PONTDE LA SÉQUENCE

CULTURE, SOCIÉTÉ ET TECHNIQUE

VERS LA SÉQUENCE

TECHNICO-SCIENCES

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III© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Table des matières

table des matières

La manipulation d’expressions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3• Factorisation : mise en évidence double, différence de deux carrés

et trinôme carré parfait• Manipulation d’expressions algébriques : division d’un polynôme par un binôme,

expressions rationnelles et opérations sur les expressions rationnelles

Les paramètres multiplicatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16• Rôle des paramètres multiplicatifs : paramètres multiplicatifs a et b

La fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25• Partie entière• Fonction partie entière et recherche de la règle

Les fonctions polynomiales de degré 2 et racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34• Propriétés des radicaux• Fonction racine carrée et recherche de la règle• Résolution d’une équation et d’une inéquation du second degré à une variable• Résolution d’une équation et d’une inéquation racine carrée à une variable• Représentation graphique d’une inéquation du second degré à deux variables

Les fonctions exponentielle et logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47• Fonction logarithmique et recherche de la règle• Équivalence• Résolution d’une équation et d’une inéquation exponentielle à une variable• Résolution d’une équation et d’une inéquation logarithmique à une variable

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60VUE D’ENSEMBLE

SECTION 1.5

SECTION 1.4

SECTION 1.3

SECTION 1.2

SECTION 1.1

1 L’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

IV Table des matières © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

L’optimisation d’une distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67• Optimisation d’une distance• Distance d’un point à une droite• Médiatrice d’un segment

L’aire d’un triangle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77• Aire d’un triangle quelconque : aire de triangles décomposables

et formule trigonométrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

La probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91• Factorielle• Événements mutuellement exclusifs et événements non mutuellement exclusifs• Probabilité conditionnelle• Événements indépendants et événements dépendants

Les mesures de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99• Mesure de dispersion : écart moyen et écart type

La corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107• Corrélation autre que linéaire• Coefficient de corrélation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

RÉPERTOIRE DES SAÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

SECTION 2.1

VUE D’ENSEMBLE

VUE D’ENSEMBLE

SECTION 3.3

SECTION 3.2

SECTION 3.1

SECTION 2.2

2 La géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 Les probabilités et les statistiques . . . . . . . . . 90

V© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Présentation du matériel de l’élève

PRÉSENTATION DU MATÉRIEL DE L’ÉLÈVE

Le matériel de l’élève comporte trois Visions. Chaque Vision propose diverses situationsd’apprentissage et d’évaluation (SAÉ), des sections et la rubrique « Vue d’ensemble ».

Les sections

Une Vision est divisée en sections, chacune commençant par un problème et une ouplusieurs activités suivis des rubriques « Savoirs », « Mise au point » et « Vue d’ensemble ».Chaque section, associée à une SAÉ, contribue au développement des compétencesdisciplinaires ainsi qu’à l’appropriation des notions mathématiques qui sous-tendent le développement de ces mêmes compétences.

Problème

La première page de la section présente un problème déclencheur comportant une seule question. La résolution de ce problème nécessite le recours à plusieurs compétences et à différentes stratégies, et mobilise des connaissances.

VI Présentation du matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Activité

Les activités contribuent au développement des compétences disciplinaires, nécessitent le recours à différentes stratégies, mobilisent diverses connaissances et favorisent la compréhension des notions mathématiques. Elles peuvent prendre plusieurs formes : questionnaire, manipulation de matériel, construction, jeu, intrigue, simulation, texte historique, etc.

Savoirs

La rubrique « Savoirs » présente un résumé des éléments théoriques vus dans la section. Des exemples accompagnent les énoncésthéoriques afin de favoriser la compréhension des différentes notions.

Mise au point

La rubrique « Mise au point » propose une série d’exercices et de problèmes contextualisés favorisant le développement des compétences et la consolidation des apprentissages faits dans la section.

Vue d’ensemble

La rubrique « Vue d’ensemble » clôt chaque Visionet présente une série d’exercices et de problèmescontextualisés permettant d’intégrer et de réinvestirles compétences développées et toutes les notionsmathématiques étudiées dans la Vision.

1© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Présentation du matériel de l’élève

Répertoire des SAÉ

Le « Répertoire des SAÉ » regroupe des situations d’apprentissage et d’évaluation dont chacune cible un domaine général de formation ainsi qu’une compétencedisciplinaire. Les apprentissages réalisés dans les sections aident à la réalisation des tâches proposées dans les SAÉ.

Les pictogrammes

Indique que la compétence disciplinaire 1 est particulièrementciblée dans cette SAÉ.

Indique que la compétence disciplinaire 2 est particulièrementciblée dans cette SAÉ.

Indique que la compétence disciplinaire 3 est particulièrementciblée dans cette SAÉ.

Indique que certains aspects de la compétence disciplinaire 1sont mobilisés.

Indique que certains aspects de la compétence disciplinaire 2sont mobilisés.

Indique que certains aspects de la compétence disciplinaire 3sont mobilisés.

CD1

CD2

CD3

Nom :

Groupe : Date :

2 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Concepts et processus

• Radicaux

• Division d’un polynôme par un binôme

• Opérations sur les expressions rationnelles

• Factorisation : mise en évidence double, différence de deux carrés et trinôme carré parfait

• Fonctions partie entière, polynomiale de degré 2, racine carrée, exponentielle et logarithmique

• Résolution d’équations et d’inéquations

SAÉ 1 : Minimiser les déplacements . . . . . .122

SAÉ 2 : Mieux contrôler pour économiser . . . . . . . . . . . . . .123

SAÉ 3 : Les gels antiseptiques . . . . . . . . . .125

L’algèbre

SAÉ en lien avec Vision 1

La manipulation d’expressions algébriques

3© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Cette section est en lienavec la SAÉ 1.

Déterminez les dimensions possibles du panneau, sachant que le rendementmoyen de ce modèle est de 0,013 W/dm2.

(4n � 1) dm

Les panneaux solairesproblème

Un panneau solaire est un dispositif qui permet de récupérer l’énergie transmise par le rayonnement solaire et de la transformer en chaleur ou en électricité. Les panneaux solaires thermiques convertissent la lumière en chaleur, tandis que les panneaux solairesphotovoltaïques transforment la lumière en électricité.

L’illustration ci-dessous montre le modèle de panneau solaire que désire utiliser un horticulteur pour alimenter en électricité l’une de ses serres. L’aire de ce panneau, en décimètres carrés, correspond à l’expression 4n(n � 3) � (n � 3).

Voici les besoins de cet horticulteur :

• le périmètre du panneau doit être inférieur à 88 dm ;

• le panneau doit être en mesure de produire au minimum 0,003 kW d’électricité ;

• la mesure de la base et celle de la hauteur font intervenir des nombres entiers.

section 1.1

Nom :

Groupe : Date :

4 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Un langage utileactivité 1

C’est au cours du XVIe siècle que François Viète a introduit des lettres dans certains calculs algébriques. S’inspirant des travaux de Viète, le mathématicien français René Descartes a produit certains écrits en algèbre et en géométrie. En effectuant des opérations arithmétiques et algébriques, il établit une correspondance entre certaines opérations algébriques et des constructions géométriques.

Par exemple, on peut représenter le produit de 2x � 3 par 3y � 1à l’aide du rectangle ci-contre. En additionnant l’aire de chacune des sections colorées, on peut déduire que (2x � 3)(3y � 1) �

6xy � 2x � 9y � 3.

Voici différentes situations qui impliquent des opérations algébriques et des constructionsgéométriques.

a. Exprimez la somme des aires des rectangles ABCD et EFGH à l’aide :

1) d’un polynôme à quatre termes ;

2) d’une addition de deux produits de facteurs ;

3) d’un produit de deux facteurs.

b. Peut-on affirmer que le quotient de (12xy � 9x � 8y � 6) par (4y � 3) est (3x � 2) ?Expliquez votre réponse.

xyx

x

11

1

xy xy x

y y y 1

xy xy xy x

y y y 1y y y 1

y y y 1

3y � 1

2x � 3

E

H

A

D

F

G

B

C

4y � 3

4y � 3

3x

2

section 1.1

(suite)

5© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

c. On retranche le rectangle MJKN du rectangle IJKL et le rectangle SPQT du rectangle OPQ R. Exprimez la somme des aires des rectangles IMNL et OSTR à l’aide :

1) d’un polynôme à quatre termes ;

2) d’une addition de deux produits de facteurs ;

3) d’un produit de deux facteurs.

d. 1) Représentez l’expression algébrique 6xy � 4x � 9y � 6 à l’aide d’un rectanglesemblable à ceux illustrés ci-dessus.

2) Exprimez l’aire de ce rectangle à l’aide d’un produit de deux facteurs.

3) Que remarquez-vous en effectuant le produit de ces deux expressions algébriques ?

4) À quelle expression algébrique correspond le quotient de (6xy � 4x � 9y � 6)par (3y � 2) ?

e. Écrivez les expressions suivantes sous la forme d’un produit de facteurs.

1) 3xy � 9x � 2y � 6

2) 2xy � 4x � 3y � 6

I JM

O PS

1

1

L KN

R QT

4y

4y

3x

4

section 1.1

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

6 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Une question de carréactivité 2

Au cours des siècles, différents mathématiciens, dont les pythagoriciens, ont eu recours à la géométrie pour comprendre certaines opérations algébriques. Entre autres, le carré a été utilisé pour réaliser certains calculs.

On retranche le carré ABHG du carré ACDF, tel qu’il est illustré ci-contre.

a. Exprimez l’aire de la figure grise à l’aide d’une soustraction de deux termes.

b. Est-il possible de factoriser l’expression algébrique obtenue en a en effectuant une mise en évidence simple ? Expliquez votre réponse.

c. Exprimez l’aire :

1) du rectangle BCDE à l’aide d’un produit de deux facteurs ;

2) du rectangle EFGH à l’aide d’un produit de deux facteurs ;

3) de la figure grise à l’aide d’une addition de deux produits de facteurs ;

4) de la figure grise à l’aide d’un produit de deux facteurs.

d. Démontrez que l’expression algébrique trouvée en c 4)

équivaut à celle trouvée en a.

On a représenté l’expression algébrique 4x2 � 12x � 9 à l’aide de la figure ABCD ci-contre.

e. Quel type de quadrilatère est représenté par :

1) l’ensemble des sections gris pâle ?

2) l’ensemble des sections gris foncé ?

3) la figure ABCD ?

f. Exprimez l’aire du quadrilatère ABCD à l’aide d’un produit de deux facteurs.

g. Démontrez que l’expression algébrique trouvée en féquivaut à l’expression 4x2 � 12x � 9.

A G F

B E

C x D

Hy

A D

B C

x 2

x 2

x 2

x 2

11

111

111

1

xxx

xxx

xx

xxx

x

2x � 3

2x � 3

section 1.1

(suite)

7© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Des fractions aux expressions rationnellesactivité 3

Voici différentes situations faisant intervenir des fractions algébriques.

a. Écrivez une expression algébrique qui représente :

1) le temps de marche de cette personne ; 2) le temps de course de cette personne.

b. En vous inspirant des opérations sur les fractions, écrivez une expression algébriqueréduite qui représente le temps total de cet entraînement.

c. Sans tenir compte du contexte, les opérations effectuées en b sont-elles valables quelle que soit la valeur de v ? Expliquez votre réponse.

d. Démontrez que l’expression équivaut à l’expression .

e. En vous inspirant des opérations sur les fractions, écrivez une expression algébriqueréduite qui représente la distance totale parcourue par ce mobile.

f. Sans tenir compte du contexte, les opérations effectuées en e sont-elles valables quelle que soit la valeur de n ? Expliquez votre réponse.

g. Peut-on affirmer que l’expression équivaut à l’expression ?

Expliquez votre réponse.

h. En vous inspirant des opérations sur les fractions, écrivez une expression algébriqueréduite qui représente la vitesse moyenne de l’avion.

i. Sans tenir compte du contexte, les opérations effectuées en h sont-elles valables quelleque soit la valeur de t ? Expliquez votre réponse.

5t6t2 � 3t

53(2t � 1)

4n � 124n

n � 3n

Situation

Lors d’un entraînement, une personne marche sur une distance de 6 km et parcourt le trajet inverse à la course. La vitesse v de cette personne au retour correspond au double de celle à l’aller.

1

Situation

Lors d’une expérience, un mobile se déplace d’un point A à un point B à une vitesse

de ( ) m/s et parcourt le trajet en ( ) s.4n � 124n

3nn � 3

2

Situation

Lors d’un vol de reconnaissance, un avion parcourt ( ) km en ( ) h.5t

6t2 � 3t5t2

2t � 1

3

section 1.1

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

8 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

FACTORISATIONFactoriser une expression algébrique consiste à l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs.

Il existe diverses méthodes pour factoriser une expression algébrique.

Mise en évidence double

Factoriser une expression algébrique par cette méthode consiste à :

1. regrouper les termes ayant un facteur commun ;

2. mettre le facteur commun en évidence dans chacun des groupes ;

3. mettre le facteur commun aux deux termes en évidence.

Le résultat peut être validé endéveloppant la forme factorisée à l’aide de la propriété de ladistributivité de la multiplication sur l’addition ou la soustraction.

Ex. : Dans l’expression ab � 6 � 3b � 2a, abet 2a ont a comme facteur commun et 3bet 6 ont 3 comme facteur commun.

On écrit alors : ab � 2a � 3b � 6.

a(b �2) � 3(b � 2)

a(b � 2) � 3(b � 2)

(b � 2)(a � 3)

(b � 2)(a � 3) � b � a � b � 3 � 2 � a � 2 � 3� ab � 2a � 3b � 6

Le facteur b � 2est commun aux deux termes.

Ex. :Forme développée Forme factorisée Facteurs

1) 3xy � 6x � 2y � 4 (3x � 2)(y � 2) 3x � 2 et y � 2

2) ax � 3x � ay � 3y (x � y)(a � 3) x � y et a � 3

3) 8mn � 10m � 12n � 15 (2m � 3)(4n � 5) 2m � 3 et 4n � 5

Ex. : 1) 2xy � 4x � 3y � 6 � 2x(y � 2) � 3(y � 2)� (y � 2)(2x � 3)

2) 4a2b � 8ab � 6a � 12 � 4ab(a � 2) � 6(a � 2)� (a � 2)(4ab � 6)

1.1

9© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Différence de deux carrés

Cette méthode permet de factoriser une expression algébrique de la forme a2 � b2.Ce type de polynôme peut être factorisé en appliquant le modèle suivant :

a2 � b2 � (a � b)(a � b)

Ex.: 1) Puisque 36x2 � y2 � (6x)2 � y2, les facteurs de l’expression algébrique 36x2 � y2

sont donc 6x � y et 6x � y.

2) Puisque 4a2 � 9b6 � (2a)2 � (3b3)2, les facteurs de l’expression algébrique 4a2 � 9b6

sont 2a � 3b3 et 2a � 3b3.

3) Il est possible de déterminer une expression algébrique qui correspond à la mesure de chacune des diagonales du losange ci-contre de la façon suivante.

Puisque 16a2 � 25 correspond à une différence de carrés :

Aire � �

Les expressions algébriques correspondant à la mesure des diagonales du losange sont donc 4a � 5 et 4a � 5.

(4a � 5)(4a � 5)2

D � d2

Ex. : 1) L’expression 9a6 � 12a3 � 4 est un carré parfait puisque 9 � 0, 4 � 0 et 12 � 2 � � .Puisque le terme médian est négatif, chacun des facteurs correspond à une différence.

Puisque 9a6 � (3a3)2 et que 4 � 22, les facteurs sont donc 3a3 � 2 et 3a3 � 2 ou (3a3 � 2)2.

2) Il est possible de déterminer une expression algébrique qui correspond à la mesure de chacun des côtés du carré ci-contre de la façon suivante.

Puisque 36m2 � 60m � 25 correspond à un trinôme carré parfait :

Aire � c2 � (6m � 5)2.

L’expression algébrique correspondant à la mesure d’un côté du carré est donc 6m � 5.

49

Trinôme carré parfait

Cette méthode permet de factoriser une expression algébrique de la forme ax2 � bx � c, où a � 0, c � 0 et b � 2 � � . Ce type de polynôme peut être factorisé de la façon suivante.ca

1. Vérifier si le trinôme possède les caractéristiques d’un carré parfait.

2. Déterminer si les facteurs sont des sommesou des différences selon le signe du termemédian.

3. Déterminer les facteurs.

Ex. : Dans l’expression x2 � 8x � 16 :

1 � 0, 16 � 0 et 8 � 2 � � .

Puisque le terme médian est positif, chacun des facteurs correspond à une somme.

x2 � 8x � 16 � (... � ...)2

• x2 est le carré de x.

• 16 est le carré de 4.

Les facteurs sont donc x � 4 et x � 4ou (x � 4)2.

161

Aire �16a2 � 25

2

Aire �36m2 � 60m � 25

1.1

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

10 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

MANIPULATION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUESDivision d’un polynôme par un binôme

La division d’un polynôme par un binôme peut s’effectuer en divisant par étapes successives le polynôme par le binôme. À chacune des étapes, il s’agit de choisir le termedu quotient de façon à annuler le terme de plus haut degré dans le polynôme à diviser.

Expressions rationnelles

Une expression rationnelle est une expression de la forme dans laquelle P et Q sontdes polynômes et où Q � 0.

On peut générer des expressions rationnelles équivalentes en multipliant le numérateur et le dénominateur d’une expression par une même quantité différente de 0.

Il est possible de réduire une expression rationnelle lorsque le numérateur et le dénominateur ont au moins un facteur en commun. On élimine alors le ou les facteurscommuns du numérateur et du dénominateur en supposant pour chacun qu’il n’est paségal à 0.

PQ

Nom :

Groupe : Date :

Ex. : 1) (3x2 � 5x � 2) � (x � 2) 2) (5x2 � 15x � 5) � (x � 2)

Ainsi : Lorsqu’il y a un reste différent de 0, (3x2 � 5x � 2) � (x � 2) � 3x � 1 on l’indique en le posant sur le diviseur, ainsi :

(5x2 � 15x � 5) � (x � 2) � 5x � 5 �5

x � 2

3x2 � 5x � 2� (3x2 � 6x) 3x � 1

x � 2

–x � 2� (–x � 2)

0

Dividende Diviseur

Quotient

5x2 � 15x � 5� (5x2 � 10x) 5x � 5

x � 2

–5x � 5� (–5x � 10)

–5

Dividende Diviseur

Quotient

Reste

Ex. : Les expressions , et sont des expressions rationnelles. L’expression n’est définie

que si x � 0, tandis que l’expression n’est définie que si x � 1.x � y

x � 1

1x

x � y

x � 13x � 1

21x

Ex. : Les expressions et sont des expressions équivalentes puisque � � .

Ces expressions ne sont définies que si x � –3 et x � 0.

–4xx2 � 3x

xx

–4x � 3

–4xx2 � 3x

–4x � 3

Ex. : � � . Ces égalités sont vraies si x � 0 et x � – .12

3x

3(2x � 1)x(2x � 1)

6x � 32x2 � x

1.1

(suite)

11© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Nom :

Groupe : Date :

Opérations sur les expressions rationnelles

Les opérations sur des expressions rationnelles s’effectuent en appliquant les mêmes règlesque celles utilisées pour les opérations sur des nombres écrits sous la forme de fractions.

L’addition et la soustraction d’expressions rationnelles nécessitent la recherche d’expressions équivalentes ayant le même dénominateur.

Pour multiplier des expressions rationnelles, on multiplie les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble.

Pour diviser des expressions rationnelles, on multiplie la première fraction par l’inverse de la seconde.

Voici une situation impliquant des opérations sur les expressions rationnelles et le rectangle ci-contre.

Ex. : 1) � � � � . 2) � � � � .

Ces égalités sont vraies si x � 0. Ces égalités sont vraies si x � 0 et y � 0.

3y � 4

xy4xy

3y

xy4xy

3x

92x

82x

12x

4x

12x

Ex. : � � � � . Ces égalités sont vraies si x � 0.3(x � 1)2

3x(x � 1)2x2

3(x2 � x)2x2

3x

x2 � x2x

Ex. : � � � � � . Ces égalités sont vraies si x � 0 et y � 3.35(y � 3)

35xx(y � 3)

5xy � 3

7x

y � 3

5x7x

Ex. : 1) Il est possible de déterminer une expression algébrique réduite correspondant au périmètre du rectangle ci-dessus de la façon suivante.

Périmètre � 2h � 2b

� 2 � � 2 �

� 2 � � 2 �

� �

�

�

L’expression algébrique réduite correspondant au périmètre du rectangle

est donc , si x � 0 et x � 1.2x � 1x

2x � 2 � 1x

2x � 1x

1x

2(x � 1)x

12x

(x � 1)(x � 1)x(x � 1)

12x

x2 � 2x � 1x2 � x

2) Il est possible de déterminer une expression algébrique réduitecorrespondant à l’aire du rectangle ci-dessus de la façon suivante.

Aire � b � h

� �

� �

� �

�

L’expression algébrique réduite correspondant à l’aire du rectangle

est donc , si x � 0 et x � 1.x � 12x2

12x

x � 12x2

x � 1x

12x

(x � 1)(x � 1)x(x � 1)

12x

x2 � 2x � 1x2 � x

x 2 � 2x � 1x 2 � x

12x

1.1

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

12 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Dans chaque cas, indiquez si le trinôme possède les caractéristiques d’un carréparfait. Expliquez chacune de vos réponses.

a) x2 � 4x � 4 b) x2 � 24x � 144 c) –9x2 � 42x � 49

d) 64x2 � 144xy � 81y2 e) 3x2 � 15x � 5 f ) x2 � x � 1

Factorisez les polynômes suivants.

a) xy � 4x � 2y � 8 b) 169x2 � 26x � 1

c) xy � 2x � 4y � 8 d) –2xy � 2y � 4x � 4

e) 4x2 � 36y2 f ) 21xy � 12 � 18x � 14y

g) 5x2 � 5xy � 3xy � 3y2 h) 3xy � 1 � 3x � y

i ) 49 � 14x � x2 j ) x2 � x � xy � y

k) � � � 4 l ) 2x2 � (2x � 3)2

Effectuez les divisions suivantes.

a) (x2 � x � 2) � (x � 2) b) (6x2 � 5x � 4) � (2x � 1)

c) (3x2 � 2x � 4) � (x � 3) d) (10x2 � 23x � 12) � (2x � 3)

e) (x2 � 4x � 4) � (x � 2) f ) (x3 � 3x2 � x � 1) � (x � 1)

Réduisez chacune des expressions rationnelles ci-dessous.

a) b) c)

d) e) f )

Dans chaque cas, effectuez l’opération demandée et réduisez, au besoin, le résultat à sa plus simple expression.

a) ( )( ) b) � c) ( ) � ( )d) � e) � f ) ( )( )g) ( ) � ( ) h) � i ) �

12xy2

9xy(3xy)2

6xy25x � 2x2 � x

3x � 1

xx2 � 8x � 16

x � 2x � 4

–xxy

xy

3xy2

2x2 � xxy2

x2 � 492x � 6

(x � 3)2

x � 7

–4y5x3

x2

–6y1x

x2x2

–15x2x � 6

10x7x � 21

5

x2 � y2

3(x � y)8x2 � 86x � 6

–32x2

16x2 � 64x3

16x4y6x2y

7xy7x � 21

x � 3x2 � 6x � 9

4

3

xy3

8x3

y2

2

49

43

1

mise au point 1.1

13© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Une menuisière coupe une planche rectangulaire selon les mesures indiquées ci-dessous.

a) Quelle expression algébrique correspond à l’aire :

1) de la partie ?

2) de la partie ?

3) des parties et ?

b) Exprimez l’aire totale de la planche sous la forme :

1) d’un produit de deux facteurs ;

2) d’une soustraction de deux produits de facteurs.

c) Factorisez l’expression algébrique obtenue en b) 2).

Que constatez-vous ?

Pour quelles valeurs de m et de n les équations suivantes sont-elles vraies ?

a) mn � 5n � m � 5 � 0 b) mn � 3n � 2m � 6 � 0

c) 24mn � 1 � 8m � 3n � 0 d) 3mn � 9m � n � 3

e) 2mn � 2 � n � 4m f ) 2mn � 3n � –2m � 3

Vers 1924, l’invention du téléphone à cadran a permis de pouvoir faire des appelssans l’aide d’une téléphoniste. Cet appareil téléphonique était constitué d’uncombiné et d’un cadran de plastique circulaire percé de 10 trous isométriques.Déterminez le rayon du cadran du téléphone illustré ci-contre si le rayon d’un trou est de 0,5 cm et que l’aire du cadran est de 13,5 cm2.

Le judo est un sport de combat qui se pratique sur un tatami. La surface de combat est délimitée par une ligne gris foncé tracée sur le sol. Sachant que l’aire totale (en m2) du tatami illustré ci-contre correspond à l’expression algébrique 4x2 � 40x � 100 :

a) déterminez la longueur de la ligne gris foncé qui délimite la surface de combat ;

b) calculez la superficie de la surface de combat.

9

8

7

A B

B

A

6

x

y

5 cm2 cm

(x � 2) cm

x cm Partie APartie B

mise au point 1.1

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

14 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Dans chaque cas, déterminez une expression algébrique réduite qui représente la mesure manquante.

a) b)

c) d)

Dans le schéma ci-dessous, les segments AE et BC sont parallèles et toutes les mesures sont exprimées en centimètres.

a) Quel énoncé géométrique permet d’affirmer que les triangles ADE et CDB sont semblables ?

b) Déterminez une expression algébrique qui représente l’aire du triangle CDB, sachant que l’aire du triangle ADE correspond

à l’expression algébrique � x � � 1.

Le schéma ci-dessous montre l’habitat rectangulaire des gorilles dans un zoo. Cet habitat est composé d’une surface sèche et d’un fossé rempli d’eau.Si la mesure de la surface de l’eau est de (10x � 12y � 120) m2:

a) exprimez l’aire de l’habitat des gorilles sous la forme d’un produit de facteurs ;

b) quelle est la largeur du fossé ?

12

x2

2x2

11

10

A

x � 13x � 6

E

D

B

C

x

y

x � 7

Aire � x 2 � 3x � 28 ?3x � 2

Aire � 3x 2 � 11x � 4

?

5x � 3

x � 1

Aire � 6x 2 � 25x � 9? Aire � 49x 2 � 70x � 25?

mise au point 1.1

(suite)

15© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Déterminez une expressionalgébrique réduite quireprésente le volume du prisme droit à basetriangulaire illustré ci-contre.

Déterminez une expression algébrique réduite qui représente l’aire du terrain illustré ci-dessous.

Le triathlon est une discipline sportive qui consiste à parcourir successivement une certaine distance à la nage, à vélo puis à la course à pied. Lors d’un triathlon,Mathieu a nagé pendant 20 min, puis a parcouru 40 km à vélo et 10 km à la courseà pied. Sa vitesse moyenne à vélo correspond au quadruple de sa vitesse và la course à pied.

a) Déterminez une expression algébrique qui représente :

1) son temps à vélo ;

2) son temps à la course à pied ;

3) son temps total.

b) Si Mathieu a pris 2 h 20 min pour terminer le triathlon, quelle a été sa vitesse à vélo ?

La division d’un polynôme par (x � 2) a pour quotient (7x � 19) et pour reste, 39.Déterminez ce polynôme.

13

15

16

14

(2x � 5)(x � 1)2

x (2x � 5) � (2x � 5)

(x � 3)2

x 2 � 2x � 1

x � 12x � 6

3x � 1

5ab � a � 25b � 5a � 5

3a � 625b2 � 10b � 1

1a � 2

mise au point 1.1

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

16 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Cette section est en lienavec la SAÉ 2.

Temps Altitude (s) (m)

0 10 000

1 10 380

2 10 720

3 11 020

4 11 280

5 11 500

6 11 680

7 11 820

8 11 920

9 11 980

10 12 000

11 11 980

12 11 920

13 11 820

14 11 680

15 11 500

16 11 280

17 11 020

18 10 720

19 10 380

20 10 000

21 9 580

Selon le modèle décrit par cette table de valeurs, à quel moment l’avion atteindra-t-il 7500 m d’altitude ?

Altitude de l’avion Zéro-G

section 1.2

Zéro-Gproblème

Au cours de leur formation, les astronautes utilisent un avion suivant une trajectoire alternant les montées et les descentes afin de simuler l’effet d’apesanteur. Après une ascension de quelques minutes, le ou la pilote coupe les moteurs, créant ainsi à l’intérieur de la carlingue des conditions de microgravité pendant au moins une vingtaine de secondes. La table de valeurs ci-contre décrit une partie de la trajectoire de l’avion lors d’un entraînement.

Les paramètres multiplicatifs

17© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Les signaux électriques sont généralement caractérisés par leur forme d’onde, leur tensionet leur fréquence. Les variations d’un signal électrique en fonction du temps peuvent êtrevisualisées grâce à un appareil nommé « oscilloscope ».

Le graphique ci-contre montre la variation de deux signaux électriques.

a. À quel type de fonction pouvez-vous associer la représentation graphique de ces signaux ?

b. Sachant que la tension correspond à la hauteur maximale atteinte par chacune des courbes, déterminez la tension de chaque signal électrique.

c. En quoi les deux signaux :

1) sont-ils semblables ?

2) sont-ils différents ?

d. En quoi les courbes de ces deux fonctions :

1) sont-elles semblables ?

2) sont-elles différentes ?

Le graphique ci-dessous montre la variation du signal électrique et d’un troisième signal.

e. Sachant que la fréquence correspond au nombre d’allers-retours qu’effectue le courant électrique en 1s, déterminez la fréquence, en hertz, de chacun des signaux électriques.

f. En quoi les deux signaux :

1) sont-ils semblables ?

2) sont-ils différents ?

g. En quoi les courbes de ces deux fonctions :

1) sont-elles semblables ?

2) sont-elles différentes ?

1

Êtes-vous au courant ?activité 1

Tension de signaux électriquesTension

(V )

Temps(s)

Signal

00,02 0,04 0,06 0,08 0,1

6

-6-12-18-24-30

12182430

2

Signal 1

Tension de signaux électriquesTension

(V )

Temps(s)

00,02 0,04 0,06 0,08 0,1

3

-3-6-9

-12-15

69

1215

Signal 3

Signal 1

section 1.2

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

18 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Tout à l’envers !activité 2

Les règles des fonctions g et h, illustrées ci-contre, ontété obtenues en modifiant la règle de la fonction f.

a. Par rapport à la règle de la fonction f,quelle modification a subie la règle :

1) de la fonction g ?

2) de la fonction h ?

b. Par rapport à la courbe de la fonction f,quelle modification a subie la courbe :

1) de la fonction g ?

2) de la fonction h ?

c. Quelle conjecture pouvez-vous émettre en lien avec les réponses trouvées en a et en b ?

Les règles des fonctions j et k, illustrées ci-contre, ont été obtenues en modifiant la règle de la fonction i.

d. Par rapport à la règle de la fonction i,quelle modification a subie la règle :

1) de la fonction j ?

2) de la fonction k ?

e. Par rapport à la courbe de la fonction i,quelle modification a subie la courbe :

1) de la fonction j ?

2) de la fonction k ?

f. Quelle conjecture pouvez-vous émettre en lienavec les réponses trouvées en d et en e ?

Les règles des fonctions r et s, illustrées ci-contre, ont été obtenues en modifiant la règle de la fonction q.

g. Par rapport à la règle de la fonction q,quelle modification a subie la règle :

1) de la fonction r ?

2) de la fonction s ?

h. Par rapport à la courbe de la fonction q,quelle transformation a subie la courbe :

1) de la fonction r ?

2) de la fonction s ?

i. Quelle conjecture pouvez-vous émettre en lienavec les réponses trouvées en g et en h?

0 1

0,4

y

xh(x ) � 0,5sin xf (x ) � sin x

g(x ) � 2sin x

Graphique 1

0 1

0,2

y

x

i(x ) � cos x

j (x ) � cos 2x

k(x ) � cos 0,5x

Graphique 2

0 1

1

y

x

q (x ) � 2xs (x ) � 2-x

r (x ) � -2x

Graphique 3

section 1.2

(suite)

19© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

RÔLE DES PARAMÈTRES MULTIPLICATIFSOn appelle « fonction de base » la fonction la plus simple d’une famille de fonctions. En modifiant certaines valeurs, appelées « paramètres », il est possible de transformer la règled’une fonction de base en une règle de fonction transformée. La fonction de base et toutes les fonctions transformées du même type forment une famille de fonctions qui possèdent des propriétés communes.

Ex. :

Étirement vertical Contraction verticale Réflexion par rapport �a� � 1 0 �a� 1 à l’axe des abscisses

a < 0

-1 10

1

y

x

y � x 2 y � 6x 2

10

0,25

y

x

y � sin xy � 0,5sin x

10

1

y

x

y � |x |

y � -|x |

Ex. : Nom Fonction de base Exemple de fonction transformée

Fonction polynomiale de degré 1 f (x) � x g(x) � 2x

Fonction polynomiale de degré 2 f (x) � x2 g(x) � 0,75x2

Fonction exponentielle f (x) � (base)x g(x) � 7(base)–3x

Fonction partie entière f (x) � [x] g(x) � –4[–x]

Fonction valeur absolue f (x) � �x� g(x) � –�6x�

Fonction sinus f (x) � sin x g(x) � –2sin 5x

Fonction de variation inverse f (x) � , x � 0 g(x) � , x � 05x

1x

Paramètre multiplicatif a

Dans la règle d’une fonction transformée, le paramètre qui multiplie l’expression correspondant à la variable dépendante de la fonction de base provoque un changementd’échelle vertical, c’est-à-dire un étirement vertical ou une contraction verticale du graphique,en plus d’une réflexion par rapport à l’axe des abscisses si la valeur de ce paramètre eststrictement négative. On associe généralement ce paramètre à la lettre a.

1.2

Nom :

Groupe : Date :

20 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Paramètre multiplicatif b

Dans la règle d’une fonction transformée, le paramètre qui multiplie l’expression correspondant à la variable indépendante de la fonction de base provoque un changementd’échelle horizontal, c’est-à-dire un étirement horizontal ou une contraction horizontaledu graphique, en plus d’une réflexion par rapport à l’axe des ordonnées si la valeur dece paramètre est strictement négative. On associe généralement ce paramètre à la lettre b.

Chaque couple (x, y) d’une fonction de base est associé au couple ( , ay) d’une fonctiontransformée du même type.

xb

Ex. :

Étirement horizontal Contraction horizontale Réflexion par rapport0 �b� 1 �b� � 1 à l’axe des ordonnées

b 0

20

0,25

y

x

y � cos x

y � cos 0,5x 10

y

x

y � 2x

y � 23x

1

10

1

y

x

y �[x ]y � [-x ]

Ex. :

1) Dans la règle de la fonction g,la valeur du paramètre a est 3 et celle du paramètre b est 2.

2) Dans la règle de la fonction g,la valeur du paramètre a est 0,5 et celle du paramètre b est 4.

2-2-4-6-8-10 4 6 8 100

2468

101214

y

x

(-10, 10)

(-2,5, 5)

(8, 8)

(2, 4)

f (x ) � |x |

g (x ) � 0,5|4x |

L’abscisse et l’ordonnée de chaque point de la fonction de base sontrespectivement divisées par 4 et multipliées par 0,5.

y

x2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2468

101214

L’abscisse et l’ordonnée de chaquepoint de la fonction de base sontrespectivement divisées par 2 etmultipliées par 3.

(8, 12)

(2, 6)

(4, 2)(16, 4)

g (x ) � 3 2x

f (x ) � x

1.2

(suite)

21© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Le graphique ci-contre montre la fonction de base f dont la règle est f(x) � et quatre fonctions transformées du même type. Par rapport à la règle de la fonction de base :

a) quelle est la fonction dont la règle admet un paramètre a négatif et un paramètre b positif ?

b) quelle est la fonction dont la règle admet un paramètre a positif et un paramètre b négatif ?

c) quelle est la fonction dont la règle admet un paramètre a supérieur à 1 et un paramètre b égal à 1 ?

d) quelle est la fonction dont la règle admet un paramètre a égal à 1 et un paramètre b compris entre 0 et 1 ?

Dans chacun des cas ci-dessous, déterminez la valeur du paramètre a, sachant quela valeur du paramètre b est 1 et que la fonction f correspond à la fonction de base et la fonction g, à une fonction transformée du même type.

a)

b)

c)

d)

x

2

1

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

f2

f1

f4

f3

Fonctionde basef (x ) � x

x –3 –2 –1 0 1 2 3 4

f (x ) 9 4 1 0 1 4 9 16

g(x ) 72 32 8 0 8 32 72 128

x 0 1 4 9 16 25 36 49

f (x ) 0 1 2 3 4 5 6 7

g(x ) 0 –0,5 –1 –1,5 –2 –2,5 –3 –3,5

x –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5

f (x ) –2 –2 –1 –1 0 0 1 1

g(x ) 10 10 5 5 0 0 –5 –5

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

f (x ) 16 9 4 1 0 1 4 9 16

g(x ) –8 –4,5 –2 –0,5 0 –0,5 –2 –4,5 –8

mise au point 1.2

Nom :

Groupe : Date :

22 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Le graphique ci-contre est celui de la fonction de base f dont la règle est f(x) �⎥x⎥ . Pour chacune des fonctionssuivantes, associez la règle qui luicorrespond parmi celles ci-dessous.

f(x) � –2⎥x⎥

g(x) �⎥0,5x⎥

h(x) �⎥ –x⎥

i(x) � –⎥ –0,75x⎥

DC

BA

4

3

2

1

3

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

mise au point 1.2

(suite)

23© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Connaissant la règle de la fonction de base f, déterminez, dans chaque cas, la règle de la fonction transformée g.

a) b)

c) d)

e) f )

4

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1x

y

f (x ) � sin x

g

Graphique 1

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1x

y

g

f (x ) � |x |

Graphique 2

1 2 3 4 50-5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1x

y

f (x ) � [x ]

g

Graphique 3

1 2 3 4 50-5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1x

y

g

f (x ) � 2x

Graphique 4

1 2 3 4 50-5 -4 -3 -2 -1

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1x

y

f (x ) � x 2

g

Graphique 5

1 2 3 4 50-5 -4 -3 -2 -1

0,4

0,8

1,2

1,6

2

-2

-1,6

-1,2

-0,8

-0,4x

y

f (x ) � cos x

g

Graphique 6

mise au point 1.2

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

24 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

En comparant la règle de chacune des fonctions suivantes à la règle de la fonctionde base du même type, déterminez la valeur des paramètres a et b.

a) h(x) � 3(5x)2 b) g(x) � –2sin x c) i(x) � –cos 2x

d) s(x) � 7(base)3x e) l(x) � 6[–x] f ) g(x) � –x2

g) p(x) � 0,5 h) f(x) � –7⎥0,25x⎥ i ) v(x) �

EINSTEIN Né le 14 mars 1879 à Ulm, Albert Einstein est notamment connu pour son travail sur la relativité.

Vers 1905, Einstein découvre, entre autres, qu’il existe une relation entre la masse met l’énergie E. Il représente cette relation par l’équation E � mc2, où c correspond à la vitesse de la lumière dans le vide, soit environ 299 792 458 m/s.

a) À quel type de fonction correspond cette situation ?

b) Quel paramètre multiplicatif pouvez-vous associer à la règle de cette fonction ?Expliquez votre réponse.

c) Quelle est la valeur du paramètre trouvé en b) ?

À cause de sa légèreté, l’aluminium est un métal fréquemment utilisé pour la fabrication de vélos, de pièces d’automobiles et de certaines composantes aéronautiques. Avant de fabriquer des pièces d’aluminium, les entreprises doivent d’abord fondre le métal. Une ingénieure métallurgiste compare l’efficacité de deux appareils permettant de fondre l’aluminium. Le graphique ci-contre fournit des renseignements sur ces deux appareils.

a) Quels changements d’échelle peut-on appliquer à la courbe correspondant à l’appareil pour obtenir la courbe correspondant à l’appareil ?

b) Au cours de ses travaux, l’ingénieure conclut que la règle de la fonction associéeà chacune des courbes est de la forme f(x) � a et que la valeur du paramètre adans l’une des règles est le double de la valeur de ce même paramètre dans l’autre règle. A-t-il raison ? Expliquez votre réponse.

c) Après certaines vérifications, l’ingénieure arrive plutôt à la conclusion que la règle dela fonction associée à chacune des courbes est de la forme f(x) � et que la valeurdu paramètre b dans l’une des règles est le quadruple de la valeur de ce mêmeparamètre dans l’autre règle. Qu’en pensez-vous ? Expliquez votre réponse.

d) Quel appareil semble être le plus efficace ? Expliquez votre réponse.

bx

B

A

x

x

7

6

9x

5

2

Fonte de l’aluminiumTempérature

(°C)

Temps(min)

0 4 6 8 10 12 14 16 18 20

80160240320400480560640720800

Appareil B

Appareil A

mise au point 1.2

(suite)

25© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Le test de Léger-Boucherproblème

La fonction partie entière

Le test de Léger-Boucher, aussi appelé test de paliers, permet d’évaluer la vitesse maximaleaérobie d’une personne. Ce test consiste à effectuer à la course le plus grand nombre possible de paliers de deux minutes, la vitesse de course augmentant de façon progressiveà chaque palier.

Par exemple, ce test peut être réalisé sur une piste de 400 m balisée tous les 50 m. Un timbre sonore se fait entendre à intervalles réguliers. Entre deux timbres sonores consécutifs, la personne doit se déplacer d’une balise à l’autre. La vitesse initiale est de 8 km/h et augmente de 1 km/h toutes les deux minutes.

Cette section est en lienavec la SAÉ 3.

Quelle est la distance parcourue par une personne qui effectue huit paliers ?

Nom :

Groupe : Date : section 1.3

Nom :

Groupe : Date :

26 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

En 2007, des prêts hypothécaires totalisant environ 26 milliards de dollars ont été accordéspar les institutions financières pour l’achat d’une propriété au Canada. Au Québec, ce montant s’est élevé à plus de 4 milliards de dollars.

Le graphique ci-dessous représente les premiers versements effectués par une personneayant contracté un prêt hypothécaire.

a. Quel est le montant du prêt hypothécaire ?

b. Quel est le montant de chacun des versements ?

c. Quel est l’intervalle de temps entre deux versements consécutifs ?

d. Décrivez la variation du solde du prêt hypothécaire.

e. Quel est le solde de ce prêt à :

1) 55 jours ?

2) 89 jours ?

3) 90 jours ?

4) 91 jours ?

f. À quel moment ce prêt sera-t-il entièrement remboursé ?

Un prêt hypothécaireactivité 1

Versements pour un prêt hypothécaireSolde

($)

Temps(jours)

60 1200 180 240 300

81 750

83 250

84 750

86 250

87 750

section 1.3

(suite)

27© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Une question d’observationactivité 2

Carl Friedrich Gauss a été l’un des premiers à utiliser le symbole [ ] pour représenter la partie entière d’un nombre, c’est-à-dire le plus grand nombre entier qui lui est inférieur ou égal. À cette époque, on s’intéressait à l’effet des paramètres a et b sur la représentationgraphique d’une fonction partie entière dont la règle s’écrit f(x) � a[bx]. Le graphique ci-dessous représente la fonction partie entière de base.

Les règles des fonctions g et h, illustrées ci-contre, ont été obtenues en modifiant la règle de la fonction f.

a. Par rapport à la règle de la fonction f,quelle modification a subie la règle de :

1) la fonction g ?

2) la fonction h ?

b. Par rapport au graphique de la fonction f,quelle modification a subie le graphique de :

1) la fonction g ?

2) la fonction h ?

c. Si a � 0, quel lien pouvez-vous établir entre la valeur de ce paramètre et la distance verticale entre deux segments consécutifs ?

0

-2

-4

-2-4 2 4

2

4

y

x

f (x ) � [x ]

Graphique 1

0

-2

-4

-2-4 2 4

2

4

y

x

g (x ) � 2[x ]

Graphique 2

0

-2

-4

-2-4 2 4

2

4

y

x

h (x ) � 0,5[x ]

Graphique 3

section 1.3

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

28 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Les règles des fonctions i et j, illustrées ci-contre, ont été obtenues en modifiant la règle de la fonction f.

d. Par rapport à la règle de la fonction f,quelle modification a subie la règle de :

1) la fonction i ?

2) la fonction j ?

e. Par rapport au graphique de la fonction f,quelle modification a subie le graphique de :

1) la fonction i ?

2) la fonction j ?

f. Si b � 0, quel lien pouvez-vous établir entre la valeur dece paramètre et la longueur de chacun des segments ?

Les règles des fonctions k et l, illustrées ci-contre, ont été obtenues en modifiant la règle de la fonction f.

g. Par rapport à la règle de la fonction f,quelle modification a subie la règle de :

1) la fonction k ?

2) la fonction l ?

h. Par rapport au graphique de la fonction f,quelle modification a subie le graphique de :

1) la fonction k ?

2) la fonction l ?

i. 1) Si a 0, quel lien pouvez-vous établir entre la valeur de ce paramètre et la distance verticaleentre deux segments consécutifs ?

2) Si b 0, quel lien pouvez-vous établir entre la valeur de ce paramètre et la longueur de chacun des segments ?

0

-2

-4

-2-4 2 4

2

4

y

x

Graphique 4

i (x ) � x23

0

-2

-4

-2-4 2 4

2

4

y

x

j (x ) � [2x ]

Graphique 5

0

-2

-4

-2-4 2 4

2

4

y

x

Graphique 6

k (x ) � -2[x ]

0

-2

-4

-2-4 2 4

2

4

y

x

Graphique 7

l (x ) � [-2x ]

section 1.3

(suite)

29© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Ex. : 1) [5,9] � 5 2) [] � 3 3) [–9,78] � –10 4) [–15,01] � –16

PARTIE ENTIÈRELa partie entière d’un nombre correspond au plus grand entier inférieur ou égal à ce nombre. La partie entière d’un nombre x est notée [x].

FONCTION PARTIE ENTIÈRELa fonction partie entière est une fonction en escalier.La règle de la fonction partie entière de base s’écrit f(x) � [x].

Son graphique est formé de segments horizontaux :

• fermés à une extrémité et ouverts à l’autre ;

• distants verticalement entre eux d’une unité ;

• d’une longueur d’une unité chacun.

Dans la représentation graphique d’une fonction partie en-tière transformée dont la règle est de la forme g(x) � a[bx],où a � 0 et b � 0 :

• la distance verticale entre deux segments consécutifs est déterminée par �a�;

• la longueur de chacun des segments est déterminée par .1�b�

0

-2

-4-5

-1

-3

-2 -1-4 -3-5 21 3 4 5

2

45

1

3

y

x

g (x ) � -3[0,5x ]

f (x ) � [x ]

RECHERCHE DE LA RÈGLE D’UNE FONCTION PARTIE ENTIÈREIl est possible de déterminer la règle d’une fonction partie entière dont la règle est de la forme f(x) � a[bx] de la façon suivante.

1. Déduire certains renseignements concernantles paramètres a et b en observant la distanceverticale entre deux segments consécutifset la longueur de chacun des segments.

Dans l’exemple ci-contre, puisque la distanceverticale entre deux segments consécutifs estde 3, on peut déduire que �a� � 3.

Puisque la largeur de chacun des segments

est de 2, on peut déduire que � 2 et que �b� � 0,5.

2. Déterminer le signe de chacun des paramètresmultiplicatifs en analysant la variationdu graphique et la disposition des points situésaux extrémités de chacun des segments.

3. Écrire la règle de la fonction correspondant à la situation.

1�b�

Ex. :

La fonction est décroissante et le point vide est situé à l’extrémité gauche de chacun des segments, alors seul le paramètre b est négatif.

La règle de cette fonction est f(x) � 3[–0,5x].

0 2

2

x

y

3

2

1.3

Nom :

Groupe : Date :

30 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Déterminez la valeur de chacune des expressions suivantes.

a) � � b) � � c) [5] d)

e) –[9,87] f ) [–11,99] � [–5,01] g) h) [–8]

Dans chaque cas, indiquez si la situation correspond à une fonction partie entière.Expliquez votre réponse.

a) Les frais de location d’un terrain de tennis sont de 3 $/h. On s’intéresse aux frais en fonction du temps.

b) Une machine produit 700 m de tapis/jour. On s’intéresse à la quantité de tapis produits en fonction du temps.

c) Le tarif d’un parc de stationnement est de 0,50 $/demi-heure. On s’intéresse au tarif en fonction du temps.

d) Une nageuse fait 40 fois la longueur de la piscine par heure. On s’intéresse à la distance parcourue en fonction du temps.

Associez chacune des règles ci-dessous à la table de valeurs qui lui correspond.

y � 3[0,25x] y � –3[0,25x] y � 3[–0,25x] y � –3[–0,25x]

On a représenté dans le graphique ci-contre une fonction f, sa réciproque et la droite d’équation y � x. Par rapport à la courbe de la fonction f, quelle transformation géométrique a subie la courbe de la réciproque ?

30 2

� 2 50 2

3 6

4

43

21

DCBA

3

2

2

12

1

x 1 2 3 4 5

y 3 3 3 3 6

x –3 –2 –1 0 1

y 0 0 0 0 –3

x –5 –4 –3 –2 –1

y 6 3 3 3 3

x 0 2 4 6 8

y 0 0 3 3 6

0 1

1

x

y

Fonction f

Réciproque de f y � x

mise au point 1.3

31© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Pour chacune des fonctions ci-dessous :

1) déterminez la valeur des paramètres multiplicatifs a et b ;

2) représentez-la graphiquement.

a) f(x) � 0,5[x] b) f(x) � [4x] c) f(x) � –2[x]

d) f(x) � �– x� e) f(x) � 2[0,25x] f ) f(x) � –0,4[2x]

g) f(x) � 5[–3x] h) f(x) � –1,5�– � i ) f(x) � –[2x]

Associez chacune des règles ci-dessous au graphique qui lui correspond.

y � 3[0,5x] y � 3[–0,5x] y � –3[0,5x] y � –3[–0,5x]

Émilie affirme que le codomaine d’une fonction partie entière ne peut être formé que de nombres entiers. A-t-elle raison ? Expliquez votre réponse.

7

43

21

DCBA

6

x2

13

5

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

mise au point 1.3

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

32 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Nom :

Groupe : Date :

Pour chacune des fonctions représentées ci-dessous, déterminez :

1) la règle ; 2) le domaine et le codomaine ;

3) les zéros ; 4) la variation.

a) b)

c) d)

Une dirigeante d’entreprise récompense ses employés qui prennent leur retraite en leur offrant une indemnité de départ en fonction du nombre d’années pendant lesquelles ils ont travaillé pour cette entreprise. Cette indemnité est déterminée selon

la règle P � 200� �, où P représente l’indemnité à recevoir, exprimée en dollars, et a,

le nombre d’années de travail pour cette entreprise.

a) À quel moment un employé ou une employée reçoit-il une indemnité ?

b) À quel moment un employé ou une employée reçoit-il une indemnité de retraite de 600 $ ?

c) Quelle somme reçoit un employé ou une employée qui travaille pour l’entreprise depuis 42 ans s’il ou elle décide de prendre sa retraite maintenant ?

a8

9

8

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

mise au point 1.3

(suite)

33© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Les employés d’une usine ont un certain nombre de semaines de vacances à leurembauche. Par la suite, ils obtiennent une semaine de vacances supplémentairetoutes les cinq années de travail dans cette usine.

a) Tracez le graphique de la fonction représentant le nombre de semaines de vacances supplémentaires d’un employé ou d’une employée en fonction du temps.

b) Déterminez la règle de la fonction tracée précédemment.

c) À quel moment un employé ou une employée a-t-il ou elle six semaines de vacances supplémentaires ?

Dans le cadre d’un solde, la propriétaire d’une quincaillerie offre à ses clients un rabais de 10 $ pour chaque tranche d’achats de 100 $.

a) Déterminez la règle de la fonction qui correspond à cette situation.

b) Représentez graphiquement cette situation.

c) Quel rabais obtient une personne qui fait un achat de 551,95 $ ?

d) Peut-on affirmer que cette offre correspond à un rabais de 10 % pour les clients ?Expliquez votre réponse.

Une entreprise d’exploitation forestière exporte son bois par train. Le graphique ci-dessous représente la tarification de l’entreprise de transport ferroviaire.

a) Déterminez le domaine et le codomaine de la fonction qui correspond à cette situation.

b) Pour quelles masses le tarif par kilogramme est-il le plus bas ?

12

11

10

Coût du transport ferroviaireCoût($/kg)

Masse(kg)

0 1500 3000 4500 6000 7500 9000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

mise au point 1.3

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

34 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Le plein d’énergieproblème

Les fonctions polynomiale de degré 2 et racine carée

La légende veut que Galilée (1564-1642) ait laissé tomber du haut de la tour de Pise deuxboules d’acier de différentes masses pour démontrer à ses élèves que la masse d’un corpsn’influe pas sur sa vitesse en chute libre. La relation entre le temps de chute d’un corps et ladistance parcourue par ce corps en chute libre est représentée par le graphique ci-dessous.

Si une personne laisse tomber d’une hauteur de 55 m une boule d’acier A de 3 kget une boule d’acier B de 25 kg, calculez la différence entre l’énergie cinétique de la boule B et celle de la boule A lorsque ces boules touchent le sol.

Plus tard, certains physiciens ont démontré que :

• l’énergie cinétique E (en J) d’un corps en chute libre se traduit par la règle E � ,où m correspond à la masse du corps (en kg) et v, à sa vitesse (en m/s) ;

• la vitesse v d’un corps en chute libre (en m/s) se traduit par la règle v � 9,8t, où tcorrespond au temps (en s).

mv2

2

Chute libre d’un corpsDistance

(m)

Temps(s)

0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3 3,3

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

section 1.4

Plusieurs mathématiciens ont proposé un symbole pour représenter des radicaux. En voiciquelques-uns :

En observant certains des travaux de ces mathématiciens, on peut découvrir quelques propriétés concernant les radicaux.

a. À partir de l’exploration :

1) écrivez chacune des expressions ci-dessous à l’aide d’un radical ;

i ) 3 ii ) 7

iii ) 5 iv) a

2) expliquez pourquoi le raisonnementemployé ne s’applique pas à l’expression .

b. À partir de l’exploration :

1) écrivez chacune des expressions ci-dessous à l’aide d’un seul radical ;

i ) ii )

iii ) iv)

2) expliquez pourquoi le raisonnement employé ne s’applique pas à l’expression .

c. À partir de l’exploration :

1) écrivez chacune des expressions ci-dessous à l’aide d’un seul radical ;

i ) ii )

iii ) 50 � 5 iv)

2) expliquez pourquoi le raisonnement employé ne s’applique pas à l’expression.50 � 53

ba

12

12

153012 � 2

2 � 53

a � b11 � 3,5

15 � 172 � 3

–236

mn

14

32

25

3

2

1

35© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

L’histoire d’un symboleactivité 1

Année 1220 1484 1525 1637

Symbole � R ℘

Mathématicien Leonardo de Pise Nicolas Chuquet Christoff Rudolff René Descartes

Exploration 3

30 � 10 � 30 � 10

� (30 � 10)

� 30 � 10

� 3

12

12

12

Exploration 1

54 � (54)

� 5

313

43

Exploration 2

5 � 3 � 5 � 3

� (5 � 3)

� 5 � 3

� 15

12

12

12

section 1.4

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

36 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

En 2007, des ingénieurs mettaient sur le marché une voiture considérée à ce momentcomme la plus rapide du monde.

Lors d’un essai, cette voiture a atteint 310 km/h en 25 s et sa vitesse maximale, au bout de 45 s. Le graphique ci-dessous fournit des renseignements sur le début de cet essai routier.

a. Dans cette situation, quelle est la variable :

1) indépendante ?

2) dépendante ?

b. Pendant quelle période de temps la voiture accélère-t-elle ?

c. Déterminez la règle de la fonction qui représente les 45 premières secondes de cettesituation sachant qu’elle est de la forme , où v est la vitesse de la voiture, a,une constante, et t, le temps d’accélération.

d. Quelle est la vitesse :

1) de la voiture à 9 s ?

2) de la voiture à 31 s ?

3) de la voiture au tiers de son temps d’accélération ?

4) maximale de la voiture ?

v � a t

La voiture ultimeactivité 2

8 16

Accélération lors d’un essai routier

0 24 32 40Temps

(s)

Vitesse(km/h)

80

160

240

320

400

section 1.4

(suite)

37© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Certaines situations de la vie quotidienne peuvent être décrites par des fonctions polynomi-ales de degré 2 et d’autres, par des fonctions racines carrées. Voici deux de ces situations :

a. Dans la situation , que permet de déterminer la résolution de :

1) l’équation 1,25t2 � 45 ?

2) l’inéquation 1,25t2 45 ?

b. Les équations 1,25t2 � 45 et t2 � 36 sont-elles équivalentes ? Expliquez votre réponse.

c. 1) En tenant compte du contexte, déterminez un nombre qui, élevé au carré, donne 36.

2) À quoi correspond ce nombre ?

d. Pour quelle période de temps la valeur de l’action est-elle inférieure à 45 $?

e. Dans la situation , que permet de déterminer la résolution de :

1) l’équation ?

2) l’inéquation ?

f. Les équations sont-elles équivalentes ? Expliquez votre réponse.

g. 1) En tenant compte du contexte, déterminez un nombre dont la racine carrée est 2.

2) À quoi correspond ce nombre ?

h. Pour quelle période de temps la quantité d’eau dans chacun des réservoirs est-elleinférieure ou égale à 1790 L ?

895 t � 1790 et t � 2

895 t � 1790

895 t � 1790

2

1

Modéliser pour mieux comprendreactivité 3

Situation

Pour certaines entreprises, l’introduction en Bourse peut présenter de nombreux avantages. Par exemple, la levée de capitaux peut permettre à une entreprise d’accélérer son développement. On a modélisé la croissance d’un titre en Boursedepuis son introduction par une fonction polynomiale de degré 2 dont la règle est v � 1,25t2, où t correspond au temps (en mois) et v, à la valeur (en $) d’une action.

1

Situation

Le CL-415 est un avion bombardier d’eau amphibie spécialisé dans la lutte contreles incendies de forêt. Il lui faut de 9 s à 12 s d’écopage pour remplir ses deux réservoirsd’eau. On a modélisé l’opération d’écopage d’un CL-415 par une fonction racine carrée dont la règle est , où t correspond au temps (en s) et q, à la quantitéd’eau (en L) dans chacun des réservoirs.

q � 895 t

2

section 1.4

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

38 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Une entreprise se spécialise dans la fabrication de parfums. Afin de déterminer le prix devente d’un certain parfum, des spécialistes du marketing évaluent son coût de fabrication,le parfum, le contenant et l’emballage inclus. Ils établissent que le prix de vente de ce parfum doit être supérieur au double du carré de son coût de fabrication.

a. Si x correspond au coût de fabrication du parfum et y, à son prix de vente, traduisez cette situation par une inéquation.

Le graphique ci-contre représente la relationentre le prix de vente d’un parfum et soncoût de fabrication.

b. Quel lien peut-on établir entre :

1) la région colorée et le symbole d’inégalité de l’inéquationreprésentant cette situation ?

2) la courbe en pointillé et le symboled’inégalité de l’inéquation représentant cette situation ?

c. Si le coût de fabrication d’un contenant de 100 mL de ce parfum est de 6 $, le prix de vente de ce même contenant peut-il être de :

1) 56 $ ? 2) 72 $ ?

3) 110 $ ? 4) 300 $ ?

d. Le prix de vente de ce parfum peut-il être de :

1) 50 $ si son coût de fabrication est de 2 $ ?

2) 140 $ si son coût de fabrication est de 9 $ ?

3) 200 $ si son coût de fabrication est de 10 $ ?

4) 50 $ si son coût de fabrication est de 5 $ ?

e. Quels sont les coûts de fabrication possibles de ce parfum si son prix de vente est de :

1) 32 $ ? 2) 72 $ ? 3) 288 $ ? 4) 350 $ ?

Une entreprise parfuméeactivité 4

1 2 3 4 5

Prix de vente d’un parfum

0 6 7 8 9 10Coût de

fabrication($)

Prixde vente

($)

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

section 1.4

(suite)

39© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

FONCTION POLYNOMIALE DE DEGRÉ 2Une fonction dont la règle s’écrit à l’aide d’un polynôme de degré 2 est appelée une fonction polynomiale de degré 2 ou fonction quadratique.

Pour une fonction polynomiale de degré 2 dont la règle s’écrit f(x) � a(bx)2, où a � 0 et b � 0 :

• pour une même variation de la variable indépendante, les variations de la variable dépendante forment une suite arithmétique et leur différence est constante ;

• la représentation graphique est une courbe, nommée « parabole », qui passe par l’origine du plan cartésien et est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ;

• l’intersection de la courbe et de l’axe de symétrie se nomme sommet.

RECHERCHE DE LA RÈGLE D’UNE FONCTION POLYNOMIALE DE DEGRÉ 2Les lois des exposants permettent de transformer une règle de la forme f(x) � a(bx)2

en une règle de la forme f(x) � ax2.

PROPRIÉTÉS DES RADICAUXLes propriétés des radicaux permettent d’effectuer des opérations faisant intervenir des radicaux.

FONCTION RACINE CARRÉELa réciproque d’une fonction polynomialede degré 2 correspond à une relationdéfinie par deux fonctions racines carrées.

Ex. : f(x) � 2(3x)2

f(x) � 2 � 32 � x2

f(x) � 18x2

Propriété Exemple

Pour a � 0: , sauf si n est pair et am 0.

Pour a � 0 et b � 0:

Pour a � 0 et b � 0: 10

2

102

� � 5a

b

ab

�

7 � 5 � 7 � 5 � 35a � b � ab

254 � 25 � 25 � 5848

12am � an

mn

Ex. :

10

1

y

x

Fonction polynomialede degré 2

Fonction racine carrée

Fonction racine carrée

Axede symétriey �x

1.4

Nom :

Groupe : Date :

40 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Pour une fonction racine carrée dont la règle s’écrit , où a � 0 et b � 0, la repré -sentation graphique est une courbe dont le sommet est situé à l’origine du plan cartésien.

RECHERCHE DE LA RÈGLE D’UNE FONCTION RACINE CARRÉELes propriétés des radicaux permettent de transformer une règle de la forme

en une règle de la forme .

Il est possible de déterminer la règle d’une fonction racine carrée dont la règle est de la forme , de la façon suivante.f(x) � a x

f(x) � a xf(x) � a bx

f(x) � a bx

Nom :

Groupe : Date :

Règle Table de valeurs Représentation graphique

f (x) � 3 2x

0 4 8 12 162 6 10 14

4

8

12

16

2

6

10

14

y

x

Sommet

x y

0 0

2 6

8 12

18 18

32 24

Ex.: 1) f(x) � 5 4x 2) g(x) � 3 –81x

f(x) � 5 � 4 � x g(x) � 3 � 81 � –x

f(x) � 5 � 2 � x g(x) � 3 � 9 � –x

f(x) � 10 x g(x) � 27 –x

1. Trouver les coordonnées d’un point de la courbe autre que le sommet.

2. D’après l’orientation de la courbe, déduire sila règle recherchée est de la forme ou .

3. Substituer les coordonnées de ce point de la courbe à x et à y dans la règle.

4. Résoudre l’équation obtenue afin de déterminer la valeur du paramètre a.

5. Écrire la règle de la fonction obtenue.

f(x) � a –xf(x) � a x

Ex. :

La courbe passe par le point (–4, 10).

Puisque la courbe est située dans le 2e quadrant, on déduit que la règle decette fonction est de la forme .

10 � a � 2a � 5

f(x) � 5 –x

10 � a 410 � a –(–4)

10 � a –(–4)

f(x) � a –x

10

2

y

x

(-4, 10)

1.4

(suite)

Ex. :

41© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉIl est possible de résoudre une équation du second degré à une variable de la façon suivante.

RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION RACINE CARRÉE À UNE VARIABLEIl est possible de résoudre une équation racine carrée à une variable de la façon suivante.

RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION DU SECOND DEGRÉ À UNE VARIABLEIl est possible de résoudre une inéquation du second degré à une variable de la façon suivante.

1. Obtenir une équation de la forme x2 � n, où n est un nombre réel.

2. Déterminer, s’ils existent, des nombresqui, élevés au carré, donnent n.

Ex. : 6(3x)2 � 26466 � 32 � x2 � 2646

54x2 � 2646x2 � 49

Puisque (–7)2 � 49 et 72 � 49, les solutionssont –7 et 7.

1. Substituer un symbole d’égalité au symbole d’inégalité del’inéquation.

2. Résoudre l’équation.

3. Représenter les solutions sur une droite numérique par des points pleins ou vides selon que l’équation fait partie ou non de l’inéquation.

4. Déduire l’ensemble-solutionde l’inéquation.

Ex. : L’équation associée à l’inéquation 10x2 � 422,5est 10x2 � 422,5.

10x2 � 422,5x2 � 42,25

Puisque (–6,5)2 � 42,25 et 6,52 � 42,25,les solutions sont –6,5 et 6,5.

Sur la droite numérique, les nombres situés de partet d’autre de –6,5 et 6,5 vérifient l’inéquation.L’ensemble-solution est :

x � –6,5 et x � 6,5.

1 20 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

1 20 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

1. Obtenir une équation de la forme . Noter que la résolution ne peut se poursuivre que si le membre formé du terme constant est positif.

2. Élever au carré chaque membre de l’équation afin d’éliminer le radical et de résoudre l’équation ainsi obtenue.

x � n Ex. :

64 � –2xx � –32

82 � ( –2x )2

5 –2x � 40 –2x � 8

1.4

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

42 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION RACINE CARRÉE À UNE VARIABLEIl est possible de résoudre une inéquation racine carrée à une variable de la façon suivante.

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE INÉQUATION DU SECOND DEGRÉ À DEUX VARIABLESPour représenter graphiquement l’ensemble-solution d’une inéquation du second degréà deux variables, on peut procéder de la façon suivante.

1. Écrire l’inéquation sous la forme y ax2, y � ax2, y � ax2 ou y � ax2.

2. Tracer la courbe frontière d’équation y � ax2 en un trait plein ou en pointilléselon que l’équation fait partie ou nonde l’inéquation.

3. Colorier ou hachurer la région au-dessousde la courbe si le symbole est ou �

et au-dessus de la courbe si le symboleest � ou �.

Ex. : On désire représenter graphiquementl’ensemble-solution de l’inéquation y � 3x2.

L’équation de la courbe frontière est y � 3x2.

0

y

x1 2

2

4

-2

-1-2

0

y

x1 2

2

4

-2

-1-2

1. Substituer un symbole d’égalité ausymbole d’inégalité de l’inéquation.

2. Résoudre l’équation.

3. Déduire l’ensemble-solution de l’inéquation en tenant comptede la restriction de positivité du radicande.

Ex. : L’équation associée à l’inéquation est .

84 �

12 �

122 �

144 � –3x

x � –48

Le radicande d’une racine carrée devant êtresupérieur ou égal à 0, on a :

–3x � 0x � 0

Sur la droite numérique, les nombres supérieurs à –48 et inférieurs ou égaux à 0 vérifient l’inéquation. L’ensemble-solution est :

x � –48 et x � 0.

( –3x )2

–3x

7 –3x

84 � 7 –3x84 � 7 –3x

-24-30 -18 -12 -6 0-36-42-48

1.4

(suite)

43© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Nom :

Groupe : Date :

Dans chaque cas, transformez la règle de la forme y � a(bx)2 en une règle de la forme y � ax2.

a) y � 4(0,5x)2 b) y � –3(15x)2 c) y � –4(–1,5x)2 d) y � (– x)2

Dans chaque cas, transformez la règle de la forme en une règle de la forme ou .

a) b) c) d)

Déterminez la règle de chacune des fonctions illustrées ci-dessous.

a) b)

c) d)

La table de valeurs de la fonction f est présentée ci-dessous.

a) Montrez que la fonction f est une fonction polynomiale de degré 2.

b) Construisez une table de valeurs associée à la réciproque de la fonction f.

c) Tracez le graphique de la réciproque de la fonction f.

d) La réciproque de la fonction f est-elle une fonction ? Expliquez votre réponse.

y � 7,2 –12,96xy � –9 436

xy � –3 –100xy � 50 25x

y � a –xy � a xy � a bx

4

3

2

254

75

1

0

y

x2 4

4

8

-4

-8

-2-4 0

y

x2 4

1

2

-1

-2

-2-4

0

y

x2 4

0,8

1,6

-0,8

-1,6

-2-4 0

y

x2 4

2

4

-2

-4

-2-4

x –6 –4 –2 0 2 4 6

y 18 8 2 0 2 8 18

mise au point 1.4

Nom :

Groupe : Date :

44 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Pour chacune des fonctions ci-dessous, déterminez :

1) le domaine et le codomaine ; 2) la variation ; 3) le signe ;

4) les extremums ; 5) la valeur initiale ; 6) le zéro.

a) f(x) � 2x2 b) c) h(x) � –0,8x2 d)

Déterminez la règle de la fonction associée à chacune des tables de valeurs ci-dessous sachant qu’il s’agit d’une fonction :

a) polynomiale de degré 2 ;

1) 2) 3)

b) racine carrée.

1) 2) 3)

Le temps T d’oscillation (en s) d’un objet attaché à un certain type de ressort est donné par la règle , où m correspond à la masse (en g) d’un objetsuspendu au ressort.

a) Représentez graphiquement cette situation pour des masses de 0 g à 20 g.

b) Quel est le temps d’oscillation d’un objet dont la masse est de :

1) 30 g ? 2) 40 g ? 3) 60 g ?

Plus la vitesse d’une voiture est élevée, plus grande est sadistance de freinage. Le temps de réaction, l’usure des freins et des pneus, la masse du véhicule et les conditions routières sont autant de facteurs qui influent sur la distance de freinage. La table de valeurs ci-contre indique quelques distances de freinage en fonction de la vitesse d’un véhicule.

a) Représentez graphiquement cette situation à l’aide d’un nuage de points.

b) Tracez une courbe représentative de l’ensemble des points.

c) Déterminez la règle du modèle mathématique associé à la courbe obtenue en b).

d) Calculez la distance de freinage pour une voiture qui roule à :

1) 90 km/h 2) 140 km/h 3) 160 km/h

T � 2 m

i(x) � –12 –xg(x) � 100 x

8

7

6

5

x y

–1 3

0 0

1 3

2 12

x y

–2 –20

–1 –5

0 0

1 –5

x y

5 60

10 240

15 540

20 960

x y

–9 6

–4 4

–1 2

0 0

x y

0 0

4 500

9 750

16 1000

x y

4 6,4

9 9,6

16 12,8

25 16

Vitesse Distance(km/h) (m)

0 0

30 15,5

50 31,2

70 51

100 88,6

120 119

Distances de freinage

mise au point 1.4

(suite)

45© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Dans chaque cas, déterminez l’inéquation du second degré à une variable qui correspond à l’ensemble-solution illustré.

a) b)

c) d)

Dans chaque cas, traduisez la situation par une inéquation.

a) b)

c) d)

Représentez graphiquement l’ensemble-solution de chacune des inéquationssuivantes.

a) y � 2x2 b) y –0,5x2 c) 3y � –x2 d) 4x2 � 2y � 0

On programme un missile pour détruire un objet volant non identifié. L’altitude A(en m) de l’objet volant non identifié est donnée par la règle A � 4,5t2, où tcorrespond au temps écoulé (en s) depuis le lancement du missile. Combiende temps a pris le missile pour atteindre l’objet volant sachant que la collision a eu lieu à 10 125 m d’altitude ?

12

11

10

9

-3 3 -8 8

-4,2 4,2 -9,1 9,1

y

x1 2 3 4 50-4 -3 -2 -1-5

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1

(1, 2)

y

x1 2 3 4 50-4 -3 -2 -1-5

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1

(3, 4,5)

y

x1 2 3 4 50-4 -3 -2 -1-5

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1

(5, -5)

y

x1 2 3 4 50-4 -3 -2 -1-5

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1

(1,2, -4,32)

mise au point 1.4

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

46 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Dans un cours de piano, le nombre de mesures M apprises par une élève est donné parla règle , où t représente le temps d’apprentissage (en h). Combien d’heuresd’apprentissage sont nécessaires pour apprendre une partition de 360 mesures ?

Des spécialistes étudient le développement d’une bactérie chez un groupe de personnes. Voici les résultats de leur recherche :

• Au début de l’étude, aucune personne n’est porteuse de la bactérie.

• Du début de l’étude jusqu’au 4e mois, le nombre de personnes porteuses de labactérie est déterminé par une fonction f dont la règle est de la forme f(x) � ax2,où x représente le temps (en mois) écoulé depuis le début de l’étude.

• Du 4e au 9e mois, le nombre de personnes porteuses de la bactérie est déterminépar une fonction g dont la règle est de la forme , où x représente le temps (en mois) écoulé depuis le début de l’étude.

• À 9 mois, 12 000 personnes sont porteuses de la bactérie.

• Du 9e au 14e mois, le nombre de personnes porteuses de la bactérie diminue et est déterminé par une fonction polynomiale de degré 1.

• Quatorze mois après le début de l’étude, le nombre de personnes porteuses de la bactérie est nul.

a) Déterminez la règle de la fonction qui représente la situation :

1) du 9e au 14e mois ;

2) du 4e au 9e mois ;

3) du début de l’étude au 4e mois.

b) Déterminez le nombre de personnes porteuses de la bactérie :

1) 1 mois après le début de l’étude ;

2) 4 mois après le début de l’étude ;

3) 8 mois après le début de l’étude ;

4) 13 mois après le début de l’étude.

c) Pour quel intervalle de temps le nombre de bactéries est-il :

1) supérieur à 9000 ?

2) inférieur à 4000 ?

3) compris entre 7000 et 11 000 ?

Benjamin emprunte 735 $ à ses parents et s’engage à rembourser sa dette enleur versant chaque semaine une certaine somme. La somme S totale remboursée(en $) correspond à la règle S � 3,75t2, où t représente le temps (en semaines)écoulé depuis l’emprunt. À quel moment Benjamin aura-t-il remboursé sa dette ?

g(x) � a x

M � 60 4t

15

14

13

mise au point 1.4

(suite)

47© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

La stérilisationproblème

Les fonctions exponentielle et logarithmique

La stérilisation est un procédé qui permet de détruire un maximum de germes par un chauffage intense. Elle est utilisée, entre autres, en médecine, afin d’éliminer les micro-organismes qui pourraient se trouver sur les instruments de chirurgie. Si la stérilisation n’est pas faite de façon appropriée, les patients risquent de contracterdes infections.

La relation entre le temps de stérilisation et le nombre de germes sur un instrument dechirurgie est définie par une fonction exponentielle dont la table de valeurs est présentéeci-dessous.

Cette section est en lienavec la SAÉ 3.

Temps de stérilisation (min) 0 1 2 3 4

Nombre de germes 2 097 152 1 048 576 524 288 262 144 131 072

Stérilisation à 180 °C

Si l’on considère que cet instrument est stérile lorsqu’il reste moins de 1024 germes sur celui-ci, combien de temps prendra la stérilisation ?

section 1.5

Nom :

Groupe : Date :

48 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Les mathématiciens John Neper et Henry Briggs ont été parmi les premiers à manipulerdes expressions logarithmiques. C’est en manipulant des expressions exponentielles et logarithmiques qu’ils ont remarqué certaines équivalences et énoncé quelques lois.

a. À partir de l’équivalence , écrivez chacune des expressions suivantes sous la formeexponentielle ou logarithmique.

1) 64 � 43 2) log2 32 � 5 3) 27 � ( )–34) 6 � 18x

5) log4 2 � 6) log7 x � 3 7) m � (base)n 8) log(base) m � n

Voici trois égalités comportant des expressions logarithmiques :

b. Que remarquez-vous en comparant les expressions situées à :

1) la gauche de chacun des symboles d’égalité ?

2) la droite de chacun des symboles d’égalité ?

c. 1) À l’aide du tableau de logarithmes ci-contre, calculez, pour chacune des égalités, la valeur de l’expression située à la droite du symbole d’égalité.

2) Que remarquez-vous ?

3) Quelle conjecture pouvez-vous émettre à la suite de vos observations ?

d. Après avoir repéré la touche sur votre calculatrice graphique, effectuez les opérations suivantes.

1) 3 2) 4 3) 5 4) 6 5) 7

e. 1) Que remarquez-vous en comparant les valeurs calculées en d avec celles indiquéesdans le tableau de logarithmes ?

2) Quelle conjecture pouvez-vous émettre quant à l’utilisation de la touche ?

1

log

logloglogloglog

log

12

13

Une question de loisactivité 1

Forme exponentielle

9 � 32 ⇔ log3 9 � 2

Exposant Argument

LogarithmePuissance

Base Base

Forme logarithmique

Équivalence 1

Égalité

log4 7 �

1

log2 7log2 4

Égalité

log4 7 �

2

log3 7log3 4

Égalité

log4 7 �

3

log5 7log5 4

Tableau de logarithmes

a loga 3 loga 4 loga 5 loga 6 loga 7

2 � 1,585 2 � 2,322 � 2,585 � 2,807

3 1 � 1,262 � 1,465 � 1,631 � 1,771

5 � 0,683 � 0,861 1 � 1,113 � 1,209

10 � 0,477 � 0,602 � 0,699 � 0,778 � 0,845

section 1.5

(suite)

49© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Le pH sert à évaluer l’acidité ou l’alcalinité d’une solution. Il est déterminé par la concentration, en moles par litre (mol/L), des ions hydrogène dans la solution. Par exemple, un pH 7 indique une concentration d’ions hydrogène de 10–7 mol/Lalors qu’un pH 8 indique une concentration d’ions hydrogène de 10–8 mol/L.

Cette table de valeurs montre la relation entre la concentration d’ions hydrogène d’une solution et son pH.

a. Décrivez en mots la façon dont le pH d’une solution varie selon sa concentration.

b. Quelle est la concentration d’une solution dont le pH est :

1) 12 ? 2) 1 ? 3) –3 ?

c. Quel est le pH d’une solution dont la concentration est de :

1) 10–13 mol/L ? 2) 0,01 mol/L ? 3) 100 mol/L ?

d. Quel est le zéro de la fonction associée à cette situation et que représente-t-il par rapport au contexte ?

e. La concentration d’une solution peut-elle être nulle ? Expliquez votre réponse.

Une solution acideactivité 2

Concentration d’ions hydrogène dans une solution

Concentration (mol/L) 10–11 10–10 10–9 10–8 10–7 10–6 10–5 10–4 10–3

pH 11 10 9 8 7 6 5 4 3

section 1.5

(suite)

Un superacide est un acide dont le pH est inférieur à 0 et qui est plus acide que l’acide sulfurique à 100 %. L’acidefluoroantimonique fait partie de la classe des superacides. C’est un acide très toxique et corrosif, et qui peut même dissoudre le verre.

Nom :

Groupe : Date :

50 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

La conductivité traduit la capacité du courant électrique à circuler, entre autres, dans les fils.Son unité de mesure est le siemens par mètre (S/m). La conductivité d’un fil varie selonle type de métal dont est fait le fil, la température du fil, le diamètre du fil, etc.

La règle C � 10(0,98)t permet de déterminer la conductivité C (en S/m) d’un fil métallique en fonction de la température t (en °C). En résolvant l’équation 10(0,98)t � 9,8, il est possible de mesurer la température de ce type de fil lorsque sa conductivité est de 9,8 S/m.

a. Quelle équation obtient-on en isolant la base et son exposant ?

b. En observant l’équation trouvée en a :

1) que remarquez-vous en comparant les deux membres de l’équation ?

2) pourquoi est-il possible de conclure que la température recherchée est de 1 °C ?

c. La démarche ci-dessous permet de déterminer la valeur de t dans l’équation 10(0,98)t � 5. Indiquez le plus précisément possible comment vous pouvez obtenir :

1) l’équation à partir de l’équation ;

2) l’équation à partir de l’équation ;

3) l’équation à partir de l’équation .

d. En tenant compte du contexte, que représente la valeur trouvée en c ?

Selon des spécialistes, ce type de fil est considéré comme sécuritaire seulement lorsque sa conductivité est supérieureou égale à 5 S/m.

e. Traduisez cette situation par une inéquation.

f. En tenant compte de la solution trouvée en c, déterminez les valeurs qui vérifientcette inéquation.

34

23

12

Nom :

Groupe : Date :

La conductivité électriqueactivité 3

10(0,98)t � 5

(0,98)t � 0,5

log0,98 0,5 � t

t �

t � 34,315

2

4

3

1

log 0,5log 0,98

section 1.5

(suite)

51© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Nom :

Groupe : Date :

La résolution d’équations logarithmiques a été, pour certains scientifiques, un outil indispensable pour l’analyse de multiples phénomènes physiques, chimiques, astronomiqueset même musicaux.

On veut connaître la valeur de x qui vérifie l’équation 3 log7 2x � 6.

a. Que remarquez-vous à propos de la position de x dans l’équation ?

b. La démarche ci-contre permet de résoudre cette équation.Indiquez le plus précisément possible comment vouspouvez obtenir :

1) l’équation à partir de l’équation ;

2) l’équation à partir de l’équation ;

3) l’équation à partir de l’équation .

Voici la représentation graphique de la fonction y � 3 log7 2x :

c. Quel est le domaine de cette fonction ?

d. À l’aide de la solution trouvée en b et de la représentation graphique ci-dessus,déterminez les valeurs de x qui vérifient l’inéquation 3 log7 2x � 6.

34

23

12

Une résolution logarithmiqueactivité 4

3 log7 2x � 6

log7 2x � 2

72 � 2x

x � 24,5

2

4

3

1

3 6 9 12 15 18 21 24 27

-8

-10

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

y

x

section 1.5

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

52 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

FONCTION EXPONENTIELLEUne fonction définie par une règle dans laquelle la variable indépendante apparaît en exposant est appelée une fonction exponentielle.

Les lois des exposants permettent de transformer une règle de la forme f(x) � a(base)bx en une règle de la forme f(x) � a(base)x.

FONCTION LOGARITHMIQUELa réciproque d’une fonction exponentielle correspond à une fonction logarithmique.

Pour une fonction logarithmique dont la règle s’écrit f(x) � a log(base) bx, où a � 0, b � 0 et où la baseest un nombre supérieur à 0 et différent de 1,la représentation graphique est une courbe :

• passant par le point ( , 0) ;

• dont l’une des extrémités se rapproche de plus en plus de l’axe des ordonnées sans jamais y toucher.

ÉQUIVALENCEL’équivalence qui suit permet de passer d’une forme d’écriture exponentielle à une formed’écriture logarithmique, et vice versa.

1b

Nom :

Groupe : Date :

Ex. : f(x) � 2(3)2x

f(x) � 2(32)x

f(x) � 2(9)x

Règle Table de valeurs Représentation graphique

f (x) � 2 log3 x

Ex. :

2 4 6 80

2

4

6

8

y

x-2

-4

-6

-8

-2-4-6-8

Asymptote

x y

1 0

3 2

9 4

27 6

81 8

Ex. : Fonctionexponentielle

Fonctionlogarithmique

2 4 6 80

2

4

6

8

y

x-2

-4

-6

-8

-2-4-6-8

Axe desymétrie

Ex. : 1) 8 � 2x ⇔ x � log2 8

2) 20 � 9x ⇔ x � log9 20

3) 16 � ( )x⇔ x � log 16

4) 15 � 42x ⇔ 2x � log4 15

12

12

Forme exponentielle

m � (base)n ⇔ log(base) m � n

Exposant Argument

LogarithmePuissance

Forme logarithmique

1.5

53© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Nom :

Groupe : Date :

L’équivalence qui suit permet de calculer le logarithme d’un nombre dans n’importe quelle base.

RECHERCHE DE LA RÈGLE D’UNE FONCTION LOGARITHMIQUEIl est possible de déterminer la règle d’une fonction logarithmique de la forme f(x) � a log(base) bx de la façon suivante.

loga m � , où les arguments sont des nombres supérieurs à 0 et où les bases

sont des nombres supérieurs à 0 et différents de 1.

logb mlogb a

Ex. : 1) log2 7 � ou � 2,81. 2) log0,5 9,2 � ou � –3,20.log 9,2log 0,5

log 7log 2

1. Déduire, si possible, certains renseignements de la situation.

2. Substituer à x et à y les coordonnéesd’un point appartenant à la fonction et qui n’est pas situé sur l’axe des abscisses.

3. Obtenir une équation de la forme log(base) n � m.

4. Passer de la forme d’écriture logarithmiqueà la forme d’écriture exponentielle et résoudre l’équation afin de déterminerla valeur recherchée.

5. Écrire la règle de la fonction obtenue.

Ex. : La règle recherchée est de la formey � 3 log(base) bx.

Puisque la courbe passe par le point (0,25, 0),la valeur du paramètre b est 1 � 0,25 � 4.

y � 3 log(base) 4x

La courbe passe par le point (8, 15).y � 3 log(base) 4x15 � 3 log(base) (4 � 8)15 � 3 log(base) 32

15 � 3 log(base) 325 � log(base) 32

5 � log(base) 32 ⇔ (base)5 � 32base � 2

f(x) � 3 log2 4x

1 2 3 4 50 6 7 8-2 -1

4

8

12

16

20

-16

-20

-12

-8

-4

y

x

(0,25, 0)

(8, 15)

1.5

(suite)

On omet d’écrire la base d’un logarithme lorsqu’elle est 10.

Nom :

Groupe : Date :

54 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION EXPONENTIELLE À UNE VARIABLEDans certaines situations, il est possible de résoudre une équation exponentielle en exprimant chacun des membres dans une même base. De l’égalité des bases, on peut alors déduire l’égalité des exposants et résoudre l’équation ainsi obtenue.

Il est aussi possible de résoudre une équation exponentielle à une variable de la façon suivante.

RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION LOGARITHMIQUEÀ UNE VARIABLEIl est possible de résoudre une équation logarithmique à une variable de la façon suivante.

Nom :

Groupe : Date :

Ex. : 23x � 6423x � 26

⇓3x � 6

x � 2

1. Obtenir une équation de la forme (base)m � n.

Noter que la résolution ne peut se poursuivre que si le membre formé du terme constant est positif.

2. Passer de la forme d’écriture exponentielle à la forme d’écriture logarithmique et résoudre l’équation ainsi obtenue.

Ex. : 15 � 3(2)x

5 � 2x

5 � 2x ⇔ x � log2 5

x � ou ≈ 2,32log 5

log 2

1. Obtenir une équation de la forme log(base) m � n.

2. Passer de la forme d’écriture logarithmique à la forme d’écriture exponentielle et résoudre l’équation ainsi obtenue.

Ex. : 2 log 5x � 4log 5x � 2

log 5x � 2 ⇔ 102 � 5x5x � 100x � 20

1.5

(suite)

55© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Nom :

Groupe : Date :

RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION EXPONENTIELLE À UNE VARIABLEIl est possible de résoudre une inéquation exponentielle à une variable de la façon suivante.

RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION LOGARITHMIQUEÀ UNE VARIABLEIl est possible de résoudre une inéquation logarithmique à une variable de la façon suivante.

1. Substituer un symbole d’égalité au symbole d’inégalité de l’inéquation.

2. Résoudre l’équation.

3. Représenter la solution sur une droitenumérique par un point plein ou vide selon quel’équation fait partie ou non de l’inéquation.

4. Déduire l’ensemble-solution de l’inéquation.

Ex. : L’équation associée à l’inéquation 3(4)2x 192est 3(4)2x � 192.

3(4)2x � 19242x � 64

42x � 64 ⇔ log4 64 � 2xx � 0,5 log4 64

x � 0,5 � 1,5

Sur la droite numérique, lesnombres situés à la gauche de 1,5 vérifient l’inéquation.L’ensemble-solution est :

x 1,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

log 64

log 4

1. Substituer un symbole d’égalité ausymbole d’inégalité de l’inéquation.

2. Résoudre l’équation.

3. Déduire l’ensemble-solutionde l’inéquation en tenant compte de la restriction de positivité de l’argument.

Ex. : L’équation associée à l’inéquation –18 log9 –4x � –9 est –18 log9 –4x � –9.

–18 log9 –4x � –9log9 –4x � 0,5

log9 –4x � 0,5 ⇔ 90,5 � –4x90,5 � –4x

3 � –4xx � –0,75

L’argument d’un logarithme devant être positif, on a :–4x � 0

x 0

Sur la droite numérique, les nombres supérieurs ou égaux à –0,75 et inférieurs à 0 vérifient l’inéquation. L’ensemble-solution est :

x � –0,75 et x 0.

-1 -0,5 0 0,5 1

1.5

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

56 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Déterminez la valeur de chacun des logarithmes suivants.

a) log3 27 b) log5 125 c) log10 0,1 d) log7 7

e) log5 1 f ) log9 100 g) log3 6 h) log

Les tables de valeurs ci-dessous représentent des fonctions logarithmiques dont la règle est de la forme f(x) � log(base) x. Déterminez la base de chacune de ces fonctions.

a) b) c) d)

Déterminez la règle de la fonction associée à chacune des représentationsgraphiques ci-dessous.

a) y � a log 2x b) y � –3 log(base) bx

c) y � a log2 (bx) d) y � –3 log7 (bx)

3

2

583

5

1

x y

1 0

2 0,631

3 1

4 1,262

5 1,465

x y

1 0

2 0,431

3 0,683

4 0,861

5 1

x y

1 0

2 –1

3 –1,585

4 –2

5 –2,322

x y

1 0

2 –0,5

3 –0,792

4 –1

5 –1,322

(5, -3)

y

x2 40-4 -2

2

4

-4

-2

y

x4 80-8 -4

4

8

-8

-4 (8, -3)

y

x8 160-16 -8

8

16

-16

-8

(-8, 5)

y

x6 120-12 -6

4

8

-8

-4(-14, -3)

mise au point 1.5

57© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Déterminez la valeur de chacune des expressions logarithmiques ci-dessous.

a) log3 93 b) log5 62510 c) –log7 34355

d) 3 log 1 e) 6 log ( )13f ) 25 log

Résolvez chacune des équations ci-dessous en exprimant chacun des membres dansune même base.

a) 53x � 125 b) 3(10)0,5x � 3000 c) ( )–x�

d) e) 15( )0,2x� 10 � 20 f ) 7x � 1

Déterminez le zéro de chacune des fonctions logarithmiques ci-dessous.

a) f(x) � 2 log3 x b) g(x) � –log5

c) h(x) � 0,25 log4 –2x d) i(x) � –3 log –3x

Résolvez chacune des équations exponentielles ci-dessous.

a) 7x � 2 b) 10x � 99 c) x � 2 d) –3(2)–x � –9

e) 0,753x � 8 f ) 3(4)2x � 5 g) –20(8) � –5 h) –(7)–2x � 0

Déterminez l’ensemble-solution de chacune des inéquations exponentielles ci-dessous.

a) 3(2)3x 96 b) 0,5(3)–x � 40,5 c) –2(0,5)2x � –64

d) ( )–4x e) 4(5)0,1x � 500 f ) ( )3x

�

Résolvez chacune des équations logarithmiques ci-dessous.

a) 5 � log6 8x b) –4 � log3 2,5x c) 2,25 � –log7 2x

d) 0,5 � 0,25 log0,5 9x e) 0 � 4 log 4x f ) � log x

Résolvez chacune des inéquations logarithmiques ci-dessous.

a) 2 � log3 27x b) 6 � log5 25x c) –0,5 log9 10x

d) –2 � log3 –6x e) 4 � log 8x f ) 0,75 � log x

( 6 )3x� 36

8272

312

10

49

27

341

3

9

132

116

8116

23

8

3x2

7

12

x2

6

23

49

32

5

27643

412

4

mise au point 1.5

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

58 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Une entreprise se spécialise dans le tourisme spatial. Les dirigeants estiment que le nombre de personnes qui feront un voyage dans l’espace augmentera de 6 % par année. Cette année, 100 personnes doivent faire un tel voyage. On s’intéresseà la relation entre le nombre n de personnes qui voyageront dans l’espace selon le temps t (en années).

a) Déterminez la règle de la fonction qui correspond à cette situation.

b) Représentez graphiquement cette situation.

c) Combien de personnes feront ce voyage au cours de la 5e année ?

d) À quel moment le nombre de touristes de l’espace dépassera-t-il 3000 ?

Lors de la fusion du cœur d’un réacteur d’une centrale nucléaire, on estime que la quantité Qo restante (en g) de matières radioactives varie en fonction du temps t (en années) et est représentée par la règle Qo � 100(2,71)–0,1t.

a) Quelle quantité de matières radioactives restera-t-il 5 ans après le début de la fusion ?

b) Pour quel intervalle de temps la quantité restante de matières radioactives est-elle inférieure à 40 ?

PRESSION ATMOSPHÉRIQUE La pression atmosphérique aide à prédire lesphénomènes météorologiques à venir. Plusieurs facteurs peuvent influer sur cette pression, tels que la température et l’altitude à laquelle est mesurée la pression.Les employés d’une station météorologique utilisent la formule ci-dessous afinde mesurer la pression atmosphérique à une certaine altitude.

Ph � Poe( )

, où

Ph représente la pression à l’altitude h (en kPa) ;Po représente la pression au niveau de la mer (en kPa) ;h représente l’altitude (en km) ;t représente la température (en K).

a) Déterminez la pression à 1 km d’altitude si la température est de 273 K et que la pression normale au niveau de la mer est de 103 kPa.

b) À quelle altitude la pression est-elle de 100 kPa pour une température de 263 K et une pression au niveau de la mer de 103 kPa ?

c) Quelle température permet d’obtenir une pression de 70 kPa à une altitudede 5000 m si la pression au niveau de la mer est de 100 kPa ?

–9,8ht

13

12

11

Nom :

Groupe : Date : mise au point 1.5

(suite)

59© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Pendant une expérience sur la réaction chimique entre l’hydroxyde de sodium(NaOH) et le chlorure d’hydrogène (HCl ), la quantité initiale de réactifs diminue de 20 % toutes les secondes pour se transformer en sel et en eau. Au début de laréaction, il y a 12 g de réactifs qui réagissent selon l’équation chimique suivante.

a) Déterminez la règle de la fonction qui permet de calculer la quantité restante Qr

de réactifs (en g) en fonction du temps t (en s) ?

b) Quelle quantité de réactifs reste-t-il 4 s après le début de l’expérience ?

c) À quel moment la quantité de réactifs a-t-elle diminué de moitié ?

d) L’expérience cesse lorsque la quantité de réactifs est inférieure à 0,01 g. Combien de temps dure cette expérience ?

Dans une forêt, on estime que le nombre d’insectes augmente de 3 % par jour. Lors d’un recensement, 3000 insectes ont été dénombrés. À quel moment le nombre d’insectes sera-t-il supérieur à 9000 ?

Lorsqu’ils sont chauffés, les métaux ont tendance à se dilater. Une tige métalliquecommence à se dilater à partir de 1 °C et sa dilatation est représentée par la fonction d � log 5t, où d représente la dilatation (en mm) et t, la température du métal (en °C).

a) Si la tige métallique est chauffée à une température de 70 °C, de combien de millimètres est-elle dilatée ?

b) À quelle température la tige métallique se dilate-t-elle de 2 mm ?

c) Pour quelles températures la dilatation de la tige métallique est-elle supérieure à 4 mm ?

d) Si le point de fusion de la tige métallique est de 450 °C, quelle dilatation maximale peut-elle atteindre avant de fondre ?

ONDE RADIO Lorsqu’une onde radio rencontre un obstacle, elle subit une

atténuation R (en dB) qui varie selon la règle R � 10 log , où P1 est la puissance

(en W) de l’onde avant l’obstacle et P2, la puissance (en W) de l’onde après

l’obstacle.

a) Quelle atténuation subit une onde dont la puissance avant un obstacle est de 1000 W et la puissance après l’obstacle est de 800 W ?

b) Sachant que la puissance d’une onde avant un obstacle est de 10 000 W, quelle estsa puissance après avoir traversé l’obstacle si elle a subi une atténuation de –4 dB ?

c) Quelle atténuation subit une onde si le rapport des puissances est de 1 % ?P2

P1

P2

P1

17

16

15

14

mise au point 1.5

(suite)

Au cours de la réaction chimique qui se produitentre du chlorure d’hydrogène et de l’hydroxydede sodium, il se forme de l’eau et du sel,une solution que l’on peut boire.

NaOH � HCl → H2O � NaCl

Réactifs Produits

Nom :

Groupe : Date :

60 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Déterminez la règle de chacune des fonctions représentées ci-dessous.

a) b)

c) d)

Dans chaque cas, déterminez la valeur de m pour laquelle le polynôme est un trinôme carré parfait.

a) mx2 � 60x � 225 b) a2 � ma � 64 c) 400x2 � 1000x � m

d) b2 � mb � 16 e) 3x2 � 6x � m f ) (100x)2 � mx � 100249

254

2

1

x

y

20

2

x

y

1

1

0

(-3, -3)

x

y

2

2

0

(10, 4)

La base associée à cettefonction est 10.

(1, 0) x

y

0 1

1

VUE D’ENSEMBLE 1

61© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Le graphique ci-contre représente la fonction de base f dont la règle est f(x) � x2. Associez à chacune des fonctions suivantes la règle quilui correspond parmi celles ci-dessous.

m(x) � –0,5x2

n(x) � (–0,5x)2

p(x) � –0,5(0,5x)2

q(x) � 0,5(–0,5x)2

43

21

D

C

B

A

3y

x2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2

y

x2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2

y

x2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2

y

x2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2

y

x2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2

VUE D’ENSEMBLE 1

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

62 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Associez chacune des situations ci-dessous à un type de fonction.

À l’aide des deux rectangles illustrés ci-contre,déterminez une expression algébrique réduite qui représente le rapport entre :

a) le périmètre du rectangle A et celui du rectangle B ;

b) l’aire du rectangle B et celle du rectangle A.

Un détaillant offre à sa clientèle 7 $ de rabais par tranche d’achat de 50 $.

a) Représentez graphiquement la fonction qui permet de calculer le montant (en $)du rabais selon le montant (en $) de l’achat.

b) Déterminez la règle de la fonction représentant cette situation.

c) Lors d’un achat, une cliente obtient 42$ de rabais. Quel est le montant de son achat ?

d) Quel rabais obtient un client dont l’achat s’élève à 235 $ ?

C’est en comparant le rapport des distances parcourues par deux corps au rapportdes temps correspondants que Galilée a réussi à déterminer si un corps allait plusvite qu’un autre. Si un mobile parcourt une distance correspondant à l’expression(x3 � x2y � 3x � 3y) m, déterminez une expression algébrique qui correspond :

a) à la vitesse du mobile ;

b) au temps de déplacement.

7

6

5

4

Situation Type de fonction

Une personne achète une voiture au prix de 25 000 $.Par la suite, chaque année, la voiture vaut 5 % de moins que ce qu’elle valait l’année précédente. On s’intéresse à la relation entre le nombre d’années écoulées depuis l’achat et la valeur de la voiture.

À l’achat d’un téléviseur, un vendeur offre à une clientede verser 200 $/mois sans intérêts jusqu’à ce quele téléviseur soit entièrement payé. On s’intéresse à la relation entre le temps et le solde à payer.

L’ajout d’un produit chimique dans une solution congelée à –32 °C la fait dégeler en quelques secondes. Ensuite, la température de cette solution augmente de moinsen moins rapidement. On s’intéresse à la relation entre le temps et la températurede la solution.

Un avion s’envole. Quatre minutes après le décollage, son altitude est de 4000 m.Seize minutes après le décollage, il se trouve à 8000 m du sol. On s’intéresse à la relation entre le temps et l’altitude de l’avion.

On s’intéresse à la relation entre la mesure d’un côté d’un carré et l’aire de ce carré.E

D

C

B

A Racine carrée

Polynomialede degré 2

Partie entière

Exponentielle

Logarithmique5

4

3

2

1

VUE D’ENSEMBLE 1

(suite)

(x � 5) dm

2x dmRectangle A

(x + 3) dm

x dmRectangle B

63© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève

Nom :

Groupe : Date :

Dans les représentations graphiques suivantes, la courbe ou le segment gris pâlereprésente une fonction de base. Dans la règle de chacune des trois autres fonctionstransformées du même type :

a) attribuez, pour le graphique , une valeur possible à chacun des paramètres multiplicatifs ;

b) déterminez, pour le graphique , si a � 0 ou a 0 sachant que b � 0.

Factorisez les polynômes suivants.

a) ax � ay � bx � by b) 3x4 � 6x3

c) 4xy � 5x � 12y � 15 d) 25a8 � 64b4

e) bc � 2b � 3c � 6 f ) 2z2 � 8z � 8g) 4ax � 2ay � 6x � 3y h) 7a2x2 � xy � 14a3xy � 2ay2

i ) (x � 1)2 � 3(x � 1) j ) 12b2 � 4ab � 3bx2 � ax2

k) 2m2 � 4m � 2 l ) 3z5 � 6z4 � 5z3 � 10z2

m) (x � y)2 � 169 n) (m2 � 2mn � n2) � 1

Le rectangle A′B′C′D′est l’imagedu rectangle ABCD par l’homothétiede centre P et de rapport 2. Si l’airedu rectangle image correspond àl’expression (60xy � 24y � 20x � 8) cm,déterminez une expression algébrique quicorrespond au périmètre du rectangleinitial.

Le schéma ci-contre représente le drapeau d’une équipe sportive. L’aire totale de ce drapeau correspond à l’expression (4ab � 8a � 4b � 8) dm2. Quelle est l’aire du triangle gris foncé ?

11

10

9

2

1

8

-4 -3 -2 -1 0-5 1 2 3 4 5

-4

-5

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y

x

Graphique 1

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-2

-1,5

-1

0,5

1

1,5

2

y

x

Graphique 2

(5x � 2) cm

A

D

B

PC

A' B'

C'D'

b

a

b

a

VUE D’ENSEMBLE 1

(suite)

Nom :

Groupe : Date :

64 Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

ORBITE L’Orbite est un manège à sensations fortes qui élève très rapidement les passagers à 45 m du sol. Le graphique ci-contremontre la hauteur de la base des sièges par rapport au sol depuis la mise en marche du manège.

a) Que signifie le couple (2, 45)dans ce contexte ?

b) Combien de temps dure un tour de ce manège ?

c) Pour les 2 premières secondes d’un tour de ce manège, déterminez la règle de la fonction exprimant la hauteur (en m) de la base des sièges par rapport au sol selon le temps (en s).

d) Quelle est la hauteur des sièges par rapport au sol à :

1) 0,8 s ? 2) 1,3 s ? 3) 1,8 s ?

e) À quel moment les sièges sont-ils à :

1) 4,05 m du sol ? 2) 11,25 m du sol ? 3) 28,8 m du sol ?

Dans certaines villes, le tourisme d’été constitue la principale source de revenu de plusieurs personnes. Puisqu’elles travaillent de façon saisonnière, bon nombre de ces personnes se retrouvent sans emploi durant la saison hivernale. Le graphique ci-contre fournit des renseignements sur une ville qui compte 13 000 travailleurs saisonniers.

a) Déterminez la règle de la fonction qui correspond à cette situation.

b) Quel est :

1) le pourcentage de personnes sans emploi 2,8 mois après la fin de la saison touristique ?

2) le nombre de personnes sans emploi 3,6 mois après la fin de la saison touristique?

c) À quel moment cette ville compte-t-elle :

1) 45 % de travailleurs sans emploi ? 2) 3250 travailleurs sans emploi ?

d) D’après ce contexte, est-ce que l’ensemble des travailleurs saisonniers peuventse retrouver sans emploi ? Expliquez votre réponse.

13

12

Nom :

Groupe : Date :

1

Parcours de l’OrbiteHauteur

(m)

Temps(s)

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

51015202530354045

Augmentation du nombrede personnes sans emploi

Nombrede personnessans emploi

(%)

Temps écoulé depuis la finde la saison touristique

(mois)

0 1 2 3 4 5

10

20

30

40

VUE D’ENSEMBLE 1

(suite)

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 65

Nom :

Groupe : Date :

Voici des renseignements concernant le vitrail ci-contre :

• l’aire totale du vitrail correspond à l’expression (4a2 � 16a � 16) dm2 ;

• la bordure extérieure mesure a dm de largeur.

Quelle est l’aire du triangle situé au centre du vitrail ?

Démontrez algébriquement que la règle de la fonction y � 4( )xpeut aussi s’écrire :

a) y � 4(2)—3x b) y � 2—3x � 2

MUSIQUE Dans le domaine de la musique,

on utilise l’équation log c � log( ) pour

déterminer la fréquence des notes d’une gamme chromatique tempérée. Dans cette équation, c correspond à la fréquence (en hertz) d’undo, a, à la fréquence (en hertz) d’un la et x,au nombre de demi-tons en dessous d’un la.

Si la fréquence d’un do est de 131 Hz, quelle est la fréquence d’un la ?

Une entreprise spécialisée dans la fabrication de fenêtres propose un modèle comportant des bandes décoratives. L’aire totale de cette fenêtre, en excluant le cadre, est de (99xy � 81x � 77y � 63) cm2. Exprimez l’aire de la partie gris foncé à l’aide d’un produit de facteurs.

Par souci de sécurité, les pyrotechniciens prennent parfois certaines mesures de sécurité pour diminuer les risques d’accidents. Par exemple, les mortiers delancement peuvent être dirigés vers une plate-forme circulaire afin que la majoritédes débris tombent sur celle-ci.

Lors d’un spectacle de feux d’artifice, deux pièces pyrotechniques sont programméespour exploser au moment où elles entrent en collision. Du sol, la pièce A décolleen suivant une trajectoire parabolique, tandis que la pièce B suit une trajectoire associée à une fonction racine carrée.

À une distance horizontale de 400 m du lieu de lancement, l’altitude de la pièce A estde 800 m, tandis que celle de la pièce B est de 1200 m. Le centre de la plate-formecirculaire de 20 m de diamètre se trouve à une distance horizontale de 50 m du lieu où les deux pièces vont entrer en collision.

Sachant que l’ensemble des débris de ces pièces pyrotechniques tomberont dans un espace délimité par un cône circulaire droit dont la base correspond à la plate-forme circulaire, calculez le volume de cet espace.

18

17

14

16

18

15

Demis-tons

do la

a

2x

12

x

y

VUE D’ENSEMBLE 1

(suite)

Concepts et processus

• Optimisation d’une distance

• Distance d’un point à une droite

• Aire d’un triangle quelconque

SAÉ 1 : Minimiser les déplacements. . . . . . 122

SAÉ 4 : Une réglementation précise . . . . . . 127

La géométrie

SAÉ en lien avec Vision 2

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 67

La loi de Snell-Descartesproblème

L’optique est une branche de la physique qui s’intéresse à la manière dont la lumière se propage. D’après la loi de la réflexion de Snell-Descartes, lorsqu’un rayon lumineuxfrappe une surface réfléchissante plane, l’angle d’incidenceest isométrique à l’angle de réflexion. C’est ce qui seproduit, par exemple, sur un miroir ou sur une vitre.

Deux personnes se placent devant un miroir de la façon suivante. En regardant dans le miroir, la personne A regarde la personne B.

Cette section est en lienavec la SAÉ 1.

Quelle distance sépare la personne A de l’image de la personne B ?

Normale au pointd’incidence

Rayonincident

Angled’incidence

Angle deréflexion

Rayonréfléchi

Image dela personne A

Personne A

Personne B

13 m

3 m

5 m

Angled’incidence

Anglede réflexionMiroir

Zone virtuelle àl’arrière du miroir

Image de la personne B

Nom :

Groupe : Date : section 2.1

L’optimisation d’une distance

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée68

Nom :

Groupe : Date :

Après un périple de près de 10 mois dans l’espace, la sonde Phoenix s’est posée sur le sol martien en mai 2008, à la recherche de traces d’eau et de vie. Durant sa descente,des images captées par la sonde ont permis de mesurer l’inclinaison du sol et la présencede blocs rocheux qui constituent des obstacles pouvant nuire à l’atterrissage.

Voici une vue aérienne du site d’atterrissage d’une sonde :

La sonde est située au site de recherche A et doit se déplacer vers le site de recherche B.

a. Si la sonde doit passer par un des trois postes de chargement P1, P2 ou P3, quel trajetest le plus court ?

Les scientifiques doivent déterminer l’emplacement d’un poste de chargement Ple long dela falaise rocheuse de manière que le trajet emprunté par la sonde soit le plus court possible.

b. Déterminez une expression algébrique contenant la variable x et qui représente la distance entre :

1) le point C et le poste de chargement de la sonde ;

2) le site de recherche A et le poste de chargement de la sonde ;

3) entre le site de recherche B et le poste de chargement de la sonde.

La sonde Phoenixactivité 1

75 m

CD P1 P2 P3

Site derecherche A

Site derecherche B

10 m

20 m

Falaise rocheuse

75 m

CD P

Site derecherche A

Site derecherche B

10 m20 m

Falaise rocheuse x m

section 2.1

(suite)

c. Complétez le tableau ci-dessous.

d. D’après ce tableau, à quel endroit les scientifiques devraient-ils installer le postede chargement de la sonde ?

Pour déterminer avec précision la position du poste de chargement, les scientifiquesreprésentent le site d’atterrissage par le schéma ci-dessous. Dans ce schéma, le point B′correspond à une réflexion du point B par rapport à l’axe CD.

e. Pourquoi peut-on affirmer que :

1) les triangles ADP et B′CP sont semblables ?

2) les triangles BCP et B′CP sont isométriques ?

3) les triangles ADP et BCP sont semblables ?

f. Expliquez pourquoi on peut établir la proportion suivante :

�

g. À l’aide de la proportion ci-dessus, déterminez la distance minimale que devraparcourir la sonde entre le site de recherche A et le site de recherche B.

m ADm BC

m DPm CP

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Nom :

Groupe : Date :

Distance de D à P Distance de C à P Distance de A à P Distance de B à P Longueur du trajet(m) (m) (m) (m) (m)

10

25

40

45

55

60

70

75 m

x m CD P

A

B

10 m

20 m

B'

section 2.1

(suite)

Un gazoduc est une canalisation qui sert au transport de matières gazeuses sur de très longues distances. Les gazoducs assurent le lien entre les gisements, les centres de distribution et des zones industrielles ou urbaines.

Une municipalité désire se raccorder à un gazoduc pour s’approvisionner en gaz naturel. Afin d’évaluer la longueur minimale et le coût le plus bas possible du raccordement, l’ingénieure municipale superpose un plan cartésien à une carte de la région. Les graduations sont en kilomètres.

a. Parmi les points P1 à P5 :

1) lequel est le plus éloigné de la municipalité ?2) lequel est le plus près de la municipalité ?3) entre quelle paire de points la municipalité devrait-elle se raccorder ?

b. 1) Tracez sur le plan un trait représentant la distance la plus courte entre la municipalité et le gazoduc.

2) Décrivez les caractéristiques de ce trait.3) Comparez ce trait et ses caractéristiques avec ceux d’autres élèves de la classe.

c. Afin de calculer la longueur minimale du raccordement, l’ingénieure propose la procédure suivante.

1. Déterminer la pente d’une droite perpendiculaire au gazoduc.

2. Déterminer l’équation de la droite perpendiculaire au gazoduc passant par la municipalité.

3. Obtenir les coordonnées du point d’intersection entre le gazoduc et le raccordement.

4. Calculer la longueur du raccordement.

Il en coûte à la municipalité 31 000 $/km pour se raccorder au gazoduc. À l’aide de la procédure décrite ci-haut, déterminez le coût minimal du raccordement

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Nom :

Groupe : Date :

Le raccordement au gazoducactivité 2

x

y

0 5 10-5-10

5

-5

-10

10

Municipalité

P5

P4

P3

P2

P1

Gazoduc

section 2.1

(suite)

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Nom :

Groupe : Date :

OPTIMISATION D’UNE DISTANCECertains énoncés géométriques sont utiles pour résoudre des problèmes de distance.L’algèbre vient généralement s’allier à la géométrie pour résoudre ce type de problèmes.

60 km

DE

B

A C

30 km25 km

2.1

Ex. : On veut déterminer où doit être situé le point B sur DE de manière que la somme des distances entre les points A et B et les points B et C soit minimale.

Pour que cette distance soit minimale, le point B doit être situé de telle sorte que les deux triangles ABE et CBD soient semblables.

Si m BE � x, alors m BD � 60 � x.

Si les triangles ABE et CBD sont semblables, on a :

�

� , où x ↑ 60

30x � 25(60 � x)

30x � 1500 � 25x

55x � 1500

x �

x � 27,27 km

Le point B doit être situé sur le segment DE à environ 27,27 km du point E.

Il est ainsi possible de déterminer la somme minimale des distances entre les points A et B et les points B et C de la façon suivante.

1. (m AB)2 � (m AE)2 � (m BE)2 2. (m BC)2 � (m CD)2 � (m BD)2

(m AB)2 � 252 � ( )2 (m BC)2 � 302 � ( )2(m AB)2 � 1368,8 (m BC)2 � 1971,07

m AB � 37 km m BC � 44,4 km

3. m AB � m BC � 81,4 km

La somme minimale des distances entre les points A et B et les points B et C est d’environ 81,4 km.

36011

30011

30011

2530

x60 � x

m AEm CD

m BEm BD

DROITES PARALLÈLES, DROITES PERPENDICULAIRES ET MÉDIATRICE D’UN SEGMENTDans un plan cartésien :• deux droites qui ont la même pente sont parallèles ;• deux droites dont les pentes sont opposées et inverses sont perpendiculaires. Le produit

des pentes de ces deux droites est —1 ;• un segment et sa médiatrice étant perpendiculaires, leurs pentes sont opposées

et inverses, et, par conséquent, le produit de leurs pentes est —1.

DISTANCE D’UN POINT À UNE DROITELa distance d’un point à une droite correspond à la plus courte distance qui les sépare. Voici une façon de déterminer la distance entre un point P et une droite d1 :

x

y

5-5-10 100

5

10

-10

-5

d1

d4

d3

d2A

B

Ex. :

1) La droite d1 d’équation y � —2x � 3 et la droite d2d’équation y � —2x � 5 sont parallèles, car leurs pentes sont égales, soit de —2 chacune.

2) La droite d1 d’équation y � —2x � 3 et la droite d4d’équation y � x � 7 sont perpendiculaires, car

la pente de l’une est l’opposé de l’inverse

de la pente de l’autre : —2 � � —1.

3) La droite d3 d’équation y � —3x � 25 est la médiatrice du segment AB, car elle passe en son milieu (6, 7) et leurs pentes sont opposées

et inverses : —3 � � —1.

12

13

12

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Nom :

Groupe : Date :

x

y

5-5-10 100

5

10

-10

-5d1

P

y � 0,25x � 6

1. Déterminer l’équationde la droite perpendiculaire à ladroite d1 et passantpar le point P.

2. Déterminerles coordonnées du point d’intersectiondes deux droitesperpendiculaires.

3. Calculer la distanceentre le point d’intersection et le point P.

Ex. :

• Pente d’une droite perpendiculaire à d1: —4

• Équation de la droiteperpendiculaire à d1 etpassant par le point P(—7, 5) : y � —4x � 23

• Coordonnées du pointd’intersection : (—4, —7)

•� 12,37 u

• La distance entre le point P et la droite d1est donc � 12,37 u.

(–7 � –4)2 � (5 � –7)2

2.1

(suite)

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Nom :

Groupe : Date :

Dans chaque cas, déterminez si les triangles sont semblables. Dans l’affirmative,justifiez votre réponse par un énoncé géométrique.

a) b)

c) d)

Dans chacun des schémas ci-dessous, le point S est placé sur UV de manière que la somme des distances entre les points R et S et les points S et T soit minimale. Sachantque les mesures sont exprimées en kilomètres, déterminez :

1) d(V, S) 2) d(R, S) � d(S, T)

a) b)

2

1

La distance entre les points A et B peut être notée d(A, B).

A

B

C

5

3

2

7,5

D

E

A Cx 2xE F

14

D

7

B

A

B

C E3

7,2

6

D

4

A

B

D

CE

3

4

3,5

143

27

UV

S

R

T

9

16

13

UV

S

R

T

11

6

Les points A(3, 7), B(8, 2) et P(x, y) sont placés dans un plan cartésien de sorteque la somme des distances entre les points A et P et les points P et B soit minimale.Déterminez les coordonnées du point P s’il est situé sur l’axe :

a) des abscisses ; b) des ordonnées.

3

mise au point 2.1

Dans le schéma ci-dessous, le point T est placé sur CD de telle manière que lasomme des mesures des hypoténuses des triangles ADT et BCT est la plus petitepossible. Si le rapport des aires de ces deux triangles est de 16 :1, faites la sommedes mesures des hypoténuses.

Dans chaque cas, calculez la distance entre le point P et la droite d.

a) b)

Une plate-forme pétrolière est une installation en mer qui permet d’exploiter des gisements pétrolifères sous-marins. Afin de minimiser les coûts de construction,une compagnie pétrolière décide de construire une seule plate-forme permettantd’exploiter deux gisements. À quelle distance du point A devra-t-elle construire la plate-forme pour que les canalisations soient les plus courtes possible ?

5

6

4

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Nom :

Groupe : Date :

30 cm

C

B

D

A

T

6 cm

350 m

2 km

A

Plate-forme

Nappe

Nappe

200 m

B

1

2

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

-10

-8

-6

-4

-2x

y

y � 4x � 7

dP

Graphique 1

4

6

8

10

2 4 6 8 100-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

10

-10

-8

-6

-4

-2x

y

P

d

Graphique 2

mise au point 2.1

(suite)

25 m

15 m

1,4 mSection A

4 m

2 m

Section B

En prévision d’une compétition importante, on planifie de repeindre le fond de la piscine illustrée ci-dessous.

Déterminez la mesure de la surface à repeindre, sachant que l’inclinaison de la section A est la même que celle de la section B.

Calculez l’aire des sections gris foncé du casse-tête ci-contre, sachant que :

• les polygones de la mêmecouleur ou ayant le mêmemotif sont isométriques ;

• tous les segments horizontaux et les segments verticaux sontrespectivement parallèlesentre eux ;

• le point C est placé surle segment BD de manièreque la somme des mesuresdes segments AC et CE soit minimale.

Dans la figure ci-dessous, le parallélogramme ABCD est inscrit dans le rectangle GHIJ.Calculez le périmètre du parallélogramme, sachant que les dimensions du rectanglesont de 10 cm sur 20 cm et que le point C est placé sur le segment IJ de manière que la somme des mesures des segments CD et BC soit minimale.

9

8

7

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 75

Nom :

Groupe : Date :

A

4 cm 6 cm

B

C

E D

12 cm

AG

D

J

H

B

IC

6 cm

mise au point 2.1

(suite)

Quelle est la longueur de bois nécessaire à la construction de la ferme de toitreprésentée ci-dessous sachant que :

• le point G est placé sur le segment HF de manière que la somme des mesures des segments AG et GB soit minimale ;

• le point E est placé sur lesegment FD de manière que la somme des mesures dessegments BE et EC soit minimale.

Créé en 1990 et réservé exclusivement aux femmes, le Rallye Aïcha des Gazelles se déroule dans la vaste étendue du désert du Sahara. À chacune des étapes, les équipes doivent parcourir un itinéraire balisé avec l’aide d’une carte et d’une boussole. Voici des renseignements concernant deux étapes de ce rallye :

ÉtapeÀ partir de la ville A, rallier la ville Ben passant par le point de contrôle.

ÉtapeÀ partir de la ville C, rallier la ville D en passant par le point de contrôle.

Sachant que le point de contrôle est placé de manière à minimiser la distance à parcourir, quelle est la distance minimale parcourue à chacune des étapes ?

Lors de la construction d’un nouvelaéroport, une architecte s’interrogesur l’emplacement du bâtimentprincipal. Celui-ci doit se trouver au-dessus du métro et devrapermettre aux gens qui auront à effectuer un transfert d’avionde marcher le moins possibled’un bâtiment à l’autre. Déterminezla longueur minimale de chacunedes ailes reliant les bâtiments A, B et C au bâtiment principal.

a) Décrivez une procédure qui permet de calculer la distance entre deux droitesparallèles.

b) Calculez la distance entre les droites dont les équations sont y � 8,5x � 20et 17x � 2y � 2 � 0.

13

12

2

1

11

10

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Nom :

Groupe : Date :

A

H G F E D

B

C3 m

0,75 m1,5 m

4 m 2 m

40 km

100 kmVille A

Ville B

20 km

FE25 km

Ville C

75 kmVille D

45 km

Point de contrôle

Piste d’atterrissage

Bâtiment ABâtiment B

Bâtiment C

MétroBâtimentprincipal

400 m

100 m50 m

110 m

80 m

80 m

mise au point 2.1

(suite)

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 77

Nom :

Groupe : Date :

Cette section est en lienavec la SAÉ 4.

Les avions de reconnaissanceproblème

Les avions de reconnaissance ou de surveillance sont des avions militaires qui ont étéconçus au début du XXe siècle pour observer les champs de bataille. De nos jours, ce typed’aéronef est aussi utilisé pour faire de la reconnaissance aérienne photographique, poursurveiller un espace maritime ou aérien, ou pour repérer un bateau en détresse.

Lors d’un exercice de sauvetage, un avion de reconnaissance survole le territoire délimité par le triangle ABC ci-dessous afin d’y localiser une balise de détresse. Les flèches disposéessur chacun des sommets indiquent le nord.

Quelle est l’aire de ce territoire ?

Baie-du-Febvre

Saint-Barthélemy

Berthierville

31,82 km

A

B

C

100°

260°

23°

section 2.2

L’aire d’un triangle quelconque

Le triangle ABC illustré ci-contre a été décomposé en deux triangles rectangles, en abaissant la hauteur hissue du sommet B.

a. À l’aide des lettres a, b, c ou h, complétezchacune des expressions ci-dessous.

1) Aire du triangle ABC � �

2) sin C � �

b. À l’aide des expressions trouvées en a, démontrez que l’aire S du triangle ABC peut se calculer à l’aide de la formule trigonométrique S � ab sin C, si l’on connaît les mesures des côtés AC et BC et la mesure de l’angle C.

c. Écrivez une formule qui permet de calculer l’aire du triangle ABC si les mesuresconnues sont :

1) la mesure de l’angle A et les mesures des deux côtés formant cet angle ;

2) la mesure de l’angle B et les mesures des deux côtés formant cet angle.

d. 1) Calculez l’aire du triangle ci-contre à l’aide

de la formule S � .

2) Calculez l’aire de ce triangle à l’aide de la formuletrigonométrique.

e. 1) Calculez l’aire du triangle ci-contre à l’aide

de la formule S � .

2) Calculez l’aire de ce triangle à l’aide de la formuletrigonométrique.

f. 1) Est-il possible de calculer l’aire du triangle ci-contre

à l’aide de la formule S � ?Expliquez votre réponse.

2) Calculez l’aire de ce triangle à l’aide de la formuletrigonométrique.

g. Nommez un avantage de la formule trigonométrique

par rapport à la formule S � .base � hauteur2

base � hauteur2

base � hauteur2

base � hauteur2

12

mesure de la cathète opposée à l’angle Cmesure de l’hypoténuse

base � hauteur2

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Nom :

Groupe : Date :

Un peu d’aireactivité 1

A

B

CD

b

ac h

A C4,55 cm

5,66 cm

B

36,42°

D F3,86 cm

5,24 cm5,24 cm

E

68,38°68,38°

G

I

4,82 cm

5,66 cm

H

32°

�

2

section 2.2

(suite)

AIRE D’UN TRIANGLE QUELCONQUEAire de triangles décomposables

Pour déterminer l’aire d’un triangle quelconque, on peut le décomposer en triangles rectangles.

Formule trigonométrique

Il est possible de calculer l’aire d’un triangle si l’on connaît la mesure de deux de ses côtés ainsi que la mesure de l’angle compris entre ces côtés.

L’aire du triangle peut se calculer à l’aide de la formule S � .a � b � sin C2

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Nom :

Groupe : Date :

Ex. : Le triangle ABC illustré ci-dessous peut être décomposé en deux triangles rectangles, en abaissant la hauteur issue du sommet B.

Ainsi,

m AD � m AB � cos A m BD � m AB � sin A m CD �

� 5 � cos 45° � 5 � sin 45° �

� 3,54 cm � 3,54 cm � 8,55 cm

Aire du triangle ABD �

�

� 6,27 cm2

Aire du triangle BCD �

�

� 15,13 cm2

Aire du triangle ABC � aire du triangle ABD � aire du triangle BCD

� 6,27 cm² � 15,13 cm²

� 21,4 cm²

3,54 � 8,552

m BD � m CD2

3,54 � 3,542

m AD � m BD2

3,54tan 22,5°

m BDtan C

A

B

C

5 cm

45° 22,5°

A

B

C

5 cm

D

45° 22,5°

Ex. : Dans le triangle ci-contre :

S �

L’aire du triangle est d’environ 8,60 cm².

5 � 6 � sin 352

K 6 cm M

L

5 cm

35°

C

a

b

2.2

Calculez l’aire de chacun des triangles ci-dessous.

a) b)

c) d)

e) f )

À l’aide du triangle ABC ci-dessous, complétez le tableau.

Indiquez si les égalités suivantes sont vraies ou fausses.

a) sin (30° � 10°) � sin 30° � sin 10°

b) sin ( )° �

c) sin (30 � 10)° � sin 30° � sin 10°

sin 30°sin 10°

3010

3

2

1

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée80

Nom :

Groupe : Date :

4,76 cm

5,04 cm93°

4,29 cm

5,04 cm61°

2,5 cm

4,05 cm69°

3,95 cm

9,75 cm 35°

6,54 cm

6,1 cm

22°2,96 cm

3,75 cm

76°

m BC m BD m AB Aire du � ABC(cm) (cm) (cm) (cm2)

a) 6

b) 5

c) 7,5 A D

B

C8,2 cm

32°

Mise au point 2.2

Trouvez la mesure manquante dans chacun des triangles ci-dessous.

a) b)

c) d)

e) f )

Déterminez l’aire de chacun des triangles ci-dessous.

a) b)

c) d)

Dans chaque cas, calculez l’aire du triangle ABC.

a) m AB � 3 cm, m BC � 7 cm, m�B � 40°

b) m BC � 8 cm, m AC � 12 cm, m�C � 110°

c) m AB � 10 cm, m�B � 40°, m�A � 70°

6

5

4

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Nom :

Groupe : Date :

?

6,18 cm

4,78 cm

45°

?

4,89 cm

4,85 cm

37°

?

3,47 cm

3,54 cm

57°

? 7,61 cm

3,48 cm

53°

?

3,78 cm5,81 cm

46°28°

?

6,26 cm

50°

10°

12 cm

60°

10°8,5 cm

45° 20°

10 cm30°

120°

5 cm

55° 36°

mise au point 2.2

(suite)

Déterminez l’aire de chacune des figures ci-dessous.

a) b)

Un sculpteur taille dans un cube de glaceun escalier semblableà celui illustré ci-contre.

a) Quel est le volume minimaldu cube de glace ?

b) Quelle est la mesure de l’angle � ?

c) Quelle quantité minimale deglace le sculpteur doit-il enleverpour tailler cet escalier ?

Lors d’un entraînement en course à pied, Marianne prend 9 s pour traverser le pont représenté ci-dessous. À quelle vitesse court-elle ?

Les quatre buts d’un terrain de baseball correspondentaux sommets d’un carré, comme le montre le schéma ci-contre.

Sachant que le point A, le 2e but et le marbre sontparfaitement alignés, déterminez la distance qui séparele marbre d’une joueuse située au point A.

10

9

8

7

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Nom :

Groupe : Date :

7,98 m

B C

A E

D

5,15 m

6,55 m11,08 m

142,25°

B C

A DE

8 m

58,8°

6,4 m

40,5°

30 cm

20 cm

�

La lettre grecque � est souvent utilisée en trigonométrie pour désigner la mesure d’un angle.

29 m12 m

27°

Marbre

A

27,43 m

2e but

1er but3e but

78°

mise au point 2.2

(suite)

TRIANGLE D’OR Le Triangled’or est le surnom d’unarrondissement de Parisconsidéré comme l’un desplus luxueux. Sachant que la superficie de la ville de Parisest de 105,4 km², calculez :

a) le pourcentage de la superficie de la ville de Paris occupéepar le Triangle d’or ;

b) la mesure de l’angle formé par l’avenue des Champs-Élysées et l’avenue George V.

Le plan d’urbanisme ci-dessous montre les mesures obtenues par deux arpenteursqui désirent déterminer l’emplacement de deux nouvelles maisons.

Déterminez :

a) la distance qui sépare les deux maisons ;

b) la longueur de la maison , c’est-à-dire m AD ;

c) la largeur de la maison , c’est-à-dire m CD ;

d) la longueur de la maison , c’est-à-dire m EH ;

e) la largeur de la maison , c’est-à-dire m GH.

1

1

2

2

12

11

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Nom :

Groupe : Date :

815,79 m

736,84 m

789,47 m

55°

Avenue des Champs-Élysées

Avenue George VAven

ue Montaig

ne

20,5 m

26,5 m

33 m

Arpenteuse

Arpenteur

A

B

D

C

E

F

H

G

19,5 m26 m

38°26°

25°

8°

26°5°

15°7°

Maison

1

Maison

2

25,5

m

mise au point 2.2

(suite)

Calculez l’aire de chacun des triangles ci-dessous.

a) b)

c) d)

e) f )

Deux sites de camping sont aménagés sur une île. Un quai a été construit sur la rive de façon que le chemin reliant le site A, le quai et le site B soit le plus court possible. Quelle distance parcourt une personne qui part du site A pour se rendre au site B par ce chemin ?

On peint le nouveau logo d’une entreprise sur la semi-remorque illustrée ci-dessous, qui a la forme d’un prisme droit à base rectangulaire. Quel est le volume de cette semi-remorque ?

1

3

2

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée84

Nom :

Groupe : Date :

Site A

Site B25 m

15 m10 m

2,2 m

2,5 m

10 m

5,21 cm

1,78 cm

48,7° 5,02 cm 4,31 cm114,6°

3,43 cm

4,88 cm46,3° 112,5°

2,85 cm

45°

6,67 cm

30°

30°

3,46 cm

27°

120°

VUE D’ENSEMBLE 2

Au sommet d’un phare de 20 m de hauteur, un fanaltourne sur lui-même en projetant de la lumière selon un angle variant de 0° à 50° par rapport à la verticale. En faisant abstraction de la structure du phare :

a) quelle est la mesure de la surface éclairée au sol ?

b) quelle est la mesure de l’espace éclairé ?

Dans chaque cas, trouvez la mesure manquante sachant que l’aire du triangle est de :

a) 4,69 cm² b) 4,22 cm² c) 5,07 cm²

d) 3,35 cm² e) 5,14 cm² f ) 6,93 cm²

Dans chaque cas, donnez l’énoncé géométrique qui permet d’affirmer que les deux triangles sont semblables, puis déterminez la valeur de la variable x.Les mesures sont en décimètres.

a) b)

6

5

4

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 85

Nom :

Groupe : Date :

50°

3,23 cm?115,7°

4,74 cm

3,08 cm

?

4,26 cm

?27,2°

2,55 cm

?

110,6°

2,66 cm

?47,1°

4,78 cm

?

49,2°

VUE D’ENSEMBLE 2

(suite)

6 4,5

8C

A

B D

F

E

x G

K

H

I

J

12,2

14,4

10

x

158

52

Sachant que les triangles suivants sont semblables, déterminez la mesure :

a) de ;

b) de .

Dans le schéma suivant, le point K est placé sur de manière que la somme des distances entre les points K et N et les points K et M soit minimale. Déterminez :

a) d(K, L)

b) d(N, K)

c) d(K, N) � d(K, M)

La sculpture ci-contre est composée de deux pyramides régulières à base carrée semblables. Sachant que le rapport de leurs volumes est de 8 : 27, déterminez la somme des mesures des apothèmes de chaque pyramide.

JL

AB

ZY

9

8

7

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée86

Nom :

Groupe : Date : VUE D’ENSEMBLE 2

(suite)

W x m V

U

5 m

2 m

(8 � x) mZ

X

Y

A 12 m

10 m

C D

B

F

E(15 � x ) m

80 mm0,3 m

10,5 cm

N

J

K

M

L

4,5 m

8 m

Un avion quitte la ville de Québec pour se rendre à l’île de la Jeunesse tel qu’illustréci-dessous. Toutefois, des équipements doivent être cueillis au poste de chargement.Le poste de chargement est positionné sur le segment AB de manière que la sommedes distances entre Québec et le poste et le poste et l’île soit minimale. Déterminez la distance parcourue par l’avion pour se rendre au poste de chargement.

Voici des renseignements concernant une mission militaire dans l’Atlantique :

• Le porte-avions est placé de manière que la somme des distances entre l’avion Aet le porte-avions et l’avion B et le porte-avions soit la plus courte possible.

• Le porte-avions est placé de manière que la somme des distances entre le sous-marin C et le porte-avions et le sous-marin D et le porte-avions soit la plus courte possible.

Sachant que les graduations sont en mètres, à quelle distance de la côte le porte-avions est-il être ancré ?

11

10

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 87

Nom :

Groupe : Date : VUE D’ENSEMBLE 2

(suite)

A

B

Québec

Île de la Jeunesse

Poste de chargement

425 km

275 km

1200 km

200 400 600 800 1000

�400

600

�200

800

400

1000

1200

1400

1600

Altitude

Avion A(100, 1430)

Distancede la côte

Avion B(600, 1070)

Sous-marin D(200, �310)

Sous-marin C(500, �190)

Porte-avions(x, y)

0

200Côte

Une entreprise facture 4 $/m2 pour repeindre le mur sud de la maison illustrée ci-contre.

a) Calculez la hauteur de la maison.

b) Combien coûteront ces travaux ?

Calculez le volume de la toupie illustrée ci-contre, sachant qu’elle est formée de 2 cônes circulaires droits.

Un technicien forestier doit déterminer, à l’aide des parcelles illustrées ci-contre, un territoire de coupe dont l’aire est d’au moins 28 hm2

et d’au plus 29 hm2.

a) Déterminez la mesure de chacun des côtés des parcelles de coupe.

b) Quelles parcelles répondent aux exigences et pourraient subir une coupe ?

c) Quelle serait alors la superficie du territoire de coupe ?

d) Quel serait le profit de l’entreprise si la vente du bois rapporte en moyenne 2 $/m2 de territoire ?

Une personne veut alimenter en électricité, à partir du mur arrière d’une maison, un cabanon et un filtre de piscine à l’aide d’un fil électrique souterrain spécialement conçu pour l’extérieur. Le schéma ci-contre illustre cette situation. Déterminez la longueur minimale de fil de ce type qui doit être achetée.

14

13

12

15

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée88

Nom :

Groupe : Date :

8 m

20 m

14 m

Fils souterrains

VUE D’ENSEMBLE 2

(suite)

35°40°

Mur sud

12 m

3 m

7,5 cm

53°

48°

36°

8,67 hm

7,94 hm

6,11 hm

32°

Parcelle B

Parcelle D

Parcelle CParcelle A

33°

74°

Résolvez le triangle ABC ci-dessous, sachant que son aire est de 36 m2.

Martine doit tondre le gazon du terrain triangulaire illustré ci-contre. Calculez la mesure de la surface à tondre.

Deux antennes sont installées près d’une station radio située sur la rue Simard, comme le montre le schéma ci-contre. Déterminez la distance entre les deux antennes, sachant que les techniciens ont utilisé le minimum de câble possible, soit 100 m, pour relier les deux antennes à la station.

Le tennis est un sport de raquette qui se pratique en simple ou en double. Lors d’un entraînement, une joueuse s’entraîne à envoyer la balle dans une partie prédéterminée du terrain à partir d’une position donnée.

Démontrez que l’écart entre l’aire de la région A et l’aire de la région B est de 6,35 m2.

17

16

19

18

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 89

Nom :

Groupe : Date :

30 m

50 m

CâblesAntenne A

Antenne B

Station

Rue Simard

Position de la joueuse

Région A

8,23 m

11,89 m

6,40 m

10,97 m

Position 1

Position de la joueuse

8,23 m

11,89 m

6,40 m

10,97 m

Région B

Position 2

VUE D’ENSEMBLE 2

(suite)

C

B

12 m

10 mA

B

35°

65°A

33 m

C

Concepts et processus

• Événements mutuellement exclusifs ou non

• Probabilité conditionnelle

• Notation factorielle

• Écart type

• Nuages de points : modélisation de données expérimentales à l’aide de courbes apparentées aux modèlesfonctionnels à l’étude

• Corrélation autre que linéaire

SAÉ 5 : La fécondation in vitro. . . . . . . . . . 128

SAÉ 6 : La justice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Les probabilités et les statistiques

SAÉ en lien avec Vision 3

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 91

Cette section est en lienavec la SAÉ 5.

Le système hexadécimalproblème

Le système de numération hexadécimal est un système de numération en base 16 particu lièrement utilisé en informatique pour simplifier l’écriture de grands nombres. Ce système nécessite l’utilisation de 16 symboles, soit les chiffres de 0 à 9 et les lettres de A à F. Le tableau ci-dessous montre la correspondance entre les systèmes de numérationbinaire, décimal et hexadécimal.

Sachant qu’un ordinateur forme au hasard uniquement des nombres pairscomposés de 6 symboles différents du système de numération hexadécimal,quelle est la probabilité d’obtenir le nombre 25FA8C ?

Système Système Systèmebinaire décimal hexadécimal

0 0 0

1 1 1

10 2 2

11 3 3

100 4 4

101 5 5

110 6 6

111 7 7

1000 8 8

1001 9 9

1010 10 A

1011 11 B

1100 12 C

1101 13 D

1110 14 E

1111 15 F

La probabilité conditionnelle

Nom :

Groupe : Date : section 3.1

Thomas Bayes (v. 1702-1761) est un mathématicien britannique qui a réalisé différentstravaux sur la probabilité. Certaines de ses découvertes sont d’ailleurs résumées dans Essais sur la manière de résoudre un problème dans la doctrine des risques.

Lors d’une expérience aléatoire, Bayes s’est intéressé aux résultats obtenus en lançant à deux reprises un dé à six faces numérotées de 1 à 6.

a. 1) Le résultat obtenu lors du premier lancer influe-t-il sur le résultat obtenu lors du deuxième lancer ? Expliquez votre réponse.

2) Combien y a-t-il de résultats possibles ?

Au cours d’une autre expérience, Bayes lance simultanément deux dés à six faces numérotées de 1 à 6, puis observe la face supérieure de chaque dé. Voici deux événements possibles :

A : obtenir 5 ou 6 ;

B : obtenir une somme supérieure à 8.

b. Dans un diagramme de Venn semblable à celui ci-contre, inscrivez chaque résultat à l’endroit approprié.

c. Les événements A et B peuvent-ils se produire en même temps ? Expliquez votre réponse.

d. Calculez la probabilité d’obtenir :

1) 5 ou 6 ;

2) une somme supérieure à 8 ;

3) 5 ou 6 et une somme supérieure à 8.

e. Si l’événement « obtenir 5 ou 6 » s’est produit lors de cette expérience, quelle est alors la probabilité d’obtenir une somme supérieure à 8 ?

f. Comparez les réponses obtenues en d 2) et en e. Que remarquez-vous ?

g. La réalisation de l’événement A influe-t-elle sur la probabilité de réalisation de l’événement B ? Expliquez votre réponse.

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée92

Nom :

Groupe : Date :

À certaines conditionsactivité 1

A

�

B

Le fonctionnement de nombreux filtres antipourriels reposesur un théorème établi par Bayes, grâce auquel ces filtrescalculent la probabilité que certains mots apparaissant dans un courriel ont d’appartenir à un pourriel.

section 3.1

(suite)

FACTORIELLELa factorielle d’un nombre naturel n se note n! et se calcule :

n! � n � (n � 1) � (n � 2) � (n � 3) � … � 3 � 2 � 1

La factorielle est particulièrement utile pour l’étude des permutations.

ÉVÉNEMENTS MUTUELLEMENT EXCLUSIFS ET ÉVÉNEMENTS NON MUTUELLEMENT EXCLUSIFSDeux événements sont mutuellement exclusifs s’ils ne peuvent pas se produire en mêmetemps, c’est-à-dire si A � B � �.

Deux événements sont non mutuellement exclusifs s’ils peuvent se produire en mêmetemps, c’est-à-dire si A � B � �.

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 93

Nom :

Groupe : Date :

Ex. : La factorielle de 8 � 8 ! � 8 � 7 � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 40 320. Il faut noter que 0! � 1.

Ex. : Le nombre de permutations possibles pour l’ensemble de lettres {A, B, C, D} est :

Nombre Nombre Nombre Nombred’éléments � d’éléments � d’éléments � d’élémentspossibles possibles possibles possibles � 4 � 3 � 2 � 1 � 4 ! � 24pour pour pour pour la 1reposition la 2e position la 3e position la 4e position

Nombre Nombre Nombre Nombre d’éléments � d’éléments � d’éléments � … � d’éléments � n!possibles pour possibles pour possibles pour possibles pourla 1reposition la 2e position la 3e position la ne position

Ex. : On pige une carte dans un jeu de 52 cartes. L’événement A « obtenir une carte de carreau »et l’événement B « obtenir une carte noire » sont des événements mutuellement exclusifs.La probabilité de l’événement « obtenir une carte de carreau ou obtenir une carte noire » se note comme suit :

P(A � B) � P(A) � P(B) � � �34

12

14

Ex. : On pige une carte dans un jeu de 52 cartes. L’événement C « obtenir une carte de cœur » et l’événement D « obtenir un as » sont des événements non mutuellement exclusifs. La proba bilité de l’événement « obtenir une carte de cœur ou obtenir un as » se note comme suit :

P(C � D) � P(C) � P(D) � P(C � D) � � � �113

14

413

152

3.1

Ex. : On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6 et on observe la face supérieure. Voici deux événements possibles :

A : obtenir un nombre impair ;

B : obtenir un nombre supérieur à 2.

La probabilité d’obtenir un nombre supérieur à 2 sachant que la face supérieure du dé montreun nombre impair se note :

P(B �A) � � �P(A � B)

P(A)

1312

23

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée94

Nom :

Groupe : Date :

A

1 35

4

6

2

�

B

ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS ET ÉVÉNEMENTS DÉPENDANTSDeux événements A et B sont indépendantssi la réalisation de l’un n’influe pas surla probabilité de réalisation de l’autre.La probabilité que l’événement A etl’événement B se produisent se note :

P(A � B) � P(A) � P(B)

Deux événements A et B sont dépendants sila réalisation de l’un influe sur la probabilitéde réalisation de l’autre. La probabilitéque l’événement A et l’événement B se produisent se note :

P(A � B) � P(A) � P(B �A)

Ex. : On lance à deux reprises un dé à sixfaces numérotées de 1 à 6 et on observela face supérieure. La probabilitéd’obtenir 5 lors des deux lancers senote :

P(5 et 5) � P(5) � P(5) � � �16

16

136

Ex. : On tire 2 boules sans remised’une urne contenant 49 boulesnumérotées de 1 à 49. La probabilitéd’obtenir, dans l’ordre, les boulesnumérotées 1 et 2 se note :

P(1 et 2) � P(1) � P(2 étant donné 1)

� � �1

2352148

149

PROBABILITÉ CONDITIONNELLEUne probabilité conditionnelle est la probabilité qu’un événement se produise sachantqu’un autre événement s’est déjà produit. La probabilité que l’événement B se produisesachant que l’événement A s’est déjà produit se note :

P(B étant donné A) � P(B �A) � , où P(A) � 0P(A � B)P(A)

3.1

(suite)

On réalise des expériences aléatoires à plusieurs étapes. Dans chaque cas,déterminez si les événements A et B sont dépendants ou indépendants.

a) A : tirer une bille verte d’un sac de billes ;B : obtenir face lors du lancer d’une pièce de monnaie.

b) A : prendre au hasard un kiwi dans un bol de fruits et le manger ;B : prendre au hasard un second kiwi dans le même bol.

c) A : lancer un dé une première fois et observer la face supérieure ;B : lancer le même dé une seconde fois et observer la face supérieure.

Dans chaque cas, hachurez dans un diagrammede Venn semblable à celui illustré ci-contre la régionassociée à l’expression donnée.

a) A � B b) A � C

c) A � B � C d) (A � B) � C

e) A � (B � C) f ) A � (B � C)

g) A′ � B′ h) A′ � A

i ) (B � C) � (A � C)

Dans chaque cas, déterminez si les événements A et B sont mutuellement exclusifs.Expliquez votre réponse.

a) P(A � B) � 0,75, P(A) � 0,45 et P(B) � 0,3 b) P(A � B) � 0,1

c) P(A � B) � 1, A et B sont complémentaires. d) A � B � �

On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6 et on observe la face supérieure. Voici trois événements possibles :

A : obtenir un nombre pair ; B : obtenir 3 ; C : obtenir 1 ou 6.

a) Peut-on dire que :

1) les événements A et B sont mutuellement exclusifs ? Expliquez votre réponse.

2) les événements A et C sont mutuellement exclusifs ? Expliquez votre réponse.

b) Calculez :

1) P(A � B) 2) P(A � C) 3) P(A �C)

1

4

3

2

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 95

Nom :

Groupe : Date :

A

�

B

C

mise au point 3.1

Cinquante-cinq des 90 employés d’un laboratoire sont des femmes. Parmi les employés, 22 hommes et 30 femmes ont une formation universitaire.

a) Remplissez un diagramme de Venn semblable à celui illustré ci-contre, qui représente cette situation.

b) Si une personne est choisie au hasard parmices employés, calculez la probabilité qu’ellesoit une femme ou qu’elle ait une formationuniversitaire.

On réalise une expérience aléatoire. Voici des renseignements concernant deux événements possibles associés à cette expérience :

• les événements M et N sont dépendants ;

• P(M) � 0,5 ;

• P(N) � 0,2.

Dans chaque cas, calculez P(M � N) sachant que :

a) M et N sont deux événements incompatibles ;

b) P(M � N) � 0,05 ;

c) P(M �N) � 0,9.

Calculez le résultat de chacune des opérations suivantes.

a) 4 ! b) 8 ! c) 10 ! d) 1 ! � 10 !

e) 0 ! f ) g) 5 ! � 7 ! h)

Lors de la construction d’un projet d’électronique, Karl doit placer 6 diodesélectroluminescentes une à côté de l’autre. Il dispose de diodes rouges, vertes,jaunes et bleues.

a) De combien de façons différentes Karl peut-il placer ces diodes ?

b) Une fois son projet terminé, les diodes s’allumeront tour à tour de façon aléatoire.De combien de façons différentes cet arrangement de diodes peut-il s’allumer ?

Récrivez plus simplement l’expression P(M �N) sachant que les événements M et Nsont indépendants.

Déterminez de combien de façons différentes il est possible d’écrire ces ensembles.

a) {A, B, C, D, E} b) {2, 4, 6} c) {pile, face} d) {1, 2, 3, 4, 5, 6}

e) {cœur, pique, carré, trèfle} f ) {as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi}

10

9

8

6 ! � 4 !(6 � 4) !

15 !14 !

7

6

5

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Nom :

Groupe : Date :

Femmes Hommes

Formationuniversitaire

�

mise au point 3.1

(suite)

Un sac contient 4 billes rouges et 7 billes noires. On tire successivement 2 billes du sac sans remise. Quelle est la probabilité que :

a) la première bille tirée soit rouge ?

b) la deuxième bille tirée soit noire sachant que la première bille est rouge ?

c) la deuxième bille tirée soit rouge sachant que la première bille est noire ?

GROUPE SANGUIN Dans le système ABO, il existe4 groupes sanguins chez les êtres humains. Le tableau ci-contre présente des renseignements sur la répartition des habitants d’une région d’aprèsleur groupe sanguin.

On choisit 2 personnes au hasard parmi un échantillon de 100 personnesreprésentatif de cette région.

a) Quelle est la probabilité de choisir au hasard deux personnes dont le groupesanguin est de type AB ?

b) Quelle est la probabilité de choisir au hasard deux personnes dont le groupesanguin est de type :

1) A ou B ? 2) A et B ?

c) Quelle est la probabilité de choisir au hasard une personne dont le groupe sanguinest de type AB sachant qu’on a déjà choisi une personne de ce groupe sanguin ?

On dépose 16 boules de billard dans un sac et on tire successivement 2 boulesparmi les suivantes :

• les boules numérotées de 1 à 7 (P) ;

• les boules numérotées de 9 à 15 (G) ;

• la boule blanche (B) ;

• la boule noire (N).

a) Construisez un arbre de probabilités représentant cette situation sachant que l’on tire les boules :

1) avec remise ; 2) sans remise.

b) Dans lequel des cas étudiés en a) P(G � B) est la plus élevée ?

c) Calculez chacune des probabilités suivantes sachant que l’expérience est réaliséesans remise.

1) P(G �G) 2) P(N �G) 3) P(B �G) 4) P(N �B)

Dans le cadre de son travail, la probabilité qu’une personne soit transférée aux États-Unis est évaluée à 30 %. Si tel est le cas, on estime à 60 % la probabilité qu’elle obtienne la vice-présidence. Quelle est la probabilité que cette personne soit transférée aux États-Unis et qu’elle obtienne la vice-présidence ?

14

13

12

11

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Nom :

Groupe : Date :

Répartition d’aprèsles groupes sanguins

A B AB O

46 % 10 % 4 % 40 %

mise au point 3.1

(suite)

Pour chacun des diagrammes de Venn ci-dessous, calculez :

1) P(A � B) 2) P(A �B) 3) P(B �A)

a) b)

Dans certains véhicules, un système informatisé contrôle la puissance de chacune des roues et augmente ainsi l’adhérence du véhicule à la route. Le tableau ci-contrefournit des renseignements sur 200 véhicules inspectés au hasard.

a) Complétez le tableau à double entrée ci-dessus.

b) Remplissez chacun des diagrammes de Venn ci-dessous.

1) 2)

Une entreprise fabrique des forets à l’aide d’un tour informatisé. Le tableau à double entrée ci-contre fournit des renseignements sur la qualité des forets lors d’une inspection.

a) Si l’on prend au hasard un foret parmi ceux qui ont été inspectés, quelle est la probabilité de prendre :

1) un foret à bois ?

2) un foret défectueux sachant qu’il s’agit d’un foret à ciment ?

3) un foret à bois sachant qu’il est défectueux ?

Si l’on prend successivement 2 forets défectueux du même type, tous les forets de ce type sont rejetés.

b) Quelle est la probabilité de rejeter :

1) les forets à bois ? 2) les forets à ciment ?

17

16

15

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée98

Nom :

Groupe : Date :

A

0,3

0,3 0,15 0,25

�

B A

0,28

0,1 0,45 0,17

�

B

Inspection de véhicules

Voiture Camionnette Total

Avec système informatisé 50

Sans système informatisé 34

Total 136

Contrôle de qualité des forets

Non défectueux Défectueux Total

Forets à bois 540 34

Forets à ciment

Total 1410 1500

Voitures Avec système informatisé

�

Camionnettes Avec système informatisé

�

mise au point 3.1

(suite)

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 99

Cette section est en lienavec la SAÉ 6.

La navette spatialeproblème

Que ce soit pour desservir la Station spatiale internationale, pour mener des recherchesscientifiques ou pour mettre en orbite de nouveaux satellites, différentes navettes spatialessont utilisées pour atteindre l’orbite de la Terre.

Voici des renseignements sur les dernières missions de quatre navettes spatiales :

En règle générale, laquelle de ces navettes effectue les missions les plus longues ?

Navette ATemps de vol lors de chacune

des 10 dernières missionsTempsde vol

(h)

Nom dela mission

0 Z10 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 Z10

20406080

100120140160180200220240

Navette BTemps de vol lors de chacune

des 6 dernières missionsTempsde vol

(h)

Nom dela mission

0 XT10 XT2 XT3 XT4 XT5 XT6

20406080

100120140160180200

125, 140, 174,130, 155, 160,200, 210, 240

Navette DTemps de vol (en h) lors de chacune

des 9 dernières missions

140 180 220

Navette CTemps de vol lors de chacune

des 8 dernières missions

Tempsde vol

(h)

Les mesures de dispersion

Nom :

Groupe : Date : section 3.2

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée100

Nom :

Groupe : Date :

Dans bien des sports, les progrès technologiques permettent aux athlètes d’améliorer leurs performances. Par exemple, au golf, la tête des bois n° 1 est de plus en plus large et de plus en plus légère, améliorant ainsi la qualité des coups de départ. Voici des renseignements sur les coups de départ de 10 golfeurs de la PGA en 2008 :

a. Quelle est la moyenne des distances franchies par la balle lors d’un coup de départ de ces golfeurs ?

b. Quel golfeur a décoché un coup de départ dont la distance est la plus :

1) près de la moyenne des distances ? 2) éloignée de la moyenne des distances ?

c. Remplissez la dernière colonne du tableau.

d. Quelle est la moyenne des écarts de chaque distance à la moyenne des distances ?

Chez les femmes, Lorena Ochoa a dominé le circuit en 2008 avec un coup de départ de 269 verges. Au cours de cette saison, la moyenne des distances franchies par la balle lors d’un coup de départ effectué par les 10 premières femmes a été de 266,4 verges et la moyenne des écarts de chaque distance à la moyenne des distances a été de 2,2 verges.

e. De la performance des femmes ou de celle des hommes, laquelle a donné lieu aux distances les plus serrées ? Expliquez votre réponse.

f. Qui s’est démarqué le plus de ses adversaires, Bubba Watson ou Lorena Ochoa ?Expliquez votre réponse.

Distance franchie par la balle Écart entre la distanceGolfeur lors d’un coup de départ franchie par la balle et

(verges) la moyenne des distances

Bubba Watson 315,1

Robert Garrigus 311,0

John B. Holmes 310,3

Dustin Johnson 309,7

Steve Allan 303,2

Tag Ridings 303,0

Nick Watney 302,9

Adam Scott 302,1

Davis Love III 301,3

Charles Warren 301,1

La verge est une ancienne unité de mesure qui vaut 0,9144 m. Cette unité est encore utilisée danscertains sports, comme le golf ou le football.

Coups de départ des golfeurs

La technologie dans les sportsactivité 1

section 3.2

(suite)

L’origine de la statistique est pratiquement inconnue. Par contre, des traces de recensementdatant du VIIIe siècle avant Jésus-Christ ont été retrouvées en Chine. C’est autour duXVIIIe siècle que la statistique a évolué de façon significative. On y voit apparaître, entreautres, des stratégies permettant le calcul de certaines mesures de tendance centrale et de dispersion.

Voici deux distributions formées chacune de sept données :

a. Pour chacune des distributions :

1) calculez la moyenne ;

2) déterminez la donnée qui est la plus éloignée de la moyenne.

b. Dans laquelle de ces distributions les données semblent-elles les plus dispersées ? Expliquez votre réponse.

c. Pour chacune des distributions :

1) remplissez la dernière colonne du tableau ;

2) déterminez la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.

Au fil des siècles, les mathématiciens ont établi un nombre qui caractérise la dispersiondes données d’une distribution. Plus ce nombre est petit, plus les données sont concentréesautour de la moyenne. Plus ce nombre est grand, plus les données sont éloignées de la moyenne. Ce nombre est principalement utilisé pour comparer deux distributions.

d. Déterminez ce nombre en calculant, pour chacune des distributions, la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.

e. À l’aide des valeurs trouvées en d, déterminez dans laquelle des distributions les données sont le plus concentrées.

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 101

Nom :

Groupe : Date :

L’évolution de la statistiqueactivité 2

Distribution A

Donnée Carré des écarts à la moyenne(donnée � moyenne des données)2

4

5

6

11

15

17

18

Distribution B

Donnée Carré des écarts à la moyenne(donnée � moyenne des données)2

14

16

21

23

24

26

34

section 3.2

(suite)

DISTRIBUTION À UN CARACTÈREUne distribution à un caractère correspond à l’ensemble des données recueillies au coursd’une étude statistique portant sur un seul caractère.

MESURE DE DISPERSIONUne mesure de dispersion sert à décrire l’étalement ou la concentration des donnéesd’une distribution.

Écart moyenL’écart moyen est une mesure de dispersion qui correspond à la moyenne des écarts de chacune des données à la moyenne d’une distribution.

Écart moyen �

Écart typeL’écart type est une mesure qui caractérise la dispersion des données d’une distribution.L’écart type d’une population se calcule de la façon suivante.

Plus l’écart type est petit, plus les données sont concentrées autour de la moyenne. Plus l’écart type est grand, plus les données sont éloignées de la moyenne.

somme des écarts à la moyennenombre total de données

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée102

Nom :

Groupe : Date :

Écart type �somme des carrés des écarts à la moyenne

nombre total de données

Ex. : Voici une distribution comportant 6 données : 5, 7, 10, 14, 38, 40. La moyenne de cette distribution est de 19.

Écart moyen : � 13,33

Écart type � � 14,4196 � 144 � 81 � 25 � 361 � 4416

14 � 12 � 9 � 5 � 19 � 216

Donnée Moyenne Écart Écart à la moyennede la distribution à la moyenne au carré

5 19 �5 � 19� � 14 142 � 196

7 19 �7 � 19� � 12 122 � 144

10 19 �10 � 19� � 9 92 � 81

14 19 �14 � 19� � 5 52 � 25

38 19 �38 � 19� � 19 192 � 361

40 19 �40 � 19� � 21 212 � 441

Un écart correspond à la valeur absolue de la différence entre deux valeurs.

3.2

Dans chaque cas :

1) remplissez la dernière colonne du tableau ;

2) calculez l’écart moyen.

a) b)

c) d)

Parmi les six distributions ci-dessous, déterminez celle dont l’écart moyen est le moins élevé.

2

1

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 103

Nom :

Groupe : Date :

Température au début de juin

Jour Température Écart (°C) à la moyenne

Dimanche 30

Lundi 28

Mardi 32

Mercredi 33

Jeudi 27

Vendredi 29

Samedi 31

Température au début de janvier

Jour Température Écart (°C) à la moyenne

Dimanche –20

Lundi –15

Mardi –22

Mercredi –18

Jeudi –10

Vendredi –8

Samedi –4

Inscriptions en ingénierie

Nombre ÉcartProgramme d’inscriptions à la

moyenne

Génie électrique 258

Génie civil 280

Génie mécanique 264

Génie chimique 295

Génie informatique 310

Génie forestier 303

Génie métallurgique 321

Superficie de différents territoires

Territoire Superficie Écart (km2) à la moyenne

Vatican 0,44

France 547 030

Maroc 446 550

Argentine 2 766 890

Belgique 30 528

Canada 9 984 760

Québec 1 667 441

mise au point 3.2

Voici deux distributions :

a) Calculez l’écart moyen :

1) des résultats des participants à l’atelier ;

2) des temps des cyclistes au Tour de France.

b) Calculez l’écart type :

1) des résultats des participants à l’atelier ;

2) des temps des cyclistes au Tour de France.

L’écart moyen des températures journalières de la Floride est-il supérieur à l’écartmoyen des températures journalières du Canada au cours d’une année ? Expliquezvotre réponse.

Lors d’un examen d’entrée d’un établissement scolaire, on sépare les étudiants en trois groupes. On analyse ensuite les résultats de chacun des groupes.

Groupe : 60, 75, 77, 78, 78, 83, 85, 85, 85, 86, 86, 87, 88, 91, 100

Groupe : 50, 75, 76, 79, 80, 81, 81, 82, 82, 83, 83, 85, 86, 86, 88

Groupe : 51, 64, 77, 77, 77, 78, 78, 78, 81, 81, 81, 84, 84, 85, 86

Dans quel groupe les résultats sont-ils le plus :

a) concentrés ? b) dispersés ?

L’écart type des résultats d’un examen est de 6,5. Si la somme des carrés des écartsde chaque résultat à la moyenne est 1352, combien d’étudiants font partie de cegroupe ?

À la suite d’un examen d’entrée en actuariat, les candidats dont l’écart du résultat à la moyenne est supérieur à 10 sont admis. Cette façon de procéder permet-ellede n’admettre que les meilleurs candidats ? Expliquez votre réponse.

1

2

3

7

6

5

4

3

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée104

Nom :

Groupe : Date :

Satisfaction sur 5des participants à un atelier

Résultat Nombre de participants

1 2

2 1

3 5

4 12

5 10

Tempsau Tour de France 2008

Temps (h) Nombre de cyclistes

[87,5, 88[ 8

[88, 88,5[ 16

[88,5, 90[ 10

[90, 90,5[ 15

[90,5, 91[ 21

mise au point 3.2

(suite)

LIGUE NATIONALE La Ligue nationale de hockey a été créée officiellement en 1917et comportait à l’époque 4 équipes canadiennes. En 2008, la Ligue nationale comptaitdans ses rangs 30 équipes venant de partout en Amérique du Nord. Le tableau ci-dessous indique le nombre de points en saison régulière de 5 équipes de la Ligue nationale de hockey.

a) Classez ces équipes par ordre croissant de leur moyenne de points en saisonrégulière pour ces 5 saisons.

b) Pour chacune des équipes, calculez :

1) l’écart moyen ; 2) l’écart type.

c) Laquelle de ces équipes a été la plus constante au cours de ces 5 saisons ? Expliquez votre réponse.

Le diagramme à bandes ci-dessous fournit des renseignements sur les recensementseffectués au Canada en 2001 et en 2006.

a) D’après le recensement de 2006, nommez la province dont l’écart de la population à la moyenne des populations est le plus petit.

b) Pour chacun des recensements, calculez l’écart type des populations.

9

8

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 105

Nom :

Groupe : Date :

Points en saison régulière

SaisonÉquipe 2003-2004 2004-2005 2005-2006 2006-2007 2007-2008

Canadiens 77 93 93 90 104

Maple Leafs 98 103 90 91 83

Sénateurs 113 102 113 105 94

Red Wings 110 109 124 113 115

Avalanche 105 100 95 95 95

Recensement canadienPopulation

Province

Terr

e-Ne

uve-

et-L

abra

dor

Île-d

u-Pr

ince

-Éd

ouar

d

Nouv

elle

-Éc

osse

Nouv

eau-

Brun

swic

k

Québ

ec

Onta

rio

Man

itoba

Sask

atch

ewan

Albe

rta

Colo

mbi

e-Br

itann

ique

2001

2006

0

2 000 000

4 000 000

6 000 000

8 000 000

10 000 000

12 000 000

14 000 000

512

930

505

469

135

294

135

851

908

007

913

462

729

498

729

997

7 23

7 47

97

546

131

11 4

10 0

4612

160

282

1 11

9 58

31

148

401

978

933

968

157 2 97

4 80

73

290

350

3 90

7 73

84

113

487

mise au point 3.2

(suite)

Lors d’un ralentissementéconomique, les ventes au détail peuvent diminuer de façon considérable. Le tableau ci-contre fournit des renseignements sur la vente au détail au Canada au cours des mois de juillet et d’août 2008.

a) Parmi l’ensemble desprovinces et territoires,déterminez celle ou celuidont l’écart des ventes à la moyenne des ventes est :

1) le moins élevé en juillet ;

2) le plus élevé en août.

b) Quel est l’écart moyen des ventes de l’ensemble des provinces et territoires pour le mois :

1) de juillet ? 2) d’août ?

c) Pour le mois de juillet, déterminez les provinces ou les territoires dont l’écart des ventes à la moyenne des ventes est supérieur à l’écart moyen des ventes.

Le tableau ci-contre indique les distances maximale et minimaleentre le Soleil et chacune desplanètes de notre système solaire au cours d’une même année.

a) Pour chacune des distributions, calculez :

1) l’écart moyen des distances ;

2) l’écart type des distances.

Depuis 2006, Pluton n’est plus considérée comme une planète de notre système solaire. Au cours d’une même année, la distance maximale entre Pluton et le Soleil est de 7 400 000 000 km, tandis que la distanceminimale est de 4 425 000 000 km.

b) Quelle mesure de dispersion entre l’écart moyen et l’écart type calculés en a)serait la plus influencée par l’ajout des données relatives à Pluton aux donnéesprécédentes ?

11

10

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée106

Nom :

Groupe : Date :

Ventes manufacturières

Ventes VentesProvince ou territoire en juillet 2008 en août 2008

(M$) (M$)

Terre-Neuve-et-Labrador 671,7 633,4

Île-du-Prince-Édouard 124,6 120,7

Nouvelle-Écosse 967,7 893,2

Nouveau-Brunswick 1 870,8 1 425,8

Québec 13 187,0 12 808,2

Ontario 24 891,1 24 116,2

Manitoba 1 437,6 1 451,3

Saskatchewan 1 128,0 1 192,8

Alberta 6 328,5 6 028,2

Colombie-Britannique 3 386,2 3 314,2

Territoire du Yukon 4,0 2,5

Territoires du Nord-Ouest et Nunavut

2,9 3,6

Distance des planètes au Soleil

Planète Distance maximale Distance minimale(millions de kilomètres) (millions de kilomètres)

Mercure 70 46

Vénus 109 107

Terre 152 147

Mars 249 207

Jupiter 816 740

Saturne 1511 1346

Uranus 3008 2742

Neptune 4540 4460

mise au point 3.2

(suite)

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 107

Avec ou sans engrais ?problème

Cette section est en lienavec la SAÉ 6.

Dans le cadre d’un travail scolaire, Éric et Véronika étudient les effets des engrais sur la croissance des plantes. Ils se sont informés auprès de différents producteurs de maïs de leur région afin de recueillir des données sur leur production respective de maïs en fonction de la quantité d’engrais utilisée.

Éric a organisé les données dans un graphique, alors que Véronika les a plutôt placées dans une table de valeurs.

La corrélation

Quantité Production d’engrais utilisée de maïs

(kg/ha) (kg/ha)

0 1500

25 2500

50 2800

75 4000

100 4600

125 4700

150 5400

175 5500

200 5700

225 5600

250 5500

275 5500

300 5300

Véronika :Influence de l’engrais

sur la production de maïs

Éric :Influence de l’engrais

sur la production de maïs

À la lumière des données recueillies, que doivent conclure Éric et Véronika au sujet des effets de l’engrais sur la croissance des plantes ?

50 100 150 200 2500 300

1500

2500

3500

4500

5500

6500

x

yProductionde maïs(kg/ha)

Quantitéd’engrais utilisée

(kg/ha)

Nom :

Groupe : Date : section 3.3

Dans bien des sphères de travail, les innovations technologiques améliorent la vitessed’exécution de certaines tâches. Par exemple, dans le domaine de la construction, les charpentiers-menuisiers utilisent maintenant des cloueuses pneumatiques plutôt qu’un marteau pour poser des bardeaux d’asphalte sur les toitures.

Voici des renseignements sur le rendement au travail de deux employées d’une mêmeentreprise lors des huit derniers chantiers :

a. Laquelle des deux employées a, en moyenne, maintenu le meilleur rendement ?

b. Des deux employées, laquelle a été la plus constante ? Expliquez votre réponse.

c. Semble-t-il y avoir un lien entre le nombre de paquets de bardeaux posés par Françoise et ceux posés par Sylvie ? Expliquez votre réponse.

Le graphique ci-dessous représente la relation entre l’inclinaison d’un toit et le nombrede paquets de bardeaux d’asphalte posés par Sylvie en 1 h.

d. La disposition de l’ensemble des points du nuage semble-t-elle suivre une certainetendance graphique ? Expliquez votre réponse.

e. Semble-t-il y avoir un lien entre l’inclinaison d’un toit et le nombre de paquets de bardeaux posés par Sylvie en une heure ? Expliquez votre réponse.

f. Qualifieriez-vous le lien entre l’inclinaison d’un toit et le nombre de paquets de bardeaux posés par Sylvie en une heure de nul, faible, moyen, fort ou parfait ? Expliquez votre réponse.

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée108

Nom :

Groupe : Date :

Les outils pneumatiquesactivité 1

Pose de bardeaux d’asphalteNombre de paquets

posés en 1h

Inclinaisondu toit

(%)

0 24 40 56 72 88

6

10

14

18

22

Nombre de paquets de bardeaux d’asphalteposés en une heure

Chantier 1 2 3 4 5 6 7 8

Françoise 22 18 16 13 17 20 19 14

Sylvie 20 15 17 15 17 18 17 16

section 3.3

(suite)

CORRÉLATIONLa corrélation peut être décrite par un modèle non linéaire. Cette corrélation est dite nullelorsque les points sont distribués au hasard, et de plus en plus forte au fur et à mesureque les points se rapprochent d’une courbe associée à un modèle dont le comportement est à la fois connu et prévisible.

Voici comment déterminer le coefficient de corrélation entre deux variables statistiques et l’équation d’une courbe de régression à l’aide d’une calculatrice graphique.

1. Éditer les couples de la distributiondans un tableau.

2. Afficher le nuagede points et déterminer le modèle mathématiquequi correspond le mieux à ce nuagede points.

3. Afficher l’équationde la courbe de régression et le coefficientde corrélation.

4. Afficher la courbede régression.

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 109

Nom :

Groupe : Date :

Ex. : Corrélation linéaire Corrélation exponentielle

60

0

0 30

20

0

0 15

60

0

0 30

20

0

0 15

Le nuage de pointsqui correspond à cettesituation peut être modélisé par une droite.

Le nuage de pointsqui correspond à cettesituation peut être modélisé par une courbeexponentielle.

3.3

Dans chaque cas :

1) tracez une courbe représentative de l’ensemble des points du nuage ;

2) déterminez le modèle mathématique associé à la courbe tracée.

a) 1) b) 1) c) 1)

Dans chaque cas, qualifiez l’intensité de la corrélation entre les deux variablessachant que celle-ci est décrite par un modèle :

1) périodique ; 2) exponentiel ; 3) linéaire.

a) b) c)

Le nuage de points ci-dessous fournit des renseignements sur les moyennes finales des élèves en mathématique et en français. Peut-on conclure que plus la moyenne en mathématique d’un ou une élève est élevée, plus sa moyenne en français est élevée ? Expliquez votre réponse.

1

3

2

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée110

Nom :

Groupe : Date :

0

y

x 0

y

x 0

y

x

55

Moyenneen français

(%)

Moyenneen mathématique

(%)

0 65 75 85 95

55

65

75

85

95

Résultats scolaires

mise au point 3.3

0

y

x 0

y

x 0

y

x

Voici deux tables de valeurs :

Table de valeurs

Table de valeurs

a) Pour chacune des tables de valeurs :

1) tracez le nuage de points qui lui correspond à l’aide d’une calculatricegraphique ;

2) calculez à l’aide d’une calculatrice graphique le coefficient de corrélationlinéaire entre les deux variables ;

3) déterminez à l’aide d’une calculatrice graphique le coefficient de corrélationexponentielle entre les deux variables.

b) Du modèle linéaire ou exponentiel, lequel est le plus approprié pour représentercette situation ? Expliquez votre réponse.

Les données de chacune des tables de valeurs ci-dessous ont été recueillies à la suite d’expérimentations. Dans chaque cas :

1) représentez graphiquement les couples de valeurs par un nuage de points ;

2) qualifiez l’intensité et le sens de la corrélation entre ces deux variables sachantque celle-ci est décrite par le modèle donné.

a) Modèle exponentiel

b) Modèle racine carrée

5

2

1

4

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 111

Nom :

Groupe : Date :

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

y 3,4 4 4,9 6,5 7,3 9,5 12 13,1 15 19 22,4 26 33 38,5 46

x 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

y 3 3,3 3,7 4 4,2 5 5,3 6 6,5 7,1 7,8 9,4 9,3 11 12,1

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

y 0,2 0,5 0,8 0,7 1,1 1 1,1 1,2 1,1 1,3 1,4 1,3

x –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

y 128 64 32 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125

mise au point 3.3

(suite)

Le placage est un procédé chimique qui permet de recouvrir une pièce de métald’une mince couche d’un autre métal. Par exemple, on recouvre de zinc certains types de boulons et de vis afin d’empêcher qu’ils ne s’oxydent.

a) Tracez un nuage de points qui représente cette situation.

b) Déterminez le type de fonction qui peut servir de modèle mathématique à cette situation.

c) Qualifiez l’intensité du coefficient de corrélation associé à cette situation.

d) Quelle devrait être la quantité de zinc nécessaire pour recouvrir une surface de 210 cm2 ?

Lorsque deux corps célestes sont en présence l’un de l’autre, il peut se produireun phénomène d’attraction. C’est ce phénomène qui se produit entre la Terre et la Lune, par exemple. Voici des résultats obtenus en laboratoire sur la force d’attraction entre deux corps :

a) Qualifiez la corrélation entre ces deux variables.

b) Bien que le lien entre ces deux variables devrait être un rapport de cause à effet,expliquez pourquoi la corrélation n’est pas parfaite.

7

6

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée112

Nom :

Groupe : Date :

Placage d’une surface métallique

Quantité de zinc (mg) 0,2 0,4 0,8 1 1,3 1,5 1,8 2,4 3

Mesure de la surfaceà recouvrir (cm2) 0,15 0,45 1,9 3,1 4 5,9 9,8 17 21

Quantité de zinc (mg) 3,6 4 4,4 5 5,6 6 6,4 6,5 6,9

Mesure de la surfaceà recouvrir (cm2) 39 48 54 77,7 93 106 124,5 126,3 148

0,2

Force d’attraction entre deux corps

0 Distance entreles deux corps

(m)

Force d’attraction(� 10

-10 N)

6,67

mise au point 3.3

(suite)

Voici des renseignements concernant différentes populations d’animaux de 2000 à 2008.

Nombre d’animaux sur un territoire

a) Calculez le coefficient de corrélation entre le temps et la population de lièvres si la tendance graphique décrite par le nuage de points est celle d’une fonction :

1) linéaire ; 2) exponentielle ; 3) quadratique.

b) Calculez le coefficient de corrélation entre le temps et la population de renards si la tendance graphique décrite par le nuage de points est celle d’une fonction :

1) linéaire ; 2) exponentielle ; 3) quadratique.

Amélia et Karl étudient la décroissance du nombre de bactéries dans une culturependant une expérience. Voici les données recueillies par chacun :

Données recueillies par Amélia Données recueillies par Karl

À partir des données qu’Amélia a recueillies, elle conclut que le coefficient de corrélation exponentiel entre ces deux variables est �0,85. À partir des donnéesque Karl a recueillies, il détermine que le coefficient de corrélation linéaire entre ces deux variables est �0,92. Laquelle de ces deux personnes a tiré la conclusion la plus juste ? Expliquez votre réponse à l’aide d’une démarche statistique.

9

8

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 113

Nom :

Groupe : Date : mise au point 3.3

(suite)

Année

Lièvre

Renard

2000

12

0

2001

19

0

2002

20

1

2003

25

2

2004

29

5

2005

36

12

2006

44

25

2007

48

40

2008

53

85

0 180

1 110

2 90

3 70

4 55

5 40

Temps écoulé depuis Nombrele début de l’expérience

de bactéries(min)

6 35

7 28

8 23

9 14

10 8

Temps écoulé depuis Nombrele début de l’expérience

de bactéries(min)

0

y

x 0

y

x 0

y

x

Pour chacune des distributions ci-dessous, calculez :

1) l’écart moyen ; 2) l’écart type.

a) b)

Pour chacun des nuages de points ci-dessous :

1) tracez une courbe représentative de la majorité des points ;

2) déterminez le type de fonction pouvant servir de modèle mathématique à la situation.

a) b) c)

Une expérience aléatoire consiste à piger une carte dans un jeu de 52 cartes.Voici des événements possibles :

A : obtenir une carte de carreau ;

B : obtenir un valet ;

C : obtenir une carte noire ;

D : obtenir une carte qui n’est pas une figure.

a) Parmi les événements ci-dessus, nommez les paires d’événements mutuellementexclusifs.

b) Calculez :

1) P(A � B) 2) P(A � C) 3) P(A � D)

4) P(A � B) 5) P(A �D) 6) P(B �D)

3

2

1

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée114

Nom :

Groupe : Date :

Flotte d’avionsd’une compagnie aérienne

Nombre de places dans un avion Effectif

88 4

145 7

160 14

260 5

450 1

Heure de réveil des étudiants

Heure Nombre d’étudiants

[5, 5,5[ 30

[5,5, 6[ 56

[6, 6,5[ 234

[6,5, 7[ 340

[7, 7,5[ 148

VUE D’ENSEMBLE 3

Une urne A contient 4 billes rouges (R) et 6 billes jaunes (J), tandis qu’une urne Bcontient 3 billes rouges (R), 4 billes jaunes (J) et 3 billes vertes (V). On choisitd’abord une urne au hasard puis on tire, toujours au hasard, une bille de l’urne.

a) Construisez un arbre de probabilités représentant cette situation.

b) Est-ce que ces deux événements sont :

1) dépendants ou indépendants ? Expliquez votre réponse.

2) mutuellement exclusifs ou non mutuellement exclusifs ?Expliquez votre réponse.

c) Calculez chacune des probabilités suivantes.

1) P(J �A) 2) P(V �B) 3) P(R �A)

d) Quelle est la probabilité de tirer une bille :

1) rouge ? 2) verte ? 3) jaune ?

Le graphique ci-dessous fournit des renseignements sur le pourcentage de bébés ayant une faible masse à la naissance de 1979 à 2005.

a) Pour chacun des sexes, calculez :

1) l’écart moyen du pourcentage de bébés ayant une faible masse à la naissance ;

2) l’écart type du pourcentage de bébés ayant une faible masse à la naissance.

b) Laquelle des distributions possède les données les moins dispersées ?Expliquez votre réponse.

c) Construisez un nuage de points à partir des couples de valeurs dont l’abscisse correspond au pourcentage de garçons ayant une faible masse à la naissanceet l’ordonnée, au pourcentage de filles ayant une faible masse à la naissance au cours d’une même année.

d) Qualifiez la corrélation linéaire entre ces deux variables.

5

4

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 115

Nom :

Groupe : Date :

Faible masse à la naissanceNombrede bébés

(%)

Année0 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005

5,2

5,6

6,0

6,4

6,8

5,0

5,4

5,8

6,2

6,6

Filles

Garçons

VUE D’ENSEMBLE 3

(suite)

Au Centre des sciences de Montréal, 17 élèves ont participé à un test au coursduquel leur temps de réaction était mesuré. Pour ce faire, chaque élève devait, à tour de rôle, regarder un témoin lumineux rouge. Dès que ce dernier tournait au vert, l’élève devait appuyer sur un bouton le plus rapidement possible. Les élèves étaient libres de participer au test autant de fois qu’ils le désiraient.

Les résultats des tests ont été compilés dans le graphique ci-dessous.

a) Déterminez le type de fonction qui peut servir de modèle mathématique à cette situation.

b) À l’aide d’une calculatrice graphique, déterminez l’équation de la courbe de régression associée à cette situation.

c) Quel pourrait être le temps de réaction d’une personne qui aurait effectué 15 tests ?

Pour chacune des tables de valeurs ci-dessous :

a) tracez le nuage de points qui lui correspond à l’aide d’une calculatrice graphique ;

b) déterminez le type de fonction qui peut servir de modèle mathématique à cette situation ;

c) à l’aide d’une calculatrice graphique, déterminez, selon le type de fonction choisi en b), le coefficient de corrélation entre les deux variables ;

d) déterminez à l’aide d’une calculatrice graphique l’équation de la courbe de régression associée à la situation.

Table de valeurs

Table de valeurs 2

1

7

6

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée116

Nom :

Groupe : Date :

x 0,5 1,8 1,9 2,4 3,1 3,5 4,4 4,5 5,2 5,5 5,4 5,9 6,0 6,2 6,3 6,8 7,2 7,7 8 8,1

y 5,1 4,1 5,2 5,7 7,0 5,6 5,9 8,0 8,1 7,5 9,6 10,1 8,0 8,2 11,3 12,1 11,1 14,2 12,1 14,1

x 0,25 0,4 0,5 0,5 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0 1,1 1,4 1,4 1,5 1,7 2,0 2,0 2,4 2,5 2,7 3,1

y 41 46 43 51 35 39 42 32 29 36 28 24 31 23 18 20 19 23 16 19

5 6 7 8 90 10

175

185

195

205

Tempsde réaction

(ms)

Nombre de testseffectués

par personne

VUE D’ENSEMBLE 3

(suite)

Parmi les 200 élèves d’une école de langues, 38 % sont inscrits au cours d’espagnol,55 % sont inscrits au cours d’anglais et 18 % sont inscrits aux deux cours.

a) Représentez cette situation par un diagramme de Venn.

b) Quelle est la probabilité de choisir au hasard un ou une élève inscrit :

1) au cours d’anglais ou au cours d’espagnol ?

2) au cours d’anglais sachant qu’il ou elle est inscrit au cours d’espagnol ?

c) Quelles sont les chances de choisir au hasard un ou une élève qui n’est inscrit à aucun de ces cours ?

Les deux graphiques ci-dessous montrent la variation des valeurs de l’once d’or et du dollar canadien en dollars américains au cours de l’année 2008.

Déterminez, avec le plus de précision possible, le coefficient de corrélation qui caractérisele lien entre la valeur de l’once d’or et la valeur du dollar canadien en dollars américains.

9

8

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 117

Nom :

Groupe : Date :

Valeur de l’once d’orPrix($)

Mois0

700

800

900

1000

Janvier2008

Mars2008

Mai2008

Juillet2008

Septembre2008

Novembre2008

Janvier2009

Valeur du dollar canadienValeur($US)

Mois

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

Janvier2008

Mars2008

Mai2008

Juillet2008

Septembre2008

Novembre2008

Janvier2009

0

VUE D’ENSEMBLE 3

(suite)

Une compagnie minière veut entreprendre une série d’opérations d’exploration. Les coûts associés à chacune de ces opérations d’exploration sont de 3 000 000 $. Si une opération permet de trouver un gisement aurifère, les revenus sont estimésà 60 250 000 $. Si cette opération permet de trouver un gisement de cuivre, les revenus sont estimés à 30 125 000 $. Les géologues évaluent la probabilité de trouver un gisement aurifère à 2 % et la probabilité de trouver un gisementde cuivre à 4 %. La compagnie devrait-elle entreprendre cette série d’opérationsd’exploration ? Expliquez votre réponse.

Dans une ville, 70 % des habitants sont des non-fumeurs. Des spécialistes évaluent à45 % la probabilité qu’une personne qui fume soit atteinte du cancer du poumon aucours de sa vie alors que cette probabilité est de 10 % pour les non-fumeurs. Si l’onchoisit une personne au hasard dans cette ville, quelle est la probabilité que cettepersonne :

a) ne soit pas atteinte du cancer du poumon sachant qu’elle est une non-fumeuse ?

b) soit fumeuse et soit atteinte du cancer du poumon ?

c) ne soit pas atteinte du cancer du poumon sachant qu’elle est une fumeuse ?

Le tableau ci-dessous présente les activités les plus populaires des élèvesd’une école secondaire.

a) Si l’on choisit une personne au hasard, calculez :

1) P(fille et ski ) ;

2) P(garçon ou cinéma) ;

3) P(fille � sortie au cinéma) ;

4) P(partie de hockey �garçon).

b) Si l’on choisit une personne au hasard, quellessont les chances :

1) qu’elle soit un garçon sachant que cettepersonne assistera à une partie de hockey ?

2) qu’elle assiste à une partie de hockey ?

11

12

10

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée118

Nom :

Groupe : Date :

Activités populaires

Faire du ski Aller au cinéma Assister à une Totalpartie de hockey

Nombre de filles 55 34 66 155

Nombre de garçons 87 25 105 217

Total 142 59 171 372

VUE D’ENSEMBLE 3

(suite)

Le prix de certains aliments se négocie sur les marchés financiers. Leur prix y estdéterminé, entre autres, par l’offre et la demande. Le tableau ci-dessous présente le prix de trois aliments au cours de l’année 2008.

À l’aide d’une démarche statistique, indiquez les deux aliments dont la variation du prix de l’un influe le plus sur la variation du prix de l’autre.

Une compagnie d’assurances classe en deux catégories les clients qui possèdentune assurance automobile : les clients à risque et les clients qui ne sont pas à risque.Voici différents renseignements basés sur les statistiques des dernières années :

• la probabilité qu’un client à risque ait un accident est de 40 % ;

• la probabilité qu’un client qui n’est pas à risque ait un accident est de 20 % ;

• 30 % des clients sont à risque.

Quelle est la probabilité qu’un client de cette compagnie ait un accident ?

14

13

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 119

Nom :

Groupe : Date :

Variation du prix de trois aliments

Prix Prix Prix Prix Prix PrixDate du cacao du café du sucre Date du cacao du café du sucre

($/t) ($/t) ($/t) ($/t) ($/t) ($/t)

01/01 1100 1820 315 01/07 1600 2200 372

15/01 1080 1950 322 15/07 1530 2290 388

01/02 1170 1980 338 01/08 1440 2400 405

15/02 1260 2050 365 15/08 1450 2200 380

01/03 1340 2190 368 01/09 1650 2200 410

15/03 1420 2400 400 15/09 1500 2280 400

01/04 1400 2700 418 01/10 1480 2210 330

15/04 1210 2450 386 15/10 1300 2180 340

01/05 1300 2210 357 01/11 1310 2010 325

15/05 1310 2210 370 15/11 1400 1800 300

01/06 1350 2100 360 01/12 1500 1700 280

15/06 1450 2200 365 15/12 1700 1800 320

Au Canada, les personnes les plus à risque d’êtreimpliquées dans des accidents de la route sontles jeunes âgés de moins de 25 ans. La vitesseexcessive et l’omission de porter la ceinturede sécurité sont particulièrement en cause.

VUE D’ENSEMBLE 3

(suite)

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 121

SAÉ 1 Minimiser les déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

SAÉ 2 Mieux contrôler pour économiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

SAÉ 3 Les gels antiseptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

SAÉ 4 Une réglementation précise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

La SAÉ 1 est également liée à la section 2.1 de Vision 2

SAÉ 5 La fécondation in vitro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

SAÉ 6 La justice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

TABLE DES MATIÈRES

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée122

Nom :

Groupe : Date :

SAÉ 1

Minimiser les déplacementsLors de la construction de chemins forestiers, les entreprises doivent, entre autres,tenir compte des coûts de production. Cette contrainte économique amène les entreprises forestières à mettre en place un réseau de chemins qui permet de minimiser les déplacements des camions servant à transporter le bois.

Le schéma ci-dessous représente le plan de construction des chemins d’unterritoire de coupe forestière. Sur ce plan, l’accès au territoire de coupe est situésur le chemin principal de façon que la somme des longueurs des chemins C10 et C14 soit minimale.

Voici des renseignements concernant ce territoire de coupe forestière :• Le chemin C13 correspond à la bissectrice de l’angle CDF.• Le chemin C12 est parallèle au chemin principal.• L’aire de la zone est de (xy + 1,5x) km2.• L’aire de la zone est de (30y + 45 – 2xy – 3x) km2.

Démontrez que la longueur du chemin C13 est de 10 ���3 km.

1

2

Cette SAÉ est en lien avecles sections 1.1 et 2.1.

CD2

Zone

Zone

FEntrée

A E

B

C D

Zone

CheminC12

CheminC11

CheminC10

CheminC14

CheminC13

Zone

Cheminprincipal

4

3

1

2

saé 1

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 123

Nom :

Groupe : Date :

SAÉ 2

Mieux contrôler pour économiserLe contrôle de la température ambiante de nos habitations est essentiel dans un pays où la température extérieure varie de �50 °C à 35 °C. Plusieurs entreprisescherchent à améliorer les systèmes de chauffage et de climatisation, c’est-à-dire à minimiser la puissance et le temps de fonctionnement des appareils tout enaméliorant leur rendement énergétique. On utilise principalement le kilowattheure(kWh) pour mesurer la consommation d’électricité. Un kilowattheure correspondà 1000 watts consommés pendant une heure.

Un entrepreneur de climatisation présente les avantages d’un nouveau modèle de climatiseur à vitesse de compression variable en le comparant au modèletraditionnel à fonction marche/arrêt.

Les graphiques ci-dessous fournissent des renseignements sur le fonctionnementd’un climatiseur traditionnel à fonction marche/arrêt.

Cette SAÉ est en lien avec la section 1.2.

CD2

1

Fonctionnement d’unclimatiseur traditionnel

Écart à la températuredemandée

(°C)

Temps(min)

0 10 20

1234

1

Variation de la puissance d’unclimatiseur traditionnel

Temps(min)

0 10 20

12 00016 000

8 0004 000

Puissance(W)

saé 2

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée124

Nom :

Groupe : Date :

Selon les dires de l’entrepreneur, le nouveau modèle de climatiseur à vitesse de compression variable possède les caractéristiques suivantes.• Pour un meilleur confort, la température est ajustée cinq fois plus souvent sur le modèle

à vitesse de compression variable que sur le modèle traditionnel.• L’écart à la température demandée est cinq fois moins grand sur le modèle à vitesse

de compression variable que sur le modèle traditionnel.• Par rapport au modèle traditionnel, le modèle à vitesse de compression variable permet

de diminuer de moitié la consommation d’électricité.

Voici des renseignements sur le fonctionnement du modèle à vitesse de compressionvariable fournis par le fabricant :

Sachant que l’énergie nécessaire au fonctionnement de chaque climatiseur correspond au produit de la puissance de l’appareil par le temps de fonctionnement, vous devrezconfirmer ou réfuter les dires de l’entrepreneur de climatisation.

10

Variation de la puissance d’unclimatiseur à vitesse de compression variable

Temps(s)

0 100 200

12 0008 0004 000

16 000

Puissance(W)

Temps (s) 10

Écart à la températuredemandée (°C)

0,17

20

0,09

30

0

40

�0,1

50

0,17

60

�0,21

70

�0,16

80

�0,9

90

0,02

100

0,1

110

0,17

120

0,2

Fonctionnement d’un climatiseur à vitesse de compression variable

saé 2

(suite)

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 125

Nom :

Groupe : Date :

SAÉ 3

Les gels antiseptiquesLes gels antiseptiques sont de plus en plus utilisés afin de prévenir la transmissionde bactéries par les mains. Il existe plusieurs types de ces gels, qui se différencientles uns des autres par leur concentration en alcool éthylique. La Food and DrugAdministration (FDA) recommande pour les hôpitaux des gels dont la concentration d’alcool éthylique est comprise entre 60 et 90 %.

Voici des renseignements sur quatre types de gels offerts par une soumission à un hôpital :

L’alcool éthylique, une fois appliqué sur les mains, s’évapore. Il perd donc de son efficacité. Les responsables de l’hôpital recommandent à leurs employés d’appliquer une dose de gel au début de leur quart de travail, puis chaque fois que la concentration d’alcool éthylique sur les mains est inférieure ou égale à 40 %.

CD1

Gel A

Format (mL) 500

Gel B

750

Gel C

500

Concentration d’alcool éthylique (%)

70 75 80

Dose (mL) 2 3 2,5

Gel D

750

70

4

Renseignements généraux

Gel A

Cf : concentration restante d’alcool éthylique (en %)

Ci : concentration d’alcool éthylique lorsd’une application (en %)

t : temps (en min)

Cf � Ci(0,985)t

Gel B

Cf � Ci(0,990)t

Gel C

Cf � Ci(0,985)t

Gel D

Cf � Ci(0,995)t

Évaporation de l’alcool éthylique lors d’une application

Cette SAÉ est en lien avec les sections 1.3 et 1.5.

saé 3

Les représentations graphiques ci-dessous fournissent des renseignements sur le prix de ventede chacun des gels.

Vous devez déterminer lequel des gels est le plus économique pour un hôpital pour une période d’un an. Dans cet hôpital, il y a en moyenne 800 employés qui travaillent 5 journées de 8 h par semaine sur 48 semaines par année.

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée126

Nom :

Groupe : Date :

Prix($)

Quantitéde bouteilles

achetées

0 2000 4000 6000 8000 10 000

6

7

8

9

10

11

Prix de vente du gel APrix($)

Quantitéde bouteilles

achetées

0 2000 4000 6000 8000 10 000

6

7

8

9

10

11

Prix de vente du gel B

Prix($)

Quantitéde bouteilles

achetées

0 2000 4000 6000 8000 10 000

6

7

8

9

10

11

Prix de vente du gel CPrix($)

Quantitéde bouteilles

achetées

0 2000 4000 6000 8000 10 000

6

7

8

9

10

11

Prix de vente du gel D

saé 3

(suite)

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 127

Nom :

Groupe : Date :

SAÉ 4

Une réglementation préciseUne municipalité doit approuver la construction d’une résidence de 12 m sur 12 m sur le terrain illustré ci-dessous. Dans cette municipalité, la réglementation en matière de construction domiciliaire stipule que la mesure de la surface occupée par une résidence doit être au moins 65 fois plus petiteque la superficie du terrain sur lequel elle est construite.

Vous devez rédiger un rapport destiné au directeur ou à la directrice de l’urbanisme de cette municipalité afin de lui recommander d’approuver ou de refuser la construction de cette résidence. Rédigez votre recommandationen vous basant sur le règlement cité plus haut.

CD3

35,1 m

71,9 m

74,9 m

71.9 m

60°

35°

270° 275°

145°

304,945°

150°

20°

Cette SAÉ est en lien avec la section 2.2.

saé 4

Vision ■ Pont • Matériel de l’élève © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée128

Nom :

Groupe : Date :

SAÉ 5

La fécondation in vitroCertains couples éprouvent des difficultés à concevoir des enfants. Différentessolutions sont offertes à ces personnes, dont l’adoption, la médication favorisantl’ovulation et la fécondation in vitro. La fécondation in vitro consiste à préleverdes ovules et à les mettre en contact avec des spermatozoïdes dans le but de les féconder.

Les données ci-dessous ont été relevées dans une clinique de fécondation in vitro au cours des dernières années.

• La probabilité qu’une femme ait recours à la fécondation in vitro et qu’un prélèvement d’ovules soit positif est de 2,7 %.

• Les chances qu’un prélèvement d’ovules chez une femme qui a recours à la fécondation in vitro soit positif sont de 9 :1.

• Dans 60 à 70 % des cas, un embryon est produit et implanté dans l’utérus. Lors de cette implantation :

• La probabilité qu’une femme mène sa grossesse à terme est de 90 %.

• La probabilité qu’une femme mène sa grossesse à terme et ait des jumeaux est de 22,5 %.

Sachant que cette année, 100 000 femmes tenteront d’avoir un enfant,déterminez, pour chaque groupe d’âge, le nombre de femmes qui peuventespérer avoir 1 ou 2 enfants par la fécondation in vitro.

CD1

• 20 % des femmes sont âgées de 40 ansou plus ;

• les chances que la femme ne soit pasenceinte à la suite de l’implantation sont de 4 :1.

• 30 % des femmes sont âgées de [25, 35[ ans ;

• les chances que la femme soit enceinte à la suite de l’implantation sont de 2 :3.

• 40 % des femmes sont âgées de [35, 40[ ans ;

• les chances que lafemme soit enceinte à la suite de l’implantation sont de 7 :13.

Cette SAÉ est en lien avec la section 3.1.

saé 5

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision ■ Pont • Matériel de l’élève 129

Nom :

Groupe : Date :

SAÉ 6

La justiceDans le système de justice québécois, les processus menant à une sentence sont effectués de façon que le verdict soit le plus juste et équitable possible. Une personne est non coupable jusqu’à preuve du contraire. À la suite d’une inculpation, les juges doivent rendre une sentence juste en vertu du crimecommis. Voici des renseignements relatifs aux peines et aux amendes imposéespar trois juges pour des crimes similaires :

Vous devez analyser les sentences imposées par chacun des trois juges afin de déterminer celui dont les décisions sont les plus constantes. Vous devezexpliquer votre raisonnement et appuyer votre choix sur une analyse statistiqueincluant des calculs et des graphiques.

CD1

80

Emprisonnement(jours)

Amende($)

2200

200 3300

150 2500

160 3000

135 2400

125

Emprisonnement(jours)

Amende($)

1995

90 1500

170 3400

125 2200

110 2000

195

Emprisonnement(jours)

Amende($)

3000

230 4005

178 3000

140 2500

160 2800

Juge 1

149

Emprisonnement(jours)

Amende($)

3500

152 2000

100 2400

200 2200

150 3300

124

Emprisonnement(jours)

Amende($)

3192

90 1995

170 1500

115 3400

109 2200

158

Emprisonnement(jours)

Amende($)

4005

129 3000

161 3300

157 2800

161 2900

Juge 2

Amende ($)

[50, 100[ 6

[100, 150[ 2

[150, 200[ 1

[200, 250[ 0

[1500, 2000[

3

5

4

1

[2000, 2500[

1

2

3

2

[2500, 3000[

0

0

3

7

[3000, 3500[

Juge 3

Emprison nement (jours)

Cette SAÉ est en lien avec les sections 3.2 et 3.3.

saé 6