6 Chapitre 6. Expérimentation............................................................................. 123

6.1 Objectifs ..................................................................................................................... 123

6.2 Présentation des cas réels ............................................................................................. 123

6.3 Application de la méthode de calage des seuils précis ....................................................... 125 6.3.1 Etude de l’échantillon de calage............................................................................................125

6.3.2 Etude d’un échantillon local..................................................................................................129

6.4 Application des méthodes de calage des seuils flous ......................................................... 133 6.4.1 Détermination des seuils flous..............................................................................................133

6.4.2 Sensibilité des seuils flous vis-à-vis des paramètres économiques..............................................134

6.5 Comparaison des seuils précis et des seuils flous.............................................................. 135

6.6 Conclusion et discussion................................................................................................ 135

122

6 Chapitre 6. Expérimentation

6.1 Objectifs Nous avons proposé, dans les chapitres 2 et 5, des méthodes pour le calage des seuils précis et flous

destinés à définir un niveau de dysfonctionnement à partir de la note de synthèse retenue. Cela nécessite

d’évaluer un échantillon de tronçons par un panel d’experts et l’utilisation de modèles de calcul de densités

de désordres. L’échantillon déjà utilisé, dans les chapitres 2 et 5, était un cas fictif comme illustration.

Nous présentons dans ce chapitre, l’application de ces méthodes de calage proposées sur un cas réel. Il

s’agit de :

• un échantillon avec avis d’experts : 37 rapports d’ITV réalisés pour 15 tronçons situés à

Strasbourg, 15 tronçons situés dans le Département du Bas-Rhin et 7 tronçons situés à Nantes ;

• un échantillon local : 264 rapports d’ITV issus du patrimoine du Grand-Lyon. Cet échantillon

local choisi comprend les notes des tronçons sans les avis d’experts.

Les résultats de ces premières expérimentations permettent de discuter la validité et la sensibilité des

méthodes proposées et du prototype informatique. Dans ce chapitre, nous montrons également

l’importance de la prise en compte des imprécisions par l’utilisation du calage flou.

6.2 Présentation des cas réels

L’échantillon avec avis d’experts concerne 37 rapports d’ITV. Pour chaque rapport, au moins 1 estimation

d’expert est disponible ; dans quelques cas plus de 3 estimations d’experts sont fournies (Werey et al.,

2008) (voir figure 59 et tableau 49).

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

Densité D(INF4) pour

Avi

s ex

pert

s

0

G1

G2

G3

G4

(α = 3 et p = 1)

*

Figure 59 : confrontation entre l’affectation issue du calcul (évaluation d’une note globale) et

l’avis d’expert pris pour référence (* deux avis G4 pour D = 20)

123

La figure précédente présente deux échantillons : échantillon (a) de 30 tronçons en noir (15 à Strasbourg

et 15 dans le Bas-Rhin) et échantillon (b) de 37 tronçons (échantillon (a) + 7 tronçons de Nantes en gris).

Le tableau suivant présente l’évaluation des 37 tronçons par les experts pour l’indicateur INF4. Seule est

conservée la justification en densité des experts (voir procédure b – chapitre 2).

Tableau 49 : avis d’experts et densités pour l’indicateur de dysfonctionnement INF4, réalisés pour 37 rapports d’ITV (15 tronçons situés à Strasbourg, 15 tronçons situés dans le

Département du Bas-Rhin et 7 tronçons situés à Nantes)

Tronçon Densité X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 STG01 2,36 G3 G4 STG02 3,96 G3 G3 G4 STG03 1,50 G2 G2 G2 G2/G3 STG04 2,48 G2/G3 G3 STG05 1,56 G3 G2 G3 STG06 1,12 G2 G2 STG07 2,91 G3 G3 G2 STG08 1,73 G2/G3 G3 STG09 2,32 G3 G3 G3 G2/G3 STG10 2,74 G3 G3 G2/G3 STG11 1,82 G2/G3 G2 STG12 0,59 G2 G2/G3 G2 STG13 0,29 G3 G2/G3 STG14 6,16 G3 G4 G4 STG15 0,20 G2 CG01 0,99 G3 G3/G4 CG02 0,24 G2 G2 CG03 4,53 G4 G3 G4 G3 CG04 0,17 G2 G2 CG05 1,07 G2 G2 CG06 0,04 G1 G1 G1 CG07 0,38 G2/G3 G2 G2 G3 G2 CG08 1,70 G3 G2/G3 G4 CG09 1,24 G2/G3 G3 G2 CG10 0,67 G2/G3 G2 G2 CG11 2,32 G4 G3 CG12 2,67 G3 G4 CG13 3,04 G4 G4 G4 G3 CG14 8,29 G3 G4 G4 G3 CG15 2,45 G3 G4 G4 G3 Nat1 3,43 G2 G1 G1 G1 Nat2 20 G4 G4 Nat3 3,09 G3 Nat5 1,03 G1 G2 G2 G1 Nat6 8,96 G4 Nat7 0 G1 G2 G1 G2/G3 Nat8 1,58 G1 G2 G2 G2

L’échantillon local est présenté sur la figure suivante :

124

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Note calculée avec

Fréq

uenc

e cu

mul

ée

(α = 3 & p = 1) Figure 60 : distribution des notes des tronçons d’un échantillon de 264

tronçons pour (α = 3 & P =1), ITV issues du Grand-Lyon

La figure montre la fonction de répartition des notes des tronçons pour l’échantillon local étudié. La note

calculée varie de 0 pour le tronçon le moins défaillant à 9.8 pour le tronçon le plus défaillant. On constate

que la majorité des tronçons a une note égale ou proche de 0. De plus l’échantillon ne présente aucun

tronçon avec une note comprise entre 3 et 9. On peut conclure que cet échantillon est globalement en très

bon état, et de plus l’évaluation du seuil S3 sera difficile à cause du manque de points.

6.3 Application de la méthode de calage des seuils précis

L’échantillon de calage avec avis d’experts utilisé pour cette application est l’échantillon (a) (voir figure 59).

L’objectif est de discuter la sensibilité et la validité des méthodes proposées sur des données réelles.

6.3.1 Etude de l’échantillon de calage

6.3.1.1 Détermination des seuils précis

Les seuils (S1, S2 et S3) ont été optimisés selon le critère MC (voir la méthodologie présentée dans le

chapitre 2 – 2-4). Nous avons choisi de montrer seulement le calage des seuils dans le cas où les densités

sont calculées pour (α = 2 & P = 1) et CFN/CFP = 1, les cas où les densités sont calculées pour (α = 3 et

α = 4 & P = 1) seront traitées et calées de la même façon. La figure 61 présente la variation du critère de

calage MC en fonction de S2 (figure 61a) et de S3 (figure 61b). Le seuil S1 est fixé et pour chaque valeur

de S2, S3 varie (figure 61a) et inversement (figure 61b).

125

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6S2

MC

a) calage S2 (S3 varie de 0.4 à 3.6)

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5S3

MC

4

b) calage S3 (S2 varie de 0.1 à 1.3)

Figure 61 : optimisation des seuils S2, S3 selon le critère MC

La figure 61 décrit le choix de valeurs des seuils (S2 = 0.745, S3 = 1.37) qui minimise le critère MC. On

aurait pu prendre S2 = 0.745 (correspondant à MC mini – figure 61a) et ensuite garder cette valeur pour

rechercher S3, mais il nous a semblé intéressant de conserver l’ensemble des points (figure 61b). Les

valeurs des trois seuils précis pour les trois cas de calcul de densité et des rapports de coût sont présentées

dans le tableau suivant :

Tableau 50 : valeurs des trois seuils calées pour des valeurs différentes de (α & P) et des scénarios CFN/CFP

CFN/CFP = 1 CFN/CFP = 2 CFN/CFP = 3 S1 S2 S3 S1 S2 S3 S1 S2 S3

α = 2 & P = 1 0.064 0.745 1.37 0.064 0.25 1.04 0.064 0.127 0.775 α = 3 & P = 1 0.15 1.5 3.95 0.15 0.65 2.7 0.15 0.48 2.3 α = 4 & P = 1 0.25 2.9 7.6 0.25 1 4.7 0.25 0.76 4.19

Le tableau précédent nous permet de constater que :

• les valeurs des seuils (S1, S2, S3) augmentent quand α augmente car ces seuils sont évalués en

fonction des densités calculés à partir de (α & P) ;

• en augmentant les valeurs du rapport (CFN/CFP), les valeurs des seuils diminuent. Ces

diminutions s’expliquent par le poids plus important attribué aux faux négatifs (FN), qui doivent

être évités, au détriment du nombre de faux positifs (FP). Les seuils se décalent donc vers la

gauche.

Suite à ces résultats nous nous sommes posés la question suivante : quelle est la correspondance entre le

calage fait avec l’échantillon (a) de 30 tronçons et l’expertise des 30 tronçons utilisés pour ce calage. La

réponse à cette question est fournie par l’examen du calage fait avec l’échantillon (a) de 30 tronçons. Les

résultats du test sont présentés dans les tableaux suivants :

126

Tableau 51 : résultats du calage fait avec l’échantillon (a) de 30 tronçons (pour CFN/CFP = 1) et ceci pour le cas de calcul de densité (α = 2 & P = 1) vis-à-vis de l’expertise des 30 tronçons de cet échantillon

tronçon X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 calcul STG01 G3 (ok) G4 (+1) G3 STG02 G3 (-1) G3 (-1) G4 (ok) G4 STG03) G2 (-1) G2 (-1) G2 (-1) G2/G3 (ok) G3 STG04 G2/G3 (ok) G3 (ok) G3 STG05 G3 (ok) G2 (-1) G3 (ok) G3 STG06 G2 (ok) G2 (ok) G2 STG07 G3 (-1) G3 (-1) G2 (-2) G4 STG08 G2/G3 (ok) G3 (+1) G2 STG09 G3 (ok) G3 (ok) G3 (ok) G2/G3 (ok) G3 STG10 G3 (ok) G3 (ok) G2/G3 (ok) G3 STG11 G2/G3 (ok) G2 (-1) G3 STG12 G2 (ok) G2/G3 (ok) G2 (ok) G2 STG13 G3 (+1) G2/G3 (ok) G2 STG14 G3 (-1) G4 (ok) G4 (ok) G4 STG15 G2 (+1) G1 CG01 G3 (+1) G3/G4 (+1) G2 CG02 G2 (ok) G2 (ok) G2 CG03 G4 (ok) G3 (-1) G4 (ok) G3 (-1) G4 CG04 G2 (ok) G2 (ok) G2 CG05 G2 (ok) G2 (ok) G2 CG06 G1 (ok) G1 (ok) G1 (ok) G1 CG07 G2/G3 (ok) G2 (ok) G2 (ok) G3 (+1) G2 (ok) G2 CG08 G3 (ok) G2/G3 (ok) G4 (+1) G3 CG09 G2/G3 (ok) G3 (+1) G2 (ok) G2 CG10 G2/G3 (ok) G2 (ok) G2 (ok) G2 CG11 G4 (+1) G3 (ok) G3 CG12 G3 (ok) G4 (+1) G3 CG13 G4 (ok) G4 (ok) G4 (ok) G3 (-1) G4 CG14 G3 (-1) G4 (ok) G4 (ok) G3 (-1) G4 CG15 G3 (ok) G4 (+1) G4 (+1) G3 (ok) G3

Nous avons testé le calage fait avec cet échantillon et ceci pour le cas de calcul de densité (α = 2, 3, 4 & P

= 1) vis-à-vis de l’expertise de ces 30 tronçons utilisés pour ce calage. Les résultats sont présentés dans le

tableau suivant :

Tableau 52 : bilan des écarts de classement

Nb (+3) Nb (+2) Nb (+1) Nb (ok) Nb (-1) Nb (-2) Nb (-3) α = 2 0 0 13 55 15 1 0 α = 3 0 0 16 60 8 0 0 α = 4 0 0 16 60 8 0 0

Les résultats précédents montrent que le calage fait pour les cas de calcul de densité (α = 2, 3, 4 & P = 1)

fournissent de meilleurs résultats avec α = 3 ou 4. Il convient de remarquer qu’un changement

d’affectation entre l’état G1 et l’état G2 peut être jugé moins grave qu’un changement d’affectation entre

l’état G3 et l’état G4. Nous notons également que le modèle ne peut pas éviter des écarts d’appréciation

avec des experts puisque les experts ne sont pas unanimes.

127

6.3.1.2 Confrontation des résultats avec de nouvelles expertises

Une étape très importante dans l’utilisation du modèle du calage est de déterminer les paramètres de calcul

de densité (α & P) qui peuvent être les meilleurs pour le calage. Ceci peut être fait en regardant la stabilité

ou bien la sensibilité des résultats obtenus par cette méthode de calage pour l’échantillon (a) de 30

tronçons vis-à-vis de l’expertise de nouveaux tronçons. Pour cela nous avons utilisé l’échantillon de 7

tronçons, situés à Nantes, pour tester le calage fait avec l’échantillon (a) de 30 tronçons. Les résultats sont

présentés dans les tableaux 53 et 54. On peut noter, pour certains tronçons, des écarts importants entre

avis experts et résultats du modèle. Ces écarts sont explicables par le fait que pour une faible longueur de

tronçon la densité calculée peut être élevée avec quelques défauts jugés non critiques par les experts. Par

exemple le tronçon Nat 1 (avis calculé : G4) a un longueur d’environ 7 m.

Tableau 53 : comparaison du calage fait (pour CFN/CFP = 1) avec l’échantillon (a) de 30 tronçons et ceci pour le cas de calcul de densité (α = 2 & P = 1) vis-à-vis de l’expertise des 7 tronçons de Nantes

tronçon X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 calcul Nat1 G2 (-2) G1 (-3) G1 (-3) G1 (-3) G4 Nat2 G4 (ok) G4 (ok) G4 Nat3 G3 (ok) G3 Nat5 G1 (-1) G2 (ok) G2 (ok) G1 (-1) G2 Nat6 G4 (ok) G4 Nat7 G1 (ok) G2 (+1) G1 (ok) G2/G3 (+1) G1 Nat8 G1 (-2) G2 (-1) G2 (-1) G2 (-1) G3

Tableau 54 : bilan des écarts de classement

Nb (+3) Nb (+2) Nb (+1) Nb (ok) Nb (-1) Nb (-2) Nb (-3) α = 2 0 0 2 8 5 2 3 α = 3 0 0 2 11 4 3 0 α = 4 0 0 2 11 4 3 0

Les résultats précédents montrent que le calage fait pour les cas de calcul de densité (α = 2, 3, 4 & P = 1)

fournissent de meilleurs résultats avec α = 3 ou 4. Ces constats nous conduisent à étudier les incertitudes

associées au calcul des seuils lors de l’utilisation des 7 tronçons de Nantes. Pour cela, nous avons recalé les

trois seuils précis, les résultats de recalage sont présentés dans le tableau suivant :

Tableau 55 : valeurs des trois seuils calés pour des valeurs différentes de (α & P) et pour CFN/CFP = 1

cas a) échantillon (a) de 30 tronçons

CFN/CFP = 1 S1 S2 S3

α = 2 & P = 1 0.064 0.745 1.37 α = 3 & P = 1 0.15 1.5 3.95 α = 4 & P = 1 0.25 2.9 7.6

cas b) échantillon (b) de 37 tronçons

CFN/CFP = 1 S1 S2 S3

α = 2 & P = 1 0.064 (+ 0 %) 0.93 (+ 25 %) 1.96 (+ 43 %) α = 3 & P = 1 0.15 (+ 0 %) 1.68 (+ 12 %) 4.52 (+ 14 %) α = 4 & P = 1 0.25 (+ 0 %) 3.4 (+ 17%) 9.27 (+ 22 %)

Les nouveaux seuils calés pour l’échantillon (b) avec 37 tronçons montrent des modifications très

importantes. Les modifications viennent du fait de la composition des 7 tronçons de Nantes pour le

recalage. On constate également que le seuil S1 ne change pas pour les cas de calcul de densité (α = 2, 3, 4

& P = 1), par contre le seuil S2 est modifié respectivement de 25 %, de 12 % et de 17 %. Le calage fait

128

pour le cas de calcul de densité (α = 3 & P = 1) présente une faible sensibilité par rapport à (α = 2 ou 4).

En conclusion, les comparaisons montrent que :

• les résultats du calage fait avec l’échantillon (a) de 30 tronçons représentent une bonne stabilité

lorsqu’on modifie la taille de l’échantillon (30 tronçons en 37 tronçons). Nous prendrons

l’échantillon de 30 tronçons pour le calage dans la suite ;

• le cas de calcul de densité (α = 3 & P = 1) est le meilleur pour le calage que ce soit pour 30 ou 37

tronçons.

6.3.2 Etude d’un échantillon local

6.3.2.1 Échantillon considéré comme représentatif du patrimoine à évaluer

Nous faisons l’hypothèse que l’échantillon de 264 tronçons est représentatif du patrimoine du Grand

Lyon : le patrimoine est donc jugé en très bon état. Dans ce cas, on applique la méthode proposée dans le

chapitre 2 (voir 2-5) en utilisant l’échantillon de calage (a) de 30 tronçons.

Les valeurs des proportions correspondant à chaque état pour les trois cas de calcul de densité (α = 2, 3, 4

& P = 1) sont présentées dans les tableaux suivants (56a et 56b). Ces tableaux (56a et 56b) présentent

également la comparaison des cas pour lesquels les densités de tronçon sont calculées pour (α = 3 & P =

1) vis-à-vis de (α = 2 & P = 1) et pour (α = 4 & P = 1) vis-à-vis de (α = 3 & P = 1). Le but de cette

comparaison est de voir l’influence du changement de (α).

Tableau 56 : valeurs des proportions et du nombre de tronçons correspondant à chaque état résultant des trois seuils précis calés pour (α = 2, 3, 4 & P = 1) et CFN/CFP = 1

a) 1 2 3 4

4 0 0 0 3 3 1.2 % 3 0 0 0 0 0 0 % 2 0 44 0 0 44 16.6 % 1 214 3 0 0 217 82.2 % 214 47 0 3 264 100 % 81.0 % 17.8 % 0 % 1.2 % 100 %

b) 1 2 3 4

4 0 0 0 3 3 1.14 % 3 0 0 0 0 0 0 % 2 0 44 0 0 44 16.6 % 1 217 0 0 0 217 82.2 % 217 44 0 3 264 100 % 82.2 % 16.6 % 0 % 1.2 % 100 %

Gj (α = 2) Gj (α = 3)

Gj (α

= 4)

Gj (α

= 3)

Pour CFN/CFP = 1, les tableaux 56a et 56b montrent qu’il n’a aucun tronçon en état G3 à cause de

l’échantillon local étudié, ce qui a conduit à S2 = S3. Cet échantillon ne comprend aucun tronçon dont les

notes varient de 3 à 9, par contre les tronçons dont les notes sont de 0 représentent 80 % (voir 6-2). Les

tableaux 56a et 56b montrent également que le nombre de tronçons en états G3 ou G4 est faible (3/264)

car l’échantillon local étudié est en très bon état.

Le tableau 56b ne montre aucun changement pour (α = 4 & P = 1) vis-à-vis de (α = 3 & P = 1). Le

tableau 56a montre peu de changements du nombre de tronçons dans chaque état : parmi les 217 tronçons

en état G1 avec la simulation (α = 3 & P = 1), 214 restent en état G1 avec la simulation (α = 2 & P = 1), 3

passent en état G2.

129

Le tableau suivant présente les nombres et les taux des tronçons dans chaque état (G1/G2/G3/G4) pour

l’échantillon de 264 tronçons, lors de la comparaison des cas (CFN/CFP = 1) vis-à-vis de (CFN/CFP =

2). Le but de cette comparaison est de voir l’influence du changement du rapport CFN/CFP.

Tableau 57 : valeurs des proportions et des nombres de tronçons correspondant à chaque état résultant des trois seuils précis calés pour (α = 3 & P = 1)

Gj(CFN/CFP = 1) 1 2 3 4 4 0 0 0 3 3 1.14 % 3 0 18 0 0 18 6.8 % 2 0 26 0 0 26 9.8 % 1 217 0 0 0 217 82.2 % 217 44 0 3 264 100 % 82.2 % 16.6 % 0 % 1.14 % 100 %

Gj(C

FN/C

FP =

2)

Le tableau montre des changements du nombre de tronçons dans chaque état : parmi les 44 tronçon en

état G2 avec la simulation (CFN/CFP = 1), 26 restent en état G2 avec la simulation (CFN/CFP = 2), 18

passent en état G3 (le rapport CFN/CFP = 2 permet d’obtenir S2 ≠ S3). Ces diminutions s’expliquent par

le poids plus important attribué aux faux négatifs (FN), qui doivent être évités, au détriment du nombre de

faux positifs (FP).

Cependant nous posons la même question que nous avons posé au (1-3-1) : quels sont les paramètres de

calcul de densité (α & P) qui peuvent être les meilleurs pour le calage. Ceci peut être fait en regardant les

changements associés au calcul des proportions correspondant à chaque état pour les trois cas de calcul de

densité (α = 2, 3, 4 & P = 1) lors de la prise en compte des 7 tronçons de Nantes. Pour cela nous avons

recalculé le nombre de tronçons dans chaque état en utilisant l’échantillon (b) avec 37 tronçons. Les

résultats du calcul sont présentés dans le tableau suivant :

Tableau 58 : valeurs des proportions et des nombres de tronçons correspondant à chaque état résultant des trois seuils précis calés pour échantillon a et b, et avec (α = 2, 3 & P = 1) et CFN/CFP = 1

a) (α = 3 & P = 1)

1 2 3 4

4 0 0 0 3 3 1.14 % 3 0 0 0 0 0 0 % 2 0 43 0 0 43 16.2 % 1 217 1 0 0 218 82.57 % 217 44 0 3 264 100 % 82.2 % 16.6 % 0 % 1.14 % 100 %

b) (α = 2 & P = 1)

1 2 3 4 4 0 0 0 3 3 1.14 % 3 0 0 0 0 0 0 % 2 0 43 0 0 43 16.2 % 1 214 4 0 0 218 82.57 % 214 47 0 3 264 100 % 81.06 % 17.8 % 0 % 1.14 % 100 %

Gj (échantillon a) Gj (échantillon a)

Gj (é

chan

tillon

b)

Gj (é

chan

tillon

b)

Pour pouvoir comparer les résultats des tableaux précédents nous proposons la somme du nombre de

tronçons situés en diagonale comme un indice reflétant la validation présentée par le calage fait avec

l’échantillon (a) de 30 tronçons vis-à-vis de la prise en compte des nouveaux tronçons. Le calcul de cet

indice pour les trois cas de calcul de densité et de rapport de coût est présenté dans le tableau suivant :

130

Tableau 59 : validation (%) du calage pour les trois cas de calcul de densité et de rapport de coût

CFN/CFP = 1 α = 2 & P = 1 260 (260/264) α = 3 & P = 1 263 (263/264) α = 4 & P = 1 262 (262/264)

Les résultats de ces simulations montre que le calage fait pour le cas de calcul de densité (α = 3) présente

une meilleure validation que les autres calages (α = 2, 4).

6.3.2.2 Échantillon considéré comme non représentatif du patrimoine à évaluer

Nous faisons maintenant l’hypothèse que l’échantillon de 264 tronçons est non représentatif du

patrimoine du Grand - Lyon. Dans ce cas, on applique la méthode proposée dans le chapitre 2 (voir 2-6).

Le tableau 61 suivant présente le nombre et les taux des tronçons dans chaque état (G1/G2/G3/G4)

pour l’échantillon de 264 tronçons. Nous comparons les seuils obtenus pour différentes hypothèses de

patrimoine :

Tableau 60 : proportions correspondant à différentes hypothèses de patrimoine Jeu P1 = P2 (%) P3 = P4 (%) Etat de patrimoine J1 40 10 bon J2 25 25 intermédiaire J3 10 40 mauvais

Le but de cette comparaison est de voir l’influence du changement des proportions (P1, P2, P3 et P4). Les

tableaux suivants présentent la comparaison entre les cas pour lesquels les seuils sont calés avec (J1 ou J2 -

tableau 61a) et avec (J3 ou J2 - tableau 61b).

Tableau 61 : valeurs des proportions et des nombres de tronçons correspondant à chaque état résultant des trois seuils précis calés avec (α = 3, P = 1) et (CFN/CFP = 1)

a)

1 2 3 4 4 0 0 0 3 3 1.14 % 3 0 0 0 0 0 0 % 2 0 43 4 0 47 17.8 % 1 214 0 0 0 214 81.06 % 214 43 4 3 264 100 % 81.06 % 16.28 % 1.51 % 1.14 % 100 %

b)

1 2 3 4 4 0 0 0 3 3 1.14 % 3 0 14 4 0 18 6.8 % 2 0 29 0 0 29 11 % 1 214 0 0 0 214 81.06 % 214 43 4 3 264 100 % 81.06 % 16.28 % 1.51 % 1.14 % 100 %

Gj (J2)Gj (J2)

Gj (

J1)

Gj (

J3)

Le tableau précédent nous permet de constater qu’une hypothèse de mauvais état du patrimoine

correspond bien à une augmentation du nombre de tronçons à réhabiliter, et inversement. Cette variation

est limitée puisque le calage dépend également des deux échantillons. Les valeurs des

sont donc des facteurs importants pour le calage. Cela montre l’importance de la connaissance du

patrimoine et donc l’importance de l’historique (voir chapitre 1). Nous proposons d’évaluer plus

précisément l’influence des hypothèses de P (E) sur le calage, à travers deux méthodes basées sur la

comparaison du calage avec l’échantillon (a) et l’échantillon (b) et une troisième méthode exposée au

chapitre 2 :

( ) 1......4iavecEiP =

131

• la première approche évalue les incertitudes associées au calcul des seuils lors de l’utilisation des 7

tronçons de Nantes. Pour cela, nous avons recalé les trois seuils précis, les résultats de recalage

sont présentés dans le tableau suivant :

Tableau 62 : valeurs des trois seuils calés pour des valeurs différentes de P(E) avec CFN/CFP = 1 et (α = 3 & P = 1)

cas a) échantillon (a) de 30 tronçons

CFN/CFP = 1 S1 S2 S3

J1 0.15 2.9 3.9 J2 0.15 1.9 3.2 J3 0.15 0.63 2.5

Cas b) échantillon (b) de 37 tronçons

CFN/CFP = 1 S1 S2 S3

J1 0.26 (+ 70 %) 3.2 (+ 10 %) 4.5 (+ 15 %) J2 0.26 (+ 70 %) 2.5 (+ 32 %) 4 (+ 25 %) J3 0.36 (+ 140 %) 0.92 (+ 52 %) 3.8 (+ 52 %)

Les nouveaux seuils calés pour l’échantillon (b) avec 37 tronçons montrent des modifications très

importantes en fonction du jeu utilisé. Les modifications viennent du fait de la composition des 7

tronçons de Nantes pour le recalage. Le calage des seuils (S1, S2, S3) fait pour le jeu J1 présente une plus

faible sensibilité par rapport aux calages faits pour les jeux (J2 et J3).

• la deuxième approche est l’indice reflétant la validation (voir 6-3-2-1 tableaux 58 et 59). Le calcul

de cet indice pour le cas de calcul de densité (α = 3, P = 1) et le rapport de coût (CFN/CFP = 1)

est présenté dans le tableau suivant, l’échantillon a est comparé à l’échantillon b :

Tableau 63 : validation et validation relative (%) du calage pour tous les cas de proportions d’état P(E) avec (α = 3, P = 1) et CFN/CFP = 1, l’échantillon a vs échantillon b

J P1 = P2 (%) P3 = P4 (%) J 1 40 10 J 2 25 25 J 3 10 40

l’indice de la validation J1 256 (256/264) J2 252 (252/264) J3 238 (238/264)

Nous constatons que les validations relatives dépendent de l’hypothèse sur l’état du patrimoine. Les

résultats de ces simulations montre que le calage fait pour le jeu J1 présente la meilleure validation.

• la troisième approche permet de choisir un jeu d’hypothèses. L’application de la méthodologie

proposée en chapitre 2 (voir 3-6-2) donne les résultats présentés sur le tableau suivant :

Tableau 64 : les simulations réalisées pour évaluer les pour une gamme de CFN = {1, 3, 10}

MC m,l

Jeux de distribution réelle sur un site (m)

Jeu (1) Jeu (2) Jeu (3) Jeu (1) 0,14 0,34 0,38 Jeu (2) 0,22 0,30 0,36

Jeux utilisé pour le

calage (l) Jeu (3) 0,39 0,36 0,32

Nous constatons que en augmentant les différences entre jeux l et , la différence relative entre deux

coûts augmente. Cela montre l’importance de la connaissance du patrimoine et donc l’importance

m

∆MC*

132

de l’historique (voir chapitre 1). Le tableau 65 présente le jeu à sélectionner selon le critère utilisé pour

comparer les 3 jeux possibles.

Tableau 65 : jeu de P(Ei) retenu selon les critères utilisés

Critère utilisé choix des meilleurs jeux (l) Espérance Mathématique J1

WALD J1 HURWICZ J2 SAVAGE J1

On peut conclure que le jeu J1 est le meilleur pour le calage selon 3 critères envisagés.

6.4 Application des méthodes de calage des seuils flous

L’échantillon de calage avec avis d’experts utilisé pour cette application est l’échantillon (a) (voir figure 61).

L’objectif est de démontrer l’importance de la prise en compte des imprécisions en utilisant le calage flou.

6.4.1 Détermination des seuils flous

En cohérence avec les résultats du calage précis (voir 6-3), les densités des 30 tronçons de l’échantillon

réel (a) (voir figure 59) sont calculées pour (α = 3 et p = 1). La figure 63 présente les résultats du calage

flou appliqué sur cet échantillon réel.

Dans la suite, nous détaillons l’application des outils proposés dans le chapitre 5 pour caler les trois seuils

flous (voir figure 63). Nous avons choisi de montrer seulement le résultat du calage du seuil S2/3 ; les

autres seuils (S1/2, S3/4) sont traitées et calés de la même façon. La figure 62 décrit le choix du couple de

valeurs (a, b), caractérisant le seuil flou S2/3, qui minimise le critère E (voir chapitre 5 - page 115 - équation

45). Les couples (a, b) caractérisant les trois seuils flous sont présentés dans le tableau 66 et la figure 63 :

E = f(a) pour b varie (de 0 à 3,6)

0,43

0,48

0,53

0,58

0,63

0,68

0,73

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8a

E

a) calage de a (b varie de 0 à 3.6)

Calage de seuil µ2/3RMS = f(b) pour a = 1,3

0,44

0,442

0,444

0,446

0,448

0,45

0,452

1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2b

RM

S

b) calage de b pour a = 1.3

E

Figure 62 : optimisation des paramètres (a et b) caractérisant le seuil flou possible, selon le critère E pour (α = 3 & P = 1) et CFN/CFP = 1

133

Tableau 66 : paramètres (a, b) choisis, caractérisant les seuils flous possibles pour (α = 3 & P = 1) et CFN/CFP = 1

a b Seuil 1/2 0,15 0,15 Seuil 2/3 1,3 1,9 Seuil 3/4 2,3 5,6

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Densité D(INF4)

Avi

s ex

pert

s

9

G1

G2

G3

G4

G2 G3 G4Fonctions d'appartenance aux 4 gravités

S1 S2 S3

Figure 63 : tracé des trois seuils flous calés et des quatre sous-ensembles flous

correspondant pour (α = 3 & P = 1) et CFN/CFP = 1

La figure précédente montre la forme des trois seuils flous et des quatre sous-ensembles flous

correspondant qui ont été calés afin de traduire la note de densité (D) d’un tronçon choisi en degrés

d’appartenance à chaque état G1, G2, G3, G4 de dysfonctionnement.

6.4.2 Sensibilité des seuils flous vis-à-vis des paramètres économiques

Le tableau 67 et la figure 64 montrent les valeurs des paramètres (a, b) quand le rapport (CFN/CFP)

augmente.

Tableau 67 : paramètres (a, b) calées pour (α = 3 & P = 1) et pour des valeurs différentes de CFN/CFP

CFN / CFP = 1 CFN / CFP = 1.5 CFN / CFP = 2 a b a b a b

Seuil 1/2 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 Seuil 2/3 1,3 1,9 1,1 1,6 0,9 1,4 Seuil 3/4 2,3 5,6 2 3,2 1,5 2

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Densité D (INF4)

1

Fonctions d'appartenance aux 4 gravités

G2G3

G4

G2

G2

G3

G3 G4

G4G1

G1

G1

CFN/CFP = 1

CFN/CFP = 1,5

CFN/CFP = 2

Figure 64 : déplacements des seuils pondérés lors du changement du rapport

CFN/CFP avec (α = 3 & P = 1)

134

La figure montre que le seuil S½ ne change pas car il n’y a pas d’erreur d’affectation. Nous constatons

qu’en augmentant le rapport CFN/CFP les valeurs des paramètres a et b diminuent pour réduire le

nombre de faux négatifs. Le paramètre b diminue plus vite que le paramètre a. La diminution des

intervalles flous est en cohérence avec la baisse de l’imprécision quand le gestionnaire fait une hypothèse

forte (« je ne veux surtout pas de faux négatif »).

6.5 Comparaison des seuils précis et des seuils flous

Pour pouvoir comparer les résultats des seuils précis et flous, nous avons appliqué la méthodologie

proposée dans le chapitre 5 (voir 5-5), pour une condition fixée de (α = 3 &P = 1 et CFN/CFP = 1) :

• nous avons déterminé la fonction d’appartenance à chaque état à partir des avis d’experts flous.

Cela a impliqué de caler trois seuils flous pondérés Sr (avec r =1/2 ; 2/3 ; 3/4) (voir figure 63) ;

• nous avons calé les trois seuils précis (S1, S2, S3) à partir de l’échantillon précis converti (voir

figure 63) ;

Lors du remplacement des seuils précis par des seuils flous (voir figure 63), une note n’est plus associée

seulement à un état mais à plusieurs. Il est aussi possible de voir l’imprécision associée à chaque seuil :

dans la figure 63, les zones de transition entre les états G1 et G2, et G2 et G3 sont limitées. Par contre la

zone de transition entre les états 3 et 4 est très étalée. On constate également figure 63, que le

recouvrement est très important entre les 2 sous-ensembles flous G3 et G4 du fait du petit échantillon

provisoire étudiée. La comparaison des résultats précis et flous permet de montrer les bénéfices apportés

par le calage en terme de priorité d’intervention. Si l’on considère l’ensemble des tronçons jugés en état

G3 par le calage précis ces tronçons seront classés par le calage flou :

• en état G3 voire G2 pour D < 1.9 ;

• en état G3 à 100 % pour 1.9 ≤ D ≤ 2.3 ;

• en état G3 voire 4 pour D > 2.3.

Ainsi, on constate que le classement des tronçons (selon leur état) pourra être affiné avec le calage flou

(par exemple parmi les tronçons en état G3 précis, seuls seront réhabilités les tronçons en état G3 voire

G4 flou).

6.6 Conclusion et discussion

L’application des méthodes de calage proposées sur le cas réel menée dans le cadre du projet INDIGAU

illustre la validité du prototype informatique proposé et la sensibilité de la méthode proposée. En effet, ces

expérimentations ont montré que :

• nous observons des déplacements légers des seuils précis (ou bien flous) et des nombres de

tronçons correspondant à chaque état lors du changements des paramètres (α & P) ;

• les valeurs de (α = 3 & P = 1) semblent actuellement fournir les meilleurs résultats de calage ;

135

• le rapport CFN/CFP est un facteur important permettant de contrôler efficacement les erreurs

d’affectation ;

• le seuil précis est très sensible aux variations d’hypothèse de P(E). Il est préférable de s’appuyer

sur un échantillon représentatif du patrimoine pour faire le calage ;

• la comparaison des résultats précis et flou permet de dire que l’utilisation de seuils flous permet

d’induire des nuances en prenant en compte des aspects éventuels d’imprécision ;

• dans le cas du calage flou, l’augmentation du rapport CFN/CFP conduit à réduire l’imprécision

(c’est-à-dire la taille des seuils flous).

Ces constatations montrent l’importance des hypothèses (P(E) et CFN/CFP) : le gestionnaire doit être

vigilant et conscient de l’implication de ses choix. En l’absence d’études plus poussées sur les paramètres

économiques et/ou en l’absence d’échantillon représentatif, des études de sensibilité devraient être menées

pour relativiser les conclusions sur certains tronçons.

136