9-20111227133746

PHY 235 : T.D corrigés électrostatique. H. Cercellier

1

SOLUTIONS DES EXERCICES DE TRAVAUX DIRIGES

DE L’U.E. PHY235

(F = facile, M = moyen, D = difficile)

Charges dans la matière

1.(F) L’aluminium est un métal trivalent de masse volumique . A

quelle charge électrique correspondent les noyaux d’aluminium contenus dans de ce

métal ? Même question pour les électrons libres. La charge d’une sphère d’aluminium de

de volume, est limitée, en pratique, à environ ; dire à quelle fraction des électrons

libres correspond cette charge maximum.

R : La masse atomique de Al (ou masse d’un atome-gramme, i.e. de N atomes, nombre

d’Avogadro) est . Le nombre de noyaux contenus dans est donc N

. Ainsi, puisque le nombre de protons d’un noyau est égal au numéro atomique , la

charge électrique des noyaux contenus dans est .

Al est trivalent ; chaque atome est donc susceptible de « libérer » 3 électrons (électrons de valence) et la

charge en électrons libres dans est .

La charge limite de la sphère est la fraction de la charge en électrons libres.

Remarque : la charge en électrons de valence est une charge nécessairement compensée par les protons

des noyaux puisque chaque atome est électriquement neutre. La « charge limite » de la sphère est, quant à

elle, une charge additionnelle ajoutée par un procédé ad hoc, et donc non compensée par des protons ; elle

a ainsi peu à voir avec la charge en électrons de valence (sauf que les électrons dont elle est constituée

sont également libres). C’est le potentiel pris par la sphère, grandeur proportionnelle à la charge

additionnelle comme on le verra dans un module suivant, qui limite la valeur de cette charge additionnelle

(il ne peut guère dépasser quelques milliers de Volts dans l’air).

Forces électrostatiques


2

2.(F) Deux charges électriques de même valeur q , sont fixées en A et B sur un axe

aux abscisses et . Entre A et B on place une charge q’ libre de se

déplacer sur l’axe. Quelle est la position d’équilibre de q’ ? Quelle est la force exercée sur q’

hors de sa position d’équilibre ? Discuter de la stabilité de l’équilibre.

R :

Soit portant , et .

Force résultante sur :

avec et

1/ équilibre pour en O (car si on a )

2/ - si , est dirigée vers O : stabilité

- si , fuit O : instabilité

3.(M) Un électroscope élémentaire est constitué de deux sphères identiques reliées chacune

par un fil très fin non conducteur et sans masse, de de longueur, à un point fixe M .

Chaque sphère peut être considérée comme ponctuelle, et porte une charge électrique q de

. Quelle est la masse m de chaque sphère, sachant qu’à l’équilibre l’angle des fils

avec la verticale est de ?

R : Le dispositif est symétrique par rapport à l’axe .

Soit l’angle d’équilibre ; les forces appliquées sur la sphère A sont :

- son poids : ,

- la tension du fil : avec ,

- la force de répulsion exercée par la charge de la sphère B : .


3

A l’équilibre, la résultante de ces 3 forces est nulle ; donc chacune de ses composantes aussi ;

soit :

d’où (1) ,

et d’où (2)

Alors, en faisant le rapport (2)/(1) pour éliminer T , on obtient :

Soit :

4.(M) Calculer la force électrique s’exerçant sur une charge électrique q située à l’origine O

d’un axe , par une distribution linéaire de charges de densité linéaire uniforme ,

répartie entre les abscisses et .

R : La force exercée sur q par l’élément dx portant la charge et situé en P à la distance x

de O , est :

.


4

La force totale sur q est donc :

.

5.(M) Un cercle de rayon R , centré en O dans le plan , porte une densité linéaire

uniforme de charges . Quelle est la force exercée par cette distribution sur une charge

ponctuelle q située sur l’axe orthogonal à ce plan, à la distance z de O ? Discuter

suivant la valeur de z .

R : ds en P portant la charge , exerce sur q en M la force : .

Le problème présente une symétrie axiale autour de ; la force résultante sur q est

donc selon et il suffit de ne considérer que la composante de selon cet axe, soit :

,

On peut donc écrire en remarquant que et :


5

Discussion selon z :

,

d’où, pour :

z 0

df /dz - 0 + 0 -

0 max>0

f min<0 0+

et, pour : …

Champ électrostatique

6.(F) Calculer le champ électrique produit par un électron à une distance de .

R :

7.(F) Calculer le champ électrique produit en un point situé à une distance h d’un fil

rectiligne infini, uniformément chargé de par unité de longueur.


6

R : Supposons les charges réparties selon un axe , avec l’élément linéaire de charge

au point P d’abscisse x .

Si est un axe orthogonal à en O , et M un point de cet axe à distance h de O,

le champ électrique en M est :

(1)

La répartition de charge présentant, d’une part, une symétrie cylindrique d’axe et, donc,

une symétrie (miroir) par rapport à tout plan orthogonal à , le champ créé (vecteur vrai)

présente une symétrie cylindrique d’axe et est orthogonal à cet axe. Il suffit donc, dans (1), de ne

prendre en compte que la composante de selon , soit , en posant .

Pour résoudre l’intégrale (1), il est commode de prendre comme variable. On a, en effet :

- ;

- et , puisque .

Ainsi, (1) se réduit-elle à :

avec

Remarques :

1. Pour éviter les difficultés de signe, il vaut mieux choisir tel que entraîne dx > 0 .

2. Si on applique le théorème de Gauss, la résolution de ce problème est très rapide : en raison des

symétries invoquées, une surface de Gauss tronc-cylindrique d’axe , de longueur l et de

rayon h , voit sortir par sa paroi cylindrique un flux de valeur absolue , et par ses deux

sections droites un flux nul, puisque le champ est radial. On a donc :

, soit .


7

Comme l peut être pris aussi grand que l’on veut, trouvé est bien le champ créé par tout le fil.

8.(M) Un fil isolant est courbé suivant un cercle de rayon et de centre O . Entre

les extrémités du fil subsiste un espace de assimilable à un élément infinitésimal de

longueur. Une charge électrique de est répartie uniformément sur la longueur du fil.

Calculer le champ électrique créé en O par ce fil.

R : Si on ferme le cercle en comblant l’espace de 2 mm par un élément δs chargé avec la même

densité , on obtient une symétrie de charge qui produit en O un champ nul. En notant alors le

champ en O dû au cercle ouvert, et celui dû à l’élément ajouté chargé de , on doit avoir :

soit

Or : et

en admettant que .

9.(M) Un demi cercle de centre O et de rayon R porte une charge électrique uniformément

répartie de densité linéaire . Calculer le champ électrique créé en O .


8

R : Le champ en O s’écrit :

,

ds étant un élément d’arc du demi-cercle et le vecteur unitaire en O qui fuit ds .

Pour calculer , il est commode de choisir comme variable la coordonnée polaire de ds .

Dans ce cas, on a et . Mais, comme est nécessairement selon

, vue la symétrie de répartition des charges, seule la composante de selon est à considérer,

et l’on peut écrire :

soit :

10.(D) Une demi sphère de centre O et de rayon R , porte une charge surfacique uniforme de

densité . Calculer le champ électrique créé en O par cette distribution.

R : Le champ en O s’écrit :

,

étant un élément de surface de la demi-sphère et le vecteur unitaire en O qui fuit .

Pour calculer , il est commode de choisir comme variables les coordonnées sphériques

et de . Dans ce cas, il faut remplacer par et par sa seule

composante selon , soit , puisque, en raison de la symétrie de répartition des charges,

est nécessairement selon cet axe. On peut donc écrire :

soit :


9

11.(D) Un disque de rayon R est centré en O dans le plan . Il porte une densité

superficielle de charge uniforme . Calculer le champ électrique résultant en tout point

de son axe . Que devient lorsque ?

R : Le disque ayant une symétrie axiale d’axe , le champ en M de cote z peut s’écrire =

. Un élément de surface en un point du disque, produit alors en M à distance

r , le champ élémentaire , dont seule la composante selon est à prendre en

considération. Le vecteur étant l’unitaire qui pointe vers M depuis P en faisant l’angle avec

, cette composante vaut et le champ résultant est :

Il est commode de prendre pour variables d’intégration. Alors, comme ,

et , la relation précédente donne :

si


10

soit, la primitive de étant :

Remarques :

1/ Le rapport vaut ou , selon que ou .

2/ Comme , si : ou (selon que ou ),

qui sont les valeurs du champ créé par une répartition plane, uniforme et infinie de charges dans le vide.

Potentiel électrostatique et théorème de Gauss

12.(D) On considère dans un repère , une distribution de charges électriques de densité

volumique uniforme , répartie entre deux plans infinis parallèles au plan et situés

respectivement aux cotes et . En utilisant le théorème de Gauss,

calculer le champ et le potentiel électriques en tout point ; on prendra le potentiel nul dans le

plan . Représenter graphiquement les variations de ces deux grandeurs.

R : De l’analyse de la symétrie de la répartition des charges, il résulte que avec une symétrie

miroir par rapport au plan et qu’en conséquence :

. dans le plan , (puisque doit y être à la fois orthogonal et confondu),

. il suffit d’étudier pour (ou ).


11

Surface de Gauss : un tronc de cylindre de longueur z, dont l’axe est orthogonal au plan , et

fermé par deux surfaces circulaires parallèles au plan , de cotes respectives et .

1/ Envisageons le cas où la longueur de est .

avec (pour ou ). D’où il vient que . On a donc, pour tout

: ,

et comme est aussi grand que l’on veut, est bien le champ créé, à la cote z, par toute la charge.

Du fait de la symétrie miroir par rapport au plan , on voit immédiatement que cette relation est

aussi utilisable pour tout .

Le potentiel :

on a pour tout :

avec la constante arbitraire puisque le potentiel est nul pour par hypothèse.

Notons qu’aux limites , on a .

2/ Etudions, maintenant, le cas où la longueur z de est . Seule change la charge

qui prend alors sa valeur maximum ; pour ou le champ (assimilable à celui

créé par toute la charge) est donc :

Dans cette gamme de valeurs de z, on a, alors :

Or, comme en , la constante arbitraire est

En raison de la symétrie miroir par rapport au plan , le champ électrique doit s’écrire pour tout

: d’où, il résulte que


12

Or, en ; la constante arbitraire est donc

13.(M) Une distribution de charges électriques de densité volumique uniforme , est répartie

entre deux sphères concentriques de centre O et de rayons et . Calculer le

champ et le potentiel électriques en tout point, à l’aide du théorème de Gauss. On admettra que

le potentiel est nul à l’infini. Représenter graphiquement les variations de ces deux grandeurs en

fonction de la distance à O.

R : Prenons O comme origine d’un repère muni des coordonnées sphériques .

En raison de la symétrie sphérique de centre O de la distribution, le champ produit est radial et ne

dépend que de sa distance r à O ; on a donc

et car .

Surfaces de Gauss : des sphères de centre O.

1/ Etude pour .

avec flux sortant : .


13

d’où

et

avec constante arbitraire nulle, puisque lorsque , par hypothèse.

Rqe : pour , le potentiel vaut .

2/ Etude pour .

Surface de Gauss : la surface sphérique , équivalant à faire jouer à r un rôle analogue à celui

joué par dans l’étude précédente, d’où :

et donc :

avec constante arbitraire telle que , d’après la valeur

du potentiel obtenue pour dans l’étude précédente. Il s’ensuit que :

.

Rqe : pour , le potentiel vaut .

3/ Etude pour .

Le flux à travers la surface sphérique est nul puisque cette surface ne contient pas de charges.

est donc nul lui aussi ; ce qui entraîne que le potentiel soit constant et nécessairement égal à la


14

valeur qu’il possède à la limite , soit tel que, d’après l’étude précédente : .

14.(M) Au voisinage immédiat de la surface de la Terre supposée sphérique, on relève un

champ électrique vertical et dirigé vers le bas, de module .

- A quelle densité uniforme de charge superficielle ce champ correspond-il ? Quelle

est la charge totale Q portée par la Terre, sachant que son rayon est ?

- Lorsqu’on s’élève dans l’atmosphère, le champ électrique conserve les mêmes

direction et sens qu’au sol, mais son module varie en fonction de l’altitude z (en mètres),

comme : avec . Calculer la différence de potentiel

entre un point d’altitude et le sol.

R : - Soit T le centre de la Terre. La densité de charge de surface étant uniforme, la charge présente une

symétrie sphérique de centre T. Il s’ensuit que le champ produit est radial et que sa norme, , est

la même en tout point de la surface terrestre. Prenons pour surface de Gauss la sphère

confondue avec la surface de la Terre ; si est son vecteur unitaire sortant, qui est dirigé vers le

bas, peut s’écrire . Le flux sortant de est alors :

,

et la charge intérieure valant , le théorème de Gauss donne :

( est donc < 0 ) .

A.N. : On trouve : et donc .

- Soit O un point de la surface terrestre, et l’axe vertical montant (de vecteur unitaire ) d’un

repère . A l’altitude z, le champ qui est dirigé vers le bas, ne varie pas comme ,

mais s’écrit (à cause de charges présentes dans l’atmosphère).

On a donc :

d’où :


15

et l’on a :

15.(M) On admet que l’atome d’hydrogène puisse être assimilé à proton ponctuel, avec un

électron non localisé dont la charge électrique est répartie en volume selon une symétrie

sphérique centrée sur le proton. Le potentiel créé par l’atome à la distance r du proton est de la

forme :

Avec . Calculer le module du champ électrique créé par l’atome à la distance

r et trouver sa valeur pour . En appliquant le théorème de Gauss, vérifier que ce système

de charges comporte bien une charge en son centre, et que sa charge totale est nulle.

Déterminer la charge contenue dans une sphère de rayon r, centrée sur le proton. En

déduire la grandeur dont on tracera les variations en fonction de r .

R : - Assimilons le proton à un point O origine d’un repère muni des coordonnées sphériques

. En raison de la symétrie sphérique de centre O de la distribution de charge, le champ produit

est radial et ne dépend que de sa distance r à O ; on a donc .

Le potentiel est tel que : car

soit :

d’où : et

- Flux sortant de la surface sphérique de rayon r et centre O : comme

avec , en tout point de le champ est sortant et de même module. On a donc

, soit : .

Alors, si , ce qui montre que ne contient plus que la charge du proton

central ; et si , : la charge dans est nulle parce qu’en plus du proton, elle

contient en totalité .


16

- On a : .

Par conséquent : et la dérivée

étant du signe de , les variations de (qui peut se définir comme une sorte de « densité

radiale » de charge autour de O, puisque est la charge comprise entre les sphères de rayons r et

r + dr ) peuvent être représentées comme ci-dessous :

16. Trois charges électriques ponctuelles de valeurs respectives , et alignées

sur une même droite, sont espacées de a .

- Calculer la force électrique que chacune d’elles subit de la part des autres, et

déterminer l’énergie potentielle électrique de ce système de charges.

- Soient , et les forces électrostatiques respectivement sur A , B et C . On a :

;

, en raison de la symétrie par rapport au point O ;

, en raison de la symétrie par rapport au point O .

Les charges étant ponctuelles, leurs potentiels respectifs sont :

;


17

;

, en raison de la symétrie par rapport au point O .

L’énergie potentielle d’un système de n conducteurs aux potentiels respectifs , et portant les charges

respectives , étant :

,

on a :

- On dispose, maintenant, d’un alignement infini de charges ponctuelles alternativement

positives et négatives, mais de même valeur absolue et équidistantes entre elles. Calculer

l’énergie potentielle que possède l’une de ces charges (du fait qu’en son propre site, elle se

trouve au potentiel créé à cet endroit par toutes les autres). AN : . On admettra

que :

- Le potentiel créé en O par toutes les autres charges, est :

La charge e en O étant ponctuelle, l’énergie potentielle qu’elle possède au sein du système des autres

charges, est égal au travail à fournir pour l’amener (très lentement) de l’infini, où le potentiel est nul, en

O , où il vaut ; soit :

Remarque : A l’inverse, est l’énergie qu’il faudrait apporter à la charge e pour l’extraire de son

réseau.


18

Forces électrostatiques dans les systèmes de conducteurs

17.(M) Un très petit disque métallique de masse et de surface , est

posé sur un sphère conductrice de rayon . On élève progressivement le potentiel V

de la sphère. Pour quelle valeur de V le disque commence-t-il à se soulever (on assimilera le

disque à une calotte sphérique d’épaisseur négligeable et de même rayon que le sphère) ?

R : En élevant le potentiel du conducteur unique que forment, par contact, la sphère et le disque posé sur

elle, on augmente les charges non compensées - et de même signe - qu’ils portent l’un et l’autre. Les

forces de répulsion que subissent, par propriété, les charges du disque de la part des charges du reste de la

sphère, commencent à soulever le disque dès l’instant où elles deviennent, en norme, égales à son poids.

Maintenant, pour modéliser simplement le phénomène, il est commode de considérer le disque, du point

de vue de la répartition des charges, comme se substituant totalement à l’élément de surface de sphère

qu’il recouvre. En reprenant alors le raisonnement qui explique la « pression électrostatique », on peut

admettre que le champ auquel sont soumises les charges du disque, est celui dû aux charges que porte le

reste de la surface de la sphère, soit : , étant un unitaire normal sortant de la sphère.

Le disque (supposé très petit) subit donc la force électrostatique : qui s’oppose à

son poids .

Le potentiel au centre de la sphère (ainsi qu’en tout autre de ses points puisqu’il s’agit d’un conducteur)

s’écrit, s’il est pris nul à l’ : ; d’où il vient que :

et que


19

Le disque pouvant se soulever dès que , le potentiel qui permet d’atteindre ce seuil est tel

que : d’où .

18.(M) Une sphère métallique pleine de centre O et de rayon est portée au

potentiel .

- Calculer la pression électrostatique à la surface de ce conducteur.

- Calculer la résultante des forces s’exerçant sur une calotte sphérique de rayon de base

. AN : .

- La sphère métallique est constituée de deux hémisphères accolés au niveau de son plan

équatorial horizontal. L’hémisphère inférieur est fixe, et le supérieur est libre de se déplacer.

Pour quelle valeur du potentiel V, l’hémisphère supérieur se détachera-t-il de l’inférieur,

sachant que la masse volumique du matériau de la sphère est ?

R : - La pression électrostatique s’écrit . Or, dans l’exercice N° 16, on a montré qu’une

sphère soumise au potentiel V portait la densité de charge . Par conséquent :

A.N. : .

- Soit un repère attaché au centre O de la sphère, muni des coordonnées sphériques

où un élément de surface sphérique s’écrit .

Soit la force électrostatique sur un élément de surface de la sphère. Etant nécessairement

répulsive, cette force est dirigée vers l’extérieur ; de plus, en raison de la symétrie sphérique, elle est

radiale ; ce qui permet d’écrire en utilisant l’expression précédemment obtenue pour la pression :


20

La résultante des forces qui s’exercent en chaque point de la calotte, est alors telle que :

.

Du fait de la symétrie axiale de la calotte autour de , de vecteur unitaire , cet axe est le support de

. L’intégration peut donc se faire sur les seules projections de selon , ce

qui permet d’écrire: ,

soit : .

A.N. : .

- L’hémisphère supérieur soumis à son poids dirigé vers le bas et à la force électrostatique

dirigée vers le haut, se détachera à partir du moment où l’on aura .

Or , car pour un hémisphère , et .

La valeur du potentiel à partir de laquelle, l’hémisphère supérieur se détachera de l’inférieur, est donc

telle que : soit .

19.(M) Deux sphères conductrices de centres A et B , et de même rayon R , sont suspendues

par des fils isolants longs et fins à un même point O ; on a et R est supposé

petit devant a . Chaque sphère a une masse m. Lorsque les sphères sont portées au même

potentiel V, on observe un angle entre OA et OB. Calculer ce potentiel V pour :

.

R : Les deux sphères étant identiques et se trouvant au même potentiel V, elles doivent, compte tenu de

la symétrie du dispositif, porter chacune la même charge Q.

On suppose que R est assez petit devant la distance des sphères pour que chacune

puisse voir l’autre comme un point (remarquons qu’en raison des influences mutuelles, les densités

surfaciques de charges des sphères ne sont pas uniformes).

Les sphères étant conductrices, leur potentiel est uniforme ; il est égal, par exemple, à celui du centre B


21

de la sphère , qui est dû à la charge Q à sa surface, ainsi qu’à la charge Q sur la sphère vue

par comme un point à distance d. On a donc :

Soit, un repère cartésien dont l’axe est vertical montant. A l’équilibre, la somme

géométrique des forces appliquées en B, est nulle. Il s’agit de la force électrostatique exercée par

la charge Q de sur la charge Q de (charges réciproquement vues comme ponctuelles), de

la tension de module T du fil de suspension de , et du poids de . Décomposées selon

les deux axes de , ces trois forces s’écrivent :

, , ,

et l’égalité : permet d’écrire, d’une part : , et, d’autre

part : , soit, en éliminant T : , d’où

.Ainsi, le potentiel peut-il être reformulé comme : avec ;

A.N. :


22

Condensateurs

21.(M) On met en communication un condensateur sans charge de capacité C , et un générateur

au potentiel V . Calculer l’énergie reçue par le condensateur et l’énergie fournie par le

générateur. Trouver quelle est l’énergie disparue et déterminer le rendement de l’opération. On

met, maintenant, le même condensateur en communication avec un générateur au potentiel

, puis avec un deuxième générateur au potentiel V . Que devient le rendement de

l’opération ? Quelle est la limite atteinte quand on utilise n générateurs intermédiaires, aux

potentiels croissants ?

R : - A l’équilibre final, le condensateur (sous la tension V ) a emmagasiné l’énergie .

Pendant la phase de charge qui précède où le circuit est parcouru par un courant d’intensité i variable, le

générateur débite (sous la tension V ) la puissance . Cette égalité peut encore s’écrire

, représentant l’énergie cédée au circuit pendant par le

générateur, et la charge transférée d’une armature à l’autre du condensateur sur ce laps de temps. Si

on note Q la charge finale du condensateur, l’énergie cédée au circuit par le générateur sur toute la

durée de l’opération est :

.

est donc le double de , et l’énergie perdue au cours de la charge (par effet Joule dans le circuit)

vaut . Le rendement est, ainsi, de .

- Rappelons qu’un générateur ne « fournit » pas de charges au circuit qui boucle sur lui, mais apporte

l’énergie nécessaire au déplacement des charges (libres) déjà présentes dans ce circuit. Dans l’expérience

précédente, la charge Q accumulée en fin d’opération sur l’armature au potentiel V du condensateur, a

été prélevée par le générateur sur l’armature opposée (au potentiel nul) ; pour déposer cette charge sur

l’armature à V , le générateur a dû la faire transiter intérieurement, de son pôle d’entrée à son pôle de

sortie, en la remontant, ainsi, du potentiel nul au potentiel . L’expression de précédemment

obtenue montre que l’énergie dépensée par le générateur pour effectuer cette opération est le simple


23

produit, , de la charge reçue par le condensateur au cours de l’opération, et de la tension (constante)

du générateur. Cette remarque nous est utile pour étudier, à l’aide du tableau ci-dessous, le cas des deux

générateurs.

N° d’ordre de Tension Charge de C Charge reçue par C Energie dépensée par l’opération du géné. en fin d’opé. au cours de l’opé. le géné dans l’opé.

1

2

Dans cette seconde expérience, l’énergie finale du condensateur est toujours , mais celle

dépensée par le générateur est :

.

Le rendement est donc amélioré.

- Etudions maintenant, au moyen du tableau ci-dessous, le cas des n générateurs.

N° d’ordre de Tension Charge de C Charge reçue par C Energie dépensée par l’opération du géné. en fin d’opé. au cours de l’opé. le géné dans l’opé.

1

2

………….

n

L’énergie finale du condensateur est encore , et celle dépensée par le générateur est :

.

Le rendement est ; il tend vers 1 si n tend vers l’infini.


24

22.(F) Un condensateur a une capacité C de . Une de ses armatures, A , est au

sol, et on relie l’autre, B , à une génératrice électrostatique au potentiel de .

- Calculer la charge et l’énergie de .

- étant chargé sous , on supprime la génératrice puis on relie B à

l’armature B’ d’un condensateur de dont l’autre armature A’ est au sol.

Calculer la nouvelle valeur du potentiel commun de B et B’ . Calculer les charges de et

ainsi que leurs énergies. Quelle est l’énergie perdue dans l’opération ?

R : - Si est la tension de la génératrice, la charge de est , et

l’énergie qu’il a emmagasinée .

- Si, à l’équilibre final, les charges de et sont et sous la tension commune , du

fait de la conservation de la charge on doit avoir , soit . D’où l’on

tire :

.

On a ainsi :

et .

Les énergies emmagasinées par les deux condensateurs sont :

,

et l’énergie perdue :

23. Un condensateur à air est formé de deux armatures cylindriques et , d’axe

commun vertical et de rayons et ; est mobile et fixe. Pour


25

un enfoncement donné de dans , la hauteur de la zone commune non perturbée par les

effets de bord, est x . On note C la capacité qui correspond à la zone de hauteur x , et C’

celle qui correspond aux deux zones où se manifestent les effets de bord ; on admettra qu’une

variation de l’enfoncement produit une variation égale de x , mais que C’ reste constante.

L’armature , qui est solidaire d’un fléau de balance dont les deux bras ont même longueur,

est équilibrée par un contrepoids. Le fléau est horizontal lorsque et sont au potentiel

nul. On porte au potentiel V et on rééquilibre le système avec une masse sur le

plateau de la balance. Quelle est la valeur de V ?

R : Soit un axe vertical dirigé vers le bas, de vecteur unitaire ; son origine O est choisie à la

limite supérieure de la zone commune non perturbée par les effets de bord, de sorte que l’abscisse x de

sa limite inférieure puisse en représenter la hauteur. Admettre, alors, qu’une « variation de l’enfoncement

produit une variation égale de x », revient à dire que O doit être considéré fixe par rapport à .

La force électrostatique que exerce sur est attractive puisque les charges portées par les

deux cylindres sont opposées ; par conséquent, dans la configuration du dessin, elle tend à enfoncer

davantage dans ; de ce fait, elle est dirigée vers le bas. Lorsque la différence de potentiel V est

appliquée entre les armatures, est équilibrée par avec .


26

Un déplacement infinitésimal de sous l’effet de , apporte au condensateur l’énergie

.

Les 3 parts du condensateur complet, de capacités respectives C’ , et C’ , peuvent être vues

comme 3 condensateurs en parallèle. Par conséquent, la capacité totale du condensateur complet est

avec :

;

le déplacement produit donc :

,

les capacités C’ ne variant pas.

Au potentiel constant V , le déplacement entraîne le générateur à transférer la charge d’une

armature à l’autre, donc à fournir au condensateur le travail .

Il s’ensuit que la variation de l’énergie potentielle du condensateur dans l’opération est, finalement, la

somme :

.

Or,

;

d’où :

.

Par conséquent :

et

Remarque : il aurait été erroné d’écrire directement, en utilisant la relation , qu’à V

constant, la variation d’énergie du condensateur représente le seul travail des forces

extérieures appliquées. Cela impliquerait, en effet, que les forces extérieures fournissent du travail

pour accroître la capacité du condensateur . Or, les armatures s’attirant entre elles

du fait qu’elles portent des charges opposées, c’est le condensateur, au contraire, qui produit du travail

tout en augmentant spontanément sa capacité…


27

Dipôles électrostatiques :

26.(F) Soit un dipôle électrique de moment dipolaire et de centre O qui crée en un point

M éloigné, un champ électrique . Exprimer dans les coordonnées polaires avec

et , puis montrer que peut se mettre sous la forme :

R : Soit un dipôle constitué des charges et à la distance l’une de l’autre. Si est le

vecteur unitaire porté par la droite qui joint ces charges et qui est orienté de vers , son

moment dipolaire s’écrit .

On sait qu’en un point tel que , un dipôle crée le potentiel . Or,

dans les coordonnées polaires, on a . Par conséquent, le champ

en s’écrit :

.

Maintenant, puisque , le moment peut se formuler dans les coordonnées

polaires, comme . Ainsi, en ajoutant et retranchant le terme

à l’expression de , on obtient :


28

, soit : .

27.(M) Montrer que l’énergie potentielle d’un dipôle de moment dipolaire , dans un champ

électrique uniforme , est .

On considère, maintenant, deux dipôles et , de centres respectifs et tels que

. En utilisant les résultats de l’exercice précédent, trouver l’expression de

l’énergie potentielle d’interaction de cet ensemble. Préciser quelle est la nature de la force

d’interaction (attraction ou répulsion) entre ces dipôles, dans le cas où leur moments sont

alignés et de même sens, puis alignés et de sens contraire, puis côte à côte parallèles et de même

sens, et enfin côte à côte parallèles et de sens opposé (soit « antiparallèles »).

R : - L’énergie potentielle d’un dipôle dans un champ électrique en un point O , est égale au travail

à produire pour amener ce dipôle de l’infini, où le potentiel est supposé nul, au point O .

Remarquons qu’entre les deux charges opposées du dipôle, il existe une énergie d’interaction . Mais, un

dipôle étant considéré indéformable par nature, cette énergie est irrécupérable et ne peut, en conséquence,

être considérée comme « potentielle ». Il serait donc faux de calculer l’énergie recherchée par la relation

générale qui prend nécessairement en compte cette énergie d’interaction.

Soient, alors, et les potentiels aux deux points M et M’ infiniment proches l’un de

l’autre, où se retrouvent respectivement les charges et du dipôle dans leurs positions finales.

Comme les positions initiales sont situées infiniment loin de M et M’ dans une zone où le potentiel est

supposé nul, l’énergie dépensée pour ramener ces deux charges simultanément de l’infini, est la somme :

Alors, si est le champ en M , la différence de potentiel entre M et M’ étant par

définition, l’énergie potentielle du dipôle peut s’écrire, sachant que :


29

- Si amener de l’infini un dipôle à proximité d’un autre nécessite un apport extérieur d’énergie, cela

signifie qu’il faut lutter contre leurs forces d’interaction et qu’en conséquence, celles-ci sont répulsives.

Si, au contraire, ce rapprochement s’effectue spontanément, cela signifie évidemment que ces forces sont

attractives. Or, dans le premier cas, l’apport extérieur d’énergie accroît l’énergie potentielle des deux

dipôles depuis zéro (puisque, au départ, ces dipôles sont infiniment loin l’un de l’autre) jusqu’à une

valeur finie nécessairement positive ; tandis que dans le second, le travail dépensé ne peut être prélevé

que sur l’énergie potentielle disponible qui diminue ainsi de zéro jusqu’à une valeur finie obligatoirement

négative. Par conséquent, une énergie potentielle positive est le signe de forces d’interaction répulsives,

tandis qu’une négative est le signe de forces attractives.

L’énergie potentielle d’interaction entre et , est l’énergie potentielle de dans le champ

créé en par (ou celle de dans créé en par ), soit, selon l’exercice précédent :

Posons et ; alors, d’après la figure ci-dessus :

(a) Si et sont alignés de même sens, on a , , , et

donc ; les forces d’interaction sont attractives.

(b) Si et sont alignés de sens contraire, , , ,

et donc ; les forces d’interaction sont répulsives.


30

(c) Si et sont côte à côte, parallèles et de même sens, on a , ,

, et donc ; les forces d’interaction sont répulsives.

(d) Si et sont côte à côte, parallèles et de sens opposé, on a , ,

, et donc ; les forces d’interaction sont attractives.

28.(F) Calculer en , l’énergie potentielle d’interaction entre deux molécules d’eau,

sachant que leurs moments dipolaires sont antiparallèles, distants de et de module

égal à . Quelle est la grandeur macroscopique de l’eau qui est associée à cette

énergie ?

R : - Selon l’exercice précédent .

- la grandeur représente l’énergie qu’il est nécessaire de fournir pour dissocier deux molécules

d’eau (les éloigner infiniment l’une de l’autre) ; elle est donc liée à la chaleur latente de vaporisation de

l’eau.

29.(F) Dans une molécule d’eau, les deux ions hydrogène sont distants de d de l’ion oxygène

auquel ils sont liés, et forment, avec ce dernier comme sommet, un angle de . Le module

du moment dipolaire de l’eau valant , calculer d en assimilant les ions à

une charge ponctuelle , et l’ion à une charge ponctuelle . Comment expliquer,

qu’en réalité, ?


31

R : - Notons le moment dipolaire de la molécule d’eau, et et les moments des

deux dipôles portant chacun les charges et à la distance d l’une de l’autre, dont elle serait

constituée. On devrait donc avoir :

,

soit

avec et ;

d’où l’on tire :

.

- La distance ainsi obtenue est trois fois plus faible qu’en réalité, parce que la charge « effective » de la

molécule d’oxygène n’est pas , mais ; ce qui réduit à et les deux

charges « effectivement » portées par chacun des deux dipôles et . De ce fait, la distance d

précédemment calculée se trouve être multipliée par trois.

9-20111227133746

Documents

Transcript of 9-20111227133746