5 Transformée de Fourier Discrète -...

Traitement numérique du signal Cours ELE102-FOD

Rédacteur Claude BORDEAUX 87

5 Transformée de Fourier Discrète 5.1 Séries réelles

Dans son ouvrage « Théorie analytique de la chaleur (1822)» Joseph FOURIER introduit la décomposition des fonctions périodiques en fonctions trigonométriques.

Une fonction périodique réelle (signal), de période 0T peut être considérée comme une série trigonométrique de la forme :

0 01

( ) cos 2n nn

s t S S n f t

avec 00

1fT

Le signal est décomposable en somme (infinie) de fonctions sinusoïdales de fréquences multiples de 0f .

Les différentes composantes du signal sont des harmoniques (nom masculin ou féminin, souvent masculin en physique, issu du vocabulaire musical).

0S est la valeur moyenne du signal ;

1 0 1cos 2S f t terme à la fréquence 0f est le fondamental ;

0cos 2n nS n f t terme à la fréquence 0n f est l’harmonique de rang n.

Voici par exemple un signal trapézoïdal de période 100ms :

Figure 5.1-1

Sa décomposition en série de Fourier :

Figure 5.1-2

Joseph FOURIER

Le signal périodique est décomposé en somme de sinusoïdes de fréquences différentes. Par analogie avec la décomposition de la lumière blanche (avec un prisme par exemple), le résultat de la décomposition est appelé spectre du signal. La décomposition exacte comporte une infinité de termes dont les fréquences sont multiples de celle du fondamental. Observons une décomposition approchée, la somme du fondamental et de l’harmonique de rang 3 :

Figure 5.1-3

Le signal reconstitué à partir de la somme d’un nombre fini d’harmoniques présente des ondulations à cause des harmoniques négligés. C’est un phénomène analogue à celui que nous avons déjà rencontré dans la troncature des réponses impulsionnelles (Ondulations de Gibbs).

L’harmonique 0cos 2n nS n f t peut se décomposer en somme de cosinus et sinus :

0 0 0cos 2 cos cos 2 sin sin 2n n n n n nS n f t S n f t S n f t

D’où la série : 0 0 01 1

( ) cos 2 sin 2n nn n

s t S A n f t B n f t

Avec les relations : 2 2 nn n n n

n

BS A B et tgA

Les coefficients sont calculés par les expressions :

0

0 0

00

0 00 0

1

2 2cos 2 sin 2

T

T T

n n

S s t dtT

A s t n f t dt et B s t n f t dtT T

Si le signal présente des symétries, certains coefficients s’annulent.

Précisons que la décomposition des signaux périodiques en sinusoïdes, n’est pas la seule. D’autres bases de décomposition existent (Haar, Rademaker, Walsch). L’intérêt des séries de Fourier tient dans la propriété des systèmes linéaires dont les fonctions propres sont les sinusoïdes (en fait les exponentielles imaginaires).

Vocabulaire : Analyse harmonique : décomposition d’un signal en fonctions sinusoïdales (spectre). Régime harmonique : régime de fonctionnement d’un système excité par un signal sinusoïdal. Distorsion harmonique : Déformation d’un signal sinusoïdal se traduisant par la création d’harmoniques.


Rédacteur Claude BORDEAUX Page 189

Animation : www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Elec/Fourier/fourier1.html

5.1.1 Séries complexes La décomposition en série de Fourier réelle est assez compliquée puisque le calcul des coefficients nécessite 3 expressions. En raisonnant dans le domaine complexe, les calculs se simplifient. La décomposition en séries complexes se déduit de la définition précédente en appliquant les relations d’EULER.

0 0 0 0

0 0cos sin2 2

j t j t j t j te e e et et tj

Elle introduit la notion de fréquences négatives. En effet, la fonction cosinus (ou sinus) peut être considérée comme la somme de 2 vecteurs tournants en sens inverse.

Figure 5.1-4 Un des sens de rotation est choisi comme positif ; c’est généralement le sens horaire inverse appelé sens trigonométrique. Les fréquences peuvent donc être considérées positives ou négatives comme les autres grandeurs physiques. En appliquant ces relations au développement en séries réelles :

0

0 00

1( ) exp 2 exp 2T

SFn n

ns t X j n f t X s t j n f t dt

T

Pour le signal trapézoïdal, le développement complexe est le suivant :

Figure 5.1-5

Les coefficients étant complexes, il faut prendre en compte le module et l’argument. Ici nous avons tracé le module uniquement.

5.2 Transformée de Fourier Un signal non périodique ne peut pas être décomposé en série de Fourier. Lorsqu’elle existe (les conditions sont étudiées au cours de l’UE MAA107), la transformée de Fourier permet d’associer le domaine temporel au domaine fréquentiel. Le calcul et les propriétés de la transformée de Fourier sont étudiées dans les UE MAA107 et ELE103

5.2.1 Transformée d’un signal analogique

Considérons un signal analogique as t d’énergie finie et sa transformée de Fourier.

2 2( ) ( ) ( ) ( )TFj ft j fta a a aS f s t e dt s t S f e df

Figure 5.2-1

Remarquons que la transformée de Fourier d’un signal périodique existe. Elle est composée de Diracs :

0 0( ) exp 2 ( )TFn a n

n ns t X j n f t S f X f n f

5.2.2 Transformée d’un signal échantillonné Echantillonnons le signal analogique (K échantillons). Nous avons vu au chapitre 1 de ce cours « Signaux échantillonnés », que l’échantillonnage est une multiplication par un peigne de Diracs. Nous considérerons que la condition d’échantillonnage de Shannon est respectée.

1 1 1

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )K K K

e a e a e e k ek k k

s t s t t kT s kT t kT s t kT

La transformée d’un produit est un produit de convolution.

( ) ( ) ( ) ( )e a e e e a en n

S f S f f f nf f S f nf

L’échantillonnage temporel périodise le spectre et le multiplie par ef .

Figure 5.2-2

Le spectre étant périodique, il est développable en série inverse de Fourier :

2 22 2

2 2

( ) ( ) ( )

e e

e e

e e

f f

j kT f j kT fk a e e e a

f f

s s kT T S f e df S f e df



Remarque : La représentation graphique est symbolique, les fonctions pouvant être réelles ou complexes.

Résumons par un schéma :

Figure 5.2-3

5.3 De la TF à la TFD

5.3.1 Echantillonnage du spectre La transformée d’un signal échantillonné est une fonction continue et périodique de la fréquence. Pour calculer le spectre, il faut calculer une infinité de valeurs. D’où l’idée de ne calculer que quelques valeurs, c'est-à-dire d’échantillonner la transformée de Fourier dans le domaine des fréquences. Pour cela, il faut « périodiser » le signal temporel en évitant le repliement temporel. Nous savons qu’un signal périodique a un spectre échantillonné. Considérons le signal échantillonné périodique construit en répétant le signal se(t) avec la période 0T .

Figure 5.3-1

Il n’y a pas de recouvrement temporel si le signal est à support borné. Pour ce faire le signal peut être découpé par une fenêtre temporelle de largeur Tmax. Cette fenêtre d’observation est en général rectangulaire, mais peut prendre d’autres formes en analyse spectrale.

Figure 5.3-2

Le signal ainsi découpé est répété avec la période max0 TT . Le spectre est échantillonné avec la

période fréquentielle 00

1fT

.

Soit N le nombre d’échantillons en fréquence. 0 0e eT N T et f N f

Figure 5.3-3



Les deux domaines, temps et fréquence sont périodiques et échantillonnés. Le nombre d’échantillons par période est le même dans les deux domaines. Avec la transformée de Fourier, on peut établir une correspondance entre les échantillons des deux domaines sur une période.

Simplifions les notations des échantillons : 0ep e k ep ns k T s et S n f S

5.3.2 Transformée de Fourier discrète TFD

En fréquences réduites, la transformée de Fourier d’un signal échantillonné est : 1

2

0

Kj kx

e kk

S x s e

Echantillonnons dans le domaine des fréquences : nxN

Figure 5.3-4

Le nombre d’échantillons N est le même dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel. Les indices des échantillons de la période sont positifs ; ce n’est pas une obligation pour le domaine des fréquences si le calcul est effectué point par point. Mais l’utilisation d’une transformée de Fourier rapide TFR (FFT) impose cette contrainte. Nous conserverons donc ce choix pour la TFD.

La période dans le domaine fréquentiel est donc 0, ef et non ,2 2

e ef f . Mais la transposition n’est

pas trop difficile !!

Figure 5.3-5 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0r rS n S n pour n et S n S N n pour n

Par définition la transformée de Fourier discrète est : 1 2

0

knN jN

n kk

S s e

La transformée inverse : 21

0

1 j k nNN

k nn

s S eN

2 21 1

0 0

1 j k n j k nN NTFDN N

k n n kn k

s S e S s eN

Il existe d’autres définitions ; celle-ci a l’avantage d’être cohérente avec la transformée dans la mesure

où 1

00

N

kl

S s

. C’est la somme des échantillons, équivalent de l’intégrale en numérique.

5.3.3 Exemple 1 :

Pour ce premier exemple, choisissons un signal facile à analyser : 4( ) 0,5 2 sin 2s k kN

.

C’est un signal sinusoïdal d’amplitude 2, de fréquence 14 efFN

(ou 14XN

en fréquences réduites)

avec une composante constante de 0,5 (valeur moyenne). On considère une fenêtre de 18 échantillons.

Figure 5.3-6

Calculons la TFD, le nombre d’échantillons nous oblige à utiliser un logiciel de calcul. :

Figure 5.3-7

L’échantillon d’indice n=0 représente la somme totale des échantillons. L’échantillon d’indice n=4 représente la moitié de l’amplitude du sinus, multipliée par le nombre d’échantillons. L’échantillon d’indice n=14, représente l’autre moitié. Spectre reconstitué :

Figure 5.3-8



Le spectre du signal réel respecte la symétrie Hermitienne. ( ) ( )r rS n S n . La partie fréquence négative est la conjuguée de la partie positive pour un signal réel. Le spectre est un spectre de raies. La fréquence du signal correspond à un échantillon de la transformée car la durée de l’observation (largeur de la fenêtre) correspond à un nombre entier de périodes. En effet, le spectre du signal observé est continu (ici tracé en orange) et vous reconnaissez certainement la transformée de Fourier de la fenêtre. La fréquence du signal étant un multiple entier de 0f , l’échantillonnage fréquentiel coïncide avec les maxima et les zéros.

Figure 5.3-9

Considérons maintenant le signal 4,5( ) 0,5 2 sin 2s k kN

de fréquence 04,5 f .

Figure 5.3-10

Figure 5.3-11

Les échantillons du spectre ne correspondent plus aux maxima et aux zéros. Pour approfondir étudiez les chapitres « Résolution » et « Analyse Spectrale ».

5.3.4 Exemple 2 Ce deuxième exemple est une application de la TFD à un signal simple, composé de peu d’échantillons et donc calculable sans logiciel.

Figure 5.3-12

( ) 0,5 ; 1 ; 1 ; 1 ; 0,5 ; 0 ; 0 ; 0s k

Calculons les échantillons de la TFD. 7 2

8

0( )

k nj

kk

S n s e

34 2 4( ) 0,5 0,5

j n j n j n j nS n e e e e

2 2 4 4 2( ) 0,5 1 0,5j n j n j n j n j n

S n e e e e e

2( ) 1 cos 2 cos2 4

j nS n e n n

(0) 4; (1) 1 2 ; (2) 0; (3) 1 2 ;

(4) 0; (5) 1 2 ; (6) 0; (7) 1 2 .

S S j S S j

S S j S S j

Figure 5.3-13

On retrouve un spectre de raies comme au paragraphe 1.

Remarquez la symétrie hermitienne, le signal discret étant réel. ( ) ( )S N n S n

A titre de vérification rapide, S(0) est égal à la somme des échantillons.



5.3.5 Relation avec la transformée en Z

Considérons un signal s k et sa transformée en z , 0

( ) kk

kS z s z

1 12 2

0 0

kkn nN Nj jN N

k kk k

S n s e s e

En identifiant, on constate que la transformée de Fourier discrète est l’évaluation de la transformée en z sur le cercle unitaire.

1 2 2

0

kn nN j jN N

kk

S n s e S z pour z e

Si l’on considère l’exemple précédent, la transformée en z du signal est : 1 2 3 4( ) 0,5 0,5S z z z z z

32

4 2 4( ) 0,5 0,5nj j n j n j n j nNen posant z e S n e e e e

On retrouve l’expression précédente: 2( ) 1 cos 2 cos2 4

j nS n e n n

5.3.6 Série de Fourier discrète SFD

Le développement en série de Fourier est défini par : 21

0

1 j knNN

n kl

S s eN

.

Attention aux notations pour éviter les confusions avec la TFD. 1

00

1 N

kl

S sN

C’est la valeur moyenne des échantillons.

Le développement en séries de Fourier, appliqué au signal précédent permet de retrouver les différentes composantes : valeur moyenne, amplitudes (complexes). On l’utilise en analyse spectrale.

5.3.7 Autres définitions La transformée de Fourier discrète peut être normée avec différents coefficients. La définition que nous avons choisie est cohérente avec la transformée de Fourier des signaux continus. Pour l’analyse spectrale, qui porte sur des signaux périodiques échantillonnés, la série de Fourier calcule les différentes composantes du spectre.

On trouve aussi la définition suivante : 2 21 1

0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( )k n k nN Nj j

N N

k lS n s k e s k S n e

N N

5.3.8 Durée du calcul Le calcul de chaque échantillon S(n) de la transformée, nécessite N multiplications et N-1 additions complexes.

Figure 5.3-14

Le calcul des N échantillons nécessite N² multiplications et N.(N-1) additions complexes.

5.3.9 Propriétés de la TFD 5.3.9.1 Linéarité

Considérons 2 suites numériques périodiques de même période N.

)()()()()()()()(

22112211

2211

nSnSksksnSksnSks

5.3.9.2 Translation temporelle

Calculons la TFD d’un signal numérique périodique de période N. 2

( ) ( ) ( ) ( )nMj

Nr k s k M R n S n e

Le décalage temporel (retard) se traduit au niveau de la transformée par une rotation de phase proportionnelle au rang de l’échantillon.

5.3.9.3 Symétries

Souvent les signaux traités par TFD sont réels.

Si la suite s(k) est réelle, la transformée présente la symétrie hermitienne : )()( jSjNS

La partie réelle est paire et la partie imaginaire impaire. La propriété s’applique aussi à la transformée inverse. La transformée est réelle et paire si la suite s(k) est réelle et paire. Si la suite est réelle et impaire la transformée est imaginaire et impaire. Ces propriétés de symétrie sont importantes car tout signal réel peut être décomposé en partie paire et impaire.

5.3.9.4 Convolution circulaire

La TFD transforme le produit de convolution en produit simple. 1 1

0 02 21 1 1

0 0 0

2 2 ( ) 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ce qui permet de séparer les sommes imbriquées.

N N

l lk n k nN N Nj j

N N

k k l

k n k l n nlj j jN N N

s k h l e k l h k l e l

S n s k e h l e k l e

e e e

2 2 ( )1 1

0 0

1

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

nl k l nN Nj jN N

l l

NTFD

l

S n h l e e k l e H n E n

s k h l e k l S n H n E n

5.3.9.5 Théorème de Parseval

Considérons un signal complexe s(k) et calculons son conjugué : 21

0

1( ) ( )k nN j

N

ns k S n e

N



Calculons la puissance moyenne du signal. 21 1 1 1

2

0 0 0 0

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )k nN N N N j

N

k k k nP s k s k s k s k S n e

N N N N

21 1 1 12

2 2 20 0 0 0

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )k nN N N Nj

N

n k n nP S n s k e S n S n S n

N N N

La conservation de la puissance s’écrit 1 1

2 22

0 0

1 1( ) ( )N N

k nP s k S n

N N

La conservation de l’énergie dans les 2 domaines 1 12 2

0 0

1N N

k nW s k S n

N

5.3.10 Résolution : Le nombre d’échantillons est déterminé par la largeur de la fenêtre d’observation et la période d’échantillonnage. 0 0e eT N T et f N f

5.3.10.1 Résolution fréquentielle :

La résolution dans le domaine des fréquences est 0eff f

N .

Figure 5.3-15

Pour l’améliorer, il faut d’augmenter le nombre d’échantillons, en augmentant la largeur de la fenêtre.

Reprenons notre exemple (§5.3.3). 4,5( ) 0,5 2 sin 2s k kN

Figure 5.3-16

Figure 5.3-17

Doublons la largeur de la fenêtre avec la même fréquence d’échantillonnage.

Figure 5.3-18

Figure 5.3-19

Une autre solution consiste à ajouter au signal des échantillons à zéro ; cette méthode, appelée « bourrage de zéros », augmente artificiellement la période (largeur de la fenêtre) sans augmenter le temps d’acquisition. Reprenons notre exemple et doublons le nombre d’échantillons en ajoutant des zéros :

Figure 5.3-20



Figure 5.3-21

La résolution est améliorée. Pour approfondir étudiez le chapitre « Analyse Spectrale ».

5.3.10.2 Résolution temporelle :

Considérons le signal suivant et son spectre :

Figure 5.3-22

Figure 5.3-23

Pour augmenter la résolution temporelle, il faut interpoler les échantillons intermédiaires. Raisonnons dans le domaine fréquentiel et ajoutons des zéros au spectre en doublant ainsi le nombre d’échantillons :

Figure 5.3-24

Par transformation inverse :

Figure 5.3-25

On obtient le signal sur-échantillonné (x2). Ne pas oublier de multiplier par 2 pour conserver l’amplitude originale.

5.3.11 Relation matricielle 2 21 1

0 0

1( ) ( ) ( ) ( )k n k nN Nj j

N N

k nS n s k e s k S n e

N

2 1

0

( ) ( )Nj k nN

N Nk

posons W e S n s k W

Développons cette expression :

1 2 1

2 4 2 1

0 0 1 2 11 0 1 2 1

2 0 1 2 1............................................................

NN N N

(N )N N N

S( ) s( ) s( ) s( ) ..........s(N )S( ) s( ) s( ) W s( ) W ...........s(N ) WS( ) s( ) s( ) W s( ) W ...........s(N ) W

.........

21 2 1 11 0 1 2 1N (N ) (N )N N NS(N - ) s( ) s( ) W s( ) W ...........s(N ) W

Ces équations peuvent être mises sous forme matricielle :

2

1 2 1

2 4 2( 1)

1 2( 1) ( 1)

1 1 1 . 1(0) (0)1 .(1) (1)1 .(2) (2). . . . .... ...

( 1) ( 1)1 .

NN N N

NN N N

N N NN N N

S sW W WS sW W WS s

S N s NW W W

Les coefficients de la matrice sont les racines Nièmes de l’unité.



5.4 Transformée de Fourier rapide Les coefficients présentent des symétries qui permettent de simplifier le calcul et donc d’en réduire la durée. Lorsque N est une puissance de 2, le nombre de symétries est maximum et l’algorithme de Cooley et Tukey introduit la transformée de Fourier rapide TFR (FFT en anglais).

James COOLEY John TUKEY

5.4.1 Définition

Considérons une suite de N échantillons avec MN 2 . Nous prendrons comme exemple N=8. 5.4.1.1 Symétries et propriétés des racines Nièmes

Par exemple pour une TFR sur 8 échantillons :

0 1 2 38 8 8 8

2 21; 1 ; ; 12 2

W W j W j W j

4 5 6 78 8 8 8

2 21; 1 ; ; 12 2

W W j W j W j

Entrelacement temporel

Posons 2kp et séparons les échantillons pairs et impairs.

1 11 2 22 2 1

0 0 0

1 12 22 2

0 0

( ) ( ) (2 ) (2 1)

( ) (2 ) (2 1)

N NN k p pn n n

N N Nk p p

N N

p pn n nN N N

p p

S n s k W s p W s p W

S n s p W W s p W

2 22 2

2

npjpn np npNN N NW W e W

réel /axesymétrie

/originesymétrie

épériodicitllesexponentie des propriété

2

nN

nNN

nN

nN

N

nN

nlNN

nN

lN

nlN

WW

WW

WWWWW

Figure 5.4-1

1 12 2

0 02 2

( ) (2 ) (2 1)

N Np p

n n nN N N

p pS n s p W W s p W

12

0 2

12

0 2

(2 ) est la transformée des N/2 échantillons pairs

(2 1) est la transformée des N/2 échantillons impairs

N pn

Np

N p

nN

p

s p W

s p W

La transformée sur N échantillons est donc une combinaison linéaire des transformées des N/2 échantillons pairs et impairs.

Figure 5.4-2

Mais la symétrie entraîne : 2N n n

N NW W , le schéma peut être mis sous la forme :

Figure 5.4-3

Pour simplifier les graphes, nous représenterons cette combinaison linéaire par le schéma suivant :

Figure 5.4-4



Cette forme de schéma est appelé « Papillon » Mais N/2 est divisible par 2. On peut donc décomposer chaque TFR d’ordre N/2 en 2 TFR d’ordre N/4. Pour cela, il faut trier les échantillons pairs et impairs après division par 2.

Figure 5.4-5

La TFR d’ordre N/4 peut être décomposée en 2 TFR d’ordre N/8….etc..

Figure 5.4-6

0 1 2 38 8 8 8

2 21; 1 ; ; 12 2

W W j W j W j

Certains coefficients sont simples et ne nécessitent pas de multiplication : 0 2

8 81; .W W j

En remplaçant par les valeurs et en remarquant qu’une multiplication par 1 n’en est pas une, le schéma devient :

Figure 5.4-7

En remplaçant ces coefficients par leurs valeurs :

5.4.1.2 Code binaire inversé

Le calcul de la TFR fait intervenir un ordre des échantillons différent de l’ordre habituel. En effet nous avons trié les échantillons selon la parité de leur indice (bit LSB 0 ou 1), puis à l’intérieur de chaque groupe selon la parité de l’indice divisé par 2 etc... Cette opération de tri revient à inverser l’ordre des échantillons en inversant les bits des indices :

71111117611001133011110620100102

51011015410000111001100400000000

5.4.1.3 Durée du calcul

N est une puissance de 2 : )()(log2 2 NlbNMsoitN M

Le calcul de TFR présente M phases ; dans chaque phase le calcul comprend N/2 multiplications et N additions.

Donc pour une TFR, il faut )(2

NlbN multiplications et )(NlbN additions.

La TFR réduit donc considérablement la durée des calculs pour des transformées sur un grand nombre d’échantillons.

5.4.1.4 Entrelacement fréquentiel

Il est possible de calculer la TFR sans entrelacer les échantillons temporels. Elle prend alors une autre forme, le papillon étant inversé. Les échantillons fréquentiels sont alors entrelacés.



5.4.1.5 TFR base 4

Il existe une TFR à base 4 (Traitement numérique du signal Maurice BELLANGER (Dunod) )

5.4.2 Limitations Les nombres complexes en informatique sont constitués de 2 nombres réels.

5.4.2.1 Arrondi des coefficients

Les coefficients de la TFR sont les racines Nièmes de l’unité. Nnkj

e2

. L’arrondi porte sur les parties réelles et imaginaires. Si ces nombres sont codés sur bc bits, l’erreur d’arrondi sur le coefficient complexe est :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 CbR I R Ink nk j nk avec nk nk

Dans le domaine fréquentiel, l’erreur sur la valeur calculée est 1( ) ( ) ( )

kn x k nk

N

2 2

2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) . ( ) ( ) ( , )

( , ) 2 2 C

lk lkj jN N

l k l

lkjN

l k l

bm

Or x k X l e n X l e nkN

n X l e nk X l l nN

l n peut être majoré

Cette dernière valeur est surestimée. En fait pour N>64, Cbm

26,0

l

mml

m xlXlXn )0()()()(

5.4.2.2 Bruit de calcul

La quantification des échantillons apporte du bruit. Si les nombres sont cadrés entre -1 et +1, le

quantum est : 12 22

I

I

bb

si bI est le nombre de bits des mémoires internes destinées au calcul.

Le bruit de calcul évalué sur chaque sortie est 2bqsP .

Dans le calcul de la série 21

0

1 j knNN

n kl

S s eN

on divise par N qui est une puissance de 2.

Pour éviter les débordements mémoire, il est prudent de faire des recadrages avant les multiplications. Comme il faut diviser par N=2M , on divise par 2 à chaque niveau du calcul de la

TFR. Dans ce cas, le bruit de calcul évalué sur chaque sortie est 2

12bqsP N .

(Cf Traitement numérique du signal Maurice BELLANGER (Dunod) )

5.4.3 Analyse spectrale 5.4.3.1 Fonction de filtrage

21

0( ) ( )

knN jN

kS n s k e

La TFD se comporte comme un banc de N filtres décalés de efN

. La démonstration figure en annexe.

Figure 5.4-8

Chaque filtre sélectionne une bande de fréquence autour de nnxN

Remarquons que la fonction de filtrage présente des zéros pour les autres fréquences analysées. En analyse spectrale, les coefficients S(n) calculés par la TFD ne représentent pas les échantillons du spectre du signal analogique. Les ondulations interviennent dans ce calcul et la valeur du coefficient calculé ne dépend pas que de la bande de fréquences sélectionnée. Pour diminuer l’amplitude des ondulations, on utilise une fenêtre d’apodisation (Hann, Hamming, Blackmann…..)

5.4.3.2 Décomposition

On démontre (voir Annexe) que les différentes fonctions de filtrage constituent une base de décomposition orthogonale. Cette propriété est utilisée dans les transmissions numériques, notamment pour l’ADSL et la TNT.

5.4.3.3 Résolution spectrale

Pour l’analyse spectrale, on utilise la série de Fourier discrète : 21

0

1( ) ( )knN j

N

kS n s k e

N

La fréquence d’échantillonnage étant choisie de telle sorte qu’il n’y ait pas de repliement, le nombre d’échantillons N détermine la résolution, puisque N est aussi le nombre d’échantillons fréquentiels. La durée d’observation doit prendre en compte la résolution en fréquence.

e

e

TNNf

f

1

Pour une analyse plus fine, il faut augmenter la durée d’observation et donc le nombre d’échantillons. Cette propriété est importante pour l’usage d’un oscilloscope numérique avec FFT.



5.4.3.4 Exemple :

Observons un signal composé de la somme de deux cosinus échantillonné.

Figure 5.4-9

1 2 1 2( ) 2 cos 2 1,6 cos 2 15 22,78s t f t f t avec f Hz et f Hz

Observons son spectre mono-latéral, tel qu’il serait tracé par un analyseur. La fréquence d’échantillonnage est de 256 Hz. Avec 16 échantillons :

Figure 5.4-10

Le spectre ne correspond pas à notre attente. La résolution est insuffisante 16eff HzN

.

Augmentons le nombre d’échantillons ; avec 128 échantillons :

Figure 5.4-11

Figure 5.4-12

La résolution est meilleure 2eff HzN

; on distingue sur le spectre 2 fréquences. Mais la valeur

moyenne et l’amplitude des raies ne sont pas exactes. Le problème vient de la durée d’observation qui n’est pas un multiple de la période ; la fenêtre rectangulaire crée des ondulations du spectre et des interférences dans le domaine fréquentiel. Lorsque la durée d’observation est multiple de la période du signal, les interférences disparaissent. Mais il est impossible de satisfaire cette relation pour un signal quelconque. C’est pourquoi, la solution réside dans la suppression des ondulations par une fenêtre de pondération (apodisation). Ces fenêtres (Hann, Hamming, etc…) ont été étudiées dans le cadre des fenêtres RIF. En utilisant une fenêtre de Hann,

Figure 5.4-13

Figure 5.4-14

Meilleure résolution, meilleure précision. Notamment la valeur moyenne est nulle ce qui correspond au spectre réel et l’amplitude des raies est plus proche de la valeur réelle. Avec 2048 échantillons, la fenêtre de Hann et un effet de zoom :



Figure 5.4-15

Les 2 fréquences sont bien distinctes et la précision sur les amplitudes est meilleure. Le spectre est souvent représenté sous forme d’un spectre continu, les échantillons intermédiaires étant calculés par interpolation.

Pour augmenter la précision, il faut augmenter la largeur de la fenêtre, c’est-à-dire le temps d’observation. Il est possible d’ajouter des échantillons nuls pour améliorer la résolution, mais aussi pour atteindre une puissance de 2 et utiliser un algorithme rapide.

5.4.4 Convolution 5.4.4.1 Déconvolution

Pour un système linéaire, le signal de sortie est le produit de convolution de l’entrée par la réponse impulsionnelle du système.

)()()()(

)()()()()()()()(

1

1

0

kenHnSnE

nEnHnSlkekhkekhks

TFD

N

l

TFD

La TFD et son inverse permettent de réaliser la déconvolution. Cette application est utilisée en imagerie médicale, notamment dans la construction de l’image du scanner et en restauration de vieux enregistrements. Dans ce cas, la connaissance de la fonction de transfert du système d’enregistrement permet de retrouver l’entrée originale.

5.4.4.2 Calcul de TFD par convolution

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

21 122 2

0 0

( ) ( ) ( )1 12 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

2 2

1( ) ( ) ( )2

' ( ) ( ) ( )

( ) ( )

knN Nj nkNN

k k

n k n k n k n k n k n kN Nnk

N N N N N N N N N Nk k

n k

N N

S n s k e s k W en remarquant que nk n k n k

W W W W d où S n s k W W W W s k W W

S n W s k W

2 2 2 2( )1

2 2 2 2

0( )

n k n k kN

N N N Nk

W W s k W W

La TFD peut être calculée par convolution. Ce calcul peut être réalisé par des dispositifs échantillonnés à transfert de charge fonctionnant à fréquence élevée. Utilisation dans les radars.

5.5 Transformée en cosinus 5.5.1 De la TFD à la TCD

5.5.1.1 Signal

Considérons un signal numérique :

Figure 5.5-1

Et sa transformée en série discrète de Fourier :

Figure 5.5-2

Le développement en série de Fourier discrète du signal choisi présente de nombreuses raies. Si l’on veut reconstruire le signal par transformation inverse, il faut conserver toutes les raies. Ceci est dû au fait que la SFD est échantillonnée et porte sur un signal périodique. Observons le signal périodique en question :

Figure 5.5-3

Le signal présente une variation brusque de valeurs qui, on le sait, se traduit par des fréquences élevées dans le domaine spectral.

5.5.1.2 Signal symétrique :

Considérons un signal pair construit à partir du signal précédent par symétrie.

Discontinuité



Figure 5.5-4

Et son développement en série de Fourier :

Figure 5.5-5

Le spectre est beaucoup moins riche et quelques raies suffisent à reconstituer le signal. Le signal est décomposable en somme de cos. Cette propriété est utilisée dans la TCD (DCT en anglais).

5.5.2 Transformée en cosinus discrète DCT Observons le développement en cosinus du signal de base :

Figure 5.5-6

Peu de raies sont nécessaires à la reconstitution. Si on ne conserve que les raies supérieures à 1, on obtient les coefficients (réels) ci-dessus (seuillage).

Et voici le signal reconstitué à partir des 4 coefficients non nuls par DCT inverse :

Figure 5.5-7

Pas mal !!! ça c’est de la compression !!

5.5.2.1 TFD cos et TFD sin

Considérons la TFD ; les échantillons et les coefficients sont complexes.

Nknks

Nj

Nknks

NnS

enSkseksN

nS

N

k

N

k

NknjN

l

NknjN

k

2sin)(12cos)(1)(

)()()(1)(

1

0

1

0

21

0

21

0

On peut donc décomposer la TFD en deux transformées réelles :

ée transformla de imaginaire partie2sin)(1)(

ée transformla de réelle partie2cos)(1)(

1

0

1

0

Nknks

NnI

Nknks

NnR

N

k

N

k

Il s’agit en fait d’un développement en série selon notre définition de la transformée. Nous garderons le nom de TCD habituellement utilisé.

5.5.2.2 TCD

Si le signal est pair, la TFD sin est nulle ; il est décomposable en cos. La transformée en cosinus discrète découle de la TFD avec quelques modifications.

Etalement du signal en introduisant N échantillons nuls, ce qui comprime le spectre dans les basses fréquences.

Décalage d’un échantillon. Symétrie pour rendre le signal pair.

On obtient un spectre à 4N échantillons qui présentent une double symétrie car le signal est réel et pair. Le spectre est donc réel et pair. Et périodique ! N échantillons suffisent. D’où la définition de la TCD :

01)(2

1)0(

212cos)()()(

212cos)()(2)(

1

0

1

0

nnCetCavec

NknnSnCks

NknksnC

NnS

N

l

N

k



5.5.2.3 Relation avec la TFD

)(Im42cos)(Re

42cos)( NTFD

NkNTFD

NkNTCD

La transformée en cosinus peut être calculée à partir de la TFD.

5.5.3 Transformée bidimentionnelle 5.5.3.1 Expression de la transformée :

01)(2

1)0(

21222cos

21121cos)2,1()2()1()2,1(

21222cos

21121cos)2,1()2()1(4)2,1(

1

02

1

01

1

01

1

022

nnCetCavec

Nkn

NknnnSnCnCkks

Nkn

NknkksnCnC

NnnS

N

n

N

n

N

k

N

k

5.5.3.2 Application aux images :

La transformée s’applique à une image. Considérons une photo noir et blanc et un carré de 8 x 8 pixels. Les valeurs des pixels (luminance) sont placées dans une matrice 8 x 8.

Figure 5.5-8

198

210

251

242

243

250

251

253

200

216

253

238

239

246

250

250

197

221

255

245

250

251

255

255

200

200

173

139

141

146

145

153

200

198

121

43

1

23

22

18

198

204

186

102

28

21

44

17

198

197

208

159

74

25

43

42

199

199

202

203

127

54

24

45 Figure 5.5-9

La transformée en cosinus bidimensionnelle fournit une matrice 8 x 8 dans laquelle les coefficients les plus importants sont regroupés en basse fréquence. Matrice de la transformée et représentation 3D :

326

64

6

19

8

2

1

1

104

75

7

9

5

4

3

2

43

12

26

9

10

3

1

0

43

21

15

1

10

3

1

0

22

6

5

7

3

5

1

4

14

9

4

3

1

1

0

2

12

5

6

1

1

0

1

0

4

1

1

1

1

1

1

1 Figure 5.5-10

La transformée inverse permet de reconstituer l’image sans perte de définition :

197

209

251

241

243

249

251

252

199

215

253

237

239

245

250

249

197

221

255

244

250

250

255

254

199

199

172

138

141

145

145

152

200

198

121

43

1

22

22

17

197

203

185

101

27

20

43

16

198

197

208

159

74

24

43

42

198

198

201

202

126

53

24

44 Figure 5.5-11

5.5.4 Compression JPEG La compression JPEG (Joint Photographic Expert Group) est destinée au traitement des images fixes complexes comme les photographies. Le traitement est effectué en plusieurs étapes :

5.5.4.1 Rotation de l’espace couleur

Une image est composée de pixels organisés en lignes et colonnes. Le fichier associé à l’image composée de points (BMP) contient les informations couleurs sous la forme de 3 nombres coordonnées de la couleur dans l’espace des couleurs primaires RVB. Ces coordonnées sont exprimées sur 8 bits (dans la plupart des cas). L’image RVB est transformée en luminance Y et chrominances rouge CR et bleu CB.

BVR

CCY

B

R

5,033,017,008,042,05,0

11,059,030,0

L’image peut être décomposée en 3 plans, chacun d’eux correspondant à une «couleur ». La luminance contient beaucoup plus d’informations que les chrominances. L’œil est plus sensible aux variations de luminosité. Le nombre de pixels des plans de chrominances est divisé par 4, ce qui réduit la taille du fichier.

5.5.4.2 TCD-2D

Chaque composante exprimée sous 8 bits est diminuée de 128 pour centrer les valeurs autour de 0.

Chacun des 3 plans , ,R BY C C est découpé en carrés élémentaires 8x8 auxquels on applique une transformée en cosinus bidimensionnelle.



Les coefficients de la matrice obtenue ont des valeurs plus élevées dans les basses fréquences ; l’œil est moins sensible aux fréquences élevées. On applique donc une quantification en utilisant une matrice de coefficients.

La quantification est obtenue par division euclidienne de chaque valeur de la transformée par l’élément correspondant de la matrice. La matrice de quantification détermine le taux de compression. Par exemple, après quantification, la matrice de la transformée devient :

Figure 5.5-13

5.5.4.3 Lecture en zig-zag

Les valeurs sont lues en zig-zag pour sérialiser les données.

Figure 5.5-14 Les données séries qui contiennent beaucoup de zéros, sont codées en RLE (Run Length Encoding) ce qui comprime le fichier.

1 1 2 4 8 16 32 64

1 1 2 4 8 16 32 64

2 2 2 4 8 16 32 64

4 4 4 4 8 16 32 64

8 8 8 8 8 16 32 64

16 16 16 16 16 16 32 64

32 32 32 32 32 32 32 64

64 64 64 64 64 64 64 64

Figure 5.5-12

Un codage de Huffman permet une réduction supplémentaire.

5.5.4.4 Décompression

La décompression se fait en inversant la procédure.

Figure 5.5-15

Le résultat obtenu dans notre exemple en noir et blanc montre une perte de définition.



5.6 Annexes 5.6.1 Fonctions de filtrage

21

0( ) ( )

knN jN

kS n s k e

Considérons les échantillons de la TFD et commençons par le plus simple 1

0(0) ( )

N

kS s k

S(0), somme des N échantillons, peut être considérée comme un produit de convolution, c'est-à-dire le résultat d’une opération de filtrage.

Considérons la fenêtre échantillonnée 1

00

( ) ( )N

km δ m k

,

Figure 5.6-1

Et le produit de convolution : 1

0 00

( ) ( ) ( ) ( )N

lm s m l m s m m

.

S(0) est une valeur du produit de convolution 1

0(0) ( ) ( 1)

N

kS s k N

.

Etudions la fonction de filtrage associée à la fenêtre échantillonnée, sa transformée de Fourier.

1 1

2 2 20 0

0 0( )

N N mj m x j m x j x

m m mx m e e e

C’est une série géométrique dont on peut calculer la somme : 1

0

11

NNm

m

aaa

2

0 2

1( )1

j x N j x N j x N j x N

j x j x j x j xe e e exe e e e

En appliquant la relation d’EULER, l’équation devient :

( 1) ( 1)0

sin( ) sin( )( ) ( ) ( )sin( ) sin( )

j x N j x NN x N xx e e x avec xx x

( )x est la transformée de Fourier de la fenêtre échantillonnée recentrée ; en effet le terme

( 1)ej T f Ne est la transformée d’un décalage temporel de 1

2 eN T

.

Figure 5.6-2

eS x est la transformée du signal échantillonné s k , x la transformée de m .

0ex S x x .

Calculons S(0) par transformation inverse :

12

2 1

12

(0) ( 1) j N xS N x e dx

2 1 2 1 1 2 10

j N x j N x j N x j N xe ex e S x x e S x x e e

Si on considère le signal s(k) centré sur l’origine (avec un décalage de 1

2 eN T

), sa transformée est

1j N xc eS x S x e .

12

12

(0) ( 1) cS N S x x dx

Le coefficients S(0) est l’intégrale du produit du spectre du signal filtré par la fenêtre échantillonnée (recentrés). Pour les autres indices, on démontre de même façon :

1 2

0

1 1 22 ( )( 1)2

0 0

kmN jN

nk

knk n nN N j xj j x Nj m x NN Nn

k k

m e δ(m - k)

nx e e e e xN

S(n) représente l’intégrale du signal s(t) filtré par la fonction n(f) décalée dans le domaine

fréquentiel de nnxN

.

La TFD peut être considérée comme un banc de N filtres décalés de efN

.

0

sinsinsin sinn

N x nN xx x

x x n



Figure 5.6-3

5.6.2 Base orthogonale Considérons 2 fonctions de filtrage.

Le produit scalaire de 2 fonctions est défini par 1

0n m n mx x x x dx

Observons par exemple le produit 5 7x x x . La surface limitée par la courbe et l’axe

est visiblement nulle et le calcul numérique le confirme. 1

0

0x dx

Figure 5.6-4

Quelques soient les fonctions de filtrages, le produit scalaire est nul si les indices sont différents.

0n mx x si n m

La démonstration générale est longue et compliquée. Les fonctions de filtrage sont orthogonales (produit scalaire nul). Elles constituent une base de décomposition orthogonale finie.

Le signal est décomposé en une somme de sinusoïdes de fréquences multiples de efN

possédant un

nombre entier de périodes. L’amplitude de la sinusoïde est un nombre complexe ; son module constitue son amplitude réelle et l’argument sa phase. Cette propriété est utilisée en transmissions numériques, notamment pour l’ADSL et la TNT (Cf_ELE113 Bases de transmissions numériques).

5.6.3 Signaux complexes 5.6.3.1 Signal analytique

Considérons un signal sinusoïdal : 0 00 00 0( ) cos

2 2j t j tA Ac t A t e e

Dans le plan complexe, un signal sinusoïdal de fréquence 0f peut être décomposé selon la formule d’Euler en somme de deux exponentielles imaginaires représentées par deux vecteurs. Ces vecteurs tournent en sens inverses à la vitesse angulaire 0 pour l’un et 0 pour l’autre.

Figure 5.6-5

Simplifions la figure, en considérant c(t) comme la projection du vecteur 0pj tA e . On associe donc

au signal c(t), le vecteur tournant (phaseur) à vitesse positive.

Le signal complexe associé 00( ) j tc t A e à fréquence positive, est appelée signal analytique.

( ) ( )c t Partie Réelle c t .

Calculons la transformée de Fourier du signal c(t) : 0 0

2 2p pA AC f f f f f

Figure 5.6-6

Le signal analytique est représenté dans le domaine fréquentiel par le double de sa composante positive.

Généralisons à des signaux réels quelconques qui présentent donc la symétrie hermitienne. Leur spectre est bilatéral, avec un module pair et un argument impair.

Figure 5.6-7



Considérons la partie du spectre située dans les fréquences positives ( )S f et celle qui est située dans les fréquences négatives ( )S f . Le signal analytique a(t) est le signal complexe associé à s(t) de transformée de Fourier égale au double de la partie positive.

Figure 5.6-8

Pour obtenir ce spectre, multiplions le spectre du signal réel par le signe de la fréquence et additionnons. Nous obtenons A(f), transformée du signal analytique.

( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A f S f S f S f S f S f S f signe f S f

Mais la fonction signe(f) n’est pas réalisable dans le domaine temporel.

Considérons un déphaseur de 2

. Cette fonction H(f) est appelée transformée de Hilbert.

En complexe, elle s’exprime par la fonction mathématique ( ) ( )H f j signe f .

On en déduit A f S f j H f S f

Soit ŝ(t) le signal déphasé :

ˆ( ) ( ) ( )TFs t j H f S f Figure 5.6-9

Le signal analytique associé à s(t) est le signal complexe : ˆ( ) ( ) ( )a t s t j s t .

Figure 5.6-10 Tout ce qui vient d’être expliqué peut être transposé aux signaux numériques. Le traitement numérique permet donc de créer et de traiter des signaux complexes. Les applications sont importantes dans la mesure où le spectre de ces signaux est unilatéral ; une modulation d’amplitude est donc à une bande latérale unique. Application à la Télévision Numérique Terrestre.

5.6.3.2 Signaux numériques complexes

Nous avons considérés des signaux réels. Mais il est possible de définir des signaux échantillonnés complexes. Dans ce cas chaque échantillon est défini par une valeur réelle et une valeur imaginaire. Ces signaux complexes sont utilisés dans le cas des signaux analytiques. Les signaux réels présentent la symétrie hermitienne. Leur spectre est bilatéral, avec un module pair et un argument impair. Connaissant cette symétrie, la moitié du spectre suffit pour le reconstituer.

5 Transformée de Fourier Discrète -...

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