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8/13/2019 8_Chap8_6Juillet2006.pdf

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LE Chapitre I : Rappels gnraux.

________

1

Chapitre 8

Les treillis


2/28

Calculer une structure : de la thorie l'exemple_____________________________________________________________________________________________________________188

Illustration au recto :

Projet de passerelle mixte bois/acier sur l'Ourthe La Roche en Ardennes, Belgique.

Matre d'uvre Francy Simon, La Roche en Ardenne, Belgique, 2004.


3/28

Chapitre 8. Les treillis_____________________________________________________________________________________________________________

189

1. QU'EST-CE QU'UN TREILLIS ?

Un treillis se dfinit la fois par ses caractristiques gomtriques et par son typede chargement :

les fibres moyennes des barres concourent en un mme point, matrialis parun nud;

chaque nud est une rotule parfaite : on parle de nud articulou rotul, par op-position au nud rigide;

les efforts sont appliqus aux nuds et jamais sur les barres elles-mmes (dansla mesure o le poids propre des barres est nglig).

Nous verrons au 3 que la deuxime proprit est nuancer en fonction de certai-nes considrations pratiques.

Il existe trois grandes catgories de treillis plans : le treillis simple, le treillis compo-s et le treillis form de barres qui se chevauchent.

Le treillis simple est form uniquement de mailles triangulaires

Si le nombre de ractions d'appui ne dpasse pastrois, ce type de treillis est le plus souvent isostati-

que. Il existe toutefois des exceptions comme lemontre la figure ci-contre : il s'agit d'un treillis sim-ple qui se referme sur lui-mme et dont le degrd'hyperstaticit interne est gal 3.

Le treillis compos rsulte de l'as-semblage de treillis simples

Un tel treillis peut tre isostatique(c'est le cas du treillis ci-contre) ouhyperstatique.


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Le treillis form de barres qui se chevauchent sans tre relies physi-quement

Un tel treillis peut tre isostatique ou hyperstatique : dans le cas ci-dessus il esthyperstatique de degr 1.

Le treillis ci-dessous, par contre, est isostatique. Il est toutefois qualifi decomplexecar il ne peut tre analys ni par la mthode de Cremona ni par la m-thode des sections (dcrites toutes deux au 5). Seule une mthode matriciellelui est applicable.

2. EFFORTS ET DFORMATIONS DANS LES TREILLIS

Une caractristique essentielle des treillis est l'absence de moments flchissants et afortiori d'efforts tranchants dans les barres. Pour le dmontrer, considrons unebarre AB au sein d'un treillis :

B

A

B

A

NB

VBNA

VA

=

==

=

=

=

BA

BA

B

BA

BA

NN

VV

LV

NN

VV0

0

quations d'quilibre de la barre :

LL


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191

L'effet des barres voisines sur la barre AB peut tre modlis par 4 composantesNA,NB(selon l'axe de la barre) et VA, VB(perpendiculaires la barre). Si on critles quations d'quilibre de cette barre, il apparat que l'effort tranchant est nul(VA=VB=0) et que l'effort normal dans la barre est constant. La rsultante desefforts exercs par les autres barres sur chacune des extrmits A et B est donc

aligne avec la barre et aucun moment flchissant ne peut y rgner :

Dans une structure quelconque soumise tous les types d'efforts, on sait que les

dformations de flexion ( dlEIMm ) sont nettement plus importantes que celles

de traction/compression ( dlEANn ) et d'effort tranchant ( dlGAVv v ) (voirchapitre 1 : 9 et exemple 2 du 16). Les treillis tant essentiellement soumis desefforts normaux, la proprit prcdente doit cependant tre nuance : l'expressiondu dplacement d'un point d'un treillis rsultant du thorme de la force unit(chap.1, 9) ne comporte au contraire plus que le terme provenant de l'effort nor-mal. L'intgrale est en outre remplace par une somme puisque cet effort normalest invariable au sein d'une mme barre :

=

=++=barresdeNbre

i

i

ii

ii

v

LAE

nNdl

GA

Vvdl

EA

Nndl

EI

Mm

1

devient

3. PEUT-ON SE PASSER DES ARTICULATIONS NODALES ?

Il est lgitime de penser que les articulations des treillis doivent poser certains pro-blmes de conception et de construction. C'est en effet pour cette raison que laplupart d'entre eux sont construits avec des nuds rigides, par exemple souds ouboulonns.

Si les nuds sont rigides, des contraintes de flexion apparaissent, du fait mme queles barres ne peuvent pas tourner librement autour de leurs extrmits respectiveset qu'elles doivent donc flchir pour suivre le dplacement des nuds. Le treillis se

comporte alors comme un cadre rigide (treillis nuds rigides). La figure ci-dessousillustre cet effet : elle compare les dformes ( une chelle amplifie) d'un mme

B

A


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treillis, dans deux situations o les nuds sont articuls d'une part (au-dessus) etrigides d'autre part (en dessous) :

Ces contraintes parasitaires de flexion sont souvent limites quelques pour-centde la "contrainte admissible" du matriau utilis et sont influences par diffrentsfacteurs comme la charge totale, la limite d'lasticit, la porte du treillis et le typedes sections1.

Remarquons toutefois que si l'on combine ces facteurs de manire dfavorable, ilse peut que l'une des barres au moins d'un treillis nuds rigides soit le sige decontraintes parasitaires de flexion dpassant largement les quelques pour-cent an-noncs.

L'exemple numrique dtaill ci-aprs illustre ce phnomne.

Notons cependant ds prsent que la prsence ou non de rotules aux nuds ne modifiequasiment pas la valeur des efforts normaux et des dplacements des nuds.

Les figures ci-dessous concernent un treillis de 6 [m] de porte et 1 [m] de hauteur,soumis une charge de 5 [kN] sur chaque nud de la membrure infrieure. Lesbarres en compression (effort not en rouge) sont tubulaires de diamtre 30 [mm]et d'paisseur 3 [mm], tandis que les barres en traction (effort not en en bleu) sontcirculaires pleines de diamtre 10 [mm].

1Pour davantage d'information ce sujet, consulter : "The determination of stresses due to bending in trussescomposed of fixed nodes loaded on their nodes : study of the influence of buckling".Actes du congrs internatio-nal de l'IASS de septembre 1999 Madrid. P. Latteur et P. Samyn.

Nudsarticuls

Nuds

rigides


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193

La premire figure reprsente la dforme (avec affichage des efforts normaux)calcule par le logiciel ISSD lorsque tous les nuds sont articuls.La deuxime figure reprsente la dforme (avec affichage des efforts normaux) dece mme treillis lorsque tous les nuds sont rigides. On voit que la valeur des ef-forts normaux est quasiment inchange.La dernire figure montre les contraintes parasitaires de flexion qui rgnent dans cetreillis lorsque les nuds sont rigides. Dans ce cas prcis, les contraintes parasitai-

res de flexion valent 6 [MPa] dans la barre 2-4, soit 15% de la contrainte de com-pression qui y rgne (39 [MPa]), ce qui est important.

En rsum, si les nuds sont rigides plutt qu'articuls,

les efforts normaux sont quasi identiques; l'allure de la dforme est diffrente, mais les dplacements des nuds

sont quasi identiques;des contraintes parasitaires de flexion se produisent et peuvent tre im-

portantes dans certains cas.


8/28


4. CALCUL DU DEGR D'HYPERSTATICIT D'UN TREILLIS

La procdure dcrite dans le chapitre 3 est applicable aux treillis. Il est cependantpossible de la simplifier pour l'adapter ceux-ci. Soit ble nombre total de barres, rle nombre de ractions d'appui et nle nombre total de nuds.

Par nud rotul, on peut tablir 2 quations (quilibre vertical et quilibre horizon-tal), ce qui procure un total de 2nquations. Par ailleurs, les inconnues sont les befforts normaux relatifs chaque barre ainsi que les rractions d'appui. Le degrd'hyperstaticit vaut donc :

)2()(, nrbI treilliss +=

5. RSOLUTION DES TREILLIS ISOSTATIQUES

Il existe plusieurs mthodes de rsolution des treillis isostatiques, parmi lesquelles :

la mthode des sections (ou mthode de Ritter (Allemagne, 1779-1859)), dontle principe consiste isoler des morceaux de structure judicieusement choisis et crire leurs quations d'quilibre;

la mthode graphique de Cremona;la mthode gnrale exprimant l'quilibre de tous les nuds selon une formula-

tion analytique;la mthode des dplacements, uniquement utilisable par ordinateur, et qui est

dcrite dans le chapitre 14.

La mthode des sections

N3

N1

N2

3 efforts inconnus,

3 quations disponiblesRaction connue

Q


9/28


195

La mthode des sections consiste effectuer une dcoupe imaginaire qui s-pare la structure en deux parties distinctes, de telle faon que l'une des deuxparties au moins soit caractrise par un maximum de trois efforts inconnus.En d'autres termes, la section ne peut pas couper plus de trois barres. Il suffitalors d'crire les quations d'quilibre de l'une des deux parties pour dtermi-

ner les efforts inconnus. Si la partie de structure dont on effectue l'quilibrecontient des appuis, il faudra au pralable avoir calcul les ractions corres-pondantes.

On peut ensuite rpter cette dmarche autant de fois que ncessaire en effec-tuant d'autres sections.

La mthode graphique de Cremona

Il s'agit ici de tracer le polygone des forces pour chaque nud, l'un aprs l'au-tre. Cette mthode n'est pas applicable en un nud si plus de deux efforts ysont inconnus. Pour plus d'informations sur la mthode de Cremona, on se

reportera l'exemple 1 de ce chapitre (9) ainsi qu'au chapitre 1 (8.4).

La mthode gnrale exprimant l'quilibre de tous les nuds

Cette mthode n'est pas vraiment intressante lors d'un calcul manuel car ellencessite la rsolution d'un systme dont le nombre d'quations devient viteimportant (2 quations par nud). De plus, lors d'un calcul par ordinateur, onlui prfrera la mthode des dplacements (voir chapitre 14), nettement plussystmatique et applicable galement aux treillis hyperstatiques. Cette m-thode est donc d'un intrt limit.

Soit un nud d'indice i reliant

plusieurs barres :

Pour que ce nud soit l'quilibre, il faut que :

la somme des composantes horizontalesNixdes effortsNiexercs sur cenud soit nulle;

la somme des composantesverticalesNiydes effortsNiexercs sur cenud soit nulle.

barre 1 : effortN1(N1x,N1y)



x

y Nud i


10/28


Si barreest l'angle que fait une barre concourante au nud iavec l'horizontale,les deux conditions prcdentes s'expriment sous la forme suivante :

=

=

0sin

0cos

noeudauesconcourant

barres

noeudauesconcourant

barres

barre

i

barre

barre

i

barre

N

N

Si on exprime chaque angle en fonction des coordonnes (xi,yi) du nud iet (xbarre,ybarre) de l'autre nud de la barre correspondante et que l'on rajoute lescomposantes connues (Qxi,Qyi) d'un effort extrieur ventuel exerc au nudi, les quations ci-dessus deviennent :

=

+

=

+

0

0

noeudauesconcourant

barres

,

noeudauesconcourant

barres

,

i

barre

iBarrebarreiy

i

barre

ibarrebarreix

L

yyNQ

L

xxNQ

Si on crit ces 2 quations pour chaque nud, on obtient un systme dont ladimension est gale au double du nombre total de nuds du treillis. Remar-

barre

Nudbarre(xbarre,ybarre)

Nud i(xi,yi)

Barre : effortNbarre

x

barre

Nudbarre(xbarre,ybarre)

Nud i(xi,yi)

Barre : effortNbarre

xy

Effort extrieurQ(Qxi,Qyi)


11/28


197

quons que si le nud correspond un appui, les quations ci-dessus doiventtre compltes par les composantes (Rxi, Ryi) de la raction correspondante :

=

++

=

++

0

0

noeudauesconcourant

barres

,,

noeudauesconcourantbarres

,,

i

barre

ibarrebarreiyiy

i

barre

ibarrebarreixix

L

yyNQR

L

xxNQR

6. BARRES EFFORT NUL

Avant toute rsolution d'un treillis, il est utile de vrifier si certaines barres corres-pondent un effort nul :

si deux barres concourent en un nud non charg, l'effort normal est nul dans cesbarres :

En effet, considrons par exemple la barre de droite et raisonnons par l'absurdeen supposant qu'elle est le sige d'un effort normal. Si c'est le cas, cet effortpossde une composante perpendiculaire la barre de gauche (selon la ligne en

pointills). Or, comme le nud n'est pas charg, cette composante n'est quili-bre par aucune force. L'effort correspondant est donc forcment nul.

l'effort relatif une barre joignant, en un nud non charg, deux autres barresalignes, est le sige d'un effort nul. De plusNa=Nb:

Cette proprit s'explique de lamme faon que dans le cas pr-cdent.

N= 0

N= 0

N= 0

Na

Nb


12/28


7. RSOLUTION DES TREILLIS HYPERSTATIQUES

La rsolution d'un treillis hyperstatique se fera sans difficult particulire par lamthode des forces dcrite au chapitre 3. Les coupures s'effectueront sur certainesbarres par extriorisation de l'effort normal qui y rgne, pris comme inconnue

hyperstatique (on coupera un nombre de barres gal au degr d'hyperstaticit). Parailleurs, le calcul des dplacements Fiij ,, selon le thorme de la force unit

(chap. 1, 9) sera simplifi comme indiqu au 2 (voir aussi exemples 1 et 2 du 9).

Notons que les treillis hyperstatiques peuvent aussi tre rsolus par la mthode desdplacements dcrite au chapitre 14.

Passerelle compose de deux treillis mtalliques tridimensionnels mailles py-ramidales, reliant les quartiers de Lauzelle et de l'Hocaille Louvain-la-Neuve,Belgique (conception : arch. Le Paige).Les membrures suprieures sont relies pardes lments secondaires qui supportent le tablier d'une part (la photo a t prise avantla pose de celui-ci) et qui limitent les risques d'instabilit d'ensemble d'autre part. (Photode l'auteur)


13/28


199

8. LE FLAMBEMENT DES TREILLIS

Les treillis, composs d'lments tendus et comprims, peuvent faire l'objet deplusieurs types d'instabilit :

un flambement local des barres comprimes, se produisant selon une longueurde flambement qui est en gnral gale la longueur de la barre (parfois moinssi les nuds sont rigides, selon le type d'assemblage et selon que la barre appar-tienne une membrure, un montant ou une diagonale : on peut aller jusqu' unfacteur 0,9 ou mme 0,8 - consulter les normes en vigueur pour plus d'informa-tion ce sujet).

un flambement global dans le plan du treillis, la manire d'une colonne com-prime :

Ce type d'instabilit peut se traiter par certains logiciels via une approche num-rique (voir chapitre 1, 14). Cette approche fournira d'une part la forme deflambement global associe la charge extrieure applique et d'autre part lecfficient critique qui exprime la valeur par laquelle il faut multiplier cettecharge pour que ce mode d'instabilit se produise (ce cfficient est donc gal

Qcrit/Q, et doit en principe tre suprieur 1).

un flambement global transversal, ou dversement, provoqu par une instabilittransversale d'une membrure comprime impliquant plusieurs barres et entra-

nant avec elle le reste du treillis. Ce phnomne peut se produire quand lamembrure comprime n'est pas contrevente latralement. Chaque lment decelle-ci possde alors une longueur de flambement transversale plus grande ouplus petite que sa longueur individuelle. Une approche numrique est renduepossible par certains logiciels qui fournissent la forme de flambement associe un cfficient critique ccrit(voir chap. 1, 14). Ce cfficient critique reprsente la

valeur par laquelle il faut multiplier les charges appliques pour que le flambe-ment se produise. Ainsi, si Nmaxest leffort dans llment de membrure le plussollicit, leffort critique de flambement vaut : ccritNmax et on peut retrouver salongueur de flambement relle partir de la loi dEuler (voir chap. 1, 11) :

max2

2

Nc

EILL

EIN

crit

z

f

f

z

crit

==

Q

Q

Qcrit

Qcrit


14/28


Il est important de faire remarquer que cette longueur de flambement ne corres-pond pas ncessairement la longueur entre deux points dinflexion que lon ob-tiendrait partir dune inspection visuelle de la forme de flambement. En effet,lassimilation de la longueur de flambement la longueur entre points dinflexionde la dforme nest valable que pour une barre sans appuis intermdiaires, alors

que dans le cas prsent la membrure est assimilable une poutre sur appuis lasti-ques.

Notons que,dans de nombreux cas, le flambement global peut tre empch pardes dispositifs de construction. C'est le cas lorsque la prsence d'une toiture oud'un tablier stabilise le treillis, ou que des lments secondaires relient les nuds detreillis voisins (voir photo en page 198).

Les figures suivantes illustrent le premier mode de flambement global d'une passe-relle compose de deux treillis relis au niveau de la membrure infrieure mais dontles membrures suprieures ne sont pas contreventes. Ce mode de flambement esttransversal. Ces treillis nuds rigides, d'une porte de 12 [m] et d'une hauteur de

1 [m], comportent 6 mailles et sont soumis en chaque nud de la membrure inf-rieure des efforts de 10 [kN]. Les sections sont toutes carres creuses (ct 50[mm], paisseur 5 [mm]) :

Premier mode de flambement d'une passerelle compose de deux treillisparallles dont les membrures suprieures ne sont pas contreventes.A vued'il, la distance entre deux points d'inflection successifs de la membrure suprieurevaut 5 [m], alors que la longueur de flambement relle vaut 1,77 m. Cest sur cette

valeur de 1,77 m et sur base dun effort de compression de 90 kN que la membruredevra tre vrifie. Les autres modes de flambement sont en toute rigueur aussi examiner avec soin.(Simulation sur le logiciel ROBOT Millennium).

Cfficient critique : 2,26Effort max. dans la membrure

suprieure : 90 kN

Distance entre points

dinflexion= 5 [m]

Vue en plan

m77,1mm1770

000.9026,2

500.307000.210

max

==

=

=

Nc

EIL

crit

zf


15/28


201

9. EXEMPLES

Exemple 1

Pour le treillis isostatique ci-dessous, on propose :

de calculer les ractions d'appui;de dterminer les efforts dans chacune des barres par les trois mthodes

(mthode de Cremona, mthode des sections, mthode gnrale).de calculer l'expression de la flche verticale au point d'application deQ;

Calcul des ractions d'appui

SoitN1N6les efforts normaux relatifs aux barres 1 6. Remarquons que laraction RVAest forcment nulle puisqu'elle ne peut tre quilibre par aucunautre effort vertical. En effet, RHAetN1agissent uniquement selon un axe ho-rizontal.

quilibre des efforts verticaux : RVB=Qquilibre des efforts horizontaux : RHA+ RHB= 0quilibre des moments par rapport au point A : RHBLQ2L= 0

On obtient : RVB=Q, RHB= 2Q, RHA= 2Q, (RVA= 0).

Q[kN]1

24

3

5

6

RHA

(RVA=0)

RHB

RVB

A

B

C

D

E

Q[kN]L L

LModuleEet sectionA

identiques pour toutes lesbarres


16/28


Calcul des efforts dans les barres par la mthode de Cremona

nud E :

=

=

on)(compressi2

(traction)

6

5

QN

QN

nud D (N6connu) :

=

=

(traction)

on)(compressi

4

3

QN

QN

nud C (N4et N5connus) :

=

=

on)(compressi2

(traction)2

2

1

QN

QN

Q

Q

Q24

3

6

Q

2Q

Q24

1

2

Q

5

Q

QQ2

5

6


17/28


203

Calcul des efforts dans les barres par la mthode des sections

Section 1 :

quilibre des efforts verticaux :N2cos45 +Q= 0quilibre des efforts horizontaux :N1+N2 cos45 +N3= 0quilibre des couples autour du point C :N3L+QL= 0

Sachant que cos45 = 1/ 2 , on obtient :

=

=

=

on)(compressi

on)(compressi2

(traction)2

3

2

1

QN

QN

QN

Section 2 :

quilibre des efforts verticaux :N6cos45 +Q= 0

quilibre des efforts horizontaux :N5+N6cos45= 0

On obtient : on)(compressi2(traction) 65 QNQN ==

Le calcul deN4est immdiat si on effectue une section dans les barres 3, 4 et5 : on obtient directementN4= charge extrieureQ (traction).

1

24

3

5

6

C

D

Q[kN]

E

Section 1

N2

N1

N3

5

6

Q[kN]

E

Section 2

N6

N5

Q[kN]1

24

3

5

6

RHA

RHB

RVB

A

B

C

D

E

Section 1

Section 2


18/28


Calcul des efforts dans les barres par la mthode gnrale

Il faut considrer chaque nud et crire les quations d'quilibre qui lui sontrelatives :

=

++

=

++

0

0

noeudauesconcourant

barres

,,

noeudauesconcourant

barres

,,

i

barre

ibarrebarreiyiy

i

barre

ibarre

barreixix

L

yyNQR

L

xx

NQR

Nud A :

coordonnes du nud A : (0,L)barre concourante en A : Barre 1: nud oppos (L,L), longueur Leffort extrieur appliqu : aucunprsence d'un appui (RxA,RyA)

=

++

=

++

00

000

1

1

L

LLNR

LLNR

yA

xA

0

01

=

=+

yA

xA

R

NR

Nud B :

coordonnes du nud B : (0,0)

barres concourantes en B : Barre 2: nud oppos (L,L), longueur L2 Barre 3: nud oppos (L,0), longueur L

effort extrieur appliqu : aucunprsence d'un appui (RxB,RyB)

Q[kN]1

24

3

5

6

RxA

RyA

RxB

RyB

A

B

CE

x D


19/28


205

=

+

++

=

+

++

000

2

00

00

2

00

32

32

L

N

L

LNR

L

LN

L

LNR

yB

xB

0

2

02

2

32

=+

=++

NR

NN

R

yB

xB

Nud C :

coordonnes du nud C : (L,L)barres concourantes en C : Barre 1: nud oppos (0,L), longueur L

Barre 2: nud oppos (0,0), longueur L2 Barre 4: nud oppos (L,0), longueur LBarre 5: nud oppos (2L,L), longueur L

effort extrieur appliqu : aucunpas d'appui

=

+

+

+

++

=

+

+

+

++

00

2

000

02

2

0000

5421

5421

L

LLN

L

LN

L

LN

L

LLN

L

LLN

L

LLN

L

LN

L

LN

02

02

42

52

1

=

=+

NN

NN

N

Nud D :

coordonnes du nud D : (L,0)barres concourantes en D : Barre 3: nud oppos (0,0), longueur L

Barre 4: nud oppos (L,L), longueur L

Barre 6: nud oppos (2L,L), longueur L2 effort extrieur appliqu : aucunpas d'appui

=

+

+

++

=

+

+

++

02

000000

02

2000

643

643

L

LNL

LNL

N

L

LLN

L

LLN

L

LN

02

02

64

63

=+

=+

NN

NN


20/28


Nud E :

coordonnes du nud E : (2L,L)barres concourantes en E : Barre 5: nud oppos (L,L), longueur L

Barre 6: nud oppos (L,0), longueur L2

effort extrieur appliqu : (Qx,Qy) = (0, Q)pas d'appui

=

+

+

=

+

++

02

00

02

2200

65

65

L

LN

L

LLNQ

L

LLN

L

LLN

02

02

6

65

=+

=

NQ

NN

Finalement, on obtient un systme de dix quations dans lequel les dix inconnuessontN1N6et RxA, RyA, RxB, RyB:

02

02

0

0

2

32

1

=+

=++

=

=+

NR

NN

R

R

NR

yB

xB

yA

xA

02

02

02

63

42

52

1

=+

=

=+

NN

NN

NN

N

02

02

02

6

65

64

=+

=

=+

NQ

NN

NN

Ces dix quations peuvent tre exprimes sous forme matricielle :

=

+

QQR

R

R

R

N

N

N

N

N

N

yB

xB

yA

xA

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00002/100000

00002/110000

00002/101000

00002/100100

000000102/10

000001002/11

100000002/10

010000012/10

0010000000

0001000001

6

5

4

3

2

1

La rsolution de ce systme fournit les solutions suivantes :


21/28


207

=

=

=

=

=

=

QN

QN

QN

QN

QN

QN

2

2

2

6

5

4

3

2

1

et

=

=

=

=

QR

QR

R

QR

yB

xB

yA

xA

2

0

2

Calcul de la flche en E

Puisqu'on recherche prcisment le dplacement au point d'application E dela chargeQ, le thorme de la force unit (chap. 1, 9) peut s'utiliser en consi-drant la structure soumise un effort de 1 [kN] la place de l'effortQ et ona :

==

==barresdeNbre

i

i

ii

i

ibarresdeNbre

i

i

ii

iiE L

AE

Q

N

NL

AE

nN

11

On obtient :

EA

QL

LQLQLQ

LQLQLQ

EAE 657,12

22211

1222221=

+++

++=

Les figures ci-dessous montrent les rsultats obtenus l'aide du logiciel ISSDpourles donnes suivantes : L = 2 [m], Q = 20 [kN], sections tubulaires identiques

(diamtre 50 [mm], paisseur 5 [mm] : aire 706,86 [mm2]),E= 210.000 [MPa] :

Dforme (et dplacement en E) avec nuds rigides :

Horiz = 0,808 mm, Vert = 3,409 mm,Ang = 0,001085 rad


22/28


Dforme (et dplacement en E) avec nuds articuls :

Dforme et valeur des efforts normaux avec nuds articuls :

Horiz = 0,808 mm, Vert = 3,411 mm,Ang = 0,000000 rad


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209

Exemple 2

Pour le treillis hyperstatique suivant, on propose :

de dterminer le degr d'hyperstaticit;de dterminer les efforts dans toutes les barres;de calculer l'expression de la flche verticale en F.

Dtermination du degr d'hyperstaticit

( ) ( ) 2144122 =+=+= nrbIs

Leve d'hyperstaticit

Le degr d'hyperstaticit valant 2, on peut choisir la structure isostatique derfrence en extriorisant deux efforts, et donc en coupant deux barres. On

veillera ne pas crer une structure isostatique de type mcanisme, commec'est le cas si on effectue une coupure dans les barres 2 et 4 :

Le choix des barres 2 et 7 semble plus judicieux. N2 et N7 tant les effortscorrespondants, le treillis hyperstatique de base peut se dcomposer en unesuperposition des trois structures isostatiques suivantes :

Q[kN]

Module et sectionAidentiques pour toutes lesbarres

Q[kN]L L

L

L

1

4 2

6

7

A

B

C

D

E

F

G

3

12

8

9

11

5 10


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Rsolution des structures isostatiques

Le calcul pourra se faire par une mthode quelconque, par exemple par la m-thode des sections. Le tableau ci-dessous reprend la valeur des efforts nor-maux dans les barres pour chacune des structures isostatiques.

Nde labarre

Longueurde la barre

Effort normal

0

FN

Effort normal

0

1n

Effort normal

0

2n

1 L 3Q 1/2 02 2L 0 1 03 L -2Q 1/2 04 2L 2Q 1 05 L Q 1/2 1/26 L 2Q 0 1/27 2L 0 0 18 2L 2Q 0 19 L Q 0 1/210 L Q 0

1/211 L Q 0 012 2L 2Q 0 0

Q [kN]

1

4 2

6

7

A

B

C

D

E

F

G

3

12

8

9

11

5 10

0FS

0,1 F

0,2 F

1

4 2

6

7

A

B

C

D

E

F

G

3

12

8

9

11

5 10

01S

012

kN1kN1

011+N2

1

4 2

6

7

A

B

C

D

E

F

G

3

12

8

9

11

5 10

02S

kN1kN1

022+N

7

021


25/28


211

Calcul des dplacements

( )

( )

( ) ( ) +=

=

++=

=

+=

=

=

=

=

12

1

12

1

12

1

222/3

2122

22

20,10

11

0,2

0,0

,2

0,1

0,0

,1

i

i

i

EA

LL

EA

n

EA

QLL

EA

nN

EA

QLL

EA

nN

i

i

i

iiF

F

i

iiF

F

( ) ( )

012

021

0,2

0,10

12

20,20

22

12

1

12

1

2

1

212

=

=

=

+=

=

=

=

i

i

EA

LL

EA

nn

EA

LL

EA

n

i

ii

i

i

Rsolution du systme d'inconnues

=

+

0

00,2

0,1

7

2

022

021

012

011

F

F

N

N

QN

QN

7812,0

6985,0

7

2

=

=

Calcul des efforts dans les barres de la structure hyperstatique

N2et N7tant connus, il suffit d'additionner les efforts relatifs chacune desstructures isostatiques en tenant compte des signes (convention N>0 en trac-tion) et en introduisant la pondration parN2etN7:

Nde labarre

Effortnormal

0

FN

Effortnormal

0

1n

Effortnormal

0

2n

Effort normal total

0

27

0

12

0nNnNN

F ++

1 3Q 1/2 0 2,5061Q2 0 1 0 0,6985Q3 2Q 1/2 0 2,4939Q4 2Q 1 0 0,7157Q5 Q 1/2 1/2 0,0465Q6 2Q 0 1/2 1,4476Q7 0 0 1 0,7812Q8 2Q 0 1 0,6330Q9 Q 0 1/2 1,5524Q10 Q 0 1/2 0,4476Q

11 Q 0 0 Q12 2Q 0 0 1,4142Q


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Calcul de la flche verticale au nud F

Le thorme de Pasternak (chap.3, 6) permet d'appliquer le thorme de laforce unit (chap.1, 9) en considrant n'importe quelle structure isostatiquesoumise effort unitaire. Ainsi, le choix ci-dessous est particulirement int-

ressant car il ne ncessite le calcul que de 4 efforts puisqueN5est nul priori(voir 6) et queN3=N9:

La rsolution de ce treillis ne soulve pas de problme particulier. On obtient :

n1= 2 [kN]; n2= 0 [kN]; n3= 1 [kN]; n4= 1,414 [kN]; n5= 0 [kN]; n6= 0[kN]; n7= 1,414 [kN]; n8= 0 [kN]; n9= 1 [kN]; n10= n11= n12= 0;

Nde labarre

Longueurde la barre

iL

Effort normaldans la struc-ture hypersta-tique de base

)2(F

N

Effort normaldans la struc-ture soumise effort unitaire

0

1n

iLnN F0)2(1

1 L 2,5061Q 2 5,0122QL

2 2L 0,6985Q 0 03 L 2,4939Q 1 2,4939QL4 2L 0,7157Q 1,4142 1,4314QL5 L 0,0464Q 0 06 L 1,4476Q 0 07 2L 0,7812Q 1,4142 1,5624QL8 2L 0,6330Q 0 09 L 1,5524Q 1 1,5524QL10 L 0,4476Q 0 011 L Q 0 012 2L 1,4142Q 0 0

La somme des termes de la dernire colonne vaut 12,0523QL et la flche en Fvaut donc : EAQLF 0523,12=

1 [kN]

1

4

3

7

9

5

F


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213

La figure ci-dessous indique la dforme, la valeur des efforts normaux, ainsi quela flche verticale en F, obtenus partir du logiciel ISSD, avec les donnes suivan-tes : L= 2 [m],Q= 50 [kN], sections tubulaires (diamtre 50 [mm], paisseur 5[mm] : aire 706,86 [mm2]),E= 210.000 [MPa].

Passerelle compose de deux treillis mtalliques parallles sur le Rhne enFrance :les nuds sont rigides et trs ramasss. (Photo de l'auteur)


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