10240.01777 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%+0.025404 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%+28118.29594 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%-0.05934 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%-49850.83249 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%+0.08097 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%+54061.87086 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%-0.055620 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%-32356.67279 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%+0.015440 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%+8140.046421 *\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x*\x%}

Le résultat et sur la page suivante. Il faut remarquer que le passage par Tikz limites les calculs à 10−5 cequi n’est pas le cas avec gnuplot et FP.



x−1

−0,9

−0,8

−0,7

−0,6

−0,5

−0,4

−0,3

−0,2

−0,1

00,

10,

20,

30,

40,

50,

60,

70,

80,

91

y

−1,8

−1,6

−1,4

−1,2−1−0,8

−0,6

−0,4

−0,20,2

0,4

0,6

0,81

FIG

.2.I

nte

rpol

atio

n:

1

1+8

x2


Mathématiques avec tkz-fct.sty v2.0 Courbes de Van der Waals

IX . Courbes de Van der Waals

Soient v le volume d’une masse fluide et p sa pression. b et k sont deux nombres réels strictementpositifs. On souhaite étudier une formule exprimant la dépendance de ces variables proposée parVan der Waals.

p(v) = −3

v2 + 3k

v −b

définie sur l’intervalle I = ]b ; +∞]

1/ Calculer la dérivée p ′.

p ′(v) = 3

(2

v3 − k

(v −b)2

)On pose

g (v) = 2(v −b)2

v3

Montrer que les racines de p ′(v) = 0 sont les racines de k = g (v)

Partie A Étude des fonctions g définies sur I = ]b ; +∞]

par :

g (v) = 2(v −b)2

v3

1/ Déterminer g ′(v), montrer que :

g ′(v) = 2(v −b)(3b − v)

v4

2/ Dresser en fonction de b la tableau de variation.

v

g ′(v)

g (v)

b 3b +∞

0 + 0 −

00

8

27b

8

27b

00

\begin{tikzpicture}\variations%{ $v$ /1,%

$g’(v)$ /1,%$g(v)$ /3%

}%{ $b$ ,%

$3b$ ,%$+\infty$%

}%{0,$+$,$0$,$-$,t}{-/ $0$ /,%+/$\dfrac{8}{27b}$ /,%-/ $0$ /}%

\end{tikzpicture}

3/ Préciser le maximum de ces fonctions en fonction de b.

4/ Quelques courbes pour r É v É 6

a/ b = 1



v1 2 3 4 5 6

g (v)

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

g (v) = 2(v −1)2

v3

\begin{tikzpicture}\tkzInit[xmin=0,xmax=6,ymax=0.5,ystep=0.1]\tkzX[label=$v$]\tkzY[label=$g(v)$]\tkzGrid(0,0)(6,0.5)\tkzFct[color = red]%

(1..6)%{(2*(x-1)*(x-1))/(x*x*x)}

\tkzTan[color=blue]{\tkzFcta}(3)\tkzFctPt[noname]\tkzFcta(1){f}\tkzFctPt[noname]\tkzFcta(3){a}\tkzText[style = {draw},%

bkgcolor = bistre!30]%(4,0.1)%{$g(v)=2\dfrac{(v-1)^2}{v^3}$}

\end{tikzpicture}



b/ b = 1

3

x0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

y

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

g (v) = 2

(v − 1

3

)2

v3

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]\tkzInit[xmin=0,xmax=2,xstep=0.2,ymax=1,ystep=0.1]\tkzX\tkzY\tkzGrid(0,0)(2,1)\tkzFct[color = red]%

(0.333..2)%{(2*(\x-1./3)*(\x-1./3))/(\x*\x*\x)}

\tkzTan[color=blue,kr=.5,kl=.5]{\tkzFcta}(1){t}\tkzFctPt\tkzFcta(1){f}\tkzText[style = {draw},%

bkgcolor = bistre!30]%(1.2,0.3)%{$g(v)=2\dfrac{\left(v-\dfrac{1}{3}\right)^2}{v^3}$}

\end{tikzpicture}



c/ b = 32

27

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

g (v) = 2

(v − 32

27

)2

v3

\begin{tikzpicture}[scale=1.2]\tkzInit[xmin=0,xmax=10,ymax=.35,ystep=0.05];\tkzX\tkzY\tkzGrid(0,0)(10,.35)\tkzFct[color = red]%

(1.185..10)%{(2*(\x-32./27)*(\x-32./27))/(\x*\x*\x)}

\tkzTan[color=blue,kr=2,kl=2,noname]{\tkzFcta}(3.555){f}\tkzText[style = {draw},%

bkgcolor = bistre!30]%(5,0.3)%{$g(v)=2\dfrac{\left(v-\dfrac{32}{27}\right)^2}{v^3}$}

\end{tikzpicture}

5/ Sachant que p ′(v) = 3

(v −b)2 (g (v)−k), étudier en fonction de k et k0 = 8

27b, les variations de p.

Partie B Valeurs critiquesLorsque k = k0, les valeurs v0 = 3b pour laquelle p ′(v) s’annule et p0 = p(v0) sont appelées constantescritiques.

1/ Calculer p0 en fonction de b.

2/ Pour k = k0, la racine v = 3b de p ′(v) = 0 ne donne ni maximum ni minimum, pourquoi ? Endéduire une condition sur p ′′(v).

3/ Vérifier par le calcul que p ′(v) = 0 et p ′′(v) = 0 ont une solution commune en v qui correspond àune constante critique.

4/ Afin de simplifier l’étude de p, on recherche une formule réduite en posant :

x = v

v0; y = p

p0; α= k

k0

avec v0 = 3b, p0 = 1

9b2 et k0 = 8

27b



Vérifier alors que

y = −3

x2 + 8α

x −b

Partie C Étude de f définie par :

f (x) = −3

x2 + 8α

3x −1

1/ Déterminer la dérivée f ′ de f .

2/ Montrer que

f (x) = −8

3x −1

[3(3x −1)

8x2 −α]

et que

f ′(x) = 24

(3x −1)2

[(3x −1)2

4x3 −α]

3/ En déduire que les racines de f ′ sont les racines de :

α= (3x −1)2

4x3

4/ Étudier les courbes des fonctions T0 et T1 définies par

T0(x) = 3(3x −1)

8x2

et

T1(x) = (3x −1)2

4x3

et exprimer T0(x)−T1(x) en fonction de x.



\begin{tikzpicture}[scale=6]\tkzInit[xmax=3,ymax=2];\tkzX\tkzY\tkzGrid(0,0)(3,2)\tkzFct[color = red]%

(1/3..3)%{0.125*(3*\x-1)+0.375*(3*\x-1)/(\x*\x)}

\tkzFct[color = green]%(1/3..3)%{0.125*(3*x-1)}

\SetUpPoint[noname,size=0.5pt,mark=x]\tkzFctPt\tkzFcta(2){b}\tkzFctPt\tkzFcta(3){c}\tkzFctPt\tkzFctb(3){d}\tkzFctPt\tkzFctb(1/3){e}\tkzPoint(1,1){f}\tkzTan[color=blue,lw=.8pt,size=0.5pt,noname]{\tkzFcta}(1){a}\tkzText[style = {draw},%

bkgcolor = red!30] (1,1.5)%{$f(x)=\dfrac{1}{8}(3x-1)+\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{3x-1}{x^2}\right)$}

\tkzText[style = {draw},%bkgcolor = green!30] (2,0.4)%

{$g(x) = \dfrac{3x-1}{8}$ };\end{tikzpicture}



x1

23

y 12

f(x

)=1 8

(3x−1

)+3 8

( 3x−1 x2

)

g(x

)=3x

−1 8

FIG

.3.C

ourb

ed

eV

and

erW

alls



\begin{tikzpicture}[xscale=6,yscale=2]\tkzInit[xmin=0,xmax=3,ymax=3,ymin=-4]\tkzGrid(0,-4)(3,3)\tkzX\tkzY\tkzClip\tkzVLine[color=red,style=dashed]{1/3}\tkzFct[samples=200,lw=0.8pt,color=red]%

(0.35..3){-3/(x*x) +4/(3*x-1)}\tkzFct[samples=200,lw=0.8pt,color=blue]%

(0.35..3){-3/(x*x) +27/(4*(3*x-1))}\tkzFct[samples=200,lw=0.8pt,color=orange]%

(0.35..3){-3/(x*x) +8/(3*x-1)}\tkzFct[samples=200,lw=0.8pt,color=green]%

(0.35..3){-3/(x*x) +7/(3*x-1)}\tkzText[style = {draw},%

bkgcolor = bistre!30](2,-2)%{$f(x)=-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{8\alpha}{3x-1}$ \hspace{.5cm}%avec $\alpha \in%\left\{\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{27}{32}~;~\dfrac{7}{8}~;~1\right\}$}

\end{tikzpicture}



x1

23

y

−4−3−2−1123

f(x

)=−

3 x2+

8α

3x−1

avecα∈{ 1 2

;27 32

;7 8

;1}

FIG

.4.C

ourb

esd

eV

and

erW

alls


Mathématiques avec tkz-fct.sty v2.0 Exemples du Baccalauréat ES

X . Exemples du Baccalauréat ES

Dans ce chapitre, les exemples sont encore des sujets de Baccalauréat ES utilisant ma classe profs.clset le module alterqcm.sty mais aussi les modules dérivés de tikz, tkz-fonction.sty et bien évi-demment tkz-tab.sty. Vous trouverez des exemples accompagnant cette documentation avec unpréambule minimum et en latin1.

Exemple n° 46 Baccalauréat Amérique du Sud ES 2006

Premier exercice

La courbe (C ), donnée en annexe 1, est la représentation graphique, dans un repère orthonormal(O,

−→ı ,

−→

)du plan d’une fonction f définie et dérivable sur R. La droite (T) est la tangente à cette

courbe au point de coordonnées (0 ; 2). On appelle α la valeur de la variable x pour laquelle f admetun maximum noté M : M = f (α) (la valeur de α n’est pas demandée).On précise que f (−1), f (0), f (2), f ′(0) sont des nombres entiers.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A1/ f ′ désigne la fonction dérivée de f sur R. Déterminer graphiquement f (0), f ′(0) et le signe de f (x)

suivant les valeurs du réel x sur l’intervalle [−6 ; 2].

2/ Soit g la fonction définie pour tout x de l’intervalle [0 ; 2[ par g (x) = ln[

f (x)]

et g ′ sa fonctiondérivée.

a/ En utilisant notamment des résultats obtenus par lecture graphique de la courbe (C ), dresserle tableau de variations de g et déterminer la limite de g en 2.

b/ Déterminer g ′(0).

Partie B

Soit F une primitive de f sur R, F′ désigne la dérivée de F sur R.1/ Déterminer à l’aide du graphique F′(−1) et F′(2).

2/ On admet qu’il est possible de trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout x de R,

F(x) = (ax2 +bx −1

)ex .

a/ Exprimer F′(x) en fonction de x et de a et b.

b/ En utilisant les résultats trouvés à la question 1 de la partie B, démontrer que pour tout x de R,

F(x) = (−x2 +3x −1)

ex .

c/ Calculer F(2)−F(−1). Interpréter graphiquement ce résultat.



Annexe 1 – Exercice 3 (à remettre avec la copie)

x−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

y

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

(C )

(T )

\begin{tikzpicture}[scale=1.5]\tkzInit[xmin=-6,xmax=4,ymin=-5,ymax=6]\tkzGrid\tkzX\tkzY\tkzFct[samples=200](-6..2.1785){(-x*x+x+2)*exp(x)}\tkzTan[kl=2,noname]{\tkzFcta}(0){a}\tkzPoint[noname](2,0){b}\tkzPoint[noname](-1,0){c}\tkzText(2,4){($\mathcal{C}$)}\tkzText(-2,-3){($\mathcal{T}$)}

\end{tikzpicture}



Deuxième exercice

Exercice no 1 Commun à tous les candidats (5 points) Le tableau ci-dessous donne l’évolution

du nombre de personnes âgées de plus de 85 ans, en France métropolitaine, de 1950 à 2000.On note Xi l’année. L’indice i varie de 1 à 11. Par commodité on pose xi = Xi −1 950.yi désigne, en milliers, le nombre de personnes âgées de 85 ans ou plus, au 1er janvier de l’année Xi .

Xi 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000xi 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50yi 201 231 290 361 423 498 567 684 874 1079 1267

Source : Insee, bilan démographique. Champ : France métropoIitaine.

1/ Estimation à l’aide d’un graphique semi-logarithmique

a/ Compléter le nuage de points Mi(xi ; yi

)associé à cette série statistique dans le repère semi-

logarithmique fourni en annexe 2.

b/ Construire sur ce graphique la droite passant par les points M1(0 ; 201) et M11(50 ; 1 267) etjustifier que l’ajustement du nuage à l’aide de cette droite est satisfaisant.

c/ En supposant que cet ajustement affine reste pertinent, déterminer graphiquement à partir dequelle année le nombre de personnes âgées de plus de 85 ans dépassera 2 millions.

2/ La forme du nuage obtenu avec la représentation logarithmique invite à chercher un ajustementexponentiel. On pose z = ln y .

a/ Compléter la dernière ligne du tableau fourni en annexe. Arrondir les résultats au millième.

b/ En utilisant la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres carrés une équation de ladroite d’ajustement de z en x. Les coefficients seront arrondis au millième.

c/ En déduire une modélisation de y en fonction de x sous la forme

y = AeBx .

(Le réel A sera arrondi à l’unité et le réel B au millième)

3/ On admet que la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 70] par :

f (x) = 200e0,037x

modélise de façon satisfaisante l’évolution de cette population.

a/ Résoudre l’inéquation f (x)> 2000 et interpréter ce résultat.

b/ Calculer la valeur décimale approchée arrondie au millième de1

50

∫ 50

0f (x)dx. Que représente

ce résultat pour la population étudiée ?



Annexe 2 – Exercice 4 (à remettre avec la copie)

0 10 20 30 40 50 60 70100

101

102

103

104

M1

M11

Xi 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000xi 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50yi 201 231 290 361 423 498 567 684 874 1079 1267zi = ln yi



\begin{tikzpicture}[scale=1]\tkzInit[xmax=14,ymax=12]\draw[thin,->] (0,0) -- (14,0) node[below left] {};\draw[thin,->] (0,0) -- (0,12) node[below left] {};\foreach \x/\xtext in {0/0,2/10,4/20,6/30,8/40,10/50,12/60,14/70}%

{\draw[shift={(\x,0)}] node[below] {$\xtext$ };}\foreach \y/\z in {0/0,3/1,6/2,9/3,12/4}%

{\draw[shift={(0,\y)}] node[left] {$10^{\z}$};}\foreach \x in {1,3,...,13}{\draw[thin,gray] (\x,0)--(\x,12);}\foreach \x in {0,2,...,14}{ \draw[thin,gray] (\x,0)--(\x,12);}\foreach \y in {3,6,...,12} {\draw[thin,gray] (0,\y)--(14,\y);}\foreach \y in {0,3,...,9}{\foreach \z in {0.903,1.431,1.806,2.097,2.334,2.535,2.709,2.863}%

{\draw[thin,gray,shift={(0,\y)}](0,\z )--(14,\z);}}

\tkzPoint[name=$M_{1}$](0,6.90){a};\tkzPoint[name=$M_{11}$](10,9.30){b};\end{tikzpicture}



Exemple n° 47 Baccalauréat ES Antilles juin 2004

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. Vous devezcocher la réponse exacte sans justification. Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaiseréponse enlève 0,25 point. L’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total despoints est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0.

QUESTIONS RÉPONSES

La figure 1. donne la représentation graphique d’une fonction f définie sur R+ et la figure 2 celled’une primitive de f sur R+.

x−2 −1 1 2 3

y

−1

1

2

3

4

5

6 false

e+2

−→

−→ıO

x−2 −1 1 2 3

y

−1

1

2

3

4

5

6

3/2

e+2

−→

−→ıO

1. Quelle est l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par lareprésentation graphique de la fonction f , l’axe des abscisses et lesdroites d’équation x = 1 et x = 2 ?

� e+ 3

4

� e+ 1

2

� 1

Tournez la page s.v.p.



QUESTIONS RÉPONSES

La fonction k définie et strictement positive sur R+ est connue par son tableau de variations.

x

k(x)

0 1 3 +∞+∞+∞

2. Pami les tableaux suivants, quel est le tableau devariations de la fonction g définie sur R+ par

g (x) = 1

k(x)?

� Tableau A

� Tableau B

� Tableau C

Tableau Ax

g (x)

0 1 3 +∞+∞+∞

Tableau Bx

g (x)

0 1 3 +∞

−∞−∞

Tableau Cx

g (x)

0 1 3 +∞00

3. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = ex −x +1. Onnote C la courbe représentative de h dans un repèreorthonormal O;

−→ı ;

−→ .

�La droite d’équation y = 1 estasymptote à C

�La droite d’équation x = 0 estasymptote à C

�La droite d’équation y =−x +1est asymptote à C

4. En économie, le coût marginal est le coût occasionnépar la production d’une unité supplémentaire, et onconsidère que le coût marginal est assimilé à la dérivéedu coût total.Dans une entreprise, une étude a montré que le coûtmarginal Cm(q) exprimé en millliers d’euro en fonctiondu nombre q d’articles fabriqués est donné par larelation :

Cm(q) = 3q2 −10q + 2

q+20.

� Cr (q) = q3−5q2+2ln q+20q+9984

� Cr (q) = q3 −5q2 +2ln q +20q −6

� Cr (q) = 6q −10− 2

q2



\begin{tikzpicture}[xscale=2.25,yscale=1]\tkzInit[xmin=-2,xmax=3,ymin=-1,ymax=6]\tkzX\tkzY\tkzFct(-1..2.2){x+exp(x-1)}\tkzPoint[noname,coord,label,xlabel=$1$,ylabel=$2$](1,2){pt1}\tkzPoint[noname,coord,label,xlabel=$2$,ylabel=$\text{e}+2$]%

(2,4.71828){pt2}\tkzRep

\end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}[xscale=2.25,yscale=1]\tkzInit[xmin=-2,xmax=3,ymin=-1,ymax=6]

\tkzX\tkzY

\tkzFct(-2..2.2){x*x/2+exp(x-1)}\tkzPoint[noname,coord,label,xlabel={},ylabel=$3/2$](1,1.5){pt1}\tkzPoint[noname,coord,label,xlabel={},%

ylabel=$\text{e}+2$,posylabel=10pt]%(2,2+e){pt2}

\tkzRep\tkzRep

\end{tikzpicture}



Exemple n° 48 Baccalauréat ES Antilles juin 2006

Une nouvelle console de jeux est mise sur le marché. Soit x le prix unitaire en centaines d’euros decette console. La fonction d’offre des fournisseurs (en milliers de console) est la fonction f définie sur]0 ; 6] par

f (x) = 0,7e0,5x+2

où f (x) est la quantité proposée par les fournisseurs pour un prix unitaire de x.La fonction de demande des consommateurs (en milliers de console) est la fonction g définie sur ]0 ;6] par

g (x) = 10ln

(20

x

)où g (x) est la quantité demandée par les consommateurs pour un prix unitaire de x.1/ Les courbes représentatives C f et Cg des fonctions f et g sont tracées dans le repère orthogonal

fourni en annexe.

a/ Identifier les courbes C f et Cg sur la feuille annexe. Expliquez votre choix.

b/ Que représente le point A d’un point de vue économique ? Lire ses coordonnées(xA ; yA

)sur le

graphique.

2/ Pour déterminer les coordonnées de A de façon précise, on est amené à résoudre l’équationf (x) = g (x).

On pose, pour tout x appartenant à ]0 ; 6],

h(x) = f (x)− g (x).

a/ Montrer que h′(x) = 0,35e0,5x+2 − 10

x.

b/ Étudier le signe de la dérivée h′ et en déduire le sens de variations de h.

c/ Démontrer que l’équation h(x) = 0 admet une solution unique x1 sur l’intervalle [2 ; 3].

Déterminer alors la valeur arrondie au dixième de x1 à l’aide de la calculatrice.

d/ En déduire le prix unitaire d’équilibre de cette console en euros et le nombre de consolesdisponibles à ce prix (arrondir à la centaine).

La question 3 est indépendante de la question 2.

3/ Surplus des fournisseurs

On prendra dans cette question xA = 2,7 et yA = 20.

a/ Déterminer une primitive F de f sur l’intervalle ]0 ; 6].

b/ On appelle surplus des fournisseurs le nombre S = xA yA −∫ xA

0f (x) dx.

Ce nombre représente une aire.

Représenter cette aire sur le graphique de la feuille annexe.

Calculer S.



Annexe à agrafer avec la copie

Exercice 4

x1 2 3 4 5 6

y

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

Cg

C f

Cg

C f

\begin{tikzpicture}[xscale=2]\tkzInit[xmin=0,xmax=6,ymin=0,ymax=110,ystep=10]\tkzGrid\tkzX\tkzY\tkzFct[label=$C_g$,color=red](0.01..6){10*log(20/x)}\tkzFct[label=$C_f$,color=blue](0..6){0.7*exp(2+x/2)}\tkzText[bkgcolor=orange!30,color=red](1,35){$C_g$}\tkzText[bkgcolor=orange!30,color=blue](4.2,50){$C_f$}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 49 Baccalauréat Centres Étrangers ES 2006

On désigne par f la fonction définie sur [0 ; 5] par

f (x) = 1−x +2ln x.

La courbe C donnée ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthogonal(unites : 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées).1/ Calculer la limite de f en 0.

2/ Calculer f ′(x) et étudier les variations de f .Dresser le tableau des variations de f .

3/ a/ Calculer f (1).

b/ Justifier que l’équation f (x) = 0 admet sur [3 ; 4] une solution unique α puis donner une valeurapprochée à 10−2 près par défaut de α.

c/ En déduire le signe de f (x) suivant les valeurs de x.

4/ On appelle g la fonction définie sur ]0 ; 5] par

g (x) = x

(−1

2x +2ln x −1

).

a/ Montrer que g est une primitive de f sur ]0 ; 5].

b/ Sur le graphique ci-dessous, on considère le domaine limité par l’axe des abscisses et la partiede la courbe C située au-dessus de cet axe. Montrer que l’aire de ce domaine est égale enunités d’aire, à g (α)− g (1).

c/ Calculer une valeur approchée de l’aire A exprimée en cm2. On utilisera la valeur approchéede α trouvée au 3. b.

x1 2 3 4 5

y

−1,2

−1

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0,2

0,4

0,6

C

\begin{tikzpicture}[xscale=2]\tkzInit[xmax=5,ymin=-1.2,ymax=.6,ystep=0.2]\tkzGrid[sub,subxstep=0.5,subystep=.5](0,-1.2)(5,0.6)\tkzX\tkzY\tkzFct[label=$\mathcal{C}$](0.4085..5){1 - x + 2*log(x)}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 50 Baccalauréat Liban ES 2005

Commentaire sur le graphe : Une partie de celui-ci doit être traitée avec de pures commandes deTikz : la courbe et la partie hachurée. Vous le trouverez sur la page suivante.

Dans un repère orthonormal du plan (O;−→ı ;

−→ ) d’unités graphiques 2 cm, la courbe (Γ), tracée ci-

dessous, est la représentation graphique d’une fonction g définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 3,5].• I et J sont les points du plan tels que

−→OI =−→

ı et−→OJ =−→

;• C est le point de (Γ) situé sur la bissectrice de IOJ ;• (OA) est la tangente en à (Γ) ;• S est la surface hachurée sur la figure ci-dessous :

x

y

A BC

J

IO

(Γ)

1/ Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :

a/ Quel est le tableau de variations de g sur [0 ; 3,5] ?

b/ Quelles sont les valeurs de g ′(0) et de g ′(1) ?

c/ Quelles sont les coordonnées du point C ?

d/ Résoudre l’inéquation g (x)> x sur [0 ; 3,5].

2/ Définir la surface S par un système d’inéquations et déterminer graphiquement un encadrementde l’aire de S d’amplitude 2 cm2.

Rappel : l’aire d’un trapèze est donnée par la formule : A = (B+b)×h

2où B et b sont les bases du

trapèze et h sa hauteur.

3/ On suppose que l’une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la primitivede la fonction g s’annulant en 0. En justifiant l’élimination de deux des courbes, indiquer celle quiest la représentation graphique de cette primitive.



Voici le code pour la coube précédente :

\begin{tikzpicture}[scale=3.2]\tkzInit[xmax=3.75,ymax=1.75]\tkzGrid[sub,subxstep=0.25,subystep=0.25](0,0)(4,2)\tkzX[noticks]\tkzY[noticks]\SetUpPoint[mark=*,size=.3pt]\draw[line width=.8pt ,smooth]%

(0,0) .. controls (0.25,1) and (.75,2) .. (1,2)%.. controls (1.3,2) and (1.6,1.80) .. (1.75,1.75)%.. controls (2,1.6) and (3.0,1.2) .. (3.5,1.2);

\path[pattern=north west lines]%(0,0) .. controls (0.25,1) and (.75,2)%

.. (1,2) |- (1,0) --(0,0);\draw[line width=.8pt ,->,>=latex’](0,0) -- (0.55,2.2);\draw[line width=.8pt](0,0) -- (2.2,2.2);\draw[line width=.8pt ,->,>=latex’] (1,2) -- +(0.5,0);\draw[line width=.8pt ,->,>=latex’] (1,2) -- +(-0.5,0);\tkzPoint(0.5,2){A}\tkzPoint(1,2){B}\tkzPoint[pos=above](1.75,1.75){C}\tkzPoint[pos=left](0,1){J}\tkzPoint[pos=below](1,0){I}\tkzPoint[pos=below left](0,0){O}\tkzText(3.25,1.4){($\Gamma)$}

\end{tikzpicture}



Exemple n° 51 Baccalauréat France ES 2006

Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle[−3 ; +∞[

, croissante sur les intervalles[−3 ; −1

]et

[2 ; +∞[

et décroissante sur l’intervalle[−1 ; 2

].

On note f ′ sa fonction dérivée sur l’intervalle [−3 ; +∞[.La courbe Γ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal

(O,

−→ı ,

−→

).

Elle passe par le point A(−3 ; 0) et admet pour asymptote la droite ∆ d’équation y = 2x −5.

x−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

−6−5−4−3−2−1

123456789

101112131415

A O

∆

Γ

−→

−→ıO

Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l’affirmation est vraie) ou la case F(l’affirmation est fausse) sur l’ANNEXE, à rendre avec la copie. Les réponses ne seront pas justifiées. Unebonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L’absence de réponse nerapporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l’exerciceest 0.

QUESTIONS RÉPONSES

1. L’équation f (x) = 4 admet exactement deux solutions dans l’intervalle[−3 ; +∞[

� V

� F

2. limx→+∞ f (x) =+∞ � V

� F

3. limx→+∞[ f (x)− (2x −5)] =+∞ � V

� F

4. f ′(0) =−1 � V

� F

5. f ′(x) > 0 pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [−2 ; 1] � V

� F

6.∫ 1

−1f (x) dx > 7

� V

� F



Dans cet exemple, j’ai utilisé les courbes de Bézier fournies par Tikz

\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]\tkzInit[xmin=-3,xmax=10,ymin=-6,ymax=15]\tkzGrid\tkzX\tkzY\draw (-0.5,-6) -- (10,15);\tkzPoint(-3,0){A}\node[below left] at (0,0) {\textbf{O}};\node[below right] at (4,3) {$\mathbf{\Delta}$};\node[above right] at (4,5.5) {$\mathbf{\Gamma}$};\draw (-3,0) .. controls +(87:1cm) and +(-180:1cm) .. (-1,6.7)%

.. controls +(0:1cm) and +(180:1cm) .. (2,3)%

.. controls +(0:1cm) and +(242:5cm) .. (9,13.2);\tkzRep

\end{tikzpicture}



Exemple n° 52 Baccalauréat France ES 2005 septembre

Partie AL’objet de cet exercice est l’étude de deux fonctions intervenant dans un modèle économique. Lacourbe

(C f

)ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthogonal du plan, de la

fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 5] par :

f (x) = e−0,7x+2,1.

x1 2 3 4 5

y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C f

Cg

De même, la courbe(Cg

)est la représentation graphique de la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 5]

par :

g (x) = 0,5x +0,7.

On admet que les fonctions f et g sont dérivables sur l’intervalle [0 ; 5].1/ On appelle h la fonction définie par h(x) = f (x)− g (x).

a/ Calculer h′(x) où h′ désigne la fonction dérivée de la fonction h sur l’intervalle [0 ; 5].

b/ Étudier le signe de h′(x) pour x appartenant à l’intervalle [0 ; 5]. En déduire que la fonction hest strictement monotone sur cet intervalle.

c/ Justifier que l’équation h(x) = 0 admet une solution unique α sur l’intervalle [0 ; 5] et donnerà l’aide d’une calculatrice une valeur approchée de α à 10−3 près (on ne demande pas dejustification sur la méthode d’obtention de cette valeur).

d/ Déduire de l’étude précédente les valeurs arrondies à 10−2 des coordonnées du point d’inter-section F de

(C f

)et

(Cg

).

2/ Dans la suite du problème, on prendra α= 2,17 et f (α) = g (α) = 1,79.

a/ Soient les points C(0 ; f (α)) et E(α ; 0). Donner une valeur arrondie à 10−2 de l’aire du rectangleOCFE exprimée en unités d’aire.

b/ Interpréter graphiquement le nombre∫ α

0f (x) dx.



c/ Calculer∫ α

0f (x) dx en fonction de α et en donner la valeur arrondie à 10−2.

Partie B La fonction f définie dans la PARTIE A représente la fonction de demande d’un produit ;elle met en correspondance le prix f (x) exprimé en milliers d’euros et la quantité x, exprimée entonnes, que sont prêts à acheter les consommateurs à ce prix.La fonction g définie dans la PARTIE A est la fonction d’offre de ce produit ; elle met en correspondancele prix g (x) exprimé en milliers d’euros et la quantité x, exprimée en tonnes, que sont prêts à vendre àce prix les producteurs.On appelle prix d’équilibre du marché le prix pour lequel la quantité demandée par les consommateursest égale à celle offerte par les producteurs. On note p0 le prix d’équilibre et q0 la quantité échangéesur le marché à ce prix. Dans la situation étudiée on a donc : f

(q0

)= g(q0

).

1/ Déduire des résultats donnés dans la PARTIE A les valeurs de q0 et de p0.

2/ Tous les consommateurs qui étaient prêts à payer plus cher (au-dessus du prix p0) réalisent uneéconomie. Le montant économisé par les consommateurs, appelé surplus des consommateurs,

vaut par définition∫ q0

0f (x) dx −p0 ×q0. Il s’exprime ici en milliers d’euros.

a/ Sur le graphique de la feuille ANNEXE (à rendre avec la copie) :

- indiquer les valeurs q0 et p0 sur les axes de coordonnées ;

- hachurer le domaine dont l’aire s’écrit :∫ q0

0f (x) dx −p0 ×q0.

b/ Calculer, en milliers d’euros, le surplus des consommateurs.

\begin{tikzpicture}[xscale=2]\tkzInit[xmax=5]\tkzGrid\tkzX\tkzY\tkzFct[labelfct=$C_f$](0..5){exp(-0.7*x+2.1)};\tkzFct[labelfct=$C_g$](0..5){0.5*x+0.7};

\end{tikzpicture}


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