A-2 Element de Barre
-
Upload
soufiane-sani-harouna -
Category
Documents
-
view
237 -
download
0
description
Transcript of A-2 Element de Barre
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
1
A-2 Élément de barre Une barre est un élément soumis seulement à deux forces axiales; il n’y a ni flexion ni cisaillement. Le seul champ à considérer est le déplacement axial de la barre u(x). Ces éléments sont principalement utilisés dans les structures comportant des membrures à forces axiales comme treillis et colonnes. 2.1 Treillis Structure comportant des membrures à deux forces axiales. Les forces s’appliquent en général aux joints.
2.1.1 Formulation des éléments de barre dans le système de repère global La force F agissant sur une barre de section A et d’une longueur L, illustrée à la figure 2.3, est définie comme :
AEF ( ) LL
= ∆
La barre peut se modélise comme un ressort dont la rigidité est :
AEkL
=
Charge
Figure 2.1 Treillis sous charge verticale
Barres à deux forces axiales
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
2
ΔLL
F
Figure 2.3 Barre soumise à une charge axiale Le treillis présentés à la figure 2.4 est modélisé par 6 éléments de barre. Le modèle comporte 5 nœuds et 6 éléments.
Figure 2.2 Exemple de treillis simple et hyperstatique
Treillis simple: 3 équations d’équilibre 3 inconnus
Treillis hyperstatique: 3 équations d’équilibre 4 inconnus
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
3
Charge Charge
θ
(3) (6)
(1)
(2) (4)(5)
1
43
2
5
Figure 2.4 Treillis en charge
Le repère global (X,Y) est utilisé dans la figure 2.5 afin de considérer la localisation des joints, l’orientation des membrures ainsi que les conditions aux limites et les charges appliquées. Le repère local ou élémentaire (x,y) se trouve sur la membrure pour la description de son comportement sous chargement individuel. Les relations entre les deux systèmes de coordonnés sont :
ix ix iy
iy ix iy
jx jx jy
jy jx jy
U u cos u sin
U u sin u cos
U u cos u sin
U u sin u cos
= θ− θ
= θ+ θ
= θ− θ
= θ+ θ
ou sous forme matricielle :
{ } [ ]{ }U T u= où :
{ } [ ] { }
ix ix
iy iy
jx jx
jy jy
U ucos sin 0 0U usin cos 0 0
U , T , et uU u0 0 cos sin
0 0 sin cosU u
θ − θ θ θ = = = θ − θ θ θ
{U} et {u} représentent les déplacements aux nœuds i et j dans les repères global et local respectivement. [T] est la matrice permettant la transformation du repère local au repère global.
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
4
u jy u jxUiy
Uix
Ujy
Ujxy
x
u iy
u ix
Y
X
f jy f jx
Fiy
Fix
Fjy
Fjx
y
x
f iy f ixθ
θ
i
j
i
j
Figure 2.5 Relations entre les deux systèmes de coordonné global et local
De façon analogue, on obtient pour les forces nodales (figure 2.6) :
ix ix iy
iy ix iy
jx jx jy
jy jx jy
F f cos f sin
F f sin f cos
F f cos f sin
F f sin f cos
= θ− θ
= θ+ θ
= θ− θ
= θ+ θ
Forme matricielle :
{ } [ ]{ }
{ } { }
ix ix
iy iy
jx jx
jy jy
F T foù
F fF f
F et fF f
F f
=
= =
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
5
y x
ujx
fjx=k(ujx-uix)
uix
fix=k(uix-ujx)
j
i
Y
X
ujx
fjx=k(uix-ujx)
uix
fix=k(uix-ujx)
j
i
ou
(b)
(a)
Figure 2.6 DCL d’une membrure à deux forces
Notons que la barre est une membrure à 2 forces axiales seulement. Par conséquent, les forces (fiy, fjy ) et les déplacements nodaux (uiy, ujy) sont nulles. Équilibre des forces internes dans la barre illutées à la figure 2.6(b) donne :
ix ix
iy iy
jx jx
jy jy
f uk 0 k 0f u0 0 0 0f uk 0 k 0
0 0 0 0f u
AEoù : kL
− = −
=
Forme matricielle :
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
6
{ } [ ]{ }
[ ] { }{ }
[ ][ ] { }{ }
1 1
f u
f K uor
T F K T U− −
=
=
où :
[ ] 1
cos sin 0 0sin cos 0 0
T0 0 cos sin0 0 sin cos
−
θ θ − θ θ = θ θ − θ θ
Multiplication des membres de l’équation précédente par [T] et simplification nous donnent finalement la relation entre les forces et les déplacements nodaux dans le repère globale :
{ } [ ][ ][ ] { }1F T K T U−=
2 2
ix ix
2 2iy iy
2 2jx jx
2 2jy jy
F Ucos sin cos cos sin cosF Usin cos sin sin cos sin
kF Ucos sin cos cos sin cos
sin cos sin sin cos sinF U
θ θ θ − θ − θ θ θ θ θ − θ θ − θ = − θ − θ θ θ θ θ − θ θ − θ θ θ θ
La matrice de rigidité élémentaire dans le repère global est donc :
2 2
2 2(e)
2 2
2 2
cos sin cos cos sin cossin cos sin sin cos sin
K kcos sin cos cos sin cos
sin cos sin sin cos sin
θ θ θ − θ − θ θ θ θ θ − θ θ − θ = − θ − θ θ θ θ θ − θ θ − θ θ θ θ
L’exemple suivant présente l’application numérique du processus au complet en commençant par le prétraitement puis la solution du système d’équations et en terminant avec le post-traitement. Exemple 2.1 Considérons le treillis présenté à la figure 2.7 dont les caractéristiques sont :
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
7
A=5000mm2, E=13100MPa, L1=L3=L4=L6=900mm, L2=L5=1 270.315mm θ1 = θ3 = θ6 = 0o θ2 = 135o θ4=90o θ5=45o Calculez les déplacements aux joints, les contraintes dans les membrures et les réactions.
Solution
2000N 2000N
45o
(3) (6)
(1)
(2) (4)(5)
1
43
2
5
Figure 2.7 Treillis de bois en charge
Prétraitement • Discrétisation
Tableau 2.1 Propriétés des éléments dans le modèle du treillis à la figure 2.7
Élément Nœud i Nœud j θo 1 1 2 0 2 2 3 135 3 3 4 0 4 2 4 90 5 2 5 45 6 4 5 0
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
8
• Comportement des éléments k1= k3 = k4 = k6 = (AE/L) = (5000x13100/900) = 72 778 N/mm k2= k5 = 51 562 N/mm • Matrices de rigidité élémentaires
i
y
x
j
X
Y
1 2Élément 1
Élément 3
Élément 6 5
4
4
3
Figure 2.8 Éléments (1), (3) et (6) dans les repères local et global
Élément (1) θ1= 0 et k1 = 72 778 N/mm : La matrice de rigidité élémentaire dans le repère global est :
[ ]
1XU72778 0 -72778 0 0 0 0 0
KEBG1 -72778 0 72778 0
0 0 0 0
=
1Y
2X
2Y
UUU
Matrice de rigidité élémentaire dans le repère global avec ses éléments placés en position pour l’assemblage à la matrice globale du treillis :
[KEBGA1] = [A1]T[KEBG1][A1]
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
9
[ ]
72778 0 -72778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
KEBGA1 =
0 0 0 0 -72778 0 72778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1X
1Y
2X
2Y
3X
3Y
4X
4Y
5X
5Y
UUUUUUUUUU
où la matrice de sélection est :
[ ]
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
=
0 0 0 0 0 0 0 0
Élément (3) θ3= 0 et k3 = 72 778 N/mm :
[ ]
3X
3Y
U 72778 0 -72778 0U 0 0 0 0
KEBG3 -72778 0 72778 0 0 0 0 0
=
4X
4Y
UU
[ ]
0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A30 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0
=
0 0 0 0
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
10
[ ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
KEBGA3 =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 72778 0 -72778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -72778 0 72778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1X
1Y
2X
2Y
3X
3Y
4X
4Y
5X
5Y
UUUUUUUUUU 0 0 0 0 0 0 0 0
Élément (6) θ6= 0 et k6 = 72 778 N/mm :
[ ]
4X
4Y
5X
5Y
U 72778 0 -72778 0U 0 0 0 0
KEBG6U-72778 0 72778 0
0 0 0 0 U
=
[ ]
0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A60 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0
=
0 0 0 0
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
11
[ ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
KEBGA6 =
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 72778 0 -72778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -72778 0 72778 0 0
1X
1Y
2X
2Y
3X
3Y
4X
4Y
5X
5Y
UUUUUUUUUU 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Élément 2 : θ2 = 135o et k2 = 51 562 N/mm :
i
y
x
j
X
Y
x
2
3
135o
Élément 2
Figure 2.9 Élément (2) dans les repères local et global
[ ]
2X
2Y
3X
3Y
U 2.5781 -2.5781 -2.5781 2.5781U-2.5781 2.5781 2.5781 -2.5781
KEG2 1.0e+004U-2.5781 2.5781 2.5781 -2.5781
2.5781 -2.5781 -2.5781 2.5781 U
=
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
12
[ ]
0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0
A20 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1
=
0 0 0 0
[ ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00
KEBGA2 1.0e+004=
0 2.578 -2.578 -2.578 2.578 0 0 0 00 0 -2.578 2.578 2.578 -2.578 0 0 0 00 0 -2.578 2.578 2.578 -2.578 0 0 0 00 0 2.578 -2.578 -2.578 2.578 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0
1X
1Y
2X
2Y
3X
3Y
4X
4Y
5X
5Y
UUUUUUUUUU 0 0 0 0 0 0 0 0
Élément 4 : θ4 = 90o et k4 = 72 778 N/mm :
i
y
x
j
X
Yx
2
490o
Élément 4
Figure 2.10 Élément (4) dans les repères local et global
[ ]
2X
2Y
4X
4Y
U 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000U 0.0000 7.2778 -0.0000 -7.2778
KEBG4 1.0e+004-0.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 U-0.0000 -7.2778 0.0000 7.2778 U
=
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
13
[ ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0
A40 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
=
0 1 0 0
[ ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0
KEBGA4 =
0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 72778 0 0 0 -72778 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 -72778 0 0 0 72778 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0
1X
1Y
2X
2Y
3X
3Y
4X
4Y
5X
5Y
UUUUUUUUUU 0 0 0 0 0 0 0
Élément 5 : θ5 = 45o et k5 = 51 562 N/mm :
y
x
Y
X
45o
xi
j
2
5
Élément 5
Figure 2.11 Élément (5) dans les repères local et global
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
14
[ ]
2X
2Y
5X
5Y
U 2.5781 2.5781 -2.5781 -2.5781U 2.5781 2.5781 -2.5781 -2.5781
KEBG5 1.0e+004U-2.5781 -2.5781 2.5781 2.5781
-2.5781 -2.5781 2.5781 2.5781 U
=
[ ]
0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0
A50 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0
=
0 0 0 1
[ ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00
KEBGA5 1.0e+004=
0 2.578 2.578 0 0 0 0 -2.578 -2.5780 0 2.578 2.578 0 0 0 0 -2.578 -2.5780 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 -2.578 -2.578 0 0 0 0 2.578 2.5780
1X
1Y
2X
2Y
3X
3Y
4X
4Y
5X
5Y
UUUUUUUUUU 0 -2.578 -2.578 0 0 0 0 2.578 2.578
• Assemblage de la matrice de rigidité total du modèle La matrice de rigidité du treillis dans le repère global est :
[KG]=[KEBGA1]+[KEBGA2]+[KEBGA3]+[KEBGA4]+[KEBGA5]+[KEBGA6]
[ ]
0.7278 0 -0.7278 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
KG 1.0e+5=
0 0 0 0 -0.7278 0 1.2434 0 -0.2578 0.2578 0 0 -0.2578 -0.2578 0 0 0 1.2434 0.2578 -0.2578 0 -0.7278 -0.2578 -0.2578 0 0 -0.2578 0.2578 0.9856 -0.2578 -0.7278 0 0 0 0 0 0.2578 -0.2578 -0.2578 0.2578 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.7278 0 1.4556 0 -0.7278 0 0 0 0 -0.7278 0 0 0 0.7278 0 0 0 0 -0.2578 -0.2578 0 0 -0.7278 0 0.9856 0.2578 0 0 -0.2578 -0.2578 0 0 0 0 0.2578 0.2578
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
15
• Application des conditions aux limites U1X=U1Y=U3X=U3Y=0 et F4Y=F5Y=2000N impliquent le nouveau système d’équation suivant :
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1.0e+5
0 -0.73 0 1.24 0 -0.26 0.26 0 0 -0.26 -0.26 0 0 0 1.24 0.26 -0.26 0 -0.73 -0.26 -0.26 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.73 0 1.46 0 -0.73 0 0 0 0 -0.73 0 0 0 0.73 0 0 0 0 -0.
1X
1Y
2X
2Y
UUUU
26 -0.26 0 0 -0.73 0 0.99 0.26 0 0 -0.26 -0.26 0 0 0 0 0.26 0.26
3X
3Y
4X
4Y
5X
5Y
0000
U 0U 0U 0U 2000U 0U 2000
=
−
−
Sachant que U1X=U1Y=U3X=U3Y=0, on peut éliminer les première,deuxième, cinquième et sixième lignes ainsi que les colonnes correspondant à ces déplacements dans la matrice de rigidité. Résolution du système d’équations :
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1.0e+5
0 -0.73 0 1.24 0 -0.26 0.26 0 0 -0.26 -0.26 0 0 0 1.24 0.26 -0.26 0 -0.73 -0.26 -0.26 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.73 0 1.46 0 -0.73 0 0 0 0 -0.73 0 0 0 0.73 0 0 0 0 -0.
1X
1Y
2X
2Y
UUUU
26 -0.26 0 0 -0.73 0 0.99 0.26 0 0 -0.26 -0.26 0 0 0 0 0.26 0.26
3X
3Y
4X
4Y
5X
5Y
0000
U 0U 0U 0U 2000U 0U 2000
=
−
−
Résolution de ce système d’équations réduit nous donne les déplacements correspondants :
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
16
{ }
2X
2y
4X
4Y
5X
5Y
U -0.0868U -0.2503
0.0274UUREDUITE mm
-0.2777U 0.0548U-0.4688U
= =
La matrice des déplacements nodaux au complet est :
{ }
1X
1Y
2X
2Y
3X
3Y
4X
4Y
5X
5Y
U 0U 0U -0.0868U -0.2503U 0
UTOTALEU 0U 0.0274U -0.2777U 0.0548U -0.4688
= =
mm
Post-Traitement La matrice des réactions est :
{R}=[KG]*{UTOTAL}-{F}
{ }
1X
1Y
2X
2Y
3X 3
3Y
4X
4Y
5X
5Y
R 6.3171R 0R -0.1194R -0.2385R -6.2093
R 10R 4.2152R 0R 0.0059R 0.0116R 0.0174
= =
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
17
Les déplacements nodaux et les forces internes dans chaque élément se calculent à l’aide des équations :
[u] = [T]-1 [U] Et
ix ix
iy iy
jx jx
jx jx
f uk 0 k 0f u0 0 0 0f uk 0 k 0
0 0 0 0f u
AEoù : kL
− = −
=
Les contraintes élémentaires se déterminent par l’expression :
ix jx ix jx ix jxk(u u ) AE(u u ) u uf E( )A A AL L
− − −σ = = = =
2.2 Colonne Exemple 2.2 Soit une colonne en acier (E=199 948MPa) qui supporte 4 planchers telle que présentée à la figure 2.12. Sachant que la colonne a une section de 25613 mm2, déterminez : • les déplacements axiaux au niveau de chaque plancher; • les contraintes dans la colonne dans chaque portion entre les planchers; • les déplacements aux niveaux A et B.
Solution
k= A*E/L = 25613 x 199948/4572= 1 120 137N/mm
• K=[k -k;-k k]
1.1201 -1.1201
K 1.0e+6 *-1.1201 1.1201
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
18
Figure 2.12 Colonne en charge. Adaptée de réf [2].
• KEG1=KEG2=KEG3=KEG4=K Élément (1) : Matrice de sélection :
• A1=[1 0 0 0 0;0 1 0 0 0]
1 0 0 0 0
A10 1 0 0 0
• KEGA1=A1'*KEG1*A1
1.1201 -1.1201 0 0 0-1.1201 1.1201 0 0 0
KEGA1 1.0e+6 * 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
19
Élément (2) :
• A2=[0 1 0 0 0;0 0 1 0 0]
0 1 0 0 0
A20 0 1 0 0
• KEGA2=A2'*KEG2*A2
0 0 0 0 00 1.1201 -1.1201 0 0
KEGA2 1.0e+6 * 0 -1.1201 1.1201 0 00 0 0 0 00
0 0 0 0
Élément 3 : • A3=[0 0 1 0 0;0 0 0 1 0]
0 0 1 0 0
A30 0 0 1 0
0 0 0 0 00 0 0 0 0
KEGA3 1.0e+6 * 0 0 1.1201 -1.1201 00 0 -1.1201 1.1201 00 0 0
0 0
Élément (4) :
• A4=[0 0 0 1 0;0 0 0 0 1]
0 0 0 1 0
A40 0 0 0 1
• KEGA4=A4'*KEG4*A4
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
20
0 0 0 0 00 0 0 0 0
KEGA4 1.0e+6 * 0 0 0 0 00 0 0 1.1201 -1.12010 0 0
-1.1201 1.1201
Matrice de rigidité globale :
• KG=KEGA1+KEGA2+KEGA3+KEGA4
1.1201 -1.1201 0 0 0-1.1201 2.2403 -1.1201 0 0
KG 1.0e+6 * 0 -1.1201 2.2403 -1.1201 0 0
0 -1.1201 2.2403 -1.1201
0 0 0 -1.1201 1.1201
Matrice des charges : • FG=-[0;222411;222411;222411;266893]
0-222411
FG -222411 N-222411-266893
Application des conditions aux limites : U1=0
1.1201 -1.1201 0 0 0-1.1201 2.2403 -1.1201 0 0
1.0e+6 * 0 -1.1201 2.2403 -1.1201 0 0
1
2
3
4
5
U 0U -222411U -222411
0 -1.1201 2.2403 -1.1201 -222411U 0 0 0 -1.1201 1.1201 -26U
6893
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
21
Résolution de ce système d’équations réduit nous donne les déplacements correspondants. Le vecteur des déplacements est :
1 1
2 1
3 1
14
15
U u 0U u -0.8339U u -1.4693 mm
-1.9061uU-2.1444uU
Les contraintes dans les éléments (sections entre les planchers) sont :
j i(e) E(u u )L
• SIGMA1=SIGMA(199948,4572,u2,u1) SIGMA1 = -36.4708MPa
• SIGMA2=SIGMA(199948,4572,u3,u2) SIGMA2 = -27.7873MPa
• SIGMA3=SIGMA(199948,4572,u4,u3) SIGMA3 = -19.1026 MPa
• SIGMA4=SIGMA(199948,4572,u5,u4) SIGMA4 = -10.4202MPa Déplacement au niveau A(uj =u2 =-0.8339mm, ui = u1= 0mm) Pour un élément linéaire les fonctions de forme dans le repère local sont :
i jy yN 1 ; NL L
(Voir figure 2.13 pour la relation entre les repères local et global d’un élément de linéaire de barre. Le point A appartient à l’élément (1) d’où son déplacement est interpolé avec les déplacements aux nœuds 1 et 2 :
function y=SIGMA(E,L,uj,ui) y=E*(uj-ui)/L;
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
22
(A) A A1 1 2 2 1 2
(A)
(A)
y yu N u N u (1 )u ( )uL L
3048 3048u (1 )(0)+( )(-0.8339)4572 4572
u 0.5559mm
Déplacement au niveau B(uj= u5 = -2.1444mm, ui = u4 = -1.9061mm)
(B) B B4 4 5 5 4 5
(A)
(A)
y yu N u N u (1 )u ( )uL L
4572 2438 4572 2438u (1 )(-1.9061)+( )(-2.1444)4572 4572
u 2.01732mm
Figure 2.13 Relation entre les repères local et global d’un élément de barre. Adapté de
réf. [2]
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
23
Références [1] Comprendre les éléments finis - Principes, formulations et exercices
corrigés, Alain Chateauneuf, Ellipses, ISBN 978-2-7298-5430-0 [2] Finite Element Analysis – Theory and Application with ANSYS, 3rd
Edition, Saeed Moaveni, Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0-13-189080-0 [3] A first course in the Finite Element Method using Algor, Dany Logan, PWS
publishing Co, ISBN 0-534-94692-5 Exercices
2.1 Les membrures du treillis présenté à la figure 1 ont une section de 1500mm2. Sachant que leur module d’élasticité est de 70GPa, calculez :
a. le déplacement du joint A; b. les contraintes dans les membrures; c. les réactions.
900N
60o 60o
915m
m
A
Figure 1
2.2 La figure 2 illustre un treillis dont les membrures ont une section de 1500mm2. Sachant que leur module d’élasticité E = 70GPa, calculez :
a. les déplacements des joints; b. les contraintes dans les membrures; c. les réactions.
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
24
2
1500N43
1
1000
mm
1500mm
Figure 2 2.3 Le système illustré à la figure 3 comporte des membrures en acier dont le module
d’élasticité E = 200GPa. Déterminez :
a. les déplacements des points E et F; b. les contraintes dans les membrures.
15kNED
F
100mm125mm
250mm300mm
A= 515mm2A= 322mm2
Figure 3
2.4 Le poteau présenté à la figure 4 est fait de tube en acier dont le module d’élasticité est de 210GPa. En négligeant l’effet du vent, calculez :
a. le déplacement du point A au sommet du poteau; b. les contraintes dans les sections du poteau.
Mécanique des matériaux composites – Annexe A-2 Élément de barre
H2014
25
A=484mm2
450N
670N
900N
A=1390mm2
A=1900mm2
3000
mm
1500
mm
1500
mm
B
Figure 4