TP2 BETON PRECONTRAINT 9 janvier 2012 N. HENRY G. LACOSTE P. PERRIN F. RIZARD

APPLICATION NO : 3

1 . Rafraîchissement des connaissances Lire la première partie du rappel de cours (page 3) puis répondre aux questions posées sur le verso de la feuille de résultats (page 8) – Test à faire en temps limité – Correction pendant l’application

2 . Etude d'un chevêtre marteau précontraint Rappel de cours pages 4 et 5 : On étudie la section d'encastrement du chevêtre d'une pile de pont à poutres, précontraint par deux familles de trois câbles 12 T 15 Super (Section s = 12 x 150 mm2 pour chaque câble), de tracé ABCD (famille 1) et A'CBD' (famille 2), tendus en A et en A'. Ce chevêtre en double console supporte 4 poutres dont les poids sont représentés par les forces G1 et G2

(G1 = G2 = 0,50 MN).

12° 8° A

D’

B C A’ D

Lc2 Lc1 2,00

0,60

He

2,50 3,00 G2 G1 G1 G2

0,10

Les calculs seront effectués avec le règlement EC2. La section de chaque console du chevêtre est rectangulaire de hauteur variable de He mètres à l'encastrement sur la pile jusqu'à 0,60 mètre à son extrémité. L'épaisseur du chevêtre est de 3 mètres. Dans les sections d'encastrement (en B ou en C) tous les câbles passent à dix centimètres de la fibre supérieure. Les caractéristiques des câbles sont données dans le tableau des valeurs numériques sauf

Ep = 195000 MPa Les armatures sont de classe 2 : basse relaxation (ρ1000 = 2,5 k1 = 0,66 k2 = 9,1 )

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Le chevêtre est coulé sur cintre appuyé au sol. J1 jours plus tard, on tend simultanément les six câbles. La tension à l'ancrage est σ p,max = 1400 Mpa. Par simplification, les pertes instantanées en B des familles 1 et 2 seront prises égales à 350 MPa. A la mise en tension, le poids propre du chevêtre, ainsi que les poids G1 et G2 des poutres qu'il supporte, s'appliquent à la console, avec la précontrainte. En service, les poutres peuvent appliquer également au chevêtre des charges d'exploitation Q1 et Q2 (les valeurs sont données dans le tableau toutes pondérations comprises). Les charges Q1 et Q2 sont appliquées aux mêmes points que G1 et G2. On étudie la section d'encastrement contenant le point B. 2.1 Calculer le rayon moyen h0 de la section d'encastrement du chevêtre et la perte par retrait des câbles des

deux familles ( εcs est donné dans le tableau de valeurs numériques et on utilisera l'approximation du rappel de cours)

2.2 Calculer en B la tension initiale et les pertes par relaxation à l’infini des deux familles de câbles. 2.3 Calculer les pertes différées en B, à l'infini, en négligeant les pertes par fluage. En déduire la force de

précontrainte totale à l'infini dans cette hypothèse. Calculer dans la section B le moment total des charges permanentes (poids du chevêtre Mg et moment du aux charges G1 et G2). Calculer les contraintes dans le béton sous charges permanentes au centre de gravité des câbles ( σcg poids propre, σcp précontrainte et σc contrainte totale).

2.4 Le ciment est un CEM 42,5 N (Classe N de l'EC2) . A l’aide de l’abaque page 8, déterminer le coefficient

de fluage ϕ ( ∞ , j1), j1 désignant le jour de mise en tension . En déduire une approximation des pertes par fluage dans la section B d'encastrement, en utilisant la contrainte dans le béton déterminée dans la question précédente.

2.5 Avec cette valeur de la perte par fluage, recalculer les pertes différées et la tension à l'infini dans les

câbles, puis la contrainte dans le béton sous charges permanentes au centre de gravité des câbles. En déduire une nouvelle approximation de la perte par fluage avec cette contrainte dans le béton. Quel est l'écart en pourcentage entre ce calcul et celui de la question 2.4 ?

2.6 On conserve la perte par fluage trouvée en 2.5. Calculer les tensions moyennes et caractéristiques des

câbles, à la mise en tension et à l'infini. 2.7 Calculer les contraintes extrêmes en fibre supérieure de la console dans la section d'encastrement B (à la

mise en tension et à l'infini). Justifiez les cas de charges pris en compte pour ces contraintes extrêmes ainsi que le choix des valeurs caractéristiques des tensions dans les câbles

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Fiche de rappel de cours : Pertes différées dans les câbles 1 - Caractéristiques du béton : On rappelle que pour le règlement EC2 :

- Compression du béton : MPaen)j(fet)j(favecMPa8)j(f)j(f ckcmckcm +=

fcm(j) = βcc(j) × fcm avec : ( )

−×

=β j

281s

cc ej avec dans ces formules :

fcm résistance moyenne en compression du béton à 28 jours fck résistance caractéristique en compression du béton à 28 jours sur cylindre (fck = 40 MPa par exemple pour un béton C40 / 50) j âge du béton, en jours (j ≤ 28) fck(j) résistance caractéristique en compression du béton à j jours sur cylindre (j ≤ 28) fcm(j) résistance moyenne en compression du béton à l'âge j jours (j ≤ 28) βcc(j) coefficient qui dépend de l'âge du béton j s coefficient fonction de la classe du ciment :

0,20 pour les ciments de classe R : CEM 42,5 R, CEM 52,5 N et CEM 52,5 R 0,25 pour les ciments de classe N : CEM 32,5 R, CEM 42,5 N 0,38 pour les ciments de classe S : CEM 32,5 N

- Traction du béton :

La résistance moyenne en traction du béton est donnée par :

28jetMPa50)j(fsi10

)j(f80,1ln124,2)j(f

28jetMPa50)j(fsi)j(f30,0)j(f

ckck

ctm

ck3/2

ckctm

≤>

+×=

≤≤×=

- Module du béton : Le module sécant à 0,4 fcm peut être évalué par :

3,0cm

cm 10

)j(f00022)j(E

×= pour j ≤ 28 avec fcm et Ecm en MPa

Par ailleurs, le module tangent est égal à 1,05 Ecm.

2 - Pertes différées dans les câbles : Les pertes différées sont celles qui se produisent depuis la mise en tension des câbles jusqu'à l'infini :

• Pertes par retrait du béton ( ∆ σ s ∞ ) • Pertes par relaxation de l'acier des câbles ( ∆ σ r ∞ ) • Pertes par fluage du béton ( ∆ σ c ∞ )

1.1 Pertes par retrait du béton Le retrait du béton raccourcit la poutre et donc détend les câbles. La perte par retrait calculée au jour j , pour des câbles tendus au jour j mt s'exprime par :

( ) ( ) ( )[ ]mtcscsps jjEj εε −×=σ∆

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Dans cette formule, on a :

Ep Module d'Young des câbles

εcs (j) Raccourcissement de la poutre sous l'effet du retrait calculé au jour j

εcs (jmt) Raccourcissement de la poutre sous l'effet du retrait calculé au jour de la mise en tension jmt

L'origine des dates j et j mt

est prise le jour du bétonnage de la poutre.

( ) ( )[ ]mtcscs jj εε − représente la part du retrait qui affecte les câbles :

0

50

100

0 j j Age du béton en jours

% de retrait

bétonnage mise en tension date du calcul

ε cs ( j )

ε cs ( j ) mt

mt

part du retrait affectant les câbles

L'annexe B de l'Eurocode 2 définit le retrait εcs comme la somme du retrait de dessiccation εcd et du retrait

endogène εca :

( ) ( ) ( )jjj cacdcs εεε +=

Par simplification dans cette application on prendra εca(j) ≈ 30% de εcd(j) , soit :

( ) ( )j30,1j cdcs εε ×≈ (attention : cela ne figure pas dans l'EC2, ce n'est pas réglementaire)

Le retrait de dessiccation εεεεcd se calcule par le formule :

εcd(j) = βds(j) × kh(h0) × εcd,0 , on a donc : εcs(j) = βds(j) × 1,3 × kh(h0) × εcd,0 = βds(j) × εcs(∞)

- βds(j) est la loi de variation du retrait de dessiccation

30

dsh04,0j

j)j(

+=β

avec : j âge du béton à l'instant considéré, en jours h0 rayon moyen (en mm) de la section transversale : h0 = 2 Ac / u

avec : Ac aire de la section du béton u périmètre de la partie de la section exposée à la dessiccation.

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- kh(h0) est un coefficient qui dépend du rayon moyen exprimé en mm : L'Eurocode 2 donne un tableau :

h0 kh

100 200 300

≥ 500

1 0,85 0,75 0,70

On peut aussi utiliser la formule approchée de Krawsky :

2,1h1025,2h105,2)(hK 032

06

0h +×−×= −− (avec h0 ≤ 500 mm)

- εcd,0 , déformation relative du retrait de dessiccation de référence dépend de :

- de la résistance moyenne fcm en compression du béton, - de la classe du ciment (S, N ou R), - de l'humidité relative RH de l’environnement ambiant (ou hygrométrie).

L'Eurocode 2 donne une formule pour calculer εcd,0 , mais à défaut, on pourra se servir du tableau suivant :

valeur de fck en MPa Valeurs de εcd,0 exprimées en ‰ (pour RH=80%)

30 35 40 45 50

CEM 32,5 S 0,2158 0,2022 0,1895 0,1775 0,1664 CEM 42,5 N 0,2690 0,2533 0,2385 0,2246 0,2116

Ciment de classe N

CEN 52,5 R 0,3725 0,3526 0,3357 0,3158 0,2989

1.2 Pertes par relaxation des câbles La perte par relaxation (chute de contrainte au cours du temps), est évaluée par la formule :

( )5

0pm

175,0k

10001r 101000

tek 2 −

µ−µ ×σ

×ρ=σ∆

avec : ∆σr : perte due à la relaxation σpm0 : tension initiale (Rappel : soit après pertes instantanées) t : temps écoulé depuis la mise en tension en heures µ : rapport de la tension initiale à la résistance caractéristique des câbles à la traction

( µ= σpm0 / fpk ) ρ1000 : coefficient de perte par relaxation à 1000 heures et à 20°C

ρ1000, k1 et k2 sont définis par le tableau suivant :

Classe d'armatures ρ1000 k1 k2 classe 1 : fils et torons haute relaxation 8 5,39 6,7 classe 2 : fils et torons basse relaxation 2,5 0,66 9,1 classe 3 : barres 4 1,98 8

Attention : pour la perte à l'infini, on prend t = 500 000 heures.

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1.3 Pertes par fluage du béton La poutre comprimée par les câbles subit au cours du temps un raccourcissement du au fluage du béton. Ce raccourcissement provoque également des pertes de tension appelées pertes par fluage. Elles sont proportionnelles à la contrainte appliquée au béton. L'Eurocode 2 propose pour le calcul de la perte par fluage la formule suivante :

)j,j(E05,1

E)j,j(EE)j( mtcm

cpmt28cipccpc ϕ×

σ×=ϕ××=×=σ∆ εε

avec : E p Module d'Young des câbles

εcc Déformation du béton sous fluage

εci28 Déformation instantanée conventionnelle du béton sous charges permanentes calculée à 28 jours

ϕ ( j , j mt) Coefficient de fluage au jour j pour un chargement appliqué au jour j mt σ c Contrainte dans le béton, calculée au centre de gravité des câbles sous les

actions permanentes ( poids propre et action de la précontrainte ), le jour de la mise en tension (elle est supposée constante dans le temps).

E cm Module sécant du béton à 28 jours ( E c module tangent = 1,05 E cm ) La contrainte σ c au niveau des câbles est la somme de la contrainte due à la précontrainte σ cp0 et de la contrainte σ cg due aux autres actions permanentes. On a donc :

( ))j,j(

E05,1E)j( 0

cm

0cpgcpc ϕ×

σ+σ×=σ∆

Pour calculer σ cp0 et σ cg , on utilise les formules habituelles :

Gcg

G

0

c0cp I

yM)y(et

I

yeP

A

P)y(

×=σ××+=σ

avec y = e0 pour calculer la contrainte au centre de gravité des câbles (avec Ac = section de béton et IG inertie par rapport à un axe horizontal passant par G centre de gravité du béton.

σ cp0 dépend de la force de précontrainte P qui est calculée à partir de la tension initiale des câbles σ pm0 . Cette tension dépend de la tension à l'origine σ p, max et des pertes instantanées ∆σ pi . Le coefficient de fluage ϕ est fonction de la date j mt de mise en tension et du rayon moyen h0 de la section.

Pour évaluer ϕ ( ∞ , j mt) on peut utiliser les abaques de l'Eurocode :

- Page 7 -

Abaque de calcul de ϕϕϕϕ (∞∞∞∞, j mt) pour un environnement extérieur RH = 80%

0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 100

50

30

1

2 3

5

10

20

j mt

ϕ ( ∞, j mt )

S

N R

100 300

500 700

900 1100

1300 1500

h 0 (mm)

C20/25 C25/30 C30/37 C35/45

C55/67

C70/85

C90/105 C80/95

C45/55 C40/50

C60/75

C50/60

Utilisation de l'abaque : Suivre les numéros de 1 à 5 Nota : pour j mt supérieur à 100 jours, on conserve 100 jours et on utilise la tangente aux 3 courbes.

1

4

2 3

5

j mt

h 0 ϕ

∞ ( , j ) mt

- Page 8 -

Abaque de calcul de ϕϕϕϕ (∞∞∞∞, j mt) pour un environnement extérieur RH = 80% selon l'Eurocode 2

0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 100

50

30

1

2

3

5

10

20

j mt

ϕ ( ∞, j mt )

S

N R

100 300

500 700

900 1100

1300 1500

h 0 (mm)

C20/25 C25/30 C30/37 C35/45

C55/67

C70/85

C90/105 C80/95

C45/55 C40/50

C60/75

C50/60

- Page 9 -

1.4 Pertes différées totales Les pertes totales sont données par la formule :

( ))j,j(8,01eIA

1A

A

E

E1

)j(8,0)j()j()j()j(

mt20

G

c

c

p

cm

p

rscrsc,pd

ϕ×+×

+××+

σ∆+σ∆+σ∆=σ∆=σ∆ ++

avec : ∆σc Perte due au fluage du béton ∆σs Perte due au retrait du béton ∆σpr Perte due à la relaxation des câbles Ap Section de toutes les armatures actives (câbles de précontraintes) Ac Aire de la section de béton I G Inertie de la section de béton par rapport à un axe horizontale passant par G e 0 Excentricité moyenne de la précontrainte ϕ Coefficient de fluage

1.4 Valeurs de la contrainte dans les câbles en service A la mise en tension, il n’y a que les pertes instantanées. A l’infini les pertes différées s’ajoutent aux pertes instantanées.

σ p,max la tension à l'ancrage ou à l'origine ∆σ i les pertes instantanées totales ∆σ d les pertes différées totales ∆σ p ∞ Les pertes totales ( ∆σ∞ = ∆σi + ∆σd ∞ )

Tension probable en service à l'infini : σp ∞ = σ p,max - ∆σ i - ∆σ d

Valeurs caractéristiques maximum et minimum de la tension à l'infini :

σp k,sup = 1,10 × σp ∞ σp k,inf = 0,90 × σp ∞

- Page 10 -

** TABLEAU DES VALEURS NUMERIQUES **

N° H B fck L j1 He Lc1 fpk fp0,1k fck εcs Mg Q1 Q2

m m MPa m j m m MPa MPa Mpa 10-4 MNm MN MN 1 1,00 1,20 35 30,00 10 1,20 6,50 1770 1600 35 2,0 -1,2675 0,38 0,52 2 1,30 0,82 40 26,00 15 1,30 6,60 1700 1590 40 2,5 -1,3613 0,32 0,45 3 1,10 0,65 30 24,00 12 1,10 6,40 1750 1595 30 3,0 -1,1776 0,28 0,40 4 1,05 0,70 35 24,00 22 1,05 6,30 1790 1600 35 3,5 -1,1163 0,25 0,35 5 1,15 0,65 40 23,00 8 1,19 6,35 1740 1610 40 4,0 -1,2046 0,36 0,38 6 1,25 0,65 30 26,00 23 1,25 6,60 1750 1620 30 4,5 -1,3340 0,30 0,35 7 1,20 0,75 35 25,00 27 1,18 6,50 1800 1600 35 2,0 -1,2569 0,18 0,22 8 1,30 0,72 40 26,00 16 1,28 6,53 1700 1590 40 2,5 -1,3219 0,32 0,45 9 1,10 0,68 30 24,00 10 1,08 6,44 1750 1595 30 3,0 -1,1820 0,28 0,40 10 1,05 0,74 35 24,00 11 1,03 6,25 1795 1600 35 3,5 -1,0889 0,12 0,20 11 1,15 0,72 40 24,00 12 1,12 6,43 1740 1610 40 4,0 -1,1990 0,36 0,38 12 1,25 0,80 30 26,00 13 1,22 6,32 1750 1620 30 4,5 -1,2083 0,30 0,35 13 1,20 0,85 35 26,00 14 1,18 6,48 1770 1600 35 2,0 -1,2492 0,38 0,52 14 1,30 0,95 40 27,00 15 1,28 5,61 1700 1590 40 2,5 -0,9756 0,32 0,45 15 1,10 0,75 30 24,00 16 1,08 6,38 1750 1595 30 3,0 -1,1601 0,28 0,40 16 1,05 0,65 35 23,00 17 1,03 6,27 1760 1600 35 3,5 -1,0958 0,15 0,22 17 1,15 0,74 40 24,00 18 1,13 6,47 1740 1610 40 4,0 -1,2192 0,36 0,38 18 1,25 0,65 30 25,00 19 1,23 6,25 1750 1620 30 4,5 -1,1865 0,30 0,35 19 1,20 0,78 35 25,00 20 1,17 6,43 1770 1600 35 2,0 -1,2248 0,38 0,52 20 1,30 0,82 40 26,00 21 1,29 6,32 1700 1590 40 2,5 -1,2432 0,32 0,45 21 1,10 0,98 30 24,00 22 1,09 6,48 1750 1595 30 3,0 -1,2020 0,28 0,40 22 1,05 0,92 35 23,00 23 1,04 5,61 1760 1600 35 3,5 -0,8812 0,12 0,30 23 1,15 1,04 40 23,00 24 1,14 6,38 1740 1610 40 4,0 -1,1906 0,36 0,38 24 1,25 1,12 30 25,00 25 1,24 6,59 1750 1620 30 4,5 -1,3246 0,30 0,35 25 1,20 1,22 35 26,00 26 1,19 6,47 1770 1600 35 2,0 -1,2506 0,38 0,52 26 1,30 0,98 40 27,00 9 1,31 6,55 1700 1590 40 2,5 -1,3461 0,32 0,45 27 1,10 1,00 30 24,00 10 1,11 6,38 1750 1595 30 3,0 -1,1753 0,28 0,40 28 1,05 0,88 35 23,00 12 1,06 6,27 1760 1655 35 3,5 -1,1106 0,18 0,34 29 1,15 0,62 40 25,00 15 1,16 6,18 1740 1640 40 4,0 -1,1267 0,26 0,38 30 1,25 0,99 30 26,00 17 1,27 6,57 1750 1620 30 4,5 -1,3327 0,30 0,35 31 1,20 0,75 35 25,00 20 1,24 6,46 1770 1600 35 2,5 -1,2728 0,34 0,43

- Page 11 -

Nom : N° H B fck L j1

He Lc1 fpk fp0,1k fck εs Mg Q1 Q2

Exercice 2 : 2.1 h0 = mm ∆σ s ∞ = MPa

βds(j1) =

2.2 σ pm,0 = MPa ∆σ r ∞ = MPa

2.3 Ecm = MPa IG = m4 Ac = m2 e0 = m

Dénominateur de ∆σ d inf :

∆σ d ∞ = MPa σ p ∞ = MPa P = MN MG = MNm Mg + MG = MNm σ cp = MPa σ cg = MPa

σ c total = MPa

2.4 ϕ (∞ , j1) = ε cc = ‰

∆σ c ∞ = MPa 2.5 ∆σ d ∞ = MPa σ p ∞ = MPa P ∞ = MN

σ cp = MPa σ c total = MPa ∆σ c ∞ = MPa

Ecart sur ∆σ c ∞ en % : 2.6 Contraintes dans les câbles à la mise en tension à l'infini σ pm,0 = MPa σ pm,inf = MPa σ k,sup = MPa σ k,sup = MPa σ k,inf = MPa σ k,inf = MPa 2.7 Contraintes dans le béton en fibre supérieure

σ cg = MPa σ cq = MPa à la mise en tension à l'infini P = MN P ∞ = MN

σ cp0 = MPa σ cp ∞ = MPa

σ max total MT = MPa σ min total ∞ = Mpa

Justification :

- Page 12 -

Nom : .........................................................................

Test à faire en 15 minutes environ :

- Entourer la ou les bonnes réponses et rayer la ou les mauvaises réponses de chaque ligne du tableau ci-dessous (une ou deux réponses sont vraies ou fausses par ligne)

- puis échanger la feuille avec le voisin pour la correction (mettre une croix en dernière colonne si la ou les réponses sont correctes).

Question Réponse 1 Réponse 2

1 trav ée indépendante q en MN/m

L

Dans la poutre ci-contre le moment à mi-travée est :

q L /2

q L2 / 8

2 Dans la même poutre de section Ac et de poids volumique γ, le moment de poids propre à mi-portée est de :

γ Ac L × L2 / 8 γ Ac × L2 / 8

3 Dans cette même section, sous l'action du poids propre, la contrainte est négative en fibre supérieure

Vrai Faux

4 console encastrée

q en MN/m

L

Dans la poutre ci-contre, le moment fléchissant dans la section d’encastrement vaut :

q L2 / 2

- q L2 / 4

5 Dans le cas précédent, la contrainte en fibre supérieure de la section d'encastrement est une compression une traction

5 Dans le même cas, pour précontraindre la poutre il faudrait placer le câble en haut en bas

6 Dans un câble extérieur au béton la perte par frottement est nulle Vrai Faux

7 Dans un câble intérieur au béton, la perte par frottement est plus forte ne partie courbe qu’en partie droite

Vrai Faux

8

G e0

y câble

sur ce schéma, dans le système d'axe Gy, l'excentricité du câble e0 est :

négative positive

9 Le câble du schéma précédent est un 19T15s - sa section est de : 2850 mm2 0,00285 m2

10 Il est tendu à 4,275 MN - Sa tension est de : 1200 MPa 1500 MPa

11 une section de 1,00 m de hauteur et de 1,2 m de largeur a une inertie propre par rapport à l'horizontale de :

1 m4 10 m4

12 Si on applique à cette section un moment négatif, la fibre supérieure est : comprimée tendue

13 Pour mesurer les coefficients de frottement du câble dans sa gaine, on équipe le câble d’un vérin à chaque extrémité.

Vrai Faux

14 Après du blocage des clavettes et retrait du vérin de mise en tension, la tension du câble diminue

Vrai Faux

15 Si on tend successivement 5 câbles dans une poutre, leurs tensions ne dépendent pas de l’ordre des mises en tension

Vrai Faux

16 Dans une poutre à précontrainte par câbles intérieurs au béton, si la précontraite est trop forte, la poutre peut flamber

Vrai Faux

17 Certaines barres de précontrainte ont un ancrage par écrou Vrai Faux

18 Il existe des câbles de précontrainte à fils lisses parallèles Vrai Faux

19 Les câbles peuvent être injectés à la cire pétrolière Vrai Faux

20 Les gaines en feuillard métallique mesurent environ 2 mm d’épaisseur Vrai Faux

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