V BLANCHOT

Chapitre 3 : Notions de contraintes

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Chapitre 3 :

Notions de contraintes

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Chapitre 3 : Notions de contraintes

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Objet du chapitre

3.1. Vecteur contrainte

3.2. Contrainte normale et contrainte tangentielle

3.3. Relations entre contraintes et sollicitations

3.4. Intérêt, démarche de dimensionnement

Sommaire du chapitre

Présenter et appréhender la notion de contrainte dans

une section droite.

Exprimer la relation entre contraintes (vision locale) et

torseur de section (vision globale) dans une section.

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3.1. Vecteur contrainte

x

y

z

O

E1

(S)

Partie amont

G

dS

xM n

dS

T(M,n)

Les efforts intérieurs exercés sur dS sont une densité surfacique d’efforts ou densité de force par unité de surface (homogène à une pression).

Cette densité surfacique d’effort est caractérisée par le vecteur contrainte T(M,n)

n est la normale à la surface dS

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3.1. Vecteur contrainte

Unités de contrainte

L’unité du vecteur contrainte est le rapport d’une force par une unité de surface soit des N/m2 ou Pa, avec 1 Pa = 1N/m2

Le MPa est le plus souvent utilisé pour exprimer cette contrainte : 1MPa = 106 Pa = 100N/cm2 soit 10kg/cm2

On a aussi 1 bar = 105 Pa = 10N/cm2 soit un kg/cm2

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xM

dS

T(M,n)

3.2. Contrainte normale et contrainte tangentielle

Projetons le vecteur contrainte contrainte sur :

n le vecteur normal à la surface dS

t un vecteur tangent à la surface dS

σ

τ

nt

+= nσ)n,M(Trrr

trτOn peut donc écrire :

La contrainte normale σ : elle traduit les actions surfaciques locales de traction ou compression au sein de la matière

La contrainte tangentielle τ : elle traduit les actions surfaciques locales de cisaillement au sein de la matière

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3.2. Contrainte normale et contrainte tangentielle

T(M,n) peut aussi être exprimé dans le repère local (G, , , ) :xr

yr

zr

xσ)x,M(Trrr

= + τy + τzyr

zr

x

y

z

O

E1

G

σ

τy

τz

T(M,n) = T(M,x)=

στyτz

(x,y,z)

dS

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3.3. Relations entre contraintes et sollicitations

x

y

z

O

E1

(S)

Partie amont

G

dS

Intégrons ce torseur sur toute la surface (S)

On obtient alors le torseur des efforts intérieurs à la section (S) exprimés au point G

Torseur du vecteur contrainte associé à dS au point de réduction G :

G)x,M(TGM)x,M(T

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

rr

rr

∧

{ } { }GS

S

Gamontaval,G

amontavalGamontavalGint dS)x,M(TGM

dS)x,M(T

MR

TT⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

==∫∫∫∫

rr

rr

r

r

∧→

→→

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3.3. Intérêt, démarche de dimensionnement

Relation contrainte locale et torseur des efforts intérieurs(relation intégrale vue précédemment)

Relation torseur des efforts intérieurs et actions mécaniques extérieurs(voir chapitre 2)

Le calcul de RdM :

Il consiste à vérifier que les contraintes engendrées par les sollicitations extérieures ne dépassent pas la contrainte limite admissible par le matériau, contrainte qui sera basée sur le fait que le matériau doit rester élastique (pas de déformation plastique).

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3.3. Intérêt, démarche de dimensionnement

Modéliser le problème à résoudre :

Identifier les liaisons, leurs inconnues

Identifier les actions mécaniques et leur point d’application

Résoudre les inconnues de liaison par le Principe Fondamental de la Statique

Déterminer les différents torseurs de cohésion nécessaires

Tracer les diagrammesIdentifier la ou les sections les plus

critiques

Exprimer dans cette ou ces sections l’expression des contraintes locales avec les caractéristiques

géométriques des sectionsIdentifier le point critique (contrainte max)

Appliquer un critère de dimensionnement

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