124

5 La fibre à gradient d’indiceNous avons vu au chapitre précédent que la fibre monomode à saut d’indice a une dimension très petite.

Lorsque cette fibre est plus grosse et qu’elle est multimode, on a montré que les modes ont des vitesses de groupetrès différentes et qu’il en résulte alors une faible largeur de bande. Il est vrai qu’aujourd’hui les problèmestechniques associés à la fibre monomode sont principalement résolus. Cependant, pour certaines applications à venirtel l’ordinateur optique, on croit devoir utiliser des fibres optiques de dimensions beaucoup plus grandes que lesdimensions actuelles des fibres monomodes tout en conservant une grande largeur de bande.

La fibre à gradient d’indice convergent permet d’uniformiser la vitesse de groupe des divers modes et ainsi,augmenter de beaucoup la largeur de bande d’un tel lien optique dans un système de communication. Signalons aussique de tels milieux optiques à gradient d’indice (voir figure 5.1) sont devenus aujourd’hui des éléments optiquesimportants (par exemple, GRIN) aussi bien en communication qu’en imagerie optique.

FIGURE 5.1 : Exemples de différents profils d’indice de réfraction pour une fibre avec un cœur non-uniforme

Dans ce chapitre, nous aborderons l’analyse de la fibre à gradient d’indice en rappelant d’abord ladécomposition de ses modes en modes polarisés linéairement –LP (section 5.1)- sous les conditions de faible guidageet de faible gradient d’indice. Pour compléter ce modèle électromagnétique, nous résoudrons l’équation radiale desmodes LP pour le cas de la fibre à gradient d’indice parabolique (section 5.2). Nous ferons par la suitel’approximation du milieu non-limité pour obtenir une solution plus élégante, en termes des fonctions de Laguerre-Gauss (section 5.3).

Par la suite, nous introduirons à la section 5.4 les principes de l’optique géométrique pour l’étude des modesd’un milieu à profil d’indice général. Nous compléterons cette analyse par l’étude de la fibre parabolique pour biendégager le lien entre les concepts de l’optique géométrique et de la théorie électromagnétique (section 5.5). À lasection 5.7, nous déterminerons, au moyen de la méthode géométrique, le profil d’indice optimal qui permetd’uniformiser les vitesses de groupe. Enfin, le calcul de la largeur de la bande de la fibre à profil optimisé seraeffectué à la section 5.7. À l’annexe 5A, on trouvera l’essentiel du modèle de l’optique géométrique pour lapropagation des rayons dans un milieu d’indice variable. L’annexe 5B présente l’analyse exacte de la fibre SELFOC.

125

5.1 Modes polarisés linéairement (LPl,p)Pour la fibre à saut d’indice, nous avons montré au chapitre précédent que les modes TEm, TMm ainsi que

les modes HEm+1 et EHm-1 avaient pratiquement la même constante de propagation β lorsque la fibre était

faiblement guidée (n1 ≅ n2). Cette dégénérescence a permis de grouper diverses composantes cylindriques des champE et H et d’obtenir des modes polarisés linéairement LP, c’est-à-dire des modes dont les composantes sontimportantes seulement dans la direction transverse à la direction de propagation.

Le tableau 4.4 montre la structure du mode LP polarisé en y/x. On note que la composante transverse duchamp magnétique est reliée à la composante transverse du champ électrique par une relation d’impédance et que ladirection de propagation z est donnée par le produit vectoriel des composantes transverses.

On a donc une onde TEM comme solution. Cette solution se décompose pour les champs transverses en unepartie angulaire sin (l )0φφ + et une partie radiale Jl (ur) dans le coeur et Kl (wr) dans la gaine. L’équationcaractéristique qui permet de déterminer la constante de propagation β des modes LPl p est obtenue en s’assurant de

la continuité de la solution radiale à l’interface coeur/gaine ainsi que la continuité de la dérivée de la fonction radiale.On note aussi que la composante transverse des champs obéit en fait à l’équation d’onde

Ψ+Ψ∇ 20

22 kn =0 (5.1)

dans le cœur n1 et dans la gaine n2. Ceci n’est pas surprenant puisqu’on sait déjà qu’en coordonnées cartésienneschacune des composantes des champs doit obéir à l’équation d’onde. Il serait donc possible pour la fibre à sautd’indice d’obtenir immédiatement le tableau 4.4.

Cependant, il n’est pas possible avec une seule composante transverse des champs d’assurer la continuitédes composantes tangentielles à l’interface cœur /gaine. L’analyse exacte des modes nous a donc appris que souscertaines condition de faible guidage que les conditions aux limites pouvaient se réduire à celles des modes LP.

En présence d’un profil d’indice, un guide d’onde optique possède encore des solutions modales TE, TM ,EH et HE. Cependant, la présence du terme ∇n dans les équations de Maxwell introduit un couplage de ces diversmodes qui rend l’analyse très complexe [9]. Cependant lorsque le gradient d’indice est faible, on a mentionné auchapitre 2 que dans ce cas l’équation d’onde (5.1) rend très bien compte des solutions électromagnétiques. De plus, ila été démontré [10] qu’en présence d’un faible guidage (n1 ≅ n2) que la décomposition en mode LP était encorejustifiée et que les conditions de continuité à l’interface se réduisaient à la continuité de la solution radiale et de sadérivée.

On écrit alors la solution de l’équation d’onde (5.1) sous la forme

z -j0 e )( cos (r) R βφφ +=Ψ l (5.2)

où 0φ = 0 ou 2/π

La fonction radiale R (r) est une solution de l’équation suivante :

0R r

(r)n kdr

dR

r

1

dr

Rd2

2222

02

2

=

−−++ l

(5.3)

On a ici supposé que l’indice n était une fonction uniquement de la coordonnée radiale ce qui esthabituellement le cas des fibres optiques.

La constante de propagation sera obtenue de la continuité de la solution radiale R à l’interface

(R(a))cœur=(R(a))gaine (5.4)

126

et de sa dérivée

gainea r

coeura r dr

dR

dr

dR==

=

(5.5)

La composante Ex (ou Ey) du champ électrique sera donnée par la solution de �GDQV� OH�Fœur et la gainealors que la composante Hy (ou Hx) du champ magnétique sera donnée par la relation d’impédance +y = Ex où estl’impédance du milieu. Notez que les composantes axiales des champs Ez et Hz sont très petites en comparaison avecles composantes transverses.

On a encore une onde quasi-TEM polarisée selon x/y ou selon y/x, de plus pour chacune de cespolarisations il existe généralement (sauf l =0) deux distributions angulaires possibles correspondant au choix de

0φ ( 0φ = 0 ou 0φ = 2/π ).

5.2 Fibre à profil parabolique généraliséeL’extension que nous venons de faire du concept des modes polarisés linéairement (LP) pour les fibres à

profil d’indice simplifie grandement l’analyse de ce type de fibre. Généralement, le profil d’indice du cœur ne peuts’écrire sous une forme mathématique simple menant à une solution connue de l’équation radiale. On doit alorsrésoudre numériquement l’équation radiale avant d’obtenir la constante de propagation au moyen des équations decontinuité (5.4) et (5.5). Il est cependant utile d’obtenir des solutions exactes pour divers profils afin de pouvoirdiscuter simplement de l’effet du profil d’indice. Le profil parabolique d’indice amène une solution connue del’équation radiale. Nous étudierons ici le profil généralisé [11] suivant

>

≤≤

−

=

a r n

ar02N(1 n(r)n

22

)

2

a

r212 (5.6)

Ce profil est déterminé au moyen de deux paramètres soit le saut d’indice

1

2121

22

21

n

nn

2n

nn −≅−=∆

et le paramètre de forme

N=21

a1

nn

nn

−−

La figure 5.2 nous montre la variation du profil d’indice pour diverses valeurs du paramètre de forme N.Lorsque N est positif (5.2 : b, c, d) le profil est parabolique convergent. Pour des valeurs négatives de N le profildevient parabolique divergent (5.2 : e). Enfin le profil standard à saut d’indice se retrouve lorsque N devient nul(5.2 : a). L’étude de ce profil nous permettra de comparer l’effet d’un profil convergent par rapport à celui divergenttout en gardant selon un même modèle le profil à saut d’indice comme outil de référence. Notez qu’il faudra toujoursselon l’approximation des modes LP s’assurer que les paramètres ∆ et N soient choisis de sorte que l’approximationde faible guidage (n1 ≅ n2) et de faible gradient (n2 ≅ na) soient respectées.

127

FIGURE 5.2 : Variation du profil d’indice selon N

5.2.1 Solution mathématique du profilPour commencer, il nous faut résoudre l’équation pour la fonction radiale R(r) dans le cœur et dans la gaine

de la fibre. On utilise ici la même notation que pour la fibre à saut d’indice c’est-à-dire :

u2= 220

21 kn β−

w2= 20

22

2 kn−βet

V2= )n(n a k 22

21

220 −

128

Dans la gaine, n(r) = n2 et l’équation radiale (5.3) devient pour cette région :

0(r) R r

wdr

dR

r

1

dr

Rd2

22

2

2

=

+−+ l

Afin que les champs décroissent exponentiellement lorsque r ∞→ , on choisit comme les fonctions deHankel modifiées

(R(r))gaine=BKl(wr) (5.8)

où B est une constante à déterminer.

Dans le cœur, à cause du profil d’indice parabolique, l’équation radiale (5.3) devient :

0R ra

rNVu

dr

dR

r

1

dr

Rd2

2

4

222

2

2

=

−−++ l

(5.9)

Il est utile de définir que la variable normalisée ρ = r /a. Alors l’expression (5.9) est exprimée comme suit :

0R NV(ua)d

dR1

d

Rd2

2222

2

2

=

−−++

ρρ

ρρρl

(5.10)

Il existe deux solutions linéairement indépendantes pour cette équation. On rejette celle qui est infinie àl’origine et on conserve celle finie à l’origine. Nous avons alors

+

−=

+−

2

N4V

2(ua)

2

1

11NV

cœur NV

1

e A ))( (R2 ρρρ ρ

l

Fl

l

(5.11)

où A est une constante et 1F1 une fonction hypergéométrique confluante [12] définie par la série de puissancesuivante :

1F1 ∑∞

= ++

=

0

n

0

0

0

0

0

0

n!

x

n)�E

n)�D

)�D

)�E x

b

a

n

(5.12)

L’application de la condition de continuité de R et de sa dérivée première, à r = a, nous conduit à uneéquation caractéristique qui nous permettra de trouver la relation entre (ua) et V, c’est-à-dire de déterminer ainsi laconstante de propagation β en fonction du paramètre V de la fibre à profil parabolique. On comprend qu’il faudra

encore recourir aux calculs numériques et aux abaques pour poursuivre l’analyse.

Lorsque le profil est divergent (N < 0), le terme N devient imaginaire ce qui amène, dans la série depuissance de la 1F1, à des fonctions gamma avec des arguments complexes. Il s’ensuit que ce développement en sériede puissance n’est pas très pratique. On préfère plutôt utiliser un développement en série de fonctions de Bessel [12]pour cette fonction 1F1 et on montre alors que :

(R( ρ ))cœur=A ∑∞

=0m

C m ρ mJl+m(ua ρ ) (5.13)

129

où A est une constante (différente de la précédente) et où les coefficients Cm sont calculés au moyen de la relation derécurrence suivante :

(m+3)Cm+3=

−++ + m1m2

2

C 2

(ua)C 2)m(

(ua)

NVl (5.14)

avec C2=2

)1(

(ua)

NV2

2 +l

C1=0

C0=1

Les fonctions de Bessel sont disponibles sur presque tous les ordinateurs d’aujourd’hui, il s’ensuit quel’évaluation de la fonction radiale est facile.

L’application des équations de continuité (5.4) et (5.5) nous amène à résoudre les équations suivantes pourdéterminer les constantes A et B :

A ∑∞

=0m

C mJl+m(ua)=BKl(wa) (5.15)

A ∑∞

=0m

C m[mJl+m(ua)+(ua)J’m+l

(ua)]=B(wa)K’l (wa) (5.16)

Ce système d’équation a une solution non-triviale si son déterminant est nul ; ceci mène à l’équationcaractéristique suivante :

E.C. (ua) Kl (wa) ∑∑∞

=+

∞

=−−+ −=

0mmm

0m11mm (ua)J CK (wa)(ua)J C lll (5.17)

Pour la fibre à saut d’indice, le paramètre N est nul ; l’équation de récurrence (5.14) nous donne alors quetous les coefficients Cm sont nuls sauf le premier. On retrouve alors bien l’équation caractéristique des modes LP(4.69) à partir de l’équation caractéristique (5.17).

5.2.2 Étude comparative de divers profilsL’intérêt premier d’une fibre optique à profil d’indice est d’essayer de déterminer un profil d’indice qui

permettra de diminuer la dispersion modale de la fibre à saut d’indice afin de pouvoir utiliser des fibres de granddiamètres. Pour diminuer la dispersion intermodale, nous savons maintenant qu’il faut égaliser les vitesses de groupedes divers modes. La figure 5.3 nous montre trois tableaux de vitesses de groupe pour une fibre optique à sautd’indice (5.3a), une fibre à profil divergent N = -1 (5.3b) et enfin une fibre à profil convergent N =1 (5.3c).

130

FIGURE 5.3 : Variations des vitesses de groupe pour un saut d’indice (a), pour un profil divergent (b) et pour unprofil convergent (c) en fonction de V.

131

Il est évident que le profil convergent tend à égaliser les vitesses de groupe à haute fréquence (V >> 1). Ceprofil est donc important pour la réalisation de fibres à large bande et ayant un diamètre (2a) grand (V >> 1). Lors del’analyse géométrique de la fibre (section 5.4) nous reviendrons plus en détail sur les propriétés de cette fibre.

Pour une opération monomode la fibre à profil divergent présente un certain intérêt. Par exemple, commeon peut l’observer sur la figure 5.4, la distribution du mode fondamental d’une fibre divergente (N< 0) est plusuniforme dans la région du cœur que celle d’une fibre à saut d’indice (N = 0) et que celle d’une fibre à profilconvergent (N>0). La figure 5.5 montre l’évolution de cette distribution du mode fondamental pour diversesfréquences normalisées V. On réalise que la distribution va en élargissant lorsque V croît pour atteindre un plateau àun certain V0 et par la suite, le centre de la distribution se creuse vers les hautes fréquences (voir exercice 5.1). Ladispersion du guide d’ondes des fibres à profil convergent et divergent peut être estimée au moyen du graphique duparamètre de dispersion universelle D(V) ((4.42) et (4.43)) de la figure 5.6. Près la fréquence de coupure Vc , ladispersion du guide d’ondes des fibres est sensiblement la même. La fréquence de coupure du mode LP11 peut êtreobtenue du graphique de la figure 5.7.

FIGURE 5.4 : Distribution du mode fondamental selon N pour V= Vc (LP11)

132

FIGURE 5.5 : Évolution du mode fondamental en fonction de V

FIGURE 5.6 : Paramètre de dispersion universel D(V)

133

FIGURE 5.7 : Fréquence de coupure en fonction de N

Enfin signalons que la figure 5.4 nous indique que pour N=1, que le mode fondamental est presqueentièrement contenu dans le cœur de la fibre. Ceci est d’ailleurs bien mis en évidence sur le graphique de la figure5.8 où on estime à 95% le rapport de la puissance dans le cœur sur la puissance totale à la fréquence de coupure. Oncomprend ici que la gaine sert peu au guidage dans une fibre à profil convergent lorsque la fréquence V estsuffisamment grande. Comme nous le verrons dans le cadre du modèle géométrique, le mode est presque entièrementguidé par le profil d’indice. Ces considérations nous amènent à la solution simplifiée de la section suivante pour lesmodes à profil convergent.

134

FIGURE 5.8 : Rapport de puissance pour différentes courbures

Exercice 5.1

Sur la figure 5.5, on note que la distribution atteint un plateau à une certaine valeur V0. Ceci veutdire que pour cette fréquence du mode LP01 (l = 0) que la dérivée première et seconde sont nulles.

À partir de l’équation d’onde radiale (5.10), déterminez pour quel paramètre (ua) ceci est-il possible.

Pour le paramètre (ua) trouvé en 1, vous pouvez montrer que la solution de l’équation d’onde (5.10)se réduit à :

R(p)=J0(Up2)

où U = ?

Ce qui correspond à une distribution toujours plus large que la distribution d’une fibre à saut d’indice.

5.3 Modes LP Laguerre-GaussDe l’étude de la section précédente, on comprend que le mode est guidé essentiellement par l’effet de la lentille

du profil et non par réflexion totale à l’interface lorsque le profil d’indice est convergent. Et ceci d’autant plus que leprofil s’étend sur une large dimension transverse. Lorsque le diamètre du cœur de la fibre (2a) est grand, on faitl’approximation que (2a) tend vers l’infini afin d’obtenir la simplification suivante : le domaine de la fonction radialeR( ρ ) de l’équation (5.11) s’étend alors jusqu’à l’infini et on doit ainsi exiger que cette fonction possède une

puissance finie entre 0 et ���&HSHQGDQW��RQ�PRQWUH�© facilement » (voir [12]) que cette fonction R(ρ ) – équation

(5.11)- n’est pas intégrable de 0 à l’infini. Pour palier à ceci, il faut limiter la somme que définit la fonction

135

hypergéométrique confluante 1F1 soit un polynôme, il suffit que son paramètre a0 soit un entier négatif. On exigealors que :

1)(p 4V

(ua)

2

1 2

−−=−+l,p=1,2,3,… (5.18)

Cette condition fixe le paramètre u et nous permet ainsi de calculer la constante de propagation β du mode

guidé :

)1(2p a

2Vk n

220

21

2 l+−−=β (5.19)

où l=0,1,2,…p=0,1,2,…

Par convention, on utilise la notation p , lβ ce qui veut dire que la constante de propagation β prend

plusieurs valeurs dépendantes de deux entiers ; le premier, l, est l’indice angulaire et p est l’indice radial. Notez quenous avons choisi N =1, puisque le facteur N∆ du profil (équation (5.6)) devient équivalent à un saut d’indice ∆ .

D’autre part, lorsque la condition stipulée à l’équation (5.18) est appliquée aux fonctions 1F1 –équation(5.11) - , ces dernières deviennent simplement des polynômes de Laguerre (voir [12]) et la fonction radiale R(p)s’écrit alors :

R(p)= )V( L e )V()!1(p

1)!(p (2V) 21-p

/2)(V-2/122/1

2

ρρ ρ l

l

+−−

(5.20)

où L l1p− (x) est la fonction généralisée des polynômes de Laguerre [12]. Le facteur de cette équation est tel que :

∫∞

=

0 1 d )( R )( R ρρρρ (5.21)

De plus, ces fonctions sont orthogonales c’est-à-dire que :

∫∞

=

0 pp’pp d )( R )( R δρρρρ ll (5.22)

Ces fonctions peuvent donc servir de base de développement d’une distribution quelconque de champ etpermettent une analyse modale d’un problème pratique, par exemple, le couplage de fibres.

La figure 5.9 permet de visualiser la distribution angulaire et radiale du vecteur densité de puissance ; nousavons tracé R(ρ �� �� �FRV��l� ��5� ρ ). Notez la dégénérescence (2p + l –1) de ces distributions ; pour chaque entier

M = (2p + l –1), il y a M distributions possibles qui ont la même constante de propagation.

136

FIGURE 5.9 : Patron modal pour quelques modes Laguerre-Gauss

Nous avons obtenu dans cette section, une solution modale simple et élégante pour la fibre à gradientd’indice parabolique convergent, en supposant que le cœur est très large (a � ��� FH� TXL� VLJQLILH� TXH� OH� SURILOparabolique illustré à la figure 5.2 s’extensionne très rapidement. Il faut bien noter que dans ce cas, notreapproximation n1 ≈ n2 devient de moins en moins bonne : cette fonction sera réaliste pour les modes qui ont unepuissance presque entièrement contenue dans le cœur, c’est-à-dire pour les modes d’indices l et p petits. En effet,lorsque l et p augmentent, on réalise (voir figures 5.9 et 5.10) que les modes possèdent une amplitude non-négligeable de plus en plus loin vers l’extérieur. En conclusion, ces solutions Laguerre-Gauss sont utiles etraisonnables pour des l et p qui ne sont pas trop grands.

137

FIGURE 5.10 : Polynômes Laguerre-Gauss ; a) l = 0, b) l =1, c ) l =2

Exercice 5.2

Mode fondamental gaussien

On vient de montrer que le mode fondamental pour un profil parabolique convergent de grand

diamètre (2a) peut s’écrire comme une gaussienne exp [-2

0w

r

] . La largeur type w0 est donnée par :

w0=aV

2

Pour la fibre optique à saut d’indice (voir exercice 4.6), on a discuté d’une approximationgaussienne du mode fondamental.

Comparez ces deux résultats et dites si un guidage par réflexion totale interne peut être plusefficace qu’un guidage par un profil convergent.

5.4 Modes LP et optique géométriqueDans un milieu à gradient d’indice la théorie de l’optique géométrique est utile pour déterminer la

trajectoire des rayons et ainsi visualiser l’écoulement de la puissance transportée. L’annexe (5A) rappelle comment

138

est déduite l’équation des rayons à partir des équations de Maxwell et de l’approximation de l’optique géométrique( λ << dimensions). Nous cherchons maintenant comment utiliser le modèle de l’optique géométrique pour visualiserla propagation des modes LP dans une fibre à profil d’indice n(r). Afin d’établir le lien entre les rayons de l’optiquegéométrique et les paramètres d’un mode LP rappelons d’abord que la distribution des champs transverses du modes’écrit au moyen d’une fonction scalaire Ψ , solution de l’équation d’onde (5.1). Les modes correspondent à dessolutions ayant un facteur de propagation de la forme e-j β z. Il faudra donc tenir compte de ce fait lors du calcul de latrajectoire des rayons modaux. Ceci peut se faire en tenant compte de ce facteur à travers la fonction de phase del’iconale

ϑ k -j0

0e Ψ=Ψ (5.23)

De plus, il faut se rappeler que les modes LPl , p ont été décomposés en solution radiale et azimutale cos(l )0φφ + où l = 0, 1, 2. On devra alors tenir compte de cette décomposition en imposant une forme e ±j l φ pourl’iconale. En résumé un mode LPl , p devra avoir un iconal de la forme

zk

k

(r) z) , ,(r 00

0βφϑφϑ +±= l

(5.24)

On cherche maintenant la trajectoire des rayons des modes LPl , p au moyen de l’équation (D.14) qui reliel’iconal et l’équation des rayons

ds

rdn

r

r

=∇ϑ (5.25)

On a donc que

zrzr a ds

dzna

ds

dnra

ds

drnaa

r

1a

r

rrrrrr

++=∂∂+

∂∂+

∂∂

φφφϑ

φϑϑ

z

Pour l’expression propre au mode LP de l’iconale (5.24), on déduit de (5.25) les trois relations suivantes

ds

drn

dr

d 0 =ϑ

(5.26)

ds

dnr

rk 0

φ=± l(5.27)

ds

dzn

k0

=β(5.28)

D’autre part, on a montré à l’annexe D (équations D.24 et D.25) qu’il y avait deux constantes C1 et C2 pour latrajectoire des rayons dans un milieu d’indice n(r) :

nr2

ds

dφ=C1 (5.29)

nds

dz=C2 (5.30)

Des équations (5.29) et (5.27), on détermine la constante C1 de la trajectoire des rayons pour le mode LPsoit;

139

C1=0k

1± (5.31)

et des équations (5.28) et (5.30), on trouve la constante C2 soit :

C2=0k

β(5.32)

La constante C1 est donc essentiellement reliée à l’indice azimutal l alors que la constante C2 est égale àl’indice effectif du mode. Le rapport dz/ds est égal au cosinus de l’angle entre la trajectoire et l’axe des z (cos γ ).

On peut donc aussi écrire :

γβ cosn k0= (5.33)

Cette dernière équation est complètement analogue à la définition de la constante de propagation pour unguide planaire selon le modèle géométrique. Cependant ici n varie selon la trajectoire, donc si on connaît γ pour un r

et un z donné, on peut évaluer β et par la suite suivre la trajectoire correspondante à ce mode de constante β . On

obtient alors les équations de la trajectoire des rayons du mode LP à partir des équations (D.31) et (D.32) et desconstantes C1 et C2 (5.31) et (5.32) :

z=z0+ drr

k n

1/2r

r 2

222

02

0

−

∫

−− lβ (5.34)

drr

k n r

1/2r

r 2

222

022-

00

−

∫

−−±= l

lφφ (5.35)

Les modes à symétrie de révolution (l = 0), dont en particulier le mode fondamental LP01, correspond à desrayons méridionaux puisque 0φφ = . Le signe ± devant l’intégrale de la trajectoire correspond à deux états depolarisation (x/y) et (y/x) qui deviennent ici une rotation vers la droite et vers la gauche des rayons hélicoïdaux.

De plus, la relation (5.26) qui permet de calculer la partie radiale de l’iconale 0ϑ (r) peut être écrite entermes de r et z en utilisant l’expression de la constante C2 (5.30), le résultat est :

=

dz

drC

dr

d2

0ϑ(5.36)

L’équation de la trajectoire des rayons est donnée en (D.29). En remplaçant les constantes C1 et C2 pour lemode LP on trouve :

drr

k n k

1r)(

1/2r

r 2

222

02

00

0∫

−−= lϑ (5.37)

Finalement, on peut conclure que selon le modèle géométrique, la solution radiale d’un mode LP guidé doitêtre de la forme

(R(r))géo.=edr

rk n j-

1/2r0r 2

222

02∫

−− l

(5.38)

140

Sans encore spécifier la distribution d’indice n(r), on peut extraire plusieurs informations utiles sur lesmodes de cette solution approchée. En effet, notre connaissance des modes guidés de la structure plane ou de la fibrecirculaire à saut d’indice nous dit qu’un mode guidé doit avoir dans la région de guidage une forme d’ondestationnaire. La fonction radiale devra alors être une exponentielle imaginaire pure pour être de type cosinusoïdale.Ce sera le cas si la racine carrée de l’intégrale de l’équation (5.38) est réelle ou bien si

−−

2

222

02

rk n

l >0(5.39)

Dans le cas contraire, on a une exponentielle décroissante selon la direction radiale r. On associe ce type decomportement à une onde évanescente. Cette condition établit donc un lien simple entre le profil d’indice, laconstante de propagation et la région guidée.

FIGURE 5.11 a) : Profil d’indice parabolique dans le cœur

141

FIGURE 5.11 b) : Diagramme du mode LP0, p correspondant

FIGURE 5.12 a) : Diagramme des modes LPl, p

142

FIGURE 5.12 b) : Diagramme des modes LPl, p dans la région guidée (β = n0 k1)

Les diagramme de 0k

β en fonction de r permettent de visualiser le comportement d’une fibre avec un profil

quelconque n(r) (voir les figures 5.11 et 5.12). Nous distinguons deux types de modes : les modes LP0, p , quicomprennent naturellement le mode fondamental LP01 et les modes LPl, p. Pour le premier cas (c’est-à-dire l = 0), onsuppose que n(r) a une distribution de type parabolique à l’intérieur du cœur et une valeur constante pour r > a (voirfigure 5.11a). Nous aurons des modes guidés pour les valeurs de β qui satisfont n2k0 < < n1k0. On constate, par

exemple, que pour β = n0k0 où (n2 <n0 <n1), on a des modes guidés (comportement d’onde stationnaire) dans la

région du cœur comprise entre r = 0 et r = r0 et des modes évanescents pour r > r0 (voir figure 5.11b).

Lorsque l �����YRLU�ILJXUH�����D���OH�FRPSRUWHPHQW�FKDQJH�FRPSOètement puisque dans ce cas, le terme 2

r

1

de la relation (5.39) a pour conséquence que près de l’origine, les modes ne peuvent plus être guidés et deviennent

donc évanescents. Pour une fibre parabolique, la courbe atteint un maximum plus petit que n1 près du point V

al

.

Pour une valeur de β = n0k1, le mode est guidé uniquement dans la région du cœur situé entre r1 et r2 (voir figure

5.12b). Les modes sont par contre évanescents dans la région près du centre, de r = 0 jusqu’à r1 et pour r > r2 (voirfigure 5.12b).

Si nous choisissons une valeur de la constante de propagation (=3β n3k0) tel que n3 < n2 mais n3 > n4

(comme illustré à la figure 5.13), nous observons alors que le mode est évanescent de r2 à r3 et que par la suite, ildevient un mode radiatif puisque sa constante de propagation axiale 3β est plus petite que n2k0. Ce type de mode estqualifié d’onde de fuite parce que sa partie évanescente (région r2 à r3) draine sa puissance de la région guidée (r1 àr2) vers la région de radiation r > r3. On comprend alors que ce type de mode aura une certaine perte par radiation etqu’après une certaine distance de propagation, il ne fera plus partie de la structure guidée.

143

FIGURE 5.13 : Diagramme des modes LPl, p lorsqu’on considère les modes de perte et les modes radiatifs (β 3 = n3

k-0)

Enfin, pour toutes valeurs de la constante de propagation β plus petite que ( =4β n4k0), on ne peutretrouver n’importe quel mode guidé. Ces types de mode sont nommés : modes radiatifs ; cela signifie que ces ondesne subissent pas la réflexion totale à l’interface r = a ou bien qu’ils ont un angle à l’entrée trop grand et que le profild’indice n’est pas suffisant pour les guider. Ces modes radiatifs perdent rapidement leur puissance et au-delà d’unecertaine distance de transition, ils ne font plus partie de la structure guidée.

Les figures 5.14a et 5.14b permettent de visualiser ces trois régimes de pertes. Si, par exemple, on injecte àl’entrée (z =0) une certaine distribution de puissance autour d’une certaine longueur d’onde 0λ , on observe d’abordque sur une distance zR, la puissance perdue par la fibre est très grande et ce, sur une courte distance : c’est la régionoù les modes radiatifs, c’est-à-dire ceux qui n’ont pas un angle de réflexion totale, sortent de la structure guidante.

FIGURE 5.14 a) : Perte dans une fibre optique en fonction de la distance

144

FIGURE 5.14 b) : Perte dans une fibre optique en fonction de la distance

Par la suite, la puissance continue de décroître rapidement sur une distance zF : c’est la région où les modesde fuites perdent leur puissance par radiation dans la gaine. Cette région peut être de quelques mètres à plusieursdizaines de mètres, dépendant des conditions de couplage de la source à la fibre.

Finalement, après la distance zF , la perte devient très faible et est alors un effet de l’absorption du matériauet non plus un effet modal, à moins que certaines perturbations (épissures, courbure,...) ne viennent changer ladistribution modale. Dans ce cas, une autre région radiative et, par la suite, une région de fuite, peut s’établir.

Ce modèle simple permet de tirer certaines conclusions pour des fibres avec un profil n(r) quelconque. Afinde bien situer ces limites, nous allons l’appliquer à la fibre à gradient d’indice parabolique que nous connaissons déjàsuite à la solution de l’équation différentielle que nous avons traitée à la section 5.2 et par l’approximation deLaguerre-Gauss que nous avons vue à la section 5.3.

5.5 Fibre à profil d’indice paraboliquePour la fibre à gradient d’indice parabolique, la fonction radiale R(r) (donnée par l’équation (5.38))

devient :

(R(r))=edr

rr

a

Vu j-

1/2r0r 2

22

4

22∫

−− l

(5.40)

où u et V sont les paramètres usuels de la fibre.

Nous avons vu à la section précédente que cette fonction de phase est réelle pour des valeurs de r comprisesentre r2 et r1. On évalue les distances r2 et r1 en cherchant les racines de l’intégrant ; on vérifie alors que

2

224222

2V

V 4(ua)(ua)

a

r l−+=

(5.41a)

et

2

224221

2V

V 4(ua)(ua)

a

r l−−=

(5.41b)

145

Les distances r2 et r1 marquent les limites pour un mode guidé, principalement où l’onde est du typestationnaire. Si nous revenons au modèle géométrique pour les modes guidés dans une structure plane (voir chapitre3, section 3.1.7), nous avons vu que le changement de phase pour une onde plane, après une période, doit être unentier multiple de 2π (voir par exemple l’équation (3.42)). Dans le cas du guide plan diélectrique, il a fallut tenircompte du saut de phase à la réflexion totale (effet Goss-Hänchen), cependant, il n’y a pas ici de tel saut puisqu’iln’y pas d’interfaces diélectriques réelles sur les frontières r1 et r2. Par contre, nous pouvons montrer [9] qu’aux pointstournants (i.e. sur la caustique) il y a un saut de phase de π /2.

Ce rapprochement avec la solution géométrique du guide nous amène à conclure que si nous effectuonsl’intégrale de la phase (équation (5.40)) sur un parcours complet, nous aurons un mode guidé si le changement dephase est un certain multiple entier de 2π . Si nous effectuons le calcul de la phase entre les points r1 et r2, soit unedemie période, la différence de phase sera égale à un multiple entier de π plus un saut de phase de π /2 sur lacaustique. La condition de phase des modes de la fibre parabolique devient donc :

∫ −−+=2

1

r

r 2

22

4

22 dr

rr

a

Vu

2p

lππ oùp=1,2,3,… (5.42)

Cette condition est simplement :

=

π

2

1-p ∫ −−

2

1

r

r 2

22

4

22 dr

rr

a

Vu

l(5.43)

Cette dernière intégrale peut être résolue au moyen de tables : on montre que l’équation (5.43) peut êtreréduite à :

)0( arcsin 2

)1( arcsin 2V

(ua)

2

1-p

2 l−=

π

On choisit sin-1 (1) = π /2 et sin-1 (0) = π pour obtenir que

(ua)2=2V[2p+l-1]

La constante de propagation est alors donnée par :

1)(2p a

2Vk n

220

21

2 −+−= lβ (5.44)

Cette condition d’accord de phase nous a permis d’obtenir une valeur de la constante de propagation p ,lβselon le modèle géométrique. On note que l’indice angulaire l et l’entier p sont associés à l’indice radial du modeLPl, p.

On remarque que la constante de propagation qu’on vient d’obtenir (équation (5.44)) est exactement lamême que celle obtenue pour la même fibre selon le modèle de Laguerre-Gauss de la section 5.5. On met doncici en évidence le lien existant entre l’optique géométrique (Iconale) et l’équation d’onde lorsque le paramètre (k0a)

�� : en effet, on se rappelle que les modes LP du type Laguerre-Gauss étaient obtenus sous la condition (k0a) �11 .

Ce résultat nous indique que bien que nous ne pouvons pas toujours intégrer l’équation radiale (5.38) pourun profil d’indice quelconque, nous pouvons, grâce à la méthode géométrico-ondulatoire, calculer la constante depropagation.

11. Notez que le saut de phase de la caustique de π /2 peut intervenir, puisqu’on doit obtenir le même β que nous

avions obtenu avec le modèle de l’équation d’onde.

146

5.6 Le modèle de l’optique géométriqueLa section 5.4 nous a permis d’établir clairement le lien entre les modes polarisés linéairement de la théorie

électromagnétique et la théorie de l’optique géométrique. L’application de ces résultats à une fibre à profil d’indiceparabolique nous a permis de comprendre que selon le modèle de l’optique géométrique la constante de propagationpeut être obtenue en appliquant la condition d’addition cohérente des rayons après une trajectoire complète. Laréflexion dure selon ce modèle se fait sur la caustique soit la transition entre la région guidée et la région évanescentecalculée au moyen de l’iconale. Cette condition nous amène à l’équation caractéristique suivante :

E.C.

=

π

2

1-p dr

rk (r)n

2

1

r

r 2

222

02∫ −− l

où l = 0, 1, 2, 3,…p=1,2,3,…

r1, r2 = les zéros de l’intégrant

(5.45)

Cette équation est bien l’équation caractéristique pour ce modèle puisqu’elle permet de déterminer laconstante de propagation p ,lβ .

Selon le modèle géométrique cette constante de propagation β correspond à un rayon lumineux ayant un

angle γ à l’entrée :

cos( ))(rn k 00

βγ =

et un angle d’entrée « hors méridien » tel que :

)n(r r kds

d

0200

l=φ

En dérivant l’équation caractéristique par rapport à k0, on peut calculer la vitesse de groupe vg des modesLP selon le modèle géométrique, on obtient :

drr

k (r)n r)(n

drr

k (r)n

kc

v

2

1

2

1

r

r

2/1

2

222

022

r

r

2/1

2

222

02

0

g

∫

∫−

−

−−

−−

=l

l

β(5.46)

En utilisant les relations (A5.29) et (A5.25), ce résultat peut s’écrire sous la forme :

∫∫

=

2

1

2

1

r

r

r

r

g dz

ds n(r)

v

c(5.47)

Ce rapport c/ vg définie un indice de groupe qui peut s’interpréter géométriquement. En effet, l’indice degroupe est égal au rapport de la longueur optique parcourue par le rayon modal sur la distance parcourue. Parexemple, on sait (voir annexe 5B) que pour une distribution d’indice n(r)= n0 sech (α r) que tous les rayonsméridionaux (l = 0) parcourent la même distance optique. Il s’ensuit que tous les modes LP0, p auront la même vitesse

147

de groupe pour cette distribution d’indice. On comprend alors l’intérêt du modèle géométrique pour la recherched’un profil optimum pouvant réduire la dispersion inter-modale.

5.7 Fibre à profil optimiséOn a vu à l’annexe (5B) qu’il n’existe pas de profil d’indice pouvant égaliser à la fois les longueurs optiques

des rayons hélicoïdaux et méridionaux. Cependant, il est évident que tous profils convergents permettent de réduirel’indice de groupe (5.47) en comparaison avec l’indice de groupe d’un fibre optique à saut d’indice.

Pour le type de fibre employée en communication optique, il est utile de chercher un profil qui permet, dumoins au premier ordre, d’égaliser la vitesse de groupe. L’étude du profil α défini par (voir figure 5.15)

n

−= 2

12

a

r 21 nr)( (5.48)

conduit à des résultats satisfaisants.

FIGURE 5.15 : Profil α permettant d’égaliser la vitesse de groupePour simplifier l’analyse mathématique de ce profil, nous calculerons les constantes de propagation au

moyen de l’équation caractéristique (5.46) des rayons méridionaux (l = 0).

On obtient le résultat suivant, en fonction du paramètre V de la fibre :

(ua)2= αα

α

α 2

4 2

2

V )( C

1/2)(p ++

−(5.49)

où C)1/ ����

)1/�� �����dxx1)(

1

0 ααα α

++=−= ∫

148

On sait que le paramètre de la fibre V est lié au paramètre 2∆ par :

222

021

2

a k n

V=∆

On montre alors que β est donné par :

∆

−−=+

++

α

α

αα

α

απβ

2

2

2

2

2

)a k n(

)2(

)C(

)2/1p(1k n

220

21

20

21

2 (5.50)

On vérifie facilement que pour le profil parabolique α = 2, on obtient le même résultat que celui obtenu àl’équation (5.44).

Selon l’approximation de l’optique géométrique (n1k1a ∞→ ) et selon l’approximation de faible guidage,∆ est aussi petit, tel qu’on peut écrire l’équation (5.50) sous la forme :

∆

−≈+

−

++

α

α

αα

α

απβ

2

2

2

2

2

2

)a k n( a)2(

)2(

)C(

)2/1p(k n

01

01 (5.51)

Cette expression pour la constante de propagation p ,0β nous permet d’analyser l’effet du profil α . Lorsque

nous étudions les systèmes de communication optique, nous cherchons tout d’abord une façon d’égaliser lesdifférentes vitesses de groupe, ce qui requiert

0dk

dβ = cte(indépendante de p).

On remarque que si α =2, le second terme de l’équation (5.51) devient indépendant de k0, on a alors

0dk

dβ= n1

Selon le calcul de l’optique géométrique, le profil optimal est le profil parabolique (en fait on sait selon les

résultats de l’annexe 5B, que le profil en sech (∆2a

r) est exactement le profil optimal ; on sait aussi que ce profil

Selfoc est très près d’un profil parabolique.

Cependant, si le matériau utilisé est dispersif ( 0et 0d

d

d

dn ≠≠ ∆

λ), il faudra tenir compte de cette dispersion

dans le calcul et la fibre parabolique n’est plus optimale. On peut cependant trouver un profil optimal même dans cecas ; il suffit alors de chercher α tel que la dérivée par rapport à k0 (du deuxième terme de l’équation (5.51))s’annule :

∆

+

−

+

α

α

α

λ 2

2

1

2

2

)(

)(

d

d

n

=0 (5.52)

149

Cette condition nous mène à :

∆

∆+=

−1

d

n d

n

1opt

1

1

1

d

d22

λα (5.53)

Puisque pour la majorité des diélectriques, le terme

d

n d

n

1 1

1

est beaucoup plus petit que le terme λ

1, on peut écrire :

∆

∆−=

λλα

d

d22opt

Enfin, on sait que le paramètre

21

22

21

n 2

nn −=∆

et si on suppose que d

dn

d

dn 12 ≈ , on montre alors que le profil optimal est donné par :

λλα

d

dn

n

22 1

1opt += (5.54)

La figure 5.16 (prise des travaux de I.P. Kaminow et H.M. Presby [13]) nous montre ce profil pour diversdopants dans le verre (SiO2). Dépendant de la région d’opération, le profil est plus grand que 2 ou plus petit que 2.Notez aussi que le profil change avec la longueur d’onde d’opération. Un profil optimal à � ������ m n’est plusoptimal à � ������ m. Cependant, on a réussi dans un composé triple (P2O5-GeO2-SiO2) à faire en sorte que le profilsoit à peu près le même pour une grande gamme de longueurs d’onde (voir figure5.17 prise des travaux de I.P.Kaminow et H.M. Presby [14]).

150

FIGURE 5.16 : Profil d’indice ( )λα pour divers dopants dans le verre

FIGURE 5.17 : Profil d’indice d’un composé qui offre une valeur optimale pour un large domaine de longueurd’onde

Le profil optimal est très proche du profil parabolique ; en pratique, nous présumons que ce profil estessentiellement le même aussi pour les modes l ����

5.8 Largeur de bande et fibre optimaleDans une voie de communication optique, nous voulons transmettre des impulsions optiques très courtes et

ce à de très hautes cadences. La cadence est pratiquement limitée par l’élargissement des impulsions lors de leurpropagation. Si nous utilisons une fibre multimode, nous devons comprendre que l’impulsion optique à l’entréestimulera plusieurs modes dans la fibre. L’impulsion optique à la sortie sera donc énormément élargie si les diversmodes de la fibre ont des vitesses de groupe très différentes. Cependant, comme nous l’avons vu à la sectionprécédente, il est possible d’optimiser le profil �DILQ�TX¶DX�SUHPLHU�RUGUH��OD�YLWHVVH�GH�JURXSH�VRLW� OD�Pême pourtous les modes. Il en résulte, toujours au premier ordre, que l’élargissement des impulsions est nulle et que la largeurde bande est ainsi infinie.

Évidemment, dans cette situation, il nous faut plutôt calculer le terme du second ordre pour évaluer l’ordrede grandeur de la largeur de bande. Pour avoir une estimation de cette largeur de bande, il suffit ici de la calculerdans le cas où la dispersion est négligée ; le profil optimal est alors le profil parabolique et la constante depropagation est donnée selon les approximations de l’optique géométrique (équation (5.44)).

L’élargissement de l’impulsion optique (¨ ) est donné par la différence entre les rapports de la distanceparcourue L sur la vitesse du mode le plus lent et sur la vitesse du mode le plus rapide :

(max)v

L

(min)v

L

gg

−=∆τ (5.55)

On sait que :

151

0g dk / d

c

/dd

1v

βωβ==

On réécrit alors l’équation (5.55) comme suit :

−

=∆

max0min0 dk

d

dk

d

c

L ββτ (5.56)

Le calcul de

0dk

dβ s’obtient directement de l’équation (5.44) :

2/1

22

21

akn

2

22

21

akn

1

10

nn )1(2p 1

nn )1(2p 1

ndk

d

021

0

2

1

−+−−

−+−−

=

l

lβ

(5.57)

Selon les approximations de l’optique géométrique, on sait que k0a ����'H�SOXV��Gû à l’hypothèse de faibleguidage que nous avons supposée depuis le début, nous savons que n1 ≈ n2.

On conclut alors que le deuxième terme de l’équation (5.57) est très petit. On montre qu’au deuxième termede l’équation (5.57) est très petit. On montre qu’au deuxième ordre que

+≈

81n

dk

d 2

10

εβ(5.58)

où

a k n

nn 1)(2p 2

021

22

21 −−+

=l

ε

Le mode le plus bas correspond à l = 0 et p =1 ; on a alors

a k n

nn 2

021

22

21

1

−+=ε

D’autre part, le mode le plus élevé est obtenu lorsque � �Q2k0, c’est-à-dire lorsque les modes deviennentradiatifs. L’équation (5.44) nous donne alors

21

22

21

021

22

21

n 2

nn

a k n

nn 1)(2p −=

−−+ l

c’est-à-dire que l’on a

∆= 22ε

où ∆ est le paramètre usuel du saut d’indice.

152

Pour le second ordre, nous trouvons :

−=∆

201

21

a)k(n2c

Lnτ

Lorsque n1 k0 a ���� OH� VHFRQG� WHUPH� HVW�QpJOLJHDEOH� SDU� UDSSRUW� DX� SUHPLHU� � ≈∆ 0,01; n1 k0 a ≈ 103).L’élargissement τ∆ est alors donné par :

( )

∆=∆2c

Ln 21

optτ (5.59)

et la largeur de bande est

=

∆=

21

opt L n

c 21B)(

τ(5.60)

soit une largeur de bande d’environ

(B)opt ≈ 4GHz-km (n1=1,5,∆ =0,01)

Il nous faut maintenant comparer ce résultat à celui obtenu pour la fibre optique à saut d’indice. Dans cecas, le paramètre du profil α tend vers l’infini et la constante de propagation β est donnée par l’équation (5.51). Un

calcul tout à fait similaire nous donne un élargissement de

( )∆

=∆

c

Ln)( 1

indicesautd’τ (5.61)

pour une largeur de bande d’environ

(B)sautd’indice≈ 20MHz-km

en utilisant les mêmes valeurs de n1 et ∆ .

Nous avons déjà montré que les différences entre les différentes vitesses de groupe peuvent être négligéesen optimisant le profil de la fibre (optα = 2 lorsqu’il n’y a pas de dispersion dans le matériel) et que la largeur de

bande de telle fibre peut être augmenter d’un rapport de ∆

2.

Plusieurs autres résultats utiles peuvent aussi être simplement trouvés à partir du modèle géométrique d’unefibre à gradient d’indice.

Exercice 5.3

Nombre total de modes

L’équation caractéristique de l’optique géométrique

=

π

2

1-p dr

rk (r)n

2

1

r

r 2

222

02∫ −− l

153

nous donne le nombre de modes p qui ont une constante de propagation β guidée. Si nous sommons ce résultat

sur toutes les valeurs de l et pour toutes les valeurs de β guidées, nous aurons le nombre total de modes. La plus

basse valeur de β guidée est n2k0. Donc, si nous posons β = n2k0 dans cette équation et que nous sommons sur l,nous aurons le nombre total de modes M. Cependant, la sommation sur l est difficile à faire. Si nous remplaçonscette somme par une intégrale continue sur l, l’erreur sera minime lorsque le nombre sera grand d’où :

drd r

knk (r)n4

Ma

0

l

0 2

220

22

20

2maxl

l∫ ∫ −−=π

L’intégrale sur r est effectuée de 0 à a pour couvrir toute la région guidée. Le facteur 4 a été ajouté afin detenir compte des deux types de modes polarisés selon l’axe x et l’axe y et des deux types de distribution en sin(lφ ) et cos (l φ ).

1. Montrez que le nombre total de modes se réduit au calcul de

M= [ ] drr n(r)n ka

0

22

220 ∫ −

2. Calculez le nombre total de modes pour la fibre à profil d’indice α

n2(r)=n

−

α

a

r 21 2

1

3. Discutez du résultat pour les cas limites de la fibre à saut d’indice (α ����HW�GH� OD� ILEUH�à profil optimal(α =2).

Exercice 5.4

Calcul de la largeur de bande pour un profil

À l’équation (5.51), nous avons trouvé une valeur approchée de la constante de propagation β pour un

profil d’indice α .

1. Démontrez la relation suivante pour ce profil α

)k

(n )2(

)2(

dk

d

011

0

βααβ −

+−−= n

2. Obtenez une relation algébrique pour la largeur de bande de cette fibre :

B=

−

max0dk

d

min0dk

d

1

L

c

ββ

3. Tracez la variation de B pour les valeurs suivantes n1 =1,5 et ∆ = 0,01 autour du point ).2(opt =αα Notez

que la valeur de Bopt doit être obtenue par un calcul du second ordre.

154

Exercice 5.5

Profil SELFOC

À l’annexe (B-5), nous avons montré que le profil Selfoc n (r) = n1 sech (α r) permettait de représenterles rayons méridionaux d’un point source en un point image parfait. Selon le modèle géométrique des modes LPl,

p , nous anticipons alors que les modes LP0, p auront la même vitesse de groupe puisque tous les rayonsparcourent la même longueur optique (∫ dsn ) quelque soit l’angle d’entrée ()0γ des rayons. Vérifiez ce fait en

calculant la constante de propagation p ,0β de ces modes et calculez ensuite leurs vitesses de groupe.