A contrarioen seconde - Free
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A contrario...en terminale S : une année d'exercices de maths - Saison 2014-2015 Page 1 sur 48
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Analyse
Liaison rationnellement fatale
L'Ă©noncĂ©L'Ă©noncĂ©L'Ă©noncĂ©L'Ă©noncĂ© a. La fonction f est dĂ©finie sur l'ensemble ] [ ] ]; 2 2;1fD = ââ â âȘ â par :
( )2
7
2
x xf x
x
+ +=
+
On appelle ( )fC sa courbe représentative.
1. Justifier que la fonction f est bien définie sur l'ensemble fD .
2. Calculer les images ( )5f â et ( )1f .
3. DĂ©terminer la limite de la fonction f en ââ .
Cette limite induit-elle une asymptote pour la courbe ( )fC ? Si oui, on précisera
son équation réduite.
4. DĂ©terminer les limites de ( )f x lorsque x tend vers 2â par la gauche, puis par la
droite.
Ces limites induisent-elles des asymptotes pour la courbe ( )fC ? Si oui, on
précisera leurs équations réduites.
5. Justifier que la fonction f est dérivable sur son ensemble de définition fD .
Etablir que pour tout rĂ©el fx Dâ , on a :
( )( )
2
2
4 5
2
x xf x
x
+ ââČ =
+
En déduire les variations de la fonction f sur son ensemble de définition fD .
b. La fonction g est dĂ©finie sur l'intervalle ] [1;gD = +â par :
( )2
52
2 2g x
x x= â
â +
On appelle ( )gC sa courbe représentative.
1. Justifier que la fonction g est bien dĂ©finie sur l'intervalle ] [1;+â .
2. DĂ©terminer les limites de la fonction g aux bornes de gD .
Ces limites induisent-elles des asymptotes pour la courbe ( )gC ?
3. Justifier que g est dĂ©rivable sur son ensemble de dĂ©finition ] [1;gD = +â .
DĂ©montrer que pour tout rĂ©el gx Dâ , on a :
( )( )22
10 10
2 2
xg x
x x
ââČ =
â +
En déduire les variations de la fonction g sur son ensemble de définition gD .
c. On souhaite constituer une super fonction j Ă©tant Ă©gale Ă f Ă gauche de 1 et Ă g Ă droite de
1. Formellement, la dĂ©finition de j sur l'ensemble \ 2â est la suivante :
( ) ( ) ] [ ] ]( ) ( ) ] [
si ; 2 2;1
si 1;
j x f x x
j x g x x
= â ââ â âȘ â
= â +â
Sa courbe représentative ( )jC a été tracée dans un repÚre simplement orthogonal sur le
graphique ci-dessous. Malheureusement, elle a été détériorée au voisinage de 1.
Se pose le problĂšme de la liaison en 1 entre les courbes ( )fC et ( )gC constituant ( )jC .
1. La fonction j est-elle continue en 1 ? On justifiera sa réponse.
2. La fonction j est-elle dérivable en 1 ? On justifiera sa réponse.
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. La fonction f est le quotient des polynÎmes ( ) 2 7u x x x= + + et ( ) 2v x x= + qui sont
définis et dérivables sur . Par conséquent :
( ) ( )Le quotient existe Son dénominateur est non nul
2 0 2
f x v x
x x
â
â + â â â â
C'est pour cela que la fonction f est parfaitement dĂ©finie sur l'ensemble ] ] ;1 \ 2ââ â .
x
y
( )jC ( )jC
( )jC
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a.2. Calculons les images demandées :
( ) ( ) ( )( )
( )
2
2
5 5 7 25 2 275 9
5 2 3 3
1 1 7 91 3
1 2 3
f
f
â + â + +â = = = = â
â + â â
+ += = =
+
a.3. De prime abord :
( ) ( ) ( )( )
2 77lim lim
2 2x x
x xf x
xâââ âââ
+â + ââ ++ += = =
+ ââ + ââForme indĂ©terminĂ©eForme indĂ©terminĂ©eForme indĂ©terminĂ©eForme indĂ©terminĂ©e
Pour lever l'indétermination, nous allons factoriser numérateur et dénominateur de la
fonction rationnelle ( )f x par leurs termes nous paraissant les plus forts : 2x et x.
( )
22
17
2
xx
x xf x
x
Ă ++ +
= =+
2x
22
7
21
xx
xx
+
= Ă +
x
2 2
1 7 1 71 1
2 21 1
x xx xx
x x
+ + + +Ă = Ă
+ +
Il ne reste plus qu'Ă conclure :
( ) ( ) ( )2
1 71
1 0 0 1lim lim
2 11 01x x
x xf x x
x
â +
ââââ âââ
+ ++ +
= Ă = ââ Ă = ââ Ă = ââ++
Cette limite infinie à l'infinie n'a aucune conséquence asymptotique sur la courbe ( )fC .
a.4. Lorsque x tend vers 2 :â
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
22par continuité
mais de qu
7 2 2 7 9
2 2 2 el sig0 n e ?
x
x
u x x x
v x x
ââ
ââ
= + + â + â + =
= + â +
â
=
â
Le tableau de signe du dénominateur ( )v x est :
x ââ 2â +â
2x + â 0 +
A gauche de 2â
( )2
9lim
0x
f xâ â
ââ= = ââ
A droite de 2â
( )2
9lim
0x
f x+ +
ââ= = +â
La consĂ©quence graphique de ces deux limites infinies en 2â est que la droite verticale
d'Ă©quation 2x = â est une asymptote Ă la courbe ( )fC . Cette derniĂšre plonge Ă gauche de
cette droite et ça s'envole à droite.
a.5. f est le quotient des fonctions ( )( )
27
2 1
DĂ©rivable sur
u x x x
u x x
= + +
âČ = +
et ( )( )
2
1
DĂ©rivable sur
Non nulle sur \ 2 .
v x x
v x
= +
âČ =
â
.
Donc f est parfaitement dĂ©rivable sur son ensemble de dĂ©finition ] [ ] ]; 2 2;1fD = ââ â âȘ â et
pour chaque réel x de celui-ci, on a :
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2
2 2
2 1 2 1 7
2
2 4 2 7 4 5
2 2
x x x xu v v uf x
v x
x x x x x x x
x x
2
+ Ă + â Ă + +âČ âČĂ â ĂâČ = =
+
+ + + â â â + â= =
+ +
Le signe de la dĂ©rivĂ©e ( )f xâČ va nous donner le sens de variation de f.
Le signe du numĂ©rateur ( ) 2 4 5N x x x= + â demeure inconnu. C'est une forme du second
degré. Calculons son discriminant :
( ) ( )2 24 4 1 5 16 20 36 6N xâ = â Ă Ă â = + = =
Son discriminant étant positif, ( )N x a deux racines réelles et distinctes :
4 6 10 4 6 25 ou 1
2 1 2 2 1 2x x
â â â â += = = â = = =
Ă Ă
Le tableau de signe de ( )f xâČ et celui de variation de f sont les suivants :
x ââ 5â 2â 1
( )N x + 0 â â
( )22x + + + 0 +
( )f xâČ + 0 â â
9â +â
f
ââ ââ 3
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b.1. La seule chose qui puisse faire que ( )g x n'existe pas est l'éventuelle nullité du
dĂ©nominateur ( ) 2 2 1u x x x= â + . Calculons le discriminant de cette forme du second degrĂ©.
( ) ( )22 4 1 2 4 8 4u xâ = â â Ă Ă = â = â
Son discriminant étant négatif, le dénominateur ( )u x n'est jamais nul mais toujours positif
comme son coefficient dominant 1.
C'est pour cela que la fonction g est toujours dĂ©finie. Elle l'est en particulier sur ] [1;+â .
b.2. Concernant g, deux limites sont Ă dĂ©terminer : l'une Ă droite de 1 et l'autre en +â .
La limite de g Ă droite de 1.
Le polynĂŽme ( ) 2 2 1u x x x= â + Ă©tant continu sur , il l'est en particulier en 1.
Donc ( ) ( ) 2
1
lim 1 1 2 1 2 1 2 2 1x
u x u+â
= = â Ă + = â + =
Il vient alors : ( )( )1 1
5 5lim lim 2 2 3
1x x
g xu x+ +â â
= â = â =
Cette limite finie en un point n'a aucune conséquence asymptotique sur ( )gC .
La limite de g en +ââââ Occupons-nous d'abord de la limite du polynĂŽme u en +â !
( ) ( ) ( ) ( )2
2
2 21 1 0 0 1
xu x x
x x â+â+ +
= Ă â + +â Ă â + = +â Ă
â = +â
Nous en déduisons :
( )( )5 5
lim lim 2 2 0 2 2x x
g xu x
+
â+â â+â= â = â = â = â
+â
La consĂ©quence de cette limite finie Ă l'infini est que la droite d'Ă©quation 2y = â est une
asymptote horizontale Ă la courbe ( )gC au voisinage de +â .
b.3. La fonction g est de la forme 1
5 2gu
= Ă â avec ( )( )
22 2
2 2
DĂ©rivable et non nulle sur
u x x x
u x x
= â +
âČ = â
Donc la fonction g est dĂ©rivable sur et par consĂ©quent sur l'intervalle ] [1;+â .
( ) ( )
( ) ( )2 2 22 2
2 2 10 105 0 5
2 2 2 2
xu xg x
u x x x x
â ââČâ â +âČ = Ă + = Ă =
â + â +
Le signe de la dĂ©rivĂ©e ( )g xâČ va nous donner les variations de la fonction g.
x 1 +â
10 10xâ + â
( )222 2x xâ +
+
( )g xâČ â
3
g
2â
c.1. D'abord, comme sur l'intervalle ] ]2;1â , la fonction j est Ă©gale Ă la fonction f ,alors :
( ) ( )1 1 3
est continue comme (qui est dérivable) à gauche de 1.
j f
j f
= =
Ensuite, Ă droite de 1, la fonction j est Ă©gale Ă g.
Donc la limite de j à droite de 1 est donnée par :
( ) ( ) ( )1 11 1
lim lim 3 1x xx x
j x g x j+ +â â
â â
= = =
Conclusion : la fonction j est continue en 1.
c.2. Depuis la question a.5, nous savons que f est dĂ©rivable sur l'intervalle ] ]2;1â .
Par conséquent, j est dérivable à gauche de 1 et le nombre dérivé de j à gauche de 1 est
donné par :
( ) ( )( )
2
2
1 4 1 5 01 1 0
91 2gj f
+ Ă ââČ âČ= = = =
+
Maintenant, si l'on se positionne à droite de 1, l'éventuel nombre dérivé de j à droite de 1 est
la limite lorsque x tend vers 1 par la droite du quotient :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
Car Ă droite de 1
1
,
1
1
1 3 1lim lim lim 1
1 1 1x x x
j x g x
j x j j x g x gg
x x x+ + +â â
=
â
â â ââČ= = =
â â â
Implicitement, nous prolongeons la fonction g en 1. Il n'y a aucun problĂšme Ă ce
prolongement car nous avons Ă©tabli lors de la question b.3 que la fonction g Ă©tait
parfaitement définissable et dérivable sur .
On Ă©vite ainsi une forme indĂ©terminĂ©e ââââ----ââââ....
D'aprĂšs la limite de g en 1, question b.2.
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Revenons à la fonction j. Celle-ci est donc dérivable à droite de 1 et le nombre dérivable de j
à droite de 1 est donné par :
( ) ( )( )2 22
10 10 1 01 1 0
11 2 1 1dj g
â ĂâČ âČ= = = =
â Ă +
Conclusion : comme les nombres dérivés de j à gauche et à droite de 1 sont égaux, alors la
fonction j est bien dérivable en 1.
Une autre façon de faire en revenant sur la définition de ce qu'est un nombre dérivé.
Nombre dĂ©rivĂ© Ă gauche de 1 - est un rĂ©el nĂ©gatif proche d 1e 0 0h hâ + <
( ) ( )( ) ( )
( )( )
22
2
1 1 7 1 2 1
3
3331 1 1 2
h h h h h
j h j h h
h h
h
h
h
+ + Ă ++ + + + + + ââ+ â + + += =
=h ( ) 0
0 00
3 33 0 3h
h
hhââ
â â+
ââ= = =
+Ă + +
Nombre dĂ©rivĂ© Ă droite de 1 - est un rĂ©el positif proche d 1e 0 0h hâ + >
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
2
2
2
5 5 552 35
1 1 1 2 1 2 1 1
5
1h
j h j h h h h
h h h h
h
ââ â â
+ â + â + + + += =
â=
Ă
Ă
+
=
h ( ) 022
5 5 0 00
11 0 11 h
h
hh+
â
â
+ â
+
â â Ă= =
+Ăâ
+ =
+
Graphiquement, la situation de l'exercice est la suivante :
x
y
-9 -6 -3 3 6
-12
-9
-6
-3
3
6
9
Asymptote 2x = â
Asymptote 2y = â
( )gC
( )fC
( )fC
La demi-tangente de f Ă gauche de 1 s'emboite avec la demi-tangente de g Ă droite de 1.
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MĂ©chantes questions en vrac !
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Les questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres.
a. Dans cette question, il s'agit de déterminer deux primitives.
1. DĂ©terminer une primitive F dĂ©finie sur l'intervalle ] [0;+â de la
fonction ( ) 2
2
3 2 16 5 4f x x x
xx x= + â + â + .
2. Déterminer la primitive G définie sur l'intervalle 11
;3
+â
de la
fonction ( )22
9
3 113 11
x xg x
xx
= +ââ
telle que ( )2 5G = .
b. Exprimer les trois nombres suivants en fonction de ( )ln 2 et ( )ln 7 :
( ) 49 7ln 28 ln ln
8 2a b c
= = =
c. DĂ©terminer les deux limites suivantes :
( )( )
( ) 32
20
ln1lim ln lim
ln 1 1xx
x xx x
x x+ â+ââ
â+
+ +
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé
a.1. Toute primitive F de la fonction ( ) 2
2
1 1 16 5 4 3 2f x x x
xx x= Ă + Ă â + Ă â Ă + est de la
forme ( ) ( )
( )
3 2
3 2
1 1 16 5 4 3 2 2 ln
3 2
12 2,5 4 6 2 ln
F x x x x x x Cstex
x x x x x Cstex
= Ă + Ă â + Ă â Ă â +
= + â + â â +
Si l'on souhaite une primitive particuliĂšre, il suffit de fixer la constante Cste Ă 0.
a.2. Examinons les deux termes constituant la différence ( )g x :
Le terme 2
9
3 11
x
x â est presque de la forme
u
u
âČ avec ( )
( )
23 11
6
u x x
u x x
= â
âČ =
.
Nous avons : 2 2
1 69 39
23 11 3 116
x x u
ux x
ĂâČ
= Ă = Ăâ â
Cette fonction a pour primitive 3
22Ă 23 3 11u x= â
Le terme 2
3 11
x
x â est presque de la forme
u
u
âČ avec encore ( )
( )
23 11
6
u x x
u x x
= â
âČ =
.
Nous avons : 2 2
1
63 11 3 1
1
1
6
6
x x u
ux xĂ
âČ= = Ă
â â
Cette fonction a pour primitive ( ) ( )21 1ln ln 3 11
6 6u xĂ = â
Donc une Ă©criture de la primitive G est ( ) ( )2 213 3 11 ln 3 11
6G x x x Cste= â + â +
On détermine la constante Cste en sachant que :
( ) ( )( )
2 212 5 3 3 2 11 ln 3 2 11 5
6
13 1 ln 1 5
6
13 0 5 2
6
G Cste
Cste
Cste Cste
= â Ă Ă â + Ă Ă â + =
â Ă + Ă + =
â + Ă + = â =
Conclusion : une Ă©criture de la primitive G est ( ) ( )2 213 3 11 ln 3 11 2
6G x x x= â + â +
b. Il s'agit d'Ă©crire les trois nombres proposĂ©s sous la forme ( ) ( )ln 2 ln 7Ă + Ă⊠⊠en
utilisant les propriétés algébriques du logarithme népérien.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 3
ln 28 ln 4 7 ln 4 ln 7 ln 2 ln 7 2ln 2 ln 7
49ln ln 49 ln 8 ln 7 ln 2 2ln 7 3ln 2
8
7 1ln ln 7 ln 2 ln 7 ln 2
2 2
a
b
c
= = Ă = + = + = +
= = â = â = â
= = â = â
DĂ©rivable et positive sur l'intervalle de travail.
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c.1. Nous avons : ( )( ) ( )
2
0
2 2 2lim ln 0 0 0 0 0
ln 1 1x
x xx+
â â â â â
â+ = + = + = + =
+ ââ + ââ
c.2. De prime abord : ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3
2
lnlim
11x
x x
xâ+â
â +â â +â= =
+â + +â+
Forme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminée
Nous allons lever cette indétermination en factorisant les numérateur et dénominateur du
quotient par leurs termes nous paraissant les plus forts : 3x pour le haut et 2x pour le bas.
( )( ) ( ) ( )3
3 3 3 3 3
2 22
2 22
ln ln ln1 1 1
ln
1 111 1 11
x x xx
x x x x x xxx x
xx xx
Ă â â ââ = = Ă = Ă
+ + +Ă +
Il vient : ( )
( )
( ) ( )3 3
2
2
ln1
ln 0 1 1lim lim
1 11 1 01x x
x
x x xxx
x
+
+â+â â+â
ââ â â
= Ă = +â Ă = +â Ă = ââ+ ++
Ln pose problĂšme !
L'Ă©noncĂ©L'Ă©noncĂ©L'Ă©noncĂ©L'Ă©noncĂ© La fonction f est dĂ©finie sur l'intervalle ] [2;+â par :
( )2
1ln
4
xf x
x
+ =
â
On appelle ( )fC sa courbe représentative.
a. Expliquer pourquoi la fonction f est bien dĂ©finie sur l'intervalle ] [2;+â .
Existe-t-il d'autres intervalles oĂč cette fonction f pourrait ĂȘtre dĂ©finie ? Si oui, les citer.
b. DĂ©terminer la limite de ( )f x lorsque x tend vers 2 par la droite.
Cette limite implique-t-elle une asymptote pour la courbe ( )fC ? Si oui, on précisera son
équation réduite.
c. DĂ©terminer la limite de la fonction f en +â .
Cette limite implique-t-elle une asymptote pour la courbe ( )fC ? Si oui, on précisera son
équation réduite.
d. Justifier que la fonction f est dérivable sur son intervalle de définition, puis établir que
pour tout rĂ©el ] [2;xâ +â , on a :
( )( ) ( )
2
2
2 4
1 4
x xf x
x x
â â ââČ =
+ â
e. Conclure en dressant le tableau de variation de la fonction f sur ] [2;+â .
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a. Le logarithme d'une quantité ne peut exister que si et seulement si cette quantité est
strictement positive. Dressons le tableau de signe sur de la quantité ( )q x .
x ââ 2â 1â 2 +â
1x + â â 0 + +
2 4x â + 0 â â 0 +
( )q x â + 0 â +
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Le quotient ( )q x Ă©tant strictement positif sur l'intervalle ] [2;+â , son logarithme nĂ©pĂ©rien
( ) ( )( )lnf x q x= est bien défini sur cet intervalle.
Cette fonction logarithmique f peut aussi ĂȘtre Ă©tendue Ă l'intervalle ] [2; 1â â pour cette mĂȘme
raison.
b. Pour déterminer la limite de la fonction ( )lnf q= à droite de 2, nous allons
prĂ©alablement nous intĂ©resser Ă celle de q au mĂȘme endroit.
( )2
2 2
1 3lim lim
4 0x x
xq x
x+ + +â â
+= = = +â
â
Nous en déduisons :
( ) ( )( ) ( )2 2
lim l m ln lnix x
f x q x+ +â â
= = +â = +â
La conséquence de cette limite infinie en un point est que la droite d'équation 2x = est une
asymptote verticale Ă la courbe ( )fC .
c. Comme toutes les fonctions rationnelles aux infinis, il y a de grandes chances que ( )q x
nous amĂšne Ă une forme indĂ©terminĂ©e du type ââ
. C'est pour Ă©viter cet Ă©cueil que nous
allons factoriser d'emblée les numérateur et dénominateur de ( )q x par leurs termes nous
paraissant les plus forts : x et 2x .
( )2
2
2
11
1
441
xx xx
q xx
xx
Ă + + = = = â Ă â
2x2 2
1 11 1
1
4 41 1
x x
x
x x
+ +Ă = Ă
â â
Nous en concluons :
( )2
11
1 1 0 1lim lim 0 0 0
4 11 01x x
xq xx
x
++ + +
+â+â â+â
+ += Ă = Ă = Ă =
ââ
Il vient alors pour la fonction f :
( ) ( )( ) ( )lim lim nln l 0x x
f x q xâ+â â
+
+â= = = ââ
Cette limite n'a aucune conséquence asymptotique sur la courbe ( )fC .
d. Comme la fonction ( )2
1
4
xq x
x
+=
â est dĂ©rivable et surtout positive sur ] [2;+â , alors son
logarithme ( )lnf q= est aussi dérivable sur cet intervalle.
Avant de dériver f et dans le souci de nous éviter des calculs trop compliqués, nous allons
assouplir son Ă©criture :
( ) ( ) ( )] [2
Ces deux logarithmes existent
car 1 et 4 sont positifs su
2
r
2
2; .
1ln ln 1 ln 4
4
x x
xf x x x
x
+ â +â
+= = + â â
â
Le premier terme ( )ln 1x + est de la forme ( )ln u avec ( )( )
1
1
u x x
u x
= +
âČ =
Le second terme ( )2ln 4x â est aussi de la forme ( )ln u avec ( )
( )
24
2
u x x
u x x
= â
âČ =
Nous pouvons alors Ă©crire que pour tout rĂ©el ] [2;xâ +â , nous avons :
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2
2
1 2
1 4
1 2 4 2 2 2 4
1 1 4
1
4 1 4
4
xf x
x x
x x x x x x
x x x x x
u
x
x
u
x
uuâČ = â = â
+ â
â â â â â â â= = =
+ â
Ă â Ă +
+ +
âČâČ
â â
e. Encore une fois, c'est le signe de la dĂ©rivĂ©e ( )f xâČ qui va nous donner les variations de la
fonction f.
x 2 +â
( )n x â
1x + +
2 4x â +
( )f xâČ â
+â
Les signes des facteurs du dénominateur nous
sont connus. Reste à déterminer celui du
numĂ©rateur ( ) 2 2 4n x x x= â â â qui est une
forme du second degré.
Calculons son discriminant !
( ) ( ) ( ) ( )22 4 1 4 4 16 12n xâ = â â Ă â Ă â = â = â
Son discriminant étant négatif, le trinÎme ( )n x
est toujours du signe de son coefficient
dominant. Il est toujours nĂ©gatif comme 1â .
Le tableau de variation de la fonction f sur
l'intervalle ] [2;+â est celui ci-contre
f
ââ
Voir le tableau de signe de q(x) de la question a.
D'aprĂšs le tableau de signe de q(x)...
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Re-méchantes questions en vrac !
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Les questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres.
a. La fonction f est définie pour tout réel x par :
( )32 xf x e â=
1. DĂ©terminer les limites de la fonction f en ââ , puis en +â .
2. Calculer la dĂ©rivĂ©e ( )f xâČ et en dĂ©duire les variations de la fonction f sur
l'intervalle ] [;ââ +â .
b. DĂ©terminer une expression de la primitive F de la fonction ( ) 410 7 5 xf x x e= + + qui est
définie sur et est telle que ( )0 3,25F = .
c. Dans ces questions, il n'est question que de limites.
1. ComplĂ©ter les limites suivantes oĂč n est un entier strictement positif.
( ) ( ) ( )0
lnlim ln lim ln lim
lim lim lim
n
nx xx
xx n x
nx x x
xx x x
x
ee x e
x
+â+â â+ââ
â+â âââ â+â
= = =
= = =
âŠâŠ âŠâŠ âŠâŠ
âŠâŠ âŠâŠ âŠâŠ
2. DĂ©terminer la limite lorsque x tend vers +â de la fonction ( ) ( ) 7ln
x
x xf x
e x
+=
â
d. Simplifier l'écriture du nombre réel ( )43 7
12
e eA
e
âĂ=
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé
a.1.
( )3
3
3
2
Quand tend vers ,
2 2
x
x
x
x
x x
x
e e
âââ
âââ
âââ +
ââ
â â ââ
â â ââ = +
â
â
â
â
= +â
De mĂȘme,
( )3
3
3
2
quand s'envole vers ,
2 2
0x
x
x
x
x x
x
e e
â+â
â+â
â+ââ ââ +
+ â +â
â â
â
â
+
â
â = ââ
=
x ââ 0 +â
3â â â
2x + 0 +
32 xe â + +
( )f xâČ â 0 â
+â
a.2. La fonction f est de la forme ue
avec ( )( )
3
2 2
2
0 3 3
DĂ©rivable sur
u x x
u x x x
= â
âČ = â = â
.
Donc la fonction f est dérivable sur et
pour tout réel x, nous avons :
( )22 23u xf x u e x e ââČ âČ= Ă = â
Comme toujours, c'est le signe de la dérivée
qui va nous donner les variations de la
fonction
f
0+
b. Examinons les deux principaux termes constituant la somme ( )f x :
Une primitive sur de 10 7x + est 2 21
10 7 5 72x x x xĂ + = + .
Le terme 43 xe est presque de la forme uu eâČĂ avec ( )( )
4
4
u x x
u x
=
âČ =
.
Nous avons : 4 4 5
5 54
14
4
x x ue e u eâČĂ Ă ĂĂ= = Ă
Cette fonction a pour primitive 45 5
4 4
u xe eĂ = Ă
Donc une écriture générique de la primitive F est ( ) 2 455 7
4
xF x x x e Cste= + + +
On détermine la constante Cste en sachant que :
( ) 2 00 3,25 5 0 7 0 1,25 3,25
0 0 1,25 1 3,25 3,25 1,25 2
F e Cste
Cste Cste
= â Ă + Ă + Ă + =
â + + Ă + = â = â =
Conclusion : une Ă©criture de la primitive F est ( ) 2 455 7 2
4
xF x x x e= + + +
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c.1. Petites questions de connaissance en introduction !
( ) ( ) ( )0
lnlim ln lim ln 0 lim 0
lim lim 0 lim
n
nx xx
xx n x
nx x x
xx x x
x
ee x e
x
+
+
â+â â+ââ
â+â âââ â+â
= +â = =
= +â = = +â
c.2. De prime abord : ( ) ( ) ( )
( ) ( )
7ln
limxx
x x
e xâ+â
+ +â + +â +â= =
+â â +ââ Forme indĂ©terminĂ©eForme indĂ©terminĂ©eForme indĂ©terminĂ©eForme indĂ©terminĂ©e
Nous allons lever cette indétermination en factorisant les numérateur et dénominateur du
quotient par leurs termes nous paraissant les plus forts : 7x pour le haut et xe pour le bas.
( ) ( )( ) ( )7
7 7 7 7
ln ln1 1
ln
11x x
xxx
x xx
x x x x xf xxxe x e
eee
Ă + + + = = = Ă
â âĂ â
Comme limx
nx
e
xâ+â= +â , alors, pour son inverse, nous avons :
1lim 0
n
xx
x
e
+
â+â= =
+â
Il vient alors :
( )
( )7 7
ln1
0 1 1lim lim 0 0 0
11 01xx x
x
x
x xf xxe
e
++ + +
+â+â â+â
++
= Ă = Ă = Ă =ââ
d. Simplifions l'écriture du nombre A avec les propriétés algébriques de l'exponentielle.
( ) ( )4
3 712 74 3 7 12 7 5
5 6 1
6 6 6112 122
1e e
e e e e e eA e e
ee e eee
â+ âĂ â â
â â
Ă
ĂĂ Ă
= = = = = = = =
Exponentielle pose problĂšme !
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé La fonction f est définie sur par :
( ) ( )22 2
xf x x x e= + â Ă
On appelle ( )fC sa courbe représentative.
a. DĂ©terminer la limite de ( )f x lorsque x tend vers ââ .
Cette limite implique-t-elle une asymptote pour la courbe ( )fC ? Si oui, on précisera son
équation réduite.
b. DĂ©terminer la limite de la fonction f en +â .
Cette limite implique-t-elle une asymptote pour la courbe ( )fC ? Si oui, on précisera son
équation réduite.
c. Calculer l'image de 0 par la fonction f, puis déterminer les antécédents de 0 par cette
mĂȘme fonction f.
d. Justifier que la fonction f est dérivable sur , puis établir que pour tout réel x, on a :
( ) ( )24
xf x x x eâČ = + Ă
e. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle ] [;ââ +â .
Le corrigĂ©Le corrigĂ©Le corrigĂ©Le corrigĂ© a. Sous la forme qui nous est proposĂ©e, ( )f x est une forme indĂ©terminĂ©e en ââ . En effet :
( ) ( ) ( ) ( )( )2lim lim 2 2 2 0
x
x xf x x x e
+
âââ âââ= + â Ă = +â + ââ â Ă =
Forme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminée
Forme trĂšsForme trĂšsForme trĂšsForme trĂšs
indéterminéeindéterminéeindéterminéeindéterminée
Dans les faits, il s'agit d'une «petite forme indéterminée» car il suffit juste de développer :
( ) 2 2 2 0 2 0 2 0 0x x
x
xf x x e xe eâââ
+ + + += + Ă â Ă + Ă â Ă â =
Nous en concluons que l'axe des abscisses, droite dont l'équation réduite est 0y = , est une
asymptote horizontale Ă la courbe ( )fC au voisinage de ââ .
Que n valle 1 ou 7 !
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b. La limite de f en +â ne pose guĂšre de problĂšmes ! En effet :
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2lim lim 2 2
2
x
x xf x x x e
â+â â+â= + â Ă
= +â + +â â Ă +â = +â Ă +â = +â
Cette limite infinie à l'infini n'a aucune conséquence asymptotique.
c. L'image de 0 par la fonction f nous est donnée par :
( ) ( )2 00 0 2 0 2 2 1 2f e= + Ă â Ă = â Ă = â
Pour connaßtre les antécédents de 0 par la fonction f, nous résolvons dans l'équation :
( ) ( )Un produit est nul... ...l'un de ses facteurs
Niet !
l'
2
e
2
st.
0 2 2 0 2 2 0 ou 0x xf x x x e x x e= â + â Ă = â + â = =
Une exponentielle Ă©tant toujours strictement positive, la seconde sous-Ă©quation 0xe = n'a
aucune solution.
Pour rĂ©soudre la premiĂšre sous-Ă©quation 2 2 2 0x x+ â = qui est du second degrĂ©, nous
allons calculer son discriminant :
( ) ( ) ( ) ( )2 2 222 4 1 2 4 8 12 12 4 3 2 3â = â Ă Ă â = + = = = Ă =
Son discriminant Ă©tant positif, cette premiĂšre sous-Ă©quation admet deux solutions :
22 2 3
2 1x
â â= =
Ă
( )1 3
2
Ă â â 2 2 31 3 ou 1 3
2 1x
â â= â â = = â +
Ă
Conclusion : 0 a deux antĂ©cĂ©dents par la fonction f qui sont 1 3â â et 3 1â .
d. La fonction f est le produit des fonctions ( )( )
22 2
2 2
DĂ©rivable sur
u x x x
u x x
= + â
âČ = +
et ( )( )
DĂ©rivable sur
x
x
v x e
v x e
=
âČ =
.
Donc la fonction f u v= à est dérivable sur et pour tout réel x, nous avons :
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
4 4
x x
x
x x
f x u v v u
x e e x x
e x x x
e x x e x x
âČ âČ âČ= Ă + Ă
= + Ă + Ă + â
= Ă + + + â
= Ă + = Ă Ă +
e. Le signe de la dĂ©rivĂ©e ( )f xâČ nous donne les variations de f.
x ââ 4â 0 +â
x â â 0 +
4x + â 0 + +
xe + + +
( )f xâČ + 0 â 0 +
46eâ +â
f
0+ 2â
Calculons l'image de 4â par la fonction f :
( ) ( ) ( )( ) ( )2 4 4 44 2 4 2 16 8 2 6f x e e e
â â â= â + Ă â â Ă = â â Ă =
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Un plant façon indienne
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Cet exercice est une adaptation d'un autre donné au bac S à Pondichéry, avril 2013.
a. On sâintĂ©resse Ă lâĂ©volution de la hauteur h dâun plant de maĂŻs en fonction du temps t.
Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur h est exprimée en mÚtres et le
temps t en jours.
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :
( )0,04
1t
ah t
beâ
=+
oĂč a et b sont des constantes rĂ©elles positives, t est la variable temps exprimĂ©e en
jours et ( )h t désigne la hauteur du plant exprimée en mÚtres.
On sait quâinitialement, pour 0t = , le plant mesure 0,1 mĂštres et que sa hauteur tend vers
une hauteur limite de 2 mĂštres.
1. Exprimer l'image ( )0h et la limite ( )limt
h tâ+â
en fonction de a et b.
2. En déduire les valeurs des coefficients a et b. Une réponse directe et non justifiée
sera considérée comme fausse.
b. On considÚre désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f
définie sur l'intervalle [ ]0;250 par :
( )0,04
2
1 19t
f te
â=
+
oĂč t est une grandeur temporelle exprimĂ©e en jours et ( )f t est exprimĂ©e en mĂštres.
1. Calculer la dĂ©rivĂ©e ( )f tâČ en fonction de t, puis en dĂ©duire les variations de la
fonction f sur l'intervalle [ ]0;250 .
2. Calculer le temps nécessaire pour que la hauteur du plant de maïs dépasse les 1,5
mĂštres.
3. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs; elle est donnée par la
fonction dérivée de la fonction f . La vitesse de croissance est maximale pour une
certaine valeur de t.
En utilisant le graphique ci-contre qui est reproduit sur la feuille annexe, déterminer
une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.
Les constructions Ă faire le seront sur le graphique de la feuille annexe. On laissera
apparents les traits de construction.
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. Exprimons en fonction de a et b l'image et la limite demandées.
( )
( ) ( )
0,04 0 0
0,04
L'image : 01 1 11 1
La limite : lim1 1 0 1 01t
a a a ah
b bbe be
a a a ah t a
be bbe
â Ă
ââ + +â Ă +ââ+â
= = = =+ Ă ++ +
== = = = =+ + Ă ++
a.2. Exploitons les renseignements apportés par l'énoncé :
«sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 mÚtres»
( )lim 2 2t
h t aâ+â
= â =
«initialement, pour 0t = , le plan mesure 0,1 mÚtres»
( ) ( )0 0,1 0,1 2 0,1 11
2 0,1 1,92 0,1 0,1 19
0,1 0,1
ah b
b
b b
= â = â = Ă ++
ââ = + Ă â = = =
t
h
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
Temps t en jours
Hauteur h en mĂštres
A contrario...en terminale S : une année d'exercices de maths - Saison 2014-2015 Page 12 sur 48
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b.1. f est de la forme 1
fu
= avec ( )( ) ( )
0,04
0,04
1 19
19 0,04
DĂ©rivabl
1 19
0
e et non nulle sur
19
u
u
t
t
u x e
u
e
ex eu
â
â
= + Ă
âČ = = Ă â
= + Ă
âČ+ ĂĂ Ă
Par conséquent, la fonction f est dérivable sur , donc en particulier sur [ ]0;250 et pour tout
réel t de cet intervalle, nous avons :
( ) ( )
( ) ( )0,04 0,04
2 2 20,04 0,04
2 0,76 1,522
1 19 1 19
t t
t t
eu ef t
u e e
â â
â â
Ă â ĂâČ Ă âČ = Ă â = â = Ă
= + +
â â
â
Tous les facteurs apparaissant de ce quotient étant positifs, nous en déduisons que la dérivée
( )f tâČ est aussi strictement positive sur l'intervalle [ ]0;250 .
Donc la fonction f est strictement croissante sur ce dernier ensemble.
b.2. Dans cette question, on cherche l'antécédent de 1,5 par la fonction f. Il s'agit de résoudre
l'Ă©quation :
( )
( ) ( )
Inverse0,04
0,04
0,04 0,04
Ln0,04
2 1 19 11,5 1,5
2 1,51 19
2 4 11 19 19 1
1,5 3 3
ln 5710,04 ln 57 101,08
57 0,04
t
t
t t
t
ef t
e
e e
e t t
â
â
â â
â
+ Ă= â = =
+ Ă
â + Ă = â Ă = â
=
â = â = â â = â
â
â
Conclusion : le plant de maïs dépasse les 1,5 mÚtres à l'issue du 101iÚme jour.
b.3. La vitesse de croissance du plant est maximale lorsque le nombre dérivé de f est
maximal, c'est-Ă -dire lorsque le coefficient de la tangente Ă la courbe ( )fC est maximal,
autrement dit lorsque cette tangente est la «plus pentue» possible.
Vu le graphique, la tangente semble la «plus pentue» au voisinage de 80 jourst = .
Le plant mesure alors prĂšs de 1,13 mĂštres.
La vĂ©ritĂ© par les nombresLa vĂ©ritĂ© par les nombresLa vĂ©ritĂ© par les nombresLa vĂ©ritĂ© par les nombres Pour savoir quand la croissance est maximale, nous pourrions dĂ©river la dĂ©rivĂ©e ( )f tâČ qui
est un quotient et nous aboutirions à la dérivée seconde de f :
( )( )
( )
0,04 0,04
30,04
0,0608 19 1
19 1
t t
t
e e
f t
e
â â
â
Ă Ă Ă ââČâČ =
+
Dans ce quotient, seul le facteur 0,0419 1teâĂ â change de signe, les autres Ă©tant positifs.
La dĂ©rivĂ©e ( )f tâČ est maximale lorsque la dĂ©rivĂ©e seconde ( )f tâČâČ change de signe, c'est-Ă -
dire est nulle, c'est-Ă -dire lorsque :
( ) ( )0,04 Ln0,04 ln 19119 1 0 0,04 ln 19 73,6
19 0,04
t te e t t
â â âĂ â = â = â = â â = â
La croissance est donc maximale pour 73,61 jourst â .
t
h
Coef. Dir=0,0197
1,13
Coef. Dir=0,02
73,61
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
Temps t en jours
Hauteur h en mĂštres
A contrario...en terminale S : une année d'exercices de maths - Saison 2014-2015 Page 13 sur 48
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Exponentielle des CaraĂŻbes
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Cet exercice est une adaptation d'un autre donné au bac S Antilles-Guyane, juin 2014.
On considÚre la fonction f définie et dérivable sur l'ensemble par :
( ) 1x
xf x x
e= + +
On note ( )C sa courbe représentative dans un repÚre orthonormé.
a. On appelle g la fonction dĂ©finie et dĂ©rivable sur lâensemble par :
( ) 1 xg x x e= â +
1. Calculer l'image ( )0g .
2. DĂ©terminer les limites de la fonction g en ââ , puis en +â .
3. Calculer la dĂ©rivĂ©e ( )g xâČ .
4. RĂ©soudre dans l'Ă©quation 1 0xe â > .
5. Dresser le tableau donnant les variations de la fonction g sur .
6. En déduire le signe de ( )g x sur .
b. DĂ©terminer les limites de f en ââ , puis en +â .
c. On appelle f âČ la dĂ©rivĂ©e de la fonction f sur . 1. En calculant la dĂ©rivĂ©e de la fonction f, Ă©tablir que pour tout rĂ©el x, on a :
( ) ( )xf x e g xââČ = Ă
2. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur .
3. Démontrer que l'équation ( ) 0f x = admet une unique solution α dans .
Donner une valeur approchée au dixiÚme prÚs de cette unique solution α.
d. On appelle TTTT la droite d'Ă©quation 2 1y x= + .
1. DĂ©montrer que cette droite TTTT est tangente Ă la courbe ( )C au point d'abscisse 0.
2. En Ă©tudiant le signe de la diffĂ©rence d'ordonnĂ©es ( ) ( ) ( )2 1Cy y f x xâ = â +TTTT ,
déterminer la position relative de la courbe ( )C et de la droite TTTT.
Le corrigĂ©Le corrigĂ©Le corrigĂ©Le corrigĂ© a.1. Calculons l'image demandĂ©e : ( ) 00 1 0 1 1 2g e= â + = + =
a.2. La limite de g en ââ ne pose guĂšre de difficultĂ©s :
( ) ( )lim lim 1 1 0x
x xg x x e +
âââ âââ= â + = â ââ + = +â
Pour la limite de g en +â , ce sera une autre affaire !
( ) ( ) ( )lim lim 1 1x
x xg x x e
â+â â+â= â + = â +â + +â = Forme indĂ©terminĂ©eForme indĂ©terminĂ©eForme indĂ©terminĂ©eForme indĂ©terminĂ©e
L'indétermination se lÚve en factorisant la somme ( )g x par son terme le plus fort : xe .
( ) 11 1x x
x x
xg x x e e
e e
= â + = Ă â +
D'aprĂšs le cours, le quotient x
e
x tendant vers +â , son inverse
x
x
e tend vers
10
+=+â
.
Il vient alors :
( ) ( ) ( )1 1lim lim 1 0 1 0 1
x
x xx x
xg x e
e e
+ +
â+â â+â
= Ă â + = +â Ă â + = +â Ă + = +â +â
a.3. La fonction g est dérivable sur car elle est une somme de telles fonctions.
Pour tout réel x, nous pouvons écrire :
( ) 0 1 1x xg x e eâČ = â + = â
a.4. Résolvons dans l'équation demandée :
( )
] [( )Ln
Croissante sur 0;
1 0 1 ln 1 0
g x
x xe e x
+â
âČ
â > â > >â =
x ââ 0 +â
( ) 1xg x eâČ = â â 0 +
+â +â
a.5. La question précédente
nous indique le signe de la
dĂ©rivĂ©e ( )g xâČ . Elle est
négative avant 0, nulle en 0 et
positive aprĂšs.
Par conséquent, le tableau de
variation de g sur est celui
ci-contre
g
2
a.6. Le minimum de la fonction g sur Ă©tant 2, ( )g x est toujours strictement positif.
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b. Déterminons les deux limites demandées :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
lim lim 1 10
1
0
lim lim 1 1 0
xx x
xx x
xf x x
e
xf x x
e
+âââ âââ
+
+
â+â â+â
ââ= + + = ââ + +
= ââ + ââ Ă = ââ + ââ Ă +â = ââ + ââ = ââ
= + + = +â + + = +â
c.1. Calculons la dérivée de la fonction f.
( )( )2 2
11 1 0 1 1
1
x x
xx
x
u u v vx e e xf x x
e e
e
u
v v
âČ âČ âČĂ â Ă âČ Ă â Ă âČ = + + = + + = + = +
=
+
( )2
1 x
e
â ( ) ( ) ( )1 1 1x
x
x x xx
g xxg x e g x
e e e
e â+ â= = = Ă =
Ă
x ââ +â
( ) ( )xf x e g xââČ = Ă +
+â
c.2. L'exponentielle xeâ est toujours
strictement positive comme ( )g x .
Par consĂ©quent, la dĂ©rivĂ©e ( )f xâČ = Ăâ â
est strictement positive et la fonction f est
strictement croissante sur . f
ââ
c.3. Comme
( ) ] [
la fonction est continue car dérivable sur
la fonction est strictement croissante sur
0 appartient Ă l'intervalle image ;
f
f
f = ââ +â
alors, d'aprÚs le théorÚme de la bijection, l'équation ( ) 0f x = admet une unique solution α
dans .
D'aprĂšs la calculatrice, une valeur approchĂ©e au dixiĂšme prĂšs de cette solution α est : 0,4α â â
d.1. L'équation réduite de la tangente à la courbe ( )C en son point d'abscisse 0 est de la
forme :
( ) ( ) ( )0 0 0y f x fâČ= Ă â +
avec ( ) ( ) ( )0
0
00 0 1 2 2 et 0 0 1 1f e g f
e
ââČ = Ă = Ă = = + + =
Nous en déduisons que l'équation réduite de la tangente est :
2 1y x= + .
Soit l'Ă©quation de la droite TTTT.
d.2. Explicitons la différence d'ordonnées proposée :
( ) ( ) ( )
( )2 1
11 2 1
C
xx
x x x x
y y f x x
x ex x x xex x x
e e e e
â = â +
ââ= + + â â = â = =
TTTT
x ââ 0 +â
x â 0 +
1 xeâ + 0 â
xe + +
Le signe de ( )1 1x x
e eâ = â â
est le signe contraire de ( )g xâČ .
Le signe de la différence
d'ordonnĂ©es ( )Cy yâ TTTT est celui
ci-contre
( )Cy yâ TTTT â 0 â
Conclusion : Sauf en 0x = oĂč elles se touchent, la courbe ( )C est toujours au-dessous de la
droite TTTT. Graphiquement, la situation est la suivante :
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Exponentielle vs. alien carré
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé La fonction f est définie par :
( )2
2
3 2x
x
x ef x
e x
â=
+
On appelle ( )fC sa courbe représentative.
a. Justifier que la fonction f est parfaitement définie sur .
b. DĂ©terminer les limites de la fonction f en ââ , puis en +â .
Quelles sont les conséquences asymptotiques de ces deux limites ?
c. DĂ©montrer que la dĂ©rivĂ©e ( )f xâČ est donnĂ©e, pour tout rĂ©el x, par :
( ) ( )
( )22
5 2 x
x
x x ef x
e x
Ă â ĂâČ =
+
En déduire les variations de la fonction f sur .
d. Démontrer que l'équation ( ) 0f x = admet dans une unique solution α dont on donnera
une valeur approchée au centiÚme prÚs.
En déduire le tableau de signe de ( )f x sur .
Le corrigĂ©Le corrigĂ©Le corrigĂ©Le corrigĂ© a. f est le quotient du numĂ©rateur ( ) 23 2 xu x x e= â et du dĂ©nominateur ( ) 2xv x e x= + qui
sont deux fonctions définies sur .
De plus, le dénominateur ( )v x est toujours strictement positif car il est la somme des deux
quantités positives xe et 2x dont la premiÚre l'est strictement.
Le dénominateur ( )v x ne s'annulant jamais, la fonction quotient f est bien définie sur .
b. Commençons par dĂ©terminer la limite de la fonction f en ââ .
De prime abord :
( ) ( )( )
2
2
3 2 03 2lim lim
0
x
xx x
x ef x
e x
+
+âââ âââ
Ă +â â Ăâ +â= = = =
+â+ + +â
Forme Forme Forme Forme
indéterminéeindéterminéeindéterminéeindéterminée
Pour lever cette derniÚre, nous allons factoriser les numérateur et dénominateur par leurs
termes nous paraissant les plus forts : 2x dans les deux cas.
Pour tout rĂ©el ] [;0xâ ââ , nous pouvons Ă©crire :
( )2 2
2
3 2 x
x
x e xf x
e x
â= =
+ 2x
2
2
03 3
3 0 33
10 0 11 1
x
x
x
e
x
e
x
++
â +â +ââ
â â â+âĂ = = =+
+ ++â
La conséquence asymptotique de cette limite est que la droite d'équation 3y = est une
asymptote horizontale Ă ( )fC au voisinage de ââ .
A prĂ©sent, dĂ©terminons la limite de la fonction f au voisinage de +â .
De prime abord :
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
3 23 2lim lim
x
xx x
x ef x
e xâ+â â+â
Ă +â â Ă +ââ= = =
+â + +â +â+
Forme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminée
Nous allons lever l'indétermination en factorisant les numérateur et dénominateur par leurs
termes nous paraissant les plus forts : xe dans les deux cas.
Pour tout rĂ©el ] [0;xâ +â , nous pouvons Ă©crire :
( )2
2
3 2x x
x
x e ef x
e x
â= =
+ xe
2 2
2 2
3 2 3 2
1 1
x x
x x
x x
e e
x x
e e
Ă â Ă âĂ =
+ +
D'aprĂšs le cours, lorsque x tend vers +â , le quotient 2
xe
x s'envole vers +â .
Donc son inverse 2
x
x
e s'en va vers
10
+=+â
Nous en concluons :
( )
2
2
3 23 0 2 0 2
lim lim 211 0
1
x
x x
x
x
ef xx
e
+ +
+â+â â+â
Ă âĂ â â
= = = = â+
+
La consĂ©quence graphique de cette limite est que la droite d'Ă©quation 2y = â est une
asymptote Ă la courbe ( )fC au voisinage de ââ .
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c. f est le quotient des fonctions ( )( )
23 2
3 2 2
6 2
DĂ©rivable sur
x
x
x
u x x e
u x x e
x e
= â
âČ = Ă â
= â
et ( )( )
2
2
DĂ©rivable et
non nulle sur
x
x
v x e x
v x e x
= +
âČ = +
.
Par conséquent, la fonction f est dérivable sur et pour tout réel x, nous avons :
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 22
3
6 2 2 3 2
6 6
x x x x
x
x
x e e x e x x eu v v uf x
v e x
xe x
â Ă + â + Ă ââČ âČĂ â ĂâČ = =
+
+=
22 xeâ 2 2 22 3 2x x xx e x e eâ â + 36xâ
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
22
2
2 2 2 22 2 2 2
4
5 2 5 210 5 5 2 5
x
x
x xx x x x
x x x x
xe
e x
xe x x x exe x e xe xe x
e x e x e x e x
+
+
Ă â ââ Ă â Ă= = = =
+ + + +
Les signes de tous les facteurs apparaissant dans le quotient précédent nous sont connus.
Calculons les valeurs des deux extrema qui vont apparaitre dans le tableau :
( ) ( )2 0 2 2 2
0 2 2 2 2
3 0 2 0 2 1 2 3 2 2 12 20 2 2 0,24
1 0 10 2 4
e e ef f
e e e
Ă â Ă â Ă â Ă â Ă â= = = = â = = â â
++ + +
Le tableau de signe de la dĂ©rivĂ©e ( )f xâČ et celui de variation de f sont les suivants :
x ââ 0 2 +â
5x
â 0 +
+
2xâ +
+
+ 0 â
xe
+
+
+
( )22xe x+
+
+
+
( )f xâČ
â 0 + 0 â
3 ( )2 f â
f
2â 2â
d. Comme ] [] [
] [( ) ] [
la fonction est continue car dérivable sur ;0
la fonction est strictement décroissante sur ;0
0 appartient Ă l'intervalle image ;0 3; 2
f
f
f
ââ
ââ
ââ = â â
alors, en application du théorÚme de la bijection, l'équation ( ) 0f x = admet une unique
solution α dans ] [;0ââ .
Le maximum de la fonction f sur l'intervalle [ [0;+â qui est Ă©gal Ă ( )2f Ă©tant nĂ©gatif,
l'Ă©quation ( ) 0f x = n'admet aucune solution dans cet intervalle.
D'aprÚs la calculatrice, une valeur approchée au centiÚme prÚs de cette unique solution α est :
0,60α â â
Compte tenu des variations de f et de ce qui précÚde, le tableau de signe de ( )f x est :
x ââ α +â
( )f x + 0 â
A l'issue de l'exercice, la situation graphique de la courbe ( )fC accompagnée de ses deux
asymptotes et de ses deux tangentes horizontales est la suivante :
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
α
( )fC
0T
2T
3y =
2y = â
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Intégrales Lepter
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Cet exercice est constitué de trois sous-parties indépendantes. Un résultat fourni seul, sans
justifications, ne sera pas pris en compte.
a. Calculer les intégrales suivantes. On donnera leurs valeurs exactes.
2 4 42
2 321 0 1
2 1 2 49
3 1
xI x x dx J dx K dx
x x x xx
= â + = = â + +â« â« â«
b. La fonction f est définie sur par :
( ) ( )26 2x
f x x x eâ= â
1. DĂ©montrer que la fonction ( ) ( )22 2 2
xF x x x e
â= â â est une primitive de la
fonction f sur .
2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [ ]0;3 .
c. La fonction f est dĂ©finie sur l'intervalle ] [0,5;â +â par :
( )3 2
6 17 2 3
2 1
x x xf x
x
â â â=
+
1. Par la méthode de votre choix, déterminer quatre coefficients entiers a,b, c et d tels
que pour tout réel 1;
2x
â â +â , on ait : ( ) 2
2 1
df x ax bx c
x= + + +
+
2. Sur le graphique ci-contre, on a tracé la courbe ( )fC représentant la fonction f
dans un repĂšre orthogonal oĂč une unitĂ© de longueur en abscisse vaut 3 centimĂštres
et une unité de longueur en ordonnée vaut 1 centimÚtre.
La courbe ( )fC franchit l'axe des abscisses ( )Ox au point d'abscisse 3x = .
Calculer la valeur exacte exprimée en centimÚtres carrés de l'aire géométrique du
domaine hachuré sur la figure ci-contre qui est compris entre l'axe des abscisses
( )Ox , l'axe des ordonnées ( )Oy , la droite d'équation 3x = et la courbe ( )fC .
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. Commençons par calculer l'intégrale I.
Une primitive sur de 2 1
9 2x xx
â + Ă est ( ) ( )3 2
3 219 2 ln 3 2ln
3 2 2
x xx x x xĂ â + Ă = â +
Il vient alors :
( )
( ) ( )
( ) ( )
22
1
23 2
1
3 2 3 2
29
13 2 ln
2
1 13 2 2 2 ln 2 3 1 1 2 ln 1
2 2
24 2 2ln 2 3 0,5 2 0 19,5 2 ln 2
I x x dxx
x x x
= â +
= â + Ă
= Ă â Ă + Ă â Ă â Ă + Ă
= â + â + â Ă = + Ă
â«
a.2. Calculons la valeur de l'intégrale J.
La fonction 23 1
x
x + est presque de la forme
u
u
âČ avec ( )
( )
23 1
3 2 6
DĂ©rivable et positive sur
u x x
u x x x
= +
âČ = Ă =
Plus particuliĂšrement : 2 2
1
63 1 3 1
1 6
6
x x u
ux x
âČ= = Ă
+
Ă
+Ă .
x
y
1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
( )fC
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Donc une primitive sur de la fonction 23 1
x
x + est
21 12 3 1
6 3u xĂ = Ă +
Il vient alors : 4
20
42 2 2
0
3 1
1 1 1 1 1 7 13 1 3 4 1 3 0 1 49 1 2
3 3 3 3 3 3 3
xJ dx
x
x
=+
= + = Ă + â Ă + = â Ă = â =
â«
a.3. Calculons la valeur exacte de l'intégrale K.
Une primitive sur ] [0;+â de la fonction 2 3
1 1 12 4
x x xâ Ă + Ă est la fonction :
2 2
1 1 2 22 2 4 2
2x x
x xx x
â ââ Ă + Ă = + â
Il vient alors : 4
2 31
4
2 2 21
1 2 4
2 2 2 2 2 22 2 4 2 1
4 14 1
194 0,5 0,125 2 2 2 2,375
8
K dxx x x
xx x
= â +
= + â = + â â + â
= + â â â + = =
â«
b.1. Calculons la dérivée de la fonction ( ) ( )22 2 2
xF x x x e
â= â â qui est le produit u vĂ
des fonctions ( )( )
22 2 2
2 2 2 4 2
DĂ©rivable sur
u x x x
u x x x
= â â
âČ = Ă â = â
et ( )( ) 1
DĂ©rivable sur
u
u
x
x x
v x e
v x e
e
u ee
â
â â
=
âČ
=
âČ = =Ă â Ă =
Donc la fonction F est dérivable sur et pour tout réel x, on a :
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
4 2 2 2 2
4 2 2 2 2
4 2
x x
x
x
F x u v v u x e e x x
e x x x
e x
â â
â
â
âČ âČ âČ= Ă + Ă = â Ă + â Ă â â
= Ă â â â â
= Ă â 22 2 2x xâ + + ( ) ( )2
6 2x
e x x f xâ = Ă â =
Conclusion : comme la fonction f est la dérivée de la fonction F sur , alors F est une
primitive de f sur ce mĂȘme ensemble.
b.2. La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [ ]0;3 est donnée par la formule :
[ ] ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
3
0
3
0
2 3 2 0
33
1Valeur moyenne de sur 0;3
3 0
1 13 0
3 3
12 3 2 3 2 2 0 2 0 2
3
1 2 1010 2 1
3 3
f f x dx
F x F F
e e
ee
â
ââ
= Ăâ
= Ă = Ă â
= Ă Ă â Ă â Ă â Ă â Ă â Ă
+= Ă + Ă =
â«
c.1. Décomposons la fonction rationnelle ( )f x en utilisant la «méthode par identification
des coefficients de mĂȘme degré».
On veut Ă©crire ( )f x sous la forme :
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
3 2 2
3 2 3 2
2 1
2 1
2 2 2
2 1
6 17 2 3
2 1
2 2 2
2 1 2 1
df x ax bx c
x
ax bx c d
x
ax ax bx bx cx c d
x
x x x a x a b x b c x c d
x x
x
= + + ++
+ + +=
+
+ + + + + +=
+
+ â + â + â + + + + + +=
+
Ă
+
+
Les deux numĂ©rateurs polynomiaux Ă©tant Ă©gaux, leurs coefficients de mĂȘme degrĂ© sont aussi
Ă©gaux. Il vient :
3
2
6 2 3
17 2 17 3 2 2 20
En
10
2 2 2 10 2 2 8 4
3 3 4
E
Constant
n
7
E
n
x
a a
a b b b b
b c c c c
d
x
x
c d d
= â =
â = + â â = + â = â â = â
â = + â â = â + â = â =
â = + â â = + â = â
Conclusion : la forme décomposée de la fonction rationnelle f est :
( ) 2 73 10 4
2 1f x x x
x= â + â
+
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Une autre méthode : par extraction du dénominateur de chacun des termes du numérateur
( )( )
( )
2 2 23 2
2
3 2 1 3 17 2 36 17 2 3
2 1 2 1
3 2 1
x x x x xx x xf x
x x
x x
+ â â â ââ â â= =
+ +
+=
2 1x +
( )
( )
22
2
10 2 1 10 2 320 2 33
2 1 2 1
10 2 13
x x x xx xx
x x
x xx
â + + â ââ â â+ = +
+ +
+= â
2 1x +
( )
( )
2
2
4 2 1 4 38 33 10
2 1 2 1
4 2 13 10
xxx x
x x
xx x
+ â ââ+ = â +
+ +
+= â +
2 1x +27 7
3 10 42 1 2 1
x xx x
â = â + â+ +
c.2. Le calcul de l'intégrale ( )3
0
f x dx⫠dépend de la connaissance d'une primitive F de f.
D'abord, une primitive sur de 23 10 4x xâ Ă + est 2
3 3 210 4 5 4
2
xx x x x xâ Ă + = â + Puis,
la fonction 7
2 1x
â+
est presque de la forme u
u
âČ avec ( )
( )[ ]
2 1
2
DĂ©rivable et positive sur 0;3
u x x
u x
= +
âČ =
.
Une primitive de 1 27
7 3,52 1 2 12
u
x x u
âČâ= â Ă = â Ă
+ +Ă est ( ) ( )3,5 ln 3,5 ln 2 1u xâ Ă = â Ă +
Par consĂ©quent, une primitive de f sur [ ]0;3 est ( ) ( )3 25 4 3,5 ln 2 1F x x x x x= â + â Ă +
Il vient alors :
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )
33
00
3 2 3 2
3 0
3 5 3 4 3 3,5 ln 2 3 1 0 5 0 4 0 3,5 ln 0 1
27 45 12 3,5 ln 7 0 3,5 ln 1
6 3,5 ln 7 unités d'aire
f x dx F x F F = = â
= â Ă + Ă â Ă Ă + â â Ă + Ă â Ă +
= â + â Ă â â Ă
= â â Ă
â«
Une unité d'aire est l'aire d'un rectangle de 3 centimÚtres en abscisse sur 1 centimÚtre en
ordonnée. Une unité d'aire vaut donc 23 cm .
De plus, l'aire calculée a été comptée négativement car la fonction f est négative ou nulle sur
l'intervalle [ ]0;3 .
Conclusion : l'aire du domaine hachurĂ© est de ( ) ( ) 26 3,5 ln 7 u.a 18 10,5 ln 7 cm+ Ă = + Ă
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Géométrie et nombres complexes
Petits jeux entre complexes
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé a. Le polynÎme P est défini pour tout nombre complexe z par :
( ) 3 22 9 16 15P z z z z= â + â
1. Calculer ( )2,5P .
2. DĂ©terminer trois entiers relatifs a, b et c tels que pour tout nombre complexe z, on
ait :
( ) ( ) ( )22 5P z z az bz c= â Ă + +
3. RĂ©soudre dans l'Ă©quation ( ) 0P z = .
b. On appelle f la fonction affine de variable complexe z définie par :
( ) ( )3 2 4f z z= â Ă âi i
1. Calculer les images ( ) ( ) ( ) 12 3 1 4
2 3f f f f
â + + i i
i
2. RĂ©soudre dans l'Ă©quation ( ) 8 5f z = â i .
Que vient-on de déterminer vis-à -vis de f ?
c. La formule de résolution des équations du second degré vue en premiÚre et prolongée en
terminale fonctionne quelque soit la nature des coefficients de celles-ci : réels ou complexes.
Le but de cette question est la résolution dans de l'équation du second degré à coefficients
complexes d'inconnue z suivante : 2 2 1 8 0z zâ Ă â â =i i
1. Calculer le discriminant â d'une telle Ă©quation. 2. VĂ©rifier que le complexe 4 4+ i a pour carrĂ© â.
3. En dĂ©duire les solutions dans de l'Ă©quation 2 2 1 8 0z zâ Ă â â =i i .
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. Calculons l'image de 2,5 par le polynÎme P.
( )3 2
5 5 5 125 252,5 2 9 16 15 2 9 40 15
2 2 2 8 4
125 225 10025 25 25 25 0
4 4 4
P
= Ă â Ă + Ă â = Ă â Ă + â
â= â + = + = â + =
2,5 Ă©tant une racine du polynĂŽme P, alors ce dernier est factorisable par le facteur 2,5z â
ainsi que par son double 2 5z â . Ce qui va ĂȘtre fait dans la question suivante.
a.2. Procédons par identification. On veut écrire le polynÎme P sous la forme :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2 2
3 2 3 2
2 5
2 2 2 5 5 5
2 9 16 15 2 2 5 2 5 5
P z z az bz c
az bz cz az bz c
z z z a z b a z c b z c
= â Ă + +
= + + â â â
+ â + + â = + â + â + â
Deux polynĂŽmes Ă©gaux ont des coefficients de mĂȘme degrĂ© Ă©gaux :
3
2
2 2 1
9 2 5 9 2 5 2 4 soit 2
16 2 5 16 2 10
Const
En
En 2 6
ant
3
5
n
15 3
E
z
z
D'un !
De deux !
De trois
a a
b a b b b
c b !
La vérif'
z
c c c
c c !
= â =
â = â â â = â â = â = â
= â â = + â = â =
â = â â =
Conclusion : une Ă©criture factorisĂ©e du polynĂŽme P est : ( ) ( ) ( )22 5 2 3P z z z z= â Ă â +
a.3. Utilisant ce qui vient d'ĂȘtre fait, rĂ©solvons dans l'Ă©quation....
( ) ( ) ( )Un produit est nul... ...l'un de ses facteurs l'est
2
.
20 2 5 2 3 0 2 5 0 ou 2 3 0P z z z z z z z= â â Ă â + = â â = â + =
Solutionnons séparément ces deux sous-équations :
La premiĂšre sous-Ă©quation ne pose guĂšre de problĂšmes !
On s'e2 5 0 n serait doutĂ© 5 !2 2,5z z zâ = â = â =
Calculons le discriminant de l'autre sous-Ă©quation 2 2 3 0z zâ + = .
( ) ( )222 22 4 1 3 4 12 8 4 2 2 2â = â â Ă Ă = â = â = Ă Ă =i i
Son discriminant étant négatif, cette sous-équation du second degré admet deux
solutions complexes, conjuguées et non réelles :
( )2 2 2 2
2 1z
â â â= =
Ă
i 2â 2
2
i ( )2 2 21 2 ou 1 2
2 1z
â â += â = = +
Ă
ii i
Conclusion : l'Ă©quation ( ) 0P z = admet trois solutions dans le corps des complexes :
2,5 1 2 1 2S = â +i i
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b.1. Calculons les quatre images demandées. Il suffit juste de remplacer z par la valeur
donnée.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2
2 2
2 3 2 2 4 6 4 4 6
3 3 2 3 4 9 6 4 5 6 1 6 5
1 4 3 2 1 4 4 3 12 2 8 4 11 6
3 21 13 2 4 4
2 3 2 3 2 3
6 9 4 6 6 13 64 4 4 5
132 3
2 3
2 3
f
f
f
f
â = â Ă â â = â + â = â
= â Ă â = â â = â Ă â = +
+ = â Ă + â = + â â â = +
â = â Ă â = â + + +
â â + â â= â = â = â â = â
+
Ă â
Ă â
i i i i
i i i i i i i i i
i i i i i i i i i
ii i i
i i i
i i i ii i i
i
i
i i
b.2. Résolvons dans l'équation proposée :
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
2
2 2
48 5 3 2 4 8 5 3 2 8
88 24 16 3 2
3 2 3 2 3 2
24 13 2 1 26 132
9 4 13
3 2
3 2
f z z z
z
+= â â â Ă â = â â Ă = â
ââ + â ââ = = =
â â +
+ â Ă â +
Ă +
Ă +
=+
â
= = +
i
i
i i i i i i
ii
i
i i i
i i
i ii
Conclusion : 8 5â i a un seul antĂ©cĂ©dent par la fonction. Il s'agit de 2+ i .
c.1. Notre équation du second degré est de la forme 2 0az bz c+ + = avec :
1 2 1 8a b c= = â = â +i i
Par conséquent, le discriminant de notre équation est donné par :
( ) ( )22 24 2 4 1 1 8 4 4 32 4 4 32 32b a câ = â Ă Ă = â â Ă Ă â â = + + = â + + =i i i i i i
c.2. Nous avons : ( ) ( )2 224 4 4 2 4 4 4 16+ = + Ă Ă + =i i i ( )32 16 1+ + Ă âi 32= i
Nous pourrions presque dire que 4 4+ i est une racine du nombre complexe 32i .
c.3. Appliquant les formules bien connues, nous en déduisons que les deux solutions dans
de l'Ă©quation du second degrĂ© 2 2 1 8 0z zâ Ă â â =i i sont :
( ) ( )
( ) ( )
1
2
2 4 4 2 4 4 4 22
2 2 2 2
2 4 4 2 4 4 4 62 3
2 2 2 2
bz
a
bz
a
â â â +â â â â â â â= = = = = â â
Ăâ â + +â + â + + +
= = = = = +Ă
i i i i ii
i i i i ii
Bon plan complexe...ou pas
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Sur la figure ci-aprÚs, le plan complexe est muni d'un repÚre orthonormé direct ( )O; ,u v
d'unité graphique centimétrique. On a aussi tracé les demi-droites radiales d'origine O
formant un angle remarquable avec le premier vecteur de base u.
Enfin, dans ce repÚre, on a placé les points A, B et C dont les affixes sont :
A B C6 1 4 2z z z= â = â = âi i
a. On appelle D le point d'affixe D 3 3 3z = â â i .
1. DĂ©terminer les module et arguments du nombre complexe Dz .
2. En déduire la position et placer le point D sur la figure ci-contre.
3. Le point A appartient-il au cercle de centre O passant par D ? On justifiera sa
réponse.
b. On appelle E le quatriÚme sommet du parallélogramme CDBE.
1. Calculer l'affixe Ez du point E.
2. Construire au compas le point E sur la figure ci-contre.
3. Calculer l'affixe Iz du milieu I du segment [BC].
4. Justifier que le point I est aussi le milieu du segment [ED].
c. On appelle G le point du plan vérifiant l'égalité vectorielle :
5 AG 2 BG oĂ + Ă =
1. DĂ©terminer l'affixe Gz du point G.
2. Placer le point G sur la figure.
d. On appelle H le point dont l'affixe Hz a pour module 5 et pour argument 29
6
Ï.
1. Ecrire Hz sous forme exponentielle, puis en déduire son écriture algébrique.
2. Placer le point H sur la figure.
3. DĂ©montrer que le nombre
18H
5
zp
=
est un réel.
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Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé A l'issue de l'exercice, la figure est la suivante :
a.1. On commence par calculer le module du nombre complexe D 3 3 3z = â â i .
( ) ( )22D 3 3 3 3 3 3 9 9 3 36 6z = â â = â + â = + Ă = =i
u
v
Ï/6
-Ï/6
Ï/4
-Ï/4
Ï/3
-Ï/3
2Ï/3
-2Ï/3
3Ï/4
-3Ï/4
5Ï/6
-5Ï/6 EEEE
O 0
Ï/2
Ï ou
-Ï
-Ï/2
A
B
C
D
E
I
G
L
J
H
FFFF
u
v
Ï/6
-Ï/6
Ï/4
-Ï/4
Ï/3
-Ï/3
2Ï/3
-2Ï/3
3Ï/4
-3Ï/4
5Ï/6
-5Ï/6
O 0
Ï/2
Ï ou
-Ï
-Ï/2
A
B C
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Les arguments de Dz sont les réels Ξ vérifiant les deux égalités :
( ) ( )3 1 3 3 3 2cos et sin modulo 2
6 2 6 2 3
â â ÏΞ = = â Ξ = = â â Ξ = â Ï
a.2. Vu son module, D appartient au cercle de centre O et de rayon 6.
Vu ses arguments, D appartient Ă la radiale d'origine O formant un angle de 2
3
Ïâ avec u
.
a.3. Calculons la distance OA.
( )2 2AOA 1 6 1 6 1 36 37 6z= = â + = â + = + = â i
Conclusion : la distance OA étant différente du rayon du cercle de centre O passant par D, le
point A n'appartient pas Ă ce dernier ensemble.
b.1. Comme CDBE est un parallélogramme, alors ces quatre sommets vérifient l'égalité
vectorielle :
( ) ( ) ( )
Traduction ou transcription comEgalité vectoriell ple
E B C DBE DC
E D
e
C
xe
B
BE DC o
4 2 3 3 3 5 3 3
z z z z z z
z z z z
= â = = â â = â
â = + â
= â + â â â â = âi i i + i
b.2. Le point E se construit au compas en s'appuyant sur le triangle de base CDB.
b.3. Comme I est le milieu du segment [BC], alors son affixe est donnée par :
( ) ( )B CI
4 2 21
2 2 2 2
z zz
â + â+ â= = = = â
i i i
b.4. Les diagonales [BC] et [ED] du parallélogramme CDBE se coupant en leurs milieux, le
point I qui est le milieu du segment [BC] est aussi le milieu de [ED].
c.1. Traduisons sous la forme d'une égalité complexe l'égalité vectorielle définissant le point
G.
( ) ( )( ) ( )
Traduction ou transcription coEgalité vect
G A G BAG BG
G
o mplex
G
iel er le
5 AG 2 BG o 5 2 o 5 2 0
5 5 6 1 2 2 4 0
7
z z z z z z
z z
Ă + Ă = â Ă + Ă = â Ă â + â =
â Ă â Ă â + Ă â Ă â =
â
i i
G G
G G
30 5 8 2 0 7 3 28 0
3 28 37 3 28 4
7 7 7
z z
z z
Ă â + â + = â Ă â â =
â Ă = + â = + = +
i i i
i i i
c.2. Vu son affixe, le point G appartient Ă la droite horizontale d'Ă©quation 4y = .
Vu la relation vectorielle définissant G, les vecteurs AG
et BG
sont colinéaires. Donc le
point G appartient aussi Ă la droite (AB).
C'est Ă l'intersection de ces deux droites que l'on place le point G.
d.1. Modulo 2Ï, l'argument 29 12 5 5
2 2 tours6 6 6 6
Ï Ï Ï Ï= Ă + = + est congru Ă
5
6
Ï.
Nous pouvons alors Ă©crire :
Forme trigonForme algébr
29 5
6 6
Forme exponen
ométriq
tielle
u
H
ueiq e
5 5
5 5 3 15 cos sin 5 2,5 3 2,5
6 6 2 2
z e e
Ï Ï
= Ă = Ă
Ï Ï = Ă + = Ă â + Ă = â +
i i
i i i
d.2. Le point H se trouve sur le cercle de centre O et de rayon 5 ainsi que sur la demi-droite
radiale d'origine O formant un angle de 5
6
Ï avec le premier vecteur de base u
.
d.3. Nous pouvons Ă©crire :
18H 5
5
zp
= =
5
6
5
e
Ï
Ăi
18 car 15 7 2
518
3 5 156 1e e e e
ÏĂ Ă
Ï= Ă Ï
Ï Ï Ï
+Ï
= = = = = â
ii i i
e.1. Ecrivons sous forme algébrique le quotient q :
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
B C
A C
2
2 2
1
4 2
6 1 2
6 6 36 6 6
6
6
11 16 6
z zq
z z
Ă â
Ă â
â â ââ= =
â â â â
â â â += = =
+ +
i
i
i i i ii
ii
37 6â âi 37
37= â
37
i= âi
e.2. Le nombre complexe âi ayant pour module 1 et pour argument 2
Ïâ , nous avons :
2q e
Ïâ
= â =i
i
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e.3. Interprétons géométriquement le quotient q.
Du point de vue de son module : B C
A C
CB
CA
z zq
z z
â= =
â
Il vient : CB
1 1 CB CA ABC est isocĂšle en CCA
q = â = â = â
Du point de vue de ses arguments : ( ) ( )B C
A C
arg arg CA,CBz z
qz z
â= =
â
Il vient : ( ) ( )modulo 2 bien sûr !
arg CA,CB ABC est rectangle en C2 2
q
Ï
Ï Ï= â â = â â
Conclusion : le triangle ABC est isocĂšle et rectangle (indirect) en C.
f.1. L est le point d'affixe L 3 4z = â i . L'Ă©galitĂ© dĂ©finissant l'ensemble EEEE s'Ă©crit aussi :
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
modulo
2 to
L
urs
2
19 8 3M arg 3 2 arg 3 2 arg 2
4 4 4
3,LM modulo 2
4
z z z z z
u
Ï
â
Ï Ï Ïâ â â + = â â = â = â = â Ă â
Ïâ = â Ï
i i
EEEE
L'ensemble EEEE est la demi-droite d'origine L formant un angle de 3
4
Ïâ avec u
.
f.2. L'égalité définissant l'ensemble FFFF s'écrit aussi :
( ) LM 3 2 6 6 LM 6
M appartient au cercle de centre L et de rayon 6
z z z zâ â â + = â â = â =
â
iFFFF
f.3. Comme le point J appartient aux deux ensembles EEEE et FFFF, alors son affixe Jz vérifie :
( ) ( )
Appartenance Ă Apparten
J L
ance Ă
J L19 3
6 et arg 24 4
z z z zÏ Ï
â = â = â = â Ï
EEEEFFFF
Par consĂ©quent, l'Ă©criture exponentielle du nombre complexe J Lz zâ est :
3
4J L
3 3 2 26 6 cos sin 6
4 4 2 2
3 2 3 2
z z e
Ïâ Ï Ï
â = Ă = Ă â + â = Ă â â Ă
= â â
ii i
i
Nous en dĂ©duisons : ( ) ( )J L 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2z z= â â = â â â = â â +i i i i
Petit complexe fonctionnel
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé a. Le polynÎme P est défini pour tout nombre complexe z par :
( ) ( ) ( )3 24 4 4 6 4 6P z z z z= â + + + âi i i
4. Calculer ( )P i .
5. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout nombre complexe z, on ait :
( ) ( ) ( )2P z z az bz c= â Ă + +i
6. RĂ©soudre dans l'Ă©quation ( ) 0P z = .
b. On appelle f l'application du plan dans lui-mĂȘme qui a tout point M d'affixe z diffĂ©rente de
2 associe le point MâČ d'affixe zâČ dĂ©finie par :
2
zz
z
ââČ =
âi
On appelle B le point d'affixe B 2z = .
1. DĂ©terminer l'affixe Az âČ du point AâČ qui est l'image du point A d'affixe A 3z = i par
l'application f. On indiquera le détail des calculs.
2. On appelle x et y les parties réelle et imaginaire du nombre complexe z x y= + i .
Etablir que l'Ă©criture algĂ©brique du nombre complexe zâČ est :
( ) ( )
2 2
2 22 2
2 2
2 2
y x x yz
x y x y
â â ââČ = + Ă
â + â +i
3. DĂ©terminer l'ensemble EEEE des points M d'affixe z tels que zâČ soit un rĂ©el. 4. DĂ©terminer l'ensemble FFFF des points M d'affixe z tels que zâČ soit un imaginaire pur.
5. DĂ©montrer que si MâČ est l'image du point M par l'application f, alors ces deux
points vérifient les égalités :
( ) ( )OMOM et ,OM BM,OM modulo 2
BM 2u
ÏâČ âČ= = â Ï
6. En dĂ©duire que l'image de la mĂ©diatrice â du segment [OB] par l'application f est
incluse dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
LLLLe corrigée corrigée corrigée corrigé a.1. Calculons l'image i par le polynÎme P.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 24 4 4 6 4 6
4 4 4 1 6
P = Ă â + Ă + + Ă â
= Ă â â + Ă â +
i i i i i i i
i i i2
4 6+ âi i 4 4 4 4 0= â + + â =i i
Donc i est une racine du polynĂŽme ( )P z et ce dernier est factorisable par le facteur z â i .
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a.2. Procédons par identification. On veut écrire le polynÎme ( )P z sous la forme :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2 2
3 2 3 24 4 4 6 4 6
P z z az bz c
az bz cz az bz c
z z z a z b a z c b z c
= â Ă + +
= + + â â â
+ â â + + + â = + â + â + â
i
i i i
i i i i i i
Deux polynĂŽmes Ă©gaux ont des coefficients de mĂȘme degrĂ© Ă©gaux :
3
2En
4 4
4 4 4
n
4
E
z
z a a
b a
D'un != â =
â â = â â â âi i i 4b= â i
En
4
6 4 6 4z
De db
c b
eux !â = â
+ = â â +i i i 4c= + i
Constant
6
6 6
De trois !
La vérif' !
c
c c
â =
â = â â =i i
Conclusion : une écriture factorisée du polynÎme P est :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 24 4 4 6 4 6 4 4 6P z z z z z z z= â + + + â = â Ă â +i i i i
a.3. Utilisant ce qui vient d'ĂȘtre fait, rĂ©solvons dans l'Ă©quation....
( ) ( ) ( )Un produit est nul... ...l'un de ses facteurs l'est.
2 20 4 4 6 0 0 ou 4 4 6 0P z z z z z z z
z
= â â Ă â + = â â = â + =
=
i i
i
Il nous reste Ă rĂ©soudre la seconde sous-Ă©quation 24 4 6 0z zâ + = qui est du second degrĂ©.
Calculons son discriminant !
( )
( )
2
2 2 2
4 4 4 6 16
1 80 80 16 5 4
80
5
96
= â Ă = Ă
â = â â Ă Ă = â
= Ă Ă =
â
=
i i i
Cette seconde sous-équation admet deux solutions complexes et conjuguées qui sont :
( ) 44 4 5
2 4z
â â â= =
Ă
i ( )1 5
2 4
Ă â
Ă
i ( )4 4 51 5 1 5ou
2 2 4 2z
â â +â += = =
Ă
ii i
Conclusion : l'Ă©quation ( ) 0P z = a trois solutions complexes : 1 5 1 5; ;
2 2S
â + =
i ii
b.1. L'affixe Az âČ du point AâČ est donnĂ©e par :
( )( ) ( ) ( )
2A
A 2
1
2A
33 3 6 9 6 9
2 3 2 2 3 2 3 13 132
2 3
32 3
zz
z
â
âČĂâ Ă â Ă â Ă â â
= = = = = = â ââ â â + â +
â â
Ă â â â +
ii i i i ii
i i i i
b.2. Nous pouvons Ă©crire :
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2
2 2 2
2
22
x yz x yz
z x y x y
y x yx xy
x yx y
â Ă +â â ââČ = = =
â + â â +
â= =
â +
Ă â â Ă â â
i ii i
i
i
i
i
i
i
i 2 22 2y y x x xyâ â â + âi i i
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 22 2
2
2 2
2 2
x y
y x x y
x y x y
â +
â â â= + Ă
â + â +i
b.3. Nous pouvons Ă©crire pour tout nombre complexe 2z â :
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 22
Possible car
2 22 2
2 2
2 22 2 2
2 2 2
On appelle le point d'aff
2
M est un réel la partie imaginaire de est nulle
20 2 0
2
2 0 1 1 0 0
1 0 1 M 1 M 1 1
x y
z
z z z
x x yx x y
x y
x x y x y
x y
Ă â +
Ω
â
âČ âČâ â â
â ââ = â â =
â +
â â
â
+ = â â â + â =
â â + â = â Ω = â Ω = =
EEEE
ixe 1
M apparttient au cercle de centre et de rayon 1
zΩ=
â Ω
Conclusion : l'ensemble EEEE est le cercle de centre Ω d'affixe 1zΩ = et de rayon 1...privé du
point B d'affixe 2.
b.4. Nous pouvons Ă©crire pour tout nombre complexe 2z â :
( )
( )
( )
( )
2 22
Possible ca2 2 r 2
M est un imaginaire pur la partie réelle de est nulle
20 2 0
2
00
2
M appartient Ă l'axe des abscisses O;
x y
z
z z z
yy
x y
y y
u
Ă â + â
âČ âČâ â â
ââ = â =
â +
â = â
=â
â
â
FFFF
Conclusion : l'ensemble FFFF est l'axe des abscisses ( )O;u
...privé du point B d'affixe 2.
b.5. Si le point MâČ d'affixe zâČ est l'image du point M d'affixe z par l'application f, alors celles-ci sont liĂ©es par la relation :
2
zz
z
ââČ =
âi
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Interprétons cette égalité du point de vue de...
...de son module :
B
1 OMOM
2 2 2 BM
z z zzz
z z z z z
â Ă ĂââČ âČ= = = = â =
â â â â
ii
...de ses arguments :
( ) ( ) O
B
0arg arg arg arg arg modulo 2
2 2 2
z zz zz
z z z z
ââ â Ï âČ = = â + = â + Ï â â â
ii
Traduit sous forme d'angles orientés, nous en déduisons :
( ) ( ) ( ),OM BM,OM BM,OM modulo 22 2
uÏ Ï
âČ = â + = â Ï
b.6. Soit M un point de la mĂ©diatrice â du segment [OB].
De par sa définition, M est équidistant des deux extrémités du segment. Donc OM BM= .
Il vient alors :
OMOM 1 M appartient au cercle de centre O et de rayon 1
BMâČ âČ= = â
Conclusion : l'image ( )âf est incluse dans le cercle de centre O et de rayon 1.
Espace des tentes
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Les questions b, c, d et e sont dépendantes les unes des autres. La question a est
indépendante des autres.
a. Cette question est une «restitution organisée des connaissances» aussi appelée «question
de cours». On rappelle la définition suivante :
Dire qu'une droite est perpendiculaire Ă un plan signifie qu'elle est orthogonale Ă chaque
droite incluse dans ce plan.
D'abord, 1d de vecteur directeur 1u
et 2d de vecteur directeur 2u
sont deux droites
incluses dans un plan P. De plus, ces deux droites sont sécantes en un point A.
Ensuite, d est une droite quelconque du plan P qui a pour vecteur directeur w.
Enfin, â est une autre droite de l'espace de vecteur directeur v. â est orthogonale aux
droites 1d et 2d .
1. Justifier qu'il existe deux rĂ©els α et ÎČ tels que 1 2w u u= α Ă + ÎČĂ
.
2. DĂ©montrer que la droite â est perpendiculaire au plan P.
Dans le reste de l'exercice, l'espace est rapporté à un repÚre orthonormé ( )O; , ,i j k
dans
lequel on considÚre les points de coordonnées :
( ) ( ) ( )A 2;3;1 B 4;5;5 C 5;9;4â
b. Le triangle ABC est-il isocÚle en A ? On justifiera sa réponse
c. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan qui nous appellerons P dans le
reste de l'exercice.
d. â est la droite dont une reprĂ©sentation paramĂ©trique est :
2 3
14 5 avec
3 7
x t
y t t
z t
= +
= â â = â +
1. Le point C appartient-il Ă la droite â ? On justifiera sa rĂ©ponse. 2. Donner les coordonnĂ©es d'un vecteur directeur v
de la droite â.
3. DĂ©montrer que la droite â est perpendiculaire au plan P. Qu'est alors le vecteur de coordonnĂ©es v
pour le plan P ?
4. En déduire une équation cartésienne du plan P.
5. Justifier que le plan P est sécant avec l'axe des ordonnées ( );O j
, puis déterminer
les coordonnées de leur point d'intersection E.
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e. On appelle Q le plan dont une Ă©quation cartĂ©sienne est 9 4 77 0x y z+ â â = .
1. DĂ©terminer la position relative de la droite â et du plan Q. 2. DĂ©terminer les coordonnĂ©es du point I qui est le milieu du segment [AB].
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d qui est la parallÚle à la
droite (AC) passant par le point I.
4. Déterminer les coordonnées du point F qui est l'intersection de la droite d avec le
plan Q.
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. D'abord, les droites 1d et 2d n'étant pas parallÚles, leurs vecteurs directeurs 1u
et 2u
ne sont pas colinéaires. Le couple ( )1 2,u u
est une base du plan P.
La droite d appartenant au plan P, son vecteur directeur w est coplanaire avec les deux
vecteurs de base 1u
et 2u
du plan P.
Il existe donc deux rĂ©els α et ÎČ tels que 1 2w u u= α Ă + ÎČĂ
.
a.2. Comme la droite â est orthogonale aux droites 1d et 2d , alors son vecteur directeur v
est orthogonal aux vecteurs directeurs 1u
et 2u
. Donc des produits scalaires sont nuls :
1 2et 0 0v u v uâ = â =
Concernant n'importe quelle autre droite d de vecteur directeur w du plan P, il vient :
( )On distribue scalairement par
1
lant
2 1 1
...
0 0 0
v
v w v u u v u v uâ = â α Ă +ÎČ Ă = α Ă â +ÎČ Ă â = α Ă + ÎČ Ă =
Comme leur vecteurs directeurs v et w sont orthogonaux, alors la droite â est orthogonale
Ă n'importe quelle droite d du plan P.
Conclusion : la droite â est perpendiculaire au plan P.
b. Pour savoir si le triangle ABC est isocĂšle en A, le mieux est encore de calculer les
longueurs des deux cÎtés adjacents.
( )2 2 2
2 2 2
4 2 6
AB 5 3 2 AB 6 2 4 36 4 16 56
5 1 4
5 2 3
AC 9 3 6 AC 3 6 3 9 36 9 54
4 1 3
â â = â â = â = â + + = + + = â =
â = â = â = + + = + + = â =
Conclusion : les cÎtés adjacents [AB] et [AC] ayant des longueurs différentes, le triangle
ABC n'est pas isocĂšle en A.
c. Pour qu'ils définissent un plan, il faut et il suffit que les points A, B et C ne soient pas
alignés. Une question se pose : les coordonnées des vecteurs AB
et AC
sont-elles
proportionnelles ?
( )
3
0,75
0,5
AB AC
Abscisses 6 3
Ordonnées 2 6
Cotes 4 3
Ă
Ă
â
Ă
â
â
â
â
Leurs coordonnées n'étant pas proportionnelles, les vecteurs AB
et AC
ne sont pas
colinéaires. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés et ils définissent un plan P.
d.1. Les coordonnĂ©es du point C vĂ©rifient-elles la reprĂ©sentation paramĂ©trique de â ? Existe un rĂ©el t tel que
La réponse est oui ! Il s'agi
C C C
t de la valeur 1
2 3 et 14 5 et 3 7
5 2 3 9 14 5 4 3 7
3 3 5 5 7 7
1 1 1
t
x t y t z t
t t t
t t t
t t t
=
= + = â = â +
= + = â = â +
= â = â =
= = =
?
Conclusion : le point A appartient bien Ă la droite â.
d.2. D'aprĂšs sa reprĂ©sentation paramĂ©trique, un vecteur directeur de la droite â est
3
5
7
v
â
.
d.3. Regardons si v est orthogonal aux vecteurs AB
et AC
qui sont directeurs pour le plan
P.
( ) ( )
( )
3 6
AB 5 2 3 6 5 2 7 4 18 10 28 0 AB
7 4
3 3
AC 5 6 3 3 5 6 7 3 9 30 21 0 AC
7 3
v v
v v
â â = â â = Ă â + â Ă + Ă = â â + = â â„
â = â â = Ă + â Ă + Ă = â + = â â„
Comme le vecteur v est orthogonal aux vecteurs AB
et AC
qui sont non colinéaires et
directeurs pour le plan P, alors v est un vecteur normal de P. Par consĂ©quent, la droite â est
perpendiculaire Ă ce plan.
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d.4. Le plan P est entiÚrement défini par l'un de ses points A, B ou C ainsi que par son
vecteur normal v. Il est mĂȘme l'ensemble des points M de l'espace tel que les vecteurs AM
et v soient orthogonaux. En conséquence, nous pouvons écrire :
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 3
M ; ; Les vecteurs AM 3 et 5 sont orthogonaux
1 7
AM 0 2 3 3 5 1 7 0
3 6 5 15 7 7 0 3 5 7 2 0
x
x y z y v
z
v x y z
x y z x y z
â â â â â â
â â = â â Ă + â Ă â + â Ă =
â â â + + â = â â + + =
P
Conclusion : une Ă©quation cartĂ©sienne du plan P est 3 5 7 2 0x y zâ + + = .
d.5. La premiÚre chose à vérifier est que le plan P de vecteur normal v est bien sécante,
c'est-Ă -dire non parallĂšle avec la droite ( )O; j
de vecteur directeur j
.
Calculons leur produit scalaire :
( )3 0
5 1 3 0 5 1 7 0 0 5 0 5 0
7 0
v j
â = â â = Ă + â Ă + Ă = â + = â â
Leur produit scalaire Ă©tant non nul, le vecteur normal v de P n'est orthogonal au vecteur
directeur j
de ( )Oy . Donc le plan est sécant avec l'axe des ordonnées. Le point E annoncé
par l'énoncé existe. Déterminons-en les coordonnées !
D'abord, comme le point E appartient Ă l'axe ( )O; j
, alors son abscisse et sa cote sont
nulles.
Ensuite, comme ( )EE 0; ;0y appartient également au plan P, alors les coordonnées du
premier vérifient l'équation du second.
E E E E E
E
3 5 7 2 0 3 0 5 7 0 2 0 5 2
20,4
5
x y z y y
y
â + + = â Ă â + Ă + = â â =
â = = ââ
Conclusion : le point E a pour coordonnĂ©es ( )0; 0,4;0â .
e.1. Position relative de la droite â de vecteur directeur v et du plan Q, cela signifie savoir si
la premiÚre est incluse, parallÚle distincte ou bien sécante au second.
Q ayant pour Ă©quation 9 4 77 0x y z+ â â = , l'un de ses vecteurs normaux est ( )9;4; 1n â
.
Calculons le produit scalaire de ce dernier avec le vecteur directeur v de â.
( ) ( )3 9
5 4 3 9 5 4 7 1 27 20 7 0
7 1
v n
â = â â = Ă + â Ă + Ă â = â â = â
Le directeur v de â Ă©tant orthogonal au normal n
de Q, la droite est parallĂšle au plan. Il
reste à savoir si c'est un parallélisme inclus ou strict.
La question d.1 nous a appris qu'un point de la droite â est C. D'aprĂšs sa reprĂ©sentation paramĂ©trique, un autre point de â a pour coordonnĂ©es ( )2;14; 3â .
Regardons si les coordonnées du point C vérifient l'équation du plan Q.
C C C9 4 77 9 5 4 9 4 77 45 36 4 77 0x y z+ â â = Ă + Ă â â = + â â =
Ses coordonnĂ©es en vĂ©rifiant l'Ă©quation, le point C appartient au plan Q. La droite â Ă©tant parallĂšle au plan Q et ayant l'un de ses points dans ce dernier a tous ses points dans Q.
Conclusion : la droite â est incluse dans le plan Q.
e.2. I étant le milieu du segment [AB], ses coordonnées sont données par les formules :
A B A B A BI I I
2 4 3 5 1 51 4 3
2 2 2 2 2 2
x x y y z zx y z
+ + +â + += = = â = = = = = =
e.3. La droite d est entiÚrement définie par son point I et le vecteur directeur ( )AC 3;6;3
.
( )( )
M ; ; Les vecteurs IM et AC sont colinéaires
1 3
Il existe un réel tel que IM AC soit 4 6
3 3
x y z d
x t
t t y t
z t
â â
â â = Ă
â = Ă â = Ă â = Ă
Conclusion : une représentation paramétrique de la droite d est
1 3
4 6
3 3
x t
y t t
z t
= â +
= + â = +
e.4. La premiÚre chose à vérifier est que la droite d est bien sécante au plan Q.
( )3 9
AC 6 4 3 9 6 4 3 1 27 24 3 48 0
3 1
n
â = â = Ă + Ă + Ă â = + â = â â
Le directeur AC
n'Ă©tant pas orthogonal au normal n, la droite d et le plan Q ne sont pas
parallÚles mais sécants en un point qui a été baptisé F.
Ensuite, comme F appartient à la droite d, alors il existe un réel Ft tel que
F F
F F
F F
1 3
4 6
3 3
x t
y t
z t
= â +
= + = +
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Enfin, F faisant partie du plan Q, ses coordonnées en vérifient l'équation :
( ) ( ) ( )F F F F F F
F F F
F F F
9 4 77 0 9 1 3 4 4 6 3 3 77 0
9 27 16 24 3 3 77 0
7348 73 0 48 73
48
x y z t t t
t t t
t t t
+ â â = â Ă â + + Ă + â + â =
â â + + + â â â =
â â = â = â =
Nous en concluons :
F F F73 57 73 105 73 121
1 3 4 6 3 348 16 48 8 48 16
x y z= â + Ă = = + Ă = = + Ă =
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Probabilités
Préludes improbables
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé a. Développer et réduire l'expression de la fonction :
( ) ( )52 3f x x= â
On indiquera le détail des calculs.
b. Toto est furieux : son jeu de cartes préféré qui en comptait à l'origine 32 n'en a plus que
28. Ont disparu les as de pique et de coeur, le roi de carreau et la dame de coeur.
Histoire de se calmer, Toto s'amuse à tirer au hasard et simultanément quatre cartes dans son
jeu de 28. Il constitue ainsi une main de quatre cartes.
1. Combien existe-t-il de mains possibles au total ?
2. Combien existe-t-il de mains constituées de deux as et deux dames ?
3. Combien existe-t-il de mains contenant exactement trois coeurs ?
c. Cette question est une restitution organisée des connaissances (aussi appelée question de
cours). Dans ce qui suit, A et B sont deux événements de probabilités non nulles.
1. Donner les trois égalités définissant l'indépendance des événements A et B.
2. Démontrer que si A et B sont deux événements indépendants, alors les événements
A et B le sont aussi.
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a. En utilisant la formule du binÎme de Newton, nous pouvons écrire :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
5
5 5
0
0 5 1 4 2 3
3 2 4 1 5 0
2 3
4 5
5
52 3 2 3
5 5 52 3 2 3 2 3
0 1 2
5 5 5 2 3 2 3 2 3
3 4 5
1 1 243 5 2 81 10 4 27 10 8 9
5 16 3 1 32 1
32 24
k k
k
f x x xk
x x x
x x x
x x x
x x
x
â
=
= â = Ă Ă â
= Ă Ă â + Ă Ă â + Ă Ă â
+ Ă Ă â + Ă Ă â + Ă Ă â
= Ă Ă â + Ă Ă + Ă Ă â + Ă Ă
+ Ă Ă â + Ă Ă
= â
â
4 3 20 720 1080 810 243x x x x+ â + â
b.1. Le tirage des quatre cartes étant simultané, Toto constitue des combinaisons.
Par conséquent, il existe
4 cartes Ă choisir parmi 28
28 28 27 26 2520475 mains possibles
4 1 2 3 4
= Ă Ă Ă =
b.2. Le jeu de cartes de Toto comprend deux as et trois dames.
Donc il existe
2 as 2 dames Ă Ă choisir parmi 2 choisir parmi 3
2 31 3 3 mains avec 2 as et 2 dames
2 2
Ă = Ă =
b.3. Le jeu de cartes de Toto comprend 6 coeurs et 22 autres cartes.
Donc il y a
3 coeurs Ă 1 autre carte Ă choisir parmi 6 choisir parmi 22
6 2220 22 440 mains avec exactement 3 coeurs
3 1
Ă = Ă =
c.1. Trois égalités permettent de définir l'indépendance de deux événements A et B.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
La réalisation d'un événement ne change pas
la probabilité l'autr
La probabilité de l'intersectionest le produit des probabilités
des deux événeme. e
et sont indĂ©pendants BA B p A p A p A B p A p Bâ = â â© = Ă
( ) ( )
nts.
Ap B p Bâ =
c.2. Soient A et B deux événements indépendants. Ils vérifient donc l'égalité :
( ) ( ) ( )p A B p A p Bâ© = Ă
Les événements B et B formant une partition de l'univers des possibles, il vient en
application de la formule des probabilités totales :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )1
p A p A B p A B p A p A p B p A B
p A B p A p A p B
p A p B p A p B
= â© + â© â = Ă + â©
â â© = â Ă
= Ă â = Ă
Donc les événements A et B sont indépendants.
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Nous irons tous au paradis...ou pas !
L'Ă©noncĂ©L'Ă©noncĂ©L'Ă©noncĂ©L'Ă©noncĂ© AprĂšs le temps de l'existence terrestre, vient celui du purgatoire oĂč chaque ancien vivant
saura s'il passe le reste de l'éternité en enfer ou bien au paradis.
De divines études menées depuis la nuit des temps ont établi les données suivantes :
30% du genre humain est croyant, 20% est athée et le reste est indécis.
62% des croyants et 56% des indécis vont au paradis; 23% des athées finissent en
enfer.
Le cas échéant, les probabilités calculées seront arrondies au milliÚme prÚs.
a. On rencontre au hasard un ancien vivant au purgatoire et on définit les événements
suivants :
«l'ancien vivant était un croyant»
«l'ancien vivant était un athée»
= «l'ancien vivant était indécis»
«l'ancien vivant finira au paradis»
«l'ancien vivant finira en enfer»
C
A
I
P
E
=
=
=
=
1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation d'un ancien vivant rencontré au
hasard au purgatoire.
2. Calculer la probabilité de l'événement E.
3. Les événements C et E sont-ils indépendants ? On justifiera sa réponse.
Le fait d'ĂȘtre croyant prĂ©dispose-t-il plus au paradis ?
4. On sait que l'ancien vivant rencontré ira au paradis. Calculer la probabilité qu'il fut
athée.
b. Un groupe de 14 anciens vivants ne se connaissant pas vient d'arriver au purgatoire. On
note X la variable Ă©gale au nombre de ceux-ci qui Ă©taient croyants.
1. Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X ?
Quelle est la loi de probabilité de X ? On justifiera sa réponse.
2. Déterminer la probabilité qu'exactement 5 de ces 14 anciens vivants fussent
croyants.
3. Déterminer la probabilité qu'au moins 6 de ces 14 anciens vivants fussent croyants.
c. Un autre groupe de n anciens vivants ne se connaissant pas vient d'arriver au purgatoire.
On appelle np la probabilité qu'au moins un de ces n anciens vivants fut un croyant.
1. Exprimer np en fonction de l'entier n.
2. DĂ©terminer le nombre minimal n d'anciens vivants que doit contenir le groupe pour
que la probabilité np soit supérieure à 99,99%.
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. La situation d'une personne rencontrée au hasard au purgatoire est la suivante :
a.2. Les événements C, I et A formant une partition de l'univers des possibles, il vient en
application de la formule des probabilités totales :
( ) ( ) ( ) ( )0,3 0,38 0,5 0,44 0,2 0,23 0,38
p E p E C p E I p E A= â© + â© + â©
= Ă + Ă + Ă =
a.3. D'aprÚs l'énoncé, la probabilité de l'événement E sachant que l'événement C est réalisé
est égale à 0,38. Ainsi, la réalisation de l'événement C n'altÚre pas la probabilité de
réalisation de l'événements E. Donc E et C sont indépendants.
Comme les événements E et C sont indépendants, alors les événements C et E P= le
sont aussi. Par consĂ©quent, le fait d'ĂȘtre croyant (ou pas) n'a aucune influence sur l'accĂšs au
paradis : il ne prédispose, ni n'indispose.
a.3. Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle :
( ) ( )( )
0,2 0,77 0,154 sachant 0,248
1 0,38 0,62
p A Pp A P
p P
â© Ă= = = â
â
C
A
I
0,3
0,5
0,2
OĂč finira-t-il ? Sa conviction religieuse
On rencontre un ancien vivant...
P
E
0,62
0,38
P
E
0,56
0,44
P
E
0,77
0,23
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b.1. X comptant un nombre d'individus au plus Ă©gal Ă 14, X peut prendre toutes les valeurs
entiĂšres entre 0 et 14.
Arrivant au purgatoire, chacun de 14 anciens vivants est une Ă©preuve de Bernoulli :
Les 14 anciens vivants ne se connaissant pas sont indépendants les uns des autres. Par
conséquent, ils forment un schéma de Bernoulli de 14 épreuves précédentes.
Par conséquent, la variable aléatoire X qui compte le nombre de croyants parmi les 14
anciens vivants suit la loi binomiale ( )14;0,3B .
b.2. Il s'agit de calculer la probabilité :
( ) 5 9 5 9145 0,3 0,7 2002 0,3 0,7 0,196
5p X
= = Ă Ă = Ă Ă â
Cette probabilité peut aussi se calculer directement avec la fonction dédiée de la calculatrice.
b.3. Il s'agit de calculer la probabilité :
( ) ( ) ( )6 1 6 1 5 1 0,781 0,219p X p X p Xâ„ = â < = â †â â =
...en utilisant l'événement contraire et la fonction «cumul binomial» de la calculatrice.
c.1. La situation est similaire à celle décrite dans les questions b sauf que la variable
aléatoire X suit désormais la loi binomiale ( );0,3B n .
La probabilité np est donnée par :
( )( ) ( )
0
1
1 1 1 0
1 0,3 0,7 1 1 1 0,7 1 0,70
n
n n n
p p X
p X p X
n
= â„
= â < = â =
= â Ă Ă = â Ă Ă = â
c.2. On cherche la valeur de n pour laquelle :
( )( )
] [( ) ( )
( ) ( )( )
11
ln
Croissantesur 0;
ln 0,7
qui est négatif
1 99,99% 0,9999 1 0,7 0,9999
0,7 0,0001 0,7 0,0001
ln 0,7 ln 0,0001
ln 0,000125,82
ln 0,7
nn
n n
p X p
n
n
Ă ââ
+â
Ă·
â„ > â > â â >
â > â <
Ă
â â
â
â
<
> â
Conclusion : pour que la probabilité qu'il y ait au moins un croyant dans le groupe soit
supérieure à 99,99%, il faut qu'il y ait au moins 26 personnes dans ce dernier.
L'improbable vie continue de Toto
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé a. Le cours de mathématiques vient de débuter et Toto est au tableau. Il a à résoudre un
exercice oĂč il est question d'une variable alĂ©atoire continue X prenant ses valeurs dans et
qui est uniformĂ©ment distribuĂ©e sur l'intervalle [ ]27; 7â â .
1. Donner l'expression de la densité de probabilité f de la loi de probabilité de X.
2. Calculer la probabilitĂ© que X appartienne Ă l'intervalle [ [30; 15â â .
3. Donner l'espérance mathématique ( )E X .
b. C'est enfin la pause et Toto va pouvoir jouer à son jeu vidéo préféré sur son téléphone
portable. On appelle S la variable aléatoire continue égale au score (au nombre de points)
que fait un joueur au cours d'une partie de ce jeu.
Des Ă©tudes ont montrĂ© que cette variable alĂ©atoire S qui prend ses valeurs dans [ [0;+â suit
une loi exponentielle de paramÚtre λ. 1. Rappeler la densité de probabilité de la loi de probabilité de S.
DĂ©montrer que [ ]( ) 10000;1000 1p S e
â λâ = â .
2. On sait qu'exactement 50% des parties se terminent avec un score S inférieur ou
Ă©gal Ă 1000 points.
Déterminer la valeur exacte du paramÚtre λ.
Dans la suite de cette partie, nous supposerons que 0,000693λ = . Les probabilités
retournées seront arrondies au milliÚme prÚs.
3. Calculer la probabilité que Toto dépasse les 2000 points à l'occasion d'une partie.
4. Toto est excité comme jamais ! Il vient de franchir le cap des 2000 points.
Calculer la probabilité qu'il ne dépasse pas les 3000 points lors de la partie en
cours.
5. Calculer l'espérance mathématiques ( )E S .
Quelle est la signification de cette grandeur pour Toto ?
6. Au cours d'une pause particuliÚrement longue, Toto réussit à faire 9 parties de
suite qui sont indépendantes les unes des autres. A la fin de chaque partie, le score
est remis à zéro.
Calculer la probabilité que, sur au moins 4 parties, son score dépasse les 2000
points.
c. Il est midi ! Et à midi, c'est ravioli à la cantine du lycée ! Ils sont conditionnés en
barquettes de 275 grammes par la machine de la cuisine centrale. Sauf que la machine Ă©tant
imparfaite, ces barquettes pĂšsent environ 275 grammes.
On appelle M la masse exprimée en grammes d'une barquette servie à la cantine.
La variable aléatoire continue M suit la loi normale d'espérance mathématique 275 et d'écart-
type 7.
Oui (SuccĂšs)
Non (Echec)
0,3
L'ancien vivant Ă©tait-il croyant ? 0,7
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Les probabilités demandées seront arrondies au milliÚme prÚs.
1. Calculer la probabilité qu'une barquette de ravioli servie à la cantine ait une masse
comprise entre 260 et 278 grammes.
2. On sait qu'une barquette pÚse plus de 280 grammes. Calculer la probabilité qu'elle
pĂšse moins de 290 grammes.
3. Sur les barquettes de la cuisine centrale, il est indiqué qu'exactement 77% des
barquettes contiennent plus de m grammes de ravioli.
Déterminer cette masse minimale m au dixiÚme de gramme prÚs par défaut.
d. Le déjeuner passé, Toto entame sa sieste quotidienne de début d'aprÚs-midi qui dure entre
une et deux heures. On appelle D la variable aléatoire continue égale à la durée exprimée en
heures de la sieste de Toto.
D prend ses valeurs dans l'intervalle [ ]1;2 et sa loi de probabilité a pour densité la fonction
( ) 2
2
10,6 0,6f t t t
t= Ă â Ă + .
1. DĂ©terminer une expression d'une primitive F de la fonction f sur
l'intervalle ] [0;+â .
2. Démontrer que la fonction f est bien une densité de probabilité sur
l'intervalle [ ]1;2 .
3. Déterminer une valeur approchée au milliÚme-prÚs de la probabilité que la sieste
de Toto dure entre 1 heure 20 et 1 heure 40.
4. Calculer l'espérance mathématique ( )E D . On donnera d'abord la valeur exacte,
puis une valeur approchée au centiÚme prÚs.
Conclure.
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. D'aprÚs un résultat du cours, la densité de probabilité de la loi de probabilité de la
variable X est la fonction f définie sur par :
( )( ) ( )
[ ]
( ) ] [ ] [
1 10,05 si 27; 7
7 27 20
0 si ; 27 7;
f t t
f t t
= = = â â ââ â â
= â ââ â âȘ â +â
a.2. Il s'agit de calculer la probabilité :
[ [( ) [ [( ) [ [( )( ) ( )( ) ( )
30; 15 30; 27 27; 15
15 27 120 0,6
7 27 20
p X p X p Xâ â â = â â â + â â â
â â â= + = =
â â â
a.3. La variable aléatoire continue X étant uniformément distribuée, son espérance
mathématique ( )E X est donnée par la formule :
( ) ( ) ( )27 7 3417
2 2E X
â + â â= = = â
b.1. La densitĂ© de probabilitĂ© de la loi exponentielle de paramĂštre λ suivie par par la variable alĂ©atoire continue S est la fonction f dĂ©finie sur l'intervalle [ [0;+â par :
( ) tf t eâλ= λ
La probabilité demandée est donnée par l'intégrale :
[ ]( )
( ) ( )
1000
0
10001000 0 1000 0 1000
0
0;1000
1
t
t
p S e dt
e e e e e e
âλ
âλ âλà âλà â λ â λ
â = λ
= â = â â â = â + = â
â«
b.2. La probabilitĂ© que la variable alĂ©atoire S appartienne Ă l'intervalle [ ]0;1000 est Ă©gale Ă
0,5. Ce fait nous amÚne à résoudre l'équation suivante d'inconnue λ :
[ ]( )( )
( ) ( )
1000
1000 Ln
0;1000 0,5 1 0,5
0,5 1000 ln 0,5
ln 2 ln 20,000693
1000 1000
p S e
e
â λ
â λ â
â = â â = â
â = â λ =
ââ λ = = â
â
b.3. En utilisant les formules vues dans le cours, il s'agit de calculer la probabilité :
( ) 2000 1,3862000 0,250p S e eâ Ăλ ââ„ = = â
b.4. Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle :
( ) ( )( )
[ [( )( )
2000 3000 1,386
1,386
3000 et 20003000 sachant 2000
2000
2000;3000
2000
p S Sp S S
p S
p S
p S
e e e
e
â λ â λ â
â
< â„< â„ =
â„
â=
â„
â= =
1,386e
â
2,079
1,386
0,6931 0,500
e
e
e
â
â
â
â
= â â
Ce résultat était prévisible du fait que la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans
vieillissement.
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b.5. S suivant une loi exponentielle de paramÚtre 0,000693λ = , son espérance
mathématique est donnée par la formule :
( ) 11443 pointsE S = â
λ
Il s'agit là du score moyen que peut espérer faire Toto sur un trÚs grand nombre de parties.
b.6. Chaque partie est pour Toto une Ă©preuve de Bernoulli :
Les neuf parties qui sont indépendantes les unes des autres, forment un schéma de Bernoulli.
Par suite, la variable aléatoire N qui compte le nombre de succÚs au cours des 9 épreuves suit
la loi binomiale ( )9;0,25B .
La probabilité qui nous est demandée est :
( ) ( ) ( )
On va chercher l'événement contraire pour utiliserla fonction de cumul binomial de la calculatrice
4 1 4 1 3 1 0,834 0,166p N p N p Nâ„ = â < = â †â â =
c.1. Avec la fonction ad-hoc de la calculatrice, il s'agit de calculer la probabilité :
[ ]( )260;278 0,650p M â â
c.2. Il s'agit la probabilité conditionnelle :
( ) ( )( )[ ]( )
( )
290 et 280290 sachant 280
280
280;290 0,22150,932
280 0,2375
p M Mp M M
p M
p M
p S
†â„†℠=
â„
â= â â
â„
c.3. On cherche la valeur de m pour laquelle :
( ) ( )En utilisant la fonction d'inversion de la loi normale de la calculatrice
0,77 1 0,77 0,23 269,8 grammesp X m p X m mâ„ = â < = â = â â
d.1. Une primitive sur l'intervalle ] [0;+â de la fonction ( ) 2
2
10,6 0,6f t t t
t= Ă â Ă + est la
fonction ( )3 2
3 21 10,6 0,6 0, 2 0,3
3 2
t tF t t t
t t= Ă â Ă â = â â
d.2. La fonction f est une densité de probabilité sur l'intervalle [ ]1;2 car :
f est dĂ©finie et dĂ©rivable donc continue sur ] [0;+â sur l'intervalle [ ]1;2 .
f est strictement positive sur l'intervalle [ ]1;2 car ( ) ( )
ou 0car 1
ou 0
2
10,6 1
t
f t t tt
â„
= Ă â +
â
ââ
â
.
C'est une somme de termes positifs dont l'un l'est strictement.
L'intégrale sous la courbe de f prise sur l'intervalle [ ]1;2 vaut 1.
( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
2
1;2 1
3 2 3 2
2
1
2 1
1 10,2 2 0,3 2 0,2 1 0,3 1
2 1
1,6 1,2 0,5 0,2 0,3 1
0,1 1,1 1
f t dt f t dt F t
F F
= =
= â
= Ă â Ă â â Ă â Ă â
= â â â â â
= â â â =
â« â«
d.3. Un tiers d'une heure représentant 20 minutes, 1 heure 20 représente 4
3 d'heure
et 1 heure 40 en vaut 5
3. Donc, il s'agit de calculer la probabilité :
( ) ( )
0,5074 0,809
5/3 5/3
4/34/3
3 2 3 2
2
4 5;
3 3
5 4
3 3
5 5 1 4 4 10,2 0,3 0,2 0,3
3 3 5 / 3 3 3 4 / 3
p D f t dt F t
F F
â â
â = =
= â
= Ă â Ă â â Ă â Ă â
â«
1630,302
540= â
Conclusion : la probabilité que Toto dorme entre 1 heure 20 et 1 heure 40 est de 0,302.
d.4. L'espérance de la variable aléatoire D est donnée par la formule :
( ) ( )2 2
3 2
1 1
10,6 0,6E S t f t dt t t dt
t
= Ă = Ă â Ă + â« â«
Oui (SuccĂšs)
Non (Echec)
0,25
Va-t-il dépasser les 2000 points au cours de la partie ? 0,75
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Or, une primitive de ( ) 3 2 10,6 0,6g t t t
t= Ă â Ă + sur l'intervalle ] [0;+â est la fonction :
( ) ( ) ( )4 3
4 30,6 0,6 ln 0,15 0,2 ln
4 3
t tG t t t t t= Ă â Ă + = â + .
Il vient alors :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )
22
11
4 3 4 3
2 1
0,15 2 0,2 2 ln 2 0,15 1 0,2 1 ln 1
2,4 1,6 ln 2 0,15 0,2 0 0,85 ln 2 1,543 heures
E D g t dt G t
G G
= =
= â
= Ă â Ă + â Ă â Ă +
= â + â â + = + â
â«
Conclusion : à chaque sieste, Toto peut espérer dormir un peu moins d'une heure et 33
minutes...en moyenne.
Toc toc badaboum !
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé a. La Blancoise des farces et attrapes vient de lancer la production d'un nouveau type de
bombe atomique : la Tookipait. Chacune de ses armes doit délivrer une puissance d'environ
127kt (comprenez kilotonnes, c'est-Ă -dire la puissance Ă©quivalente Ă 127 000 tonnes de
TNT).
On appelle X la puissance exprimée en kilotonnes délivrée par une bombe Tookipait. Des
études ont montré que la variable aléatoire continue X suivait la loi normale d'espérance 127
et d'Ă©cart-type 7,5.
1. Calculer la probabilité qu'une bombe délivre une puissance comprise entre 125 et
130 kilotonnes. On arrondira le résultat au milliÚme prÚs.
2. DĂ©terminer le rĂ©el positif a pour lequel [ ]( )127 ;127 0,6P X a aâ â + = . La valeur
de a retournée sera arrondie au dixiÚme prÚs.
Quelle est la signification de ce résultat ?
b. La compagnie commercialise un autre modĂšle de bombe : la Padreugray. La puissance Y
exprimée en kilotonnes délivrée par cette bombe est une variable aléatoire continue suivant
la loi normale d'espĂ©rance 255 kt” = mais d'Ă©cart-type Ï inconnu.
On appelle Z la variable aléatoire définie par : 255Y
Zâ
=Ï
.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire Z ?
2. On sait que ( )260 0,7P Y †= . DĂ©terminer l'Ă©cart-type Ï. On donnera une valeur
approchée au dixiÚme prÚs.
c. Le président de la Blancoise des farces et attrapes affirme que les deux tiers de ses clients
sont des femmes. Pour corroborer cette affirmation, un institut d'études d'opinion a réalisé un
sondage sur un Ă©chantillon de 783 clients de la compagnie choisis au hasard.
On appelle f la fréquence observée sur cet échantillon
1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence
f. On écrira les formules adéquates et on arrondira ses bornes au milliÚme prÚs.
2. L'institut a compté qu'il y avait 503 femmes dans l'échantillon de 783 clients.
Au regard de ce résultat, peut-on considérer, au seuil de 95%, que l'affirmation du
président de la compagnie est fondée ?
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d. Tous les ans, l'institut d'Ă©tudes d'opinion rĂ©alise une enquĂȘte de satisfaction sur les clients
de la Blancoise des farces et attrapes.
En mai 2014, elle avait interrogé 527 clients pris au hasard et 347 s'étaient déclarés
satisfaits par les produits de la compagnie.
En mai 2015, elle a interrogé 389 clients toujours choisis au hasard et 290 d'entre
eux ont dĂ©clarĂ©s ĂȘtre satisfaits par les produits de la compagnie.
1. On considĂšre que toutes les conditions requises pour pouvoir parler d'intervalles de
confiance au seuil de 95 % sont réunies.
DĂ©terminer pour chaque Ă©chantillon un intervalle de confiance au seuil de 95% de
la proportion de clients satisfaits. Les bornes seront arrondies au milliĂšme prĂšs.
2. Ces intervalles de confiance permettent-ils, au niveau de confiance 0,95, de
considérer que les clients ont été plus satisfaits en mai 2015 qu'en mai 2014.
3. La Blancoise des farces et attrapes souhaite obtenir un intervalle de confiance au
seuil de 95% dont la longueur serait inférieure à 0,02. Combien l'échantillon
constitué doit-il alors compter de clients ?
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a.1. En utilisant la fonction ad hoc de la calculatrice, la probabilité qu'une bombe délivre
entre 125 et 130 kilotonnes est donnée par :
[ ]( )125;130 0,261P X â â
a.2. La densitĂ© de probabilitĂ© de la loi normale ( )127;7,5N Ă©tant symĂ©trique par rapport Ă
la droite verticale d'Ă©quation 127x = , nous avons que :
[ ]( ) [ ]( )127 ;127 2 127;127P X a a P X aâ â + = Ă â +
A partir de là , nous cherchons le réel positif a pour lequel :
[ ]( ) [ ]( )[ ]( )
( ) [ ]( )( )
( )avec 127 et 7,5
127
127 ;127 0,6 2 127;127 0,6
127;127 0,3
127;127 0,3
127 0,8
127 InversionNormale 0,8 133
0,
,3
6
5
,3
P X a a P X a
P X a
P X a
P X
P X
a
a
a
”= Ï=
â â + = â Ă â + =
â â + =
â â + =
â †+ =
â + = â
â â
< + +
Conclusion : il y a 60% de chance que la puissance délivrée par une bombe Tookipait se
trouve entre 120,7 et 133,3 kilotonnes.
b.1. Par dĂ©finition, si la variable alĂ©atoire Y suit la loi normale ( )2255;ÏN , alors la variable
aléatoire centrée réduite Z suit la loi normale centrée réduite ( )0;1N .
b.2. Nous avons l'Ă©quivalence :
255
255
255 5260 255 5
YY Y Z
â Ă·Ï
+ ĂÏâ ââ â
â†â †= â€
Ï
Ï
Ainsi, vient-il :
( ) ( )
avec pour espérance 0 et écart-type 1
5 5260 0,7 0,7 InversionNormale 0,7 0,524P Y P Z
†= â †= â = â Ï Ï
Nous en concluons que l'Ă©cart-type Ï est Ă©gal Ă 5
9,50,524
â
c.1. D'abord, remarquons que toutes les conditions pour parler d'intervalle de fluctuation sont
remplies :
( )
783 30
2783 522 5
3
11 783 261 5
3
n
n p
n p
= â„
Ă = Ă = â„
Ă â = Ă = â„
Ensuite, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence f a pour
bornes : ( )
( )
1 2 1/ 3 2 / 3Borne inférieure 1,96 1,96 0,634
3 783
1 2 1/ 3 2 / 3Borne supérieure 1,96 1,96 0,700
3 783
p pp
n
p pp
n
Ă â Ă= â Ă = â Ă â
Ă â Ă= + Ă = + Ă â
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est [ ]0,634;0,700
c.2. La fréquence f de femmes observée sur l'échantillon est égale à 503
0,642783
f = â .
Cette derniÚre n'appartenant pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique précédent, on peut
considérer que l'affirmation du président de la compagnie est fondée au seuil de risque 5%
d.1. La fréquence de clients satisfaits observée sur l'échantillon mai 2014 est :
14347
0,658527
f = â
La proportion 14p de clients satisfaits en 2014 appartient avec une probabilité d'au moins
95% Ă l'intervalle de confiance qu'est [ ]
En minorant la borne inf
14 1414
,en majorant la borne s
14
up.1 1
; 0,614;0,703f fn n
â + =
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La fréquence de clients satisfaits observée sur l'échantillon mai 2015 est :
15290
0,746389
f = â
La proportion 15p de clients satisfaits en 2015 appartient avec une probabilité d'au moins
95% Ă l'intervalle de confiance qu'est [ ]15 1515 15
1 1; 0,694;0,797f f
n n
â + =
d.2. Les deux intervalles de confiance se chevauchant, il n'est pas exclu que la proportion
15p soit inférieure ou égale à la proportion 14p . Par conséquent, on ne peut pas déduire des
résultats précédents que les clients étaient plus satisfaits en mai 2015 qu'en mai 2014.
d.3. La longueur d'un intervalle de confiance au seuil de 95% se rapportant Ă un Ă©chantillon
de n individus est Ă©gale Ă 2
n.
On veut savoir pour quelles valeurs de n on a :
] [
] [
Inverse 2
DĂ©croissantesur 0;
Carré
Croissantesur 0
2
;
2 1 20,02 100
2 0,02 0,02
100 10000
nn
n
n
Ă
+â
+â
â â
†℠℠=
â„ =â
Conclusion : pour que l'intervalle de confiance au seuil de 95% ait une longueur au plus
Ă©gale Ă 0,02, il faut que l'Ă©chantillon compte au moins 10000 individus.
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Suites
Harry MĂ©tik vs. Jay O'Maytrick
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé La suite ( )nu est définie par récurrence par :
0
1
2
42 pour tout entier naturel
11n n
u
u u n+
=
= Ă â
a. Sur le graphique ci-contre, construire sur l'axe des abscisses ( )Ox Ă la seule rĂšgle et sans
calculs les quatre premiers termes 0 1 2 3u u u u de la suite ( )nu .
b. Démontrer par récurrence sur l'entier naturel n la propriété :
1: 4 3n n nP u u+â †< â€
Que peut-on en déduire quant à la suite ( )nu ? On justifiera sa réponse.
c. On appelle ( )na la suite définie pour tout entier naturel n par :
22
7n na u= +
1. Démontrer que la suite ( )na est géométrique de raison 4
11.
2. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : 36 4 22
7 11 7
n
nu = Ă â
3. En déduire la limite de la suite ( )nu .
d. On considĂšre l'algorithme suivant :
L'entier n vaut 0 et le réel u est égal à 2
Tant que u > -3,14
n prend la valeur n+1
4u prend la valeur Ău-2
11
En sortie, afficher la valeur de n
Que permet de faire cet algorithme ? Quelle est la valeur de n affichée à son issue ?
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
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Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé
a. On passe d'un terme de la suite au suivant en appliquant la fonction ( ) 42
11f x x= â .
( ) ( )0 1 0 2 14
211
f f fn n n nu u f u u u u u f u+â â ââ= = =⊠âŠ
Afin d'effectuer la construction, on trace préalablement deux droites : la premiÚre est la
courbe ( )C représentant la fonction f; la seconde qui est la premiÚre bissectrice du plan a
pour Ă©quation y x= .
On place 0u sur l'axe des abscisses. Se projetant verticalement sur la courbe ( )C , le point
rencontré a pour coordonnées ( )( )0 0 1;u f u u= . On ramÚne cette ordonnée 1u sur l'axe des
abscisses en se projetant horizontalement sur la premiĂšre bissectrice du plan. On aboutit
alors au point de coordonnées ( )1 1;u u .
Pour obtenir 2u , on recommence le processus Ă repartant de 1u .
b. Démontrons par récurrence sur l'entier naturel n la propriété :
1: 4 3n n nP u u+â †< †.
Au premier rang pour 0n = , la propriété 0P est-elle vraie ?
Nous avons 0
1
2
4 4 8 22 142 2 2
11 11 11 11 11n
u
u u
=
= â = Ă â = â = â
Ayant bien 1 04 3u uâ †< †, la propriĂ©tĂ© 0P est donc vraie.
Le principe de récurrence ou de propagation ou, hérédité
Supposons que la propriété kP soit vraie jusqu'à un certain entier n.
La propriété 1nP + est-elle alors vraie ?
Comme la propriété nP est (supposée) vraie, alors nous pouvons écrire :
2 1
4
111 1
12
16 4 4 124 3
11 11 11 11
38 4 4 102 2
11 11 11 11
n n
n n n n
n n
u u
u u u u
u u
+ +
Ă
â
+ +
+
â †< †â †à < Ă â€
â †à â < Ă â
â
†ââ
Comme 38 44
411 11
ââ > = â et
103
11â < , alors finalement 2 14 3n nu u+ +â †< †.
Donc la propriété 1nP + est alors vraie. Le principe de récurrence est établi.
La propriĂ©tĂ© qui vient d'ĂȘtre Ă©tablie a deux consĂ©quences :
( )( )
1Pour tout entier , est strictement décroissante.
Pour tout entier , 4 est minorée par 4
n n n
n n
n u u u
n u u
+> â
â„ â â â
Conclusion : la suite ( )nu étant décroissante et minorée, elle est convergente.
c.1/2. Pour tout entier naturel n, nous pouvons Ă©crire :
1
1 122
7
4 22 4 14 22 4 82
11 7 11 7 7 11 7
4 22 8 4 4
11 7 7 11 11
n
n
n n
n n n
n n
u
u
a u
u u u
a a
+
+ += +
= Ă â + = Ă â + = Ă +
= Ă â + = Ă â
2 11ĂĂ
8 4 8 8 4
7 7 11 7 7 11n na a+ = Ă â + = Ă
x
y
( )C
y x=
-4 -3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
u0 u1 u2 u3
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Donc la suite ( )na est géométrique de raison 4
11q = et de premier terme :
0 022 22 14 22 36
27 7 7 7 7
a u= + = + = + =
Par conséquent, le terme général de la suite annexe ( )na est donnée par :
036 4
7 11
nn
na a q = Ă = Ă
Nous en déduisons :
22 22 36 4 22
7 7 7 11 7
n
n n n na u u a = + â = â = Ă â
c.3. Nous pouvons Ă©crire :
] [0;1
36 4 22 36 22 22 22lim lim 0 0
7 11 7 7 7 7 7
q
n
nn n
u+ +
â+â â+
â
â
= Ă â = Ă â = â = â
d. L'algorithme proposé calcule successivement tous les termes de la suite ( )nu jusqu'à ce
qu'ils deviennent infĂ©rieurs ou Ă©gaux Ă 3,14â .
En utilisant la calculatrice (tableau de valeurs de la suite ou calcul successif de tous ses
termes), on détermine que la variable u qui est aussi le terme nu devient inférieure ou égale
Ă 3,14â Ă partir de 8n = .
Tiercé gagnant...ou pas
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Cet exercice est constitué de trois sous-parties indépendantes.
a. La suite ( )nu est arithmétique et est telle que 100
250
37
59
u
u
=
=
Calculer la somme de termes consécutifs
( )Somme de tous les termes
de la suite entre les rangs 100 et
100 101 1
1000
02 1000
nu
S u u u u= + + + +
âŠ
b. Déterminer la limite de suite ( )nu définie pour entier strictement positif n par :
( )35 2
n
n n nu
â=
â
c. La suite ( )nu est définie pour tout entier strictement positif n par :
( )
( )
sin1
1 ln
n
ne
un
â=
+
1. DĂ©montrer que, pour tout entier strictement positif n, on a :
( ) ( )
11
1
1 ln 1 lnn
e eun n
ââ†â€
+ +
2. En déduire la limite de la suite ( )nu .
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé a. La somme des 901 termes consécutifs de la suite arithmétique ( )nu est donnée par la
formule :
Somme de 901 termes cons
100 100010
Ă©cutifs
0 101 102 1000 9012
u uS u u u u
+= + + + + = Ă
âŠ
L'obtention de la valeur du terme 1000u passe par la connaissance de la raison r de la suite.
Cette derniÚre vérifie l'égalité :
( )250 100 250 100 59 37 150 150 22
22 11
150 75
u u r r r
r
= + â Ă â = + Ă â Ă =
â = =
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Le terme 1000u est alors donné par l'égalité :
( )1000 10011
1000 100 37 900 37 132 16975
u u r= + â Ă = + Ă = + =
Finalement, nous en concluons Ă propos de la somme S :
100 1000 37 169 206901 901 901 92803
2 2 2
u uS
+ += Ă = Ă = Ă =
b. De prime abord, nous pouvons Ă©crire :
( )( ) ( )
3lim lim
5 2
n
n n nn nu
â+â â+â
â= = =
+â â +ââ
no limite ???no limite ???no limite ???no limite ???
Forme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminéeForme indéterminée
Pour lever cette indétermination, nous allons juste factoriser le dénominateur par son terme
nous semblant plus fort : 5n .
Pour tout entier strictement positif n, nous avons :
( ) ( )3 3 1 3 1 10 0
55 2 5 2 1 021 1
55
n n n
n n n n n n n
n
u+â+â
â â = = Ă = â Ă Ă = â â â â
â
c.1. Pour tout entier strictement positif n, nous pouvons Ă©crire :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( )( ) ( )
sin sin1 1
si
1Exponentielle
Croissante qui estsur négatif
1
1 ln
qui est positif
n
11 sin 1
11 1 1
11
1
1 ln 1 ln
n
n
n
n
n
n e e e e ee
e ee
e eun n
â Ă â
+
Ă· +
â â
â
â ††††â â„ â â„ â
⠆⠆+
ââ†â€â
+
+
c.2. DĂ©terminons les limites des suites constituant les membres de gauche et de droite de
notre encadrement.
( ) ( )
( ) ( )
1 réel négatif réel négatifA gauche : lim 0
1 ln 1
11
réel positif réel positifA droite : lim 0
1 ln 1
n
n
e
n
e
n
â
â+â
+
â+â
â= = =
+ + +â +â
â= = =
+ + +â +â
Etant encadré par deux suites tendant vers 0, la suite ( )nu tend elle aussi vers 0 en
application du «théorÚme des gendarmes».
Massacre à la suiteçonneuse
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé La suite ( )nu est définie par récurrence par :
0
1
2
7pour tout entier naturel
1
nn
n
u
uu n
u+
=
=+
a. Sur le graphique ci-dessous oĂč l'on a tracĂ© en rouge la courbe d'Ă©quation 7
1
xy
x=
+,
construire Ă la seule rĂšgle sur l'axe des abscisses ( )Ox les quatre premiers termes
0 1 2 3u u u u de la suite ( )nu .
x
y
0 1 2 3 4 5 6 7 0
1
2
3
4
5
6
7
7
1
xy
x=
+
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b. Dans les trois algorithmes suivants, les variables i et n sont deux entiers naturels alors que
la variable u est un réel.
Dans ces trois algorithmes, on demande Ă l'utilisateur de donner une valeur Ă l'entier n en
entrée. Mais seulement deux de ces trois algorithmes calculent et affichent en sortie
d'exécution la valeur du terme nu .
Algorithme premier Algorithme deuxiĂšme Algorithme troisiĂšme Demander n
i=0
u = 2
Tant que i< n
i= i+1
7uu =
1+u
Afficher u
Demander n
u = 2
Pour i =0 jusqu'Ă n
7u u =
1+u
Afficher u
Demander n
u = 2
Pour i =1 jusqu'Ă n
7u u =
1+u
Afficher u
Parmi les trois algorithmes précédents, lequel ne calcule pas et n'affiche pas en sortie
d'exécution la valeur du terme nu ? On expliquera son choix.
c. Dans ces questions, on s'intéresse à l'éventuelle convergence de la suite ( )nu .
1. DĂ©terminer deux rĂ©els a et b tels que pour tout rĂ©el 1x â â , on ait :
7
1 1
x ba
x x= +
+ +
2. Démontrer par récurrence sur l'entier naturel n la propriété :
1: 0 7n n nP u u +†< â€
3. Justifier que la suite ( )nu est convergente.
d. On appelle ( )na la suite définie pour tout entier naturel n par :
2
6
nn
n
ua
u=
â
4. Calculer 0a .
5. Démontrer que la suite ( )na est géométrique de raison 7.
6. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : 6 7
7 2
n
n nu
Ă=
+
7. En déduire la limite de la suite ( )nu .
Le corLe corLe corLe corrigérigérigérigé
a. On passe d'un terme de la suite au suivant en appliquant la fonction ( ) 7
1
xf x
x=
+.
( ) ( )0 1 0 2 17
1
f f f nn n n
n
uu u f u u u u f u
u+= = =
+â â â⊠âŠ
Afin d'effectuer la construction, on trace préalablement la premiÚre bissectrice du plan qui
est la droite ayant pour Ă©quation y x= .
On place 0u sur l'axe des abscisses. Se projetant verticalement sur la courbe ( )C , le point
rencontré a pour coordonnées ( )( )0 0 1;u f u u= . On ramÚne cette ordonnée 1u sur l'axe des
abscisses en se projetant horizontalement sur la premiĂšre bissectrice du plan. On aboutit
alors au point de coordonnées ( )1 1;u u . Une projection verticale de ce dernier point sur l'axe
des abscisses permet de construire le terme 1u sur ce dernier axe.
x
y y x=
0 1 2 3 4 5 6 7 0
1
2
3
4
5
6
7
u0 u1 u2 u3
7
1
xy
x=
+
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b. Pour calculer le terme de rang n partant du terme de rang 0, il faut itérer n fois la formule
de récurrence 17
1
nn
n
uu
u+ =
+.
Dans le premier algorithme, la variable i prend successivement toutes les valeurs entiĂšres
entre 0 et 1n â car i progresse d'une unitĂ© Ă chaque boucle Tant que et doit demeurer
strictement inférieur à n. La formule de récurrence est appliquée à n reprises. Cet algorithme
calcule le terme de rang n de la suite
Dans le deuxiĂšme algorithme, la variable i doit prendre toutes valeurs entiĂšres entre 0 et n.
Donc la boucle Pour effectue 1n + itérations de la formule de récurrence 17
1
nn
n
uu
u+ =
+.
Une de trop ! Ce deuxiĂšme algorithme calcule la valeur du terme de rang 1n + .
A contrario, dans le troisiĂšme algorithme, la variable i prend bien n valeurs de 1 Ă i. Celui-ci
calcule donc bien le terme de rang n de la suite
Une autre façon de voir ce qui foire :Une autre façon de voir ce qui foire :Une autre façon de voir ce qui foire :Une autre façon de voir ce qui foire : pour mieux se rendre compte de qui fait quoi, on
peut aussi exécuter les algorithmes en prenant une petite valeur de n comme 1 ou 2.
Prenons 2n = . Un bon algorithme doit retourner 2 98 /17u =
Algorithme premier Algorithme deuxiĂšme Algorithme troisiĂšme n=2 i=0 u=2 0u=
TQ: comme i<2, boucle
1
1
u
=
=
i = i+1
u = 7u/(1+u)
TQ: comme i<2, boucle
2
2
u
=
=
i = i+1
u = 7u/(1+u)
TQ: comme i=2, break! La valeur finale de u est bien
Ă©gale Ă 2u
n=2 u=2 0u=
Pour i=0 jusqu'Ă 2
1u=u = 7u/(1+u)
Pour i=1
2u=u = 7u/(1+u)
Pour i=2
3u=u = 7u/(1+u)
La valeur finale de u est
Ă©gale Ă 3u
n=2 u=2 0u=
Pour i=1 jusqu'Ă 2
1u=u = 7u/(1+u)
Pour i=2
2u=u = 7u/(1+u)
La valeur finale de u est
bien Ă©gale Ă 2u
Le mauvais algorithme est bien le deuxiĂšme : il effectue une boucle en trop.
c.1. Pour tout rĂ©el 1x â â , nous pouvons Ă©crire :
( ) ( )7
7 17 1 77
1 1
x
xxx
x x
Ă +Ă + â= =
+ +
1 x+
7 77
1 1x x
â+ = â
+ +
Conclusion : pour tout entier naturel n, nous avons : 17
71
nn
uu
+ = â+
c.2. DĂ©montrons par rĂ©currence sur l'entier naturel n la propriĂ©tĂ© 1: 0 7n n nP u u +†< â€
Au premier rang pour 0n = , la propriété 0P est-elle vraie ?
Nous avons 0
01
0
2
7 7 2 14
1 1 2 3
21
3
u
uu
u
=
Ă= = <=
+ +
Comme nous avons 0 10 7u u†< †, alors la propriété 0P est donc vraie.
Le principe de récurrence ou de propagation ou hérédité
Supposons que la propriété kP soit vraie jusqu'à un certain entier n.
La propriété 1nP + est-elle alors vraie ?
Comme la propriété nP est (supposée) vraie, alors nous pouvons écrire :
] [
( )
1 1
1
Inverse
DĂ©croissantesur 0;
7
7
1
1
1
1
1
0 7 1 1 1 8
1 1 1 1
1 1 1 8
7 7 77
1 1 8
7 70 7 7
1 1
n nu
n n n n
n n
n n
n n
u
u u u u
u u
u u
u u
+ +
+
+
+ +
+
+
Ă
+
â
â
+
†< ††+ < + â€
â„ > â„+ +
â ââ †< †â
+ +
†â < â+
â
â
â
â+
777
8†+ â€â
Donc la propriété 1nP + est alors vraie. Le principe de récurrence est établi.
c.3. D'aprÚs ce qui précÚde :
( )( )
1Pour tout entier , est strictement croissante.
Pour tout entier , 7 est majorée par 7
n n n
n n
n u u u
n u u
+< â
†â
Conclusion : la suite ( )nu étant croissante et majorée, elle converge.
d.1. Calculons 00
0
2 2 2 41
6 6 2 4
ua
u
Ă Ă= = = =
â â
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d.2. Pour tout entier naturel n, nous pouvons Ă©crire :
( )1
11
147 142
12 1 1
7 6 766
1 1
1
nn n
nn n nn
n nn
n n
n
uu u
uu u ua
u uu
u u
u+
++
Ă++ +
= = = =â
+ +
+ ââ Ă 6
1
n
n
u
u
â
+
14 7 2 27 7
6 6 6
n n nn
n n n
u u ua
u u u
Ă= = = Ă = Ă
â â â
Donc la suite ( )na est géométrique de raison 7q = et de premier terme 0 1a = .
Par conséquent, pour tout entier naturel n, il vient :
0 1 7 7n n nna a q= Ă = Ă =
d.3. Connaissant l'expression de na en fonction de n, nous allons pouvoir déterminer celle
du nu . Pour tout entier naturel n, nous pouvons Ă©crire :
( )
( )
27 6 2 6 7 7 2
6
2 7 6 7 2 7 6 7
6 7
7 2
n n nnn n n n n
n
n n n nn n n
n
n n
ua u u u u
u
u u u
u
= â Ă â = â Ă â Ă =â
â Ă + Ă = Ă â Ă + = Ă
Ăâ =
+
d.4. Ayant son expression, nous pouvons désormais déterminer la limite de la suite ( )nu .
( )( )66 7
lim lim27 2
n
n nn nu
â+â â+â
Ă +âĂ +â= = = =
+â + +â+Forme indĂ©terminĂ©eForme indĂ©terminĂ©eForme indĂ©terminĂ©eForme indĂ©terminĂ©e
Mais il s'agit là d'une petite indétermination qui se lÚve en factorisant numérateur et
dénominateur par le facteur 7n . Pour tout entier naturel n, nous pouvons écrire :
6 7 7
7 2
n n
n nu
Ă= =
+ 7n
6 6 6 66
2 2 2 1 01 1 17 7
n
n n
â+â +âĂ = = =
++ + ++â
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En vrac
Des questions d'analyse bien complexes
L'énoncéL'énoncéL'énoncéL'énoncé Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des dix questions, quatre
propositions sont faites mais une seule est exacte. Une bonne réponse rapporte 0,5 points;
une absence ou une mauvaise réponse n'enlÚve ni ne rapporte de points.
1. Une primitive dĂ©finie sur ] [0;+â de la fonction ( ) 2
2
212 8 1f x x x
x= â + â est :
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 2
3 2 3 2
2 23 4 4 8
2 24 4 4 4
F x x x x F x x x xx x
F x x x x F x x x xx x
= â + + = â + +
= â + + = â + â
a. b.
c. d.
2. Une primitive définie sur de la fonction ( )24 1
xf x
x
=+
est :
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22
4 1 4 1
8 4
4 12 4 1
2
x xF x F x
xF x F x x
+ += =
+= = +
a. b.
c. d.
3. Une primitive définie sur de la fonction ( )2
1x
f xe
= est :
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 1 1 2
2 2x x x x
F x F x F x F xe e e e
= â = â = =a. b. c. d.
4. Une primitive définie sur de la fonction ( )( )
8 12
72
x x
x
e ef x
e
Ă= est :
( ) ( ) ( ) ( )6 31 10 1
6 3
x xF x e F x e F x F x x= = = = +a. b. c. d.
5. Parmi les quatre limites suivantes, une seule est fausse. Laquelle ? 2 2
2 2
lim 0 lim
lim lim
x x
x x
x xx x
x e x e
x x
e e
âââ â+â
âââ â+â
= = +â
= +â = +â
a. b.
c. d.
6. Un argument du nombre complexe ( )20151 3z = â i est :
2 2
3 3 3 3
Ï Ï Ï Ïâ âa. b. c. d.
Sur la figure ci-dessous qui sera utilisée dans les questions 7, 8 et 9, le plan complexe est
rapporté à un repÚre orthonormé direct ( )O, ,u v
.
Les points A, B et I sont pour affixes respectives:
A B I3
5 1 3 32
z z z= = â = âi
i
On a également tracé les quatre ensembles EEEE, FFFF, GGGG et HHHH.
u
v
FFFF
GGGG HHHH
O
A
B
I
EEEE
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7. EEEE est l'ensemble des points M du plan d'affixe z vérifiant :
( ) ( ) ( ) ( )5 9arg 5 2 arg 5 2
4 4
5 3 1 5 5
z z
z z z
Ï Ïâ = â Ï â = Ï
â = + â â =i
a. b.
c. d.
8. FFFF est l'ensemble des points M du plan d'affixe z vérifiant :
( ) ( ) ( ) ( )5 9arg 5 2 arg 5 2
4 4
5 3 1 5 5
z z
z z z
Ï Ïâ = â Ï â = Ï
â = + â â =i
a. b.
c. d.
9. GGGG est l'ensemble des points M du plan d'affixe z vérifiant :
( ) ( ) ( ) ( )5 9arg 5 2 arg 5 2
4 4
5 3 1 5 5
z z
z z z
Ï Ïâ = â Ï â = Ï
â = + â â =i
a. b.
c. d.
10. Dans cette question, le plan est rapporté à un repÚre orthonormé direct ( )O, ,u v
.
Dans celui-ci, on a construit le triangle ABC qui présente deux caractéristiques :
Le cÎté [BC] mesure la moitié du cÎté [AB].
L'angle orienté ( )BC,BA
mesure 2
Ïâ radians.
On appelle A B C, et z z z les affixes des points A, B et C.
Parmi les propositions suivantes, une seule égalité est vraie. Laquelle ?
A B A B
C B C B
A B A B
C B C B
22
22
z z z z
z z z z
z z z z
z z z z
â â= â = â
â â
â â= =
â â
ii
ii
a. b.
c. d.
Le corrigéLe corrigéLe corrigéLe corrigé
1. Toute primitive F de la fonction ( ) 2
2
112 8 1 2f x x x
x= Ă â Ă + â Ă est de la forme :
( ) 3 2 3 21 1 1 212 8 2 4 4
3 2F x x x x Cste x x x Cste
x x
â= Ă â Ă + â Ă + = â + + +
La réponse correcte est la c.
2. La fonction ( )24 1
xf x
x
=+
est presque de la forme u
u
âČ avec ( )
( )
24 1
4 2 8
DĂ©rivable et sur
u x x
u x x x
= +
âČ = Ă =
â
En effet : ( )2 2
1 8 1
84 1 4 18
x x uf x
ux x
âČ= = = Ă
+ +Ă .
Donc toute primitive F de la fonction f est de la forme :
( ) 21 12 4 1
8 4F x u Cste x Cste= Ă + = Ă + +
La proposition correcte est la b.
3. La fonction ( ) 2
2
1 x
xf x e
e
â= = est presque de la forme uu eâČĂ avec ( )( )
2
2
DĂ©rivable sur
u x x
u x
= â
âČ = â
En effet : ( ) ( )2 212
2
1
2
x x uf x e e u e
â âĂ â Ă âČ= â Ăâ
= = Ă
Donc toute primitive F de la fonction f est de la forme :
( ) 2
2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2
u x
x xF x e Cste e Cste Cste Cste
e e
â= â Ă + = â Ă + = â Ă + = â +
La réponse correcte est la b.
4. D'abord, simplifions l'écriture de cette fonction f en utilisant les propriétés algébriques de
l'exponentielle :
( )( )
1128 12 8 8 8 6 142
14 147 7 22
xx x x x x x x x
x xxx
e e e e e e e ef x
e eee
Ă 6 +
Ă
Ă Ă Ă= = = = =
14xe1=
Par conséquent, nous en déduisons que toutes les primitives F de la fonction f sont de la
forme :
( )F x x Cste= +
La proposition correcte est la d.
5. Passons les quatre propositions en revue :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
lim 0
lim
1lim
0 0
1Comme lim alors li
C'est une limite du cours
m 0
x
x
x
x
xx
x
xx x
x e
x e
x
e
e x
x e
âââ
â+â
+ +âââ
+
â+â â+â
=
= +â Ă +â = +â
+â= = +â Ă = +â Ă +â = +â
= +â = =+â
âa.
b.
c.
d.
La proposition correcte (c'est-Ă -dire fausse) est la d.
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6. D'abord, dĂ©terminons un argument du nombre complexe 1 3a = â i . Pour ce faire, nous
devons d'abord calculer son module :
( )221 3 1 3 1 3 4 2a = â = + â = + = =i
Ensuite, les arguments de a sont les réels Ξ vérifiant les deux égalités :
( ) ( )1 3cos et sin modulo 2
2 2 3
â ÏΞ = Ξ = â Ξ = â Ï
Il vient alors :
( ) ( ) ( )2015 2015arg arg 2015 arg 2015 modulo 2
3 3z a a
âÏ Ï= = Ă = Ă = â Ï
Un tour correspondant Ă 2 63
ÏÏ = Ă , procĂ©dons Ă la division euclidienne de 2015 par 6 !
3 2015 6 5 52015 335 6 5 335 335 tours
3 3 3 3
ÏĂ Ï Ï Ï Ï
= Ă + = Ă + = +â
Nous en concluons :
( )Tour
2015 5 5arg 355 2 modulo 2
3 3 3 3z
â Ï Ï Ï Ï= = â Ă Ï â = â = Ï
La réponse correcte est la c.
7. EEEE Ă©tant le cercle de centre A passant par B, il est l'ensemble des points M d'affixe z tels
que :
( ) ( )
A B A
2 2
AM AB 5 1 3 5 4 3
4 3 25 5
z z z z z= â â = â â â = â â = â â
= â + â = =
i i
La proposition correcte est la d.
8. L'ensemble FFFF étant la médiatrice du segment [AB], il est l'ensemble des points M d'affixe
z Ă©quidistants de A et B, c'est-Ă -dire ceux tels que :
( )A BAM BM 5 1 3
5 1 3
z z z z z z
z z
= â â = â â â = â â
â â = â +
i
i
La proposition correcte est la c.
9. La demi-droite GGGG est l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant :
( ) ( ) ( )
Modulo 2 bien sûr !
1 tour
A3 3 5
,AM arg arg 54 4 4
8
4u z z z
Ï
Ïâ
Ï Ï Ï= â â = â â = â
La proposition correcte est la a.
10. Le cÎté [BC] mesurant la moitié du cÎté [AB], nous pouvons écrire :
1 BC 1 BABC BA 2
2 BA 2 BC= Ă â = â =
Interprétons le quotient A B
C B
z z
z z
ââ
selon deux critĂšres :
Son module : A B
C B
BA2
BC
z z
z z
â= =
â
Ses arguments : ( )A B
C B
arg BC,BA modulo 22
z z
z z
â Ï= = â Ï
â
Il vient alors :
( )A B 2
C B
2 2 2z z
ez z
Ïââ
= Ă = Ă â = ââ
ii i
La proposition correcte est la a.
Et l'année prochaine, ce sera Et l'année prochaine, ce sera Et l'année prochaine, ce sera Et l'année prochaine, ce sera vachement vachement vachement vachement plus plus plus plus pire !pire !pire !pire !
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Le mot de l'auLe mot de l'auLe mot de l'auLe mot de l'auteur : teur : teur : teur : le bac, c'est gĂ©nial ! Mais je sais pas pourquoi le bac, c'est gĂ©nial ! Mais je sais pas pourquoi le bac, c'est gĂ©nial ! Mais je sais pas pourquoi le bac, c'est gĂ©nial ! Mais je sais pas pourquoi Jusqu'Ă fin juin 2015, je pensais encore que le baccalaurĂ©at sanctionnait un niveau d'Ă©tude. Mais je dois bien avouer que mes quelques doutes se sont Ă©vaporĂ©s. Sans doute la consĂ©quence des grosses chaleurs du dĂ©but d'Ă©tĂ© 2015. Certes, le sujet donnĂ© cette annĂ©e en S Ă©tait plus abordable (ou moins inaccessible) que celui de l'an passĂ©. Cela Ă©tant, j'ai Ă©tĂ© dĂ©concertĂ© par la maniĂšre dont certaines questions Ă©taient posĂ©es. Leur difficultĂ© principale rĂ©sidait dans leur comprĂ©hension; de grands maquis verbeux ne cachaient que de petites choses faciles. Ensuite, il y a eu la piste de skate-board du quatriĂšme exercice dont la seule justification Ă©tait de montrer que les maths sont une discipline sexy utile dans la vie de tous les jours. Sauf qu'on n'a toujours pas trouvĂ© le rider inconscient qui se risquerait sur une piste aussi dangereuse ! Puis, vint le barĂšme dont je ne puis vous parler vu qu'il est confidentiel. Sa principale qualitĂ© est qu'il m'a bien fait rire ! Dans ma conception des choses, le nombre de points attribuĂ©s Ă une question a toujours Ă©tĂ© fonction de sa difficultĂ© ou de sa longueur. Pas au bac ! Et puis, pour une mĂȘme question traitĂ©e, le candidat qui rĂ©dige bien, qui dĂ©taille tout, n'aura pas nĂ©cessairement plus que celui qui expĂ©die le truc parce qu'il s'en fout ! Enfin, il y eut les ahurissantes interrogations Ă propos du barĂšme entendues chez certains collĂšgues le jour de la remise des copies. Ca aussi, je ne peux pas vous en parler mais c'Ă©tait trĂšs drĂŽle ! Le problĂšme des gens intelligents est qu'ils se posent trop de questions. Moi, avec mon intelligence trĂšs limitĂ©e, j'avais juste compris que la cinquantaine de copies que l'on m'avait attribuĂ©e Ă©tait le seul obstacle qui me sĂ©parait de mes vacances. Alors j'ai appliquĂ© bĂȘtement un barĂšme inepte sur un sujet insipide. Et vous savez quoi ? J'ai fini par ĂȘtre en vacances !
JĂ©rĂŽme Onillon
Au sommaire du rodéo :Au sommaire du rodéo :Au sommaire du rodéo :Au sommaire du rodéo :
AnalyseAnalyseAnalyseAnalyse............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 1111 Liaison rationnellement fatale.......................................................................................................1 Méchantes questions en vrac ! ....................................................................................................... 5 Ln pose problÚme !..................................................................................................................................6 Re-méchantes questions en vrac !............................................................................................... 8 Exponentielle pose problÚme ! .......................................................................................................... 9 Un plant façon indienne................................................................................................................... 11 Exponentielle des Caraïbes ..............................................................................................................13 Exponentielle vs. alien carré........................................................................................................... 15 Intégrales Lepter...................................................................................................................................17
Géométrie et nombres complexesGéométrie et nombres complexesGéométrie et nombres complexesGéométrie et nombres complexes ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 20202020 Petits jeux entre complexes ........................................................................................................... 20 Bon plan complexe...ou pas............................................................................................................21 Petit complexe fonctionnel ..............................................................................................................24 Espace des tentes ................................................................................................................................... 26
ProbabilitésProbabilitésProbabilitésProbabilités ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 30303030 Préludes improbables ........................................................................................................................ 30 Nous irons tous au paradis...ou pas ! ......................................................................................31 L'improbable vie continue de Toto.............................................................................................32 Toc toc badaboum !.............................................................................................................................35
SuitesSuitesSuitesSuites .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 38383838 Harry Métik vs. Jay O'Maytrick ...............................................................................................38 Tiercé gagnant...ou pas..................................................................................................................... 40 Massacre à la suiteçonneuse ........................................................................................................41
En vracEn vracEn vracEn vrac ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 45454545 Des questions d'analyse bien complexes ..............................................................................45
Tous les exercices présents dans ce recueil, énoncés et corrigés, ont été conçus et Tous les exercices présents dans ce recueil, énoncés et corrigés, ont été conçus et Tous les exercices présents dans ce recueil, énoncés et corrigés, ont été conçus et Tous les exercices présents dans ce recueil, énoncés et corrigés, ont été conçus et mis en forme par JérÎme ONILLON, professeur de mathématiquesmis en forme par JérÎme ONILLON, professeur de mathématiquesmis en forme par JérÎme ONILLON, professeur de mathématiquesmis en forme par JérÎme ONILLON, professeur de mathématiques dégradé mais non dégradé mais non dégradé mais non dégradé mais non biodégradablebiodégradablebiodégradablebiodégradable.... L'auteur ne saurait garantir la conformiL'auteur ne saurait garantir la conformiL'auteur ne saurait garantir la conformiL'auteur ne saurait garantir la conformité du programme de mathématiques de té du programme de mathématiques de té du programme de mathématiques de té du programme de mathématiques de terminale Sterminale Sterminale Sterminale S à à à à sssses exercices.es exercices.es exercices.es exercices. Aucune exploitation commerciale n'est autorisée.Aucune exploitation commerciale n'est autorisée.Aucune exploitation commerciale n'est autorisée.Aucune exploitation commerciale n'est autorisée.