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L. Pilote Devoir de synthse N3 Le: 08 - 05 - 14 Dure: 4heures Classe: 4M1

Exercice N1(4 points)NB: Les questions 1), 2) et 3) de cet exercice sont indpendantes. 1) a) Dterminer, suivant les valeurs de lentier naturel n, les restes de la division euclidienne de 2n et de 3n par 7. b) Quels sont les entiers naturels n tels que 2n + 3n + 6n soit divisible par 7? 2) a) Rsoudre dans Z lquation (E): 9x 7y = 6

b) En dduire la rsolution dans Z du systme: c) Dterminer la solution dans Z de (E) vrifiant: xy = 6 et xy = 72 3) Rsoudre dans IN lquation: x + y = 7.

Exercice N2(3 points)

Dans le plan complexe rapport un repre orthonorm direct, on associe tout pointM daffixe z, le point M' daffixe z' tel que z' = z (1 3i)z + 4 3iOn pose z = x + iy et z' = x' + iy' .1) Calculer x' et y' en fonction de x et y.2) a) Dmontrer que, lorsque M' dcrit laxe des ordonnes, le point M dcrit la courbe (H) dquation: x y + x + 3y 4 = 0. b) Dterminer la nature de (H) et ses lments caractristiques. c) Tracer la courbe (H) .3) a) Dmontrer que, lorsque M' dcrit laxe des abscisses, le point M dcrit la courbe (H) dquation: 2xy 3x + y + 3 = 0. b) Dterminer la nature de (H), son centre et ses asymptotes. c) Tracer (H).

Exercice N3(4 points)On sintresse deux types de pices lectroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabrication dune bote de vitesses automatique.Une seule pice de type P1 et une seule pice de type P2 sont ncessaires par bote.Lusine se fournit auprs de deux sous-traitants et deux seulement S1 et S2.Le sous-traitant S1 produit 80 % des pices de type P1 et 40 % de pices de type P2.Le sous-traitant S2 produit 20 % des pices de type P1 et 60 % de pices de type P2.1) Un employ de lusine runit toutes les pices P1 et P2 destines tre incorpores dans un certain nombre de botes de vitesses. Il y a donc autant de pices de chaque type. Il tire une pice au hasard. a) Dterminer la probabilit de tirer une pice P1 . b) Dterminer la probabilit pour que la pice tire soit du type P1 et quelle vienne de S1. c) Montrer que la probabilit que la pice tire vienne de S1 est gale 0,6.2) Il y a 200 pices au total. Cette fois lemploy tire deux pices simultanment. On suppose que tous les tirages sont quiprobables. a) Dterminer la probabilit de tirer deux pices du type P1. b) Dterminer la probabilit de tirer une pice de chaque type.

c) Montrer que la probabilit de tirer deux pices fabriques par le mme sous traitant est gale 3) La dure de vie exprime en annes des pices P1 et P2 suit une loi exponentielle dont le paramtre est donn dans le tableau suivant :P1P2

S10,20,25

S20,10,125

Montrer quune valeur approche 104 prs de la probabilit quune pice P1 fabrique par S1 dure moins de 5 ans est gale 0,6321.Exercice N4(4 points)

Soit ABCD un carr de centre O tel que. On pose I = A * B et J = A *DOn note s la similitude directe tels que s(D) = O et s(C) = I. 1) a) Dterminer le rapport et langle de s.

b) Soit le centre de s. Trouver une construction gomtrique de . 2) a) Prciser les images respectives des droite ( BD ) et ( BC ) par s . b) Dterminer alors s (B) et s (A) et s o s (B) .

c) Montrer que est le barycentre des points pondrs ( B , 1 ) et ( J , 4 ).

3) On suppose dans cette question que est un repre orthonorm direct du plan. a) Dterminer lcriture complexe de s.

b) En dduire laffixe z0 de centre de s.

4) Soit R la rotation de centre O et dangle et h =R o s. a) Prciser h (B) puis caractriser h.

b) Soit le milieu de. Montrer que le triangle O est rectangle et isocle.

Exercice N5(5 points) Partie AOn considre lquation diffrentielle (E) : y + y = ex .1) Dmontrer que la fonction u dfinie sur IR par u(x) = xex est une solution de (E).2) Rsoudre lquation diffrentielle (E0) : y + y = 0.3) Dmontrer quune fonction v, dfinie et drivable sur IR, est solution de (E) si et seulement si v u est solution de (E0).4) En dduire toutes les solutions de (E).5) Dterminer la fonction f2, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.Partie Bk tant un nombre rel donn, on note fk la fonction dfinie sur IR par : fk (x) = (x +k)ex .

On note Ck la courbe reprsentative de la fonction fk dans un repre orthonorm ( 1) Dterminer les limites de fk en et +.

2) Calculer (x) pour tout rel x.3) En dduire le tableau de variations de fk .Partie C

1) On considre la suite dintgrales (In ) dfinie par I0 = et pour tout entier naturel n 1 par :

In = a) Calculer la valeur exacte de lintgrale I0. b) En utilisant une intgration par parties, dmontrer lgalit : In+1 = (2)n+1e2 +(n +1)In . c) En dduire la valeur exacte de lintgrale I1 .2) Le graphique ci-contre reprsente une courbe Ck qui est la reprsentation graphique dune fonction fk dfinie la partie B. a) laide des renseignements donns par le graphique, dterminer la valeur du nombre rel k correspondant. b) Soit S laire de la partie hachure (en unit daire) ; exprimer S en fonction de I1 et I0 et en dduire sa valeur exacte.

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