A D AR C 2A2 …

Ecole Nationale Supérieure des Travaux Publics Année 2019 – 2020 2ème Année Classes Préparatoires Résistance des Matériaux

Devoir n°2 Caractéristiques Géométriques des Sections Planes.doc 1

CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES SECTIONS PLANES

Devoir n°2

Solution

En prend la surface (1) la zone rectangulaire sans les découpes, la surface (2) la découpe gauche et la surface (3) la découpe droite. Les surfaces et les coordonnées 𝑥 de leurs centres de gravités sont

La coordonnée 𝑥" du centre de gravité de la zone composite est

Donc 𝑥" = 116 𝑚𝑚

Ecole&Nationale&Supérieure&des&Travaux&Publics&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&Année&2019&–&2020&

&&&&&&&&&&&&&&2ème

&Année&Classes&Préparatoires&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&Résistance&des&Matériaux&&

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Série!d’exercices!n°1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Caractéristiques!Géométriques!des!Sections!Planes.doc!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2&

&

Exercice&:&5&Déterminer&les&coordonnées&du&centre&de&gravité&de&

la&section&plane&suivante&:&

&

Exercice&:&6&Déterminer&les&coordonnées&du&centre&de&gravité&

de&la&section&plane&suivante&:&

&



&

&

Exercice&:&8&Déterminer&les&coordonnées&du&centre&de&gravité&

de&la&section&plane&suivante&:&

&

&



&

Exercice&:&10&Localiser&les&coordonnées&du&centre&de&gravité&de&


&

&

Problem 7.27 In Active Example 7.3, suppose that thearea is placed as shown. Let the dimensions R D 6 in,c D 14 in, and b D 18 in. Use Eq. (7.9) to determine thex coordinate of the centroid.

y

x

R

bcSolution: Let the semicircular area be area 1, let the rectangulararea be area 2, and let the triangular area be area 3. The areas and thex coordinates of their centroids are

A1 D12!R2, x1 D !

4R3!,

A2 D c ◃2R▹, x2 D12c,

A3 D12b ◃2R▹, x3 D cC

13b

The x coordinate of the centroid of the composite area is

x D x1A1 C x2A2 C x3A3A1 C A2 C A3

D

(! 4R3!

) (12!R2

)C

(12c)◃2cR▹C

(cC 1

3b)◃bR▹

12!R2 C 2cRC bR

Substituting the values for R, b, and c yields

x D 9.60 in

Problem 7.28 In Example 7.4, suppose that the area isgiven a second semicircular cutout as shown. Determinethe x coordinate of the centroid.

y

x

140 mm100 mm

50 mm 140 mm

200 mm

Solution: Let the rectangular area without the cutouts be area 1,let the left cutout be area 2, and let the right cutout be area 3. Theareas and the x coordinates of their centroids are

A1 D ◃200▹ ◃280▹ mm2, x1 D 100 mm,

A2 D !12!◃100▹2 mm2, x2 D

4◃100▹3!

mm,

A3 D !12!◃50▹2 mm2, x3 D 200!

4◃50▹3!

mm.

The x coordinated of the centroid of the composite area is


D◃100▹ [◃200▹ ◃280▹]C

[4◃100▹3!

] [! 12! ◃100▹2

]C

[200! 4◃50▹

3!

] [! 12!◃50▹2

]

◃200▹ ◃280▹! 12!◃100▹2 ! 1

2!◃50▹2

D 116 mm.

x D 116 mm

524

c" 2008 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all copyright laws as theycurrently exist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.

Problem 7.27 In Active Example 7.3, suppose that thearea is placed as shown. Let the dimensions R D 6 in,c D 14 in, and b D 18 in. Use Eq. (7.9) to determine thex coordinate of the centroid.

y

x

R

bcSolution: Let the semicircular area be area 1, let the rectangulararea be area 2, and let the triangular area be area 3. The areas and thex coordinates of their centroids are

A1 D12!R2, x1 D !

4R3!,

A2 D c ◃2R▹, x2 D12c,

A3 D12b ◃2R▹, x3 D cC

13b

The x coordinate of the centroid of the composite area is


D

(! 4R3!

) (12!R2

)C

(12c)◃2cR▹C

(cC 1

3b)◃bR▹

12!R2 C 2cRC bR

Substituting the values for R, b, and c yields

x D 9.60 in

Problem 7.28 In Example 7.4, suppose that the area isgiven a second semicircular cutout as shown. Determinethe x coordinate of the centroid.

y

x

140 mm100 mm

50 mm 140 mm

200 mm

Solution: Let the rectangular area without the cutouts be area 1,let the left cutout be area 2, and let the right cutout be area 3. Theareas and the x coordinates of their centroids are

A1 D ◃200▹ ◃280▹ mm2, x1 D 100 mm,

A2 D !12!◃100▹2 mm2, x2 D

4◃100▹3!

mm,

A3 D !12!◃50▹2 mm2, x3 D 200!

4◃50▹3!

mm.

The x coordinated of the centroid of the composite area is


D◃100▹ [◃200▹ ◃280▹]C

[4◃100▹3!

] [! 12! ◃100▹2

]C

[200! 4◃50▹

3!

] [! 12!◃50▹2

]

◃200▹ ◃280▹! 12!◃100▹2 ! 1

2!◃50▹2

D 116 mm.

x D 116 mm

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c" 2008 Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under all copyright laws as theycurrently exist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.



L’axe de y présente un axe de symétrie de la section plane donc nous avons 𝑦" = 0 𝑚𝑚

Solution :

• Pour la plaque trapézoïdale, la surface 𝐴+ =,-./×𝐻 = 2-/

/×3 = 9 𝑚/

Et 𝑦"5 = 𝑦+ =,-/.,-.

× 67= 2-/×/

2-/× 77= 1.333 𝑚

• Pour la section composite, soit 𝐴/ la surface de l'extension rectangulaire. Donc 𝐴/ = 2×ℎ = 2ℎ 𝑚/ et la position du CDG par rapport à la base 𝐴𝐵 est

𝑦/ = 3 +ℎ2 = (3 + 0.5ℎ) 𝑚

La surface de la section composite est 𝐴 = 𝐴+ + 𝐴/ = (9 + 2ℎ) 𝑚/

Le moment statique de la surface composite par rapport à la base 𝐴𝐵 est donné par l’expression suivante

(9 + 2ℎ)𝑦 = 9×1,333 + 2ℎ(3 + 0.5ℎ)

Avec 𝑦" = 𝑦 = 4 𝑚, donc (9 + 2ℎ)4 = 9×1,333 + 2ℎ(3 + 0.5ℎ)

Nous aurons à résoudre l’équation suivante ℎ/ − ℎ − 24 = 0

Donc ℎ = 6 𝑚


&&&&&&&&&&&&&&2ème


&

!


&

Exercice&:&11&&&Trouver&la&position&du&centre&de&gravité&d'une&plaque&

se&présentant&sous&la&forme&d'un&trapèze&uniforme&

dont&les&côtés&parallèles&sont&de&2&m&et&4&m&et&dont&la&

hauteur&est&de&3&m.&

Si&elle&a&une&extension&rectangulaire&fixée&au&bord&

comme&indiqué&à&la&figure.&Quelle&doit&être&la&hauteur&

de&la&pièce&rectangulaire&si&le&centre&de&gravité&de&

l'ensemble&est&à&une&hauteur&de&4&m&auSdessus&de&la&

base&du&trapèze.&

&

&

EXERCICE&:&12&&&Considérons&les&trois&figures&ciScontre&:&

1) Calculer&pour&chaque&section&la&valeur&

de&!&de&telle&façon&que&le&moment&

d’inertie&de&la&surface&par&rapport&à&un&

axe&passant&par&le&centre&de&gravité&et&

parallèle&à&la&base&vaut&54#)*+.&

2) Calculer&alors&l’aire&de&chaque&surface&

et&en&déduire&la&surface&la&plus&rationnelle.&

EXERCICE&:&12&&Utilisez&l'intégration&pour&déterminer&,

-#$%#.

-,&pour&le&section&plane&de&l’exercice&:1.&

EXERCICE&:&13&&Déterminer&,

-, .-, ,0#$%#,

1-&pour&la&

section&plane&suivante&:&

&

&


1, ,-, .1, .-, ,12, .12, ,-2,&

.-2$%#,

0&&pour&la&section&plane&suivante&:&

&

&



Solution :


&&&&&&&&&&&&&&2ème


&

!


&

Exercice&:&11&&&Trouver&la&position&du&centre&de&gravité&d'une&plaque&

se&présentant&sous&la&forme&d'un&trapèze&uniforme&

dont&les&côtés&parallèles&sont&de&2&m&et&4&m&et&dont&la&

hauteur&est&de&3&m.&

Si&elle&a&une&extension&rectangulaire&fixée&au&bord&

comme&indiqué&à&la&figure.&Quelle&doit&être&la&hauteur&

de&la&pièce&rectangulaire&si&le&centre&de&gravité&de&

l'ensemble&est&à&une&hauteur&de&4&m&auSdessus&de&la&

base&du&trapèze.&

&

&

EXERCICE&:&12&&&Considérons&les&trois&figures&ciScontre&:&

1) Calculer&pour&chaque&section&la&valeur&

de&!&de&telle&façon&que&le&moment&

d’inertie&de&la&surface&par&rapport&à&un&

axe&passant&par&le&centre&de&gravité&et&

parallèle&à&la&base&vaut&54#)*+.&

2) Calculer&alors&l’aire&de&chaque&surface&

et&en&déduire&la&surface&la&plus&rationnelle.&

EXERCICE&:&12&&Utilisez&l'intégration&pour&déterminer&,

-#$%#.

-,&pour&le&section&plane&de&l’exercice&:1.&


-, .-, ,0#$%#,

1-&pour&la&

section&plane&suivante&:&

&

&


1, ,-, .1, .-, ,12, .12, ,-2,&

.-2$%#,

0&&pour&la&section&plane&suivante&:&

&

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TD-1A-S2-F213

IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 10

PROBLÈME N°5

Considérons les trois surfaces ci-contre. 1°) Calculez pour chaque surface la valeur de x de telle façon que le moment d'inertie central maximum vale 54 cm4. 2°) Calculez alors l'aire de chaque surface et en déduire la surface la plus rationnelle.

RÈPONSES N°5 Les trois sections S1, S2, S3 possèdent 2 axes de symétries qui sont donc les axes principaux d’inertie. Le moment d’inertie maximum est celui relatif à l’axe Y. Section S1 :

444

3

2454542412

2 ×=⇒==×

= xcmxxx

IY

x=6 cm A1=18 cm2

Section S2 :

cmxcm

xxxxxIY 58,6

6258

2415454

12552

24 4

4

3

4

=−

=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

−=558,64

1058,63

258,6 2

2A

x=6,58 cm A2=11,25 cm2

x

x/2

x/10

x/10

S2

G Y

Z

x

x/2

S1

G Y

Z



• La section la plus rationnelle est 𝑆7 car pour un même moment d’inertie sa surface est la plus faible.

TD-1A-S2-F213

IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 11

Section S3 :

cmxcm

xxxxxIY 84,6

375064

241

545412

510224 4

4

3

4

=−

=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

−=5

84,645

84,62284,6 2

3A

x=6,84 cm A2=8,42 cm2 Récapitulatif :

Si S1 S2 S3

x(cm) 6 6,58 6,84

IY(cm4) 54 54 54

Ai(cm2) 18 11,25 8,42

Section la plus rationnelle S3 car pour un même moment d’inertie son aire est la plus faible.

PROBLÈME N°6 1°) Montrez que pour un carré de côté a tous les axes centraux sont principaux et que tous les moments d'inertie centraux valent a4 /12 (calculer Ihh et Iht). 2°) Calculez les moments et le produit d'inertie du carré dans les axes u,v.

Y

Z

a

h

a

G

t

ψ

u

v

S3

x

x/2

x/10

x/10

G Y

Z

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