A-2 Element de Barre

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Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre H2014 1 A-2 Élément de barre Une barre est un élément soumis seulement à deux forces axiales; il n’y a ni flexion ni cisaillement. Le seul champ à considérer est le déplacement axial de la barre u(x). Ces éléments sont principalement utilisés dans les structures comportant des membrures à forces axiales comme treillis et colonnes. 2.1Treillis Structure comportant des membrures à deux forces axiales. Les forces s’appliquent en général aux joints. 2.1.1 Formulation des éléments de barre dans le système de repère global La force F agissant sur une barre de section A et d’une longueur L, illustrée à la figure 2.3, est définie comme : AE F ( )L L = La barre peut se modélise comme un ressort dont la rigidité est : AE k L = Charge Figure 2.1 Treillis sous charge verticale Barres à deux forces axiales

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Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

H2014

1

A-2 Élément de barre Une barre est un élément soumis seulement à deux forces axiales; il n’y a ni flexion ni cisaillement. Le seul champ à considérer est le déplacement axial de la barre u(x). Ces éléments sont principalement utilisés dans les structures comportant des membrures à forces axiales comme treillis et colonnes. 2.1 Treillis Structure comportant des membrures à deux forces axiales. Les forces s’appliquent en général aux joints.

2.1.1 Formulation des éléments de barre dans le système de repère global La force F agissant sur une barre de section A et d’une longueur L, illustrée à la figure 2.3, est définie comme :

AEF ( ) LL

= ∆

La barre peut se modélise comme un ressort dont la rigidité est :

AEkL

=

Charge

Figure 2.1 Treillis sous charge verticale

Barres à deux forces axiales

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2

ΔLL

F

Figure 2.3 Barre soumise à une charge axiale Le treillis présentés à la figure 2.4 est modélisé par 6 éléments de barre. Le modèle comporte 5 nœuds et 6 éléments.

Figure 2.2 Exemple de treillis simple et hyperstatique

Treillis simple: 3 équations d’équilibre 3 inconnus

Treillis hyperstatique: 3 équations d’équilibre 4 inconnus

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3

Charge Charge

θ

(3) (6)

(1)

(2) (4)(5)

1

43

2

5

Figure 2.4 Treillis en charge

Le repère global (X,Y) est utilisé dans la figure 2.5 afin de considérer la localisation des joints, l’orientation des membrures ainsi que les conditions aux limites et les charges appliquées. Le repère local ou élémentaire (x,y) se trouve sur la membrure pour la description de son comportement sous chargement individuel. Les relations entre les deux systèmes de coordonnés sont :

ix ix iy

iy ix iy

jx jx jy

jy jx jy

U u cos u sin

U u sin u cos

U u cos u sin

U u sin u cos

= θ− θ

= θ+ θ

= θ− θ

= θ+ θ

ou sous forme matricielle :

{ } [ ]{ }U T u= où :

{ } [ ] { }

ix ix

iy iy

jx jx

jy jy

U ucos sin 0 0U usin cos 0 0

U , T , et uU u0 0 cos sin

0 0 sin cosU u

θ − θ θ θ = = = θ − θ θ θ

{U} et {u} représentent les déplacements aux nœuds i et j dans les repères global et local respectivement. [T] est la matrice permettant la transformation du repère local au repère global.

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4

u jy u jxUiy

Uix

Ujy

Ujxy

x

u iy

u ix

Y

X

f jy f jx

Fiy

Fix

Fjy

Fjx

y

x

f iy f ixθ

θ

i

j

i

j

Figure 2.5 Relations entre les deux systèmes de coordonné global et local

De façon analogue, on obtient pour les forces nodales (figure 2.6) :

ix ix iy

iy ix iy

jx jx jy

jy jx jy

F f cos f sin

F f sin f cos

F f cos f sin

F f sin f cos

= θ− θ

= θ+ θ

= θ− θ

= θ+ θ

Forme matricielle :

{ } [ ]{ }

{ } { }

ix ix

iy iy

jx jx

jy jy

F T foù

F fF f

F et fF f

F f

=

= =

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Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

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5

y x

ujx

fjx=k(ujx-uix)

uix

fix=k(uix-ujx)

j

i

Y

X

ujx

fjx=k(uix-ujx)

uix

fix=k(uix-ujx)

j

i

ou

(b)

(a)

Figure 2.6 DCL d’une membrure à deux forces

Notons que la barre est une membrure à 2 forces axiales seulement. Par conséquent, les forces (fiy, fjy ) et les déplacements nodaux (uiy, ujy) sont nulles. Équilibre des forces internes dans la barre illutées à la figure 2.6(b) donne :

ix ix

iy iy

jx jx

jy jy

f uk 0 k 0f u0 0 0 0f uk 0 k 0

0 0 0 0f u

AEoù : kL

− = −

=

Forme matricielle :

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{ } [ ]{ }

[ ] { }{ }

[ ][ ] { }{ }

1 1

f u

f K uor

T F K T U− −

=

=

où :

[ ] 1

cos sin 0 0sin cos 0 0

T0 0 cos sin0 0 sin cos

θ θ − θ θ = θ θ − θ θ

Multiplication des membres de l’équation précédente par [T] et simplification nous donnent finalement la relation entre les forces et les déplacements nodaux dans le repère globale :

{ } [ ][ ][ ] { }1F T K T U−=

2 2

ix ix

2 2iy iy

2 2jx jx

2 2jy jy

F Ucos sin cos cos sin cosF Usin cos sin sin cos sin

kF Ucos sin cos cos sin cos

sin cos sin sin cos sinF U

θ θ θ − θ − θ θ θ θ θ − θ θ − θ = − θ − θ θ θ θ θ − θ θ − θ θ θ θ

La matrice de rigidité élémentaire dans le repère global est donc :

2 2

2 2(e)

2 2

2 2

cos sin cos cos sin cossin cos sin sin cos sin

K kcos sin cos cos sin cos

sin cos sin sin cos sin

θ θ θ − θ − θ θ θ θ θ − θ θ − θ = − θ − θ θ θ θ θ − θ θ − θ θ θ θ

L’exemple suivant présente l’application numérique du processus au complet en commençant par le prétraitement puis la solution du système d’équations et en terminant avec le post-traitement. Exemple 2.1 Considérons le treillis présenté à la figure 2.7 dont les caractéristiques sont :

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A=5000mm2, E=13100MPa, L1=L3=L4=L6=900mm, L2=L5=1 270.315mm θ1 = θ3 = θ6 = 0o θ2 = 135o θ4=90o θ5=45o Calculez les déplacements aux joints, les contraintes dans les membrures et les réactions.

Solution

2000N 2000N

45o

(3) (6)

(1)

(2) (4)(5)

1

43

2

5

Figure 2.7 Treillis de bois en charge

Prétraitement • Discrétisation

Tableau 2.1 Propriétés des éléments dans le modèle du treillis à la figure 2.7

Élément Nœud i Nœud j θo 1 1 2 0 2 2 3 135 3 3 4 0 4 2 4 90 5 2 5 45 6 4 5 0

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• Comportement des éléments k1= k3 = k4 = k6 = (AE/L) = (5000x13100/900) = 72 778 N/mm k2= k5 = 51 562 N/mm • Matrices de rigidité élémentaires

i

y

x

j

X

Y

1 2Élément 1

Élément 3

Élément 6 5

4

4

3

Figure 2.8 Éléments (1), (3) et (6) dans les repères local et global

Élément (1) θ1= 0 et k1 = 72 778 N/mm : La matrice de rigidité élémentaire dans le repère global est :

[ ]

1XU72778 0 -72778 0 0 0 0 0

KEBG1 -72778 0 72778 0

0 0 0 0

=

1Y

2X

2Y

UUU

Matrice de rigidité élémentaire dans le repère global avec ses éléments placés en position pour l’assemblage à la matrice globale du treillis :

[KEBGA1] = [A1]T[KEBG1][A1]

Page 9: A-2 Element de Barre

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9

[ ]

72778 0 -72778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

KEBGA1 =

0 0 0 0 -72778 0 72778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1X

1Y

2X

2Y

3X

3Y

4X

4Y

5X

5Y

UUUUUUUUUU

où la matrice de sélection est :

[ ]

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

=

0 0 0 0 0 0 0 0

Élément (3) θ3= 0 et k3 = 72 778 N/mm :

[ ]

3X

3Y

U 72778 0 -72778 0U 0 0 0 0

KEBG3 -72778 0 72778 0 0 0 0 0

=

4X

4Y

UU

[ ]

0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A30 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0

=

0 0 0 0

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10

[ ]

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

KEBGA3 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 72778 0 -72778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -72778 0 72778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1X

1Y

2X

2Y

3X

3Y

4X

4Y

5X

5Y

UUUUUUUUUU 0 0 0 0 0 0 0 0

Élément (6) θ6= 0 et k6 = 72 778 N/mm :

[ ]

4X

4Y

5X

5Y

U 72778 0 -72778 0U 0 0 0 0

KEBG6U-72778 0 72778 0

0 0 0 0 U

=

[ ]

0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A60 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0

=

0 0 0 0

Page 11: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

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11

[ ]

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

KEBGA6 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 72778 0 -72778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -72778 0 72778 0 0

1X

1Y

2X

2Y

3X

3Y

4X

4Y

5X

5Y

UUUUUUUUUU 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Élément 2 : θ2 = 135o et k2 = 51 562 N/mm :

i

y

x

j

X

Y

x

2

3

135o

Élément 2

Figure 2.9 Élément (2) dans les repères local et global

[ ]

2X

2Y

3X

3Y

U 2.5781 -2.5781 -2.5781 2.5781U-2.5781 2.5781 2.5781 -2.5781

KEG2 1.0e+004U-2.5781 2.5781 2.5781 -2.5781

2.5781 -2.5781 -2.5781 2.5781 U

=

Page 12: A-2 Element de Barre

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[ ]

0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0

A20 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1

=

0 0 0 0

[ ]

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00

KEBGA2 1.0e+004=

0 2.578 -2.578 -2.578 2.578 0 0 0 00 0 -2.578 2.578 2.578 -2.578 0 0 0 00 0 -2.578 2.578 2.578 -2.578 0 0 0 00 0 2.578 -2.578 -2.578 2.578 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0

1X

1Y

2X

2Y

3X

3Y

4X

4Y

5X

5Y

UUUUUUUUUU 0 0 0 0 0 0 0 0

Élément 4 : θ4 = 90o et k4 = 72 778 N/mm :

i

y

x

j

X

Yx

2

490o

Élément 4

Figure 2.10 Élément (4) dans les repères local et global

[ ]

2X

2Y

4X

4Y

U 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000U 0.0000 7.2778 -0.0000 -7.2778

KEBG4 1.0e+004-0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 U-0.0000 -7.2778 0.0000 7.2778 U

=

Page 13: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

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[ ]

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0

A40 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

=

0 1 0 0

[ ]

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

KEBGA4 =

0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 72778 0 0 0 -72778 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 -72778 0 0 0 72778 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0

1X

1Y

2X

2Y

3X

3Y

4X

4Y

5X

5Y

UUUUUUUUUU 0 0 0 0 0 0 0

Élément 5 : θ5 = 45o et k5 = 51 562 N/mm :

y

x

Y

X

45o

xi

j

2

5

Élément 5

Figure 2.11 Élément (5) dans les repères local et global

Page 14: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

H2014

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[ ]

2X

2Y

5X

5Y

U 2.5781 2.5781 -2.5781 -2.5781U 2.5781 2.5781 -2.5781 -2.5781

KEBG5 1.0e+004U-2.5781 -2.5781 2.5781 2.5781

-2.5781 -2.5781 2.5781 2.5781 U

=

[ ]

0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0

A50 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0

=

0 0 0 1

[ ]

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00

KEBGA5 1.0e+004=

0 2.578 2.578 0 0 0 0 -2.578 -2.5780 0 2.578 2.578 0 0 0 0 -2.578 -2.5780 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 -2.578 -2.578 0 0 0 0 2.578 2.5780

1X

1Y

2X

2Y

3X

3Y

4X

4Y

5X

5Y

UUUUUUUUUU 0 -2.578 -2.578 0 0 0 0 2.578 2.578

• Assemblage de la matrice de rigidité total du modèle La matrice de rigidité du treillis dans le repère global est :

[KG]=[KEBGA1]+[KEBGA2]+[KEBGA3]+[KEBGA4]+[KEBGA5]+[KEBGA6]

[ ]

0.7278 0 -0.7278 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

KG 1.0e+5=

0 0 0 0 -0.7278 0 1.2434 0 -0.2578 0.2578 0 0 -0.2578 -0.2578 0 0 0 1.2434 0.2578 -0.2578 0 -0.7278 -0.2578 -0.2578 0 0 -0.2578 0.2578 0.9856 -0.2578 -0.7278 0 0 0 0 0 0.2578 -0.2578 -0.2578 0.2578 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.7278 0 1.4556 0 -0.7278 0 0 0 0 -0.7278 0 0 0 0.7278 0 0 0 0 -0.2578 -0.2578 0 0 -0.7278 0 0.9856 0.2578 0 0 -0.2578 -0.2578 0 0 0 0 0.2578 0.2578

Page 15: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

H2014

15

• Application des conditions aux limites U1X=U1Y=U3X=U3Y=0 et F4Y=F5Y=2000N impliquent le nouveau système d’équation suivant :

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1.0e+5

0 -0.73 0 1.24 0 -0.26 0.26 0 0 -0.26 -0.26 0 0 0 1.24 0.26 -0.26 0 -0.73 -0.26 -0.26 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.73 0 1.46 0 -0.73 0 0 0 0 -0.73 0 0 0 0.73 0 0 0 0 -0.

1X

1Y

2X

2Y

UUUU

26 -0.26 0 0 -0.73 0 0.99 0.26 0 0 -0.26 -0.26 0 0 0 0 0.26 0.26

3X

3Y

4X

4Y

5X

5Y

0000

U 0U 0U 0U 2000U 0U 2000

=

Sachant que U1X=U1Y=U3X=U3Y=0, on peut éliminer les première,deuxième, cinquième et sixième lignes ainsi que les colonnes correspondant à ces déplacements dans la matrice de rigidité. Résolution du système d’équations :

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1.0e+5

0 -0.73 0 1.24 0 -0.26 0.26 0 0 -0.26 -0.26 0 0 0 1.24 0.26 -0.26 0 -0.73 -0.26 -0.26 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.73 0 1.46 0 -0.73 0 0 0 0 -0.73 0 0 0 0.73 0 0 0 0 -0.

1X

1Y

2X

2Y

UUUU

26 -0.26 0 0 -0.73 0 0.99 0.26 0 0 -0.26 -0.26 0 0 0 0 0.26 0.26

3X

3Y

4X

4Y

5X

5Y

0000

U 0U 0U 0U 2000U 0U 2000

=

Résolution de ce système d’équations réduit nous donne les déplacements correspondants :

Page 16: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

H2014

16

{ }

2X

2y

4X

4Y

5X

5Y

U -0.0868U -0.2503

0.0274UUREDUITE mm

-0.2777U 0.0548U-0.4688U

= =

La matrice des déplacements nodaux au complet est :

{ }

1X

1Y

2X

2Y

3X

3Y

4X

4Y

5X

5Y

U 0U 0U -0.0868U -0.2503U 0

UTOTALEU 0U 0.0274U -0.2777U 0.0548U -0.4688

= =

mm

Post-Traitement La matrice des réactions est :

{R}=[KG]*{UTOTAL}-{F}

{ }

1X

1Y

2X

2Y

3X 3

3Y

4X

4Y

5X

5Y

R 6.3171R 0R -0.1194R -0.2385R -6.2093

R 10R 4.2152R 0R 0.0059R 0.0116R 0.0174

= =

Page 17: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

H2014

17

Les déplacements nodaux et les forces internes dans chaque élément se calculent à l’aide des équations :

[u] = [T]-1 [U] Et

ix ix

iy iy

jx jx

jx jx

f uk 0 k 0f u0 0 0 0f uk 0 k 0

0 0 0 0f u

AEoù : kL

− = −

=

Les contraintes élémentaires se déterminent par l’expression :

ix jx ix jx ix jxk(u u ) AE(u u ) u uf E( )A A AL L

− − −σ = = = =

2.2 Colonne Exemple 2.2 Soit une colonne en acier (E=199 948MPa) qui supporte 4 planchers telle que présentée à la figure 2.12. Sachant que la colonne a une section de 25613 mm2, déterminez : • les déplacements axiaux au niveau de chaque plancher; • les contraintes dans la colonne dans chaque portion entre les planchers; • les déplacements aux niveaux A et B.

Solution

k= A*E/L = 25613 x 199948/4572= 1 120 137N/mm

• K=[k -k;-k k]

1.1201 -1.1201

K 1.0e+6 *-1.1201 1.1201

Page 18: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

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18

Figure 2.12 Colonne en charge. Adaptée de réf [2].

• KEG1=KEG2=KEG3=KEG4=K Élément (1) : Matrice de sélection :

• A1=[1 0 0 0 0;0 1 0 0 0]

1 0 0 0 0

A10 1 0 0 0

• KEGA1=A1'*KEG1*A1

1.1201 -1.1201 0 0 0-1.1201 1.1201 0 0 0

KEGA1 1.0e+6 * 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0

Page 19: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

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19

Élément (2) :

• A2=[0 1 0 0 0;0 0 1 0 0]

0 1 0 0 0

A20 0 1 0 0

• KEGA2=A2'*KEG2*A2

0 0 0 0 00 1.1201 -1.1201 0 0

KEGA2 1.0e+6 * 0 -1.1201 1.1201 0 00 0 0 0 00

0 0 0 0

Élément 3 : • A3=[0 0 1 0 0;0 0 0 1 0]

0 0 1 0 0

A30 0 0 1 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0

KEGA3 1.0e+6 * 0 0 1.1201 -1.1201 00 0 -1.1201 1.1201 00 0 0

0 0

Élément (4) :

• A4=[0 0 0 1 0;0 0 0 0 1]

0 0 0 1 0

A40 0 0 0 1

• KEGA4=A4'*KEG4*A4

Page 20: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

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20

0 0 0 0 00 0 0 0 0

KEGA4 1.0e+6 * 0 0 0 0 00 0 0 1.1201 -1.12010 0 0

-1.1201 1.1201

Matrice de rigidité globale :

• KG=KEGA1+KEGA2+KEGA3+KEGA4

1.1201 -1.1201 0 0 0-1.1201 2.2403 -1.1201 0 0

KG 1.0e+6 * 0 -1.1201 2.2403 -1.1201 0 0

0 -1.1201 2.2403 -1.1201

0 0 0 -1.1201 1.1201

Matrice des charges : • FG=-[0;222411;222411;222411;266893]

0-222411

FG -222411 N-222411-266893

Application des conditions aux limites : U1=0

1.1201 -1.1201 0 0 0-1.1201 2.2403 -1.1201 0 0

1.0e+6 * 0 -1.1201 2.2403 -1.1201 0 0

1

2

3

4

5

U 0U -222411U -222411

0 -1.1201 2.2403 -1.1201 -222411U 0 0 0 -1.1201 1.1201 -26U

6893

Page 21: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

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21

Résolution de ce système d’équations réduit nous donne les déplacements correspondants. Le vecteur des déplacements est :

1 1

2 1

3 1

14

15

U u 0U u -0.8339U u -1.4693 mm

-1.9061uU-2.1444uU

Les contraintes dans les éléments (sections entre les planchers) sont :

j i(e) E(u u )L

• SIGMA1=SIGMA(199948,4572,u2,u1) SIGMA1 = -36.4708MPa

• SIGMA2=SIGMA(199948,4572,u3,u2) SIGMA2 = -27.7873MPa

• SIGMA3=SIGMA(199948,4572,u4,u3) SIGMA3 = -19.1026 MPa

• SIGMA4=SIGMA(199948,4572,u5,u4) SIGMA4 = -10.4202MPa Déplacement au niveau A(uj =u2 =-0.8339mm, ui = u1= 0mm) Pour un élément linéaire les fonctions de forme dans le repère local sont :

i jy yN 1 ; NL L

(Voir figure 2.13 pour la relation entre les repères local et global d’un élément de linéaire de barre. Le point A appartient à l’élément (1) d’où son déplacement est interpolé avec les déplacements aux nœuds 1 et 2 :

function y=SIGMA(E,L,uj,ui) y=E*(uj-ui)/L;

Page 22: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

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(A) A A1 1 2 2 1 2

(A)

(A)

y yu N u N u (1 )u ( )uL L

3048 3048u (1 )(0)+( )(-0.8339)4572 4572

u 0.5559mm

Déplacement au niveau B(uj= u5 = -2.1444mm, ui = u4 = -1.9061mm)

(B) B B4 4 5 5 4 5

(A)

(A)

y yu N u N u (1 )u ( )uL L

4572 2438 4572 2438u (1 )(-1.9061)+( )(-2.1444)4572 4572

u 2.01732mm

Figure 2.13 Relation entre les repères local et global d’un élément de barre. Adapté de

réf. [2]

Page 23: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

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23

Références [1] Comprendre les éléments finis - Principes, formulations et exercices

corrigés, Alain Chateauneuf, Ellipses, ISBN 978-2-7298-5430-0 [2] Finite Element Analysis – Theory and Application with ANSYS, 3rd

Edition, Saeed Moaveni, Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-189080-0 [3] A first course in the Finite Element Method using Algor, Dany Logan, PWS

publishing Co, ISBN 0-534-94692-5 Exercices

2.1 Les membrures du treillis présenté à la figure 1 ont une section de 1500mm2. Sachant que leur module d’élasticité est de 70GPa, calculez :

a. le déplacement du joint A; b. les contraintes dans les membrures; c. les réactions.

900N

60o 60o

915m

m

A

Figure 1

2.2 La figure 2 illustre un treillis dont les membrures ont une section de 1500mm2. Sachant que leur module d’élasticité E = 70GPa, calculez :

a. les déplacements des joints; b. les contraintes dans les membrures; c. les réactions.

Page 24: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

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24

2

1500N43

1

1000

mm

1500mm

Figure 2 2.3 Le système illustré à la figure 3 comporte des membrures en acier dont le module

d’élasticité E = 200GPa. Déterminez :

a. les déplacements des points E et F; b. les contraintes dans les membrures.

15kNED

F

100mm125mm

250mm300mm

A= 515mm2A= 322mm2

Figure 3

2.4 Le poteau présenté à la figure 4 est fait de tube en acier dont le module d’élasticité est de 210GPa. En négligeant l’effet du vent, calculez :

a. le déplacement du point A au sommet du poteau; b. les contraintes dans les sections du poteau.

Page 25: A-2 Element de Barre

Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre

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A=484mm2

450N

670N

900N

A=1390mm2

A=1900mm2

3000

mm

1500

mm

1500

mm

B

Figure 4